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<!DOCTYPE html> <html lang="en"> <head> <meta content="text/html; charset=utf-8" http-equiv="content-type"/> <title>Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning</title>  <meta content="width=device-width, initial-scale=1, shrink-to-fit=no" name="viewport"/> <link href="https://cdn.jsdelivr.net/npm/bootstrap@5.3.0/dist/css/bootstrap.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/ar5iv.0.7.9.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/ar5iv-fonts.0.7.9.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/latexml_styles.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/bootstrap@5.3.0/dist/js/bootstrap.bundle.min.js"></script> <script src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/html2canvas/1.3.3/html2canvas.min.js"></script> <script src="/static/browse/0.3.4/js/addons_new.js"></script> <script src="/static/browse/0.3.4/js/feedbackOverlay.js"></script> <meta content=" Reinforcement learning, distributed, Bellman mapping, nonparametric. " lang="en" name="keywords"/> <base href="/html/2503.16192v1/"/></head> <body> <nav class="ltx_page_navbar"> <nav class="ltx_TOC"> <ol class="ltx_toclist"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S1" title="In Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">I </span><span class="ltx_text ltx_font_smallcaps">Introduction</span></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S2" title="In Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">II </span><span class="ltx_text ltx_font_smallcaps">Distributed Reinforcement Learning</span></span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S2.SS1" title="In II Distributed Reinforcement Learning ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref"><span class="ltx_text">II-A</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic">Preliminaries and notation</span></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S2.SS2" title="In II Distributed Reinforcement Learning ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref"><span class="ltx_text">II-B</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic">General assumptions for the decentralized setting</span></span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3" title="In Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">III </span><span class="ltx_text ltx_font_smallcaps">Novel Distributed Nonparametric B-Maps</span></span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.SS1" title="In III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref"><span class="ltx_text">III-A</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic">The centralized (star-topology) B-Map</span></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.SS2" title="In III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref"><span class="ltx_text">III-B</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic">Distributing the centralized B-Map</span></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.SS3" title="In III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref"><span class="ltx_text">III-C</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic">Performance analysis of <span class="ltx_text ltx_ref_tag">Algorithm</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></span></span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S4" title="In Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">IV </span><span class="ltx_text ltx_font_smallcaps">Numerical Tests</span></span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S4.SS1" title="In IV Numerical Tests ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref"><span class="ltx_text">IV-A</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic">Network of pendulums</span></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S4.SS2" title="In IV Numerical Tests ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref"><span class="ltx_text">IV-B</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic">Network of cartpoles</span></span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S5" title="In Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">V </span><span class="ltx_text ltx_font_smallcaps">Conclusions</span></span></a></li> </ol></nav> </nav> <div class="ltx_page_main"> <div class="ltx_page_content"> <article class="ltx_document ltx_authors_1line"> <div class="ltx_para" id="p1"> <span class="ltx_ERROR undefined" id="p1.1">\stackMath</span> </div> <h1 class="ltx_title ltx_title_document">Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning</h1> <div class="ltx_authors"> <span class="ltx_creator ltx_role_author"> <span class="ltx_personname">Yuki Akiyama and Konstantinos Slavakis1 </span><span class="ltx_author_notes">1Y. Akiyama and K. Slavakis are with the Institute of Science Tokyo, Department of Information and Communications Engineering, 4259-G2-4 Nagatsuta-Cho, Midori-Ku, Yokohama, Kanagawa, 226-8502 Japan. Email: <span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="id1.1.id1">slavakis@ict.eng.isct.ac.jp</span>.</span></span> </div> <div class="ltx_abstract"> <h6 class="ltx_title ltx_title_abstract">Abstract</h6> <p class="ltx_p" id="id2.id1">This paper introduces novel Bellman mappings (B-Maps) for value iteration (VI) in distributed reinforcement learning (DRL), where multiple agents operate over a network without a centralized fusion node. Each agent constructs its own nonparametric B-Map for VI while communicating only with direct neighbors to achieve consensus. These B-Maps operate on Q-functions represented in a reproducing kernel Hilbert space, enabling a nonparametric formulation that allows for flexible, agent-specific basis function design. Unlike existing DRL methods that restrict information exchange to Q-function estimates, the proposed framework also enables agents to share basis information in the form of covariance matrices, capturing additional structural details. A theoretical analysis establishes linear convergence rates for both Q-function and covariance-matrix estimates toward their consensus values. The optimal learning rates for consensus-based updates are dictated by the ratio of the smallest positive eigenvalue to the largest one of the network’s Laplacian matrix. Furthermore, each nodal Q-function estimate is shown to lie very close to the fixed point of a centralized nonparametric B-Map, effectively allowing the proposed DRL design to approximate the performance of a centralized fusion center. Numerical experiments on two well-known control problems demonstrate the superior performance of the proposed nonparametric B-Maps compared to prior methods. Notably, the results reveal a counter-intuitive finding: although the proposed approach involves greater information exchange—specifically through the sharing of covariance matrices—it achieves the desired performance with lower cumulative communication cost than existing DRL schemes, highlighting the crucial role of basis information in accelerating the learning process.</p> </div> <div class="ltx_keywords"> <h6 class="ltx_title ltx_title_keywords">Index Terms: </h6> Reinforcement learning, distributed, Bellman mapping, nonparametric. </div> <section class="ltx_section" id="S1"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">I </span><span class="ltx_text ltx_font_smallcaps" id="S1.1.1">Introduction</span> </h2> <div class="ltx_para" id="S1.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.p1.4">Reinforcement learning (RL) has been a widely studied field for many years <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib1" title="">1</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib2" title="">2</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib3" title="">3</a>]</cite>. In RL, an agent interacts with and controls a system by making sequential decisions or actions based on feedback from the surrounding environment. This feedback is typically provided in the form of an <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S1.p1.4.1">one-step loss</span> <math alttext="g(\cdot)" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.1.m1.1"><semantics id="S1.p1.1.m1.1a"><mrow id="S1.p1.1.m1.1.2" xref="S1.p1.1.m1.1.2.cmml"><mi id="S1.p1.1.m1.1.2.2" xref="S1.p1.1.m1.1.2.2.cmml">g</mi><mo id="S1.p1.1.m1.1.2.1" xref="S1.p1.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p1.1.m1.1.2.3.2" xref="S1.p1.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S1.p1.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.p1.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mo id="S1.p1.1.m1.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S1.p1.1.m1.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="S1.p1.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.p1.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.1.m1.1b"><apply id="S1.p1.1.m1.1.2.cmml" xref="S1.p1.1.m1.1.2"><times id="S1.p1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S1.p1.1.m1.1.2.1"></times><ci id="S1.p1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S1.p1.1.m1.1.2.2">𝑔</ci><ci id="S1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.p1.1.m1.1.1">⋅</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.1.m1.1c">g(\cdot)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.1.m1.1d">italic_g ( ⋅ )</annotation></semantics></math> or, equivalently, a reward defined as <math alttext="-g(\cdot)" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.2.m2.1"><semantics id="S1.p1.2.m2.1a"><mrow id="S1.p1.2.m2.1.2" xref="S1.p1.2.m2.1.2.cmml"><mo id="S1.p1.2.m2.1.2a" xref="S1.p1.2.m2.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S1.p1.2.m2.1.2.2" xref="S1.p1.2.m2.1.2.2.cmml"><mi id="S1.p1.2.m2.1.2.2.2" xref="S1.p1.2.m2.1.2.2.2.cmml">g</mi><mo id="S1.p1.2.m2.1.2.2.1" xref="S1.p1.2.m2.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p1.2.m2.1.2.2.3.2" xref="S1.p1.2.m2.1.2.2.cmml"><mo id="S1.p1.2.m2.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.p1.2.m2.1.2.2.cmml">(</mo><mo id="S1.p1.2.m2.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S1.p1.2.m2.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="S1.p1.2.m2.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.p1.2.m2.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.2.m2.1b"><apply id="S1.p1.2.m2.1.2.cmml" xref="S1.p1.2.m2.1.2"><minus id="S1.p1.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S1.p1.2.m2.1.2"></minus><apply id="S1.p1.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S1.p1.2.m2.1.2.2"><times id="S1.p1.2.m2.1.2.2.1.cmml" xref="S1.p1.2.m2.1.2.2.1"></times><ci id="S1.p1.2.m2.1.2.2.2.cmml" xref="S1.p1.2.m2.1.2.2.2">𝑔</ci><ci id="S1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.p1.2.m2.1.1">⋅</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.2.m2.1c">-g(\cdot)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.2.m2.1d">- italic_g ( ⋅ )</annotation></semantics></math> <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib2" title="">2</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib3" title="">3</a>]</cite>. The agent uses this feedback to learn an <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S1.p1.4.2">optimal policy</span> <math alttext="\mu_{*}(\cdot)" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.3.m3.1"><semantics id="S1.p1.3.m3.1a"><mrow id="S1.p1.3.m3.1.2" xref="S1.p1.3.m3.1.2.cmml"><msub id="S1.p1.3.m3.1.2.2" xref="S1.p1.3.m3.1.2.2.cmml"><mi id="S1.p1.3.m3.1.2.2.2" xref="S1.p1.3.m3.1.2.2.2.cmml">μ</mi><mo id="S1.p1.3.m3.1.2.2.3" xref="S1.p1.3.m3.1.2.2.3.cmml">∗</mo></msub><mo id="S1.p1.3.m3.1.2.1" xref="S1.p1.3.m3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p1.3.m3.1.2.3.2" xref="S1.p1.3.m3.1.2.cmml"><mo id="S1.p1.3.m3.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.p1.3.m3.1.2.cmml">(</mo><mo id="S1.p1.3.m3.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S1.p1.3.m3.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="S1.p1.3.m3.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.p1.3.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.3.m3.1b"><apply id="S1.p1.3.m3.1.2.cmml" xref="S1.p1.3.m3.1.2"><times id="S1.p1.3.m3.1.2.1.cmml" xref="S1.p1.3.m3.1.2.1"></times><apply id="S1.p1.3.m3.1.2.2.cmml" xref="S1.p1.3.m3.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p1.3.m3.1.2.2.1.cmml" xref="S1.p1.3.m3.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S1.p1.3.m3.1.2.2.2.cmml" xref="S1.p1.3.m3.1.2.2.2">𝜇</ci><times id="S1.p1.3.m3.1.2.2.3.cmml" xref="S1.p1.3.m3.1.2.2.3"></times></apply><ci id="S1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S1.p1.3.m3.1.1">⋅</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.3.m3.1c">\mu_{*}(\cdot)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.3.m3.1d">italic_μ start_POSTSUBSCRIPT ∗ end_POSTSUBSCRIPT ( ⋅ )</annotation></semantics></math>, a function or strategy that prescribes actions, based on the system’s state, to minimize the <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S1.p1.4.3">long-term loss/penalty</span>—also known as the Q-function. This Q-function represents the total penalty the agent would incur if all future decisions were made according to <math alttext="\mu_{*}(\cdot)" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.4.m4.1"><semantics id="S1.p1.4.m4.1a"><mrow id="S1.p1.4.m4.1.2" xref="S1.p1.4.m4.1.2.cmml"><msub id="S1.p1.4.m4.1.2.2" xref="S1.p1.4.m4.1.2.2.cmml"><mi id="S1.p1.4.m4.1.2.2.2" xref="S1.p1.4.m4.1.2.2.2.cmml">μ</mi><mo id="S1.p1.4.m4.1.2.2.3" xref="S1.p1.4.m4.1.2.2.3.cmml">∗</mo></msub><mo id="S1.p1.4.m4.1.2.1" xref="S1.p1.4.m4.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p1.4.m4.1.2.3.2" xref="S1.p1.4.m4.1.2.cmml"><mo id="S1.p1.4.m4.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.p1.4.m4.1.2.cmml">(</mo><mo id="S1.p1.4.m4.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S1.p1.4.m4.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="S1.p1.4.m4.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.p1.4.m4.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.4.m4.1b"><apply id="S1.p1.4.m4.1.2.cmml" xref="S1.p1.4.m4.1.2"><times id="S1.p1.4.m4.1.2.1.cmml" xref="S1.p1.4.m4.1.2.1"></times><apply id="S1.p1.4.m4.1.2.2.cmml" xref="S1.p1.4.m4.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p1.4.m4.1.2.2.1.cmml" xref="S1.p1.4.m4.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S1.p1.4.m4.1.2.2.2.cmml" xref="S1.p1.4.m4.1.2.2.2">𝜇</ci><times id="S1.p1.4.m4.1.2.2.3.cmml" xref="S1.p1.4.m4.1.2.2.3"></times></apply><ci id="S1.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S1.p1.4.m4.1.1">⋅</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.4.m4.1c">\mu_{*}(\cdot)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.4.m4.1d">italic_μ start_POSTSUBSCRIPT ∗ end_POSTSUBSCRIPT ( ⋅ )</annotation></semantics></math>. The Bellman mapping (B-Map) is a fundamental tool for computing Q-functions, with its fixed points playing a crucial role in determining optimal policies <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib2" title="">2</a>]</cite>. Over the years, various B-Map formulations and algorithmic approaches have been developed to model and compute Q-functions. These include classical Q-learning <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib3" title="">3</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib2" title="">2</a>]</cite> as well as methods that employ function approximation <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib4" title="">4</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib5" title="">5</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib6" title="">6</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib7" title="">7</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib8" title="">8</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib9" title="">9</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib10" title="">10</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib11" title="">11</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib12" title="">12</a>]</cite>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p2"> <p class="ltx_p" id="S1.p2.1">This work builds on the framework of distributed reinforcement learning (DRL) and, more broadly, distributed learning <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib13" title="">13</a>]</cite>, where multiple agents are deployed across a network or graph, with each agent assigned to a network node. Agents interact with a shared environment but are not required to exchange any state-action information. Each agent independently computes its Q-function estimates and shares them only with its neighboring agents—without relying on a central coordinator such as a “master node” or “fusion center.” Through this local exchange, agents collectively reach a consensus on a network-wide Q-function, enabling the identification of optimal policies <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib14" title="">14</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib15" title="">15</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib16" title="">16</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib17" title="">17</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib18" title="">18</a>]</cite>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p3"> <p class="ltx_p" id="S1.p3.1">Classical Q-learning has been extended into DRL, where, as is often the case in Q-learning, the state space is considered discrete rather than continuous, and Q-functions are represented in a tabular form <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib19" title="">19</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib14" title="">14</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib15" title="">15</a>]</cite>. Similarly, standard B-Maps have also been adapted for DRL in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib14" title="">14</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib15" title="">15</a>]</cite>, but the state space remains discrete, and the network or graph topology depends on the specific state space.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p4"> <p class="ltx_p" id="S1.p4.1">To overcome the limitations of tabular Q-functions and discrete state spaces, function approximation models for Q-functions have been explored, particularly in deep-learning-based DRL <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib20" title="">20</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib21" title="">21</a>]</cite>, where a “master node” is assumed to exist within the network. DRL with function approximation has also been developed for fully distributed settings, eliminating the need for a master node, fusion center, or even partial state-information sharing among agents <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib17" title="">17</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib16" title="">16</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib18" title="">18</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib14" title="">14</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib15" title="">15</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib20" title="">20</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib22" title="">22</a>]</cite>. DRL significantly overlaps with multi-agent reinforcement learning (MARL), where the objective remains to compute a network-wide Q-function using information gathered across the network. However, in MARL, it is often assumed that agents share (partial) state information <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib19" title="">19</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib23" title="">23</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib24" title="">24</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib22" title="">22</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib21" title="">21</a>]</cite>. Notably, the MARL approach in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib22" title="">22</a>]</cite> can operate in environments where state-space information is either shared or not shared. Additionally, distributed learning methods, such as <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib25" title="">25</a>]</cite>, can accommodate general function-approximation models for Q-functions, including neural networks, and can be applied to address general and fully distributed DRL tasks.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p5"> <p class="ltx_p" id="S1.p5.1">This paper builds upon the benefits of the recently introduced nonparametric B-Maps <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib12" title="">12</a>]</cite> and extends them to DRL. Specifically, the B-Maps in this study operate on Q-functions within a reproducing kernel Hilbert space (RKHS) <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib26" title="">26</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib27" title="">27</a>]</cite>, leveraging both the function-approximation capabilities of RKHS and the reproducing property of its inner product. This contrasts with standard B-Maps, where Q-functions are treated as elements of a Banach space (no inner-product structure) <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib2" title="">2</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib4" title="">4</a>]</cite>. By choosing an RKHS as the function-approximation space for Q-functions, the proposed approach is rendered nonparametric <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib28" title="">28</a>]</cite>, eliminating the need for statistical priors and assumptions on the data while minimizing user-induced modeling bias. However, a key trade-off of this distribution-free approach is that the number of free parameters required to represent Q-function estimates grows with the amount of data. To address this challenge, a dimensionality-reduction strategy based on random Fourier features (RFF) <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib29" title="">29</a>]</cite> is introduced, mitigating the effects of the “curse of dimensionality.”</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p6"> <p class="ltx_p" id="S1.p6.6">Each agent in this study constructs its own B-Map, specifically tailored to implement the classical value-iteration (VI) strategy in RL <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib2" title="">2</a>]</cite>. The proposed B-Maps are built using reproducing-kernel functions, parameterized by the data available to each agent <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p6.1.m1.1"><semantics id="S1.p6.1.m1.1a"><mi id="S1.p6.1.m1.1.1" xref="S1.p6.1.m1.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p6.1.m1.1b"><ci id="S1.p6.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.p6.1.m1.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p6.1.m1.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p6.1.m1.1d">italic_n</annotation></semantics></math>, where <math alttext="n\in\{1,\ldots,N\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p6.2.m2.3"><semantics id="S1.p6.2.m2.3a"><mrow id="S1.p6.2.m2.3.4" xref="S1.p6.2.m2.3.4.cmml"><mi id="S1.p6.2.m2.3.4.2" xref="S1.p6.2.m2.3.4.2.cmml">n</mi><mo id="S1.p6.2.m2.3.4.1" xref="S1.p6.2.m2.3.4.1.cmml">∈</mo><mrow id="S1.p6.2.m2.3.4.3.2" xref="S1.p6.2.m2.3.4.3.1.cmml"><mo id="S1.p6.2.m2.3.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.p6.2.m2.3.4.3.1.cmml">{</mo><mn id="S1.p6.2.m2.1.1" xref="S1.p6.2.m2.1.1.cmml">1</mn><mo id="S1.p6.2.m2.3.4.3.2.2" xref="S1.p6.2.m2.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S1.p6.2.m2.2.2" mathvariant="normal" xref="S1.p6.2.m2.2.2.cmml">…</mi><mo id="S1.p6.2.m2.3.4.3.2.3" xref="S1.p6.2.m2.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S1.p6.2.m2.3.3" xref="S1.p6.2.m2.3.3.cmml">N</mi><mo id="S1.p6.2.m2.3.4.3.2.4" stretchy="false" xref="S1.p6.2.m2.3.4.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p6.2.m2.3b"><apply id="S1.p6.2.m2.3.4.cmml" xref="S1.p6.2.m2.3.4"><in id="S1.p6.2.m2.3.4.1.cmml" xref="S1.p6.2.m2.3.4.1"></in><ci id="S1.p6.2.m2.3.4.2.cmml" xref="S1.p6.2.m2.3.4.2">𝑛</ci><set id="S1.p6.2.m2.3.4.3.1.cmml" xref="S1.p6.2.m2.3.4.3.2"><cn id="S1.p6.2.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="S1.p6.2.m2.1.1">1</cn><ci id="S1.p6.2.m2.2.2.cmml" xref="S1.p6.2.m2.2.2">…</ci><ci id="S1.p6.2.m2.3.3.cmml" xref="S1.p6.2.m2.3.3">𝑁</ci></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p6.2.m2.3c">n\in\{1,\ldots,N\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p6.2.m2.3d">italic_n ∈ { 1 , … , italic_N }</annotation></semantics></math>, along with agent-specific basis functions <math alttext="\mathbf{\Psi}^{(n)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p6.3.m3.1"><semantics id="S1.p6.3.m3.1a"><msup id="S1.p6.3.m3.1.2" xref="S1.p6.3.m3.1.2.cmml"><mi id="S1.p6.3.m3.1.2.2" xref="S1.p6.3.m3.1.2.2.cmml">𝚿</mi><mrow id="S1.p6.3.m3.1.1.1.3" xref="S1.p6.3.m3.1.2.cmml"><mo id="S1.p6.3.m3.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S1.p6.3.m3.1.2.cmml">(</mo><mi id="S1.p6.3.m3.1.1.1.1" xref="S1.p6.3.m3.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S1.p6.3.m3.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S1.p6.3.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p6.3.m3.1b"><apply id="S1.p6.3.m3.1.2.cmml" xref="S1.p6.3.m3.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p6.3.m3.1.2.1.cmml" xref="S1.p6.3.m3.1.2">superscript</csymbol><ci id="S1.p6.3.m3.1.2.2.cmml" xref="S1.p6.3.m3.1.2.2">𝚿</ci><ci id="S1.p6.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p6.3.m3.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p6.3.m3.1c">\mathbf{\Psi}^{(n)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p6.3.m3.1d">bold_Ψ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, which generally vary across agents. A key advantage inherited from <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib12" title="">12</a>]</cite> is the flexibility in designing <math alttext="\mathbf{\Psi}^{(n)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p6.4.m4.1"><semantics id="S1.p6.4.m4.1a"><msup id="S1.p6.4.m4.1.2" xref="S1.p6.4.m4.1.2.cmml"><mi id="S1.p6.4.m4.1.2.2" xref="S1.p6.4.m4.1.2.2.cmml">𝚿</mi><mrow id="S1.p6.4.m4.1.1.1.3" xref="S1.p6.4.m4.1.2.cmml"><mo id="S1.p6.4.m4.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S1.p6.4.m4.1.2.cmml">(</mo><mi id="S1.p6.4.m4.1.1.1.1" xref="S1.p6.4.m4.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S1.p6.4.m4.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S1.p6.4.m4.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p6.4.m4.1b"><apply id="S1.p6.4.m4.1.2.cmml" xref="S1.p6.4.m4.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p6.4.m4.1.2.1.cmml" xref="S1.p6.4.m4.1.2">superscript</csymbol><ci id="S1.p6.4.m4.1.2.2.cmml" xref="S1.p6.4.m4.1.2.2">𝚿</ci><ci id="S1.p6.4.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p6.4.m4.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p6.4.m4.1c">\mathbf{\Psi}^{(n)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p6.4.m4.1d">bold_Ψ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. In fact, <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib12" title="">12</a>]</cite> demonstrates that carefully chosen <math alttext="\mathbf{\Psi}^{(n)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p6.5.m5.1"><semantics id="S1.p6.5.m5.1a"><msup id="S1.p6.5.m5.1.2" xref="S1.p6.5.m5.1.2.cmml"><mi id="S1.p6.5.m5.1.2.2" xref="S1.p6.5.m5.1.2.2.cmml">𝚿</mi><mrow id="S1.p6.5.m5.1.1.1.3" xref="S1.p6.5.m5.1.2.cmml"><mo id="S1.p6.5.m5.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S1.p6.5.m5.1.2.cmml">(</mo><mi id="S1.p6.5.m5.1.1.1.1" xref="S1.p6.5.m5.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S1.p6.5.m5.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S1.p6.5.m5.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p6.5.m5.1b"><apply id="S1.p6.5.m5.1.2.cmml" xref="S1.p6.5.m5.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p6.5.m5.1.2.1.cmml" xref="S1.p6.5.m5.1.2">superscript</csymbol><ci id="S1.p6.5.m5.1.2.2.cmml" xref="S1.p6.5.m5.1.2.2">𝚿</ci><ci id="S1.p6.5.m5.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p6.5.m5.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p6.5.m5.1c">\mathbf{\Psi}^{(n)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p6.5.m5.1d">bold_Ψ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> can lead to popular B-Maps. Furthermore, the same work provides a variational framework for systematically designing <math alttext="\mathbf{\Psi}^{(n)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p6.6.m6.1"><semantics id="S1.p6.6.m6.1a"><msup id="S1.p6.6.m6.1.2" xref="S1.p6.6.m6.1.2.cmml"><mi id="S1.p6.6.m6.1.2.2" xref="S1.p6.6.m6.1.2.2.cmml">𝚿</mi><mrow id="S1.p6.6.m6.1.1.1.3" xref="S1.p6.6.m6.1.2.cmml"><mo id="S1.p6.6.m6.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S1.p6.6.m6.1.2.cmml">(</mo><mi id="S1.p6.6.m6.1.1.1.1" xref="S1.p6.6.m6.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S1.p6.6.m6.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S1.p6.6.m6.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p6.6.m6.1b"><apply id="S1.p6.6.m6.1.2.cmml" xref="S1.p6.6.m6.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p6.6.m6.1.2.1.cmml" xref="S1.p6.6.m6.1.2">superscript</csymbol><ci id="S1.p6.6.m6.1.2.2.cmml" xref="S1.p6.6.m6.1.2.2">𝚿</ci><ci id="S1.p6.6.m6.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p6.6.m6.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p6.6.m6.1c">\mathbf{\Psi}^{(n)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p6.6.m6.1d">bold_Ψ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, enabling principled and effective basis design.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p7"> <p class="ltx_p" id="S1.p7.1">This paper offers the following novel contributions to DRL.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_contributions" id="Thmcontributionsx1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmcontributionsx1.1.1.1">Contributions</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmcontributionsx1.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmcontributionsx1.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmcontributionsx1.p1.1"><span class="ltx_text" id="Thmcontributionsx1.p1.1.1"></span></p> <ol class="ltx_enumerate" id="S1.I1"> <li class="ltx_item" id="S1.I1.i1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S1.I1.i1.1.1.1">(1)</span></span> <div class="ltx_para" id="S1.I1.i1.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.I1.i1.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S1.I1.i1.p1.2.1">(Novel B-Maps for DRL)</span> The benefits of the nonparametric B-Maps of <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib12" title="">12</a>]</cite> are extended to DRL. Each agent <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.I1.i1.p1.1.m1.1"><semantics id="S1.I1.i1.p1.1.m1.1a"><mi id="S1.I1.i1.p1.1.m1.1.1" xref="S1.I1.i1.p1.1.m1.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.I1.i1.p1.1.m1.1b"><ci id="S1.I1.i1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.1.m1.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.I1.i1.p1.1.m1.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.I1.i1.p1.1.m1.1d">italic_n</annotation></semantics></math> has the flexibility to design its own basis functions <math alttext="\mathbf{\Psi}^{(n)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.I1.i1.p1.2.m2.1"><semantics id="S1.I1.i1.p1.2.m2.1a"><msup id="S1.I1.i1.p1.2.m2.1.2" xref="S1.I1.i1.p1.2.m2.1.2.cmml"><mi id="S1.I1.i1.p1.2.m2.1.2.2" xref="S1.I1.i1.p1.2.m2.1.2.2.cmml">𝚿</mi><mrow id="S1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.3" xref="S1.I1.i1.p1.2.m2.1.2.cmml"><mo id="S1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S1.I1.i1.p1.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1" xref="S1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S1.I1.i1.p1.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.I1.i1.p1.2.m2.1b"><apply id="S1.I1.i1.p1.2.m2.1.2.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.2.m2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.I1.i1.p1.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.2.m2.1.2">superscript</csymbol><ci id="S1.I1.i1.p1.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.2.m2.1.2.2">𝚿</ci><ci id="S1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.I1.i1.p1.2.m2.1c">\mathbf{\Psi}^{(n)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.I1.i1.p1.2.m2.1d">bold_Ψ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, enabling the construction of <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S1.I1.i1.p1.2.2">agent-specific</span> B-Maps.</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S1.I1.i2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S1.I1.i2.1.1.1">(2)</span></span> <div class="ltx_para" id="S1.I1.i2.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.I1.i2.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S1.I1.i2.p1.1.1">(Exchange of covariance-matrix data)</span> Unlike prior methods <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib17" title="">17</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib16" title="">16</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib18" title="">18</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib14" title="">14</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib15" title="">15</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib20" title="">20</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib22" title="">22</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib23" title="">23</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib24" title="">24</a>]</cite>, where agents share only copies of their Q-function estimates, the proposed framework allows agents to also exchange information about their bases through covariance matrices.</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S1.I1.i3" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S1.I1.i3.1.1.1">(3)</span></span> <div class="ltx_para" id="S1.I1.i3.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.I1.i3.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S1.I1.i3.p1.1.1">(Performance analysis and convergence)</span> The framework ensures linear convergence of both the nodal Q-function and covariance-matrix estimates toward their consensus values. The optimal learning rates for the iterative updates are governed by the ratio of the smallest positive eigenvalue to the largest one of the graph Laplacian matrix. Moreover, a tunable bound is established on the deviation of each nodal Q-function estimate from the fixed point of a centralized nonparametric B-Map. By adjusting a design parameter, this bound can be made arbitrarily small, suggesting that the proposed DRL design closely approximates the behavior of a centralized fusion center.</p> </div> </li> </ol> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p8"> <p class="ltx_p" id="S1.p8.1">Numerical tests reveal a surprising, counter-intuitive result: although the proposed method involves exchanging <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S1.p8.1.1">more</span> information among agents than prior approaches—specifically, through the sharing of covariance data matrices (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S1.I1.i2" title="In Contributions. ‣ I Introduction ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Contribution</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">0(2)</span></a>)—it achieves desired performance with <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S1.p8.1.2">less</span> communication cost than prior-art schemes. This underscores the significance of basis information, as its exchange accelerates the learning process.</p> </div> </section> <section class="ltx_section" id="S2"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">II </span><span class="ltx_text ltx_font_smallcaps" id="S2.1.1">Distributed Reinforcement Learning</span> </h2> <section class="ltx_subsection" id="S2.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection"><span class="ltx_text" id="S2.SS1.5.1.1">II-A</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.SS1.6.2">Preliminaries and notation</span> </h3> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p1.6">A number <math alttext="N" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.1.m1.1"><semantics id="S2.SS1.p1.1.m1.1a"><mi id="S2.SS1.p1.1.m1.1.1" xref="S2.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml">N</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.1.m1.1b"><ci id="S2.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.1.m1.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.1.m1.1c">N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.1.m1.1d">italic_N</annotation></semantics></math> of agents are considered, distributed over a connected <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib30" title="">30</a>]</cite> network/graph <math alttext="\mathcal{G}\coloneqq(\mathcal{N},\mathcal{E})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.2.m2.2"><semantics id="S2.SS1.p1.2.m2.2a"><mrow id="S2.SS1.p1.2.m2.2.3" xref="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.2" xref="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.2.cmml">𝒢</mi><mo id="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.1" xref="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.1.cmml">≔</mo><mrow id="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.2" xref="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p1.2.m2.1.1" xref="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.cmml">𝒩</mi><mo id="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.2.2" xref="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p1.2.m2.2.2" xref="S2.SS1.p1.2.m2.2.2.cmml">ℰ</mi><mo id="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.2.m2.2b"><apply id="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.2.3"><ci id="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.1">≔</ci><ci id="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.2">𝒢</ci><interval closure="open" id="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.2"><ci id="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.1.1">𝒩</ci><ci id="S2.SS1.p1.2.m2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.2.2">ℰ</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.2.m2.2c">\mathcal{G}\coloneqq(\mathcal{N},\mathcal{E})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.2.m2.2d">caligraphic_G ≔ ( caligraphic_N , caligraphic_E )</annotation></semantics></math>, with nodes <math alttext="\mathcal{N}\coloneqq\{1,\ldots,N\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.3.m3.3"><semantics id="S2.SS1.p1.3.m3.3a"><mrow id="S2.SS1.p1.3.m3.3.4" xref="S2.SS1.p1.3.m3.3.4.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p1.3.m3.3.4.2" xref="S2.SS1.p1.3.m3.3.4.2.cmml">𝒩</mi><mo id="S2.SS1.p1.3.m3.3.4.1" xref="S2.SS1.p1.3.m3.3.4.1.cmml">≔</mo><mrow id="S2.SS1.p1.3.m3.3.4.3.2" xref="S2.SS1.p1.3.m3.3.4.3.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.3.m3.3.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.3.m3.3.4.3.1.cmml">{</mo><mn id="S2.SS1.p1.3.m3.1.1" xref="S2.SS1.p1.3.m3.1.1.cmml">1</mn><mo id="S2.SS1.p1.3.m3.3.4.3.2.2" xref="S2.SS1.p1.3.m3.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.SS1.p1.3.m3.2.2" mathvariant="normal" xref="S2.SS1.p1.3.m3.2.2.cmml">…</mi><mo id="S2.SS1.p1.3.m3.3.4.3.2.3" xref="S2.SS1.p1.3.m3.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.SS1.p1.3.m3.3.3" xref="S2.SS1.p1.3.m3.3.3.cmml">N</mi><mo id="S2.SS1.p1.3.m3.3.4.3.2.4" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.3.m3.3.4.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.3.m3.3b"><apply id="S2.SS1.p1.3.m3.3.4.cmml" xref="S2.SS1.p1.3.m3.3.4"><ci id="S2.SS1.p1.3.m3.3.4.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.3.m3.3.4.1">≔</ci><ci id="S2.SS1.p1.3.m3.3.4.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.3.m3.3.4.2">𝒩</ci><set id="S2.SS1.p1.3.m3.3.4.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.3.m3.3.4.3.2"><cn id="S2.SS1.p1.3.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p1.3.m3.1.1">1</cn><ci id="S2.SS1.p1.3.m3.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.3.m3.2.2">…</ci><ci id="S2.SS1.p1.3.m3.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.3.m3.3.3">𝑁</ci></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.3.m3.3c">\mathcal{N}\coloneqq\{1,\ldots,N\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.3.m3.3d">caligraphic_N ≔ { 1 , … , italic_N }</annotation></semantics></math> and edges <math alttext="\mathcal{E}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.4.m4.1"><semantics id="S2.SS1.p1.4.m4.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p1.4.m4.1.1" xref="S2.SS1.p1.4.m4.1.1.cmml">ℰ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.4.m4.1b"><ci id="S2.SS1.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.4.m4.1.1">ℰ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.4.m4.1c">\mathcal{E}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.4.m4.1d">caligraphic_E</annotation></semantics></math>. The neighborhood of node <math alttext="n\in\mathcal{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.5.m5.1"><semantics id="S2.SS1.p1.5.m5.1a"><mrow id="S2.SS1.p1.5.m5.1.1" xref="S2.SS1.p1.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.5.m5.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.5.m5.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S2.SS1.p1.5.m5.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.5.m5.1.1.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p1.5.m5.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.5.m5.1.1.3.cmml">𝒩</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.5.m5.1b"><apply id="S2.SS1.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m5.1.1"><in id="S2.SS1.p1.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m5.1.1.1"></in><ci id="S2.SS1.p1.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m5.1.1.2">𝑛</ci><ci id="S2.SS1.p1.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m5.1.1.3">𝒩</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.5.m5.1c">n\in\mathcal{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.5.m5.1d">italic_n ∈ caligraphic_N</annotation></semantics></math> is defined as <math alttext="\mathcal{N}_{n}\coloneqq\{n^{\prime}\in\mathcal{N}{\mathbin{}\mid\mathbin{}}\{% n,n^{\prime}\}\in\mathcal{E}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.6.m6.3"><semantics id="S2.SS1.p1.6.m6.3a"><mrow id="S2.SS1.p1.6.m6.3.3" xref="S2.SS1.p1.6.m6.3.3.cmml"><msub id="S2.SS1.p1.6.m6.3.3.4" xref="S2.SS1.p1.6.m6.3.3.4.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p1.6.m6.3.3.4.2" xref="S2.SS1.p1.6.m6.3.3.4.2.cmml">𝒩</mi><mi id="S2.SS1.p1.6.m6.3.3.4.3" xref="S2.SS1.p1.6.m6.3.3.4.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S2.SS1.p1.6.m6.3.3.3" xref="S2.SS1.p1.6.m6.3.3.3.cmml">≔</mo><mrow id="S2.SS1.p1.6.m6.3.3.2.2" xref="S2.SS1.p1.6.m6.3.3.2.3.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.6.m6.3.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.6.m6.3.3.2.3.1.cmml">{</mo><mrow id="S2.SS1.p1.6.m6.2.2.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.cmml"><msup id="S2.SS1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.2.2" xref="S2.SS1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.2.2.cmml">n</mi><mo id="S2.SS1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.2.3" xref="S2.SS1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S2.SS1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.3.cmml">𝒩</mi></mrow><mo fence="true" id="S2.SS1.p1.6.m6.3.3.2.2.4" lspace="0em" rspace="0em" xref="S2.SS1.p1.6.m6.3.3.2.3.1.cmml">∣</mo><mrow id="S2.SS1.p1.6.m6.3.3.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.6.m6.3.3.2.2.2.cmml"><mrow id="S2.SS1.p1.6.m6.3.3.2.2.2.1.1" xref="S2.SS1.p1.6.m6.3.3.2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.6.m6.3.3.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.6.m6.3.3.2.2.2.1.2.cmml">{</mo><mi id="S2.SS1.p1.6.m6.1.1" xref="S2.SS1.p1.6.m6.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.SS1.p1.6.m6.3.3.2.2.2.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.6.m6.3.3.2.2.2.1.2.cmml">,</mo><msup id="S2.SS1.p1.6.m6.3.3.2.2.2.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.6.m6.3.3.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.6.m6.3.3.2.2.2.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.6.m6.3.3.2.2.2.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S2.SS1.p1.6.m6.3.3.2.2.2.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.6.m6.3.3.2.2.2.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S2.SS1.p1.6.m6.3.3.2.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.6.m6.3.3.2.2.2.1.2.cmml">}</mo></mrow><mo id="S2.SS1.p1.6.m6.3.3.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.6.m6.3.3.2.2.2.2.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p1.6.m6.3.3.2.2.2.3" xref="S2.SS1.p1.6.m6.3.3.2.2.2.3.cmml">ℰ</mi></mrow><mo id="S2.SS1.p1.6.m6.3.3.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.6.m6.3.3.2.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.6.m6.3b"><apply id="S2.SS1.p1.6.m6.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.6.m6.3.3"><ci id="S2.SS1.p1.6.m6.3.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.6.m6.3.3.3">≔</ci><apply id="S2.SS1.p1.6.m6.3.3.4.cmml" xref="S2.SS1.p1.6.m6.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.6.m6.3.3.4.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.6.m6.3.3.4">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.6.m6.3.3.4.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.6.m6.3.3.4.2">𝒩</ci><ci id="S2.SS1.p1.6.m6.3.3.4.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.6.m6.3.3.4.3">𝑛</ci></apply><apply id="S2.SS1.p1.6.m6.3.3.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.6.m6.3.3.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS1.p1.6.m6.3.3.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.6.m6.3.3.2.2.3">conditional-set</csymbol><apply id="S2.SS1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.6.m6.2.2.1.1.1"><in id="S2.SS1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1"></in><apply id="S2.SS1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.2.2">𝑛</ci><ci id="S2.SS1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.2.3">′</ci></apply><ci id="S2.SS1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.3">𝒩</ci></apply><apply id="S2.SS1.p1.6.m6.3.3.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.6.m6.3.3.2.2.2"><in id="S2.SS1.p1.6.m6.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.6.m6.3.3.2.2.2.2"></in><set id="S2.SS1.p1.6.m6.3.3.2.2.2.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.6.m6.3.3.2.2.2.1.1"><ci id="S2.SS1.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.6.m6.1.1">𝑛</ci><apply id="S2.SS1.p1.6.m6.3.3.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.6.m6.3.3.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.6.m6.3.3.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.6.m6.3.3.2.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.6.m6.3.3.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.6.m6.3.3.2.2.2.1.1.1.2">𝑛</ci><ci id="S2.SS1.p1.6.m6.3.3.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.6.m6.3.3.2.2.2.1.1.1.3">′</ci></apply></set><ci id="S2.SS1.p1.6.m6.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.6.m6.3.3.2.2.2.3">ℰ</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.6.m6.3c">\mathcal{N}_{n}\coloneqq\{n^{\prime}\in\mathcal{N}{\mathbin{}\mid\mathbin{}}\{% n,n^{\prime}\}\in\mathcal{E}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.6.m6.3d">caligraphic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ≔ { italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ caligraphic_N ∣ { italic_n , italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT } ∈ caligraphic_E }</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.p2"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p2.11">All agents share a common surrounding environment <math alttext="\{\mathcal{S},\mathcal{A},g(\cdot)\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p2.1.m1.4"><semantics id="S2.SS1.p2.1.m1.4a"><mrow id="S2.SS1.p2.1.m1.4.4.1" xref="S2.SS1.p2.1.m1.4.4.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p2.1.m1.4.4.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p2.1.m1.4.4.2.cmml">{</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p2.1.m1.2.2" xref="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.cmml">𝒮</mi><mo id="S2.SS1.p2.1.m1.4.4.1.3" xref="S2.SS1.p2.1.m1.4.4.2.cmml">,</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p2.1.m1.3.3" xref="S2.SS1.p2.1.m1.3.3.cmml">𝒜</mi><mo id="S2.SS1.p2.1.m1.4.4.1.4" xref="S2.SS1.p2.1.m1.4.4.2.cmml">,</mo><mrow id="S2.SS1.p2.1.m1.4.4.1.1" xref="S2.SS1.p2.1.m1.4.4.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p2.1.m1.4.4.1.1.2" xref="S2.SS1.p2.1.m1.4.4.1.1.2.cmml">g</mi><mo id="S2.SS1.p2.1.m1.4.4.1.1.1" xref="S2.SS1.p2.1.m1.4.4.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.p2.1.m1.4.4.1.1.3.2" xref="S2.SS1.p2.1.m1.4.4.1.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p2.1.m1.4.4.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p2.1.m1.4.4.1.1.cmml">(</mo><mo id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="S2.SS1.p2.1.m1.4.4.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p2.1.m1.4.4.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS1.p2.1.m1.4.4.1.5" stretchy="false" xref="S2.SS1.p2.1.m1.4.4.2.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p2.1.m1.4b"><set id="S2.SS1.p2.1.m1.4.4.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.4.4.1"><ci id="S2.SS1.p2.1.m1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.2.2">𝒮</ci><ci id="S2.SS1.p2.1.m1.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.3.3">𝒜</ci><apply id="S2.SS1.p2.1.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.4.4.1.1"><times id="S2.SS1.p2.1.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.4.4.1.1.1"></times><ci id="S2.SS1.p2.1.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.4.4.1.1.2">𝑔</ci><ci id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1">⋅</ci></apply></set></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p2.1.m1.4c">\{\mathcal{S},\mathcal{A},g(\cdot)\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p2.1.m1.4d">{ caligraphic_S , caligraphic_A , italic_g ( ⋅ ) }</annotation></semantics></math>, where <math alttext="\mathcal{S}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p2.2.m2.1"><semantics id="S2.SS1.p2.2.m2.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p2.2.m2.1.1" xref="S2.SS1.p2.2.m2.1.1.cmml">𝒮</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p2.2.m2.1b"><ci id="S2.SS1.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.2.m2.1.1">𝒮</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p2.2.m2.1c">\mathcal{S}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p2.2.m2.1d">caligraphic_S</annotation></semantics></math> and <math alttext="\mathcal{A}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p2.3.m3.1"><semantics id="S2.SS1.p2.3.m3.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p2.3.m3.1.1" xref="S2.SS1.p2.3.m3.1.1.cmml">𝒜</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p2.3.m3.1b"><ci id="S2.SS1.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.3.m3.1.1">𝒜</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p2.3.m3.1c">\mathcal{A}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p2.3.m3.1d">caligraphic_A</annotation></semantics></math> stand for the state and action space, respectively, and <math alttext="g(\cdot)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p2.4.m4.1"><semantics id="S2.SS1.p2.4.m4.1a"><mrow id="S2.SS1.p2.4.m4.1.2" xref="S2.SS1.p2.4.m4.1.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p2.4.m4.1.2.2" xref="S2.SS1.p2.4.m4.1.2.2.cmml">g</mi><mo id="S2.SS1.p2.4.m4.1.2.1" xref="S2.SS1.p2.4.m4.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.p2.4.m4.1.2.3.2" xref="S2.SS1.p2.4.m4.1.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p2.4.m4.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p2.4.m4.1.2.cmml">(</mo><mo id="S2.SS1.p2.4.m4.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S2.SS1.p2.4.m4.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="S2.SS1.p2.4.m4.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p2.4.m4.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p2.4.m4.1b"><apply id="S2.SS1.p2.4.m4.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.4.m4.1.2"><times id="S2.SS1.p2.4.m4.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.4.m4.1.2.1"></times><ci id="S2.SS1.p2.4.m4.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.4.m4.1.2.2">𝑔</ci><ci id="S2.SS1.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.4.m4.1.1">⋅</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p2.4.m4.1c">g(\cdot)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p2.4.m4.1d">italic_g ( ⋅ )</annotation></semantics></math> is the one-step loss function. The state-action space is defined as <math alttext="\mathcal{Z}\coloneqq\mathcal{S}\times\mathcal{A}\coloneqq\{\mathbf{z}\coloneqq% (\mathbf{s},a){\mathbin{}\mid\mathbin{}}\mathbf{s}\in\mathcal{S},a\in\mathcal{% A}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p2.5.m5.4"><semantics id="S2.SS1.p2.5.m5.4a"><mrow id="S2.SS1.p2.5.m5.4.4" xref="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.4" xref="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.4.cmml">𝒵</mi><mo id="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.5" xref="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.5.cmml">≔</mo><mrow id="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.6" xref="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.6.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.6.2" xref="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.6.2.cmml">𝒮</mi><mo id="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.6.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.6.1.cmml">×</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.6.3" xref="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.6.3.cmml">𝒜</mi></mrow><mo id="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.7" xref="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.7.cmml">≔</mo><mrow id="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.2.2" xref="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.2.3.cmml"><mo id="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.2.3.1.cmml">{</mo><mrow id="S2.SS1.p2.5.m5.3.3.1.1.1" xref="S2.SS1.p2.5.m5.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p2.5.m5.3.3.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p2.5.m5.3.3.1.1.1.2.cmml">𝐳</mi><mo id="S2.SS1.p2.5.m5.3.3.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p2.5.m5.3.3.1.1.1.1.cmml">≔</mo><mrow id="S2.SS1.p2.5.m5.3.3.1.1.1.3.2" xref="S2.SS1.p2.5.m5.3.3.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p2.5.m5.3.3.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p2.5.m5.3.3.1.1.1.3.1.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p2.5.m5.1.1" xref="S2.SS1.p2.5.m5.1.1.cmml">𝐬</mi><mo id="S2.SS1.p2.5.m5.3.3.1.1.1.3.2.2" xref="S2.SS1.p2.5.m5.3.3.1.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.SS1.p2.5.m5.2.2" xref="S2.SS1.p2.5.m5.2.2.cmml">a</mi><mo id="S2.SS1.p2.5.m5.3.3.1.1.1.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.p2.5.m5.3.3.1.1.1.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo fence="true" id="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.2.2.4" lspace="0em" rspace="0em" xref="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.2.3.1.cmml">∣</mo><mrow id="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.2.2.2.3.cmml"><mrow id="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.2.2.2.1.1" xref="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.2.2.2.1.1.2" xref="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.2.2.2.1.1.2.cmml">𝐬</mi><mo id="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.2.2.2.1.1.1" xref="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.2.2.2.1.1.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.2.2.2.1.1.3" xref="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.2.2.2.1.1.3.cmml">𝒮</mi></mrow><mo id="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.2.2.2.2.3" xref="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.2.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.2.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.2.2.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.2.2.2.2.2.2.cmml">a</mi><mo id="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.2.2.2.2.2.1" xref="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.2.2.2.2.2.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.2.2.2.2.2.3" xref="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.2.2.2.2.2.3.cmml">𝒜</mi></mrow></mrow><mo id="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.2.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p2.5.m5.4b"><apply id="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.cmml" xref="S2.SS1.p2.5.m5.4.4"><and id="S2.SS1.p2.5.m5.4.4a.cmml" xref="S2.SS1.p2.5.m5.4.4"></and><apply id="S2.SS1.p2.5.m5.4.4b.cmml" xref="S2.SS1.p2.5.m5.4.4"><ci id="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.5.cmml" xref="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.5">≔</ci><ci id="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.4.cmml" xref="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.4">𝒵</ci><apply id="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.6.cmml" xref="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.6"><times id="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.6.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.6.1"></times><ci id="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.6.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.6.2">𝒮</ci><ci id="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.6.3.cmml" xref="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.6.3">𝒜</ci></apply></apply><apply id="S2.SS1.p2.5.m5.4.4c.cmml" xref="S2.SS1.p2.5.m5.4.4"><ci id="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.7.cmml" xref="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.7">≔</ci><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S2.SS1.p2.5.m5.4.4.6.cmml" id="S2.SS1.p2.5.m5.4.4d.cmml" xref="S2.SS1.p2.5.m5.4.4"></share><apply id="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.2.2.3">conditional-set</csymbol><apply id="S2.SS1.p2.5.m5.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.5.m5.3.3.1.1.1"><ci id="S2.SS1.p2.5.m5.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.5.m5.3.3.1.1.1.1">≔</ci><ci id="S2.SS1.p2.5.m5.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.5.m5.3.3.1.1.1.2">𝐳</ci><interval closure="open" id="S2.SS1.p2.5.m5.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.5.m5.3.3.1.1.1.3.2"><ci id="S2.SS1.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.5.m5.1.1">𝐬</ci><ci id="S2.SS1.p2.5.m5.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.5.m5.2.2">𝑎</ci></interval></apply><apply id="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.2.2.2.3a.cmml" xref="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.2.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.2.2.2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.2.2.2.1.1"><in id="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.2.2.2.1.1.1"></in><ci id="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.2.2.2.1.1.2">𝐬</ci><ci id="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.2.2.2.1.1.3">𝒮</ci></apply><apply id="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.2.2.2.2.2"><in id="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.2.2.2.2.2.1"></in><ci id="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.2.2.2.2.2.2">𝑎</ci><ci id="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p2.5.m5.4.4.2.2.2.2.2.3">𝒜</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p2.5.m5.4c">\mathcal{Z}\coloneqq\mathcal{S}\times\mathcal{A}\coloneqq\{\mathbf{z}\coloneqq% (\mathbf{s},a){\mathbin{}\mid\mathbin{}}\mathbf{s}\in\mathcal{S},a\in\mathcal{% A}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p2.5.m5.4d">caligraphic_Z ≔ caligraphic_S × caligraphic_A ≔ { bold_z ≔ ( bold_s , italic_a ) ∣ bold_s ∈ caligraphic_S , italic_a ∈ caligraphic_A }</annotation></semantics></math>. A state and action at agent <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p2.6.m6.1"><semantics id="S2.SS1.p2.6.m6.1a"><mi id="S2.SS1.p2.6.m6.1.1" xref="S2.SS1.p2.6.m6.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p2.6.m6.1b"><ci id="S2.SS1.p2.6.m6.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.6.m6.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p2.6.m6.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p2.6.m6.1d">italic_n</annotation></semantics></math> will be denoted henceforth by <math alttext="\mathbf{s}_{i}^{(n)}\in\mathcal{S}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p2.7.m7.1"><semantics id="S2.SS1.p2.7.m7.1a"><mrow id="S2.SS1.p2.7.m7.1.2" xref="S2.SS1.p2.7.m7.1.2.cmml"><msubsup id="S2.SS1.p2.7.m7.1.2.2" xref="S2.SS1.p2.7.m7.1.2.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p2.7.m7.1.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p2.7.m7.1.2.2.2.2.cmml">𝐬</mi><mi id="S2.SS1.p2.7.m7.1.2.2.2.3" xref="S2.SS1.p2.7.m7.1.2.2.2.3.cmml">i</mi><mrow id="S2.SS1.p2.7.m7.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p2.7.m7.1.2.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p2.7.m7.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p2.7.m7.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p2.7.m7.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p2.7.m7.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.SS1.p2.7.m7.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p2.7.m7.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S2.SS1.p2.7.m7.1.2.1" xref="S2.SS1.p2.7.m7.1.2.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p2.7.m7.1.2.3" xref="S2.SS1.p2.7.m7.1.2.3.cmml">𝒮</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p2.7.m7.1b"><apply id="S2.SS1.p2.7.m7.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.7.m7.1.2"><in id="S2.SS1.p2.7.m7.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.7.m7.1.2.1"></in><apply id="S2.SS1.p2.7.m7.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.7.m7.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p2.7.m7.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.7.m7.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S2.SS1.p2.7.m7.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.7.m7.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p2.7.m7.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.7.m7.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p2.7.m7.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.7.m7.1.2.2.2.2">𝐬</ci><ci id="S2.SS1.p2.7.m7.1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p2.7.m7.1.2.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S2.SS1.p2.7.m7.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.7.m7.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><ci id="S2.SS1.p2.7.m7.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p2.7.m7.1.2.3">𝒮</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p2.7.m7.1c">\mathbf{s}_{i}^{(n)}\in\mathcal{S}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p2.7.m7.1d">bold_s start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ∈ caligraphic_S</annotation></semantics></math> and <math alttext="a_{i}^{(n)}\in\mathcal{A}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p2.8.m8.1"><semantics id="S2.SS1.p2.8.m8.1a"><mrow id="S2.SS1.p2.8.m8.1.2" xref="S2.SS1.p2.8.m8.1.2.cmml"><msubsup id="S2.SS1.p2.8.m8.1.2.2" xref="S2.SS1.p2.8.m8.1.2.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p2.8.m8.1.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p2.8.m8.1.2.2.2.2.cmml">a</mi><mi id="S2.SS1.p2.8.m8.1.2.2.2.3" xref="S2.SS1.p2.8.m8.1.2.2.2.3.cmml">i</mi><mrow id="S2.SS1.p2.8.m8.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p2.8.m8.1.2.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p2.8.m8.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p2.8.m8.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p2.8.m8.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p2.8.m8.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.SS1.p2.8.m8.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p2.8.m8.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S2.SS1.p2.8.m8.1.2.1" xref="S2.SS1.p2.8.m8.1.2.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p2.8.m8.1.2.3" xref="S2.SS1.p2.8.m8.1.2.3.cmml">𝒜</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p2.8.m8.1b"><apply id="S2.SS1.p2.8.m8.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.8.m8.1.2"><in id="S2.SS1.p2.8.m8.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.8.m8.1.2.1"></in><apply id="S2.SS1.p2.8.m8.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.8.m8.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p2.8.m8.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.8.m8.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S2.SS1.p2.8.m8.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.8.m8.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p2.8.m8.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.8.m8.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p2.8.m8.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.8.m8.1.2.2.2.2">𝑎</ci><ci id="S2.SS1.p2.8.m8.1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p2.8.m8.1.2.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S2.SS1.p2.8.m8.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.8.m8.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><ci id="S2.SS1.p2.8.m8.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p2.8.m8.1.2.3">𝒜</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p2.8.m8.1c">a_{i}^{(n)}\in\mathcal{A}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p2.8.m8.1d">italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ∈ caligraphic_A</annotation></semantics></math>, respectively, where <math alttext="i" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p2.9.m9.1"><semantics id="S2.SS1.p2.9.m9.1a"><mi id="S2.SS1.p2.9.m9.1.1" xref="S2.SS1.p2.9.m9.1.1.cmml">i</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p2.9.m9.1b"><ci id="S2.SS1.p2.9.m9.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.9.m9.1.1">𝑖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p2.9.m9.1c">i</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p2.9.m9.1d">italic_i</annotation></semantics></math> serves as a non-negative integer ordering index, as in sequences <math alttext="(\mathbf{s}_{i}^{(n)})_{i=0}^{\infty}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p2.10.m10.2"><semantics id="S2.SS1.p2.10.m10.2a"><msubsup id="S2.SS1.p2.10.m10.2.2" xref="S2.SS1.p2.10.m10.2.2.cmml"><mrow id="S2.SS1.p2.10.m10.2.2.1.1.1" xref="S2.SS1.p2.10.m10.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p2.10.m10.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p2.10.m10.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="S2.SS1.p2.10.m10.2.2.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p2.10.m10.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p2.10.m10.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="S2.SS1.p2.10.m10.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐬</mi><mi id="S2.SS1.p2.10.m10.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="S2.SS1.p2.10.m10.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi><mrow id="S2.SS1.p2.10.m10.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p2.10.m10.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p2.10.m10.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p2.10.m10.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p2.10.m10.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p2.10.m10.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.SS1.p2.10.m10.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p2.10.m10.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S2.SS1.p2.10.m10.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.p2.10.m10.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S2.SS1.p2.10.m10.2.2.1.3" xref="S2.SS1.p2.10.m10.2.2.1.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p2.10.m10.2.2.1.3.2" xref="S2.SS1.p2.10.m10.2.2.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.SS1.p2.10.m10.2.2.1.3.1" xref="S2.SS1.p2.10.m10.2.2.1.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.SS1.p2.10.m10.2.2.1.3.3" xref="S2.SS1.p2.10.m10.2.2.1.3.3.cmml">0</mn></mrow><mi id="S2.SS1.p2.10.m10.2.2.3" mathvariant="normal" xref="S2.SS1.p2.10.m10.2.2.3.cmml">∞</mi></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p2.10.m10.2b"><apply id="S2.SS1.p2.10.m10.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.10.m10.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p2.10.m10.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.10.m10.2.2">superscript</csymbol><apply id="S2.SS1.p2.10.m10.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.10.m10.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p2.10.m10.2.2.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.10.m10.2.2">subscript</csymbol><apply id="S2.SS1.p2.10.m10.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.10.m10.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p2.10.m10.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.10.m10.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.SS1.p2.10.m10.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.10.m10.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p2.10.m10.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.10.m10.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p2.10.m10.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.10.m10.2.2.1.1.1.1.2.2">𝐬</ci><ci id="S2.SS1.p2.10.m10.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p2.10.m10.2.2.1.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S2.SS1.p2.10.m10.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.10.m10.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S2.SS1.p2.10.m10.2.2.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p2.10.m10.2.2.1.3"><eq id="S2.SS1.p2.10.m10.2.2.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.10.m10.2.2.1.3.1"></eq><ci id="S2.SS1.p2.10.m10.2.2.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.10.m10.2.2.1.3.2">𝑖</ci><cn id="S2.SS1.p2.10.m10.2.2.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p2.10.m10.2.2.1.3.3">0</cn></apply></apply><infinity id="S2.SS1.p2.10.m10.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p2.10.m10.2.2.3"></infinity></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p2.10.m10.2c">(\mathbf{s}_{i}^{(n)})_{i=0}^{\infty}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p2.10.m10.2d">( bold_s start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∞ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="(a_{i}^{(n)})_{i=0}^{\infty}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p2.11.m11.2"><semantics id="S2.SS1.p2.11.m11.2a"><msubsup id="S2.SS1.p2.11.m11.2.2" xref="S2.SS1.p2.11.m11.2.2.cmml"><mrow id="S2.SS1.p2.11.m11.2.2.1.1.1" xref="S2.SS1.p2.11.m11.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p2.11.m11.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p2.11.m11.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="S2.SS1.p2.11.m11.2.2.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p2.11.m11.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p2.11.m11.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="S2.SS1.p2.11.m11.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">a</mi><mi id="S2.SS1.p2.11.m11.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="S2.SS1.p2.11.m11.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi><mrow id="S2.SS1.p2.11.m11.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p2.11.m11.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p2.11.m11.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p2.11.m11.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p2.11.m11.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p2.11.m11.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.SS1.p2.11.m11.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p2.11.m11.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S2.SS1.p2.11.m11.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.p2.11.m11.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S2.SS1.p2.11.m11.2.2.1.3" xref="S2.SS1.p2.11.m11.2.2.1.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p2.11.m11.2.2.1.3.2" xref="S2.SS1.p2.11.m11.2.2.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.SS1.p2.11.m11.2.2.1.3.1" xref="S2.SS1.p2.11.m11.2.2.1.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.SS1.p2.11.m11.2.2.1.3.3" xref="S2.SS1.p2.11.m11.2.2.1.3.3.cmml">0</mn></mrow><mi id="S2.SS1.p2.11.m11.2.2.3" mathvariant="normal" xref="S2.SS1.p2.11.m11.2.2.3.cmml">∞</mi></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p2.11.m11.2b"><apply id="S2.SS1.p2.11.m11.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.11.m11.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p2.11.m11.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.11.m11.2.2">superscript</csymbol><apply id="S2.SS1.p2.11.m11.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.11.m11.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p2.11.m11.2.2.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.11.m11.2.2">subscript</csymbol><apply id="S2.SS1.p2.11.m11.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.11.m11.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p2.11.m11.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.11.m11.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.SS1.p2.11.m11.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.11.m11.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p2.11.m11.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.11.m11.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p2.11.m11.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.11.m11.2.2.1.1.1.1.2.2">𝑎</ci><ci id="S2.SS1.p2.11.m11.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p2.11.m11.2.2.1.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S2.SS1.p2.11.m11.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.11.m11.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S2.SS1.p2.11.m11.2.2.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p2.11.m11.2.2.1.3"><eq id="S2.SS1.p2.11.m11.2.2.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.11.m11.2.2.1.3.1"></eq><ci id="S2.SS1.p2.11.m11.2.2.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.11.m11.2.2.1.3.2">𝑖</ci><cn id="S2.SS1.p2.11.m11.2.2.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p2.11.m11.2.2.1.3.3">0</cn></apply></apply><infinity id="S2.SS1.p2.11.m11.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p2.11.m11.2.2.3"></infinity></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p2.11.m11.2c">(a_{i}^{(n)})_{i=0}^{\infty}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p2.11.m11.2d">( italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∞ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, for example.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.p3"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p3.9">Agent <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p3.1.m1.1"><semantics id="S2.SS1.p3.1.m1.1a"><mi id="S2.SS1.p3.1.m1.1.1" xref="S2.SS1.p3.1.m1.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p3.1.m1.1b"><ci id="S2.SS1.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.1.m1.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p3.1.m1.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p3.1.m1.1d">italic_n</annotation></semantics></math> uses its current state <math alttext="\mathbf{s}_{i}^{(n)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p3.2.m2.1"><semantics id="S2.SS1.p3.2.m2.1a"><msubsup id="S2.SS1.p3.2.m2.1.2" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p3.2.m2.1.2.2.2" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.2.2.2.cmml">𝐬</mi><mi id="S2.SS1.p3.2.m2.1.2.2.3" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.2.2.3.cmml">i</mi><mrow id="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p3.2.m2.1b"><apply id="S2.SS1.p3.2.m2.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p3.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.2">superscript</csymbol><apply id="S2.SS1.p3.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p3.2.m2.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p3.2.m2.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.2.2.2">𝐬</ci><ci id="S2.SS1.p3.2.m2.1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p3.2.m2.1c">\mathbf{s}_{i}^{(n)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p3.2.m2.1d">bold_s start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and policy <math alttext="\mu^{(n)}\colon\mathcal{S}\to\mathcal{A}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p3.3.m3.1"><semantics id="S2.SS1.p3.3.m3.1a"><mrow id="S2.SS1.p3.3.m3.1.2" xref="S2.SS1.p3.3.m3.1.2.cmml"><msup id="S2.SS1.p3.3.m3.1.2.2" xref="S2.SS1.p3.3.m3.1.2.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p3.3.m3.1.2.2.2" xref="S2.SS1.p3.3.m3.1.2.2.2.cmml">μ</mi><mrow id="S2.SS1.p3.3.m3.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p3.3.m3.1.2.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p3.3.m3.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p3.3.m3.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.SS1.p3.3.m3.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p3.3.m3.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S2.SS1.p3.3.m3.1.2.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.SS1.p3.3.m3.1.2.1.cmml">:</mo><mrow id="S2.SS1.p3.3.m3.1.2.3" xref="S2.SS1.p3.3.m3.1.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p3.3.m3.1.2.3.2" xref="S2.SS1.p3.3.m3.1.2.3.2.cmml">𝒮</mi><mo id="S2.SS1.p3.3.m3.1.2.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p3.3.m3.1.2.3.1.cmml">→</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p3.3.m3.1.2.3.3" xref="S2.SS1.p3.3.m3.1.2.3.3.cmml">𝒜</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p3.3.m3.1b"><apply id="S2.SS1.p3.3.m3.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.3.m3.1.2"><ci id="S2.SS1.p3.3.m3.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.3.m3.1.2.1">:</ci><apply id="S2.SS1.p3.3.m3.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.3.m3.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p3.3.m3.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.3.m3.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p3.3.m3.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.3.m3.1.2.2.2">𝜇</ci><ci id="S2.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S2.SS1.p3.3.m3.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.3.m3.1.2.3"><ci id="S2.SS1.p3.3.m3.1.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.3.m3.1.2.3.1">→</ci><ci id="S2.SS1.p3.3.m3.1.2.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.3.m3.1.2.3.2">𝒮</ci><ci id="S2.SS1.p3.3.m3.1.2.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.3.m3.1.2.3.3">𝒜</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p3.3.m3.1c">\mu^{(n)}\colon\mathcal{S}\to\mathcal{A}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p3.3.m3.1d">italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT : caligraphic_S → caligraphic_A</annotation></semantics></math> to take action <math alttext="a_{i}^{(n)}\coloneqq\mu^{(n)}(\mathbf{s}_{i}^{(n)})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p3.4.m4.4"><semantics id="S2.SS1.p3.4.m4.4a"><mrow id="S2.SS1.p3.4.m4.4.4" xref="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.cmml"><msubsup id="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.3" xref="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.3.2.2" xref="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.3.2.2.cmml">a</mi><mi id="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.3.2.3" xref="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.3.2.3.cmml">i</mi><mrow id="S2.SS1.p3.4.m4.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.3.cmml"><mo id="S2.SS1.p3.4.m4.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.3.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p3.4.m4.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p3.4.m4.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.SS1.p3.4.m4.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.2" xref="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.2.cmml">≔</mo><mrow id="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.1" xref="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.1.cmml"><msup id="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.1.3" xref="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.1.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.1.3.2" xref="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.1.3.2.cmml">μ</mi><mrow id="S2.SS1.p3.4.m4.2.2.1.3" xref="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.1.3.cmml"><mo id="S2.SS1.p3.4.m4.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.1.3.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p3.4.m4.2.2.1.1" xref="S2.SS1.p3.4.m4.2.2.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.SS1.p3.4.m4.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.1.3.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.1.2" xref="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.1.1.1" xref="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.1.1.1.1.2.2" xref="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐬</mi><mi id="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.1.1.1.1.2.3" xref="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi><mrow id="S2.SS1.p3.4.m4.3.3.1.3" xref="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p3.4.m4.3.3.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p3.4.m4.3.3.1.1" xref="S2.SS1.p3.4.m4.3.3.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.SS1.p3.4.m4.3.3.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p3.4.m4.4b"><apply id="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.cmml" xref="S2.SS1.p3.4.m4.4.4"><ci id="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.2">≔</ci><apply id="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.3">superscript</csymbol><apply id="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.3.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.3.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.3.2.2">𝑎</ci><ci id="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.3.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.3.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S2.SS1.p3.4.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.4.m4.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.1"><times id="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.1.2"></times><apply id="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.1.3.2">𝜇</ci><ci id="S2.SS1.p3.4.m4.2.2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.4.m4.2.2.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.1.1.1.1.2.2">𝐬</ci><ci id="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.4.m4.4.4.1.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S2.SS1.p3.4.m4.3.3.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.4.m4.3.3.1.1">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p3.4.m4.4c">a_{i}^{(n)}\coloneqq\mu^{(n)}(\mathbf{s}_{i}^{(n)})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p3.4.m4.4d">italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ≔ italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ( bold_s start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>. Then, the environment provides feedback <math alttext="g_{i}^{(n)}\coloneqq g(\mathbf{z}_{i}^{(n)})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p3.5.m5.3"><semantics id="S2.SS1.p3.5.m5.3a"><mrow id="S2.SS1.p3.5.m5.3.3" xref="S2.SS1.p3.5.m5.3.3.cmml"><msubsup id="S2.SS1.p3.5.m5.3.3.3" xref="S2.SS1.p3.5.m5.3.3.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p3.5.m5.3.3.3.2.2" xref="S2.SS1.p3.5.m5.3.3.3.2.2.cmml">g</mi><mi id="S2.SS1.p3.5.m5.3.3.3.2.3" xref="S2.SS1.p3.5.m5.3.3.3.2.3.cmml">i</mi><mrow id="S2.SS1.p3.5.m5.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p3.5.m5.3.3.3.cmml"><mo id="S2.SS1.p3.5.m5.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p3.5.m5.3.3.3.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p3.5.m5.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p3.5.m5.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.SS1.p3.5.m5.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p3.5.m5.3.3.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S2.SS1.p3.5.m5.3.3.2" xref="S2.SS1.p3.5.m5.3.3.2.cmml">≔</mo><mrow id="S2.SS1.p3.5.m5.3.3.1" xref="S2.SS1.p3.5.m5.3.3.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p3.5.m5.3.3.1.3" xref="S2.SS1.p3.5.m5.3.3.1.3.cmml">g</mi><mo id="S2.SS1.p3.5.m5.3.3.1.2" xref="S2.SS1.p3.5.m5.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.p3.5.m5.3.3.1.1.1" xref="S2.SS1.p3.5.m5.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p3.5.m5.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p3.5.m5.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="S2.SS1.p3.5.m5.3.3.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p3.5.m5.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p3.5.m5.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="S2.SS1.p3.5.m5.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐳</mi><mi id="S2.SS1.p3.5.m5.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="S2.SS1.p3.5.m5.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi><mrow id="S2.SS1.p3.5.m5.2.2.1.3" xref="S2.SS1.p3.5.m5.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p3.5.m5.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p3.5.m5.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p3.5.m5.2.2.1.1" xref="S2.SS1.p3.5.m5.2.2.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.SS1.p3.5.m5.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p3.5.m5.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S2.SS1.p3.5.m5.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" 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id="S2.SS1.p3.5.m5.3.3.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.5.m5.3.3.1.3">𝑔</ci><apply id="S2.SS1.p3.5.m5.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.5.m5.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p3.5.m5.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.5.m5.3.3.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.SS1.p3.5.m5.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.5.m5.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p3.5.m5.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.5.m5.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p3.5.m5.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.5.m5.3.3.1.1.1.1.2.2">𝐳</ci><ci id="S2.SS1.p3.5.m5.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.5.m5.3.3.1.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S2.SS1.p3.5.m5.2.2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.5.m5.2.2.1.1">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p3.5.m5.3c">g_{i}^{(n)}\coloneqq g(\mathbf{z}_{i}^{(n)})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p3.5.m5.3d">italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ≔ italic_g ( bold_z start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> to the agent, with <math alttext="\mathbf{z}_{i}^{(n)}\coloneqq(\mathbf{s}_{i}^{(n)},a_{i}^{(n)})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p3.6.m6.5"><semantics id="S2.SS1.p3.6.m6.5a"><mrow id="S2.SS1.p3.6.m6.5.5" xref="S2.SS1.p3.6.m6.5.5.cmml"><msubsup id="S2.SS1.p3.6.m6.5.5.4" xref="S2.SS1.p3.6.m6.5.5.4.cmml"><mi id="S2.SS1.p3.6.m6.5.5.4.2.2" xref="S2.SS1.p3.6.m6.5.5.4.2.2.cmml">𝐳</mi><mi id="S2.SS1.p3.6.m6.5.5.4.2.3" xref="S2.SS1.p3.6.m6.5.5.4.2.3.cmml">i</mi><mrow id="S2.SS1.p3.6.m6.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p3.6.m6.5.5.4.cmml"><mo id="S2.SS1.p3.6.m6.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p3.6.m6.5.5.4.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p3.6.m6.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p3.6.m6.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.SS1.p3.6.m6.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p3.6.m6.5.5.4.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S2.SS1.p3.6.m6.5.5.3" xref="S2.SS1.p3.6.m6.5.5.3.cmml">≔</mo><mrow id="S2.SS1.p3.6.m6.5.5.2.2" xref="S2.SS1.p3.6.m6.5.5.2.3.cmml"><mo id="S2.SS1.p3.6.m6.5.5.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.p3.6.m6.5.5.2.3.cmml">(</mo><msubsup id="S2.SS1.p3.6.m6.4.4.1.1.1" xref="S2.SS1.p3.6.m6.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p3.6.m6.4.4.1.1.1.2.2" xref="S2.SS1.p3.6.m6.4.4.1.1.1.2.2.cmml">𝐬</mi><mi id="S2.SS1.p3.6.m6.4.4.1.1.1.2.3" xref="S2.SS1.p3.6.m6.4.4.1.1.1.2.3.cmml">i</mi><mrow id="S2.SS1.p3.6.m6.2.2.1.3" xref="S2.SS1.p3.6.m6.4.4.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p3.6.m6.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p3.6.m6.4.4.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p3.6.m6.2.2.1.1" xref="S2.SS1.p3.6.m6.2.2.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.SS1.p3.6.m6.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p3.6.m6.4.4.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S2.SS1.p3.6.m6.5.5.2.2.4" xref="S2.SS1.p3.6.m6.5.5.2.3.cmml">,</mo><msubsup id="S2.SS1.p3.6.m6.5.5.2.2.2" xref="S2.SS1.p3.6.m6.5.5.2.2.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p3.6.m6.5.5.2.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p3.6.m6.5.5.2.2.2.2.2.cmml">a</mi><mi id="S2.SS1.p3.6.m6.5.5.2.2.2.2.3" xref="S2.SS1.p3.6.m6.5.5.2.2.2.2.3.cmml">i</mi><mrow id="S2.SS1.p3.6.m6.3.3.1.3" xref="S2.SS1.p3.6.m6.5.5.2.2.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p3.6.m6.3.3.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p3.6.m6.5.5.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p3.6.m6.3.3.1.1" xref="S2.SS1.p3.6.m6.3.3.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.SS1.p3.6.m6.3.3.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p3.6.m6.5.5.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S2.SS1.p3.6.m6.5.5.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.SS1.p3.6.m6.5.5.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p3.6.m6.5b"><apply id="S2.SS1.p3.6.m6.5.5.cmml" xref="S2.SS1.p3.6.m6.5.5"><ci id="S2.SS1.p3.6.m6.5.5.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.6.m6.5.5.3">≔</ci><apply id="S2.SS1.p3.6.m6.5.5.4.cmml" xref="S2.SS1.p3.6.m6.5.5.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p3.6.m6.5.5.4.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.6.m6.5.5.4">superscript</csymbol><apply id="S2.SS1.p3.6.m6.5.5.4.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.6.m6.5.5.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p3.6.m6.5.5.4.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.6.m6.5.5.4">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p3.6.m6.5.5.4.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.6.m6.5.5.4.2.2">𝐳</ci><ci id="S2.SS1.p3.6.m6.5.5.4.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.6.m6.5.5.4.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S2.SS1.p3.6.m6.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.6.m6.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><interval closure="open" id="S2.SS1.p3.6.m6.5.5.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.6.m6.5.5.2.2"><apply id="S2.SS1.p3.6.m6.4.4.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.6.m6.4.4.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p3.6.m6.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.6.m6.4.4.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.SS1.p3.6.m6.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.6.m6.4.4.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p3.6.m6.4.4.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.6.m6.4.4.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p3.6.m6.4.4.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.6.m6.4.4.1.1.1.2.2">𝐬</ci><ci id="S2.SS1.p3.6.m6.4.4.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.6.m6.4.4.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S2.SS1.p3.6.m6.2.2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.6.m6.2.2.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S2.SS1.p3.6.m6.5.5.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.6.m6.5.5.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p3.6.m6.5.5.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.6.m6.5.5.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S2.SS1.p3.6.m6.5.5.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.6.m6.5.5.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p3.6.m6.5.5.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.6.m6.5.5.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p3.6.m6.5.5.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.6.m6.5.5.2.2.2.2.2">𝑎</ci><ci id="S2.SS1.p3.6.m6.5.5.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.6.m6.5.5.2.2.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S2.SS1.p3.6.m6.3.3.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.6.m6.3.3.1.1">𝑛</ci></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p3.6.m6.5c">\mathbf{z}_{i}^{(n)}\coloneqq(\mathbf{s}_{i}^{(n)},a_{i}^{(n)})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p3.6.m6.5d">bold_z start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ≔ ( bold_s start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT , italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>, via the one-step loss <math alttext="g\colon\mathcal{Z}\to\mathbb{R}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p3.7.m7.1"><semantics id="S2.SS1.p3.7.m7.1a"><mrow id="S2.SS1.p3.7.m7.1.1" xref="S2.SS1.p3.7.m7.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p3.7.m7.1.1.2" xref="S2.SS1.p3.7.m7.1.1.2.cmml">g</mi><mo id="S2.SS1.p3.7.m7.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.SS1.p3.7.m7.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="S2.SS1.p3.7.m7.1.1.3" xref="S2.SS1.p3.7.m7.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p3.7.m7.1.1.3.2" xref="S2.SS1.p3.7.m7.1.1.3.2.cmml">𝒵</mi><mo id="S2.SS1.p3.7.m7.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p3.7.m7.1.1.3.1.cmml">→</mo><mi id="S2.SS1.p3.7.m7.1.1.3.3" xref="S2.SS1.p3.7.m7.1.1.3.3.cmml">ℝ</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p3.7.m7.1b"><apply id="S2.SS1.p3.7.m7.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.7.m7.1.1"><ci id="S2.SS1.p3.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.7.m7.1.1.1">:</ci><ci id="S2.SS1.p3.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.7.m7.1.1.2">𝑔</ci><apply id="S2.SS1.p3.7.m7.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.7.m7.1.1.3"><ci id="S2.SS1.p3.7.m7.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.7.m7.1.1.3.1">→</ci><ci id="S2.SS1.p3.7.m7.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.7.m7.1.1.3.2">𝒵</ci><ci id="S2.SS1.p3.7.m7.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.7.m7.1.1.3.3">ℝ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p3.7.m7.1c">g\colon\mathcal{Z}\to\mathbb{R}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p3.7.m7.1d">italic_g : caligraphic_Z → blackboard_R</annotation></semantics></math>, for the agent to transition to the new state <math alttext="\mathbf{s}_{i}^{(n)\prime}\coloneqq\mathbf{s}_{i+1}^{(n)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p3.8.m8.4"><semantics id="S2.SS1.p3.8.m8.4a"><mrow id="S2.SS1.p3.8.m8.4.5" xref="S2.SS1.p3.8.m8.4.5.cmml"><msubsup id="S2.SS1.p3.8.m8.4.5.2" xref="S2.SS1.p3.8.m8.4.5.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p3.8.m8.4.5.2.2.2" xref="S2.SS1.p3.8.m8.4.5.2.2.2.cmml">𝐬</mi><mi id="S2.SS1.p3.8.m8.4.5.2.2.3" xref="S2.SS1.p3.8.m8.4.5.2.2.3.cmml">i</mi><mrow id="S2.SS1.p3.8.m8.3.3.3.3" xref="S2.SS1.p3.8.m8.3.3.3.4.cmml"><mrow id="S2.SS1.p3.8.m8.2.2.2.2.1.2" xref="S2.SS1.p3.8.m8.3.3.3.4.cmml"><mo id="S2.SS1.p3.8.m8.2.2.2.2.1.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p3.8.m8.3.3.3.4.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p3.8.m8.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p3.8.m8.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.SS1.p3.8.m8.2.2.2.2.1.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p3.8.m8.3.3.3.4.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.SS1.p3.8.m8.3.3.3.3.3" lspace="0em" xref="S2.SS1.p3.8.m8.3.3.3.4.cmml">⁣</mo><mo id="S2.SS1.p3.8.m8.3.3.3.3.2" mathsize="142%" xref="S2.SS1.p3.8.m8.3.3.3.3.2.cmml">′</mo></mrow></msubsup><mo id="S2.SS1.p3.8.m8.4.5.1" xref="S2.SS1.p3.8.m8.4.5.1.cmml">≔</mo><msubsup id="S2.SS1.p3.8.m8.4.5.3" xref="S2.SS1.p3.8.m8.4.5.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p3.8.m8.4.5.3.2.2" xref="S2.SS1.p3.8.m8.4.5.3.2.2.cmml">𝐬</mi><mrow id="S2.SS1.p3.8.m8.4.5.3.2.3" xref="S2.SS1.p3.8.m8.4.5.3.2.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p3.8.m8.4.5.3.2.3.2" xref="S2.SS1.p3.8.m8.4.5.3.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.SS1.p3.8.m8.4.5.3.2.3.1" xref="S2.SS1.p3.8.m8.4.5.3.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S2.SS1.p3.8.m8.4.5.3.2.3.3" xref="S2.SS1.p3.8.m8.4.5.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="S2.SS1.p3.8.m8.4.4.1.3" xref="S2.SS1.p3.8.m8.4.5.3.cmml"><mo id="S2.SS1.p3.8.m8.4.4.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p3.8.m8.4.5.3.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p3.8.m8.4.4.1.1" xref="S2.SS1.p3.8.m8.4.4.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.SS1.p3.8.m8.4.4.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p3.8.m8.4.5.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p3.8.m8.4b"><apply id="S2.SS1.p3.8.m8.4.5.cmml" xref="S2.SS1.p3.8.m8.4.5"><ci id="S2.SS1.p3.8.m8.4.5.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.8.m8.4.5.1">≔</ci><apply id="S2.SS1.p3.8.m8.4.5.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.8.m8.4.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p3.8.m8.4.5.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.8.m8.4.5.2">superscript</csymbol><apply id="S2.SS1.p3.8.m8.4.5.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.8.m8.4.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p3.8.m8.4.5.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.8.m8.4.5.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p3.8.m8.4.5.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.8.m8.4.5.2.2.2">𝐬</ci><ci id="S2.SS1.p3.8.m8.4.5.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.8.m8.4.5.2.2.3">𝑖</ci></apply><list id="S2.SS1.p3.8.m8.3.3.3.4.cmml" xref="S2.SS1.p3.8.m8.3.3.3.3"><ci id="S2.SS1.p3.8.m8.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.8.m8.1.1.1.1">𝑛</ci><ci id="S2.SS1.p3.8.m8.3.3.3.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.8.m8.3.3.3.3.2">′</ci></list></apply><apply id="S2.SS1.p3.8.m8.4.5.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.8.m8.4.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p3.8.m8.4.5.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.8.m8.4.5.3">superscript</csymbol><apply id="S2.SS1.p3.8.m8.4.5.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.8.m8.4.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p3.8.m8.4.5.3.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.8.m8.4.5.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p3.8.m8.4.5.3.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.8.m8.4.5.3.2.2">𝐬</ci><apply id="S2.SS1.p3.8.m8.4.5.3.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.8.m8.4.5.3.2.3"><plus id="S2.SS1.p3.8.m8.4.5.3.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.8.m8.4.5.3.2.3.1"></plus><ci id="S2.SS1.p3.8.m8.4.5.3.2.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.8.m8.4.5.3.2.3.2">𝑖</ci><cn id="S2.SS1.p3.8.m8.4.5.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p3.8.m8.4.5.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.SS1.p3.8.m8.4.4.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.8.m8.4.4.1.1">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p3.8.m8.4c">\mathbf{s}_{i}^{(n)\prime}\coloneqq\mathbf{s}_{i+1}^{(n)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p3.8.m8.4d">bold_s start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) ′ end_POSTSUPERSCRIPT ≔ bold_s start_POSTSUBSCRIPT italic_i + 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. This transition obeys a conditional probability density function (PDF) <math alttext="p(\mathbf{s}_{i}^{(n)\prime}{\mathbin{}\mid\mathbin{}}\mathbf{s}_{i}^{(n)},a_{% i}^{(n)})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p3.9.m9.6"><semantics id="S2.SS1.p3.9.m9.6a"><mrow id="S2.SS1.p3.9.m9.6.6" xref="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.cmml"><mi id="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.3" xref="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.3.cmml">p</mi><mo id="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.2" xref="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1" xref="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1" xref="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.cmml"><msubsup id="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.4" xref="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.4.cmml"><mi id="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.4.2.2" xref="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.4.2.2.cmml">𝐬</mi><mi id="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.4.2.3" xref="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.4.2.3.cmml">i</mi><mrow id="S2.SS1.p3.9.m9.3.3.3.3" xref="S2.SS1.p3.9.m9.3.3.3.4.cmml"><mrow id="S2.SS1.p3.9.m9.2.2.2.2.1.2" xref="S2.SS1.p3.9.m9.3.3.3.4.cmml"><mo id="S2.SS1.p3.9.m9.2.2.2.2.1.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p3.9.m9.3.3.3.4.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p3.9.m9.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p3.9.m9.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.SS1.p3.9.m9.2.2.2.2.1.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p3.9.m9.3.3.3.4.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.SS1.p3.9.m9.3.3.3.3.3" lspace="0em" xref="S2.SS1.p3.9.m9.3.3.3.4.cmml">⁣</mo><mo id="S2.SS1.p3.9.m9.3.3.3.3.2" mathsize="142%" xref="S2.SS1.p3.9.m9.3.3.3.3.2.cmml">′</mo></mrow></msubsup><mo id="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.3.cmml">∣</mo><mrow id="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.2.2" xref="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.2.3.cmml"><msubsup id="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐬</mi><mi id="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi><mrow id="S2.SS1.p3.9.m9.4.4.1.3" xref="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p3.9.m9.4.4.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p3.9.m9.4.4.1.1" xref="S2.SS1.p3.9.m9.4.4.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.SS1.p3.9.m9.4.4.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.2.2.3" xref="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><msubsup id="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.2.2.2" xref="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">a</mi><mi id="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">i</mi><mrow id="S2.SS1.p3.9.m9.5.5.1.3" xref="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p3.9.m9.5.5.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p3.9.m9.5.5.1.1" xref="S2.SS1.p3.9.m9.5.5.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.SS1.p3.9.m9.5.5.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup></mrow></mrow><mo id="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p3.9.m9.6b"><apply id="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.cmml" xref="S2.SS1.p3.9.m9.6.6"><times id="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.2"></times><ci id="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.3">𝑝</ci><apply id="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.3">conditional</csymbol><apply id="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.4.cmml" xref="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.4.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.4">superscript</csymbol><apply id="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.4.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.4.2.2">𝐬</ci><ci id="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.4.2.3">𝑖</ci></apply><list id="S2.SS1.p3.9.m9.3.3.3.4.cmml" xref="S2.SS1.p3.9.m9.3.3.3.3"><ci id="S2.SS1.p3.9.m9.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.9.m9.1.1.1.1">𝑛</ci><ci id="S2.SS1.p3.9.m9.3.3.3.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.9.m9.3.3.3.3.2">′</ci></list></apply><list id="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.2.2"><apply id="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐬</ci><ci id="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S2.SS1.p3.9.m9.4.4.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.9.m9.4.4.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.2.2.2.2.2">𝑎</ci><ci id="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.9.m9.6.6.1.1.1.2.2.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S2.SS1.p3.9.m9.5.5.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.9.m9.5.5.1.1">𝑛</ci></apply></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p3.9.m9.6c">p(\mathbf{s}_{i}^{(n)\prime}{\mathbin{}\mid\mathbin{}}\mathbf{s}_{i}^{(n)},a_{% i}^{(n)})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p3.9.m9.6d">italic_p ( bold_s start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∣ bold_s start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT , italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>. This manuscript assumes that <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.SS1.p3.9.1">none</span> of the agents has <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.SS1.p3.9.2">any</span> information on this conditional PDF.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.p4"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p4.4">In RL with function approximation, Q-functions are considered to be elements of some functional space <math alttext="\mathcal{H}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p4.1.m1.1"><semantics id="S2.SS1.p4.1.m1.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p4.1.m1.1.1" xref="S2.SS1.p4.1.m1.1.1.cmml">ℋ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p4.1.m1.1b"><ci id="S2.SS1.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.1.m1.1.1">ℋ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p4.1.m1.1c">\mathcal{H}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p4.1.m1.1d">caligraphic_H</annotation></semantics></math>. The classical B-Map <math alttext="T_{\diamond}\colon\mathcal{H}\to\mathcal{H}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p4.2.m2.1"><semantics id="S2.SS1.p4.2.m2.1a"><mrow id="S2.SS1.p4.2.m2.1.1" xref="S2.SS1.p4.2.m2.1.1.cmml"><msub id="S2.SS1.p4.2.m2.1.1.2" xref="S2.SS1.p4.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.2.m2.1.1.2.2" xref="S2.SS1.p4.2.m2.1.1.2.2.cmml">T</mi><mo id="S2.SS1.p4.2.m2.1.1.2.3" xref="S2.SS1.p4.2.m2.1.1.2.3.cmml">⋄</mo></msub><mo id="S2.SS1.p4.2.m2.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.SS1.p4.2.m2.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="S2.SS1.p4.2.m2.1.1.3" xref="S2.SS1.p4.2.m2.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p4.2.m2.1.1.3.2" xref="S2.SS1.p4.2.m2.1.1.3.2.cmml">ℋ</mi><mo id="S2.SS1.p4.2.m2.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.2.m2.1.1.3.1.cmml">→</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p4.2.m2.1.1.3.3" xref="S2.SS1.p4.2.m2.1.1.3.3.cmml">ℋ</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p4.2.m2.1b"><apply id="S2.SS1.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m2.1.1"><ci id="S2.SS1.p4.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m2.1.1.1">:</ci><apply id="S2.SS1.p4.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p4.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p4.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m2.1.1.2.2">𝑇</ci><ci id="S2.SS1.p4.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m2.1.1.2.3">⋄</ci></apply><apply id="S2.SS1.p4.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m2.1.1.3"><ci id="S2.SS1.p4.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m2.1.1.3.1">→</ci><ci id="S2.SS1.p4.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m2.1.1.3.2">ℋ</ci><ci id="S2.SS1.p4.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m2.1.1.3.3">ℋ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p4.2.m2.1c">T_{\diamond}\colon\mathcal{H}\to\mathcal{H}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p4.2.m2.1d">italic_T start_POSTSUBSCRIPT ⋄ end_POSTSUBSCRIPT : caligraphic_H → caligraphic_H</annotation></semantics></math> describes a “total loss,” comprising the one-step loss and the expected “minimum” long-term loss (Q-function): <math alttext="\forall Q^{(n)}\in\mathcal{H}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p4.3.m3.1"><semantics id="S2.SS1.p4.3.m3.1a"><mrow id="S2.SS1.p4.3.m3.1.2" xref="S2.SS1.p4.3.m3.1.2.cmml"><mrow id="S2.SS1.p4.3.m3.1.2.2" xref="S2.SS1.p4.3.m3.1.2.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p4.3.m3.1.2.2.1" rspace="0.167em" xref="S2.SS1.p4.3.m3.1.2.2.1.cmml">∀</mo><msup id="S2.SS1.p4.3.m3.1.2.2.2" xref="S2.SS1.p4.3.m3.1.2.2.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.3.m3.1.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p4.3.m3.1.2.2.2.2.cmml">Q</mi><mrow id="S2.SS1.p4.3.m3.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p4.3.m3.1.2.2.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p4.3.m3.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.3.m3.1.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.SS1.p4.3.m3.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.3.m3.1.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></msup></mrow><mo id="S2.SS1.p4.3.m3.1.2.1" xref="S2.SS1.p4.3.m3.1.2.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p4.3.m3.1.2.3" xref="S2.SS1.p4.3.m3.1.2.3.cmml">ℋ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p4.3.m3.1b"><apply id="S2.SS1.p4.3.m3.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.3.m3.1.2"><in id="S2.SS1.p4.3.m3.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.3.m3.1.2.1"></in><apply id="S2.SS1.p4.3.m3.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.3.m3.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS1.p4.3.m3.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.3.m3.1.2.2.1">for-all</csymbol><apply id="S2.SS1.p4.3.m3.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.3.m3.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p4.3.m3.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.3.m3.1.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p4.3.m3.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.3.m3.1.2.2.2.2">𝑄</ci><ci id="S2.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></apply><ci id="S2.SS1.p4.3.m3.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.3.m3.1.2.3">ℋ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p4.3.m3.1c">\forall Q^{(n)}\in\mathcal{H}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p4.3.m3.1d">∀ italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ∈ caligraphic_H</annotation></semantics></math>, <math alttext="\forall\mathbf{z}=(\mathbf{s},a)\in\mathcal{Z}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p4.4.m4.2"><semantics id="S2.SS1.p4.4.m4.2a"><mrow id="S2.SS1.p4.4.m4.2.3" xref="S2.SS1.p4.4.m4.2.3.cmml"><mrow id="S2.SS1.p4.4.m4.2.3.2" xref="S2.SS1.p4.4.m4.2.3.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p4.4.m4.2.3.2.1" rspace="0.167em" xref="S2.SS1.p4.4.m4.2.3.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S2.SS1.p4.4.m4.2.3.2.2" xref="S2.SS1.p4.4.m4.2.3.2.2.cmml">𝐳</mi></mrow><mo id="S2.SS1.p4.4.m4.2.3.3" xref="S2.SS1.p4.4.m4.2.3.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS1.p4.4.m4.2.3.4.2" xref="S2.SS1.p4.4.m4.2.3.4.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p4.4.m4.2.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.4.m4.2.3.4.1.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p4.4.m4.1.1" xref="S2.SS1.p4.4.m4.1.1.cmml">𝐬</mi><mo id="S2.SS1.p4.4.m4.2.3.4.2.2" xref="S2.SS1.p4.4.m4.2.3.4.1.cmml">,</mo><mi id="S2.SS1.p4.4.m4.2.2" xref="S2.SS1.p4.4.m4.2.2.cmml">a</mi><mo id="S2.SS1.p4.4.m4.2.3.4.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.4.m4.2.3.4.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.SS1.p4.4.m4.2.3.5" xref="S2.SS1.p4.4.m4.2.3.5.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p4.4.m4.2.3.6" xref="S2.SS1.p4.4.m4.2.3.6.cmml">𝒵</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p4.4.m4.2b"><apply id="S2.SS1.p4.4.m4.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.4.m4.2.3"><and id="S2.SS1.p4.4.m4.2.3a.cmml" xref="S2.SS1.p4.4.m4.2.3"></and><apply id="S2.SS1.p4.4.m4.2.3b.cmml" xref="S2.SS1.p4.4.m4.2.3"><eq id="S2.SS1.p4.4.m4.2.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.4.m4.2.3.3"></eq><apply id="S2.SS1.p4.4.m4.2.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.4.m4.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS1.p4.4.m4.2.3.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.4.m4.2.3.2.1">for-all</csymbol><ci id="S2.SS1.p4.4.m4.2.3.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.4.m4.2.3.2.2">𝐳</ci></apply><interval closure="open" id="S2.SS1.p4.4.m4.2.3.4.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.4.m4.2.3.4.2"><ci id="S2.SS1.p4.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.4.m4.1.1">𝐬</ci><ci id="S2.SS1.p4.4.m4.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.4.m4.2.2">𝑎</ci></interval></apply><apply id="S2.SS1.p4.4.m4.2.3c.cmml" xref="S2.SS1.p4.4.m4.2.3"><in id="S2.SS1.p4.4.m4.2.3.5.cmml" xref="S2.SS1.p4.4.m4.2.3.5"></in><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S2.SS1.p4.4.m4.2.3.4.cmml" id="S2.SS1.p4.4.m4.2.3d.cmml" xref="S2.SS1.p4.4.m4.2.3"></share><ci id="S2.SS1.p4.4.m4.2.3.6.cmml" xref="S2.SS1.p4.4.m4.2.3.6">𝒵</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p4.4.m4.2c">\forall\mathbf{z}=(\mathbf{s},a)\in\mathcal{Z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p4.4.m4.2d">∀ bold_z = ( bold_s , italic_a ) ∈ caligraphic_Z</annotation></semantics></math>,</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A0.EGx1"> <tbody id="S2.E1"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle(T_{\diamond}Q^{(n)})(\mathbf{z})\coloneqq g(\mathbf{z})+\alpha% \operatorname{\mathbb{E}}_{\mathbf{s}^{\prime}{\mathbin{}\mid\mathbin{}}% \mathbf{z}}\{\inf\nolimits_{a^{\prime}\in\mathcal{A}}Q^{(n)}(\mathbf{s}^{% \prime},a^{\prime})\}\,," class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E1.m1.5"><semantics id="S2.E1.m1.5a"><mrow id="S2.E1.m1.5.5.1" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S2.E1.m1.5.5.1.1" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S2.E1.m1.5.5.1.1.1" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">T</mi><mo id="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">⋄</mo></msub><mo id="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Q</mi><mrow id="S2.E1.m1.1.1.1.3" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S2.E1.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S2.E1.m1.1.1.1.1" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.E1.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msup></mrow><mo id="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.2" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.3.2" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.E1.m1.3.3" xref="S2.E1.m1.3.3.cmml">𝐳</mi><mo id="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E1.m1.5.5.1.1.4" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.4.cmml">≔</mo><mrow id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.4" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.4.cmml"><mi id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.4.2" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.4.2.cmml">g</mi><mo id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.4.1" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.4.3.2" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.4.cmml"><mo id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.4.cmml">(</mo><mi id="S2.E1.m1.4.4" xref="S2.E1.m1.4.4.cmml">𝐳</mi><mo id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.3" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.3.cmml">+</mo><mrow id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.4" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.4.cmml">α</mi><mo id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.3" lspace="0.167em" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.3.cmml"><msub id="S2.E1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">𝔼</mi><mrow id="S2.E1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml"><msup id="S2.E1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.E1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml">𝐬</mi><mo id="S2.E1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S2.E1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.3.1" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.3.1.cmml">∣</mo><mi id="S2.E1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.3.3.cmml">𝐳</mi></mrow></msub><mo id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2a" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.3.cmml">⁡</mo><mrow id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.3.cmml"><mo id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.3.cmml">{</mo><mrow id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.1" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.1.cmml"><msub id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.1.3" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.1.3.cmml"><mo id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.1.3.2" lspace="0em" rspace="0.167em" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.1.3.2.cmml">inf</mo><mrow id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.1.3.3" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.1.3.3.cmml"><msup id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.1.3.3.2" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.1.3.3.2.cmml"><mi id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.1.3.3.2.2" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.1.3.3.2.2.cmml">a</mi><mo id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.1.3.3.2.3" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.1.3.3.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.1.3.3.1" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.1.3.3.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.1.3.3.3" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.1.3.3.3.cmml">𝒜</mi></mrow></msub><mrow id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.1.2" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.1.2.cmml"><msup id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.1.2.4" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.1.2.4.cmml"><mi id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.1.2.4.2" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.1.2.4.2.cmml">Q</mi><mrow id="S2.E1.m1.2.2.1.3" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.1.2.4.cmml"><mo id="S2.E1.m1.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.1.2.4.cmml">(</mo><mi id="S2.E1.m1.2.2.1.1" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.E1.m1.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.1.2.4.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.1.2.3" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.1.2.2.2" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.1.2.2.3.cmml"><mo id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.1.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.1.2.2.3.cmml">(</mo><msup id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐬</mi><mo id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.1.2.2.2.4" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.1.2.2.3.cmml">,</mo><msup id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.1.2.2.2.2" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.1.2.2.2.2.2" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.1.2.2.2.2.2.cmml">a</mi><mo id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.1.2.2.2.2.3" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.1.2.2.2.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.1.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.3" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.3.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E1.m1.5.5.1.2" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E1.m1.5b"><apply id="S2.E1.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1"><ci id="S2.E1.m1.5.5.1.1.4.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.4">≔</ci><apply id="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.1"><times id="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.2"></times><apply id="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1"><times id="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑇</ci><ci id="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3">⋄</ci></apply><apply id="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑄</ci><ci id="S2.E1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></apply><ci id="S2.E1.m1.3.3.cmml" xref="S2.E1.m1.3.3">𝐳</ci></apply><apply id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3"><plus id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.3"></plus><apply id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.4.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.4"><times id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.4.1.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.4.1"></times><ci id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.4.2.cmml" 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xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.1.2.4">superscript</csymbol><ci id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.1.2.4.2.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.1.2.4.2">𝑄</ci><ci id="S2.E1.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1">𝑛</ci></apply><interval closure="open" id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.1.2.2.2"><apply id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2">𝐬</ci><ci id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.1.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.1.2.2.2.2.2">𝑎</ci><ci id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.1.2.2.2.2.3">′</ci></apply></interval></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E1.m1.5c">\displaystyle(T_{\diamond}Q^{(n)})(\mathbf{z})\coloneqq g(\mathbf{z})+\alpha% \operatorname{\mathbb{E}}_{\mathbf{s}^{\prime}{\mathbin{}\mid\mathbin{}}% \mathbf{z}}\{\inf\nolimits_{a^{\prime}\in\mathcal{A}}Q^{(n)}(\mathbf{s}^{% \prime},a^{\prime})\}\,,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E1.m1.5d">( italic_T start_POSTSUBSCRIPT ⋄ end_POSTSUBSCRIPT italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ) ( bold_z ) ≔ italic_g ( bold_z ) + italic_α blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT bold_s start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∣ bold_z end_POSTSUBSCRIPT { roman_inf start_POSTSUBSCRIPT italic_a start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ caligraphic_A end_POSTSUBSCRIPT italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ( bold_s start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_a start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) } ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(1)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p4.16">where <math alttext="Q^{(n)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p4.5.m1.1"><semantics id="S2.SS1.p4.5.m1.1a"><msup id="S2.SS1.p4.5.m1.1.2" xref="S2.SS1.p4.5.m1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.5.m1.1.2.2" xref="S2.SS1.p4.5.m1.1.2.2.cmml">Q</mi><mrow id="S2.SS1.p4.5.m1.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p4.5.m1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p4.5.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.5.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p4.5.m1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p4.5.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.SS1.p4.5.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.5.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p4.5.m1.1b"><apply id="S2.SS1.p4.5.m1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.5.m1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p4.5.m1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.5.m1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p4.5.m1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.5.m1.1.2.2">𝑄</ci><ci id="S2.SS1.p4.5.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.5.m1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p4.5.m1.1c">Q^{(n)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p4.5.m1.1d">italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="T_{\diamond}Q^{(n)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p4.6.m2.1"><semantics id="S2.SS1.p4.6.m2.1a"><mrow id="S2.SS1.p4.6.m2.1.2" xref="S2.SS1.p4.6.m2.1.2.cmml"><msub id="S2.SS1.p4.6.m2.1.2.2" xref="S2.SS1.p4.6.m2.1.2.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.6.m2.1.2.2.2" xref="S2.SS1.p4.6.m2.1.2.2.2.cmml">T</mi><mo id="S2.SS1.p4.6.m2.1.2.2.3" xref="S2.SS1.p4.6.m2.1.2.2.3.cmml">⋄</mo></msub><mo id="S2.SS1.p4.6.m2.1.2.1" xref="S2.SS1.p4.6.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.SS1.p4.6.m2.1.2.3" xref="S2.SS1.p4.6.m2.1.2.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.6.m2.1.2.3.2" xref="S2.SS1.p4.6.m2.1.2.3.2.cmml">Q</mi><mrow id="S2.SS1.p4.6.m2.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p4.6.m2.1.2.3.cmml"><mo id="S2.SS1.p4.6.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.6.m2.1.2.3.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p4.6.m2.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p4.6.m2.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.SS1.p4.6.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.6.m2.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p4.6.m2.1b"><apply id="S2.SS1.p4.6.m2.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.6.m2.1.2"><times id="S2.SS1.p4.6.m2.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.6.m2.1.2.1"></times><apply id="S2.SS1.p4.6.m2.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.6.m2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p4.6.m2.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.6.m2.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p4.6.m2.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.6.m2.1.2.2.2">𝑇</ci><ci id="S2.SS1.p4.6.m2.1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.6.m2.1.2.2.3">⋄</ci></apply><apply id="S2.SS1.p4.6.m2.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.6.m2.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p4.6.m2.1.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.6.m2.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p4.6.m2.1.2.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.6.m2.1.2.3.2">𝑄</ci><ci id="S2.SS1.p4.6.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.6.m2.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p4.6.m2.1c">T_{\diamond}Q^{(n)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p4.6.m2.1d">italic_T start_POSTSUBSCRIPT ⋄ end_POSTSUBSCRIPT italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> are functions defined on <math alttext="\mathcal{Z}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p4.7.m3.1"><semantics id="S2.SS1.p4.7.m3.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p4.7.m3.1.1" xref="S2.SS1.p4.7.m3.1.1.cmml">𝒵</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p4.7.m3.1b"><ci id="S2.SS1.p4.7.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.7.m3.1.1">𝒵</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p4.7.m3.1c">\mathcal{Z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p4.7.m3.1d">caligraphic_Z</annotation></semantics></math>, <math alttext="\alpha\in\mathbb{R}_{++}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p4.8.m4.1"><semantics id="S2.SS1.p4.8.m4.1a"><mrow id="S2.SS1.p4.8.m4.1.1" xref="S2.SS1.p4.8.m4.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.8.m4.1.1.2" xref="S2.SS1.p4.8.m4.1.1.2.cmml">α</mi><mo id="S2.SS1.p4.8.m4.1.1.1" xref="S2.SS1.p4.8.m4.1.1.1.cmml">∈</mo><msub id="S2.SS1.p4.8.m4.1.1.3" xref="S2.SS1.p4.8.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.8.m4.1.1.3.2" xref="S2.SS1.p4.8.m4.1.1.3.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S2.SS1.p4.8.m4.1.1.3.3" xref="S2.SS1.p4.8.m4.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.8.m4.1.1.3.3.2" xref="S2.SS1.p4.8.m4.1.1.3.3.2.cmml"></mi><mo id="S2.SS1.p4.8.m4.1.1.3.3.1" rspace="0em" xref="S2.SS1.p4.8.m4.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mo id="S2.SS1.p4.8.m4.1.1.3.3.3" lspace="0em" xref="S2.SS1.p4.8.m4.1.1.3.3.3.cmml">+</mo></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p4.8.m4.1b"><apply id="S2.SS1.p4.8.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.8.m4.1.1"><in id="S2.SS1.p4.8.m4.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.8.m4.1.1.1"></in><ci id="S2.SS1.p4.8.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.8.m4.1.1.2">𝛼</ci><apply id="S2.SS1.p4.8.m4.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.8.m4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p4.8.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.8.m4.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p4.8.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.8.m4.1.1.3.2">ℝ</ci><apply id="S2.SS1.p4.8.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.8.m4.1.1.3.3"><plus id="S2.SS1.p4.8.m4.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.8.m4.1.1.3.3.1"></plus><csymbol cd="latexml" id="S2.SS1.p4.8.m4.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.8.m4.1.1.3.3.2">absent</csymbol><plus id="S2.SS1.p4.8.m4.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.8.m4.1.1.3.3.3"></plus></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p4.8.m4.1c">\alpha\in\mathbb{R}_{++}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p4.8.m4.1d">italic_α ∈ blackboard_R start_POSTSUBSCRIPT + + end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is the discount factor, and <math alttext="\operatorname{\mathbb{E}}_{\mathbf{s}^{\prime}{\mathbin{}\mid\mathbin{}}% \mathbf{z}}\{\cdot\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p4.9.m5.2"><semantics id="S2.SS1.p4.9.m5.2a"><mrow id="S2.SS1.p4.9.m5.2.2.1" xref="S2.SS1.p4.9.m5.2.2.2.cmml"><msub id="S2.SS1.p4.9.m5.2.2.1.1" xref="S2.SS1.p4.9.m5.2.2.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.9.m5.2.2.1.1.2" xref="S2.SS1.p4.9.m5.2.2.1.1.2.cmml">𝔼</mi><mrow id="S2.SS1.p4.9.m5.2.2.1.1.3" xref="S2.SS1.p4.9.m5.2.2.1.1.3.cmml"><msup id="S2.SS1.p4.9.m5.2.2.1.1.3.2" xref="S2.SS1.p4.9.m5.2.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.9.m5.2.2.1.1.3.2.2" xref="S2.SS1.p4.9.m5.2.2.1.1.3.2.2.cmml">𝐬</mi><mo id="S2.SS1.p4.9.m5.2.2.1.1.3.2.3" xref="S2.SS1.p4.9.m5.2.2.1.1.3.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S2.SS1.p4.9.m5.2.2.1.1.3.1" xref="S2.SS1.p4.9.m5.2.2.1.1.3.1.cmml">∣</mo><mi id="S2.SS1.p4.9.m5.2.2.1.1.3.3" xref="S2.SS1.p4.9.m5.2.2.1.1.3.3.cmml">𝐳</mi></mrow></msub><mo id="S2.SS1.p4.9.m5.2.2.1a" xref="S2.SS1.p4.9.m5.2.2.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S2.SS1.p4.9.m5.2.2.1.2" xref="S2.SS1.p4.9.m5.2.2.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p4.9.m5.2.2.1.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.9.m5.2.2.2.cmml">{</mo><mo id="S2.SS1.p4.9.m5.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S2.SS1.p4.9.m5.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="S2.SS1.p4.9.m5.2.2.1.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.9.m5.2.2.2.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p4.9.m5.2b"><apply id="S2.SS1.p4.9.m5.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.9.m5.2.2.1"><apply id="S2.SS1.p4.9.m5.2.2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.9.m5.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p4.9.m5.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.9.m5.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p4.9.m5.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.9.m5.2.2.1.1.2">𝔼</ci><apply id="S2.SS1.p4.9.m5.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.9.m5.2.2.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS1.p4.9.m5.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.9.m5.2.2.1.1.3.1">conditional</csymbol><apply id="S2.SS1.p4.9.m5.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.9.m5.2.2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p4.9.m5.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.9.m5.2.2.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p4.9.m5.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.9.m5.2.2.1.1.3.2.2">𝐬</ci><ci id="S2.SS1.p4.9.m5.2.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.9.m5.2.2.1.1.3.2.3">′</ci></apply><ci id="S2.SS1.p4.9.m5.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.9.m5.2.2.1.1.3.3">𝐳</ci></apply></apply><ci id="S2.SS1.p4.9.m5.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.9.m5.1.1">⋅</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p4.9.m5.2c">\operatorname{\mathbb{E}}_{\mathbf{s}^{\prime}{\mathbin{}\mid\mathbin{}}% \mathbf{z}}\{\cdot\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p4.9.m5.2d">blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT bold_s start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∣ bold_z end_POSTSUBSCRIPT { ⋅ }</annotation></semantics></math> stands for conditional expectation, with <math alttext="\mathbf{s}^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p4.10.m6.1"><semantics id="S2.SS1.p4.10.m6.1a"><msup id="S2.SS1.p4.10.m6.1.1" xref="S2.SS1.p4.10.m6.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.10.m6.1.1.2" xref="S2.SS1.p4.10.m6.1.1.2.cmml">𝐬</mi><mo id="S2.SS1.p4.10.m6.1.1.3" xref="S2.SS1.p4.10.m6.1.1.3.cmml">′</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p4.10.m6.1b"><apply id="S2.SS1.p4.10.m6.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.10.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p4.10.m6.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.10.m6.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p4.10.m6.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.10.m6.1.1.2">𝐬</ci><ci id="S2.SS1.p4.10.m6.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.10.m6.1.1.3">′</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p4.10.m6.1c">\mathbf{s}^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p4.10.m6.1d">bold_s start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> standing for the potential next state after the agent takes action <math alttext="a" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p4.11.m7.1"><semantics id="S2.SS1.p4.11.m7.1a"><mi id="S2.SS1.p4.11.m7.1.1" xref="S2.SS1.p4.11.m7.1.1.cmml">a</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p4.11.m7.1b"><ci id="S2.SS1.p4.11.m7.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.11.m7.1.1">𝑎</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p4.11.m7.1c">a</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p4.11.m7.1d">italic_a</annotation></semantics></math> at state <math alttext="\mathbf{s}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p4.12.m8.1"><semantics id="S2.SS1.p4.12.m8.1a"><mi id="S2.SS1.p4.12.m8.1.1" xref="S2.SS1.p4.12.m8.1.1.cmml">𝐬</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p4.12.m8.1b"><ci id="S2.SS1.p4.12.m8.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.12.m8.1.1">𝐬</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p4.12.m8.1c">\mathbf{s}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p4.12.m8.1d">bold_s</annotation></semantics></math>. A recursive application of (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S2.E1" title="Equation 1 ‣ II-A Preliminaries and notation ‣ II Distributed Reinforcement Learning ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>) defines the classical <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.SS1.p4.16.1">value-iteration (VI)</span> strategy of RL <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib2" title="">2</a>]</cite>. For any <math alttext="Q^{(n)}\in\mathcal{H}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p4.13.m9.1"><semantics id="S2.SS1.p4.13.m9.1a"><mrow id="S2.SS1.p4.13.m9.1.2" xref="S2.SS1.p4.13.m9.1.2.cmml"><msup id="S2.SS1.p4.13.m9.1.2.2" xref="S2.SS1.p4.13.m9.1.2.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.13.m9.1.2.2.2" xref="S2.SS1.p4.13.m9.1.2.2.2.cmml">Q</mi><mrow id="S2.SS1.p4.13.m9.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p4.13.m9.1.2.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p4.13.m9.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.13.m9.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p4.13.m9.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p4.13.m9.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.SS1.p4.13.m9.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.13.m9.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S2.SS1.p4.13.m9.1.2.1" xref="S2.SS1.p4.13.m9.1.2.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p4.13.m9.1.2.3" xref="S2.SS1.p4.13.m9.1.2.3.cmml">ℋ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p4.13.m9.1b"><apply id="S2.SS1.p4.13.m9.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.13.m9.1.2"><in id="S2.SS1.p4.13.m9.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.13.m9.1.2.1"></in><apply id="S2.SS1.p4.13.m9.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.13.m9.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p4.13.m9.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.13.m9.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p4.13.m9.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.13.m9.1.2.2.2">𝑄</ci><ci id="S2.SS1.p4.13.m9.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.13.m9.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><ci id="S2.SS1.p4.13.m9.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.13.m9.1.2.3">ℋ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p4.13.m9.1c">Q^{(n)}\in\mathcal{H}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p4.13.m9.1d">italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ∈ caligraphic_H</annotation></semantics></math> available to agent <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p4.14.m10.1"><semantics id="S2.SS1.p4.14.m10.1a"><mi id="S2.SS1.p4.14.m10.1.1" xref="S2.SS1.p4.14.m10.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p4.14.m10.1b"><ci id="S2.SS1.p4.14.m10.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.14.m10.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p4.14.m10.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p4.14.m10.1d">italic_n</annotation></semantics></math> in state <math alttext="\mathbf{s}\in\mathcal{S}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p4.15.m11.1"><semantics id="S2.SS1.p4.15.m11.1a"><mrow id="S2.SS1.p4.15.m11.1.1" xref="S2.SS1.p4.15.m11.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.15.m11.1.1.2" xref="S2.SS1.p4.15.m11.1.1.2.cmml">𝐬</mi><mo id="S2.SS1.p4.15.m11.1.1.1" xref="S2.SS1.p4.15.m11.1.1.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p4.15.m11.1.1.3" xref="S2.SS1.p4.15.m11.1.1.3.cmml">𝒮</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p4.15.m11.1b"><apply id="S2.SS1.p4.15.m11.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.15.m11.1.1"><in id="S2.SS1.p4.15.m11.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.15.m11.1.1.1"></in><ci id="S2.SS1.p4.15.m11.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.15.m11.1.1.2">𝐬</ci><ci id="S2.SS1.p4.15.m11.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.15.m11.1.1.3">𝒮</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p4.15.m11.1c">\mathbf{s}\in\mathcal{S}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p4.15.m11.1d">bold_s ∈ caligraphic_S</annotation></semantics></math>, action <math alttext="a" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p4.16.m12.1"><semantics id="S2.SS1.p4.16.m12.1a"><mi id="S2.SS1.p4.16.m12.1.1" xref="S2.SS1.p4.16.m12.1.1.cmml">a</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p4.16.m12.1b"><ci id="S2.SS1.p4.16.m12.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.16.m12.1.1">𝑎</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p4.16.m12.1c">a</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p4.16.m12.1d">italic_a</annotation></semantics></math> can be taken in the following classical way <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib1" title="">1</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib2" title="">2</a>]</cite>:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A0.EGx2"> <tbody id="S2.E2"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle a\in\arg\inf\nolimits_{a^{\prime}\in\mathcal{A}}Q^{(n)}(\mathbf{% s},a^{\prime})\,." class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E2.m1.3"><semantics id="S2.E2.m1.3a"><mrow id="S2.E2.m1.3.3.1" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S2.E2.m1.3.3.1.1" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.cmml"><mi id="S2.E2.m1.3.3.1.1.3" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.3.cmml">a</mi><mo id="S2.E2.m1.3.3.1.1.2" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="S2.E2.m1.3.3.1.1.1" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">arg</mi><mo id="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.2" lspace="0.167em" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.2.2" rspace="0.167em" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">inf</mo><mrow id="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml"><msup id="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">a</mi><mo id="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.1" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.3" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.3.cmml">𝒜</mi></mrow></msub><mrow id="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Q</mi><mrow id="S2.E2.m1.1.1.1.3" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S2.E2.m1.1.1.1.1" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E2.m1.2.2" xref="S2.E2.m1.2.2.cmml">𝐬</mi><mo id="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><msup id="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">a</mi><mo id="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E2.m1.3.3.1.2" lspace="0.170em" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E2.m1.3b"><apply id="S2.E2.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S2.E2.m1.3.3.1"><in id="S2.E2.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.2"></in><ci id="S2.E2.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.3">𝑎</ci><apply id="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.1"><times id="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.2"></times><arg id="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.3"></arg><apply id="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1"><apply id="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.2.2">infimum</csymbol><apply id="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.2.3"><in id="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.1"></in><apply id="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2.2">𝑎</ci><ci id="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2.3">′</ci></apply><ci id="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.3">𝒜</ci></apply></apply><apply id="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1"><times id="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2">𝑄</ci><ci id="S2.E2.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><interval closure="open" id="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"><ci id="S2.E2.m1.2.2.cmml" xref="S2.E2.m1.2.2">𝐬</ci><apply id="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑎</ci><ci id="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply></interval></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E2.m1.3c">\displaystyle a\in\arg\inf\nolimits_{a^{\prime}\in\mathcal{A}}Q^{(n)}(\mathbf{% s},a^{\prime})\,.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E2.m1.3d">italic_a ∈ roman_arg roman_inf start_POSTSUBSCRIPT italic_a start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ caligraphic_A end_POSTSUBSCRIPT italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ( bold_s , italic_a start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(2)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p4.24">This operation defines also a set-valued policy <math alttext="\mu^{(n)}(\mathbf{s};Q^{(n)})\coloneqq\arg\inf_{a^{\prime}\in\mathcal{A}}Q^{(n% )}(\mathbf{s},a^{\prime})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p4.17.m1.7"><semantics id="S2.SS1.p4.17.m1.7a"><mrow id="S2.SS1.p4.17.m1.7.7" xref="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.cmml"><mrow id="S2.SS1.p4.17.m1.6.6.1" xref="S2.SS1.p4.17.m1.6.6.1.cmml"><msup id="S2.SS1.p4.17.m1.6.6.1.3" xref="S2.SS1.p4.17.m1.6.6.1.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.17.m1.6.6.1.3.2" xref="S2.SS1.p4.17.m1.6.6.1.3.2.cmml">μ</mi><mrow id="S2.SS1.p4.17.m1.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p4.17.m1.6.6.1.3.cmml"><mo id="S2.SS1.p4.17.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.17.m1.6.6.1.3.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p4.17.m1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p4.17.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.SS1.p4.17.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.17.m1.6.6.1.3.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S2.SS1.p4.17.m1.6.6.1.2" xref="S2.SS1.p4.17.m1.6.6.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.p4.17.m1.6.6.1.1.1" xref="S2.SS1.p4.17.m1.6.6.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p4.17.m1.6.6.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.17.m1.6.6.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p4.17.m1.4.4" xref="S2.SS1.p4.17.m1.4.4.cmml">𝐬</mi><mo id="S2.SS1.p4.17.m1.6.6.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p4.17.m1.6.6.1.1.2.cmml">;</mo><msup id="S2.SS1.p4.17.m1.6.6.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p4.17.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.17.m1.6.6.1.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p4.17.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml">Q</mi><mrow id="S2.SS1.p4.17.m1.2.2.1.3" xref="S2.SS1.p4.17.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p4.17.m1.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.17.m1.6.6.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p4.17.m1.2.2.1.1" xref="S2.SS1.p4.17.m1.2.2.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.SS1.p4.17.m1.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.17.m1.6.6.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S2.SS1.p4.17.m1.6.6.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.17.m1.6.6.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.3" xref="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.3.cmml">≔</mo><mrow id="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2" xref="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.3" xref="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.3.cmml">arg</mi><mo id="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.2" lspace="0.167em" xref="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1" xref="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.cmml"><msub id="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.2" xref="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.2.2" rspace="0.167em" xref="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.2.2.cmml">inf</mo><mrow id="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.2.3" xref="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.2.3.cmml"><msup id="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.2.3.2" xref="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.2.3.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.2.3.2.2" xref="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.2.3.2.2.cmml">a</mi><mo id="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.2.3.2.3" xref="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.2.3.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.2.3.1" xref="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.2.3.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.2.3.3" xref="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.2.3.3.cmml">𝒜</mi></mrow></msub><mrow id="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.1" xref="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.1.cmml"><msup id="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.1.3" xref="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.1.3.2" xref="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.1.3.2.cmml">Q</mi><mrow id="S2.SS1.p4.17.m1.3.3.1.3" xref="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.1.3.cmml"><mo id="S2.SS1.p4.17.m1.3.3.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p4.17.m1.3.3.1.1" xref="S2.SS1.p4.17.m1.3.3.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.SS1.p4.17.m1.3.3.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.1.2" xref="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p4.17.m1.5.5" xref="S2.SS1.p4.17.m1.5.5.cmml">𝐬</mi><mo id="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.1.1.2.cmml">,</mo><msup id="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.2.cmml">a</mi><mo id="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p4.17.m1.7b"><apply id="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.cmml" xref="S2.SS1.p4.17.m1.7.7"><ci id="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.3">≔</ci><apply id="S2.SS1.p4.17.m1.6.6.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.17.m1.6.6.1"><times id="S2.SS1.p4.17.m1.6.6.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.17.m1.6.6.1.2"></times><apply id="S2.SS1.p4.17.m1.6.6.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.17.m1.6.6.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p4.17.m1.6.6.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.17.m1.6.6.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p4.17.m1.6.6.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.17.m1.6.6.1.3.2">𝜇</ci><ci id="S2.SS1.p4.17.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.17.m1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><list id="S2.SS1.p4.17.m1.6.6.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.17.m1.6.6.1.1.1"><ci id="S2.SS1.p4.17.m1.4.4.cmml" xref="S2.SS1.p4.17.m1.4.4">𝐬</ci><apply id="S2.SS1.p4.17.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.17.m1.6.6.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p4.17.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.17.m1.6.6.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p4.17.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.17.m1.6.6.1.1.1.1.2">𝑄</ci><ci id="S2.SS1.p4.17.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.17.m1.2.2.1.1">𝑛</ci></apply></list></apply><apply id="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2"><times id="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.2"></times><arg id="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.3"></arg><apply id="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1"><apply id="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.2.2">infimum</csymbol><apply id="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.2.3"><in id="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.2.3.1"></in><apply id="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.2.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.2.3.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.2.3.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.2.3.2.2">𝑎</ci><ci id="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.2.3.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.2.3.2.3">′</ci></apply><ci id="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.2.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.2.3.3">𝒜</ci></apply></apply><apply id="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.1"><times id="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.1.2"></times><apply id="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.1.3.2">𝑄</ci><ci id="S2.SS1.p4.17.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.17.m1.3.3.1.1">𝑛</ci></apply><interval closure="open" id="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.1.1.1"><ci id="S2.SS1.p4.17.m1.5.5.cmml" xref="S2.SS1.p4.17.m1.5.5">𝐬</ci><apply id="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.2">𝑎</ci><ci id="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.17.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply></interval></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p4.17.m1.7c">\mu^{(n)}(\mathbf{s};Q^{(n)})\coloneqq\arg\inf_{a^{\prime}\in\mathcal{A}}Q^{(n% )}(\mathbf{s},a^{\prime})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p4.17.m1.7d">italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ( bold_s ; italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ) ≔ roman_arg roman_inf start_POSTSUBSCRIPT italic_a start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ caligraphic_A end_POSTSUBSCRIPT italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ( bold_s , italic_a start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>, parameterized by <math alttext="Q^{(n)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p4.18.m2.1"><semantics id="S2.SS1.p4.18.m2.1a"><msup id="S2.SS1.p4.18.m2.1.2" xref="S2.SS1.p4.18.m2.1.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.18.m2.1.2.2" xref="S2.SS1.p4.18.m2.1.2.2.cmml">Q</mi><mrow id="S2.SS1.p4.18.m2.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p4.18.m2.1.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p4.18.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.18.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p4.18.m2.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p4.18.m2.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.SS1.p4.18.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.18.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p4.18.m2.1b"><apply id="S2.SS1.p4.18.m2.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.18.m2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p4.18.m2.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.18.m2.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p4.18.m2.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.18.m2.1.2.2">𝑄</ci><ci id="S2.SS1.p4.18.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.18.m2.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p4.18.m2.1c">Q^{(n)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p4.18.m2.1d">italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. It is also well-known that a “desirable” total loss <math alttext="Q^{(n)}_{\diamond}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p4.19.m3.1"><semantics id="S2.SS1.p4.19.m3.1a"><msubsup id="S2.SS1.p4.19.m3.1.2" xref="S2.SS1.p4.19.m3.1.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.19.m3.1.2.2.2" xref="S2.SS1.p4.19.m3.1.2.2.2.cmml">Q</mi><mo id="S2.SS1.p4.19.m3.1.2.3" xref="S2.SS1.p4.19.m3.1.2.3.cmml">⋄</mo><mrow id="S2.SS1.p4.19.m3.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p4.19.m3.1.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p4.19.m3.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.19.m3.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p4.19.m3.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p4.19.m3.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.SS1.p4.19.m3.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.19.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p4.19.m3.1b"><apply id="S2.SS1.p4.19.m3.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.19.m3.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p4.19.m3.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.19.m3.1.2">subscript</csymbol><apply id="S2.SS1.p4.19.m3.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.19.m3.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p4.19.m3.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.19.m3.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p4.19.m3.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.19.m3.1.2.2.2">𝑄</ci><ci id="S2.SS1.p4.19.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.19.m3.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><ci id="S2.SS1.p4.19.m3.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.19.m3.1.2.3">⋄</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p4.19.m3.1c">Q^{(n)}_{\diamond}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p4.19.m3.1d">italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT ⋄ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is a fixed-point of <math alttext="T_{\diamond}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p4.20.m4.1"><semantics id="S2.SS1.p4.20.m4.1a"><msub id="S2.SS1.p4.20.m4.1.1" xref="S2.SS1.p4.20.m4.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.20.m4.1.1.2" xref="S2.SS1.p4.20.m4.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="S2.SS1.p4.20.m4.1.1.3" xref="S2.SS1.p4.20.m4.1.1.3.cmml">⋄</mo></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p4.20.m4.1b"><apply id="S2.SS1.p4.20.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.20.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p4.20.m4.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.20.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p4.20.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.20.m4.1.1.2">𝑇</ci><ci id="S2.SS1.p4.20.m4.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.20.m4.1.1.3">⋄</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p4.20.m4.1c">T_{\diamond}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p4.20.m4.1d">italic_T start_POSTSUBSCRIPT ⋄ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, that is, <math alttext="Q^{(n)}_{\diamond}\in\operatorname{Fix}T_{\diamond}\coloneqq\{Q\in\mathcal{H}{% \mathbin{}\mid\mathbin{}}T_{\diamond}Q=Q\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p4.21.m5.3"><semantics id="S2.SS1.p4.21.m5.3a"><mrow id="S2.SS1.p4.21.m5.3.3" xref="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.cmml"><msubsup id="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.4" xref="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.4.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.4.2.2" xref="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.4.2.2.cmml">Q</mi><mo id="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.4.3" xref="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.4.3.cmml">⋄</mo><mrow id="S2.SS1.p4.21.m5.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.4.cmml"><mo id="S2.SS1.p4.21.m5.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.4.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p4.21.m5.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p4.21.m5.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.SS1.p4.21.m5.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.4.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.5" xref="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.5.cmml">∈</mo><mrow id="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.6" xref="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.6.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.6.1" xref="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.6.1.cmml">Fix</mi><mo id="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.6a" lspace="0.167em" xref="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.6.cmml">⁡</mo><msub id="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.6.2" xref="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.6.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.6.2.2" xref="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.6.2.2.cmml">T</mi><mo id="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.6.2.3" xref="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.6.2.3.cmml">⋄</mo></msub></mrow><mo id="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.7" xref="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.7.cmml">≔</mo><mrow id="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.2.2" xref="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.2.3.cmml"><mo id="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.2.3.1.cmml">{</mo><mrow id="S2.SS1.p4.21.m5.2.2.1.1.1" xref="S2.SS1.p4.21.m5.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.21.m5.2.2.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p4.21.m5.2.2.1.1.1.2.cmml">Q</mi><mo id="S2.SS1.p4.21.m5.2.2.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p4.21.m5.2.2.1.1.1.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p4.21.m5.2.2.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p4.21.m5.2.2.1.1.1.3.cmml">ℋ</mi></mrow><mo fence="true" id="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.2.2.4" lspace="0em" rspace="0em" xref="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.2.3.1.cmml">∣</mo><mrow id="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.2.2.2" xref="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.2.2.2.cmml"><mrow id="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.2.2.2.2.cmml"><msub id="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.2.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.2.2.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.2.2.2.2.2.2.cmml">T</mi><mo id="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.2.2.2.2.2.3" xref="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.2.2.2.2.2.3.cmml">⋄</mo></msub><mo id="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.2.2.2.2.1" xref="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.2.2.2.2.3" xref="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.2.2.2.2.3.cmml">Q</mi></mrow><mo id="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.2.2.2.1" xref="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.2.2.2.1.cmml">=</mo><mi id="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.2.2.2.3" xref="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.2.2.2.3.cmml">Q</mi></mrow><mo id="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.2.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p4.21.m5.3b"><apply id="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.21.m5.3.3"><and id="S2.SS1.p4.21.m5.3.3a.cmml" xref="S2.SS1.p4.21.m5.3.3"></and><apply id="S2.SS1.p4.21.m5.3.3b.cmml" xref="S2.SS1.p4.21.m5.3.3"><in id="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.5.cmml" xref="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.5"></in><apply id="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.4.cmml" xref="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.4.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.4">subscript</csymbol><apply id="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.4.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.4.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.4">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.4.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.4.2.2">𝑄</ci><ci id="S2.SS1.p4.21.m5.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.21.m5.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><ci id="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.4.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.4.3">⋄</ci></apply><apply id="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.6.cmml" xref="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.6"><ci id="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.6.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.6.1">Fix</ci><apply id="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.6.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.6.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.6.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.6.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.6.2.2">𝑇</ci><ci id="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.6.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.6.2.3">⋄</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.SS1.p4.21.m5.3.3c.cmml" xref="S2.SS1.p4.21.m5.3.3"><ci id="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.7.cmml" xref="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.7">≔</ci><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S2.SS1.p4.21.m5.3.3.6.cmml" id="S2.SS1.p4.21.m5.3.3d.cmml" xref="S2.SS1.p4.21.m5.3.3"></share><apply id="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.2.2.3">conditional-set</csymbol><apply id="S2.SS1.p4.21.m5.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.21.m5.2.2.1.1.1"><in id="S2.SS1.p4.21.m5.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.21.m5.2.2.1.1.1.1"></in><ci id="S2.SS1.p4.21.m5.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.21.m5.2.2.1.1.1.2">𝑄</ci><ci id="S2.SS1.p4.21.m5.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.21.m5.2.2.1.1.1.3">ℋ</ci></apply><apply id="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.2.2.2"><eq id="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.2.2.2.1"></eq><apply id="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.2.2.2.2"><times id="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.2.2.2.2.1"></times><apply id="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.2.2.2.2.2.2">𝑇</ci><ci id="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.2.2.2.2.2.3">⋄</ci></apply><ci id="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.2.2.2.2.3">𝑄</ci></apply><ci id="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.21.m5.3.3.2.2.2.3">𝑄</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p4.21.m5.3c">Q^{(n)}_{\diamond}\in\operatorname{Fix}T_{\diamond}\coloneqq\{Q\in\mathcal{H}{% \mathbin{}\mid\mathbin{}}T_{\diamond}Q=Q\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p4.21.m5.3d">italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT ⋄ end_POSTSUBSCRIPT ∈ roman_Fix italic_T start_POSTSUBSCRIPT ⋄ end_POSTSUBSCRIPT ≔ { italic_Q ∈ caligraphic_H ∣ italic_T start_POSTSUBSCRIPT ⋄ end_POSTSUBSCRIPT italic_Q = italic_Q }</annotation></semantics></math> <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib2" title="">2</a>]</cite>. If <math alttext="\operatorname{\mathbb{E}}_{\mathbf{s}^{\prime}{\mathbin{}\mid\mathbin{}}% \mathbf{z}}\{\cdot\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p4.22.m6.2"><semantics id="S2.SS1.p4.22.m6.2a"><mrow id="S2.SS1.p4.22.m6.2.2.1" xref="S2.SS1.p4.22.m6.2.2.2.cmml"><msub id="S2.SS1.p4.22.m6.2.2.1.1" xref="S2.SS1.p4.22.m6.2.2.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.22.m6.2.2.1.1.2" xref="S2.SS1.p4.22.m6.2.2.1.1.2.cmml">𝔼</mi><mrow id="S2.SS1.p4.22.m6.2.2.1.1.3" xref="S2.SS1.p4.22.m6.2.2.1.1.3.cmml"><msup id="S2.SS1.p4.22.m6.2.2.1.1.3.2" xref="S2.SS1.p4.22.m6.2.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.22.m6.2.2.1.1.3.2.2" xref="S2.SS1.p4.22.m6.2.2.1.1.3.2.2.cmml">𝐬</mi><mo id="S2.SS1.p4.22.m6.2.2.1.1.3.2.3" xref="S2.SS1.p4.22.m6.2.2.1.1.3.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S2.SS1.p4.22.m6.2.2.1.1.3.1" xref="S2.SS1.p4.22.m6.2.2.1.1.3.1.cmml">∣</mo><mi id="S2.SS1.p4.22.m6.2.2.1.1.3.3" xref="S2.SS1.p4.22.m6.2.2.1.1.3.3.cmml">𝐳</mi></mrow></msub><mo id="S2.SS1.p4.22.m6.2.2.1a" xref="S2.SS1.p4.22.m6.2.2.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S2.SS1.p4.22.m6.2.2.1.2" xref="S2.SS1.p4.22.m6.2.2.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p4.22.m6.2.2.1.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.22.m6.2.2.2.cmml">{</mo><mo id="S2.SS1.p4.22.m6.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S2.SS1.p4.22.m6.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="S2.SS1.p4.22.m6.2.2.1.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.22.m6.2.2.2.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p4.22.m6.2b"><apply id="S2.SS1.p4.22.m6.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.22.m6.2.2.1"><apply id="S2.SS1.p4.22.m6.2.2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.22.m6.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p4.22.m6.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.22.m6.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p4.22.m6.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.22.m6.2.2.1.1.2">𝔼</ci><apply id="S2.SS1.p4.22.m6.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.22.m6.2.2.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS1.p4.22.m6.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.22.m6.2.2.1.1.3.1">conditional</csymbol><apply id="S2.SS1.p4.22.m6.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.22.m6.2.2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p4.22.m6.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.22.m6.2.2.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p4.22.m6.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.22.m6.2.2.1.1.3.2.2">𝐬</ci><ci id="S2.SS1.p4.22.m6.2.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.22.m6.2.2.1.1.3.2.3">′</ci></apply><ci id="S2.SS1.p4.22.m6.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.22.m6.2.2.1.1.3.3">𝐳</ci></apply></apply><ci id="S2.SS1.p4.22.m6.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.22.m6.1.1">⋅</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p4.22.m6.2c">\operatorname{\mathbb{E}}_{\mathbf{s}^{\prime}{\mathbin{}\mid\mathbin{}}% \mathbf{z}}\{\cdot\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p4.22.m6.2d">blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT bold_s start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∣ bold_z end_POSTSUBSCRIPT { ⋅ }</annotation></semantics></math> is available, the computation of <math alttext="T_{\diamond}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p4.23.m7.1"><semantics id="S2.SS1.p4.23.m7.1a"><msub id="S2.SS1.p4.23.m7.1.1" xref="S2.SS1.p4.23.m7.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.23.m7.1.1.2" xref="S2.SS1.p4.23.m7.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="S2.SS1.p4.23.m7.1.1.3" xref="S2.SS1.p4.23.m7.1.1.3.cmml">⋄</mo></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p4.23.m7.1b"><apply id="S2.SS1.p4.23.m7.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.23.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p4.23.m7.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.23.m7.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p4.23.m7.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.23.m7.1.1.2">𝑇</ci><ci id="S2.SS1.p4.23.m7.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.23.m7.1.1.3">⋄</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p4.23.m7.1c">T_{\diamond}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p4.23.m7.1d">italic_T start_POSTSUBSCRIPT ⋄ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and any of its fixed points can be performed at every agent <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p4.24.m8.1"><semantics id="S2.SS1.p4.24.m8.1a"><mi id="S2.SS1.p4.24.m8.1.1" xref="S2.SS1.p4.24.m8.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p4.24.m8.1b"><ci id="S2.SS1.p4.24.m8.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.24.m8.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p4.24.m8.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p4.24.m8.1d">italic_n</annotation></semantics></math> independently from all other agents.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.p5"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p5.20">Following the nonparametric framework of <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib12" title="">12</a>]</cite>, Q-functions will be henceforth considered to be elements of a reproducing kernel Hilbert space (RKHS) <math alttext="\mathcal{H}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p5.1.m1.1"><semantics id="S2.SS1.p5.1.m1.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p5.1.m1.1.1" xref="S2.SS1.p5.1.m1.1.1.cmml">ℋ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p5.1.m1.1b"><ci id="S2.SS1.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.1.m1.1.1">ℋ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p5.1.m1.1c">\mathcal{H}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p5.1.m1.1d">caligraphic_H</annotation></semantics></math> <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib26" title="">26</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib27" title="">27</a>]</cite>, common to all agents. The functional space <math alttext="\mathcal{H}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p5.2.m2.1"><semantics id="S2.SS1.p5.2.m2.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p5.2.m2.1.1" xref="S2.SS1.p5.2.m2.1.1.cmml">ℋ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p5.2.m2.1b"><ci id="S2.SS1.p5.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.2.m2.1.1">ℋ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p5.2.m2.1c">\mathcal{H}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p5.2.m2.1d">caligraphic_H</annotation></semantics></math> is potentially infinite dimensional <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib26" title="">26</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib27" title="">27</a>]</cite>, equipped with an inner product <math alttext="\langle\cdot\mathop{}|\mathop{}\cdot\rangle_{\mathcal{H}}" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S2.SS1.p5.3.m3.1"><semantics id="S2.SS1.p5.3.m3.1a"><msub id="S2.SS1.p5.3.m3.1.1"><mrow id="S2.SS1.p5.3.m3.1.1.2"><mo id="S2.SS1.p5.3.m3.1.1.2.1" stretchy="false">⟨</mo><mo id="S2.SS1.p5.3.m3.1.1.2.2" lspace="0em" rspace="0em">⋅</mo><mo fence="false" id="S2.SS1.p5.3.m3.1.1.2.3" stretchy="false">|</mo><mo id="S2.SS1.p5.3.m3.1.1.2.4" lspace="0em" rspace="0em">⋅</mo><mo id="S2.SS1.p5.3.m3.1.1.2.5" stretchy="false">⟩</mo></mrow><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p5.3.m3.1.1.3">ℋ</mi></msub><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p5.3.m3.1b">\langle\cdot\mathop{}|\mathop{}\cdot\rangle_{\mathcal{H}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p5.3.m3.1c">⟨ ⋅ | ⋅ ⟩ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_H end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, induced norm <math alttext="\lVert\cdot\rVert_{\mathcal{H}}\coloneqq\langle\cdot\mathop{}|\mathop{}\cdot% \rangle_{\mathcal{H}}^{1/2}" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S2.SS1.p5.4.m4.1"><semantics id="S2.SS1.p5.4.m4.1a"><mrow id="S2.SS1.p5.4.m4.1b"><msub id="S2.SS1.p5.4.m4.1.2"><mrow id="S2.SS1.p5.4.m4.1.2.2"><mo fence="true" id="S2.SS1.p5.4.m4.1.2.2.1" rspace="0em">∥</mo><mo id="S2.SS1.p5.4.m4.1.1" lspace="0em" rspace="0em">⋅</mo><mo fence="true" id="S2.SS1.p5.4.m4.1.2.2.2" lspace="0em">∥</mo></mrow><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p5.4.m4.1.2.3">ℋ</mi></msub><mo id="S2.SS1.p5.4.m4.1.3">≔</mo><msubsup id="S2.SS1.p5.4.m4.1.4"><mrow id="S2.SS1.p5.4.m4.1.4.2.2"><mo id="S2.SS1.p5.4.m4.1.4.2.2.1" stretchy="false">⟨</mo><mo id="S2.SS1.p5.4.m4.1.4.2.2.2" lspace="0em" rspace="0em">⋅</mo><mo fence="false" id="S2.SS1.p5.4.m4.1.4.2.2.3" stretchy="false">|</mo><mo id="S2.SS1.p5.4.m4.1.4.2.2.4" lspace="0em" rspace="0em">⋅</mo><mo id="S2.SS1.p5.4.m4.1.4.2.2.5" stretchy="false">⟩</mo></mrow><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p5.4.m4.1.4.2.3">ℋ</mi><mrow id="S2.SS1.p5.4.m4.1.4.3"><mn id="S2.SS1.p5.4.m4.1.4.3.2">1</mn><mo id="S2.SS1.p5.4.m4.1.4.3.1">/</mo><mn id="S2.SS1.p5.4.m4.1.4.3.3">2</mn></mrow></msubsup></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p5.4.m4.1c">\lVert\cdot\rVert_{\mathcal{H}}\coloneqq\langle\cdot\mathop{}|\mathop{}\cdot% \rangle_{\mathcal{H}}^{1/2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p5.4.m4.1d">∥ ⋅ ∥ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_H end_POSTSUBSCRIPT ≔ ⟨ ⋅ | ⋅ ⟩ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_H end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, and a feature mapping <math alttext="\varphi\colon\mathcal{Z}\to\mathcal{H}\colon\mathbf{z}\mapsto\varphi(\mathbf{z})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p5.5.m5.1"><semantics id="S2.SS1.p5.5.m5.1a"><mrow id="S2.SS1.p5.5.m5.1.2" xref="S2.SS1.p5.5.m5.1.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p5.5.m5.1.2.2" xref="S2.SS1.p5.5.m5.1.2.2.cmml">φ</mi><mo id="S2.SS1.p5.5.m5.1.2.3" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.SS1.p5.5.m5.1.2.3.cmml">:</mo><mrow id="S2.SS1.p5.5.m5.1.2.4" xref="S2.SS1.p5.5.m5.1.2.4.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p5.5.m5.1.2.4.2" xref="S2.SS1.p5.5.m5.1.2.4.2.cmml">𝒵</mi><mo id="S2.SS1.p5.5.m5.1.2.4.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p5.5.m5.1.2.4.1.cmml">→</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p5.5.m5.1.2.4.3" xref="S2.SS1.p5.5.m5.1.2.4.3.cmml">ℋ</mi></mrow><mo id="S2.SS1.p5.5.m5.1.2.5" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.SS1.p5.5.m5.1.2.5.cmml">:</mo><mrow id="S2.SS1.p5.5.m5.1.2.6" xref="S2.SS1.p5.5.m5.1.2.6.cmml"><mi id="S2.SS1.p5.5.m5.1.2.6.2" xref="S2.SS1.p5.5.m5.1.2.6.2.cmml">𝐳</mi><mo id="S2.SS1.p5.5.m5.1.2.6.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p5.5.m5.1.2.6.1.cmml">↦</mo><mrow id="S2.SS1.p5.5.m5.1.2.6.3" xref="S2.SS1.p5.5.m5.1.2.6.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p5.5.m5.1.2.6.3.2" xref="S2.SS1.p5.5.m5.1.2.6.3.2.cmml">φ</mi><mo id="S2.SS1.p5.5.m5.1.2.6.3.1" xref="S2.SS1.p5.5.m5.1.2.6.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.p5.5.m5.1.2.6.3.3.2" xref="S2.SS1.p5.5.m5.1.2.6.3.cmml"><mo id="S2.SS1.p5.5.m5.1.2.6.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p5.5.m5.1.2.6.3.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p5.5.m5.1.1" xref="S2.SS1.p5.5.m5.1.1.cmml">𝐳</mi><mo id="S2.SS1.p5.5.m5.1.2.6.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p5.5.m5.1.2.6.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p5.5.m5.1b"><apply id="S2.SS1.p5.5.m5.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p5.5.m5.1.2"><and id="S2.SS1.p5.5.m5.1.2a.cmml" xref="S2.SS1.p5.5.m5.1.2"></and><apply id="S2.SS1.p5.5.m5.1.2b.cmml" xref="S2.SS1.p5.5.m5.1.2"><ci id="S2.SS1.p5.5.m5.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p5.5.m5.1.2.3">:</ci><ci id="S2.SS1.p5.5.m5.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p5.5.m5.1.2.2">𝜑</ci><apply id="S2.SS1.p5.5.m5.1.2.4.cmml" xref="S2.SS1.p5.5.m5.1.2.4"><ci id="S2.SS1.p5.5.m5.1.2.4.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.5.m5.1.2.4.1">→</ci><ci id="S2.SS1.p5.5.m5.1.2.4.2.cmml" xref="S2.SS1.p5.5.m5.1.2.4.2">𝒵</ci><ci id="S2.SS1.p5.5.m5.1.2.4.3.cmml" xref="S2.SS1.p5.5.m5.1.2.4.3">ℋ</ci></apply></apply><apply id="S2.SS1.p5.5.m5.1.2c.cmml" xref="S2.SS1.p5.5.m5.1.2"><ci id="S2.SS1.p5.5.m5.1.2.5.cmml" xref="S2.SS1.p5.5.m5.1.2.5">:</ci><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S2.SS1.p5.5.m5.1.2.4.cmml" id="S2.SS1.p5.5.m5.1.2d.cmml" xref="S2.SS1.p5.5.m5.1.2"></share><apply id="S2.SS1.p5.5.m5.1.2.6.cmml" xref="S2.SS1.p5.5.m5.1.2.6"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS1.p5.5.m5.1.2.6.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.5.m5.1.2.6.1">maps-to</csymbol><ci id="S2.SS1.p5.5.m5.1.2.6.2.cmml" xref="S2.SS1.p5.5.m5.1.2.6.2">𝐳</ci><apply id="S2.SS1.p5.5.m5.1.2.6.3.cmml" xref="S2.SS1.p5.5.m5.1.2.6.3"><times id="S2.SS1.p5.5.m5.1.2.6.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.5.m5.1.2.6.3.1"></times><ci id="S2.SS1.p5.5.m5.1.2.6.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p5.5.m5.1.2.6.3.2">𝜑</ci><ci id="S2.SS1.p5.5.m5.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.5.m5.1.1">𝐳</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p5.5.m5.1c">\varphi\colon\mathcal{Z}\to\mathcal{H}\colon\mathbf{z}\mapsto\varphi(\mathbf{z})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p5.5.m5.1d">italic_φ : caligraphic_Z → caligraphic_H : bold_z ↦ italic_φ ( bold_z )</annotation></semantics></math>, so that the celebrated <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.SS1.p5.20.1">reproducing property</span> holds true: <math alttext="\forall Q^{(n)}\in\mathcal{H}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p5.6.m6.1"><semantics id="S2.SS1.p5.6.m6.1a"><mrow id="S2.SS1.p5.6.m6.1.2" xref="S2.SS1.p5.6.m6.1.2.cmml"><mrow id="S2.SS1.p5.6.m6.1.2.2" xref="S2.SS1.p5.6.m6.1.2.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p5.6.m6.1.2.2.1" rspace="0.167em" xref="S2.SS1.p5.6.m6.1.2.2.1.cmml">∀</mo><msup id="S2.SS1.p5.6.m6.1.2.2.2" xref="S2.SS1.p5.6.m6.1.2.2.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p5.6.m6.1.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p5.6.m6.1.2.2.2.2.cmml">Q</mi><mrow id="S2.SS1.p5.6.m6.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p5.6.m6.1.2.2.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p5.6.m6.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p5.6.m6.1.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p5.6.m6.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p5.6.m6.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.SS1.p5.6.m6.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p5.6.m6.1.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></msup></mrow><mo id="S2.SS1.p5.6.m6.1.2.1" xref="S2.SS1.p5.6.m6.1.2.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p5.6.m6.1.2.3" xref="S2.SS1.p5.6.m6.1.2.3.cmml">ℋ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p5.6.m6.1b"><apply id="S2.SS1.p5.6.m6.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p5.6.m6.1.2"><in id="S2.SS1.p5.6.m6.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.6.m6.1.2.1"></in><apply id="S2.SS1.p5.6.m6.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p5.6.m6.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS1.p5.6.m6.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.6.m6.1.2.2.1">for-all</csymbol><apply id="S2.SS1.p5.6.m6.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p5.6.m6.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p5.6.m6.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.6.m6.1.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p5.6.m6.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p5.6.m6.1.2.2.2.2">𝑄</ci><ci id="S2.SS1.p5.6.m6.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.6.m6.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></apply><ci id="S2.SS1.p5.6.m6.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p5.6.m6.1.2.3">ℋ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p5.6.m6.1c">\forall Q^{(n)}\in\mathcal{H}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p5.6.m6.1d">∀ italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ∈ caligraphic_H</annotation></semantics></math>, <math alttext="\forall\mathbf{z}\in\mathcal{Z}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p5.7.m7.1"><semantics id="S2.SS1.p5.7.m7.1a"><mrow id="S2.SS1.p5.7.m7.1.1" xref="S2.SS1.p5.7.m7.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS1.p5.7.m7.1.1.2" xref="S2.SS1.p5.7.m7.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p5.7.m7.1.1.2.1" rspace="0.167em" xref="S2.SS1.p5.7.m7.1.1.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S2.SS1.p5.7.m7.1.1.2.2" xref="S2.SS1.p5.7.m7.1.1.2.2.cmml">𝐳</mi></mrow><mo id="S2.SS1.p5.7.m7.1.1.1" xref="S2.SS1.p5.7.m7.1.1.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p5.7.m7.1.1.3" xref="S2.SS1.p5.7.m7.1.1.3.cmml">𝒵</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p5.7.m7.1b"><apply id="S2.SS1.p5.7.m7.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.7.m7.1.1"><in id="S2.SS1.p5.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.7.m7.1.1.1"></in><apply id="S2.SS1.p5.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p5.7.m7.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS1.p5.7.m7.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.7.m7.1.1.2.1">for-all</csymbol><ci id="S2.SS1.p5.7.m7.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p5.7.m7.1.1.2.2">𝐳</ci></apply><ci id="S2.SS1.p5.7.m7.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p5.7.m7.1.1.3">𝒵</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p5.7.m7.1c">\forall\mathbf{z}\in\mathcal{Z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p5.7.m7.1d">∀ bold_z ∈ caligraphic_Z</annotation></semantics></math>, <math alttext="Q^{(n)}(\mathbf{z})=\langle Q^{(n)}\mathop{}|\mathop{}\varphi(\mathbf{z})% \rangle_{\mathcal{H}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p5.8.m8.6"><semantics id="S2.SS1.p5.8.m8.6a"><mrow id="S2.SS1.p5.8.m8.6.6" xref="S2.SS1.p5.8.m8.6.6.cmml"><mrow id="S2.SS1.p5.8.m8.6.6.4" xref="S2.SS1.p5.8.m8.6.6.4.cmml"><msup id="S2.SS1.p5.8.m8.6.6.4.2" xref="S2.SS1.p5.8.m8.6.6.4.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p5.8.m8.6.6.4.2.2" xref="S2.SS1.p5.8.m8.6.6.4.2.2.cmml">Q</mi><mrow id="S2.SS1.p5.8.m8.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p5.8.m8.6.6.4.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p5.8.m8.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p5.8.m8.6.6.4.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p5.8.m8.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p5.8.m8.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.SS1.p5.8.m8.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p5.8.m8.6.6.4.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S2.SS1.p5.8.m8.6.6.4.1" xref="S2.SS1.p5.8.m8.6.6.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.p5.8.m8.6.6.4.3.2" xref="S2.SS1.p5.8.m8.6.6.4.cmml"><mo id="S2.SS1.p5.8.m8.6.6.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p5.8.m8.6.6.4.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p5.8.m8.3.3" xref="S2.SS1.p5.8.m8.3.3.cmml">𝐳</mi><mo id="S2.SS1.p5.8.m8.6.6.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p5.8.m8.6.6.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS1.p5.8.m8.6.6.3" xref="S2.SS1.p5.8.m8.6.6.3.cmml">=</mo><msub id="S2.SS1.p5.8.m8.6.6.2" xref="S2.SS1.p5.8.m8.6.6.2.cmml"><mrow id="S2.SS1.p5.8.m8.6.6.2.2.2" xref="S2.SS1.p5.8.m8.6.6.2.2.3.cmml"><mo id="S2.SS1.p5.8.m8.6.6.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.p5.8.m8.6.6.2.2.3.1.cmml">⟨</mo><msup id="S2.SS1.p5.8.m8.5.5.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p5.8.m8.5.5.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p5.8.m8.5.5.1.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p5.8.m8.5.5.1.1.1.1.2.cmml">Q</mi><mrow id="S2.SS1.p5.8.m8.2.2.1.3" xref="S2.SS1.p5.8.m8.5.5.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p5.8.m8.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p5.8.m8.5.5.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p5.8.m8.2.2.1.1" xref="S2.SS1.p5.8.m8.2.2.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.SS1.p5.8.m8.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p5.8.m8.5.5.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S2.SS1.p5.8.m8.6.6.2.2.2.4" lspace="0em" rspace="0em" xref="S2.SS1.p5.8.m8.6.6.2.2.3.1.cmml">|</mo><mrow id="S2.SS1.p5.8.m8.6.6.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p5.8.m8.6.6.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p5.8.m8.6.6.2.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p5.8.m8.6.6.2.2.2.2.2.cmml">φ</mi><mo id="S2.SS1.p5.8.m8.6.6.2.2.2.2.1" xref="S2.SS1.p5.8.m8.6.6.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.p5.8.m8.6.6.2.2.2.2.3.2" xref="S2.SS1.p5.8.m8.6.6.2.2.2.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p5.8.m8.6.6.2.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p5.8.m8.6.6.2.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p5.8.m8.4.4" xref="S2.SS1.p5.8.m8.4.4.cmml">𝐳</mi><mo id="S2.SS1.p5.8.m8.6.6.2.2.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p5.8.m8.6.6.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS1.p5.8.m8.6.6.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.SS1.p5.8.m8.6.6.2.2.3.1.cmml">⟩</mo></mrow><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p5.8.m8.6.6.2.4" xref="S2.SS1.p5.8.m8.6.6.2.4.cmml">ℋ</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p5.8.m8.6b"><apply id="S2.SS1.p5.8.m8.6.6.cmml" xref="S2.SS1.p5.8.m8.6.6"><eq id="S2.SS1.p5.8.m8.6.6.3.cmml" xref="S2.SS1.p5.8.m8.6.6.3"></eq><apply id="S2.SS1.p5.8.m8.6.6.4.cmml" xref="S2.SS1.p5.8.m8.6.6.4"><times id="S2.SS1.p5.8.m8.6.6.4.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.8.m8.6.6.4.1"></times><apply id="S2.SS1.p5.8.m8.6.6.4.2.cmml" xref="S2.SS1.p5.8.m8.6.6.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p5.8.m8.6.6.4.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.8.m8.6.6.4.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p5.8.m8.6.6.4.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p5.8.m8.6.6.4.2.2">𝑄</ci><ci id="S2.SS1.p5.8.m8.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.8.m8.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><ci id="S2.SS1.p5.8.m8.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p5.8.m8.3.3">𝐳</ci></apply><apply id="S2.SS1.p5.8.m8.6.6.2.cmml" xref="S2.SS1.p5.8.m8.6.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p5.8.m8.6.6.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p5.8.m8.6.6.2">subscript</csymbol><apply id="S2.SS1.p5.8.m8.6.6.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p5.8.m8.6.6.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS1.p5.8.m8.6.6.2.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.8.m8.6.6.2.2.2.3">inner-product</csymbol><apply id="S2.SS1.p5.8.m8.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.8.m8.5.5.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p5.8.m8.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.8.m8.5.5.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p5.8.m8.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p5.8.m8.5.5.1.1.1.1.2">𝑄</ci><ci id="S2.SS1.p5.8.m8.2.2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.8.m8.2.2.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S2.SS1.p5.8.m8.6.6.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p5.8.m8.6.6.2.2.2.2"><times id="S2.SS1.p5.8.m8.6.6.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.8.m8.6.6.2.2.2.2.1"></times><ci id="S2.SS1.p5.8.m8.6.6.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p5.8.m8.6.6.2.2.2.2.2">𝜑</ci><ci id="S2.SS1.p5.8.m8.4.4.cmml" xref="S2.SS1.p5.8.m8.4.4">𝐳</ci></apply></apply><ci id="S2.SS1.p5.8.m8.6.6.2.4.cmml" xref="S2.SS1.p5.8.m8.6.6.2.4">ℋ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p5.8.m8.6c">Q^{(n)}(\mathbf{z})=\langle Q^{(n)}\mathop{}|\mathop{}\varphi(\mathbf{z})% \rangle_{\mathcal{H}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p5.8.m8.6d">italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ( bold_z ) = ⟨ italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT | italic_φ ( bold_z ) ⟩ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_H end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib26" title="">26</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib27" title="">27</a>]</cite>. To use familiar notations from linear algebra, the “dot-product” <math alttext="Q^{(n)\intercal}\varphi(\mathbf{z})=\varphi^{\intercal}(\mathbf{z})Q^{(n)}% \coloneqq\langle Q^{(n)}\mathop{}|\mathop{}\varphi(\mathbf{z})\rangle_{% \mathcal{H}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p5.9.m9.8"><semantics id="S2.SS1.p5.9.m9.8a"><mrow id="S2.SS1.p5.9.m9.8.8" xref="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.cmml"><mrow id="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.4" xref="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.4.cmml"><msup id="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.4.2" xref="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.4.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.4.2.2" xref="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.4.2.2.cmml">Q</mi><mrow id="S2.SS1.p5.9.m9.1.1.1" xref="S2.SS1.p5.9.m9.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS1.p5.9.m9.1.1.1.3.2" xref="S2.SS1.p5.9.m9.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p5.9.m9.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p5.9.m9.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p5.9.m9.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p5.9.m9.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.SS1.p5.9.m9.1.1.1.3.2.2" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S2.SS1.p5.9.m9.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.SS1.p5.9.m9.1.1.1.4" xref="S2.SS1.p5.9.m9.1.1.1.4.cmml">⊺</mo></mrow></msup><mo id="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.4.1" xref="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.4.3" xref="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.4.3.cmml">φ</mi><mo id="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.4.1a" xref="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.4.4.2" xref="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.4.cmml"><mo id="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.4.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.4.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p5.9.m9.4.4" xref="S2.SS1.p5.9.m9.4.4.cmml">𝐳</mi><mo id="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.4.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.5" xref="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.5.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.6" xref="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.6.cmml"><msup id="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.6.2" xref="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.6.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.6.2.2" xref="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.6.2.2.cmml">φ</mi><mo id="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.6.2.3" xref="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.6.2.3.cmml">⊺</mo></msup><mo id="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.6.1" xref="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.6.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.6.3.2" xref="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.6.cmml"><mo id="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.6.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.6.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p5.9.m9.5.5" xref="S2.SS1.p5.9.m9.5.5.cmml">𝐳</mi><mo id="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.6.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.6.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.6.1a" xref="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.6.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.6.4" xref="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.6.4.cmml"><mi id="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.6.4.2" xref="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.6.4.2.cmml">Q</mi><mrow id="S2.SS1.p5.9.m9.2.2.1.3" xref="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.6.4.cmml"><mo id="S2.SS1.p5.9.m9.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.6.4.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p5.9.m9.2.2.1.1" xref="S2.SS1.p5.9.m9.2.2.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.SS1.p5.9.m9.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.6.4.cmml">)</mo></mrow></msup></mrow><mo id="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.7" xref="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.7.cmml">≔</mo><msub id="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.2" xref="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.2.cmml"><mrow id="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.2.2.2" xref="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.2.2.3.cmml"><mo id="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.2.2.3.1.cmml">⟨</mo><msup id="S2.SS1.p5.9.m9.7.7.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p5.9.m9.7.7.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p5.9.m9.7.7.1.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p5.9.m9.7.7.1.1.1.1.2.cmml">Q</mi><mrow id="S2.SS1.p5.9.m9.3.3.1.3" xref="S2.SS1.p5.9.m9.7.7.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p5.9.m9.3.3.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p5.9.m9.7.7.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p5.9.m9.3.3.1.1" xref="S2.SS1.p5.9.m9.3.3.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.SS1.p5.9.m9.3.3.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p5.9.m9.7.7.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.2.2.2.4" lspace="0em" rspace="0em" xref="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.2.2.3.1.cmml">|</mo><mrow id="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.2.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.2.2.2.2.2.cmml">φ</mi><mo id="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.2.2.2.2.1" xref="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.2.2.2.2.3.2" xref="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.2.2.2.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.2.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.2.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p5.9.m9.6.6" xref="S2.SS1.p5.9.m9.6.6.cmml">𝐳</mi><mo id="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.2.2.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.2.2.3.1.cmml">⟩</mo></mrow><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.2.4" xref="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.2.4.cmml">ℋ</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p5.9.m9.8b"><apply id="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.cmml" xref="S2.SS1.p5.9.m9.8.8"><and id="S2.SS1.p5.9.m9.8.8a.cmml" xref="S2.SS1.p5.9.m9.8.8"></and><apply id="S2.SS1.p5.9.m9.8.8b.cmml" xref="S2.SS1.p5.9.m9.8.8"><eq id="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.5.cmml" xref="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.5"></eq><apply id="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.4.cmml" xref="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.4"><times id="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.4.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.4.1"></times><apply id="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.4.2.cmml" xref="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.4.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.4.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.4.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.4.2.2">𝑄</ci><apply id="S2.SS1.p5.9.m9.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.9.m9.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS1.p5.9.m9.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p5.9.m9.1.1.1">limit-from</csymbol><ci id="S2.SS1.p5.9.m9.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.9.m9.1.1.1.1">𝑛</ci><ci id="S2.SS1.p5.9.m9.1.1.1.4.cmml" xref="S2.SS1.p5.9.m9.1.1.1.4">⊺</ci></apply></apply><ci id="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.4.3.cmml" xref="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.4.3">𝜑</ci><ci id="S2.SS1.p5.9.m9.4.4.cmml" xref="S2.SS1.p5.9.m9.4.4">𝐳</ci></apply><apply id="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.6.cmml" xref="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.6"><times id="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.6.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.6.1"></times><apply id="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.6.2.cmml" xref="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.6.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.6.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.6.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.6.2.2">𝜑</ci><ci id="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.6.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.6.2.3">⊺</ci></apply><ci id="S2.SS1.p5.9.m9.5.5.cmml" xref="S2.SS1.p5.9.m9.5.5">𝐳</ci><apply id="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.6.4.cmml" xref="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.6.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.6.4.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.6.4">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.6.4.2.cmml" xref="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.6.4.2">𝑄</ci><ci id="S2.SS1.p5.9.m9.2.2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.9.m9.2.2.1.1">𝑛</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.SS1.p5.9.m9.8.8c.cmml" xref="S2.SS1.p5.9.m9.8.8"><ci id="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.7.cmml" xref="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.7">≔</ci><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S2.SS1.p5.9.m9.8.8.6.cmml" id="S2.SS1.p5.9.m9.8.8d.cmml" xref="S2.SS1.p5.9.m9.8.8"></share><apply id="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.2.cmml" xref="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.2">subscript</csymbol><apply id="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.2.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.2.2.2.3">inner-product</csymbol><apply id="S2.SS1.p5.9.m9.7.7.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.9.m9.7.7.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p5.9.m9.7.7.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.9.m9.7.7.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p5.9.m9.7.7.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p5.9.m9.7.7.1.1.1.1.2">𝑄</ci><ci id="S2.SS1.p5.9.m9.3.3.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.9.m9.3.3.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.2.2.2.2"><times id="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.2.2.2.2.1"></times><ci id="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.2.2.2.2.2">𝜑</ci><ci id="S2.SS1.p5.9.m9.6.6.cmml" xref="S2.SS1.p5.9.m9.6.6">𝐳</ci></apply></apply><ci id="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.2.4.cmml" xref="S2.SS1.p5.9.m9.8.8.2.4">ℋ</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p5.9.m9.8c">Q^{(n)\intercal}\varphi(\mathbf{z})=\varphi^{\intercal}(\mathbf{z})Q^{(n)}% \coloneqq\langle Q^{(n)}\mathop{}|\mathop{}\varphi(\mathbf{z})\rangle_{% \mathcal{H}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p5.9.m9.8d">italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) ⊺ end_POSTSUPERSCRIPT italic_φ ( bold_z ) = italic_φ start_POSTSUPERSCRIPT ⊺ end_POSTSUPERSCRIPT ( bold_z ) italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ≔ ⟨ italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT | italic_φ ( bold_z ) ⟩ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_H end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> will be used for the inner product hereafter, where <math alttext="\intercal" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p5.10.m10.1"><semantics id="S2.SS1.p5.10.m10.1a"><mo id="S2.SS1.p5.10.m10.1.1" xref="S2.SS1.p5.10.m10.1.1.cmml">⊺</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p5.10.m10.1b"><ci id="S2.SS1.p5.10.m10.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.10.m10.1.1">⊺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p5.10.m10.1c">\intercal</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p5.10.m10.1d">⊺</annotation></semantics></math> stands for the transposition operator. To simplify notation for the distributed setting, let <math alttext="\mathfrak{Q}\coloneqq[\,Q^{(1)},\ldots,Q^{(N)}\,]\in\mathbfcal{H}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p5.11.m11.5"><semantics id="S2.SS1.p5.11.m11.5a"><mrow id="S2.SS1.p5.11.m11.5.5" xref="S2.SS1.p5.11.m11.5.5.cmml"><mi id="S2.SS1.p5.11.m11.5.5.4" xref="S2.SS1.p5.11.m11.5.5.4.cmml">𝔔</mi><mo id="S2.SS1.p5.11.m11.5.5.5" xref="S2.SS1.p5.11.m11.5.5.5.cmml">≔</mo><mrow id="S2.SS1.p5.11.m11.5.5.2.2" xref="S2.SS1.p5.11.m11.5.5.2.3.cmml"><mo id="S2.SS1.p5.11.m11.5.5.2.2.3" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S2.SS1.p5.11.m11.5.5.2.3.cmml">[</mo><msup id="S2.SS1.p5.11.m11.4.4.1.1.1" xref="S2.SS1.p5.11.m11.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p5.11.m11.4.4.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p5.11.m11.4.4.1.1.1.2.cmml">Q</mi><mrow id="S2.SS1.p5.11.m11.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p5.11.m11.4.4.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p5.11.m11.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p5.11.m11.4.4.1.1.1.cmml">(</mo><mn id="S2.SS1.p5.11.m11.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p5.11.m11.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S2.SS1.p5.11.m11.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p5.11.m11.4.4.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S2.SS1.p5.11.m11.5.5.2.2.4" xref="S2.SS1.p5.11.m11.5.5.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.SS1.p5.11.m11.3.3" mathvariant="normal" xref="S2.SS1.p5.11.m11.3.3.cmml">…</mi><mo id="S2.SS1.p5.11.m11.5.5.2.2.5" xref="S2.SS1.p5.11.m11.5.5.2.3.cmml">,</mo><msup id="S2.SS1.p5.11.m11.5.5.2.2.2" xref="S2.SS1.p5.11.m11.5.5.2.2.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p5.11.m11.5.5.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p5.11.m11.5.5.2.2.2.2.cmml">Q</mi><mrow id="S2.SS1.p5.11.m11.2.2.1.3" xref="S2.SS1.p5.11.m11.5.5.2.2.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p5.11.m11.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p5.11.m11.5.5.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p5.11.m11.2.2.1.1" xref="S2.SS1.p5.11.m11.2.2.1.1.cmml">N</mi><mo id="S2.SS1.p5.11.m11.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p5.11.m11.5.5.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S2.SS1.p5.11.m11.5.5.2.2.6" stretchy="false" xref="S2.SS1.p5.11.m11.5.5.2.3.cmml">]</mo></mrow><mo id="S2.SS1.p5.11.m11.5.5.6" xref="S2.SS1.p5.11.m11.5.5.6.cmml">∈</mo><mi id="S2.SS1.p5.11.m11.5.5.7" mathvariant="normal" xref="S2.SS1.p5.11.m11.5.5.7.cmml">ℋ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p5.11.m11.5b"><apply id="S2.SS1.p5.11.m11.5.5.cmml" xref="S2.SS1.p5.11.m11.5.5"><and id="S2.SS1.p5.11.m11.5.5a.cmml" xref="S2.SS1.p5.11.m11.5.5"></and><apply id="S2.SS1.p5.11.m11.5.5b.cmml" xref="S2.SS1.p5.11.m11.5.5"><ci id="S2.SS1.p5.11.m11.5.5.5.cmml" xref="S2.SS1.p5.11.m11.5.5.5">≔</ci><ci id="S2.SS1.p5.11.m11.5.5.4.cmml" xref="S2.SS1.p5.11.m11.5.5.4">𝔔</ci><list id="S2.SS1.p5.11.m11.5.5.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p5.11.m11.5.5.2.2"><apply id="S2.SS1.p5.11.m11.4.4.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.11.m11.4.4.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p5.11.m11.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.11.m11.4.4.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p5.11.m11.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p5.11.m11.4.4.1.1.1.2">𝑄</ci><cn id="S2.SS1.p5.11.m11.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p5.11.m11.1.1.1.1">1</cn></apply><ci id="S2.SS1.p5.11.m11.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p5.11.m11.3.3">…</ci><apply id="S2.SS1.p5.11.m11.5.5.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p5.11.m11.5.5.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p5.11.m11.5.5.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.11.m11.5.5.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p5.11.m11.5.5.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p5.11.m11.5.5.2.2.2.2">𝑄</ci><ci id="S2.SS1.p5.11.m11.2.2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.11.m11.2.2.1.1">𝑁</ci></apply></list></apply><apply id="S2.SS1.p5.11.m11.5.5c.cmml" xref="S2.SS1.p5.11.m11.5.5"><in id="S2.SS1.p5.11.m11.5.5.6.cmml" xref="S2.SS1.p5.11.m11.5.5.6"></in><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S2.SS1.p5.11.m11.5.5.2.cmml" id="S2.SS1.p5.11.m11.5.5d.cmml" xref="S2.SS1.p5.11.m11.5.5"></share><ci id="S2.SS1.p5.11.m11.5.5.7.cmml" xref="S2.SS1.p5.11.m11.5.5.7">ℋ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p5.11.m11.5c">\mathfrak{Q}\coloneqq[\,Q^{(1)},\ldots,Q^{(N)}\,]\in\mathbfcal{H}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p5.11.m11.5d">fraktur_Q ≔ [ italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT , … , italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_N ) end_POSTSUPERSCRIPT ] ∈ roman_ℋ</annotation></semantics></math>, where <math alttext="\mathbfcal{H}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p5.12.m12.1"><semantics id="S2.SS1.p5.12.m12.1a"><mi id="S2.SS1.p5.12.m12.1.1" mathvariant="normal" xref="S2.SS1.p5.12.m12.1.1.cmml">ℋ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p5.12.m12.1b"><ci id="S2.SS1.p5.12.m12.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.12.m12.1.1">ℋ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p5.12.m12.1c">\mathbfcal{H}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p5.12.m12.1d">roman_ℋ</annotation></semantics></math> stands for the <math alttext="N" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p5.13.m13.1"><semantics id="S2.SS1.p5.13.m13.1a"><mi id="S2.SS1.p5.13.m13.1.1" xref="S2.SS1.p5.13.m13.1.1.cmml">N</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p5.13.m13.1b"><ci id="S2.SS1.p5.13.m13.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.13.m13.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p5.13.m13.1c">N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p5.13.m13.1d">italic_N</annotation></semantics></math>-times Cartesian product space <math alttext="\mathcal{H}\times\ldots\times\mathcal{H}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p5.14.m14.1"><semantics id="S2.SS1.p5.14.m14.1a"><mrow id="S2.SS1.p5.14.m14.1.1" xref="S2.SS1.p5.14.m14.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p5.14.m14.1.1.2" xref="S2.SS1.p5.14.m14.1.1.2.cmml">ℋ</mi><mo id="S2.SS1.p5.14.m14.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.SS1.p5.14.m14.1.1.1.cmml">×</mo><mi id="S2.SS1.p5.14.m14.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S2.SS1.p5.14.m14.1.1.3.cmml">…</mi><mo id="S2.SS1.p5.14.m14.1.1.1a" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.SS1.p5.14.m14.1.1.1.cmml">×</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p5.14.m14.1.1.4" xref="S2.SS1.p5.14.m14.1.1.4.cmml">ℋ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p5.14.m14.1b"><apply id="S2.SS1.p5.14.m14.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.14.m14.1.1"><times id="S2.SS1.p5.14.m14.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.14.m14.1.1.1"></times><ci id="S2.SS1.p5.14.m14.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p5.14.m14.1.1.2">ℋ</ci><ci id="S2.SS1.p5.14.m14.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p5.14.m14.1.1.3">…</ci><ci id="S2.SS1.p5.14.m14.1.1.4.cmml" xref="S2.SS1.p5.14.m14.1.1.4">ℋ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p5.14.m14.1c">\mathcal{H}\times\ldots\times\mathcal{H}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p5.14.m14.1d">caligraphic_H × … × caligraphic_H</annotation></semantics></math>, with inner product: <math alttext="\langle\mathfrak{Q}_{1}\mathop{}|\mathop{}\mathfrak{Q}_{2}\rangle_{\mathbfcal{% H}}\coloneqq\sum_{n=1}^{N}\langle Q_{1}^{(n)}\mathop{}|\mathop{}Q_{2}^{(n)}% \rangle_{\mathcal{H}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p5.15.m15.6"><semantics id="S2.SS1.p5.15.m15.6a"><mrow id="S2.SS1.p5.15.m15.6.6" xref="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.cmml"><msub id="S2.SS1.p5.15.m15.4.4.2" xref="S2.SS1.p5.15.m15.4.4.2.cmml"><mrow id="S2.SS1.p5.15.m15.4.4.2.2.2" xref="S2.SS1.p5.15.m15.4.4.2.2.3.cmml"><mo id="S2.SS1.p5.15.m15.4.4.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.p5.15.m15.4.4.2.2.3.1.cmml">⟨</mo><msub id="S2.SS1.p5.15.m15.3.3.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p5.15.m15.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p5.15.m15.3.3.1.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p5.15.m15.3.3.1.1.1.1.2.cmml">𝔔</mi><mn id="S2.SS1.p5.15.m15.3.3.1.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p5.15.m15.3.3.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.SS1.p5.15.m15.4.4.2.2.2.4" lspace="0em" rspace="0em" xref="S2.SS1.p5.15.m15.4.4.2.2.3.1.cmml">|</mo><msub id="S2.SS1.p5.15.m15.4.4.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p5.15.m15.4.4.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p5.15.m15.4.4.2.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p5.15.m15.4.4.2.2.2.2.2.cmml">𝔔</mi><mn id="S2.SS1.p5.15.m15.4.4.2.2.2.2.3" xref="S2.SS1.p5.15.m15.4.4.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S2.SS1.p5.15.m15.4.4.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.SS1.p5.15.m15.4.4.2.2.3.1.cmml">⟩</mo></mrow><mi id="S2.SS1.p5.15.m15.4.4.2.4" mathvariant="normal" xref="S2.SS1.p5.15.m15.4.4.2.4.cmml">ℋ</mi></msub><mo id="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.5" rspace="0.111em" xref="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.5.cmml">≔</mo><mrow id="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4" xref="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.cmml"><msubsup id="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.3" xref="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.3.cmml"><mo id="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.3.2.2" rspace="0em" xref="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.3.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.3.2.3" xref="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.3.2.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.3.2.3.2" xref="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.3.2.3.2.cmml">n</mi><mo id="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.3.2.3.1" xref="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.3.2.3.3" xref="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.3.3" xref="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.3.3.cmml">N</mi></msubsup><msub id="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.2" xref="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.2.cmml"><mrow id="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.2.2.2" xref="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.2.2.3.cmml"><mo id="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.2.2.3.1.cmml">⟨</mo><msubsup id="S2.SS1.p5.15.m15.5.5.3.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p5.15.m15.5.5.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p5.15.m15.5.5.3.1.1.1.1.2.2" xref="S2.SS1.p5.15.m15.5.5.3.1.1.1.1.2.2.cmml">Q</mi><mn id="S2.SS1.p5.15.m15.5.5.3.1.1.1.1.2.3" xref="S2.SS1.p5.15.m15.5.5.3.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn><mrow id="S2.SS1.p5.15.m15.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p5.15.m15.5.5.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p5.15.m15.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p5.15.m15.5.5.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p5.15.m15.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p5.15.m15.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.SS1.p5.15.m15.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p5.15.m15.5.5.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.2.2.2.4" lspace="0em" rspace="0em" xref="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.2.2.3.1.cmml">|</mo><msubsup id="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.2.2.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.2.2.2.2.2.2.cmml">Q</mi><mn id="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.2.2.2.2.2.3" xref="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn><mrow id="S2.SS1.p5.15.m15.2.2.1.3" xref="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.2.2.2.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p5.15.m15.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.2.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p5.15.m15.2.2.1.1" xref="S2.SS1.p5.15.m15.2.2.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.SS1.p5.15.m15.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.2.2.3.1.cmml">⟩</mo></mrow><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.2.4" xref="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.2.4.cmml">ℋ</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p5.15.m15.6b"><apply id="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.cmml" xref="S2.SS1.p5.15.m15.6.6"><ci id="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.5.cmml" xref="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.5">≔</ci><apply id="S2.SS1.p5.15.m15.4.4.2.cmml" xref="S2.SS1.p5.15.m15.4.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p5.15.m15.4.4.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p5.15.m15.4.4.2">subscript</csymbol><apply id="S2.SS1.p5.15.m15.4.4.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p5.15.m15.4.4.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS1.p5.15.m15.4.4.2.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.15.m15.4.4.2.2.2.3">inner-product</csymbol><apply id="S2.SS1.p5.15.m15.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.15.m15.3.3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p5.15.m15.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.15.m15.3.3.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p5.15.m15.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p5.15.m15.3.3.1.1.1.1.2">𝔔</ci><cn id="S2.SS1.p5.15.m15.3.3.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p5.15.m15.3.3.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S2.SS1.p5.15.m15.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p5.15.m15.4.4.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p5.15.m15.4.4.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.15.m15.4.4.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p5.15.m15.4.4.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p5.15.m15.4.4.2.2.2.2.2">𝔔</ci><cn id="S2.SS1.p5.15.m15.4.4.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p5.15.m15.4.4.2.2.2.2.3">2</cn></apply></apply><ci id="S2.SS1.p5.15.m15.4.4.2.4.cmml" xref="S2.SS1.p5.15.m15.4.4.2.4">ℋ</ci></apply><apply id="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.cmml" xref="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4"><apply id="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.3.cmml" xref="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.3">superscript</csymbol><apply id="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.3.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.3">subscript</csymbol><sum id="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.3.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.3.2.2"></sum><apply id="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.3.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.3.2.3"><eq id="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.3.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.3.2.3.1"></eq><ci id="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.3.2.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.3.2.3.2">𝑛</ci><cn id="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.3.3">𝑁</ci></apply><apply id="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.2.cmml" xref="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.2">subscript</csymbol><apply id="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.2.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.2.2.2.3">inner-product</csymbol><apply id="S2.SS1.p5.15.m15.5.5.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.15.m15.5.5.3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p5.15.m15.5.5.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.15.m15.5.5.3.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.SS1.p5.15.m15.5.5.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p5.15.m15.5.5.3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p5.15.m15.5.5.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.15.m15.5.5.3.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p5.15.m15.5.5.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p5.15.m15.5.5.3.1.1.1.1.2.2">𝑄</ci><cn id="S2.SS1.p5.15.m15.5.5.3.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p5.15.m15.5.5.3.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><ci id="S2.SS1.p5.15.m15.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.15.m15.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.2.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.2.2.2.2.2.2">𝑄</ci><cn id="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.2.2.2.2.2.3">2</cn></apply><ci id="S2.SS1.p5.15.m15.2.2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.15.m15.2.2.1.1">𝑛</ci></apply></apply><ci id="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.2.4.cmml" xref="S2.SS1.p5.15.m15.6.6.4.2.4">ℋ</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p5.15.m15.6c">\langle\mathfrak{Q}_{1}\mathop{}|\mathop{}\mathfrak{Q}_{2}\rangle_{\mathbfcal{% H}}\coloneqq\sum_{n=1}^{N}\langle Q_{1}^{(n)}\mathop{}|\mathop{}Q_{2}^{(n)}% \rangle_{\mathcal{H}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p5.15.m15.6d">⟨ fraktur_Q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT | fraktur_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ⟩ start_POSTSUBSCRIPT roman_ℋ end_POSTSUBSCRIPT ≔ ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT ⟨ italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT | italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ⟩ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_H end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="\forall\mathfrak{Q}_{1},\mathfrak{Q}_{2}\in\mathbfcal{H}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p5.16.m16.2"><semantics id="S2.SS1.p5.16.m16.2a"><mrow id="S2.SS1.p5.16.m16.2.2" xref="S2.SS1.p5.16.m16.2.2.cmml"><mrow id="S2.SS1.p5.16.m16.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p5.16.m16.2.2.2.3.cmml"><mrow id="S2.SS1.p5.16.m16.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p5.16.m16.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p5.16.m16.1.1.1.1.1.1" rspace="0.167em" xref="S2.SS1.p5.16.m16.1.1.1.1.1.1.cmml">∀</mo><msub id="S2.SS1.p5.16.m16.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p5.16.m16.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p5.16.m16.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.SS1.p5.16.m16.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝔔</mi><mn id="S2.SS1.p5.16.m16.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.SS1.p5.16.m16.1.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="S2.SS1.p5.16.m16.2.2.2.2.3" xref="S2.SS1.p5.16.m16.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.SS1.p5.16.m16.2.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p5.16.m16.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p5.16.m16.2.2.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p5.16.m16.2.2.2.2.2.2.cmml">𝔔</mi><mn id="S2.SS1.p5.16.m16.2.2.2.2.2.3" xref="S2.SS1.p5.16.m16.2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S2.SS1.p5.16.m16.2.2.3" xref="S2.SS1.p5.16.m16.2.2.3.cmml">∈</mo><mi id="S2.SS1.p5.16.m16.2.2.4" mathvariant="normal" xref="S2.SS1.p5.16.m16.2.2.4.cmml">ℋ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p5.16.m16.2b"><apply id="S2.SS1.p5.16.m16.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p5.16.m16.2.2"><in id="S2.SS1.p5.16.m16.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p5.16.m16.2.2.3"></in><list id="S2.SS1.p5.16.m16.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p5.16.m16.2.2.2.2"><apply id="S2.SS1.p5.16.m16.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.16.m16.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS1.p5.16.m16.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.16.m16.1.1.1.1.1.1">for-all</csymbol><apply id="S2.SS1.p5.16.m16.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p5.16.m16.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p5.16.m16.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.16.m16.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p5.16.m16.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p5.16.m16.1.1.1.1.1.2.2">𝔔</ci><cn id="S2.SS1.p5.16.m16.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p5.16.m16.1.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply></apply><apply id="S2.SS1.p5.16.m16.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p5.16.m16.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p5.16.m16.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.16.m16.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p5.16.m16.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p5.16.m16.2.2.2.2.2.2">𝔔</ci><cn id="S2.SS1.p5.16.m16.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p5.16.m16.2.2.2.2.2.3">2</cn></apply></list><ci id="S2.SS1.p5.16.m16.2.2.4.cmml" xref="S2.SS1.p5.16.m16.2.2.4">ℋ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p5.16.m16.2c">\forall\mathfrak{Q}_{1},\mathfrak{Q}_{2}\in\mathbfcal{H}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p5.16.m16.2d">∀ fraktur_Q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , fraktur_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ∈ roman_ℋ</annotation></semantics></math>. For convenience, we use square brackets <math alttext="[\cdot]" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p5.17.m17.1"><semantics id="S2.SS1.p5.17.m17.1a"><mrow id="S2.SS1.p5.17.m17.1.2.2" xref="S2.SS1.p5.17.m17.1.2.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p5.17.m17.1.2.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p5.17.m17.1.2.1.1.cmml">[</mo><mo id="S2.SS1.p5.17.m17.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S2.SS1.p5.17.m17.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="S2.SS1.p5.17.m17.1.2.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p5.17.m17.1.2.1.1.cmml">]</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p5.17.m17.1b"><apply id="S2.SS1.p5.17.m17.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.17.m17.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS1.p5.17.m17.1.2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.17.m17.1.2.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S2.SS1.p5.17.m17.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.17.m17.1.1">⋅</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p5.17.m17.1c">[\cdot]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p5.17.m17.1d">[ ⋅ ]</annotation></semantics></math> instead of parentheses <math alttext="(\cdot)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p5.18.m18.1"><semantics id="S2.SS1.p5.18.m18.1a"><mrow id="S2.SS1.p5.18.m18.1.2.2"><mo id="S2.SS1.p5.18.m18.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mo id="S2.SS1.p5.18.m18.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S2.SS1.p5.18.m18.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="S2.SS1.p5.18.m18.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p5.18.m18.1b"><ci id="S2.SS1.p5.18.m18.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.18.m18.1.1">⋅</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p5.18.m18.1c">(\cdot)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p5.18.m18.1d">( ⋅ )</annotation></semantics></math> to denote tuples <math alttext="\mathfrak{Q}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p5.19.m19.1"><semantics id="S2.SS1.p5.19.m19.1a"><mi id="S2.SS1.p5.19.m19.1.1" xref="S2.SS1.p5.19.m19.1.1.cmml">𝔔</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p5.19.m19.1b"><ci id="S2.SS1.p5.19.m19.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.19.m19.1.1">𝔔</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p5.19.m19.1c">\mathfrak{Q}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p5.19.m19.1d">fraktur_Q</annotation></semantics></math> in <math alttext="\mathbfcal{H}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p5.20.m20.1"><semantics id="S2.SS1.p5.20.m20.1a"><mi id="S2.SS1.p5.20.m20.1.1" mathvariant="normal" xref="S2.SS1.p5.20.m20.1.1.cmml">ℋ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p5.20.m20.1b"><ci id="S2.SS1.p5.20.m20.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.20.m20.1.1">ℋ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p5.20.m20.1c">\mathbfcal{H}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p5.20.m20.1d">roman_ℋ</annotation></semantics></math>, allowing for the use of familiar linear algebra operations in the following sections.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S2.SS2"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection"><span class="ltx_text" id="S2.SS2.5.1.1">II-B</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.SS2.6.2">General assumptions for the decentralized setting</span> </h3> <div class="ltx_para" id="S2.SS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p1.1">The following assumptions will serve as overarching assumptions throughout the discussion.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_assumptions" id="Thmthm1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmthm1.1.1.1">Assumptions 1</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmthm1.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmthm1.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmthm1.p1.1"><span class="ltx_text" id="Thmthm1.p1.1.1"></span></p> <ol class="ltx_enumerate" id="S2.I1"> <li class="ltx_item" id="S2.I1.i1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.I1.i1.1.1.1">(i)</span></span> <div class="ltx_para" id="S2.I1.i1.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.I1.i1.p1.3"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.I1.i1.p1.3.1">(Graph topology)</span> Graph <math alttext="\mathcal{G}\coloneqq(\mathcal{N},\mathcal{E})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I1.i1.p1.1.m1.2"><semantics id="S2.I1.i1.p1.1.m1.2a"><mrow id="S2.I1.i1.p1.1.m1.2.3" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.I1.i1.p1.1.m1.2.3.2" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.2.3.2.cmml">𝒢</mi><mo id="S2.I1.i1.p1.1.m1.2.3.1" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.2.3.1.cmml">≔</mo><mrow id="S2.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.2" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S2.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.cmml">𝒩</mi><mo id="S2.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.2.2" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.I1.i1.p1.1.m1.2.2" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.2.2.cmml">ℰ</mi><mo id="S2.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I1.i1.p1.1.m1.2b"><apply id="S2.I1.i1.p1.1.m1.2.3.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.2.3"><ci id="S2.I1.i1.p1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.2.3.1">≔</ci><ci id="S2.I1.i1.p1.1.m1.2.3.2.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.2.3.2">𝒢</ci><interval closure="open" id="S2.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.2"><ci id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1">𝒩</ci><ci id="S2.I1.i1.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.2.2">ℰ</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I1.i1.p1.1.m1.2c">\mathcal{G}\coloneqq(\mathcal{N},\mathcal{E})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I1.i1.p1.1.m1.2d">caligraphic_G ≔ ( caligraphic_N , caligraphic_E )</annotation></semantics></math> is connected <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib30" title="">30</a>]</cite>. Each agent <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I1.i1.p1.2.m2.1"><semantics id="S2.I1.i1.p1.2.m2.1a"><mi id="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1" xref="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I1.i1.p1.2.m2.1b"><ci id="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I1.i1.p1.2.m2.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I1.i1.p1.2.m2.1d">italic_n</annotation></semantics></math> exchanges information only with its neighbors <math alttext="\mathcal{N}(n)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1"><semantics id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1a"><mrow id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.2" xref="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.2.2" xref="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.2.2.cmml">𝒩</mi><mo id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.2.1" xref="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.2.3.2" xref="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.2.cmml"><mo id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1" xref="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1b"><apply id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.2.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.2"><times id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.2.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.2.1"></times><ci id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.2.2.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.2.2">𝒩</ci><ci id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1c">\mathcal{N}(n)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1d">caligraphic_N ( italic_n )</annotation></semantics></math>, and there is no central master node collecting all information, meaning a “star topology” is not assumed.</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S2.I1.i2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.I1.i2.1.1.1">(ii)</span></span> <div class="ltx_para" id="S2.I1.i2.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.I1.i2.p1.3"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.I1.i2.p1.3.1">(Common environment)</span> All agents interact with a shared environment <math alttext="(\mathcal{S},\mathcal{A},g)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I1.i2.p1.1.m1.3"><semantics id="S2.I1.i2.p1.1.m1.3a"><mrow id="S2.I1.i2.p1.1.m1.3.4.2" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.3.4.1.cmml"><mo id="S2.I1.i2.p1.1.m1.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.3.4.1.cmml">(</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.cmml">𝒮</mi><mo id="S2.I1.i2.p1.1.m1.3.4.2.2" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.3.4.1.cmml">,</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.I1.i2.p1.1.m1.2.2" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.2.2.cmml">𝒜</mi><mo id="S2.I1.i2.p1.1.m1.3.4.2.3" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.3.4.1.cmml">,</mo><mi id="S2.I1.i2.p1.1.m1.3.3" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.3.3.cmml">g</mi><mo id="S2.I1.i2.p1.1.m1.3.4.2.4" stretchy="false" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.3.4.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I1.i2.p1.1.m1.3b"><vector id="S2.I1.i2.p1.1.m1.3.4.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.3.4.2"><ci id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1">𝒮</ci><ci id="S2.I1.i2.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.2.2">𝒜</ci><ci id="S2.I1.i2.p1.1.m1.3.3.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.3.3">𝑔</ci></vector></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I1.i2.p1.1.m1.3c">(\mathcal{S},\mathcal{A},g)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I1.i2.p1.1.m1.3d">( caligraphic_S , caligraphic_A , italic_g )</annotation></semantics></math>, where the state space <math alttext="\mathcal{S}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1"><semantics id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.cmml">𝒮</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1b"><ci id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1">𝒮</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1c">\mathcal{S}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1d">caligraphic_S</annotation></semantics></math> is continuous, and the action space <math alttext="\mathcal{A}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I1.i2.p1.3.m3.1"><semantics id="S2.I1.i2.p1.3.m3.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.I1.i2.p1.3.m3.1.1" xref="S2.I1.i2.p1.3.m3.1.1.cmml">𝒜</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I1.i2.p1.3.m3.1b"><ci id="S2.I1.i2.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.3.m3.1.1">𝒜</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I1.i2.p1.3.m3.1c">\mathcal{A}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I1.i2.p1.3.m3.1d">caligraphic_A</annotation></semantics></math> is discrete with finite cardinality.</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S2.I1.i3" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.I1.i3.1.1.1">(iii)</span></span> <div class="ltx_para" id="S2.I1.i3.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.I1.i3.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.I1.i3.p1.2.1">(Trajectory-data-based learning)</span> Agents lack statistical knowledge required to compute <math alttext="\operatorname{\mathbb{E}}_{\mathbf{s}^{\prime}{\mathbin{}\mid\mathbin{}}% \mathbf{z}}\{\cdot\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I1.i3.p1.1.m1.2"><semantics id="S2.I1.i3.p1.1.m1.2a"><mrow id="S2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.2.cmml"><msub id="S2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.2" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.2.cmml">𝔼</mi><mrow id="S2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.3" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.3.cmml"><msup id="S2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.3.2" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.3.2.2" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.3.2.2.cmml">𝐬</mi><mo id="S2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.3.2.3" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.3.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.3.1" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.3.1.cmml">∣</mo><mi id="S2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.3.3" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.3.3.cmml">𝐳</mi></mrow></msub><mo id="S2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1a" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.2" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.2.cmml"><mo id="S2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.2.1" stretchy="false" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.2.cmml">{</mo><mo id="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="S2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.2.2" stretchy="false" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.2.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I1.i3.p1.1.m1.2b"><apply id="S2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1"><apply id="S2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.2">𝔼</ci><apply id="S2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.3.1">conditional</csymbol><apply id="S2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.3.2.2">𝐬</ci><ci id="S2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.3.2.3">′</ci></apply><ci id="S2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.3.3">𝐳</ci></apply></apply><ci id="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.1">⋅</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I1.i3.p1.1.m1.2c">\operatorname{\mathbb{E}}_{\mathbf{s}^{\prime}{\mathbin{}\mid\mathbin{}}% \mathbf{z}}\{\cdot\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I1.i3.p1.1.m1.2d">blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT bold_s start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∣ bold_z end_POSTSUBSCRIPT { ⋅ }</annotation></semantics></math> in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S2.E1" title="Equation 1 ‣ II-A Preliminaries and notation ‣ II Distributed Reinforcement Learning ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>). Instead, each agent <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I1.i3.p1.2.m2.1"><semantics id="S2.I1.i3.p1.2.m2.1a"><mi id="S2.I1.i3.p1.2.m2.1.1" xref="S2.I1.i3.p1.2.m2.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I1.i3.p1.2.m2.1b"><ci id="S2.I1.i3.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.2.m2.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I1.i3.p1.2.m2.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I1.i3.p1.2.m2.1d">italic_n</annotation></semantics></math> relies on its own trajectory data:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A0.EGx3"> <tbody id="S2.Ex1"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathcal{T}^{(n)}\coloneqq\{\,(\mathbf{s}_{i}^{(n)},a_{i}^{(n)},g% _{i}^{(n)},\mathbf{s}_{i}^{(n)\prime}=\mathbf{s}_{i+1}^{(n)})\,\}_{i=1}^{N_{% \textnormal{av}}^{(n)}}\,," class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Ex1.m1.10"><semantics id="S2.Ex1.m1.10a"><mrow id="S2.Ex1.m1.10.10.1" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.cmml"><msup id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.3" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.3.2" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.3.2.cmml">𝒯</mi><mrow id="S2.Ex1.m1.1.1.1.3" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.3.cmml"><mo id="S2.Ex1.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.Ex1.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.2" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.2.cmml">≔</mo><msubsup id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.5.cmml"><msubsup id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐬</mi><mi id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi><mrow id="S2.Ex1.m1.2.2.1.3" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex1.m1.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.Ex1.m1.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.5" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.5.cmml">,</mo><msubsup id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">a</mi><mi id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">i</mi><mrow id="S2.Ex1.m1.3.3.1.3" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="S2.Ex1.m1.3.3.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.Ex1.m1.3.3.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.6" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.5.cmml">,</mo><msubsup id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.2" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.cmml">g</mi><mi id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.cmml">i</mi><mrow id="S2.Ex1.m1.4.4.1.3" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mo id="S2.Ex1.m1.4.4.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.Ex1.m1.4.4.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.7" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.5.cmml">,</mo><msubsup id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.cmml"><mi id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.2" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.cmml">𝐬</mi><mi id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.3" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.3.cmml">i</mi><mrow id="S2.Ex1.m1.7.7.3.3" xref="S2.Ex1.m1.7.7.3.4.cmml"><mrow id="S2.Ex1.m1.6.6.2.2.1.2" xref="S2.Ex1.m1.7.7.3.4.cmml"><mo id="S2.Ex1.m1.6.6.2.2.1.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m1.7.7.3.4.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex1.m1.5.5.1.1" xref="S2.Ex1.m1.5.5.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.Ex1.m1.6.6.2.2.1.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m1.7.7.3.4.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex1.m1.7.7.3.3.3" lspace="0em" xref="S2.Ex1.m1.7.7.3.4.cmml">⁣</mo><mo id="S2.Ex1.m1.7.7.3.3.2" mathsize="142%" xref="S2.Ex1.m1.7.7.3.3.2.cmml">′</mo></mrow></msubsup></mrow><mo id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml">=</mo><msubsup id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.cmml"><mi id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.2" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.2.cmml">𝐬</mi><mrow id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.3" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.3.2" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.3.1" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.3.3" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="S2.Ex1.m1.8.8.1.3" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.cmml"><mo id="S2.Ex1.m1.8.8.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex1.m1.8.8.1.1" xref="S2.Ex1.m1.8.8.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.Ex1.m1.8.8.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.cmml">)</mo></mrow></msubsup></mrow><mo id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><mrow id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.3.1" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow><msubsup id="S2.Ex1.m1.9.9.1" xref="S2.Ex1.m1.9.9.1.cmml"><mi id="S2.Ex1.m1.9.9.1.3.2" xref="S2.Ex1.m1.9.9.1.3.2.cmml">N</mi><mtext id="S2.Ex1.m1.9.9.1.3.3" xref="S2.Ex1.m1.9.9.1.3.3a.cmml">av</mtext><mrow id="S2.Ex1.m1.9.9.1.1.1.3" xref="S2.Ex1.m1.9.9.1.cmml"><mo id="S2.Ex1.m1.9.9.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m1.9.9.1.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex1.m1.9.9.1.1.1.1" xref="S2.Ex1.m1.9.9.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.Ex1.m1.9.9.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m1.9.9.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup></msubsup></mrow><mo id="S2.Ex1.m1.10.10.1.2" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex1.m1.10b"><apply id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1"><ci id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.2">≔</ci><apply id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.3.2">𝒯</ci><ci id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1">subscript</csymbol><set id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1"><apply id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1"><eq id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5"></eq><list id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.5.cmml" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4"><apply id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐬</ci><ci id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">𝑎</ci><ci id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.2">𝑔</ci><ci id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.cmml" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.2">𝐬</ci><ci id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.3">𝑖</ci></apply><list id="S2.Ex1.m1.7.7.3.4.cmml" xref="S2.Ex1.m1.7.7.3.3"><ci id="S2.Ex1.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.5.5.1.1">𝑛</ci><ci id="S2.Ex1.m1.7.7.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.7.7.3.3.2">′</ci></list></apply></list><apply id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.2">𝐬</ci><apply id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.3"><plus id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.3.1"></plus><ci id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.3.2">𝑖</ci><cn id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.Ex1.m1.8.8.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.8.8.1.1">𝑛</ci></apply></apply></set><apply id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.3"><eq id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.3.1"></eq><ci id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.3.2">𝑖</ci><cn id="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex1.m1.10.10.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S2.Ex1.m1.9.9.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.9.9.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex1.m1.9.9.1.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.9.9.1">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex1.m1.9.9.1.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.9.9.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex1.m1.9.9.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.9.9.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex1.m1.9.9.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.9.9.1.3.2">𝑁</ci><ci id="S2.Ex1.m1.9.9.1.3.3a.cmml" xref="S2.Ex1.m1.9.9.1.3.3"><mtext id="S2.Ex1.m1.9.9.1.3.3.cmml" mathsize="50%" xref="S2.Ex1.m1.9.9.1.3.3">av</mtext></ci></apply><ci id="S2.Ex1.m1.9.9.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.9.9.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex1.m1.10c">\displaystyle\mathcal{T}^{(n)}\coloneqq\{\,(\mathbf{s}_{i}^{(n)},a_{i}^{(n)},g% _{i}^{(n)},\mathbf{s}_{i}^{(n)\prime}=\mathbf{s}_{i+1}^{(n)})\,\}_{i=1}^{N_{% \textnormal{av}}^{(n)}}\,,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex1.m1.10d">caligraphic_T start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ≔ { ( bold_s start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT , italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT , italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT , bold_s start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) ′ end_POSTSUPERSCRIPT = bold_s start_POSTSUBSCRIPT italic_i + 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ) } start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N start_POSTSUBSCRIPT av end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.I1.i3.p1.6">for some positive integer <math alttext="N_{\textnormal{av}}^{(n)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I1.i3.p1.3.m1.1"><semantics id="S2.I1.i3.p1.3.m1.1a"><msubsup id="S2.I1.i3.p1.3.m1.1.2" xref="S2.I1.i3.p1.3.m1.1.2.cmml"><mi id="S2.I1.i3.p1.3.m1.1.2.2.2" xref="S2.I1.i3.p1.3.m1.1.2.2.2.cmml">N</mi><mtext id="S2.I1.i3.p1.3.m1.1.2.2.3" xref="S2.I1.i3.p1.3.m1.1.2.2.3a.cmml">av</mtext><mrow id="S2.I1.i3.p1.3.m1.1.1.1.3" xref="S2.I1.i3.p1.3.m1.1.2.cmml"><mo id="S2.I1.i3.p1.3.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.I1.i3.p1.3.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.I1.i3.p1.3.m1.1.1.1.1" xref="S2.I1.i3.p1.3.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.I1.i3.p1.3.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.I1.i3.p1.3.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I1.i3.p1.3.m1.1b"><apply id="S2.I1.i3.p1.3.m1.1.2.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.3.m1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i3.p1.3.m1.1.2.1.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.3.m1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S2.I1.i3.p1.3.m1.1.2.2.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.3.m1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i3.p1.3.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.3.m1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.I1.i3.p1.3.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.3.m1.1.2.2.2">𝑁</ci><ci id="S2.I1.i3.p1.3.m1.1.2.2.3a.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.3.m1.1.2.2.3"><mtext id="S2.I1.i3.p1.3.m1.1.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.I1.i3.p1.3.m1.1.2.2.3">av</mtext></ci></apply><ci id="S2.I1.i3.p1.3.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.3.m1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I1.i3.p1.3.m1.1c">N_{\textnormal{av}}^{(n)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I1.i3.p1.3.m1.1d">italic_N start_POSTSUBSCRIPT av end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. The datasets <math alttext="\mathcal{T}^{(n)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I1.i3.p1.4.m2.1"><semantics id="S2.I1.i3.p1.4.m2.1a"><msup id="S2.I1.i3.p1.4.m2.1.2" xref="S2.I1.i3.p1.4.m2.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.I1.i3.p1.4.m2.1.2.2" xref="S2.I1.i3.p1.4.m2.1.2.2.cmml">𝒯</mi><mrow id="S2.I1.i3.p1.4.m2.1.1.1.3" xref="S2.I1.i3.p1.4.m2.1.2.cmml"><mo id="S2.I1.i3.p1.4.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.I1.i3.p1.4.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.I1.i3.p1.4.m2.1.1.1.1" xref="S2.I1.i3.p1.4.m2.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.I1.i3.p1.4.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.I1.i3.p1.4.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I1.i3.p1.4.m2.1b"><apply id="S2.I1.i3.p1.4.m2.1.2.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.4.m2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i3.p1.4.m2.1.2.1.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.4.m2.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.I1.i3.p1.4.m2.1.2.2.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.4.m2.1.2.2">𝒯</ci><ci id="S2.I1.i3.p1.4.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.4.m2.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I1.i3.p1.4.m2.1c">\mathcal{T}^{(n)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I1.i3.p1.4.m2.1d">caligraphic_T start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\mathcal{T}^{(n^{\prime})}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I1.i3.p1.5.m3.1"><semantics id="S2.I1.i3.p1.5.m3.1a"><msup id="S2.I1.i3.p1.5.m3.1.2" xref="S2.I1.i3.p1.5.m3.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.I1.i3.p1.5.m3.1.2.2" xref="S2.I1.i3.p1.5.m3.1.2.2.cmml">𝒯</mi><mrow id="S2.I1.i3.p1.5.m3.1.1.1.1" xref="S2.I1.i3.p1.5.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.I1.i3.p1.5.m3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.I1.i3.p1.5.m3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.I1.i3.p1.5.m3.1.1.1.1.1" xref="S2.I1.i3.p1.5.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.I1.i3.p1.5.m3.1.1.1.1.1.2" xref="S2.I1.i3.p1.5.m3.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S2.I1.i3.p1.5.m3.1.1.1.1.1.3" xref="S2.I1.i3.p1.5.m3.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S2.I1.i3.p1.5.m3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.I1.i3.p1.5.m3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I1.i3.p1.5.m3.1b"><apply id="S2.I1.i3.p1.5.m3.1.2.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.5.m3.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i3.p1.5.m3.1.2.1.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.5.m3.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.I1.i3.p1.5.m3.1.2.2.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.5.m3.1.2.2">𝒯</ci><apply id="S2.I1.i3.p1.5.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.5.m3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i3.p1.5.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.5.m3.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.I1.i3.p1.5.m3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.5.m3.1.1.1.1.1.2">𝑛</ci><ci id="S2.I1.i3.p1.5.m3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.5.m3.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I1.i3.p1.5.m3.1c">\mathcal{T}^{(n^{\prime})}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I1.i3.p1.5.m3.1d">caligraphic_T start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> do not need to be identical, even partially, for any <math alttext="n,n^{\prime}\in\mathcal{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I1.i3.p1.6.m4.2"><semantics id="S2.I1.i3.p1.6.m4.2a"><mrow id="S2.I1.i3.p1.6.m4.2.2" xref="S2.I1.i3.p1.6.m4.2.2.cmml"><mrow id="S2.I1.i3.p1.6.m4.2.2.1.1" xref="S2.I1.i3.p1.6.m4.2.2.1.2.cmml"><mi id="S2.I1.i3.p1.6.m4.1.1" xref="S2.I1.i3.p1.6.m4.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.I1.i3.p1.6.m4.2.2.1.1.2" xref="S2.I1.i3.p1.6.m4.2.2.1.2.cmml">,</mo><msup id="S2.I1.i3.p1.6.m4.2.2.1.1.1" xref="S2.I1.i3.p1.6.m4.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.I1.i3.p1.6.m4.2.2.1.1.1.2" xref="S2.I1.i3.p1.6.m4.2.2.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S2.I1.i3.p1.6.m4.2.2.1.1.1.3" xref="S2.I1.i3.p1.6.m4.2.2.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup></mrow><mo id="S2.I1.i3.p1.6.m4.2.2.2" xref="S2.I1.i3.p1.6.m4.2.2.2.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.I1.i3.p1.6.m4.2.2.3" xref="S2.I1.i3.p1.6.m4.2.2.3.cmml">𝒩</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I1.i3.p1.6.m4.2b"><apply id="S2.I1.i3.p1.6.m4.2.2.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.6.m4.2.2"><in id="S2.I1.i3.p1.6.m4.2.2.2.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.6.m4.2.2.2"></in><list id="S2.I1.i3.p1.6.m4.2.2.1.2.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.6.m4.2.2.1.1"><ci id="S2.I1.i3.p1.6.m4.1.1.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.6.m4.1.1">𝑛</ci><apply id="S2.I1.i3.p1.6.m4.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.6.m4.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i3.p1.6.m4.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.6.m4.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.I1.i3.p1.6.m4.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.6.m4.2.2.1.1.1.2">𝑛</ci><ci id="S2.I1.i3.p1.6.m4.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.6.m4.2.2.1.1.1.3">′</ci></apply></list><ci id="S2.I1.i3.p1.6.m4.2.2.3.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.6.m4.2.2.3">𝒩</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I1.i3.p1.6.m4.2c">n,n^{\prime}\in\mathcal{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I1.i3.p1.6.m4.2d">italic_n , italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ caligraphic_N</annotation></semantics></math>. Agents are not required to share any information about their state vectors.</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S2.I1.i4" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.I1.i4.1.1.1">(iv)</span></span> <div class="ltx_para" id="S2.I1.i4.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.I1.i4.p1.3"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.I1.i4.p1.3.1">(Q-function sharing)</span> Each agent <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I1.i4.p1.1.m1.1"><semantics id="S2.I1.i4.p1.1.m1.1a"><mi id="S2.I1.i4.p1.1.m1.1.1" xref="S2.I1.i4.p1.1.m1.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I1.i4.p1.1.m1.1b"><ci id="S2.I1.i4.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i4.p1.1.m1.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I1.i4.p1.1.m1.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I1.i4.p1.1.m1.1d">italic_n</annotation></semantics></math> shares a copy of its Q-function <math alttext="Q^{(n)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I1.i4.p1.2.m2.1"><semantics id="S2.I1.i4.p1.2.m2.1a"><msup id="S2.I1.i4.p1.2.m2.1.2" xref="S2.I1.i4.p1.2.m2.1.2.cmml"><mi id="S2.I1.i4.p1.2.m2.1.2.2" xref="S2.I1.i4.p1.2.m2.1.2.2.cmml">Q</mi><mrow id="S2.I1.i4.p1.2.m2.1.1.1.3" xref="S2.I1.i4.p1.2.m2.1.2.cmml"><mo id="S2.I1.i4.p1.2.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.I1.i4.p1.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.I1.i4.p1.2.m2.1.1.1.1" xref="S2.I1.i4.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.I1.i4.p1.2.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.I1.i4.p1.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I1.i4.p1.2.m2.1b"><apply id="S2.I1.i4.p1.2.m2.1.2.cmml" xref="S2.I1.i4.p1.2.m2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i4.p1.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S2.I1.i4.p1.2.m2.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.I1.i4.p1.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S2.I1.i4.p1.2.m2.1.2.2">𝑄</ci><ci id="S2.I1.i4.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i4.p1.2.m2.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I1.i4.p1.2.m2.1c">Q^{(n)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I1.i4.p1.2.m2.1d">italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> with its neighbors <math alttext="\mathcal{N}_{n}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I1.i4.p1.3.m3.1"><semantics id="S2.I1.i4.p1.3.m3.1a"><msub id="S2.I1.i4.p1.3.m3.1.1" xref="S2.I1.i4.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.I1.i4.p1.3.m3.1.1.2" xref="S2.I1.i4.p1.3.m3.1.1.2.cmml">𝒩</mi><mi id="S2.I1.i4.p1.3.m3.1.1.3" xref="S2.I1.i4.p1.3.m3.1.1.3.cmml">n</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I1.i4.p1.3.m3.1b"><apply id="S2.I1.i4.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.I1.i4.p1.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i4.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i4.p1.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.I1.i4.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.I1.i4.p1.3.m3.1.1.2">𝒩</ci><ci id="S2.I1.i4.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S2.I1.i4.p1.3.m3.1.1.3">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I1.i4.p1.3.m3.1c">\mathcal{N}_{n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I1.i4.p1.3.m3.1d">caligraphic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> </li> </ol> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS2.p2"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p2.2">As per <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#Thmthm1" title="Assumptions 1. ‣ II-B General assumptions for the decentralized setting ‣ II Distributed Reinforcement Learning ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Assumptions</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>, agents must rely on trajectory data samples and cooperation to collectively approximate a fixed point of <math alttext="T_{\diamond}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.1.m1.1"><semantics id="S2.SS2.p2.1.m1.1a"><msub id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3.cmml">⋄</mo></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.1.m1.1b"><apply id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.2">𝑇</ci><ci id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3">⋄</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.1.m1.1c">T_{\diamond}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.1.m1.1d">italic_T start_POSTSUBSCRIPT ⋄ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> by seeking consensus. In decentralized fitted Q-iteration <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib24" title="">24</a>]</cite>, for example, sequence <math alttext="(\,\mathfrak{Q}[k]\coloneqq[\,Q^{(1)}[k],\ldots,Q^{(N)}[k]\,]\,)_{k\in\mathbb{% N}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.2.m2.7"><semantics id="S2.SS2.p2.2.m2.7a"><msub id="S2.SS2.p2.2.m2.7.7" xref="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.cmml"><mrow id="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1" xref="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.2" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.4" xref="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.4.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.4.2" xref="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.4.2.cmml">𝔔</mi><mo id="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.4.1" xref="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.4.3.2" xref="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.4.3.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.4.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S2.SS2.p2.2.m2.3.3" xref="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.cmml">k</mi><mo id="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.4.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.3.cmml">≔</mo><mrow id="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.2.2" xref="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.2.2.3" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.2.3.cmml">[</mo><mrow id="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Q</mi><mrow id="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mn id="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S2.SS2.p2.2.m2.4.4" xref="S2.SS2.p2.2.m2.4.4.cmml">k</mi><mo id="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.2.2.4" xref="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.SS2.p2.2.m2.6.6" mathvariant="normal" xref="S2.SS2.p2.2.m2.6.6.cmml">…</mi><mo id="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.2.2.5" xref="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.2.2.2" xref="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.2.2.2.cmml"><msup id="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.2.2.2.2" xref="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">Q</mi><mrow id="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.1.3" xref="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mo id="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.2.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.1.1" xref="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.1.1.cmml">N</mi><mo id="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.2.2.2.1" xref="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.2.2.2.3.2" xref="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.2.2.2.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S2.SS2.p2.2.m2.5.5" xref="S2.SS2.p2.2.m2.5.5.cmml">k</mi><mo id="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.2.2.2.3.2.2" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.2.2.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.2.2.6" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.2.3.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.3" xref="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.3.2" xref="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.3.2.cmml">k</mi><mo id="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.3.1" xref="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.3.1.cmml">∈</mo><mi id="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.3.3" xref="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.3.3.cmml">ℕ</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.2.m2.7b"><apply id="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.7.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.7.7">subscript</csymbol><apply id="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1"><ci id="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.3">≔</ci><apply id="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.4.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.4"><times id="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.4.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.4.1"></times><ci id="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.4.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.4.2">𝔔</ci><apply id="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.4.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.4.3.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.4.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.3.3">𝑘</ci></apply></apply><list id="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.2.2"><apply id="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.1.1.1"><times id="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply 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xref="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.3.3">ℕ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.2.m2.7c">(\,\mathfrak{Q}[k]\coloneqq[\,Q^{(1)}[k],\ldots,Q^{(N)}[k]\,]\,)_{k\in\mathbb{% N}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.2.m2.7d">( fraktur_Q [ italic_k ] ≔ [ italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ] , … , italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_N ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ] ] ) start_POSTSUBSCRIPT italic_k ∈ blackboard_N end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is generated according to VI <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib2" title="">2</a>]</cite>:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A0.EGx4"> <tbody id="S2.E3"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathfrak{Q}[k+1]\coloneqq\mathbf{T}_{\textnormal{TD}}(\mathfrak{% Q}[k])\,," class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E3.m1.2"><semantics id="S2.E3.m1.2a"><mrow id="S2.E3.m1.2.2.1" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S2.E3.m1.2.2.1.1" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S2.E3.m1.2.2.1.1.1" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">𝔔</mi><mo id="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E3.m1.2.2.1.1.3" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.3.cmml">≔</mo><mrow id="S2.E3.m1.2.2.1.1.2" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.2.cmml"><msub id="S2.E3.m1.2.2.1.1.2.3" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.E3.m1.2.2.1.1.2.3.2" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.2.3.2.cmml">𝐓</mi><mtext id="S2.E3.m1.2.2.1.1.2.3.3" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.2.3.3a.cmml">TD</mtext></msub><mo id="S2.E3.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E3.m1.2.2.1.1.2.1.1" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E3.m1.2.2.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E3.m1.2.2.1.1.2.1.1.1" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E3.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.2" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.2.cmml">𝔔</mi><mo id="S2.E3.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E3.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S2.E3.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S2.E3.m1.1.1" xref="S2.E3.m1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S2.E3.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E3.m1.2.2.1.1.2.1.1.3" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E3.m1.2.2.1.2" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E3.m1.2b"><apply id="S2.E3.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.2.2.1"><ci id="S2.E3.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.3">≔</ci><apply id="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.1"><times id="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.2"></times><ci id="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.3">𝔔</ci><apply id="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"><plus id="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2">𝑘</ci><cn id="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S2.E3.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.2"><times id="S2.E3.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.2.2"></times><apply id="S2.E3.m1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.m1.2.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E3.m1.2.2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.2.3.2">𝐓</ci><ci id="S2.E3.m1.2.2.1.1.2.3.3a.cmml" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.2.3.3"><mtext id="S2.E3.m1.2.2.1.1.2.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.2.3.3">TD</mtext></ci></apply><apply id="S2.E3.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.2.1.1"><times id="S2.E3.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1"></times><ci id="S2.E3.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.2">𝔔</ci><apply id="S2.E3.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.E3.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S2.E3.m1.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E3.m1.2c">\displaystyle\mathfrak{Q}[k+1]\coloneqq\mathbf{T}_{\textnormal{TD}}(\mathfrak{% Q}[k])\,,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E3.m1.2d">fraktur_Q [ italic_k + 1 ] ≔ bold_T start_POSTSUBSCRIPT TD end_POSTSUBSCRIPT ( fraktur_Q [ italic_k ] ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(3)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p2.5">so that <math alttext="(\mathfrak{Q}[k])_{k\in\mathbb{N}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.3.m1.2"><semantics id="S2.SS2.p2.3.m1.2a"><msub id="S2.SS2.p2.3.m1.2.2" xref="S2.SS2.p2.3.m1.2.2.cmml"><mrow id="S2.SS2.p2.3.m1.2.2.1.1" xref="S2.SS2.p2.3.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p2.3.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.3.m1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.SS2.p2.3.m1.2.2.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.3.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.3.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.3.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">𝔔</mi><mo id="S2.SS2.p2.3.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.3.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS2.p2.3.m1.2.2.1.1.1.3.2" xref="S2.SS2.p2.3.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p2.3.m1.2.2.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.3.m1.2.2.1.1.1.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S2.SS2.p2.3.m1.1.1" xref="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S2.SS2.p2.3.m1.2.2.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.3.m1.2.2.1.1.1.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS2.p2.3.m1.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.3.m1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S2.SS2.p2.3.m1.2.2.3" xref="S2.SS2.p2.3.m1.2.2.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.3.m1.2.2.3.2" xref="S2.SS2.p2.3.m1.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S2.SS2.p2.3.m1.2.2.3.1" xref="S2.SS2.p2.3.m1.2.2.3.1.cmml">∈</mo><mi id="S2.SS2.p2.3.m1.2.2.3.3" xref="S2.SS2.p2.3.m1.2.2.3.3.cmml">ℕ</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.3.m1.2b"><apply id="S2.SS2.p2.3.m1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.3.m1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.3.m1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.3.m1.2.2">subscript</csymbol><apply id="S2.SS2.p2.3.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.3.m1.2.2.1.1"><times id="S2.SS2.p2.3.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.3.m1.2.2.1.1.1.1"></times><ci id="S2.SS2.p2.3.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.3.m1.2.2.1.1.1.2">𝔔</ci><apply id="S2.SS2.p2.3.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.3.m1.2.2.1.1.1.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS2.p2.3.m1.2.2.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.3.m1.2.2.1.1.1.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.3.m1.1.1">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S2.SS2.p2.3.m1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.3.m1.2.2.3"><in id="S2.SS2.p2.3.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.3.m1.2.2.3.1"></in><ci id="S2.SS2.p2.3.m1.2.2.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.3.m1.2.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S2.SS2.p2.3.m1.2.2.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.3.m1.2.2.3.3">ℕ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.3.m1.2c">(\mathfrak{Q}[k])_{k\in\mathbb{N}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.3.m1.2d">( fraktur_Q [ italic_k ] ) start_POSTSUBSCRIPT italic_k ∈ blackboard_N end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> converges, as <math alttext="k\to\infty" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.4.m2.1"><semantics id="S2.SS2.p2.4.m2.1a"><mrow id="S2.SS2.p2.4.m2.1.1" xref="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.1.cmml">→</mo><mi id="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.3.cmml">∞</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.4.m2.1b"><apply id="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.4.m2.1.1"><ci id="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.1">→</ci><ci id="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.2">𝑘</ci><infinity id="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.3"></infinity></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.4.m2.1c">k\to\infty</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.4.m2.1d">italic_k → ∞</annotation></semantics></math>, to a fixed point of the consensus-based Bellman mapping <math alttext="\mathbf{T}_{\textnormal{TD}}\colon\mathbfcal{H}\to\mathcal{C}_{\mathbfcal{H}}% \colon\mathfrak{Q}\mapsto\mathbf{T}_{\textnormal{TD}}(\mathfrak{Q})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.5.m3.1"><semantics id="S2.SS2.p2.5.m3.1a"><mrow id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.cmml"><msub id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.2.2" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.2.2.cmml">𝐓</mi><mtext id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.2.3" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.2.3a.cmml">TD</mtext></msub><mo id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.3" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.3.cmml">:</mo><mrow id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.4" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.4.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.4.2" mathvariant="normal" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.4.2.cmml">ℋ</mi><mo id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.4.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.4.1.cmml">→</mo><msub id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.4.3" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.4.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.4.3.2" mathvariant="normal" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.4.3.2.cmml">𝒞</mi><mi id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.4.3.3" mathvariant="normal" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.4.3.3.cmml">ℋ</mi></msub></mrow><mo id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.5" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.5.cmml">:</mo><mrow id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.6" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.6.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.6.2" mathvariant="normal" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.6.2.cmml">𝒬</mi><mo id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.6.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.6.1.cmml">↦</mo><mrow id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.6.3" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.6.3.cmml"><msub id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.6.3.2" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.6.3.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.6.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.6.3.2.2.cmml">𝒯</mi><mtext id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.6.3.2.3" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.6.3.2.3a.cmml">TD</mtext></msub><mo id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.6.3.1" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.6.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.6.3.3" mathvariant="normal" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.6.3.3.cmml">⇐</mi><mo id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.6.3.1a" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.6.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.6.3.4" mathvariant="normal" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.6.3.4.cmml">𝒬</mi><mo id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.6.3.1b" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.6.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.6.3.5" mathvariant="normal" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.6.3.5.cmml">⇒</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.5.m3.1b"><apply id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1"><and id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1a.cmml" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1"></and><apply id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1b.cmml" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1"><ci id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.3">:</ci><apply id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.2.2">𝐓</ci><ci id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.2.3a.cmml" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.2.3"><mtext id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.2.3">TD</mtext></ci></apply><apply id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.4.cmml" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.4"><ci id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.4.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.4.1">→</ci><ci id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.4.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.4.2">ℋ</ci><apply id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.4.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.4.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.4.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.4.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.4.3.2">𝒞</ci><ci id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.4.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.4.3.3">ℋ</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1c.cmml" 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id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.6.3.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.6.3.2.3">TD</mtext></ci></apply><ci id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.6.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.6.3.3">⇐</ci><ci id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.6.3.4.cmml" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.6.3.4">𝒬</ci><ci id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.6.3.5.cmml" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.6.3.5">⇒</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.5.m3.1c">\mathbf{T}_{\textnormal{TD}}\colon\mathbfcal{H}\to\mathcal{C}_{\mathbfcal{H}}% \colon\mathfrak{Q}\mapsto\mathbf{T}_{\textnormal{TD}}(\mathfrak{Q})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.5.m3.1d">bold_T start_POSTSUBSCRIPT TD end_POSTSUBSCRIPT : roman_ℋ → roman_𝒞 start_POSTSUBSCRIPT roman_ℋ end_POSTSUBSCRIPT : roman_𝒬 ↦ roman_𝒯 start_POSTSUBSCRIPT TD end_POSTSUBSCRIPT ⇐ roman_𝒬 ⇒</annotation></semantics></math>, defined as</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A0.EGx5"> <tbody id="S2.E4"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathbf{T}_{\textnormal{TD}}(\mathfrak{Q})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E4.m1.1"><semantics id="S2.E4.m1.1a"><mrow id="S2.E4.m1.1.2" xref="S2.E4.m1.1.2.cmml"><msub id="S2.E4.m1.1.2.2" xref="S2.E4.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.E4.m1.1.2.2.2" xref="S2.E4.m1.1.2.2.2.cmml">𝐓</mi><mtext id="S2.E4.m1.1.2.2.3" xref="S2.E4.m1.1.2.2.3a.cmml">TD</mtext></msub><mo id="S2.E4.m1.1.2.1" xref="S2.E4.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E4.m1.1.2.3.2" xref="S2.E4.m1.1.2.cmml"><mo id="S2.E4.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E4.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E4.m1.1.1" xref="S2.E4.m1.1.1.cmml">𝔔</mi><mo id="S2.E4.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E4.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E4.m1.1b"><apply id="S2.E4.m1.1.2.cmml" 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\mathbfcal{H}}}\sum\nolimits_{n\in\mathcal{N}}\mathcal{L}_{\textnormal{TD}}^{(% n)}(Q^{(n)\prime};\,Q^{(n)})\,," class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E4.m2.6"><semantics id="S2.E4.m2.6a"><mrow id="S2.E4.m2.6.6.1" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S2.E4.m2.6.6.1.1" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.cmml"><mi id="S2.E4.m2.6.6.1.1.4" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.4.cmml"></mi><mo id="S2.E4.m2.6.6.1.1.3" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.3.cmml">∈</mo><mrow id="S2.E4.m2.6.6.1.1.2" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.cmml"><mrow id="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.4" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.4.cmml"><mi id="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.4.1" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.4.1.cmml">arg</mi><mo id="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.4a" lspace="0.167em" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.4.cmml">⁡</mo><msub id="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.4.2" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.4.2.cmml"><mi id="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.4.2.2" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.4.2.2.cmml">min</mi><mrow id="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.4.2.3" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.4.2.3.cmml"><msup id="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.4.2.3.2" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.4.2.3.2.cmml"><mi id="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.4.2.3.2.2" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.4.2.3.2.2.cmml">𝔔</mi><mo id="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.4.2.3.2.3" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.4.2.3.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.4.2.3.1" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.4.2.3.1.cmml">∈</mo><msub id="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.4.2.3.3" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.4.2.3.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.4.2.3.3.2" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.4.2.3.3.2.cmml">𝒞</mi><mi id="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.4.2.3.3.3" mathvariant="normal" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.4.2.3.3.3.cmml">ℋ</mi></msub></mrow></msub></mrow><mo id="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.3" lspace="0.167em" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.3" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.3.cmml"><msub id="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.3a" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.3.2" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.3.2.cmml">∑</mo><mrow id="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.3.3" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.3.3.cmml"><mi id="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.3.3.2" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.3.3.1" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.3.3.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.3.3.3" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.3.3.3.cmml">𝒩</mi></mrow></msub></mstyle><mrow id="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.2" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.2.cmml"><msubsup id="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.2.4" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.2.4.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.2.4.2.2" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.2.4.2.2.cmml">ℒ</mi><mtext id="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.2.4.2.3" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.2.4.2.3a.cmml">TD</mtext><mrow id="S2.E4.m2.1.1.1.3" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.2.4.cmml"><mo id="S2.E4.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.2.4.cmml">(</mo><mi id="S2.E4.m2.1.1.1.1" xref="S2.E4.m2.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.E4.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.2.4.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.2.3" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.2.2.2" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><msup id="S2.E4.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E4.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">Q</mi><mrow id="S2.E4.m2.4.4.3.3" xref="S2.E4.m2.4.4.3.4.cmml"><mrow id="S2.E4.m2.3.3.2.2.1.2" xref="S2.E4.m2.4.4.3.4.cmml"><mo id="S2.E4.m2.3.3.2.2.1.2.1" stretchy="false" xref="S2.E4.m2.4.4.3.4.cmml">(</mo><mi id="S2.E4.m2.2.2.1.1" xref="S2.E4.m2.2.2.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.E4.m2.3.3.2.2.1.2.2" stretchy="false" xref="S2.E4.m2.4.4.3.4.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E4.m2.4.4.3.3.3" lspace="0em" xref="S2.E4.m2.4.4.3.4.cmml">⁣</mo><mo id="S2.E4.m2.4.4.3.3.2" mathsize="142%" xref="S2.E4.m2.4.4.3.3.2.cmml">′</mo></mrow></msup><mo id="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.2.2.2.4" rspace="0.337em" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.2.2.3.cmml">;</mo><msup id="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml">Q</mi><mrow id="S2.E4.m2.5.5.1.3" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S2.E4.m2.5.5.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E4.m2.5.5.1.1" xref="S2.E4.m2.5.5.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.E4.m2.5.5.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.2.2.2.5" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E4.m2.6.6.1.2" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E4.m2.6b"><apply id="S2.E4.m2.6.6.1.1.cmml" xref="S2.E4.m2.6.6.1"><in id="S2.E4.m2.6.6.1.1.3.cmml" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.3"></in><csymbol cd="latexml" id="S2.E4.m2.6.6.1.1.4.cmml" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.4">absent</csymbol><apply id="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.cmml" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2"><times id="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.3"></times><apply id="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.4.cmml" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.4"><arg id="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.4.1.cmml" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.4.1"></arg><apply id="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.4.2.cmml" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.4.2.1.cmml" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.4.2">subscript</csymbol><min id="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.4.2.2.cmml" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.4.2.2"></min><apply id="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.4.2.3.cmml" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.4.2.3"><in id="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.4.2.3.1.cmml" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.4.2.3.1"></in><apply id="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.4.2.3.2.cmml" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.4.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.4.2.3.2.1.cmml" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.4.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.4.2.3.2.2.cmml" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.4.2.3.2.2">𝔔</ci><ci id="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.4.2.3.2.3.cmml" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.4.2.3.2.3">′</ci></apply><apply id="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.4.2.3.3.cmml" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.4.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.4.2.3.3.1.cmml" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.4.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.4.2.3.3.2.cmml" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.4.2.3.3.2">𝒞</ci><ci id="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.4.2.3.3.3.cmml" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.4.2.3.3.3">ℋ</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2"><apply id="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><sum id="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.3.2"></sum><apply id="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.3.3"><in id="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.3.3.1.cmml" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.3.3.1"></in><ci id="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.3.3.2.cmml" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.3.3.2">𝑛</ci><ci id="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.3.3.3.cmml" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.3.3.3">𝒩</ci></apply></apply><apply id="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.2"><times id="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.2.3"></times><apply id="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.2.4.cmml" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.2.4.1.cmml" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.2.4">superscript</csymbol><apply id="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.2.4.2.cmml" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.2.4.2.1.cmml" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.2.4.2.2.cmml" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.2.4.2.2">ℒ</ci><ci id="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.2.4.2.3a.cmml" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.2.4.2.3"><mtext id="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.2.4.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.2.4.2.3">TD</mtext></ci></apply><ci id="S2.E4.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E4.m2.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><list id="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.2.2.2"><apply id="S2.E4.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E4.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.E4.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑄</ci><list id="S2.E4.m2.4.4.3.4.cmml" xref="S2.E4.m2.4.4.3.3"><ci id="S2.E4.m2.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E4.m2.2.2.1.1">𝑛</ci><ci id="S2.E4.m2.4.4.3.3.2.cmml" xref="S2.E4.m2.4.4.3.3.2">′</ci></list></apply><apply id="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E4.m2.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.2">𝑄</ci><ci id="S2.E4.m2.5.5.1.1.cmml" xref="S2.E4.m2.5.5.1.1">𝑛</ci></apply></list></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E4.m2.6c">\displaystyle\in\arg\min\nolimits_{\mathfrak{Q}^{\prime}\in\mathcal{C}_{% \mathbfcal{H}}}\sum\nolimits_{n\in\mathcal{N}}\mathcal{L}_{\textnormal{TD}}^{(% n)}(Q^{(n)\prime};\,Q^{(n)})\,,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E4.m2.6d">∈ roman_arg roman_min start_POSTSUBSCRIPT fraktur_Q start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ caligraphic_C start_POSTSUBSCRIPT roman_ℋ end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n ∈ caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L start_POSTSUBSCRIPT TD end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) ′ end_POSTSUPERSCRIPT ; italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(4)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p2.8">where the classical temporal-difference (TD) loss</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A0.EGx6"> <tbody id="S2.Ex2"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathcal{L}_{\textnormal{TD}}^{(n)}(Q^{(n)\prime};\,Q^{(n)})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Ex2.m1.7"><semantics id="S2.Ex2.m1.7a"><mrow id="S2.Ex2.m1.7.7" xref="S2.Ex2.m1.7.7.cmml"><msubsup id="S2.Ex2.m1.7.7.4" xref="S2.Ex2.m1.7.7.4.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Ex2.m1.7.7.4.2.2" xref="S2.Ex2.m1.7.7.4.2.2.cmml">ℒ</mi><mtext id="S2.Ex2.m1.7.7.4.2.3" xref="S2.Ex2.m1.7.7.4.2.3a.cmml">TD</mtext><mrow id="S2.Ex2.m1.1.1.1.3" xref="S2.Ex2.m1.7.7.4.cmml"><mo id="S2.Ex2.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.Ex2.m1.7.7.4.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.Ex2.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.Ex2.m1.7.7.4.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S2.Ex2.m1.7.7.3" xref="S2.Ex2.m1.7.7.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex2.m1.7.7.2.2" xref="S2.Ex2.m1.7.7.2.3.cmml"><mo id="S2.Ex2.m1.7.7.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.Ex2.m1.7.7.2.3.cmml">(</mo><msup id="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.1.2" xref="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.1.2.cmml">Q</mi><mrow id="S2.Ex2.m1.4.4.3.3" xref="S2.Ex2.m1.4.4.3.4.cmml"><mrow id="S2.Ex2.m1.3.3.2.2.1.2" xref="S2.Ex2.m1.4.4.3.4.cmml"><mo id="S2.Ex2.m1.3.3.2.2.1.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex2.m1.4.4.3.4.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.Ex2.m1.3.3.2.2.1.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex2.m1.4.4.3.4.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex2.m1.4.4.3.3.3" lspace="0em" xref="S2.Ex2.m1.4.4.3.4.cmml">⁣</mo><mo id="S2.Ex2.m1.4.4.3.3.2" mathsize="142%" xref="S2.Ex2.m1.4.4.3.3.2.cmml">′</mo></mrow></msup><mo id="S2.Ex2.m1.7.7.2.2.4" rspace="0.337em" xref="S2.Ex2.m1.7.7.2.3.cmml">;</mo><msup id="S2.Ex2.m1.7.7.2.2.2" xref="S2.Ex2.m1.7.7.2.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex2.m1.7.7.2.2.2.2" xref="S2.Ex2.m1.7.7.2.2.2.2.cmml">Q</mi><mrow id="S2.Ex2.m1.5.5.1.3" xref="S2.Ex2.m1.7.7.2.2.2.cmml"><mo id="S2.Ex2.m1.5.5.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.Ex2.m1.7.7.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex2.m1.5.5.1.1" xref="S2.Ex2.m1.5.5.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.Ex2.m1.5.5.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.Ex2.m1.7.7.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S2.Ex2.m1.7.7.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.Ex2.m1.7.7.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex2.m1.7b"><apply id="S2.Ex2.m1.7.7.cmml" xref="S2.Ex2.m1.7.7"><times id="S2.Ex2.m1.7.7.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.7.7.3"></times><apply id="S2.Ex2.m1.7.7.4.cmml" xref="S2.Ex2.m1.7.7.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex2.m1.7.7.4.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.7.7.4">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex2.m1.7.7.4.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.7.7.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex2.m1.7.7.4.2.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.7.7.4">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex2.m1.7.7.4.2.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.7.7.4.2.2">ℒ</ci><ci id="S2.Ex2.m1.7.7.4.2.3a.cmml" xref="S2.Ex2.m1.7.7.4.2.3"><mtext id="S2.Ex2.m1.7.7.4.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.Ex2.m1.7.7.4.2.3">TD</mtext></ci></apply><ci id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><list id="S2.Ex2.m1.7.7.2.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.7.7.2.2"><apply id="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.1.2">𝑄</ci><list id="S2.Ex2.m1.4.4.3.4.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.3.3"><ci id="S2.Ex2.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.1.1">𝑛</ci><ci id="S2.Ex2.m1.4.4.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.3.3.2">′</ci></list></apply><apply id="S2.Ex2.m1.7.7.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.7.7.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex2.m1.7.7.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.7.7.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex2.m1.7.7.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.7.7.2.2.2.2">𝑄</ci><ci id="S2.Ex2.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.5.5.1.1">𝑛</ci></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex2.m1.7c">\displaystyle\mathcal{L}_{\textnormal{TD}}^{(n)}(Q^{(n)\prime};\,Q^{(n)})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex2.m1.7d">caligraphic_L start_POSTSUBSCRIPT TD end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) ′ end_POSTSUPERSCRIPT ; italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S2.Ex3"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\coloneqq\tfrac{1}{2}\sum_{i=1}^{N_{\textnormal{av}}^{(n)}}\Bigl{% [}g_{i}^{(n)}+\alpha\,\inf_{\mathclap{a_{i}^{(n)\prime}\in\mathcal{A}}}\,Q^{(n% )}(\mathbf{s}_{i}^{(n)\prime},a_{i}^{(n)\prime})-Q^{(n)\prime}(\mathbf{z}_{i}^% {(n)})\Bigr{]}^{2}\,," class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Ex3.m1.17"><semantics id="S2.Ex3.m1.17a"><mrow id="S2.Ex3.m1.17.17.1" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.3" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.2" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.2.cmml">≔</mo><mrow id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.cmml"><mfrac id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.3" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.3.cmml"><mn id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.2" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.2.cmml"><munderover id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.2a" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msubsup id="S2.Ex3.m1.1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.3.2.cmml">N</mi><mtext id="S2.Ex3.m1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.3.3a.cmml">av</mtext><mrow id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup></munderover></mstyle><msup id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.2" maxsize="160%" minsize="160%" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msubsup id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.2" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.2.cmml">g</mi><mi id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.3" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.3.cmml">i</mi><mrow id="S2.Ex3.m1.2.2.1.3" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mo id="S2.Ex3.m1.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex3.m1.2.2.1.1" xref="S2.Ex3.m1.2.2.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.Ex3.m1.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.cmml">α</mi><mo id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" lspace="0.337em" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><munder id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2" movablelimits="false" rspace="0.167em" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml">inf</mo><mpadded id="S2.Ex3.m1.5.5.3" lspace="-7.5pt" width="0pt" xref="S2.Ex3.m1.5.5.3.cmml"><msubsup id="S2.Ex3.m1.5.5.3.5" xref="S2.Ex3.m1.5.5.3.5.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.5.5.3.5.2.2" xref="S2.Ex3.m1.5.5.3.5.2.2.cmml">a</mi><mi id="S2.Ex3.m1.5.5.3.5.2.3" xref="S2.Ex3.m1.5.5.3.5.2.3.cmml">i</mi><mrow id="S2.Ex3.m1.5.5.3.3.3.3.3" xref="S2.Ex3.m1.5.5.3.3.3.3.4.cmml"><mrow id="S2.Ex3.m1.4.4.2.2.2.2.2.1.2" xref="S2.Ex3.m1.5.5.3.3.3.3.4.cmml"><mo id="S2.Ex3.m1.4.4.2.2.2.2.2.1.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex3.m1.5.5.3.3.3.3.4.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.Ex3.m1.4.4.2.2.2.2.2.1.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex3.m1.5.5.3.3.3.3.4.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex3.m1.5.5.3.3.3.3.3.3" lspace="0em" xref="S2.Ex3.m1.5.5.3.3.3.3.4.cmml">⁣</mo><mo id="S2.Ex3.m1.5.5.3.3.3.3.3.2" mathsize="200%" xref="S2.Ex3.m1.5.5.3.3.3.3.3.2.cmml">′</mo></mrow></msubsup><mo id="S2.Ex3.m1.5.5.3.4" xref="S2.Ex3.m1.5.5.3.4.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Ex3.m1.5.5.3.6" xref="S2.Ex3.m1.5.5.3.6.cmml">𝒜</mi></mpadded></munder><mrow id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><msup id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.4" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.4.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.4.2" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.4.2.cmml">Q</mi><mrow id="S2.Ex3.m1.6.6.1.3" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.4.cmml"><mo id="S2.Ex3.m1.6.6.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.4.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex3.m1.6.6.1.1" xref="S2.Ex3.m1.6.6.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.Ex3.m1.6.6.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.4.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><msubsup id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐬</mi><mi id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi><mrow id="S2.Ex3.m1.9.9.3.3" xref="S2.Ex3.m1.9.9.3.4.cmml"><mrow id="S2.Ex3.m1.8.8.2.2.1.2" xref="S2.Ex3.m1.9.9.3.4.cmml"><mo id="S2.Ex3.m1.8.8.2.2.1.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex3.m1.9.9.3.4.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex3.m1.7.7.1.1" xref="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.Ex3.m1.8.8.2.2.1.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex3.m1.9.9.3.4.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex3.m1.9.9.3.3.3" lspace="0em" xref="S2.Ex3.m1.9.9.3.4.cmml">⁣</mo><mo id="S2.Ex3.m1.9.9.3.3.2" mathsize="142%" xref="S2.Ex3.m1.9.9.3.3.2.cmml">′</mo></mrow></msubsup><mo id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.4" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><msubsup id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">a</mi><mi id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">i</mi><mrow id="S2.Ex3.m1.12.12.3.3" xref="S2.Ex3.m1.12.12.3.4.cmml"><mrow id="S2.Ex3.m1.11.11.2.2.1.2" xref="S2.Ex3.m1.12.12.3.4.cmml"><mo id="S2.Ex3.m1.11.11.2.2.1.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex3.m1.12.12.3.4.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex3.m1.10.10.1.1" xref="S2.Ex3.m1.10.10.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.Ex3.m1.11.11.2.2.1.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex3.m1.12.12.3.4.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex3.m1.12.12.3.3.3" lspace="0em" xref="S2.Ex3.m1.12.12.3.4.cmml">⁣</mo><mo id="S2.Ex3.m1.12.12.3.3.2" mathsize="142%" xref="S2.Ex3.m1.12.12.3.3.2.cmml">′</mo></mrow></msubsup><mo id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">−</mo><mrow id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msup id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">Q</mi><mrow id="S2.Ex3.m1.15.15.3.3" xref="S2.Ex3.m1.15.15.3.4.cmml"><mrow id="S2.Ex3.m1.14.14.2.2.1.2" xref="S2.Ex3.m1.15.15.3.4.cmml"><mo id="S2.Ex3.m1.14.14.2.2.1.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex3.m1.15.15.3.4.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex3.m1.13.13.1.1" xref="S2.Ex3.m1.13.13.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.Ex3.m1.14.14.2.2.1.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex3.m1.15.15.3.4.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex3.m1.15.15.3.3.3" lspace="0em" xref="S2.Ex3.m1.15.15.3.4.cmml">⁣</mo><mo id="S2.Ex3.m1.15.15.3.3.2" mathsize="142%" xref="S2.Ex3.m1.15.15.3.3.2.cmml">′</mo></mrow></msup><mo id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2.cmml">𝐳</mi><mi id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.3.cmml">i</mi><mrow id="S2.Ex3.m1.16.16.1.3" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex3.m1.16.16.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex3.m1.16.16.1.1" xref="S2.Ex3.m1.16.16.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.Ex3.m1.16.16.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.3" maxsize="160%" minsize="160%" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mn id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.Ex3.m1.17.17.1.2" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex3.m1.17b"><apply id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1"><ci id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.2">≔</ci><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1"><times id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.2"></times><apply id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.3"><divide id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.3"></divide><cn id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.3.2">1</cn><cn id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1"><apply id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.2.2.2"></sum><apply id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.2.2.3"><eq id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑖</ci><cn id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S2.Ex3.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex3.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex3.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex3.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex3.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.3.2">𝑁</ci><ci id="S2.Ex3.m1.1.1.1.3.3a.cmml" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.3.3"><mtext id="S2.Ex3.m1.1.1.1.3.3.cmml" mathsize="50%" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.3.3">av</mtext></ci></apply><ci id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.4"></minus><apply id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><plus id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"></plus><apply id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.2">𝑔</ci><ci id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S2.Ex3.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.2.2.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><times id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"></times><ci id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.cmml" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4">𝛼</ci><apply id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><apply id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2">infimum</csymbol><apply id="S2.Ex3.m1.5.5.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.5.5.3"><in id="S2.Ex3.m1.5.5.3.4.cmml" xref="S2.Ex3.m1.5.5.3.4"></in><apply id="S2.Ex3.m1.5.5.3.5.cmml" xref="S2.Ex3.m1.5.5.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex3.m1.5.5.3.5.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.5.5.3.5">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex3.m1.5.5.3.5.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.5.5.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex3.m1.5.5.3.5.2.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.5.5.3.5">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex3.m1.5.5.3.5.2.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.5.5.3.5.2.2">𝑎</ci><ci id="S2.Ex3.m1.5.5.3.5.2.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.5.5.3.5.2.3">𝑖</ci></apply><list id="S2.Ex3.m1.5.5.3.3.3.3.4.cmml" xref="S2.Ex3.m1.5.5.3.3.3.3.3"><ci id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1">𝑛</ci><ci id="S2.Ex3.m1.5.5.3.3.3.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.5.5.3.3.3.3.3.2">′</ci></list></apply><ci id="S2.Ex3.m1.5.5.3.6.cmml" xref="S2.Ex3.m1.5.5.3.6">𝒜</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2"><times id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3"></times><apply id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.4.cmml" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.4.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.4">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.4.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.4.2">𝑄</ci><ci id="S2.Ex3.m1.6.6.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.6.6.1.1">𝑛</ci></apply><interval closure="open" id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2"><apply id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐬</ci><ci id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><list id="S2.Ex3.m1.9.9.3.4.cmml" xref="S2.Ex3.m1.9.9.3.3"><ci id="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.7.7.1.1">𝑛</ci><ci id="S2.Ex3.m1.9.9.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.9.9.3.3.2">′</ci></list></apply><apply id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2">𝑎</ci><ci id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.3">𝑖</ci></apply><list id="S2.Ex3.m1.12.12.3.4.cmml" xref="S2.Ex3.m1.12.12.3.3"><ci id="S2.Ex3.m1.10.10.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.10.10.1.1">𝑛</ci><ci id="S2.Ex3.m1.12.12.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.12.12.3.3.2">′</ci></list></apply></interval></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"></times><apply id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑄</ci><list id="S2.Ex3.m1.15.15.3.4.cmml" xref="S2.Ex3.m1.15.15.3.3"><ci id="S2.Ex3.m1.13.13.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.13.13.1.1">𝑛</ci><ci id="S2.Ex3.m1.15.15.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.15.15.3.3.2">′</ci></list></apply><apply id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2">𝐳</ci><ci id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S2.Ex3.m1.16.16.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.16.16.1.1">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply><cn id="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex3.m1.17.17.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex3.m1.17c">\displaystyle\coloneqq\tfrac{1}{2}\sum_{i=1}^{N_{\textnormal{av}}^{(n)}}\Bigl{% [}g_{i}^{(n)}+\alpha\,\inf_{\mathclap{a_{i}^{(n)\prime}\in\mathcal{A}}}\,Q^{(n% )}(\mathbf{s}_{i}^{(n)\prime},a_{i}^{(n)\prime})-Q^{(n)\prime}(\mathbf{z}_{i}^% {(n)})\Bigr{]}^{2}\,,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex3.m1.17d">≔ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N start_POSTSUBSCRIPT av end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT + italic_α roman_inf start_POSTSUBSCRIPT italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ caligraphic_A end_POSTSUBSCRIPT italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ( bold_s start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) - italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) ′ end_POSTSUPERSCRIPT ( bold_z start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ) ] start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p2.9">and the <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.SS2.p2.9.1">consensus set</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A0.EGx7"> <tbody id="S2.Ex4"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathcal{C}_{\mathbfcal{H}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Ex4.m1.1"><semantics id="S2.Ex4.m1.1a"><msub id="S2.Ex4.m1.1.1" xref="S2.Ex4.m1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Ex4.m1.1.1.2" xref="S2.Ex4.m1.1.1.2.cmml">𝒞</mi><mi id="S2.Ex4.m1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S2.Ex4.m1.1.1.3.cmml">ℋ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex4.m1.1b"><apply id="S2.Ex4.m1.1.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex4.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex4.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.2">𝒞</ci><ci id="S2.Ex4.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.3">ℋ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex4.m1.1c">\displaystyle\mathcal{C}_{\mathbfcal{H}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex4.m1.1d">caligraphic_C start_POSTSUBSCRIPT roman_ℋ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle{}\coloneqq{}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Ex4.m2.1"><semantics id="S2.Ex4.m2.1a"><mo id="S2.Ex4.m2.1.1" xref="S2.Ex4.m2.1.1.cmml">≔</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex4.m2.1b"><ci id="S2.Ex4.m2.1.1.cmml" xref="S2.Ex4.m2.1.1">≔</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex4.m2.1c">\displaystyle{}\coloneqq{}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex4.m2.1d">≔</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\{\mathfrak{Q}^{\prime}\in\mathbfcal{H}{\mathbin{}\mid\mathbin{}}% Q^{(n)\prime}=Q^{(n^{\prime})\prime},\forall\{n,n^{\prime}\}\in\mathcal{E}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Ex4.m3.6"><semantics id="S2.Ex4.m3.6a"><mrow id="S2.Ex4.m3.6.6.2" xref="S2.Ex4.m3.6.6.3.cmml"><mo id="S2.Ex4.m3.6.6.2.3" stretchy="false" xref="S2.Ex4.m3.6.6.3.1.cmml">{</mo><mrow id="S2.Ex4.m3.5.5.1.1" xref="S2.Ex4.m3.5.5.1.1.cmml"><msup id="S2.Ex4.m3.5.5.1.1.2" xref="S2.Ex4.m3.5.5.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex4.m3.5.5.1.1.2.2" xref="S2.Ex4.m3.5.5.1.1.2.2.cmml">𝔔</mi><mo id="S2.Ex4.m3.5.5.1.1.2.3" xref="S2.Ex4.m3.5.5.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S2.Ex4.m3.5.5.1.1.1" xref="S2.Ex4.m3.5.5.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S2.Ex4.m3.5.5.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S2.Ex4.m3.5.5.1.1.3.cmml">ℋ</mi></mrow><mo fence="true" id="S2.Ex4.m3.6.6.2.4" lspace="0em" rspace="0em" xref="S2.Ex4.m3.6.6.3.1.cmml">∣</mo><mrow id="S2.Ex4.m3.6.6.2.2" xref="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.cmml"><mrow id="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1" xref="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.cmml"><msup id="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.3" xref="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.3.2.cmml">𝒬</mi><mrow id="S2.Ex4.m3.2.2.2.2" xref="S2.Ex4.m3.2.2.2.3.cmml"><mrow id="S2.Ex4.m3.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex4.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex4.m3.1.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S2.Ex4.m3.1.1.1.1.1.2.cmml">⇐</mi><mo id="S2.Ex4.m3.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex4.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex4.m3.1.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S2.Ex4.m3.1.1.1.1.1.3.cmml">\</mi><mo id="S2.Ex4.m3.1.1.1.1.1.1a" xref="S2.Ex4.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex4.m3.1.1.1.1.1.4" mathvariant="normal" xref="S2.Ex4.m3.1.1.1.1.1.4.cmml">⇒</mi></mrow><mo id="S2.Ex4.m3.2.2.2.2.3" lspace="0em" xref="S2.Ex4.m3.2.2.2.3.cmml">⁣</mo><mo id="S2.Ex4.m3.2.2.2.2.2" mathsize="142%" xref="S2.Ex4.m3.2.2.2.2.2.cmml">′</mo></mrow></msup><mo id="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.2" xref="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.4" mathvariant="normal" xref="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.4.cmml">ℑ</mi><mo id="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.2a" xref="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.5" xref="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.5.cmml"><mi id="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.5.2" mathvariant="normal" xref="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.5.2.cmml">𝒬</mi><mrow id="S2.Ex4.m3.4.4.2.2" xref="S2.Ex4.m3.4.4.2.3.cmml"><mrow id="S2.Ex4.m3.3.3.1.1.1" xref="S2.Ex4.m3.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex4.m3.3.3.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S2.Ex4.m3.3.3.1.1.1.2.cmml">⇐</mi><mo id="S2.Ex4.m3.3.3.1.1.1.1" xref="S2.Ex4.m3.3.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.Ex4.m3.3.3.1.1.1.3" xref="S2.Ex4.m3.3.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex4.m3.3.3.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S2.Ex4.m3.3.3.1.1.1.3.2.cmml">\</mi><mo id="S2.Ex4.m3.3.3.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex4.m3.3.3.1.1.1.3.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S2.Ex4.m3.3.3.1.1.1.1a" xref="S2.Ex4.m3.3.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex4.m3.3.3.1.1.1.4" mathvariant="normal" xref="S2.Ex4.m3.3.3.1.1.1.4.cmml">⇒</mi></mrow><mo id="S2.Ex4.m3.4.4.2.2.3" lspace="0em" xref="S2.Ex4.m3.4.4.2.3.cmml">⁣</mo><mo id="S2.Ex4.m3.4.4.2.2.2" mathsize="142%" xref="S2.Ex4.m3.4.4.2.2.2.cmml">′</mo></mrow></msup><mo id="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.2b" xref="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.6" mathvariant="normal" xref="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.6.cmml">⇔</mi><mo id="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.2c" lspace="0.167em" xref="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.1" xref="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.1.2" xref="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.1.2.cmml">∀</mo><mrow id="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.1.1.1" xref="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">\</mi><mo id="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">⇔</mi><mo id="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1a" xref="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.1.1.1.1.4" xref="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.1.1.1.1.4.2" mathvariant="normal" xref="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.1.1.1.1.4.2.cmml">\</mi><mo id="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.1.1.1.1.4.3" xref="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.1.1.1.1.4.3.cmml">′</mo></msup></mrow><mo id="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.2" xref="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.2.cmml">∈</mo><mi id="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.3" mathvariant="normal" xref="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.3.cmml">ℰ</mi></mrow><mo id="S2.Ex4.m3.6.6.2.5" stretchy="false" xref="S2.Ex4.m3.6.6.3.1.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex4.m3.6b"><apply id="S2.Ex4.m3.6.6.3.cmml" xref="S2.Ex4.m3.6.6.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex4.m3.6.6.3.1.cmml" xref="S2.Ex4.m3.6.6.2.3">conditional-set</csymbol><apply id="S2.Ex4.m3.5.5.1.1.cmml" xref="S2.Ex4.m3.5.5.1.1"><in id="S2.Ex4.m3.5.5.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex4.m3.5.5.1.1.1"></in><apply id="S2.Ex4.m3.5.5.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex4.m3.5.5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex4.m3.5.5.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex4.m3.5.5.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex4.m3.5.5.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex4.m3.5.5.1.1.2.2">𝔔</ci><ci id="S2.Ex4.m3.5.5.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex4.m3.5.5.1.1.2.3">′</ci></apply><ci id="S2.Ex4.m3.5.5.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex4.m3.5.5.1.1.3">ℋ</ci></apply><apply id="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.cmml" xref="S2.Ex4.m3.6.6.2.2"><in id="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.2"></in><apply id="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1"><times id="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.2.cmml" xref="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.2"></times><apply id="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.3.cmml" xref="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.3.2">𝒬</ci><list id="S2.Ex4.m3.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex4.m3.2.2.2.2"><apply id="S2.Ex4.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex4.m3.1.1.1.1.1"><times id="S2.Ex4.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex4.m3.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S2.Ex4.m3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex4.m3.1.1.1.1.1.2">⇐</ci><ci id="S2.Ex4.m3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex4.m3.1.1.1.1.1.3">\</ci><ci id="S2.Ex4.m3.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.Ex4.m3.1.1.1.1.1.4">⇒</ci></apply><ci id="S2.Ex4.m3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex4.m3.2.2.2.2.2">′</ci></list></apply><ci id="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.4.cmml" xref="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.4">ℑ</ci><apply id="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.5.cmml" xref="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.5.1.cmml" xref="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.5">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.5.2.cmml" xref="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.5.2">𝒬</ci><list id="S2.Ex4.m3.4.4.2.3.cmml" xref="S2.Ex4.m3.4.4.2.2"><apply id="S2.Ex4.m3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex4.m3.3.3.1.1.1"><times id="S2.Ex4.m3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex4.m3.3.3.1.1.1.1"></times><ci id="S2.Ex4.m3.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex4.m3.3.3.1.1.1.2">⇐</ci><apply id="S2.Ex4.m3.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex4.m3.3.3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex4.m3.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex4.m3.3.3.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex4.m3.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex4.m3.3.3.1.1.1.3.2">\</ci><ci id="S2.Ex4.m3.3.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex4.m3.3.3.1.1.1.3.3">′</ci></apply><ci id="S2.Ex4.m3.3.3.1.1.1.4.cmml" xref="S2.Ex4.m3.3.3.1.1.1.4">⇒</ci></apply><ci id="S2.Ex4.m3.4.4.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex4.m3.4.4.2.2.2">′</ci></list></apply><ci id="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.6.cmml" xref="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.6">⇔</ci><apply id="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.1.cmml" xref="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.1.2">for-all</csymbol><set id="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.1.1.1"><apply id="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.1.1.1.1"><times id="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.1.1.1.1.2">\</ci><ci id="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.1.1.1.1.3">⇔</ci><apply id="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.1.1.1.1.4.2">\</ci><ci id="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.1.1.1.1.1.4.3">′</ci></apply></apply></set></apply></apply><ci id="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex4.m3.6.6.2.2.3">ℰ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex4.m3.6c">\displaystyle\{\mathfrak{Q}^{\prime}\in\mathbfcal{H}{\mathbin{}\mid\mathbin{}}% Q^{(n)\prime}=Q^{(n^{\prime})\prime},\forall\{n,n^{\prime}\}\in\mathcal{E}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex4.m3.6d">{ fraktur_Q start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ roman_ℋ ∣ roman_𝒬 start_POSTSUPERSCRIPT ⇐ \ ⇒ ′ end_POSTSUPERSCRIPT roman_ℑ roman_𝒬 start_POSTSUPERSCRIPT ⇐ \ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ⇒ ′ end_POSTSUPERSCRIPT ⇔ ∀ { \ ⇔ \ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT } ∈ roman_ℰ }</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S2.E5"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E5.m1.1"><semantics id="S2.E5.m1.1a"><mo id="S2.E5.m1.1.1" xref="S2.E5.m1.1.1.cmml">=</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E5.m1.1b"><eq id="S2.E5.m1.1.1.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1"></eq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E5.m1.1c">\displaystyle=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E5.m1.1d">=</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\{\mathfrak{Q}^{\prime}\in\mathbfcal{H}{\mathbin{}\mid\mathbin{}}% Q^{(1)\prime}=\ldots=Q^{(N)\prime}\}\,," class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E5.m2.6"><semantics id="S2.E5.m2.6a"><mrow id="S2.E5.m2.6.6" xref="S2.E5.m2.6.6.cmml"><mrow id="S2.E5.m2.6.6.2.2" xref="S2.E5.m2.6.6.2.3.cmml"><mo id="S2.E5.m2.6.6.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.E5.m2.6.6.2.3.1.cmml">{</mo><mrow id="S2.E5.m2.5.5.1.1.1" xref="S2.E5.m2.5.5.1.1.1.cmml"><msup id="S2.E5.m2.5.5.1.1.1.2" xref="S2.E5.m2.5.5.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E5.m2.5.5.1.1.1.2.2" xref="S2.E5.m2.5.5.1.1.1.2.2.cmml">𝔔</mi><mo id="S2.E5.m2.5.5.1.1.1.2.3" xref="S2.E5.m2.5.5.1.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S2.E5.m2.5.5.1.1.1.1" xref="S2.E5.m2.5.5.1.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S2.E5.m2.5.5.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S2.E5.m2.5.5.1.1.1.3.cmml">ℋ</mi></mrow><mo fence="true" id="S2.E5.m2.6.6.2.2.4" lspace="0em" rspace="0em" xref="S2.E5.m2.6.6.2.3.1.cmml">∣</mo><mrow id="S2.E5.m2.6.6.2.2.2" xref="S2.E5.m2.6.6.2.2.2.cmml"><msup id="S2.E5.m2.6.6.2.2.2.2" xref="S2.E5.m2.6.6.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E5.m2.6.6.2.2.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S2.E5.m2.6.6.2.2.2.2.2.cmml">𝒬</mi><mrow id="S2.E5.m2.2.2.2.2" xref="S2.E5.m2.2.2.2.3.cmml"><mrow id="S2.E5.m2.1.1.1.1.1" xref="S2.E5.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E5.m2.1.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S2.E5.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">⇐</mi><mo id="S2.E5.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E5.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E5.m2.1.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S2.E5.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">∞</mi><mo id="S2.E5.m2.1.1.1.1.1.1a" xref="S2.E5.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E5.m2.1.1.1.1.1.4" mathvariant="normal" xref="S2.E5.m2.1.1.1.1.1.4.cmml">⇒</mi></mrow><mo id="S2.E5.m2.2.2.2.2.3" lspace="0em" xref="S2.E5.m2.2.2.2.3.cmml">⁣</mo><mo id="S2.E5.m2.2.2.2.2.2" mathsize="142%" xref="S2.E5.m2.2.2.2.2.2.cmml">′</mo></mrow></msup><mo id="S2.E5.m2.6.6.2.2.2.1" xref="S2.E5.m2.6.6.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E5.m2.6.6.2.2.2.3" mathvariant="normal" xref="S2.E5.m2.6.6.2.2.2.3.cmml">ℑ</mi><mo id="S2.E5.m2.6.6.2.2.2.1a" xref="S2.E5.m2.6.6.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E5.m2.6.6.2.2.2.4" mathvariant="normal" xref="S2.E5.m2.6.6.2.2.2.4.cmml">…</mi><mo id="S2.E5.m2.6.6.2.2.2.1b" xref="S2.E5.m2.6.6.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E5.m2.6.6.2.2.2.5" mathvariant="normal" xref="S2.E5.m2.6.6.2.2.2.5.cmml">ℑ</mi><mo id="S2.E5.m2.6.6.2.2.2.1c" xref="S2.E5.m2.6.6.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.E5.m2.6.6.2.2.2.6" xref="S2.E5.m2.6.6.2.2.2.6.cmml"><mi id="S2.E5.m2.6.6.2.2.2.6.2" mathvariant="normal" xref="S2.E5.m2.6.6.2.2.2.6.2.cmml">𝒬</mi><mrow id="S2.E5.m2.4.4.2.2" xref="S2.E5.m2.4.4.2.3.cmml"><mrow id="S2.E5.m2.3.3.1.1.1" xref="S2.E5.m2.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E5.m2.3.3.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S2.E5.m2.3.3.1.1.1.2.cmml">⇐</mi><mo id="S2.E5.m2.3.3.1.1.1.1" xref="S2.E5.m2.3.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E5.m2.3.3.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S2.E5.m2.3.3.1.1.1.3.cmml">𝒩</mi><mo id="S2.E5.m2.3.3.1.1.1.1a" xref="S2.E5.m2.3.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E5.m2.3.3.1.1.1.4" mathvariant="normal" xref="S2.E5.m2.3.3.1.1.1.4.cmml">⇒</mi></mrow><mo id="S2.E5.m2.4.4.2.2.3" lspace="0em" xref="S2.E5.m2.4.4.2.3.cmml">⁣</mo><mo id="S2.E5.m2.4.4.2.2.2" mathsize="142%" xref="S2.E5.m2.4.4.2.2.2.cmml">′</mo></mrow></msup></mrow><mo id="S2.E5.m2.6.6.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.E5.m2.6.6.2.3.1.cmml">}</mo></mrow><mo id="S2.E5.m2.6.6.3" lspace="0.170em" xref="S2.E5.m2.6.6.3.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E5.m2.6.6.4" mathvariant="normal" xref="S2.E5.m2.6.6.4.cmml">⇔</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E5.m2.6b"><apply id="S2.E5.m2.6.6.cmml" xref="S2.E5.m2.6.6"><times id="S2.E5.m2.6.6.3.cmml" xref="S2.E5.m2.6.6.3"></times><apply id="S2.E5.m2.6.6.2.3.cmml" xref="S2.E5.m2.6.6.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.E5.m2.6.6.2.3.1.cmml" xref="S2.E5.m2.6.6.2.2.3">conditional-set</csymbol><apply id="S2.E5.m2.5.5.1.1.1.cmml" xref="S2.E5.m2.5.5.1.1.1"><in id="S2.E5.m2.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E5.m2.5.5.1.1.1.1"></in><apply id="S2.E5.m2.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E5.m2.5.5.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E5.m2.5.5.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E5.m2.5.5.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.E5.m2.5.5.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E5.m2.5.5.1.1.1.2.2">𝔔</ci><ci id="S2.E5.m2.5.5.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E5.m2.5.5.1.1.1.2.3">′</ci></apply><ci id="S2.E5.m2.5.5.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E5.m2.5.5.1.1.1.3">ℋ</ci></apply><apply id="S2.E5.m2.6.6.2.2.2.cmml" xref="S2.E5.m2.6.6.2.2.2"><times id="S2.E5.m2.6.6.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E5.m2.6.6.2.2.2.1"></times><apply id="S2.E5.m2.6.6.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E5.m2.6.6.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E5.m2.6.6.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E5.m2.6.6.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.E5.m2.6.6.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E5.m2.6.6.2.2.2.2.2">𝒬</ci><list id="S2.E5.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E5.m2.2.2.2.2"><apply id="S2.E5.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E5.m2.1.1.1.1.1"><times id="S2.E5.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E5.m2.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S2.E5.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E5.m2.1.1.1.1.1.2">⇐</ci><ci id="S2.E5.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E5.m2.1.1.1.1.1.3">∞</ci><ci id="S2.E5.m2.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.E5.m2.1.1.1.1.1.4">⇒</ci></apply><ci id="S2.E5.m2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E5.m2.2.2.2.2.2">′</ci></list></apply><ci id="S2.E5.m2.6.6.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E5.m2.6.6.2.2.2.3">ℑ</ci><ci id="S2.E5.m2.6.6.2.2.2.4.cmml" xref="S2.E5.m2.6.6.2.2.2.4">…</ci><ci id="S2.E5.m2.6.6.2.2.2.5.cmml" xref="S2.E5.m2.6.6.2.2.2.5">ℑ</ci><apply id="S2.E5.m2.6.6.2.2.2.6.cmml" xref="S2.E5.m2.6.6.2.2.2.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E5.m2.6.6.2.2.2.6.1.cmml" xref="S2.E5.m2.6.6.2.2.2.6">superscript</csymbol><ci id="S2.E5.m2.6.6.2.2.2.6.2.cmml" xref="S2.E5.m2.6.6.2.2.2.6.2">𝒬</ci><list id="S2.E5.m2.4.4.2.3.cmml" xref="S2.E5.m2.4.4.2.2"><apply id="S2.E5.m2.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.E5.m2.3.3.1.1.1"><times id="S2.E5.m2.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E5.m2.3.3.1.1.1.1"></times><ci id="S2.E5.m2.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E5.m2.3.3.1.1.1.2">⇐</ci><ci id="S2.E5.m2.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E5.m2.3.3.1.1.1.3">𝒩</ci><ci id="S2.E5.m2.3.3.1.1.1.4.cmml" xref="S2.E5.m2.3.3.1.1.1.4">⇒</ci></apply><ci id="S2.E5.m2.4.4.2.2.2.cmml" xref="S2.E5.m2.4.4.2.2.2">′</ci></list></apply></apply></apply><ci id="S2.E5.m2.6.6.4.cmml" xref="S2.E5.m2.6.6.4">⇔</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E5.m2.6c">\displaystyle\{\mathfrak{Q}^{\prime}\in\mathbfcal{H}{\mathbin{}\mid\mathbin{}}% Q^{(1)\prime}=\ldots=Q^{(N)\prime}\}\,,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E5.m2.6d">{ fraktur_Q start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ roman_ℋ ∣ roman_𝒬 start_POSTSUPERSCRIPT ⇐ ∞ ⇒ ′ end_POSTSUPERSCRIPT roman_ℑ … roman_ℑ roman_𝒬 start_POSTSUPERSCRIPT ⇐ roman_𝒩 ⇒ ′ end_POSTSUPERSCRIPT } ⇔</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(5)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p2.7">with the latter expression of <math alttext="\mathcal{C}_{\mathbfcal{H}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.6.m1.1"><semantics id="S2.SS2.p2.6.m1.1a"><msub id="S2.SS2.p2.6.m1.1.1" xref="S2.SS2.p2.6.m1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS2.p2.6.m1.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.6.m1.1.1.2.cmml">𝒞</mi><mi id="S2.SS2.p2.6.m1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S2.SS2.p2.6.m1.1.1.3.cmml">ℋ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.6.m1.1b"><apply id="S2.SS2.p2.6.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.6.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.6.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.6.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p2.6.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.6.m1.1.1.2">𝒞</ci><ci id="S2.SS2.p2.6.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.6.m1.1.1.3">ℋ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.6.m1.1c">\mathcal{C}_{\mathbfcal{H}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.6.m1.1d">caligraphic_C start_POSTSUBSCRIPT roman_ℋ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S2.E5" title="Equation 5 ‣ II-B General assumptions for the decentralized setting ‣ II Distributed Reinforcement Learning ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a>) following from <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S2.I1.i1" title="In Assumptions 1. ‣ II-B General assumptions for the decentralized setting ‣ II Distributed Reinforcement Learning ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Assumption</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">1(i)</span></a> that <math alttext="\mathcal{G}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.7.m2.1"><semantics id="S2.SS2.p2.7.m2.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS2.p2.7.m2.1.1" xref="S2.SS2.p2.7.m2.1.1.cmml">𝒢</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.7.m2.1b"><ci id="S2.SS2.p2.7.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.7.m2.1.1">𝒢</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.7.m2.1c">\mathcal{G}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.7.m2.1d">caligraphic_G</annotation></semantics></math> is connected <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib30" title="">30</a>]</cite>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS2.p3"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p3.2">As per <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S2.I1.i1" title="In Assumptions 1. ‣ II-B General assumptions for the decentralized setting ‣ II Distributed Reinforcement Learning ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Assumption</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">1(i)</span></a>, the summation in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S2.E4" title="Equation 4 ‣ II-B General assumptions for the decentralized setting ‣ II Distributed Reinforcement Learning ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a>) cannot be computed locally by any node in <math alttext="\mathcal{G}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p3.1.m1.1"><semantics id="S2.SS2.p3.1.m1.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS2.p3.1.m1.1.1" xref="S2.SS2.p3.1.m1.1.1.cmml">𝒢</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p3.1.m1.1b"><ci id="S2.SS2.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.1.1">𝒢</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p3.1.m1.1c">\mathcal{G}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p3.1.m1.1d">caligraphic_G</annotation></semantics></math>, necessitating the use of a distributed algorithm. Works <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib18" title="">18</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib17" title="">17</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib23" title="">23</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib22" title="">22</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib16" title="">16</a>]</cite> follow a route similar to the previous setting and <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib24" title="">24</a>]</cite>, whereas <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib20" title="">20</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib21" title="">21</a>]</cite> do not adopt <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S2.I1.i1" title="In Assumptions 1. ‣ II-B General assumptions for the decentralized setting ‣ II Distributed Reinforcement Learning ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Assumption</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">1(i)</span></a> but consider a star topology for <math alttext="\mathcal{G}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p3.2.m2.1"><semantics id="S2.SS2.p3.2.m2.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS2.p3.2.m2.1.1" xref="S2.SS2.p3.2.m2.1.1.cmml">𝒢</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p3.2.m2.1b"><ci id="S2.SS2.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m2.1.1">𝒢</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p3.2.m2.1c">\mathcal{G}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p3.2.m2.1d">caligraphic_G</annotation></semantics></math>. Additionally, <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib18" title="">18</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib17" title="">17</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib22" title="">22</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib16" title="">16</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib20" title="">20</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib21" title="">21</a>]</cite> bypass <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S2.I1.i3" title="In Assumptions 1. ‣ II-B General assumptions for the decentralized setting ‣ II Distributed Reinforcement Learning ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Assumption</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">1(iii)</span></a>, focus on streaming/online data, and operate in online-learning and stochastic-optimization modes.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS2.p4"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p4.3">In MARL, it is often the case, e.g., <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib22" title="">22</a>]</cite>, that each agent <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p4.1.m1.1"><semantics id="S2.SS2.p4.1.m1.1a"><mi id="S2.SS2.p4.1.m1.1.1" xref="S2.SS2.p4.1.m1.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p4.1.m1.1b"><ci id="S2.SS2.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.1.m1.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p4.1.m1.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p4.1.m1.1d">italic_n</annotation></semantics></math> possesses its own one-step loss function <math alttext="g^{(n)}(\cdot)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p4.2.m2.2"><semantics id="S2.SS2.p4.2.m2.2a"><mrow id="S2.SS2.p4.2.m2.2.3" xref="S2.SS2.p4.2.m2.2.3.cmml"><msup id="S2.SS2.p4.2.m2.2.3.2" xref="S2.SS2.p4.2.m2.2.3.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p4.2.m2.2.3.2.2" xref="S2.SS2.p4.2.m2.2.3.2.2.cmml">g</mi><mrow id="S2.SS2.p4.2.m2.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p4.2.m2.2.3.2.cmml"><mo id="S2.SS2.p4.2.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p4.2.m2.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS2.p4.2.m2.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p4.2.m2.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.SS2.p4.2.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p4.2.m2.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S2.SS2.p4.2.m2.2.3.1" xref="S2.SS2.p4.2.m2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS2.p4.2.m2.2.3.3.2" xref="S2.SS2.p4.2.m2.2.3.cmml"><mo id="S2.SS2.p4.2.m2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p4.2.m2.2.3.cmml">(</mo><mo id="S2.SS2.p4.2.m2.2.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="S2.SS2.p4.2.m2.2.2.cmml">⋅</mo><mo id="S2.SS2.p4.2.m2.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p4.2.m2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p4.2.m2.2b"><apply id="S2.SS2.p4.2.m2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p4.2.m2.2.3"><times id="S2.SS2.p4.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.2.m2.2.3.1"></times><apply id="S2.SS2.p4.2.m2.2.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.2.m2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p4.2.m2.2.3.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.2.m2.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p4.2.m2.2.3.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.2.m2.2.3.2.2">𝑔</ci><ci id="S2.SS2.p4.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.2.m2.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><ci id="S2.SS2.p4.2.m2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.2.m2.2.2">⋅</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p4.2.m2.2c">g^{(n)}(\cdot)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p4.2.m2.2d">italic_g start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ( ⋅ )</annotation></semantics></math>, without knowledge of the losses of other agents. This contrasts with <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S2.I1.i2" title="In Assumptions 1. ‣ II-B General assumptions for the decentralized setting ‣ II Distributed Reinforcement Learning ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Assumption</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">1(ii)</span></a>. A network-wide one-step loss is then defined as <math alttext="g(\cdot)\coloneqq(1/N)\sum_{n\in\mathcal{N}}g^{(n)}(\cdot)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p4.3.m3.4"><semantics id="S2.SS2.p4.3.m3.4a"><mrow id="S2.SS2.p4.3.m3.4.4" xref="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.cmml"><mrow id="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.3" xref="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.3.2" xref="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.3.2.cmml">g</mi><mo id="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.3.1" xref="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.3.3.2" xref="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.3.cmml"><mo id="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.3.cmml">(</mo><mo id="S2.SS2.p4.3.m3.2.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="S2.SS2.p4.3.m3.2.2.cmml">⋅</mo><mo id="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.2" xref="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.2.cmml">≔</mo><mrow id="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1" xref="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.cmml"><mrow id="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.1.1" xref="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.1.1.1.cmml"><mn id="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.cmml">/</mo><mi id="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.1.1.1.3.cmml">N</mi></mrow><mo id="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.2" xref="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.3" xref="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.3.cmml"><msub id="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.3.1" xref="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.3.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.3.1.2" xref="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.3.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.3.1.3" xref="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.3.1.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.3.1.3.2" xref="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.3.1.3.2.cmml">n</mi><mo id="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.3.1.3.1" xref="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.3.1.3.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.3.1.3.3" xref="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.3.1.3.3.cmml">𝒩</mi></mrow></msub><mrow id="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.3.2" xref="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.3.2.cmml"><msup id="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.3.2.2" xref="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.3.2.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.3.2.2.2" xref="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.3.2.2.2.cmml">g</mi><mrow id="S2.SS2.p4.3.m3.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.3.2.2.cmml"><mo id="S2.SS2.p4.3.m3.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.3.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS2.p4.3.m3.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p4.3.m3.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.SS2.p4.3.m3.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.3.2.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.3.2.1" xref="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.3.2.3.2" xref="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.3.2.cmml"><mo id="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.3.2.cmml">(</mo><mo id="S2.SS2.p4.3.m3.3.3" lspace="0em" rspace="0em" xref="S2.SS2.p4.3.m3.3.3.cmml">⋅</mo><mo id="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p4.3.m3.4b"><apply id="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.cmml" xref="S2.SS2.p4.3.m3.4.4"><ci id="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.2">≔</ci><apply id="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.3.cmml" xref="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.3"><times id="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.3.1"></times><ci id="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.3.2">𝑔</ci><ci id="S2.SS2.p4.3.m3.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.3.m3.2.2">⋅</ci></apply><apply id="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1"><times id="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.2"></times><apply id="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.1.1"><divide id="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.1.1.1.1"></divide><cn id="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.1.1.1.2">1</cn><ci id="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.1.1.1.3">𝑁</ci></apply><apply id="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.3"><apply id="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.3.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.3.1">subscript</csymbol><sum id="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.3.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.3.1.2"></sum><apply id="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.3.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.3.1.3"><in id="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.3.1.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.3.1.3.1"></in><ci id="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.3.1.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.3.1.3.2">𝑛</ci><ci id="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.3.1.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.3.1.3.3">𝒩</ci></apply></apply><apply id="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.3.2"><times id="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.3.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.3.2.1"></times><apply id="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.3.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.3.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.3.m3.4.4.1.3.2.2.2">𝑔</ci><ci id="S2.SS2.p4.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.3.m3.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><ci id="S2.SS2.p4.3.m3.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p4.3.m3.3.3">⋅</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p4.3.m3.4c">g(\cdot)\coloneqq(1/N)\sum_{n\in\mathcal{N}}g^{(n)}(\cdot)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p4.3.m3.4d">italic_g ( ⋅ ) ≔ ( 1 / italic_N ) ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n ∈ caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT italic_g start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ( ⋅ )</annotation></semantics></math>. Furthermore, it is also common in MARL for all agents to share their state vectors <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib19" title="">19</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib23" title="">23</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib24" title="">24</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib22" title="">22</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib21" title="">21</a>]</cite>, which contrasts with <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S2.I1.i3" title="In Assumptions 1. ‣ II-B General assumptions for the decentralized setting ‣ II Distributed Reinforcement Learning ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Assumption</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">1(iii)</span></a>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS2.p5"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p5.1">In addition to the proposed nonparametric B-Maps in <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3" title="III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Section</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">III</span></a>, and to expand the set of benchmark algorithms for validating the proposed VI <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#alg1" title="In III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Algorithm</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> in <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S4" title="IV Numerical Tests ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Section</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">IV</span></a>, this work introduces also a distributed approach for solving (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S2.E4" title="Equation 4 ‣ II-B General assumptions for the decentralized setting ‣ II Distributed Reinforcement Learning ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a>) using the well-known alternating direction method of multipliers (ADMM) <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib31" title="">31</a>]</cite>.</p> </div> </section> </section> <section class="ltx_section" id="S3"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">III </span><span class="ltx_text ltx_font_smallcaps" id="S3.1.1">Novel Distributed Nonparametric B-Maps</span> </h2> <section class="ltx_subsection" id="S3.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection"><span class="ltx_text" id="S3.SS1.5.1.1">III-A</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.SS1.6.2">The centralized (star-topology) B-Map</span> </h3> <div class="ltx_para" id="S3.SS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p1.4">Has there been a <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.SS1.p1.4.1">centralized fusion center</span> <math alttext="n_{\star}\in\mathcal{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.SS1.p1.1.m1.1a"><mrow id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml"><msub id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2.2" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml">n</mi><mo id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2.3" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml">⋆</mo></msub><mo id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.cmml">𝒩</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1"><in id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1"></in><apply id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2.2">𝑛</ci><ci id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2.3">⋆</ci></apply><ci id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3">𝒩</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.1.m1.1c">n_{\star}\in\mathcal{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.1.m1.1d">italic_n start_POSTSUBSCRIPT ⋆ end_POSTSUBSCRIPT ∈ caligraphic_N</annotation></semantics></math>, connected with every node of <math alttext="\mathcal{G}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.SS1.p1.2.m2.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS1.p1.2.m2.1.1" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.cmml">𝒢</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.2.m2.1b"><ci id="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.1">𝒢</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.2.m2.1c">\mathcal{G}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.2.m2.1d">caligraphic_G</annotation></semantics></math> <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.SS1.p1.4.2">(star topology),</span> able to gather <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.SS1.p1.4.3">all</span> data <math alttext="\{\mathcal{T}^{(n)}\}_{n\in\mathcal{N}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.3.m3.2"><semantics id="S3.SS1.p1.3.m3.2a"><msub id="S3.SS1.p1.3.m3.2.2" xref="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.cmml"><mrow id="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.1.1" xref="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.1.2.cmml">{</mo><msup id="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.2.cmml">𝒯</mi><mrow id="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.1.2.cmml">}</mo></mrow><mrow id="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.3" xref="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.3.2" xref="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.3.2.cmml">n</mi><mo id="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.3.1" xref="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.3.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.3.3" xref="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.3.3.cmml">𝒩</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.3.m3.2b"><apply id="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.3.m3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.3.m3.2.2">subscript</csymbol><set id="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.1.1"><apply id="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.2">𝒯</ci><ci id="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></set><apply id="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.3"><in id="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.3.1"></in><ci id="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.3.2">𝑛</ci><ci id="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.3.3">𝒩</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.3.m3.2c">\{\mathcal{T}^{(n)}\}_{n\in\mathcal{N}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.3.m3.2d">{ caligraphic_T start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT } start_POSTSUBSCRIPT italic_n ∈ caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> of <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S2.I1.i3" title="In Assumptions 1. ‣ II-B General assumptions for the decentralized setting ‣ II Distributed Reinforcement Learning ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Assumption</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">1(iii)</span></a> and to perform all necessary computations, then, motivated by the nonparametric design of <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib12" title="">12</a>, (3b)]</cite>, a star-topology B-Map <math alttext="T_{\star}\colon\mathcal{H}\to\mathcal{H}\colon Q\mapsto T_{\star}(Q)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.4.m4.1"><semantics id="S3.SS1.p1.4.m4.1a"><mrow id="S3.SS1.p1.4.m4.1.2" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.cmml"><msub id="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.2" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.2.2" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.2.2.cmml">T</mi><mo id="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.2.3" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.2.3.cmml">⋆</mo></msub><mo id="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.3" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.3.cmml">:</mo><mrow id="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.4" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.4.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.4.2" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.4.2.cmml">ℋ</mi><mo id="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.4.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.4.1.cmml">→</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.4.3" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.4.3.cmml">ℋ</mi></mrow><mo id="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.5" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.5.cmml">:</mo><mrow id="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.6" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.6.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.6.2" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.6.2.cmml">Q</mi><mo id="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.6.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.6.1.cmml">↦</mo><mrow id="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.6.3" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.6.3.cmml"><msub id="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.6.3.2" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.6.3.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.6.3.2.2" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.6.3.2.2.cmml">T</mi><mo id="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.6.3.2.3" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.6.3.2.3.cmml">⋆</mo></msub><mo id="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.6.3.1" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.6.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.6.3.3.2" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.6.3.cmml"><mo id="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.6.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.6.3.cmml">(</mo><mi id="S3.SS1.p1.4.m4.1.1" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.cmml">Q</mi><mo id="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.6.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.6.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.4.m4.1b"><apply id="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.2"><and id="S3.SS1.p1.4.m4.1.2a.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.2"></and><apply id="S3.SS1.p1.4.m4.1.2b.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.2"><ci id="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.3">:</ci><apply id="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.2.2">𝑇</ci><ci id="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.2.3">⋆</ci></apply><apply id="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.4.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.4"><ci id="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.4.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.4.1">→</ci><ci id="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.4.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.4.2">ℋ</ci><ci id="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.4.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.4.3">ℋ</ci></apply></apply><apply id="S3.SS1.p1.4.m4.1.2c.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.2"><ci id="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.5.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.5">:</ci><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.SS1.p1.4.m4.1.2.4.cmml" id="S3.SS1.p1.4.m4.1.2d.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.2"></share><apply id="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.6.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.6"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.6.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.6.1">maps-to</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.6.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.6.2">𝑄</ci><apply id="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.6.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.6.3"><times id="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.6.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.6.3.1"></times><apply id="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.6.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.6.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.6.3.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.6.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.6.3.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.6.3.2.2">𝑇</ci><ci id="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.6.3.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.6.3.2.3">⋆</ci></apply><ci id="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.1">𝑄</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.4.m4.1c">T_{\star}\colon\mathcal{H}\to\mathcal{H}\colon Q\mapsto T_{\star}(Q)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.4.m4.1d">italic_T start_POSTSUBSCRIPT ⋆ end_POSTSUBSCRIPT : caligraphic_H → caligraphic_H : italic_Q ↦ italic_T start_POSTSUBSCRIPT ⋆ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_Q )</annotation></semantics></math> could be defined as</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A0.EGx8"> <tbody id="S3.Ex5"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle T_{\star}(Q)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex5.m1.1"><semantics id="S3.Ex5.m1.1a"><mrow id="S3.Ex5.m1.1.2" xref="S3.Ex5.m1.1.2.cmml"><msub id="S3.Ex5.m1.1.2.2" xref="S3.Ex5.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex5.m1.1.2.2.2" xref="S3.Ex5.m1.1.2.2.2.cmml">T</mi><mo id="S3.Ex5.m1.1.2.2.3" xref="S3.Ex5.m1.1.2.2.3.cmml">⋆</mo></msub><mo id="S3.Ex5.m1.1.2.1" xref="S3.Ex5.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex5.m1.1.2.3.2" xref="S3.Ex5.m1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex5.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex5.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex5.m1.1.1" xref="S3.Ex5.m1.1.1.cmml">Q</mi><mo id="S3.Ex5.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex5.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex5.m1.1b"><apply id="S3.Ex5.m1.1.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.2"><times id="S3.Ex5.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.2.1"></times><apply id="S3.Ex5.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex5.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.2.2.2">𝑇</ci><ci id="S3.Ex5.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.2.2.3">⋆</ci></apply><ci id="S3.Ex5.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1">𝑄</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex5.m1.1c">\displaystyle T_{\star}(Q)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex5.m1.1d">italic_T start_POSTSUBSCRIPT ⋆ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_Q )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\coloneqq\sum_{n\in\mathcal{N}}\sum_{i=1}^{N_{\textnormal{av}}^{(% n)}}\overbrace{[\,g_{i}^{(n)}+\alpha\inf_{a_{i}^{(n)\prime}\in\mathcal{A}}Q(% \mathbf{s}_{i}^{(n)\prime},a_{i}^{(n)\prime})\,]}^{c_{i}^{(n)}(Q)}\,\psi_{i}^{% (n)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex5.m2.15"><semantics id="S3.Ex5.m2.15a"><mrow id="S3.Ex5.m2.15.16" xref="S3.Ex5.m2.15.16.cmml"><mi id="S3.Ex5.m2.15.16.2" xref="S3.Ex5.m2.15.16.2.cmml"></mi><mo id="S3.Ex5.m2.15.16.1" xref="S3.Ex5.m2.15.16.1.cmml">≔</mo><mrow id="S3.Ex5.m2.15.16.3" xref="S3.Ex5.m2.15.16.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex5.m2.15.16.3.1" xref="S3.Ex5.m2.15.16.3.1.cmml"><munder id="S3.Ex5.m2.15.16.3.1a" xref="S3.Ex5.m2.15.16.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex5.m2.15.16.3.1.2" movablelimits="false" xref="S3.Ex5.m2.15.16.3.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex5.m2.15.16.3.1.3" xref="S3.Ex5.m2.15.16.3.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex5.m2.15.16.3.1.3.2" xref="S3.Ex5.m2.15.16.3.1.3.2.cmml">n</mi><mo id="S3.Ex5.m2.15.16.3.1.3.1" xref="S3.Ex5.m2.15.16.3.1.3.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Ex5.m2.15.16.3.1.3.3" xref="S3.Ex5.m2.15.16.3.1.3.3.cmml">𝒩</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S3.Ex5.m2.15.16.3.2" xref="S3.Ex5.m2.15.16.3.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex5.m2.15.16.3.2.1" xref="S3.Ex5.m2.15.16.3.2.1.cmml"><munderover id="S3.Ex5.m2.15.16.3.2.1a" xref="S3.Ex5.m2.15.16.3.2.1.cmml"><mo id="S3.Ex5.m2.15.16.3.2.1.2.2" movablelimits="false" xref="S3.Ex5.m2.15.16.3.2.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex5.m2.15.16.3.2.1.2.3" xref="S3.Ex5.m2.15.16.3.2.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex5.m2.15.16.3.2.1.2.3.2" xref="S3.Ex5.m2.15.16.3.2.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex5.m2.15.16.3.2.1.2.3.1" xref="S3.Ex5.m2.15.16.3.2.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex5.m2.15.16.3.2.1.2.3.3" xref="S3.Ex5.m2.15.16.3.2.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msubsup id="S3.Ex5.m2.1.1.1" xref="S3.Ex5.m2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex5.m2.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex5.m2.1.1.1.3.2.cmml">N</mi><mtext id="S3.Ex5.m2.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex5.m2.1.1.1.3.3a.cmml">av</mtext><mrow id="S3.Ex5.m2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex5.m2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex5.m2.1.1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.Ex5.m2.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.Ex5.m2.1.1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.Ex5.m2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup></munderover></mstyle><mrow id="S3.Ex5.m2.15.16.3.2.2" xref="S3.Ex5.m2.15.16.3.2.2.cmml"><mover id="S3.Ex5.m2.15.16.3.2.2.2" xref="S3.Ex5.m2.15.16.3.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex5.m2.12.12" xref="S3.Ex5.m2.12.12.cmml"><mrow id="S3.Ex5.m2.12.12.11.11" xref="S3.Ex5.m2.12.12.11.12.cmml"><mo id="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.2" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S3.Ex5.m2.12.12.11.12.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1" xref="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.cmml"><msubsup id="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.4" xref="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.4.2.2" xref="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.4.2.2.cmml">g</mi><mi id="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.4.2.3" xref="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.4.2.3.cmml">i</mi><mrow id="S3.Ex5.m2.2.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.4.cmml"><mo id="S3.Ex5.m2.2.2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.4.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.Ex5.m2.2.2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.4.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.3" xref="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.3.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.2" xref="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.2.4" xref="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.2.4.cmml">α</mi><mo id="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.2.3" lspace="0.167em" xref="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.2.2" xref="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.2.2.cmml"><munder id="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.2.2.3" xref="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.2.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.2.2.3.2" movablelimits="false" rspace="0.167em" xref="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.2.2.3.2.cmml">inf</mo><mrow id="S3.Ex5.m2.5.5.4.4.3" xref="S3.Ex5.m2.5.5.4.4.3.cmml"><msubsup id="S3.Ex5.m2.5.5.4.4.3.5" xref="S3.Ex5.m2.5.5.4.4.3.5.cmml"><mi id="S3.Ex5.m2.5.5.4.4.3.5.2.2" xref="S3.Ex5.m2.5.5.4.4.3.5.2.2.cmml">a</mi><mi id="S3.Ex5.m2.5.5.4.4.3.5.2.3" xref="S3.Ex5.m2.5.5.4.4.3.5.2.3.cmml">i</mi><mrow id="S3.Ex5.m2.5.5.4.4.3.3.3.3" xref="S3.Ex5.m2.5.5.4.4.3.3.3.4.cmml"><mrow id="S3.Ex5.m2.4.4.3.3.2.2.2.2.1.2" xref="S3.Ex5.m2.5.5.4.4.3.3.3.4.cmml"><mo id="S3.Ex5.m2.4.4.3.3.2.2.2.2.1.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex5.m2.5.5.4.4.3.3.3.4.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex5.m2.3.3.2.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex5.m2.3.3.2.2.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.Ex5.m2.4.4.3.3.2.2.2.2.1.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex5.m2.5.5.4.4.3.3.3.4.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex5.m2.5.5.4.4.3.3.3.3.3" lspace="0em" xref="S3.Ex5.m2.5.5.4.4.3.3.3.4.cmml">⁣</mo><mo id="S3.Ex5.m2.5.5.4.4.3.3.3.3.2" mathsize="200%" xref="S3.Ex5.m2.5.5.4.4.3.3.3.3.2.cmml">′</mo></mrow></msubsup><mo id="S3.Ex5.m2.5.5.4.4.3.4" xref="S3.Ex5.m2.5.5.4.4.3.4.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Ex5.m2.5.5.4.4.3.6" xref="S3.Ex5.m2.5.5.4.4.3.6.cmml">𝒜</mi></mrow></munder><mrow id="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.2.2.2" xref="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.2.2.2.4" xref="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.2.2.2.4.cmml">Q</mi><mo id="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.2.2.2.3" xref="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><msubsup id="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐬</mi><mi id="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi><mrow id="S3.Ex5.m2.8.8.7.7.3.3" xref="S3.Ex5.m2.8.8.7.7.3.4.cmml"><mrow id="S3.Ex5.m2.7.7.6.6.2.2.1.2" xref="S3.Ex5.m2.8.8.7.7.3.4.cmml"><mo id="S3.Ex5.m2.7.7.6.6.2.2.1.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex5.m2.8.8.7.7.3.4.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex5.m2.6.6.5.5.1.1" xref="S3.Ex5.m2.6.6.5.5.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.Ex5.m2.7.7.6.6.2.2.1.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex5.m2.8.8.7.7.3.4.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex5.m2.8.8.7.7.3.3.3" lspace="0em" xref="S3.Ex5.m2.8.8.7.7.3.4.cmml">⁣</mo><mo id="S3.Ex5.m2.8.8.7.7.3.3.2" mathsize="142%" xref="S3.Ex5.m2.8.8.7.7.3.3.2.cmml">′</mo></mrow></msubsup><mo id="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.2.2.2.2.2.4" xref="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><msubsup id="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.2.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">a</mi><mi id="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">i</mi><mrow id="S3.Ex5.m2.11.11.10.10.3.3" xref="S3.Ex5.m2.11.11.10.10.3.4.cmml"><mrow id="S3.Ex5.m2.10.10.9.9.2.2.1.2" xref="S3.Ex5.m2.11.11.10.10.3.4.cmml"><mo id="S3.Ex5.m2.10.10.9.9.2.2.1.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex5.m2.11.11.10.10.3.4.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex5.m2.9.9.8.8.1.1" xref="S3.Ex5.m2.9.9.8.8.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.Ex5.m2.10.10.9.9.2.2.1.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex5.m2.11.11.10.10.3.4.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex5.m2.11.11.10.10.3.3.3" lspace="0em" xref="S3.Ex5.m2.11.11.10.10.3.4.cmml">⁣</mo><mo id="S3.Ex5.m2.11.11.10.10.3.3.2" mathsize="142%" xref="S3.Ex5.m2.11.11.10.10.3.3.2.cmml">′</mo></mrow></msubsup><mo id="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.2.2.2.2.2.5" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.3" stretchy="false" xref="S3.Ex5.m2.12.12.11.12.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S3.Ex5.m2.12.12.12" xref="S3.Ex5.m2.12.12.12.cmml">⏞</mo></mover><mrow id="S3.Ex5.m2.14.14.2" xref="S3.Ex5.m2.14.14.2.cmml"><msubsup id="S3.Ex5.m2.14.14.2.4" xref="S3.Ex5.m2.14.14.2.4.cmml"><mi id="S3.Ex5.m2.14.14.2.4.2.2" xref="S3.Ex5.m2.14.14.2.4.2.2.cmml">c</mi><mi id="S3.Ex5.m2.14.14.2.4.2.3" xref="S3.Ex5.m2.14.14.2.4.2.3.cmml">i</mi><mrow id="S3.Ex5.m2.13.13.1.1.1.3" xref="S3.Ex5.m2.14.14.2.4.cmml"><mo id="S3.Ex5.m2.13.13.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.Ex5.m2.14.14.2.4.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex5.m2.13.13.1.1.1.1" xref="S3.Ex5.m2.13.13.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.Ex5.m2.13.13.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.Ex5.m2.14.14.2.4.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S3.Ex5.m2.14.14.2.3" xref="S3.Ex5.m2.14.14.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex5.m2.14.14.2.5.2" xref="S3.Ex5.m2.14.14.2.cmml"><mo id="S3.Ex5.m2.14.14.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex5.m2.14.14.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex5.m2.14.14.2.2" xref="S3.Ex5.m2.14.14.2.2.cmml">Q</mi><mo id="S3.Ex5.m2.14.14.2.5.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex5.m2.14.14.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mover><mo id="S3.Ex5.m2.15.16.3.2.2.1" xref="S3.Ex5.m2.15.16.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.Ex5.m2.15.16.3.2.2.3" xref="S3.Ex5.m2.15.16.3.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex5.m2.15.16.3.2.2.3.2.2" xref="S3.Ex5.m2.15.16.3.2.2.3.2.2.cmml">ψ</mi><mi id="S3.Ex5.m2.15.16.3.2.2.3.2.3" xref="S3.Ex5.m2.15.16.3.2.2.3.2.3.cmml">i</mi><mrow id="S3.Ex5.m2.15.15.1.3" xref="S3.Ex5.m2.15.16.3.2.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex5.m2.15.15.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.Ex5.m2.15.16.3.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex5.m2.15.15.1.1" xref="S3.Ex5.m2.15.15.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.Ex5.m2.15.15.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.Ex5.m2.15.16.3.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex5.m2.15b"><apply id="S3.Ex5.m2.15.16.cmml" xref="S3.Ex5.m2.15.16"><ci id="S3.Ex5.m2.15.16.1.cmml" xref="S3.Ex5.m2.15.16.1">≔</ci><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex5.m2.15.16.2.cmml" xref="S3.Ex5.m2.15.16.2">absent</csymbol><apply id="S3.Ex5.m2.15.16.3.cmml" xref="S3.Ex5.m2.15.16.3"><apply id="S3.Ex5.m2.15.16.3.1.cmml" xref="S3.Ex5.m2.15.16.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m2.15.16.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m2.15.16.3.1">subscript</csymbol><sum id="S3.Ex5.m2.15.16.3.1.2.cmml" xref="S3.Ex5.m2.15.16.3.1.2"></sum><apply id="S3.Ex5.m2.15.16.3.1.3.cmml" xref="S3.Ex5.m2.15.16.3.1.3"><in id="S3.Ex5.m2.15.16.3.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex5.m2.15.16.3.1.3.1"></in><ci id="S3.Ex5.m2.15.16.3.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex5.m2.15.16.3.1.3.2">𝑛</ci><ci id="S3.Ex5.m2.15.16.3.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex5.m2.15.16.3.1.3.3">𝒩</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex5.m2.15.16.3.2.cmml" xref="S3.Ex5.m2.15.16.3.2"><apply id="S3.Ex5.m2.15.16.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex5.m2.15.16.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m2.15.16.3.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m2.15.16.3.2.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex5.m2.15.16.3.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex5.m2.15.16.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m2.15.16.3.2.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex5.m2.15.16.3.2.1">subscript</csymbol><sum id="S3.Ex5.m2.15.16.3.2.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex5.m2.15.16.3.2.1.2.2"></sum><apply id="S3.Ex5.m2.15.16.3.2.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex5.m2.15.16.3.2.1.2.3"><eq id="S3.Ex5.m2.15.16.3.2.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex5.m2.15.16.3.2.1.2.3.1"></eq><ci id="S3.Ex5.m2.15.16.3.2.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex5.m2.15.16.3.2.1.2.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.Ex5.m2.15.16.3.2.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex5.m2.15.16.3.2.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.Ex5.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex5.m2.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex5.m2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex5.m2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex5.m2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex5.m2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex5.m2.1.1.1.3.2">𝑁</ci><ci id="S3.Ex5.m2.1.1.1.3.3a.cmml" xref="S3.Ex5.m2.1.1.1.3.3"><mtext id="S3.Ex5.m2.1.1.1.3.3.cmml" mathsize="50%" xref="S3.Ex5.m2.1.1.1.3.3">av</mtext></ci></apply><ci id="S3.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex5.m2.15.16.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex5.m2.15.16.3.2.2"><times id="S3.Ex5.m2.15.16.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex5.m2.15.16.3.2.2.1"></times><apply id="S3.Ex5.m2.15.16.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex5.m2.15.16.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m2.15.16.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex5.m2.15.16.3.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex5.m2.12.12.cmml" xref="S3.Ex5.m2.12.12"><ci id="S3.Ex5.m2.12.12.12.cmml" xref="S3.Ex5.m2.12.12.12">⏞</ci><apply id="S3.Ex5.m2.12.12.11.12.cmml" xref="S3.Ex5.m2.12.12.11.11"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex5.m2.12.12.11.12.1.cmml" xref="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.cmml" xref="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1"><plus id="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.3.cmml" xref="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.3"></plus><apply id="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.4.cmml" xref="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.4">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.4.2.1.cmml" xref="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.4.2.2.cmml" xref="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.4.2.2">𝑔</ci><ci id="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.4.2.3.cmml" xref="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.4.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S3.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.2.cmml" xref="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.2"><times id="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.2.3"></times><ci id="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.2.4.cmml" xref="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.2.4">𝛼</ci><apply id="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.2.2"><apply id="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.2.2.3">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.2.2.3.2">infimum</csymbol><apply id="S3.Ex5.m2.5.5.4.4.3.cmml" xref="S3.Ex5.m2.5.5.4.4.3"><in id="S3.Ex5.m2.5.5.4.4.3.4.cmml" xref="S3.Ex5.m2.5.5.4.4.3.4"></in><apply id="S3.Ex5.m2.5.5.4.4.3.5.cmml" xref="S3.Ex5.m2.5.5.4.4.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m2.5.5.4.4.3.5.1.cmml" xref="S3.Ex5.m2.5.5.4.4.3.5">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex5.m2.5.5.4.4.3.5.2.cmml" xref="S3.Ex5.m2.5.5.4.4.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m2.5.5.4.4.3.5.2.1.cmml" xref="S3.Ex5.m2.5.5.4.4.3.5">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex5.m2.5.5.4.4.3.5.2.2.cmml" xref="S3.Ex5.m2.5.5.4.4.3.5.2.2">𝑎</ci><ci id="S3.Ex5.m2.5.5.4.4.3.5.2.3.cmml" xref="S3.Ex5.m2.5.5.4.4.3.5.2.3">𝑖</ci></apply><list id="S3.Ex5.m2.5.5.4.4.3.3.3.4.cmml" xref="S3.Ex5.m2.5.5.4.4.3.3.3.3"><ci id="S3.Ex5.m2.3.3.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m2.3.3.2.2.1.1.1.1">𝑛</ci><ci id="S3.Ex5.m2.5.5.4.4.3.3.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex5.m2.5.5.4.4.3.3.3.3.2">′</ci></list></apply><ci id="S3.Ex5.m2.5.5.4.4.3.6.cmml" xref="S3.Ex5.m2.5.5.4.4.3.6">𝒜</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.2.2.2"><times id="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.2.2.2.3"></times><ci id="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.2.2.2.4.cmml" xref="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.2.2.2.4">𝑄</ci><interval closure="open" id="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.2.2.2.2.2"><apply id="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐬</ci><ci id="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><list id="S3.Ex5.m2.8.8.7.7.3.4.cmml" xref="S3.Ex5.m2.8.8.7.7.3.3"><ci id="S3.Ex5.m2.6.6.5.5.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m2.6.6.5.5.1.1">𝑛</ci><ci id="S3.Ex5.m2.8.8.7.7.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex5.m2.8.8.7.7.3.3.2">′</ci></list></apply><apply id="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.2.2.2.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.2.2.2.2.2.2.2.2">𝑎</ci><ci id="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex5.m2.12.12.11.11.1.2.2.2.2.2.2.2.3">𝑖</ci></apply><list id="S3.Ex5.m2.11.11.10.10.3.4.cmml" xref="S3.Ex5.m2.11.11.10.10.3.3"><ci id="S3.Ex5.m2.9.9.8.8.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m2.9.9.8.8.1.1">𝑛</ci><ci id="S3.Ex5.m2.11.11.10.10.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex5.m2.11.11.10.10.3.3.2">′</ci></list></apply></interval></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex5.m2.14.14.2.cmml" xref="S3.Ex5.m2.14.14.2"><times id="S3.Ex5.m2.14.14.2.3.cmml" xref="S3.Ex5.m2.14.14.2.3"></times><apply id="S3.Ex5.m2.14.14.2.4.cmml" xref="S3.Ex5.m2.14.14.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m2.14.14.2.4.1.cmml" xref="S3.Ex5.m2.14.14.2.4">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex5.m2.14.14.2.4.2.cmml" xref="S3.Ex5.m2.14.14.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m2.14.14.2.4.2.1.cmml" xref="S3.Ex5.m2.14.14.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex5.m2.14.14.2.4.2.2.cmml" xref="S3.Ex5.m2.14.14.2.4.2.2">𝑐</ci><ci id="S3.Ex5.m2.14.14.2.4.2.3.cmml" xref="S3.Ex5.m2.14.14.2.4.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S3.Ex5.m2.13.13.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m2.13.13.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><ci id="S3.Ex5.m2.14.14.2.2.cmml" xref="S3.Ex5.m2.14.14.2.2">𝑄</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex5.m2.15.16.3.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex5.m2.15.16.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m2.15.16.3.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex5.m2.15.16.3.2.2.3">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex5.m2.15.16.3.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex5.m2.15.16.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m2.15.16.3.2.2.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex5.m2.15.16.3.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex5.m2.15.16.3.2.2.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex5.m2.15.16.3.2.2.3.2.2">𝜓</ci><ci id="S3.Ex5.m2.15.16.3.2.2.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex5.m2.15.16.3.2.2.3.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S3.Ex5.m2.15.15.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m2.15.15.1.1">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex5.m2.15c">\displaystyle\coloneqq\sum_{n\in\mathcal{N}}\sum_{i=1}^{N_{\textnormal{av}}^{(% n)}}\overbrace{[\,g_{i}^{(n)}+\alpha\inf_{a_{i}^{(n)\prime}\in\mathcal{A}}Q(% \mathbf{s}_{i}^{(n)\prime},a_{i}^{(n)\prime})\,]}^{c_{i}^{(n)}(Q)}\,\psi_{i}^{% (n)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex5.m2.15d">≔ ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n ∈ caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N start_POSTSUBSCRIPT av end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT over⏞ start_ARG [ italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT + italic_α roman_inf start_POSTSUBSCRIPT italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ caligraphic_A end_POSTSUBSCRIPT italic_Q ( bold_s start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) ] end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_Q ) end_POSTSUPERSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.E6"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\coloneqq\sum_{n\in\mathcal{N}}\mathbf{\Psi}_{\star}^{(n)}\,% \mathbf{c}^{(n)}(Q)\,," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E6.m1.4"><semantics id="S3.E6.m1.4a"><mrow id="S3.E6.m1.4.4.1" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S3.E6.m1.4.4.1.1" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.cmml"><mi id="S3.E6.m1.4.4.1.1.2" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S3.E6.m1.4.4.1.1.1" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.1.cmml">≔</mo><mrow id="S3.E6.m1.4.4.1.1.3" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.1" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.1.cmml"><munder id="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.1a" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.1.2" movablelimits="false" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.1.3" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.1.3.cmml"><mi id="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.1.3.2" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.1.3.2.cmml">n</mi><mo id="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.1.3.1" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.1.3.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.1.3.3" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.1.3.3.cmml">𝒩</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.2" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.2.cmml"><msubsup id="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.2.2" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.2" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.2.cmml">𝚿</mi><mo id="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.3" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.3.cmml">⋆</mo><mrow id="S3.E6.m1.1.1.1.3" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.2.2.cmml"><mo id="S3.E6.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.2.2.cmml">(</mo><mi id="S3.E6.m1.1.1.1.1" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.E6.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.2.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.2.1" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.2.3" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.2.3.2" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.cmml">𝐜</mi><mrow id="S3.E6.m1.2.2.1.3" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.2.3.cmml"><mo id="S3.E6.m1.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.2.3.cmml">(</mo><mi id="S3.E6.m1.2.2.1.1" xref="S3.E6.m1.2.2.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.E6.m1.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.2.3.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.2.1a" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.2.4.2" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.2.cmml"><mo id="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.2.cmml">(</mo><mi id="S3.E6.m1.3.3" xref="S3.E6.m1.3.3.cmml">Q</mi><mo id="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.2.4.2.2" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E6.m1.4.4.1.2" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E6.m1.4b"><apply id="S3.E6.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S3.E6.m1.4.4.1"><ci id="S3.E6.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.1">≔</ci><csymbol cd="latexml" id="S3.E6.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.3"><apply id="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.1.1.cmml" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.1">subscript</csymbol><sum id="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.1.2.cmml" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.1.2"></sum><apply id="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.1.3.cmml" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.1.3"><in id="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.1.3.1.cmml" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.1.3.1"></in><ci id="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.1.3.2.cmml" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.1.3.2">𝑛</ci><ci id="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.1.3.3.cmml" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.1.3.3">𝒩</ci></apply></apply><apply id="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.2"><times id="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.2.1"></times><apply id="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.2">𝚿</ci><ci id="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.3">⋆</ci></apply><ci id="S3.E6.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S3.E6.m1.4.4.1.1.3.2.3.2">𝐜</ci><ci id="S3.E6.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E6.m1.2.2.1.1">𝑛</ci></apply><ci id="S3.E6.m1.3.3.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3">𝑄</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E6.m1.4c">\displaystyle\coloneqq\sum_{n\in\mathcal{N}}\mathbf{\Psi}_{\star}^{(n)}\,% \mathbf{c}^{(n)}(Q)\,,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E6.m1.4d">≔ ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n ∈ caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT bold_Ψ start_POSTSUBSCRIPT ⋆ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT bold_c start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_Q ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(6)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p1.11">where</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A0.EGx9"> <tbody id="S3.Ex6"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle g_{i}^{(n)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex6.m1.1"><semantics id="S3.Ex6.m1.1a"><msubsup id="S3.Ex6.m1.1.2" xref="S3.Ex6.m1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.1.2.2.2" xref="S3.Ex6.m1.1.2.2.2.cmml">g</mi><mi id="S3.Ex6.m1.1.2.2.3" xref="S3.Ex6.m1.1.2.2.3.cmml">i</mi><mrow id="S3.Ex6.m1.1.1.1.3" xref="S3.Ex6.m1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex6.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.Ex6.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.Ex6.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.Ex6.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex6.m1.1b"><apply id="S3.Ex6.m1.1.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex6.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex6.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.2.2.2">𝑔</ci><ci id="S3.Ex6.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex6.m1.1c">\displaystyle g_{i}^{(n)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex6.m1.1d">italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\coloneqq g(\mathbf{z}_{i}^{(n)})=g(\mathbf{s}_{i}^{(n)},a_{i}^{(% n)})\,," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex6.m2.4"><semantics id="S3.Ex6.m2.4a"><mrow id="S3.Ex6.m2.4.4.1" xref="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex6.m2.4.4.1.1" xref="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.5" xref="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.5.cmml"></mi><mo id="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.6" xref="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.6.cmml">≔</mo><mrow id="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.1" xref="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.1.3" xref="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.1.3.cmml">g</mi><mo id="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.1.2" xref="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐳</mi><mi id="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi><mrow id="S3.Ex6.m2.1.1.1.3" xref="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex6.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex6.m2.1.1.1.1" xref="S3.Ex6.m2.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.Ex6.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.7" xref="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.7.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.3" xref="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.3.4" xref="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.3.4.cmml">g</mi><mo id="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.3.3" xref="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.3.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.3.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.3.2.3.cmml">(</mo><msubsup id="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.2.1.1.1" xref="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.2.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml">𝐬</mi><mi id="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.2.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml">i</mi><mrow id="S3.Ex6.m2.2.2.1.3" xref="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex6.m2.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex6.m2.2.2.1.1" xref="S3.Ex6.m2.2.2.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.Ex6.m2.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.3.2.2.4" xref="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.3.2.3.cmml">,</mo><msubsup id="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.3.2.2.2" xref="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.3.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.3.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.3.2.2.2.2.2.cmml">a</mi><mi id="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.3.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.3.2.2.2.2.3.cmml">i</mi><mrow id="S3.Ex6.m2.3.3.1.3" xref="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.3.2.2.2.cmml"><mo id="S3.Ex6.m2.3.3.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.3.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex6.m2.3.3.1.1" xref="S3.Ex6.m2.3.3.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.Ex6.m2.3.3.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.3.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.3.2.2.5" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.3.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex6.m2.4.4.1.2" xref="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex6.m2.4b"><apply id="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.cmml" xref="S3.Ex6.m2.4.4.1"><and id="S3.Ex6.m2.4.4.1.1a.cmml" xref="S3.Ex6.m2.4.4.1"></and><apply id="S3.Ex6.m2.4.4.1.1b.cmml" xref="S3.Ex6.m2.4.4.1"><ci id="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.6.cmml" xref="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.6">≔</ci><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.5.cmml" xref="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.5">absent</csymbol><apply id="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.1"><times id="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.1.2"></times><ci id="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.1.3">𝑔</ci><apply id="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐳</ci><ci id="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S3.Ex6.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex6.m2.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex6.m2.4.4.1.1c.cmml" xref="S3.Ex6.m2.4.4.1"><eq id="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.7.cmml" xref="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.7"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.Ex6.m2.4.4.1.1.1.cmml" 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xref="S3.Ex6.m2.2.2.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.3.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.3.2.2.2.2.2">𝑎</ci><ci id="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.3.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex6.m2.4.4.1.1.3.2.2.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S3.Ex6.m2.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex6.m2.3.3.1.1">𝑛</ci></apply></interval></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex6.m2.4c">\displaystyle\coloneqq g(\mathbf{z}_{i}^{(n)})=g(\mathbf{s}_{i}^{(n)},a_{i}^{(% n)})\,,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex6.m2.4d">≔ italic_g ( bold_z start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ) = italic_g ( bold_s start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT , italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.Ex7"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathbf{c}^{(n)}(Q)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex7.m1.2"><semantics id="S3.Ex7.m1.2a"><mrow id="S3.Ex7.m1.2.3" xref="S3.Ex7.m1.2.3.cmml"><msup id="S3.Ex7.m1.2.3.2" xref="S3.Ex7.m1.2.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex7.m1.2.3.2.2" xref="S3.Ex7.m1.2.3.2.2.cmml">𝐜</mi><mrow id="S3.Ex7.m1.1.1.1.3" xref="S3.Ex7.m1.2.3.2.cmml"><mo id="S3.Ex7.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m1.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex7.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.Ex7.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m1.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.Ex7.m1.2.3.1" xref="S3.Ex7.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.2.3.3.2" xref="S3.Ex7.m1.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex7.m1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m1.2.3.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex7.m1.2.2" xref="S3.Ex7.m1.2.2.cmml">Q</mi><mo id="S3.Ex7.m1.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex7.m1.2b"><apply id="S3.Ex7.m1.2.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.2.3"><times id="S3.Ex7.m1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.2.3.1"></times><apply id="S3.Ex7.m1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex7.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex7.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.2.3.2.2">𝐜</ci><ci id="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><ci id="S3.Ex7.m1.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.2.2">𝑄</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex7.m1.2c">\displaystyle\mathbf{c}^{(n)}(Q)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex7.m1.2d">bold_c start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_Q )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\coloneqq[c_{1}^{(n)}(Q),\ldots,c_{N_{\textnormal{av}}^{(n)}}^{(n% )}(Q)]^{\intercal}\,," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex7.m2.7"><semantics id="S3.Ex7.m2.7a"><mrow id="S3.Ex7.m2.7.7.1" xref="S3.Ex7.m2.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex7.m2.7.7.1.1" xref="S3.Ex7.m2.7.7.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex7.m2.7.7.1.1.4" xref="S3.Ex7.m2.7.7.1.1.4.cmml"></mi><mo id="S3.Ex7.m2.7.7.1.1.3" xref="S3.Ex7.m2.7.7.1.1.3.cmml">≔</mo><msup id="S3.Ex7.m2.7.7.1.1.2" xref="S3.Ex7.m2.7.7.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.Ex7.m2.7.7.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex7.m2.7.7.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex7.m2.7.7.1.1.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m2.7.7.1.1.2.2.3.cmml">[</mo><mrow id="S3.Ex7.m2.7.7.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex7.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.Ex7.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex7.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex7.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex7.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">c</mi><mn id="S3.Ex7.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex7.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">1</mn><mrow id="S3.Ex7.m2.1.1.1.3" xref="S3.Ex7.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex7.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.Ex7.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S3.Ex7.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex7.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex7.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex7.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex7.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex7.m2.4.4" xref="S3.Ex7.m2.4.4.cmml">Q</mi><mo id="S3.Ex7.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex7.m2.7.7.1.1.2.2.2.4" xref="S3.Ex7.m2.7.7.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex7.m2.6.6" mathvariant="normal" xref="S3.Ex7.m2.6.6.cmml">…</mi><mo id="S3.Ex7.m2.7.7.1.1.2.2.2.5" xref="S3.Ex7.m2.7.7.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S3.Ex7.m2.7.7.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex7.m2.7.7.1.1.2.2.2.2.cmml"><msubsup id="S3.Ex7.m2.7.7.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex7.m2.7.7.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex7.m2.7.7.1.1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex7.m2.7.7.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml">c</mi><msubsup id="S3.Ex7.m2.2.2.1" xref="S3.Ex7.m2.2.2.1.cmml"><mi id="S3.Ex7.m2.2.2.1.3.2" xref="S3.Ex7.m2.2.2.1.3.2.cmml">N</mi><mtext id="S3.Ex7.m2.2.2.1.3.3" xref="S3.Ex7.m2.2.2.1.3.3a.cmml">av</mtext><mrow id="S3.Ex7.m2.2.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex7.m2.2.2.1.cmml"><mo id="S3.Ex7.m2.2.2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m2.2.2.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex7.m2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex7.m2.2.2.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.Ex7.m2.2.2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m2.2.2.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mrow id="S3.Ex7.m2.3.3.1.3" xref="S3.Ex7.m2.7.7.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S3.Ex7.m2.3.3.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m2.7.7.1.1.2.2.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex7.m2.3.3.1.1" xref="S3.Ex7.m2.3.3.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.Ex7.m2.3.3.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m2.7.7.1.1.2.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S3.Ex7.m2.7.7.1.1.2.2.2.2.1" xref="S3.Ex7.m2.7.7.1.1.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex7.m2.7.7.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="S3.Ex7.m2.7.7.1.1.2.2.2.2.cmml"><mo id="S3.Ex7.m2.7.7.1.1.2.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m2.7.7.1.1.2.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex7.m2.5.5" xref="S3.Ex7.m2.5.5.cmml">Q</mi><mo id="S3.Ex7.m2.7.7.1.1.2.2.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m2.7.7.1.1.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex7.m2.7.7.1.1.2.2.2.6" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m2.7.7.1.1.2.2.3.cmml">]</mo></mrow><mo id="S3.Ex7.m2.7.7.1.1.2.4" xref="S3.Ex7.m2.7.7.1.1.2.4.cmml">⊺</mo></msup></mrow><mo id="S3.Ex7.m2.7.7.1.2" xref="S3.Ex7.m2.7.7.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex7.m2.7b"><apply id="S3.Ex7.m2.7.7.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m2.7.7.1"><ci id="S3.Ex7.m2.7.7.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex7.m2.7.7.1.1.3">≔</ci><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex7.m2.7.7.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex7.m2.7.7.1.1.4">absent</csymbol><apply id="S3.Ex7.m2.7.7.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex7.m2.7.7.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex7.m2.7.7.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex7.m2.7.7.1.1.2">superscript</csymbol><list id="S3.Ex7.m2.7.7.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex7.m2.7.7.1.1.2.2.2"><apply id="S3.Ex7.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m2.7.7.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex7.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml" 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id="S3.Ex7.m2.2.2.1.3.3.cmml" mathsize="50%" xref="S3.Ex7.m2.2.2.1.3.3">av</mtext></ci></apply><ci id="S3.Ex7.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m2.2.2.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></apply><ci id="S3.Ex7.m2.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m2.3.3.1.1">𝑛</ci></apply><ci id="S3.Ex7.m2.5.5.cmml" xref="S3.Ex7.m2.5.5">𝑄</ci></apply></list><ci id="S3.Ex7.m2.7.7.1.1.2.4.cmml" xref="S3.Ex7.m2.7.7.1.1.2.4">⊺</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex7.m2.7c">\displaystyle\coloneqq[c_{1}^{(n)}(Q),\ldots,c_{N_{\textnormal{av}}^{(n)}}^{(n% )}(Q)]^{\intercal}\,,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex7.m2.7d">≔ [ italic_c start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_Q ) , … , italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_N start_POSTSUBSCRIPT av end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_Q ) ] start_POSTSUPERSCRIPT ⊺ end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.Ex8"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathbf{\Psi}_{\star}^{(n)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex8.m1.1"><semantics id="S3.Ex8.m1.1a"><msubsup id="S3.Ex8.m1.1.2" xref="S3.Ex8.m1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.1.2.2.2" xref="S3.Ex8.m1.1.2.2.2.cmml">𝚿</mi><mo id="S3.Ex8.m1.1.2.2.3" xref="S3.Ex8.m1.1.2.2.3.cmml">⋆</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.1.1.1.3" xref="S3.Ex8.m1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex8.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.Ex8.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.Ex8.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.Ex8.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex8.m1.1b"><apply id="S3.Ex8.m1.1.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex8.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex8.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex8.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex8.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.1.2.2.2">𝚿</ci><ci id="S3.Ex8.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.1.2.2.3">⋆</ci></apply><ci id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex8.m1.1c">\displaystyle\mathbf{\Psi}_{\star}^{(n)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex8.m1.1d">bold_Ψ start_POSTSUBSCRIPT ⋆ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\coloneqq[\psi_{\star 1}^{(n)},\ldots,\psi_{\star N_{\textnormal{% av}}^{(n)}}^{(n)}]\,," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex8.m2.5"><semantics id="S3.Ex8.m2.5a"><mrow id="S3.Ex8.m2.5.5.1" xref="S3.Ex8.m2.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex8.m2.5.5.1.1" xref="S3.Ex8.m2.5.5.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex8.m2.5.5.1.1.4" xref="S3.Ex8.m2.5.5.1.1.4.cmml"></mi><mo id="S3.Ex8.m2.5.5.1.1.3" xref="S3.Ex8.m2.5.5.1.1.3.cmml">≔</mo><mrow id="S3.Ex8.m2.5.5.1.1.2.2" xref="S3.Ex8.m2.5.5.1.1.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex8.m2.5.5.1.1.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex8.m2.5.5.1.1.2.3.cmml">[</mo><msubsup id="S3.Ex8.m2.5.5.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex8.m2.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex8.m2.5.5.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex8.m2.5.5.1.1.1.1.1.2.2.cmml">ψ</mi><mrow id="S3.Ex8.m2.5.5.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex8.m2.5.5.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex8.m2.5.5.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex8.m2.5.5.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml"></mi><mo id="S3.Ex8.m2.5.5.1.1.1.1.1.2.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.Ex8.m2.5.5.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⋆</mo><mn id="S3.Ex8.m2.5.5.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.Ex8.m2.5.5.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="S3.Ex8.m2.1.1.1.3" xref="S3.Ex8.m2.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex8.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.Ex8.m2.5.5.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex8.m2.1.1.1.1" xref="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.Ex8.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.Ex8.m2.5.5.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S3.Ex8.m2.5.5.1.1.2.2.4" xref="S3.Ex8.m2.5.5.1.1.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex8.m2.4.4" mathvariant="normal" xref="S3.Ex8.m2.4.4.cmml">…</mi><mo id="S3.Ex8.m2.5.5.1.1.2.2.5" xref="S3.Ex8.m2.5.5.1.1.2.3.cmml">,</mo><msubsup id="S3.Ex8.m2.5.5.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex8.m2.5.5.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex8.m2.5.5.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex8.m2.5.5.1.1.2.2.2.2.2.cmml">ψ</mi><mrow id="S3.Ex8.m2.2.2.1" xref="S3.Ex8.m2.2.2.1.cmml"><mi id="S3.Ex8.m2.2.2.1.3" xref="S3.Ex8.m2.2.2.1.3.cmml"></mi><mo id="S3.Ex8.m2.2.2.1.2" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.Ex8.m2.2.2.1.2.cmml">⋆</mo><msubsup id="S3.Ex8.m2.2.2.1.4" xref="S3.Ex8.m2.2.2.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex8.m2.2.2.1.4.2.2" xref="S3.Ex8.m2.2.2.1.4.2.2.cmml">N</mi><mtext id="S3.Ex8.m2.2.2.1.4.2.3" xref="S3.Ex8.m2.2.2.1.4.2.3a.cmml">av</mtext><mrow id="S3.Ex8.m2.2.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex8.m2.2.2.1.4.cmml"><mo id="S3.Ex8.m2.2.2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.Ex8.m2.2.2.1.4.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.Ex8.m2.2.2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.Ex8.m2.2.2.1.4.cmml">)</mo></mrow></msubsup></mrow><mrow id="S3.Ex8.m2.3.3.1.3" xref="S3.Ex8.m2.5.5.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="S3.Ex8.m2.3.3.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.Ex8.m2.5.5.1.1.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex8.m2.3.3.1.1" xref="S3.Ex8.m2.3.3.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.Ex8.m2.3.3.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.Ex8.m2.5.5.1.1.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S3.Ex8.m2.5.5.1.1.2.2.6" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S3.Ex8.m2.5.5.1.1.2.3.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex8.m2.5.5.1.2" xref="S3.Ex8.m2.5.5.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex8.m2.5b"><apply id="S3.Ex8.m2.5.5.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m2.5.5.1"><ci id="S3.Ex8.m2.5.5.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex8.m2.5.5.1.1.3">≔</ci><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex8.m2.5.5.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex8.m2.5.5.1.1.4">absent</csymbol><list id="S3.Ex8.m2.5.5.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex8.m2.5.5.1.1.2.2"><apply id="S3.Ex8.m2.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m2.5.5.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex8.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m2.5.5.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex8.m2.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex8.m2.5.5.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex8.m2.5.5.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex8.m2.5.5.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex8.m2.5.5.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex8.m2.5.5.1.1.1.1.1.2.2">𝜓</ci><apply id="S3.Ex8.m2.5.5.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex8.m2.5.5.1.1.1.1.1.2.3"><ci id="S3.Ex8.m2.5.5.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex8.m2.5.5.1.1.1.1.1.2.3.1">⋆</ci><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex8.m2.5.5.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex8.m2.5.5.1.1.1.1.1.2.3.2">absent</csymbol><cn id="S3.Ex8.m2.5.5.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex8.m2.5.5.1.1.1.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m2.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><ci id="S3.Ex8.m2.4.4.cmml" xref="S3.Ex8.m2.4.4">…</ci><apply id="S3.Ex8.m2.5.5.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex8.m2.5.5.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex8.m2.5.5.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex8.m2.5.5.1.1.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex8.m2.5.5.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex8.m2.5.5.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex8.m2.5.5.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex8.m2.5.5.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex8.m2.5.5.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex8.m2.5.5.1.1.2.2.2.2.2">𝜓</ci><apply id="S3.Ex8.m2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex8.m2.2.2.1"><ci id="S3.Ex8.m2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex8.m2.2.2.1.2">⋆</ci><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex8.m2.2.2.1.3.cmml" xref="S3.Ex8.m2.2.2.1.3">absent</csymbol><apply id="S3.Ex8.m2.2.2.1.4.cmml" xref="S3.Ex8.m2.2.2.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex8.m2.2.2.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex8.m2.2.2.1.4">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex8.m2.2.2.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex8.m2.2.2.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex8.m2.2.2.1.4.2.1.cmml" xref="S3.Ex8.m2.2.2.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex8.m2.2.2.1.4.2.2.cmml" xref="S3.Ex8.m2.2.2.1.4.2.2">𝑁</ci><ci id="S3.Ex8.m2.2.2.1.4.2.3a.cmml" xref="S3.Ex8.m2.2.2.1.4.2.3"><mtext id="S3.Ex8.m2.2.2.1.4.2.3.cmml" mathsize="50%" xref="S3.Ex8.m2.2.2.1.4.2.3">av</mtext></ci></apply><ci id="S3.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m2.2.2.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></apply></apply><ci id="S3.Ex8.m2.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m2.3.3.1.1">𝑛</ci></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex8.m2.5c">\displaystyle\coloneqq[\psi_{\star 1}^{(n)},\ldots,\psi_{\star N_{\textnormal{% av}}^{(n)}}^{(n)}]\,,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex8.m2.5d">≔ [ italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT ⋆ 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT , … , italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT ⋆ italic_N start_POSTSUBSCRIPT av end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ] ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p1.10">and <math alttext="\{\{\psi_{\star i}^{(n)}\}_{i=1}^{N_{\textnormal{av}}^{(n)}}\}_{n\in\mathcal{N}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.5.m1.3"><semantics id="S3.SS1.p1.5.m1.3a"><msub id="S3.SS1.p1.5.m1.3.3" xref="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.cmml"><mrow id="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.1" xref="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.2.cmml"><mo id="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.2.cmml">{</mo><msubsup id="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">{</mo><msubsup id="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">ψ</mi><mrow id="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml"></mi><mo id="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⋆</mo><mi id="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">i</mi></mrow><mrow id="S3.SS1.p1.5.m1.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p1.5.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS1.p1.5.m1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.5.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.SS1.p1.5.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><mrow id="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.3.1" xref="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow><msubsup id="S3.SS1.p1.5.m1.2.2.1" xref="S3.SS1.p1.5.m1.2.2.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.5.m1.2.2.1.3.2" xref="S3.SS1.p1.5.m1.2.2.1.3.2.cmml">N</mi><mtext id="S3.SS1.p1.5.m1.2.2.1.3.3" xref="S3.SS1.p1.5.m1.2.2.1.3.3a.cmml">av</mtext><mrow id="S3.SS1.p1.5.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.5.m1.2.2.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p1.5.m1.2.2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.5.m1.2.2.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS1.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.SS1.p1.5.m1.2.2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.5.m1.2.2.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup></msubsup><mo id="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.2.cmml">}</mo></mrow><mrow id="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.3" xref="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.3.2" xref="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.3.1" xref="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.3.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.3.3" xref="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.3.3.cmml">𝒩</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.5.m1.3b"><apply id="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m1.3.3">subscript</csymbol><set id="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.1"><apply id="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><set id="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"><apply id="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝜓</ci><apply id="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><ci id="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1">⋆</ci><csymbol cd="latexml" id="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">absent</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply><ci id="S3.SS1.p1.5.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></set><apply id="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.3"><eq id="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.3.1"></eq><ci id="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.SS1.p1.5.m1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m1.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.5.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m1.2.2.1">superscript</csymbol><apply id="S3.SS1.p1.5.m1.2.2.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m1.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.5.m1.2.2.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m1.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.5.m1.2.2.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m1.2.2.1.3.2">𝑁</ci><ci id="S3.SS1.p1.5.m1.2.2.1.3.3a.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m1.2.2.1.3.3"><mtext id="S3.SS1.p1.5.m1.2.2.1.3.3.cmml" mathsize="50%" xref="S3.SS1.p1.5.m1.2.2.1.3.3">av</mtext></ci></apply><ci id="S3.SS1.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></apply></set><apply id="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.3"><in id="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.3.1"></in><ci id="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.3.2">𝑛</ci><ci id="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m1.3.3.3.3">𝒩</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.5.m1.3c">\{\{\psi_{\star i}^{(n)}\}_{i=1}^{N_{\textnormal{av}}^{(n)}}\}_{n\in\mathcal{N}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.5.m1.3d">{ { italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT ⋆ italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT } start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N start_POSTSUBSCRIPT av end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT } start_POSTSUBSCRIPT italic_n ∈ caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are user-defined functions in <math alttext="\mathcal{H}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.6.m2.1"><semantics id="S3.SS1.p1.6.m2.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS1.p1.6.m2.1.1" xref="S3.SS1.p1.6.m2.1.1.cmml">ℋ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.6.m2.1b"><ci id="S3.SS1.p1.6.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.6.m2.1.1">ℋ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.6.m2.1c">\mathcal{H}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.6.m2.1d">caligraphic_H</annotation></semantics></math>. The B-Map in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E6" title="Equation 6 ‣ III-A The centralized (star-topology) B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6</span></a>) serves as a surrogate of the classical (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S2.E1" title="Equation 1 ‣ II-A Preliminaries and notation ‣ II Distributed Reinforcement Learning ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>) in cases where the computation of the conditional expectation in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S2.E1" title="Equation 1 ‣ II-A Preliminaries and notation ‣ II Distributed Reinforcement Learning ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>) is infeasible; see <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S2.I1.i3" title="In Assumptions 1. ‣ II-B General assumptions for the decentralized setting ‣ II Distributed Reinforcement Learning ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Assumption</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">1(iii)</span></a>. The conditional expectation in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S2.E1" title="Equation 1 ‣ II-A Preliminaries and notation ‣ II Distributed Reinforcement Learning ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>) is approximated in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E6" title="Equation 6 ‣ III-A The centralized (star-topology) B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6</span></a>) by a linear combination of the user-defined <math alttext="\{\psi_{\star i}^{(n)}\}\subset\mathcal{H}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.7.m3.2"><semantics id="S3.SS1.p1.7.m3.2a"><mrow id="S3.SS1.p1.7.m3.2.2" xref="S3.SS1.p1.7.m3.2.2.cmml"><mrow id="S3.SS1.p1.7.m3.2.2.1.1" xref="S3.SS1.p1.7.m3.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.SS1.p1.7.m3.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.7.m3.2.2.1.2.cmml">{</mo><msubsup id="S3.SS1.p1.7.m3.2.2.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.7.m3.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.7.m3.2.2.1.1.1.2.2" xref="S3.SS1.p1.7.m3.2.2.1.1.1.2.2.cmml">ψ</mi><mrow id="S3.SS1.p1.7.m3.2.2.1.1.1.2.3" xref="S3.SS1.p1.7.m3.2.2.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.7.m3.2.2.1.1.1.2.3.2" xref="S3.SS1.p1.7.m3.2.2.1.1.1.2.3.2.cmml"></mi><mo id="S3.SS1.p1.7.m3.2.2.1.1.1.2.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.SS1.p1.7.m3.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml">⋆</mo><mi id="S3.SS1.p1.7.m3.2.2.1.1.1.2.3.3" xref="S3.SS1.p1.7.m3.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml">i</mi></mrow><mrow id="S3.SS1.p1.7.m3.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.7.m3.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p1.7.m3.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.7.m3.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS1.p1.7.m3.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.7.m3.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.SS1.p1.7.m3.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.7.m3.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S3.SS1.p1.7.m3.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.7.m3.2.2.1.2.cmml">}</mo></mrow><mo id="S3.SS1.p1.7.m3.2.2.2" xref="S3.SS1.p1.7.m3.2.2.2.cmml">⊂</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS1.p1.7.m3.2.2.3" xref="S3.SS1.p1.7.m3.2.2.3.cmml">ℋ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.7.m3.2b"><apply id="S3.SS1.p1.7.m3.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.7.m3.2.2"><subset id="S3.SS1.p1.7.m3.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.7.m3.2.2.2"></subset><set id="S3.SS1.p1.7.m3.2.2.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.7.m3.2.2.1.1"><apply id="S3.SS1.p1.7.m3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.7.m3.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.7.m3.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.7.m3.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.SS1.p1.7.m3.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.7.m3.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.7.m3.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.7.m3.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.7.m3.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.7.m3.2.2.1.1.1.2.2">𝜓</ci><apply id="S3.SS1.p1.7.m3.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.7.m3.2.2.1.1.1.2.3"><ci id="S3.SS1.p1.7.m3.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.7.m3.2.2.1.1.1.2.3.1">⋆</ci><csymbol cd="latexml" id="S3.SS1.p1.7.m3.2.2.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.7.m3.2.2.1.1.1.2.3.2">absent</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.7.m3.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.7.m3.2.2.1.1.1.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply><ci id="S3.SS1.p1.7.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.7.m3.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></set><ci id="S3.SS1.p1.7.m3.2.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.7.m3.2.2.3">ℋ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.7.m3.2c">\{\psi_{\star i}^{(n)}\}\subset\mathcal{H}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.7.m3.2d">{ italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT ⋆ italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT } ⊂ caligraphic_H</annotation></semantics></math> with coefficients <math alttext="c_{i}^{(n)}(Q^{(n)})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.8.m4.3"><semantics id="S3.SS1.p1.8.m4.3a"><mrow id="S3.SS1.p1.8.m4.3.3" xref="S3.SS1.p1.8.m4.3.3.cmml"><msubsup id="S3.SS1.p1.8.m4.3.3.3" xref="S3.SS1.p1.8.m4.3.3.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.8.m4.3.3.3.2.2" xref="S3.SS1.p1.8.m4.3.3.3.2.2.cmml">c</mi><mi id="S3.SS1.p1.8.m4.3.3.3.2.3" xref="S3.SS1.p1.8.m4.3.3.3.2.3.cmml">i</mi><mrow id="S3.SS1.p1.8.m4.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.8.m4.3.3.3.cmml"><mo id="S3.SS1.p1.8.m4.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.8.m4.3.3.3.cmml">(</mo><mi id="S3.SS1.p1.8.m4.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.8.m4.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.SS1.p1.8.m4.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.8.m4.3.3.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S3.SS1.p1.8.m4.3.3.2" xref="S3.SS1.p1.8.m4.3.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p1.8.m4.3.3.1.1" xref="S3.SS1.p1.8.m4.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p1.8.m4.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.8.m4.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.SS1.p1.8.m4.3.3.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.8.m4.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.8.m4.3.3.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.8.m4.3.3.1.1.1.2.cmml">Q</mi><mrow id="S3.SS1.p1.8.m4.2.2.1.3" xref="S3.SS1.p1.8.m4.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p1.8.m4.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.8.m4.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS1.p1.8.m4.2.2.1.1" xref="S3.SS1.p1.8.m4.2.2.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.SS1.p1.8.m4.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.8.m4.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.SS1.p1.8.m4.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.8.m4.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.8.m4.3b"><apply id="S3.SS1.p1.8.m4.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.8.m4.3.3"><times id="S3.SS1.p1.8.m4.3.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.8.m4.3.3.2"></times><apply id="S3.SS1.p1.8.m4.3.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.8.m4.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.8.m4.3.3.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.8.m4.3.3.3">superscript</csymbol><apply id="S3.SS1.p1.8.m4.3.3.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.8.m4.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.8.m4.3.3.3.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.8.m4.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.8.m4.3.3.3.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.8.m4.3.3.3.2.2">𝑐</ci><ci id="S3.SS1.p1.8.m4.3.3.3.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.8.m4.3.3.3.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S3.SS1.p1.8.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.8.m4.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S3.SS1.p1.8.m4.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.8.m4.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.8.m4.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.8.m4.3.3.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.8.m4.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.8.m4.3.3.1.1.1.2">𝑄</ci><ci id="S3.SS1.p1.8.m4.2.2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.8.m4.2.2.1.1">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.8.m4.3c">c_{i}^{(n)}(Q^{(n)})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.8.m4.3d">italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>, defined by evaluations of the one-step <math alttext="g" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.9.m5.1"><semantics id="S3.SS1.p1.9.m5.1a"><mi id="S3.SS1.p1.9.m5.1.1" xref="S3.SS1.p1.9.m5.1.1.cmml">g</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.9.m5.1b"><ci id="S3.SS1.p1.9.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.9.m5.1.1">𝑔</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.9.m5.1c">g</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.9.m5.1d">italic_g</annotation></semantics></math> and the long-term Q-functions at <math alttext="\{\mathcal{T}^{(n)}\}_{n\in\mathcal{N}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.10.m6.2"><semantics id="S3.SS1.p1.10.m6.2a"><msub id="S3.SS1.p1.10.m6.2.2" xref="S3.SS1.p1.10.m6.2.2.cmml"><mrow id="S3.SS1.p1.10.m6.2.2.1.1" xref="S3.SS1.p1.10.m6.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.SS1.p1.10.m6.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.10.m6.2.2.1.2.cmml">{</mo><msup id="S3.SS1.p1.10.m6.2.2.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.10.m6.2.2.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS1.p1.10.m6.2.2.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.10.m6.2.2.1.1.1.2.cmml">𝒯</mi><mrow id="S3.SS1.p1.10.m6.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.10.m6.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p1.10.m6.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.10.m6.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS1.p1.10.m6.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.10.m6.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.SS1.p1.10.m6.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.10.m6.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.SS1.p1.10.m6.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.10.m6.2.2.1.2.cmml">}</mo></mrow><mrow id="S3.SS1.p1.10.m6.2.2.3" xref="S3.SS1.p1.10.m6.2.2.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.10.m6.2.2.3.2" xref="S3.SS1.p1.10.m6.2.2.3.2.cmml">n</mi><mo id="S3.SS1.p1.10.m6.2.2.3.1" xref="S3.SS1.p1.10.m6.2.2.3.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS1.p1.10.m6.2.2.3.3" xref="S3.SS1.p1.10.m6.2.2.3.3.cmml">𝒩</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.10.m6.2b"><apply id="S3.SS1.p1.10.m6.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.10.m6.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.10.m6.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.10.m6.2.2">subscript</csymbol><set id="S3.SS1.p1.10.m6.2.2.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.10.m6.2.2.1.1"><apply id="S3.SS1.p1.10.m6.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.10.m6.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.10.m6.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.10.m6.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.10.m6.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.10.m6.2.2.1.1.1.2">𝒯</ci><ci id="S3.SS1.p1.10.m6.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.10.m6.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></set><apply id="S3.SS1.p1.10.m6.2.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.10.m6.2.2.3"><in id="S3.SS1.p1.10.m6.2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.10.m6.2.2.3.1"></in><ci id="S3.SS1.p1.10.m6.2.2.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.10.m6.2.2.3.2">𝑛</ci><ci id="S3.SS1.p1.10.m6.2.2.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.10.m6.2.2.3.3">𝒩</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.10.m6.2c">\{\mathcal{T}^{(n)}\}_{n\in\mathcal{N}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.10.m6.2d">{ caligraphic_T start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT } start_POSTSUBSCRIPT italic_n ∈ caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS1.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p2.2">The benefits of the design freedom offered by <math alttext="\{\psi_{\star i}^{(n)}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.1.m1.2"><semantics id="S3.SS1.p2.1.m1.2a"><mrow id="S3.SS1.p2.1.m1.2.2.1" xref="S3.SS1.p2.1.m1.2.2.2.cmml"><mo id="S3.SS1.p2.1.m1.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.1.m1.2.2.2.cmml">{</mo><msubsup id="S3.SS1.p2.1.m1.2.2.1.1" xref="S3.SS1.p2.1.m1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.1.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S3.SS1.p2.1.m1.2.2.1.1.2.2.cmml">ψ</mi><mrow id="S3.SS1.p2.1.m1.2.2.1.1.2.3" xref="S3.SS1.p2.1.m1.2.2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.1.m1.2.2.1.1.2.3.2" xref="S3.SS1.p2.1.m1.2.2.1.1.2.3.2.cmml"></mi><mo id="S3.SS1.p2.1.m1.2.2.1.1.2.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.SS1.p2.1.m1.2.2.1.1.2.3.1.cmml">⋆</mo><mi id="S3.SS1.p2.1.m1.2.2.1.1.2.3.3" xref="S3.SS1.p2.1.m1.2.2.1.1.2.3.3.cmml">i</mi></mrow><mrow id="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p2.1.m1.2.2.1.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.1.m1.2.2.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.1.m1.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S3.SS1.p2.1.m1.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.1.m1.2.2.2.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.1.m1.2b"><set id="S3.SS1.p2.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.2.2.1"><apply id="S3.SS1.p2.1.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.2.2.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.SS1.p2.1.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.1.m1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p2.1.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.2.2.1.1.2.2">𝜓</ci><apply id="S3.SS1.p2.1.m1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.2.2.1.1.2.3"><ci id="S3.SS1.p2.1.m1.2.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.2.2.1.1.2.3.1">⋆</ci><csymbol cd="latexml" id="S3.SS1.p2.1.m1.2.2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.2.2.1.1.2.3.2">absent</csymbol><ci id="S3.SS1.p2.1.m1.2.2.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.2.2.1.1.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply><ci id="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></set></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.1.m1.2c">\{\psi_{\star i}^{(n)}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.1.m1.2d">{ italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT ⋆ italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT }</annotation></semantics></math> have been already demonstrated in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib12" title="">12</a>]</cite>, where properly chosen <math alttext="\{\psi_{\star i}^{(n)}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.2.m2.2"><semantics id="S3.SS1.p2.2.m2.2a"><mrow id="S3.SS1.p2.2.m2.2.2.1" xref="S3.SS1.p2.2.m2.2.2.2.cmml"><mo id="S3.SS1.p2.2.m2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.2.m2.2.2.2.cmml">{</mo><msubsup id="S3.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1" xref="S3.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.2.2" xref="S3.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.2.2.cmml">ψ</mi><mrow id="S3.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.2.3" xref="S3.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.2.3.2" xref="S3.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.2.3.2.cmml"></mi><mo id="S3.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.2.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.2.3.1.cmml">⋆</mo><mi id="S3.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.2.3.3" xref="S3.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.2.3.3.cmml">i</mi></mrow><mrow id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S3.SS1.p2.2.m2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.2.m2.2.2.2.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.2.m2.2b"><set id="S3.SS1.p2.2.m2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.2.m2.2.2.1"><apply id="S3.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.2.2">𝜓</ci><apply id="S3.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.2.3"><ci id="S3.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.2.3.1">⋆</ci><csymbol cd="latexml" id="S3.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.2.3.2">absent</csymbol><ci id="S3.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply><ci id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></set></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.2.m2.2c">\{\psi_{\star i}^{(n)}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.2.m2.2d">{ italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT ⋆ italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT }</annotation></semantics></math> yield well-known B-Map designs. Nevertheless, for a concrete discussion and motivated by <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib12" title="">12</a>]</cite>, this study considers</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_table" id="S3.E7"> <tbody> <tr class="ltx_eqn_row" id="A0.EGx10"><td class="ltx_eqn_cell" colspan="6"></td></tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E7.1"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathbf{\Psi}_{\star}^{(n)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E7.1.m1.1"><semantics id="S3.E7.1.m1.1a"><msubsup id="S3.E7.1.m1.1.2" xref="S3.E7.1.m1.1.2.cmml"><mi id="S3.E7.1.m1.1.2.2.2" xref="S3.E7.1.m1.1.2.2.2.cmml">𝚿</mi><mo id="S3.E7.1.m1.1.2.2.3" xref="S3.E7.1.m1.1.2.2.3.cmml">⋆</mo><mrow id="S3.E7.1.m1.1.1.1.3" xref="S3.E7.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S3.E7.1.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.E7.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.E7.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.E7.1.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.E7.1.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.E7.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E7.1.m1.1b"><apply id="S3.E7.1.m1.1.2.cmml" xref="S3.E7.1.m1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.E7.1.m1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E7.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.E7.1.m1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E7.1.m1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E7.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E7.1.m1.1.2.2.2">𝚿</ci><ci id="S3.E7.1.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E7.1.m1.1.2.2.3">⋆</ci></apply><ci id="S3.E7.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E7.1.m1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E7.1.m1.1c">\displaystyle\mathbf{\Psi}_{\star}^{(n)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E7.1.m1.1d">bold_Ψ start_POSTSUBSCRIPT ⋆ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle{}\coloneqq{}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E7.1.m2.1"><semantics id="S3.E7.1.m2.1a"><mo id="S3.E7.1.m2.1.1" xref="S3.E7.1.m2.1.1.cmml">≔</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E7.1.m2.1b"><ci id="S3.E7.1.m2.1.1.cmml" xref="S3.E7.1.m2.1.1">≔</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E7.1.m2.1c">\displaystyle{}\coloneqq{}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E7.1.m2.1d">≔</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle(\,\sum\nolimits_{n\in\mathcal{N}}\mathbf{\Phi}^{(n)}\mathbf{\Phi% }^{(n)\intercal}+\sigma\operatorname{Id}\,)^{-1}\,\mathbf{\Phi}^{(n)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E7.1.m3.4"><semantics id="S3.E7.1.m3.4a"><mrow id="S3.E7.1.m3.4.4" xref="S3.E7.1.m3.4.4.cmml"><msup id="S3.E7.1.m3.4.4.1" xref="S3.E7.1.m3.4.4.1.cmml"><mrow id="S3.E7.1.m3.4.4.1.1.1" xref="S3.E7.1.m3.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E7.1.m3.4.4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E7.1.m3.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E7.1.m3.4.4.1.1.1.1" xref="S3.E7.1.m3.4.4.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E7.1.m3.4.4.1.1.1.1.2" xref="S3.E7.1.m3.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E7.1.m3.4.4.1.1.1.1.2.1" xref="S3.E7.1.m3.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml"><msub id="S3.E7.1.m3.4.4.1.1.1.1.2.1a" xref="S3.E7.1.m3.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml"><mo id="S3.E7.1.m3.4.4.1.1.1.1.2.1.2" xref="S3.E7.1.m3.4.4.1.1.1.1.2.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.E7.1.m3.4.4.1.1.1.1.2.1.3" xref="S3.E7.1.m3.4.4.1.1.1.1.2.1.3.cmml"><mi id="S3.E7.1.m3.4.4.1.1.1.1.2.1.3.2" xref="S3.E7.1.m3.4.4.1.1.1.1.2.1.3.2.cmml">n</mi><mo id="S3.E7.1.m3.4.4.1.1.1.1.2.1.3.1" xref="S3.E7.1.m3.4.4.1.1.1.1.2.1.3.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E7.1.m3.4.4.1.1.1.1.2.1.3.3" xref="S3.E7.1.m3.4.4.1.1.1.1.2.1.3.3.cmml">𝒩</mi></mrow></msub></mstyle><mrow id="S3.E7.1.m3.4.4.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E7.1.m3.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml"><msup id="S3.E7.1.m3.4.4.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E7.1.m3.4.4.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E7.1.m3.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.E7.1.m3.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">𝚽</mi><mrow id="S3.E7.1.m3.1.1.1.3" xref="S3.E7.1.m3.4.4.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="S3.E7.1.m3.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.E7.1.m3.4.4.1.1.1.1.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S3.E7.1.m3.1.1.1.1" xref="S3.E7.1.m3.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.E7.1.m3.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.E7.1.m3.4.4.1.1.1.1.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.E7.1.m3.4.4.1.1.1.1.2.2.1" xref="S3.E7.1.m3.4.4.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E7.1.m3.4.4.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E7.1.m3.4.4.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E7.1.m3.4.4.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S3.E7.1.m3.4.4.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">𝚽</mi><mrow id="S3.E7.1.m3.2.2.1" xref="S3.E7.1.m3.2.2.1.cmml"><mrow id="S3.E7.1.m3.2.2.1.3.2" 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id="S3.E7.1.m3.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E7.1.m3.4.4.1.1.1"><plus id="S3.E7.1.m3.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E7.1.m3.4.4.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S3.E7.1.m3.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E7.1.m3.4.4.1.1.1.1.2"><apply id="S3.E7.1.m3.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E7.1.m3.4.4.1.1.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.1.m3.4.4.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S3.E7.1.m3.4.4.1.1.1.1.2.1">subscript</csymbol><sum id="S3.E7.1.m3.4.4.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S3.E7.1.m3.4.4.1.1.1.1.2.1.2"></sum><apply id="S3.E7.1.m3.4.4.1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="S3.E7.1.m3.4.4.1.1.1.1.2.1.3"><in id="S3.E7.1.m3.4.4.1.1.1.1.2.1.3.1.cmml" xref="S3.E7.1.m3.4.4.1.1.1.1.2.1.3.1"></in><ci id="S3.E7.1.m3.4.4.1.1.1.1.2.1.3.2.cmml" xref="S3.E7.1.m3.4.4.1.1.1.1.2.1.3.2">𝑛</ci><ci id="S3.E7.1.m3.4.4.1.1.1.1.2.1.3.3.cmml" xref="S3.E7.1.m3.4.4.1.1.1.1.2.1.3.3">𝒩</ci></apply></apply><apply id="S3.E7.1.m3.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E7.1.m3.4.4.1.1.1.1.2.2"><times id="S3.E7.1.m3.4.4.1.1.1.1.2.2.1.cmml" 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id="S3.E7.1.m3.4c">\displaystyle(\,\sum\nolimits_{n\in\mathcal{N}}\mathbf{\Phi}^{(n)}\mathbf{\Phi% }^{(n)\intercal}+\sigma\operatorname{Id}\,)^{-1}\,\mathbf{\Phi}^{(n)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E7.1.m3.4d">( ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n ∈ caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT bold_Φ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT bold_Φ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) ⊺ end_POSTSUPERSCRIPT + italic_σ roman_Id ) start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT bold_Φ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(7a)</span></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E7.2"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E7.2.m1.1"><semantics id="S3.E7.2.m1.1a"><mo id="S3.E7.2.m1.1.1" xref="S3.E7.2.m1.1.1.cmml">=</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E7.2.m1.1b"><eq id="S3.E7.2.m1.1.1.cmml" xref="S3.E7.2.m1.1.1"></eq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E7.2.m1.1c">\displaystyle=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E7.2.m1.1d">=</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle(\,\mathbf{\Phi}_{\mathcal{N}}\mathbf{\Phi}_{\mathcal{N}}^{% \intercal}+\sigma\operatorname{Id}\,)^{-1}\,\mathbf{\Phi}^{(n)}\,," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E7.2.m2.2"><semantics id="S3.E7.2.m2.2a"><mrow id="S3.E7.2.m2.2.2.1" xref="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.E7.2.m2.2.2.1.1" xref="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.cmml"><msup id="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1" xref="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">𝚽</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">𝒩</mi></msub><mo id="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">𝚽</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">𝒩</mi><mo id="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">⊺</mo></msubsup></mrow><mo id="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">σ</mi><mo id="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1" lspace="0.167em" xref="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">Id</mi></mrow></mrow><mo id="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.3" lspace="0.170em" stretchy="false" xref="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.3" xref="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.3a" xref="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.3.2" xref="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.2" lspace="0.170em" xref="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.3" xref="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.3.2" xref="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.3.2.cmml">𝚽</mi><mrow id="S3.E7.2.m2.1.1.1.3" xref="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.3.cmml"><mo id="S3.E7.2.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S3.E7.2.m2.1.1.1.1" xref="S3.E7.2.m2.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.E7.2.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msup></mrow><mo id="S3.E7.2.m2.2.2.1.2" xref="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E7.2.m2.2b"><apply id="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E7.2.m2.2.2.1"><times id="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.2"></times><apply id="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.1.1"><plus id="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝚽</ci><ci id="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝒩</ci></apply><apply id="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2">𝚽</ci><ci id="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3">𝒩</ci></apply><ci id="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.3">⊺</ci></apply></apply><apply id="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜎</ci><ci id="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3">Id</ci></apply></apply><apply id="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.3"><minus id="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.3"></minus><cn id="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E7.2.m2.2.2.1.1.3.2">𝚽</ci><ci id="S3.E7.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E7.2.m2.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E7.2.m2.2c">\displaystyle(\,\mathbf{\Phi}_{\mathcal{N}}\mathbf{\Phi}_{\mathcal{N}}^{% \intercal}+\sigma\operatorname{Id}\,)^{-1}\,\mathbf{\Phi}^{(n)}\,,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E7.2.m2.2d">( bold_Φ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT bold_Φ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⊺ end_POSTSUPERSCRIPT + italic_σ roman_Id ) start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT bold_Φ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(7b)</span></td> </tr> <tr class="ltx_eqn_row ltx_align_baseline"><td class="ltx_eqn_cell ltx_align_left" colspan="6" style="white-space:normal;">where</td></tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E7.x1"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathbf{\Phi}^{(n)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E7.x1.m1.1"><semantics id="S3.E7.x1.m1.1a"><msup id="S3.E7.x1.m1.1.2" xref="S3.E7.x1.m1.1.2.cmml"><mi id="S3.E7.x1.m1.1.2.2" xref="S3.E7.x1.m1.1.2.2.cmml">𝚽</mi><mrow id="S3.E7.x1.m1.1.1.1.3" xref="S3.E7.x1.m1.1.2.cmml"><mo id="S3.E7.x1.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.E7.x1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.E7.x1.m1.1.1.1.1" xref="S3.E7.x1.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.E7.x1.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.E7.x1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E7.x1.m1.1b"><apply id="S3.E7.x1.m1.1.2.cmml" xref="S3.E7.x1.m1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.x1.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.E7.x1.m1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E7.x1.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.E7.x1.m1.1.2.2">𝚽</ci><ci id="S3.E7.x1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E7.x1.m1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E7.x1.m1.1c">\displaystyle\mathbf{\Phi}^{(n)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E7.x1.m1.1d">bold_Φ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle{}\coloneqq{}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E7.x1.m2.1"><semantics id="S3.E7.x1.m2.1a"><mo id="S3.E7.x1.m2.1.1" xref="S3.E7.x1.m2.1.1.cmml">≔</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E7.x1.m2.1b"><ci id="S3.E7.x1.m2.1.1.cmml" xref="S3.E7.x1.m2.1.1">≔</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E7.x1.m2.1c">\displaystyle{}\coloneqq{}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E7.x1.m2.1d">≔</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle[\varphi(\mathbf{z}_{1}^{(n)}),\ldots,\varphi(\mathbf{z}_{N_{% \textnormal{av}}^{(n)}}^{(n)})]\,," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E7.x1.m3.5"><semantics id="S3.E7.x1.m3.5a"><mrow id="S3.E7.x1.m3.5.5.1"><mrow id="S3.E7.x1.m3.5.5.1.1.2" xref="S3.E7.x1.m3.5.5.1.1.3.cmml"><mo id="S3.E7.x1.m3.5.5.1.1.2.3" stretchy="false" xref="S3.E7.x1.m3.5.5.1.1.3.cmml">[</mo><mrow id="S3.E7.x1.m3.5.5.1.1.1.1" xref="S3.E7.x1.m3.5.5.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E7.x1.m3.5.5.1.1.1.1.3" xref="S3.E7.x1.m3.5.5.1.1.1.1.3.cmml">φ</mi><mo id="S3.E7.x1.m3.5.5.1.1.1.1.2" xref="S3.E7.x1.m3.5.5.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E7.x1.m3.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E7.x1.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E7.x1.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E7.x1.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="S3.E7.x1.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E7.x1.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E7.x1.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E7.x1.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐳</mi><mn id="S3.E7.x1.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E7.x1.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn><mrow id="S3.E7.x1.m3.1.1.1.3" xref="S3.E7.x1.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E7.x1.m3.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.E7.x1.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E7.x1.m3.1.1.1.1" xref="S3.E7.x1.m3.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.E7.x1.m3.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.E7.x1.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S3.E7.x1.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E7.x1.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E7.x1.m3.5.5.1.1.2.4" xref="S3.E7.x1.m3.5.5.1.1.3.cmml">,</mo><mi id="S3.E7.x1.m3.4.4" mathvariant="normal" xref="S3.E7.x1.m3.4.4.cmml">…</mi><mo id="S3.E7.x1.m3.5.5.1.1.2.5" xref="S3.E7.x1.m3.5.5.1.1.3.cmml">,</mo><mrow id="S3.E7.x1.m3.5.5.1.1.2.2" xref="S3.E7.x1.m3.5.5.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E7.x1.m3.5.5.1.1.2.2.3" xref="S3.E7.x1.m3.5.5.1.1.2.2.3.cmml">φ</mi><mo id="S3.E7.x1.m3.5.5.1.1.2.2.2" xref="S3.E7.x1.m3.5.5.1.1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E7.x1.m3.5.5.1.1.2.2.1.1" xref="S3.E7.x1.m3.5.5.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E7.x1.m3.5.5.1.1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E7.x1.m3.5.5.1.1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="S3.E7.x1.m3.5.5.1.1.2.2.1.1.1" xref="S3.E7.x1.m3.5.5.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E7.x1.m3.5.5.1.1.2.2.1.1.1.2.2" xref="S3.E7.x1.m3.5.5.1.1.2.2.1.1.1.2.2.cmml">𝐳</mi><msubsup id="S3.E7.x1.m3.2.2.1" xref="S3.E7.x1.m3.2.2.1.cmml"><mi id="S3.E7.x1.m3.2.2.1.3.2" xref="S3.E7.x1.m3.2.2.1.3.2.cmml">N</mi><mtext id="S3.E7.x1.m3.2.2.1.3.3" xref="S3.E7.x1.m3.2.2.1.3.3a.cmml">av</mtext><mrow id="S3.E7.x1.m3.2.2.1.1.1.3" xref="S3.E7.x1.m3.2.2.1.cmml"><mo id="S3.E7.x1.m3.2.2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.E7.x1.m3.2.2.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E7.x1.m3.2.2.1.1.1.1" xref="S3.E7.x1.m3.2.2.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.E7.x1.m3.2.2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.E7.x1.m3.2.2.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mrow id="S3.E7.x1.m3.3.3.1.3" xref="S3.E7.x1.m3.5.5.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E7.x1.m3.3.3.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.E7.x1.m3.5.5.1.1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E7.x1.m3.3.3.1.1" xref="S3.E7.x1.m3.3.3.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.E7.x1.m3.3.3.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.E7.x1.m3.5.5.1.1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S3.E7.x1.m3.5.5.1.1.2.2.1.1.3" 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id="S3.E7.3.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E7.3.m1.2.2.1.1">𝑛</ci><ci id="S3.E7.3.m1.2.2.1.4.cmml" xref="S3.E7.3.m1.2.2.1.4">⊺</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E7.3.m1.2c">\displaystyle\mathbf{\Phi}^{(n)}\mathbf{\Phi}^{(n)\intercal}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E7.3.m1.2d">bold_Φ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT bold_Φ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) ⊺ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E7.3.m2.1"><semantics id="S3.E7.3.m2.1a"><mo id="S3.E7.3.m2.1.1" xref="S3.E7.3.m2.1.1.cmml">=</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E7.3.m2.1b"><eq id="S3.E7.3.m2.1.1.cmml" xref="S3.E7.3.m2.1.1"></eq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E7.3.m2.1c">\displaystyle=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E7.3.m2.1d">=</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\sum\nolimits_{i=1}^{N_{\textnormal{av}}^{(n)}}\varphi(\mathbf{z}% _{i}^{(n)})\varphi^{\intercal}(\mathbf{z}_{i}^{(n)})\,," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E7.3.m3.4"><semantics id="S3.E7.3.m3.4a"><mrow id="S3.E7.3.m3.4.4.1" xref="S3.E7.3.m3.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S3.E7.3.m3.4.4.1.1" xref="S3.E7.3.m3.4.4.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E7.3.m3.4.4.1.1.3" xref="S3.E7.3.m3.4.4.1.1.3.cmml"><msubsup id="S3.E7.3.m3.4.4.1.1.3a" xref="S3.E7.3.m3.4.4.1.1.3.cmml"><mo id="S3.E7.3.m3.4.4.1.1.3.2.2" xref="S3.E7.3.m3.4.4.1.1.3.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.E7.3.m3.4.4.1.1.3.2.3" xref="S3.E7.3.m3.4.4.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S3.E7.3.m3.4.4.1.1.3.2.3.2" xref="S3.E7.3.m3.4.4.1.1.3.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.E7.3.m3.4.4.1.1.3.2.3.1" xref="S3.E7.3.m3.4.4.1.1.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.E7.3.m3.4.4.1.1.3.2.3.3" xref="S3.E7.3.m3.4.4.1.1.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msubsup id="S3.E7.3.m3.1.1.1" xref="S3.E7.3.m3.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E7.3.m3.1.1.1.3.2" xref="S3.E7.3.m3.1.1.1.3.2.cmml">N</mi><mtext id="S3.E7.3.m3.1.1.1.3.3" xref="S3.E7.3.m3.1.1.1.3.3a.cmml">av</mtext><mrow id="S3.E7.3.m3.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E7.3.m3.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E7.3.m3.1.1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.E7.3.m3.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E7.3.m3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E7.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.E7.3.m3.1.1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.E7.3.m3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup></msubsup></mstyle><mrow id="S3.E7.3.m3.4.4.1.1.2" xref="S3.E7.3.m3.4.4.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E7.3.m3.4.4.1.1.2.4" xref="S3.E7.3.m3.4.4.1.1.2.4.cmml">φ</mi><mo id="S3.E7.3.m3.4.4.1.1.2.3" xref="S3.E7.3.m3.4.4.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E7.3.m3.4.4.1.1.1.1.1" xref="S3.E7.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E7.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E7.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="S3.E7.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E7.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E7.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E7.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐳</mi><mi id="S3.E7.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E7.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi><mrow id="S3.E7.3.m3.2.2.1.3" xref="S3.E7.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E7.3.m3.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.E7.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E7.3.m3.2.2.1.1" xref="S3.E7.3.m3.2.2.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.E7.3.m3.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.E7.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S3.E7.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E7.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E7.3.m3.4.4.1.1.2.3a" xref="S3.E7.3.m3.4.4.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E7.3.m3.4.4.1.1.2.5" xref="S3.E7.3.m3.4.4.1.1.2.5.cmml"><mi id="S3.E7.3.m3.4.4.1.1.2.5.2" xref="S3.E7.3.m3.4.4.1.1.2.5.2.cmml">φ</mi><mo id="S3.E7.3.m3.4.4.1.1.2.5.3" xref="S3.E7.3.m3.4.4.1.1.2.5.3.cmml">⊺</mo></msup><mo id="S3.E7.3.m3.4.4.1.1.2.3b" xref="S3.E7.3.m3.4.4.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E7.3.m3.4.4.1.1.2.2.1" xref="S3.E7.3.m3.4.4.1.1.2.2.1.1.cmml"><mo id="S3.E7.3.m3.4.4.1.1.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.E7.3.m3.4.4.1.1.2.2.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="S3.E7.3.m3.4.4.1.1.2.2.1.1" xref="S3.E7.3.m3.4.4.1.1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.E7.3.m3.4.4.1.1.2.2.1.1.2.2" xref="S3.E7.3.m3.4.4.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml">𝐳</mi><mi id="S3.E7.3.m3.4.4.1.1.2.2.1.1.2.3" xref="S3.E7.3.m3.4.4.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml">i</mi><mrow id="S3.E7.3.m3.3.3.1.3" xref="S3.E7.3.m3.4.4.1.1.2.2.1.1.cmml"><mo id="S3.E7.3.m3.3.3.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.E7.3.m3.4.4.1.1.2.2.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E7.3.m3.3.3.1.1" xref="S3.E7.3.m3.3.3.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.E7.3.m3.3.3.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.E7.3.m3.4.4.1.1.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S3.E7.3.m3.4.4.1.1.2.2.1.3" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S3.E7.3.m3.4.4.1.1.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E7.3.m3.4.4.1.2" 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end_POSTSUPERSCRIPT italic_φ ( bold_z start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_φ start_POSTSUPERSCRIPT ⊺ end_POSTSUPERSCRIPT ( bold_z start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(7c)</span></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E7.x2"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathbf{\Phi}_{\mathcal{N}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E7.x2.m1.1"><semantics id="S3.E7.x2.m1.1a"><msub id="S3.E7.x2.m1.1.1" xref="S3.E7.x2.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.E7.x2.m1.1.1.2" xref="S3.E7.x2.m1.1.1.2.cmml">𝚽</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E7.x2.m1.1.1.3" xref="S3.E7.x2.m1.1.1.3.cmml">𝒩</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E7.x2.m1.1b"><apply id="S3.E7.x2.m1.1.1.cmml" xref="S3.E7.x2.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.x2.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.E7.x2.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E7.x2.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.E7.x2.m1.1.1.2">𝚽</ci><ci id="S3.E7.x2.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.E7.x2.m1.1.1.3">𝒩</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E7.x2.m1.1c">\displaystyle\mathbf{\Phi}_{\mathcal{N}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E7.x2.m1.1d">bold_Φ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\coloneqq" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E7.x2.m2.1"><semantics id="S3.E7.x2.m2.1a"><mo id="S3.E7.x2.m2.1.1" xref="S3.E7.x2.m2.1.1.cmml">≔</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E7.x2.m2.1b"><ci id="S3.E7.x2.m2.1.1.cmml" xref="S3.E7.x2.m2.1.1">≔</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E7.x2.m2.1c">\displaystyle\coloneqq</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E7.x2.m2.1d">≔</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle[\mathbf{\Phi}^{(1)},\ldots,\mathbf{\Phi}^{(N)}]\,," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E7.x2.m3.4"><semantics id="S3.E7.x2.m3.4a"><mrow id="S3.E7.x2.m3.4.4.1"><mrow id="S3.E7.x2.m3.4.4.1.1.2" xref="S3.E7.x2.m3.4.4.1.1.3.cmml"><mo id="S3.E7.x2.m3.4.4.1.1.2.3" stretchy="false" xref="S3.E7.x2.m3.4.4.1.1.3.cmml">[</mo><msup id="S3.E7.x2.m3.4.4.1.1.1.1" xref="S3.E7.x2.m3.4.4.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E7.x2.m3.4.4.1.1.1.1.2" xref="S3.E7.x2.m3.4.4.1.1.1.1.2.cmml">𝚽</mi><mrow id="S3.E7.x2.m3.1.1.1.3" xref="S3.E7.x2.m3.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E7.x2.m3.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.E7.x2.m3.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><mn id="S3.E7.x2.m3.1.1.1.1" xref="S3.E7.x2.m3.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.E7.x2.m3.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.E7.x2.m3.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.E7.x2.m3.4.4.1.1.2.4" xref="S3.E7.x2.m3.4.4.1.1.3.cmml">,</mo><mi id="S3.E7.x2.m3.3.3" mathvariant="normal" xref="S3.E7.x2.m3.3.3.cmml">…</mi><mo id="S3.E7.x2.m3.4.4.1.1.2.5" xref="S3.E7.x2.m3.4.4.1.1.3.cmml">,</mo><msup id="S3.E7.x2.m3.4.4.1.1.2.2" xref="S3.E7.x2.m3.4.4.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E7.x2.m3.4.4.1.1.2.2.2" xref="S3.E7.x2.m3.4.4.1.1.2.2.2.cmml">𝚽</mi><mrow id="S3.E7.x2.m3.2.2.1.3" xref="S3.E7.x2.m3.4.4.1.1.2.2.cmml"><mo id="S3.E7.x2.m3.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.E7.x2.m3.4.4.1.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S3.E7.x2.m3.2.2.1.1" xref="S3.E7.x2.m3.2.2.1.1.cmml">N</mi><mo id="S3.E7.x2.m3.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.E7.x2.m3.4.4.1.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.E7.x2.m3.4.4.1.1.2.6" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S3.E7.x2.m3.4.4.1.1.3.cmml">]</mo></mrow><mo id="S3.E7.x2.m3.4.4.1.2">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E7.x2.m3.4b"><list id="S3.E7.x2.m3.4.4.1.1.3.cmml" xref="S3.E7.x2.m3.4.4.1.1.2"><apply id="S3.E7.x2.m3.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E7.x2.m3.4.4.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.x2.m3.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E7.x2.m3.4.4.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.E7.x2.m3.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E7.x2.m3.4.4.1.1.1.1.2">𝚽</ci><cn id="S3.E7.x2.m3.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.E7.x2.m3.1.1.1.1">1</cn></apply><ci id="S3.E7.x2.m3.3.3.cmml" xref="S3.E7.x2.m3.3.3">…</ci><apply id="S3.E7.x2.m3.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E7.x2.m3.4.4.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.x2.m3.4.4.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E7.x2.m3.4.4.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E7.x2.m3.4.4.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E7.x2.m3.4.4.1.1.2.2.2">𝚽</ci><ci id="S3.E7.x2.m3.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E7.x2.m3.2.2.1.1">𝑁</ci></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E7.x2.m3.4c">\displaystyle[\mathbf{\Phi}^{(1)},\ldots,\mathbf{\Phi}^{(N)}]\,,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E7.x2.m3.4d">[ bold_Φ start_POSTSUPERSCRIPT ( 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT , … , bold_Φ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_N ) end_POSTSUPERSCRIPT ] ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E7.4"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathbf{\Phi}_{\mathcal{N}}\mathbf{\Phi}_{\mathcal{N}}^{\intercal}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E7.4.m1.1"><semantics id="S3.E7.4.m1.1a"><mrow id="S3.E7.4.m1.1.1" xref="S3.E7.4.m1.1.1.cmml"><msub id="S3.E7.4.m1.1.1.2" xref="S3.E7.4.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E7.4.m1.1.1.2.2" xref="S3.E7.4.m1.1.1.2.2.cmml">𝚽</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E7.4.m1.1.1.2.3" xref="S3.E7.4.m1.1.1.2.3.cmml">𝒩</mi></msub><mo id="S3.E7.4.m1.1.1.1" xref="S3.E7.4.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.E7.4.m1.1.1.3" xref="S3.E7.4.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E7.4.m1.1.1.3.2.2" xref="S3.E7.4.m1.1.1.3.2.2.cmml">𝚽</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E7.4.m1.1.1.3.2.3" xref="S3.E7.4.m1.1.1.3.2.3.cmml">𝒩</mi><mo id="S3.E7.4.m1.1.1.3.3" xref="S3.E7.4.m1.1.1.3.3.cmml">⊺</mo></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E7.4.m1.1b"><apply id="S3.E7.4.m1.1.1.cmml" xref="S3.E7.4.m1.1.1"><times id="S3.E7.4.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.E7.4.m1.1.1.1"></times><apply id="S3.E7.4.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.E7.4.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.4.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E7.4.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E7.4.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E7.4.m1.1.1.2.2">𝚽</ci><ci id="S3.E7.4.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E7.4.m1.1.1.2.3">𝒩</ci></apply><apply id="S3.E7.4.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.E7.4.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.4.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E7.4.m1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S3.E7.4.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E7.4.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.4.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E7.4.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E7.4.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E7.4.m1.1.1.3.2.2">𝚽</ci><ci id="S3.E7.4.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E7.4.m1.1.1.3.2.3">𝒩</ci></apply><ci id="S3.E7.4.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E7.4.m1.1.1.3.3">⊺</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E7.4.m1.1c">\displaystyle\mathbf{\Phi}_{\mathcal{N}}\mathbf{\Phi}_{\mathcal{N}}^{\intercal}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E7.4.m1.1d">bold_Φ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT bold_Φ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⊺ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E7.4.m2.1"><semantics id="S3.E7.4.m2.1a"><mo id="S3.E7.4.m2.1.1" xref="S3.E7.4.m2.1.1.cmml">=</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E7.4.m2.1b"><eq id="S3.E7.4.m2.1.1.cmml" xref="S3.E7.4.m2.1.1"></eq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E7.4.m2.1c">\displaystyle=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E7.4.m2.1d">=</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\sum\nolimits_{n\in\mathcal{N}}\mathbf{\Phi}^{(n)}\mathbf{\Phi}^{% (n)\intercal}\,," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E7.4.m3.3"><semantics id="S3.E7.4.m3.3a"><mrow id="S3.E7.4.m3.3.3.1" xref="S3.E7.4.m3.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.E7.4.m3.3.3.1.1" xref="S3.E7.4.m3.3.3.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E7.4.m3.3.3.1.1.1" xref="S3.E7.4.m3.3.3.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E7.4.m3.3.3.1.1.1a" xref="S3.E7.4.m3.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E7.4.m3.3.3.1.1.1.2" xref="S3.E7.4.m3.3.3.1.1.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.E7.4.m3.3.3.1.1.1.3" xref="S3.E7.4.m3.3.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E7.4.m3.3.3.1.1.1.3.2" xref="S3.E7.4.m3.3.3.1.1.1.3.2.cmml">n</mi><mo id="S3.E7.4.m3.3.3.1.1.1.3.1" xref="S3.E7.4.m3.3.3.1.1.1.3.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E7.4.m3.3.3.1.1.1.3.3" xref="S3.E7.4.m3.3.3.1.1.1.3.3.cmml">𝒩</mi></mrow></msub></mstyle><mrow id="S3.E7.4.m3.3.3.1.1.2" xref="S3.E7.4.m3.3.3.1.1.2.cmml"><msup id="S3.E7.4.m3.3.3.1.1.2.2" xref="S3.E7.4.m3.3.3.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E7.4.m3.3.3.1.1.2.2.2" xref="S3.E7.4.m3.3.3.1.1.2.2.2.cmml">𝚽</mi><mrow id="S3.E7.4.m3.1.1.1.3" xref="S3.E7.4.m3.3.3.1.1.2.2.cmml"><mo id="S3.E7.4.m3.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.E7.4.m3.3.3.1.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S3.E7.4.m3.1.1.1.1" xref="S3.E7.4.m3.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.E7.4.m3.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.E7.4.m3.3.3.1.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.E7.4.m3.3.3.1.1.2.1" xref="S3.E7.4.m3.3.3.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E7.4.m3.3.3.1.1.2.3" xref="S3.E7.4.m3.3.3.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E7.4.m3.3.3.1.1.2.3.2" xref="S3.E7.4.m3.3.3.1.1.2.3.2.cmml">𝚽</mi><mrow id="S3.E7.4.m3.2.2.1" xref="S3.E7.4.m3.2.2.1.cmml"><mrow id="S3.E7.4.m3.2.2.1.3.2" xref="S3.E7.4.m3.2.2.1.cmml"><mo id="S3.E7.4.m3.2.2.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E7.4.m3.2.2.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E7.4.m3.2.2.1.1" xref="S3.E7.4.m3.2.2.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.E7.4.m3.2.2.1.3.2.2" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S3.E7.4.m3.2.2.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E7.4.m3.2.2.1.4" xref="S3.E7.4.m3.2.2.1.4.cmml">⊺</mo></mrow></msup></mrow></mrow><mo id="S3.E7.4.m3.3.3.1.2" xref="S3.E7.4.m3.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E7.4.m3.3b"><apply id="S3.E7.4.m3.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E7.4.m3.3.3.1"><apply id="S3.E7.4.m3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.E7.4.m3.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.4.m3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E7.4.m3.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><sum id="S3.E7.4.m3.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E7.4.m3.3.3.1.1.1.2"></sum><apply id="S3.E7.4.m3.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E7.4.m3.3.3.1.1.1.3"><in id="S3.E7.4.m3.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E7.4.m3.3.3.1.1.1.3.1"></in><ci id="S3.E7.4.m3.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E7.4.m3.3.3.1.1.1.3.2">𝑛</ci><ci id="S3.E7.4.m3.3.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E7.4.m3.3.3.1.1.1.3.3">𝒩</ci></apply></apply><apply id="S3.E7.4.m3.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.E7.4.m3.3.3.1.1.2"><times id="S3.E7.4.m3.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E7.4.m3.3.3.1.1.2.1"></times><apply id="S3.E7.4.m3.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E7.4.m3.3.3.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.4.m3.3.3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E7.4.m3.3.3.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E7.4.m3.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E7.4.m3.3.3.1.1.2.2.2">𝚽</ci><ci id="S3.E7.4.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E7.4.m3.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S3.E7.4.m3.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E7.4.m3.3.3.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.4.m3.3.3.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E7.4.m3.3.3.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E7.4.m3.3.3.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E7.4.m3.3.3.1.1.2.3.2">𝚽</ci><apply id="S3.E7.4.m3.2.2.1.cmml" xref="S3.E7.4.m3.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E7.4.m3.2.2.1.2.cmml" xref="S3.E7.4.m3.2.2.1">limit-from</csymbol><ci id="S3.E7.4.m3.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E7.4.m3.2.2.1.1">𝑛</ci><ci id="S3.E7.4.m3.2.2.1.4.cmml" xref="S3.E7.4.m3.2.2.1.4">⊺</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E7.4.m3.3c">\displaystyle\sum\nolimits_{n\in\mathcal{N}}\mathbf{\Phi}^{(n)}\mathbf{\Phi}^{% (n)\intercal}\,,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E7.4.m3.3d">∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n ∈ caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT bold_Φ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT bold_Φ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) ⊺ end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(7d)</span></td> </tr> </tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p2.5"><math alttext="\operatorname{Id}\colon\mathcal{H}\to\mathcal{H}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.3.m1.1"><semantics id="S3.SS1.p2.3.m1.1a"><mrow id="S3.SS1.p2.3.m1.1.1" xref="S3.SS1.p2.3.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.3.m1.1.1.2" xref="S3.SS1.p2.3.m1.1.1.2.cmml">Id</mi><mo id="S3.SS1.p2.3.m1.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S3.SS1.p2.3.m1.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="S3.SS1.p2.3.m1.1.1.3" xref="S3.SS1.p2.3.m1.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS1.p2.3.m1.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p2.3.m1.1.1.3.2.cmml">ℋ</mi><mo id="S3.SS1.p2.3.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.3.m1.1.1.3.1.cmml">→</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS1.p2.3.m1.1.1.3.3" xref="S3.SS1.p2.3.m1.1.1.3.3.cmml">ℋ</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.3.m1.1b"><apply id="S3.SS1.p2.3.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.3.m1.1.1"><ci id="S3.SS1.p2.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.3.m1.1.1.1">:</ci><ci id="S3.SS1.p2.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.3.m1.1.1.2">Id</ci><apply id="S3.SS1.p2.3.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.3.m1.1.1.3"><ci id="S3.SS1.p2.3.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.3.m1.1.1.3.1">→</ci><ci id="S3.SS1.p2.3.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.3.m1.1.1.3.2">ℋ</ci><ci id="S3.SS1.p2.3.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.3.m1.1.1.3.3">ℋ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.3.m1.1c">\operatorname{Id}\colon\mathcal{H}\to\mathcal{H}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.3.m1.1d">roman_Id : caligraphic_H → caligraphic_H</annotation></semantics></math> is the identity operator, and <math alttext="\sigma\in\mathbb{R}_{++}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.4.m2.1"><semantics id="S3.SS1.p2.4.m2.1a"><mrow id="S3.SS1.p2.4.m2.1.1" xref="S3.SS1.p2.4.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.4.m2.1.1.2" xref="S3.SS1.p2.4.m2.1.1.2.cmml">σ</mi><mo id="S3.SS1.p2.4.m2.1.1.1" xref="S3.SS1.p2.4.m2.1.1.1.cmml">∈</mo><msub id="S3.SS1.p2.4.m2.1.1.3" xref="S3.SS1.p2.4.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.4.m2.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p2.4.m2.1.1.3.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S3.SS1.p2.4.m2.1.1.3.3" xref="S3.SS1.p2.4.m2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.4.m2.1.1.3.3.2" xref="S3.SS1.p2.4.m2.1.1.3.3.2.cmml"></mi><mo id="S3.SS1.p2.4.m2.1.1.3.3.1" rspace="0em" xref="S3.SS1.p2.4.m2.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mo id="S3.SS1.p2.4.m2.1.1.3.3.3" lspace="0em" xref="S3.SS1.p2.4.m2.1.1.3.3.3.cmml">+</mo></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.4.m2.1b"><apply id="S3.SS1.p2.4.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.4.m2.1.1"><in id="S3.SS1.p2.4.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.4.m2.1.1.1"></in><ci id="S3.SS1.p2.4.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.4.m2.1.1.2">𝜎</ci><apply id="S3.SS1.p2.4.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.4.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.4.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.4.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p2.4.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.4.m2.1.1.3.2">ℝ</ci><apply id="S3.SS1.p2.4.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.4.m2.1.1.3.3"><plus id="S3.SS1.p2.4.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.4.m2.1.1.3.3.1"></plus><csymbol cd="latexml" id="S3.SS1.p2.4.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.4.m2.1.1.3.3.2">absent</csymbol><plus id="S3.SS1.p2.4.m2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.4.m2.1.1.3.3.3"></plus></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.4.m2.1c">\sigma\in\mathbb{R}_{++}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.4.m2.1d">italic_σ ∈ blackboard_R start_POSTSUBSCRIPT + + end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Borrowing from the signal-processing jargon, (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E7.3" title="Equation 7c ‣ Equation 7 ‣ III-A The centralized (star-topology) B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7c</span></a>) will be called the <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.SS1.p2.5.1">nodal covariance operator,</span> while (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E7.4" title="Equation 7d ‣ Equation 7 ‣ III-A The centralized (star-topology) B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7d</span></a>) the <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.SS1.p2.5.2">network-wide covariance operator.</span> Notice that (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E7.3" title="Equation 7c ‣ Equation 7 ‣ III-A The centralized (star-topology) B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7c</span></a>) and (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E7.4" title="Equation 7d ‣ Equation 7 ‣ III-A The centralized (star-topology) B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7d</span></a>) operate in the feature space <math alttext="\mathcal{H}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.5.m3.1"><semantics id="S3.SS1.p2.5.m3.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS1.p2.5.m3.1.1" xref="S3.SS1.p2.5.m3.1.1.cmml">ℋ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.5.m3.1b"><ci id="S3.SS1.p2.5.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.5.m3.1.1">ℋ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.5.m3.1c">\mathcal{H}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.5.m3.1d">caligraphic_H</annotation></semantics></math>. Now, (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E6" title="Equation 6 ‣ III-A The centralized (star-topology) B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6</span></a>) takes the following special form via (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E7.2" title="Equation 7b ‣ Equation 7 ‣ III-A The centralized (star-topology) B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7b</span></a>):</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A0.EGx11"> <tbody id="S3.Ex3"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle T_{\star}(Q)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex3.m1.1"><semantics id="S3.Ex3.m1.1a"><mrow id="S3.Ex3.m1.1.2" xref="S3.Ex3.m1.1.2.cmml"><msub id="S3.Ex3.m1.1.2.2" xref="S3.Ex3.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex3.m1.1.2.2.2" xref="S3.Ex3.m1.1.2.2.2.cmml">T</mi><mo id="S3.Ex3.m1.1.2.2.3" xref="S3.Ex3.m1.1.2.2.3.cmml">⋆</mo></msub><mo id="S3.Ex3.m1.1.2.1" xref="S3.Ex3.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex3.m1.1.2.3.2" xref="S3.Ex3.m1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex3.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex3.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex3.m1.1.1" xref="S3.Ex3.m1.1.1.cmml">Q</mi><mo id="S3.Ex3.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex3.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex3.m1.1b"><apply id="S3.Ex3.m1.1.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.1.2"><times id="S3.Ex3.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.1.2.1"></times><apply id="S3.Ex3.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex3.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex3.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.1.2.2.2">𝑇</ci><ci id="S3.Ex3.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.1.2.2.3">⋆</ci></apply><ci id="S3.Ex3.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.1.1">𝑄</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex3.m1.1c">\displaystyle T_{\star}(Q)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex3.m1.1d">italic_T start_POSTSUBSCRIPT ⋆ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_Q )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sum\nolimits_{n\in\mathcal{N}}\mathbf{\Psi}_{\star}^{(n)}\,% \mathbf{c}^{(n)}(Q)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex3.m2.3"><semantics id="S3.Ex3.m2.3a"><mrow id="S3.Ex3.m2.3.4" xref="S3.Ex3.m2.3.4.cmml"><mi id="S3.Ex3.m2.3.4.2" xref="S3.Ex3.m2.3.4.2.cmml"></mi><mo id="S3.Ex3.m2.3.4.1" xref="S3.Ex3.m2.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex3.m2.3.4.3" xref="S3.Ex3.m2.3.4.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex3.m2.3.4.3.1" xref="S3.Ex3.m2.3.4.3.1.cmml"><msub id="S3.Ex3.m2.3.4.3.1a" xref="S3.Ex3.m2.3.4.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex3.m2.3.4.3.1.2" xref="S3.Ex3.m2.3.4.3.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex3.m2.3.4.3.1.3" xref="S3.Ex3.m2.3.4.3.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex3.m2.3.4.3.1.3.2" xref="S3.Ex3.m2.3.4.3.1.3.2.cmml">n</mi><mo id="S3.Ex3.m2.3.4.3.1.3.1" xref="S3.Ex3.m2.3.4.3.1.3.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Ex3.m2.3.4.3.1.3.3" xref="S3.Ex3.m2.3.4.3.1.3.3.cmml">𝒩</mi></mrow></msub></mstyle><mrow id="S3.Ex3.m2.3.4.3.2" xref="S3.Ex3.m2.3.4.3.2.cmml"><msubsup id="S3.Ex3.m2.3.4.3.2.2" xref="S3.Ex3.m2.3.4.3.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex3.m2.3.4.3.2.2.2.2" xref="S3.Ex3.m2.3.4.3.2.2.2.2.cmml">𝚿</mi><mo id="S3.Ex3.m2.3.4.3.2.2.2.3" xref="S3.Ex3.m2.3.4.3.2.2.2.3.cmml">⋆</mo><mrow id="S3.Ex3.m2.1.1.1.3" xref="S3.Ex3.m2.3.4.3.2.2.cmml"><mo id="S3.Ex3.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.Ex3.m2.3.4.3.2.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex3.m2.1.1.1.1" xref="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.Ex3.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.Ex3.m2.3.4.3.2.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S3.Ex3.m2.3.4.3.2.1" xref="S3.Ex3.m2.3.4.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex3.m2.3.4.3.2.3" xref="S3.Ex3.m2.3.4.3.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex3.m2.3.4.3.2.3.2" xref="S3.Ex3.m2.3.4.3.2.3.2.cmml">𝐜</mi><mrow id="S3.Ex3.m2.2.2.1.3" xref="S3.Ex3.m2.3.4.3.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex3.m2.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.Ex3.m2.3.4.3.2.3.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex3.m2.2.2.1.1" xref="S3.Ex3.m2.2.2.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.Ex3.m2.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.Ex3.m2.3.4.3.2.3.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.Ex3.m2.3.4.3.2.1a" xref="S3.Ex3.m2.3.4.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex3.m2.3.4.3.2.4.2" xref="S3.Ex3.m2.3.4.3.2.cmml"><mo id="S3.Ex3.m2.3.4.3.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex3.m2.3.4.3.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex3.m2.3.3" xref="S3.Ex3.m2.3.3.cmml">Q</mi><mo id="S3.Ex3.m2.3.4.3.2.4.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex3.m2.3.4.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex3.m2.3b"><apply id="S3.Ex3.m2.3.4.cmml" xref="S3.Ex3.m2.3.4"><eq id="S3.Ex3.m2.3.4.1.cmml" xref="S3.Ex3.m2.3.4.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex3.m2.3.4.2.cmml" xref="S3.Ex3.m2.3.4.2">absent</csymbol><apply id="S3.Ex3.m2.3.4.3.cmml" xref="S3.Ex3.m2.3.4.3"><apply id="S3.Ex3.m2.3.4.3.1.cmml" xref="S3.Ex3.m2.3.4.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex3.m2.3.4.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m2.3.4.3.1">subscript</csymbol><sum id="S3.Ex3.m2.3.4.3.1.2.cmml" xref="S3.Ex3.m2.3.4.3.1.2"></sum><apply id="S3.Ex3.m2.3.4.3.1.3.cmml" xref="S3.Ex3.m2.3.4.3.1.3"><in id="S3.Ex3.m2.3.4.3.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex3.m2.3.4.3.1.3.1"></in><ci id="S3.Ex3.m2.3.4.3.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex3.m2.3.4.3.1.3.2">𝑛</ci><ci id="S3.Ex3.m2.3.4.3.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex3.m2.3.4.3.1.3.3">𝒩</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex3.m2.3.4.3.2.cmml" xref="S3.Ex3.m2.3.4.3.2"><times id="S3.Ex3.m2.3.4.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex3.m2.3.4.3.2.1"></times><apply id="S3.Ex3.m2.3.4.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex3.m2.3.4.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex3.m2.3.4.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex3.m2.3.4.3.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex3.m2.3.4.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex3.m2.3.4.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex3.m2.3.4.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex3.m2.3.4.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex3.m2.3.4.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex3.m2.3.4.3.2.2.2.2">𝚿</ci><ci id="S3.Ex3.m2.3.4.3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex3.m2.3.4.3.2.2.2.3">⋆</ci></apply><ci id="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m2.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S3.Ex3.m2.3.4.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex3.m2.3.4.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex3.m2.3.4.3.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex3.m2.3.4.3.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex3.m2.3.4.3.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex3.m2.3.4.3.2.3.2">𝐜</ci><ci id="S3.Ex3.m2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m2.2.2.1.1">𝑛</ci></apply><ci id="S3.Ex3.m2.3.3.cmml" xref="S3.Ex3.m2.3.3">𝑄</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex3.m2.3c">\displaystyle=\sum\nolimits_{n\in\mathcal{N}}\mathbf{\Psi}_{\star}^{(n)}\,% \mathbf{c}^{(n)}(Q)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex3.m2.3d">= ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n ∈ caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT bold_Ψ start_POSTSUBSCRIPT ⋆ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT bold_c start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_Q )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.Ex4"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sum\nolimits_{n\in\mathcal{N}}(\,\mathbf{\Phi}_{\mathcal{N}}% \mathbf{\Phi}_{\mathcal{N}}^{\intercal}+\sigma\operatorname{Id}\,)^{-1}\mathbf% {\Phi}^{(n)}\,\mathbf{c}^{(n)}(Q)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex4.m1.4"><semantics id="S3.Ex4.m1.4a"><mrow id="S3.Ex4.m1.4.4" xref="S3.Ex4.m1.4.4.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.4.4.3" xref="S3.Ex4.m1.4.4.3.cmml"></mi><mo id="S3.Ex4.m1.4.4.2" xref="S3.Ex4.m1.4.4.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.4.4.1" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex4.m1.4.4.1.2" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.2.cmml"><msub id="S3.Ex4.m1.4.4.1.2a" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex4.m1.4.4.1.2.2" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.4.4.1.2.3" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.4.4.1.2.3.2" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.2.3.2.cmml">n</mi><mo id="S3.Ex4.m1.4.4.1.2.3.1" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.2.3.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Ex4.m1.4.4.1.2.3.3" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.2.3.3.cmml">𝒩</mi></mrow></msub></mstyle><mrow id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.cmml"><msup id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">𝚽</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">𝒩</mi></msub><mo id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">𝚽</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" 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xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.3" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.3.2" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.3.2.cmml">𝚽</mi><mrow id="S3.Ex4.m1.1.1.1.3" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mo id="S3.Ex4.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.Ex4.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2a" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.4" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.4.2" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.4.2.cmml">𝐜</mi><mrow id="S3.Ex4.m1.2.2.1.3" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.4.cmml"><mo id="S3.Ex4.m1.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.4.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.Ex4.m1.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.4.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2b" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.5.2" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex4.m1.3.3" xref="S3.Ex4.m1.3.3.cmml">Q</mi><mo id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.5.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex4.m1.4b"><apply id="S3.Ex4.m1.4.4.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4"><eq id="S3.Ex4.m1.4.4.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex4.m1.4.4.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.3">absent</csymbol><apply id="S3.Ex4.m1.4.4.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1"><apply id="S3.Ex4.m1.4.4.1.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex4.m1.4.4.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.2">subscript</csymbol><sum id="S3.Ex4.m1.4.4.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.2.2"></sum><apply id="S3.Ex4.m1.4.4.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.2.3"><in id="S3.Ex4.m1.4.4.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.2.3.1"></in><ci id="S3.Ex4.m1.4.4.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.2.3.2">𝑛</ci><ci id="S3.Ex4.m1.4.4.1.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.2.3.3">𝒩</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1"><times id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1"><plus id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝚽</ci><ci id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝒩</ci></apply><apply id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2">𝚽</ci><ci id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3">𝒩</ci></apply><ci id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" 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id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.1.4.2">𝐜</ci><ci id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1">𝑛</ci></apply><ci id="S3.Ex4.m1.3.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.3.3">𝑄</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex4.m1.4c">\displaystyle=\sum\nolimits_{n\in\mathcal{N}}(\,\mathbf{\Phi}_{\mathcal{N}}% \mathbf{\Phi}_{\mathcal{N}}^{\intercal}+\sigma\operatorname{Id}\,)^{-1}\mathbf% {\Phi}^{(n)}\,\mathbf{c}^{(n)}(Q)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex4.m1.4d">= ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n ∈ caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT ( bold_Φ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT bold_Φ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⊺ end_POSTSUPERSCRIPT + italic_σ roman_Id ) start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT bold_Φ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT bold_c start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_Q )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.E8"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=(\,\mathbf{\Phi}_{\mathcal{N}}\mathbf{\Phi}_{\mathcal{N}}^{% \intercal}+\sigma\operatorname{Id}\,)^{-1}\mathbf{\Phi}_{\mathcal{N}}\,\mathbf% {c}_{\mathcal{N}}(Q)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E8.m1.2"><semantics id="S3.E8.m1.2a"><mrow id="S3.E8.m1.2.2" xref="S3.E8.m1.2.2.cmml"><mi id="S3.E8.m1.2.2.3" xref="S3.E8.m1.2.2.3.cmml"></mi><mo id="S3.E8.m1.2.2.2" xref="S3.E8.m1.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.E8.m1.2.2.1" xref="S3.E8.m1.2.2.1.cmml"><msup id="S3.E8.m1.2.2.1.1" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.2" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">𝚽</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">𝒩</mi></msub><mo id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">𝚽</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">𝒩</mi><mo id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">⊺</mo></msubsup></mrow><mo id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">σ</mi><mo id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1" lspace="0.167em" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml">Id</mi></mrow></mrow><mo id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.3" lspace="0.170em" stretchy="false" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.E8.m1.2.2.1.1.3" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mo id="S3.E8.m1.2.2.1.1.3a" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="S3.E8.m1.2.2.1.1.3.2" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S3.E8.m1.2.2.1.2" xref="S3.E8.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E8.m1.2.2.1.3" xref="S3.E8.m1.2.2.1.3.cmml"><mi id="S3.E8.m1.2.2.1.3.2" xref="S3.E8.m1.2.2.1.3.2.cmml">𝚽</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E8.m1.2.2.1.3.3" xref="S3.E8.m1.2.2.1.3.3.cmml">𝒩</mi></msub><mo id="S3.E8.m1.2.2.1.2a" xref="S3.E8.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E8.m1.2.2.1.4" xref="S3.E8.m1.2.2.1.4.cmml"><mi id="S3.E8.m1.2.2.1.4.2" xref="S3.E8.m1.2.2.1.4.2.cmml">𝐜</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E8.m1.2.2.1.4.3" xref="S3.E8.m1.2.2.1.4.3.cmml">𝒩</mi></msub><mo id="S3.E8.m1.2.2.1.2b" xref="S3.E8.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E8.m1.2.2.1.5.2" xref="S3.E8.m1.2.2.1.cmml"><mo id="S3.E8.m1.2.2.1.5.2.1" stretchy="false" xref="S3.E8.m1.2.2.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E8.m1.1.1" xref="S3.E8.m1.1.1.cmml">Q</mi><mo id="S3.E8.m1.2.2.1.5.2.2" stretchy="false" xref="S3.E8.m1.2.2.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E8.m1.2b"><apply id="S3.E8.m1.2.2.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2"><eq id="S3.E8.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S3.E8.m1.2.2.3.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.3">absent</csymbol><apply id="S3.E8.m1.2.2.1.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1"><times id="S3.E8.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.2"></times><apply id="S3.E8.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1"><plus id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.2"><times id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2">𝚽</ci><ci id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.3">𝒩</ci></apply><apply id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.2.2">𝚽</ci><ci id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.2.3">𝒩</ci></apply><ci id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.3">⊺</ci></apply></apply><apply id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2">𝜎</ci><ci id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3">Id</ci></apply></apply><apply id="S3.E8.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.3"><minus id="S3.E8.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.3"></minus><cn id="S3.E8.m1.2.2.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="S3.E8.m1.2.2.1.3.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.2.2.1.3.1.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E8.m1.2.2.1.3.2.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.3.2">𝚽</ci><ci id="S3.E8.m1.2.2.1.3.3.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.3.3">𝒩</ci></apply><apply id="S3.E8.m1.2.2.1.4.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.2.2.1.4.1.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.E8.m1.2.2.1.4.2.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.4.2">𝐜</ci><ci id="S3.E8.m1.2.2.1.4.3.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.4.3">𝒩</ci></apply><ci id="S3.E8.m1.1.1.cmml" xref="S3.E8.m1.1.1">𝑄</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E8.m1.2c">\displaystyle=(\,\mathbf{\Phi}_{\mathcal{N}}\mathbf{\Phi}_{\mathcal{N}}^{% \intercal}+\sigma\operatorname{Id}\,)^{-1}\mathbf{\Phi}_{\mathcal{N}}\,\mathbf% {c}_{\mathcal{N}}(Q)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E8.m1.2d">= ( bold_Φ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT bold_Φ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⊺ end_POSTSUPERSCRIPT + italic_σ roman_Id ) start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT bold_Φ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT bold_c start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT ( italic_Q )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(8)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.Ex5a"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\mathbf{\Phi}_{\mathcal{N}}(\,\mathbf{K}_{\mathcal{N}}+\sigma% \operatorname{Id}\,)^{-1}\,\mathbf{c}_{\mathcal{N}}(Q)\,," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex5a.m1.2"><semantics id="S3.Ex5a.m1.2a"><mrow id="S3.Ex5a.m1.2.2.1" xref="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1" xref="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml">𝚽</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml">𝒩</mi></msub><mo id="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐊</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">𝒩</mi></msub><mo id="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">σ</mi><mo id="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1" lspace="0.167em" xref="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">Id</mi></mrow></mrow><mo id="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" lspace="0.170em" stretchy="false" xref="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.1.3a" xref="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.2a" xref="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.4" xref="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.4.2" xref="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.4.2.cmml">𝐜</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.4.3" xref="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.4.3.cmml">𝒩</mi></msub><mo id="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.2b" xref="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.5.2" xref="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex5a.m1.1.1" xref="S3.Ex5a.m1.1.1.cmml">Q</mi><mo id="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.5.2.2" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex5a.m1.2.2.1.2" xref="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex5a.m1.2b"><apply id="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex5a.m1.2.2.1"><eq id="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1"><times id="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.3.2">𝚽</ci><ci id="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.3.3">𝒩</ci></apply><apply id="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"><plus id="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐊</ci><ci id="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝒩</ci></apply><apply id="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜎</ci><ci id="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3">Id</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.1.3"><minus id="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.1.3"></minus><cn id="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.4.2">𝐜</ci><ci id="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.Ex5a.m1.2.2.1.1.1.4.3">𝒩</ci></apply><ci id="S3.Ex5a.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex5a.m1.1.1">𝑄</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex5a.m1.2c">\displaystyle=\mathbf{\Phi}_{\mathcal{N}}(\,\mathbf{K}_{\mathcal{N}}+\sigma% \operatorname{Id}\,)^{-1}\,\mathbf{c}_{\mathcal{N}}(Q)\,,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex5a.m1.2d">= bold_Φ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT ( bold_K start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT + italic_σ roman_Id ) start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT bold_c start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT ( italic_Q ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p2.8">where <math alttext="\mathbf{c}_{\mathcal{N}}(Q)\coloneqq[\,\mathbf{c}^{(1)\intercal}(Q),\ldots,% \mathbf{c}^{(N)\intercal}(Q)\,]^{\intercal}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.6.m1.8"><semantics id="S3.SS1.p2.6.m1.8a"><mrow id="S3.SS1.p2.6.m1.8.8" xref="S3.SS1.p2.6.m1.8.8.cmml"><mrow id="S3.SS1.p2.6.m1.8.8.4" xref="S3.SS1.p2.6.m1.8.8.4.cmml"><msub id="S3.SS1.p2.6.m1.8.8.4.2" xref="S3.SS1.p2.6.m1.8.8.4.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.6.m1.8.8.4.2.2" xref="S3.SS1.p2.6.m1.8.8.4.2.2.cmml">𝐜</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS1.p2.6.m1.8.8.4.2.3" xref="S3.SS1.p2.6.m1.8.8.4.2.3.cmml">𝒩</mi></msub><mo id="S3.SS1.p2.6.m1.8.8.4.1" xref="S3.SS1.p2.6.m1.8.8.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p2.6.m1.8.8.4.3.2" xref="S3.SS1.p2.6.m1.8.8.4.cmml"><mo id="S3.SS1.p2.6.m1.8.8.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.6.m1.8.8.4.cmml">(</mo><mi id="S3.SS1.p2.6.m1.3.3" xref="S3.SS1.p2.6.m1.3.3.cmml">Q</mi><mo id="S3.SS1.p2.6.m1.8.8.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.6.m1.8.8.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS1.p2.6.m1.8.8.3" xref="S3.SS1.p2.6.m1.8.8.3.cmml">≔</mo><msup id="S3.SS1.p2.6.m1.8.8.2" xref="S3.SS1.p2.6.m1.8.8.2.cmml"><mrow id="S3.SS1.p2.6.m1.8.8.2.2.2" xref="S3.SS1.p2.6.m1.8.8.2.2.3.cmml"><mo id="S3.SS1.p2.6.m1.8.8.2.2.2.3" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.6.m1.8.8.2.2.3.cmml">[</mo><mrow id="S3.SS1.p2.6.m1.7.7.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p2.6.m1.7.7.1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.SS1.p2.6.m1.7.7.1.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p2.6.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.6.m1.7.7.1.1.1.1.2.2" xref="S3.SS1.p2.6.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐜</mi><mrow id="S3.SS1.p2.6.m1.1.1.1" xref="S3.SS1.p2.6.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS1.p2.6.m1.1.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p2.6.m1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p2.6.m1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.6.m1.1.1.1.cmml">(</mo><mn id="S3.SS1.p2.6.m1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p2.6.m1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.SS1.p2.6.m1.1.1.1.3.2.2" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.6.m1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.SS1.p2.6.m1.1.1.1.4" xref="S3.SS1.p2.6.m1.1.1.1.4.cmml">⊺</mo></mrow></msup><mo id="S3.SS1.p2.6.m1.7.7.1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p2.6.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p2.6.m1.7.7.1.1.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p2.6.m1.7.7.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p2.6.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.6.m1.7.7.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS1.p2.6.m1.4.4" xref="S3.SS1.p2.6.m1.4.4.cmml">Q</mi><mo id="S3.SS1.p2.6.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.6.m1.7.7.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS1.p2.6.m1.8.8.2.2.2.4" xref="S3.SS1.p2.6.m1.8.8.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.SS1.p2.6.m1.6.6" mathvariant="normal" xref="S3.SS1.p2.6.m1.6.6.cmml">…</mi><mo id="S3.SS1.p2.6.m1.8.8.2.2.2.5" xref="S3.SS1.p2.6.m1.8.8.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S3.SS1.p2.6.m1.8.8.2.2.2.2" xref="S3.SS1.p2.6.m1.8.8.2.2.2.2.cmml"><msup id="S3.SS1.p2.6.m1.8.8.2.2.2.2.2" xref="S3.SS1.p2.6.m1.8.8.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.6.m1.8.8.2.2.2.2.2.2" xref="S3.SS1.p2.6.m1.8.8.2.2.2.2.2.2.cmml">𝐜</mi><mrow id="S3.SS1.p2.6.m1.2.2.1" xref="S3.SS1.p2.6.m1.2.2.1.cmml"><mrow id="S3.SS1.p2.6.m1.2.2.1.3.2" xref="S3.SS1.p2.6.m1.2.2.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p2.6.m1.2.2.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.6.m1.2.2.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS1.p2.6.m1.2.2.1.1" xref="S3.SS1.p2.6.m1.2.2.1.1.cmml">N</mi><mo id="S3.SS1.p2.6.m1.2.2.1.3.2.2" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.6.m1.2.2.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.SS1.p2.6.m1.2.2.1.4" xref="S3.SS1.p2.6.m1.2.2.1.4.cmml">⊺</mo></mrow></msup><mo id="S3.SS1.p2.6.m1.8.8.2.2.2.2.1" xref="S3.SS1.p2.6.m1.8.8.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p2.6.m1.8.8.2.2.2.2.3.2" xref="S3.SS1.p2.6.m1.8.8.2.2.2.2.cmml"><mo id="S3.SS1.p2.6.m1.8.8.2.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.6.m1.8.8.2.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S3.SS1.p2.6.m1.5.5" xref="S3.SS1.p2.6.m1.5.5.cmml">Q</mi><mo id="S3.SS1.p2.6.m1.8.8.2.2.2.2.3.2.2" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.6.m1.8.8.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS1.p2.6.m1.8.8.2.2.2.6" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.6.m1.8.8.2.2.3.cmml">]</mo></mrow><mo id="S3.SS1.p2.6.m1.8.8.2.4" xref="S3.SS1.p2.6.m1.8.8.2.4.cmml">⊺</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.6.m1.8b"><apply id="S3.SS1.p2.6.m1.8.8.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m1.8.8"><ci id="S3.SS1.p2.6.m1.8.8.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m1.8.8.3">≔</ci><apply id="S3.SS1.p2.6.m1.8.8.4.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m1.8.8.4"><times id="S3.SS1.p2.6.m1.8.8.4.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m1.8.8.4.1"></times><apply id="S3.SS1.p2.6.m1.8.8.4.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m1.8.8.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.6.m1.8.8.4.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m1.8.8.4.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p2.6.m1.8.8.4.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m1.8.8.4.2.2">𝐜</ci><ci id="S3.SS1.p2.6.m1.8.8.4.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m1.8.8.4.2.3">𝒩</ci></apply><ci id="S3.SS1.p2.6.m1.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m1.3.3">𝑄</ci></apply><apply id="S3.SS1.p2.6.m1.8.8.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m1.8.8.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.6.m1.8.8.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m1.8.8.2">superscript</csymbol><list id="S3.SS1.p2.6.m1.8.8.2.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m1.8.8.2.2.2"><apply id="S3.SS1.p2.6.m1.7.7.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m1.7.7.1.1.1.1"><times id="S3.SS1.p2.6.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m1.7.7.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.SS1.p2.6.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m1.7.7.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.6.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m1.7.7.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p2.6.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m1.7.7.1.1.1.1.2.2">𝐜</ci><apply id="S3.SS1.p2.6.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS1.p2.6.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m1.1.1.1">limit-from</csymbol><cn id="S3.SS1.p2.6.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p2.6.m1.1.1.1.1">1</cn><ci id="S3.SS1.p2.6.m1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m1.1.1.1.4">⊺</ci></apply></apply><ci id="S3.SS1.p2.6.m1.4.4.cmml" 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id="S3.SS1.p2.6.m1.8.8.2.4.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m1.8.8.2.4">⊺</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.6.m1.8c">\mathbf{c}_{\mathcal{N}}(Q)\coloneqq[\,\mathbf{c}^{(1)\intercal}(Q),\ldots,% \mathbf{c}^{(N)\intercal}(Q)\,]^{\intercal}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.6.m1.8d">bold_c start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT ( italic_Q ) ≔ [ bold_c start_POSTSUPERSCRIPT ( 1 ) ⊺ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_Q ) , … , bold_c start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_N ) ⊺ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_Q ) ] start_POSTSUPERSCRIPT ⊺ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="\mathbf{K}_{\mathcal{N}}\coloneqq\mathbf{\Phi}_{\mathcal{N}}^{\intercal}% \mathbf{\Phi}_{\mathcal{N}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.7.m2.1"><semantics id="S3.SS1.p2.7.m2.1a"><mrow id="S3.SS1.p2.7.m2.1.1" xref="S3.SS1.p2.7.m2.1.1.cmml"><msub id="S3.SS1.p2.7.m2.1.1.2" xref="S3.SS1.p2.7.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.7.m2.1.1.2.2" xref="S3.SS1.p2.7.m2.1.1.2.2.cmml">𝐊</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS1.p2.7.m2.1.1.2.3" xref="S3.SS1.p2.7.m2.1.1.2.3.cmml">𝒩</mi></msub><mo id="S3.SS1.p2.7.m2.1.1.1" xref="S3.SS1.p2.7.m2.1.1.1.cmml">≔</mo><mrow id="S3.SS1.p2.7.m2.1.1.3" xref="S3.SS1.p2.7.m2.1.1.3.cmml"><msubsup id="S3.SS1.p2.7.m2.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p2.7.m2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.7.m2.1.1.3.2.2.2" xref="S3.SS1.p2.7.m2.1.1.3.2.2.2.cmml">𝚽</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS1.p2.7.m2.1.1.3.2.2.3" xref="S3.SS1.p2.7.m2.1.1.3.2.2.3.cmml">𝒩</mi><mo id="S3.SS1.p2.7.m2.1.1.3.2.3" xref="S3.SS1.p2.7.m2.1.1.3.2.3.cmml">⊺</mo></msubsup><mo id="S3.SS1.p2.7.m2.1.1.3.1" xref="S3.SS1.p2.7.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.SS1.p2.7.m2.1.1.3.3" xref="S3.SS1.p2.7.m2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.7.m2.1.1.3.3.2" xref="S3.SS1.p2.7.m2.1.1.3.3.2.cmml">𝚽</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS1.p2.7.m2.1.1.3.3.3" xref="S3.SS1.p2.7.m2.1.1.3.3.3.cmml">𝒩</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.7.m2.1b"><apply id="S3.SS1.p2.7.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.7.m2.1.1"><ci id="S3.SS1.p2.7.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.7.m2.1.1.1">≔</ci><apply id="S3.SS1.p2.7.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.7.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.7.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.7.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p2.7.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.7.m2.1.1.2.2">𝐊</ci><ci id="S3.SS1.p2.7.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.7.m2.1.1.2.3">𝒩</ci></apply><apply id="S3.SS1.p2.7.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.7.m2.1.1.3"><times id="S3.SS1.p2.7.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.7.m2.1.1.3.1"></times><apply id="S3.SS1.p2.7.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.7.m2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.7.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.7.m2.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="S3.SS1.p2.7.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.7.m2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.7.m2.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.7.m2.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p2.7.m2.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.7.m2.1.1.3.2.2.2">𝚽</ci><ci id="S3.SS1.p2.7.m2.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.7.m2.1.1.3.2.2.3">𝒩</ci></apply><ci id="S3.SS1.p2.7.m2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.7.m2.1.1.3.2.3">⊺</ci></apply><apply id="S3.SS1.p2.7.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.7.m2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.7.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.7.m2.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p2.7.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.7.m2.1.1.3.3.2">𝚽</ci><ci id="S3.SS1.p2.7.m2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.7.m2.1.1.3.3.3">𝒩</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.7.m2.1c">\mathbf{K}_{\mathcal{N}}\coloneqq\mathbf{\Phi}_{\mathcal{N}}^{\intercal}% \mathbf{\Phi}_{\mathcal{N}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.7.m2.1d">bold_K start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT ≔ bold_Φ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⊺ end_POSTSUPERSCRIPT bold_Φ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, and where <math alttext="(\,\mathbf{\Phi}_{\mathcal{N}}\mathbf{\Phi}_{\mathcal{N}}^{\intercal}+\sigma% \operatorname{Id}\,)^{-1}\mathbf{\Phi}_{\mathcal{N}}=\mathbf{\Phi}_{\mathcal{N% }}(\,\mathbf{\Phi}_{\mathcal{N}}^{\intercal}\mathbf{\Phi}_{\mathcal{N}}+\sigma% \operatorname{Id}\,)^{-1}=\mathbf{\Phi}_{\mathcal{N}}(\,\mathbf{K}_{\mathcal{N% }}+\sigma\operatorname{Id}\,)^{-1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.8.m3.3"><semantics id="S3.SS1.p2.8.m3.3a"><mrow id="S3.SS1.p2.8.m3.3.3" xref="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.cmml"><mrow id="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1" xref="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.cmml"><msup id="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.1.1.2" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">𝚽</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">𝒩</mi></msub><mo id="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">𝚽</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">𝒩</mi><mo id="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">⊺</mo></msubsup></mrow><mo id="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">σ</mi><mo id="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.1" lspace="0.167em" xref="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">Id</mi></mrow></mrow><mo id="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.1.1.3" lspace="0.170em" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.3a" xref="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.3.2.cmml">𝚽</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.3.3" xref="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.3.3.cmml">𝒩</mi></msub></mrow><mo id="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.5" xref="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.5.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2" xref="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.cmml"><msub id="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.3" xref="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.3.2" xref="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.3.2.cmml">𝚽</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.3.3" xref="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.3.3.cmml">𝒩</mi></msub><mo id="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.2" xref="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><msup id="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1" xref="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.cmml"><mrow id="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.1.1" xref="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.1.1.2" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><msubsup id="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">𝚽</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">𝒩</mi><mo id="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.1.1.1.2.2.3.cmml">⊺</mo></msubsup><mo id="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.1.1.1.2.1" xref="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml">𝚽</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.1.1.1.2.3.3.cmml">𝒩</mi></msub></mrow><mo id="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">σ</mi><mo id="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.1.1.1.3.1" lspace="0.167em" xref="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">Id</mi></mrow></mrow><mo id="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.1.1.3" lspace="0.170em" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.3" xref="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.3.cmml"><mo id="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.3a" xref="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.3.cmml">−</mo><mn id="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.3.2" xref="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow><mo id="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.6" xref="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.6.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3" xref="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.cmml"><msub id="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.3" xref="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.3.2" xref="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.3.2.cmml">𝚽</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.3.3" xref="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.3.3.cmml">𝒩</mi></msub><mo id="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.2" xref="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.2.cmml">⁢</mo><msup id="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.1" xref="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.1.cmml"><mrow id="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.1.1.1" xref="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.1.1.1.2" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.1.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐊</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml">𝒩</mi></msub><mo id="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.1.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">σ</mi><mo id="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.1.1.1.1.3.1" lspace="0.167em" xref="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml">Id</mi></mrow></mrow><mo id="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.1.1.1.3" lspace="0.170em" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.1.3" xref="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.1.3.cmml"><mo id="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.1.3a" xref="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.1.3.cmml">−</mo><mn id="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.1.3.2" xref="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.8.m3.3b"><apply id="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.3.3"><and id="S3.SS1.p2.8.m3.3.3a.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.3.3"></and><apply id="S3.SS1.p2.8.m3.3.3b.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.3.3"><eq id="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.5.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.5"></eq><apply id="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1"><times id="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.2"></times><apply id="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.1.1"><plus id="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝚽</ci><ci id="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝒩</ci></apply><apply id="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2">𝚽</ci><ci id="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3">𝒩</ci></apply><ci id="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">⊺</ci></apply></apply><apply id="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜎</ci><ci id="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.3">Id</ci></apply></apply><apply id="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.3"><minus id="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.3"></minus><cn id="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.3.2">𝚽</ci><ci id="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.1.1.1.3.3">𝒩</ci></apply></apply><apply id="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2"><times id="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.2"></times><apply id="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.3.2">𝚽</ci><ci id="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.3.3">𝒩</ci></apply><apply id="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1">superscript</csymbol><apply id="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.1.1"><plus id="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.1.1.1.2"><times id="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2">𝚽</ci><ci id="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.3">𝒩</ci></apply><ci id="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.1.1.1.2.2.3">⊺</ci></apply><apply id="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.1.1.1.2.3.2">𝚽</ci><ci id="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.1.1.1.2.3.3">𝒩</ci></apply></apply><apply id="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.1.1.1.3"><times id="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.1.1.1.3.2">𝜎</ci><ci id="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.1.1.1.3.3">Id</ci></apply></apply><apply id="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.3"><minus id="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.3"></minus><cn id="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.1.3.2">1</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.SS1.p2.8.m3.3.3c.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.3.3"><eq id="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.6.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.6"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.SS1.p2.8.m3.2.2.2.cmml" id="S3.SS1.p2.8.m3.3.3d.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.3.3"></share><apply id="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3"><times id="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.2"></times><apply id="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.3.2">𝚽</ci><ci id="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.3.3">𝒩</ci></apply><apply id="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.1">superscript</csymbol><apply id="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.1.1.1"><plus id="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.1.1.1.1.2.2">𝐊</ci><ci id="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.1.1.1.1.2.3">𝒩</ci></apply><apply id="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.1.1.1.1.3"><times id="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.1.1.1.1.3.2">𝜎</ci><ci id="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.1.1.1.1.3.3">Id</ci></apply></apply><apply id="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.1.3"><minus id="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.1.3"></minus><cn id="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p2.8.m3.3.3.3.1.3.2">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.8.m3.3c">(\,\mathbf{\Phi}_{\mathcal{N}}\mathbf{\Phi}_{\mathcal{N}}^{\intercal}+\sigma% \operatorname{Id}\,)^{-1}\mathbf{\Phi}_{\mathcal{N}}=\mathbf{\Phi}_{\mathcal{N% }}(\,\mathbf{\Phi}_{\mathcal{N}}^{\intercal}\mathbf{\Phi}_{\mathcal{N}}+\sigma% \operatorname{Id}\,)^{-1}=\mathbf{\Phi}_{\mathcal{N}}(\,\mathbf{K}_{\mathcal{N% }}+\sigma\operatorname{Id}\,)^{-1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.8.m3.3d">( bold_Φ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT bold_Φ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⊺ end_POSTSUPERSCRIPT + italic_σ roman_Id ) start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT bold_Φ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT = bold_Φ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT ( bold_Φ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⊺ end_POSTSUPERSCRIPT bold_Φ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT + italic_σ roman_Id ) start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT = bold_Φ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT ( bold_K start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT + italic_σ roman_Id ) start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> can be easily verified.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S3.SS2"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection"><span class="ltx_text" id="S3.SS2.5.1.1">III-B</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.SS2.6.2">Distributing the centralized B-Map</span> </h3> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p1.1">In the absence of a centralized fusion center (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S2.I1.i1" title="In Assumptions 1. ‣ II-B General assumptions for the decentralized setting ‣ II Distributed Reinforcement Learning ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Assumption</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">1(i)</span></a>), the computation of <math alttext="T_{\star}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p1.1.m1.1a"><msub id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.cmml">⋆</mo></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.2">𝑇</ci><ci id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3">⋆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p1.1.m1.1c">T_{\star}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p1.1.m1.1d">italic_T start_POSTSUBSCRIPT ⋆ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E6" title="Equation 6 ‣ III-A The centralized (star-topology) B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6</span></a>) is infeasible. Consequently, the following bottlenecks should be surmounted.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_bottlenecks" id="Thmthm2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmthm2.1.1.1">Bottlenecks 2</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmthm2.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmthm2.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmthm2.p1.1"><span class="ltx_text" id="Thmthm2.p1.1.1"></span></p> <ol class="ltx_enumerate" id="S3.I1"> <li class="ltx_item" id="S3.I1.i1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.I1.i1.1.1.1">(i)</span></span> <div class="ltx_para" id="S3.I1.i1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I1.i1.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.I1.i1.p1.2.1">(Q-function consensus)</span> Run a consensus-based distributed algorithm across <math alttext="\mathcal{G}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.cmml">𝒢</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1b"><ci id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1">𝒢</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1c">\mathcal{G}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1d">caligraphic_G</annotation></semantics></math> to approximate the centralized computation of <math alttext="\sum_{n\in\mathcal{N}}\mathbf{\Psi}_{\star}^{(n)}\,\mathbf{c}^{(n)}(\cdot)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i1.p1.2.m2.3"><semantics id="S3.I1.i1.p1.2.m2.3a"><mrow id="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.cmml"><msub id="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.1" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.1.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.1.2" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.1.3" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.1.3.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.1.3.2" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.1.3.2.cmml">n</mi><mo id="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.1.3.1" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.1.3.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.1.3.3" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.1.3.3.cmml">𝒩</mi></mrow></msub><mrow id="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.2" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.2.cmml"><msubsup id="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.2.2" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.2.2.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.2.2.2.2" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.2.2.2.2.cmml">𝚿</mi><mo id="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.2.2.2.3" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.2.2.2.3.cmml">⋆</mo><mrow id="S3.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.3" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.2.2.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.2.2.cmml">(</mo><mi id="S3.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.2.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.2.1" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.2.3" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.2.3.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.2.3.2" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.2.3.2.cmml">𝐜</mi><mrow id="S3.I1.i1.p1.2.m2.2.2.1.3" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.2.3.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p1.2.m2.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.2.3.cmml">(</mo><mi id="S3.I1.i1.p1.2.m2.2.2.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.2.2.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.I1.i1.p1.2.m2.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.2.3.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.2.1a" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.2.4.2" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.2.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.2.cmml">(</mo><mo id="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.3" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.3.cmml">⋅</mo><mo id="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.2.4.2.2" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i1.p1.2.m2.3b"><apply id="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4"><apply id="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.1">subscript</csymbol><sum id="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.1.2"></sum><apply id="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.1.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.1.3"><in id="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.1.3.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.1.3.1"></in><ci id="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.1.3.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.1.3.2">𝑛</ci><ci id="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.1.3.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.1.3.3">𝒩</ci></apply></apply><apply id="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.2"><times id="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.2.1"></times><apply id="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.2.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.2.2.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.2.2.2.2">𝚿</ci><ci id="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.2.2.2.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.2.2.2.3">⋆</ci></apply><ci id="S3.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.2.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.2.3.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.2.3.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.4.2.3.2">𝐜</ci><ci id="S3.I1.i1.p1.2.m2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.2.2.1.1">𝑛</ci></apply><ci id="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.3.3">⋅</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i1.p1.2.m2.3c">\sum_{n\in\mathcal{N}}\mathbf{\Psi}_{\star}^{(n)}\,\mathbf{c}^{(n)}(\cdot)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i1.p1.2.m2.3d">∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n ∈ caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT bold_Ψ start_POSTSUBSCRIPT ⋆ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT bold_c start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ( ⋅ )</annotation></semantics></math> in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E6" title="Equation 6 ‣ III-A The centralized (star-topology) B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6</span></a>).</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S3.I1.i2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.I1.i2.1.1.1">(ii)</span></span> <div class="ltx_para" id="S3.I1.i2.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I1.i2.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.I1.i2.p1.2.1">(Covariance-matrix consensus)</span> Run a consensus-based distributed algorithm across <math alttext="\mathcal{G}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i2.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.I1.i2.p1.1.m1.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.I1.i2.p1.1.m1.1.1" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.1.1.cmml">𝒢</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i2.p1.1.m1.1b"><ci id="S3.I1.i2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.1.1">𝒢</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i2.p1.1.m1.1c">\mathcal{G}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i2.p1.1.m1.1d">caligraphic_G</annotation></semantics></math> to approximate the network-wide covariance operator (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E7.4" title="Equation 7d ‣ Equation 7 ‣ III-A The centralized (star-topology) B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7d</span></a>), needed to define <math alttext="\mathbf{\Psi}_{\star}^{(n)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1a"><msubsup id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.2" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.2.cmml"><mi id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.2.2.2" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.2.2.2.cmml">𝚿</mi><mo id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.2.2.3" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.2.2.3.cmml">⋆</mo><mrow id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.3" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.2.cmml"><mo id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1b"><apply id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.2.2.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.2.2.2">𝚿</ci><ci id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.2.2.3.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.2.2.3">⋆</ci></apply><ci id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1c">\mathbf{\Psi}_{\star}^{(n)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1d">bold_Ψ start_POSTSUBSCRIPT ⋆ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E7.2" title="Equation 7b ‣ Equation 7 ‣ III-A The centralized (star-topology) B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7b</span></a>).</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S3.I1.i3" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.I1.i3.1.1.1">(iii)</span></span> <div class="ltx_para" id="S3.I1.i3.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I1.i3.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.I1.i3.p1.1.1">(Curse of dimensionality)</span> Due to the possible infinite dimensionality of <math alttext="\mathcal{H}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i3.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.I1.i3.p1.1.m1.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.I1.i3.p1.1.m1.1.1" xref="S3.I1.i3.p1.1.m1.1.1.cmml">ℋ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i3.p1.1.m1.1b"><ci id="S3.I1.i3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i3.p1.1.m1.1.1">ℋ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i3.p1.1.m1.1c">\mathcal{H}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i3.p1.1.m1.1d">caligraphic_H</annotation></semantics></math>, addressing <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.I1.i1" title="In Bottlenecks 2. ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Bottlenecks</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">2(i)</span></a> and <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.I1.i2" title="Bottleneck 2(ii) ‣ Bottlenecks 2. ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2(ii)</span></a> requires sharing high- or even infinite-dimensional objects, such as Q-functions and covariance operators, posing significant challenges to communication bandwidth constraints.</p> </div> </li> </ol> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p2.1">To surmount <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#Thmthm2" title="Bottlenecks 2. ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Bottlenecks</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>, define first the following <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.SS2.p2.1.1">nodal</span> B-Maps: <math alttext="T^{(n)}\colon\mathcal{H}\to\mathcal{H}\colon Q\mapsto T^{(n)}(Q)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.1.m1.3"><semantics id="S3.SS2.p2.1.m1.3a"><mrow id="S3.SS2.p2.1.m1.3.4" xref="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.cmml"><msup id="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.2" xref="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.2.2" xref="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.2.2.cmml">T</mi><mrow id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.2.cmml"><mo id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.2.cmml">(</mo><mi id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.3" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.3.cmml">:</mo><mrow id="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.4" xref="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.4.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.4.2" xref="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.4.2.cmml">ℋ</mi><mo id="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.4.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.4.1.cmml">→</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.4.3" xref="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.4.3.cmml">ℋ</mi></mrow><mo id="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.5" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.5.cmml">:</mo><mrow id="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.6" xref="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.6.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.6.2" xref="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.6.2.cmml">Q</mi><mo id="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.6.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.6.1.cmml">↦</mo><mrow id="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.6.3" xref="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.6.3.cmml"><msup id="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.6.3.2" xref="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.6.3.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.6.3.2.2" xref="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.6.3.2.2.cmml">T</mi><mrow id="S3.SS2.p2.1.m1.2.2.1.3" xref="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.6.3.2.cmml"><mo id="S3.SS2.p2.1.m1.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.6.3.2.cmml">(</mo><mi id="S3.SS2.p2.1.m1.2.2.1.1" xref="S3.SS2.p2.1.m1.2.2.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.SS2.p2.1.m1.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.6.3.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.6.3.1" xref="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.6.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.6.3.3.2" xref="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.6.3.cmml"><mo id="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.6.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.6.3.cmml">(</mo><mi id="S3.SS2.p2.1.m1.3.3" xref="S3.SS2.p2.1.m1.3.3.cmml">Q</mi><mo id="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.6.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.6.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.1.m1.3b"><apply id="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.3.4"><and id="S3.SS2.p2.1.m1.3.4a.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.3.4"></and><apply id="S3.SS2.p2.1.m1.3.4b.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.3.4"><ci id="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.3">:</ci><apply id="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.2.2">𝑇</ci><ci id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.4.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.4"><ci id="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.4.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.4.1">→</ci><ci id="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.4.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.4.2">ℋ</ci><ci id="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.4.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.4.3">ℋ</ci></apply></apply><apply id="S3.SS2.p2.1.m1.3.4c.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.3.4"><ci id="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.5.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.5">:</ci><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.SS2.p2.1.m1.3.4.4.cmml" id="S3.SS2.p2.1.m1.3.4d.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.3.4"></share><apply id="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.6.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.6"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.6.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.6.1">maps-to</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.6.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.6.2">𝑄</ci><apply id="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.6.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.6.3"><times id="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.6.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.6.3.1"></times><apply id="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.6.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.6.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.6.3.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.6.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.6.3.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.3.4.6.3.2.2">𝑇</ci><ci id="S3.SS2.p2.1.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.2.2.1.1">𝑛</ci></apply><ci id="S3.SS2.p2.1.m1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.3.3">𝑄</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.1.m1.3c">T^{(n)}\colon\mathcal{H}\to\mathcal{H}\colon Q\mapsto T^{(n)}(Q)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.1.m1.3d">italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT : caligraphic_H → caligraphic_H : italic_Q ↦ italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_Q )</annotation></semantics></math> with</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A0.EGx12"> <tbody id="S3.Ex6a"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle T^{(n)}(Q)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex6a.m1.2"><semantics id="S3.Ex6a.m1.2a"><mrow id="S3.Ex6a.m1.2.3" xref="S3.Ex6a.m1.2.3.cmml"><msup id="S3.Ex6a.m1.2.3.2" xref="S3.Ex6a.m1.2.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex6a.m1.2.3.2.2" xref="S3.Ex6a.m1.2.3.2.2.cmml">T</mi><mrow id="S3.Ex6a.m1.1.1.1.3" xref="S3.Ex6a.m1.2.3.2.cmml"><mo id="S3.Ex6a.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.Ex6a.m1.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex6a.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex6a.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.Ex6a.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.Ex6a.m1.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.Ex6a.m1.2.3.1" xref="S3.Ex6a.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex6a.m1.2.3.3.2" xref="S3.Ex6a.m1.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex6a.m1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex6a.m1.2.3.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex6a.m1.2.2" xref="S3.Ex6a.m1.2.2.cmml">Q</mi><mo id="S3.Ex6a.m1.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex6a.m1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex6a.m1.2b"><apply id="S3.Ex6a.m1.2.3.cmml" xref="S3.Ex6a.m1.2.3"><times id="S3.Ex6a.m1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex6a.m1.2.3.1"></times><apply id="S3.Ex6a.m1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex6a.m1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6a.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex6a.m1.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex6a.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex6a.m1.2.3.2.2">𝑇</ci><ci id="S3.Ex6a.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex6a.m1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><ci id="S3.Ex6a.m1.2.2.cmml" xref="S3.Ex6a.m1.2.2">𝑄</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex6a.m1.2c">\displaystyle T^{(n)}(Q)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex6a.m1.2d">italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_Q )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\coloneqq\sum_{i=1}^{N_{\textnormal{av}}^{(n)}}[\,g_{i}^{(n)}+% \alpha\inf_{a_{i}^{(n)\prime}\in\mathcal{A}}Q(\mathbf{s}_{i}^{(n)\prime},a_{i}% ^{(n)\prime})\,]\,\psi_{i}^{(n)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex6a.m2.13"><semantics id="S3.Ex6a.m2.13a"><mrow id="S3.Ex6a.m2.13.13" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.cmml"><mi id="S3.Ex6a.m2.13.13.3" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.3.cmml"></mi><mo id="S3.Ex6a.m2.13.13.2" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.2.cmml">≔</mo><mrow id="S3.Ex6a.m2.13.13.1" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.2" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.2.cmml"><munderover id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.2a" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.2.2.3" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.2.2.3.2" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.2.2.3.1" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.2.2.3.3" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msubsup id="S3.Ex6a.m2.1.1.1" xref="S3.Ex6a.m2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex6a.m2.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex6a.m2.1.1.1.3.2.cmml">N</mi><mtext id="S3.Ex6a.m2.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex6a.m2.1.1.1.3.3a.cmml">av</mtext><mrow id="S3.Ex6a.m2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex6a.m2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex6a.m2.1.1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.Ex6a.m2.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex6a.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex6a.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.Ex6a.m2.1.1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.Ex6a.m2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup></munderover></mstyle><mrow id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.2" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">g</mi><mi id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.4.2.3" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">i</mi><mrow id="S3.Ex6a.m2.2.2.1.3" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.4.cmml"><mo id="S3.Ex6a.m2.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.4.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex6a.m2.2.2.1.1" xref="S3.Ex6a.m2.2.2.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.Ex6a.m2.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.4.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.3.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.2.4" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.2.4.cmml">α</mi><mo id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.2.3" lspace="0.167em" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><munder id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.2.2.3.2" movablelimits="false" rspace="0.167em" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">inf</mo><mrow id="S3.Ex6a.m2.5.5.3" xref="S3.Ex6a.m2.5.5.3.cmml"><msubsup id="S3.Ex6a.m2.5.5.3.5" xref="S3.Ex6a.m2.5.5.3.5.cmml"><mi id="S3.Ex6a.m2.5.5.3.5.2.2" xref="S3.Ex6a.m2.5.5.3.5.2.2.cmml">a</mi><mi id="S3.Ex6a.m2.5.5.3.5.2.3" xref="S3.Ex6a.m2.5.5.3.5.2.3.cmml">i</mi><mrow id="S3.Ex6a.m2.5.5.3.3.3.3" xref="S3.Ex6a.m2.5.5.3.3.3.4.cmml"><mrow id="S3.Ex6a.m2.4.4.2.2.2.2.1.2" xref="S3.Ex6a.m2.5.5.3.3.3.4.cmml"><mo id="S3.Ex6a.m2.4.4.2.2.2.2.1.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex6a.m2.5.5.3.3.3.4.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex6a.m2.3.3.1.1.1.1" xref="S3.Ex6a.m2.3.3.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.Ex6a.m2.4.4.2.2.2.2.1.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex6a.m2.5.5.3.3.3.4.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex6a.m2.5.5.3.3.3.3.3" lspace="0em" xref="S3.Ex6a.m2.5.5.3.3.3.4.cmml">⁣</mo><mo id="S3.Ex6a.m2.5.5.3.3.3.3.2" mathsize="200%" xref="S3.Ex6a.m2.5.5.3.3.3.3.2.cmml">′</mo></mrow></msubsup><mo id="S3.Ex6a.m2.5.5.3.4" xref="S3.Ex6a.m2.5.5.3.4.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Ex6a.m2.5.5.3.6" xref="S3.Ex6a.m2.5.5.3.6.cmml">𝒜</mi></mrow></munder><mrow id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.2.2.2.4" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.2.2.2.4.cmml">Q</mi><mo id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><msubsup id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐬</mi><mi id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi><mrow id="S3.Ex6a.m2.8.8.3.3" xref="S3.Ex6a.m2.8.8.3.4.cmml"><mrow id="S3.Ex6a.m2.7.7.2.2.1.2" xref="S3.Ex6a.m2.8.8.3.4.cmml"><mo id="S3.Ex6a.m2.7.7.2.2.1.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex6a.m2.8.8.3.4.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex6a.m2.6.6.1.1" xref="S3.Ex6a.m2.6.6.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.Ex6a.m2.7.7.2.2.1.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex6a.m2.8.8.3.4.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex6a.m2.8.8.3.3.3" lspace="0em" xref="S3.Ex6a.m2.8.8.3.4.cmml">⁣</mo><mo id="S3.Ex6a.m2.8.8.3.3.2" mathsize="142%" xref="S3.Ex6a.m2.8.8.3.3.2.cmml">′</mo></mrow></msubsup><mo id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.4" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><msubsup id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">a</mi><mi id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">i</mi><mrow id="S3.Ex6a.m2.11.11.3.3" xref="S3.Ex6a.m2.11.11.3.4.cmml"><mrow id="S3.Ex6a.m2.10.10.2.2.1.2" xref="S3.Ex6a.m2.11.11.3.4.cmml"><mo id="S3.Ex6a.m2.10.10.2.2.1.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex6a.m2.11.11.3.4.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex6a.m2.9.9.1.1" xref="S3.Ex6a.m2.9.9.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.Ex6a.m2.10.10.2.2.1.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex6a.m2.11.11.3.4.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex6a.m2.11.11.3.3.3" lspace="0em" xref="S3.Ex6a.m2.11.11.3.4.cmml">⁣</mo><mo id="S3.Ex6a.m2.11.11.3.3.2" mathsize="142%" xref="S3.Ex6a.m2.11.11.3.3.2.cmml">′</mo></mrow></msubsup><mo id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.5" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.2" lspace="0.170em" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.3" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.3.2.2.cmml">ψ</mi><mi id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.3.2.3.cmml">i</mi><mrow id="S3.Ex6a.m2.12.12.1.3" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.3.cmml"><mo id="S3.Ex6a.m2.12.12.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex6a.m2.12.12.1.1" xref="S3.Ex6a.m2.12.12.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.Ex6a.m2.12.12.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex6a.m2.13b"><apply id="S3.Ex6a.m2.13.13.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.13.13"><ci id="S3.Ex6a.m2.13.13.2.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.2">≔</ci><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex6a.m2.13.13.3.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.3">absent</csymbol><apply id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1"><apply id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.2.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.2">subscript</csymbol><sum id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.2.2.2"></sum><apply id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.2.2.3"><eq id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.2.2.3.1"></eq><ci id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.2.2.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.Ex6a.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6a.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex6a.m2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6a.m2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex6a.m2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.1.1.1.3.2">𝑁</ci><ci id="S3.Ex6a.m2.1.1.1.3.3a.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.1.1.1.3.3"><mtext id="S3.Ex6a.m2.1.1.1.3.3.cmml" mathsize="50%" xref="S3.Ex6a.m2.1.1.1.3.3">av</mtext></ci></apply><ci id="S3.Ex6a.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.1.1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1"><times id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1"><plus id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.3"></plus><apply id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.4.2.2">𝑔</ci><ci id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.4.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S3.Ex6a.m2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.2.2.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.2"><times id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.2.3"></times><ci id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.2.4">𝛼</ci><apply id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.2.2"><apply id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.2.2.3.2">infimum</csymbol><apply id="S3.Ex6a.m2.5.5.3.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.5.5.3"><in id="S3.Ex6a.m2.5.5.3.4.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.5.5.3.4"></in><apply id="S3.Ex6a.m2.5.5.3.5.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.5.5.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6a.m2.5.5.3.5.1.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.5.5.3.5">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex6a.m2.5.5.3.5.2.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.5.5.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6a.m2.5.5.3.5.2.1.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.5.5.3.5">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex6a.m2.5.5.3.5.2.2.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.5.5.3.5.2.2">𝑎</ci><ci id="S3.Ex6a.m2.5.5.3.5.2.3.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.5.5.3.5.2.3">𝑖</ci></apply><list id="S3.Ex6a.m2.5.5.3.3.3.4.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.5.5.3.3.3.3"><ci id="S3.Ex6a.m2.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.3.3.1.1.1.1">𝑛</ci><ci id="S3.Ex6a.m2.5.5.3.3.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.5.5.3.3.3.3.2">′</ci></list></apply><ci id="S3.Ex6a.m2.5.5.3.6.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.5.5.3.6">𝒜</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.2.2.2"><times id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.2.2.2.3"></times><ci id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.2.2.2.4.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.2.2.2.4">𝑄</ci><interval closure="open" id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2"><apply id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐬</ci><ci id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><list id="S3.Ex6a.m2.8.8.3.4.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.8.8.3.3"><ci id="S3.Ex6a.m2.6.6.1.1.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.6.6.1.1">𝑛</ci><ci id="S3.Ex6a.m2.8.8.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.8.8.3.3.2">′</ci></list></apply><apply id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2">𝑎</ci><ci id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3">𝑖</ci></apply><list id="S3.Ex6a.m2.11.11.3.4.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.11.11.3.3"><ci id="S3.Ex6a.m2.9.9.1.1.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.9.9.1.1">𝑛</ci><ci id="S3.Ex6a.m2.11.11.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.11.11.3.3.2">′</ci></list></apply></interval></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.3.2.2">𝜓</ci><ci id="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.13.13.1.1.3.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S3.Ex6a.m2.12.12.1.1.cmml" xref="S3.Ex6a.m2.12.12.1.1">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex6a.m2.13c">\displaystyle\coloneqq\sum_{i=1}^{N_{\textnormal{av}}^{(n)}}[\,g_{i}^{(n)}+% \alpha\inf_{a_{i}^{(n)\prime}\in\mathcal{A}}Q(\mathbf{s}_{i}^{(n)\prime},a_{i}% ^{(n)\prime})\,]\,\psi_{i}^{(n)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex6a.m2.13d">≔ ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N start_POSTSUBSCRIPT av end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT + italic_α roman_inf start_POSTSUBSCRIPT italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ caligraphic_A end_POSTSUBSCRIPT italic_Q ( bold_s start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) ] italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.E9"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\mathbf{\Psi}^{(n)}\,\mathbf{c}^{(n)}(Q)\,," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E9.m1.4"><semantics id="S3.E9.m1.4a"><mrow id="S3.E9.m1.4.4.1" xref="S3.E9.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S3.E9.m1.4.4.1.1" xref="S3.E9.m1.4.4.1.1.cmml"><mi id="S3.E9.m1.4.4.1.1.2" xref="S3.E9.m1.4.4.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S3.E9.m1.4.4.1.1.1" xref="S3.E9.m1.4.4.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.E9.m1.4.4.1.1.3" xref="S3.E9.m1.4.4.1.1.3.cmml"><msup id="S3.E9.m1.4.4.1.1.3.2" xref="S3.E9.m1.4.4.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E9.m1.4.4.1.1.3.2.2" xref="S3.E9.m1.4.4.1.1.3.2.2.cmml">𝚿</mi><mrow id="S3.E9.m1.1.1.1.3" xref="S3.E9.m1.4.4.1.1.3.2.cmml"><mo id="S3.E9.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.E9.m1.4.4.1.1.3.2.cmml">(</mo><mi id="S3.E9.m1.1.1.1.1" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.E9.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.E9.m1.4.4.1.1.3.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.E9.m1.4.4.1.1.3.1" xref="S3.E9.m1.4.4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E9.m1.4.4.1.1.3.3" xref="S3.E9.m1.4.4.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E9.m1.4.4.1.1.3.3.2" xref="S3.E9.m1.4.4.1.1.3.3.2.cmml">𝐜</mi><mrow id="S3.E9.m1.2.2.1.3" xref="S3.E9.m1.4.4.1.1.3.3.cmml"><mo id="S3.E9.m1.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.E9.m1.4.4.1.1.3.3.cmml">(</mo><mi id="S3.E9.m1.2.2.1.1" xref="S3.E9.m1.2.2.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.E9.m1.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.E9.m1.4.4.1.1.3.3.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.E9.m1.4.4.1.1.3.1a" xref="S3.E9.m1.4.4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E9.m1.4.4.1.1.3.4.2" xref="S3.E9.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mo id="S3.E9.m1.4.4.1.1.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.E9.m1.4.4.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S3.E9.m1.3.3" xref="S3.E9.m1.3.3.cmml">Q</mi><mo id="S3.E9.m1.4.4.1.1.3.4.2.2" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S3.E9.m1.4.4.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E9.m1.4.4.1.2" xref="S3.E9.m1.4.4.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E9.m1.4b"><apply id="S3.E9.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S3.E9.m1.4.4.1"><eq id="S3.E9.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S3.E9.m1.4.4.1.1.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="S3.E9.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S3.E9.m1.4.4.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S3.E9.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S3.E9.m1.4.4.1.1.3"><times id="S3.E9.m1.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E9.m1.4.4.1.1.3.1"></times><apply id="S3.E9.m1.4.4.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E9.m1.4.4.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E9.m1.4.4.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E9.m1.4.4.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E9.m1.4.4.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E9.m1.4.4.1.1.3.2.2">𝚿</ci><ci id="S3.E9.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S3.E9.m1.4.4.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E9.m1.4.4.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E9.m1.4.4.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E9.m1.4.4.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E9.m1.4.4.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E9.m1.4.4.1.1.3.3.2">𝐜</ci><ci id="S3.E9.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E9.m1.2.2.1.1">𝑛</ci></apply><ci id="S3.E9.m1.3.3.cmml" xref="S3.E9.m1.3.3">𝑄</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E9.m1.4c">\displaystyle=\mathbf{\Psi}^{(n)}\,\mathbf{c}^{(n)}(Q)\,,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E9.m1.4d">= bold_Ψ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT bold_c start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_Q ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(9)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p2.8">where <math alttext="\mathbf{\Psi}^{(n)}\coloneqq[\psi_{1}^{(n)},\ldots,\psi_{N_{\textnormal{av}}^{% (n)}}^{(n)}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.2.m1.7"><semantics id="S3.SS2.p2.2.m1.7a"><mrow id="S3.SS2.p2.2.m1.7.7" xref="S3.SS2.p2.2.m1.7.7.cmml"><msup id="S3.SS2.p2.2.m1.7.7.4" xref="S3.SS2.p2.2.m1.7.7.4.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.2.m1.7.7.4.2" xref="S3.SS2.p2.2.m1.7.7.4.2.cmml">𝚿</mi><mrow id="S3.SS2.p2.2.m1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p2.2.m1.7.7.4.cmml"><mo id="S3.SS2.p2.2.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.2.m1.7.7.4.cmml">(</mo><mi id="S3.SS2.p2.2.m1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p2.2.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.SS2.p2.2.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.2.m1.7.7.4.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.SS2.p2.2.m1.7.7.3" xref="S3.SS2.p2.2.m1.7.7.3.cmml">≔</mo><mrow id="S3.SS2.p2.2.m1.7.7.2.2" xref="S3.SS2.p2.2.m1.7.7.2.3.cmml"><mo id="S3.SS2.p2.2.m1.7.7.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.2.m1.7.7.2.3.cmml">[</mo><msubsup id="S3.SS2.p2.2.m1.6.6.1.1.1" xref="S3.SS2.p2.2.m1.6.6.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.2.m1.6.6.1.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p2.2.m1.6.6.1.1.1.2.2.cmml">ψ</mi><mn id="S3.SS2.p2.2.m1.6.6.1.1.1.2.3" xref="S3.SS2.p2.2.m1.6.6.1.1.1.2.3.cmml">1</mn><mrow id="S3.SS2.p2.2.m1.2.2.1.3" xref="S3.SS2.p2.2.m1.6.6.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p2.2.m1.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.2.m1.6.6.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS2.p2.2.m1.2.2.1.1" xref="S3.SS2.p2.2.m1.2.2.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.SS2.p2.2.m1.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.2.m1.6.6.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S3.SS2.p2.2.m1.7.7.2.2.4" xref="S3.SS2.p2.2.m1.7.7.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.p2.2.m1.5.5" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p2.2.m1.5.5.cmml">…</mi><mo id="S3.SS2.p2.2.m1.7.7.2.2.5" xref="S3.SS2.p2.2.m1.7.7.2.3.cmml">,</mo><msubsup id="S3.SS2.p2.2.m1.7.7.2.2.2" xref="S3.SS2.p2.2.m1.7.7.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.2.m1.7.7.2.2.2.2.2" xref="S3.SS2.p2.2.m1.7.7.2.2.2.2.2.cmml">ψ</mi><msubsup id="S3.SS2.p2.2.m1.3.3.1" xref="S3.SS2.p2.2.m1.3.3.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.2.m1.3.3.1.3.2" xref="S3.SS2.p2.2.m1.3.3.1.3.2.cmml">N</mi><mtext id="S3.SS2.p2.2.m1.3.3.1.3.3" xref="S3.SS2.p2.2.m1.3.3.1.3.3a.cmml">av</mtext><mrow id="S3.SS2.p2.2.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p2.2.m1.3.3.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p2.2.m1.3.3.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.2.m1.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS2.p2.2.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p2.2.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.SS2.p2.2.m1.3.3.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.2.m1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mrow id="S3.SS2.p2.2.m1.4.4.1.3" xref="S3.SS2.p2.2.m1.7.7.2.2.2.cmml"><mo id="S3.SS2.p2.2.m1.4.4.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.2.m1.7.7.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S3.SS2.p2.2.m1.4.4.1.1" xref="S3.SS2.p2.2.m1.4.4.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.SS2.p2.2.m1.4.4.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.2.m1.7.7.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S3.SS2.p2.2.m1.7.7.2.2.6" stretchy="false" 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xref="S3.SS2.p2.3.m2.3.3.3.1"></in><ci id="S3.SS2.p2.3.m2.3.3.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.3.m2.3.3.3.2">𝑛</ci><ci id="S3.SS2.p2.3.m2.3.3.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.3.m2.3.3.3.3">𝒩</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.3.m2.3c">\{\{\psi_{i}^{(n)}\}_{i=1}^{N_{\textnormal{av}}^{(n)}}\}_{n\in\mathcal{N}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.3.m2.3d">{ { italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT } start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N start_POSTSUBSCRIPT av end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT } start_POSTSUBSCRIPT italic_n ∈ caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are user-defined functions in <math alttext="\mathcal{H}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.4.m3.1"><semantics id="S3.SS2.p2.4.m3.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS2.p2.4.m3.1.1" xref="S3.SS2.p2.4.m3.1.1.cmml">ℋ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.4.m3.1b"><ci id="S3.SS2.p2.4.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.4.m3.1.1">ℋ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.4.m3.1c">\mathcal{H}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.4.m3.1d">caligraphic_H</annotation></semantics></math>. Notice that since <math alttext="\mathcal{A}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.5.m4.1"><semantics id="S3.SS2.p2.5.m4.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS2.p2.5.m4.1.1" xref="S3.SS2.p2.5.m4.1.1.cmml">𝒜</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.5.m4.1b"><ci id="S3.SS2.p2.5.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.5.m4.1.1">𝒜</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.5.m4.1c">\mathcal{A}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.5.m4.1d">caligraphic_A</annotation></semantics></math> is finite according to <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S2.I1.i2" title="In Assumptions 1. ‣ II-B General assumptions for the decentralized setting ‣ II Distributed Reinforcement Learning ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Assumption</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">1(ii)</span></a>, the <math alttext="\inf" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.6.m5.1"><semantics id="S3.SS2.p2.6.m5.1a"><mo id="S3.SS2.p2.6.m5.1.1" xref="S3.SS2.p2.6.m5.1.1.cmml">inf</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.6.m5.1b"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.p2.6.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.6.m5.1.1">infimum</csymbol></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.6.m5.1c">\inf</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.6.m5.1d">roman_inf</annotation></semantics></math> in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E9" title="Equation 9 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">9</span></a>) becomes <math alttext="\min" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.7.m6.1"><semantics id="S3.SS2.p2.7.m6.1a"><mi id="S3.SS2.p2.7.m6.1.1" xref="S3.SS2.p2.7.m6.1.1.cmml">min</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.7.m6.1b"><min id="S3.SS2.p2.7.m6.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.7.m6.1.1"></min></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.7.m6.1c">\min</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.7.m6.1d">roman_min</annotation></semantics></math>. To facilitate notations, gather all nodal B-Maps into the following <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.SS2.p2.8.1">in-network</span> B-Map: <math alttext="\mathbf{T}\colon\mathbfcal{H}\to\mathbfcal{H}\colon\mathfrak{Q}=[Q^{(1)},% \ldots,Q^{(N)}]\mapsto\mathbf{T}(\mathfrak{Q})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.8.m7.1"><semantics id="S3.SS2.p2.8.m7.1a"><mrow id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.2" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.2.cmml">𝐓</mi><mo id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.3" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.3.cmml">:</mo><mrow id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.4" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.4.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.4.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.4.2.cmml">ℋ</mi><mo id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.4.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.4.1.cmml">→</mo><mi id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.4.3" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.4.3.cmml">ℋ</mi></mrow><mo id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.5" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.5.cmml">:</mo><mrow id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.cmml"><mrow id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.2.cmml">𝒬</mi><mo id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.1" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.3.cmml">ℑ</mi><mo id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.1a" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.4" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.4.cmml">∪</mi><mo id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.1b" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.5" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.5.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.5.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.5.2.cmml">𝒬</mi><mrow id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.5.3" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.5.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.5.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.5.3.2.cmml">⇐</mi><mo id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.5.3.1" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.5.3.3" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.5.3.3.cmml">∞</mi><mo id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.5.3.1a" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.5.3.4" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.5.3.4.cmml">⇒</mi></mrow></msup><mo id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.1c" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.6" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.6.cmml">⇔</mi><mo id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.1d" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.7" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.7.cmml">…</mi><mo id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.1e" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.8" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.8.cmml">⇔</mi><mo id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.1f" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.9" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.9.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.9.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.9.2.cmml">𝒬</mi><mrow id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.9.3" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.9.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.9.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.9.3.2.cmml">⇐</mi><mo id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.9.3.1" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.9.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.9.3.3" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.9.3.3.cmml">𝒩</mi><mo id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.9.3.1a" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.9.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.9.3.4" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.9.3.4.cmml">⇒</mi></mrow></msup><mo id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.1g" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.10" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.10.cmml">⊌</mi></mrow><mo id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.1.cmml">↦</mo><mrow id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.3" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.3.2.cmml">𝒯</mi><mo id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.3.1" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.3.3" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.3.3.cmml">⇐</mi><mo id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.3.1a" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.3.4" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.3.4.cmml">𝒬</mi><mo id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.3.1b" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.3.5" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.3.5.cmml">⇒</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.8.m7.1b"><apply id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1"><and id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1a.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1"></and><apply id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1b.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1"><ci id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.3">:</ci><ci id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.2">𝐓</ci><apply id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.4.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.4"><ci id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.4.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.4.1">→</ci><ci id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.4.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.4.2">ℋ</ci><ci id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.4.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.4.3">ℋ</ci></apply></apply><apply id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1c.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1"><ci id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.5.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.5">:</ci><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.SS2.p2.8.m7.1.1.4.cmml" id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1d.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1"></share><apply id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.1">maps-to</csymbol><apply id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2"><times id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.1"></times><ci id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.2">𝒬</ci><ci id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.3">ℑ</ci><ci id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.4.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.4">∪</ci><apply id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.5.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.5.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.5">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.5.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.5.2">𝒬</ci><apply id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.5.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.5.3"><times id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.5.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.5.3.1"></times><ci id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.5.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.5.3.2">⇐</ci><ci id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.5.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.5.3.3">∞</ci><ci id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.5.3.4.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.5.3.4">⇒</ci></apply></apply><ci id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.6.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.6">⇔</ci><ci id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.7.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.7">…</ci><ci id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.8.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.8">⇔</ci><apply id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.9.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.9"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.9.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.9">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.9.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.9.2">𝒬</ci><apply id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.9.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.9.3"><times id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.9.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.9.3.1"></times><ci id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.9.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.9.3.2">⇐</ci><ci id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.9.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.9.3.3">𝒩</ci><ci id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.9.3.4.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.9.3.4">⇒</ci></apply></apply><ci id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.10.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.2.10">⊌</ci></apply><apply id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.3"><times id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.3.1"></times><ci id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.3.2">𝒯</ci><ci id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.3.3">⇐</ci><ci id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.3.4.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.3.4">𝒬</ci><ci id="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.3.5.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m7.1.1.6.3.5">⇒</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.8.m7.1c">\mathbf{T}\colon\mathbfcal{H}\to\mathbfcal{H}\colon\mathfrak{Q}=[Q^{(1)},% \ldots,Q^{(N)}]\mapsto\mathbf{T}(\mathfrak{Q})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.8.m7.1d">bold_T : roman_ℋ → roman_ℋ : roman_𝒬 roman_ℑ ∪ roman_𝒬 start_POSTSUPERSCRIPT ⇐ ∞ ⇒ end_POSTSUPERSCRIPT ⇔ … ⇔ roman_𝒬 start_POSTSUPERSCRIPT ⇐ roman_𝒩 ⇒ end_POSTSUPERSCRIPT ⊌ ↦ roman_𝒯 ⇐ roman_𝒬 ⇒</annotation></semantics></math> with</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A0.EGx13"> <tbody id="S3.E10"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathbf{T}(\mathfrak{Q})\coloneqq[\,T^{(1)}(Q^{(1)}),\ldots,T^{(N% )}(Q^{(N)})\,]\,." class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E10.m1.7"><semantics id="S3.E10.m1.7a"><mrow id="S3.E10.m1.7.7.1" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S3.E10.m1.7.7.1.1" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S3.E10.m1.7.7.1.1.4" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.4.cmml"><mi id="S3.E10.m1.7.7.1.1.4.2" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.4.2.cmml">𝐓</mi><mo id="S3.E10.m1.7.7.1.1.4.1" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E10.m1.7.7.1.1.4.3.2" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.4.cmml"><mo id="S3.E10.m1.7.7.1.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.4.cmml">(</mo><mi id="S3.E10.m1.5.5" xref="S3.E10.m1.5.5.cmml">𝔔</mi><mo id="S3.E10.m1.7.7.1.1.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E10.m1.7.7.1.1.3" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.3.cmml">≔</mo><mrow id="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.3.cmml"><mo id="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.3" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.3.cmml">[</mo><mrow id="S3.E10.m1.7.7.1.1.1.1.1" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.E10.m1.7.7.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E10.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.2.cmml">T</mi><mrow id="S3.E10.m1.1.1.1.3" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.E10.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mn id="S3.E10.m1.1.1.1.1" xref="S3.E10.m1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.E10.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.E10.m1.7.7.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E10.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E10.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.E10.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E10.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">Q</mi><mrow id="S3.E10.m1.2.2.1.3" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E10.m1.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mn id="S3.E10.m1.2.2.1.1" xref="S3.E10.m1.2.2.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.E10.m1.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.E10.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" 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id="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.2" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.2.cmml">Q</mi><mrow id="S3.E10.m1.4.4.1.3" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E10.m1.4.4.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E10.m1.4.4.1.1" xref="S3.E10.m1.4.4.1.1.cmml">N</mi><mo id="S3.E10.m1.4.4.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.3" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.6" stretchy="false" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.3.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E10.m1.7.7.1.2" lspace="0.170em" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E10.m1.7b"><apply id="S3.E10.m1.7.7.1.1.cmml" xref="S3.E10.m1.7.7.1"><ci id="S3.E10.m1.7.7.1.1.3.cmml" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.3">≔</ci><apply id="S3.E10.m1.7.7.1.1.4.cmml" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.4"><times id="S3.E10.m1.7.7.1.1.4.1.cmml" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.4.1"></times><ci id="S3.E10.m1.7.7.1.1.4.2.cmml" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.4.2">𝐓</ci><ci id="S3.E10.m1.5.5.cmml" xref="S3.E10.m1.5.5">𝔔</ci></apply><list id="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2"><apply id="S3.E10.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.1.1.1"><times id="S3.E10.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E10.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E10.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E10.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.2">𝑇</ci><cn id="S3.E10.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.E10.m1.1.1.1.1">1</cn></apply><apply id="S3.E10.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E10.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.E10.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑄</ci><cn id="S3.E10.m1.2.2.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.E10.m1.2.2.1.1">1</cn></apply></apply><ci id="S3.E10.m1.6.6.cmml" xref="S3.E10.m1.6.6">…</ci><apply id="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2"><times id="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.2"></times><apply id="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.3.2">𝑇</ci><ci id="S3.E10.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E10.m1.3.3.1.1">𝑁</ci></apply><apply id="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.2">𝑄</ci><ci id="S3.E10.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S3.E10.m1.4.4.1.1">𝑁</ci></apply></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E10.m1.7c">\displaystyle\mathbf{T}(\mathfrak{Q})\coloneqq[\,T^{(1)}(Q^{(1)}),\ldots,T^{(N% )}(Q^{(N)})\,]\,.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E10.m1.7d">bold_T ( fraktur_Q ) ≔ [ italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ( 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT ) , … , italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_N ) end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_N ) end_POSTSUPERSCRIPT ) ] .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(10)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p3"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p3.19">To address <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.I1.i1" title="In Bottlenecks 2. ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Bottleneck</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">2(i)</span></a>, this paper’s counter-proposition to the consensus-based B-Map (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S2.E4" title="Equation 4 ‣ II-B General assumptions for the decentralized setting ‣ II Distributed Reinforcement Learning ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a>) is to solve distributively</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_table" id="S3.E11"> <tbody> <tr class="ltx_eqn_row" id="A0.EGx14"><td class="ltx_eqn_cell" colspan="4"></td></tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E11.1"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left[\,\sum\nolimits_{n\in\mathcal{N}}T^{(n)}(Q^{(n)}),\ldots,% \sum\nolimits_{n\in\mathcal{N}}T^{(n)}(Q^{(n)})\,\right]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E11.1.m1.7"><semantics id="S3.E11.1.m1.7a"><mrow id="S3.E11.1.m1.7.7.2" xref="S3.E11.1.m1.7.7.3.cmml"><mo id="S3.E11.1.m1.7.7.2.3" xref="S3.E11.1.m1.7.7.3.cmml">[</mo><mrow id="S3.E11.1.m1.6.6.1.1" xref="S3.E11.1.m1.6.6.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E11.1.m1.6.6.1.1.2" xref="S3.E11.1.m1.6.6.1.1.2.cmml"><msub id="S3.E11.1.m1.6.6.1.1.2a" xref="S3.E11.1.m1.6.6.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E11.1.m1.6.6.1.1.2.2" xref="S3.E11.1.m1.6.6.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.E11.1.m1.6.6.1.1.2.3" xref="S3.E11.1.m1.6.6.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E11.1.m1.6.6.1.1.2.3.2" xref="S3.E11.1.m1.6.6.1.1.2.3.2.cmml">n</mi><mo id="S3.E11.1.m1.6.6.1.1.2.3.1" xref="S3.E11.1.m1.6.6.1.1.2.3.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E11.1.m1.6.6.1.1.2.3.3" xref="S3.E11.1.m1.6.6.1.1.2.3.3.cmml">𝒩</mi></mrow></msub></mstyle><mrow id="S3.E11.1.m1.6.6.1.1.1" xref="S3.E11.1.m1.6.6.1.1.1.cmml"><msup id="S3.E11.1.m1.6.6.1.1.1.3" xref="S3.E11.1.m1.6.6.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E11.1.m1.6.6.1.1.1.3.2" xref="S3.E11.1.m1.6.6.1.1.1.3.2.cmml">T</mi><mrow id="S3.E11.1.m1.1.1.1.3" xref="S3.E11.1.m1.6.6.1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.E11.1.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.E11.1.m1.6.6.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S3.E11.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.E11.1.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.E11.1.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.E11.1.m1.6.6.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.E11.1.m1.6.6.1.1.1.2" xref="S3.E11.1.m1.6.6.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E11.1.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="S3.E11.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E11.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E11.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.E11.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E11.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E11.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E11.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml">Q</mi><mrow id="S3.E11.1.m1.2.2.1.3" xref="S3.E11.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E11.1.m1.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.E11.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E11.1.m1.2.2.1.1" xref="S3.E11.1.m1.2.2.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.E11.1.m1.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.E11.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.E11.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E11.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E11.1.m1.7.7.2.4" xref="S3.E11.1.m1.7.7.3.cmml">,</mo><mi id="S3.E11.1.m1.5.5" mathvariant="normal" xref="S3.E11.1.m1.5.5.cmml">…</mi><mo id="S3.E11.1.m1.7.7.2.5" xref="S3.E11.1.m1.7.7.3.cmml">,</mo><mrow id="S3.E11.1.m1.7.7.2.2" xref="S3.E11.1.m1.7.7.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E11.1.m1.7.7.2.2.2" xref="S3.E11.1.m1.7.7.2.2.2.cmml"><msub id="S3.E11.1.m1.7.7.2.2.2a" xref="S3.E11.1.m1.7.7.2.2.2.cmml"><mo id="S3.E11.1.m1.7.7.2.2.2.2" xref="S3.E11.1.m1.7.7.2.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.E11.1.m1.7.7.2.2.2.3" xref="S3.E11.1.m1.7.7.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E11.1.m1.7.7.2.2.2.3.2" xref="S3.E11.1.m1.7.7.2.2.2.3.2.cmml">n</mi><mo id="S3.E11.1.m1.7.7.2.2.2.3.1" xref="S3.E11.1.m1.7.7.2.2.2.3.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E11.1.m1.7.7.2.2.2.3.3" xref="S3.E11.1.m1.7.7.2.2.2.3.3.cmml">𝒩</mi></mrow></msub></mstyle><mrow id="S3.E11.1.m1.7.7.2.2.1" xref="S3.E11.1.m1.7.7.2.2.1.cmml"><msup id="S3.E11.1.m1.7.7.2.2.1.3" xref="S3.E11.1.m1.7.7.2.2.1.3.cmml"><mi id="S3.E11.1.m1.7.7.2.2.1.3.2" xref="S3.E11.1.m1.7.7.2.2.1.3.2.cmml">T</mi><mrow id="S3.E11.1.m1.3.3.1.3" xref="S3.E11.1.m1.7.7.2.2.1.3.cmml"><mo id="S3.E11.1.m1.3.3.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.E11.1.m1.7.7.2.2.1.3.cmml">(</mo><mi id="S3.E11.1.m1.3.3.1.1" xref="S3.E11.1.m1.3.3.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.E11.1.m1.3.3.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.E11.1.m1.7.7.2.2.1.3.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.E11.1.m1.7.7.2.2.1.2" xref="S3.E11.1.m1.7.7.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E11.1.m1.7.7.2.2.1.1.1" xref="S3.E11.1.m1.7.7.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E11.1.m1.7.7.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E11.1.m1.7.7.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.E11.1.m1.7.7.2.2.1.1.1.1" xref="S3.E11.1.m1.7.7.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E11.1.m1.7.7.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.E11.1.m1.7.7.2.2.1.1.1.1.2.cmml">Q</mi><mrow id="S3.E11.1.m1.4.4.1.3" xref="S3.E11.1.m1.7.7.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E11.1.m1.4.4.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.E11.1.m1.7.7.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E11.1.m1.4.4.1.1" xref="S3.E11.1.m1.4.4.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.E11.1.m1.4.4.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.E11.1.m1.7.7.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.E11.1.m1.7.7.2.2.1.1.1.3" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S3.E11.1.m1.7.7.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E11.1.m1.7.7.2.6" xref="S3.E11.1.m1.7.7.3.cmml">]</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E11.1.m1.7b"><list id="S3.E11.1.m1.7.7.3.cmml" xref="S3.E11.1.m1.7.7.2"><apply id="S3.E11.1.m1.6.6.1.1.cmml" xref="S3.E11.1.m1.6.6.1.1"><apply id="S3.E11.1.m1.6.6.1.1.2.cmml" xref="S3.E11.1.m1.6.6.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.1.m1.6.6.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E11.1.m1.6.6.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S3.E11.1.m1.6.6.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E11.1.m1.6.6.1.1.2.2"></sum><apply id="S3.E11.1.m1.6.6.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E11.1.m1.6.6.1.1.2.3"><in id="S3.E11.1.m1.6.6.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E11.1.m1.6.6.1.1.2.3.1"></in><ci id="S3.E11.1.m1.6.6.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E11.1.m1.6.6.1.1.2.3.2">𝑛</ci><ci id="S3.E11.1.m1.6.6.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.E11.1.m1.6.6.1.1.2.3.3">𝒩</ci></apply></apply><apply id="S3.E11.1.m1.6.6.1.1.1.cmml" xref="S3.E11.1.m1.6.6.1.1.1"><times id="S3.E11.1.m1.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E11.1.m1.6.6.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E11.1.m1.6.6.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E11.1.m1.6.6.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.1.m1.6.6.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E11.1.m1.6.6.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E11.1.m1.6.6.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E11.1.m1.6.6.1.1.1.3.2">𝑇</ci><ci id="S3.E11.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E11.1.m1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S3.E11.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E11.1.m1.6.6.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E11.1.m1.6.6.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.E11.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E11.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2">𝑄</ci><ci id="S3.E11.1.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E11.1.m1.2.2.1.1">𝑛</ci></apply></apply></apply><ci id="S3.E11.1.m1.5.5.cmml" xref="S3.E11.1.m1.5.5">…</ci><apply id="S3.E11.1.m1.7.7.2.2.cmml" xref="S3.E11.1.m1.7.7.2.2"><apply id="S3.E11.1.m1.7.7.2.2.2.cmml" xref="S3.E11.1.m1.7.7.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.1.m1.7.7.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E11.1.m1.7.7.2.2.2">subscript</csymbol><sum id="S3.E11.1.m1.7.7.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E11.1.m1.7.7.2.2.2.2"></sum><apply id="S3.E11.1.m1.7.7.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E11.1.m1.7.7.2.2.2.3"><in id="S3.E11.1.m1.7.7.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E11.1.m1.7.7.2.2.2.3.1"></in><ci id="S3.E11.1.m1.7.7.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E11.1.m1.7.7.2.2.2.3.2">𝑛</ci><ci id="S3.E11.1.m1.7.7.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.E11.1.m1.7.7.2.2.2.3.3">𝒩</ci></apply></apply><apply id="S3.E11.1.m1.7.7.2.2.1.cmml" xref="S3.E11.1.m1.7.7.2.2.1"><times id="S3.E11.1.m1.7.7.2.2.1.2.cmml" xref="S3.E11.1.m1.7.7.2.2.1.2"></times><apply id="S3.E11.1.m1.7.7.2.2.1.3.cmml" xref="S3.E11.1.m1.7.7.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.1.m1.7.7.2.2.1.3.1.cmml" xref="S3.E11.1.m1.7.7.2.2.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E11.1.m1.7.7.2.2.1.3.2.cmml" xref="S3.E11.1.m1.7.7.2.2.1.3.2">𝑇</ci><ci id="S3.E11.1.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E11.1.m1.3.3.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S3.E11.1.m1.7.7.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E11.1.m1.7.7.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.1.m1.7.7.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E11.1.m1.7.7.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.E11.1.m1.7.7.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E11.1.m1.7.7.2.2.1.1.1.1.2">𝑄</ci><ci id="S3.E11.1.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S3.E11.1.m1.4.4.1.1">𝑛</ci></apply></apply></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E11.1.m1.7c">\displaystyle\left[\,\sum\nolimits_{n\in\mathcal{N}}T^{(n)}(Q^{(n)}),\ldots,% \sum\nolimits_{n\in\mathcal{N}}T^{(n)}(Q^{(n)})\,\right]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E11.1.m1.7d">[ ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n ∈ caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ) , … , ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n ∈ caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ) ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(11a)</span></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E11.x1"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=[\,\mathbf{T}(\mathfrak{Q})\,\mathbf{1}_{N},\ldots,\mathbf{T}(% \mathfrak{Q})\,\mathbf{1}_{N}\,]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E11.x1.m1.5"><semantics id="S3.E11.x1.m1.5a"><mrow id="S3.E11.x1.m1.5.5" xref="S3.E11.x1.m1.5.5.cmml"><mi id="S3.E11.x1.m1.5.5.4" xref="S3.E11.x1.m1.5.5.4.cmml"></mi><mo id="S3.E11.x1.m1.5.5.3" xref="S3.E11.x1.m1.5.5.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.E11.x1.m1.5.5.2.2" xref="S3.E11.x1.m1.5.5.2.3.cmml"><mo id="S3.E11.x1.m1.5.5.2.2.3" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S3.E11.x1.m1.5.5.2.3.cmml">[</mo><mrow id="S3.E11.x1.m1.4.4.1.1.1" xref="S3.E11.x1.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E11.x1.m1.4.4.1.1.1.2" xref="S3.E11.x1.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">𝐓</mi><mo id="S3.E11.x1.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S3.E11.x1.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E11.x1.m1.4.4.1.1.1.3.2" xref="S3.E11.x1.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E11.x1.m1.4.4.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E11.x1.m1.4.4.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E11.x1.m1.1.1" xref="S3.E11.x1.m1.1.1.cmml">𝔔</mi><mo id="S3.E11.x1.m1.4.4.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E11.x1.m1.4.4.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E11.x1.m1.4.4.1.1.1.1a" xref="S3.E11.x1.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E11.x1.m1.4.4.1.1.1.4" xref="S3.E11.x1.m1.4.4.1.1.1.4.cmml"><mn class="ltx_mathvariant_bold" id="S3.E11.x1.m1.4.4.1.1.1.4.2" mathvariant="bold" xref="S3.E11.x1.m1.4.4.1.1.1.4.2.cmml"> 1</mn><mi id="S3.E11.x1.m1.4.4.1.1.1.4.3" xref="S3.E11.x1.m1.4.4.1.1.1.4.3.cmml">N</mi></msub></mrow><mo id="S3.E11.x1.m1.5.5.2.2.4" xref="S3.E11.x1.m1.5.5.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.E11.x1.m1.3.3" mathvariant="normal" xref="S3.E11.x1.m1.3.3.cmml">…</mi><mo id="S3.E11.x1.m1.5.5.2.2.5" xref="S3.E11.x1.m1.5.5.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S3.E11.x1.m1.5.5.2.2.2" xref="S3.E11.x1.m1.5.5.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E11.x1.m1.5.5.2.2.2.2" xref="S3.E11.x1.m1.5.5.2.2.2.2.cmml">𝐓</mi><mo id="S3.E11.x1.m1.5.5.2.2.2.1" xref="S3.E11.x1.m1.5.5.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E11.x1.m1.5.5.2.2.2.3.2" xref="S3.E11.x1.m1.5.5.2.2.2.cmml"><mo id="S3.E11.x1.m1.5.5.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E11.x1.m1.5.5.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S3.E11.x1.m1.2.2" xref="S3.E11.x1.m1.2.2.cmml">𝔔</mi><mo id="S3.E11.x1.m1.5.5.2.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E11.x1.m1.5.5.2.2.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E11.x1.m1.5.5.2.2.2.1a" xref="S3.E11.x1.m1.5.5.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E11.x1.m1.5.5.2.2.2.4" xref="S3.E11.x1.m1.5.5.2.2.2.4.cmml"><mn class="ltx_mathvariant_bold" id="S3.E11.x1.m1.5.5.2.2.2.4.2" mathvariant="bold" xref="S3.E11.x1.m1.5.5.2.2.2.4.2.cmml"> 1</mn><mi id="S3.E11.x1.m1.5.5.2.2.2.4.3" xref="S3.E11.x1.m1.5.5.2.2.2.4.3.cmml">N</mi></msub></mrow><mo id="S3.E11.x1.m1.5.5.2.2.6" stretchy="false" xref="S3.E11.x1.m1.5.5.2.3.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E11.x1.m1.5b"><apply id="S3.E11.x1.m1.5.5.cmml" xref="S3.E11.x1.m1.5.5"><eq id="S3.E11.x1.m1.5.5.3.cmml" xref="S3.E11.x1.m1.5.5.3"></eq><csymbol cd="latexml" id="S3.E11.x1.m1.5.5.4.cmml" xref="S3.E11.x1.m1.5.5.4">absent</csymbol><list id="S3.E11.x1.m1.5.5.2.3.cmml" xref="S3.E11.x1.m1.5.5.2.2"><apply id="S3.E11.x1.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S3.E11.x1.m1.4.4.1.1.1"><times id="S3.E11.x1.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" 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cd="ambiguous" id="S3.E11.x1.m1.5.5.2.2.2.4.1.cmml" xref="S3.E11.x1.m1.5.5.2.2.2.4">subscript</csymbol><cn id="S3.E11.x1.m1.5.5.2.2.2.4.2.cmml" type="integer" xref="S3.E11.x1.m1.5.5.2.2.2.4.2">1</cn><ci id="S3.E11.x1.m1.5.5.2.2.2.4.3.cmml" xref="S3.E11.x1.m1.5.5.2.2.2.4.3">𝑁</ci></apply></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E11.x1.m1.5c">\displaystyle=[\,\mathbf{T}(\mathfrak{Q})\,\mathbf{1}_{N},\ldots,\mathbf{T}(% \mathfrak{Q})\,\mathbf{1}_{N}\,]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E11.x1.m1.5d">= [ bold_T ( fraktur_Q ) bold_1 start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT , … , bold_T ( fraktur_Q ) bold_1 start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E11.x2"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\arg\min_{\mathfrak{Q}^{\prime}\in\mathcal{C}_{\mathbfcal{H}}}% \sum\nolimits_{n\in\mathcal{N}}\tfrac{1}{2}\lVert\,Q^{\prime(n)}-N\,T^{(n)}(Q^% {(n)})\,\rVert_{\mathcal{H}}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E11.x2.m1.6"><semantics id="S3.E11.x2.m1.6a"><mrow id="S3.E11.x2.m1.6.6" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.cmml"><mi id="S3.E11.x2.m1.6.6.3" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.3.cmml"></mi><mo id="S3.E11.x2.m1.6.6.2" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.E11.x2.m1.6.6.1" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.cmml"><mrow id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.3" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.3.cmml"><mi id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.3.1" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.3.1.cmml">arg</mi><mo id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.3a" lspace="0.167em" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.3.cmml">⁡</mo><munder id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.3.2" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.3.2.2" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.3.2.2.cmml">min</mi><mrow id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.3.2.3" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.3.2.3.cmml"><msup id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.3.2.3.2" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.3.2.3.2.cmml"><mi id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.3.2.3.2.2" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.3.2.3.2.2.cmml">𝔔</mi><mo id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.3.2.3.2.3" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.3.2.3.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.3.2.3.1" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.3.2.3.1.cmml">∈</mo><msub id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.3.2.3.3" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.3.2.3.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.3.2.3.3.2" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.3.2.3.3.2.cmml">𝒞</mi><mi id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.3.2.3.3.3" mathvariant="normal" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.3.2.3.3.3.cmml">ℋ</mi></msub></mrow></munder></mrow><mo id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.2" lspace="0.167em" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.2" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.2.cmml"><msub id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.2a" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.2.2" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.2.3" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.2.3.2" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.2.3.2.cmml">n</mi><mo id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.2.3.1" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.2.3.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.2.3.3" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.2.3.3.cmml">𝒩</mi></mrow></msub></mstyle><mrow id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.cmml"><mfrac id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.3" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.3.2" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.3.3" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2" rspace="0.170em" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo><mrow id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Q</mi><mrow id="S3.E11.x2.m1.3.3.3.3" xref="S3.E11.x2.m1.3.3.3.4.cmml"><mo id="S3.E11.x2.m1.2.2.2.2.1" mathsize="142%" xref="S3.E11.x2.m1.2.2.2.2.1.cmml">′</mo><mo id="S3.E11.x2.m1.3.3.3.3.3" lspace="0em" xref="S3.E11.x2.m1.3.3.3.4.cmml">⁣</mo><mrow id="S3.E11.x2.m1.3.3.3.3.2.2" xref="S3.E11.x2.m1.3.3.3.4.cmml"><mo id="S3.E11.x2.m1.3.3.3.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.E11.x2.m1.3.3.3.4.cmml">(</mo><mi id="S3.E11.x2.m1.1.1.1.1" xref="S3.E11.x2.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.E11.x2.m1.3.3.3.3.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.E11.x2.m1.3.3.3.4.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup><mo id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">N</mi><mo id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" lspace="0.170em" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">T</mi><mrow id="S3.E11.x2.m1.4.4.1.3" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mo id="S3.E11.x2.m1.4.4.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">(</mo><mi id="S3.E11.x2.m1.4.4.1.1" xref="S3.E11.x2.m1.4.4.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.E11.x2.m1.4.4.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">Q</mi><mrow id="S3.E11.x2.m1.5.5.1.3" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E11.x2.m1.5.5.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E11.x2.m1.5.5.1.1" xref="S3.E11.x2.m1.5.5.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.E11.x2.m1.5.5.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo fence="true" id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3" lspace="0.170em" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.cmml">ℋ</mi><mn id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1.3" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E11.x2.m1.6b"><apply id="S3.E11.x2.m1.6.6.cmml" xref="S3.E11.x2.m1.6.6"><eq id="S3.E11.x2.m1.6.6.2.cmml" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S3.E11.x2.m1.6.6.3.cmml" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.3">absent</csymbol><apply id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.cmml" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1"><times id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.2.cmml" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.2"></times><apply id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.3.cmml" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.3"><arg id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.3.1.cmml" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.3.1"></arg><apply id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.3.2.cmml" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.3.2">subscript</csymbol><min id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.3.2.2"></min><apply id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.3.2.3"><in id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.3.2.3.1"></in><apply id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.3.2.3.2.cmml" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.3.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.3.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.3.2.3.2.2.cmml" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.3.2.3.2.2">𝔔</ci><ci id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.3.2.3.2.3.cmml" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.3.2.3.2.3">′</ci></apply><apply id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.3.2.3.3.cmml" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.3.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.3.2.3.3.1.cmml" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.3.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.3.2.3.3.2.cmml" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.3.2.3.3.2">𝒞</ci><ci id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.3.2.3.3.3.cmml" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.3.2.3.3.3">ℋ</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.cmml" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1"><apply id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.2.cmml" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.2.2"></sum><apply id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.2.3"><in id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.2.3.1"></in><ci id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.2.3.2">𝑛</ci><ci id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.2.3.3">𝒩</ci></apply></apply><apply id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.cmml" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1"><times id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.3"><divide id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.3"></divide><cn id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.3.2">1</cn><cn id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml" 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xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑁</ci><apply id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝑇</ci><ci id="S3.E11.x2.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S3.E11.x2.m1.4.4.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑄</ci><ci id="S3.E11.x2.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S3.E11.x2.m1.5.5.1.1">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply><ci id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1.1.3">ℋ</ci></apply><cn id="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E11.x2.m1.6.6.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E11.x2.m1.6c">\displaystyle=\arg\min_{\mathfrak{Q}^{\prime}\in\mathcal{C}_{\mathbfcal{H}}}% \sum\nolimits_{n\in\mathcal{N}}\tfrac{1}{2}\lVert\,Q^{\prime(n)}-N\,T^{(n)}(Q^% {(n)})\,\rVert_{\mathcal{H}}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E11.x2.m1.6d">= roman_arg roman_min start_POSTSUBSCRIPT fraktur_Q start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ caligraphic_C start_POSTSUBSCRIPT roman_ℋ end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n ∈ caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∥ italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ′ ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT - italic_N italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ) ∥ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_H end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E11.2"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\arg\min_{\mathfrak{Q}^{\prime}\in\mathcal{C}_{\mathbfcal{H}}}% \tfrac{1}{2}\lVert\,\mathfrak{Q}^{\prime}-N\,\mathbf{T}(\mathfrak{Q})\,\rVert_% {\mathbfcal{H}}^{2}\,," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E11.2.m1.2"><semantics id="S3.E11.2.m1.2a"><mrow id="S3.E11.2.m1.2.2.1" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.3" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.2" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3.1" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml">arg</mi><mo id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3a" lspace="0.167em" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3.2" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml"><munder id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3.2.1" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml"><mi id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3.2.1.2" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3.2.1.2.cmml">min</mi><mrow id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3.2.1.3" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3.2.1.3.cmml"><msup id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3.2.1.3.2" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3.2.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3.2.1.3.2.2" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3.2.1.3.2.2.cmml">𝔔</mi><mo id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3.2.1.3.2.3" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3.2.1.3.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3.2.1.3.1" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3.2.1.3.1.cmml">∈</mo><msub id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3.2.1.3.3" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3.2.1.3.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3.2.1.3.3.2" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3.2.1.3.3.2.cmml">𝒞</mi><mi id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3.2.1.3.3.3" mathvariant="normal" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3.2.1.3.3.3.cmml">ℋ</mi></msub></mrow></munder><mo id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3.2a" lspace="0.167em" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml">⁡</mo><mfrac id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml"><mn id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.2" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.2.cmml">1</mn><mn id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.3" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mrow></mrow><mo id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" rspace="0.170em" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo><mrow id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝔔</mi><mo id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">N</mi><mo id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" lspace="0.170em" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">𝐓</mi><mo id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S3.E11.2.m1.1.1" xref="S3.E11.2.m1.1.1.cmml">𝔔</mi><mo id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2" stretchy="false" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo fence="true" id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" lspace="0.170em" rspace="0em" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mi id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">ℋ</mi><mn id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></mrow><mo id="S3.E11.2.m1.2.2.1.2" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E11.2.m1.2b"><apply id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1"><eq id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1"><times id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3"><arg id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3.1"></arg><apply id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3.2"><apply id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3.2.1">subscript</csymbol><min id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3.2.1.2.cmml" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3.2.1.2"></min><apply id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3.2.1.3.cmml" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3.2.1.3"><in id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3.2.1.3.1.cmml" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3.2.1.3.1"></in><apply id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3.2.1.3.2.cmml" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3.2.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3.2.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3.2.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3.2.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3.2.1.3.2.2">𝔔</ci><ci id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3.2.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3.2.1.3.2.3">′</ci></apply><apply id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3.2.1.3.3.cmml" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3.2.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3.2.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3.2.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3.2.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3.2.1.3.3.2">𝒞</ci><ci id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3.2.1.3.3.3.cmml" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3.2.1.3.3.3">ℋ</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3.2.2"><divide id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3.2.2"></divide><cn id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.2">1</cn><cn id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" 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id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑁</ci><ci id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝐓</ci><ci id="S3.E11.2.m1.1.1.cmml" xref="S3.E11.2.m1.1.1">𝔔</ci></apply></apply></apply><ci id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.3">ℋ</ci></apply><cn id="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E11.2.m1.2.2.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E11.2.m1.2c">\displaystyle=\arg\min_{\mathfrak{Q}^{\prime}\in\mathcal{C}_{\mathbfcal{H}}}% \tfrac{1}{2}\lVert\,\mathfrak{Q}^{\prime}-N\,\mathbf{T}(\mathfrak{Q})\,\rVert_% {\mathbfcal{H}}^{2}\,,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E11.2.m1.2d">= roman_arg roman_min start_POSTSUBSCRIPT fraktur_Q start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ caligraphic_C start_POSTSUBSCRIPT roman_ℋ end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∥ fraktur_Q start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT - italic_N bold_T ( fraktur_Q ) ∥ start_POSTSUBSCRIPT roman_ℋ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(11b)</span></td> </tr> </tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p3.1">by using the framework of <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib32" title="">32</a>]</cite>, selected because of its generality, flexibility, and simple form of recursions. Define now the linear operators <math alttext="A^{\textnormal{Q}},A_{\varpi}^{\textnormal{Q}}\colon\mathbfcal{H}\to\mathbfcal% {H}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p3.1.m1.2"><semantics id="S3.SS2.p3.1.m1.2a"><mrow id="S3.SS2.p3.1.m1.2.2" xref="S3.SS2.p3.1.m1.2.2.cmml"><mrow id="S3.SS2.p3.1.m1.2.2.2.2" xref="S3.SS2.p3.1.m1.2.2.2.3.cmml"><msup id="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">A</mi><mtext id="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.1.1.1.3a.cmml">Q</mtext></msup><mo id="S3.SS2.p3.1.m1.2.2.2.2.3" xref="S3.SS2.p3.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><msubsup id="S3.SS2.p3.1.m1.2.2.2.2.2" xref="S3.SS2.p3.1.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S3.SS2.p3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml">A</mi><mi id="S3.SS2.p3.1.m1.2.2.2.2.2.2.3" xref="S3.SS2.p3.1.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml">ϖ</mi><mtext id="S3.SS2.p3.1.m1.2.2.2.2.2.3" xref="S3.SS2.p3.1.m1.2.2.2.2.2.3a.cmml">Q</mtext></msubsup></mrow><mo id="S3.SS2.p3.1.m1.2.2.3" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S3.SS2.p3.1.m1.2.2.3.cmml">:</mo><mrow id="S3.SS2.p3.1.m1.2.2.4" xref="S3.SS2.p3.1.m1.2.2.4.cmml"><mi id="S3.SS2.p3.1.m1.2.2.4.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p3.1.m1.2.2.4.2.cmml">ℋ</mi><mo id="S3.SS2.p3.1.m1.2.2.4.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p3.1.m1.2.2.4.1.cmml">→</mo><mi id="S3.SS2.p3.1.m1.2.2.4.3" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p3.1.m1.2.2.4.3.cmml">ℋ</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p3.1.m1.2b"><apply id="S3.SS2.p3.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.1.m1.2.2"><ci id="S3.SS2.p3.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p3.1.m1.2.2.3">:</ci><list id="S3.SS2.p3.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p3.1.m1.2.2.2.2"><apply id="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.1.1.1.2">𝐴</ci><ci id="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.1.1.1.3"><mtext id="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.1.1.1.3">Q</mtext></ci></apply><apply id="S3.SS2.p3.1.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.1.m1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p3.1.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.1.m1.2.2.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p3.1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.1.m1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p3.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.1.m1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2">𝐴</ci><ci id="S3.SS2.p3.1.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p3.1.m1.2.2.2.2.2.2.3">italic-ϖ</ci></apply><ci id="S3.SS2.p3.1.m1.2.2.2.2.2.3a.cmml" xref="S3.SS2.p3.1.m1.2.2.2.2.2.3"><mtext id="S3.SS2.p3.1.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.SS2.p3.1.m1.2.2.2.2.2.3">Q</mtext></ci></apply></list><apply id="S3.SS2.p3.1.m1.2.2.4.cmml" xref="S3.SS2.p3.1.m1.2.2.4"><ci id="S3.SS2.p3.1.m1.2.2.4.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.1.m1.2.2.4.1">→</ci><ci id="S3.SS2.p3.1.m1.2.2.4.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.1.m1.2.2.4.2">ℋ</ci><ci id="S3.SS2.p3.1.m1.2.2.4.3.cmml" xref="S3.SS2.p3.1.m1.2.2.4.3">ℋ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p3.1.m1.2c">A^{\textnormal{Q}},A_{\varpi}^{\textnormal{Q}}\colon\mathbfcal{H}\to\mathbfcal% {H}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p3.1.m1.2d">italic_A start_POSTSUPERSCRIPT Q end_POSTSUPERSCRIPT , italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_ϖ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT Q end_POSTSUPERSCRIPT : roman_ℋ → roman_ℋ</annotation></semantics></math> by</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_table" id="S3.E12"> <tbody> <tr class="ltx_eqn_row" id="A0.EGx15"><td class="ltx_eqn_cell" colspan="5"></td></tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E12.1"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle A^{\textnormal{Q}}(\mathfrak{Q})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E12.1.m1.1"><semantics id="S3.E12.1.m1.1a"><mrow id="S3.E12.1.m1.1.2" xref="S3.E12.1.m1.1.2.cmml"><msup id="S3.E12.1.m1.1.2.2" xref="S3.E12.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E12.1.m1.1.2.2.2" xref="S3.E12.1.m1.1.2.2.2.cmml">A</mi><mtext id="S3.E12.1.m1.1.2.2.3" xref="S3.E12.1.m1.1.2.2.3a.cmml">Q</mtext></msup><mo id="S3.E12.1.m1.1.2.1" xref="S3.E12.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E12.1.m1.1.2.3.2" xref="S3.E12.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S3.E12.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E12.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.E12.1.m1.1.1" xref="S3.E12.1.m1.1.1.cmml">𝔔</mi><mo id="S3.E12.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E12.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E12.1.m1.1b"><apply id="S3.E12.1.m1.1.2.cmml" xref="S3.E12.1.m1.1.2"><times id="S3.E12.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.E12.1.m1.1.2.1"></times><apply id="S3.E12.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.E12.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E12.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E12.1.m1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E12.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E12.1.m1.1.2.2.2">𝐴</ci><ci id="S3.E12.1.m1.1.2.2.3a.cmml" xref="S3.E12.1.m1.1.2.2.3"><mtext id="S3.E12.1.m1.1.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E12.1.m1.1.2.2.3">Q</mtext></ci></apply><ci id="S3.E12.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.E12.1.m1.1.1">𝔔</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E12.1.m1.1c">\displaystyle A^{\textnormal{Q}}(\mathfrak{Q})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E12.1.m1.1d">italic_A start_POSTSUPERSCRIPT Q end_POSTSUPERSCRIPT ( fraktur_Q )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\coloneqq\mathfrak{Q}(\mathbf{I}_{N}-\gamma\mathbf{L})\,," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E12.1.m2.1"><semantics id="S3.E12.1.m2.1a"><mrow id="S3.E12.1.m2.1.1.1" xref="S3.E12.1.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E12.1.m2.1.1.1.1" xref="S3.E12.1.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E12.1.m2.1.1.1.1.3" xref="S3.E12.1.m2.1.1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S3.E12.1.m2.1.1.1.1.2" xref="S3.E12.1.m2.1.1.1.1.2.cmml">≔</mo><mrow id="S3.E12.1.m2.1.1.1.1.1" xref="S3.E12.1.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E12.1.m2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E12.1.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">𝔔</mi><mo id="S3.E12.1.m2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E12.1.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E12.1.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E12.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E12.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E12.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E12.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E12.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E12.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E12.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E12.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E12.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐈</mi><mi id="S3.E12.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E12.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">N</mi></msub><mo id="S3.E12.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E12.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.E12.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E12.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E12.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E12.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">γ</mi><mo id="S3.E12.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.E12.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E12.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E12.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">𝐋</mi></mrow></mrow><mo id="S3.E12.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.3" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S3.E12.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E12.1.m2.1.1.1.2" xref="S3.E12.1.m2.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E12.1.m2.1b"><apply id="S3.E12.1.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E12.1.m2.1.1.1"><ci id="S3.E12.1.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E12.1.m2.1.1.1.1.2">≔</ci><csymbol cd="latexml" id="S3.E12.1.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E12.1.m2.1.1.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S3.E12.1.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E12.1.m2.1.1.1.1.1"><times id="S3.E12.1.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E12.1.m2.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E12.1.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E12.1.m2.1.1.1.1.1.3">𝔔</ci><apply id="S3.E12.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E12.1.m2.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.E12.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E12.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.E12.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E12.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E12.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E12.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E12.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E12.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐈</ci><ci id="S3.E12.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E12.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑁</ci></apply><apply id="S3.E12.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E12.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.E12.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E12.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.E12.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E12.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝛾</ci><ci id="S3.E12.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E12.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝐋</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E12.1.m2.1c">\displaystyle\coloneqq\mathfrak{Q}(\mathbf{I}_{N}-\gamma\mathbf{L})\,,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E12.1.m2.1d">≔ fraktur_Q ( bold_I start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT - italic_γ bold_L ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(12a)</span></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E12.2"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle A_{\varpi}^{\textnormal{Q}}(\mathfrak{Q})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E12.2.m1.1"><semantics id="S3.E12.2.m1.1a"><mrow id="S3.E12.2.m1.1.2" xref="S3.E12.2.m1.1.2.cmml"><msubsup id="S3.E12.2.m1.1.2.2" xref="S3.E12.2.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E12.2.m1.1.2.2.2.2" xref="S3.E12.2.m1.1.2.2.2.2.cmml">A</mi><mi id="S3.E12.2.m1.1.2.2.2.3" xref="S3.E12.2.m1.1.2.2.2.3.cmml">ϖ</mi><mtext id="S3.E12.2.m1.1.2.2.3" xref="S3.E12.2.m1.1.2.2.3a.cmml">Q</mtext></msubsup><mo id="S3.E12.2.m1.1.2.1" xref="S3.E12.2.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E12.2.m1.1.2.3.2" xref="S3.E12.2.m1.1.2.cmml"><mo id="S3.E12.2.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E12.2.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.E12.2.m1.1.1" xref="S3.E12.2.m1.1.1.cmml">𝔔</mi><mo id="S3.E12.2.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E12.2.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E12.2.m1.1b"><apply id="S3.E12.2.m1.1.2.cmml" xref="S3.E12.2.m1.1.2"><times id="S3.E12.2.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.E12.2.m1.1.2.1"></times><apply id="S3.E12.2.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.E12.2.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E12.2.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E12.2.m1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E12.2.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E12.2.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E12.2.m1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E12.2.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E12.2.m1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E12.2.m1.1.2.2.2.2">𝐴</ci><ci id="S3.E12.2.m1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E12.2.m1.1.2.2.2.3">italic-ϖ</ci></apply><ci id="S3.E12.2.m1.1.2.2.3a.cmml" xref="S3.E12.2.m1.1.2.2.3"><mtext id="S3.E12.2.m1.1.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E12.2.m1.1.2.2.3">Q</mtext></ci></apply><ci id="S3.E12.2.m1.1.1.cmml" xref="S3.E12.2.m1.1.1">𝔔</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E12.2.m1.1c">\displaystyle A_{\varpi}^{\textnormal{Q}}(\mathfrak{Q})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E12.2.m1.1d">italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_ϖ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT Q end_POSTSUPERSCRIPT ( fraktur_Q )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\coloneqq\varpi A^{\textnormal{Q}}(\mathfrak{Q})+(1-\varpi)% \mathfrak{Q}\,," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E12.2.m2.2"><semantics id="S3.E12.2.m2.2a"><mrow id="S3.E12.2.m2.2.2.1" xref="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.E12.2.m2.2.2.1.1" xref="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.3" xref="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.2" xref="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.2.cmml">≔</mo><mrow id="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1" xref="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.3" xref="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.3.2" xref="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">ϖ</mi><mo id="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.3.1" xref="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.3.3" xref="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml">A</mi><mtext id="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.3" xref="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.3a.cmml">Q</mtext></msup><mo id="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.3.1a" xref="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.3.4.2" xref="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S3.E12.2.m2.1.1" xref="S3.E12.2.m2.1.1.cmml">𝔔</mi><mo id="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.3.4.2.2" stretchy="false" xref="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.2" xref="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ϖ</mi></mrow><mo id="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.cmml">𝔔</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E12.2.m2.2.2.1.2" lspace="0.170em" xref="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E12.2.m2.2b"><apply id="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E12.2.m2.2.2.1"><ci id="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.2">≔</ci><csymbol cd="latexml" id="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1"><plus id="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.2"></plus><apply id="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.3"><times id="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.3.2">italic-ϖ</ci><apply id="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.2">𝐴</ci><ci id="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.3a.cmml" xref="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.3"><mtext id="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.3">Q</mtext></ci></apply><ci id="S3.E12.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.E12.2.m2.1.1">𝔔</ci></apply><apply id="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.1"><times id="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><ci id="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3">italic-ϖ</ci></apply><ci id="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E12.2.m2.2.2.1.1.1.1.3">𝔔</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E12.2.m2.2c">\displaystyle\coloneqq\varpi A^{\textnormal{Q}}(\mathfrak{Q})+(1-\varpi)% \mathfrak{Q}\,,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E12.2.m2.2d">≔ italic_ϖ italic_A start_POSTSUPERSCRIPT Q end_POSTSUPERSCRIPT ( fraktur_Q ) + ( 1 - italic_ϖ ) fraktur_Q ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(12b)</span></td> </tr> </tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p3.18"><math alttext="\forall\mathfrak{Q}\in\mathbfcal{H}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p3.2.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p3.2.m1.1a"><mrow id="S3.SS2.p3.2.m1.1.1" xref="S3.SS2.p3.2.m1.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS2.p3.2.m1.1.1.2" xref="S3.SS2.p3.2.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.p3.2.m1.1.1.2.1" rspace="0.167em" xref="S3.SS2.p3.2.m1.1.1.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S3.SS2.p3.2.m1.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p3.2.m1.1.1.2.2.cmml">𝔔</mi></mrow><mo id="S3.SS2.p3.2.m1.1.1.1" xref="S3.SS2.p3.2.m1.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S3.SS2.p3.2.m1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p3.2.m1.1.1.3.cmml">ℋ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p3.2.m1.1b"><apply id="S3.SS2.p3.2.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.2.m1.1.1"><in id="S3.SS2.p3.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.2.m1.1.1.1"></in><apply id="S3.SS2.p3.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.2.m1.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.p3.2.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.2.m1.1.1.2.1">for-all</csymbol><ci id="S3.SS2.p3.2.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.2.m1.1.1.2.2">𝔔</ci></apply><ci id="S3.SS2.p3.2.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p3.2.m1.1.1.3">ℋ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p3.2.m1.1c">\forall\mathfrak{Q}\in\mathbfcal{H}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p3.2.m1.1d">∀ fraktur_Q ∈ roman_ℋ</annotation></semantics></math>. In (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E12" title="Equation 12 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">12</span></a>), <math alttext="\varpi\in[1/2,1)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p3.3.m2.2"><semantics id="S3.SS2.p3.3.m2.2a"><mrow id="S3.SS2.p3.3.m2.2.2" xref="S3.SS2.p3.3.m2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p3.3.m2.2.2.3" xref="S3.SS2.p3.3.m2.2.2.3.cmml">ϖ</mi><mo id="S3.SS2.p3.3.m2.2.2.2" xref="S3.SS2.p3.3.m2.2.2.2.cmml">∈</mo><mrow id="S3.SS2.p3.3.m2.2.2.1.1" xref="S3.SS2.p3.3.m2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.p3.3.m2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p3.3.m2.2.2.1.2.cmml">[</mo><mrow id="S3.SS2.p3.3.m2.2.2.1.1.1" xref="S3.SS2.p3.3.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mn id="S3.SS2.p3.3.m2.2.2.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p3.3.m2.2.2.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S3.SS2.p3.3.m2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p3.3.m2.2.2.1.1.1.1.cmml">/</mo><mn id="S3.SS2.p3.3.m2.2.2.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p3.3.m2.2.2.1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><mo id="S3.SS2.p3.3.m2.2.2.1.1.3" xref="S3.SS2.p3.3.m2.2.2.1.2.cmml">,</mo><mn id="S3.SS2.p3.3.m2.1.1" xref="S3.SS2.p3.3.m2.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.SS2.p3.3.m2.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.SS2.p3.3.m2.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p3.3.m2.2b"><apply id="S3.SS2.p3.3.m2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.3.m2.2.2"><in id="S3.SS2.p3.3.m2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.3.m2.2.2.2"></in><ci id="S3.SS2.p3.3.m2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p3.3.m2.2.2.3">italic-ϖ</ci><interval closure="closed-open" id="S3.SS2.p3.3.m2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.3.m2.2.2.1.1"><apply id="S3.SS2.p3.3.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.3.m2.2.2.1.1.1"><divide id="S3.SS2.p3.3.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.3.m2.2.2.1.1.1.1"></divide><cn id="S3.SS2.p3.3.m2.2.2.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p3.3.m2.2.2.1.1.1.2">1</cn><cn id="S3.SS2.p3.3.m2.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p3.3.m2.2.2.1.1.1.3">2</cn></apply><cn id="S3.SS2.p3.3.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p3.3.m2.1.1">1</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p3.3.m2.2c">\varpi\in[1/2,1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p3.3.m2.2d">italic_ϖ ∈ [ 1 / 2 , 1 )</annotation></semantics></math>, the graph Laplacian matrix <math alttext="\mathbf{L}\coloneqq\operatorname{diag}(\mathbf{W}\mathbf{1}_{N})-\mathbf{W}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p3.4.m3.2"><semantics id="S3.SS2.p3.4.m3.2a"><mrow id="S3.SS2.p3.4.m3.2.2" xref="S3.SS2.p3.4.m3.2.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p3.4.m3.2.2.3" xref="S3.SS2.p3.4.m3.2.2.3.cmml">𝐋</mi><mo id="S3.SS2.p3.4.m3.2.2.2" xref="S3.SS2.p3.4.m3.2.2.2.cmml">≔</mo><mrow id="S3.SS2.p3.4.m3.2.2.1" xref="S3.SS2.p3.4.m3.2.2.1.cmml"><mrow id="S3.SS2.p3.4.m3.2.2.1.1.1" xref="S3.SS2.p3.4.m3.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p3.4.m3.1.1" xref="S3.SS2.p3.4.m3.1.1.cmml">diag</mi><mo id="S3.SS2.p3.4.m3.2.2.1.1.1a" xref="S3.SS2.p3.4.m3.2.2.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.SS2.p3.4.m3.2.2.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p3.4.m3.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.p3.4.m3.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p3.4.m3.2.2.1.1.2.cmml">(</mo><msub id="S3.SS2.p3.4.m3.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p3.4.m3.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p3.4.m3.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p3.4.m3.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐖𝟏</mi><mi id="S3.SS2.p3.4.m3.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p3.4.m3.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">N</mi></msub><mo id="S3.SS2.p3.4.m3.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.p3.4.m3.2.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS2.p3.4.m3.2.2.1.2" xref="S3.SS2.p3.4.m3.2.2.1.2.cmml">−</mo><mi id="S3.SS2.p3.4.m3.2.2.1.3" xref="S3.SS2.p3.4.m3.2.2.1.3.cmml">𝐖</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p3.4.m3.2b"><apply id="S3.SS2.p3.4.m3.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.4.m3.2.2"><ci id="S3.SS2.p3.4.m3.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.4.m3.2.2.2">≔</ci><ci id="S3.SS2.p3.4.m3.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p3.4.m3.2.2.3">𝐋</ci><apply id="S3.SS2.p3.4.m3.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.4.m3.2.2.1"><minus id="S3.SS2.p3.4.m3.2.2.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.4.m3.2.2.1.2"></minus><apply id="S3.SS2.p3.4.m3.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.4.m3.2.2.1.1.1"><ci id="S3.SS2.p3.4.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.4.m3.1.1">diag</ci><apply id="S3.SS2.p3.4.m3.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.4.m3.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p3.4.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.4.m3.2.2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p3.4.m3.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.4.m3.2.2.1.1.1.1.1.2">𝐖𝟏</ci><ci id="S3.SS2.p3.4.m3.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p3.4.m3.2.2.1.1.1.1.1.3">𝑁</ci></apply></apply><ci id="S3.SS2.p3.4.m3.2.2.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p3.4.m3.2.2.1.3">𝐖</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p3.4.m3.2c">\mathbf{L}\coloneqq\operatorname{diag}(\mathbf{W}\mathbf{1}_{N})-\mathbf{W}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p3.4.m3.2d">bold_L ≔ roman_diag ( bold_W1 start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT ) - bold_W</annotation></semantics></math> <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib33" title="">33</a>]</cite>, with the <math alttext="N\times N" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p3.5.m4.1"><semantics id="S3.SS2.p3.5.m4.1a"><mrow id="S3.SS2.p3.5.m4.1.1" xref="S3.SS2.p3.5.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p3.5.m4.1.1.2" xref="S3.SS2.p3.5.m4.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S3.SS2.p3.5.m4.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.SS2.p3.5.m4.1.1.1.cmml">×</mo><mi id="S3.SS2.p3.5.m4.1.1.3" xref="S3.SS2.p3.5.m4.1.1.3.cmml">N</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p3.5.m4.1b"><apply id="S3.SS2.p3.5.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.5.m4.1.1"><times id="S3.SS2.p3.5.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.5.m4.1.1.1"></times><ci id="S3.SS2.p3.5.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.5.m4.1.1.2">𝑁</ci><ci id="S3.SS2.p3.5.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p3.5.m4.1.1.3">𝑁</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p3.5.m4.1c">N\times N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p3.5.m4.1d">italic_N × italic_N</annotation></semantics></math> adjacency matrix <math alttext="\mathbf{W}=[w_{nn^{\prime}}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p3.6.m5.1"><semantics id="S3.SS2.p3.6.m5.1a"><mrow id="S3.SS2.p3.6.m5.1.1" xref="S3.SS2.p3.6.m5.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p3.6.m5.1.1.3" xref="S3.SS2.p3.6.m5.1.1.3.cmml">𝐖</mi><mo id="S3.SS2.p3.6.m5.1.1.2" xref="S3.SS2.p3.6.m5.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS2.p3.6.m5.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p3.6.m5.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.p3.6.m5.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p3.6.m5.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><msub id="S3.SS2.p3.6.m5.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p3.6.m5.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p3.6.m5.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p3.6.m5.1.1.1.1.1.2.cmml">w</mi><mrow id="S3.SS2.p3.6.m5.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p3.6.m5.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p3.6.m5.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p3.6.m5.1.1.1.1.1.3.2.cmml">n</mi><mo id="S3.SS2.p3.6.m5.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.SS2.p3.6.m5.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.SS2.p3.6.m5.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p3.6.m5.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p3.6.m5.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.SS2.p3.6.m5.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S3.SS2.p3.6.m5.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.SS2.p3.6.m5.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">′</mo></msup></mrow></msub><mo id="S3.SS2.p3.6.m5.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.p3.6.m5.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p3.6.m5.1b"><apply id="S3.SS2.p3.6.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.6.m5.1.1"><eq id="S3.SS2.p3.6.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.6.m5.1.1.2"></eq><ci id="S3.SS2.p3.6.m5.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p3.6.m5.1.1.3">𝐖</ci><apply id="S3.SS2.p3.6.m5.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.6.m5.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.p3.6.m5.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.6.m5.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S3.SS2.p3.6.m5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.6.m5.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p3.6.m5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.6.m5.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p3.6.m5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.6.m5.1.1.1.1.1.2">𝑤</ci><apply id="S3.SS2.p3.6.m5.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p3.6.m5.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.SS2.p3.6.m5.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.6.m5.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.SS2.p3.6.m5.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.6.m5.1.1.1.1.1.3.2">𝑛</ci><apply id="S3.SS2.p3.6.m5.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p3.6.m5.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p3.6.m5.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.6.m5.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p3.6.m5.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.6.m5.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑛</ci><ci id="S3.SS2.p3.6.m5.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p3.6.m5.1.1.1.1.1.3.3.3">′</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p3.6.m5.1c">\mathbf{W}=[w_{nn^{\prime}}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p3.6.m5.1d">bold_W = [ italic_w start_POSTSUBSCRIPT italic_n italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ]</annotation></semantics></math> defined as <math alttext="w_{nn^{\prime}}\coloneqq 1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p3.7.m6.1"><semantics id="S3.SS2.p3.7.m6.1a"><mrow id="S3.SS2.p3.7.m6.1.1" xref="S3.SS2.p3.7.m6.1.1.cmml"><msub id="S3.SS2.p3.7.m6.1.1.2" xref="S3.SS2.p3.7.m6.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p3.7.m6.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p3.7.m6.1.1.2.2.cmml">w</mi><mrow id="S3.SS2.p3.7.m6.1.1.2.3" xref="S3.SS2.p3.7.m6.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p3.7.m6.1.1.2.3.2" xref="S3.SS2.p3.7.m6.1.1.2.3.2.cmml">n</mi><mo id="S3.SS2.p3.7.m6.1.1.2.3.1" xref="S3.SS2.p3.7.m6.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.SS2.p3.7.m6.1.1.2.3.3" xref="S3.SS2.p3.7.m6.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p3.7.m6.1.1.2.3.3.2" xref="S3.SS2.p3.7.m6.1.1.2.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S3.SS2.p3.7.m6.1.1.2.3.3.3" xref="S3.SS2.p3.7.m6.1.1.2.3.3.3.cmml">′</mo></msup></mrow></msub><mo id="S3.SS2.p3.7.m6.1.1.1" xref="S3.SS2.p3.7.m6.1.1.1.cmml">≔</mo><mn id="S3.SS2.p3.7.m6.1.1.3" xref="S3.SS2.p3.7.m6.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p3.7.m6.1b"><apply id="S3.SS2.p3.7.m6.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.7.m6.1.1"><ci id="S3.SS2.p3.7.m6.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.7.m6.1.1.1">≔</ci><apply id="S3.SS2.p3.7.m6.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.7.m6.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p3.7.m6.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.7.m6.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p3.7.m6.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.7.m6.1.1.2.2">𝑤</ci><apply id="S3.SS2.p3.7.m6.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p3.7.m6.1.1.2.3"><times id="S3.SS2.p3.7.m6.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.7.m6.1.1.2.3.1"></times><ci id="S3.SS2.p3.7.m6.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.7.m6.1.1.2.3.2">𝑛</ci><apply id="S3.SS2.p3.7.m6.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p3.7.m6.1.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p3.7.m6.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.7.m6.1.1.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p3.7.m6.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.7.m6.1.1.2.3.3.2">𝑛</ci><ci id="S3.SS2.p3.7.m6.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p3.7.m6.1.1.2.3.3.3">′</ci></apply></apply></apply><cn id="S3.SS2.p3.7.m6.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p3.7.m6.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p3.7.m6.1c">w_{nn^{\prime}}\coloneqq 1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p3.7.m6.1d">italic_w start_POSTSUBSCRIPT italic_n italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ≔ 1</annotation></semantics></math>, if <math alttext="\{n,n^{\prime}\}\in\mathcal{E}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p3.8.m7.2"><semantics id="S3.SS2.p3.8.m7.2a"><mrow id="S3.SS2.p3.8.m7.2.2" xref="S3.SS2.p3.8.m7.2.2.cmml"><mrow id="S3.SS2.p3.8.m7.2.2.1.1" xref="S3.SS2.p3.8.m7.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.p3.8.m7.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p3.8.m7.2.2.1.2.cmml">{</mo><mi id="S3.SS2.p3.8.m7.1.1" xref="S3.SS2.p3.8.m7.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.SS2.p3.8.m7.2.2.1.1.3" xref="S3.SS2.p3.8.m7.2.2.1.2.cmml">,</mo><msup id="S3.SS2.p3.8.m7.2.2.1.1.1" xref="S3.SS2.p3.8.m7.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p3.8.m7.2.2.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p3.8.m7.2.2.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S3.SS2.p3.8.m7.2.2.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p3.8.m7.2.2.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.SS2.p3.8.m7.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.SS2.p3.8.m7.2.2.1.2.cmml">}</mo></mrow><mo id="S3.SS2.p3.8.m7.2.2.2" xref="S3.SS2.p3.8.m7.2.2.2.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS2.p3.8.m7.2.2.3" xref="S3.SS2.p3.8.m7.2.2.3.cmml">ℰ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p3.8.m7.2b"><apply id="S3.SS2.p3.8.m7.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.8.m7.2.2"><in id="S3.SS2.p3.8.m7.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.8.m7.2.2.2"></in><set id="S3.SS2.p3.8.m7.2.2.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.8.m7.2.2.1.1"><ci id="S3.SS2.p3.8.m7.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.8.m7.1.1">𝑛</ci><apply id="S3.SS2.p3.8.m7.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.8.m7.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p3.8.m7.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.8.m7.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p3.8.m7.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.8.m7.2.2.1.1.1.2">𝑛</ci><ci id="S3.SS2.p3.8.m7.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p3.8.m7.2.2.1.1.1.3">′</ci></apply></set><ci id="S3.SS2.p3.8.m7.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p3.8.m7.2.2.3">ℰ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p3.8.m7.2c">\{n,n^{\prime}\}\in\mathcal{E}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p3.8.m7.2d">{ italic_n , italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT } ∈ caligraphic_E</annotation></semantics></math>, <math alttext="w_{nn^{\prime}}\coloneqq 0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p3.9.m8.1"><semantics id="S3.SS2.p3.9.m8.1a"><mrow id="S3.SS2.p3.9.m8.1.1" xref="S3.SS2.p3.9.m8.1.1.cmml"><msub id="S3.SS2.p3.9.m8.1.1.2" xref="S3.SS2.p3.9.m8.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p3.9.m8.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p3.9.m8.1.1.2.2.cmml">w</mi><mrow id="S3.SS2.p3.9.m8.1.1.2.3" xref="S3.SS2.p3.9.m8.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p3.9.m8.1.1.2.3.2" xref="S3.SS2.p3.9.m8.1.1.2.3.2.cmml">n</mi><mo id="S3.SS2.p3.9.m8.1.1.2.3.1" xref="S3.SS2.p3.9.m8.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.SS2.p3.9.m8.1.1.2.3.3" xref="S3.SS2.p3.9.m8.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p3.9.m8.1.1.2.3.3.2" xref="S3.SS2.p3.9.m8.1.1.2.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S3.SS2.p3.9.m8.1.1.2.3.3.3" xref="S3.SS2.p3.9.m8.1.1.2.3.3.3.cmml">′</mo></msup></mrow></msub><mo id="S3.SS2.p3.9.m8.1.1.1" xref="S3.SS2.p3.9.m8.1.1.1.cmml">≔</mo><mn id="S3.SS2.p3.9.m8.1.1.3" xref="S3.SS2.p3.9.m8.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p3.9.m8.1b"><apply id="S3.SS2.p3.9.m8.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.9.m8.1.1"><ci id="S3.SS2.p3.9.m8.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.9.m8.1.1.1">≔</ci><apply id="S3.SS2.p3.9.m8.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.9.m8.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p3.9.m8.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.9.m8.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p3.9.m8.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.9.m8.1.1.2.2">𝑤</ci><apply id="S3.SS2.p3.9.m8.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p3.9.m8.1.1.2.3"><times id="S3.SS2.p3.9.m8.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.9.m8.1.1.2.3.1"></times><ci id="S3.SS2.p3.9.m8.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.9.m8.1.1.2.3.2">𝑛</ci><apply id="S3.SS2.p3.9.m8.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p3.9.m8.1.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p3.9.m8.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.9.m8.1.1.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p3.9.m8.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.9.m8.1.1.2.3.3.2">𝑛</ci><ci id="S3.SS2.p3.9.m8.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p3.9.m8.1.1.2.3.3.3">′</ci></apply></apply></apply><cn id="S3.SS2.p3.9.m8.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p3.9.m8.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p3.9.m8.1c">w_{nn^{\prime}}\coloneqq 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p3.9.m8.1d">italic_w start_POSTSUBSCRIPT italic_n italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ≔ 0</annotation></semantics></math>, if <math alttext="\{n,n^{\prime}\}\notin\mathcal{E}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p3.10.m9.2"><semantics id="S3.SS2.p3.10.m9.2a"><mrow id="S3.SS2.p3.10.m9.2.2" xref="S3.SS2.p3.10.m9.2.2.cmml"><mrow id="S3.SS2.p3.10.m9.2.2.1.1" xref="S3.SS2.p3.10.m9.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.p3.10.m9.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p3.10.m9.2.2.1.2.cmml">{</mo><mi 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id="S3.SS2.p3.12.m11.1.1" xref="S3.SS2.p3.12.m11.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS2.p3.12.m11.1.1.2" xref="S3.SS2.p3.12.m11.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.p3.12.m11.1.1.2.1" rspace="0.167em" xref="S3.SS2.p3.12.m11.1.1.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S3.SS2.p3.12.m11.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p3.12.m11.1.1.2.2.cmml">n</mi></mrow><mo id="S3.SS2.p3.12.m11.1.1.1" xref="S3.SS2.p3.12.m11.1.1.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS2.p3.12.m11.1.1.3" xref="S3.SS2.p3.12.m11.1.1.3.cmml">𝒩</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p3.12.m11.1b"><apply id="S3.SS2.p3.12.m11.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.12.m11.1.1"><in id="S3.SS2.p3.12.m11.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.12.m11.1.1.1"></in><apply id="S3.SS2.p3.12.m11.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.12.m11.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.p3.12.m11.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.12.m11.1.1.2.1">for-all</csymbol><ci id="S3.SS2.p3.12.m11.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.12.m11.1.1.2.2">𝑛</ci></apply><ci id="S3.SS2.p3.12.m11.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p3.12.m11.1.1.3">𝒩</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p3.12.m11.1c">\forall n\in\mathcal{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p3.12.m11.1d">∀ italic_n ∈ caligraphic_N</annotation></semantics></math>. Further, <math alttext="\operatorname{diag}(\cdot)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p3.13.m12.2"><semantics id="S3.SS2.p3.13.m12.2a"><mrow id="S3.SS2.p3.13.m12.2.3.2" xref="S3.SS2.p3.13.m12.2.3.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p3.13.m12.1.1" xref="S3.SS2.p3.13.m12.1.1.cmml">diag</mi><mo id="S3.SS2.p3.13.m12.2.3.2a" xref="S3.SS2.p3.13.m12.2.3.1.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.SS2.p3.13.m12.2.3.2.1" xref="S3.SS2.p3.13.m12.2.3.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p3.13.m12.2.3.2.1.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p3.13.m12.2.3.1.cmml">(</mo><mo id="S3.SS2.p3.13.m12.2.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.SS2.p3.13.m12.2.2.cmml">⋅</mo><mo id="S3.SS2.p3.13.m12.2.3.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p3.13.m12.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p3.13.m12.2b"><apply id="S3.SS2.p3.13.m12.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.13.m12.2.3.2"><ci id="S3.SS2.p3.13.m12.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.13.m12.1.1">diag</ci><ci id="S3.SS2.p3.13.m12.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.13.m12.2.2">⋅</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p3.13.m12.2c">\operatorname{diag}(\cdot)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p3.13.m12.2d">roman_diag ( ⋅ )</annotation></semantics></math> transforms a vector into a diagonal matrix with the entries of the vector placed at the main diagonal of the matrix, and <math alttext="\mathbf{1}_{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p3.14.m13.1"><semantics id="S3.SS2.p3.14.m13.1a"><msub id="S3.SS2.p3.14.m13.1.1" xref="S3.SS2.p3.14.m13.1.1.cmml"><mn id="S3.SS2.p3.14.m13.1.1.2" xref="S3.SS2.p3.14.m13.1.1.2.cmml">𝟏</mn><mi id="S3.SS2.p3.14.m13.1.1.3" xref="S3.SS2.p3.14.m13.1.1.3.cmml">N</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p3.14.m13.1b"><apply id="S3.SS2.p3.14.m13.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.14.m13.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p3.14.m13.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.14.m13.1.1">subscript</csymbol><cn id="S3.SS2.p3.14.m13.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p3.14.m13.1.1.2">1</cn><ci id="S3.SS2.p3.14.m13.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p3.14.m13.1.1.3">𝑁</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p3.14.m13.1c">\mathbf{1}_{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p3.14.m13.1d">bold_1 start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is the <math alttext="N\times 1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p3.15.m14.1"><semantics id="S3.SS2.p3.15.m14.1a"><mrow id="S3.SS2.p3.15.m14.1.1" xref="S3.SS2.p3.15.m14.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p3.15.m14.1.1.2" xref="S3.SS2.p3.15.m14.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S3.SS2.p3.15.m14.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.SS2.p3.15.m14.1.1.1.cmml">×</mo><mn id="S3.SS2.p3.15.m14.1.1.3" xref="S3.SS2.p3.15.m14.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p3.15.m14.1b"><apply id="S3.SS2.p3.15.m14.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.15.m14.1.1"><times id="S3.SS2.p3.15.m14.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.15.m14.1.1.1"></times><ci id="S3.SS2.p3.15.m14.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.15.m14.1.1.2">𝑁</ci><cn id="S3.SS2.p3.15.m14.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p3.15.m14.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p3.15.m14.1c">N\times 1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p3.15.m14.1d">italic_N × 1</annotation></semantics></math> all-one vector. Additionally, <math alttext="\gamma\in(\,0,1/\lVert\mathbf{L}\rVert_{2}\,]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p3.16.m15.3"><semantics id="S3.SS2.p3.16.m15.3a"><mrow id="S3.SS2.p3.16.m15.3.3" xref="S3.SS2.p3.16.m15.3.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p3.16.m15.3.3.3" xref="S3.SS2.p3.16.m15.3.3.3.cmml">γ</mi><mo id="S3.SS2.p3.16.m15.3.3.2" xref="S3.SS2.p3.16.m15.3.3.2.cmml">∈</mo><mrow id="S3.SS2.p3.16.m15.3.3.1.1" xref="S3.SS2.p3.16.m15.3.3.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.p3.16.m15.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p3.16.m15.3.3.1.2.cmml">(</mo><mn id="S3.SS2.p3.16.m15.2.2" xref="S3.SS2.p3.16.m15.2.2.cmml"> 0</mn><mo id="S3.SS2.p3.16.m15.3.3.1.1.3" xref="S3.SS2.p3.16.m15.3.3.1.2.cmml">,</mo><mrow id="S3.SS2.p3.16.m15.3.3.1.1.1" xref="S3.SS2.p3.16.m15.3.3.1.1.1.cmml"><mn id="S3.SS2.p3.16.m15.3.3.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p3.16.m15.3.3.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S3.SS2.p3.16.m15.3.3.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p3.16.m15.3.3.1.1.1.1.cmml">/</mo><msub id="S3.SS2.p3.16.m15.3.3.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p3.16.m15.3.3.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.SS2.p3.16.m15.3.3.1.1.1.3.2.2" xref="S3.SS2.p3.16.m15.3.3.1.1.1.3.2.1.cmml"><mo fence="true" id="S3.SS2.p3.16.m15.3.3.1.1.1.3.2.2.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.SS2.p3.16.m15.3.3.1.1.1.3.2.1.1.cmml">∥</mo><mi id="S3.SS2.p3.16.m15.1.1" xref="S3.SS2.p3.16.m15.1.1.cmml">𝐋</mi><mo fence="true" id="S3.SS2.p3.16.m15.3.3.1.1.1.3.2.2.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.SS2.p3.16.m15.3.3.1.1.1.3.2.1.1.cmml">∥</mo></mrow><mn id="S3.SS2.p3.16.m15.3.3.1.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p3.16.m15.3.3.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S3.SS2.p3.16.m15.3.3.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.SS2.p3.16.m15.3.3.1.2.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p3.16.m15.3b"><apply id="S3.SS2.p3.16.m15.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p3.16.m15.3.3"><in id="S3.SS2.p3.16.m15.3.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.16.m15.3.3.2"></in><ci id="S3.SS2.p3.16.m15.3.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p3.16.m15.3.3.3">𝛾</ci><interval closure="open-closed" id="S3.SS2.p3.16.m15.3.3.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.16.m15.3.3.1.1"><cn id="S3.SS2.p3.16.m15.2.2.cmml" type="float" xref="S3.SS2.p3.16.m15.2.2"> 0</cn><apply id="S3.SS2.p3.16.m15.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.16.m15.3.3.1.1.1"><divide id="S3.SS2.p3.16.m15.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.16.m15.3.3.1.1.1.1"></divide><cn id="S3.SS2.p3.16.m15.3.3.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p3.16.m15.3.3.1.1.1.2">1</cn><apply id="S3.SS2.p3.16.m15.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p3.16.m15.3.3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p3.16.m15.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.16.m15.3.3.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p3.16.m15.3.3.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.16.m15.3.3.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.p3.16.m15.3.3.1.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.16.m15.3.3.1.1.1.3.2.2.1">delimited-∥∥</csymbol><ci id="S3.SS2.p3.16.m15.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.16.m15.1.1">𝐋</ci></apply><cn id="S3.SS2.p3.16.m15.3.3.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p3.16.m15.3.3.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p3.16.m15.3c">\gamma\in(\,0,1/\lVert\mathbf{L}\rVert_{2}\,]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p3.16.m15.3d">italic_γ ∈ ( 0 , 1 / ∥ bold_L ∥ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ]</annotation></semantics></math>, where <math alttext="\lVert\mathbf{L}\rVert_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p3.17.m16.1"><semantics id="S3.SS2.p3.17.m16.1a"><msub id="S3.SS2.p3.17.m16.1.2" xref="S3.SS2.p3.17.m16.1.2.cmml"><mrow id="S3.SS2.p3.17.m16.1.2.2.2" xref="S3.SS2.p3.17.m16.1.2.2.1.cmml"><mo fence="true" id="S3.SS2.p3.17.m16.1.2.2.2.1" rspace="0em" xref="S3.SS2.p3.17.m16.1.2.2.1.1.cmml">∥</mo><mi id="S3.SS2.p3.17.m16.1.1" xref="S3.SS2.p3.17.m16.1.1.cmml">𝐋</mi><mo fence="true" id="S3.SS2.p3.17.m16.1.2.2.2.2" lspace="0em" xref="S3.SS2.p3.17.m16.1.2.2.1.1.cmml">∥</mo></mrow><mn id="S3.SS2.p3.17.m16.1.2.3" xref="S3.SS2.p3.17.m16.1.2.3.cmml">2</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p3.17.m16.1b"><apply id="S3.SS2.p3.17.m16.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.17.m16.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p3.17.m16.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.17.m16.1.2">subscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p3.17.m16.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.17.m16.1.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.p3.17.m16.1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.17.m16.1.2.2.2.1">delimited-∥∥</csymbol><ci id="S3.SS2.p3.17.m16.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.17.m16.1.1">𝐋</ci></apply><cn id="S3.SS2.p3.17.m16.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p3.17.m16.1.2.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p3.17.m16.1c">\lVert\mathbf{L}\rVert_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p3.17.m16.1d">∥ bold_L ∥ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is the spectral norm of <math alttext="\mathbf{L}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p3.18.m17.1"><semantics id="S3.SS2.p3.18.m17.1a"><mi id="S3.SS2.p3.18.m17.1.1" xref="S3.SS2.p3.18.m17.1.1.cmml">𝐋</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p3.18.m17.1b"><ci id="S3.SS2.p3.18.m17.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.18.m17.1.1">𝐋</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p3.18.m17.1c">\mathbf{L}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p3.18.m17.1d">bold_L</annotation></semantics></math> <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib34" title="">34</a>]</cite>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p4"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p4.2">Owing to the definition of the Laplacian matrix, notice that the <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p4.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p4.1.m1.1a"><mi id="S3.SS2.p4.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.p4.1.m1.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p4.1.m1.1b"><ci id="S3.SS2.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.1.m1.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p4.1.m1.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p4.1.m1.1d">italic_n</annotation></semantics></math>th entry of <math alttext="A^{\textnormal{Q}}(\mathfrak{Q})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p4.2.m2.1"><semantics id="S3.SS2.p4.2.m2.1a"><mrow id="S3.SS2.p4.2.m2.1.2" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.2.cmml"><msup id="S3.SS2.p4.2.m2.1.2.2" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.2.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p4.2.m2.1.2.2.2" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.2.2.2.cmml">A</mi><mtext id="S3.SS2.p4.2.m2.1.2.2.3" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.2.2.3a.cmml">Q</mtext></msup><mo id="S3.SS2.p4.2.m2.1.2.1" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.p4.2.m2.1.2.3.2" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.p4.2.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.SS2.p4.2.m2.1.1" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.cmml">𝔔</mi><mo id="S3.SS2.p4.2.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p4.2.m2.1b"><apply id="S3.SS2.p4.2.m2.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.2"><times id="S3.SS2.p4.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.2.1"></times><apply id="S3.SS2.p4.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p4.2.m2.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p4.2.m2.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.2.2.2">𝐴</ci><ci id="S3.SS2.p4.2.m2.1.2.2.3a.cmml" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.2.2.3"><mtext id="S3.SS2.p4.2.m2.1.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.2.2.3">Q</mtext></ci></apply><ci id="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.1">𝔔</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p4.2.m2.1c">A^{\textnormal{Q}}(\mathfrak{Q})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p4.2.m2.1d">italic_A start_POSTSUPERSCRIPT Q end_POSTSUPERSCRIPT ( fraktur_Q )</annotation></semantics></math> in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E12.1" title="Equation 12a ‣ Equation 12 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">12a</span></a>) takes the following form:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A0.EGx16"> <tbody id="S3.E13"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle(\,A^{\textnormal{Q}}(\mathfrak{Q})\,)^{(n)}=(1-\gamma\lvert% \mathcal{N}_{n}\rvert)\,Q^{(n)}+\gamma\sum_{n^{\prime}\in\mathcal{N}_{n}}Q^{(n% ^{\prime})}\,." class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E13.m1.5"><semantics id="S3.E13.m1.5a"><mrow id="S3.E13.m1.5.5.1" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S3.E13.m1.5.5.1.1" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.cmml"><msup id="S3.E13.m1.5.5.1.1.1" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E13.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E13.m1.5.5.1.1.1.1.1.2" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E13.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.E13.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E13.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">A</mi><mtext id="S3.E13.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3a.cmml">Q</mtext></msup><mo id="S3.E13.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E13.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E13.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E13.m1.4.4" xref="S3.E13.m1.4.4.cmml">𝔔</mi><mo id="S3.E13.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.2" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E13.m1.5.5.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.E13.m1.1.1.1.3" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E13.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E13.m1.1.1.1.1" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.E13.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.E13.m1.5.5.1.1.3" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1.cmml"><mrow id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1.1.1" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml">1</mn><mo id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.3.cmml">γ</mi><mo id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝒩</mi><mi id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1.2" lspace="0.170em" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1.3" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1.3.cmml"><mi id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1.3.2" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1.3.2.cmml">Q</mi><mrow id="S3.E13.m1.2.2.1.3" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1.3.cmml"><mo id="S3.E13.m1.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1.3.cmml">(</mo><mi id="S3.E13.m1.2.2.1.1" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.E13.m1.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1.3.cmml">)</mo></mrow></msup></mrow><mo id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.2" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.2.cmml">+</mo><mrow id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.3" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.3.2" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.3.2.cmml">γ</mi><mo id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.3.1" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.3.3" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.3.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.3.3.1" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.cmml"><munder id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.3.3.1a" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.2" movablelimits="false" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.3" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.3.cmml"><msup id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.3.2" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.3.2.2" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.3.2.2.cmml">n</mi><mo id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.3.2.3" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.3.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.3.1" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.3.1.cmml">∈</mo><msub id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.3.3" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.3.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.3.3.2" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.3.3.2.cmml">𝒩</mi><mi id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.3.3.3" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.3.3.3.cmml">n</mi></msub></mrow></munder></mstyle><msup id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.3.3.2" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.3.3.2.cmml"><mi id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.3.3.2.2" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.3.3.2.2.cmml">Q</mi><mrow id="S3.E13.m1.3.3.1.1" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E13.m1.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.E13.m1.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E13.m1.5.5.1.2" lspace="0em" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E13.m1.5b"><apply id="S3.E13.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.5.5.1"><eq id="S3.E13.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.3"></eq><apply id="S3.E13.m1.5.5.1.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E13.m1.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E13.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.1.1.1"><times id="S3.E13.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.E13.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E13.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E13.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐴</ci><ci id="S3.E13.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3a.cmml" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3"><mtext id="S3.E13.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3">Q</mtext></ci></apply><ci id="S3.E13.m1.4.4.cmml" xref="S3.E13.m1.4.4">𝔔</ci></apply><ci id="S3.E13.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2"><plus id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.2"></plus><apply id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1"><times id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1.2.cmml" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1.2"></times><apply id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1.1.1"><minus id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2"></minus><cn id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.3">1</cn><apply id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1"><times id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.3">𝛾</ci><apply id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1"><abs id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝒩</ci><ci id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1.3.cmml" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1.3.1.cmml" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1.3.2.cmml" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.1.3.2">𝑄</ci><ci id="S3.E13.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1">𝑛</ci></apply></apply><apply id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.3"><times id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.3.1"></times><ci id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.3.2">𝛾</ci><apply id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.3.3"><apply id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.3.3.1">subscript</csymbol><sum id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.2.cmml" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.2"></sum><apply id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.3.cmml" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.3"><in id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.3.1.cmml" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.3.1"></in><apply id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.3.2.cmml" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.3.2.2">𝑛</ci><ci id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.3.2.3">′</ci></apply><apply id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.3.3.cmml" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.3.3.2">𝒩</ci><ci id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.3.3.3.cmml" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.3.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.3.3.2.1.cmml" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.3.3.2.2.cmml" xref="S3.E13.m1.5.5.1.1.2.3.3.2.2">𝑄</ci><apply id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.2">𝑛</ci><ci id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.3">′</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E13.m1.5c">\displaystyle(\,A^{\textnormal{Q}}(\mathfrak{Q})\,)^{(n)}=(1-\gamma\lvert% \mathcal{N}_{n}\rvert)\,Q^{(n)}+\gamma\sum_{n^{\prime}\in\mathcal{N}_{n}}Q^{(n% ^{\prime})}\,.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E13.m1.5d">( italic_A start_POSTSUPERSCRIPT Q end_POSTSUPERSCRIPT ( fraktur_Q ) ) start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT = ( 1 - italic_γ | caligraphic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT | ) italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT + italic_γ ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ caligraphic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(13)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p4.22">This is a clear demonstration of the distributive nature of <math alttext="A^{\textnormal{Q}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p4.3.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p4.3.m1.1a"><msup id="S3.SS2.p4.3.m1.1.1" xref="S3.SS2.p4.3.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p4.3.m1.1.1.2" xref="S3.SS2.p4.3.m1.1.1.2.cmml">A</mi><mtext id="S3.SS2.p4.3.m1.1.1.3" xref="S3.SS2.p4.3.m1.1.1.3a.cmml">Q</mtext></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p4.3.m1.1b"><apply id="S3.SS2.p4.3.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.3.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p4.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.3.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p4.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.3.m1.1.1.2">𝐴</ci><ci id="S3.SS2.p4.3.m1.1.1.3a.cmml" xref="S3.SS2.p4.3.m1.1.1.3"><mtext id="S3.SS2.p4.3.m1.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.SS2.p4.3.m1.1.1.3">Q</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p4.3.m1.1c">A^{\textnormal{Q}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p4.3.m1.1d">italic_A start_POSTSUPERSCRIPT Q end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, because not only the local Q-function <math alttext="Q^{(n)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p4.4.m2.1"><semantics id="S3.SS2.p4.4.m2.1a"><msup id="S3.SS2.p4.4.m2.1.2" xref="S3.SS2.p4.4.m2.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p4.4.m2.1.2.2" xref="S3.SS2.p4.4.m2.1.2.2.cmml">Q</mi><mrow id="S3.SS2.p4.4.m2.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p4.4.m2.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.p4.4.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p4.4.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.SS2.p4.4.m2.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p4.4.m2.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.SS2.p4.4.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p4.4.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p4.4.m2.1b"><apply id="S3.SS2.p4.4.m2.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.4.m2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p4.4.m2.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.4.m2.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p4.4.m2.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.4.m2.1.2.2">𝑄</ci><ci id="S3.SS2.p4.4.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.4.m2.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p4.4.m2.1c">Q^{(n)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p4.4.m2.1d">italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> but also copies of <math alttext="\{Q^{(n^{\prime})}\}_{n^{\prime}\in\mathcal{N}_{n}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p4.5.m3.2"><semantics id="S3.SS2.p4.5.m3.2a"><msub id="S3.SS2.p4.5.m3.2.2" xref="S3.SS2.p4.5.m3.2.2.cmml"><mrow id="S3.SS2.p4.5.m3.2.2.1.1" xref="S3.SS2.p4.5.m3.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.p4.5.m3.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p4.5.m3.2.2.1.2.cmml">{</mo><msup id="S3.SS2.p4.5.m3.2.2.1.1.1" xref="S3.SS2.p4.5.m3.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p4.5.m3.2.2.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p4.5.m3.2.2.1.1.1.2.cmml">Q</mi><mrow id="S3.SS2.p4.5.m3.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p4.5.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p4.5.m3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p4.5.m3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.SS2.p4.5.m3.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p4.5.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p4.5.m3.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p4.5.m3.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S3.SS2.p4.5.m3.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p4.5.m3.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.SS2.p4.5.m3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.p4.5.m3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.SS2.p4.5.m3.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.p4.5.m3.2.2.1.2.cmml">}</mo></mrow><mrow id="S3.SS2.p4.5.m3.2.2.3" xref="S3.SS2.p4.5.m3.2.2.3.cmml"><msup id="S3.SS2.p4.5.m3.2.2.3.2" xref="S3.SS2.p4.5.m3.2.2.3.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p4.5.m3.2.2.3.2.2" xref="S3.SS2.p4.5.m3.2.2.3.2.2.cmml">n</mi><mo id="S3.SS2.p4.5.m3.2.2.3.2.3" xref="S3.SS2.p4.5.m3.2.2.3.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.SS2.p4.5.m3.2.2.3.1" xref="S3.SS2.p4.5.m3.2.2.3.1.cmml">∈</mo><msub id="S3.SS2.p4.5.m3.2.2.3.3" xref="S3.SS2.p4.5.m3.2.2.3.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS2.p4.5.m3.2.2.3.3.2" xref="S3.SS2.p4.5.m3.2.2.3.3.2.cmml">𝒩</mi><mi id="S3.SS2.p4.5.m3.2.2.3.3.3" xref="S3.SS2.p4.5.m3.2.2.3.3.3.cmml">n</mi></msub></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p4.5.m3.2b"><apply id="S3.SS2.p4.5.m3.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.5.m3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p4.5.m3.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.5.m3.2.2">subscript</csymbol><set id="S3.SS2.p4.5.m3.2.2.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.5.m3.2.2.1.1"><apply id="S3.SS2.p4.5.m3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.5.m3.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p4.5.m3.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.5.m3.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p4.5.m3.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.5.m3.2.2.1.1.1.2">𝑄</ci><apply id="S3.SS2.p4.5.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.5.m3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p4.5.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.5.m3.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p4.5.m3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.5.m3.1.1.1.1.1.2">𝑛</ci><ci id="S3.SS2.p4.5.m3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p4.5.m3.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply></apply></set><apply id="S3.SS2.p4.5.m3.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p4.5.m3.2.2.3"><in id="S3.SS2.p4.5.m3.2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.5.m3.2.2.3.1"></in><apply id="S3.SS2.p4.5.m3.2.2.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.5.m3.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p4.5.m3.2.2.3.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.5.m3.2.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p4.5.m3.2.2.3.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.5.m3.2.2.3.2.2">𝑛</ci><ci id="S3.SS2.p4.5.m3.2.2.3.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p4.5.m3.2.2.3.2.3">′</ci></apply><apply id="S3.SS2.p4.5.m3.2.2.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p4.5.m3.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p4.5.m3.2.2.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.5.m3.2.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p4.5.m3.2.2.3.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.5.m3.2.2.3.3.2">𝒩</ci><ci id="S3.SS2.p4.5.m3.2.2.3.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p4.5.m3.2.2.3.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p4.5.m3.2c">\{Q^{(n^{\prime})}\}_{n^{\prime}\in\mathcal{N}_{n}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p4.5.m3.2d">{ italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUPERSCRIPT } start_POSTSUBSCRIPT italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ caligraphic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> need to be transmitted from neighbors <math alttext="\mathcal{N}_{n}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p4.6.m4.1"><semantics id="S3.SS2.p4.6.m4.1a"><msub id="S3.SS2.p4.6.m4.1.1" xref="S3.SS2.p4.6.m4.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS2.p4.6.m4.1.1.2" xref="S3.SS2.p4.6.m4.1.1.2.cmml">𝒩</mi><mi id="S3.SS2.p4.6.m4.1.1.3" xref="S3.SS2.p4.6.m4.1.1.3.cmml">n</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p4.6.m4.1b"><apply id="S3.SS2.p4.6.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.6.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p4.6.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.6.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p4.6.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.6.m4.1.1.2">𝒩</ci><ci id="S3.SS2.p4.6.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p4.6.m4.1.1.3">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p4.6.m4.1c">\mathcal{N}_{n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p4.6.m4.1d">caligraphic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> to node <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p4.7.m5.1"><semantics id="S3.SS2.p4.7.m5.1a"><mi id="S3.SS2.p4.7.m5.1.1" xref="S3.SS2.p4.7.m5.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p4.7.m5.1b"><ci id="S3.SS2.p4.7.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.7.m5.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p4.7.m5.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p4.7.m5.1d">italic_n</annotation></semantics></math> to compute <math alttext="(\,A^{\textnormal{Q}}(\mathfrak{Q})\,)^{(n)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p4.8.m6.3"><semantics id="S3.SS2.p4.8.m6.3a"><msup id="S3.SS2.p4.8.m6.3.3" xref="S3.SS2.p4.8.m6.3.3.cmml"><mrow id="S3.SS2.p4.8.m6.3.3.1.1" xref="S3.SS2.p4.8.m6.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p4.8.m6.3.3.1.1.2" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S3.SS2.p4.8.m6.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS2.p4.8.m6.3.3.1.1.1" xref="S3.SS2.p4.8.m6.3.3.1.1.1.cmml"><msup id="S3.SS2.p4.8.m6.3.3.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p4.8.m6.3.3.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p4.8.m6.3.3.1.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p4.8.m6.3.3.1.1.1.2.2.cmml">A</mi><mtext id="S3.SS2.p4.8.m6.3.3.1.1.1.2.3" xref="S3.SS2.p4.8.m6.3.3.1.1.1.2.3a.cmml">Q</mtext></msup><mo id="S3.SS2.p4.8.m6.3.3.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p4.8.m6.3.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.p4.8.m6.3.3.1.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p4.8.m6.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p4.8.m6.3.3.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p4.8.m6.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS2.p4.8.m6.2.2" xref="S3.SS2.p4.8.m6.2.2.cmml">𝔔</mi><mo id="S3.SS2.p4.8.m6.3.3.1.1.1.3.2.2" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S3.SS2.p4.8.m6.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS2.p4.8.m6.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.p4.8.m6.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.SS2.p4.8.m6.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p4.8.m6.3.3.cmml"><mo id="S3.SS2.p4.8.m6.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p4.8.m6.3.3.cmml">(</mo><mi id="S3.SS2.p4.8.m6.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p4.8.m6.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.SS2.p4.8.m6.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p4.8.m6.3.3.cmml">)</mo></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p4.8.m6.3b"><apply id="S3.SS2.p4.8.m6.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p4.8.m6.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p4.8.m6.3.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.8.m6.3.3">superscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p4.8.m6.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.8.m6.3.3.1.1"><times id="S3.SS2.p4.8.m6.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.8.m6.3.3.1.1.1.1"></times><apply id="S3.SS2.p4.8.m6.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.8.m6.3.3.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p4.8.m6.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.8.m6.3.3.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p4.8.m6.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.8.m6.3.3.1.1.1.2.2">𝐴</ci><ci id="S3.SS2.p4.8.m6.3.3.1.1.1.2.3a.cmml" xref="S3.SS2.p4.8.m6.3.3.1.1.1.2.3"><mtext id="S3.SS2.p4.8.m6.3.3.1.1.1.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.SS2.p4.8.m6.3.3.1.1.1.2.3">Q</mtext></ci></apply><ci id="S3.SS2.p4.8.m6.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.8.m6.2.2">𝔔</ci></apply><ci id="S3.SS2.p4.8.m6.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.8.m6.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p4.8.m6.3c">(\,A^{\textnormal{Q}}(\mathfrak{Q})\,)^{(n)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p4.8.m6.3d">( italic_A start_POSTSUPERSCRIPT Q end_POSTSUPERSCRIPT ( fraktur_Q ) ) start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. Because of <math alttext="\gamma\in(\,0,1/\lVert\mathbf{L}\rVert_{2}\,]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p4.9.m7.3"><semantics id="S3.SS2.p4.9.m7.3a"><mrow id="S3.SS2.p4.9.m7.3.3" xref="S3.SS2.p4.9.m7.3.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p4.9.m7.3.3.3" xref="S3.SS2.p4.9.m7.3.3.3.cmml">γ</mi><mo id="S3.SS2.p4.9.m7.3.3.2" xref="S3.SS2.p4.9.m7.3.3.2.cmml">∈</mo><mrow id="S3.SS2.p4.9.m7.3.3.1.1" xref="S3.SS2.p4.9.m7.3.3.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.p4.9.m7.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p4.9.m7.3.3.1.2.cmml">(</mo><mn id="S3.SS2.p4.9.m7.2.2" xref="S3.SS2.p4.9.m7.2.2.cmml"> 0</mn><mo id="S3.SS2.p4.9.m7.3.3.1.1.3" xref="S3.SS2.p4.9.m7.3.3.1.2.cmml">,</mo><mrow id="S3.SS2.p4.9.m7.3.3.1.1.1" xref="S3.SS2.p4.9.m7.3.3.1.1.1.cmml"><mn id="S3.SS2.p4.9.m7.3.3.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p4.9.m7.3.3.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S3.SS2.p4.9.m7.3.3.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p4.9.m7.3.3.1.1.1.1.cmml">/</mo><msub id="S3.SS2.p4.9.m7.3.3.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p4.9.m7.3.3.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.SS2.p4.9.m7.3.3.1.1.1.3.2.2" xref="S3.SS2.p4.9.m7.3.3.1.1.1.3.2.1.cmml"><mo fence="true" id="S3.SS2.p4.9.m7.3.3.1.1.1.3.2.2.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.SS2.p4.9.m7.3.3.1.1.1.3.2.1.1.cmml">∥</mo><mi id="S3.SS2.p4.9.m7.1.1" xref="S3.SS2.p4.9.m7.1.1.cmml">𝐋</mi><mo fence="true" id="S3.SS2.p4.9.m7.3.3.1.1.1.3.2.2.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.SS2.p4.9.m7.3.3.1.1.1.3.2.1.1.cmml">∥</mo></mrow><mn id="S3.SS2.p4.9.m7.3.3.1.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p4.9.m7.3.3.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S3.SS2.p4.9.m7.3.3.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.SS2.p4.9.m7.3.3.1.2.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p4.9.m7.3b"><apply id="S3.SS2.p4.9.m7.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p4.9.m7.3.3"><in id="S3.SS2.p4.9.m7.3.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.9.m7.3.3.2"></in><ci id="S3.SS2.p4.9.m7.3.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p4.9.m7.3.3.3">𝛾</ci><interval closure="open-closed" id="S3.SS2.p4.9.m7.3.3.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.9.m7.3.3.1.1"><cn id="S3.SS2.p4.9.m7.2.2.cmml" type="float" xref="S3.SS2.p4.9.m7.2.2"> 0</cn><apply id="S3.SS2.p4.9.m7.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.9.m7.3.3.1.1.1"><divide id="S3.SS2.p4.9.m7.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.9.m7.3.3.1.1.1.1"></divide><cn id="S3.SS2.p4.9.m7.3.3.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p4.9.m7.3.3.1.1.1.2">1</cn><apply id="S3.SS2.p4.9.m7.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p4.9.m7.3.3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p4.9.m7.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.9.m7.3.3.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p4.9.m7.3.3.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.9.m7.3.3.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.p4.9.m7.3.3.1.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.9.m7.3.3.1.1.1.3.2.2.1">delimited-∥∥</csymbol><ci id="S3.SS2.p4.9.m7.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.9.m7.1.1">𝐋</ci></apply><cn id="S3.SS2.p4.9.m7.3.3.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p4.9.m7.3.3.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p4.9.m7.3c">\gamma\in(\,0,1/\lVert\mathbf{L}\rVert_{2}\,]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p4.9.m7.3d">italic_γ ∈ ( 0 , 1 / ∥ bold_L ∥ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ]</annotation></semantics></math>, it can be verified that <math alttext="\lVert A^{\textnormal{Q}}\rVert=\lVert\mathbf{I}_{N}-\gamma\mathbf{L}\rVert_{2% }\leq 1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p4.10.m8.2"><semantics id="S3.SS2.p4.10.m8.2a"><mrow id="S3.SS2.p4.10.m8.2.2" xref="S3.SS2.p4.10.m8.2.2.cmml"><mrow id="S3.SS2.p4.10.m8.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p4.10.m8.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S3.SS2.p4.10.m8.1.1.1.1.2" rspace="0em" xref="S3.SS2.p4.10.m8.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo><msup id="S3.SS2.p4.10.m8.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p4.10.m8.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p4.10.m8.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p4.10.m8.1.1.1.1.1.2.cmml">A</mi><mtext id="S3.SS2.p4.10.m8.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p4.10.m8.1.1.1.1.1.3a.cmml">Q</mtext></msup><mo fence="true" id="S3.SS2.p4.10.m8.1.1.1.1.3" lspace="0em" rspace="0.1389em" xref="S3.SS2.p4.10.m8.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mo id="S3.SS2.p4.10.m8.2.2.4" lspace="0.1389em" rspace="0.1389em" xref="S3.SS2.p4.10.m8.2.2.4.cmml">=</mo><msub id="S3.SS2.p4.10.m8.2.2.2" xref="S3.SS2.p4.10.m8.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.SS2.p4.10.m8.2.2.2.1.1" xref="S3.SS2.p4.10.m8.2.2.2.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S3.SS2.p4.10.m8.2.2.2.1.1.2" lspace="0.1389em" rspace="0em" xref="S3.SS2.p4.10.m8.2.2.2.1.2.1.cmml">∥</mo><mrow id="S3.SS2.p4.10.m8.2.2.2.1.1.1" xref="S3.SS2.p4.10.m8.2.2.2.1.1.1.cmml"><msub id="S3.SS2.p4.10.m8.2.2.2.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p4.10.m8.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p4.10.m8.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p4.10.m8.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml">𝐈</mi><mi id="S3.SS2.p4.10.m8.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="S3.SS2.p4.10.m8.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml">N</mi></msub><mo id="S3.SS2.p4.10.m8.2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p4.10.m8.2.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.SS2.p4.10.m8.2.2.2.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p4.10.m8.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p4.10.m8.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p4.10.m8.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">γ</mi><mo id="S3.SS2.p4.10.m8.2.2.2.1.1.1.3.1" xref="S3.SS2.p4.10.m8.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p4.10.m8.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p4.10.m8.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml">𝐋</mi></mrow></mrow><mo fence="true" id="S3.SS2.p4.10.m8.2.2.2.1.1.3" lspace="0em" rspace="0.1389em" xref="S3.SS2.p4.10.m8.2.2.2.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mn id="S3.SS2.p4.10.m8.2.2.2.3" xref="S3.SS2.p4.10.m8.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S3.SS2.p4.10.m8.2.2.5" lspace="0.1389em" xref="S3.SS2.p4.10.m8.2.2.5.cmml">≤</mo><mn id="S3.SS2.p4.10.m8.2.2.6" xref="S3.SS2.p4.10.m8.2.2.6.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p4.10.m8.2b"><apply id="S3.SS2.p4.10.m8.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.10.m8.2.2"><and id="S3.SS2.p4.10.m8.2.2a.cmml" xref="S3.SS2.p4.10.m8.2.2"></and><apply id="S3.SS2.p4.10.m8.2.2b.cmml" xref="S3.SS2.p4.10.m8.2.2"><eq id="S3.SS2.p4.10.m8.2.2.4.cmml" xref="S3.SS2.p4.10.m8.2.2.4"></eq><apply id="S3.SS2.p4.10.m8.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.10.m8.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.p4.10.m8.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.10.m8.1.1.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="S3.SS2.p4.10.m8.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.10.m8.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p4.10.m8.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.10.m8.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p4.10.m8.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.10.m8.1.1.1.1.1.2">𝐴</ci><ci id="S3.SS2.p4.10.m8.1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S3.SS2.p4.10.m8.1.1.1.1.1.3"><mtext id="S3.SS2.p4.10.m8.1.1.1.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.SS2.p4.10.m8.1.1.1.1.1.3">Q</mtext></ci></apply></apply><apply id="S3.SS2.p4.10.m8.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.10.m8.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p4.10.m8.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.10.m8.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p4.10.m8.2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.10.m8.2.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.p4.10.m8.2.2.2.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.10.m8.2.2.2.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="S3.SS2.p4.10.m8.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.10.m8.2.2.2.1.1.1"><minus id="S3.SS2.p4.10.m8.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.10.m8.2.2.2.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.SS2.p4.10.m8.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.10.m8.2.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p4.10.m8.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.10.m8.2.2.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p4.10.m8.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.10.m8.2.2.2.1.1.1.2.2">𝐈</ci><ci id="S3.SS2.p4.10.m8.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p4.10.m8.2.2.2.1.1.1.2.3">𝑁</ci></apply><apply id="S3.SS2.p4.10.m8.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p4.10.m8.2.2.2.1.1.1.3"><times id="S3.SS2.p4.10.m8.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.10.m8.2.2.2.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.SS2.p4.10.m8.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.10.m8.2.2.2.1.1.1.3.2">𝛾</ci><ci id="S3.SS2.p4.10.m8.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p4.10.m8.2.2.2.1.1.1.3.3">𝐋</ci></apply></apply></apply><cn id="S3.SS2.p4.10.m8.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p4.10.m8.2.2.2.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.SS2.p4.10.m8.2.2c.cmml" xref="S3.SS2.p4.10.m8.2.2"><leq id="S3.SS2.p4.10.m8.2.2.5.cmml" xref="S3.SS2.p4.10.m8.2.2.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.SS2.p4.10.m8.2.2.2.cmml" id="S3.SS2.p4.10.m8.2.2d.cmml" xref="S3.SS2.p4.10.m8.2.2"></share><cn id="S3.SS2.p4.10.m8.2.2.6.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p4.10.m8.2.2.6">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p4.10.m8.2c">\lVert A^{\textnormal{Q}}\rVert=\lVert\mathbf{I}_{N}-\gamma\mathbf{L}\rVert_{2% }\leq 1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p4.10.m8.2d">∥ italic_A start_POSTSUPERSCRIPT Q end_POSTSUPERSCRIPT ∥ = ∥ bold_I start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT - italic_γ bold_L ∥ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ≤ 1</annotation></semantics></math>, where <math alttext="\lVert A^{\textnormal{Q}}\rVert" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p4.11.m9.1"><semantics id="S3.SS2.p4.11.m9.1a"><mrow id="S3.SS2.p4.11.m9.1.1.1" xref="S3.SS2.p4.11.m9.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S3.SS2.p4.11.m9.1.1.1.2" rspace="0em" xref="S3.SS2.p4.11.m9.1.1.2.1.cmml">∥</mo><msup id="S3.SS2.p4.11.m9.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p4.11.m9.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p4.11.m9.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p4.11.m9.1.1.1.1.2.cmml">A</mi><mtext id="S3.SS2.p4.11.m9.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p4.11.m9.1.1.1.1.3a.cmml">Q</mtext></msup><mo fence="true" id="S3.SS2.p4.11.m9.1.1.1.3" lspace="0em" xref="S3.SS2.p4.11.m9.1.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p4.11.m9.1b"><apply id="S3.SS2.p4.11.m9.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.11.m9.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.p4.11.m9.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.11.m9.1.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="S3.SS2.p4.11.m9.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.11.m9.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p4.11.m9.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.11.m9.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p4.11.m9.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.11.m9.1.1.1.1.2">𝐴</ci><ci id="S3.SS2.p4.11.m9.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S3.SS2.p4.11.m9.1.1.1.1.3"><mtext id="S3.SS2.p4.11.m9.1.1.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.SS2.p4.11.m9.1.1.1.1.3">Q</mtext></ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p4.11.m9.1c">\lVert A^{\textnormal{Q}}\rVert</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p4.11.m9.1d">∥ italic_A start_POSTSUPERSCRIPT Q end_POSTSUPERSCRIPT ∥</annotation></semantics></math> is the norm induced by the inner product <math alttext="\langle\cdot\mathop{}|\mathop{}\cdot\rangle_{\mathbfcal{H}}" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S3.SS2.p4.12.m10.1"><semantics id="S3.SS2.p4.12.m10.1a"><msub id="S3.SS2.p4.12.m10.1.1"><mrow id="S3.SS2.p4.12.m10.1.1.2"><mo id="S3.SS2.p4.12.m10.1.1.2.1" stretchy="false">⟨</mo><mo id="S3.SS2.p4.12.m10.1.1.2.2" lspace="0em" rspace="0em">⋅</mo><mo fence="false" id="S3.SS2.p4.12.m10.1.1.2.3" stretchy="false">|</mo><mo id="S3.SS2.p4.12.m10.1.1.2.4" lspace="0em" rspace="0em">⋅</mo><mo id="S3.SS2.p4.12.m10.1.1.2.5" stretchy="false">⟩</mo></mrow><mi id="S3.SS2.p4.12.m10.1.1.3" mathvariant="normal">ℋ</mi></msub><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p4.12.m10.1b">\langle\cdot\mathop{}|\mathop{}\cdot\rangle_{\mathbfcal{H}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p4.12.m10.1c">⟨ ⋅ | ⋅ ⟩ start_POSTSUBSCRIPT roman_ℋ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Moreover, because <math alttext="\gamma\leq 1/\lVert\mathbf{L}\rVert_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p4.13.m11.1"><semantics id="S3.SS2.p4.13.m11.1a"><mrow id="S3.SS2.p4.13.m11.1.2" xref="S3.SS2.p4.13.m11.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p4.13.m11.1.2.2" xref="S3.SS2.p4.13.m11.1.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S3.SS2.p4.13.m11.1.2.1" xref="S3.SS2.p4.13.m11.1.2.1.cmml">≤</mo><mrow id="S3.SS2.p4.13.m11.1.2.3" xref="S3.SS2.p4.13.m11.1.2.3.cmml"><mn id="S3.SS2.p4.13.m11.1.2.3.2" xref="S3.SS2.p4.13.m11.1.2.3.2.cmml">1</mn><mo id="S3.SS2.p4.13.m11.1.2.3.1" xref="S3.SS2.p4.13.m11.1.2.3.1.cmml">/</mo><msub id="S3.SS2.p4.13.m11.1.2.3.3" xref="S3.SS2.p4.13.m11.1.2.3.3.cmml"><mrow id="S3.SS2.p4.13.m11.1.2.3.3.2.2" xref="S3.SS2.p4.13.m11.1.2.3.3.2.1.cmml"><mo fence="true" id="S3.SS2.p4.13.m11.1.2.3.3.2.2.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.SS2.p4.13.m11.1.2.3.3.2.1.1.cmml">∥</mo><mi id="S3.SS2.p4.13.m11.1.1" xref="S3.SS2.p4.13.m11.1.1.cmml">𝐋</mi><mo fence="true" id="S3.SS2.p4.13.m11.1.2.3.3.2.2.2" lspace="0em" xref="S3.SS2.p4.13.m11.1.2.3.3.2.1.1.cmml">∥</mo></mrow><mn id="S3.SS2.p4.13.m11.1.2.3.3.3" xref="S3.SS2.p4.13.m11.1.2.3.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p4.13.m11.1b"><apply id="S3.SS2.p4.13.m11.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.13.m11.1.2"><leq id="S3.SS2.p4.13.m11.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.13.m11.1.2.1"></leq><ci id="S3.SS2.p4.13.m11.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.13.m11.1.2.2">𝛾</ci><apply id="S3.SS2.p4.13.m11.1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p4.13.m11.1.2.3"><divide id="S3.SS2.p4.13.m11.1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.13.m11.1.2.3.1"></divide><cn id="S3.SS2.p4.13.m11.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p4.13.m11.1.2.3.2">1</cn><apply id="S3.SS2.p4.13.m11.1.2.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p4.13.m11.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p4.13.m11.1.2.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.13.m11.1.2.3.3">subscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p4.13.m11.1.2.3.3.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.13.m11.1.2.3.3.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.p4.13.m11.1.2.3.3.2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.13.m11.1.2.3.3.2.2.1">delimited-∥∥</csymbol><ci id="S3.SS2.p4.13.m11.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.13.m11.1.1">𝐋</ci></apply><cn id="S3.SS2.p4.13.m11.1.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p4.13.m11.1.2.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p4.13.m11.1c">\gamma\leq 1/\lVert\mathbf{L}\rVert_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p4.13.m11.1d">italic_γ ≤ 1 / ∥ bold_L ∥ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, it can be verified that <math alttext="\langle A^{\textnormal{Q}}(\mathfrak{Q})\mathop{}|\mathop{}\mathfrak{Q}\rangle% _{\mathbfcal{H}}\geq 0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p4.14.m12.3"><semantics id="S3.SS2.p4.14.m12.3a"><mrow id="S3.SS2.p4.14.m12.3.3" xref="S3.SS2.p4.14.m12.3.3.cmml"><msub id="S3.SS2.p4.14.m12.3.3.1" xref="S3.SS2.p4.14.m12.3.3.1.cmml"><mrow id="S3.SS2.p4.14.m12.3.3.1.1.1" xref="S3.SS2.p4.14.m12.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.p4.14.m12.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p4.14.m12.3.3.1.1.2.1.cmml">⟨</mo><mrow id="S3.SS2.p4.14.m12.3.3.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p4.14.m12.3.3.1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.SS2.p4.14.m12.3.3.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p4.14.m12.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p4.14.m12.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p4.14.m12.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">A</mi><mtext id="S3.SS2.p4.14.m12.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="S3.SS2.p4.14.m12.3.3.1.1.1.1.2.3a.cmml">Q</mtext></msup><mo id="S3.SS2.p4.14.m12.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p4.14.m12.3.3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.p4.14.m12.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p4.14.m12.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p4.14.m12.3.3.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p4.14.m12.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS2.p4.14.m12.1.1" xref="S3.SS2.p4.14.m12.1.1.cmml">𝔔</mi><mo id="S3.SS2.p4.14.m12.3.3.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p4.14.m12.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS2.p4.14.m12.3.3.1.1.1.3" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.SS2.p4.14.m12.3.3.1.1.2.1.cmml">|</mo><mi id="S3.SS2.p4.14.m12.2.2" xref="S3.SS2.p4.14.m12.2.2.cmml">𝔔</mi><mo id="S3.SS2.p4.14.m12.3.3.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.SS2.p4.14.m12.3.3.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mi id="S3.SS2.p4.14.m12.3.3.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p4.14.m12.3.3.1.3.cmml">ℋ</mi></msub><mo id="S3.SS2.p4.14.m12.3.3.2" xref="S3.SS2.p4.14.m12.3.3.2.cmml">≥</mo><mn id="S3.SS2.p4.14.m12.3.3.3" xref="S3.SS2.p4.14.m12.3.3.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p4.14.m12.3b"><apply id="S3.SS2.p4.14.m12.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p4.14.m12.3.3"><geq id="S3.SS2.p4.14.m12.3.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.14.m12.3.3.2"></geq><apply id="S3.SS2.p4.14.m12.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.14.m12.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p4.14.m12.3.3.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.14.m12.3.3.1">subscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p4.14.m12.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.14.m12.3.3.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.p4.14.m12.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.14.m12.3.3.1.1.1.2">inner-product</csymbol><apply id="S3.SS2.p4.14.m12.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.14.m12.3.3.1.1.1.1"><times id="S3.SS2.p4.14.m12.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.14.m12.3.3.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.SS2.p4.14.m12.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.14.m12.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p4.14.m12.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.14.m12.3.3.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p4.14.m12.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.14.m12.3.3.1.1.1.1.2.2">𝐴</ci><ci id="S3.SS2.p4.14.m12.3.3.1.1.1.1.2.3a.cmml" xref="S3.SS2.p4.14.m12.3.3.1.1.1.1.2.3"><mtext id="S3.SS2.p4.14.m12.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.SS2.p4.14.m12.3.3.1.1.1.1.2.3">Q</mtext></ci></apply><ci id="S3.SS2.p4.14.m12.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.14.m12.1.1">𝔔</ci></apply><ci id="S3.SS2.p4.14.m12.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.14.m12.2.2">𝔔</ci></apply><ci id="S3.SS2.p4.14.m12.3.3.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p4.14.m12.3.3.1.3">ℋ</ci></apply><cn id="S3.SS2.p4.14.m12.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p4.14.m12.3.3.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p4.14.m12.3c">\langle A^{\textnormal{Q}}(\mathfrak{Q})\mathop{}|\mathop{}\mathfrak{Q}\rangle% _{\mathbfcal{H}}\geq 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p4.14.m12.3d">⟨ italic_A start_POSTSUPERSCRIPT Q end_POSTSUPERSCRIPT ( fraktur_Q ) | fraktur_Q ⟩ start_POSTSUBSCRIPT roman_ℋ end_POSTSUBSCRIPT ≥ 0</annotation></semantics></math>, <math alttext="\forall\mathfrak{Q}\in\mathbfcal{H}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p4.15.m13.1"><semantics id="S3.SS2.p4.15.m13.1a"><mrow id="S3.SS2.p4.15.m13.1.1" xref="S3.SS2.p4.15.m13.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS2.p4.15.m13.1.1.2" xref="S3.SS2.p4.15.m13.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.p4.15.m13.1.1.2.1" rspace="0.167em" xref="S3.SS2.p4.15.m13.1.1.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S3.SS2.p4.15.m13.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p4.15.m13.1.1.2.2.cmml">𝔔</mi></mrow><mo id="S3.SS2.p4.15.m13.1.1.1" xref="S3.SS2.p4.15.m13.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S3.SS2.p4.15.m13.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p4.15.m13.1.1.3.cmml">ℋ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p4.15.m13.1b"><apply id="S3.SS2.p4.15.m13.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.15.m13.1.1"><in id="S3.SS2.p4.15.m13.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.15.m13.1.1.1"></in><apply id="S3.SS2.p4.15.m13.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.15.m13.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.p4.15.m13.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.15.m13.1.1.2.1">for-all</csymbol><ci id="S3.SS2.p4.15.m13.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.15.m13.1.1.2.2">𝔔</ci></apply><ci id="S3.SS2.p4.15.m13.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p4.15.m13.1.1.3">ℋ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p4.15.m13.1c">\forall\mathfrak{Q}\in\mathbfcal{H}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p4.15.m13.1d">∀ fraktur_Q ∈ roman_ℋ</annotation></semantics></math>, that is, <math alttext="A^{\textnormal{Q}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p4.16.m14.1"><semantics id="S3.SS2.p4.16.m14.1a"><msup id="S3.SS2.p4.16.m14.1.1" xref="S3.SS2.p4.16.m14.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p4.16.m14.1.1.2" xref="S3.SS2.p4.16.m14.1.1.2.cmml">A</mi><mtext id="S3.SS2.p4.16.m14.1.1.3" xref="S3.SS2.p4.16.m14.1.1.3a.cmml">Q</mtext></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p4.16.m14.1b"><apply id="S3.SS2.p4.16.m14.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.16.m14.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p4.16.m14.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.16.m14.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p4.16.m14.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.16.m14.1.1.2">𝐴</ci><ci id="S3.SS2.p4.16.m14.1.1.3a.cmml" xref="S3.SS2.p4.16.m14.1.1.3"><mtext id="S3.SS2.p4.16.m14.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.SS2.p4.16.m14.1.1.3">Q</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p4.16.m14.1c">A^{\textnormal{Q}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p4.16.m14.1d">italic_A start_POSTSUPERSCRIPT Q end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is positive <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib35" title="">35</a>, §9.3]</cite>. Now, notice that <math alttext="\mathbf{L}\mathbf{1}_{N}=\mathbf{0}=0\cdot\mathbf{1}_{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p4.17.m15.1"><semantics id="S3.SS2.p4.17.m15.1a"><mrow id="S3.SS2.p4.17.m15.1.1" xref="S3.SS2.p4.17.m15.1.1.cmml"><msub id="S3.SS2.p4.17.m15.1.1.2" xref="S3.SS2.p4.17.m15.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p4.17.m15.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p4.17.m15.1.1.2.2.cmml">𝐋𝟏</mi><mi id="S3.SS2.p4.17.m15.1.1.2.3" xref="S3.SS2.p4.17.m15.1.1.2.3.cmml">N</mi></msub><mo id="S3.SS2.p4.17.m15.1.1.3" xref="S3.SS2.p4.17.m15.1.1.3.cmml">=</mo><mn id="S3.SS2.p4.17.m15.1.1.4" xref="S3.SS2.p4.17.m15.1.1.4.cmml">𝟎</mn><mo id="S3.SS2.p4.17.m15.1.1.5" xref="S3.SS2.p4.17.m15.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS2.p4.17.m15.1.1.6" xref="S3.SS2.p4.17.m15.1.1.6.cmml"><mn id="S3.SS2.p4.17.m15.1.1.6.2" xref="S3.SS2.p4.17.m15.1.1.6.2.cmml">0</mn><mo id="S3.SS2.p4.17.m15.1.1.6.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.SS2.p4.17.m15.1.1.6.1.cmml">⋅</mo><msub id="S3.SS2.p4.17.m15.1.1.6.3" xref="S3.SS2.p4.17.m15.1.1.6.3.cmml"><mn id="S3.SS2.p4.17.m15.1.1.6.3.2" xref="S3.SS2.p4.17.m15.1.1.6.3.2.cmml">𝟏</mn><mi id="S3.SS2.p4.17.m15.1.1.6.3.3" xref="S3.SS2.p4.17.m15.1.1.6.3.3.cmml">N</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p4.17.m15.1b"><apply id="S3.SS2.p4.17.m15.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.17.m15.1.1"><and id="S3.SS2.p4.17.m15.1.1a.cmml" xref="S3.SS2.p4.17.m15.1.1"></and><apply id="S3.SS2.p4.17.m15.1.1b.cmml" xref="S3.SS2.p4.17.m15.1.1"><eq id="S3.SS2.p4.17.m15.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p4.17.m15.1.1.3"></eq><apply id="S3.SS2.p4.17.m15.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.17.m15.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p4.17.m15.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.17.m15.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p4.17.m15.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.17.m15.1.1.2.2">𝐋𝟏</ci><ci id="S3.SS2.p4.17.m15.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p4.17.m15.1.1.2.3">𝑁</ci></apply><cn id="S3.SS2.p4.17.m15.1.1.4.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p4.17.m15.1.1.4">0</cn></apply><apply id="S3.SS2.p4.17.m15.1.1c.cmml" xref="S3.SS2.p4.17.m15.1.1"><eq id="S3.SS2.p4.17.m15.1.1.5.cmml" xref="S3.SS2.p4.17.m15.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.SS2.p4.17.m15.1.1.4.cmml" id="S3.SS2.p4.17.m15.1.1d.cmml" xref="S3.SS2.p4.17.m15.1.1"></share><apply id="S3.SS2.p4.17.m15.1.1.6.cmml" xref="S3.SS2.p4.17.m15.1.1.6"><ci id="S3.SS2.p4.17.m15.1.1.6.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.17.m15.1.1.6.1">⋅</ci><cn id="S3.SS2.p4.17.m15.1.1.6.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p4.17.m15.1.1.6.2">0</cn><apply id="S3.SS2.p4.17.m15.1.1.6.3.cmml" xref="S3.SS2.p4.17.m15.1.1.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p4.17.m15.1.1.6.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.17.m15.1.1.6.3">subscript</csymbol><cn id="S3.SS2.p4.17.m15.1.1.6.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p4.17.m15.1.1.6.3.2">1</cn><ci id="S3.SS2.p4.17.m15.1.1.6.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p4.17.m15.1.1.6.3.3">𝑁</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p4.17.m15.1c">\mathbf{L}\mathbf{1}_{N}=\mathbf{0}=0\cdot\mathbf{1}_{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p4.17.m15.1d">bold_L1 start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT = bold_0 = 0 ⋅ bold_1 start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. By <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S2.I1.i1" title="In Assumptions 1. ‣ II-B General assumptions for the decentralized setting ‣ II Distributed Reinforcement Learning ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Assumption</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">1(i)</span></a> and the fact that <math alttext="\mathbf{L}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p4.18.m16.1"><semantics id="S3.SS2.p4.18.m16.1a"><mi id="S3.SS2.p4.18.m16.1.1" xref="S3.SS2.p4.18.m16.1.1.cmml">𝐋</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p4.18.m16.1b"><ci id="S3.SS2.p4.18.m16.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.18.m16.1.1">𝐋</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p4.18.m16.1c">\mathbf{L}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p4.18.m16.1d">bold_L</annotation></semantics></math> is positive semidefinite <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib33" title="">33</a>, Lem. 4.3]</cite>, the rank of <math alttext="\mathbf{L}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p4.19.m17.1"><semantics id="S3.SS2.p4.19.m17.1a"><mi id="S3.SS2.p4.19.m17.1.1" xref="S3.SS2.p4.19.m17.1.1.cmml">𝐋</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p4.19.m17.1b"><ci id="S3.SS2.p4.19.m17.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.19.m17.1.1">𝐋</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p4.19.m17.1c">\mathbf{L}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p4.19.m17.1d">bold_L</annotation></semantics></math> is <math alttext="N-1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p4.20.m18.1"><semantics id="S3.SS2.p4.20.m18.1a"><mrow id="S3.SS2.p4.20.m18.1.1" xref="S3.SS2.p4.20.m18.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p4.20.m18.1.1.2" xref="S3.SS2.p4.20.m18.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S3.SS2.p4.20.m18.1.1.1" xref="S3.SS2.p4.20.m18.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S3.SS2.p4.20.m18.1.1.3" xref="S3.SS2.p4.20.m18.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p4.20.m18.1b"><apply id="S3.SS2.p4.20.m18.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.20.m18.1.1"><minus id="S3.SS2.p4.20.m18.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.20.m18.1.1.1"></minus><ci id="S3.SS2.p4.20.m18.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.20.m18.1.1.2">𝑁</ci><cn id="S3.SS2.p4.20.m18.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p4.20.m18.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p4.20.m18.1c">N-1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p4.20.m18.1d">italic_N - 1</annotation></semantics></math> with <math alttext="0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p4.21.m19.1"><semantics id="S3.SS2.p4.21.m19.1a"><mn id="S3.SS2.p4.21.m19.1.1" xref="S3.SS2.p4.21.m19.1.1.cmml">0</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p4.21.m19.1b"><cn id="S3.SS2.p4.21.m19.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p4.21.m19.1.1">0</cn></annotation-xml></semantics></math> being its smallest eigenvalue, and the kernel space <math alttext="\operatorname{ker}\mathbf{L}=\operatorname{span}(\mathbf{1}_{N})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p4.22.m20.2"><semantics id="S3.SS2.p4.22.m20.2a"><mrow id="S3.SS2.p4.22.m20.2.2" xref="S3.SS2.p4.22.m20.2.2.cmml"><mrow id="S3.SS2.p4.22.m20.2.2.3" xref="S3.SS2.p4.22.m20.2.2.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p4.22.m20.2.2.3.1" xref="S3.SS2.p4.22.m20.2.2.3.1.cmml">ker</mi><mo id="S3.SS2.p4.22.m20.2.2.3a" lspace="0.167em" xref="S3.SS2.p4.22.m20.2.2.3.cmml">⁡</mo><mi id="S3.SS2.p4.22.m20.2.2.3.2" xref="S3.SS2.p4.22.m20.2.2.3.2.cmml">𝐋</mi></mrow><mo id="S3.SS2.p4.22.m20.2.2.2" xref="S3.SS2.p4.22.m20.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS2.p4.22.m20.2.2.1.1" xref="S3.SS2.p4.22.m20.2.2.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p4.22.m20.1.1" xref="S3.SS2.p4.22.m20.1.1.cmml">span</mi><mo id="S3.SS2.p4.22.m20.2.2.1.1a" xref="S3.SS2.p4.22.m20.2.2.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.SS2.p4.22.m20.2.2.1.1.1" xref="S3.SS2.p4.22.m20.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.p4.22.m20.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p4.22.m20.2.2.1.2.cmml">(</mo><msub id="S3.SS2.p4.22.m20.2.2.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p4.22.m20.2.2.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.SS2.p4.22.m20.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p4.22.m20.2.2.1.1.1.1.2.cmml">𝟏</mn><mi id="S3.SS2.p4.22.m20.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p4.22.m20.2.2.1.1.1.1.3.cmml">N</mi></msub><mo id="S3.SS2.p4.22.m20.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.p4.22.m20.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p4.22.m20.2b"><apply id="S3.SS2.p4.22.m20.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.22.m20.2.2"><eq id="S3.SS2.p4.22.m20.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.22.m20.2.2.2"></eq><apply id="S3.SS2.p4.22.m20.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p4.22.m20.2.2.3"><ci id="S3.SS2.p4.22.m20.2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.22.m20.2.2.3.1">ker</ci><ci id="S3.SS2.p4.22.m20.2.2.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.22.m20.2.2.3.2">𝐋</ci></apply><apply id="S3.SS2.p4.22.m20.2.2.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.22.m20.2.2.1.1"><ci id="S3.SS2.p4.22.m20.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.22.m20.1.1">span</ci><apply id="S3.SS2.p4.22.m20.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.22.m20.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p4.22.m20.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.22.m20.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><cn id="S3.SS2.p4.22.m20.2.2.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p4.22.m20.2.2.1.1.1.1.2">1</cn><ci id="S3.SS2.p4.22.m20.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p4.22.m20.2.2.1.1.1.1.3">𝑁</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p4.22.m20.2c">\operatorname{ker}\mathbf{L}=\operatorname{span}(\mathbf{1}_{N})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p4.22.m20.2d">roman_ker bold_L = roman_span ( bold_1 start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>, so that</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A0.EGx17"> <tbody id="S3.E14"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\operatorname{Fix}(A^{\textnormal{Q}})\coloneqq\{\mathfrak{Q}\in% \mathbfcal{H}\nonscript\,|\allowbreak\nonscript\,\mathopen{}A^{\textnormal{Q}}% (\mathfrak{Q})=\mathfrak{Q}\}=\mathcal{C}_{\mathbfcal{H}}\,." class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E14.m1.3"><semantics id="S3.E14.m1.3a"><mrow id="S3.E14.m1.3.3" xref="S3.E14.m1.3.3.cmml"><mrow id="S3.E14.m1.2.2.1.1" xref="S3.E14.m1.2.2.1.2.cmml"><mi id="S3.E14.m1.1.1" xref="S3.E14.m1.1.1.cmml">Fix</mi><mo id="S3.E14.m1.2.2.1.1a" xref="S3.E14.m1.2.2.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.E14.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.E14.m1.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.E14.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E14.m1.2.2.1.2.cmml">(</mo><msup id="S3.E14.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.E14.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E14.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.E14.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">A</mi><mtext id="S3.E14.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.E14.m1.2.2.1.1.1.1.3a.cmml">Q</mtext></msup><mo id="S3.E14.m1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E14.m1.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E14.m1.3.3.3" xref="S3.E14.m1.3.3.3.cmml">≔</mo><mrow id="S3.E14.m1.3.3.2" xref="S3.E14.m1.3.3.2.cmml"><mrow id="S3.E14.m1.3.3.2.1.1" xref="S3.E14.m1.3.3.2.1.2.cmml"><mo id="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E14.m1.3.3.2.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1" xref="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.2" xref="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.2.cmml">𝔔</mi><mo id="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.1" xref="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3" xref="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.2.cmml">ℋ</mi><mo id="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.1" xref="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.3" xref="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.3b.cmml"><mtext id="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.3a" xref="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.3b.cmml">\nonscript</mtext></merror><mo id="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.1a" xref="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.4" mathvariant="normal" xref="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.4.cmml">♣</mi><mo id="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.1b" xref="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.5" xref="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.5b.cmml"><mtext id="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.5a" xref="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.5b.cmml">\nonscript</mtext></merror><mo id="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.1c" xref="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.6" xref="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.6.cmml"><mi id="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.6.2" mathvariant="normal" xref="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.6.2.cmml">𝒜</mi><mtext id="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.6.3" xref="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.6.3a.cmml">Q</mtext></msup><mo id="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.1d" xref="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.7" mathvariant="normal" xref="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.7.cmml">⇐</mi><mo id="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.1e" xref="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.8" mathvariant="normal" xref="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.8.cmml">𝒬</mi><mo id="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.1f" xref="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.9" mathvariant="normal" xref="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.9.cmml">⇒</mi><mo id="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.1g" xref="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.10" mathvariant="normal" xref="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.10.cmml">ℑ</mi><mo id="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.1h" xref="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.11" mathvariant="normal" xref="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.11.cmml">𝒬</mi></mrow></mrow><mo id="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E14.m1.3.3.2.1.2.cmml">}</mo></mrow><mo id="S3.E14.m1.3.3.2.2" xref="S3.E14.m1.3.3.2.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E14.m1.3.3.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.E14.m1.3.3.2.3.cmml">ℑ</mi><mo id="S3.E14.m1.3.3.2.2a" xref="S3.E14.m1.3.3.2.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E14.m1.3.3.2.4" xref="S3.E14.m1.3.3.2.4.cmml"><mi id="S3.E14.m1.3.3.2.4.2" mathvariant="normal" xref="S3.E14.m1.3.3.2.4.2.cmml">𝒞</mi><mi id="S3.E14.m1.3.3.2.4.3" mathvariant="normal" xref="S3.E14.m1.3.3.2.4.3.cmml">ℋ</mi></msub><mo id="S3.E14.m1.3.3.2.2b" xref="S3.E14.m1.3.3.2.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E14.m1.3.3.2.5" mathvariant="normal" xref="S3.E14.m1.3.3.2.5.cmml">↙</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E14.m1.3b"><apply id="S3.E14.m1.3.3.cmml" xref="S3.E14.m1.3.3"><ci id="S3.E14.m1.3.3.3.cmml" xref="S3.E14.m1.3.3.3">≔</ci><apply id="S3.E14.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S3.E14.m1.2.2.1.1"><ci id="S3.E14.m1.1.1.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1">Fix</ci><apply id="S3.E14.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E14.m1.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E14.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E14.m1.2.2.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.E14.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E14.m1.2.2.1.1.1.1.2">𝐴</ci><ci id="S3.E14.m1.2.2.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S3.E14.m1.2.2.1.1.1.1.3"><mtext id="S3.E14.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E14.m1.2.2.1.1.1.1.3">Q</mtext></ci></apply></apply><apply id="S3.E14.m1.3.3.2.cmml" xref="S3.E14.m1.3.3.2"><times id="S3.E14.m1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.E14.m1.3.3.2.2"></times><set id="S3.E14.m1.3.3.2.1.2.cmml" xref="S3.E14.m1.3.3.2.1.1"><apply id="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1"><in id="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.1"></in><ci id="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.2">𝔔</ci><apply id="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3"><times id="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.2">ℋ</ci><ci id="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.3b.cmml" xref="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.3"><merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.3"><mtext id="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.3a.cmml" xref="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.3">\nonscript</mtext></merror></ci><ci id="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.4.cmml" xref="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.4">♣</ci><ci id="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.5b.cmml" xref="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.5"><merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.5.cmml" xref="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.5"><mtext id="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.5a.cmml" xref="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.5">\nonscript</mtext></merror></ci><apply id="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.6.cmml" xref="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.6.1.cmml" xref="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.6">superscript</csymbol><ci id="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.6.2.cmml" xref="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.6.2">𝒜</ci><ci id="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.6.3a.cmml" xref="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.6.3"><mtext id="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.6.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.6.3">Q</mtext></ci></apply><ci id="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.7.cmml" xref="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.7">⇐</ci><ci id="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.8.cmml" xref="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.8">𝒬</ci><ci id="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.9.cmml" xref="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.9">⇒</ci><ci id="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.10.cmml" xref="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.10">ℑ</ci><ci id="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.11.cmml" xref="S3.E14.m1.3.3.2.1.1.1.3.11">𝒬</ci></apply></apply></set><ci id="S3.E14.m1.3.3.2.3.cmml" xref="S3.E14.m1.3.3.2.3">ℑ</ci><apply id="S3.E14.m1.3.3.2.4.cmml" xref="S3.E14.m1.3.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E14.m1.3.3.2.4.1.cmml" xref="S3.E14.m1.3.3.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.E14.m1.3.3.2.4.2.cmml" xref="S3.E14.m1.3.3.2.4.2">𝒞</ci><ci id="S3.E14.m1.3.3.2.4.3.cmml" xref="S3.E14.m1.3.3.2.4.3">ℋ</ci></apply><ci id="S3.E14.m1.3.3.2.5.cmml" xref="S3.E14.m1.3.3.2.5">↙</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E14.m1.3c">\displaystyle\operatorname{Fix}(A^{\textnormal{Q}})\coloneqq\{\mathfrak{Q}\in% \mathbfcal{H}\nonscript\,|\allowbreak\nonscript\,\mathopen{}A^{\textnormal{Q}}% (\mathfrak{Q})=\mathfrak{Q}\}=\mathcal{C}_{\mathbfcal{H}}\,.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E14.m1.3d">roman_Fix ( italic_A start_POSTSUPERSCRIPT Q end_POSTSUPERSCRIPT ) ≔ { fraktur_Q ∈ roman_ℋ ♣ roman_𝒜 start_POSTSUPERSCRIPT Q end_POSTSUPERSCRIPT ⇐ roman_𝒬 ⇒ roman_ℑ roman_𝒬 } roman_ℑ roman_𝒞 start_POSTSUBSCRIPT roman_ℋ end_POSTSUBSCRIPT ↙</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(14)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p5"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p5.8">As in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S2.E3" title="Equation 3 ‣ II-B General assumptions for the decentralized setting ‣ II Distributed Reinforcement Learning ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>), <math alttext="k\in\mathbb{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p5.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p5.1.m1.1a"><mrow id="S3.SS2.p5.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.1" xref="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.3.cmml">ℕ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p5.1.m1.1b"><apply id="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.1.m1.1.1"><in id="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.1"></in><ci id="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.2">𝑘</ci><ci id="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.3">ℕ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p5.1.m1.1c">k\in\mathbb{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p5.1.m1.1d">italic_k ∈ blackboard_N</annotation></semantics></math> serves as the VI index in this paper; see <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.F1" title="In III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Figure</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>. With <math alttext="\mathfrak{Q}[k]=[Q^{(1)}[k],\ldots,Q^{(N)}[k]\,]\in\mathbfcal{H}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p5.2.m2.8"><semantics id="S3.SS2.p5.2.m2.8a"><mrow id="S3.SS2.p5.2.m2.8.8" xref="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.cmml"><mrow id="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.4" xref="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.4.cmml"><mi id="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.4.2" xref="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.4.2.cmml">𝔔</mi><mo id="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.4.1" xref="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.4.3.2" xref="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.4.3.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.4.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.SS2.p5.2.m2.3.3" xref="S3.SS2.p5.2.m2.3.3.cmml">k</mi><mo id="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.4.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.5" xref="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.5.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.2.2" xref="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.2.3.cmml"><mo id="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.2.3.cmml">[</mo><mrow id="S3.SS2.p5.2.m2.7.7.1.1.1" xref="S3.SS2.p5.2.m2.7.7.1.1.1.cmml"><msup id="S3.SS2.p5.2.m2.7.7.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p5.2.m2.7.7.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p5.2.m2.7.7.1.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p5.2.m2.7.7.1.1.1.2.2.cmml">Q</mi><mrow id="S3.SS2.p5.2.m2.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p5.2.m2.7.7.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.p5.2.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p5.2.m2.7.7.1.1.1.2.cmml">(</mo><mn id="S3.SS2.p5.2.m2.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p5.2.m2.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.SS2.p5.2.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p5.2.m2.7.7.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.SS2.p5.2.m2.7.7.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p5.2.m2.7.7.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.p5.2.m2.7.7.1.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p5.2.m2.7.7.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p5.2.m2.7.7.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p5.2.m2.7.7.1.1.1.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.SS2.p5.2.m2.4.4" xref="S3.SS2.p5.2.m2.4.4.cmml">k</mi><mo id="S3.SS2.p5.2.m2.7.7.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p5.2.m2.7.7.1.1.1.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.2.2.4" xref="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.p5.2.m2.6.6" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p5.2.m2.6.6.cmml">…</mi><mo id="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.2.2.5" xref="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.2.2.2" xref="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.2.2.2.cmml"><msup id="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.2.2.2.2" xref="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.2.2.2.2.2" xref="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.2.2.2.2.2.cmml">Q</mi><mrow id="S3.SS2.p5.2.m2.2.2.1.3" xref="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.2.2.2.2.cmml"><mo id="S3.SS2.p5.2.m2.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.2.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S3.SS2.p5.2.m2.2.2.1.1" xref="S3.SS2.p5.2.m2.2.2.1.1.cmml">N</mi><mo id="S3.SS2.p5.2.m2.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.2.2.2.1" xref="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.2.2.2.3.2" xref="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.2.2.2.3.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.2.2.2.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.SS2.p5.2.m2.5.5" xref="S3.SS2.p5.2.m2.5.5.cmml">k</mi><mo id="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.2.2.2.3.2.2" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.2.2.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.2.2.6" stretchy="false" xref="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.2.3.cmml">]</mo></mrow><mo id="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.6" xref="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.6.cmml">∈</mo><mi id="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.7" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.7.cmml">ℋ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p5.2.m2.8b"><apply id="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.cmml" xref="S3.SS2.p5.2.m2.8.8"><and id="S3.SS2.p5.2.m2.8.8a.cmml" xref="S3.SS2.p5.2.m2.8.8"></and><apply id="S3.SS2.p5.2.m2.8.8b.cmml" xref="S3.SS2.p5.2.m2.8.8"><eq id="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.5.cmml" xref="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.5"></eq><apply id="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.4.cmml" xref="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.4"><times id="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.4.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.4.1"></times><ci id="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.4.2.cmml" xref="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.4.2">𝔔</ci><apply id="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.4.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.4.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.4.3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.4.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.SS2.p5.2.m2.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p5.2.m2.3.3">𝑘</ci></apply></apply><list id="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.2.2"><apply id="S3.SS2.p5.2.m2.7.7.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.2.m2.7.7.1.1.1"><times id="S3.SS2.p5.2.m2.7.7.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.2.m2.7.7.1.1.1.1"></times><apply id="S3.SS2.p5.2.m2.7.7.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p5.2.m2.7.7.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p5.2.m2.7.7.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.2.m2.7.7.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p5.2.m2.7.7.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p5.2.m2.7.7.1.1.1.2.2">𝑄</ci><cn id="S3.SS2.p5.2.m2.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p5.2.m2.1.1.1.1">1</cn></apply><apply id="S3.SS2.p5.2.m2.7.7.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.2.m2.7.7.1.1.1.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.p5.2.m2.7.7.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.2.m2.7.7.1.1.1.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.SS2.p5.2.m2.4.4.cmml" xref="S3.SS2.p5.2.m2.4.4">𝑘</ci></apply></apply><ci id="S3.SS2.p5.2.m2.6.6.cmml" xref="S3.SS2.p5.2.m2.6.6">…</ci><apply id="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.2.2.2"><times id="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.2.2.2.1"></times><apply id="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.2.2.2.2.2">𝑄</ci><ci id="S3.SS2.p5.2.m2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.2.m2.2.2.1.1">𝑁</ci></apply><apply id="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.2.2.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.2.2.2.3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.2.2.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.SS2.p5.2.m2.5.5.cmml" xref="S3.SS2.p5.2.m2.5.5">𝑘</ci></apply></apply></list></apply><apply id="S3.SS2.p5.2.m2.8.8c.cmml" xref="S3.SS2.p5.2.m2.8.8"><in id="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.6.cmml" xref="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.6"></in><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.SS2.p5.2.m2.8.8.2.cmml" id="S3.SS2.p5.2.m2.8.8d.cmml" xref="S3.SS2.p5.2.m2.8.8"></share><ci id="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.7.cmml" xref="S3.SS2.p5.2.m2.8.8.7">ℋ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p5.2.m2.8c">\mathfrak{Q}[k]=[Q^{(1)}[k],\ldots,Q^{(N)}[k]\,]\in\mathbfcal{H}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p5.2.m2.8d">fraktur_Q [ italic_k ] = [ italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ] , … , italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_N ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ] ] ∈ roman_ℋ</annotation></semantics></math> being the snapshot of all Q-function estimates across <math alttext="\mathcal{G}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p5.3.m3.1"><semantics id="S3.SS2.p5.3.m3.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS2.p5.3.m3.1.1" xref="S3.SS2.p5.3.m3.1.1.cmml">𝒢</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p5.3.m3.1b"><ci id="S3.SS2.p5.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.3.m3.1.1">𝒢</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p5.3.m3.1c">\mathcal{G}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p5.3.m3.1d">caligraphic_G</annotation></semantics></math> at VI iteration <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p5.4.m4.1"><semantics id="S3.SS2.p5.4.m4.1a"><mi id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p5.4.m4.1b"><ci id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p5.4.m4.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p5.4.m4.1d">italic_k</annotation></semantics></math>, the aforementioned properties of <math alttext="A^{\textnormal{Q}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p5.5.m5.1"><semantics id="S3.SS2.p5.5.m5.1a"><msup id="S3.SS2.p5.5.m5.1.1" xref="S3.SS2.p5.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p5.5.m5.1.1.2" xref="S3.SS2.p5.5.m5.1.1.2.cmml">A</mi><mtext id="S3.SS2.p5.5.m5.1.1.3" xref="S3.SS2.p5.5.m5.1.1.3a.cmml">Q</mtext></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p5.5.m5.1b"><apply id="S3.SS2.p5.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p5.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.5.m5.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p5.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p5.5.m5.1.1.2">𝐴</ci><ci id="S3.SS2.p5.5.m5.1.1.3a.cmml" xref="S3.SS2.p5.5.m5.1.1.3"><mtext id="S3.SS2.p5.5.m5.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.SS2.p5.5.m5.1.1.3">Q</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p5.5.m5.1c">A^{\textnormal{Q}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p5.5.m5.1d">italic_A start_POSTSUPERSCRIPT Q end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E14" title="Equation 14 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">14</span></a>) ensure that the sequence <math alttext="(\mathfrak{Q}_{m}[k])_{m\in\mathbb{N}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p5.6.m6.2"><semantics id="S3.SS2.p5.6.m6.2a"><msub id="S3.SS2.p5.6.m6.2.2" xref="S3.SS2.p5.6.m6.2.2.cmml"><mrow id="S3.SS2.p5.6.m6.2.2.1.1" xref="S3.SS2.p5.6.m6.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p5.6.m6.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p5.6.m6.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS2.p5.6.m6.2.2.1.1.1" xref="S3.SS2.p5.6.m6.2.2.1.1.1.cmml"><msub id="S3.SS2.p5.6.m6.2.2.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p5.6.m6.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p5.6.m6.2.2.1.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p5.6.m6.2.2.1.1.1.2.2.cmml">𝔔</mi><mi id="S3.SS2.p5.6.m6.2.2.1.1.1.2.3" xref="S3.SS2.p5.6.m6.2.2.1.1.1.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S3.SS2.p5.6.m6.2.2.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p5.6.m6.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.p5.6.m6.2.2.1.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p5.6.m6.2.2.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p5.6.m6.2.2.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p5.6.m6.2.2.1.1.1.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.SS2.p5.6.m6.1.1" xref="S3.SS2.p5.6.m6.1.1.cmml">k</mi><mo id="S3.SS2.p5.6.m6.2.2.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p5.6.m6.2.2.1.1.1.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS2.p5.6.m6.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.p5.6.m6.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.SS2.p5.6.m6.2.2.3" xref="S3.SS2.p5.6.m6.2.2.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p5.6.m6.2.2.3.2" xref="S3.SS2.p5.6.m6.2.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="S3.SS2.p5.6.m6.2.2.3.1" xref="S3.SS2.p5.6.m6.2.2.3.1.cmml">∈</mo><mi id="S3.SS2.p5.6.m6.2.2.3.3" xref="S3.SS2.p5.6.m6.2.2.3.3.cmml">ℕ</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p5.6.m6.2b"><apply id="S3.SS2.p5.6.m6.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p5.6.m6.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p5.6.m6.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p5.6.m6.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p5.6.m6.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.6.m6.2.2.1.1"><times id="S3.SS2.p5.6.m6.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.6.m6.2.2.1.1.1.1"></times><apply id="S3.SS2.p5.6.m6.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p5.6.m6.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p5.6.m6.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.6.m6.2.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p5.6.m6.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p5.6.m6.2.2.1.1.1.2.2">𝔔</ci><ci id="S3.SS2.p5.6.m6.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p5.6.m6.2.2.1.1.1.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="S3.SS2.p5.6.m6.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.6.m6.2.2.1.1.1.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.p5.6.m6.2.2.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.6.m6.2.2.1.1.1.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.SS2.p5.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.6.m6.1.1">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S3.SS2.p5.6.m6.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p5.6.m6.2.2.3"><in id="S3.SS2.p5.6.m6.2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.6.m6.2.2.3.1"></in><ci id="S3.SS2.p5.6.m6.2.2.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p5.6.m6.2.2.3.2">𝑚</ci><ci id="S3.SS2.p5.6.m6.2.2.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p5.6.m6.2.2.3.3">ℕ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p5.6.m6.2c">(\mathfrak{Q}_{m}[k])_{m\in\mathbb{N}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p5.6.m6.2d">( fraktur_Q start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT [ italic_k ] ) start_POSTSUBSCRIPT italic_m ∈ blackboard_N end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> generated by <math alttext="\mathfrak{Q}_{-1}[k]\coloneqq[0,\ldots,0]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p5.7.m7.4"><semantics id="S3.SS2.p5.7.m7.4a"><mrow id="S3.SS2.p5.7.m7.4.5" xref="S3.SS2.p5.7.m7.4.5.cmml"><mrow id="S3.SS2.p5.7.m7.4.5.2" xref="S3.SS2.p5.7.m7.4.5.2.cmml"><msub id="S3.SS2.p5.7.m7.4.5.2.2" xref="S3.SS2.p5.7.m7.4.5.2.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p5.7.m7.4.5.2.2.2" xref="S3.SS2.p5.7.m7.4.5.2.2.2.cmml">𝔔</mi><mrow id="S3.SS2.p5.7.m7.4.5.2.2.3" xref="S3.SS2.p5.7.m7.4.5.2.2.3.cmml"><mo id="S3.SS2.p5.7.m7.4.5.2.2.3a" xref="S3.SS2.p5.7.m7.4.5.2.2.3.cmml">−</mo><mn id="S3.SS2.p5.7.m7.4.5.2.2.3.2" xref="S3.SS2.p5.7.m7.4.5.2.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S3.SS2.p5.7.m7.4.5.2.1" xref="S3.SS2.p5.7.m7.4.5.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.p5.7.m7.4.5.2.3.2" xref="S3.SS2.p5.7.m7.4.5.2.3.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p5.7.m7.4.5.2.3.2.1" stretchy="false" 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id="S3.SS2.p5.7.m7.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.7.m7.1.1">𝑘</ci></apply></apply><list id="S3.SS2.p5.7.m7.4.5.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.7.m7.4.5.3.2"><cn id="S3.SS2.p5.7.m7.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p5.7.m7.2.2">0</cn><ci id="S3.SS2.p5.7.m7.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p5.7.m7.3.3">…</ci><cn id="S3.SS2.p5.7.m7.4.4.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p5.7.m7.4.4">0</cn></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p5.7.m7.4c">\mathfrak{Q}_{-1}[k]\coloneqq[0,\ldots,0]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p5.7.m7.4d">fraktur_Q start_POSTSUBSCRIPT - 1 end_POSTSUBSCRIPT [ italic_k ] ≔ [ 0 , … , 0 ]</annotation></semantics></math> and, <math alttext="\forall m\in\mathbb{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p5.8.m8.1"><semantics id="S3.SS2.p5.8.m8.1a"><mrow id="S3.SS2.p5.8.m8.1.1" xref="S3.SS2.p5.8.m8.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS2.p5.8.m8.1.1.2" xref="S3.SS2.p5.8.m8.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.p5.8.m8.1.1.2.1" rspace="0.167em" xref="S3.SS2.p5.8.m8.1.1.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S3.SS2.p5.8.m8.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p5.8.m8.1.1.2.2.cmml">m</mi></mrow><mo id="S3.SS2.p5.8.m8.1.1.1" xref="S3.SS2.p5.8.m8.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S3.SS2.p5.8.m8.1.1.3" xref="S3.SS2.p5.8.m8.1.1.3.cmml">ℕ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p5.8.m8.1b"><apply id="S3.SS2.p5.8.m8.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.8.m8.1.1"><in id="S3.SS2.p5.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.8.m8.1.1.1"></in><apply id="S3.SS2.p5.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p5.8.m8.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.p5.8.m8.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.8.m8.1.1.2.1">for-all</csymbol><ci id="S3.SS2.p5.8.m8.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p5.8.m8.1.1.2.2">𝑚</ci></apply><ci id="S3.SS2.p5.8.m8.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p5.8.m8.1.1.3">ℕ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p5.8.m8.1c">\forall m\in\mathbb{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p5.8.m8.1d">∀ italic_m ∈ blackboard_N</annotation></semantics></math>,</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_table" id="S3.E15"> <tbody> <tr class="ltx_eqn_row" id="A0.EGx18"><td class="ltx_eqn_cell" colspan="6"></td></tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E15.1"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathfrak{Q}_{0}[k]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E15.1.m1.1"><semantics id="S3.E15.1.m1.1a"><mrow id="S3.E15.1.m1.1.2" xref="S3.E15.1.m1.1.2.cmml"><msub id="S3.E15.1.m1.1.2.2" xref="S3.E15.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E15.1.m1.1.2.2.2" xref="S3.E15.1.m1.1.2.2.2.cmml">𝔔</mi><mn id="S3.E15.1.m1.1.2.2.3" xref="S3.E15.1.m1.1.2.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.E15.1.m1.1.2.1" xref="S3.E15.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E15.1.m1.1.2.3.2" xref="S3.E15.1.m1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S3.E15.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E15.1.m1.1.2.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.E15.1.m1.1.1" xref="S3.E15.1.m1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S3.E15.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E15.1.m1.1.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E15.1.m1.1b"><apply id="S3.E15.1.m1.1.2.cmml" xref="S3.E15.1.m1.1.2"><times id="S3.E15.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.E15.1.m1.1.2.1"></times><apply id="S3.E15.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.E15.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E15.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E15.1.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E15.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E15.1.m1.1.2.2.2">𝔔</ci><cn id="S3.E15.1.m1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E15.1.m1.1.2.2.3">0</cn></apply><apply id="S3.E15.1.m1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E15.1.m1.1.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.E15.1.m1.1.2.3.1.1.cmml" xref="S3.E15.1.m1.1.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.E15.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.E15.1.m1.1.1">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E15.1.m1.1c">\displaystyle\mathfrak{Q}_{0}[k]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E15.1.m1.1d">fraktur_Q start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT [ italic_k ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle{}\coloneqq{}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E15.1.m2.1"><semantics id="S3.E15.1.m2.1a"><mo id="S3.E15.1.m2.1.1" xref="S3.E15.1.m2.1.1.cmml">≔</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E15.1.m2.1b"><ci id="S3.E15.1.m2.1.1.cmml" xref="S3.E15.1.m2.1.1">≔</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E15.1.m2.1c">\displaystyle{}\coloneqq{}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E15.1.m2.1d">≔</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle A_{\varpi}^{\textnormal{Q}}(\mathfrak{Q}_{-1}[k])-\eta(\,% \mathfrak{Q}_{-1}[k]-N\,\mathbf{T}(\mathfrak{Q}[k])\,)\,," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E15.1.m3.4"><semantics id="S3.E15.1.m3.4a"><mrow id="S3.E15.1.m3.4.4.1" xref="S3.E15.1.m3.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S3.E15.1.m3.4.4.1.1" xref="S3.E15.1.m3.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S3.E15.1.m3.4.4.1.1.1" xref="S3.E15.1.m3.4.4.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.E15.1.m3.4.4.1.1.1.3" xref="S3.E15.1.m3.4.4.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E15.1.m3.4.4.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E15.1.m3.4.4.1.1.1.3.2.2.cmml">A</mi><mi id="S3.E15.1.m3.4.4.1.1.1.3.2.3" xref="S3.E15.1.m3.4.4.1.1.1.3.2.3.cmml">ϖ</mi><mtext id="S3.E15.1.m3.4.4.1.1.1.3.3" xref="S3.E15.1.m3.4.4.1.1.1.3.3a.cmml">Q</mtext></msubsup><mo id="S3.E15.1.m3.4.4.1.1.1.2" xref="S3.E15.1.m3.4.4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E15.1.m3.4.4.1.1.1.1.1" xref="S3.E15.1.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E15.1.m3.4.4.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E15.1.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E15.1.m3.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E15.1.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E15.1.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.2" 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ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(15a)</span></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E15.x1"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathfrak{Q}_{m+1}[k]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E15.x1.m1.1"><semantics id="S3.E15.x1.m1.1a"><mrow id="S3.E15.x1.m1.1.2" xref="S3.E15.x1.m1.1.2.cmml"><msub id="S3.E15.x1.m1.1.2.2" xref="S3.E15.x1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E15.x1.m1.1.2.2.2" xref="S3.E15.x1.m1.1.2.2.2.cmml">𝔔</mi><mrow id="S3.E15.x1.m1.1.2.2.3" xref="S3.E15.x1.m1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E15.x1.m1.1.2.2.3.2" xref="S3.E15.x1.m1.1.2.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="S3.E15.x1.m1.1.2.2.3.1" xref="S3.E15.x1.m1.1.2.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S3.E15.x1.m1.1.2.2.3.3" xref="S3.E15.x1.m1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S3.E15.x1.m1.1.2.1" xref="S3.E15.x1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E15.x1.m1.1.2.3.2" xref="S3.E15.x1.m1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S3.E15.x1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E15.x1.m1.1.2.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.E15.x1.m1.1.1" xref="S3.E15.x1.m1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S3.E15.x1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E15.x1.m1.1.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E15.x1.m1.1b"><apply id="S3.E15.x1.m1.1.2.cmml" xref="S3.E15.x1.m1.1.2"><times id="S3.E15.x1.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.E15.x1.m1.1.2.1"></times><apply id="S3.E15.x1.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.E15.x1.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E15.x1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E15.x1.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E15.x1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E15.x1.m1.1.2.2.2">𝔔</ci><apply id="S3.E15.x1.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E15.x1.m1.1.2.2.3"><plus id="S3.E15.x1.m1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E15.x1.m1.1.2.2.3.1"></plus><ci id="S3.E15.x1.m1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E15.x1.m1.1.2.2.3.2">𝑚</ci><cn id="S3.E15.x1.m1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E15.x1.m1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.E15.x1.m1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E15.x1.m1.1.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.E15.x1.m1.1.2.3.1.1.cmml" xref="S3.E15.x1.m1.1.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.E15.x1.m1.1.1.cmml" xref="S3.E15.x1.m1.1.1">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E15.x1.m1.1c">\displaystyle\mathfrak{Q}_{m+1}[k]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E15.x1.m1.1d">fraktur_Q start_POSTSUBSCRIPT italic_m + 1 end_POSTSUBSCRIPT [ italic_k ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\coloneqq" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E15.x1.m2.1"><semantics id="S3.E15.x1.m2.1a"><mo id="S3.E15.x1.m2.1.1" xref="S3.E15.x1.m2.1.1.cmml">≔</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E15.x1.m2.1b"><ci id="S3.E15.x1.m2.1.1.cmml" xref="S3.E15.x1.m2.1.1">≔</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E15.x1.m2.1c">\displaystyle\coloneqq</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E15.x1.m2.1d">≔</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathfrak{Q}_{m}[k]-(\,A_{\varpi}^{\textnormal{Q}}(\mathfrak{Q}_{% m-1}[k])-\eta\,\mathfrak{Q}_{m-1}[k]\,)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E15.x1.m3.4"><semantics id="S3.E15.x1.m3.4a"><mrow id="S3.E15.x1.m3.4.4" xref="S3.E15.x1.m3.4.4.cmml"><mrow id="S3.E15.x1.m3.4.4.3" xref="S3.E15.x1.m3.4.4.3.cmml"><msub id="S3.E15.x1.m3.4.4.3.2" xref="S3.E15.x1.m3.4.4.3.2.cmml"><mi id="S3.E15.x1.m3.4.4.3.2.2" xref="S3.E15.x1.m3.4.4.3.2.2.cmml">𝔔</mi><mi id="S3.E15.x1.m3.4.4.3.2.3" xref="S3.E15.x1.m3.4.4.3.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S3.E15.x1.m3.4.4.3.1" xref="S3.E15.x1.m3.4.4.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E15.x1.m3.4.4.3.3.2" xref="S3.E15.x1.m3.4.4.3.3.1.cmml"><mo id="S3.E15.x1.m3.4.4.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E15.x1.m3.4.4.3.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.E15.x1.m3.1.1" xref="S3.E15.x1.m3.1.1.cmml">k</mi><mo id="S3.E15.x1.m3.4.4.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E15.x1.m3.4.4.3.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E15.x1.m3.4.4.2" xref="S3.E15.x1.m3.4.4.2.cmml">−</mo><mrow id="S3.E15.x1.m3.4.4.1.1" xref="S3.E15.x1.m3.4.4.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E15.x1.m3.4.4.1.1.2" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S3.E15.x1.m3.4.4.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E15.x1.m3.4.4.1.1.1" xref="S3.E15.x1.m3.4.4.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E15.x1.m3.4.4.1.1.1.1" xref="S3.E15.x1.m3.4.4.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.E15.x1.m3.4.4.1.1.1.1.3" xref="S3.E15.x1.m3.4.4.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E15.x1.m3.4.4.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E15.x1.m3.4.4.1.1.1.1.3.2.2.cmml">A</mi><mi id="S3.E15.x1.m3.4.4.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.E15.x1.m3.4.4.1.1.1.1.3.2.3.cmml">ϖ</mi><mtext id="S3.E15.x1.m3.4.4.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E15.x1.m3.4.4.1.1.1.1.3.3a.cmml">Q</mtext></msubsup><mo id="S3.E15.x1.m3.4.4.1.1.1.1.2" xref="S3.E15.x1.m3.4.4.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E15.x1.m3.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E15.x1.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E15.x1.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E15.x1.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E15.x1.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E15.x1.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E15.x1.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E15.x1.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E15.x1.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E15.x1.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝔔</mi><mrow id="S3.E15.x1.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E15.x1.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E15.x1.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.E15.x1.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="S3.E15.x1.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S3.E15.x1.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.E15.x1.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.E15.x1.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S3.E15.x1.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E15.x1.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E15.x1.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E15.x1.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.E15.x1.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E15.x1.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.E15.x1.m3.2.2" xref="S3.E15.x1.m3.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.E15.x1.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E15.x1.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E15.x1.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E15.x1.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E15.x1.m3.4.4.1.1.1.2" xref="S3.E15.x1.m3.4.4.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S3.E15.x1.m3.4.4.1.1.1.3" xref="S3.E15.x1.m3.4.4.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E15.x1.m3.4.4.1.1.1.3.2" xref="S3.E15.x1.m3.4.4.1.1.1.3.2.cmml">η</mi><mo id="S3.E15.x1.m3.4.4.1.1.1.3.1" lspace="0.170em" 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encoding="application/x-llamapun" id="S3.E15.x1.m3.4d">fraktur_Q start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT [ italic_k ] - ( italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_ϖ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT Q end_POSTSUPERSCRIPT ( fraktur_Q start_POSTSUBSCRIPT italic_m - 1 end_POSTSUBSCRIPT [ italic_k ] ) - italic_η fraktur_Q start_POSTSUBSCRIPT italic_m - 1 end_POSTSUBSCRIPT [ italic_k ] )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E15.2"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\phantom{\mathfrak{Q}_{m}[k]}+(\,A^{\textnormal{Q}}(\mathfrak{Q}_% {m}[k])-\eta\,\mathfrak{Q}_{m}[k]\,)\,," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E15.2.m1.3"><semantics id="S3.E15.2.m1.3a"><mrow id="S3.E15.2.m1.3.3.1" xref="S3.E15.2.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.E15.2.m1.3.3.1.1" 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id="S3.E15.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E15.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E15.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E15.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S3.E15.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E15.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E15.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E15.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml">η</mi><mo id="S3.E15.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1" lspace="0.170em" xref="S3.E15.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E15.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E15.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E15.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E15.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">𝔔</mi><mi id="S3.E15.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.E15.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S3.E15.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S3.E15.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E15.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.4.2" xref="S3.E15.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.4.1.cmml"><mo id="S3.E15.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.4.2.1" stretchy="false" 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id="S3.E15.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E15.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E15.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E15.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E15.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E15.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐴</ci><ci id="S3.E15.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3a.cmml" xref="S3.E15.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3"><mtext id="S3.E15.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E15.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3">Q</mtext></ci></apply><apply id="S3.E15.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E15.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E15.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E15.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.E15.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E15.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E15.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E15.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E15.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E15.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝔔</ci><ci id="S3.E15.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E15.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="S3.E15.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E15.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.E15.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S3.E15.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.E15.2.m1.1.1.cmml" xref="S3.E15.2.m1.1.1">𝑘</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.E15.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E15.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.E15.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E15.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.E15.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E15.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2">𝜂</ci><apply id="S3.E15.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E15.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E15.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E15.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E15.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E15.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.2">𝔔</ci><ci id="S3.E15.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.E15.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑚</ci></apply><apply id="S3.E15.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S3.E15.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.4.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.E15.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.4.1.1.cmml" xref="S3.E15.2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.4.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.E15.2.m1.2.2.cmml" xref="S3.E15.2.m1.2.2">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E15.2.m1.3c">\displaystyle\phantom{\mathfrak{Q}_{m}[k]}+(\,A^{\textnormal{Q}}(\mathfrak{Q}_% {m}[k])-\eta\,\mathfrak{Q}_{m}[k]\,)\,,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E15.2.m1.3d">+ ( italic_A start_POSTSUPERSCRIPT Q end_POSTSUPERSCRIPT ( fraktur_Q start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT [ italic_k ] ) - italic_η fraktur_Q start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT [ italic_k ] ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright" colspan="3"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(15b)</span></td> </tr> </tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p5.12">with <math alttext="\eta\in(0,2(1-\varpi)\,)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p5.9.m1.2"><semantics id="S3.SS2.p5.9.m1.2a"><mrow id="S3.SS2.p5.9.m1.2.2" xref="S3.SS2.p5.9.m1.2.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p5.9.m1.2.2.3" xref="S3.SS2.p5.9.m1.2.2.3.cmml">η</mi><mo id="S3.SS2.p5.9.m1.2.2.2" xref="S3.SS2.p5.9.m1.2.2.2.cmml">∈</mo><mrow id="S3.SS2.p5.9.m1.2.2.1.1" xref="S3.SS2.p5.9.m1.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.p5.9.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p5.9.m1.2.2.1.2.cmml">(</mo><mn id="S3.SS2.p5.9.m1.1.1" xref="S3.SS2.p5.9.m1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.SS2.p5.9.m1.2.2.1.1.3" xref="S3.SS2.p5.9.m1.2.2.1.2.cmml">,</mo><mrow id="S3.SS2.p5.9.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.SS2.p5.9.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mn id="S3.SS2.p5.9.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p5.9.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">2</mn><mo id="S3.SS2.p5.9.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p5.9.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.p5.9.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p5.9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p5.9.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p5.9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS2.p5.9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p5.9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.SS2.p5.9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p5.9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S3.SS2.p5.9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p5.9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S3.SS2.p5.9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p5.9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ϖ</mi></mrow><mo id="S3.SS2.p5.9.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S3.SS2.p5.9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS2.p5.9.m1.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.SS2.p5.9.m1.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p5.9.m1.2b"><apply id="S3.SS2.p5.9.m1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p5.9.m1.2.2"><in id="S3.SS2.p5.9.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p5.9.m1.2.2.2"></in><ci id="S3.SS2.p5.9.m1.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p5.9.m1.2.2.3">𝜂</ci><interval closure="open" id="S3.SS2.p5.9.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p5.9.m1.2.2.1.1"><cn id="S3.SS2.p5.9.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p5.9.m1.1.1">0</cn><apply id="S3.SS2.p5.9.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.9.m1.2.2.1.1.1"><times id="S3.SS2.p5.9.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p5.9.m1.2.2.1.1.1.2"></times><cn id="S3.SS2.p5.9.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p5.9.m1.2.2.1.1.1.3">2</cn><apply id="S3.SS2.p5.9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.9.m1.2.2.1.1.1.1.1"><minus id="S3.SS2.p5.9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S3.SS2.p5.9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p5.9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><ci id="S3.SS2.p5.9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p5.9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3">italic-ϖ</ci></apply></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p5.9.m1.2c">\eta\in(0,2(1-\varpi)\,)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p5.9.m1.2d">italic_η ∈ ( 0 , 2 ( 1 - italic_ϖ ) )</annotation></semantics></math>, converges strongly (recall that <math alttext="\mathcal{H}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p5.10.m2.1"><semantics id="S3.SS2.p5.10.m2.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS2.p5.10.m2.1.1" xref="S3.SS2.p5.10.m2.1.1.cmml">ℋ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p5.10.m2.1b"><ci id="S3.SS2.p5.10.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.10.m2.1.1">ℋ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p5.10.m2.1c">\mathcal{H}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p5.10.m2.1d">caligraphic_H</annotation></semantics></math> may be infinite dimensional) to the solution (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E11.1" title="Equation 11a ‣ Equation 11 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">11a</span></a>) as <math alttext="m\to\infty" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p5.11.m3.1"><semantics id="S3.SS2.p5.11.m3.1a"><mrow id="S3.SS2.p5.11.m3.1.1" xref="S3.SS2.p5.11.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p5.11.m3.1.1.2" xref="S3.SS2.p5.11.m3.1.1.2.cmml">m</mi><mo id="S3.SS2.p5.11.m3.1.1.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p5.11.m3.1.1.1.cmml">→</mo><mi id="S3.SS2.p5.11.m3.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p5.11.m3.1.1.3.cmml">∞</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p5.11.m3.1b"><apply id="S3.SS2.p5.11.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.11.m3.1.1"><ci id="S3.SS2.p5.11.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.11.m3.1.1.1">→</ci><ci id="S3.SS2.p5.11.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p5.11.m3.1.1.2">𝑚</ci><infinity id="S3.SS2.p5.11.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p5.11.m3.1.1.3"></infinity></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p5.11.m3.1c">m\to\infty</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p5.11.m3.1d">italic_m → ∞</annotation></semantics></math> <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib32" title="">32</a>, Lem. 3.4 and Cor. 3.5]</cite>. Even more, a linear convergence rate for <math alttext="(\mathfrak{Q}_{m}[k])_{m\in\mathbb{N}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p5.12.m4.2"><semantics id="S3.SS2.p5.12.m4.2a"><msub id="S3.SS2.p5.12.m4.2.2" xref="S3.SS2.p5.12.m4.2.2.cmml"><mrow id="S3.SS2.p5.12.m4.2.2.1.1" xref="S3.SS2.p5.12.m4.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p5.12.m4.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p5.12.m4.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS2.p5.12.m4.2.2.1.1.1" xref="S3.SS2.p5.12.m4.2.2.1.1.1.cmml"><msub id="S3.SS2.p5.12.m4.2.2.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p5.12.m4.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p5.12.m4.2.2.1.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p5.12.m4.2.2.1.1.1.2.2.cmml">𝔔</mi><mi id="S3.SS2.p5.12.m4.2.2.1.1.1.2.3" xref="S3.SS2.p5.12.m4.2.2.1.1.1.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S3.SS2.p5.12.m4.2.2.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p5.12.m4.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.p5.12.m4.2.2.1.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p5.12.m4.2.2.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p5.12.m4.2.2.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p5.12.m4.2.2.1.1.1.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.SS2.p5.12.m4.1.1" xref="S3.SS2.p5.12.m4.1.1.cmml">k</mi><mo id="S3.SS2.p5.12.m4.2.2.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p5.12.m4.2.2.1.1.1.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS2.p5.12.m4.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.p5.12.m4.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.SS2.p5.12.m4.2.2.3" xref="S3.SS2.p5.12.m4.2.2.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p5.12.m4.2.2.3.2" xref="S3.SS2.p5.12.m4.2.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="S3.SS2.p5.12.m4.2.2.3.1" xref="S3.SS2.p5.12.m4.2.2.3.1.cmml">∈</mo><mi id="S3.SS2.p5.12.m4.2.2.3.3" xref="S3.SS2.p5.12.m4.2.2.3.3.cmml">ℕ</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p5.12.m4.2b"><apply id="S3.SS2.p5.12.m4.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p5.12.m4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p5.12.m4.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p5.12.m4.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p5.12.m4.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.12.m4.2.2.1.1"><times id="S3.SS2.p5.12.m4.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.12.m4.2.2.1.1.1.1"></times><apply id="S3.SS2.p5.12.m4.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p5.12.m4.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p5.12.m4.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.12.m4.2.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p5.12.m4.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p5.12.m4.2.2.1.1.1.2.2">𝔔</ci><ci id="S3.SS2.p5.12.m4.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p5.12.m4.2.2.1.1.1.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="S3.SS2.p5.12.m4.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.12.m4.2.2.1.1.1.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.p5.12.m4.2.2.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.12.m4.2.2.1.1.1.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.SS2.p5.12.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.12.m4.1.1">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S3.SS2.p5.12.m4.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p5.12.m4.2.2.3"><in id="S3.SS2.p5.12.m4.2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.12.m4.2.2.3.1"></in><ci id="S3.SS2.p5.12.m4.2.2.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p5.12.m4.2.2.3.2">𝑚</ci><ci id="S3.SS2.p5.12.m4.2.2.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p5.12.m4.2.2.3.3">ℕ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p5.12.m4.2c">(\mathfrak{Q}_{m}[k])_{m\in\mathbb{N}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p5.12.m4.2d">( fraktur_Q start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT [ italic_k ] ) start_POSTSUBSCRIPT italic_m ∈ blackboard_N end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is established by <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.I3.i2" title="In Theorem 5. ‣ III-C Performance analysis of Algorithm 1 ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Theorem</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">5(ii)</span></a>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p6"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p6.3"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.I1.i3" title="In Bottlenecks 2. ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Bottleneck</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">2(iii)</span></a> appears prominently in the previous discussion, because possibly infinite dimensional Q-functions need to be shared among neighbors to compute (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E13" title="Equation 13 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">13</span></a>). To surmount <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.I1.i3" title="In Bottlenecks 2. ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Bottleneck</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">2(iii)</span></a>, dimensionality reduction is needed. To this end, the feature mapping <math alttext="\varphi\colon\mathcal{Z}\to\mathcal{H}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p6.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p6.1.m1.1a"><mrow id="S3.SS2.p6.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.p6.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p6.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS2.p6.1.m1.1.1.2.cmml">φ</mi><mo id="S3.SS2.p6.1.m1.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S3.SS2.p6.1.m1.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="S3.SS2.p6.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS2.p6.1.m1.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS2.p6.1.m1.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p6.1.m1.1.1.3.2.cmml">𝒵</mi><mo id="S3.SS2.p6.1.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p6.1.m1.1.1.3.1.cmml">→</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS2.p6.1.m1.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p6.1.m1.1.1.3.3.cmml">ℋ</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p6.1.m1.1b"><apply id="S3.SS2.p6.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p6.1.m1.1.1"><ci id="S3.SS2.p6.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p6.1.m1.1.1.1">:</ci><ci id="S3.SS2.p6.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p6.1.m1.1.1.2">𝜑</ci><apply id="S3.SS2.p6.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p6.1.m1.1.1.3"><ci id="S3.SS2.p6.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p6.1.m1.1.1.3.1">→</ci><ci id="S3.SS2.p6.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p6.1.m1.1.1.3.2">𝒵</ci><ci id="S3.SS2.p6.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p6.1.m1.1.1.3.3">ℋ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p6.1.m1.1c">\varphi\colon\mathcal{Z}\to\mathcal{H}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p6.1.m1.1d">italic_φ : caligraphic_Z → caligraphic_H</annotation></semantics></math> will be replaced henceforth by the random-Fourier-feature-(RFF) mapping <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib29" title="">29</a>]</cite> <math alttext="\tilde{\varphi}\colon\mathcal{Z}\to\mathbb{R}^{D}\colon\mathbf{z}\mapsto\tilde% {\varphi}(\mathbf{z})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p6.2.m2.1"><semantics id="S3.SS2.p6.2.m2.1a"><mrow id="S3.SS2.p6.2.m2.1.2" xref="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.2" xref="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.2.2" xref="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.2.2.cmml">φ</mi><mo id="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.2.1" xref="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.3" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.3.cmml">:</mo><mrow id="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.4" xref="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.4.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.4.2" xref="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.4.2.cmml">𝒵</mi><mo id="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.4.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.4.1.cmml">→</mo><msup id="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.4.3" xref="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.4.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.4.3.2" xref="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.4.3.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.4.3.3" xref="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.4.3.3.cmml">D</mi></msup></mrow><mo id="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.5" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.5.cmml">:</mo><mrow id="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.6" xref="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.6.cmml"><mi id="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.6.2" xref="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.6.2.cmml">𝐳</mi><mo id="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.6.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.6.1.cmml">↦</mo><mrow id="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.6.3" xref="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.6.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.6.3.2" xref="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.6.3.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.6.3.2.2" xref="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.6.3.2.2.cmml">φ</mi><mo id="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.6.3.2.1" xref="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.6.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.6.3.1" xref="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.6.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.6.3.3.2" xref="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.6.3.cmml"><mo id="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.6.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.6.3.cmml">(</mo><mi id="S3.SS2.p6.2.m2.1.1" xref="S3.SS2.p6.2.m2.1.1.cmml">𝐳</mi><mo id="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.6.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.6.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p6.2.m2.1b"><apply id="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p6.2.m2.1.2"><and id="S3.SS2.p6.2.m2.1.2a.cmml" xref="S3.SS2.p6.2.m2.1.2"></and><apply id="S3.SS2.p6.2.m2.1.2b.cmml" xref="S3.SS2.p6.2.m2.1.2"><ci id="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.3">:</ci><apply id="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.2"><ci id="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.2.1">~</ci><ci id="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.2.2">𝜑</ci></apply><apply id="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.4.cmml" xref="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.4"><ci id="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.4.1.cmml" xref="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.4.1">→</ci><ci id="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.4.2.cmml" xref="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.4.2">𝒵</ci><apply id="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.4.3.cmml" xref="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.4.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.4.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.4.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.4.3.2">ℝ</ci><ci id="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.4.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.4.3.3">𝐷</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.SS2.p6.2.m2.1.2c.cmml" xref="S3.SS2.p6.2.m2.1.2"><ci id="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.5.cmml" xref="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.5">:</ci><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.SS2.p6.2.m2.1.2.4.cmml" id="S3.SS2.p6.2.m2.1.2d.cmml" xref="S3.SS2.p6.2.m2.1.2"></share><apply id="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.6.cmml" xref="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.6"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.6.1.cmml" xref="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.6.1">maps-to</csymbol><ci id="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.6.2.cmml" xref="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.6.2">𝐳</ci><apply id="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.6.3.cmml" xref="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.6.3"><times id="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.6.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.6.3.1"></times><apply id="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.6.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.6.3.2"><ci id="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.6.3.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.6.3.2.1">~</ci><ci id="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.6.3.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p6.2.m2.1.2.6.3.2.2">𝜑</ci></apply><ci id="S3.SS2.p6.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p6.2.m2.1.1">𝐳</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p6.2.m2.1c">\tilde{\varphi}\colon\mathcal{Z}\to\mathbb{R}^{D}\colon\mathbf{z}\mapsto\tilde% {\varphi}(\mathbf{z})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p6.2.m2.1d">over~ start_ARG italic_φ end_ARG : caligraphic_Z → blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_D end_POSTSUPERSCRIPT : bold_z ↦ over~ start_ARG italic_φ end_ARG ( bold_z )</annotation></semantics></math>, for a user-defined <math alttext="D\in\mathbb{N}_{*}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p6.3.m3.1"><semantics id="S3.SS2.p6.3.m3.1a"><mrow id="S3.SS2.p6.3.m3.1.1" xref="S3.SS2.p6.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p6.3.m3.1.1.2" xref="S3.SS2.p6.3.m3.1.1.2.cmml">D</mi><mo id="S3.SS2.p6.3.m3.1.1.1" xref="S3.SS2.p6.3.m3.1.1.1.cmml">∈</mo><msub id="S3.SS2.p6.3.m3.1.1.3" xref="S3.SS2.p6.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p6.3.m3.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p6.3.m3.1.1.3.2.cmml">ℕ</mi><mo id="S3.SS2.p6.3.m3.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p6.3.m3.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p6.3.m3.1b"><apply id="S3.SS2.p6.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p6.3.m3.1.1"><in id="S3.SS2.p6.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p6.3.m3.1.1.1"></in><ci id="S3.SS2.p6.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p6.3.m3.1.1.2">𝐷</ci><apply id="S3.SS2.p6.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p6.3.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p6.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p6.3.m3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p6.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p6.3.m3.1.1.3.2">ℕ</ci><times id="S3.SS2.p6.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p6.3.m3.1.1.3.3"></times></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p6.3.m3.1c">D\in\mathbb{N}_{*}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p6.3.m3.1d">italic_D ∈ blackboard_N start_POSTSUBSCRIPT ∗ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, with</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A0.EGx19"> <tbody id="S3.E16"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\tilde{\varphi}(\mathbf{z})\coloneqq\sqrt{\tfrac{2}{D}}\,[\cos(% \mathbf{v}_{1}^{\intercal}\mathbf{z}+u_{1}),\ldots,\cos(\mathbf{v}_{D}^{% \intercal}\mathbf{z}+u_{D})]^{\intercal}\,," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E16.m1.5"><semantics id="S3.E16.m1.5a"><mrow id="S3.E16.m1.5.5.1" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S3.E16.m1.5.5.1.1" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S3.E16.m1.5.5.1.1.4" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.4.cmml"><mover accent="true" id="S3.E16.m1.5.5.1.1.4.2" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.4.2.cmml"><mi id="S3.E16.m1.5.5.1.1.4.2.2" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.4.2.2.cmml">φ</mi><mo id="S3.E16.m1.5.5.1.1.4.2.1" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.4.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.E16.m1.5.5.1.1.4.1" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E16.m1.5.5.1.1.4.3.2" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.4.cmml"><mo id="S3.E16.m1.5.5.1.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.4.cmml">(</mo><mi id="S3.E16.m1.1.1" xref="S3.E16.m1.1.1.cmml">𝐳</mi><mo id="S3.E16.m1.5.5.1.1.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E16.m1.5.5.1.1.3" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.3.cmml">≔</mo><mrow id="S3.E16.m1.5.5.1.1.2" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.cmml"><msqrt id="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.4" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.4.cmml"><mfrac id="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.4.2" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.4.2.cmml"><mn id="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.4.2.2" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.4.2.2.cmml">2</mn><mi id="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.4.2.3" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.4.2.3.cmml">D</mi></mfrac></msqrt><mo id="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.3" lspace="0.170em" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.2" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.cmml">[</mo><mrow id="S3.E16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E16.m1.2.2" xref="S3.E16.m1.2.2.cmml">cos</mi><mo id="S3.E16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.E16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S3.E16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msubsup id="S3.E16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">𝐯</mi><mn id="S3.E16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">1</mn><mo id="S3.E16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">⊺</mo></msubsup><mo id="S3.E16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">𝐳</mi></mrow><mo id="S3.E16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msub id="S3.E16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">u</mi><mn id="S3.E16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="S3.E16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.4" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.E16.m1.4.4" mathvariant="normal" xref="S3.E16.m1.4.4.cmml">…</mi><mo id="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.5" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E16.m1.3.3" xref="S3.E16.m1.3.3.cmml">cos</mi><mo id="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1a" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">(</mo><mrow id="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><msubsup id="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.2.cmml">𝐯</mi><mi id="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.3.cmml">D</mi><mo id="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml">⊺</mo></msubsup><mo id="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.1" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml">𝐳</mi></mrow><mo id="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><msub id="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">u</mi><mi id="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml">D</mi></msub></mrow><mo id="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.6" stretchy="false" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.cmml">]</mo></mrow><mo id="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.4" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.4.cmml">⊺</mo></msup></mrow></mrow><mo id="S3.E16.m1.5.5.1.2" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E16.m1.5b"><apply id="S3.E16.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S3.E16.m1.5.5.1"><ci id="S3.E16.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.3">≔</ci><apply id="S3.E16.m1.5.5.1.1.4.cmml" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.4"><times id="S3.E16.m1.5.5.1.1.4.1.cmml" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.4.1"></times><apply id="S3.E16.m1.5.5.1.1.4.2.cmml" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.4.2"><ci id="S3.E16.m1.5.5.1.1.4.2.1.cmml" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.4.2.1">~</ci><ci id="S3.E16.m1.5.5.1.1.4.2.2.cmml" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.4.2.2">𝜑</ci></apply><ci id="S3.E16.m1.1.1.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1">𝐳</ci></apply><apply id="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.2"><times id="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.3"></times><apply id="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.4.cmml" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.4"><root id="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.4a.cmml" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.4"></root><apply id="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.4.2.cmml" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.4.2"><divide id="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.4.2.1.cmml" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.4.2"></divide><cn id="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.4.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.4.2.2">2</cn><ci id="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.4.2.3.cmml" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.4.2.3">𝐷</ci></apply></apply><apply id="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2">superscript</csymbol><list id="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.2"><apply id="S3.E16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1"><cos id="S3.E16.m1.2.2.cmml" xref="S3.E16.m1.2.2"></cos><apply id="S3.E16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S3.E16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S3.E16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S3.E16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S3.E16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝐯</ci><cn id="S3.E16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3">1</cn></apply><ci id="S3.E16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">⊺</ci></apply><ci id="S3.E16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝐳</ci></apply><apply id="S3.E16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑢</ci><cn id="S3.E16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></apply><ci id="S3.E16.m1.4.4.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4">…</ci><apply id="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1"><cos id="S3.E16.m1.3.3.cmml" xref="S3.E16.m1.3.3"></cos><apply id="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1"><plus id="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1"></plus><apply id="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2"><times id="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.1"></times><apply id="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.2">𝐯</ci><ci id="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.3">𝐷</ci></apply><ci id="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.3">⊺</ci></apply><ci id="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3">𝐳</ci></apply><apply id="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2">𝑢</ci><ci id="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3">𝐷</ci></apply></apply></apply></list><ci id="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.4.cmml" xref="S3.E16.m1.5.5.1.1.2.2.4">⊺</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E16.m1.5c">\displaystyle\tilde{\varphi}(\mathbf{z})\coloneqq\sqrt{\tfrac{2}{D}}\,[\cos(% \mathbf{v}_{1}^{\intercal}\mathbf{z}+u_{1}),\ldots,\cos(\mathbf{v}_{D}^{% \intercal}\mathbf{z}+u_{D})]^{\intercal}\,,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E16.m1.5d">over~ start_ARG italic_φ end_ARG ( bold_z ) ≔ square-root start_ARG divide start_ARG 2 end_ARG start_ARG italic_D end_ARG end_ARG [ roman_cos ( bold_v start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⊺ end_POSTSUPERSCRIPT bold_z + italic_u start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) , … , roman_cos ( bold_v start_POSTSUBSCRIPT italic_D end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⊺ end_POSTSUPERSCRIPT bold_z + italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_D end_POSTSUBSCRIPT ) ] start_POSTSUPERSCRIPT ⊺ end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(16)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p6.12">where <math alttext="\{\mathbf{v}_{i}\}_{i=1}^{D}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p6.4.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p6.4.m1.1a"><msubsup id="S3.SS2.p6.4.m1.1.1" xref="S3.SS2.p6.4.m1.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS2.p6.4.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p6.4.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.p6.4.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p6.4.m1.1.1.1.1.2.cmml">{</mo><msub id="S3.SS2.p6.4.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p6.4.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p6.4.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p6.4.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐯</mi><mi id="S3.SS2.p6.4.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p6.4.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.SS2.p6.4.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.p6.4.m1.1.1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><mrow id="S3.SS2.p6.4.m1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p6.4.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p6.4.m1.1.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p6.4.m1.1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.SS2.p6.4.m1.1.1.1.3.1" xref="S3.SS2.p6.4.m1.1.1.1.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.SS2.p6.4.m1.1.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p6.4.m1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.SS2.p6.4.m1.1.1.3" xref="S3.SS2.p6.4.m1.1.1.3.cmml">D</mi></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p6.4.m1.1b"><apply id="S3.SS2.p6.4.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p6.4.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p6.4.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p6.4.m1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p6.4.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p6.4.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p6.4.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p6.4.m1.1.1">subscript</csymbol><set id="S3.SS2.p6.4.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p6.4.m1.1.1.1.1.1"><apply id="S3.SS2.p6.4.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p6.4.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p6.4.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p6.4.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p6.4.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p6.4.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝐯</ci><ci id="S3.SS2.p6.4.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p6.4.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></set><apply id="S3.SS2.p6.4.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p6.4.m1.1.1.1.3"><eq id="S3.SS2.p6.4.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p6.4.m1.1.1.1.3.1"></eq><ci id="S3.SS2.p6.4.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p6.4.m1.1.1.1.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.SS2.p6.4.m1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p6.4.m1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.SS2.p6.4.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p6.4.m1.1.1.3">𝐷</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p6.4.m1.1c">\{\mathbf{v}_{i}\}_{i=1}^{D}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p6.4.m1.1d">{ bold_v start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT } start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_D end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\{u_{i}\}_{i=1}^{D}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p6.5.m2.1"><semantics id="S3.SS2.p6.5.m2.1a"><msubsup id="S3.SS2.p6.5.m2.1.1" xref="S3.SS2.p6.5.m2.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS2.p6.5.m2.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p6.5.m2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.p6.5.m2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p6.5.m2.1.1.1.1.2.cmml">{</mo><msub id="S3.SS2.p6.5.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p6.5.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p6.5.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p6.5.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">u</mi><mi id="S3.SS2.p6.5.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p6.5.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.SS2.p6.5.m2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.p6.5.m2.1.1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><mrow id="S3.SS2.p6.5.m2.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p6.5.m2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p6.5.m2.1.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p6.5.m2.1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.SS2.p6.5.m2.1.1.1.3.1" xref="S3.SS2.p6.5.m2.1.1.1.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.SS2.p6.5.m2.1.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p6.5.m2.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.SS2.p6.5.m2.1.1.3" xref="S3.SS2.p6.5.m2.1.1.3.cmml">D</mi></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p6.5.m2.1b"><apply id="S3.SS2.p6.5.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p6.5.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p6.5.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p6.5.m2.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p6.5.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p6.5.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p6.5.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p6.5.m2.1.1">subscript</csymbol><set id="S3.SS2.p6.5.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p6.5.m2.1.1.1.1.1"><apply id="S3.SS2.p6.5.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p6.5.m2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p6.5.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p6.5.m2.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p6.5.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p6.5.m2.1.1.1.1.1.1.2">𝑢</ci><ci id="S3.SS2.p6.5.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p6.5.m2.1.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></set><apply id="S3.SS2.p6.5.m2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p6.5.m2.1.1.1.3"><eq id="S3.SS2.p6.5.m2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p6.5.m2.1.1.1.3.1"></eq><ci id="S3.SS2.p6.5.m2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p6.5.m2.1.1.1.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.SS2.p6.5.m2.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p6.5.m2.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.SS2.p6.5.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p6.5.m2.1.1.3">𝐷</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p6.5.m2.1c">\{u_{i}\}_{i=1}^{D}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p6.5.m2.1d">{ italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT } start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_D end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> are samples from the Gaussian and uniform distributions, respectively. In other words, Q-functions in <math alttext="\mathcal{H}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p6.6.m3.1"><semantics id="S3.SS2.p6.6.m3.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS2.p6.6.m3.1.1" xref="S3.SS2.p6.6.m3.1.1.cmml">ℋ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p6.6.m3.1b"><ci id="S3.SS2.p6.6.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p6.6.m3.1.1">ℋ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p6.6.m3.1c">\mathcal{H}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p6.6.m3.1d">caligraphic_H</annotation></semantics></math> are approximated by <math alttext="D" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p6.7.m4.1"><semantics id="S3.SS2.p6.7.m4.1a"><mi id="S3.SS2.p6.7.m4.1.1" xref="S3.SS2.p6.7.m4.1.1.cmml">D</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p6.7.m4.1b"><ci id="S3.SS2.p6.7.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p6.7.m4.1.1">𝐷</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p6.7.m4.1c">D</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p6.7.m4.1d">italic_D</annotation></semantics></math>-dimensional representations, where a larger <math alttext="D" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p6.8.m5.1"><semantics id="S3.SS2.p6.8.m5.1a"><mi id="S3.SS2.p6.8.m5.1.1" xref="S3.SS2.p6.8.m5.1.1.cmml">D</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p6.8.m5.1b"><ci id="S3.SS2.p6.8.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p6.8.m5.1.1">𝐷</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p6.8.m5.1c">D</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p6.8.m5.1d">italic_D</annotation></semantics></math> yields more accurate approximations. Although <math alttext="\tilde{\varphi}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p6.9.m6.1"><semantics id="S3.SS2.p6.9.m6.1a"><mover accent="true" id="S3.SS2.p6.9.m6.1.1" xref="S3.SS2.p6.9.m6.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p6.9.m6.1.1.2" xref="S3.SS2.p6.9.m6.1.1.2.cmml">φ</mi><mo id="S3.SS2.p6.9.m6.1.1.1" xref="S3.SS2.p6.9.m6.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p6.9.m6.1b"><apply id="S3.SS2.p6.9.m6.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p6.9.m6.1.1"><ci id="S3.SS2.p6.9.m6.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p6.9.m6.1.1.1">~</ci><ci id="S3.SS2.p6.9.m6.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p6.9.m6.1.1.2">𝜑</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p6.9.m6.1c">\tilde{\varphi}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p6.9.m6.1d">over~ start_ARG italic_φ end_ARG</annotation></semantics></math> replaces <math alttext="\varphi" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p6.10.m7.1"><semantics id="S3.SS2.p6.10.m7.1a"><mi id="S3.SS2.p6.10.m7.1.1" xref="S3.SS2.p6.10.m7.1.1.cmml">φ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p6.10.m7.1b"><ci id="S3.SS2.p6.10.m7.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p6.10.m7.1.1">𝜑</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p6.10.m7.1c">\varphi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p6.10.m7.1d">italic_φ</annotation></semantics></math>, <math alttext="\varphi" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p6.11.m8.1"><semantics id="S3.SS2.p6.11.m8.1a"><mi id="S3.SS2.p6.11.m8.1.1" xref="S3.SS2.p6.11.m8.1.1.cmml">φ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p6.11.m8.1b"><ci id="S3.SS2.p6.11.m8.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p6.11.m8.1.1">𝜑</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p6.11.m8.1c">\varphi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p6.11.m8.1d">italic_φ</annotation></semantics></math> will continue to be used for clarity and simplicity, with the understanding that <math alttext="\tilde{\varphi}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p6.12.m9.1"><semantics id="S3.SS2.p6.12.m9.1a"><mover accent="true" id="S3.SS2.p6.12.m9.1.1" xref="S3.SS2.p6.12.m9.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p6.12.m9.1.1.2" xref="S3.SS2.p6.12.m9.1.1.2.cmml">φ</mi><mo id="S3.SS2.p6.12.m9.1.1.1" xref="S3.SS2.p6.12.m9.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p6.12.m9.1b"><apply id="S3.SS2.p6.12.m9.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p6.12.m9.1.1"><ci id="S3.SS2.p6.12.m9.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p6.12.m9.1.1.1">~</ci><ci id="S3.SS2.p6.12.m9.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p6.12.m9.1.1.2">𝜑</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p6.12.m9.1c">\tilde{\varphi}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p6.12.m9.1d">over~ start_ARG italic_φ end_ARG</annotation></semantics></math> is implemented behind the scenes.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p7"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p7.6">Drawing now attention to <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.I1.i2" title="In Bottlenecks 2. ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Bottleneck</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">2(ii)</span></a>, a distributed scheme is needed to compute the <math alttext="D\times D" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p7.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p7.1.m1.1a"><mrow id="S3.SS2.p7.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.2.cmml">D</mi><mo id="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.1.cmml">×</mo><mi id="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.3.cmml">D</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p7.1.m1.1b"><apply id="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.1.m1.1.1"><times id="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.1"></times><ci id="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.2">𝐷</ci><ci id="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.1.m1.1.1.3">𝐷</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p7.1.m1.1c">D\times D</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p7.1.m1.1d">italic_D × italic_D</annotation></semantics></math> network-wide covariance matrix <math alttext="\mathbf{\Phi}_{\mathcal{N}}\mathbf{\Phi}_{\mathcal{N}}^{\intercal}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p7.2.m2.1"><semantics id="S3.SS2.p7.2.m2.1a"><mrow id="S3.SS2.p7.2.m2.1.1" xref="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.cmml"><msub id="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.2.2.cmml">𝚽</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.2.3" xref="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.2.3.cmml">𝒩</mi></msub><mo id="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.1" xref="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.3.2.2" xref="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.3.2.2.cmml">𝚽</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.3.2.3" xref="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.3.2.3.cmml">𝒩</mi><mo id="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.3.3.cmml">⊺</mo></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p7.2.m2.1b"><apply id="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.2.m2.1.1"><times id="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.1"></times><apply id="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.2.2">𝚽</ci><ci id="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.2.3">𝒩</ci></apply><apply id="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.3.2.2">𝚽</ci><ci id="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.3.2.3">𝒩</ci></apply><ci id="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.2.m2.1.1.3.3">⊺</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p7.2.m2.1c">\mathbf{\Phi}_{\mathcal{N}}\mathbf{\Phi}_{\mathcal{N}}^{\intercal}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p7.2.m2.1d">bold_Φ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT bold_Φ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⊺ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> of (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E7.4" title="Equation 7d ‣ Equation 7 ‣ III-A The centralized (star-topology) B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7d</span></a>); recall that the RFF <math alttext="\tilde{\varphi}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p7.3.m3.1"><semantics id="S3.SS2.p7.3.m3.1a"><mover accent="true" id="S3.SS2.p7.3.m3.1.1" xref="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.2" xref="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.2.cmml">φ</mi><mo id="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.1" xref="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p7.3.m3.1b"><apply id="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.3.m3.1.1"><ci id="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.1">~</ci><ci id="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.3.m3.1.1.2">𝜑</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p7.3.m3.1c">\tilde{\varphi}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p7.3.m3.1d">over~ start_ARG italic_φ end_ARG</annotation></semantics></math> is implemented now in computations. To this end, define the linear vector space of operators <math alttext="\mathbfcal{O}\coloneqq\mathbb{R}^{D\times ND}=\{\mathfrak{C}\coloneqq[\mathbf{% C}^{(1)},\ldots,\mathbf{C}^{(N)}]{\mathbin{}\mid\mathbin{}}\mathbf{C}^{(n)}\in% \mathbb{R}^{D\times D}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p7.4.m4.2"><semantics id="S3.SS2.p7.4.m4.2a"><mrow id="S3.SS2.p7.4.m4.2.2" xref="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.4" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.4.cmml">𝒪</mi><mo id="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.3" xref="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.3.cmml">≔</mo><mrow id="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2" xref="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.cmml"><msup id="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.4" xref="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.4.cmml"><mi id="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.4.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.4.2.cmml">ℛ</mi><mrow id="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.4.3" xref="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.4.3.cmml"><mrow id="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.4.3.2" xref="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.4.3.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.4.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.4.3.2.2.cmml">𝒟</mi><mo id="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.4.3.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.4.3.2.1.cmml">×</mo><mi id="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.4.3.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.4.3.2.3.cmml">𝒩</mi></mrow><mo id="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.4.3.1" xref="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.4.3.3" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.4.3.3.cmml">𝒟</mi></mrow></msup><mo id="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.3" xref="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.5" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.5.cmml">ℑ</mi><mo id="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.3a" xref="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.2.2" xref="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.2.3.1.cmml">{</mo><mrow id="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝒞</mi><mo id="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">≔</mo><mrow id="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">∪</mi><mo id="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">𝒞</mi><mrow id="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">⇐</mi><mo id="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1" xref="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">∞</mi><mo id="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1a" xref="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.3.3.4" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.3.3.4.cmml">⇒</mi></mrow></msup><mo id="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.4" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml">⇔</mi><mo id="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.1b" xref="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.5" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.5.cmml">…</mi><mo id="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.1c" xref="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.6" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.6.cmml">⇔</mi><mo id="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.1d" xref="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.7" xref="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.7.cmml"><mi id="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.7.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.7.2.cmml">𝒞</mi><mrow id="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.7.3" xref="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.7.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.7.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.7.3.2.cmml">⇐</mi><mo id="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.7.3.1" xref="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.7.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.7.3.3" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.7.3.3.cmml">𝒩</mi><mo id="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.7.3.1a" xref="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.7.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.7.3.4" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.7.3.4.cmml">⇒</mi></mrow></msup><mo id="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.1e" xref="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.8" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.8.cmml">⊌</mi></mrow></mrow><mo fence="true" id="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.2.2.4" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.2.3.1.cmml">∣</mo><mrow id="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.2.2.2" xref="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.2.2.2.cmml"><msup id="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.2.2.2.2" xref="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.2.2.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">𝒞</mi><mrow id="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.2.2.2.2.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">⇐</mi><mo id="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.2.2.2.2.3.1" xref="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.2.2.2.2.3.3" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml">\</mi><mo id="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.2.2.2.2.3.1a" xref="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.2.2.2.2.3.4" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.2.2.2.2.3.4.cmml">⇒</mi></mrow></msup><mo id="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.2.2.2.1" xref="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.2.2.2.1.cmml">∈</mo><msup id="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.2.2.2.3" xref="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.2.2.2.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">ℛ</mi><mrow id="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.2.2.2.3.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.2.2.2.3.3.2.cmml">𝒟</mi><mo id="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.2.2.2.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.2.2.2.3.3.1.cmml">×</mo><mi id="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.2.2.2.3.3.3" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.2.2.2.3.3.3.cmml">𝒟</mi></mrow></msup></mrow><mo id="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.2.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p7.4.m4.2b"><apply id="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.4.m4.2.2"><ci id="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.3">≔</ci><ci id="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.4.cmml" xref="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.4">𝒪</ci><apply id="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2"><times id="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.3"></times><apply id="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.4.cmml" xref="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.4.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.4">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.4.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.4.2">ℛ</ci><apply id="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.4.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.4.3"><times id="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.4.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.4.3.1"></times><apply id="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.4.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.4.3.2"><times id="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.4.3.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.4.3.2.1"></times><ci id="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.4.3.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.4.3.2.2">𝒟</ci><ci id="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.4.3.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.4.3.2.3">𝒩</ci></apply><ci id="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.4.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.4.3.3">𝒟</ci></apply></apply><ci id="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.5.cmml" xref="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.5">ℑ</ci><apply id="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.4.m4.2.2.2.2.2.3">conditional-set</csymbol><apply id="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1"><ci id="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.1">≔</ci><ci id="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.2">𝒞</ci><apply id="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.2">∪</ci><apply id="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝒞</ci><apply id="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.3.3"><times id="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1"></times><ci id="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2">⇐</ci><ci id="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3">∞</ci><ci id="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.3.3.4.cmml" xref="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.3.3.4">⇒</ci></apply></apply><ci id="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.4">⇔</ci><ci id="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.5.cmml" xref="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.5">…</ci><ci id="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.6.cmml" xref="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.6">⇔</ci><apply id="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.7.cmml" xref="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.7.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.7">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.7.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.7.2">𝒞</ci><apply id="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.7.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.7.3"><times id="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.7.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.7.3.1"></times><ci id="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.7.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.7.3.2">⇐</ci><ci id="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.7.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.7.3.3">𝒩</ci><ci id="S3.SS2.p7.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.7.3.4.cmml" 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C}^{(1)},\ldots,\mathbf{C}^{(N)}]{\mathbin{}\mid\mathbin{}}\mathbf{C}^{(n)}\in% \mathbb{R}^{D\times D}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p7.4.m4.2d">roman_𝒪 ≔ roman_ℛ start_POSTSUPERSCRIPT roman_𝒟 × roman_𝒩 roman_𝒟 end_POSTSUPERSCRIPT roman_ℑ { roman_𝒞 ≔ ∪ roman_𝒞 start_POSTSUPERSCRIPT ⇐ ∞ ⇒ end_POSTSUPERSCRIPT ⇔ … ⇔ roman_𝒞 start_POSTSUPERSCRIPT ⇐ roman_𝒩 ⇒ end_POSTSUPERSCRIPT ⊌ ∣ roman_𝒞 start_POSTSUPERSCRIPT ⇐ \ ⇒ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ roman_ℛ start_POSTSUPERSCRIPT roman_𝒟 × roman_𝒟 end_POSTSUPERSCRIPT }</annotation></semantics></math>, equipped with the standard inner product <math alttext="\langle\mathfrak{C}_{1}\mathop{}|\mathop{}\mathfrak{C}_{2}\rangle_{\mathbfcal{% O}}\coloneqq\operatorname{trace}(\mathfrak{C}_{1}^{\intercal}\mathfrak{C}_{2})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p7.5.m5.4"><semantics id="S3.SS2.p7.5.m5.4a"><mrow id="S3.SS2.p7.5.m5.4.4" xref="S3.SS2.p7.5.m5.4.4.cmml"><msub id="S3.SS2.p7.5.m5.3.3.2" 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xref="S3.SS2.p7.5.m5.4.4.3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p7.5.m5.4.4.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.5.m5.4.4.3.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p7.5.m5.4.4.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.5.m5.4.4.3.1.1.1.3.2">ℭ</ci><cn id="S3.SS2.p7.5.m5.4.4.3.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p7.5.m5.4.4.3.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p7.5.m5.4c">\langle\mathfrak{C}_{1}\mathop{}|\mathop{}\mathfrak{C}_{2}\rangle_{\mathbfcal{% O}}\coloneqq\operatorname{trace}(\mathfrak{C}_{1}^{\intercal}\mathfrak{C}_{2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p7.5.m5.4d">⟨ fraktur_C start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT | fraktur_C start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ⟩ start_POSTSUBSCRIPT roman_𝒪 end_POSTSUBSCRIPT ≔ roman_trace ( fraktur_C start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⊺ end_POSTSUPERSCRIPT fraktur_C start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>, <math alttext="\forall\mathfrak{C}_{1},\mathfrak{C}_{2}\in\mathbfcal{O}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p7.6.m6.2"><semantics id="S3.SS2.p7.6.m6.2a"><mrow id="S3.SS2.p7.6.m6.2.2" xref="S3.SS2.p7.6.m6.2.2.cmml"><mrow id="S3.SS2.p7.6.m6.2.2.2.2" xref="S3.SS2.p7.6.m6.2.2.2.3.cmml"><mrow id="S3.SS2.p7.6.m6.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p7.6.m6.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p7.6.m6.1.1.1.1.1.1" rspace="0.167em" xref="S3.SS2.p7.6.m6.1.1.1.1.1.1.cmml">∀</mo><msub id="S3.SS2.p7.6.m6.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p7.6.m6.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p7.6.m6.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p7.6.m6.1.1.1.1.1.2.2.cmml">ℭ</mi><mn id="S3.SS2.p7.6.m6.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.SS2.p7.6.m6.1.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="S3.SS2.p7.6.m6.2.2.2.2.3" xref="S3.SS2.p7.6.m6.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.SS2.p7.6.m6.2.2.2.2.2" xref="S3.SS2.p7.6.m6.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p7.6.m6.2.2.2.2.2.2" xref="S3.SS2.p7.6.m6.2.2.2.2.2.2.cmml">ℭ</mi><mn id="S3.SS2.p7.6.m6.2.2.2.2.2.3" xref="S3.SS2.p7.6.m6.2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S3.SS2.p7.6.m6.2.2.3" xref="S3.SS2.p7.6.m6.2.2.3.cmml">∈</mo><mi id="S3.SS2.p7.6.m6.2.2.4" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p7.6.m6.2.2.4.cmml">𝒪</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p7.6.m6.2b"><apply id="S3.SS2.p7.6.m6.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.6.m6.2.2"><in id="S3.SS2.p7.6.m6.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.6.m6.2.2.3"></in><list id="S3.SS2.p7.6.m6.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.6.m6.2.2.2.2"><apply id="S3.SS2.p7.6.m6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.6.m6.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.p7.6.m6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.6.m6.1.1.1.1.1.1">for-all</csymbol><apply id="S3.SS2.p7.6.m6.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.6.m6.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p7.6.m6.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.6.m6.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p7.6.m6.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.6.m6.1.1.1.1.1.2.2">ℭ</ci><cn id="S3.SS2.p7.6.m6.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p7.6.m6.1.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.SS2.p7.6.m6.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.6.m6.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p7.6.m6.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.6.m6.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p7.6.m6.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.6.m6.2.2.2.2.2.2">ℭ</ci><cn id="S3.SS2.p7.6.m6.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p7.6.m6.2.2.2.2.2.3">2</cn></apply></list><ci id="S3.SS2.p7.6.m6.2.2.4.cmml" xref="S3.SS2.p7.6.m6.2.2.4">𝒪</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p7.6.m6.2c">\forall\mathfrak{C}_{1},\mathfrak{C}_{2}\in\mathbfcal{O}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p7.6.m6.2d">∀ fraktur_C start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , fraktur_C start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ∈ roman_𝒪</annotation></semantics></math>. Observe then</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_table" id="S3.E17"> <tbody> <tr class="ltx_eqn_row" id="A0.EGx20"><td class="ltx_eqn_cell" colspan="4"></td></tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E17.1"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle[\mathbf{\Phi}_{\mathcal{N}}\mathbf{\Phi}_{\mathcal{N}}^{% \intercal},\ldots,\mathbf{\Phi}_{\mathcal{N}}\mathbf{\Phi}_{\mathcal{N}}^{% \intercal}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E17.1.m1.3"><semantics id="S3.E17.1.m1.3a"><mrow id="S3.E17.1.m1.3.3.2" xref="S3.E17.1.m1.3.3.3.cmml"><mo id="S3.E17.1.m1.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.E17.1.m1.3.3.3.cmml">[</mo><mrow id="S3.E17.1.m1.2.2.1.1" xref="S3.E17.1.m1.2.2.1.1.cmml"><msub id="S3.E17.1.m1.2.2.1.1.2" xref="S3.E17.1.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E17.1.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S3.E17.1.m1.2.2.1.1.2.2.cmml">𝚽</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E17.1.m1.2.2.1.1.2.3" xref="S3.E17.1.m1.2.2.1.1.2.3.cmml">𝒩</mi></msub><mo id="S3.E17.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.E17.1.m1.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.E17.1.m1.2.2.1.1.3" xref="S3.E17.1.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E17.1.m1.2.2.1.1.3.2.2" xref="S3.E17.1.m1.2.2.1.1.3.2.2.cmml">𝚽</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E17.1.m1.2.2.1.1.3.2.3" xref="S3.E17.1.m1.2.2.1.1.3.2.3.cmml">𝒩</mi><mo id="S3.E17.1.m1.2.2.1.1.3.3" xref="S3.E17.1.m1.2.2.1.1.3.3.cmml">⊺</mo></msubsup></mrow><mo id="S3.E17.1.m1.3.3.2.4" xref="S3.E17.1.m1.3.3.3.cmml">,</mo><mi id="S3.E17.1.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.E17.1.m1.1.1.cmml">…</mi><mo id="S3.E17.1.m1.3.3.2.5" xref="S3.E17.1.m1.3.3.3.cmml">,</mo><mrow id="S3.E17.1.m1.3.3.2.2" xref="S3.E17.1.m1.3.3.2.2.cmml"><msub id="S3.E17.1.m1.3.3.2.2.2" xref="S3.E17.1.m1.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E17.1.m1.3.3.2.2.2.2" xref="S3.E17.1.m1.3.3.2.2.2.2.cmml">𝚽</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E17.1.m1.3.3.2.2.2.3" xref="S3.E17.1.m1.3.3.2.2.2.3.cmml">𝒩</mi></msub><mo id="S3.E17.1.m1.3.3.2.2.1" xref="S3.E17.1.m1.3.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.E17.1.m1.3.3.2.2.3" xref="S3.E17.1.m1.3.3.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E17.1.m1.3.3.2.2.3.2.2" xref="S3.E17.1.m1.3.3.2.2.3.2.2.cmml">𝚽</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E17.1.m1.3.3.2.2.3.2.3" xref="S3.E17.1.m1.3.3.2.2.3.2.3.cmml">𝒩</mi><mo id="S3.E17.1.m1.3.3.2.2.3.3" xref="S3.E17.1.m1.3.3.2.2.3.3.cmml">⊺</mo></msubsup></mrow><mo id="S3.E17.1.m1.3.3.2.6" stretchy="false" xref="S3.E17.1.m1.3.3.3.cmml">]</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E17.1.m1.3b"><list id="S3.E17.1.m1.3.3.3.cmml" xref="S3.E17.1.m1.3.3.2"><apply id="S3.E17.1.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E17.1.m1.2.2.1.1"><times id="S3.E17.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E17.1.m1.2.2.1.1.1"></times><apply id="S3.E17.1.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E17.1.m1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E17.1.m1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E17.1.m1.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E17.1.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E17.1.m1.2.2.1.1.2.2">𝚽</ci><ci id="S3.E17.1.m1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E17.1.m1.2.2.1.1.2.3">𝒩</ci></apply><apply id="S3.E17.1.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.E17.1.m1.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E17.1.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E17.1.m1.2.2.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S3.E17.1.m1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E17.1.m1.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E17.1.m1.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E17.1.m1.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E17.1.m1.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E17.1.m1.2.2.1.1.3.2.2">𝚽</ci><ci id="S3.E17.1.m1.2.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E17.1.m1.2.2.1.1.3.2.3">𝒩</ci></apply><ci id="S3.E17.1.m1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E17.1.m1.2.2.1.1.3.3">⊺</ci></apply></apply><ci id="S3.E17.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.E17.1.m1.1.1">…</ci><apply id="S3.E17.1.m1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.E17.1.m1.3.3.2.2"><times id="S3.E17.1.m1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E17.1.m1.3.3.2.2.1"></times><apply id="S3.E17.1.m1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.E17.1.m1.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E17.1.m1.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E17.1.m1.3.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E17.1.m1.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E17.1.m1.3.3.2.2.2.2">𝚽</ci><ci id="S3.E17.1.m1.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E17.1.m1.3.3.2.2.2.3">𝒩</ci></apply><apply id="S3.E17.1.m1.3.3.2.2.3.cmml" xref="S3.E17.1.m1.3.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E17.1.m1.3.3.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E17.1.m1.3.3.2.2.3">superscript</csymbol><apply id="S3.E17.1.m1.3.3.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E17.1.m1.3.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E17.1.m1.3.3.2.2.3.2.1.cmml" xref="S3.E17.1.m1.3.3.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E17.1.m1.3.3.2.2.3.2.2.cmml" xref="S3.E17.1.m1.3.3.2.2.3.2.2">𝚽</ci><ci id="S3.E17.1.m1.3.3.2.2.3.2.3.cmml" xref="S3.E17.1.m1.3.3.2.2.3.2.3">𝒩</ci></apply><ci id="S3.E17.1.m1.3.3.2.2.3.3.cmml" xref="S3.E17.1.m1.3.3.2.2.3.3">⊺</ci></apply></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E17.1.m1.3c">\displaystyle[\mathbf{\Phi}_{\mathcal{N}}\mathbf{\Phi}_{\mathcal{N}}^{% \intercal},\ldots,\mathbf{\Phi}_{\mathcal{N}}\mathbf{\Phi}_{\mathcal{N}}^{% \intercal}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E17.1.m1.3d">[ bold_Φ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT bold_Φ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⊺ end_POSTSUPERSCRIPT , … , bold_Φ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT bold_Φ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⊺ end_POSTSUPERSCRIPT ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(17a)</span></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E17.x1"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\arg\min_{\mathfrak{C}\in\mathcal{C}_{\mathbfcal{O}}}\sum% \nolimits_{n\in\mathcal{N}}\tfrac{1}{2}\lVert\,\mathbf{C}^{(n)}-N\,\mathbf{% \Phi}^{(n)}\mathbf{\Phi}^{(n)\intercal}\,\rVert_{\textnormal{F}}^{2}\,," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E17.x1.m1.4"><semantics id="S3.E17.x1.m1.4a"><mrow id="S3.E17.x1.m1.4.4.1" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.cmml"><mi id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.3" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.2" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.3" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.3.1" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.3.1.cmml">arg</mi><mo id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.3a" lspace="0.167em" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.3.cmml">⁡</mo><munder id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.3.2" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.3.2.2.cmml">min</mi><mrow id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.3.2.3" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.2" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.2.cmml">ℭ</mi><mo id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.1" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.1.cmml">∈</mo><msub id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.3" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.3.2" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.3.2.cmml">𝒞</mi><mi id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.3.3" mathvariant="normal" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.3.3.cmml">𝒪</mi></msub></mrow></munder></mrow><mo id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.2" lspace="0.167em" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.2a" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.2.cmml">n</mi><mo id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.1" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.3.cmml">𝒩</mi></mrow></msub></mstyle><mrow id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" rspace="0.170em" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo><mrow id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐂</mi><mrow id="S3.E17.x1.m1.1.1.1.3" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E17.x1.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.E17.x1.m1.1.1.1.1" xref="S3.E17.x1.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.E17.x1.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">N</mi><mo id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" lspace="0.170em" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">𝚽</mi><mrow id="S3.E17.x1.m1.2.2.1.3" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="S3.E17.x1.m1.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">(</mo><mi id="S3.E17.x1.m1.2.2.1.1" xref="S3.E17.x1.m1.2.2.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.E17.x1.m1.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml">𝚽</mi><mrow id="S3.E17.x1.m1.3.3.1" xref="S3.E17.x1.m1.3.3.1.cmml"><mrow id="S3.E17.x1.m1.3.3.1.3.2" xref="S3.E17.x1.m1.3.3.1.cmml"><mo id="S3.E17.x1.m1.3.3.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E17.x1.m1.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E17.x1.m1.3.3.1.1" xref="S3.E17.x1.m1.3.3.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.E17.x1.m1.3.3.1.3.2.2" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S3.E17.x1.m1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E17.x1.m1.3.3.1.4" xref="S3.E17.x1.m1.3.3.1.4.cmml">⊺</mo></mrow></msup></mrow></mrow><mo fence="true" id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mtext id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3a.cmml">F</mtext><mn id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.2" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E17.x1.m1.4b"><apply id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1"><eq id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1"><times id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.3"><arg id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.3.1.cmml" 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xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.3.3">𝒪</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1"><apply id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.2.2"></sum><apply id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.2.3"><in id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.1"></in><ci id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.2">𝑛</ci><ci id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.3">𝒩</ci></apply></apply><apply id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1"><times id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3"><divide id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3"></divide><cn id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2">1</cn><cn id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐂</ci><ci id="S3.E17.x1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E17.x1.m1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑁</ci><apply id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝚽</ci><ci id="S3.E17.x1.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E17.x1.m1.2.2.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4">superscript</csymbol><ci id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2">𝚽</ci><apply id="S3.E17.x1.m1.3.3.1.cmml" xref="S3.E17.x1.m1.3.3.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E17.x1.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S3.E17.x1.m1.3.3.1">limit-from</csymbol><ci id="S3.E17.x1.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E17.x1.m1.3.3.1.1">𝑛</ci><ci id="S3.E17.x1.m1.3.3.1.4.cmml" xref="S3.E17.x1.m1.3.3.1.4">⊺</ci></apply></apply></apply></apply></apply><ci id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3"><mtext id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3">F</mtext></ci></apply><cn id="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E17.x1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E17.x1.m1.4c">\displaystyle=\arg\min_{\mathfrak{C}\in\mathcal{C}_{\mathbfcal{O}}}\sum% \nolimits_{n\in\mathcal{N}}\tfrac{1}{2}\lVert\,\mathbf{C}^{(n)}-N\,\mathbf{% \Phi}^{(n)}\mathbf{\Phi}^{(n)\intercal}\,\rVert_{\textnormal{F}}^{2}\,,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E17.x1.m1.4d">= roman_arg roman_min start_POSTSUBSCRIPT fraktur_C ∈ caligraphic_C start_POSTSUBSCRIPT roman_𝒪 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n ∈ caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∥ bold_C start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT - italic_N bold_Φ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT bold_Φ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) ⊺ end_POSTSUPERSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT F end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E17.2"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\arg\min_{\mathfrak{C}\in\mathcal{C}_{\mathbfcal{O}}}\tfrac{1}{2% }\lVert\,\mathfrak{C}-N\,\mathfrak{C}_{\mathcal{N}}\,\rVert_{\textnormal{F}}^{% 2}\,," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E17.2.m1.1"><semantics id="S3.E17.2.m1.1a"><mrow id="S3.E17.2.m1.1.1.1" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">arg</mi><mo id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.3a" lspace="0.167em" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><munder id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml"><mi id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.2" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.2.cmml">min</mi><mrow id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.3" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.3.cmml"><mi id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.3.2" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.3.2.cmml">ℭ</mi><mo id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.3.1" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.3.1.cmml">∈</mo><msub id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.3.3" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.3.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.3.3.2" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.3.3.2.cmml">𝒞</mi><mi id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.3.3.3" mathvariant="normal" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.3.3.3.cmml">𝒪</mi></msub></mrow></munder><mo id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.3.2a" lspace="0.167em" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">⁡</mo><mfrac id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mn id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">1</mn><mn id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mrow></mrow><mo id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" rspace="0.170em" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo><mrow id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ℭ</mi><mo id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">N</mi><mo id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" lspace="0.170em" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">ℭ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">𝒩</mi></msub></mrow></mrow><mo fence="true" id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mtext id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3a.cmml">F</mtext><mn id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></mrow><mo id="S3.E17.2.m1.1.1.1.2" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E17.2.m1.1b"><apply id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1"><eq id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.3"><arg id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.3.1"></arg><apply id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.3.2"><apply id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.3.2.1">subscript</csymbol><min id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.2.cmml" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.2"></min><apply id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.3.cmml" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.3"><in id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.3.1.cmml" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.3.1"></in><ci id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.3.2.cmml" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.3.2">ℭ</ci><apply id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.3.3.cmml" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.3.3.2">𝒞</ci><ci id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.3.3.3.cmml" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.3.3.3">𝒪</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.3.2.2"><divide id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.3.2.2"></divide><cn id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">1</cn><cn id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">ℭ</ci><apply id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑁</ci><apply id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">ℭ</ci><ci id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝒩</ci></apply></apply></apply></apply><ci id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><mtext id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">F</mtext></ci></apply><cn id="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E17.2.m1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E17.2.m1.1c">\displaystyle=\arg\min_{\mathfrak{C}\in\mathcal{C}_{\mathbfcal{O}}}\tfrac{1}{2% }\lVert\,\mathfrak{C}-N\,\mathfrak{C}_{\mathcal{N}}\,\rVert_{\textnormal{F}}^{% 2}\,,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E17.2.m1.1d">= roman_arg roman_min start_POSTSUBSCRIPT fraktur_C ∈ caligraphic_C start_POSTSUBSCRIPT roman_𝒪 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∥ fraktur_C - italic_N fraktur_C start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT F end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(17b)</span></td> </tr> </tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p7.7">where <math alttext="\lVert\cdot\rVert_{\textnormal{F}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p7.7.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p7.7.m1.1a"><msub id="S3.SS2.p7.7.m1.1.2" xref="S3.SS2.p7.7.m1.1.2.cmml"><mrow id="S3.SS2.p7.7.m1.1.2.2.2" xref="S3.SS2.p7.7.m1.1.2.2.1.cmml"><mo fence="true" id="S3.SS2.p7.7.m1.1.2.2.2.1" rspace="0em" xref="S3.SS2.p7.7.m1.1.2.2.1.1.cmml">∥</mo><mo id="S3.SS2.p7.7.m1.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.SS2.p7.7.m1.1.1.cmml">⋅</mo><mo fence="true" id="S3.SS2.p7.7.m1.1.2.2.2.2" lspace="0em" xref="S3.SS2.p7.7.m1.1.2.2.1.1.cmml">∥</mo></mrow><mtext id="S3.SS2.p7.7.m1.1.2.3" xref="S3.SS2.p7.7.m1.1.2.3a.cmml">F</mtext></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p7.7.m1.1b"><apply id="S3.SS2.p7.7.m1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.7.m1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p7.7.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.7.m1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p7.7.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.7.m1.1.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.p7.7.m1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.7.m1.1.2.2.2.1">delimited-∥∥</csymbol><ci id="S3.SS2.p7.7.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.7.m1.1.1">⋅</ci></apply><ci id="S3.SS2.p7.7.m1.1.2.3a.cmml" xref="S3.SS2.p7.7.m1.1.2.3"><mtext id="S3.SS2.p7.7.m1.1.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.SS2.p7.7.m1.1.2.3">F</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p7.7.m1.1c">\lVert\cdot\rVert_{\textnormal{F}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p7.7.m1.1d">∥ ⋅ ∥ start_POSTSUBSCRIPT F end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is the Frobenius norm,</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A0.EGx21"> <tbody id="S3.E18"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathfrak{C}_{\mathcal{N}}\coloneqq[\mathbf{\Phi}^{(1)}\mathbf{% \Phi}^{(1)\intercal},\ldots,\mathbf{\Phi}^{(N)}\mathbf{\Phi}^{(N)\intercal}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E18.m1.7"><semantics id="S3.E18.m1.7a"><mrow id="S3.E18.m1.7.7" xref="S3.E18.m1.7.7.cmml"><msub id="S3.E18.m1.7.7.4" xref="S3.E18.m1.7.7.4.cmml"><mi id="S3.E18.m1.7.7.4.2" xref="S3.E18.m1.7.7.4.2.cmml">ℭ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E18.m1.7.7.4.3" xref="S3.E18.m1.7.7.4.3.cmml">𝒩</mi></msub><mo id="S3.E18.m1.7.7.3" xref="S3.E18.m1.7.7.3.cmml">≔</mo><mrow id="S3.E18.m1.7.7.2.2" xref="S3.E18.m1.7.7.2.3.cmml"><mo id="S3.E18.m1.7.7.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.E18.m1.7.7.2.3.cmml">[</mo><mrow id="S3.E18.m1.6.6.1.1.1" xref="S3.E18.m1.6.6.1.1.1.cmml"><msup id="S3.E18.m1.6.6.1.1.1.2" xref="S3.E18.m1.6.6.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E18.m1.6.6.1.1.1.2.2" xref="S3.E18.m1.6.6.1.1.1.2.2.cmml">𝚽</mi><mrow id="S3.E18.m1.1.1.1.3" xref="S3.E18.m1.6.6.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E18.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.E18.m1.6.6.1.1.1.2.cmml">(</mo><mn id="S3.E18.m1.1.1.1.1" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.E18.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.E18.m1.6.6.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.E18.m1.6.6.1.1.1.1" xref="S3.E18.m1.6.6.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E18.m1.6.6.1.1.1.3" xref="S3.E18.m1.6.6.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E18.m1.6.6.1.1.1.3.2" xref="S3.E18.m1.6.6.1.1.1.3.2.cmml">𝚽</mi><mrow id="S3.E18.m1.2.2.1" xref="S3.E18.m1.2.2.1.cmml"><mrow id="S3.E18.m1.2.2.1.3.2" xref="S3.E18.m1.2.2.1.cmml"><mo id="S3.E18.m1.2.2.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E18.m1.2.2.1.cmml">(</mo><mn id="S3.E18.m1.2.2.1.1" xref="S3.E18.m1.2.2.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.E18.m1.2.2.1.3.2.2" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S3.E18.m1.2.2.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E18.m1.2.2.1.4" xref="S3.E18.m1.2.2.1.4.cmml">⊺</mo></mrow></msup></mrow><mo id="S3.E18.m1.7.7.2.2.4" xref="S3.E18.m1.7.7.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.E18.m1.5.5" mathvariant="normal" xref="S3.E18.m1.5.5.cmml">…</mi><mo id="S3.E18.m1.7.7.2.2.5" xref="S3.E18.m1.7.7.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S3.E18.m1.7.7.2.2.2" xref="S3.E18.m1.7.7.2.2.2.cmml"><msup id="S3.E18.m1.7.7.2.2.2.2" xref="S3.E18.m1.7.7.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E18.m1.7.7.2.2.2.2.2" xref="S3.E18.m1.7.7.2.2.2.2.2.cmml">𝚽</mi><mrow id="S3.E18.m1.3.3.1.3" xref="S3.E18.m1.7.7.2.2.2.2.cmml"><mo id="S3.E18.m1.3.3.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.E18.m1.7.7.2.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S3.E18.m1.3.3.1.1" xref="S3.E18.m1.3.3.1.1.cmml">N</mi><mo id="S3.E18.m1.3.3.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.E18.m1.7.7.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.E18.m1.7.7.2.2.2.1" xref="S3.E18.m1.7.7.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E18.m1.7.7.2.2.2.3" xref="S3.E18.m1.7.7.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E18.m1.7.7.2.2.2.3.2" xref="S3.E18.m1.7.7.2.2.2.3.2.cmml">𝚽</mi><mrow id="S3.E18.m1.4.4.1" xref="S3.E18.m1.4.4.1.cmml"><mrow id="S3.E18.m1.4.4.1.3.2" xref="S3.E18.m1.4.4.1.cmml"><mo id="S3.E18.m1.4.4.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E18.m1.4.4.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E18.m1.4.4.1.1" xref="S3.E18.m1.4.4.1.1.cmml">N</mi><mo id="S3.E18.m1.4.4.1.3.2.2" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S3.E18.m1.4.4.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E18.m1.4.4.1.4" xref="S3.E18.m1.4.4.1.4.cmml">⊺</mo></mrow></msup></mrow><mo id="S3.E18.m1.7.7.2.2.6" stretchy="false" xref="S3.E18.m1.7.7.2.3.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E18.m1.7b"><apply id="S3.E18.m1.7.7.cmml" xref="S3.E18.m1.7.7"><ci id="S3.E18.m1.7.7.3.cmml" xref="S3.E18.m1.7.7.3">≔</ci><apply id="S3.E18.m1.7.7.4.cmml" xref="S3.E18.m1.7.7.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E18.m1.7.7.4.1.cmml" xref="S3.E18.m1.7.7.4">subscript</csymbol><ci id="S3.E18.m1.7.7.4.2.cmml" xref="S3.E18.m1.7.7.4.2">ℭ</ci><ci id="S3.E18.m1.7.7.4.3.cmml" xref="S3.E18.m1.7.7.4.3">𝒩</ci></apply><list id="S3.E18.m1.7.7.2.3.cmml" xref="S3.E18.m1.7.7.2.2"><apply id="S3.E18.m1.6.6.1.1.1.cmml" xref="S3.E18.m1.6.6.1.1.1"><times id="S3.E18.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E18.m1.6.6.1.1.1.1"></times><apply id="S3.E18.m1.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E18.m1.6.6.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E18.m1.6.6.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E18.m1.6.6.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E18.m1.6.6.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E18.m1.6.6.1.1.1.2.2">𝚽</ci><cn id="S3.E18.m1.1.1.1.1.cmml" 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id="S3.E18.m1.7.7.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E18.m1.7.7.2.2.2.2.2">𝚽</ci><ci id="S3.E18.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E18.m1.3.3.1.1">𝑁</ci></apply><apply id="S3.E18.m1.7.7.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E18.m1.7.7.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E18.m1.7.7.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E18.m1.7.7.2.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E18.m1.7.7.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E18.m1.7.7.2.2.2.3.2">𝚽</ci><apply id="S3.E18.m1.4.4.1.cmml" xref="S3.E18.m1.4.4.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E18.m1.4.4.1.2.cmml" xref="S3.E18.m1.4.4.1">limit-from</csymbol><ci id="S3.E18.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S3.E18.m1.4.4.1.1">𝑁</ci><ci id="S3.E18.m1.4.4.1.4.cmml" xref="S3.E18.m1.4.4.1.4">⊺</ci></apply></apply></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E18.m1.7c">\displaystyle\mathfrak{C}_{\mathcal{N}}\coloneqq[\mathbf{\Phi}^{(1)}\mathbf{% \Phi}^{(1)\intercal},\ldots,\mathbf{\Phi}^{(N)}\mathbf{\Phi}^{(N)\intercal}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E18.m1.7d">fraktur_C start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT ≔ [ bold_Φ start_POSTSUPERSCRIPT ( 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT bold_Φ start_POSTSUPERSCRIPT ( 1 ) ⊺ end_POSTSUPERSCRIPT , … , bold_Φ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_N ) end_POSTSUPERSCRIPT bold_Φ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_N ) ⊺ end_POSTSUPERSCRIPT ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(18)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p7.27">gathers all nodal covariance operators, and the consensus set</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A0.EGx22"> <tbody id="S3.Ex2"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathcal{C}_{\mathbfcal{O}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex2.m1.1"><semantics id="S3.Ex2.m1.1a"><msub id="S3.Ex2.m1.1.1" xref="S3.Ex2.m1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Ex2.m1.1.1.2" xref="S3.Ex2.m1.1.1.2.cmml">𝒞</mi><mi id="S3.Ex2.m1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.Ex2.m1.1.1.3.cmml">𝒪</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex2.m1.1b"><apply id="S3.Ex2.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex2.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex2.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.2">𝒞</ci><ci id="S3.Ex2.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.3">𝒪</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex2.m1.1c">\displaystyle\mathcal{C}_{\mathbfcal{O}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex2.m1.1d">caligraphic_C start_POSTSUBSCRIPT roman_𝒪 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle{}\coloneqq{}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex2.m2.1"><semantics id="S3.Ex2.m2.1a"><mo id="S3.Ex2.m2.1.1" xref="S3.Ex2.m2.1.1.cmml">≔</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex2.m2.1b"><ci id="S3.Ex2.m2.1.1.cmml" xref="S3.Ex2.m2.1.1">≔</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex2.m2.1c">\displaystyle{}\coloneqq{}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex2.m2.1d">≔</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\{\mathfrak{C}\in\mathbfcal{O}{\mathbin{}\mid\mathbin{}}\mathbf{C% }^{(n)}=\mathbf{C}^{(n^{\prime})},\forall\{n,n^{\prime}\}\in\mathcal{E}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex2.m3.2"><semantics id="S3.Ex2.m3.2a"><mrow id="S3.Ex2.m3.2.2.2" xref="S3.Ex2.m3.2.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex2.m3.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex2.m3.2.2.3.1.cmml">{</mo><mrow id="S3.Ex2.m3.1.1.1.1" xref="S3.Ex2.m3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex2.m3.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex2.m3.1.1.1.1.2.cmml">ℭ</mi><mo id="S3.Ex2.m3.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex2.m3.1.1.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S3.Ex2.m3.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.Ex2.m3.1.1.1.1.3.cmml">𝒪</mi></mrow><mo fence="true" id="S3.Ex2.m3.2.2.2.4" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.Ex2.m3.2.2.3.1.cmml">∣</mo><mrow id="S3.Ex2.m3.2.2.2.2" xref="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1" xref="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.cmml"><msup id="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.3" xref="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.3.2.cmml">𝒞</mi><mrow id="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.3.3" xref="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.3.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.3.3.2.cmml">⇐</mi><mo id="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.3.3.1" xref="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.3.3.3" mathvariant="normal" xref="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.3.3.3.cmml">\</mi><mo id="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.3.3.1a" xref="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.3.3.4" mathvariant="normal" xref="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.3.3.4.cmml">⇒</mi></mrow></msup><mo id="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.2" xref="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.4" mathvariant="normal" xref="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.4.cmml">ℑ</mi><mo id="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.2a" xref="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.5" xref="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.5.cmml"><mi id="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.5.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.5.2.cmml">𝒞</mi><mrow id="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.5.3" xref="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.5.3.cmml"><mi id="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.5.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.5.3.2.cmml">⇐</mi><mo id="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.5.3.1" xref="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.5.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.5.3.3" xref="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.5.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.5.3.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.5.3.3.2.cmml">\</mi><mo id="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.5.3.3.3" xref="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.5.3.3.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.5.3.1a" xref="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.5.3.4" mathvariant="normal" xref="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.5.3.4.cmml">⇒</mi></mrow></msup><mo id="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.2b" xref="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.6" mathvariant="normal" xref="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.6.cmml">⇔</mi><mo id="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.2c" lspace="0.167em" xref="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.1" xref="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.1.2.cmml">∀</mo><mrow id="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi 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id="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.3.2">𝒞</ci><apply id="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.3.3"><times id="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.3.3.1"></times><ci id="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.3.3.2">⇐</ci><ci id="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.3.3.3">\</ci><ci id="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.3.3.4.cmml" xref="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.3.3.4">⇒</ci></apply></apply><ci id="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.4.cmml" xref="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.4">ℑ</ci><apply id="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.5.cmml" xref="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.5.1.cmml" xref="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.5">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.5.2.cmml" xref="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.5.2">𝒞</ci><apply id="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.5.3.cmml" xref="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.5.3"><times id="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.5.3.1.cmml" xref="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.5.3.1"></times><ci id="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.5.3.2.cmml" xref="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.5.3.2">⇐</ci><apply id="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.5.3.3.cmml" xref="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.5.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.5.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.5.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.5.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.5.3.3.2">\</ci><ci id="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.5.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.5.3.3.3">′</ci></apply><ci id="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.5.3.4.cmml" xref="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.5.3.4">⇒</ci></apply></apply><ci id="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.6.cmml" xref="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.6">⇔</ci><apply id="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.1.2">for-all</csymbol><set id="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.1.1.1"><apply id="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex2.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1"></times><ci 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roman_𝒪 ∣ roman_𝒞 start_POSTSUPERSCRIPT ⇐ \ ⇒ end_POSTSUPERSCRIPT roman_ℑ roman_𝒞 start_POSTSUPERSCRIPT ⇐ \ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ⇒ end_POSTSUPERSCRIPT ⇔ ∀ { \ ⇔ \ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT } ∈ roman_ℰ }</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.Ex3a"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex3a.m1.1"><semantics id="S3.Ex3a.m1.1a"><mo id="S3.Ex3a.m1.1.1" xref="S3.Ex3a.m1.1.1.cmml">=</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex3a.m1.1b"><eq id="S3.Ex3a.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex3a.m1.1.1"></eq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex3a.m1.1c">\displaystyle=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex3a.m1.1d">=</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\{\mathfrak{C}\in\mathbfcal{O}{\mathbin{}\mid\mathbin{}}\mathbf{C% }^{(1)}=\ldots=\mathbf{C}^{(N)}\}\,." class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex3a.m2.2"><semantics id="S3.Ex3a.m2.2a"><mrow id="S3.Ex3a.m2.2.2" xref="S3.Ex3a.m2.2.2.cmml"><mrow id="S3.Ex3a.m2.2.2.2.2" xref="S3.Ex3a.m2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex3a.m2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex3a.m2.2.2.2.3.1.cmml">{</mo><mrow id="S3.Ex3a.m2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex3a.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex3a.m2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex3a.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">ℭ</mi><mo id="S3.Ex3a.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex3a.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S3.Ex3a.m2.1.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.Ex3a.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">𝒪</mi></mrow><mo fence="true" id="S3.Ex3a.m2.2.2.2.2.4" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.Ex3a.m2.2.2.2.3.1.cmml">∣</mo><mrow id="S3.Ex3a.m2.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex3a.m2.2.2.2.2.2.cmml"><msup id="S3.Ex3a.m2.2.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex3a.m2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex3a.m2.2.2.2.2.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex3a.m2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">𝒞</mi><mrow id="S3.Ex3a.m2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex3a.m2.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex3a.m2.2.2.2.2.2.2.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex3a.m2.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">⇐</mi><mo id="S3.Ex3a.m2.2.2.2.2.2.2.3.1" xref="S3.Ex3a.m2.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex3a.m2.2.2.2.2.2.2.3.3" mathvariant="normal" xref="S3.Ex3a.m2.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml">∞</mi><mo id="S3.Ex3a.m2.2.2.2.2.2.2.3.1a" xref="S3.Ex3a.m2.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex3a.m2.2.2.2.2.2.2.3.4" mathvariant="normal" xref="S3.Ex3a.m2.2.2.2.2.2.2.3.4.cmml">⇒</mi></mrow></msup><mo id="S3.Ex3a.m2.2.2.2.2.2.1" xref="S3.Ex3a.m2.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex3a.m2.2.2.2.2.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.Ex3a.m2.2.2.2.2.2.3.cmml">ℑ</mi><mo id="S3.Ex3a.m2.2.2.2.2.2.1a" xref="S3.Ex3a.m2.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex3a.m2.2.2.2.2.2.4" mathvariant="normal" xref="S3.Ex3a.m2.2.2.2.2.2.4.cmml">…</mi><mo id="S3.Ex3a.m2.2.2.2.2.2.1b" xref="S3.Ex3a.m2.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex3a.m2.2.2.2.2.2.5" mathvariant="normal" xref="S3.Ex3a.m2.2.2.2.2.2.5.cmml">ℑ</mi><mo id="S3.Ex3a.m2.2.2.2.2.2.1c" xref="S3.Ex3a.m2.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex3a.m2.2.2.2.2.2.6" xref="S3.Ex3a.m2.2.2.2.2.2.6.cmml"><mi id="S3.Ex3a.m2.2.2.2.2.2.6.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex3a.m2.2.2.2.2.2.6.2.cmml">𝒞</mi><mrow id="S3.Ex3a.m2.2.2.2.2.2.6.3" xref="S3.Ex3a.m2.2.2.2.2.2.6.3.cmml"><mi id="S3.Ex3a.m2.2.2.2.2.2.6.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex3a.m2.2.2.2.2.2.6.3.2.cmml">⇐</mi><mo id="S3.Ex3a.m2.2.2.2.2.2.6.3.1" xref="S3.Ex3a.m2.2.2.2.2.2.6.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex3a.m2.2.2.2.2.2.6.3.3" mathvariant="normal" xref="S3.Ex3a.m2.2.2.2.2.2.6.3.3.cmml">𝒩</mi><mo id="S3.Ex3a.m2.2.2.2.2.2.6.3.1a" xref="S3.Ex3a.m2.2.2.2.2.2.6.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex3a.m2.2.2.2.2.2.6.3.4" mathvariant="normal" xref="S3.Ex3a.m2.2.2.2.2.2.6.3.4.cmml">⇒</mi></mrow></msup></mrow><mo id="S3.Ex3a.m2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.Ex3a.m2.2.2.2.3.1.cmml">}</mo></mrow><mo id="S3.Ex3a.m2.2.2.3" lspace="0.170em" xref="S3.Ex3a.m2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex3a.m2.2.2.4" mathvariant="normal" xref="S3.Ex3a.m2.2.2.4.cmml">↙</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex3a.m2.2b"><apply id="S3.Ex3a.m2.2.2.cmml" xref="S3.Ex3a.m2.2.2"><times id="S3.Ex3a.m2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex3a.m2.2.2.3"></times><apply id="S3.Ex3a.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex3a.m2.2.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex3a.m2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex3a.m2.2.2.2.2.3">conditional-set</csymbol><apply id="S3.Ex3a.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex3a.m2.1.1.1.1.1"><in id="S3.Ex3a.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex3a.m2.1.1.1.1.1.1"></in><ci id="S3.Ex3a.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex3a.m2.1.1.1.1.1.2">ℭ</ci><ci id="S3.Ex3a.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" 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xref="S3.Ex3a.m2.2.2.2.2.2.4">…</ci><ci id="S3.Ex3a.m2.2.2.2.2.2.5.cmml" xref="S3.Ex3a.m2.2.2.2.2.2.5">ℑ</ci><apply id="S3.Ex3a.m2.2.2.2.2.2.6.cmml" xref="S3.Ex3a.m2.2.2.2.2.2.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex3a.m2.2.2.2.2.2.6.1.cmml" xref="S3.Ex3a.m2.2.2.2.2.2.6">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex3a.m2.2.2.2.2.2.6.2.cmml" xref="S3.Ex3a.m2.2.2.2.2.2.6.2">𝒞</ci><apply id="S3.Ex3a.m2.2.2.2.2.2.6.3.cmml" xref="S3.Ex3a.m2.2.2.2.2.2.6.3"><times id="S3.Ex3a.m2.2.2.2.2.2.6.3.1.cmml" xref="S3.Ex3a.m2.2.2.2.2.2.6.3.1"></times><ci id="S3.Ex3a.m2.2.2.2.2.2.6.3.2.cmml" xref="S3.Ex3a.m2.2.2.2.2.2.6.3.2">⇐</ci><ci id="S3.Ex3a.m2.2.2.2.2.2.6.3.3.cmml" xref="S3.Ex3a.m2.2.2.2.2.2.6.3.3">𝒩</ci><ci id="S3.Ex3a.m2.2.2.2.2.2.6.3.4.cmml" xref="S3.Ex3a.m2.2.2.2.2.2.6.3.4">⇒</ci></apply></apply></apply></apply><ci id="S3.Ex3a.m2.2.2.4.cmml" xref="S3.Ex3a.m2.2.2.4">↙</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex3a.m2.2c">\displaystyle\{\mathfrak{C}\in\mathbfcal{O}{\mathbin{}\mid\mathbin{}}\mathbf{C% }^{(1)}=\ldots=\mathbf{C}^{(N)}\}\,.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex3a.m2.2d">{ fraktur_C ∈ roman_𝒪 ∣ roman_𝒞 start_POSTSUPERSCRIPT ⇐ ∞ ⇒ end_POSTSUPERSCRIPT roman_ℑ … roman_ℑ roman_𝒞 start_POSTSUPERSCRIPT ⇐ roman_𝒩 ⇒ end_POSTSUPERSCRIPT } ↙</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p7.8">Along the lines of (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E12" title="Equation 12 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">12</span></a>), define the linear operators <math alttext="A^{\textnormal{C}},A_{\varpi}^{\textnormal{C}}\colon\mathbfcal{O}\to\mathbfcal% {O}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p7.8.m1.2"><semantics id="S3.SS2.p7.8.m1.2a"><mrow id="S3.SS2.p7.8.m1.2.2" xref="S3.SS2.p7.8.m1.2.2.cmml"><mrow id="S3.SS2.p7.8.m1.2.2.2.2" xref="S3.SS2.p7.8.m1.2.2.2.3.cmml"><msup id="S3.SS2.p7.8.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p7.8.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p7.8.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p7.8.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">A</mi><mtext id="S3.SS2.p7.8.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p7.8.m1.1.1.1.1.1.3a.cmml">C</mtext></msup><mo id="S3.SS2.p7.8.m1.2.2.2.2.3" xref="S3.SS2.p7.8.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><msubsup id="S3.SS2.p7.8.m1.2.2.2.2.2" xref="S3.SS2.p7.8.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p7.8.m1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S3.SS2.p7.8.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml">A</mi><mi id="S3.SS2.p7.8.m1.2.2.2.2.2.2.3" xref="S3.SS2.p7.8.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml">ϖ</mi><mtext id="S3.SS2.p7.8.m1.2.2.2.2.2.3" xref="S3.SS2.p7.8.m1.2.2.2.2.2.3a.cmml">C</mtext></msubsup></mrow><mo id="S3.SS2.p7.8.m1.2.2.3" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S3.SS2.p7.8.m1.2.2.3.cmml">:</mo><mrow id="S3.SS2.p7.8.m1.2.2.4" xref="S3.SS2.p7.8.m1.2.2.4.cmml"><mi id="S3.SS2.p7.8.m1.2.2.4.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p7.8.m1.2.2.4.2.cmml">𝒪</mi><mo id="S3.SS2.p7.8.m1.2.2.4.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p7.8.m1.2.2.4.1.cmml">→</mo><mi id="S3.SS2.p7.8.m1.2.2.4.3" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p7.8.m1.2.2.4.3.cmml">𝒪</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p7.8.m1.2b"><apply id="S3.SS2.p7.8.m1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.8.m1.2.2"><ci id="S3.SS2.p7.8.m1.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.8.m1.2.2.3">:</ci><list id="S3.SS2.p7.8.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.8.m1.2.2.2.2"><apply id="S3.SS2.p7.8.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.8.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p7.8.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.8.m1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p7.8.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.8.m1.1.1.1.1.1.2">𝐴</ci><ci id="S3.SS2.p7.8.m1.1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S3.SS2.p7.8.m1.1.1.1.1.1.3"><mtext id="S3.SS2.p7.8.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.SS2.p7.8.m1.1.1.1.1.1.3">C</mtext></ci></apply><apply id="S3.SS2.p7.8.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.8.m1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p7.8.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.8.m1.2.2.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p7.8.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.8.m1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p7.8.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.8.m1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p7.8.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.8.m1.2.2.2.2.2.2.2">𝐴</ci><ci id="S3.SS2.p7.8.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.8.m1.2.2.2.2.2.2.3">italic-ϖ</ci></apply><ci id="S3.SS2.p7.8.m1.2.2.2.2.2.3a.cmml" xref="S3.SS2.p7.8.m1.2.2.2.2.2.3"><mtext id="S3.SS2.p7.8.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.SS2.p7.8.m1.2.2.2.2.2.3">C</mtext></ci></apply></list><apply id="S3.SS2.p7.8.m1.2.2.4.cmml" xref="S3.SS2.p7.8.m1.2.2.4"><ci id="S3.SS2.p7.8.m1.2.2.4.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.8.m1.2.2.4.1">→</ci><ci id="S3.SS2.p7.8.m1.2.2.4.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.8.m1.2.2.4.2">𝒪</ci><ci id="S3.SS2.p7.8.m1.2.2.4.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.8.m1.2.2.4.3">𝒪</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p7.8.m1.2c">A^{\textnormal{C}},A_{\varpi}^{\textnormal{C}}\colon\mathbfcal{O}\to\mathbfcal% {O}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p7.8.m1.2d">italic_A start_POSTSUPERSCRIPT C end_POSTSUPERSCRIPT , italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_ϖ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT C end_POSTSUPERSCRIPT : roman_𝒪 → roman_𝒪</annotation></semantics></math> by</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_table" id="S3.E19"> <tbody> <tr class="ltx_eqn_row" id="A0.EGx23"><td class="ltx_eqn_cell" colspan="5"></td></tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E19.1"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle A^{\textnormal{C}}(\mathfrak{C})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E19.1.m1.1"><semantics id="S3.E19.1.m1.1a"><mrow id="S3.E19.1.m1.1.2" xref="S3.E19.1.m1.1.2.cmml"><msup id="S3.E19.1.m1.1.2.2" xref="S3.E19.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E19.1.m1.1.2.2.2" xref="S3.E19.1.m1.1.2.2.2.cmml">A</mi><mtext id="S3.E19.1.m1.1.2.2.3" xref="S3.E19.1.m1.1.2.2.3a.cmml">C</mtext></msup><mo id="S3.E19.1.m1.1.2.1" xref="S3.E19.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E19.1.m1.1.2.3.2" xref="S3.E19.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S3.E19.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E19.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.E19.1.m1.1.1" xref="S3.E19.1.m1.1.1.cmml">ℭ</mi><mo id="S3.E19.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E19.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E19.1.m1.1b"><apply id="S3.E19.1.m1.1.2.cmml" xref="S3.E19.1.m1.1.2"><times id="S3.E19.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.E19.1.m1.1.2.1"></times><apply id="S3.E19.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.E19.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E19.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E19.1.m1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E19.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E19.1.m1.1.2.2.2">𝐴</ci><ci id="S3.E19.1.m1.1.2.2.3a.cmml" xref="S3.E19.1.m1.1.2.2.3"><mtext id="S3.E19.1.m1.1.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E19.1.m1.1.2.2.3">C</mtext></ci></apply><ci id="S3.E19.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.E19.1.m1.1.1">ℭ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E19.1.m1.1c">\displaystyle A^{\textnormal{C}}(\mathfrak{C})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E19.1.m1.1d">italic_A start_POSTSUPERSCRIPT C end_POSTSUPERSCRIPT ( fraktur_C )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\coloneqq\mathfrak{C}\,(\,(\mathbf{I}_{N}-\gamma\mathbf{L})% \otimes\mathbf{I}_{D}\,)\,," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E19.1.m2.1"><semantics id="S3.E19.1.m2.1a"><mrow id="S3.E19.1.m2.1.1.1" xref="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E19.1.m2.1.1.1.1" xref="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.3" xref="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.2" xref="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.2.cmml">≔</mo><mrow id="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1" xref="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">ℭ</mi><mo id="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.2" lspace="0.170em" xref="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.2" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐈</mi><mi id="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">N</mi></msub><mo id="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">γ</mi><mo id="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">𝐋</mi></mrow></mrow><mo id="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" rspace="0.222em" xref="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⊗</mo><msub id="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">𝐈</mi><mi id="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">D</mi></msub></mrow><mo id="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.3" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E19.1.m2.1.1.1.2" xref="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E19.1.m2.1b"><apply id="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E19.1.m2.1.1.1"><ci id="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.2">≔</ci><csymbol cd="latexml" id="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1"><times id="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.3">ℭ</ci><apply id="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2">tensor-product</csymbol><apply id="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐈</ci><ci id="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑁</ci></apply><apply id="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝛾</ci><ci id="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝐋</ci></apply></apply><apply id="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐈</ci><ci id="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E19.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝐷</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E19.1.m2.1c">\displaystyle\coloneqq\mathfrak{C}\,(\,(\mathbf{I}_{N}-\gamma\mathbf{L})% \otimes\mathbf{I}_{D}\,)\,,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E19.1.m2.1d">≔ fraktur_C ( ( bold_I start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT - italic_γ bold_L ) ⊗ bold_I start_POSTSUBSCRIPT italic_D end_POSTSUBSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(19a)</span></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E19.2"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle A_{\varpi}^{\textnormal{C}}(\mathfrak{C})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E19.2.m1.1"><semantics id="S3.E19.2.m1.1a"><mrow id="S3.E19.2.m1.1.2" xref="S3.E19.2.m1.1.2.cmml"><msubsup id="S3.E19.2.m1.1.2.2" xref="S3.E19.2.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E19.2.m1.1.2.2.2.2" xref="S3.E19.2.m1.1.2.2.2.2.cmml">A</mi><mi id="S3.E19.2.m1.1.2.2.2.3" xref="S3.E19.2.m1.1.2.2.2.3.cmml">ϖ</mi><mtext id="S3.E19.2.m1.1.2.2.3" xref="S3.E19.2.m1.1.2.2.3a.cmml">C</mtext></msubsup><mo id="S3.E19.2.m1.1.2.1" xref="S3.E19.2.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E19.2.m1.1.2.3.2" xref="S3.E19.2.m1.1.2.cmml"><mo id="S3.E19.2.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E19.2.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.E19.2.m1.1.1" xref="S3.E19.2.m1.1.1.cmml">ℭ</mi><mo id="S3.E19.2.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E19.2.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E19.2.m1.1b"><apply id="S3.E19.2.m1.1.2.cmml" xref="S3.E19.2.m1.1.2"><times id="S3.E19.2.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.E19.2.m1.1.2.1"></times><apply id="S3.E19.2.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.E19.2.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E19.2.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E19.2.m1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E19.2.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E19.2.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E19.2.m1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E19.2.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E19.2.m1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E19.2.m1.1.2.2.2.2">𝐴</ci><ci id="S3.E19.2.m1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E19.2.m1.1.2.2.2.3">italic-ϖ</ci></apply><ci id="S3.E19.2.m1.1.2.2.3a.cmml" xref="S3.E19.2.m1.1.2.2.3"><mtext id="S3.E19.2.m1.1.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E19.2.m1.1.2.2.3">C</mtext></ci></apply><ci id="S3.E19.2.m1.1.1.cmml" xref="S3.E19.2.m1.1.1">ℭ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E19.2.m1.1c">\displaystyle A_{\varpi}^{\textnormal{C}}(\mathfrak{C})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E19.2.m1.1d">italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_ϖ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT C end_POSTSUPERSCRIPT ( fraktur_C )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\coloneqq\varpi A^{\textnormal{C}}(\mathfrak{C})+(1-\varpi)% \mathfrak{C}\,," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E19.2.m2.2"><semantics id="S3.E19.2.m2.2a"><mrow id="S3.E19.2.m2.2.2.1" xref="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.E19.2.m2.2.2.1.1" xref="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.3" xref="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.2" xref="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.2.cmml">≔</mo><mrow id="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1" xref="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.3" xref="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.3.2" xref="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">ϖ</mi><mo id="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.3.1" xref="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.3.3" xref="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml">A</mi><mtext id="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.3" xref="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.3a.cmml">C</mtext></msup><mo id="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.3.1a" xref="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.3.4.2" xref="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S3.E19.2.m2.1.1" xref="S3.E19.2.m2.1.1.cmml">ℭ</mi><mo id="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.3.4.2.2" stretchy="false" xref="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.2" xref="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ϖ</mi></mrow><mo id="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.cmml">ℭ</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E19.2.m2.2.2.1.2" lspace="0.170em" xref="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E19.2.m2.2b"><apply id="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E19.2.m2.2.2.1"><ci id="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.2">≔</ci><csymbol cd="latexml" id="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1"><plus id="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.2"></plus><apply id="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.3"><times id="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.3.2">italic-ϖ</ci><apply id="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.2">𝐴</ci><ci id="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.3a.cmml" xref="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.3"><mtext id="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.3">C</mtext></ci></apply><ci id="S3.E19.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.E19.2.m2.1.1">ℭ</ci></apply><apply id="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.1"><times id="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><ci id="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3">italic-ϖ</ci></apply><ci id="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E19.2.m2.2.2.1.1.1.1.3">ℭ</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E19.2.m2.2c">\displaystyle\coloneqq\varpi A^{\textnormal{C}}(\mathfrak{C})+(1-\varpi)% \mathfrak{C}\,,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E19.2.m2.2d">≔ italic_ϖ italic_A start_POSTSUPERSCRIPT C end_POSTSUPERSCRIPT ( fraktur_C ) + ( 1 - italic_ϖ ) fraktur_C ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(19b)</span></td> </tr> </tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p7.15"><math alttext="\forall\mathfrak{C}\in\mathbfcal{O}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p7.9.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p7.9.m1.1a"><mrow id="S3.SS2.p7.9.m1.1.1" xref="S3.SS2.p7.9.m1.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS2.p7.9.m1.1.1.2" xref="S3.SS2.p7.9.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.p7.9.m1.1.1.2.1" rspace="0.167em" xref="S3.SS2.p7.9.m1.1.1.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S3.SS2.p7.9.m1.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p7.9.m1.1.1.2.2.cmml">ℭ</mi></mrow><mo id="S3.SS2.p7.9.m1.1.1.1" xref="S3.SS2.p7.9.m1.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S3.SS2.p7.9.m1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p7.9.m1.1.1.3.cmml">𝒪</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p7.9.m1.1b"><apply id="S3.SS2.p7.9.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.9.m1.1.1"><in id="S3.SS2.p7.9.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.9.m1.1.1.1"></in><apply id="S3.SS2.p7.9.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.9.m1.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.p7.9.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.9.m1.1.1.2.1">for-all</csymbol><ci id="S3.SS2.p7.9.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.9.m1.1.1.2.2">ℭ</ci></apply><ci id="S3.SS2.p7.9.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.9.m1.1.1.3">𝒪</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p7.9.m1.1c">\forall\mathfrak{C}\in\mathbfcal{O}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p7.9.m1.1d">∀ fraktur_C ∈ roman_𝒪</annotation></semantics></math>, where <math alttext="\otimes" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p7.10.m2.1"><semantics id="S3.SS2.p7.10.m2.1a"><mo id="S3.SS2.p7.10.m2.1.1" xref="S3.SS2.p7.10.m2.1.1.cmml">⊗</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p7.10.m2.1b"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.p7.10.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.10.m2.1.1">tensor-product</csymbol></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p7.10.m2.1c">\otimes</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p7.10.m2.1d">⊗</annotation></semantics></math> stands for the Kronecker product, <math alttext="\gamma\in(\,0,1/\lVert\mathbf{L}\rVert_{2}\,]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p7.11.m3.3"><semantics id="S3.SS2.p7.11.m3.3a"><mrow id="S3.SS2.p7.11.m3.3.3" xref="S3.SS2.p7.11.m3.3.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p7.11.m3.3.3.3" xref="S3.SS2.p7.11.m3.3.3.3.cmml">γ</mi><mo id="S3.SS2.p7.11.m3.3.3.2" xref="S3.SS2.p7.11.m3.3.3.2.cmml">∈</mo><mrow id="S3.SS2.p7.11.m3.3.3.1.1" xref="S3.SS2.p7.11.m3.3.3.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.p7.11.m3.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p7.11.m3.3.3.1.2.cmml">(</mo><mn id="S3.SS2.p7.11.m3.2.2" xref="S3.SS2.p7.11.m3.2.2.cmml"> 0</mn><mo id="S3.SS2.p7.11.m3.3.3.1.1.3" xref="S3.SS2.p7.11.m3.3.3.1.2.cmml">,</mo><mrow id="S3.SS2.p7.11.m3.3.3.1.1.1" xref="S3.SS2.p7.11.m3.3.3.1.1.1.cmml"><mn id="S3.SS2.p7.11.m3.3.3.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p7.11.m3.3.3.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S3.SS2.p7.11.m3.3.3.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p7.11.m3.3.3.1.1.1.1.cmml">/</mo><msub id="S3.SS2.p7.11.m3.3.3.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p7.11.m3.3.3.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.SS2.p7.11.m3.3.3.1.1.1.3.2.2" xref="S3.SS2.p7.11.m3.3.3.1.1.1.3.2.1.cmml"><mo fence="true" id="S3.SS2.p7.11.m3.3.3.1.1.1.3.2.2.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.SS2.p7.11.m3.3.3.1.1.1.3.2.1.1.cmml">∥</mo><mi id="S3.SS2.p7.11.m3.1.1" xref="S3.SS2.p7.11.m3.1.1.cmml">𝐋</mi><mo fence="true" id="S3.SS2.p7.11.m3.3.3.1.1.1.3.2.2.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.SS2.p7.11.m3.3.3.1.1.1.3.2.1.1.cmml">∥</mo></mrow><mn id="S3.SS2.p7.11.m3.3.3.1.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p7.11.m3.3.3.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S3.SS2.p7.11.m3.3.3.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.SS2.p7.11.m3.3.3.1.2.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p7.11.m3.3b"><apply id="S3.SS2.p7.11.m3.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.11.m3.3.3"><in id="S3.SS2.p7.11.m3.3.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.11.m3.3.3.2"></in><ci id="S3.SS2.p7.11.m3.3.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.11.m3.3.3.3">𝛾</ci><interval closure="open-closed" id="S3.SS2.p7.11.m3.3.3.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.11.m3.3.3.1.1"><cn id="S3.SS2.p7.11.m3.2.2.cmml" type="float" xref="S3.SS2.p7.11.m3.2.2"> 0</cn><apply id="S3.SS2.p7.11.m3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.11.m3.3.3.1.1.1"><divide id="S3.SS2.p7.11.m3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.11.m3.3.3.1.1.1.1"></divide><cn id="S3.SS2.p7.11.m3.3.3.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p7.11.m3.3.3.1.1.1.2">1</cn><apply id="S3.SS2.p7.11.m3.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.11.m3.3.3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p7.11.m3.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.11.m3.3.3.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p7.11.m3.3.3.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.11.m3.3.3.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.p7.11.m3.3.3.1.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.11.m3.3.3.1.1.1.3.2.2.1">delimited-∥∥</csymbol><ci id="S3.SS2.p7.11.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.11.m3.1.1">𝐋</ci></apply><cn id="S3.SS2.p7.11.m3.3.3.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p7.11.m3.3.3.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p7.11.m3.3c">\gamma\in(\,0,1/\lVert\mathbf{L}\rVert_{2}\,]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p7.11.m3.3d">italic_γ ∈ ( 0 , 1 / ∥ bold_L ∥ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ]</annotation></semantics></math>, and <math alttext="\varpi\in[1/2,1)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p7.12.m4.2"><semantics id="S3.SS2.p7.12.m4.2a"><mrow id="S3.SS2.p7.12.m4.2.2" xref="S3.SS2.p7.12.m4.2.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p7.12.m4.2.2.3" xref="S3.SS2.p7.12.m4.2.2.3.cmml">ϖ</mi><mo id="S3.SS2.p7.12.m4.2.2.2" xref="S3.SS2.p7.12.m4.2.2.2.cmml">∈</mo><mrow id="S3.SS2.p7.12.m4.2.2.1.1" xref="S3.SS2.p7.12.m4.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.p7.12.m4.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p7.12.m4.2.2.1.2.cmml">[</mo><mrow id="S3.SS2.p7.12.m4.2.2.1.1.1" xref="S3.SS2.p7.12.m4.2.2.1.1.1.cmml"><mn id="S3.SS2.p7.12.m4.2.2.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p7.12.m4.2.2.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S3.SS2.p7.12.m4.2.2.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p7.12.m4.2.2.1.1.1.1.cmml">/</mo><mn id="S3.SS2.p7.12.m4.2.2.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p7.12.m4.2.2.1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><mo id="S3.SS2.p7.12.m4.2.2.1.1.3" xref="S3.SS2.p7.12.m4.2.2.1.2.cmml">,</mo><mn id="S3.SS2.p7.12.m4.1.1" xref="S3.SS2.p7.12.m4.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.SS2.p7.12.m4.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.SS2.p7.12.m4.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p7.12.m4.2b"><apply id="S3.SS2.p7.12.m4.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.12.m4.2.2"><in id="S3.SS2.p7.12.m4.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.12.m4.2.2.2"></in><ci id="S3.SS2.p7.12.m4.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.12.m4.2.2.3">italic-ϖ</ci><interval closure="closed-open" id="S3.SS2.p7.12.m4.2.2.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.12.m4.2.2.1.1"><apply id="S3.SS2.p7.12.m4.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.12.m4.2.2.1.1.1"><divide id="S3.SS2.p7.12.m4.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.12.m4.2.2.1.1.1.1"></divide><cn id="S3.SS2.p7.12.m4.2.2.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p7.12.m4.2.2.1.1.1.2">1</cn><cn id="S3.SS2.p7.12.m4.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p7.12.m4.2.2.1.1.1.3">2</cn></apply><cn id="S3.SS2.p7.12.m4.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p7.12.m4.1.1">1</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p7.12.m4.2c">\varpi\in[1/2,1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p7.12.m4.2d">italic_ϖ ∈ [ 1 / 2 , 1 )</annotation></semantics></math>. It is not difficult to verify that per node <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p7.13.m5.1"><semantics id="S3.SS2.p7.13.m5.1a"><mi id="S3.SS2.p7.13.m5.1.1" xref="S3.SS2.p7.13.m5.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p7.13.m5.1b"><ci id="S3.SS2.p7.13.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.13.m5.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p7.13.m5.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p7.13.m5.1d">italic_n</annotation></semantics></math>, only <math alttext="\mathbf{C}^{(n)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p7.14.m6.1"><semantics id="S3.SS2.p7.14.m6.1a"><msup id="S3.SS2.p7.14.m6.1.2" xref="S3.SS2.p7.14.m6.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p7.14.m6.1.2.2" xref="S3.SS2.p7.14.m6.1.2.2.cmml">𝐂</mi><mrow id="S3.SS2.p7.14.m6.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p7.14.m6.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.p7.14.m6.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p7.14.m6.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.SS2.p7.14.m6.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p7.14.m6.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.SS2.p7.14.m6.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p7.14.m6.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p7.14.m6.1b"><apply id="S3.SS2.p7.14.m6.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.14.m6.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p7.14.m6.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.14.m6.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p7.14.m6.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.14.m6.1.2.2">𝐂</ci><ci id="S3.SS2.p7.14.m6.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.14.m6.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p7.14.m6.1c">\mathbf{C}^{(n)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p7.14.m6.1d">bold_C start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and copies of <math alttext="\{\mathbf{C}^{(n^{\prime})}\}_{n^{\prime}\in\mathcal{N}_{n}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p7.15.m7.2"><semantics id="S3.SS2.p7.15.m7.2a"><msub id="S3.SS2.p7.15.m7.2.2" xref="S3.SS2.p7.15.m7.2.2.cmml"><mrow id="S3.SS2.p7.15.m7.2.2.1.1" xref="S3.SS2.p7.15.m7.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.p7.15.m7.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p7.15.m7.2.2.1.2.cmml">{</mo><msup id="S3.SS2.p7.15.m7.2.2.1.1.1" xref="S3.SS2.p7.15.m7.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p7.15.m7.2.2.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p7.15.m7.2.2.1.1.1.2.cmml">𝐂</mi><mrow id="S3.SS2.p7.15.m7.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p7.15.m7.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p7.15.m7.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p7.15.m7.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.SS2.p7.15.m7.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p7.15.m7.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p7.15.m7.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p7.15.m7.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S3.SS2.p7.15.m7.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p7.15.m7.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.SS2.p7.15.m7.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.p7.15.m7.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.SS2.p7.15.m7.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.p7.15.m7.2.2.1.2.cmml">}</mo></mrow><mrow id="S3.SS2.p7.15.m7.2.2.3" xref="S3.SS2.p7.15.m7.2.2.3.cmml"><msup id="S3.SS2.p7.15.m7.2.2.3.2" xref="S3.SS2.p7.15.m7.2.2.3.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p7.15.m7.2.2.3.2.2" xref="S3.SS2.p7.15.m7.2.2.3.2.2.cmml">n</mi><mo id="S3.SS2.p7.15.m7.2.2.3.2.3" xref="S3.SS2.p7.15.m7.2.2.3.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.SS2.p7.15.m7.2.2.3.1" xref="S3.SS2.p7.15.m7.2.2.3.1.cmml">∈</mo><msub id="S3.SS2.p7.15.m7.2.2.3.3" xref="S3.SS2.p7.15.m7.2.2.3.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS2.p7.15.m7.2.2.3.3.2" xref="S3.SS2.p7.15.m7.2.2.3.3.2.cmml">𝒩</mi><mi id="S3.SS2.p7.15.m7.2.2.3.3.3" xref="S3.SS2.p7.15.m7.2.2.3.3.3.cmml">n</mi></msub></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p7.15.m7.2b"><apply id="S3.SS2.p7.15.m7.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.15.m7.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p7.15.m7.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.15.m7.2.2">subscript</csymbol><set id="S3.SS2.p7.15.m7.2.2.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.15.m7.2.2.1.1"><apply id="S3.SS2.p7.15.m7.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.15.m7.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p7.15.m7.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.15.m7.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p7.15.m7.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.15.m7.2.2.1.1.1.2">𝐂</ci><apply id="S3.SS2.p7.15.m7.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.15.m7.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p7.15.m7.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.15.m7.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p7.15.m7.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.15.m7.1.1.1.1.1.2">𝑛</ci><ci id="S3.SS2.p7.15.m7.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.15.m7.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply></apply></set><apply id="S3.SS2.p7.15.m7.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.15.m7.2.2.3"><in id="S3.SS2.p7.15.m7.2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.15.m7.2.2.3.1"></in><apply id="S3.SS2.p7.15.m7.2.2.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.15.m7.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p7.15.m7.2.2.3.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.15.m7.2.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p7.15.m7.2.2.3.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.15.m7.2.2.3.2.2">𝑛</ci><ci id="S3.SS2.p7.15.m7.2.2.3.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.15.m7.2.2.3.2.3">′</ci></apply><apply id="S3.SS2.p7.15.m7.2.2.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.15.m7.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p7.15.m7.2.2.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.15.m7.2.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p7.15.m7.2.2.3.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.15.m7.2.2.3.3.2">𝒩</ci><ci id="S3.SS2.p7.15.m7.2.2.3.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.15.m7.2.2.3.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p7.15.m7.2c">\{\mathbf{C}^{(n^{\prime})}\}_{n^{\prime}\in\mathcal{N}_{n}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p7.15.m7.2d">{ bold_C start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUPERSCRIPT } start_POSTSUBSCRIPT italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ caligraphic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> from the neighboring agents need to be shared to compute</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A0.EGx24"> <tbody id="S3.E20"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle(\,A^{\textnormal{C}}(\mathfrak{C})\,)^{(n)}=(1-\gamma\lvert% \mathcal{N}_{n}\rvert)\,\mathbf{C}^{(n)}+\gamma\sum_{n^{\prime}\in\mathcal{N}_% {n}}\mathbf{C}^{(n^{\prime})}\,." class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E20.m1.5"><semantics id="S3.E20.m1.5a"><mrow id="S3.E20.m1.5.5.1" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S3.E20.m1.5.5.1.1" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.cmml"><msup id="S3.E20.m1.5.5.1.1.1" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E20.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E20.m1.5.5.1.1.1.1.1.2" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E20.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.E20.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E20.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">A</mi><mtext id="S3.E20.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3a.cmml">C</mtext></msup><mo id="S3.E20.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E20.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E20.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E20.m1.4.4" xref="S3.E20.m1.4.4.cmml">ℭ</mi><mo id="S3.E20.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.2" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E20.m1.5.5.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.E20.m1.1.1.1.3" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E20.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E20.m1.1.1.1.1" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.E20.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.E20.m1.5.5.1.1.3" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1.cmml"><mrow id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml">1</mn><mo id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.3.cmml">γ</mi><mo id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝒩</mi><mi id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1.2" lspace="0.170em" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1.3" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1.3.cmml"><mi id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1.3.2" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1.3.2.cmml">𝐂</mi><mrow id="S3.E20.m1.2.2.1.3" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1.3.cmml"><mo id="S3.E20.m1.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1.3.cmml">(</mo><mi id="S3.E20.m1.2.2.1.1" xref="S3.E20.m1.2.2.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.E20.m1.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1.3.cmml">)</mo></mrow></msup></mrow><mo id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.2" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.2.cmml">+</mo><mrow id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.3" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.3.2" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.3.2.cmml">γ</mi><mo id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.3.1" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.3.3" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.3.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.3.3.1" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.cmml"><munder id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.3.3.1a" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.2" movablelimits="false" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.3" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.3.cmml"><msup id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.3.2" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.3.2.2" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.3.2.2.cmml">n</mi><mo id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.3.2.3" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.3.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.3.1" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.3.1.cmml">∈</mo><msub id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.3.3" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.3.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.3.3.2" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.3.3.2.cmml">𝒩</mi><mi id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.3.3.3" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.3.3.3.cmml">n</mi></msub></mrow></munder></mstyle><msup id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.3.3.2" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.3.3.2.cmml"><mi id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.3.3.2.2" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.3.3.2.2.cmml">𝐂</mi><mrow id="S3.E20.m1.3.3.1.1" xref="S3.E20.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E20.m1.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E20.m1.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.E20.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.E20.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E20.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S3.E20.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S3.E20.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S3.E20.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.E20.m1.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E20.m1.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E20.m1.5.5.1.2" lspace="0em" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E20.m1.5b"><apply id="S3.E20.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S3.E20.m1.5.5.1"><eq id="S3.E20.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.3"></eq><apply id="S3.E20.m1.5.5.1.1.1.cmml" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E20.m1.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E20.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.1.1.1"><times id="S3.E20.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.E20.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E20.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E20.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐴</ci><ci id="S3.E20.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3a.cmml" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3"><mtext id="S3.E20.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3">C</mtext></ci></apply><ci id="S3.E20.m1.4.4.cmml" xref="S3.E20.m1.4.4">ℭ</ci></apply><ci id="S3.E20.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E20.m1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2"><plus id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.2"></plus><apply id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1"><times id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1.2.cmml" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1.2"></times><apply id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1"><minus id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2"></minus><cn id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.3">1</cn><apply id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1"><times id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.3">𝛾</ci><apply id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1"><abs id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝒩</ci><ci id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1.3.cmml" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1.3.1.cmml" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1.3.2.cmml" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.1.3.2">𝐂</ci><ci id="S3.E20.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E20.m1.2.2.1.1">𝑛</ci></apply></apply><apply id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.3"><times id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.3.1"></times><ci id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.3.2">𝛾</ci><apply id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.3.3"><apply id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.3.3.1">subscript</csymbol><sum id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.2.cmml" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.2"></sum><apply id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.3.cmml" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.3"><in id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.3.1.cmml" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.3.1"></in><apply id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.3.2.cmml" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.3.2.2">𝑛</ci><ci id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.3.2.3">′</ci></apply><apply id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.3.3.cmml" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.3.3.2">𝒩</ci><ci id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.3.3.3.cmml" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.3.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.3.3.2.1.cmml" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.3.3.2.2.cmml" xref="S3.E20.m1.5.5.1.1.2.3.3.2.2">𝐂</ci><apply id="S3.E20.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.E20.m1.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E20.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E20.m1.3.3.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.E20.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E20.m1.3.3.1.1.1.2">𝑛</ci><ci id="S3.E20.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E20.m1.3.3.1.1.1.3">′</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E20.m1.5c">\displaystyle(\,A^{\textnormal{C}}(\mathfrak{C})\,)^{(n)}=(1-\gamma\lvert% \mathcal{N}_{n}\rvert)\,\mathbf{C}^{(n)}+\gamma\sum_{n^{\prime}\in\mathcal{N}_% {n}}\mathbf{C}^{(n^{\prime})}\,.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E20.m1.5d">( italic_A start_POSTSUPERSCRIPT C end_POSTSUPERSCRIPT ( fraktur_C ) ) start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT = ( 1 - italic_γ | caligraphic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT | ) bold_C start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT + italic_γ ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ caligraphic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT bold_C start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(20)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p7.20">Moreover, similarly to the discussion following (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E13" title="Equation 13 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">13</span></a>) and by using basic properties of <math alttext="\otimes" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p7.16.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p7.16.m1.1a"><mo id="S3.SS2.p7.16.m1.1.1" xref="S3.SS2.p7.16.m1.1.1.cmml">⊗</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p7.16.m1.1b"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.p7.16.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.16.m1.1.1">tensor-product</csymbol></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p7.16.m1.1c">\otimes</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p7.16.m1.1d">⊗</annotation></semantics></math>, it can be verified that <math alttext="\lVert A^{\textnormal{C}}\rVert=\lVert(\mathbf{I}_{N}-\gamma\mathbf{L})\otimes% \mathbf{I}_{D}\rVert_{2}=\lVert\mathbf{I}_{N}-\gamma\mathbf{L}\rVert_{2}\leq 1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p7.17.m2.3"><semantics id="S3.SS2.p7.17.m2.3a"><mrow id="S3.SS2.p7.17.m2.3.3" xref="S3.SS2.p7.17.m2.3.3.cmml"><mrow id="S3.SS2.p7.17.m2.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p7.17.m2.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S3.SS2.p7.17.m2.1.1.1.1.2" rspace="0em" xref="S3.SS2.p7.17.m2.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo><msup id="S3.SS2.p7.17.m2.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p7.17.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p7.17.m2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p7.17.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">A</mi><mtext id="S3.SS2.p7.17.m2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p7.17.m2.1.1.1.1.1.3a.cmml">C</mtext></msup><mo fence="true" id="S3.SS2.p7.17.m2.1.1.1.1.3" lspace="0em" rspace="0.1389em" xref="S3.SS2.p7.17.m2.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mo id="S3.SS2.p7.17.m2.3.3.5" lspace="0.1389em" rspace="0.1389em" xref="S3.SS2.p7.17.m2.3.3.5.cmml">=</mo><msub id="S3.SS2.p7.17.m2.2.2.2" xref="S3.SS2.p7.17.m2.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.SS2.p7.17.m2.2.2.2.1.1" xref="S3.SS2.p7.17.m2.2.2.2.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S3.SS2.p7.17.m2.2.2.2.1.1.2" lspace="0.1389em" rspace="0em" xref="S3.SS2.p7.17.m2.2.2.2.1.2.1.cmml">∥</mo><mrow id="S3.SS2.p7.17.m2.2.2.2.1.1.1" xref="S3.SS2.p7.17.m2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS2.p7.17.m2.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p7.17.m2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p7.17.m2.2.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p7.17.m2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS2.p7.17.m2.2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p7.17.m2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.SS2.p7.17.m2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p7.17.m2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p7.17.m2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p7.17.m2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐈</mi><mi id="S3.SS2.p7.17.m2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.SS2.p7.17.m2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">N</mi></msub><mo id="S3.SS2.p7.17.m2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p7.17.m2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.SS2.p7.17.m2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p7.17.m2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p7.17.m2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p7.17.m2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">γ</mi><mo id="S3.SS2.p7.17.m2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.SS2.p7.17.m2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p7.17.m2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p7.17.m2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">𝐋</mi></mrow></mrow><mo id="S3.SS2.p7.17.m2.2.2.2.1.1.1.1.1.3" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S3.SS2.p7.17.m2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.SS2.p7.17.m2.2.2.2.1.1.1.2" rspace="0.222em" xref="S3.SS2.p7.17.m2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">⊗</mo><msub id="S3.SS2.p7.17.m2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p7.17.m2.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p7.17.m2.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p7.17.m2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">𝐈</mi><mi id="S3.SS2.p7.17.m2.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p7.17.m2.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml">D</mi></msub></mrow><mo fence="true" id="S3.SS2.p7.17.m2.2.2.2.1.1.3" lspace="0em" rspace="0.1389em" xref="S3.SS2.p7.17.m2.2.2.2.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mn id="S3.SS2.p7.17.m2.2.2.2.3" xref="S3.SS2.p7.17.m2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S3.SS2.p7.17.m2.3.3.6" lspace="0.1389em" rspace="0.1389em" xref="S3.SS2.p7.17.m2.3.3.6.cmml">=</mo><msub id="S3.SS2.p7.17.m2.3.3.3" xref="S3.SS2.p7.17.m2.3.3.3.cmml"><mrow id="S3.SS2.p7.17.m2.3.3.3.1.1" xref="S3.SS2.p7.17.m2.3.3.3.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S3.SS2.p7.17.m2.3.3.3.1.1.2" lspace="0.1389em" rspace="0em" xref="S3.SS2.p7.17.m2.3.3.3.1.2.1.cmml">∥</mo><mrow id="S3.SS2.p7.17.m2.3.3.3.1.1.1" xref="S3.SS2.p7.17.m2.3.3.3.1.1.1.cmml"><msub id="S3.SS2.p7.17.m2.3.3.3.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p7.17.m2.3.3.3.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p7.17.m2.3.3.3.1.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p7.17.m2.3.3.3.1.1.1.2.2.cmml">𝐈</mi><mi id="S3.SS2.p7.17.m2.3.3.3.1.1.1.2.3" xref="S3.SS2.p7.17.m2.3.3.3.1.1.1.2.3.cmml">N</mi></msub><mo id="S3.SS2.p7.17.m2.3.3.3.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p7.17.m2.3.3.3.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.SS2.p7.17.m2.3.3.3.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p7.17.m2.3.3.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p7.17.m2.3.3.3.1.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p7.17.m2.3.3.3.1.1.1.3.2.cmml">γ</mi><mo id="S3.SS2.p7.17.m2.3.3.3.1.1.1.3.1" xref="S3.SS2.p7.17.m2.3.3.3.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p7.17.m2.3.3.3.1.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p7.17.m2.3.3.3.1.1.1.3.3.cmml">𝐋</mi></mrow></mrow><mo fence="true" id="S3.SS2.p7.17.m2.3.3.3.1.1.3" lspace="0em" rspace="0.1389em" xref="S3.SS2.p7.17.m2.3.3.3.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mn id="S3.SS2.p7.17.m2.3.3.3.3" xref="S3.SS2.p7.17.m2.3.3.3.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S3.SS2.p7.17.m2.3.3.7" lspace="0.1389em" xref="S3.SS2.p7.17.m2.3.3.7.cmml">≤</mo><mn id="S3.SS2.p7.17.m2.3.3.8" xref="S3.SS2.p7.17.m2.3.3.8.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p7.17.m2.3b"><apply id="S3.SS2.p7.17.m2.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.17.m2.3.3"><and id="S3.SS2.p7.17.m2.3.3a.cmml" xref="S3.SS2.p7.17.m2.3.3"></and><apply id="S3.SS2.p7.17.m2.3.3b.cmml" xref="S3.SS2.p7.17.m2.3.3"><eq id="S3.SS2.p7.17.m2.3.3.5.cmml" xref="S3.SS2.p7.17.m2.3.3.5"></eq><apply id="S3.SS2.p7.17.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.17.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.p7.17.m2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.17.m2.1.1.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="S3.SS2.p7.17.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.17.m2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p7.17.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.17.m2.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p7.17.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.17.m2.1.1.1.1.1.2">𝐴</ci><ci id="S3.SS2.p7.17.m2.1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S3.SS2.p7.17.m2.1.1.1.1.1.3"><mtext id="S3.SS2.p7.17.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.SS2.p7.17.m2.1.1.1.1.1.3">C</mtext></ci></apply></apply><apply id="S3.SS2.p7.17.m2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.17.m2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p7.17.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.17.m2.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p7.17.m2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.17.m2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.p7.17.m2.2.2.2.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.17.m2.2.2.2.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="S3.SS2.p7.17.m2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.17.m2.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.p7.17.m2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.17.m2.2.2.2.1.1.1.2">tensor-product</csymbol><apply id="S3.SS2.p7.17.m2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.17.m2.2.2.2.1.1.1.1.1"><minus id="S3.SS2.p7.17.m2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.17.m2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.SS2.p7.17.m2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" 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xref="S3.SS2.p7.17.m2.2.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p7.17.m2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.17.m2.2.2.2.1.1.1.3.2">𝐈</ci><ci id="S3.SS2.p7.17.m2.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.17.m2.2.2.2.1.1.1.3.3">𝐷</ci></apply></apply></apply><cn id="S3.SS2.p7.17.m2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p7.17.m2.2.2.2.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.SS2.p7.17.m2.3.3c.cmml" xref="S3.SS2.p7.17.m2.3.3"><eq id="S3.SS2.p7.17.m2.3.3.6.cmml" xref="S3.SS2.p7.17.m2.3.3.6"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.SS2.p7.17.m2.2.2.2.cmml" id="S3.SS2.p7.17.m2.3.3d.cmml" xref="S3.SS2.p7.17.m2.3.3"></share><apply id="S3.SS2.p7.17.m2.3.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.17.m2.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p7.17.m2.3.3.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.17.m2.3.3.3">subscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p7.17.m2.3.3.3.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.17.m2.3.3.3.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.p7.17.m2.3.3.3.1.2.1.cmml" 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xref="S3.SS2.p7.17.m2.3.3.3.1.1.1.3.3">𝐋</ci></apply></apply></apply><cn id="S3.SS2.p7.17.m2.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p7.17.m2.3.3.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.SS2.p7.17.m2.3.3e.cmml" xref="S3.SS2.p7.17.m2.3.3"><leq id="S3.SS2.p7.17.m2.3.3.7.cmml" xref="S3.SS2.p7.17.m2.3.3.7"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.SS2.p7.17.m2.3.3.3.cmml" id="S3.SS2.p7.17.m2.3.3f.cmml" xref="S3.SS2.p7.17.m2.3.3"></share><cn id="S3.SS2.p7.17.m2.3.3.8.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p7.17.m2.3.3.8">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p7.17.m2.3c">\lVert A^{\textnormal{C}}\rVert=\lVert(\mathbf{I}_{N}-\gamma\mathbf{L})\otimes% \mathbf{I}_{D}\rVert_{2}=\lVert\mathbf{I}_{N}-\gamma\mathbf{L}\rVert_{2}\leq 1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p7.17.m2.3d">∥ italic_A start_POSTSUPERSCRIPT C end_POSTSUPERSCRIPT ∥ = ∥ ( bold_I start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT - italic_γ bold_L ) ⊗ bold_I start_POSTSUBSCRIPT italic_D end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT = ∥ bold_I start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT - italic_γ bold_L ∥ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ≤ 1</annotation></semantics></math>, that <math alttext="A^{\textnormal{C}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p7.18.m3.1"><semantics id="S3.SS2.p7.18.m3.1a"><msup id="S3.SS2.p7.18.m3.1.1" xref="S3.SS2.p7.18.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p7.18.m3.1.1.2" xref="S3.SS2.p7.18.m3.1.1.2.cmml">A</mi><mtext id="S3.SS2.p7.18.m3.1.1.3" xref="S3.SS2.p7.18.m3.1.1.3a.cmml">C</mtext></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p7.18.m3.1b"><apply id="S3.SS2.p7.18.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.18.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p7.18.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.18.m3.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p7.18.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.18.m3.1.1.2">𝐴</ci><ci id="S3.SS2.p7.18.m3.1.1.3a.cmml" xref="S3.SS2.p7.18.m3.1.1.3"><mtext id="S3.SS2.p7.18.m3.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.SS2.p7.18.m3.1.1.3">C</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p7.18.m3.1c">A^{\textnormal{C}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p7.18.m3.1d">italic_A start_POSTSUPERSCRIPT C end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is positive, that <math alttext="(\mathbf{L}\otimes\mathbf{I}_{D})(\mathbf{1}_{N}\otimes\mathbf{I}_{D})=(% \mathbf{L}\mathbf{1}_{N})\otimes\mathbf{I}_{D}=\mathbf{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p7.19.m4.3"><semantics id="S3.SS2.p7.19.m4.3a"><mrow id="S3.SS2.p7.19.m4.3.3" xref="S3.SS2.p7.19.m4.3.3.cmml"><mrow id="S3.SS2.p7.19.m4.2.2.2" xref="S3.SS2.p7.19.m4.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.SS2.p7.19.m4.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p7.19.m4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p7.19.m4.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p7.19.m4.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS2.p7.19.m4.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p7.19.m4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p7.19.m4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p7.19.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐋</mi><mo id="S3.SS2.p7.19.m4.1.1.1.1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.SS2.p7.19.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⊗</mo><msub id="S3.SS2.p7.19.m4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p7.19.m4.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p7.19.m4.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p7.19.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">𝐈</mi><mi id="S3.SS2.p7.19.m4.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p7.19.m4.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">D</mi></msub></mrow><mo id="S3.SS2.p7.19.m4.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.p7.19.m4.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.SS2.p7.19.m4.2.2.2.3" xref="S3.SS2.p7.19.m4.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.p7.19.m4.2.2.2.2.1" xref="S3.SS2.p7.19.m4.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p7.19.m4.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p7.19.m4.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS2.p7.19.m4.2.2.2.2.1.1" xref="S3.SS2.p7.19.m4.2.2.2.2.1.1.cmml"><msub id="S3.SS2.p7.19.m4.2.2.2.2.1.1.2" xref="S3.SS2.p7.19.m4.2.2.2.2.1.1.2.cmml"><mn id="S3.SS2.p7.19.m4.2.2.2.2.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p7.19.m4.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml">𝟏</mn><mi id="S3.SS2.p7.19.m4.2.2.2.2.1.1.2.3" xref="S3.SS2.p7.19.m4.2.2.2.2.1.1.2.3.cmml">N</mi></msub><mo id="S3.SS2.p7.19.m4.2.2.2.2.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.SS2.p7.19.m4.2.2.2.2.1.1.1.cmml">⊗</mo><msub id="S3.SS2.p7.19.m4.2.2.2.2.1.1.3" xref="S3.SS2.p7.19.m4.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p7.19.m4.2.2.2.2.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p7.19.m4.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml">𝐈</mi><mi id="S3.SS2.p7.19.m4.2.2.2.2.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p7.19.m4.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml">D</mi></msub></mrow><mo id="S3.SS2.p7.19.m4.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.p7.19.m4.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS2.p7.19.m4.3.3.5" xref="S3.SS2.p7.19.m4.3.3.5.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS2.p7.19.m4.3.3.3" xref="S3.SS2.p7.19.m4.3.3.3.cmml"><mrow id="S3.SS2.p7.19.m4.3.3.3.1.1" xref="S3.SS2.p7.19.m4.3.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p7.19.m4.3.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p7.19.m4.3.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.SS2.p7.19.m4.3.3.3.1.1.1" xref="S3.SS2.p7.19.m4.3.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p7.19.m4.3.3.3.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p7.19.m4.3.3.3.1.1.1.2.cmml">𝐋𝟏</mi><mi id="S3.SS2.p7.19.m4.3.3.3.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p7.19.m4.3.3.3.1.1.1.3.cmml">N</mi></msub><mo id="S3.SS2.p7.19.m4.3.3.3.1.1.3" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S3.SS2.p7.19.m4.3.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.SS2.p7.19.m4.3.3.3.2" rspace="0.222em" xref="S3.SS2.p7.19.m4.3.3.3.2.cmml">⊗</mo><msub id="S3.SS2.p7.19.m4.3.3.3.3" xref="S3.SS2.p7.19.m4.3.3.3.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p7.19.m4.3.3.3.3.2" xref="S3.SS2.p7.19.m4.3.3.3.3.2.cmml">𝐈</mi><mi id="S3.SS2.p7.19.m4.3.3.3.3.3" xref="S3.SS2.p7.19.m4.3.3.3.3.3.cmml">D</mi></msub></mrow><mo id="S3.SS2.p7.19.m4.3.3.6" xref="S3.SS2.p7.19.m4.3.3.6.cmml">=</mo><mn id="S3.SS2.p7.19.m4.3.3.7" xref="S3.SS2.p7.19.m4.3.3.7.cmml">𝟎</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p7.19.m4.3b"><apply id="S3.SS2.p7.19.m4.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.19.m4.3.3"><and id="S3.SS2.p7.19.m4.3.3a.cmml" xref="S3.SS2.p7.19.m4.3.3"></and><apply id="S3.SS2.p7.19.m4.3.3b.cmml" xref="S3.SS2.p7.19.m4.3.3"><eq id="S3.SS2.p7.19.m4.3.3.5.cmml" xref="S3.SS2.p7.19.m4.3.3.5"></eq><apply id="S3.SS2.p7.19.m4.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.19.m4.2.2.2"><times id="S3.SS2.p7.19.m4.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.19.m4.2.2.2.3"></times><apply id="S3.SS2.p7.19.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.19.m4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.p7.19.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.19.m4.1.1.1.1.1.1.1">tensor-product</csymbol><ci id="S3.SS2.p7.19.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.19.m4.1.1.1.1.1.1.2">𝐋</ci><apply id="S3.SS2.p7.19.m4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.19.m4.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p7.19.m4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.19.m4.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p7.19.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.19.m4.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐈</ci><ci id="S3.SS2.p7.19.m4.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.19.m4.1.1.1.1.1.1.3.3">𝐷</ci></apply></apply><apply id="S3.SS2.p7.19.m4.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.19.m4.2.2.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.p7.19.m4.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.19.m4.2.2.2.2.1.1.1">tensor-product</csymbol><apply id="S3.SS2.p7.19.m4.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.19.m4.2.2.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p7.19.m4.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.19.m4.2.2.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><cn id="S3.SS2.p7.19.m4.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p7.19.m4.2.2.2.2.1.1.2.2">1</cn><ci id="S3.SS2.p7.19.m4.2.2.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.19.m4.2.2.2.2.1.1.2.3">𝑁</ci></apply><apply id="S3.SS2.p7.19.m4.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.19.m4.2.2.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p7.19.m4.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.19.m4.2.2.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p7.19.m4.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.19.m4.2.2.2.2.1.1.3.2">𝐈</ci><ci id="S3.SS2.p7.19.m4.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.19.m4.2.2.2.2.1.1.3.3">𝐷</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.SS2.p7.19.m4.3.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.19.m4.3.3.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.p7.19.m4.3.3.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.19.m4.3.3.3.2">tensor-product</csymbol><apply id="S3.SS2.p7.19.m4.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.19.m4.3.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p7.19.m4.3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.19.m4.3.3.3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p7.19.m4.3.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.19.m4.3.3.3.1.1.1.2">𝐋𝟏</ci><ci id="S3.SS2.p7.19.m4.3.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.19.m4.3.3.3.1.1.1.3">𝑁</ci></apply><apply id="S3.SS2.p7.19.m4.3.3.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.19.m4.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p7.19.m4.3.3.3.3.1.cmml" 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start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT ⊗ bold_I start_POSTSUBSCRIPT italic_D end_POSTSUBSCRIPT ) = ( bold_L1 start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT ) ⊗ bold_I start_POSTSUBSCRIPT italic_D end_POSTSUBSCRIPT = bold_0</annotation></semantics></math>, that <math alttext="\operatorname{ker}(\mathbf{L}\otimes\mathbf{I}_{D})=\operatorname{span}(% \mathbf{1}_{N}\otimes\mathbf{I}_{D})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p7.20.m5.4"><semantics id="S3.SS2.p7.20.m5.4a"><mrow id="S3.SS2.p7.20.m5.4.4" xref="S3.SS2.p7.20.m5.4.4.cmml"><mrow id="S3.SS2.p7.20.m5.3.3.1.1" xref="S3.SS2.p7.20.m5.3.3.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p7.20.m5.1.1" xref="S3.SS2.p7.20.m5.1.1.cmml">ker</mi><mo id="S3.SS2.p7.20.m5.3.3.1.1a" xref="S3.SS2.p7.20.m5.3.3.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.SS2.p7.20.m5.3.3.1.1.1" xref="S3.SS2.p7.20.m5.3.3.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.p7.20.m5.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p7.20.m5.3.3.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS2.p7.20.m5.3.3.1.1.1.1" 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class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\operatorname{Fix}(A^{\textnormal{C}})\coloneqq\{\mathfrak{C}\in% \mathbfcal{O}\nonscript\,|\allowbreak\nonscript\,\mathopen{}A^{\textnormal{C}}% (\mathfrak{C})=\mathfrak{C}\}=\mathcal{C}_{\mathbfcal{O}}\,." class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E21.m1.3"><semantics id="S3.E21.m1.3a"><mrow id="S3.E21.m1.3.3" xref="S3.E21.m1.3.3.cmml"><mrow id="S3.E21.m1.2.2.1.1" xref="S3.E21.m1.2.2.1.2.cmml"><mi id="S3.E21.m1.1.1" xref="S3.E21.m1.1.1.cmml">Fix</mi><mo id="S3.E21.m1.2.2.1.1a" xref="S3.E21.m1.2.2.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.E21.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.E21.m1.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.E21.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E21.m1.2.2.1.2.cmml">(</mo><msup id="S3.E21.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.E21.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E21.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.E21.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">A</mi><mtext id="S3.E21.m1.2.2.1.1.1.1.3" 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xref="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.3b.cmml"><mtext id="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.3a" xref="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.3b.cmml">\nonscript</mtext></merror><mo id="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.1a" xref="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.4" mathvariant="normal" xref="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.4.cmml">♣</mi><mo id="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.1b" xref="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.5" xref="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.5b.cmml"><mtext id="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.5a" xref="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.5b.cmml">\nonscript</mtext></merror><mo id="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.1c" xref="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.6" xref="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.6.cmml"><mi id="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.6.2" mathvariant="normal" xref="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.6.2.cmml">𝒜</mi><mtext id="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.6.3" xref="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.6.3a.cmml">C</mtext></msup><mo id="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.1d" xref="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.7" mathvariant="normal" xref="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.7.cmml">⇐</mi><mo id="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.1e" xref="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.8" mathvariant="normal" xref="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.8.cmml">𝒞</mi><mo id="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.1f" xref="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.9" mathvariant="normal" xref="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.9.cmml">⇒</mi><mo id="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.1g" xref="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.10" mathvariant="normal" xref="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.10.cmml">ℑ</mi><mo id="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.1h" xref="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.11" mathvariant="normal" xref="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.11.cmml">𝒞</mi></mrow></mrow><mo id="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E21.m1.3.3.2.1.2.cmml">}</mo></mrow><mo id="S3.E21.m1.3.3.2.2" xref="S3.E21.m1.3.3.2.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E21.m1.3.3.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.E21.m1.3.3.2.3.cmml">ℑ</mi><mo id="S3.E21.m1.3.3.2.2a" xref="S3.E21.m1.3.3.2.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E21.m1.3.3.2.4" xref="S3.E21.m1.3.3.2.4.cmml"><mi id="S3.E21.m1.3.3.2.4.2" mathvariant="normal" xref="S3.E21.m1.3.3.2.4.2.cmml">𝒞</mi><mi id="S3.E21.m1.3.3.2.4.3" mathvariant="normal" xref="S3.E21.m1.3.3.2.4.3.cmml">𝒪</mi></msub><mo id="S3.E21.m1.3.3.2.2b" xref="S3.E21.m1.3.3.2.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E21.m1.3.3.2.5" mathvariant="normal" xref="S3.E21.m1.3.3.2.5.cmml">↙</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E21.m1.3b"><apply id="S3.E21.m1.3.3.cmml" xref="S3.E21.m1.3.3"><ci id="S3.E21.m1.3.3.3.cmml" xref="S3.E21.m1.3.3.3">≔</ci><apply id="S3.E21.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S3.E21.m1.2.2.1.1"><ci id="S3.E21.m1.1.1.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1">Fix</ci><apply id="S3.E21.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E21.m1.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E21.m1.2.2.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.E21.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E21.m1.2.2.1.1.1.1.2">𝐴</ci><ci id="S3.E21.m1.2.2.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S3.E21.m1.2.2.1.1.1.1.3"><mtext id="S3.E21.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E21.m1.2.2.1.1.1.1.3">C</mtext></ci></apply></apply><apply id="S3.E21.m1.3.3.2.cmml" xref="S3.E21.m1.3.3.2"><times id="S3.E21.m1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.E21.m1.3.3.2.2"></times><set id="S3.E21.m1.3.3.2.1.2.cmml" xref="S3.E21.m1.3.3.2.1.1"><apply id="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1"><in id="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.1"></in><ci id="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.2">ℭ</ci><apply id="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3"><times id="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.2">𝒪</ci><ci id="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.3b.cmml" xref="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.3"><merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.3"><mtext id="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.3a.cmml" xref="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.3">\nonscript</mtext></merror></ci><ci id="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.4.cmml" xref="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.4">♣</ci><ci id="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.5b.cmml" xref="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.5"><merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.5.cmml" xref="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.5"><mtext id="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.5a.cmml" xref="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.5">\nonscript</mtext></merror></ci><apply id="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.6.cmml" xref="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.6.1.cmml" xref="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.6">superscript</csymbol><ci id="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.6.2.cmml" xref="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.6.2">𝒜</ci><ci id="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.6.3a.cmml" xref="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.6.3"><mtext id="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.6.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.6.3">C</mtext></ci></apply><ci id="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.7.cmml" xref="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.7">⇐</ci><ci id="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.8.cmml" xref="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.8">𝒞</ci><ci id="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.9.cmml" xref="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.9">⇒</ci><ci id="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.10.cmml" xref="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.10">ℑ</ci><ci id="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.11.cmml" xref="S3.E21.m1.3.3.2.1.1.1.3.11">𝒞</ci></apply></apply></set><ci id="S3.E21.m1.3.3.2.3.cmml" xref="S3.E21.m1.3.3.2.3">ℑ</ci><apply id="S3.E21.m1.3.3.2.4.cmml" xref="S3.E21.m1.3.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E21.m1.3.3.2.4.1.cmml" xref="S3.E21.m1.3.3.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.E21.m1.3.3.2.4.2.cmml" xref="S3.E21.m1.3.3.2.4.2">𝒞</ci><ci id="S3.E21.m1.3.3.2.4.3.cmml" xref="S3.E21.m1.3.3.2.4.3">𝒪</ci></apply><ci id="S3.E21.m1.3.3.2.5.cmml" xref="S3.E21.m1.3.3.2.5">↙</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E21.m1.3c">\displaystyle\operatorname{Fix}(A^{\textnormal{C}})\coloneqq\{\mathfrak{C}\in% \mathbfcal{O}\nonscript\,|\allowbreak\nonscript\,\mathopen{}A^{\textnormal{C}}% (\mathfrak{C})=\mathfrak{C}\}=\mathcal{C}_{\mathbfcal{O}}\,.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E21.m1.3d">roman_Fix ( italic_A start_POSTSUPERSCRIPT C end_POSTSUPERSCRIPT ) ≔ { fraktur_C ∈ roman_𝒪 ♣ roman_𝒜 start_POSTSUPERSCRIPT C end_POSTSUPERSCRIPT ⇐ roman_𝒞 ⇒ roman_ℑ roman_𝒞 } roman_ℑ roman_𝒞 start_POSTSUBSCRIPT roman_𝒪 end_POSTSUBSCRIPT ↙</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(21)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p7.22">Consequently, and similarly to (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E15" title="Equation 15 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">15</span></a>), sequence <math alttext="(\,\mathfrak{C}_{l}=(\mathbf{C}_{l}^{(1)},\ldots,\mathbf{C}_{l}^{(N)})\,)_{l% \in\mathbb{N}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p7.21.m1.4"><semantics id="S3.SS2.p7.21.m1.4a"><msub id="S3.SS2.p7.21.m1.4.4" xref="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.cmml"><mrow id="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1" xref="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.2" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1" xref="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.cmml"><msub id="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.4" xref="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.4.2" xref="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.4.2.cmml">ℭ</mi><mi id="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.4.3" xref="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.4.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.2.3.cmml">(</mo><msubsup id="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐂</mi><mi id="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">l</mi><mrow id="S3.SS2.p7.21.m1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p7.21.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mn id="S3.SS2.p7.21.m1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p7.21.m1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.SS2.p7.21.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.2.2.4" xref="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.p7.21.m1.3.3" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p7.21.m1.3.3.cmml">…</mi><mo id="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.2.2.5" xref="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><msubsup id="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.2.2.2" xref="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">𝐂</mi><mi id="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">l</mi><mrow id="S3.SS2.p7.21.m1.2.2.1.3" xref="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="S3.SS2.p7.21.m1.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S3.SS2.p7.21.m1.2.2.1.1" xref="S3.SS2.p7.21.m1.2.2.1.1.cmml">N</mi><mo id="S3.SS2.p7.21.m1.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.2.2.6" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.3" xref="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.3.2" xref="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.3.1" xref="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.3.1.cmml">∈</mo><mi id="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.3.3" xref="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.3.3.cmml">ℕ</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p7.21.m1.4b"><apply id="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.cmml" xref="S3.SS2.p7.21.m1.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.21.m1.4.4">subscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1"><eq id="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.3"></eq><apply id="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.4.cmml" xref="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.4.2">ℭ</ci><ci id="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.4.3">𝑙</ci></apply><vector id="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.2.2"><apply id="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐂</ci><ci id="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑙</ci></apply><cn id="S3.SS2.p7.21.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p7.21.m1.1.1.1.1">1</cn></apply><ci id="S3.SS2.p7.21.m1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.21.m1.3.3">…</ci><apply id="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.2.2.2.2.2">𝐂</ci><ci id="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.1.1.1.2.2.2.2.3">𝑙</ci></apply><ci id="S3.SS2.p7.21.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.21.m1.2.2.1.1">𝑁</ci></apply></vector></apply><apply id="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.3"><in id="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.3.1"></in><ci id="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.3.2">𝑙</ci><ci id="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.21.m1.4.4.3.3">ℕ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p7.21.m1.4c">(\,\mathfrak{C}_{l}=(\mathbf{C}_{l}^{(1)},\ldots,\mathbf{C}_{l}^{(N)})\,)_{l% \in\mathbb{N}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p7.21.m1.4d">( fraktur_C start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT = ( bold_C start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT , … , bold_C start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_N ) end_POSTSUPERSCRIPT ) ) start_POSTSUBSCRIPT italic_l ∈ blackboard_N end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> generated by <math alttext="\mathfrak{C}_{-1}\coloneqq(\mathbf{0},\ldots,\mathbf{0})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p7.22.m2.3"><semantics id="S3.SS2.p7.22.m2.3a"><mrow id="S3.SS2.p7.22.m2.3.4" xref="S3.SS2.p7.22.m2.3.4.cmml"><msub id="S3.SS2.p7.22.m2.3.4.2" xref="S3.SS2.p7.22.m2.3.4.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p7.22.m2.3.4.2.2" xref="S3.SS2.p7.22.m2.3.4.2.2.cmml">ℭ</mi><mrow id="S3.SS2.p7.22.m2.3.4.2.3" xref="S3.SS2.p7.22.m2.3.4.2.3.cmml"><mo id="S3.SS2.p7.22.m2.3.4.2.3a" xref="S3.SS2.p7.22.m2.3.4.2.3.cmml">−</mo><mn id="S3.SS2.p7.22.m2.3.4.2.3.2" xref="S3.SS2.p7.22.m2.3.4.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S3.SS2.p7.22.m2.3.4.1" xref="S3.SS2.p7.22.m2.3.4.1.cmml">≔</mo><mrow id="S3.SS2.p7.22.m2.3.4.3.2" xref="S3.SS2.p7.22.m2.3.4.3.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p7.22.m2.3.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p7.22.m2.3.4.3.1.cmml">(</mo><mn id="S3.SS2.p7.22.m2.1.1" xref="S3.SS2.p7.22.m2.1.1.cmml">𝟎</mn><mo id="S3.SS2.p7.22.m2.3.4.3.2.2" xref="S3.SS2.p7.22.m2.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.p7.22.m2.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p7.22.m2.2.2.cmml">…</mi><mo id="S3.SS2.p7.22.m2.3.4.3.2.3" xref="S3.SS2.p7.22.m2.3.4.3.1.cmml">,</mo><mn id="S3.SS2.p7.22.m2.3.3" xref="S3.SS2.p7.22.m2.3.3.cmml">𝟎</mn><mo id="S3.SS2.p7.22.m2.3.4.3.2.4" stretchy="false" xref="S3.SS2.p7.22.m2.3.4.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p7.22.m2.3b"><apply id="S3.SS2.p7.22.m2.3.4.cmml" xref="S3.SS2.p7.22.m2.3.4"><ci id="S3.SS2.p7.22.m2.3.4.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.22.m2.3.4.1">≔</ci><apply id="S3.SS2.p7.22.m2.3.4.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.22.m2.3.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p7.22.m2.3.4.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.22.m2.3.4.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p7.22.m2.3.4.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.22.m2.3.4.2.2">ℭ</ci><apply id="S3.SS2.p7.22.m2.3.4.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.22.m2.3.4.2.3"><minus id="S3.SS2.p7.22.m2.3.4.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.22.m2.3.4.2.3"></minus><cn id="S3.SS2.p7.22.m2.3.4.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p7.22.m2.3.4.2.3.2">1</cn></apply></apply><vector id="S3.SS2.p7.22.m2.3.4.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.22.m2.3.4.3.2"><cn id="S3.SS2.p7.22.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p7.22.m2.1.1">0</cn><ci id="S3.SS2.p7.22.m2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.22.m2.2.2">…</ci><cn id="S3.SS2.p7.22.m2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p7.22.m2.3.3">0</cn></vector></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p7.22.m2.3c">\mathfrak{C}_{-1}\coloneqq(\mathbf{0},\ldots,\mathbf{0})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p7.22.m2.3d">fraktur_C start_POSTSUBSCRIPT - 1 end_POSTSUBSCRIPT ≔ ( bold_0 , … , bold_0 )</annotation></semantics></math> and</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_table" id="S3.E22"> <tbody> <tr class="ltx_eqn_row" id="A0.EGx26"><td class="ltx_eqn_cell" colspan="6"></td></tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E22.1"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathfrak{C}_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E22.1.m1.1"><semantics id="S3.E22.1.m1.1a"><msub id="S3.E22.1.m1.1.1" xref="S3.E22.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.E22.1.m1.1.1.2" xref="S3.E22.1.m1.1.1.2.cmml">ℭ</mi><mn id="S3.E22.1.m1.1.1.3" xref="S3.E22.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E22.1.m1.1b"><apply id="S3.E22.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.E22.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E22.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.E22.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E22.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.E22.1.m1.1.1.2">ℭ</ci><cn id="S3.E22.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E22.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E22.1.m1.1c">\displaystyle\mathfrak{C}_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E22.1.m1.1d">fraktur_C start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle{}\coloneqq{}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E22.1.m2.1"><semantics id="S3.E22.1.m2.1a"><mo id="S3.E22.1.m2.1.1" xref="S3.E22.1.m2.1.1.cmml">≔</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E22.1.m2.1b"><ci id="S3.E22.1.m2.1.1.cmml" xref="S3.E22.1.m2.1.1">≔</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E22.1.m2.1c">\displaystyle{}\coloneqq{}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E22.1.m2.1d">≔</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle A_{\varpi}^{\textnormal{C}}(\mathfrak{C}_{-1})-\eta(\mathfrak{C}% _{-1}-N\,\mathfrak{C}_{\mathcal{N}})\,," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E22.1.m3.1"><semantics id="S3.E22.1.m3.1a"><mrow id="S3.E22.1.m3.1.1.1" xref="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E22.1.m3.1.1.1.1" xref="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.1" xref="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">A</mi><mi id="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">ϖ</mi><mtext id="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.1.3.3a.cmml">C</mtext></msubsup><mo id="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ℭ</mi><mrow id="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.3" xref="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.2" xref="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.2.3.cmml">η</mi><mo id="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.2.1.1" xref="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2" xref="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml">ℭ</mi><mrow id="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3" xref="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3a" xref="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.2" xref="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2" xref="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml">N</mi><mo id="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1" lspace="0.170em" xref="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3" xref="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.2.cmml">ℭ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.3" xref="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.3.cmml">𝒩</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.2.1.1.3" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E22.1.m3.1.1.1.2" xref="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E22.1.m3.1b"><apply id="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E22.1.m3.1.1.1"><minus id="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.3"></minus><apply id="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.1"><times id="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.1.3.2.2">𝐴</ci><ci id="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.1.3.2.3">italic-ϖ</ci></apply><ci id="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.1.3.3a.cmml" xref="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.1.3.3"><mtext id="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.1.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.1.3.3">C</mtext></ci></apply><apply id="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2">ℭ</ci><apply id="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><minus id="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3"></minus><cn id="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.2"><times id="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.2.2"></times><ci id="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.2.3">𝜂</ci><apply id="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.2.1.1"><minus id="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2">ℭ</ci><apply id="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3"><minus id="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3"></minus><cn id="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.3"><times id="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2">𝑁</ci><apply id="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.2">ℭ</ci><ci id="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.E22.1.m3.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.3">𝒩</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E22.1.m3.1c">\displaystyle A_{\varpi}^{\textnormal{C}}(\mathfrak{C}_{-1})-\eta(\mathfrak{C}% _{-1}-N\,\mathfrak{C}_{\mathcal{N}})\,,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E22.1.m3.1d">italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_ϖ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT C end_POSTSUPERSCRIPT ( fraktur_C start_POSTSUBSCRIPT - 1 end_POSTSUBSCRIPT ) - italic_η ( fraktur_C start_POSTSUBSCRIPT - 1 end_POSTSUBSCRIPT - italic_N fraktur_C start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(22a)</span></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E22.x1"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathfrak{C}_{l+1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E22.x1.m1.1"><semantics id="S3.E22.x1.m1.1a"><msub id="S3.E22.x1.m1.1.1" xref="S3.E22.x1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.E22.x1.m1.1.1.2" xref="S3.E22.x1.m1.1.1.2.cmml">ℭ</mi><mrow id="S3.E22.x1.m1.1.1.3" xref="S3.E22.x1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E22.x1.m1.1.1.3.2" xref="S3.E22.x1.m1.1.1.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.E22.x1.m1.1.1.3.1" xref="S3.E22.x1.m1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mn id="S3.E22.x1.m1.1.1.3.3" xref="S3.E22.x1.m1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E22.x1.m1.1b"><apply id="S3.E22.x1.m1.1.1.cmml" xref="S3.E22.x1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E22.x1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.E22.x1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E22.x1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.E22.x1.m1.1.1.2">ℭ</ci><apply id="S3.E22.x1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.E22.x1.m1.1.1.3"><plus id="S3.E22.x1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E22.x1.m1.1.1.3.1"></plus><ci id="S3.E22.x1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E22.x1.m1.1.1.3.2">𝑙</ci><cn id="S3.E22.x1.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E22.x1.m1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E22.x1.m1.1c">\displaystyle\mathfrak{C}_{l+1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E22.x1.m1.1d">fraktur_C start_POSTSUBSCRIPT italic_l + 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\coloneqq" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E22.x1.m2.1"><semantics id="S3.E22.x1.m2.1a"><mo id="S3.E22.x1.m2.1.1" xref="S3.E22.x1.m2.1.1.cmml">≔</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E22.x1.m2.1b"><ci id="S3.E22.x1.m2.1.1.cmml" xref="S3.E22.x1.m2.1.1">≔</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E22.x1.m2.1c">\displaystyle\coloneqq</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E22.x1.m2.1d">≔</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathfrak{C}_{l}-(\,A_{\varpi}^{\textnormal{C}}(\mathfrak{C}_{l-1% })-\eta\,\mathfrak{C}_{l-1}\,)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E22.x1.m3.1"><semantics id="S3.E22.x1.m3.1a"><mrow id="S3.E22.x1.m3.1.1" xref="S3.E22.x1.m3.1.1.cmml"><msub id="S3.E22.x1.m3.1.1.3" xref="S3.E22.x1.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E22.x1.m3.1.1.3.2" xref="S3.E22.x1.m3.1.1.3.2.cmml">ℭ</mi><mi id="S3.E22.x1.m3.1.1.3.3" xref="S3.E22.x1.m3.1.1.3.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S3.E22.x1.m3.1.1.2" xref="S3.E22.x1.m3.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1" xref="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.2" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1" xref="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">A</mi><mi id="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">ϖ</mi><mtext id="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.1.3.3a.cmml">C</mtext></msubsup><mo id="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ℭ</mi><mrow id="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.3.2.cmml">η</mi><mo id="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.3.1" lspace="0.170em" xref="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">ℭ</mi><mrow id="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.3.3.3.1" xref="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E22.x1.m3.1b"><apply id="S3.E22.x1.m3.1.1.cmml" xref="S3.E22.x1.m3.1.1"><minus id="S3.E22.x1.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.E22.x1.m3.1.1.2"></minus><apply id="S3.E22.x1.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.E22.x1.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E22.x1.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E22.x1.m3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E22.x1.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E22.x1.m3.1.1.3.2">ℭ</ci><ci id="S3.E22.x1.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E22.x1.m3.1.1.3.3">𝑙</ci></apply><apply id="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1"><minus id="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.2"></minus><apply id="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝐴</ci><ci id="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.1.3.2.3">italic-ϖ</ci></apply><ci id="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.1.3.3a.cmml" xref="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.1.3.3"><mtext id="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.1.3.3">C</mtext></ci></apply><apply id="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">ℭ</ci><apply id="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><minus id="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></minus><ci id="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑙</ci><cn id="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.3.2">𝜂</ci><apply id="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E22.x1.m3.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" 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start_POSTSUBSCRIPT italic_l - 1 end_POSTSUBSCRIPT ) - italic_η fraktur_C start_POSTSUBSCRIPT italic_l - 1 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E22.2"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\phantom{\mathfrak{C}_{l}}+(\,A^{\textnormal{C}}(\mathfrak{C}_{l}% )-\eta\,\mathfrak{C}_{l}\,)\,," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E22.2.m1.1"><semantics id="S3.E22.2.m1.1a"><mrow id="S3.E22.2.m1.1.1.1" xref="S3.E22.2.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E22.2.m1.1.1.1.1" xref="S3.E22.2.m1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E22.2.m1.1.1.1.1a" xref="S3.E22.2.m1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.E22.2.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E22.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E22.2.m1.1.1.1.1.1.1.2" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S3.E22.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow 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xref="S3.E22.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S3.E22.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E22.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E22.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E22.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S3.E22.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E22.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E22.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E22.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">η</mi><mo id="S3.E22.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" lspace="0.170em" xref="S3.E22.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E22.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E22.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E22.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E22.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">ℭ</mi><mi id="S3.E22.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.E22.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">l</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S3.E22.2.m1.1.1.1.1.1.1.3" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S3.E22.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E22.2.m1.1.1.1.2" 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id="S3.E22.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E22.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">C</mtext></ci></apply><apply id="S3.E22.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E22.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E22.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E22.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E22.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E22.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">ℭ</ci><ci id="S3.E22.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E22.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑙</ci></apply></apply><apply id="S3.E22.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E22.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.E22.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E22.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.E22.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E22.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜂</ci><apply id="S3.E22.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E22.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E22.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" 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</tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p7.26"><math alttext="\forall l\in\mathbb{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p7.23.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p7.23.m1.1a"><mrow id="S3.SS2.p7.23.m1.1.1" xref="S3.SS2.p7.23.m1.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS2.p7.23.m1.1.1.2" xref="S3.SS2.p7.23.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.p7.23.m1.1.1.2.1" rspace="0.167em" xref="S3.SS2.p7.23.m1.1.1.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S3.SS2.p7.23.m1.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p7.23.m1.1.1.2.2.cmml">l</mi></mrow><mo id="S3.SS2.p7.23.m1.1.1.1" xref="S3.SS2.p7.23.m1.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S3.SS2.p7.23.m1.1.1.3" xref="S3.SS2.p7.23.m1.1.1.3.cmml">ℕ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p7.23.m1.1b"><apply id="S3.SS2.p7.23.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.23.m1.1.1"><in id="S3.SS2.p7.23.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.23.m1.1.1.1"></in><apply id="S3.SS2.p7.23.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.23.m1.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.p7.23.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.23.m1.1.1.2.1">for-all</csymbol><ci id="S3.SS2.p7.23.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.23.m1.1.1.2.2">𝑙</ci></apply><ci id="S3.SS2.p7.23.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.23.m1.1.1.3">ℕ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p7.23.m1.1c">\forall l\in\mathbb{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p7.23.m1.1d">∀ italic_l ∈ blackboard_N</annotation></semantics></math>, with <math alttext="\eta\in(0,2(1-\varpi)\,)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p7.24.m2.2"><semantics id="S3.SS2.p7.24.m2.2a"><mrow id="S3.SS2.p7.24.m2.2.2" xref="S3.SS2.p7.24.m2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p7.24.m2.2.2.3" xref="S3.SS2.p7.24.m2.2.2.3.cmml">η</mi><mo id="S3.SS2.p7.24.m2.2.2.2" xref="S3.SS2.p7.24.m2.2.2.2.cmml">∈</mo><mrow id="S3.SS2.p7.24.m2.2.2.1.1" xref="S3.SS2.p7.24.m2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.p7.24.m2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p7.24.m2.2.2.1.2.cmml">(</mo><mn id="S3.SS2.p7.24.m2.1.1" xref="S3.SS2.p7.24.m2.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.SS2.p7.24.m2.2.2.1.1.3" xref="S3.SS2.p7.24.m2.2.2.1.2.cmml">,</mo><mrow id="S3.SS2.p7.24.m2.2.2.1.1.1" xref="S3.SS2.p7.24.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mn id="S3.SS2.p7.24.m2.2.2.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p7.24.m2.2.2.1.1.1.3.cmml">2</mn><mo id="S3.SS2.p7.24.m2.2.2.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p7.24.m2.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.p7.24.m2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p7.24.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p7.24.m2.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p7.24.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS2.p7.24.m2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p7.24.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.SS2.p7.24.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p7.24.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S3.SS2.p7.24.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p7.24.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S3.SS2.p7.24.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p7.24.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ϖ</mi></mrow><mo id="S3.SS2.p7.24.m2.2.2.1.1.1.1.1.3" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S3.SS2.p7.24.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS2.p7.24.m2.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.SS2.p7.24.m2.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p7.24.m2.2b"><apply id="S3.SS2.p7.24.m2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.24.m2.2.2"><in id="S3.SS2.p7.24.m2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.24.m2.2.2.2"></in><ci id="S3.SS2.p7.24.m2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.24.m2.2.2.3">𝜂</ci><interval closure="open" id="S3.SS2.p7.24.m2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.24.m2.2.2.1.1"><cn id="S3.SS2.p7.24.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p7.24.m2.1.1">0</cn><apply id="S3.SS2.p7.24.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.24.m2.2.2.1.1.1"><times id="S3.SS2.p7.24.m2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.24.m2.2.2.1.1.1.2"></times><cn id="S3.SS2.p7.24.m2.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p7.24.m2.2.2.1.1.1.3">2</cn><apply id="S3.SS2.p7.24.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.24.m2.2.2.1.1.1.1.1"><minus id="S3.SS2.p7.24.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.24.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S3.SS2.p7.24.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p7.24.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><ci id="S3.SS2.p7.24.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.24.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3">italic-ϖ</ci></apply></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p7.24.m2.2c">\eta\in(0,2(1-\varpi)\,)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p7.24.m2.2d">italic_η ∈ ( 0 , 2 ( 1 - italic_ϖ ) )</annotation></semantics></math>, converges to the solution (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E17.1" title="Equation 17a ‣ Equation 17 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">17a</span></a>), that is, for any node <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p7.25.m3.1"><semantics id="S3.SS2.p7.25.m3.1a"><mi id="S3.SS2.p7.25.m3.1.1" xref="S3.SS2.p7.25.m3.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p7.25.m3.1b"><ci id="S3.SS2.p7.25.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.25.m3.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p7.25.m3.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p7.25.m3.1d">italic_n</annotation></semantics></math>, <math alttext="\lim_{l\to\infty}\mathbf{C}_{l}^{(n)}=\mathbf{\Phi}_{\mathcal{N}}\mathbf{\Phi}% _{\mathcal{N}}^{\intercal}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p7.26.m4.1"><semantics id="S3.SS2.p7.26.m4.1a"><mrow id="S3.SS2.p7.26.m4.1.2" xref="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.cmml"><mrow id="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.2" xref="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.2.cmml"><msub id="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.2.1" xref="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.2.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.2.1.2" xref="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.2.1.2.cmml">lim</mo><mrow id="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.2.1.3" xref="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.2.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.2.1.3.2" xref="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.2.1.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.2.1.3.1.cmml">→</mo><mi id="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.2.1.3.3" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.2.1.3.3.cmml">∞</mi></mrow></msub><msubsup id="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.2.2" xref="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.2.2.2.2" xref="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.2.2.2.2.cmml">𝐂</mi><mi id="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.2.2.2.3" xref="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.2.2.2.3.cmml">l</mi><mrow id="S3.SS2.p7.26.m4.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.2.2.cmml"><mo id="S3.SS2.p7.26.m4.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S3.SS2.p7.26.m4.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p7.26.m4.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.SS2.p7.26.m4.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup></mrow><mo id="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.1" xref="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.3" xref="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.3.cmml"><msub id="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.3.2" xref="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.3.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.3.2.2" xref="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.3.2.2.cmml">𝚽</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.3.2.3" xref="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.3.2.3.cmml">𝒩</mi></msub><mo id="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.3.1" xref="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.3.3" xref="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.3.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.3.3.2.2" xref="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.3.3.2.2.cmml">𝚽</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.3.3.2.3" xref="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.3.3.2.3.cmml">𝒩</mi><mo id="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.3.3.3" xref="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.3.3.3.cmml">⊺</mo></msubsup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p7.26.m4.1b"><apply id="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.26.m4.1.2"><eq id="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.1"></eq><apply id="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.2"><apply id="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.2.1">subscript</csymbol><limit id="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.2.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.2.1.2"></limit><apply id="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.2.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.2.1.3"><ci id="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.2.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.2.1.3.1">→</ci><ci id="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.2.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.2.1.3.2">𝑙</ci><infinity id="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.2.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.2.1.3.3"></infinity></apply></apply><apply id="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.2.2.2.2">𝐂</ci><ci id="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.2.2.2.3">𝑙</ci></apply><ci id="S3.SS2.p7.26.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.26.m4.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></apply><apply id="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.3"><times id="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.3.1"></times><apply id="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.3.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.3.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.3.2.2">𝚽</ci><ci id="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.3.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.3.2.3">𝒩</ci></apply><apply id="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.3.3">superscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.3.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.3.3.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.3.3.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.3.3.2.2">𝚽</ci><ci id="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.3.3.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.3.3.2.3">𝒩</ci></apply><ci id="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.3.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p7.26.m4.1.2.3.3.3">⊺</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p7.26.m4.1c">\lim_{l\to\infty}\mathbf{C}_{l}^{(n)}=\mathbf{\Phi}_{\mathcal{N}}\mathbf{\Phi}% _{\mathcal{N}}^{\intercal}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p7.26.m4.1d">roman_lim start_POSTSUBSCRIPT italic_l → ∞ end_POSTSUBSCRIPT bold_C start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT = bold_Φ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT bold_Φ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⊺ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib32" title="">32</a>, Lem. 3.4 and Cor. 3.5]</cite>. Refer to <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.I3.i3" title="In Theorem 5. ‣ III-C Performance analysis of Algorithm 1 ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Theorem</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">5(iii)</span></a> for a stronger result on the linear convergence rate of the sequence of estimates.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p8"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p8.13">The aforementioned arguments are consolidated in <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#alg1" title="In III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Algorithm</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>. To establish the connection between (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E15" title="Equation 15 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">15</span></a>), (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E22" title="Equation 22 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">22</span></a>), and VI, note that any index <math alttext="l" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p8.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p8.1.m1.1a"><mi id="S3.SS2.p8.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.p8.1.m1.1.1.cmml">l</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p8.1.m1.1b"><ci id="S3.SS2.p8.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p8.1.m1.1.1">𝑙</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p8.1.m1.1c">l</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p8.1.m1.1d">italic_l</annotation></semantics></math> of (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E22" title="Equation 22 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">22</span></a>) can be expressed as <math alttext="l=kM+m" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p8.2.m2.1"><semantics id="S3.SS2.p8.2.m2.1a"><mrow id="S3.SS2.p8.2.m2.1.1" xref="S3.SS2.p8.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p8.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS2.p8.2.m2.1.1.2.cmml">l</mi><mo id="S3.SS2.p8.2.m2.1.1.1" xref="S3.SS2.p8.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS2.p8.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS2.p8.2.m2.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.SS2.p8.2.m2.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p8.2.m2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p8.2.m2.1.1.3.2.2" xref="S3.SS2.p8.2.m2.1.1.3.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.SS2.p8.2.m2.1.1.3.2.1" xref="S3.SS2.p8.2.m2.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p8.2.m2.1.1.3.2.3" xref="S3.SS2.p8.2.m2.1.1.3.2.3.cmml">M</mi></mrow><mo id="S3.SS2.p8.2.m2.1.1.3.1" xref="S3.SS2.p8.2.m2.1.1.3.1.cmml">+</mo><mi id="S3.SS2.p8.2.m2.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p8.2.m2.1.1.3.3.cmml">m</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p8.2.m2.1b"><apply id="S3.SS2.p8.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p8.2.m2.1.1"><eq id="S3.SS2.p8.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p8.2.m2.1.1.1"></eq><ci id="S3.SS2.p8.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p8.2.m2.1.1.2">𝑙</ci><apply id="S3.SS2.p8.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p8.2.m2.1.1.3"><plus id="S3.SS2.p8.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p8.2.m2.1.1.3.1"></plus><apply id="S3.SS2.p8.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p8.2.m2.1.1.3.2"><times id="S3.SS2.p8.2.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p8.2.m2.1.1.3.2.1"></times><ci id="S3.SS2.p8.2.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p8.2.m2.1.1.3.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.SS2.p8.2.m2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p8.2.m2.1.1.3.2.3">𝑀</ci></apply><ci id="S3.SS2.p8.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p8.2.m2.1.1.3.3">𝑚</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p8.2.m2.1c">l=kM+m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p8.2.m2.1d">italic_l = italic_k italic_M + italic_m</annotation></semantics></math> (see line <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#alg1.l12" title="In Algorithm 1 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">12</span></a> of <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#alg1" title="In III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Algorithm</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>), where <math alttext="m\in\{0,1,\ldots,M-1\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p8.3.m3.4"><semantics id="S3.SS2.p8.3.m3.4a"><mrow id="S3.SS2.p8.3.m3.4.4" xref="S3.SS2.p8.3.m3.4.4.cmml"><mi id="S3.SS2.p8.3.m3.4.4.3" xref="S3.SS2.p8.3.m3.4.4.3.cmml">m</mi><mo id="S3.SS2.p8.3.m3.4.4.2" xref="S3.SS2.p8.3.m3.4.4.2.cmml">∈</mo><mrow id="S3.SS2.p8.3.m3.4.4.1.1" xref="S3.SS2.p8.3.m3.4.4.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.p8.3.m3.4.4.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p8.3.m3.4.4.1.2.cmml">{</mo><mn id="S3.SS2.p8.3.m3.1.1" xref="S3.SS2.p8.3.m3.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.SS2.p8.3.m3.4.4.1.1.3" xref="S3.SS2.p8.3.m3.4.4.1.2.cmml">,</mo><mn id="S3.SS2.p8.3.m3.2.2" xref="S3.SS2.p8.3.m3.2.2.cmml">1</mn><mo id="S3.SS2.p8.3.m3.4.4.1.1.4" xref="S3.SS2.p8.3.m3.4.4.1.2.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.p8.3.m3.3.3" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p8.3.m3.3.3.cmml">…</mi><mo id="S3.SS2.p8.3.m3.4.4.1.1.5" xref="S3.SS2.p8.3.m3.4.4.1.2.cmml">,</mo><mrow id="S3.SS2.p8.3.m3.4.4.1.1.1" xref="S3.SS2.p8.3.m3.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p8.3.m3.4.4.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p8.3.m3.4.4.1.1.1.2.cmml">M</mi><mo id="S3.SS2.p8.3.m3.4.4.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p8.3.m3.4.4.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S3.SS2.p8.3.m3.4.4.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p8.3.m3.4.4.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.SS2.p8.3.m3.4.4.1.1.6" stretchy="false" xref="S3.SS2.p8.3.m3.4.4.1.2.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p8.3.m3.4b"><apply id="S3.SS2.p8.3.m3.4.4.cmml" xref="S3.SS2.p8.3.m3.4.4"><in id="S3.SS2.p8.3.m3.4.4.2.cmml" xref="S3.SS2.p8.3.m3.4.4.2"></in><ci id="S3.SS2.p8.3.m3.4.4.3.cmml" xref="S3.SS2.p8.3.m3.4.4.3">𝑚</ci><set id="S3.SS2.p8.3.m3.4.4.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p8.3.m3.4.4.1.1"><cn id="S3.SS2.p8.3.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p8.3.m3.1.1">0</cn><cn id="S3.SS2.p8.3.m3.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p8.3.m3.2.2">1</cn><ci id="S3.SS2.p8.3.m3.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p8.3.m3.3.3">…</ci><apply id="S3.SS2.p8.3.m3.4.4.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p8.3.m3.4.4.1.1.1"><minus id="S3.SS2.p8.3.m3.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p8.3.m3.4.4.1.1.1.1"></minus><ci id="S3.SS2.p8.3.m3.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p8.3.m3.4.4.1.1.1.2">𝑀</ci><cn id="S3.SS2.p8.3.m3.4.4.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p8.3.m3.4.4.1.1.1.3">1</cn></apply></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p8.3.m3.4c">m\in\{0,1,\ldots,M-1\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p8.3.m3.4d">italic_m ∈ { 0 , 1 , … , italic_M - 1 }</annotation></semantics></math> is the index of (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E15" title="Equation 15 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">15</span></a>), and <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p8.4.m4.1"><semantics id="S3.SS2.p8.4.m4.1a"><mi id="S3.SS2.p8.4.m4.1.1" xref="S3.SS2.p8.4.m4.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p8.4.m4.1b"><ci id="S3.SS2.p8.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p8.4.m4.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p8.4.m4.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p8.4.m4.1d">italic_k</annotation></semantics></math> is the VI index. This observation emphasizes that (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E15" title="Equation 15 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">15</span></a>), which aims to achieve consensus among Q-functions across <math alttext="\mathcal{G}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p8.5.m5.1"><semantics id="S3.SS2.p8.5.m5.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS2.p8.5.m5.1.1" xref="S3.SS2.p8.5.m5.1.1.cmml">𝒢</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p8.5.m5.1b"><ci id="S3.SS2.p8.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p8.5.m5.1.1">𝒢</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p8.5.m5.1c">\mathcal{G}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p8.5.m5.1d">caligraphic_G</annotation></semantics></math>, runs only <math alttext="M" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p8.6.m6.1"><semantics id="S3.SS2.p8.6.m6.1a"><mi id="S3.SS2.p8.6.m6.1.1" xref="S3.SS2.p8.6.m6.1.1.cmml">M</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p8.6.m6.1b"><ci id="S3.SS2.p8.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p8.6.m6.1.1">𝑀</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p8.6.m6.1c">M</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p8.6.m6.1d">italic_M</annotation></semantics></math> times between two consecutive VI indices (see lines <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#alg1.l10" title="In Algorithm 1 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">10</span></a>–<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#alg1.l19" title="In Algorithm 1 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">19</span></a> of <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#alg1" title="In III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Algorithm</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> and <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.F1" title="In III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Figure</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>). Agent <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p8.7.m7.1"><semantics id="S3.SS2.p8.7.m7.1a"><mi id="S3.SS2.p8.7.m7.1.1" xref="S3.SS2.p8.7.m7.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p8.7.m7.1b"><ci id="S3.SS2.p8.7.m7.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p8.7.m7.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p8.7.m7.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p8.7.m7.1d">italic_n</annotation></semantics></math> runs iteration (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E22" title="Equation 22 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">22</span></a>) in parallel with (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E15" title="Equation 15 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">15</span></a>). To conserve computational resources and communication bandwidth, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#alg1" title="In III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Algorithm</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> allows the update in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E22" title="Equation 22 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">22</span></a>) to be implemented once every <math alttext="J_{C}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p8.8.m8.1"><semantics id="S3.SS2.p8.8.m8.1a"><msub id="S3.SS2.p8.8.m8.1.1" xref="S3.SS2.p8.8.m8.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p8.8.m8.1.1.2" xref="S3.SS2.p8.8.m8.1.1.2.cmml">J</mi><mi id="S3.SS2.p8.8.m8.1.1.3" xref="S3.SS2.p8.8.m8.1.1.3.cmml">C</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p8.8.m8.1b"><apply id="S3.SS2.p8.8.m8.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p8.8.m8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p8.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p8.8.m8.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p8.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p8.8.m8.1.1.2">𝐽</ci><ci id="S3.SS2.p8.8.m8.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p8.8.m8.1.1.3">𝐶</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p8.8.m8.1c">J_{C}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p8.8.m8.1d">italic_J start_POSTSUBSCRIPT italic_C end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> iterations (<math alttext="\mathbb{N}_{*}\ni J_{C}\leq M" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p8.9.m9.1"><semantics id="S3.SS2.p8.9.m9.1a"><mrow id="S3.SS2.p8.9.m9.1.1" xref="S3.SS2.p8.9.m9.1.1.cmml"><msub id="S3.SS2.p8.9.m9.1.1.2" xref="S3.SS2.p8.9.m9.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p8.9.m9.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p8.9.m9.1.1.2.2.cmml">ℕ</mi><mo id="S3.SS2.p8.9.m9.1.1.2.3" xref="S3.SS2.p8.9.m9.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msub><mo id="S3.SS2.p8.9.m9.1.1.3" xref="S3.SS2.p8.9.m9.1.1.3.cmml">∋</mo><msub id="S3.SS2.p8.9.m9.1.1.4" xref="S3.SS2.p8.9.m9.1.1.4.cmml"><mi id="S3.SS2.p8.9.m9.1.1.4.2" xref="S3.SS2.p8.9.m9.1.1.4.2.cmml">J</mi><mi id="S3.SS2.p8.9.m9.1.1.4.3" xref="S3.SS2.p8.9.m9.1.1.4.3.cmml">C</mi></msub><mo id="S3.SS2.p8.9.m9.1.1.5" xref="S3.SS2.p8.9.m9.1.1.5.cmml">≤</mo><mi id="S3.SS2.p8.9.m9.1.1.6" xref="S3.SS2.p8.9.m9.1.1.6.cmml">M</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p8.9.m9.1b"><apply id="S3.SS2.p8.9.m9.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p8.9.m9.1.1"><and id="S3.SS2.p8.9.m9.1.1a.cmml" xref="S3.SS2.p8.9.m9.1.1"></and><apply id="S3.SS2.p8.9.m9.1.1b.cmml" xref="S3.SS2.p8.9.m9.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.p8.9.m9.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p8.9.m9.1.1.3">contains</csymbol><apply id="S3.SS2.p8.9.m9.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p8.9.m9.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p8.9.m9.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p8.9.m9.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p8.9.m9.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p8.9.m9.1.1.2.2">ℕ</ci><times id="S3.SS2.p8.9.m9.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p8.9.m9.1.1.2.3"></times></apply><apply id="S3.SS2.p8.9.m9.1.1.4.cmml" xref="S3.SS2.p8.9.m9.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p8.9.m9.1.1.4.1.cmml" xref="S3.SS2.p8.9.m9.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p8.9.m9.1.1.4.2.cmml" xref="S3.SS2.p8.9.m9.1.1.4.2">𝐽</ci><ci id="S3.SS2.p8.9.m9.1.1.4.3.cmml" xref="S3.SS2.p8.9.m9.1.1.4.3">𝐶</ci></apply></apply><apply id="S3.SS2.p8.9.m9.1.1c.cmml" xref="S3.SS2.p8.9.m9.1.1"><leq id="S3.SS2.p8.9.m9.1.1.5.cmml" xref="S3.SS2.p8.9.m9.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.SS2.p8.9.m9.1.1.4.cmml" id="S3.SS2.p8.9.m9.1.1d.cmml" xref="S3.SS2.p8.9.m9.1.1"></share><ci id="S3.SS2.p8.9.m9.1.1.6.cmml" xref="S3.SS2.p8.9.m9.1.1.6">𝑀</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p8.9.m9.1c">\mathbb{N}_{*}\ni J_{C}\leq M</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p8.9.m9.1d">blackboard_N start_POSTSUBSCRIPT ∗ end_POSTSUBSCRIPT ∋ italic_J start_POSTSUBSCRIPT italic_C end_POSTSUBSCRIPT ≤ italic_M</annotation></semantics></math>); see lines <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#alg1.l13" title="In Algorithm 1 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">13</span></a>–<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#alg1.l18" title="In Algorithm 1 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">18</span></a> of <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#alg1" title="In III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Algorithm</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>. The effect of <math alttext="J_{C}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p8.10.m10.1"><semantics id="S3.SS2.p8.10.m10.1a"><msub id="S3.SS2.p8.10.m10.1.1" xref="S3.SS2.p8.10.m10.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p8.10.m10.1.1.2" xref="S3.SS2.p8.10.m10.1.1.2.cmml">J</mi><mi id="S3.SS2.p8.10.m10.1.1.3" xref="S3.SS2.p8.10.m10.1.1.3.cmml">C</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p8.10.m10.1b"><apply id="S3.SS2.p8.10.m10.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p8.10.m10.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p8.10.m10.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p8.10.m10.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p8.10.m10.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p8.10.m10.1.1.2">𝐽</ci><ci id="S3.SS2.p8.10.m10.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p8.10.m10.1.1.3">𝐶</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p8.10.m10.1c">J_{C}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p8.10.m10.1d">italic_J start_POSTSUBSCRIPT italic_C end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> on the performance of <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#alg1" title="In III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Algorithm</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> is explored in <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S4.F3.sf2" title="In Figure 3 ‣ IV-A Network of pendulums ‣ IV Numerical Tests ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Figures</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">3(b)</span></a> and <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S4.F4.sf2" title="Figure 4(b) ‣ Figure 4 ‣ IV-B Network of cartpoles ‣ IV Numerical Tests ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4(b)</span></a>. Iteration (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E22" title="Equation 22 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">22</span></a>) provides (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E15" title="Equation 15 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">15</span></a>) with estimates <math alttext="\mathbf{C}_{l=kM}^{(n)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p8.11.m11.1"><semantics id="S3.SS2.p8.11.m11.1a"><msubsup id="S3.SS2.p8.11.m11.1.2" xref="S3.SS2.p8.11.m11.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p8.11.m11.1.2.2.2" xref="S3.SS2.p8.11.m11.1.2.2.2.cmml">𝐂</mi><mrow id="S3.SS2.p8.11.m11.1.2.2.3" xref="S3.SS2.p8.11.m11.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p8.11.m11.1.2.2.3.2" xref="S3.SS2.p8.11.m11.1.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.SS2.p8.11.m11.1.2.2.3.1" xref="S3.SS2.p8.11.m11.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS2.p8.11.m11.1.2.2.3.3" xref="S3.SS2.p8.11.m11.1.2.2.3.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p8.11.m11.1.2.2.3.3.2" xref="S3.SS2.p8.11.m11.1.2.2.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.SS2.p8.11.m11.1.2.2.3.3.1" xref="S3.SS2.p8.11.m11.1.2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p8.11.m11.1.2.2.3.3.3" xref="S3.SS2.p8.11.m11.1.2.2.3.3.3.cmml">M</mi></mrow></mrow><mrow id="S3.SS2.p8.11.m11.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p8.11.m11.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.p8.11.m11.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p8.11.m11.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.SS2.p8.11.m11.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p8.11.m11.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.SS2.p8.11.m11.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p8.11.m11.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p8.11.m11.1b"><apply id="S3.SS2.p8.11.m11.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p8.11.m11.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p8.11.m11.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p8.11.m11.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p8.11.m11.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p8.11.m11.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p8.11.m11.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p8.11.m11.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p8.11.m11.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p8.11.m11.1.2.2.2">𝐂</ci><apply id="S3.SS2.p8.11.m11.1.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p8.11.m11.1.2.2.3"><eq id="S3.SS2.p8.11.m11.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p8.11.m11.1.2.2.3.1"></eq><ci id="S3.SS2.p8.11.m11.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p8.11.m11.1.2.2.3.2">𝑙</ci><apply id="S3.SS2.p8.11.m11.1.2.2.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p8.11.m11.1.2.2.3.3"><times id="S3.SS2.p8.11.m11.1.2.2.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p8.11.m11.1.2.2.3.3.1"></times><ci id="S3.SS2.p8.11.m11.1.2.2.3.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p8.11.m11.1.2.2.3.3.2">𝑘</ci><ci id="S3.SS2.p8.11.m11.1.2.2.3.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p8.11.m11.1.2.2.3.3.3">𝑀</ci></apply></apply></apply><ci id="S3.SS2.p8.11.m11.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p8.11.m11.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p8.11.m11.1c">\mathbf{C}_{l=kM}^{(n)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p8.11.m11.1d">bold_C start_POSTSUBSCRIPT italic_l = italic_k italic_M end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> through the following update of the nodal basis vectors <math alttext="\mathbf{\Psi}^{(n)}[k]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p8.12.m12.2"><semantics id="S3.SS2.p8.12.m12.2a"><mrow id="S3.SS2.p8.12.m12.2.3" xref="S3.SS2.p8.12.m12.2.3.cmml"><msup id="S3.SS2.p8.12.m12.2.3.2" xref="S3.SS2.p8.12.m12.2.3.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p8.12.m12.2.3.2.2" xref="S3.SS2.p8.12.m12.2.3.2.2.cmml">𝚿</mi><mrow id="S3.SS2.p8.12.m12.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p8.12.m12.2.3.2.cmml"><mo id="S3.SS2.p8.12.m12.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p8.12.m12.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="S3.SS2.p8.12.m12.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p8.12.m12.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.SS2.p8.12.m12.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p8.12.m12.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.SS2.p8.12.m12.2.3.1" xref="S3.SS2.p8.12.m12.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.p8.12.m12.2.3.3.2" xref="S3.SS2.p8.12.m12.2.3.3.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p8.12.m12.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p8.12.m12.2.3.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.SS2.p8.12.m12.2.2" xref="S3.SS2.p8.12.m12.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.SS2.p8.12.m12.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p8.12.m12.2.3.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p8.12.m12.2b"><apply id="S3.SS2.p8.12.m12.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p8.12.m12.2.3"><times id="S3.SS2.p8.12.m12.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p8.12.m12.2.3.1"></times><apply id="S3.SS2.p8.12.m12.2.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p8.12.m12.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p8.12.m12.2.3.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p8.12.m12.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p8.12.m12.2.3.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p8.12.m12.2.3.2.2">𝚿</ci><ci id="S3.SS2.p8.12.m12.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p8.12.m12.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S3.SS2.p8.12.m12.2.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p8.12.m12.2.3.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.p8.12.m12.2.3.3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p8.12.m12.2.3.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.SS2.p8.12.m12.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p8.12.m12.2.2">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p8.12.m12.2c">\mathbf{\Psi}^{(n)}[k]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p8.12.m12.2d">bold_Ψ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ]</annotation></semantics></math> at VI iteration <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p8.13.m13.1"><semantics id="S3.SS2.p8.13.m13.1a"><mi id="S3.SS2.p8.13.m13.1.1" xref="S3.SS2.p8.13.m13.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p8.13.m13.1b"><ci id="S3.SS2.p8.13.m13.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p8.13.m13.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p8.13.m13.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p8.13.m13.1d">italic_k</annotation></semantics></math>:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A0.EGx27"> <tbody id="S3.E23"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathbf{\Psi}^{(n)}[k]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E23.m1.2"><semantics id="S3.E23.m1.2a"><mrow id="S3.E23.m1.2.3" xref="S3.E23.m1.2.3.cmml"><msup id="S3.E23.m1.2.3.2" xref="S3.E23.m1.2.3.2.cmml"><mi id="S3.E23.m1.2.3.2.2" xref="S3.E23.m1.2.3.2.2.cmml">𝚿</mi><mrow id="S3.E23.m1.1.1.1.3" xref="S3.E23.m1.2.3.2.cmml"><mo id="S3.E23.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.E23.m1.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="S3.E23.m1.1.1.1.1" xref="S3.E23.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.E23.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.E23.m1.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.E23.m1.2.3.1" xref="S3.E23.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E23.m1.2.3.3.2" xref="S3.E23.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S3.E23.m1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E23.m1.2.3.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.E23.m1.2.2" xref="S3.E23.m1.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.E23.m1.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E23.m1.2.3.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E23.m1.2b"><apply id="S3.E23.m1.2.3.cmml" xref="S3.E23.m1.2.3"><times id="S3.E23.m1.2.3.1.cmml" xref="S3.E23.m1.2.3.1"></times><apply id="S3.E23.m1.2.3.2.cmml" xref="S3.E23.m1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E23.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S3.E23.m1.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E23.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S3.E23.m1.2.3.2.2">𝚿</ci><ci id="S3.E23.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E23.m1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S3.E23.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S3.E23.m1.2.3.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.E23.m1.2.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E23.m1.2.3.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.E23.m1.2.2.cmml" xref="S3.E23.m1.2.2">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E23.m1.2c">\displaystyle\mathbf{\Psi}^{(n)}[k]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E23.m1.2d">bold_Ψ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\coloneqq(\,\mathbf{C}_{kM}^{(n)}+\sigma\mathbf{I}_{D}\,)^{-1}\,% \mathbf{\Phi}^{(n)}\,." class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E23.m2.3"><semantics id="S3.E23.m2.3a"><mrow id="S3.E23.m2.3.3.1" xref="S3.E23.m2.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.E23.m2.3.3.1.1" xref="S3.E23.m2.3.3.1.1.cmml"><mi id="S3.E23.m2.3.3.1.1.3" xref="S3.E23.m2.3.3.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S3.E23.m2.3.3.1.1.2" xref="S3.E23.m2.3.3.1.1.2.cmml">≔</mo><mrow id="S3.E23.m2.3.3.1.1.1" xref="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.cmml"><msup id="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1" xref="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">𝐂</mi><mrow id="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">M</mi></mrow><mrow id="S3.E23.m2.1.1.1.3" xref="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E23.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.E23.m2.1.1.1.1" xref="S3.E23.m2.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.E23.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">σ</mi><mo id="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">𝐈</mi><mi id="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">D</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.3" xref="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.3a" xref="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.2" xref="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.3" xref="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.3.2" xref="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.3.2.cmml">𝚽</mi><mrow id="S3.E23.m2.2.2.1.3" xref="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.E23.m2.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S3.E23.m2.2.2.1.1" xref="S3.E23.m2.2.2.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.E23.m2.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msup></mrow></mrow><mo id="S3.E23.m2.3.3.1.2" lspace="0em" xref="S3.E23.m2.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E23.m2.3b"><apply id="S3.E23.m2.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E23.m2.3.3.1"><ci id="S3.E23.m2.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.E23.m2.3.3.1.1.2">≔</ci><csymbol cd="latexml" id="S3.E23.m2.3.3.1.1.3.cmml" xref="S3.E23.m2.3.3.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.E23.m2.3.3.1.1.1"><times id="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1"><plus id="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝐂</ci><apply id="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><times id="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑀</ci></apply></apply><ci id="S3.E23.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E23.m2.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜎</ci><apply id="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝐈</ci><ci id="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝐷</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.3"><minus id="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.3"></minus><cn id="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E23.m2.3.3.1.1.1.3.2">𝚽</ci><ci id="S3.E23.m2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E23.m2.2.2.1.1">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E23.m2.3c">\displaystyle\coloneqq(\,\mathbf{C}_{kM}^{(n)}+\sigma\mathbf{I}_{D}\,)^{-1}\,% \mathbf{\Phi}^{(n)}\,.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E23.m2.3d">≔ ( bold_C start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_M end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT + italic_σ bold_I start_POSTSUBSCRIPT italic_D end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT bold_Φ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(23)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p8.20">To justify (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E23" title="Equation 23 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">23</span></a>) recall from the discussion after (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E22" title="Equation 22 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">22</span></a>) that for all sufficiently large values of <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p8.14.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p8.14.m1.1a"><mi id="S3.SS2.p8.14.m1.1.1" xref="S3.SS2.p8.14.m1.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p8.14.m1.1b"><ci id="S3.SS2.p8.14.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p8.14.m1.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p8.14.m1.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p8.14.m1.1d">italic_k</annotation></semantics></math>, the covariance-matrix estimate <math alttext="\mathbf{C}_{kM}^{(n)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p8.15.m2.1"><semantics id="S3.SS2.p8.15.m2.1a"><msubsup id="S3.SS2.p8.15.m2.1.2" xref="S3.SS2.p8.15.m2.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p8.15.m2.1.2.2.2" xref="S3.SS2.p8.15.m2.1.2.2.2.cmml">𝐂</mi><mrow id="S3.SS2.p8.15.m2.1.2.2.3" xref="S3.SS2.p8.15.m2.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p8.15.m2.1.2.2.3.2" xref="S3.SS2.p8.15.m2.1.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.SS2.p8.15.m2.1.2.2.3.1" xref="S3.SS2.p8.15.m2.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p8.15.m2.1.2.2.3.3" xref="S3.SS2.p8.15.m2.1.2.2.3.3.cmml">M</mi></mrow><mrow id="S3.SS2.p8.15.m2.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p8.15.m2.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.p8.15.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p8.15.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.SS2.p8.15.m2.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p8.15.m2.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.SS2.p8.15.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p8.15.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p8.15.m2.1b"><apply id="S3.SS2.p8.15.m2.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p8.15.m2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p8.15.m2.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p8.15.m2.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p8.15.m2.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p8.15.m2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p8.15.m2.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p8.15.m2.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p8.15.m2.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p8.15.m2.1.2.2.2">𝐂</ci><apply id="S3.SS2.p8.15.m2.1.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p8.15.m2.1.2.2.3"><times id="S3.SS2.p8.15.m2.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p8.15.m2.1.2.2.3.1"></times><ci id="S3.SS2.p8.15.m2.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p8.15.m2.1.2.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S3.SS2.p8.15.m2.1.2.2.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p8.15.m2.1.2.2.3.3">𝑀</ci></apply></apply><ci id="S3.SS2.p8.15.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p8.15.m2.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p8.15.m2.1c">\mathbf{C}_{kM}^{(n)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p8.15.m2.1d">bold_C start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_M end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> lies very close to <math alttext="\mathbf{\Phi}_{\mathcal{N}}\mathbf{\Phi}_{\mathcal{N}}^{\intercal}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p8.16.m3.1"><semantics id="S3.SS2.p8.16.m3.1a"><mrow id="S3.SS2.p8.16.m3.1.1" xref="S3.SS2.p8.16.m3.1.1.cmml"><msub id="S3.SS2.p8.16.m3.1.1.2" xref="S3.SS2.p8.16.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p8.16.m3.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p8.16.m3.1.1.2.2.cmml">𝚽</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS2.p8.16.m3.1.1.2.3" xref="S3.SS2.p8.16.m3.1.1.2.3.cmml">𝒩</mi></msub><mo id="S3.SS2.p8.16.m3.1.1.1" xref="S3.SS2.p8.16.m3.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.SS2.p8.16.m3.1.1.3" xref="S3.SS2.p8.16.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p8.16.m3.1.1.3.2.2" xref="S3.SS2.p8.16.m3.1.1.3.2.2.cmml">𝚽</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS2.p8.16.m3.1.1.3.2.3" xref="S3.SS2.p8.16.m3.1.1.3.2.3.cmml">𝒩</mi><mo id="S3.SS2.p8.16.m3.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p8.16.m3.1.1.3.3.cmml">⊺</mo></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p8.16.m3.1b"><apply id="S3.SS2.p8.16.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p8.16.m3.1.1"><times id="S3.SS2.p8.16.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p8.16.m3.1.1.1"></times><apply id="S3.SS2.p8.16.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p8.16.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p8.16.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p8.16.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p8.16.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p8.16.m3.1.1.2.2">𝚽</ci><ci id="S3.SS2.p8.16.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p8.16.m3.1.1.2.3">𝒩</ci></apply><apply id="S3.SS2.p8.16.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p8.16.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p8.16.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p8.16.m3.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p8.16.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p8.16.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p8.16.m3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p8.16.m3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p8.16.m3.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p8.16.m3.1.1.3.2.2">𝚽</ci><ci id="S3.SS2.p8.16.m3.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p8.16.m3.1.1.3.2.3">𝒩</ci></apply><ci id="S3.SS2.p8.16.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p8.16.m3.1.1.3.3">⊺</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p8.16.m3.1c">\mathbf{\Phi}_{\mathcal{N}}\mathbf{\Phi}_{\mathcal{N}}^{\intercal}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p8.16.m3.1d">bold_Φ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT bold_Φ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⊺ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. Notice also that the adoption of (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E23" title="Equation 23 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">23</span></a>) in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E9" title="Equation 9 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">9</span></a>) makes <math alttext="T^{(n)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p8.17.m4.1"><semantics id="S3.SS2.p8.17.m4.1a"><msup id="S3.SS2.p8.17.m4.1.2" xref="S3.SS2.p8.17.m4.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p8.17.m4.1.2.2" xref="S3.SS2.p8.17.m4.1.2.2.cmml">T</mi><mrow id="S3.SS2.p8.17.m4.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p8.17.m4.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.p8.17.m4.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p8.17.m4.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.SS2.p8.17.m4.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p8.17.m4.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.SS2.p8.17.m4.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p8.17.m4.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p8.17.m4.1b"><apply id="S3.SS2.p8.17.m4.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p8.17.m4.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p8.17.m4.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p8.17.m4.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p8.17.m4.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p8.17.m4.1.2.2">𝑇</ci><ci id="S3.SS2.p8.17.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p8.17.m4.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p8.17.m4.1c">T^{(n)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p8.17.m4.1d">italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> dependent on index <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p8.18.m5.1"><semantics id="S3.SS2.p8.18.m5.1a"><mi id="S3.SS2.p8.18.m5.1.1" xref="S3.SS2.p8.18.m5.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p8.18.m5.1b"><ci id="S3.SS2.p8.18.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p8.18.m5.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p8.18.m5.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p8.18.m5.1d">italic_k</annotation></semantics></math>. To avoid overloading notations with indices, <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p8.19.m6.1"><semantics id="S3.SS2.p8.19.m6.1a"><mi id="S3.SS2.p8.19.m6.1.1" xref="S3.SS2.p8.19.m6.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p8.19.m6.1b"><ci id="S3.SS2.p8.19.m6.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p8.19.m6.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p8.19.m6.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p8.19.m6.1d">italic_k</annotation></semantics></math> will be omitted from <math alttext="T^{(n)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p8.20.m7.1"><semantics id="S3.SS2.p8.20.m7.1a"><msup id="S3.SS2.p8.20.m7.1.2" xref="S3.SS2.p8.20.m7.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p8.20.m7.1.2.2" xref="S3.SS2.p8.20.m7.1.2.2.cmml">T</mi><mrow id="S3.SS2.p8.20.m7.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p8.20.m7.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.p8.20.m7.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p8.20.m7.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.SS2.p8.20.m7.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p8.20.m7.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.SS2.p8.20.m7.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p8.20.m7.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p8.20.m7.1b"><apply id="S3.SS2.p8.20.m7.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p8.20.m7.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p8.20.m7.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p8.20.m7.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p8.20.m7.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p8.20.m7.1.2.2">𝑇</ci><ci id="S3.SS2.p8.20.m7.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p8.20.m7.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p8.20.m7.1c">T^{(n)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p8.20.m7.1d">italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> hereafter.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p9"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p9.1">It is clear from the previous discussion that, in addition to the general <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#Thmthm1" title="Assumptions 1. ‣ II-B General assumptions for the decentralized setting ‣ II Distributed Reinforcement Learning ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Assumptions</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> and in contrast to most prior DRL schemes, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#alg1" title="In III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Algorithm</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> also adopts the following assumption.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_assumption" id="Thmthm3"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmthm3.1.1.1">Assumption 3</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmthm3.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmthm3.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmthm3.p1.3"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmthm3.p1.3.1">(Covariance-matrix sharing)</span> In <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#alg1" title="In III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Algorithm</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>, agent <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmthm3.p1.1.m1.1"><semantics id="Thmthm3.p1.1.m1.1a"><mi id="Thmthm3.p1.1.m1.1.1" xref="Thmthm3.p1.1.m1.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmthm3.p1.1.m1.1b"><ci id="Thmthm3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmthm3.p1.1.m1.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmthm3.p1.1.m1.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmthm3.p1.1.m1.1d">italic_n</annotation></semantics></math> communicates a copy of its covariance-matrix estimate <math alttext="\mathbf{C}_{kM}^{(n)}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmthm3.p1.2.m2.1"><semantics id="Thmthm3.p1.2.m2.1a"><msubsup id="Thmthm3.p1.2.m2.1.2" xref="Thmthm3.p1.2.m2.1.2.cmml"><mi id="Thmthm3.p1.2.m2.1.2.2.2" xref="Thmthm3.p1.2.m2.1.2.2.2.cmml">𝐂</mi><mrow id="Thmthm3.p1.2.m2.1.2.2.3" xref="Thmthm3.p1.2.m2.1.2.2.3.cmml"><mi id="Thmthm3.p1.2.m2.1.2.2.3.2" xref="Thmthm3.p1.2.m2.1.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="Thmthm3.p1.2.m2.1.2.2.3.1" xref="Thmthm3.p1.2.m2.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmthm3.p1.2.m2.1.2.2.3.3" xref="Thmthm3.p1.2.m2.1.2.2.3.3.cmml">M</mi></mrow><mrow id="Thmthm3.p1.2.m2.1.1.1.3" xref="Thmthm3.p1.2.m2.1.2.cmml"><mo id="Thmthm3.p1.2.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="Thmthm3.p1.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="Thmthm3.p1.2.m2.1.1.1.1" xref="Thmthm3.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="Thmthm3.p1.2.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="Thmthm3.p1.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmthm3.p1.2.m2.1b"><apply id="Thmthm3.p1.2.m2.1.2.cmml" xref="Thmthm3.p1.2.m2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmthm3.p1.2.m2.1.2.1.cmml" xref="Thmthm3.p1.2.m2.1.2">superscript</csymbol><apply id="Thmthm3.p1.2.m2.1.2.2.cmml" xref="Thmthm3.p1.2.m2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmthm3.p1.2.m2.1.2.2.1.cmml" xref="Thmthm3.p1.2.m2.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmthm3.p1.2.m2.1.2.2.2.cmml" xref="Thmthm3.p1.2.m2.1.2.2.2">𝐂</ci><apply id="Thmthm3.p1.2.m2.1.2.2.3.cmml" xref="Thmthm3.p1.2.m2.1.2.2.3"><times id="Thmthm3.p1.2.m2.1.2.2.3.1.cmml" xref="Thmthm3.p1.2.m2.1.2.2.3.1"></times><ci id="Thmthm3.p1.2.m2.1.2.2.3.2.cmml" xref="Thmthm3.p1.2.m2.1.2.2.3.2">𝑘</ci><ci id="Thmthm3.p1.2.m2.1.2.2.3.3.cmml" xref="Thmthm3.p1.2.m2.1.2.2.3.3">𝑀</ci></apply></apply><ci id="Thmthm3.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="Thmthm3.p1.2.m2.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmthm3.p1.2.m2.1c">\mathbf{C}_{kM}^{(n)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmthm3.p1.2.m2.1d">bold_C start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_M end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> to its neighbors <math alttext="\mathcal{N}_{n}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmthm3.p1.3.m3.1"><semantics id="Thmthm3.p1.3.m3.1a"><msub id="Thmthm3.p1.3.m3.1.1" xref="Thmthm3.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmthm3.p1.3.m3.1.1.2" xref="Thmthm3.p1.3.m3.1.1.2.cmml">𝒩</mi><mi id="Thmthm3.p1.3.m3.1.1.3" xref="Thmthm3.p1.3.m3.1.1.3.cmml">n</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmthm3.p1.3.m3.1b"><apply id="Thmthm3.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmthm3.p1.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmthm3.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="Thmthm3.p1.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmthm3.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="Thmthm3.p1.3.m3.1.1.2">𝒩</ci><ci id="Thmthm3.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="Thmthm3.p1.3.m3.1.1.3">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmthm3.p1.3.m3.1c">\mathcal{N}_{n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmthm3.p1.3.m3.1d">caligraphic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p10"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p10.4">Actually, since <math alttext="\mathbf{C}_{kM}^{(n)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p10.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p10.1.m1.1a"><msubsup id="S3.SS2.p10.1.m1.1.2" xref="S3.SS2.p10.1.m1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p10.1.m1.1.2.2.2" xref="S3.SS2.p10.1.m1.1.2.2.2.cmml">𝐂</mi><mrow id="S3.SS2.p10.1.m1.1.2.2.3" xref="S3.SS2.p10.1.m1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p10.1.m1.1.2.2.3.2" xref="S3.SS2.p10.1.m1.1.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.SS2.p10.1.m1.1.2.2.3.1" xref="S3.SS2.p10.1.m1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p10.1.m1.1.2.2.3.3" xref="S3.SS2.p10.1.m1.1.2.2.3.3.cmml">M</mi></mrow><mrow id="S3.SS2.p10.1.m1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p10.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.p10.1.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p10.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.SS2.p10.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p10.1.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.SS2.p10.1.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p10.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p10.1.m1.1b"><apply id="S3.SS2.p10.1.m1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p10.1.m1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p10.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p10.1.m1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p10.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p10.1.m1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p10.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p10.1.m1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p10.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p10.1.m1.1.2.2.2">𝐂</ci><apply id="S3.SS2.p10.1.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p10.1.m1.1.2.2.3"><times id="S3.SS2.p10.1.m1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p10.1.m1.1.2.2.3.1"></times><ci id="S3.SS2.p10.1.m1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p10.1.m1.1.2.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S3.SS2.p10.1.m1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p10.1.m1.1.2.2.3.3">𝑀</ci></apply></apply><ci id="S3.SS2.p10.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p10.1.m1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p10.1.m1.1c">\mathbf{C}_{kM}^{(n)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p10.1.m1.1d">bold_C start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_M end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is symmetric, only <math alttext="D(D+1)/2" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p10.2.m2.1"><semantics id="S3.SS2.p10.2.m2.1a"><mrow id="S3.SS2.p10.2.m2.1.1" xref="S3.SS2.p10.2.m2.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS2.p10.2.m2.1.1.1" xref="S3.SS2.p10.2.m2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p10.2.m2.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p10.2.m2.1.1.1.3.cmml">D</mi><mo id="S3.SS2.p10.2.m2.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p10.2.m2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.p10.2.m2.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p10.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p10.2.m2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p10.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS2.p10.2.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p10.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p10.2.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p10.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">D</mi><mo id="S3.SS2.p10.2.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p10.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S3.SS2.p10.2.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p10.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.SS2.p10.2.m2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.p10.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS2.p10.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS2.p10.2.m2.1.1.2.cmml">/</mo><mn id="S3.SS2.p10.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS2.p10.2.m2.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p10.2.m2.1b"><apply id="S3.SS2.p10.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p10.2.m2.1.1"><divide id="S3.SS2.p10.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p10.2.m2.1.1.2"></divide><apply id="S3.SS2.p10.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p10.2.m2.1.1.1"><times id="S3.SS2.p10.2.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p10.2.m2.1.1.1.2"></times><ci id="S3.SS2.p10.2.m2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p10.2.m2.1.1.1.3">𝐷</ci><apply id="S3.SS2.p10.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p10.2.m2.1.1.1.1.1"><plus id="S3.SS2.p10.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p10.2.m2.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S3.SS2.p10.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p10.2.m2.1.1.1.1.1.1.2">𝐷</ci><cn id="S3.SS2.p10.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p10.2.m2.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply><cn id="S3.SS2.p10.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p10.2.m2.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p10.2.m2.1c">D(D+1)/2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p10.2.m2.1d">italic_D ( italic_D + 1 ) / 2</annotation></semantics></math> real-valued entries of <math alttext="\mathbf{C}_{kM}^{(n)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p10.3.m3.1"><semantics id="S3.SS2.p10.3.m3.1a"><msubsup id="S3.SS2.p10.3.m3.1.2" xref="S3.SS2.p10.3.m3.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p10.3.m3.1.2.2.2" xref="S3.SS2.p10.3.m3.1.2.2.2.cmml">𝐂</mi><mrow id="S3.SS2.p10.3.m3.1.2.2.3" xref="S3.SS2.p10.3.m3.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p10.3.m3.1.2.2.3.2" xref="S3.SS2.p10.3.m3.1.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.SS2.p10.3.m3.1.2.2.3.1" xref="S3.SS2.p10.3.m3.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p10.3.m3.1.2.2.3.3" xref="S3.SS2.p10.3.m3.1.2.2.3.3.cmml">M</mi></mrow><mrow id="S3.SS2.p10.3.m3.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p10.3.m3.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.p10.3.m3.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p10.3.m3.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.SS2.p10.3.m3.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p10.3.m3.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.SS2.p10.3.m3.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p10.3.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p10.3.m3.1b"><apply id="S3.SS2.p10.3.m3.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p10.3.m3.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p10.3.m3.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p10.3.m3.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p10.3.m3.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p10.3.m3.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p10.3.m3.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p10.3.m3.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p10.3.m3.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p10.3.m3.1.2.2.2">𝐂</ci><apply id="S3.SS2.p10.3.m3.1.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p10.3.m3.1.2.2.3"><times id="S3.SS2.p10.3.m3.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p10.3.m3.1.2.2.3.1"></times><ci id="S3.SS2.p10.3.m3.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p10.3.m3.1.2.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S3.SS2.p10.3.m3.1.2.2.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p10.3.m3.1.2.2.3.3">𝑀</ci></apply></apply><ci id="S3.SS2.p10.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p10.3.m3.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p10.3.m3.1c">\mathbf{C}_{kM}^{(n)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p10.3.m3.1d">bold_C start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_M end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> need to be transmitted to the neighbors <math alttext="\mathcal{N}_{n}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p10.4.m4.1"><semantics id="S3.SS2.p10.4.m4.1a"><msub id="S3.SS2.p10.4.m4.1.1" xref="S3.SS2.p10.4.m4.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS2.p10.4.m4.1.1.2" xref="S3.SS2.p10.4.m4.1.1.2.cmml">𝒩</mi><mi id="S3.SS2.p10.4.m4.1.1.3" xref="S3.SS2.p10.4.m4.1.1.3.cmml">n</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p10.4.m4.1b"><apply id="S3.SS2.p10.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p10.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p10.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p10.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p10.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p10.4.m4.1.1.2">𝒩</ci><ci id="S3.SS2.p10.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p10.4.m4.1.1.3">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p10.4.m4.1c">\mathcal{N}_{n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p10.4.m4.1d">caligraphic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Nonetheless, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#alg1" title="In III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Algorithm</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> theoretically requires more communication bandwidth to operate compared to DRL designs that adhere only to <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S2.I1.i4" title="In Assumptions 1. ‣ II-B General assumptions for the decentralized setting ‣ II Distributed Reinforcement Learning ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Assumption</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">1(iv)</span></a>. Surprisingly, the numerical tests in <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S4" title="IV Numerical Tests ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Section</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">IV</span></a> reveal the opposite: <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#alg1" title="In III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Algorithm</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> consumes less cumulative communication bandwidth to converge than prior-art DRL designs that follow only <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S2.I1.i4" title="In Assumptions 1. ‣ II-B General assumptions for the decentralized setting ‣ II Distributed Reinforcement Learning ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Assumption</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">1(iv)</span></a>; see <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S4.F3.sf1" title="In Figure 3 ‣ IV-A Network of pendulums ‣ IV Numerical Tests ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Figures</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">3(a)</span></a> and <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S4.F4.sf1" title="Figure 4(a) ‣ Figure 4 ‣ IV-B Network of cartpoles ‣ IV Numerical Tests ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4(a)</span></a>.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S3.F1"> <div class="ltx_inline-block ltx_align_center ltx_transformed_outer" id="S3.F1.1" style="width:433.6pt;height:117.4pt;vertical-align:-0.0pt;"><span class="ltx_transformed_inner" style="transform:translate(32.9pt,-8.9pt) scale(1.1790540547549,1.1790540547549) ;"><svg class="ltx_picture" height="137.78" id="S3.F1.1.pic1" overflow="visible" version="1.1" width="495.05"><g fill="#000000" stroke="#000000" transform="translate(0,137.78) matrix(1 0 0 -1 0 0) translate(83.37,0) translate(0,29.52)"><g stroke-width="1.6pt"><g stroke="#FF00FF"><path d="M 0 78.74 L 392.03 78.74" style="fill:none"></path><g fill="#FF00FF" stroke-dasharray="none" stroke-dashoffset="0.0pt" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round" stroke-width="1.28pt" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 392.03 78.74)"><path d="M -3.15 4.21 C -2.89 2.63 0 0.26 0.79 0 C 0 -0.26 -2.89 -2.63 -3.15 -4.21" style="fill:none"></path></g></g><g fill="#000000" stroke="#000000" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 399.42 63.41)"><foreignobject height="9.61" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="7.64"><math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F1.1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S3.F1.1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mi id="S3.F1.1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S3.F1.1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F1.1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><ci id="S3.F1.1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.F1.1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F1.1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F1.1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_k</annotation></semantics></math></foreignobject></g></g><g stroke-width="0.4pt"><g fill="#FF00FF" stroke="#FF00FF" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -51.67 53.83)"><foreignobject color="#FF00FF" height="49.81" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="46.78"> <table class="ltx_tabular ltx_align_middle" id="S3.F1.1.pic1.22.22.22.22.1.1"> <tbody class="ltx_tbody"> <tr class="ltx_tr" id="S3.F1.1.pic1.22.22.22.22.1.1.1.1"> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S3.F1.1.pic1.22.22.22.22.1.1.1.1.1">Run</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S3.F1.1.pic1.22.22.22.22.1.1.2.2"> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S3.F1.1.pic1.22.22.22.22.1.1.2.2.1">VI</td> </tr> </tbody> </table> <span class="ltx_text" id="S3.F1.1.pic1.23.23.23.23.2.2"> </span></foreignobject></g><g stroke-width="1.6pt"><g stroke="#0000FF"><path d="M 0 0 L 392.03 0" style="fill:none"></path><g fill="#0000FF" stroke-dasharray="none" stroke-dashoffset="0.0pt" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round" stroke-width="1.28pt" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 392.03 0)"><path d="M -3.15 4.21 C -2.89 2.63 0 0.26 0.79 0 C 0 -0.26 -2.89 -2.63 -3.15 -4.21" style="fill:none"></path></g></g><g fill="#000000" stroke="#000000" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 399.42 -15.33)"><foreignobject height="9.61" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="4.4"><math alttext="l" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F1.1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S3.F1.1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mi id="S3.F1.1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S3.F1.1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">l</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F1.1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><ci id="S3.F1.1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.F1.1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1">𝑙</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F1.1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">l</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F1.1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_l</annotation></semantics></math></foreignobject></g></g><g fill="#0000FF" stroke="#0000FF" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -78.76 -24.91)"><foreignobject color="#0000FF" height="49.81" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="73.87"> <table class="ltx_tabular ltx_align_middle" id="S3.F1.1.pic1.24.24.24.24.1.1"> <tbody class="ltx_tbody"> <tr class="ltx_tr" id="S3.F1.1.pic1.24.24.24.24.1.1.1.1"> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S3.F1.1.pic1.24.24.24.24.1.1.1.1.1">Run</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S3.F1.1.pic1.24.24.24.24.1.1.2.2"> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S3.F1.1.pic1.24.24.24.24.1.1.2.2.1">(<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E22" title="Equation 22 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">22</span></a>)</td> </tr> </tbody> </table> <span class="ltx_text" id="S3.F1.1.pic1.25.25.25.25.2.2"> </span></foreignobject></g><g stroke-width="0.8pt"><path d="M 0 -7.87 L 0 7.87" style="fill:none"></path></g><g stroke-width="0.8pt"><path d="M 0 86.61 L 0 70.87" style="fill:none"></path></g><g fill="#000000" stroke="#000000" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 53.83 -13.48)"><foreignobject height="6.62" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="10.45"><math alttext="M" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F1.1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S3.F1.1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mi id="S3.F1.1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" mathsize="70%" xref="S3.F1.1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">M</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F1.1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><ci id="S3.F1.1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.F1.1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1">𝑀</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F1.1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">M</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F1.1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_M</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 110.46 -13.48)"><foreignobject height="6.62" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="15.3"><math alttext="2M" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S3.F1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mrow id="S3.F1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S3.F1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mn id="S3.F1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" mathsize="70%" xref="S3.F1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S3.F1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1" xref="S3.F1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.F1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3" mathsize="70%" xref="S3.F1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml">M</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S3.F1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.F1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><times id="S3.F1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.F1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1"></times><cn id="S3.F1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.F1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">2</cn><ci id="S3.F1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.F1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3">𝑀</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">2M</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">2 italic_M</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 169.52 -13.48)"><foreignobject height="6.62" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="15.3"><math alttext="3M" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S3.F1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mrow id="S3.F1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S3.F1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mn id="S3.F1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" mathsize="70%" xref="S3.F1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml">3</mn><mo id="S3.F1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1" xref="S3.F1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.F1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3" mathsize="70%" xref="S3.F1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml">M</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S3.F1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.F1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><times id="S3.F1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.F1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1"></times><cn id="S3.F1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.F1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">3</cn><ci id="S3.F1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.F1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3">𝑀</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">3M</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">3 italic_M</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 344.64 -13.48)"><foreignobject height="6.62" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="19.37"><math alttext="KM" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S3.F1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mrow id="S3.F1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S3.F1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.F1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" mathsize="70%" xref="S3.F1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml">K</mi><mo id="S3.F1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1" xref="S3.F1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.F1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3" mathsize="70%" xref="S3.F1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml">M</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S3.F1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.F1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><times id="S3.F1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.F1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1"></times><ci id="S3.F1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.F1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">𝐾</ci><ci id="S3.F1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.F1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3">𝑀</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">KM</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_K italic_M</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g stroke-width="0.8pt"><path d="M 59.06 76.77 L 59.06 80.71" style="fill:none"></path></g><g fill="#000000" stroke="#000000" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 56.63 85.6)"><foreignobject height="6.24" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="4.84"><math alttext="1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F1.1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S3.F1.1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mn id="S3.F1.1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" mathsize="70%" xref="S3.F1.1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">1</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F1.1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><cn id="S3.F1.1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.F1.1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1">1</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F1.1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F1.1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">1</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g stroke-width="0.8pt"><path d="M 118.11 76.77 L 118.11 80.71" style="fill:none"></path></g><g fill="#000000" stroke="#000000" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 115.69 85.6)"><foreignobject height="6.24" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="4.84"><math alttext="2" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F1.1.pic1.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S3.F1.1.pic1.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mn id="S3.F1.1.pic1.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" mathsize="70%" xref="S3.F1.1.pic1.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">2</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F1.1.pic1.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><cn id="S3.F1.1.pic1.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.F1.1.pic1.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1">2</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F1.1.pic1.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F1.1.pic1.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">2</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g stroke-width="0.8pt"><path d="M 177.17 76.77 L 177.17 80.71" style="fill:none"></path></g><g fill="#000000" stroke="#000000" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 174.74 85.6)"><foreignobject height="6.24" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="4.84"><math alttext="3" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F1.1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S3.F1.1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mn id="S3.F1.1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" mathsize="70%" xref="S3.F1.1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">3</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F1.1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><cn id="S3.F1.1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.F1.1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1">3</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F1.1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">3</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F1.1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">3</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g stroke-width="0.8pt"><path d="M 354.33 76.77 L 354.33 80.71" style="fill:none"></path></g><g fill="#000000" stroke="#000000" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 349.87 85.6)"><foreignobject height="6.62" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="8.92"><math alttext="K" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F1.1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S3.F1.1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mi id="S3.F1.1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" mathsize="70%" xref="S3.F1.1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">K</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F1.1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><ci id="S3.F1.1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.F1.1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1">𝐾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F1.1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">K</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F1.1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_K</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 237.6 -13.58)"><foreignobject height="7.53" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="56.29"><math alttext="l=kM+m" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F1.1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S3.F1.1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mrow id="S3.F1.1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S3.F1.1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.F1.1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" mathsize="70%" xref="S3.F1.1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml">l</mi><mo id="S3.F1.1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1" mathsize="70%" xref="S3.F1.1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.F1.1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3" xref="S3.F1.1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.F1.1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2" xref="S3.F1.1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.F1.1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.2" mathsize="70%" xref="S3.F1.1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.F1.1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.1" xref="S3.F1.1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.F1.1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.3" mathsize="70%" xref="S3.F1.1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml">M</mi></mrow><mo id="S3.F1.1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1" mathsize="70%" xref="S3.F1.1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mi id="S3.F1.1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.3" mathsize="70%" xref="S3.F1.1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml">m</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F1.1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S3.F1.1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.F1.1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><eq id="S3.F1.1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.F1.1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S3.F1.1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.F1.1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">𝑙</ci><apply id="S3.F1.1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.F1.1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3"><plus id="S3.F1.1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.F1.1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1"></plus><apply id="S3.F1.1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.F1.1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2"><times id="S3.F1.1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.F1.1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.1"></times><ci id="S3.F1.1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.F1.1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.F1.1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.F1.1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.3">𝑀</ci></apply><ci id="S3.F1.1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.F1.1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.3">𝑚</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F1.1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">l=kM+m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F1.1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_l = italic_k italic_M + italic_m</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 255.41 15.17)"><foreignobject height="15.7" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="20.67"><math alttext="\mathbf{C}^{(n)}_{kM+m}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F1.1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S3.F1.1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><msubsup id="S3.F1.1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2" xref="S3.F1.1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.cmml"><mi id="S3.F1.1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.2" xref="S3.F1.1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.2.cmml">𝐂</mi><mrow id="S3.F1.1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.3" xref="S3.F1.1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.3.cmml"><mrow id="S3.F1.1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.3.2" xref="S3.F1.1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S3.F1.1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.3.2.2" xref="S3.F1.1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.3.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.F1.1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.3.2.1" xref="S3.F1.1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.F1.1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.3.2.3" xref="S3.F1.1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.3.2.3.cmml">M</mi></mrow><mo 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id="S3.F1.1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.F1.1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F1.1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S3.F1.1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.cmml" xref="S3.F1.1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F1.1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.F1.1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S3.F1.1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.F1.1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F1.1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.1.cmml" 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id="S3.F1.1.pic1.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S3.F1.1.pic1.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mi id="S3.F1.1.pic1.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.F1.1.pic1.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">⋯</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F1.1.pic1.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><ci id="S3.F1.1.pic1.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.F1.1.pic1.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1">⋯</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F1.1.pic1.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\cdots</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F1.1.pic1.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">⋯</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g 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id="S3.F1.1.pic1.16.16.16.16.16.16.16.16.16.16.16.16.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.F1.1.pic1.16.16.16.16.16.16.16.16.16.16.16.16.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1">⋯</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F1.1.pic1.16.16.16.16.16.16.16.16.16.16.16.16.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\cdots</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F1.1.pic1.16.16.16.16.16.16.16.16.16.16.16.16.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">⋯</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g stroke-width="0.8pt"><path d="M 59.06 7.87 L 59.06 69.88" style="fill:none"></path><g stroke-dasharray="none" stroke-dashoffset="0.0pt" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round" stroke-width="0.64pt" transform="matrix(0.0 1.0 -1.0 0.0 59.06 69.88)"><path d="M -2.16 2.88 C -1.98 1.8 0 0.18 0.54 0 C 0 -0.18 -1.98 -1.8 -2.16 -2.88" style="fill:none"></path></g><g fill="#000000" stroke="#000000" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 64.22 35.97)"><foreignobject height="10.51" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="14.47"><math alttext="\mathbf{C}^{(n)}_{M}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F1.1.pic1.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S3.F1.1.pic1.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><msubsup id="S3.F1.1.pic1.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2" xref="S3.F1.1.pic1.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.cmml"><mi id="S3.F1.1.pic1.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.2" mathsize="70%" xref="S3.F1.1.pic1.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.2.cmml">𝐂</mi><mi id="S3.F1.1.pic1.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.3" mathsize="70%" xref="S3.F1.1.pic1.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.3.cmml">M</mi><mrow id="S3.F1.1.pic1.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.3" xref="S3.F1.1.pic1.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S3.F1.1.pic1.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.3.1" maxsize="70%" minsize="70%" xref="S3.F1.1.pic1.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.F1.1.pic1.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.1" mathsize="70%" xref="S3.F1.1.pic1.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.F1.1.pic1.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.3.2" maxsize="70%" minsize="70%" xref="S3.F1.1.pic1.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F1.1.pic1.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S3.F1.1.pic1.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.cmml" xref="S3.F1.1.pic1.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F1.1.pic1.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.F1.1.pic1.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S3.F1.1.pic1.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.F1.1.pic1.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F1.1.pic1.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.F1.1.pic1.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.F1.1.pic1.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.F1.1.pic1.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.2">𝐂</ci><ci id="S3.F1.1.pic1.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.F1.1.pic1.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><ci id="S3.F1.1.pic1.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.3.cmml" xref="S3.F1.1.pic1.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.3">𝑀</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F1.1.pic1.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\mathbf{C}^{(n)}_{M}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F1.1.pic1.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">bold_C start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_M end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></foreignobject></g></g><g stroke-width="0.8pt"><path d="M 118.11 7.87 L 118.11 69.88" style="fill:none"></path><g stroke-dasharray="none" stroke-dashoffset="0.0pt" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round" stroke-width="0.64pt" transform="matrix(0.0 1.0 -1.0 0.0 118.11 69.88)"><path d="M -2.16 2.88 C -1.98 1.8 0 0.18 0.54 0 C 0 -0.18 -1.98 -1.8 -2.16 -2.88" style="fill:none"></path></g><g fill="#000000" stroke="#000000" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 123.28 35.97)"><foreignobject height="10.51" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="14.47"><math alttext="\mathbf{C}^{(n)}_{2M}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F1.1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S3.F1.1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><msubsup id="S3.F1.1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2" xref="S3.F1.1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.cmml"><mi id="S3.F1.1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.2" mathsize="70%" xref="S3.F1.1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.2.cmml">𝐂</mi><mrow id="S3.F1.1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.3" xref="S3.F1.1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.3.cmml"><mn id="S3.F1.1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.3.2" mathsize="70%" xref="S3.F1.1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S3.F1.1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.3.1" xref="S3.F1.1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.F1.1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.3.3" mathsize="70%" xref="S3.F1.1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.3.3.cmml">M</mi></mrow><mrow id="S3.F1.1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.3" xref="S3.F1.1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S3.F1.1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.3.1" maxsize="70%" minsize="70%" xref="S3.F1.1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.F1.1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.1" mathsize="70%" xref="S3.F1.1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.F1.1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.3.2" maxsize="70%" minsize="70%" xref="S3.F1.1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F1.1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S3.F1.1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.cmml" xref="S3.F1.1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F1.1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.F1.1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S3.F1.1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.F1.1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F1.1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.F1.1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.F1.1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.F1.1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.2">𝐂</ci><ci id="S3.F1.1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.F1.1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S3.F1.1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.3.cmml" xref="S3.F1.1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.3"><times id="S3.F1.1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.F1.1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.3.1"></times><cn id="S3.F1.1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.F1.1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.3.2">2</cn><ci id="S3.F1.1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.F1.1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.3.3">𝑀</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F1.1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\mathbf{C}^{(n)}_{2M}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F1.1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">bold_C start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 2 italic_M end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></foreignobject></g></g><g stroke-width="0.8pt"><path d="M 177.17 7.87 L 177.17 69.88" style="fill:none"></path><g stroke-dasharray="none" stroke-dashoffset="0.0pt" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round" stroke-width="0.64pt" transform="matrix(0.0 1.0 -1.0 0.0 177.17 69.88)"><path d="M -2.16 2.88 C -1.98 1.8 0 0.18 0.54 0 C 0 -0.18 -1.98 -1.8 -2.16 -2.88" style="fill:none"></path></g><g fill="#000000" stroke="#000000" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 182.33 35.97)"><foreignobject height="10.51" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="14.47"><math alttext="\mathbf{C}^{(n)}_{3M}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F1.1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S3.F1.1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><msubsup id="S3.F1.1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2" xref="S3.F1.1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.cmml"><mi id="S3.F1.1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.2" mathsize="70%" xref="S3.F1.1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.2.cmml">𝐂</mi><mrow id="S3.F1.1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.3" xref="S3.F1.1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.3.cmml"><mn id="S3.F1.1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.3.2" mathsize="70%" xref="S3.F1.1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.3.2.cmml">3</mn><mo id="S3.F1.1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.3.1" xref="S3.F1.1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.F1.1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.3.3" mathsize="70%" xref="S3.F1.1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.3.3.cmml">M</mi></mrow><mrow id="S3.F1.1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.3" xref="S3.F1.1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S3.F1.1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.3.1" maxsize="70%" minsize="70%" xref="S3.F1.1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.F1.1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.1" mathsize="70%" xref="S3.F1.1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.F1.1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.3.2" maxsize="70%" minsize="70%" xref="S3.F1.1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F1.1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S3.F1.1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.cmml" xref="S3.F1.1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F1.1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.F1.1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S3.F1.1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.F1.1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F1.1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.F1.1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.F1.1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.F1.1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.2">𝐂</ci><ci id="S3.F1.1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.F1.1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S3.F1.1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.3.cmml" xref="S3.F1.1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.3"><times id="S3.F1.1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.F1.1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.3.1"></times><cn id="S3.F1.1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.F1.1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.3.2">3</cn><ci id="S3.F1.1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.F1.1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.3.3">𝑀</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F1.1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\mathbf{C}^{(n)}_{3M}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F1.1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">bold_C start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 3 italic_M end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></foreignobject></g></g><g stroke-width="0.8pt"><path d="M 354.33 7.87 L 354.33 69.88" style="fill:none"></path><g stroke-dasharray="none" 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href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E15" title="Equation 15 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">15</span></a>)</span></foreignobject></g><g stroke-width="0.8pt"><path d="M 59.06 78.74 M 59.06 78.74 C 60.09 80.82 62.51 82.2 65.97 82.2 L 81.66 82.2 C 85.12 82.2 87.54 83.58 88.58 85.66 C 89.62 83.58 92.04 82.2 95.5 82.2 L 111.19 82.2 C 114.65 82.2 117.07 80.82 118.11 78.74" style="fill:none"></path></g><g fill="#000000" stroke="#000000" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 59.32 93.39)"><foreignobject height="8.5" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="133.32"><span class="ltx_text" id="S3.F1.1.pic1.27.27.27.27.1.1" style="font-size:70%;">Run (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E15" title="Equation 15 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">15</span></a>)</span></foreignobject></g><g stroke-width="0.8pt"><path d="M 118.11 78.74 M 118.11 78.74 C 119.15 80.82 121.57 82.2 125.03 82.2 L 140.72 82.2 C 144.18 82.2 146.6 83.58 147.64 85.66 C 148.68 83.58 151.1 82.2 154.56 82.2 L 170.25 82.2 C 173.71 82.2 176.13 80.82 177.17 78.74" style="fill:none"></path></g><g fill="#000000" stroke="#000000" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 118.38 93.39)"><foreignobject height="8.5" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="133.32"><span class="ltx_text" id="S3.F1.1.pic1.28.28.28.28.1.1" style="font-size:70%;">Run (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E15" title="Equation 15 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">15</span></a>)</span></foreignobject></g><g stroke-width="0.8pt"><path d="M 295.28 78.74 M 295.28 78.74 C 296.31 80.82 298.73 82.2 302.19 82.2 L 317.88 82.2 C 321.34 82.2 323.77 83.58 324.8 85.66 C 325.84 83.58 328.26 82.2 331.72 82.2 L 347.41 82.2 C 350.87 82.2 353.29 80.82 354.33 78.74" style="fill:none"></path></g><g fill="#000000" stroke="#000000" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 295.54 93.39)"><foreignobject height="8.5" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="133.32"><span class="ltx_text" id="S3.F1.1.pic1.29.29.29.29.1.1" style="font-size:70%;">Run (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E15" title="Equation 15 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">15</span></a>)</span></foreignobject></g><g stroke-width="0.8pt"><path d="M 0.98 35.43 L 58.07 35.43" style="fill:none"></path></g><g stroke-dasharray="none" stroke-dashoffset="0.0pt" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round" stroke-width="0.64pt" transform="matrix(-1.0 0.0 0.0 -1.0 0.98 35.43)"><path d="M -2.16 2.88 C -1.98 1.8 0 0.18 0.54 0 C 0 -0.18 -1.98 -1.8 -2.16 -2.88" style="fill:none"></path></g><g stroke-dasharray="none" stroke-dashoffset="0.0pt" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round" stroke-width="0.64pt" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 58.07 35.43)"><path d="M -2.16 2.88 C -1.98 1.8 0 0.18 0.54 0 C 0 -0.18 -1.98 -1.8 -2.16 -2.88" style="fill:none"></path></g><g fill="#000000" stroke="#000000" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 2.74 40.32)"><foreignobject height="6.62" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="13.68"><math alttext="M" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F1.1.pic1.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S3.F1.1.pic1.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mi id="S3.F1.1.pic1.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" mathsize="70%" xref="S3.F1.1.pic1.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">M</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F1.1.pic1.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><ci id="S3.F1.1.pic1.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.F1.1.pic1.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1">𝑀</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F1.1.pic1.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">M</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F1.1.pic1.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_M</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S3.F1.1.pic1.30.30.30.30.2.1" style="font-size:70%;"> iterations</span></foreignobject></g></g></g></svg> </span></div> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S3.F1.13.6.1" style="font-size:90%;">Figure 1</span>: </span><span class="ltx_text" id="S3.F1.11.5" style="font-size:90%;">Iteration (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E22" title="Equation 22 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">22</span></a>) is implemented to provide consensual estimates of the network-wide covariance operator (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E7.4" title="Equation 7d ‣ Equation 7 ‣ III-A The centralized (star-topology) B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7d</span></a>), while (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E15" title="Equation 15 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">15</span></a>) provides consensual estimates of the fixed point <math alttext="Q_{\star}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F1.7.1.m1.1"><semantics id="S3.F1.7.1.m1.1b"><msub id="S3.F1.7.1.m1.1.1" xref="S3.F1.7.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.F1.7.1.m1.1.1.2" xref="S3.F1.7.1.m1.1.1.2.cmml">Q</mi><mo id="S3.F1.7.1.m1.1.1.3" xref="S3.F1.7.1.m1.1.1.3.cmml">⋆</mo></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F1.7.1.m1.1c"><apply id="S3.F1.7.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.F1.7.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F1.7.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.F1.7.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.F1.7.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.F1.7.1.m1.1.1.2">𝑄</ci><ci id="S3.F1.7.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.F1.7.1.m1.1.1.3">⋆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F1.7.1.m1.1d">Q_{\star}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F1.7.1.m1.1e">italic_Q start_POSTSUBSCRIPT ⋆ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> of the star-topology B-Map (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E6" title="Equation 6 ‣ III-A The centralized (star-topology) B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6</span></a>). Iteration (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E22" title="Equation 22 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">22</span></a>) feeds the covariance-operator estimate <math alttext="\mathbf{C}_{kM}^{(n)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F1.8.2.m2.1"><semantics id="S3.F1.8.2.m2.1b"><msubsup id="S3.F1.8.2.m2.1.2" xref="S3.F1.8.2.m2.1.2.cmml"><mi id="S3.F1.8.2.m2.1.2.2.2" xref="S3.F1.8.2.m2.1.2.2.2.cmml">𝐂</mi><mrow id="S3.F1.8.2.m2.1.2.2.3" xref="S3.F1.8.2.m2.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.F1.8.2.m2.1.2.2.3.2" xref="S3.F1.8.2.m2.1.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.F1.8.2.m2.1.2.2.3.1" xref="S3.F1.8.2.m2.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.F1.8.2.m2.1.2.2.3.3" xref="S3.F1.8.2.m2.1.2.2.3.3.cmml">M</mi></mrow><mrow id="S3.F1.8.2.m2.1.1.1.3" xref="S3.F1.8.2.m2.1.2.cmml"><mo id="S3.F1.8.2.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.F1.8.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.F1.8.2.m2.1.1.1.1" xref="S3.F1.8.2.m2.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.F1.8.2.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.F1.8.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F1.8.2.m2.1c"><apply id="S3.F1.8.2.m2.1.2.cmml" xref="S3.F1.8.2.m2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F1.8.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S3.F1.8.2.m2.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.F1.8.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S3.F1.8.2.m2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F1.8.2.m2.1.2.2.1.cmml" xref="S3.F1.8.2.m2.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.F1.8.2.m2.1.2.2.2.cmml" xref="S3.F1.8.2.m2.1.2.2.2">𝐂</ci><apply id="S3.F1.8.2.m2.1.2.2.3.cmml" xref="S3.F1.8.2.m2.1.2.2.3"><times id="S3.F1.8.2.m2.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.F1.8.2.m2.1.2.2.3.1"></times><ci id="S3.F1.8.2.m2.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.F1.8.2.m2.1.2.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S3.F1.8.2.m2.1.2.2.3.3.cmml" xref="S3.F1.8.2.m2.1.2.2.3.3">𝑀</ci></apply></apply><ci id="S3.F1.8.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.F1.8.2.m2.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F1.8.2.m2.1d">\mathbf{C}_{kM}^{(n)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F1.8.2.m2.1e">bold_C start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_M end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> to iteration (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E15" title="Equation 15 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">15</span></a>) periodically (<math alttext="l=kM" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F1.9.3.m3.1"><semantics id="S3.F1.9.3.m3.1b"><mrow id="S3.F1.9.3.m3.1.1" xref="S3.F1.9.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.F1.9.3.m3.1.1.2" xref="S3.F1.9.3.m3.1.1.2.cmml">l</mi><mo id="S3.F1.9.3.m3.1.1.1" xref="S3.F1.9.3.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.F1.9.3.m3.1.1.3" xref="S3.F1.9.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S3.F1.9.3.m3.1.1.3.2" xref="S3.F1.9.3.m3.1.1.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.F1.9.3.m3.1.1.3.1" xref="S3.F1.9.3.m3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.F1.9.3.m3.1.1.3.3" xref="S3.F1.9.3.m3.1.1.3.3.cmml">M</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F1.9.3.m3.1c"><apply id="S3.F1.9.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.F1.9.3.m3.1.1"><eq id="S3.F1.9.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.F1.9.3.m3.1.1.1"></eq><ci id="S3.F1.9.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.F1.9.3.m3.1.1.2">𝑙</ci><apply id="S3.F1.9.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.F1.9.3.m3.1.1.3"><times id="S3.F1.9.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.F1.9.3.m3.1.1.3.1"></times><ci id="S3.F1.9.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S3.F1.9.3.m3.1.1.3.2">𝑘</ci><ci id="S3.F1.9.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S3.F1.9.3.m3.1.1.3.3">𝑀</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F1.9.3.m3.1d">l=kM</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F1.9.3.m3.1e">italic_l = italic_k italic_M</annotation></semantics></math>). This estimate is needed to define the nodal basis vectors in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E23" title="Equation 23 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">23</span></a>) at VI index <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F1.10.4.m4.1"><semantics id="S3.F1.10.4.m4.1b"><mi id="S3.F1.10.4.m4.1.1" xref="S3.F1.10.4.m4.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F1.10.4.m4.1c"><ci id="S3.F1.10.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.F1.10.4.m4.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F1.10.4.m4.1d">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F1.10.4.m4.1e">italic_k</annotation></semantics></math>; see line <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#alg1.l7" title="In Algorithm 1 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7</span></a> of <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#alg1" title="In III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Algorithm</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>. Iteration (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E15" title="Equation 15 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">15</span></a>) runs only <math alttext="M" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F1.11.5.m5.1"><semantics id="S3.F1.11.5.m5.1b"><mi id="S3.F1.11.5.m5.1.1" xref="S3.F1.11.5.m5.1.1.cmml">M</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F1.11.5.m5.1c"><ci id="S3.F1.11.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.F1.11.5.m5.1.1">𝑀</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F1.11.5.m5.1d">M</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F1.11.5.m5.1e">italic_M</annotation></semantics></math> times between two consecutive VI indices. </span></figcaption> </figure> <figure class="ltx_float ltx_float_algorithm ltx_framed ltx_framed_top" id="alg1"> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_float"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="alg1.2.1.1">Algorithm 1</span> </span> Distributed value iteration (VI)</figcaption> <div class="ltx_listing ltx_listing" id="alg1.3"> <div class="ltx_listingline" id="alg1.l1"> <span class="ltx_tag ltx_tag_listingline"><span class="ltx_text" id="alg1.l1.1.1.1" style="font-size:80%;">1:</span></span><span class="ltx_text" id="alg1.l1.2" style="font-size:80%;">Graph </span><math alttext="\mathcal{G}=(\mathcal{N},\mathcal{E})" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l1.m1.2"><semantics id="alg1.l1.m1.2a"><mrow id="alg1.l1.m1.2.3" xref="alg1.l1.m1.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="alg1.l1.m1.2.3.2" mathsize="80%" xref="alg1.l1.m1.2.3.2.cmml">𝒢</mi><mo id="alg1.l1.m1.2.3.1" mathsize="80%" xref="alg1.l1.m1.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="alg1.l1.m1.2.3.3.2" xref="alg1.l1.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="alg1.l1.m1.2.3.3.2.1" maxsize="80%" minsize="80%" xref="alg1.l1.m1.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="alg1.l1.m1.1.1" mathsize="80%" xref="alg1.l1.m1.1.1.cmml">𝒩</mi><mo id="alg1.l1.m1.2.3.3.2.2" mathsize="80%" xref="alg1.l1.m1.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="alg1.l1.m1.2.2" mathsize="80%" xref="alg1.l1.m1.2.2.cmml">ℰ</mi><mo id="alg1.l1.m1.2.3.3.2.3" maxsize="80%" minsize="80%" xref="alg1.l1.m1.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.l1.m1.2b"><apply id="alg1.l1.m1.2.3.cmml" xref="alg1.l1.m1.2.3"><eq id="alg1.l1.m1.2.3.1.cmml" xref="alg1.l1.m1.2.3.1"></eq><ci id="alg1.l1.m1.2.3.2.cmml" xref="alg1.l1.m1.2.3.2">𝒢</ci><interval closure="open" id="alg1.l1.m1.2.3.3.1.cmml" xref="alg1.l1.m1.2.3.3.2"><ci id="alg1.l1.m1.1.1.cmml" xref="alg1.l1.m1.1.1">𝒩</ci><ci id="alg1.l1.m1.2.2.cmml" xref="alg1.l1.m1.2.2">ℰ</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l1.m1.2c">\mathcal{G}=(\mathcal{N},\mathcal{E})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l1.m1.2d">caligraphic_G = ( caligraphic_N , caligraphic_E )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="alg1.l1.3" style="font-size:80%;">, data </span><math alttext="\{\mathcal{T}^{(n)}\}_{n\in\mathcal{N}}" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l1.m2.2"><semantics id="alg1.l1.m2.2a"><msub id="alg1.l1.m2.2.2" xref="alg1.l1.m2.2.2.cmml"><mrow id="alg1.l1.m2.2.2.1.1" xref="alg1.l1.m2.2.2.1.2.cmml"><mo id="alg1.l1.m2.2.2.1.1.2" maxsize="80%" minsize="80%" xref="alg1.l1.m2.2.2.1.2.cmml">{</mo><msup id="alg1.l1.m2.2.2.1.1.1" xref="alg1.l1.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="alg1.l1.m2.2.2.1.1.1.2" mathsize="80%" xref="alg1.l1.m2.2.2.1.1.1.2.cmml">𝒯</mi><mrow id="alg1.l1.m2.1.1.1.3" xref="alg1.l1.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="alg1.l1.m2.1.1.1.3.1" maxsize="80%" minsize="80%" xref="alg1.l1.m2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="alg1.l1.m2.1.1.1.1" mathsize="80%" xref="alg1.l1.m2.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="alg1.l1.m2.1.1.1.3.2" maxsize="80%" minsize="80%" xref="alg1.l1.m2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="alg1.l1.m2.2.2.1.1.3" maxsize="80%" minsize="80%" xref="alg1.l1.m2.2.2.1.2.cmml">}</mo></mrow><mrow id="alg1.l1.m2.2.2.3" xref="alg1.l1.m2.2.2.3.cmml"><mi id="alg1.l1.m2.2.2.3.2" mathsize="80%" xref="alg1.l1.m2.2.2.3.2.cmml">n</mi><mo id="alg1.l1.m2.2.2.3.1" mathsize="80%" xref="alg1.l1.m2.2.2.3.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="alg1.l1.m2.2.2.3.3" mathsize="80%" xref="alg1.l1.m2.2.2.3.3.cmml">𝒩</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.l1.m2.2b"><apply id="alg1.l1.m2.2.2.cmml" xref="alg1.l1.m2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l1.m2.2.2.2.cmml" xref="alg1.l1.m2.2.2">subscript</csymbol><set id="alg1.l1.m2.2.2.1.2.cmml" xref="alg1.l1.m2.2.2.1.1"><apply id="alg1.l1.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="alg1.l1.m2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l1.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l1.m2.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="alg1.l1.m2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="alg1.l1.m2.2.2.1.1.1.2">𝒯</ci><ci id="alg1.l1.m2.1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l1.m2.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></set><apply id="alg1.l1.m2.2.2.3.cmml" xref="alg1.l1.m2.2.2.3"><in id="alg1.l1.m2.2.2.3.1.cmml" xref="alg1.l1.m2.2.2.3.1"></in><ci id="alg1.l1.m2.2.2.3.2.cmml" xref="alg1.l1.m2.2.2.3.2">𝑛</ci><ci id="alg1.l1.m2.2.2.3.3.cmml" xref="alg1.l1.m2.2.2.3.3">𝒩</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l1.m2.2c">\{\mathcal{T}^{(n)}\}_{n\in\mathcal{N}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l1.m2.2d">{ caligraphic_T start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT } start_POSTSUBSCRIPT italic_n ∈ caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="alg1.l1.4" style="font-size:80%;">, reproducing kernel </span><math alttext="\kappa" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l1.m3.1"><semantics id="alg1.l1.m3.1a"><mi id="alg1.l1.m3.1.1" mathsize="80%" xref="alg1.l1.m3.1.1.cmml">κ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.l1.m3.1b"><ci id="alg1.l1.m3.1.1.cmml" xref="alg1.l1.m3.1.1">𝜅</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l1.m3.1c">\kappa</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l1.m3.1d">italic_κ</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="alg1.l1.5" style="font-size:80%;">, </span><math alttext="\varpi\in[1/2,1)" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l1.m4.2"><semantics id="alg1.l1.m4.2a"><mrow id="alg1.l1.m4.2.2" xref="alg1.l1.m4.2.2.cmml"><mi id="alg1.l1.m4.2.2.3" mathsize="80%" xref="alg1.l1.m4.2.2.3.cmml">ϖ</mi><mo id="alg1.l1.m4.2.2.2" mathsize="80%" xref="alg1.l1.m4.2.2.2.cmml">∈</mo><mrow id="alg1.l1.m4.2.2.1.1" xref="alg1.l1.m4.2.2.1.2.cmml"><mo id="alg1.l1.m4.2.2.1.1.2" maxsize="80%" minsize="80%" xref="alg1.l1.m4.2.2.1.2.cmml">[</mo><mrow id="alg1.l1.m4.2.2.1.1.1" xref="alg1.l1.m4.2.2.1.1.1.cmml"><mn id="alg1.l1.m4.2.2.1.1.1.2" mathsize="80%" xref="alg1.l1.m4.2.2.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="alg1.l1.m4.2.2.1.1.1.1" maxsize="80%" minsize="80%" stretchy="true" symmetric="true" xref="alg1.l1.m4.2.2.1.1.1.1.cmml">/</mo><mn id="alg1.l1.m4.2.2.1.1.1.3" mathsize="80%" xref="alg1.l1.m4.2.2.1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><mo id="alg1.l1.m4.2.2.1.1.3" mathsize="80%" xref="alg1.l1.m4.2.2.1.2.cmml">,</mo><mn id="alg1.l1.m4.1.1" mathsize="80%" xref="alg1.l1.m4.1.1.cmml">1</mn><mo id="alg1.l1.m4.2.2.1.1.4" maxsize="80%" minsize="80%" xref="alg1.l1.m4.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.l1.m4.2b"><apply id="alg1.l1.m4.2.2.cmml" xref="alg1.l1.m4.2.2"><in id="alg1.l1.m4.2.2.2.cmml" xref="alg1.l1.m4.2.2.2"></in><ci id="alg1.l1.m4.2.2.3.cmml" xref="alg1.l1.m4.2.2.3">italic-ϖ</ci><interval closure="closed-open" id="alg1.l1.m4.2.2.1.2.cmml" xref="alg1.l1.m4.2.2.1.1"><apply id="alg1.l1.m4.2.2.1.1.1.cmml" xref="alg1.l1.m4.2.2.1.1.1"><divide id="alg1.l1.m4.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l1.m4.2.2.1.1.1.1"></divide><cn id="alg1.l1.m4.2.2.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="alg1.l1.m4.2.2.1.1.1.2">1</cn><cn id="alg1.l1.m4.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="alg1.l1.m4.2.2.1.1.1.3">2</cn></apply><cn id="alg1.l1.m4.1.1.cmml" type="integer" xref="alg1.l1.m4.1.1">1</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l1.m4.2c">\varpi\in[1/2,1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l1.m4.2d">italic_ϖ ∈ [ 1 / 2 , 1 )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="alg1.l1.6" style="font-size:80%;">, </span><math alttext="\eta\in(0,2(1-\varpi)\,)" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l1.m5.2"><semantics id="alg1.l1.m5.2a"><mrow id="alg1.l1.m5.2.2" xref="alg1.l1.m5.2.2.cmml"><mi id="alg1.l1.m5.2.2.3" mathsize="80%" xref="alg1.l1.m5.2.2.3.cmml">η</mi><mo id="alg1.l1.m5.2.2.2" mathsize="80%" xref="alg1.l1.m5.2.2.2.cmml">∈</mo><mrow id="alg1.l1.m5.2.2.1.1" xref="alg1.l1.m5.2.2.1.2.cmml"><mo id="alg1.l1.m5.2.2.1.1.2" maxsize="80%" minsize="80%" xref="alg1.l1.m5.2.2.1.2.cmml">(</mo><mn id="alg1.l1.m5.1.1" mathsize="80%" xref="alg1.l1.m5.1.1.cmml">0</mn><mo id="alg1.l1.m5.2.2.1.1.3" mathsize="80%" xref="alg1.l1.m5.2.2.1.2.cmml">,</mo><mrow id="alg1.l1.m5.2.2.1.1.1" xref="alg1.l1.m5.2.2.1.1.1.cmml"><mn id="alg1.l1.m5.2.2.1.1.1.3" mathsize="80%" xref="alg1.l1.m5.2.2.1.1.1.3.cmml">2</mn><mo id="alg1.l1.m5.2.2.1.1.1.2" xref="alg1.l1.m5.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="alg1.l1.m5.2.2.1.1.1.1.1" xref="alg1.l1.m5.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="alg1.l1.m5.2.2.1.1.1.1.1.2" maxsize="80%" minsize="80%" xref="alg1.l1.m5.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="alg1.l1.m5.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="alg1.l1.m5.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="alg1.l1.m5.2.2.1.1.1.1.1.1.2" mathsize="80%" xref="alg1.l1.m5.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="alg1.l1.m5.2.2.1.1.1.1.1.1.1" mathsize="80%" xref="alg1.l1.m5.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="alg1.l1.m5.2.2.1.1.1.1.1.1.3" mathsize="80%" xref="alg1.l1.m5.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ϖ</mi></mrow><mo id="alg1.l1.m5.2.2.1.1.1.1.1.3" maxsize="80%" minsize="80%" rspace="0.170em" xref="alg1.l1.m5.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="alg1.l1.m5.2.2.1.1.4" maxsize="80%" minsize="80%" xref="alg1.l1.m5.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.l1.m5.2b"><apply id="alg1.l1.m5.2.2.cmml" xref="alg1.l1.m5.2.2"><in id="alg1.l1.m5.2.2.2.cmml" xref="alg1.l1.m5.2.2.2"></in><ci id="alg1.l1.m5.2.2.3.cmml" xref="alg1.l1.m5.2.2.3">𝜂</ci><interval closure="open" id="alg1.l1.m5.2.2.1.2.cmml" xref="alg1.l1.m5.2.2.1.1"><cn id="alg1.l1.m5.1.1.cmml" type="integer" xref="alg1.l1.m5.1.1">0</cn><apply id="alg1.l1.m5.2.2.1.1.1.cmml" xref="alg1.l1.m5.2.2.1.1.1"><times id="alg1.l1.m5.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="alg1.l1.m5.2.2.1.1.1.2"></times><cn id="alg1.l1.m5.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="alg1.l1.m5.2.2.1.1.1.3">2</cn><apply id="alg1.l1.m5.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l1.m5.2.2.1.1.1.1.1"><minus id="alg1.l1.m5.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l1.m5.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="alg1.l1.m5.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="alg1.l1.m5.2.2.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><ci id="alg1.l1.m5.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="alg1.l1.m5.2.2.1.1.1.1.1.1.3">italic-ϖ</ci></apply></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l1.m5.2c">\eta\in(0,2(1-\varpi)\,)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l1.m5.2d">italic_η ∈ ( 0 , 2 ( 1 - italic_ϖ ) )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="alg1.l1.7" style="font-size:80%;">, </span><math alttext="\gamma\in(\,0,1/\lVert\mathbf{L}\rVert_{2}\,]" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l1.m6.3"><semantics id="alg1.l1.m6.3a"><mrow id="alg1.l1.m6.3.3" xref="alg1.l1.m6.3.3.cmml"><mi id="alg1.l1.m6.3.3.3" mathsize="80%" xref="alg1.l1.m6.3.3.3.cmml">γ</mi><mo id="alg1.l1.m6.3.3.2" mathsize="80%" xref="alg1.l1.m6.3.3.2.cmml">∈</mo><mrow id="alg1.l1.m6.3.3.1.1" xref="alg1.l1.m6.3.3.1.2.cmml"><mo id="alg1.l1.m6.3.3.1.1.2" maxsize="80%" minsize="80%" xref="alg1.l1.m6.3.3.1.2.cmml">(</mo><mn id="alg1.l1.m6.2.2" mathsize="80%" xref="alg1.l1.m6.2.2.cmml"> 0</mn><mo id="alg1.l1.m6.3.3.1.1.3" mathsize="80%" xref="alg1.l1.m6.3.3.1.2.cmml">,</mo><mrow id="alg1.l1.m6.3.3.1.1.1" xref="alg1.l1.m6.3.3.1.1.1.cmml"><mn id="alg1.l1.m6.3.3.1.1.1.2" mathsize="80%" xref="alg1.l1.m6.3.3.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="alg1.l1.m6.3.3.1.1.1.1" maxsize="80%" minsize="80%" stretchy="true" symmetric="true" xref="alg1.l1.m6.3.3.1.1.1.1.cmml">/</mo><msub id="alg1.l1.m6.3.3.1.1.1.3" xref="alg1.l1.m6.3.3.1.1.1.3.cmml"><mrow id="alg1.l1.m6.3.3.1.1.1.3.2.2" xref="alg1.l1.m6.3.3.1.1.1.3.2.1.cmml"><mo fence="true" id="alg1.l1.m6.3.3.1.1.1.3.2.2.1" lspace="0em" mathsize="80%" rspace="0em" xref="alg1.l1.m6.3.3.1.1.1.3.2.1.1.cmml">∥</mo><mi id="alg1.l1.m6.1.1" mathsize="80%" xref="alg1.l1.m6.1.1.cmml">𝐋</mi><mo fence="true" id="alg1.l1.m6.3.3.1.1.1.3.2.2.2" lspace="0em" mathsize="80%" rspace="0em" xref="alg1.l1.m6.3.3.1.1.1.3.2.1.1.cmml">∥</mo></mrow><mn id="alg1.l1.m6.3.3.1.1.1.3.3" mathsize="80%" xref="alg1.l1.m6.3.3.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="alg1.l1.m6.3.3.1.1.4" maxsize="80%" minsize="80%" xref="alg1.l1.m6.3.3.1.2.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.l1.m6.3b"><apply id="alg1.l1.m6.3.3.cmml" xref="alg1.l1.m6.3.3"><in id="alg1.l1.m6.3.3.2.cmml" xref="alg1.l1.m6.3.3.2"></in><ci id="alg1.l1.m6.3.3.3.cmml" xref="alg1.l1.m6.3.3.3">𝛾</ci><interval closure="open-closed" id="alg1.l1.m6.3.3.1.2.cmml" xref="alg1.l1.m6.3.3.1.1"><cn id="alg1.l1.m6.2.2.cmml" type="float" xref="alg1.l1.m6.2.2"> 0</cn><apply id="alg1.l1.m6.3.3.1.1.1.cmml" xref="alg1.l1.m6.3.3.1.1.1"><divide id="alg1.l1.m6.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l1.m6.3.3.1.1.1.1"></divide><cn id="alg1.l1.m6.3.3.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="alg1.l1.m6.3.3.1.1.1.2">1</cn><apply id="alg1.l1.m6.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="alg1.l1.m6.3.3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l1.m6.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="alg1.l1.m6.3.3.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="alg1.l1.m6.3.3.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="alg1.l1.m6.3.3.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="latexml" id="alg1.l1.m6.3.3.1.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="alg1.l1.m6.3.3.1.1.1.3.2.2.1">delimited-∥∥</csymbol><ci id="alg1.l1.m6.1.1.cmml" xref="alg1.l1.m6.1.1">𝐋</ci></apply><cn id="alg1.l1.m6.3.3.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="alg1.l1.m6.3.3.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l1.m6.3c">\gamma\in(\,0,1/\lVert\mathbf{L}\rVert_{2}\,]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l1.m6.3d">italic_γ ∈ ( 0 , 1 / ∥ bold_L ∥ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ]</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="alg1.l1.8" style="font-size:80%;">, </span><math alttext="M\in\mathbb{N}_{*}" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l1.m7.1"><semantics id="alg1.l1.m7.1a"><mrow id="alg1.l1.m7.1.1" xref="alg1.l1.m7.1.1.cmml"><mi id="alg1.l1.m7.1.1.2" mathsize="80%" xref="alg1.l1.m7.1.1.2.cmml">M</mi><mo id="alg1.l1.m7.1.1.1" mathsize="80%" xref="alg1.l1.m7.1.1.1.cmml">∈</mo><msub id="alg1.l1.m7.1.1.3" xref="alg1.l1.m7.1.1.3.cmml"><mi id="alg1.l1.m7.1.1.3.2" mathsize="80%" xref="alg1.l1.m7.1.1.3.2.cmml">ℕ</mi><mo id="alg1.l1.m7.1.1.3.3" mathsize="80%" xref="alg1.l1.m7.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.l1.m7.1b"><apply id="alg1.l1.m7.1.1.cmml" xref="alg1.l1.m7.1.1"><in id="alg1.l1.m7.1.1.1.cmml" xref="alg1.l1.m7.1.1.1"></in><ci id="alg1.l1.m7.1.1.2.cmml" xref="alg1.l1.m7.1.1.2">𝑀</ci><apply id="alg1.l1.m7.1.1.3.cmml" xref="alg1.l1.m7.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l1.m7.1.1.3.1.cmml" xref="alg1.l1.m7.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="alg1.l1.m7.1.1.3.2.cmml" xref="alg1.l1.m7.1.1.3.2">ℕ</ci><times id="alg1.l1.m7.1.1.3.3.cmml" xref="alg1.l1.m7.1.1.3.3"></times></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l1.m7.1c">M\in\mathbb{N}_{*}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l1.m7.1d">italic_M ∈ blackboard_N start_POSTSUBSCRIPT ∗ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="alg1.l1.9" style="font-size:80%;">, </span><math alttext="J_{C}\in\{1,\ldots,M\}" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l1.m8.3"><semantics id="alg1.l1.m8.3a"><mrow id="alg1.l1.m8.3.4" xref="alg1.l1.m8.3.4.cmml"><msub id="alg1.l1.m8.3.4.2" xref="alg1.l1.m8.3.4.2.cmml"><mi id="alg1.l1.m8.3.4.2.2" mathsize="80%" xref="alg1.l1.m8.3.4.2.2.cmml">J</mi><mi id="alg1.l1.m8.3.4.2.3" mathsize="80%" xref="alg1.l1.m8.3.4.2.3.cmml">C</mi></msub><mo id="alg1.l1.m8.3.4.1" mathsize="80%" xref="alg1.l1.m8.3.4.1.cmml">∈</mo><mrow id="alg1.l1.m8.3.4.3.2" xref="alg1.l1.m8.3.4.3.1.cmml"><mo id="alg1.l1.m8.3.4.3.2.1" maxsize="80%" minsize="80%" xref="alg1.l1.m8.3.4.3.1.cmml">{</mo><mn id="alg1.l1.m8.1.1" mathsize="80%" xref="alg1.l1.m8.1.1.cmml">1</mn><mo id="alg1.l1.m8.3.4.3.2.2" mathsize="80%" xref="alg1.l1.m8.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="alg1.l1.m8.2.2" mathsize="80%" mathvariant="normal" xref="alg1.l1.m8.2.2.cmml">…</mi><mo id="alg1.l1.m8.3.4.3.2.3" mathsize="80%" xref="alg1.l1.m8.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="alg1.l1.m8.3.3" mathsize="80%" xref="alg1.l1.m8.3.3.cmml">M</mi><mo id="alg1.l1.m8.3.4.3.2.4" maxsize="80%" minsize="80%" xref="alg1.l1.m8.3.4.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.l1.m8.3b"><apply id="alg1.l1.m8.3.4.cmml" xref="alg1.l1.m8.3.4"><in id="alg1.l1.m8.3.4.1.cmml" xref="alg1.l1.m8.3.4.1"></in><apply id="alg1.l1.m8.3.4.2.cmml" xref="alg1.l1.m8.3.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l1.m8.3.4.2.1.cmml" xref="alg1.l1.m8.3.4.2">subscript</csymbol><ci id="alg1.l1.m8.3.4.2.2.cmml" xref="alg1.l1.m8.3.4.2.2">𝐽</ci><ci id="alg1.l1.m8.3.4.2.3.cmml" xref="alg1.l1.m8.3.4.2.3">𝐶</ci></apply><set id="alg1.l1.m8.3.4.3.1.cmml" xref="alg1.l1.m8.3.4.3.2"><cn id="alg1.l1.m8.1.1.cmml" type="integer" xref="alg1.l1.m8.1.1">1</cn><ci id="alg1.l1.m8.2.2.cmml" xref="alg1.l1.m8.2.2">…</ci><ci id="alg1.l1.m8.3.3.cmml" xref="alg1.l1.m8.3.3">𝑀</ci></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l1.m8.3c">J_{C}\in\{1,\ldots,M\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l1.m8.3d">italic_J start_POSTSUBSCRIPT italic_C end_POSTSUBSCRIPT ∈ { 1 , … , italic_M }</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="alg1.l1.10" style="font-size:80%;">. </span> </div> <div class="ltx_listingline" id="alg1.l2"> <span class="ltx_tag ltx_tag_listingline"><span class="ltx_text" id="alg1.l2.1.1.1" style="font-size:80%;">2:</span></span><math alttext="(\,\mathfrak{Q}[k]=(\,Q^{(1)}[k],\ldots,Q^{(N)}[k]\,)\,)_{k\in\mathcal{N}}" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l2.m1.7"><semantics id="alg1.l2.m1.7a"><msub id="alg1.l2.m1.7.7" xref="alg1.l2.m1.7.7.cmml"><mrow id="alg1.l2.m1.7.7.1.1" xref="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.cmml"><mo id="alg1.l2.m1.7.7.1.1.2" maxsize="80%" minsize="80%" rspace="0.170em" xref="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1" xref="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.cmml"><mrow id="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.4" xref="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.4.cmml"><mi id="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.4.2" mathsize="80%" xref="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.4.2.cmml">𝔔</mi><mo id="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.4.1" xref="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.4.3.2" xref="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.4.3.1.cmml"><mo id="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.4.3.2.1" maxsize="80%" minsize="80%" xref="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.4.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="alg1.l2.m1.3.3" mathsize="80%" xref="alg1.l2.m1.3.3.cmml">k</mi><mo id="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.4.3.2.2" maxsize="80%" minsize="80%" xref="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.4.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.3" mathsize="80%" xref="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.2.2" xref="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.2.2.3" maxsize="80%" minsize="80%" rspace="0.170em" xref="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.2.3.cmml">(</mo><mrow id="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1" xref="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2" xref="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2" mathsize="80%" xref="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Q</mi><mrow id="alg1.l2.m1.1.1.1.3" xref="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="alg1.l2.m1.1.1.1.3.1" maxsize="80%" minsize="80%" xref="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mn id="alg1.l2.m1.1.1.1.1" mathsize="80%" xref="alg1.l2.m1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="alg1.l2.m1.1.1.1.3.2" maxsize="80%" minsize="80%" xref="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1" xref="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2.1" maxsize="80%" minsize="80%" xref="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="alg1.l2.m1.4.4" mathsize="80%" xref="alg1.l2.m1.4.4.cmml">k</mi><mo id="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2.2" maxsize="80%" minsize="80%" xref="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.2.2.4" mathsize="80%" xref="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><mi id="alg1.l2.m1.6.6" mathsize="80%" mathvariant="normal" xref="alg1.l2.m1.6.6.cmml">…</mi><mo id="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.2.2.5" mathsize="80%" xref="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><mrow id="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.2.2.2" xref="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.2.2.2.cmml"><msup id="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.2.2.2.2" xref="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.2.2.2.2.2" mathsize="80%" xref="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">Q</mi><mrow id="alg1.l2.m1.2.2.1.3" xref="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mo id="alg1.l2.m1.2.2.1.3.1" maxsize="80%" minsize="80%" xref="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.2.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="alg1.l2.m1.2.2.1.1" mathsize="80%" xref="alg1.l2.m1.2.2.1.1.cmml">N</mi><mo id="alg1.l2.m1.2.2.1.3.2" maxsize="80%" minsize="80%" xref="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.2.2.2.1" xref="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.2.2.2.3.2" xref="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml"><mo id="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.2.2.2.3.2.1" maxsize="80%" minsize="80%" xref="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.2.2.2.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="alg1.l2.m1.5.5" mathsize="80%" xref="alg1.l2.m1.5.5.cmml">k</mi><mo id="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.2.2.2.3.2.2" maxsize="80%" minsize="80%" rspace="0.170em" xref="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.2.2.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.2.2.6" maxsize="80%" minsize="80%" rspace="0.170em" xref="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="alg1.l2.m1.7.7.1.1.3" maxsize="80%" minsize="80%" xref="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="alg1.l2.m1.7.7.3" xref="alg1.l2.m1.7.7.3.cmml"><mi id="alg1.l2.m1.7.7.3.2" mathsize="80%" xref="alg1.l2.m1.7.7.3.2.cmml">k</mi><mo id="alg1.l2.m1.7.7.3.1" mathsize="80%" xref="alg1.l2.m1.7.7.3.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="alg1.l2.m1.7.7.3.3" mathsize="80%" xref="alg1.l2.m1.7.7.3.3.cmml">𝒩</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.l2.m1.7b"><apply id="alg1.l2.m1.7.7.cmml" xref="alg1.l2.m1.7.7"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l2.m1.7.7.2.cmml" xref="alg1.l2.m1.7.7">subscript</csymbol><apply id="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.cmml" xref="alg1.l2.m1.7.7.1.1"><eq id="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.3.cmml" xref="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.3"></eq><apply id="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.4.cmml" xref="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.4"><times id="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.4.1.cmml" xref="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.4.1"></times><ci id="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.4.2.cmml" xref="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.4.2">𝔔</ci><apply id="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.4.3.2"><csymbol cd="latexml" id="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.4.3.1.1.cmml" xref="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.4.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="alg1.l2.m1.3.3.cmml" xref="alg1.l2.m1.3.3">𝑘</ci></apply></apply><vector id="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.2.3.cmml" xref="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.2.2"><apply id="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1"><times id="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑄</ci><cn id="alg1.l2.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="alg1.l2.m1.1.1.1.1">1</cn></apply><apply id="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="latexml" id="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="alg1.l2.m1.4.4.cmml" xref="alg1.l2.m1.4.4">𝑘</ci></apply></apply><ci id="alg1.l2.m1.6.6.cmml" xref="alg1.l2.m1.6.6">…</ci><apply id="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.2.2.2"><times id="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.2.2.2.1"></times><apply id="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.2.2.2.2.2">𝑄</ci><ci id="alg1.l2.m1.2.2.1.1.cmml" xref="alg1.l2.m1.2.2.1.1">𝑁</ci></apply><apply id="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.2.2.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.2.2.2.3.1.1.cmml" xref="alg1.l2.m1.7.7.1.1.1.2.2.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="alg1.l2.m1.5.5.cmml" xref="alg1.l2.m1.5.5">𝑘</ci></apply></apply></vector></apply><apply id="alg1.l2.m1.7.7.3.cmml" xref="alg1.l2.m1.7.7.3"><in id="alg1.l2.m1.7.7.3.1.cmml" xref="alg1.l2.m1.7.7.3.1"></in><ci id="alg1.l2.m1.7.7.3.2.cmml" xref="alg1.l2.m1.7.7.3.2">𝑘</ci><ci id="alg1.l2.m1.7.7.3.3.cmml" xref="alg1.l2.m1.7.7.3.3">𝒩</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l2.m1.7c">(\,\mathfrak{Q}[k]=(\,Q^{(1)}[k],\ldots,Q^{(N)}[k]\,)\,)_{k\in\mathcal{N}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l2.m1.7d">( fraktur_Q [ italic_k ] = ( italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ] , … , italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_N ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ] ) ) start_POSTSUBSCRIPT italic_k ∈ caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="alg1.l2.2" style="font-size:80%;"> </span> </div> <div class="ltx_listingline" id="alg1.l3"> <span class="ltx_tag ltx_tag_listingline"><span class="ltx_text" id="alg1.l3.1.1.1" style="font-size:80%;">3:</span></span><span class="ltx_text" id="alg1.l3.2" style="font-size:80%;">Define </span><math alttext="\mathfrak{C}_{\mathcal{N}}" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l3.m1.1"><semantics id="alg1.l3.m1.1a"><msub id="alg1.l3.m1.1.1" xref="alg1.l3.m1.1.1.cmml"><mi id="alg1.l3.m1.1.1.2" mathsize="80%" xref="alg1.l3.m1.1.1.2.cmml">ℭ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="alg1.l3.m1.1.1.3" mathsize="80%" xref="alg1.l3.m1.1.1.3.cmml">𝒩</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.l3.m1.1b"><apply id="alg1.l3.m1.1.1.cmml" xref="alg1.l3.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l3.m1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l3.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="alg1.l3.m1.1.1.2.cmml" xref="alg1.l3.m1.1.1.2">ℭ</ci><ci id="alg1.l3.m1.1.1.3.cmml" xref="alg1.l3.m1.1.1.3">𝒩</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l3.m1.1c">\mathfrak{C}_{\mathcal{N}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l3.m1.1d">fraktur_C start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="alg1.l3.3" style="font-size:80%;"> by (</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E18" style="font-size:80%;" title="Equation 18 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">18</span></a><span class="ltx_text" id="alg1.l3.4" style="font-size:80%;">). </span> </div> <div class="ltx_listingline" id="alg1.l4"> <span class="ltx_tag ltx_tag_listingline"><span class="ltx_text" id="alg1.l4.1.1.1" style="font-size:80%;">4:</span></span><span class="ltx_text" id="alg1.l4.2" style="font-size:80%;">Set </span><math alttext="\mathfrak{C}_{-1}\coloneqq[\mathbf{0},\ldots,\mathbf{0}]" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l4.m1.3"><semantics id="alg1.l4.m1.3a"><mrow id="alg1.l4.m1.3.4" xref="alg1.l4.m1.3.4.cmml"><msub id="alg1.l4.m1.3.4.2" xref="alg1.l4.m1.3.4.2.cmml"><mi id="alg1.l4.m1.3.4.2.2" mathsize="80%" xref="alg1.l4.m1.3.4.2.2.cmml">ℭ</mi><mrow id="alg1.l4.m1.3.4.2.3" xref="alg1.l4.m1.3.4.2.3.cmml"><mo id="alg1.l4.m1.3.4.2.3a" mathsize="80%" xref="alg1.l4.m1.3.4.2.3.cmml">−</mo><mn id="alg1.l4.m1.3.4.2.3.2" mathsize="80%" xref="alg1.l4.m1.3.4.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="alg1.l4.m1.3.4.1" mathsize="80%" xref="alg1.l4.m1.3.4.1.cmml">≔</mo><mrow id="alg1.l4.m1.3.4.3.2" xref="alg1.l4.m1.3.4.3.1.cmml"><mo id="alg1.l4.m1.3.4.3.2.1" maxsize="80%" minsize="80%" xref="alg1.l4.m1.3.4.3.1.cmml">[</mo><mn id="alg1.l4.m1.1.1" mathsize="80%" xref="alg1.l4.m1.1.1.cmml">𝟎</mn><mo id="alg1.l4.m1.3.4.3.2.2" mathsize="80%" xref="alg1.l4.m1.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="alg1.l4.m1.2.2" mathsize="80%" mathvariant="normal" xref="alg1.l4.m1.2.2.cmml">…</mi><mo id="alg1.l4.m1.3.4.3.2.3" mathsize="80%" xref="alg1.l4.m1.3.4.3.1.cmml">,</mo><mn id="alg1.l4.m1.3.3" mathsize="80%" xref="alg1.l4.m1.3.3.cmml">𝟎</mn><mo id="alg1.l4.m1.3.4.3.2.4" maxsize="80%" minsize="80%" xref="alg1.l4.m1.3.4.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.l4.m1.3b"><apply id="alg1.l4.m1.3.4.cmml" xref="alg1.l4.m1.3.4"><ci id="alg1.l4.m1.3.4.1.cmml" xref="alg1.l4.m1.3.4.1">≔</ci><apply id="alg1.l4.m1.3.4.2.cmml" xref="alg1.l4.m1.3.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l4.m1.3.4.2.1.cmml" xref="alg1.l4.m1.3.4.2">subscript</csymbol><ci id="alg1.l4.m1.3.4.2.2.cmml" xref="alg1.l4.m1.3.4.2.2">ℭ</ci><apply id="alg1.l4.m1.3.4.2.3.cmml" xref="alg1.l4.m1.3.4.2.3"><minus id="alg1.l4.m1.3.4.2.3.1.cmml" xref="alg1.l4.m1.3.4.2.3"></minus><cn id="alg1.l4.m1.3.4.2.3.2.cmml" type="integer" xref="alg1.l4.m1.3.4.2.3.2">1</cn></apply></apply><list id="alg1.l4.m1.3.4.3.1.cmml" xref="alg1.l4.m1.3.4.3.2"><cn id="alg1.l4.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="alg1.l4.m1.1.1">0</cn><ci id="alg1.l4.m1.2.2.cmml" xref="alg1.l4.m1.2.2">…</ci><cn id="alg1.l4.m1.3.3.cmml" type="integer" xref="alg1.l4.m1.3.3">0</cn></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l4.m1.3c">\mathfrak{C}_{-1}\coloneqq[\mathbf{0},\ldots,\mathbf{0}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l4.m1.3d">fraktur_C start_POSTSUBSCRIPT - 1 end_POSTSUBSCRIPT ≔ [ bold_0 , … , bold_0 ]</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="alg1.l4.3" style="font-size:80%;">. Compute </span><math alttext="\mathfrak{C}_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l4.m2.1"><semantics id="alg1.l4.m2.1a"><msub id="alg1.l4.m2.1.1" xref="alg1.l4.m2.1.1.cmml"><mi id="alg1.l4.m2.1.1.2" mathsize="80%" xref="alg1.l4.m2.1.1.2.cmml">ℭ</mi><mn id="alg1.l4.m2.1.1.3" mathsize="80%" xref="alg1.l4.m2.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.l4.m2.1b"><apply id="alg1.l4.m2.1.1.cmml" xref="alg1.l4.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l4.m2.1.1.1.cmml" xref="alg1.l4.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="alg1.l4.m2.1.1.2.cmml" xref="alg1.l4.m2.1.1.2">ℭ</ci><cn id="alg1.l4.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="alg1.l4.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l4.m2.1c">\mathfrak{C}_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l4.m2.1d">fraktur_C start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="alg1.l4.4" style="font-size:80%;"> by (</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E22.1" style="font-size:80%;" title="Equation 22a ‣ Equation 22 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">22a</span></a><span class="ltx_text" id="alg1.l4.5" style="font-size:80%;">). </span> </div> <div class="ltx_listingline" id="alg1.l5"> <span class="ltx_tag ltx_tag_listingline"><span class="ltx_text" id="alg1.l5.1.1.1" style="font-size:80%;">5:</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="alg1.l5.2" style="font-size:80%;">for</span><span class="ltx_text" id="alg1.l5.3" style="font-size:80%;"> </span><math alttext="k=0,1,\ldots,\infty" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l5.m1.4"><semantics id="alg1.l5.m1.4a"><mrow id="alg1.l5.m1.4.5" xref="alg1.l5.m1.4.5.cmml"><mi id="alg1.l5.m1.4.5.2" mathsize="80%" xref="alg1.l5.m1.4.5.2.cmml">k</mi><mo id="alg1.l5.m1.4.5.1" mathsize="80%" xref="alg1.l5.m1.4.5.1.cmml">=</mo><mrow id="alg1.l5.m1.4.5.3.2" xref="alg1.l5.m1.4.5.3.1.cmml"><mn id="alg1.l5.m1.1.1" mathsize="80%" xref="alg1.l5.m1.1.1.cmml">0</mn><mo id="alg1.l5.m1.4.5.3.2.1" mathsize="80%" xref="alg1.l5.m1.4.5.3.1.cmml">,</mo><mn id="alg1.l5.m1.2.2" mathsize="80%" xref="alg1.l5.m1.2.2.cmml">1</mn><mo id="alg1.l5.m1.4.5.3.2.2" mathsize="80%" xref="alg1.l5.m1.4.5.3.1.cmml">,</mo><mi id="alg1.l5.m1.3.3" mathsize="80%" mathvariant="normal" xref="alg1.l5.m1.3.3.cmml">…</mi><mo id="alg1.l5.m1.4.5.3.2.3" mathsize="80%" xref="alg1.l5.m1.4.5.3.1.cmml">,</mo><mi id="alg1.l5.m1.4.4" mathsize="80%" mathvariant="normal" xref="alg1.l5.m1.4.4.cmml">∞</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.l5.m1.4b"><apply id="alg1.l5.m1.4.5.cmml" xref="alg1.l5.m1.4.5"><eq id="alg1.l5.m1.4.5.1.cmml" xref="alg1.l5.m1.4.5.1"></eq><ci id="alg1.l5.m1.4.5.2.cmml" xref="alg1.l5.m1.4.5.2">𝑘</ci><list id="alg1.l5.m1.4.5.3.1.cmml" xref="alg1.l5.m1.4.5.3.2"><cn id="alg1.l5.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="alg1.l5.m1.1.1">0</cn><cn id="alg1.l5.m1.2.2.cmml" type="integer" xref="alg1.l5.m1.2.2">1</cn><ci id="alg1.l5.m1.3.3.cmml" xref="alg1.l5.m1.3.3">…</ci><infinity id="alg1.l5.m1.4.4.cmml" xref="alg1.l5.m1.4.4"></infinity></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l5.m1.4c">k=0,1,\ldots,\infty</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l5.m1.4d">italic_k = 0 , 1 , … , ∞</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="alg1.l5.4" style="font-size:80%;"> </span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="alg1.l5.5" style="font-size:80%;">do</span><span class="ltx_text" id="alg1.l5.6" style="font-size:80%;"> </span> </div> <div class="ltx_listingline" id="alg1.l6"> <span class="ltx_tag ltx_tag_listingline"><span class="ltx_text" id="alg1.l6.1.1.1" style="font-size:80%;">6:</span></span><span class="ltx_text" id="alg1.l6.2" style="font-size:80%;"> Estimates </span><math alttext="\mathfrak{C}_{kM}=(\,\mathbf{C}_{kM}^{(1)},\ldots,\mathbf{C}_{kM}^{(N)}\,)" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l6.m1.5"><semantics id="alg1.l6.m1.5a"><mrow id="alg1.l6.m1.5.5" xref="alg1.l6.m1.5.5.cmml"><msub id="alg1.l6.m1.5.5.4" xref="alg1.l6.m1.5.5.4.cmml"><mi id="alg1.l6.m1.5.5.4.2" mathsize="80%" xref="alg1.l6.m1.5.5.4.2.cmml">ℭ</mi><mrow id="alg1.l6.m1.5.5.4.3" xref="alg1.l6.m1.5.5.4.3.cmml"><mi id="alg1.l6.m1.5.5.4.3.2" mathsize="80%" xref="alg1.l6.m1.5.5.4.3.2.cmml">k</mi><mo id="alg1.l6.m1.5.5.4.3.1" xref="alg1.l6.m1.5.5.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="alg1.l6.m1.5.5.4.3.3" mathsize="80%" xref="alg1.l6.m1.5.5.4.3.3.cmml">M</mi></mrow></msub><mo id="alg1.l6.m1.5.5.3" mathsize="80%" xref="alg1.l6.m1.5.5.3.cmml">=</mo><mrow id="alg1.l6.m1.5.5.2.2" xref="alg1.l6.m1.5.5.2.3.cmml"><mo id="alg1.l6.m1.5.5.2.2.3" maxsize="80%" minsize="80%" rspace="0.170em" xref="alg1.l6.m1.5.5.2.3.cmml">(</mo><msubsup id="alg1.l6.m1.4.4.1.1.1" xref="alg1.l6.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="alg1.l6.m1.4.4.1.1.1.2.2" mathsize="80%" xref="alg1.l6.m1.4.4.1.1.1.2.2.cmml">𝐂</mi><mrow id="alg1.l6.m1.4.4.1.1.1.2.3" xref="alg1.l6.m1.4.4.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="alg1.l6.m1.4.4.1.1.1.2.3.2" mathsize="80%" xref="alg1.l6.m1.4.4.1.1.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="alg1.l6.m1.4.4.1.1.1.2.3.1" xref="alg1.l6.m1.4.4.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="alg1.l6.m1.4.4.1.1.1.2.3.3" mathsize="80%" xref="alg1.l6.m1.4.4.1.1.1.2.3.3.cmml">M</mi></mrow><mrow id="alg1.l6.m1.1.1.1.3" xref="alg1.l6.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mo id="alg1.l6.m1.1.1.1.3.1" maxsize="80%" minsize="80%" xref="alg1.l6.m1.4.4.1.1.1.cmml">(</mo><mn id="alg1.l6.m1.1.1.1.1" mathsize="80%" xref="alg1.l6.m1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="alg1.l6.m1.1.1.1.3.2" maxsize="80%" minsize="80%" xref="alg1.l6.m1.4.4.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="alg1.l6.m1.5.5.2.2.4" mathsize="80%" xref="alg1.l6.m1.5.5.2.3.cmml">,</mo><mi id="alg1.l6.m1.3.3" mathsize="80%" mathvariant="normal" xref="alg1.l6.m1.3.3.cmml">…</mi><mo id="alg1.l6.m1.5.5.2.2.5" mathsize="80%" xref="alg1.l6.m1.5.5.2.3.cmml">,</mo><msubsup id="alg1.l6.m1.5.5.2.2.2" xref="alg1.l6.m1.5.5.2.2.2.cmml"><mi id="alg1.l6.m1.5.5.2.2.2.2.2" mathsize="80%" xref="alg1.l6.m1.5.5.2.2.2.2.2.cmml">𝐂</mi><mrow id="alg1.l6.m1.5.5.2.2.2.2.3" xref="alg1.l6.m1.5.5.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="alg1.l6.m1.5.5.2.2.2.2.3.2" mathsize="80%" xref="alg1.l6.m1.5.5.2.2.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="alg1.l6.m1.5.5.2.2.2.2.3.1" xref="alg1.l6.m1.5.5.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="alg1.l6.m1.5.5.2.2.2.2.3.3" mathsize="80%" xref="alg1.l6.m1.5.5.2.2.2.2.3.3.cmml">M</mi></mrow><mrow id="alg1.l6.m1.2.2.1.3" xref="alg1.l6.m1.5.5.2.2.2.cmml"><mo id="alg1.l6.m1.2.2.1.3.1" maxsize="80%" minsize="80%" xref="alg1.l6.m1.5.5.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="alg1.l6.m1.2.2.1.1" mathsize="80%" xref="alg1.l6.m1.2.2.1.1.cmml">N</mi><mo id="alg1.l6.m1.2.2.1.3.2" maxsize="80%" minsize="80%" xref="alg1.l6.m1.5.5.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="alg1.l6.m1.5.5.2.2.6" maxsize="80%" minsize="80%" xref="alg1.l6.m1.5.5.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.l6.m1.5b"><apply id="alg1.l6.m1.5.5.cmml" xref="alg1.l6.m1.5.5"><eq id="alg1.l6.m1.5.5.3.cmml" xref="alg1.l6.m1.5.5.3"></eq><apply id="alg1.l6.m1.5.5.4.cmml" xref="alg1.l6.m1.5.5.4"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l6.m1.5.5.4.1.cmml" xref="alg1.l6.m1.5.5.4">subscript</csymbol><ci id="alg1.l6.m1.5.5.4.2.cmml" xref="alg1.l6.m1.5.5.4.2">ℭ</ci><apply id="alg1.l6.m1.5.5.4.3.cmml" xref="alg1.l6.m1.5.5.4.3"><times id="alg1.l6.m1.5.5.4.3.1.cmml" xref="alg1.l6.m1.5.5.4.3.1"></times><ci id="alg1.l6.m1.5.5.4.3.2.cmml" xref="alg1.l6.m1.5.5.4.3.2">𝑘</ci><ci id="alg1.l6.m1.5.5.4.3.3.cmml" xref="alg1.l6.m1.5.5.4.3.3">𝑀</ci></apply></apply><vector id="alg1.l6.m1.5.5.2.3.cmml" xref="alg1.l6.m1.5.5.2.2"><apply id="alg1.l6.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="alg1.l6.m1.4.4.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l6.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l6.m1.4.4.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="alg1.l6.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="alg1.l6.m1.4.4.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l6.m1.4.4.1.1.1.2.1.cmml" xref="alg1.l6.m1.4.4.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="alg1.l6.m1.4.4.1.1.1.2.2.cmml" xref="alg1.l6.m1.4.4.1.1.1.2.2">𝐂</ci><apply id="alg1.l6.m1.4.4.1.1.1.2.3.cmml" xref="alg1.l6.m1.4.4.1.1.1.2.3"><times id="alg1.l6.m1.4.4.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="alg1.l6.m1.4.4.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="alg1.l6.m1.4.4.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="alg1.l6.m1.4.4.1.1.1.2.3.2">𝑘</ci><ci id="alg1.l6.m1.4.4.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="alg1.l6.m1.4.4.1.1.1.2.3.3">𝑀</ci></apply></apply><cn id="alg1.l6.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="alg1.l6.m1.1.1.1.1">1</cn></apply><ci id="alg1.l6.m1.3.3.cmml" xref="alg1.l6.m1.3.3">…</ci><apply id="alg1.l6.m1.5.5.2.2.2.cmml" xref="alg1.l6.m1.5.5.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l6.m1.5.5.2.2.2.1.cmml" xref="alg1.l6.m1.5.5.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="alg1.l6.m1.5.5.2.2.2.2.cmml" xref="alg1.l6.m1.5.5.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l6.m1.5.5.2.2.2.2.1.cmml" xref="alg1.l6.m1.5.5.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="alg1.l6.m1.5.5.2.2.2.2.2.cmml" xref="alg1.l6.m1.5.5.2.2.2.2.2">𝐂</ci><apply id="alg1.l6.m1.5.5.2.2.2.2.3.cmml" xref="alg1.l6.m1.5.5.2.2.2.2.3"><times id="alg1.l6.m1.5.5.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="alg1.l6.m1.5.5.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="alg1.l6.m1.5.5.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="alg1.l6.m1.5.5.2.2.2.2.3.2">𝑘</ci><ci id="alg1.l6.m1.5.5.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="alg1.l6.m1.5.5.2.2.2.2.3.3">𝑀</ci></apply></apply><ci id="alg1.l6.m1.2.2.1.1.cmml" xref="alg1.l6.m1.2.2.1.1">𝑁</ci></apply></vector></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l6.m1.5c">\mathfrak{C}_{kM}=(\,\mathbf{C}_{kM}^{(1)},\ldots,\mathbf{C}_{kM}^{(N)}\,)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l6.m1.5d">fraktur_C start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_M end_POSTSUBSCRIPT = ( bold_C start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_M end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT , … , bold_C start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_M end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_N ) end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="alg1.l6.3" style="font-size:80%;"> are available to the agents. </span> </div> <div class="ltx_listingline" id="alg1.l7"> <span class="ltx_tag ltx_tag_listingline"><span class="ltx_text" id="alg1.l7.1.1.1" style="font-size:80%;">7:</span></span><span class="ltx_text" id="alg1.l7.2" style="font-size:80%;"> Compute </span><math alttext="\{\mathbf{\Psi}^{(n)}[k]\}_{n=1}^{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l7.m1.3"><semantics id="alg1.l7.m1.3a"><msubsup id="alg1.l7.m1.3.3" xref="alg1.l7.m1.3.3.cmml"><mrow id="alg1.l7.m1.3.3.1.1.1" xref="alg1.l7.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="alg1.l7.m1.3.3.1.1.1.2" maxsize="80%" minsize="80%" xref="alg1.l7.m1.3.3.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="alg1.l7.m1.3.3.1.1.1.1" xref="alg1.l7.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><msup id="alg1.l7.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="alg1.l7.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="alg1.l7.m1.3.3.1.1.1.1.2.2" mathsize="80%" xref="alg1.l7.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">𝚿</mi><mrow id="alg1.l7.m1.1.1.1.3" xref="alg1.l7.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="alg1.l7.m1.1.1.1.3.1" maxsize="80%" minsize="80%" xref="alg1.l7.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="alg1.l7.m1.1.1.1.1" mathsize="80%" xref="alg1.l7.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="alg1.l7.m1.1.1.1.3.2" maxsize="80%" minsize="80%" xref="alg1.l7.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="alg1.l7.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="alg1.l7.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="alg1.l7.m1.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="alg1.l7.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="alg1.l7.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.1" maxsize="80%" minsize="80%" xref="alg1.l7.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="alg1.l7.m1.2.2" mathsize="80%" xref="alg1.l7.m1.2.2.cmml">k</mi><mo id="alg1.l7.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2" maxsize="80%" minsize="80%" xref="alg1.l7.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="alg1.l7.m1.3.3.1.1.1.3" maxsize="80%" minsize="80%" xref="alg1.l7.m1.3.3.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><mrow id="alg1.l7.m1.3.3.1.3" xref="alg1.l7.m1.3.3.1.3.cmml"><mi id="alg1.l7.m1.3.3.1.3.2" mathsize="80%" xref="alg1.l7.m1.3.3.1.3.2.cmml">n</mi><mo id="alg1.l7.m1.3.3.1.3.1" mathsize="80%" xref="alg1.l7.m1.3.3.1.3.1.cmml">=</mo><mn id="alg1.l7.m1.3.3.1.3.3" mathsize="80%" xref="alg1.l7.m1.3.3.1.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="alg1.l7.m1.3.3.3" mathsize="80%" xref="alg1.l7.m1.3.3.3.cmml">N</mi></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.l7.m1.3b"><apply id="alg1.l7.m1.3.3.cmml" xref="alg1.l7.m1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l7.m1.3.3.2.cmml" xref="alg1.l7.m1.3.3">superscript</csymbol><apply id="alg1.l7.m1.3.3.1.cmml" xref="alg1.l7.m1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l7.m1.3.3.1.2.cmml" xref="alg1.l7.m1.3.3">subscript</csymbol><set id="alg1.l7.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="alg1.l7.m1.3.3.1.1.1"><apply id="alg1.l7.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l7.m1.3.3.1.1.1.1"><times id="alg1.l7.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l7.m1.3.3.1.1.1.1.1"></times><apply id="alg1.l7.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="alg1.l7.m1.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l7.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="alg1.l7.m1.3.3.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="alg1.l7.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="alg1.l7.m1.3.3.1.1.1.1.2.2">𝚿</ci><ci id="alg1.l7.m1.1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l7.m1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="alg1.l7.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="alg1.l7.m1.3.3.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="latexml" id="alg1.l7.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="alg1.l7.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="alg1.l7.m1.2.2.cmml" xref="alg1.l7.m1.2.2">𝑘</ci></apply></apply></set><apply id="alg1.l7.m1.3.3.1.3.cmml" xref="alg1.l7.m1.3.3.1.3"><eq id="alg1.l7.m1.3.3.1.3.1.cmml" xref="alg1.l7.m1.3.3.1.3.1"></eq><ci id="alg1.l7.m1.3.3.1.3.2.cmml" xref="alg1.l7.m1.3.3.1.3.2">𝑛</ci><cn id="alg1.l7.m1.3.3.1.3.3.cmml" type="integer" xref="alg1.l7.m1.3.3.1.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="alg1.l7.m1.3.3.3.cmml" xref="alg1.l7.m1.3.3.3">𝑁</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l7.m1.3c">\{\mathbf{\Psi}^{(n)}[k]\}_{n=1}^{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l7.m1.3d">{ bold_Ψ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ] } start_POSTSUBSCRIPT italic_n = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="alg1.l7.3" style="font-size:80%;"> by (</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E23" style="font-size:80%;" title="Equation 23 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">23</span></a><span class="ltx_text" id="alg1.l7.4" style="font-size:80%;">). </span> </div> <div class="ltx_listingline" id="alg1.l8"> <span class="ltx_tag ltx_tag_listingline"><span class="ltx_text" id="alg1.l8.1.1.1" style="font-size:80%;">8:</span></span><span class="ltx_text" id="alg1.l8.2" style="font-size:80%;"> Compute </span><math alttext="\mathbf{T}(\mathfrak{Q}[k])" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l8.m1.2"><semantics id="alg1.l8.m1.2a"><mrow id="alg1.l8.m1.2.2" xref="alg1.l8.m1.2.2.cmml"><mi id="alg1.l8.m1.2.2.3" mathsize="80%" xref="alg1.l8.m1.2.2.3.cmml">𝐓</mi><mo id="alg1.l8.m1.2.2.2" xref="alg1.l8.m1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="alg1.l8.m1.2.2.1.1" xref="alg1.l8.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="alg1.l8.m1.2.2.1.1.2" maxsize="80%" minsize="80%" xref="alg1.l8.m1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="alg1.l8.m1.2.2.1.1.1" xref="alg1.l8.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="alg1.l8.m1.2.2.1.1.1.2" mathsize="80%" xref="alg1.l8.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">𝔔</mi><mo id="alg1.l8.m1.2.2.1.1.1.1" xref="alg1.l8.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="alg1.l8.m1.2.2.1.1.1.3.2" xref="alg1.l8.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="alg1.l8.m1.2.2.1.1.1.3.2.1" maxsize="80%" minsize="80%" xref="alg1.l8.m1.2.2.1.1.1.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="alg1.l8.m1.1.1" mathsize="80%" xref="alg1.l8.m1.1.1.cmml">k</mi><mo id="alg1.l8.m1.2.2.1.1.1.3.2.2" maxsize="80%" minsize="80%" xref="alg1.l8.m1.2.2.1.1.1.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="alg1.l8.m1.2.2.1.1.3" maxsize="80%" minsize="80%" xref="alg1.l8.m1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.l8.m1.2b"><apply id="alg1.l8.m1.2.2.cmml" xref="alg1.l8.m1.2.2"><times id="alg1.l8.m1.2.2.2.cmml" xref="alg1.l8.m1.2.2.2"></times><ci id="alg1.l8.m1.2.2.3.cmml" xref="alg1.l8.m1.2.2.3">𝐓</ci><apply id="alg1.l8.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="alg1.l8.m1.2.2.1.1"><times id="alg1.l8.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l8.m1.2.2.1.1.1.1"></times><ci id="alg1.l8.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="alg1.l8.m1.2.2.1.1.1.2">𝔔</ci><apply id="alg1.l8.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="alg1.l8.m1.2.2.1.1.1.3.2"><csymbol cd="latexml" id="alg1.l8.m1.2.2.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="alg1.l8.m1.2.2.1.1.1.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="alg1.l8.m1.1.1.cmml" xref="alg1.l8.m1.1.1">𝑘</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l8.m1.2c">\mathbf{T}(\mathfrak{Q}[k])</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l8.m1.2d">bold_T ( fraktur_Q [ italic_k ] )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="alg1.l8.3" style="font-size:80%;"> by (</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E10" style="font-size:80%;" title="Equation 10 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">10</span></a><span class="ltx_text" id="alg1.l8.4" style="font-size:80%;">). </span> </div> <div class="ltx_listingline" id="alg1.l9"> <span class="ltx_tag ltx_tag_listingline"><span class="ltx_text" id="alg1.l9.1.1.1" style="font-size:80%;">9:</span></span><span class="ltx_text" id="alg1.l9.2" style="font-size:80%;"> Set </span><math alttext="\mathfrak{Q}_{-1}[k]\coloneqq\mathfrak{Q}[k]" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l9.m1.2"><semantics id="alg1.l9.m1.2a"><mrow id="alg1.l9.m1.2.3" xref="alg1.l9.m1.2.3.cmml"><mrow id="alg1.l9.m1.2.3.2" xref="alg1.l9.m1.2.3.2.cmml"><msub id="alg1.l9.m1.2.3.2.2" xref="alg1.l9.m1.2.3.2.2.cmml"><mi id="alg1.l9.m1.2.3.2.2.2" mathsize="80%" xref="alg1.l9.m1.2.3.2.2.2.cmml">𝔔</mi><mrow id="alg1.l9.m1.2.3.2.2.3" xref="alg1.l9.m1.2.3.2.2.3.cmml"><mo id="alg1.l9.m1.2.3.2.2.3a" mathsize="80%" xref="alg1.l9.m1.2.3.2.2.3.cmml">−</mo><mn id="alg1.l9.m1.2.3.2.2.3.2" mathsize="80%" xref="alg1.l9.m1.2.3.2.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="alg1.l9.m1.2.3.2.1" xref="alg1.l9.m1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="alg1.l9.m1.2.3.2.3.2" xref="alg1.l9.m1.2.3.2.3.1.cmml"><mo id="alg1.l9.m1.2.3.2.3.2.1" maxsize="80%" minsize="80%" xref="alg1.l9.m1.2.3.2.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="alg1.l9.m1.1.1" mathsize="80%" xref="alg1.l9.m1.1.1.cmml">k</mi><mo id="alg1.l9.m1.2.3.2.3.2.2" maxsize="80%" minsize="80%" xref="alg1.l9.m1.2.3.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="alg1.l9.m1.2.3.1" mathsize="80%" xref="alg1.l9.m1.2.3.1.cmml">≔</mo><mrow id="alg1.l9.m1.2.3.3" xref="alg1.l9.m1.2.3.3.cmml"><mi id="alg1.l9.m1.2.3.3.2" mathsize="80%" xref="alg1.l9.m1.2.3.3.2.cmml">𝔔</mi><mo id="alg1.l9.m1.2.3.3.1" xref="alg1.l9.m1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="alg1.l9.m1.2.3.3.3.2" xref="alg1.l9.m1.2.3.3.3.1.cmml"><mo id="alg1.l9.m1.2.3.3.3.2.1" maxsize="80%" minsize="80%" xref="alg1.l9.m1.2.3.3.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="alg1.l9.m1.2.2" mathsize="80%" xref="alg1.l9.m1.2.2.cmml">k</mi><mo id="alg1.l9.m1.2.3.3.3.2.2" maxsize="80%" minsize="80%" xref="alg1.l9.m1.2.3.3.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.l9.m1.2b"><apply id="alg1.l9.m1.2.3.cmml" xref="alg1.l9.m1.2.3"><ci id="alg1.l9.m1.2.3.1.cmml" xref="alg1.l9.m1.2.3.1">≔</ci><apply id="alg1.l9.m1.2.3.2.cmml" xref="alg1.l9.m1.2.3.2"><times id="alg1.l9.m1.2.3.2.1.cmml" xref="alg1.l9.m1.2.3.2.1"></times><apply id="alg1.l9.m1.2.3.2.2.cmml" xref="alg1.l9.m1.2.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l9.m1.2.3.2.2.1.cmml" xref="alg1.l9.m1.2.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="alg1.l9.m1.2.3.2.2.2.cmml" xref="alg1.l9.m1.2.3.2.2.2">𝔔</ci><apply id="alg1.l9.m1.2.3.2.2.3.cmml" xref="alg1.l9.m1.2.3.2.2.3"><minus id="alg1.l9.m1.2.3.2.2.3.1.cmml" xref="alg1.l9.m1.2.3.2.2.3"></minus><cn id="alg1.l9.m1.2.3.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="alg1.l9.m1.2.3.2.2.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="alg1.l9.m1.2.3.2.3.1.cmml" xref="alg1.l9.m1.2.3.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="alg1.l9.m1.2.3.2.3.1.1.cmml" xref="alg1.l9.m1.2.3.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="alg1.l9.m1.1.1.cmml" xref="alg1.l9.m1.1.1">𝑘</ci></apply></apply><apply id="alg1.l9.m1.2.3.3.cmml" xref="alg1.l9.m1.2.3.3"><times id="alg1.l9.m1.2.3.3.1.cmml" xref="alg1.l9.m1.2.3.3.1"></times><ci id="alg1.l9.m1.2.3.3.2.cmml" xref="alg1.l9.m1.2.3.3.2">𝔔</ci><apply id="alg1.l9.m1.2.3.3.3.1.cmml" xref="alg1.l9.m1.2.3.3.3.2"><csymbol cd="latexml" id="alg1.l9.m1.2.3.3.3.1.1.cmml" xref="alg1.l9.m1.2.3.3.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="alg1.l9.m1.2.2.cmml" xref="alg1.l9.m1.2.2">𝑘</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l9.m1.2c">\mathfrak{Q}_{-1}[k]\coloneqq\mathfrak{Q}[k]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l9.m1.2d">fraktur_Q start_POSTSUBSCRIPT - 1 end_POSTSUBSCRIPT [ italic_k ] ≔ fraktur_Q [ italic_k ]</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="alg1.l9.3" style="font-size:80%;">. Compute </span><math alttext="\mathfrak{Q}_{0}[k]" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l9.m2.1"><semantics id="alg1.l9.m2.1a"><mrow id="alg1.l9.m2.1.2" xref="alg1.l9.m2.1.2.cmml"><msub id="alg1.l9.m2.1.2.2" xref="alg1.l9.m2.1.2.2.cmml"><mi id="alg1.l9.m2.1.2.2.2" mathsize="80%" xref="alg1.l9.m2.1.2.2.2.cmml">𝔔</mi><mn id="alg1.l9.m2.1.2.2.3" mathsize="80%" xref="alg1.l9.m2.1.2.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="alg1.l9.m2.1.2.1" xref="alg1.l9.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="alg1.l9.m2.1.2.3.2" xref="alg1.l9.m2.1.2.3.1.cmml"><mo id="alg1.l9.m2.1.2.3.2.1" maxsize="80%" minsize="80%" xref="alg1.l9.m2.1.2.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="alg1.l9.m2.1.1" mathsize="80%" xref="alg1.l9.m2.1.1.cmml">k</mi><mo id="alg1.l9.m2.1.2.3.2.2" maxsize="80%" minsize="80%" xref="alg1.l9.m2.1.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.l9.m2.1b"><apply id="alg1.l9.m2.1.2.cmml" xref="alg1.l9.m2.1.2"><times id="alg1.l9.m2.1.2.1.cmml" xref="alg1.l9.m2.1.2.1"></times><apply id="alg1.l9.m2.1.2.2.cmml" xref="alg1.l9.m2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l9.m2.1.2.2.1.cmml" xref="alg1.l9.m2.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="alg1.l9.m2.1.2.2.2.cmml" xref="alg1.l9.m2.1.2.2.2">𝔔</ci><cn id="alg1.l9.m2.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="alg1.l9.m2.1.2.2.3">0</cn></apply><apply id="alg1.l9.m2.1.2.3.1.cmml" xref="alg1.l9.m2.1.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="alg1.l9.m2.1.2.3.1.1.cmml" xref="alg1.l9.m2.1.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="alg1.l9.m2.1.1.cmml" xref="alg1.l9.m2.1.1">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l9.m2.1c">\mathfrak{Q}_{0}[k]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l9.m2.1d">fraktur_Q start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT [ italic_k ]</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="alg1.l9.4" style="font-size:80%;"> by (</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E15.1" style="font-size:80%;" title="Equation 15a ‣ Equation 15 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">15a</span></a><span class="ltx_text" id="alg1.l9.5" style="font-size:80%;">). </span> </div> <div class="ltx_listingline" id="alg1.l10"> <span class="ltx_tag ltx_tag_listingline"><span class="ltx_text" id="alg1.l10.2.1.1" style="font-size:80%;">10:</span></span><span class="ltx_text" id="alg1.l10.3" style="font-size:80%;"> </span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="alg1.l10.4" style="font-size:80%;">for</span><span class="ltx_text" id="alg1.l10.5" style="font-size:80%;"> </span><math alttext="m=0,1,\ldots,M-1" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l10.m1.4"><semantics id="alg1.l10.m1.4a"><mrow id="alg1.l10.m1.4.4" xref="alg1.l10.m1.4.4.cmml"><mi id="alg1.l10.m1.4.4.3" mathsize="80%" xref="alg1.l10.m1.4.4.3.cmml">m</mi><mo id="alg1.l10.m1.4.4.2" mathsize="80%" xref="alg1.l10.m1.4.4.2.cmml">=</mo><mrow id="alg1.l10.m1.4.4.1.1" xref="alg1.l10.m1.4.4.1.2.cmml"><mn id="alg1.l10.m1.1.1" mathsize="80%" xref="alg1.l10.m1.1.1.cmml">0</mn><mo id="alg1.l10.m1.4.4.1.1.2" mathsize="80%" xref="alg1.l10.m1.4.4.1.2.cmml">,</mo><mn id="alg1.l10.m1.2.2" mathsize="80%" xref="alg1.l10.m1.2.2.cmml">1</mn><mo id="alg1.l10.m1.4.4.1.1.3" mathsize="80%" xref="alg1.l10.m1.4.4.1.2.cmml">,</mo><mi id="alg1.l10.m1.3.3" mathsize="80%" mathvariant="normal" xref="alg1.l10.m1.3.3.cmml">…</mi><mo id="alg1.l10.m1.4.4.1.1.4" mathsize="80%" xref="alg1.l10.m1.4.4.1.2.cmml">,</mo><mrow id="alg1.l10.m1.4.4.1.1.1" xref="alg1.l10.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="alg1.l10.m1.4.4.1.1.1.2" mathsize="80%" xref="alg1.l10.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">M</mi><mo id="alg1.l10.m1.4.4.1.1.1.1" mathsize="80%" xref="alg1.l10.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="alg1.l10.m1.4.4.1.1.1.3" mathsize="80%" xref="alg1.l10.m1.4.4.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.l10.m1.4b"><apply id="alg1.l10.m1.4.4.cmml" xref="alg1.l10.m1.4.4"><eq id="alg1.l10.m1.4.4.2.cmml" xref="alg1.l10.m1.4.4.2"></eq><ci id="alg1.l10.m1.4.4.3.cmml" xref="alg1.l10.m1.4.4.3">𝑚</ci><list id="alg1.l10.m1.4.4.1.2.cmml" xref="alg1.l10.m1.4.4.1.1"><cn id="alg1.l10.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="alg1.l10.m1.1.1">0</cn><cn id="alg1.l10.m1.2.2.cmml" type="integer" xref="alg1.l10.m1.2.2">1</cn><ci id="alg1.l10.m1.3.3.cmml" xref="alg1.l10.m1.3.3">…</ci><apply id="alg1.l10.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="alg1.l10.m1.4.4.1.1.1"><minus id="alg1.l10.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l10.m1.4.4.1.1.1.1"></minus><ci id="alg1.l10.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="alg1.l10.m1.4.4.1.1.1.2">𝑀</ci><cn id="alg1.l10.m1.4.4.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="alg1.l10.m1.4.4.1.1.1.3">1</cn></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l10.m1.4c">m=0,1,\ldots,M-1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l10.m1.4d">italic_m = 0 , 1 , … , italic_M - 1</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="alg1.l10.6" style="font-size:80%;"> </span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="alg1.l10.7" style="font-size:80%;">do</span><span class="ltx_text" id="alg1.l10.8" style="font-size:80%;"> </span><span class="ltx_text" id="alg1.l10.1" style="font-size:80%;float:right;"><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="alg1.l10.1.1">\* Run (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E15.2" title="Equation 15b ‣ Equation 15 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">15b</span></a>) <math alttext="M" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l10.1.1.m1.1"><semantics id="alg1.l10.1.1.m1.1a"><mi id="alg1.l10.1.1.m1.1.1" xref="alg1.l10.1.1.m1.1.1.cmml">M</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.l10.1.1.m1.1b"><ci id="alg1.l10.1.1.m1.1.1.cmml" xref="alg1.l10.1.1.m1.1.1">𝑀</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l10.1.1.m1.1c">M</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l10.1.1.m1.1d">italic_M</annotation></semantics></math> times *\</span> </span> </div> <div class="ltx_listingline" id="alg1.l11"> <span class="ltx_tag ltx_tag_listingline"><span class="ltx_text" id="alg1.l11.1.1.1" style="font-size:80%;">11:</span></span><span class="ltx_text" id="alg1.l11.2" style="font-size:80%;"> Compute </span><math alttext="\mathfrak{Q}_{m+1}[k]" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l11.m1.1"><semantics id="alg1.l11.m1.1a"><mrow id="alg1.l11.m1.1.2" xref="alg1.l11.m1.1.2.cmml"><msub id="alg1.l11.m1.1.2.2" xref="alg1.l11.m1.1.2.2.cmml"><mi id="alg1.l11.m1.1.2.2.2" mathsize="80%" xref="alg1.l11.m1.1.2.2.2.cmml">𝔔</mi><mrow id="alg1.l11.m1.1.2.2.3" xref="alg1.l11.m1.1.2.2.3.cmml"><mi id="alg1.l11.m1.1.2.2.3.2" mathsize="80%" xref="alg1.l11.m1.1.2.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="alg1.l11.m1.1.2.2.3.1" mathsize="80%" xref="alg1.l11.m1.1.2.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="alg1.l11.m1.1.2.2.3.3" mathsize="80%" xref="alg1.l11.m1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="alg1.l11.m1.1.2.1" xref="alg1.l11.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="alg1.l11.m1.1.2.3.2" xref="alg1.l11.m1.1.2.3.1.cmml"><mo id="alg1.l11.m1.1.2.3.2.1" maxsize="80%" minsize="80%" xref="alg1.l11.m1.1.2.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="alg1.l11.m1.1.1" mathsize="80%" xref="alg1.l11.m1.1.1.cmml">k</mi><mo id="alg1.l11.m1.1.2.3.2.2" maxsize="80%" minsize="80%" xref="alg1.l11.m1.1.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.l11.m1.1b"><apply id="alg1.l11.m1.1.2.cmml" xref="alg1.l11.m1.1.2"><times id="alg1.l11.m1.1.2.1.cmml" xref="alg1.l11.m1.1.2.1"></times><apply id="alg1.l11.m1.1.2.2.cmml" xref="alg1.l11.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l11.m1.1.2.2.1.cmml" xref="alg1.l11.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="alg1.l11.m1.1.2.2.2.cmml" xref="alg1.l11.m1.1.2.2.2">𝔔</ci><apply id="alg1.l11.m1.1.2.2.3.cmml" xref="alg1.l11.m1.1.2.2.3"><plus id="alg1.l11.m1.1.2.2.3.1.cmml" xref="alg1.l11.m1.1.2.2.3.1"></plus><ci id="alg1.l11.m1.1.2.2.3.2.cmml" xref="alg1.l11.m1.1.2.2.3.2">𝑚</ci><cn id="alg1.l11.m1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="alg1.l11.m1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="alg1.l11.m1.1.2.3.1.cmml" xref="alg1.l11.m1.1.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="alg1.l11.m1.1.2.3.1.1.cmml" xref="alg1.l11.m1.1.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="alg1.l11.m1.1.1.cmml" xref="alg1.l11.m1.1.1">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l11.m1.1c">\mathfrak{Q}_{m+1}[k]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l11.m1.1d">fraktur_Q start_POSTSUBSCRIPT italic_m + 1 end_POSTSUBSCRIPT [ italic_k ]</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="alg1.l11.3" style="font-size:80%;"> by (</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E15.2" style="font-size:80%;" title="Equation 15b ‣ Equation 15 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">15b</span></a><span class="ltx_text" id="alg1.l11.4" style="font-size:80%;">). </span> </div> <div class="ltx_listingline" id="alg1.l12"> <span class="ltx_tag ltx_tag_listingline"><span class="ltx_text" id="alg1.l12.1.1.1" style="font-size:80%;">12:</span></span><span class="ltx_text" id="alg1.l12.2" style="font-size:80%;"> Define index </span><math alttext="l\coloneqq kM+m" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l12.m1.1"><semantics id="alg1.l12.m1.1a"><mrow id="alg1.l12.m1.1.1" xref="alg1.l12.m1.1.1.cmml"><mi id="alg1.l12.m1.1.1.2" mathsize="80%" xref="alg1.l12.m1.1.1.2.cmml">l</mi><mo id="alg1.l12.m1.1.1.1" mathsize="80%" xref="alg1.l12.m1.1.1.1.cmml">≔</mo><mrow id="alg1.l12.m1.1.1.3" xref="alg1.l12.m1.1.1.3.cmml"><mrow id="alg1.l12.m1.1.1.3.2" xref="alg1.l12.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="alg1.l12.m1.1.1.3.2.2" mathsize="80%" xref="alg1.l12.m1.1.1.3.2.2.cmml">k</mi><mo id="alg1.l12.m1.1.1.3.2.1" xref="alg1.l12.m1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="alg1.l12.m1.1.1.3.2.3" mathsize="80%" xref="alg1.l12.m1.1.1.3.2.3.cmml">M</mi></mrow><mo id="alg1.l12.m1.1.1.3.1" mathsize="80%" xref="alg1.l12.m1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mi id="alg1.l12.m1.1.1.3.3" mathsize="80%" xref="alg1.l12.m1.1.1.3.3.cmml">m</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.l12.m1.1b"><apply id="alg1.l12.m1.1.1.cmml" xref="alg1.l12.m1.1.1"><ci id="alg1.l12.m1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l12.m1.1.1.1">≔</ci><ci id="alg1.l12.m1.1.1.2.cmml" xref="alg1.l12.m1.1.1.2">𝑙</ci><apply id="alg1.l12.m1.1.1.3.cmml" xref="alg1.l12.m1.1.1.3"><plus id="alg1.l12.m1.1.1.3.1.cmml" xref="alg1.l12.m1.1.1.3.1"></plus><apply id="alg1.l12.m1.1.1.3.2.cmml" xref="alg1.l12.m1.1.1.3.2"><times id="alg1.l12.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="alg1.l12.m1.1.1.3.2.1"></times><ci id="alg1.l12.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="alg1.l12.m1.1.1.3.2.2">𝑘</ci><ci id="alg1.l12.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="alg1.l12.m1.1.1.3.2.3">𝑀</ci></apply><ci id="alg1.l12.m1.1.1.3.3.cmml" xref="alg1.l12.m1.1.1.3.3">𝑚</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l12.m1.1c">l\coloneqq kM+m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l12.m1.1d">italic_l ≔ italic_k italic_M + italic_m</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="alg1.l12.3" style="font-size:80%;">. </span> </div> <div class="ltx_listingline" id="alg1.l13"> <span class="ltx_tag ltx_tag_listingline"><span class="ltx_text" id="alg1.l13.1.1.1" style="font-size:80%;">13:</span></span><span class="ltx_text" id="alg1.l13.2" style="font-size:80%;"> </span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="alg1.l13.3" style="font-size:80%;">if</span><span class="ltx_text" id="alg1.l13.4" style="font-size:80%;"> </span><math alttext="(m\!\mod J_{C})=0" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l13.m1.1"><semantics id="alg1.l13.m1.1a"><mrow id="alg1.l13.m1.1.1" xref="alg1.l13.m1.1.1.cmml"><mrow id="alg1.l13.m1.1.1.1.1" xref="alg1.l13.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="alg1.l13.m1.1.1.1.1.2" maxsize="80%" minsize="80%" xref="alg1.l13.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="alg1.l13.m1.1.1.1.1.1" xref="alg1.l13.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="alg1.l13.m1.1.1.1.1.1.2" mathsize="80%" xref="alg1.l13.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">m</mi><mo id="alg1.l13.m1.1.1.1.1.1.1" lspace="0.108em" mathsize="80%" xref="alg1.l13.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">mod</mo><msub id="alg1.l13.m1.1.1.1.1.1.3" xref="alg1.l13.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="alg1.l13.m1.1.1.1.1.1.3.2" mathsize="80%" xref="alg1.l13.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">J</mi><mi id="alg1.l13.m1.1.1.1.1.1.3.3" mathsize="80%" xref="alg1.l13.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">C</mi></msub></mrow><mo id="alg1.l13.m1.1.1.1.1.3" maxsize="80%" minsize="80%" xref="alg1.l13.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="alg1.l13.m1.1.1.2" mathsize="80%" xref="alg1.l13.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mn id="alg1.l13.m1.1.1.3" mathsize="80%" xref="alg1.l13.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.l13.m1.1b"><apply id="alg1.l13.m1.1.1.cmml" xref="alg1.l13.m1.1.1"><eq id="alg1.l13.m1.1.1.2.cmml" xref="alg1.l13.m1.1.1.2"></eq><apply id="alg1.l13.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l13.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="alg1.l13.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l13.m1.1.1.1.1.1.1">modulo</csymbol><ci id="alg1.l13.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="alg1.l13.m1.1.1.1.1.1.2">𝑚</ci><apply id="alg1.l13.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="alg1.l13.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l13.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="alg1.l13.m1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="alg1.l13.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="alg1.l13.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝐽</ci><ci id="alg1.l13.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="alg1.l13.m1.1.1.1.1.1.3.3">𝐶</ci></apply></apply><cn id="alg1.l13.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="alg1.l13.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l13.m1.1c">(m\!\mod J_{C})=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l13.m1.1d">( italic_m roman_mod italic_J start_POSTSUBSCRIPT italic_C end_POSTSUBSCRIPT ) = 0</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="alg1.l13.5" style="font-size:80%;"> </span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="alg1.l13.6" style="font-size:80%;">then</span><span class="ltx_text" id="alg1.l13.7" style="font-size:80%;"> </span> </div> <div class="ltx_listingline" id="alg1.l14"> <span class="ltx_tag ltx_tag_listingline"><span class="ltx_text" id="alg1.l14.2.1.1" style="font-size:80%;">14:</span></span><span class="ltx_text" id="alg1.l14.3" style="font-size:80%;"> </span><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="alg1.l14.1" style="font-size:80%;">\* Run (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E22.2" title="Equation 22b ‣ Equation 22 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">22b</span></a>) once every <math alttext="J_{C}" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l14.1.m1.1"><semantics id="alg1.l14.1.m1.1a"><msub id="alg1.l14.1.m1.1.1" xref="alg1.l14.1.m1.1.1.cmml"><mi id="alg1.l14.1.m1.1.1.2" xref="alg1.l14.1.m1.1.1.2.cmml">J</mi><mi id="alg1.l14.1.m1.1.1.3" xref="alg1.l14.1.m1.1.1.3.cmml">C</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.l14.1.m1.1b"><apply id="alg1.l14.1.m1.1.1.cmml" xref="alg1.l14.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l14.1.m1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l14.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="alg1.l14.1.m1.1.1.2.cmml" xref="alg1.l14.1.m1.1.1.2">𝐽</ci><ci id="alg1.l14.1.m1.1.1.3.cmml" xref="alg1.l14.1.m1.1.1.3">𝐶</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l14.1.m1.1c">J_{C}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l14.1.m1.1d">italic_J start_POSTSUBSCRIPT italic_C end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> times: *\</span><span class="ltx_text" id="alg1.l14.4" style="font-size:80%;"> </span> </div> <div class="ltx_listingline" id="alg1.l15"> <span class="ltx_tag ltx_tag_listingline"><span class="ltx_text" id="alg1.l15.1.1.1" style="font-size:80%;">15:</span></span><span class="ltx_text" id="alg1.l15.2" style="font-size:80%;"> Compute </span><math alttext="\mathfrak{C}_{l+1}" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l15.m1.1"><semantics id="alg1.l15.m1.1a"><msub id="alg1.l15.m1.1.1" xref="alg1.l15.m1.1.1.cmml"><mi id="alg1.l15.m1.1.1.2" mathsize="80%" xref="alg1.l15.m1.1.1.2.cmml">ℭ</mi><mrow id="alg1.l15.m1.1.1.3" xref="alg1.l15.m1.1.1.3.cmml"><mi id="alg1.l15.m1.1.1.3.2" mathsize="80%" xref="alg1.l15.m1.1.1.3.2.cmml">l</mi><mo id="alg1.l15.m1.1.1.3.1" mathsize="80%" xref="alg1.l15.m1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mn id="alg1.l15.m1.1.1.3.3" mathsize="80%" xref="alg1.l15.m1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.l15.m1.1b"><apply id="alg1.l15.m1.1.1.cmml" xref="alg1.l15.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l15.m1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l15.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="alg1.l15.m1.1.1.2.cmml" xref="alg1.l15.m1.1.1.2">ℭ</ci><apply id="alg1.l15.m1.1.1.3.cmml" xref="alg1.l15.m1.1.1.3"><plus id="alg1.l15.m1.1.1.3.1.cmml" xref="alg1.l15.m1.1.1.3.1"></plus><ci id="alg1.l15.m1.1.1.3.2.cmml" xref="alg1.l15.m1.1.1.3.2">𝑙</ci><cn id="alg1.l15.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="alg1.l15.m1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l15.m1.1c">\mathfrak{C}_{l+1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l15.m1.1d">fraktur_C start_POSTSUBSCRIPT italic_l + 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="alg1.l15.3" style="font-size:80%;"> by (</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E22.2" style="font-size:80%;" title="Equation 22b ‣ Equation 22 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">22b</span></a><span class="ltx_text" id="alg1.l15.4" style="font-size:80%;">). </span> </div> <div class="ltx_listingline" id="alg1.l16"> <span class="ltx_tag ltx_tag_listingline"><span class="ltx_text" id="alg1.l16.1.1.1" style="font-size:80%;">16:</span></span><span class="ltx_text" id="alg1.l16.2" style="font-size:80%;"> </span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="alg1.l16.3" style="font-size:80%;">else</span> </div> <div class="ltx_listingline" id="alg1.l17"> <span class="ltx_tag ltx_tag_listingline"><span class="ltx_text" id="alg1.l17.1.1.1" style="font-size:80%;">17:</span></span><span class="ltx_text" id="alg1.l17.2" style="font-size:80%;"> Set </span><math alttext="\mathfrak{C}_{l+1}\coloneqq\mathfrak{C}_{l}" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l17.m1.1"><semantics id="alg1.l17.m1.1a"><mrow id="alg1.l17.m1.1.1" xref="alg1.l17.m1.1.1.cmml"><msub id="alg1.l17.m1.1.1.2" xref="alg1.l17.m1.1.1.2.cmml"><mi id="alg1.l17.m1.1.1.2.2" mathsize="80%" xref="alg1.l17.m1.1.1.2.2.cmml">ℭ</mi><mrow id="alg1.l17.m1.1.1.2.3" xref="alg1.l17.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="alg1.l17.m1.1.1.2.3.2" mathsize="80%" xref="alg1.l17.m1.1.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="alg1.l17.m1.1.1.2.3.1" mathsize="80%" xref="alg1.l17.m1.1.1.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="alg1.l17.m1.1.1.2.3.3" mathsize="80%" xref="alg1.l17.m1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="alg1.l17.m1.1.1.1" mathsize="80%" xref="alg1.l17.m1.1.1.1.cmml">≔</mo><msub id="alg1.l17.m1.1.1.3" xref="alg1.l17.m1.1.1.3.cmml"><mi id="alg1.l17.m1.1.1.3.2" mathsize="80%" xref="alg1.l17.m1.1.1.3.2.cmml">ℭ</mi><mi id="alg1.l17.m1.1.1.3.3" mathsize="80%" xref="alg1.l17.m1.1.1.3.3.cmml">l</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.l17.m1.1b"><apply id="alg1.l17.m1.1.1.cmml" xref="alg1.l17.m1.1.1"><ci id="alg1.l17.m1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l17.m1.1.1.1">≔</ci><apply id="alg1.l17.m1.1.1.2.cmml" xref="alg1.l17.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l17.m1.1.1.2.1.cmml" xref="alg1.l17.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="alg1.l17.m1.1.1.2.2.cmml" xref="alg1.l17.m1.1.1.2.2">ℭ</ci><apply id="alg1.l17.m1.1.1.2.3.cmml" xref="alg1.l17.m1.1.1.2.3"><plus id="alg1.l17.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="alg1.l17.m1.1.1.2.3.1"></plus><ci id="alg1.l17.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="alg1.l17.m1.1.1.2.3.2">𝑙</ci><cn id="alg1.l17.m1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="alg1.l17.m1.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="alg1.l17.m1.1.1.3.cmml" xref="alg1.l17.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l17.m1.1.1.3.1.cmml" xref="alg1.l17.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="alg1.l17.m1.1.1.3.2.cmml" xref="alg1.l17.m1.1.1.3.2">ℭ</ci><ci id="alg1.l17.m1.1.1.3.3.cmml" xref="alg1.l17.m1.1.1.3.3">𝑙</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l17.m1.1c">\mathfrak{C}_{l+1}\coloneqq\mathfrak{C}_{l}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l17.m1.1d">fraktur_C start_POSTSUBSCRIPT italic_l + 1 end_POSTSUBSCRIPT ≔ fraktur_C start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="alg1.l17.3" style="font-size:80%;"> and </span><math alttext="\mathfrak{C}_{l}\coloneqq\mathfrak{C}_{l-1}" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l17.m2.1"><semantics id="alg1.l17.m2.1a"><mrow id="alg1.l17.m2.1.1" xref="alg1.l17.m2.1.1.cmml"><msub id="alg1.l17.m2.1.1.2" xref="alg1.l17.m2.1.1.2.cmml"><mi id="alg1.l17.m2.1.1.2.2" mathsize="80%" xref="alg1.l17.m2.1.1.2.2.cmml">ℭ</mi><mi id="alg1.l17.m2.1.1.2.3" mathsize="80%" xref="alg1.l17.m2.1.1.2.3.cmml">l</mi></msub><mo id="alg1.l17.m2.1.1.1" mathsize="80%" xref="alg1.l17.m2.1.1.1.cmml">≔</mo><msub id="alg1.l17.m2.1.1.3" xref="alg1.l17.m2.1.1.3.cmml"><mi id="alg1.l17.m2.1.1.3.2" mathsize="80%" xref="alg1.l17.m2.1.1.3.2.cmml">ℭ</mi><mrow id="alg1.l17.m2.1.1.3.3" xref="alg1.l17.m2.1.1.3.3.cmml"><mi id="alg1.l17.m2.1.1.3.3.2" mathsize="80%" xref="alg1.l17.m2.1.1.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="alg1.l17.m2.1.1.3.3.1" mathsize="80%" xref="alg1.l17.m2.1.1.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="alg1.l17.m2.1.1.3.3.3" mathsize="80%" xref="alg1.l17.m2.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.l17.m2.1b"><apply id="alg1.l17.m2.1.1.cmml" xref="alg1.l17.m2.1.1"><ci id="alg1.l17.m2.1.1.1.cmml" xref="alg1.l17.m2.1.1.1">≔</ci><apply id="alg1.l17.m2.1.1.2.cmml" xref="alg1.l17.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l17.m2.1.1.2.1.cmml" xref="alg1.l17.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="alg1.l17.m2.1.1.2.2.cmml" xref="alg1.l17.m2.1.1.2.2">ℭ</ci><ci id="alg1.l17.m2.1.1.2.3.cmml" xref="alg1.l17.m2.1.1.2.3">𝑙</ci></apply><apply id="alg1.l17.m2.1.1.3.cmml" xref="alg1.l17.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l17.m2.1.1.3.1.cmml" xref="alg1.l17.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="alg1.l17.m2.1.1.3.2.cmml" xref="alg1.l17.m2.1.1.3.2">ℭ</ci><apply id="alg1.l17.m2.1.1.3.3.cmml" xref="alg1.l17.m2.1.1.3.3"><minus id="alg1.l17.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="alg1.l17.m2.1.1.3.3.1"></minus><ci id="alg1.l17.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="alg1.l17.m2.1.1.3.3.2">𝑙</ci><cn id="alg1.l17.m2.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="alg1.l17.m2.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l17.m2.1c">\mathfrak{C}_{l}\coloneqq\mathfrak{C}_{l-1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l17.m2.1d">fraktur_C start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ≔ fraktur_C start_POSTSUBSCRIPT italic_l - 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="alg1.l17.4" style="font-size:80%;">. </span> </div> <div class="ltx_listingline" id="alg1.l18"> <span class="ltx_tag ltx_tag_listingline"><span class="ltx_text" id="alg1.l18.1.1.1" style="font-size:80%;">18:</span></span><span class="ltx_text" id="alg1.l18.2" style="font-size:80%;"> </span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="alg1.l18.3" style="font-size:80%;">end</span><span class="ltx_text" id="alg1.l18.4" style="font-size:80%;"> </span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="alg1.l18.5" style="font-size:80%;">if</span><span class="ltx_text" id="alg1.l18.6" style="font-size:80%;"> </span> </div> <div class="ltx_listingline" id="alg1.l19"> <span class="ltx_tag ltx_tag_listingline"><span class="ltx_text" id="alg1.l19.1.1.1" style="font-size:80%;">19:</span></span><span class="ltx_text" id="alg1.l19.2" style="font-size:80%;"> </span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="alg1.l19.3" style="font-size:80%;">end</span><span class="ltx_text" id="alg1.l19.4" style="font-size:80%;"> </span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="alg1.l19.5" style="font-size:80%;">for</span><span class="ltx_text" id="alg1.l19.6" style="font-size:80%;"> </span> </div> <div class="ltx_listingline" id="alg1.l20"> <span class="ltx_tag ltx_tag_listingline"><span class="ltx_text" id="alg1.l20.1.1.1" style="font-size:80%;">20:</span></span><span class="ltx_text" id="alg1.l20.2" style="font-size:80%;"> </span><math alttext="\mathfrak{Q}[k+1]\coloneqq\mathfrak{Q}_{M}[k]" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l20.m1.2"><semantics id="alg1.l20.m1.2a"><mrow id="alg1.l20.m1.2.2" xref="alg1.l20.m1.2.2.cmml"><mrow id="alg1.l20.m1.2.2.1" xref="alg1.l20.m1.2.2.1.cmml"><mi id="alg1.l20.m1.2.2.1.3" mathsize="80%" xref="alg1.l20.m1.2.2.1.3.cmml">𝔔</mi><mo id="alg1.l20.m1.2.2.1.2" xref="alg1.l20.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="alg1.l20.m1.2.2.1.1.1" xref="alg1.l20.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="alg1.l20.m1.2.2.1.1.1.2" maxsize="80%" minsize="80%" xref="alg1.l20.m1.2.2.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="alg1.l20.m1.2.2.1.1.1.1" xref="alg1.l20.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="alg1.l20.m1.2.2.1.1.1.1.2" mathsize="80%" xref="alg1.l20.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="alg1.l20.m1.2.2.1.1.1.1.1" mathsize="80%" xref="alg1.l20.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="alg1.l20.m1.2.2.1.1.1.1.3" mathsize="80%" xref="alg1.l20.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="alg1.l20.m1.2.2.1.1.1.3" maxsize="80%" minsize="80%" xref="alg1.l20.m1.2.2.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="alg1.l20.m1.2.2.2" mathsize="80%" xref="alg1.l20.m1.2.2.2.cmml">≔</mo><mrow id="alg1.l20.m1.2.2.3" xref="alg1.l20.m1.2.2.3.cmml"><msub id="alg1.l20.m1.2.2.3.2" xref="alg1.l20.m1.2.2.3.2.cmml"><mi id="alg1.l20.m1.2.2.3.2.2" mathsize="80%" xref="alg1.l20.m1.2.2.3.2.2.cmml">𝔔</mi><mi id="alg1.l20.m1.2.2.3.2.3" mathsize="80%" xref="alg1.l20.m1.2.2.3.2.3.cmml">M</mi></msub><mo id="alg1.l20.m1.2.2.3.1" xref="alg1.l20.m1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="alg1.l20.m1.2.2.3.3.2" xref="alg1.l20.m1.2.2.3.3.1.cmml"><mo id="alg1.l20.m1.2.2.3.3.2.1" maxsize="80%" minsize="80%" xref="alg1.l20.m1.2.2.3.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="alg1.l20.m1.1.1" mathsize="80%" xref="alg1.l20.m1.1.1.cmml">k</mi><mo id="alg1.l20.m1.2.2.3.3.2.2" maxsize="80%" minsize="80%" xref="alg1.l20.m1.2.2.3.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.l20.m1.2b"><apply id="alg1.l20.m1.2.2.cmml" xref="alg1.l20.m1.2.2"><ci id="alg1.l20.m1.2.2.2.cmml" xref="alg1.l20.m1.2.2.2">≔</ci><apply id="alg1.l20.m1.2.2.1.cmml" xref="alg1.l20.m1.2.2.1"><times id="alg1.l20.m1.2.2.1.2.cmml" xref="alg1.l20.m1.2.2.1.2"></times><ci id="alg1.l20.m1.2.2.1.3.cmml" xref="alg1.l20.m1.2.2.1.3">𝔔</ci><apply id="alg1.l20.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="alg1.l20.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="alg1.l20.m1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="alg1.l20.m1.2.2.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="alg1.l20.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l20.m1.2.2.1.1.1.1"><plus id="alg1.l20.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l20.m1.2.2.1.1.1.1.1"></plus><ci id="alg1.l20.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="alg1.l20.m1.2.2.1.1.1.1.2">𝑘</ci><cn id="alg1.l20.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="alg1.l20.m1.2.2.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="alg1.l20.m1.2.2.3.cmml" xref="alg1.l20.m1.2.2.3"><times id="alg1.l20.m1.2.2.3.1.cmml" xref="alg1.l20.m1.2.2.3.1"></times><apply id="alg1.l20.m1.2.2.3.2.cmml" xref="alg1.l20.m1.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l20.m1.2.2.3.2.1.cmml" xref="alg1.l20.m1.2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="alg1.l20.m1.2.2.3.2.2.cmml" xref="alg1.l20.m1.2.2.3.2.2">𝔔</ci><ci id="alg1.l20.m1.2.2.3.2.3.cmml" xref="alg1.l20.m1.2.2.3.2.3">𝑀</ci></apply><apply id="alg1.l20.m1.2.2.3.3.1.cmml" xref="alg1.l20.m1.2.2.3.3.2"><csymbol cd="latexml" id="alg1.l20.m1.2.2.3.3.1.1.cmml" xref="alg1.l20.m1.2.2.3.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="alg1.l20.m1.1.1.cmml" xref="alg1.l20.m1.1.1">𝑘</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l20.m1.2c">\mathfrak{Q}[k+1]\coloneqq\mathfrak{Q}_{M}[k]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l20.m1.2d">fraktur_Q [ italic_k + 1 ] ≔ fraktur_Q start_POSTSUBSCRIPT italic_M end_POSTSUBSCRIPT [ italic_k ]</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="alg1.l20.3" style="font-size:80%;">. </span><span class="ltx_text" id="alg1.l20.4" style="font-size:80%;float:right;"><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="alg1.l20.4.1">\* VI update *\</span> </span> </div> <div class="ltx_listingline" id="alg1.l21"> <span class="ltx_tag ltx_tag_listingline"><span class="ltx_text" id="alg1.l21.1.1.1" style="font-size:80%;">21:</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="alg1.l21.2" style="font-size:80%;">end</span><span class="ltx_text" id="alg1.l21.3" style="font-size:80%;"> </span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="alg1.l21.4" style="font-size:80%;">for</span> </div> </div> </figure> </section> <section class="ltx_subsection" id="S3.SS3"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection"><span class="ltx_text" id="S3.SS3.7.1.1">III-C</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.SS3.8.2">Performance analysis of <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#alg1" title="In III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Algorithm</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a></span> </h3> <div class="ltx_para" id="S3.SS3.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.p1.5">First, consider the eigenvalue decomposition (EVD) of the Laplacian matrix <math alttext="\mathbf{L}=\mathbf{U}\operatorname{diag}(\lambda_{1},\ldots,\lambda_{N-1},% \lambda_{N})\mathbf{U}^{\intercal}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p1.1.m1.5"><semantics id="S3.SS3.p1.1.m1.5a"><mrow id="S3.SS3.p1.1.m1.5.5" xref="S3.SS3.p1.1.m1.5.5.cmml"><mi id="S3.SS3.p1.1.m1.5.5.5" xref="S3.SS3.p1.1.m1.5.5.5.cmml">𝐋</mi><mo id="S3.SS3.p1.1.m1.5.5.4" xref="S3.SS3.p1.1.m1.5.5.4.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS3.p1.1.m1.5.5.3" xref="S3.SS3.p1.1.m1.5.5.3.cmml"><mi id="S3.SS3.p1.1.m1.5.5.3.5" xref="S3.SS3.p1.1.m1.5.5.3.5.cmml">𝐔</mi><mo id="S3.SS3.p1.1.m1.5.5.3.4" lspace="0.167em" xref="S3.SS3.p1.1.m1.5.5.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS3.p1.1.m1.5.5.3.3.3" xref="S3.SS3.p1.1.m1.5.5.3.3.4.cmml"><mi id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.cmml">diag</mi><mo id="S3.SS3.p1.1.m1.5.5.3.3.3a" xref="S3.SS3.p1.1.m1.5.5.3.3.4.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.SS3.p1.1.m1.5.5.3.3.3.3" xref="S3.SS3.p1.1.m1.5.5.3.3.4.cmml"><mo id="S3.SS3.p1.1.m1.5.5.3.3.3.3.4" stretchy="false" xref="S3.SS3.p1.1.m1.5.5.3.3.4.cmml">(</mo><msub id="S3.SS3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">λ</mi><mn id="S3.SS3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.SS3.p1.1.m1.5.5.3.3.3.3.5" xref="S3.SS3.p1.1.m1.5.5.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.SS3.p1.1.m1.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS3.p1.1.m1.2.2.cmml">…</mi><mo id="S3.SS3.p1.1.m1.5.5.3.3.3.3.6" xref="S3.SS3.p1.1.m1.5.5.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="S3.SS3.p1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2" xref="S3.SS3.p1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS3.p1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.2" xref="S3.SS3.p1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.2.cmml">λ</mi><mrow id="S3.SS3.p1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.3" xref="S3.SS3.p1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.SS3.p1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.3.2" xref="S3.SS3.p1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.3.2.cmml">N</mi><mo id="S3.SS3.p1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.3.1" xref="S3.SS3.p1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.SS3.p1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.3.3" xref="S3.SS3.p1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S3.SS3.p1.1.m1.5.5.3.3.3.3.7" xref="S3.SS3.p1.1.m1.5.5.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="S3.SS3.p1.1.m1.5.5.3.3.3.3.3" xref="S3.SS3.p1.1.m1.5.5.3.3.3.3.3.cmml"><mi id="S3.SS3.p1.1.m1.5.5.3.3.3.3.3.2" xref="S3.SS3.p1.1.m1.5.5.3.3.3.3.3.2.cmml">λ</mi><mi id="S3.SS3.p1.1.m1.5.5.3.3.3.3.3.3" xref="S3.SS3.p1.1.m1.5.5.3.3.3.3.3.3.cmml">N</mi></msub><mo id="S3.SS3.p1.1.m1.5.5.3.3.3.3.8" stretchy="false" xref="S3.SS3.p1.1.m1.5.5.3.3.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS3.p1.1.m1.5.5.3.4a" xref="S3.SS3.p1.1.m1.5.5.3.4.cmml">⁢</mo><msup id="S3.SS3.p1.1.m1.5.5.3.6" xref="S3.SS3.p1.1.m1.5.5.3.6.cmml"><mi id="S3.SS3.p1.1.m1.5.5.3.6.2" xref="S3.SS3.p1.1.m1.5.5.3.6.2.cmml">𝐔</mi><mo id="S3.SS3.p1.1.m1.5.5.3.6.3" xref="S3.SS3.p1.1.m1.5.5.3.6.3.cmml">⊺</mo></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p1.1.m1.5b"><apply id="S3.SS3.p1.1.m1.5.5.cmml" xref="S3.SS3.p1.1.m1.5.5"><eq id="S3.SS3.p1.1.m1.5.5.4.cmml" xref="S3.SS3.p1.1.m1.5.5.4"></eq><ci 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alttext="\lVert\mathbf{L}\rVert_{2}=\lambda_{1}\geq\ldots\geq\lambda_{N-1}\geq\lambda_{% N}\geq 0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.SS3.p1.2.m2.1a"><mrow id="S3.SS3.p1.2.m2.1.2" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.2.cmml"><msub id="S3.SS3.p1.2.m2.1.2.2" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.2.2.cmml"><mrow id="S3.SS3.p1.2.m2.1.2.2.2.2" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.2.2.2.1.cmml"><mo fence="true" id="S3.SS3.p1.2.m2.1.2.2.2.2.1" rspace="0em" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.2.2.2.1.1.cmml">∥</mo><mi id="S3.SS3.p1.2.m2.1.1" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.cmml">𝐋</mi><mo fence="true" id="S3.SS3.p1.2.m2.1.2.2.2.2.2" lspace="0em" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.2.2.2.1.1.cmml">∥</mo></mrow><mn id="S3.SS3.p1.2.m2.1.2.2.3" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S3.SS3.p1.2.m2.1.2.3" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.2.3.cmml">=</mo><msub id="S3.SS3.p1.2.m2.1.2.4" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.2.4.cmml"><mi id="S3.SS3.p1.2.m2.1.2.4.2" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.2.4.2.cmml">λ</mi><mn id="S3.SS3.p1.2.m2.1.2.4.3" 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type="integer" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S3.SS3.p1.2.m2.1.2.4.cmml" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p1.2.m2.1.2.4.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p1.2.m2.1.2.4.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.2.4.2">𝜆</ci><cn id="S3.SS3.p1.2.m2.1.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.2.4.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.SS3.p1.2.m2.1.2c.cmml" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.2"><geq id="S3.SS3.p1.2.m2.1.2.5.cmml" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.2.5"></geq><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.SS3.p1.2.m2.1.2.4.cmml" id="S3.SS3.p1.2.m2.1.2d.cmml" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.2"></share><ci id="S3.SS3.p1.2.m2.1.2.6.cmml" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.2.6">…</ci></apply><apply id="S3.SS3.p1.2.m2.1.2e.cmml" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.2"><geq id="S3.SS3.p1.2.m2.1.2.7.cmml" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.2.7"></geq><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.SS3.p1.2.m2.1.2.6.cmml" id="S3.SS3.p1.2.m2.1.2f.cmml" 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id="S3.SS3.p1.2.m2.1.2.10.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.2.10">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p1.2.m2.1.2.10.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.2.10.2">𝜆</ci><ci id="S3.SS3.p1.2.m2.1.2.10.3.cmml" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.2.10.3">𝑁</ci></apply></apply><apply id="S3.SS3.p1.2.m2.1.2i.cmml" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.2"><geq id="S3.SS3.p1.2.m2.1.2.11.cmml" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.2.11"></geq><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.SS3.p1.2.m2.1.2.10.cmml" id="S3.SS3.p1.2.m2.1.2j.cmml" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.2"></share><cn id="S3.SS3.p1.2.m2.1.2.12.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.2.12">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p1.2.m2.1c">\lVert\mathbf{L}\rVert_{2}=\lambda_{1}\geq\ldots\geq\lambda_{N-1}\geq\lambda_{% N}\geq 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p1.2.m2.1d">∥ bold_L ∥ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT = italic_λ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ≥ … ≥ italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_N - 1 end_POSTSUBSCRIPT ≥ italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT ≥ 0</annotation></semantics></math>, and <math alttext="\mathbf{U}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p1.3.m3.1"><semantics id="S3.SS3.p1.3.m3.1a"><mi id="S3.SS3.p1.3.m3.1.1" xref="S3.SS3.p1.3.m3.1.1.cmml">𝐔</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p1.3.m3.1b"><ci id="S3.SS3.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.3.m3.1.1">𝐔</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p1.3.m3.1c">\mathbf{U}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p1.3.m3.1d">bold_U</annotation></semantics></math> is orthogonal. Because of the connectedness of <math alttext="\mathcal{G}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p1.4.m4.1"><semantics id="S3.SS3.p1.4.m4.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS3.p1.4.m4.1.1" xref="S3.SS3.p1.4.m4.1.1.cmml">𝒢</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p1.4.m4.1b"><ci id="S3.SS3.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.4.m4.1.1">𝒢</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p1.4.m4.1c">\mathcal{G}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p1.4.m4.1d">caligraphic_G</annotation></semantics></math> by <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S2.I1.i1" title="In Assumptions 1. ‣ II-B General assumptions for the decentralized setting ‣ II Distributed Reinforcement Learning ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Assumption</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">1(i)</span></a>, <math alttext="\lambda_{N-1}>\lambda_{N}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p1.5.m5.1"><semantics id="S3.SS3.p1.5.m5.1a"><mrow id="S3.SS3.p1.5.m5.1.1" xref="S3.SS3.p1.5.m5.1.1.cmml"><msub id="S3.SS3.p1.5.m5.1.1.2" xref="S3.SS3.p1.5.m5.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS3.p1.5.m5.1.1.2.2" xref="S3.SS3.p1.5.m5.1.1.2.2.cmml">λ</mi><mrow id="S3.SS3.p1.5.m5.1.1.2.3" xref="S3.SS3.p1.5.m5.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.SS3.p1.5.m5.1.1.2.3.2" xref="S3.SS3.p1.5.m5.1.1.2.3.2.cmml">N</mi><mo id="S3.SS3.p1.5.m5.1.1.2.3.1" xref="S3.SS3.p1.5.m5.1.1.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.SS3.p1.5.m5.1.1.2.3.3" xref="S3.SS3.p1.5.m5.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S3.SS3.p1.5.m5.1.1.3" xref="S3.SS3.p1.5.m5.1.1.3.cmml">></mo><msub id="S3.SS3.p1.5.m5.1.1.4" xref="S3.SS3.p1.5.m5.1.1.4.cmml"><mi id="S3.SS3.p1.5.m5.1.1.4.2" xref="S3.SS3.p1.5.m5.1.1.4.2.cmml">λ</mi><mi id="S3.SS3.p1.5.m5.1.1.4.3" xref="S3.SS3.p1.5.m5.1.1.4.3.cmml">N</mi></msub><mo id="S3.SS3.p1.5.m5.1.1.5" xref="S3.SS3.p1.5.m5.1.1.5.cmml">=</mo><mn id="S3.SS3.p1.5.m5.1.1.6" xref="S3.SS3.p1.5.m5.1.1.6.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p1.5.m5.1b"><apply id="S3.SS3.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.5.m5.1.1"><and id="S3.SS3.p1.5.m5.1.1a.cmml" xref="S3.SS3.p1.5.m5.1.1"></and><apply id="S3.SS3.p1.5.m5.1.1b.cmml" xref="S3.SS3.p1.5.m5.1.1"><gt id="S3.SS3.p1.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p1.5.m5.1.1.3"></gt><apply id="S3.SS3.p1.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.5.m5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p1.5.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.5.m5.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p1.5.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.5.m5.1.1.2.2">𝜆</ci><apply id="S3.SS3.p1.5.m5.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS3.p1.5.m5.1.1.2.3"><minus id="S3.SS3.p1.5.m5.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.5.m5.1.1.2.3.1"></minus><ci id="S3.SS3.p1.5.m5.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.5.m5.1.1.2.3.2">𝑁</ci><cn id="S3.SS3.p1.5.m5.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.p1.5.m5.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.SS3.p1.5.m5.1.1.4.cmml" xref="S3.SS3.p1.5.m5.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p1.5.m5.1.1.4.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.5.m5.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p1.5.m5.1.1.4.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.5.m5.1.1.4.2">𝜆</ci><ci id="S3.SS3.p1.5.m5.1.1.4.3.cmml" xref="S3.SS3.p1.5.m5.1.1.4.3">𝑁</ci></apply></apply><apply id="S3.SS3.p1.5.m5.1.1c.cmml" xref="S3.SS3.p1.5.m5.1.1"><eq id="S3.SS3.p1.5.m5.1.1.5.cmml" xref="S3.SS3.p1.5.m5.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.SS3.p1.5.m5.1.1.4.cmml" id="S3.SS3.p1.5.m5.1.1d.cmml" xref="S3.SS3.p1.5.m5.1.1"></share><cn id="S3.SS3.p1.5.m5.1.1.6.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.p1.5.m5.1.1.6">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p1.5.m5.1c">\lambda_{N-1}>\lambda_{N}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p1.5.m5.1d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_N - 1 end_POSTSUBSCRIPT > italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT = 0</annotation></semantics></math> <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib33" title="">33</a>, Lem. 4.3]</cite>. Define then</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A0.EGx28"> <tbody id="S3.E24"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle b_{n}\coloneqq\frac{\lambda_{n}}{\lambda_{1}}\,,\quad\forall n% \in\{1,\ldots,N\}\,," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E24.m1.4"><semantics id="S3.E24.m1.4a"><mrow id="S3.E24.m1.4.4.1"><mrow id="S3.E24.m1.4.4.1.1.2" xref="S3.E24.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E24.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S3.E24.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E24.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S3.E24.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E24.m1.4.4.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E24.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml">b</mi><mi id="S3.E24.m1.4.4.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E24.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S3.E24.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S3.E24.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">≔</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.E24.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="S3.E24.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S3.E24.m1.4.4.1.1.1.1.3a" xref="S3.E24.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S3.E24.m1.4.4.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E24.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E24.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E24.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.cmml">λ</mi><mi id="S3.E24.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.E24.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.cmml">n</mi></msub><msub id="S3.E24.m1.4.4.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E24.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E24.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E24.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.cmml">λ</mi><mn id="S3.E24.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.E24.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></msub></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S3.E24.m1.4.4.1.1.2.3" lspace="0.170em" rspace="1.167em" xref="S3.E24.m1.4.4.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.E24.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S3.E24.m1.4.4.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S3.E24.m1.4.4.1.1.2.2.2" xref="S3.E24.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="S3.E24.m1.4.4.1.1.2.2.2.1" rspace="0.167em" xref="S3.E24.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S3.E24.m1.4.4.1.1.2.2.2.2" xref="S3.E24.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.cmml">n</mi></mrow><mo id="S3.E24.m1.4.4.1.1.2.2.1" xref="S3.E24.m1.4.4.1.1.2.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.E24.m1.4.4.1.1.2.2.3.2" xref="S3.E24.m1.4.4.1.1.2.2.3.1.cmml"><mo id="S3.E24.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E24.m1.4.4.1.1.2.2.3.1.cmml">{</mo><mn id="S3.E24.m1.1.1" xref="S3.E24.m1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.E24.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.2" xref="S3.E24.m1.4.4.1.1.2.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E24.m1.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.E24.m1.2.2.cmml">…</mi><mo id="S3.E24.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.3" xref="S3.E24.m1.4.4.1.1.2.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E24.m1.3.3" xref="S3.E24.m1.3.3.cmml">N</mi><mo id="S3.E24.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.4" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S3.E24.m1.4.4.1.1.2.2.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E24.m1.4.4.1.2">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E24.m1.4b"><apply id="S3.E24.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S3.E24.m1.4.4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E24.m1.4.4.1.1.3a.cmml" xref="S3.E24.m1.4.4.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.E24.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E24.m1.4.4.1.1.1.1"><ci id="S3.E24.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E24.m1.4.4.1.1.1.1.1">≔</ci><apply id="S3.E24.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E24.m1.4.4.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E24.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E24.m1.4.4.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E24.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E24.m1.4.4.1.1.1.1.2.2">𝑏</ci><ci id="S3.E24.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E24.m1.4.4.1.1.1.1.2.3">𝑛</ci></apply><apply id="S3.E24.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E24.m1.4.4.1.1.1.1.3"><divide id="S3.E24.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E24.m1.4.4.1.1.1.1.3"></divide><apply id="S3.E24.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E24.m1.4.4.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E24.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E24.m1.4.4.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E24.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E24.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2">𝜆</ci><ci id="S3.E24.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E24.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3">𝑛</ci></apply><apply id="S3.E24.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E24.m1.4.4.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E24.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E24.m1.4.4.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E24.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E24.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2">𝜆</ci><cn id="S3.E24.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E24.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.E24.m1.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E24.m1.4.4.1.1.2.2"><in id="S3.E24.m1.4.4.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E24.m1.4.4.1.1.2.2.1"></in><apply id="S3.E24.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E24.m1.4.4.1.1.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.E24.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E24.m1.4.4.1.1.2.2.2.1">for-all</csymbol><ci id="S3.E24.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E24.m1.4.4.1.1.2.2.2.2">𝑛</ci></apply><set id="S3.E24.m1.4.4.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E24.m1.4.4.1.1.2.2.3.2"><cn id="S3.E24.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.E24.m1.1.1">1</cn><ci id="S3.E24.m1.2.2.cmml" xref="S3.E24.m1.2.2">…</ci><ci id="S3.E24.m1.3.3.cmml" xref="S3.E24.m1.3.3">𝑁</ci></set></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E24.m1.4c">\displaystyle b_{n}\coloneqq\frac{\lambda_{n}}{\lambda_{1}}\,,\quad\forall n% \in\{1,\ldots,N\}\,,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E24.m1.4d">italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ≔ divide start_ARG italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_λ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG , ∀ italic_n ∈ { 1 , … , italic_N } ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(24)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.p1.6">so that <math alttext="1=b_{1}\geq b_{2}\geq\ldots\geq b_{N-1}>b_{N}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p1.6.m1.1"><semantics id="S3.SS3.p1.6.m1.1a"><mrow id="S3.SS3.p1.6.m1.1.1" xref="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.cmml"><mn id="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.2" xref="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.3" xref="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.3.cmml">=</mo><msub id="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.4" xref="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.4.2" xref="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.4.2.cmml">b</mi><mn id="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.4.3" xref="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.4.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.5" xref="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.5.cmml">≥</mo><msub id="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.6" xref="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.6.cmml"><mi id="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.6.2" xref="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.6.2.cmml">b</mi><mn id="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.6.3" xref="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.6.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.7" xref="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.7.cmml">≥</mo><mi id="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.8" mathvariant="normal" xref="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.8.cmml">…</mi><mo id="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.9" xref="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.9.cmml">≥</mo><msub id="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.10" xref="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.10.cmml"><mi id="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.10.2" xref="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.10.2.cmml">b</mi><mrow id="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.10.3" xref="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.10.3.cmml"><mi id="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.10.3.2" xref="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.10.3.2.cmml">N</mi><mo id="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.10.3.1" xref="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.10.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.10.3.3" xref="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.10.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.11" xref="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.11.cmml">></mo><msub id="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.12" xref="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.12.cmml"><mi id="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.12.2" xref="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.12.2.cmml">b</mi><mi id="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.12.3" xref="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.12.3.cmml">N</mi></msub><mo id="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.13" xref="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.13.cmml">=</mo><mn id="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.14" xref="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.14.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p1.6.m1.1b"><apply id="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.6.m1.1.1"><and id="S3.SS3.p1.6.m1.1.1a.cmml" xref="S3.SS3.p1.6.m1.1.1"></and><apply id="S3.SS3.p1.6.m1.1.1b.cmml" xref="S3.SS3.p1.6.m1.1.1"><eq id="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.3"></eq><cn id="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.2">1</cn><apply id="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.4.cmml" xref="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.4.2">𝑏</ci><cn id="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.4.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.SS3.p1.6.m1.1.1c.cmml" xref="S3.SS3.p1.6.m1.1.1"><geq id="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.5.cmml" xref="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.5"></geq><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.SS3.p1.6.m1.1.1.4.cmml" id="S3.SS3.p1.6.m1.1.1d.cmml" xref="S3.SS3.p1.6.m1.1.1"></share><apply id="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.6.cmml" xref="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.6.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.6">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.6.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.6.2">𝑏</ci><cn id="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.6.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.6.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.SS3.p1.6.m1.1.1e.cmml" xref="S3.SS3.p1.6.m1.1.1"><geq id="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.7.cmml" xref="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.7"></geq><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.SS3.p1.6.m1.1.1.6.cmml" id="S3.SS3.p1.6.m1.1.1f.cmml" xref="S3.SS3.p1.6.m1.1.1"></share><ci id="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.8.cmml" xref="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.8">…</ci></apply><apply id="S3.SS3.p1.6.m1.1.1g.cmml" xref="S3.SS3.p1.6.m1.1.1"><geq id="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.9.cmml" xref="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.9"></geq><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.SS3.p1.6.m1.1.1.8.cmml" id="S3.SS3.p1.6.m1.1.1h.cmml" xref="S3.SS3.p1.6.m1.1.1"></share><apply id="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.10.cmml" xref="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.10"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.10.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.10">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.10.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.10.2">𝑏</ci><apply id="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.10.3.cmml" xref="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.10.3"><minus id="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.10.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.10.3.1"></minus><ci id="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.10.3.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.10.3.2">𝑁</ci><cn id="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.10.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.10.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.SS3.p1.6.m1.1.1i.cmml" xref="S3.SS3.p1.6.m1.1.1"><gt id="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.11.cmml" xref="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.11"></gt><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.SS3.p1.6.m1.1.1.10.cmml" id="S3.SS3.p1.6.m1.1.1j.cmml" 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end_POSTSUBSCRIPT ≥ italic_b start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ≥ … ≥ italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_N - 1 end_POSTSUBSCRIPT > italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT = 0</annotation></semantics></math>. Define also</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_table" id="S3.E25"> <tbody> <tr class="ltx_eqn_row" id="A0.EGx29"><td class="ltx_eqn_cell" colspan="5"></td></tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E25.1"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\varrho(\eta)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E25.1.m1.1"><semantics id="S3.E25.1.m1.1a"><mrow id="S3.E25.1.m1.1.2" xref="S3.E25.1.m1.1.2.cmml"><mi id="S3.E25.1.m1.1.2.2" xref="S3.E25.1.m1.1.2.2.cmml">ϱ</mi><mo id="S3.E25.1.m1.1.2.1" xref="S3.E25.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E25.1.m1.1.2.3.2" xref="S3.E25.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S3.E25.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E25.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.E25.1.m1.1.1" xref="S3.E25.1.m1.1.1.cmml">η</mi><mo id="S3.E25.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E25.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E25.1.m1.1b"><apply id="S3.E25.1.m1.1.2.cmml" xref="S3.E25.1.m1.1.2"><times id="S3.E25.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.E25.1.m1.1.2.1"></times><ci id="S3.E25.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.E25.1.m1.1.2.2">italic-ϱ</ci><ci id="S3.E25.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.E25.1.m1.1.1">𝜂</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E25.1.m1.1c">\displaystyle\varrho(\eta)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E25.1.m1.1d">italic_ϱ ( italic_η )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\coloneqq\max\Bigl{\{}\max_{n\in\mathcal{N}\setminus\{N\}}\frac{% \left\rvert p_{n}+\sqrt{p_{n}^{2}+4q_{n}}\right\rvert}{2},\,(1-\eta)\Bigr{\}}\,," class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S3.E25.1.m2.3"><semantics id="S3.E25.1.m2.3a"><mrow id="S3.E25.1.m2.3.3.1"><mrow id="S3.E25.1.m2.3.3.1.1"><mi id="S3.E25.1.m2.3.3.1.1.4"></mi><mo id="S3.E25.1.m2.3.3.1.1.3">≔</mo><mrow id="S3.E25.1.m2.3.3.1.1.2.2"><mi id="S3.E25.1.m2.2.2">max</mi><mo id="S3.E25.1.m2.3.3.1.1.2.2a">⁡</mo><mrow id="S3.E25.1.m2.3.3.1.1.2.2.2"><mo id="S3.E25.1.m2.3.3.1.1.2.2.2.3" maxsize="160%" minsize="160%">{</mo><mrow id="S3.E25.1.m2.3.3.1.1.1.1.1.1"><munder id="S3.E25.1.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="S3.E25.1.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2">max</mi><mrow id="S3.E25.1.m2.1.1.1"><mi id="S3.E25.1.m2.1.1.1.3">n</mi><mo id="S3.E25.1.m2.1.1.1.2">∈</mo><mrow id="S3.E25.1.m2.1.1.1.4"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E25.1.m2.1.1.1.4.2">𝒩</mi><mo id="S3.E25.1.m2.1.1.1.4.1">∖</mo><mrow id="S3.E25.1.m2.1.1.1.4.3.2"><mo id="S3.E25.1.m2.1.1.1.4.3.2.1" stretchy="false">{</mo><mi id="S3.E25.1.m2.1.1.1.1">N</mi><mo id="S3.E25.1.m2.1.1.1.4.3.2.2" stretchy="false">}</mo></mrow></mrow></mrow></munder><mo id="S3.E25.1.m2.3.3.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em">⁡</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.E25.1.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2"><mfrac id="S3.E25.1.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2a"><mrow id="S3.E25.1.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2"><mo id="S3.E25.1.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1" stretchy="false">|</mo><msub id="S3.E25.1.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><mi id="S3.E25.1.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">p</mi><mi id="S3.E25.1.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3">n</mi></msub><mo id="S3.E25.1.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3">+</mo><msqrt id="S3.E25.1.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.4"><mrow id="S3.E25.1.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.4.2"><msubsup id="S3.E25.1.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.4.2.2"><mi id="S3.E25.1.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.4.2.2.2.2">p</mi><mi id="S3.E25.1.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.4.2.2.2.3">n</mi><mn id="S3.E25.1.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.4.2.2.3">2</mn></msubsup><mo id="S3.E25.1.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.4.2.1">+</mo><mrow id="S3.E25.1.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.4.2.3"><mn id="S3.E25.1.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.4.2.3.2">4</mn><mo id="S3.E25.1.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.4.2.3.1">⁢</mo><msub id="S3.E25.1.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.4.2.3.3"><mi id="S3.E25.1.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.4.2.3.3.2">q</mi><mi id="S3.E25.1.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.4.2.3.3.3">n</mi></msub></mrow></mrow></msqrt><mo id="S3.E25.1.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.5">|</mo></mrow><mn id="S3.E25.1.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3">2</mn></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S3.E25.1.m2.3.3.1.1.2.2.2.4" rspace="0.337em">,</mo><mrow id="S3.E25.1.m2.3.3.1.1.2.2.2.2.1"><mo id="S3.E25.1.m2.3.3.1.1.2.2.2.2.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S3.E25.1.m2.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1"><mn id="S3.E25.1.m2.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.2">1</mn><mo id="S3.E25.1.m2.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1">−</mo><mi id="S3.E25.1.m2.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.3">η</mi></mrow><mo id="S3.E25.1.m2.3.3.1.1.2.2.2.2.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S3.E25.1.m2.3.3.1.1.2.2.2.5" maxsize="160%" minsize="160%" rspace="0.170em">}</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E25.1.m2.3.3.1.2">,</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E25.1.m2.3b">\displaystyle\coloneqq\max\Bigl{\{}\max_{n\in\mathcal{N}\setminus\{N\}}\frac{% \left\rvert p_{n}+\sqrt{p_{n}^{2}+4q_{n}}\right\rvert}{2},\,(1-\eta)\Bigr{\}}\,,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E25.1.m2.3c">≔ roman_max { roman_max start_POSTSUBSCRIPT italic_n ∈ caligraphic_N ∖ { italic_N } end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG | italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT + square-root start_ARG italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + 4 italic_q start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT end_ARG | end_ARG start_ARG 2 end_ARG , ( 1 - italic_η ) } ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(25a)</span></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E25.2"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle p_{n}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E25.2.m1.1"><semantics id="S3.E25.2.m1.1a"><msub id="S3.E25.2.m1.1.1" xref="S3.E25.2.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.E25.2.m1.1.1.2" xref="S3.E25.2.m1.1.1.2.cmml">p</mi><mi id="S3.E25.2.m1.1.1.3" xref="S3.E25.2.m1.1.1.3.cmml">n</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E25.2.m1.1b"><apply id="S3.E25.2.m1.1.1.cmml" xref="S3.E25.2.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E25.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.E25.2.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E25.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.E25.2.m1.1.1.2">𝑝</ci><ci id="S3.E25.2.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.E25.2.m1.1.1.3">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E25.2.m1.1c">\displaystyle p_{n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E25.2.m1.1d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\coloneqq 2-\eta-\gamma\lambda_{n}\,," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E25.2.m2.1"><semantics id="S3.E25.2.m2.1a"><mrow id="S3.E25.2.m2.1.1.1" xref="S3.E25.2.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E25.2.m2.1.1.1.1" xref="S3.E25.2.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E25.2.m2.1.1.1.1.2" xref="S3.E25.2.m2.1.1.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S3.E25.2.m2.1.1.1.1.1" xref="S3.E25.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">≔</mo><mrow id="S3.E25.2.m2.1.1.1.1.3" xref="S3.E25.2.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.E25.2.m2.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E25.2.m2.1.1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S3.E25.2.m2.1.1.1.1.3.1" xref="S3.E25.2.m2.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mi id="S3.E25.2.m2.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E25.2.m2.1.1.1.1.3.3.cmml">η</mi><mo id="S3.E25.2.m2.1.1.1.1.3.1a" xref="S3.E25.2.m2.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.E25.2.m2.1.1.1.1.3.4" xref="S3.E25.2.m2.1.1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S3.E25.2.m2.1.1.1.1.3.4.2" xref="S3.E25.2.m2.1.1.1.1.3.4.2.cmml">γ</mi><mo id="S3.E25.2.m2.1.1.1.1.3.4.1" xref="S3.E25.2.m2.1.1.1.1.3.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E25.2.m2.1.1.1.1.3.4.3" xref="S3.E25.2.m2.1.1.1.1.3.4.3.cmml"><mi id="S3.E25.2.m2.1.1.1.1.3.4.3.2" xref="S3.E25.2.m2.1.1.1.1.3.4.3.2.cmml">λ</mi><mi id="S3.E25.2.m2.1.1.1.1.3.4.3.3" xref="S3.E25.2.m2.1.1.1.1.3.4.3.3.cmml">n</mi></msub></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E25.2.m2.1.1.1.2" xref="S3.E25.2.m2.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E25.2.m2.1b"><apply id="S3.E25.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E25.2.m2.1.1.1"><ci id="S3.E25.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E25.2.m2.1.1.1.1.1">≔</ci><csymbol cd="latexml" id="S3.E25.2.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E25.2.m2.1.1.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S3.E25.2.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E25.2.m2.1.1.1.1.3"><minus id="S3.E25.2.m2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E25.2.m2.1.1.1.1.3.1"></minus><cn id="S3.E25.2.m2.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.E25.2.m2.1.1.1.1.3.2">2</cn><ci id="S3.E25.2.m2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E25.2.m2.1.1.1.1.3.3">𝜂</ci><apply id="S3.E25.2.m2.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S3.E25.2.m2.1.1.1.1.3.4"><times id="S3.E25.2.m2.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S3.E25.2.m2.1.1.1.1.3.4.1"></times><ci id="S3.E25.2.m2.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S3.E25.2.m2.1.1.1.1.3.4.2">𝛾</ci><apply id="S3.E25.2.m2.1.1.1.1.3.4.3.cmml" xref="S3.E25.2.m2.1.1.1.1.3.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E25.2.m2.1.1.1.1.3.4.3.1.cmml" xref="S3.E25.2.m2.1.1.1.1.3.4.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E25.2.m2.1.1.1.1.3.4.3.2.cmml" xref="S3.E25.2.m2.1.1.1.1.3.4.3.2">𝜆</ci><ci id="S3.E25.2.m2.1.1.1.1.3.4.3.3.cmml" xref="S3.E25.2.m2.1.1.1.1.3.4.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E25.2.m2.1c">\displaystyle\coloneqq 2-\eta-\gamma\lambda_{n}\,,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E25.2.m2.1d">≔ 2 - italic_η - italic_γ italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(25b)</span></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E25.3"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle q_{n}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E25.3.m1.1"><semantics id="S3.E25.3.m1.1a"><msub id="S3.E25.3.m1.1.1" xref="S3.E25.3.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.E25.3.m1.1.1.2" xref="S3.E25.3.m1.1.1.2.cmml">q</mi><mi id="S3.E25.3.m1.1.1.3" xref="S3.E25.3.m1.1.1.3.cmml">n</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E25.3.m1.1b"><apply id="S3.E25.3.m1.1.1.cmml" xref="S3.E25.3.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E25.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.E25.3.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E25.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.E25.3.m1.1.1.2">𝑞</ci><ci id="S3.E25.3.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.E25.3.m1.1.1.3">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E25.3.m1.1c">\displaystyle q_{n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E25.3.m1.1d">italic_q start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\coloneqq\varpi\gamma\lambda_{n}+\eta-1\,." class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E25.3.m2.1"><semantics id="S3.E25.3.m2.1a"><mrow id="S3.E25.3.m2.1.1.1" xref="S3.E25.3.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E25.3.m2.1.1.1.1" xref="S3.E25.3.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E25.3.m2.1.1.1.1.2" xref="S3.E25.3.m2.1.1.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S3.E25.3.m2.1.1.1.1.1" xref="S3.E25.3.m2.1.1.1.1.1.cmml">≔</mo><mrow id="S3.E25.3.m2.1.1.1.1.3" xref="S3.E25.3.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E25.3.m2.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E25.3.m2.1.1.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S3.E25.3.m2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E25.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S3.E25.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S3.E25.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">ϖ</mi><mo id="S3.E25.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S3.E25.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E25.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S3.E25.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">γ</mi><mo id="S3.E25.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.1a" xref="S3.E25.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E25.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.4" xref="S3.E25.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.4.cmml"><mi id="S3.E25.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.4.2" xref="S3.E25.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.cmml">λ</mi><mi id="S3.E25.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.4.3" xref="S3.E25.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.4.3.cmml">n</mi></msub></mrow><mo id="S3.E25.3.m2.1.1.1.1.3.2.1" xref="S3.E25.3.m2.1.1.1.1.3.2.1.cmml">+</mo><mi id="S3.E25.3.m2.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.E25.3.m2.1.1.1.1.3.2.3.cmml">η</mi></mrow><mo id="S3.E25.3.m2.1.1.1.1.3.1" xref="S3.E25.3.m2.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.E25.3.m2.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E25.3.m2.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></mrow><mo id="S3.E25.3.m2.1.1.1.2" lspace="0.170em" xref="S3.E25.3.m2.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E25.3.m2.1b"><apply id="S3.E25.3.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E25.3.m2.1.1.1"><ci id="S3.E25.3.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E25.3.m2.1.1.1.1.1">≔</ci><csymbol cd="latexml" id="S3.E25.3.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E25.3.m2.1.1.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S3.E25.3.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E25.3.m2.1.1.1.1.3"><minus id="S3.E25.3.m2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E25.3.m2.1.1.1.1.3.1"></minus><apply id="S3.E25.3.m2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E25.3.m2.1.1.1.1.3.2"><plus id="S3.E25.3.m2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E25.3.m2.1.1.1.1.3.2.1"></plus><apply id="S3.E25.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E25.3.m2.1.1.1.1.3.2.2"><times id="S3.E25.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E25.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.1"></times><ci id="S3.E25.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.E25.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.2">italic-ϖ</ci><ci id="S3.E25.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S3.E25.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.3">𝛾</ci><apply id="S3.E25.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.4.cmml" xref="S3.E25.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E25.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.4.1.cmml" xref="S3.E25.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.E25.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.4.2.cmml" xref="S3.E25.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.4.2">𝜆</ci><ci id="S3.E25.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.4.3.cmml" xref="S3.E25.3.m2.1.1.1.1.3.2.2.4.3">𝑛</ci></apply></apply><ci id="S3.E25.3.m2.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E25.3.m2.1.1.1.1.3.2.3">𝜂</ci></apply><cn id="S3.E25.3.m2.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E25.3.m2.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E25.3.m2.1c">\displaystyle\coloneqq\varpi\gamma\lambda_{n}+\eta-1\,.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E25.3.m2.1d">≔ italic_ϖ italic_γ italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT + italic_η - 1 .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(25c)</span></td> </tr> </tbody> </table> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_assumptions" id="Thmthm4"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmthm4.1.1.1">Assumptions 4</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmthm4.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmthm4.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmthm4.p1.1"><span class="ltx_text" id="Thmthm4.p1.1.1"></span></p> <ol class="ltx_enumerate" id="S3.I2"> <li class="ltx_item" id="S3.I2.i1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.I2.i1.1.1.1">(i)</span></span> <div class="ltx_para" id="S3.I2.i1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I2.i1.p1.1">Set <math alttext="\gamma\coloneqq 1/\lVert\mathbf{L}\rVert_{2}=1/\lambda_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1a"><mrow id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2.cmml"><mi id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2.2" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2.3" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2.3.cmml">≔</mo><mrow id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2.4" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2.4.cmml"><mn id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2.4.2" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2.4.2.cmml">1</mn><mo id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2.4.1" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2.4.1.cmml">/</mo><msub id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2.4.3" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2.4.3.cmml"><mrow id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2.4.3.2.2" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2.4.3.2.1.cmml"><mo fence="true" id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2.4.3.2.2.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2.4.3.2.1.1.cmml">∥</mo><mi id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.cmml">𝐋</mi><mo fence="true" id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2.4.3.2.2.2" lspace="0em" rspace="0.1389em" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2.4.3.2.1.1.cmml">∥</mo></mrow><mn id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2.4.3.3" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2.4.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2.5" lspace="0.1389em" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2.5.cmml">=</mo><mrow id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2.6" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2.6.cmml"><mn id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2.6.2" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2.6.2.cmml">1</mn><mo id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2.6.1" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2.6.1.cmml">/</mo><msub id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2.6.3" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2.6.3.cmml"><mi id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2.6.3.2" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2.6.3.2.cmml">λ</mi><mn id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2.6.3.3" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2.6.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2"><and id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2a.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2"></and><apply id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2b.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2"><ci id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2.3.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2.3">≔</ci><ci id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2.2">𝛾</ci><apply id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2.4.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2.4"><divide id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2.4.1.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2.4.1"></divide><cn id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2.4.2.cmml" type="integer" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2.4.2">1</cn><apply id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2.4.3.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2.4.3.1.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2.4.3">subscript</csymbol><apply id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2.4.3.2.1.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2.4.3.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2.4.3.2.1.1.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2.4.3.2.2.1">delimited-∥∥</csymbol><ci id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1">𝐋</ci></apply><cn id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2.4.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2c.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2"><eq id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2.5.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2.4.cmml" id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2d.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2"></share><apply id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2.6.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2.6"><divide id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2.6.1.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2.6.1"></divide><cn id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2.6.2.cmml" type="integer" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2.6.2">1</cn><apply id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2.6.3.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2.6.3.1.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2.6.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2.6.3.2.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2.6.3.2">𝜆</ci><cn id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2.6.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.2.6.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1c">\gamma\coloneqq 1/\lVert\mathbf{L}\rVert_{2}=1/\lambda_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1d">italic_γ ≔ 1 / ∥ bold_L ∥ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT = 1 / italic_λ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> in <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#alg1" title="In III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Algorithm</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>.</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S3.I2.i2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.I2.i2.1.1.1">(ii)</span></span> <div class="ltx_para" id="S3.I2.i2.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I2.i2.p1.6">The centralized B-Map <math alttext="T_{\star}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1a"><msub id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3.cmml">⋆</mo></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.2">𝑇</ci><ci id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3">⋆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1c">T_{\star}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1d">italic_T start_POSTSUBSCRIPT ⋆ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E6" title="Equation 6 ‣ III-A The centralized (star-topology) B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6</span></a>) is a contraction <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib36" title="">36</a>]</cite>, that is, Lipschitz continuous with coefficient <math alttext="\beta_{\star}\in(0,1)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I2.i2.p1.2.m2.2"><semantics id="S3.I2.i2.p1.2.m2.2a"><mrow id="S3.I2.i2.p1.2.m2.2.3" xref="S3.I2.i2.p1.2.m2.2.3.cmml"><msub id="S3.I2.i2.p1.2.m2.2.3.2" xref="S3.I2.i2.p1.2.m2.2.3.2.cmml"><mi id="S3.I2.i2.p1.2.m2.2.3.2.2" xref="S3.I2.i2.p1.2.m2.2.3.2.2.cmml">β</mi><mo id="S3.I2.i2.p1.2.m2.2.3.2.3" xref="S3.I2.i2.p1.2.m2.2.3.2.3.cmml">⋆</mo></msub><mo id="S3.I2.i2.p1.2.m2.2.3.1" xref="S3.I2.i2.p1.2.m2.2.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.I2.i2.p1.2.m2.2.3.3.2" xref="S3.I2.i2.p1.2.m2.2.3.3.1.cmml"><mo id="S3.I2.i2.p1.2.m2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.I2.i2.p1.2.m2.2.3.3.1.cmml">(</mo><mn id="S3.I2.i2.p1.2.m2.1.1" xref="S3.I2.i2.p1.2.m2.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.I2.i2.p1.2.m2.2.3.3.2.2" xref="S3.I2.i2.p1.2.m2.2.3.3.1.cmml">,</mo><mn id="S3.I2.i2.p1.2.m2.2.2" xref="S3.I2.i2.p1.2.m2.2.2.cmml">1</mn><mo id="S3.I2.i2.p1.2.m2.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.I2.i2.p1.2.m2.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I2.i2.p1.2.m2.2b"><apply id="S3.I2.i2.p1.2.m2.2.3.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.2.m2.2.3"><in id="S3.I2.i2.p1.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.2.m2.2.3.1"></in><apply id="S3.I2.i2.p1.2.m2.2.3.2.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.2.m2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.i2.p1.2.m2.2.3.2.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.2.m2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I2.i2.p1.2.m2.2.3.2.2.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.2.m2.2.3.2.2">𝛽</ci><ci id="S3.I2.i2.p1.2.m2.2.3.2.3.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.2.m2.2.3.2.3">⋆</ci></apply><interval closure="open" id="S3.I2.i2.p1.2.m2.2.3.3.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.2.m2.2.3.3.2"><cn id="S3.I2.i2.p1.2.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.I2.i2.p1.2.m2.1.1">0</cn><cn id="S3.I2.i2.p1.2.m2.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.I2.i2.p1.2.m2.2.2">1</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I2.i2.p1.2.m2.2c">\beta_{\star}\in(0,1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I2.i2.p1.2.m2.2d">italic_β start_POSTSUBSCRIPT ⋆ end_POSTSUBSCRIPT ∈ ( 0 , 1 )</annotation></semantics></math> and <math alttext="\lVert T_{\star}(Q_{1})-T_{\star}(Q_{2})\rVert\leq\beta_{\star}\lVert Q_{1}-Q_% {2}\rVert" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I2.i2.p1.3.m3.2"><semantics id="S3.I2.i2.p1.3.m3.2a"><mrow id="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.cmml"><mrow id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.2" rspace="0em" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo><mrow id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">T</mi><mo id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">⋆</mo></msub><mo id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">Q</mi><mn id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">T</mi><mo id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">⋆</mo></msub><mo id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml">Q</mi><mn id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo fence="true" id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.3" lspace="0em" rspace="0.1389em" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mo id="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.3" lspace="0.1389em" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.3.cmml">≤</mo><mrow id="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.cmml"><msub id="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.3" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.3.2" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.3.2.cmml">β</mi><mo id="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.3.3" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.3.3.cmml">⋆</mo></msub><mo id="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.2" lspace="0em" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.1.1" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.1.1.2" rspace="0em" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.1.2.1.cmml">∥</mo><mrow id="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.1.1.1" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.1.1.1.cmml"><msub id="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.1.1.1.2" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml">Q</mi><mn id="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.1.1.1.3" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">Q</mi><mn id="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo fence="true" id="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.1.1.3" lspace="0em" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I2.i2.p1.3.m3.2b"><apply id="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2"><leq id="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.3.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.3"></leq><apply id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1"><minus id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3"></minus><apply id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑇</ci><ci id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.3">⋆</ci></apply><apply id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑄</ci><cn id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2"><times id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.2"></times><apply id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑇</ci><ci id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.3">⋆</ci></apply><apply id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2">𝑄</ci><cn id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2"><times id="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.2"></times><apply id="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.3.2">𝛽</ci><ci id="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.3.3">⋆</ci></apply><apply id="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.1.2.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.1.1.1"><minus id="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.1.1.1.2.2">𝑄</ci><cn id="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.1.1.1.3.2">𝑄</ci><cn id="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.2.2.2.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I2.i2.p1.3.m3.2c">\lVert T_{\star}(Q_{1})-T_{\star}(Q_{2})\rVert\leq\beta_{\star}\lVert Q_{1}-Q_% {2}\rVert</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I2.i2.p1.3.m3.2d">∥ italic_T start_POSTSUBSCRIPT ⋆ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) - italic_T start_POSTSUBSCRIPT ⋆ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) ∥ ≤ italic_β start_POSTSUBSCRIPT ⋆ end_POSTSUBSCRIPT ∥ italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT - italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ∥</annotation></semantics></math>, <math alttext="\forall Q_{1},Q_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I2.i2.p1.4.m4.2"><semantics id="S3.I2.i2.p1.4.m4.2a"><mrow id="S3.I2.i2.p1.4.m4.2.2.2" xref="S3.I2.i2.p1.4.m4.2.2.3.cmml"><mrow id="S3.I2.i2.p1.4.m4.1.1.1.1" xref="S3.I2.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.I2.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1" rspace="0.167em" xref="S3.I2.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.cmml">∀</mo><msub id="S3.I2.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.2" xref="S3.I2.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.I2.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.2.2" xref="S3.I2.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.2.2.cmml">Q</mi><mn id="S3.I2.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.2.3" xref="S3.I2.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="S3.I2.i2.p1.4.m4.2.2.2.3" xref="S3.I2.i2.p1.4.m4.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.I2.i2.p1.4.m4.2.2.2.2" xref="S3.I2.i2.p1.4.m4.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.I2.i2.p1.4.m4.2.2.2.2.2" xref="S3.I2.i2.p1.4.m4.2.2.2.2.2.cmml">Q</mi><mn id="S3.I2.i2.p1.4.m4.2.2.2.2.3" xref="S3.I2.i2.p1.4.m4.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I2.i2.p1.4.m4.2b"><list id="S3.I2.i2.p1.4.m4.2.2.3.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.4.m4.2.2.2"><apply id="S3.I2.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.4.m4.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.I2.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.1">for-all</csymbol><apply id="S3.I2.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I2.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.2.2">𝑄</ci><cn id="S3.I2.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.I2.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.I2.i2.p1.4.m4.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.4.m4.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.i2.p1.4.m4.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.4.m4.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I2.i2.p1.4.m4.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.4.m4.2.2.2.2.2">𝑄</ci><cn id="S3.I2.i2.p1.4.m4.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.I2.i2.p1.4.m4.2.2.2.2.3">2</cn></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I2.i2.p1.4.m4.2c">\forall Q_{1},Q_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I2.i2.p1.4.m4.2d">∀ italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Consequently, it is guaranteed that the fixed-point set of <math alttext="T_{\star}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I2.i2.p1.5.m5.1"><semantics id="S3.I2.i2.p1.5.m5.1a"><msub id="S3.I2.i2.p1.5.m5.1.1" xref="S3.I2.i2.p1.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S3.I2.i2.p1.5.m5.1.1.2" xref="S3.I2.i2.p1.5.m5.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="S3.I2.i2.p1.5.m5.1.1.3" xref="S3.I2.i2.p1.5.m5.1.1.3.cmml">⋆</mo></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I2.i2.p1.5.m5.1b"><apply id="S3.I2.i2.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.i2.p1.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.5.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I2.i2.p1.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.5.m5.1.1.2">𝑇</ci><ci id="S3.I2.i2.p1.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.5.m5.1.1.3">⋆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I2.i2.p1.5.m5.1c">T_{\star}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I2.i2.p1.5.m5.1d">italic_T start_POSTSUBSCRIPT ⋆ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is nonempty and a singleton: <math alttext="\operatorname{Fix}(T_{\star})=\{Q{\mathbin{}\mid\mathbin{}}T_{\star}(Q)=Q\}=\{% Q_{\star}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I2.i2.p1.6.m6.6"><semantics id="S3.I2.i2.p1.6.m6.6a"><mrow id="S3.I2.i2.p1.6.m6.6.6" xref="S3.I2.i2.p1.6.m6.6.6.cmml"><mrow id="S3.I2.i2.p1.6.m6.4.4.1.1" xref="S3.I2.i2.p1.6.m6.4.4.1.2.cmml"><mi id="S3.I2.i2.p1.6.m6.1.1" xref="S3.I2.i2.p1.6.m6.1.1.cmml">Fix</mi><mo id="S3.I2.i2.p1.6.m6.4.4.1.1a" xref="S3.I2.i2.p1.6.m6.4.4.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.I2.i2.p1.6.m6.4.4.1.1.1" xref="S3.I2.i2.p1.6.m6.4.4.1.2.cmml"><mo id="S3.I2.i2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I2.i2.p1.6.m6.4.4.1.2.cmml">(</mo><msub id="S3.I2.i2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1" xref="S3.I2.i2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I2.i2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.2" xref="S3.I2.i2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="S3.I2.i2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.3" xref="S3.I2.i2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.cmml">⋆</mo></msub><mo id="S3.I2.i2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.I2.i2.p1.6.m6.4.4.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.I2.i2.p1.6.m6.6.6.5" xref="S3.I2.i2.p1.6.m6.6.6.5.cmml">=</mo><mrow id="S3.I2.i2.p1.6.m6.5.5.2.1" xref="S3.I2.i2.p1.6.m6.5.5.2.2.cmml"><mo id="S3.I2.i2.p1.6.m6.5.5.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.I2.i2.p1.6.m6.5.5.2.2.1.cmml">{</mo><mi id="S3.I2.i2.p1.6.m6.3.3" xref="S3.I2.i2.p1.6.m6.3.3.cmml">Q</mi><mo fence="true" id="S3.I2.i2.p1.6.m6.5.5.2.1.3" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.I2.i2.p1.6.m6.5.5.2.2.1.cmml">∣</mo><mrow id="S3.I2.i2.p1.6.m6.5.5.2.1.1" xref="S3.I2.i2.p1.6.m6.5.5.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.I2.i2.p1.6.m6.5.5.2.1.1.2" xref="S3.I2.i2.p1.6.m6.5.5.2.1.1.2.cmml"><msub id="S3.I2.i2.p1.6.m6.5.5.2.1.1.2.2" xref="S3.I2.i2.p1.6.m6.5.5.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.I2.i2.p1.6.m6.5.5.2.1.1.2.2.2" xref="S3.I2.i2.p1.6.m6.5.5.2.1.1.2.2.2.cmml">T</mi><mo id="S3.I2.i2.p1.6.m6.5.5.2.1.1.2.2.3" xref="S3.I2.i2.p1.6.m6.5.5.2.1.1.2.2.3.cmml">⋆</mo></msub><mo id="S3.I2.i2.p1.6.m6.5.5.2.1.1.2.1" xref="S3.I2.i2.p1.6.m6.5.5.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I2.i2.p1.6.m6.5.5.2.1.1.2.3.2" xref="S3.I2.i2.p1.6.m6.5.5.2.1.1.2.cmml"><mo id="S3.I2.i2.p1.6.m6.5.5.2.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.I2.i2.p1.6.m6.5.5.2.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.I2.i2.p1.6.m6.2.2" xref="S3.I2.i2.p1.6.m6.2.2.cmml">Q</mi><mo id="S3.I2.i2.p1.6.m6.5.5.2.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.I2.i2.p1.6.m6.5.5.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.I2.i2.p1.6.m6.5.5.2.1.1.1" xref="S3.I2.i2.p1.6.m6.5.5.2.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S3.I2.i2.p1.6.m6.5.5.2.1.1.3" xref="S3.I2.i2.p1.6.m6.5.5.2.1.1.3.cmml">Q</mi></mrow><mo id="S3.I2.i2.p1.6.m6.5.5.2.1.4" stretchy="false" xref="S3.I2.i2.p1.6.m6.5.5.2.2.1.cmml">}</mo></mrow><mo id="S3.I2.i2.p1.6.m6.6.6.6" xref="S3.I2.i2.p1.6.m6.6.6.6.cmml">=</mo><mrow id="S3.I2.i2.p1.6.m6.6.6.3.1" xref="S3.I2.i2.p1.6.m6.6.6.3.2.cmml"><mo id="S3.I2.i2.p1.6.m6.6.6.3.1.2" stretchy="false" xref="S3.I2.i2.p1.6.m6.6.6.3.2.cmml">{</mo><msub id="S3.I2.i2.p1.6.m6.6.6.3.1.1" xref="S3.I2.i2.p1.6.m6.6.6.3.1.1.cmml"><mi id="S3.I2.i2.p1.6.m6.6.6.3.1.1.2" xref="S3.I2.i2.p1.6.m6.6.6.3.1.1.2.cmml">Q</mi><mo id="S3.I2.i2.p1.6.m6.6.6.3.1.1.3" xref="S3.I2.i2.p1.6.m6.6.6.3.1.1.3.cmml">⋆</mo></msub><mo id="S3.I2.i2.p1.6.m6.6.6.3.1.3" stretchy="false" xref="S3.I2.i2.p1.6.m6.6.6.3.2.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I2.i2.p1.6.m6.6b"><apply id="S3.I2.i2.p1.6.m6.6.6.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.6.m6.6.6"><and id="S3.I2.i2.p1.6.m6.6.6a.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.6.m6.6.6"></and><apply id="S3.I2.i2.p1.6.m6.6.6b.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.6.m6.6.6"><eq id="S3.I2.i2.p1.6.m6.6.6.5.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.6.m6.6.6.5"></eq><apply id="S3.I2.i2.p1.6.m6.4.4.1.2.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.6.m6.4.4.1.1"><ci id="S3.I2.i2.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.6.m6.1.1">Fix</ci><apply id="S3.I2.i2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.i2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I2.i2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.2">𝑇</ci><ci id="S3.I2.i2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.3">⋆</ci></apply></apply><apply id="S3.I2.i2.p1.6.m6.5.5.2.2.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.6.m6.5.5.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.I2.i2.p1.6.m6.5.5.2.2.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.6.m6.5.5.2.1.2">conditional-set</csymbol><ci id="S3.I2.i2.p1.6.m6.3.3.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.6.m6.3.3">𝑄</ci><apply id="S3.I2.i2.p1.6.m6.5.5.2.1.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.6.m6.5.5.2.1.1"><eq id="S3.I2.i2.p1.6.m6.5.5.2.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.6.m6.5.5.2.1.1.1"></eq><apply id="S3.I2.i2.p1.6.m6.5.5.2.1.1.2.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.6.m6.5.5.2.1.1.2"><times id="S3.I2.i2.p1.6.m6.5.5.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.6.m6.5.5.2.1.1.2.1"></times><apply id="S3.I2.i2.p1.6.m6.5.5.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.6.m6.5.5.2.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.i2.p1.6.m6.5.5.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.6.m6.5.5.2.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I2.i2.p1.6.m6.5.5.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.6.m6.5.5.2.1.1.2.2.2">𝑇</ci><ci id="S3.I2.i2.p1.6.m6.5.5.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.6.m6.5.5.2.1.1.2.2.3">⋆</ci></apply><ci id="S3.I2.i2.p1.6.m6.2.2.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.6.m6.2.2">𝑄</ci></apply><ci id="S3.I2.i2.p1.6.m6.5.5.2.1.1.3.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.6.m6.5.5.2.1.1.3">𝑄</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.I2.i2.p1.6.m6.6.6c.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.6.m6.6.6"><eq id="S3.I2.i2.p1.6.m6.6.6.6.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.6.m6.6.6.6"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.I2.i2.p1.6.m6.5.5.2.cmml" id="S3.I2.i2.p1.6.m6.6.6d.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.6.m6.6.6"></share><set id="S3.I2.i2.p1.6.m6.6.6.3.2.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.6.m6.6.6.3.1"><apply id="S3.I2.i2.p1.6.m6.6.6.3.1.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.6.m6.6.6.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.i2.p1.6.m6.6.6.3.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.6.m6.6.6.3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I2.i2.p1.6.m6.6.6.3.1.1.2.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.6.m6.6.6.3.1.1.2">𝑄</ci><ci id="S3.I2.i2.p1.6.m6.6.6.3.1.1.3.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.6.m6.6.6.3.1.1.3">⋆</ci></apply></set></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I2.i2.p1.6.m6.6c">\operatorname{Fix}(T_{\star})=\{Q{\mathbin{}\mid\mathbin{}}T_{\star}(Q)=Q\}=\{% Q_{\star}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I2.i2.p1.6.m6.6d">roman_Fix ( italic_T start_POSTSUBSCRIPT ⋆ end_POSTSUBSCRIPT ) = { italic_Q ∣ italic_T start_POSTSUBSCRIPT ⋆ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_Q ) = italic_Q } = { italic_Q start_POSTSUBSCRIPT ⋆ end_POSTSUBSCRIPT }</annotation></semantics></math> <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib36" title="">36</a>]</cite>.</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S3.I2.i3" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.I2.i3.1.1.1">(iii)</span></span> <div class="ltx_para" id="S3.I2.i3.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I2.i3.p1.2">The Lipschitz coefficients <math alttext="(\beta^{(n)}[k])_{k\in\mathbb{N}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I2.i3.p1.1.m1.3"><semantics id="S3.I2.i3.p1.1.m1.3a"><msub id="S3.I2.i3.p1.1.m1.3.3" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.3.3.cmml"><mrow id="S3.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S3.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml"><msup id="S3.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml">β</mi><mrow id="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.3" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.I2.i3.p1.1.m1.3.3.3" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.I2.i3.p1.1.m1.3.3.3.2" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.3.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.I2.i3.p1.1.m1.3.3.3.1" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.3.3.3.1.cmml">∈</mo><mi id="S3.I2.i3.p1.1.m1.3.3.3.3" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.3.3.3.3.cmml">ℕ</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I2.i3.p1.1.m1.3b"><apply id="S3.I2.i3.p1.1.m1.3.3.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.i3.p1.1.m1.3.3.2.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S3.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1"><times id="S3.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1"></times><apply id="S3.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2">𝛽</ci><ci id="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S3.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S3.I2.i3.p1.1.m1.3.3.3.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.3.3.3"><in id="S3.I2.i3.p1.1.m1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.3.3.3.1"></in><ci id="S3.I2.i3.p1.1.m1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.3.3.3.2">𝑘</ci><ci id="S3.I2.i3.p1.1.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.3.3.3.3">ℕ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I2.i3.p1.1.m1.3c">(\beta^{(n)}[k])_{k\in\mathbb{N}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I2.i3.p1.1.m1.3d">( italic_β start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ] ) start_POSTSUBSCRIPT italic_k ∈ blackboard_N end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> of the nodal B-Maps <math alttext="(T^{(n)}=T^{(n)}[k])_{k\in\mathbb{N}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I2.i3.p1.2.m2.4"><semantics id="S3.I2.i3.p1.2.m2.4a"><msub id="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4" xref="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.cmml"><mrow id="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.1.1" xref="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.1.1.1.cmml"><mo id="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.1.1.1" xref="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.1.1.1.cmml"><msup id="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.1.1.1.2" xref="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.1.1.1.2.2" xref="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.1.1.1.2.2.cmml">T</mi><mrow id="S3.I2.i3.p1.2.m2.1.1.1.3" xref="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.I2.i3.p1.2.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.I2.i3.p1.2.m2.1.1.1.1" xref="S3.I2.i3.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.I2.i3.p1.2.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.1.1.1.1" xref="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.1.1.1.3" xref="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.1.1.1.3.cmml"><msup id="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.1.1.1.3.2" xref="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.1.1.1.3.2.2" xref="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.1.1.1.3.2.2.cmml">T</mi><mrow id="S3.I2.i3.p1.2.m2.2.2.1.3" xref="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.1.1.1.3.2.cmml"><mo id="S3.I2.i3.p1.2.m2.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.1.1.1.3.2.cmml">(</mo><mi id="S3.I2.i3.p1.2.m2.2.2.1.1" xref="S3.I2.i3.p1.2.m2.2.2.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.I2.i3.p1.2.m2.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.1.1.1.3.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.1.1.1.3.1" xref="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.1.1.1.3.3.2" xref="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.1.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.1.1.1.3.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.I2.i3.p1.2.m2.3.3" xref="S3.I2.i3.p1.2.m2.3.3.cmml">k</mi><mo id="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.1.1.1.3.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.3" xref="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.3.cmml"><mi id="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.3.2" xref="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.3.1" xref="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.3.1.cmml">∈</mo><mi id="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.3.3" xref="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.3.3.cmml">ℕ</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I2.i3.p1.2.m2.4b"><apply id="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.2.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4">subscript</csymbol><apply id="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.1.1"><eq id="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.1.1.1.1"></eq><apply id="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.1.1.1.2.2">𝑇</ci><ci id="S3.I2.i3.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.2.m2.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.1.1.1.3"><times id="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.1.1.1.3.1"></times><apply id="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.1.1.1.3.2.2">𝑇</ci><ci id="S3.I2.i3.p1.2.m2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.2.m2.2.2.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.1.1.1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.1.1.1.3.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.I2.i3.p1.2.m2.3.3.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.2.m2.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.3.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.3"><in id="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.3.1.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.3.1"></in><ci id="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.3.2.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.3.2">𝑘</ci><ci id="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.3.3.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.2.m2.4.4.3.3">ℕ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I2.i3.p1.2.m2.4c">(T^{(n)}=T^{(n)}[k])_{k\in\mathbb{N}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I2.i3.p1.2.m2.4d">( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT = italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ] ) start_POSTSUBSCRIPT italic_k ∈ blackboard_N end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E9" title="Equation 9 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">9</span></a>) (recall the discussion after (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E23" title="Equation 23 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">23</span></a>)) are bounded.</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S3.I2.i4" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.I2.i4.1.1.1">(iv)</span></span> <div class="ltx_para" id="S3.I2.i4.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I2.i4.p1.2">For any node <math alttext="n\in\mathcal{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I2.i4.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.I2.i4.p1.1.m1.1a"><mrow id="S3.I2.i4.p1.1.m1.1.1" xref="S3.I2.i4.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.I2.i4.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.I2.i4.p1.1.m1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S3.I2.i4.p1.1.m1.1.1.1" xref="S3.I2.i4.p1.1.m1.1.1.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.I2.i4.p1.1.m1.1.1.3" xref="S3.I2.i4.p1.1.m1.1.1.3.cmml">𝒩</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I2.i4.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.I2.i4.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i4.p1.1.m1.1.1"><in id="S3.I2.i4.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i4.p1.1.m1.1.1.1"></in><ci id="S3.I2.i4.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.I2.i4.p1.1.m1.1.1.2">𝑛</ci><ci id="S3.I2.i4.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.I2.i4.p1.1.m1.1.1.3">𝒩</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I2.i4.p1.1.m1.1c">n\in\mathcal{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I2.i4.p1.1.m1.1d">italic_n ∈ caligraphic_N</annotation></semantics></math>, sequence <math alttext="(Q^{(n)}[k])_{k\in\mathbb{N}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I2.i4.p1.2.m2.3"><semantics id="S3.I2.i4.p1.2.m2.3a"><msub id="S3.I2.i4.p1.2.m2.3.3" xref="S3.I2.i4.p1.2.m2.3.3.cmml"><mrow id="S3.I2.i4.p1.2.m2.3.3.1.1" xref="S3.I2.i4.p1.2.m2.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S3.I2.i4.p1.2.m2.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I2.i4.p1.2.m2.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.I2.i4.p1.2.m2.3.3.1.1.1" xref="S3.I2.i4.p1.2.m2.3.3.1.1.1.cmml"><msup id="S3.I2.i4.p1.2.m2.3.3.1.1.1.2" xref="S3.I2.i4.p1.2.m2.3.3.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.I2.i4.p1.2.m2.3.3.1.1.1.2.2" xref="S3.I2.i4.p1.2.m2.3.3.1.1.1.2.2.cmml">Q</mi><mrow id="S3.I2.i4.p1.2.m2.1.1.1.3" xref="S3.I2.i4.p1.2.m2.3.3.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.I2.i4.p1.2.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.I2.i4.p1.2.m2.3.3.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.I2.i4.p1.2.m2.1.1.1.1" xref="S3.I2.i4.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.I2.i4.p1.2.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.I2.i4.p1.2.m2.3.3.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.I2.i4.p1.2.m2.3.3.1.1.1.1" xref="S3.I2.i4.p1.2.m2.3.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I2.i4.p1.2.m2.3.3.1.1.1.3.2" xref="S3.I2.i4.p1.2.m2.3.3.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.I2.i4.p1.2.m2.3.3.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.I2.i4.p1.2.m2.3.3.1.1.1.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.I2.i4.p1.2.m2.2.2" xref="S3.I2.i4.p1.2.m2.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.I2.i4.p1.2.m2.3.3.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.I2.i4.p1.2.m2.3.3.1.1.1.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.I2.i4.p1.2.m2.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.I2.i4.p1.2.m2.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.I2.i4.p1.2.m2.3.3.3" xref="S3.I2.i4.p1.2.m2.3.3.3.cmml"><mi id="S3.I2.i4.p1.2.m2.3.3.3.2" xref="S3.I2.i4.p1.2.m2.3.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.I2.i4.p1.2.m2.3.3.3.1" xref="S3.I2.i4.p1.2.m2.3.3.3.1.cmml">∈</mo><mi id="S3.I2.i4.p1.2.m2.3.3.3.3" xref="S3.I2.i4.p1.2.m2.3.3.3.3.cmml">ℕ</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I2.i4.p1.2.m2.3b"><apply id="S3.I2.i4.p1.2.m2.3.3.cmml" xref="S3.I2.i4.p1.2.m2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.i4.p1.2.m2.3.3.2.cmml" xref="S3.I2.i4.p1.2.m2.3.3">subscript</csymbol><apply id="S3.I2.i4.p1.2.m2.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i4.p1.2.m2.3.3.1.1"><times id="S3.I2.i4.p1.2.m2.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i4.p1.2.m2.3.3.1.1.1.1"></times><apply id="S3.I2.i4.p1.2.m2.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I2.i4.p1.2.m2.3.3.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.i4.p1.2.m2.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I2.i4.p1.2.m2.3.3.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.I2.i4.p1.2.m2.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I2.i4.p1.2.m2.3.3.1.1.1.2.2">𝑄</ci><ci id="S3.I2.i4.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i4.p1.2.m2.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S3.I2.i4.p1.2.m2.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I2.i4.p1.2.m2.3.3.1.1.1.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.I2.i4.p1.2.m2.3.3.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S3.I2.i4.p1.2.m2.3.3.1.1.1.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.I2.i4.p1.2.m2.2.2.cmml" xref="S3.I2.i4.p1.2.m2.2.2">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S3.I2.i4.p1.2.m2.3.3.3.cmml" xref="S3.I2.i4.p1.2.m2.3.3.3"><in id="S3.I2.i4.p1.2.m2.3.3.3.1.cmml" xref="S3.I2.i4.p1.2.m2.3.3.3.1"></in><ci id="S3.I2.i4.p1.2.m2.3.3.3.2.cmml" xref="S3.I2.i4.p1.2.m2.3.3.3.2">𝑘</ci><ci id="S3.I2.i4.p1.2.m2.3.3.3.3.cmml" xref="S3.I2.i4.p1.2.m2.3.3.3.3">ℕ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I2.i4.p1.2.m2.3c">(Q^{(n)}[k])_{k\in\mathbb{N}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I2.i4.p1.2.m2.3d">( italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ] ) start_POSTSUBSCRIPT italic_k ∈ blackboard_N end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is bounded.</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S3.I2.i5" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.I2.i5.1.1.1">(v)</span></span> <div class="ltx_para" id="S3.I2.i5.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I2.i5.p1.1">Let <math alttext="\varpi\coloneqq 1/2" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I2.i5.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.I2.i5.p1.1.m1.1a"><mrow id="S3.I2.i5.p1.1.m1.1.1" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.I2.i5.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.1.1.2.cmml">ϖ</mi><mo id="S3.I2.i5.p1.1.m1.1.1.1" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.1.1.1.cmml">≔</mo><mrow id="S3.I2.i5.p1.1.m1.1.1.3" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.I2.i5.p1.1.m1.1.1.3.2" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S3.I2.i5.p1.1.m1.1.1.3.1" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S3.I2.i5.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I2.i5.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.I2.i5.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.1.1"><ci id="S3.I2.i5.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.1.1.1">≔</ci><ci id="S3.I2.i5.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.1.1.2">italic-ϖ</ci><apply id="S3.I2.i5.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.1.1.3"><divide id="S3.I2.i5.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.1.1.3.1"></divide><cn id="S3.I2.i5.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.1.1.3.2">1</cn><cn id="S3.I2.i5.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I2.i5.p1.1.m1.1c">\varpi\coloneqq 1/2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I2.i5.p1.1.m1.1d">italic_ϖ ≔ 1 / 2</annotation></semantics></math> in <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#alg1" title="In III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Algorithm</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>.</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S3.I2.i6" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.I2.i6.1.1.1">(vi)</span></span> <div class="ltx_para" id="S3.I2.i6.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I2.i6.p1.2">The <math alttext="b_{N-1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I2.i6.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.I2.i6.p1.1.m1.1a"><msub id="S3.I2.i6.p1.1.m1.1.1" xref="S3.I2.i6.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.I2.i6.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.I2.i6.p1.1.m1.1.1.2.cmml">b</mi><mrow id="S3.I2.i6.p1.1.m1.1.1.3" xref="S3.I2.i6.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I2.i6.p1.1.m1.1.1.3.2" xref="S3.I2.i6.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml">N</mi><mo id="S3.I2.i6.p1.1.m1.1.1.3.1" xref="S3.I2.i6.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.I2.i6.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="S3.I2.i6.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I2.i6.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.I2.i6.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i6.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.i6.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i6.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I2.i6.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.I2.i6.p1.1.m1.1.1.2">𝑏</ci><apply id="S3.I2.i6.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.I2.i6.p1.1.m1.1.1.3"><minus id="S3.I2.i6.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I2.i6.p1.1.m1.1.1.3.1"></minus><ci id="S3.I2.i6.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I2.i6.p1.1.m1.1.1.3.2">𝑁</ci><cn id="S3.I2.i6.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.I2.i6.p1.1.m1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I2.i6.p1.1.m1.1c">b_{N-1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I2.i6.p1.1.m1.1d">italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_N - 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> of (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E24" title="Equation 24 ‣ III-C Performance analysis of Algorithm 1 ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">24</span></a>) satisfies <math alttext="b_{N-1}\in(0,1/2)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I2.i6.p1.2.m2.2"><semantics id="S3.I2.i6.p1.2.m2.2a"><mrow id="S3.I2.i6.p1.2.m2.2.2" xref="S3.I2.i6.p1.2.m2.2.2.cmml"><msub id="S3.I2.i6.p1.2.m2.2.2.3" xref="S3.I2.i6.p1.2.m2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.I2.i6.p1.2.m2.2.2.3.2" xref="S3.I2.i6.p1.2.m2.2.2.3.2.cmml">b</mi><mrow id="S3.I2.i6.p1.2.m2.2.2.3.3" xref="S3.I2.i6.p1.2.m2.2.2.3.3.cmml"><mi id="S3.I2.i6.p1.2.m2.2.2.3.3.2" xref="S3.I2.i6.p1.2.m2.2.2.3.3.2.cmml">N</mi><mo id="S3.I2.i6.p1.2.m2.2.2.3.3.1" xref="S3.I2.i6.p1.2.m2.2.2.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.I2.i6.p1.2.m2.2.2.3.3.3" xref="S3.I2.i6.p1.2.m2.2.2.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S3.I2.i6.p1.2.m2.2.2.2" xref="S3.I2.i6.p1.2.m2.2.2.2.cmml">∈</mo><mrow id="S3.I2.i6.p1.2.m2.2.2.1.1" xref="S3.I2.i6.p1.2.m2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.I2.i6.p1.2.m2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I2.i6.p1.2.m2.2.2.1.2.cmml">(</mo><mn id="S3.I2.i6.p1.2.m2.1.1" xref="S3.I2.i6.p1.2.m2.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.I2.i6.p1.2.m2.2.2.1.1.3" xref="S3.I2.i6.p1.2.m2.2.2.1.2.cmml">,</mo><mrow id="S3.I2.i6.p1.2.m2.2.2.1.1.1" xref="S3.I2.i6.p1.2.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mn id="S3.I2.i6.p1.2.m2.2.2.1.1.1.2" xref="S3.I2.i6.p1.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S3.I2.i6.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.I2.i6.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml">/</mo><mn id="S3.I2.i6.p1.2.m2.2.2.1.1.1.3" xref="S3.I2.i6.p1.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><mo id="S3.I2.i6.p1.2.m2.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.I2.i6.p1.2.m2.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I2.i6.p1.2.m2.2b"><apply id="S3.I2.i6.p1.2.m2.2.2.cmml" xref="S3.I2.i6.p1.2.m2.2.2"><in id="S3.I2.i6.p1.2.m2.2.2.2.cmml" xref="S3.I2.i6.p1.2.m2.2.2.2"></in><apply id="S3.I2.i6.p1.2.m2.2.2.3.cmml" xref="S3.I2.i6.p1.2.m2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.i6.p1.2.m2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.I2.i6.p1.2.m2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I2.i6.p1.2.m2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.I2.i6.p1.2.m2.2.2.3.2">𝑏</ci><apply id="S3.I2.i6.p1.2.m2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.I2.i6.p1.2.m2.2.2.3.3"><minus id="S3.I2.i6.p1.2.m2.2.2.3.3.1.cmml" xref="S3.I2.i6.p1.2.m2.2.2.3.3.1"></minus><ci id="S3.I2.i6.p1.2.m2.2.2.3.3.2.cmml" xref="S3.I2.i6.p1.2.m2.2.2.3.3.2">𝑁</ci><cn id="S3.I2.i6.p1.2.m2.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.I2.i6.p1.2.m2.2.2.3.3.3">1</cn></apply></apply><interval closure="open" id="S3.I2.i6.p1.2.m2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.I2.i6.p1.2.m2.2.2.1.1"><cn id="S3.I2.i6.p1.2.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.I2.i6.p1.2.m2.1.1">0</cn><apply id="S3.I2.i6.p1.2.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i6.p1.2.m2.2.2.1.1.1"><divide id="S3.I2.i6.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i6.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1"></divide><cn id="S3.I2.i6.p1.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.I2.i6.p1.2.m2.2.2.1.1.1.2">1</cn><cn id="S3.I2.i6.p1.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.I2.i6.p1.2.m2.2.2.1.1.1.3">2</cn></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I2.i6.p1.2.m2.2c">b_{N-1}\in(0,1/2)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I2.i6.p1.2.m2.2d">italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_N - 1 end_POSTSUBSCRIPT ∈ ( 0 , 1 / 2 )</annotation></semantics></math>.</p> </div> </li> </ol> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS3.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.p2.7">Few comments are in order to justify the introduction of the previous assumptions. By following the arguments in the proof of Theorem 2 in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib12" title="">12</a>]</cite>, it can be demonstrated that both <math alttext="T_{\star}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p2.1.m1.1"><semantics id="S3.SS3.p2.1.m1.1a"><msub id="S3.SS3.p2.1.m1.1.1" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p2.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="S3.SS3.p2.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.1.3.cmml">⋆</mo></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p2.1.m1.1b"><apply id="S3.SS3.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.1.2">𝑇</ci><ci id="S3.SS3.p2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.1.3">⋆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p2.1.m1.1c">T_{\star}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p2.1.m1.1d">italic_T start_POSTSUBSCRIPT ⋆ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E6" title="Equation 6 ‣ III-A The centralized (star-topology) B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6</span></a>) and <math alttext="T^{(n)}=T^{(n)}[k]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p2.2.m2.3"><semantics id="S3.SS3.p2.2.m2.3a"><mrow id="S3.SS3.p2.2.m2.3.4" xref="S3.SS3.p2.2.m2.3.4.cmml"><msup id="S3.SS3.p2.2.m2.3.4.2" xref="S3.SS3.p2.2.m2.3.4.2.cmml"><mi id="S3.SS3.p2.2.m2.3.4.2.2" xref="S3.SS3.p2.2.m2.3.4.2.2.cmml">T</mi><mrow id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.3" xref="S3.SS3.p2.2.m2.3.4.2.cmml"><mo id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS3.p2.2.m2.3.4.2.cmml">(</mo><mi id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.p2.2.m2.3.4.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.SS3.p2.2.m2.3.4.1" xref="S3.SS3.p2.2.m2.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS3.p2.2.m2.3.4.3" xref="S3.SS3.p2.2.m2.3.4.3.cmml"><msup id="S3.SS3.p2.2.m2.3.4.3.2" xref="S3.SS3.p2.2.m2.3.4.3.2.cmml"><mi id="S3.SS3.p2.2.m2.3.4.3.2.2" xref="S3.SS3.p2.2.m2.3.4.3.2.2.cmml">T</mi><mrow id="S3.SS3.p2.2.m2.2.2.1.3" xref="S3.SS3.p2.2.m2.3.4.3.2.cmml"><mo id="S3.SS3.p2.2.m2.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS3.p2.2.m2.3.4.3.2.cmml">(</mo><mi id="S3.SS3.p2.2.m2.2.2.1.1" xref="S3.SS3.p2.2.m2.2.2.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.SS3.p2.2.m2.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.p2.2.m2.3.4.3.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.SS3.p2.2.m2.3.4.3.1" xref="S3.SS3.p2.2.m2.3.4.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS3.p2.2.m2.3.4.3.3.2" xref="S3.SS3.p2.2.m2.3.4.3.3.1.cmml"><mo id="S3.SS3.p2.2.m2.3.4.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS3.p2.2.m2.3.4.3.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.SS3.p2.2.m2.3.3" xref="S3.SS3.p2.2.m2.3.3.cmml">k</mi><mo id="S3.SS3.p2.2.m2.3.4.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.p2.2.m2.3.4.3.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p2.2.m2.3b"><apply id="S3.SS3.p2.2.m2.3.4.cmml" xref="S3.SS3.p2.2.m2.3.4"><eq id="S3.SS3.p2.2.m2.3.4.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.2.m2.3.4.1"></eq><apply id="S3.SS3.p2.2.m2.3.4.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.2.m2.3.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p2.2.m2.3.4.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.2.m2.3.4.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p2.2.m2.3.4.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.2.m2.3.4.2.2">𝑇</ci><ci id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S3.SS3.p2.2.m2.3.4.3.cmml" xref="S3.SS3.p2.2.m2.3.4.3"><times id="S3.SS3.p2.2.m2.3.4.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.2.m2.3.4.3.1"></times><apply id="S3.SS3.p2.2.m2.3.4.3.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.2.m2.3.4.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p2.2.m2.3.4.3.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.2.m2.3.4.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p2.2.m2.3.4.3.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.2.m2.3.4.3.2.2">𝑇</ci><ci id="S3.SS3.p2.2.m2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.2.m2.2.2.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S3.SS3.p2.2.m2.3.4.3.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.2.m2.3.4.3.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS3.p2.2.m2.3.4.3.3.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.2.m2.3.4.3.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.SS3.p2.2.m2.3.3.cmml" xref="S3.SS3.p2.2.m2.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p2.2.m2.3c">T^{(n)}=T^{(n)}[k]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p2.2.m2.3d">italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT = italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ]</annotation></semantics></math> in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E9" title="Equation 9 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">9</span></a>) are Lipschitz continuous. A detailed discussion on conditions which ensure that the Lipschitz coefficient of <math alttext="T_{\star}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p2.3.m3.1"><semantics id="S3.SS3.p2.3.m3.1a"><msub id="S3.SS3.p2.3.m3.1.1" xref="S3.SS3.p2.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p2.3.m3.1.1.2" xref="S3.SS3.p2.3.m3.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="S3.SS3.p2.3.m3.1.1.3" xref="S3.SS3.p2.3.m3.1.1.3.cmml">⋆</mo></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p2.3.m3.1b"><apply id="S3.SS3.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p2.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p2.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.3.m3.1.1.2">𝑇</ci><ci id="S3.SS3.p2.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p2.3.m3.1.1.3">⋆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p2.3.m3.1c">T_{\star}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p2.3.m3.1d">italic_T start_POSTSUBSCRIPT ⋆ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is strictly smaller than <math alttext="1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p2.4.m4.1"><semantics id="S3.SS3.p2.4.m4.1a"><mn id="S3.SS3.p2.4.m4.1.1" xref="S3.SS3.p2.4.m4.1.1.cmml">1</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p2.4.m4.1b"><cn id="S3.SS3.p2.4.m4.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.p2.4.m4.1.1">1</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p2.4.m4.1c">1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p2.4.m4.1d">1</annotation></semantics></math> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.I2.i2" title="In Assumptions 4. ‣ III-C Performance analysis of Algorithm 1 ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Assumption</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">4(ii)</span></a>) can be found after Assumptions 3 in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib12" title="">12</a>]</cite>. To save space, such a discussion and the related proofs are omitted. It is also worth recalling that the classical Bellman mapping <math alttext="T_{\diamond}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p2.5.m5.1"><semantics id="S3.SS3.p2.5.m5.1a"><msub id="S3.SS3.p2.5.m5.1.1" xref="S3.SS3.p2.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p2.5.m5.1.1.2" xref="S3.SS3.p2.5.m5.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="S3.SS3.p2.5.m5.1.1.3" xref="S3.SS3.p2.5.m5.1.1.3.cmml">⋄</mo></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p2.5.m5.1b"><apply id="S3.SS3.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p2.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.5.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p2.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.5.m5.1.1.2">𝑇</ci><ci id="S3.SS3.p2.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p2.5.m5.1.1.3">⋄</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p2.5.m5.1c">T_{\diamond}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p2.5.m5.1d">italic_T start_POSTSUBSCRIPT ⋄ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S2.E1" title="Equation 1 ‣ II-A Preliminaries and notation ‣ II Distributed Reinforcement Learning ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>) is a well-known contraction (in a point-wise sense) <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib2" title="">2</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib1" title="">1</a>]</cite>. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.I2.i4" title="In Assumptions 4. ‣ III-C Performance analysis of Algorithm 1 ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Assumption</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">4(iv)</span></a> is used to ensure the existence of the constant <math alttext="C" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p2.6.m6.1"><semantics id="S3.SS3.p2.6.m6.1a"><mi id="S3.SS3.p2.6.m6.1.1" xref="S3.SS3.p2.6.m6.1.1.cmml">C</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p2.6.m6.1b"><ci id="S3.SS3.p2.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.6.m6.1.1">𝐶</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p2.6.m6.1c">C</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p2.6.m6.1d">italic_C</annotation></semantics></math> in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#A0.E37" title="Equation 37 ‣ V Conclusions ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">37</span></a>). <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.I2.i6" title="In Assumptions 4. ‣ III-C Performance analysis of Algorithm 1 ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Assumption</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">4(vi)</span></a> is taken as a premise to establish <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#Thmthm8" title="Lemma 8. ‣ V Conclusions ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Lemmata</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">8</span></a> and <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#Thmthm9" title="Lemma 9. ‣ V Conclusions ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">9</span></a>, and to simplify the presentation by avoiding lengthy arguments and proofs in the general case where <math alttext="b_{N-1}\in(0,1]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p2.7.m7.2"><semantics id="S3.SS3.p2.7.m7.2a"><mrow id="S3.SS3.p2.7.m7.2.3" xref="S3.SS3.p2.7.m7.2.3.cmml"><msub id="S3.SS3.p2.7.m7.2.3.2" xref="S3.SS3.p2.7.m7.2.3.2.cmml"><mi id="S3.SS3.p2.7.m7.2.3.2.2" xref="S3.SS3.p2.7.m7.2.3.2.2.cmml">b</mi><mrow id="S3.SS3.p2.7.m7.2.3.2.3" xref="S3.SS3.p2.7.m7.2.3.2.3.cmml"><mi id="S3.SS3.p2.7.m7.2.3.2.3.2" xref="S3.SS3.p2.7.m7.2.3.2.3.2.cmml">N</mi><mo id="S3.SS3.p2.7.m7.2.3.2.3.1" xref="S3.SS3.p2.7.m7.2.3.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.SS3.p2.7.m7.2.3.2.3.3" xref="S3.SS3.p2.7.m7.2.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S3.SS3.p2.7.m7.2.3.1" xref="S3.SS3.p2.7.m7.2.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.SS3.p2.7.m7.2.3.3.2" xref="S3.SS3.p2.7.m7.2.3.3.1.cmml"><mo id="S3.SS3.p2.7.m7.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS3.p2.7.m7.2.3.3.1.cmml">(</mo><mn id="S3.SS3.p2.7.m7.1.1" xref="S3.SS3.p2.7.m7.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.SS3.p2.7.m7.2.3.3.2.2" xref="S3.SS3.p2.7.m7.2.3.3.1.cmml">,</mo><mn id="S3.SS3.p2.7.m7.2.2" xref="S3.SS3.p2.7.m7.2.2.cmml">1</mn><mo id="S3.SS3.p2.7.m7.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS3.p2.7.m7.2.3.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p2.7.m7.2b"><apply id="S3.SS3.p2.7.m7.2.3.cmml" xref="S3.SS3.p2.7.m7.2.3"><in id="S3.SS3.p2.7.m7.2.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.7.m7.2.3.1"></in><apply id="S3.SS3.p2.7.m7.2.3.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.7.m7.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p2.7.m7.2.3.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.7.m7.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p2.7.m7.2.3.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.7.m7.2.3.2.2">𝑏</ci><apply id="S3.SS3.p2.7.m7.2.3.2.3.cmml" xref="S3.SS3.p2.7.m7.2.3.2.3"><minus id="S3.SS3.p2.7.m7.2.3.2.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.7.m7.2.3.2.3.1"></minus><ci id="S3.SS3.p2.7.m7.2.3.2.3.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.7.m7.2.3.2.3.2">𝑁</ci><cn id="S3.SS3.p2.7.m7.2.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.p2.7.m7.2.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><interval closure="open-closed" id="S3.SS3.p2.7.m7.2.3.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.7.m7.2.3.3.2"><cn id="S3.SS3.p2.7.m7.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.p2.7.m7.1.1">0</cn><cn id="S3.SS3.p2.7.m7.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.p2.7.m7.2.2">1</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p2.7.m7.2c">b_{N-1}\in(0,1]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p2.7.m7.2d">italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_N - 1 end_POSTSUBSCRIPT ∈ ( 0 , 1 ]</annotation></semantics></math>. Similarly, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.I2.i1" title="In Assumptions 4. ‣ III-C Performance analysis of Algorithm 1 ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Assumptions</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">4(i)</span></a> and <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.I2.i6" title="Assumption 4(vi) ‣ Assumptions 4. ‣ III-C Performance analysis of Algorithm 1 ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4(vi)</span></a> are introduced to simplify proofs.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS3.p3"> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.p3.8">The following theorem presents the main findings of the performance analysis. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.I3.i2" title="In Theorem 5. ‣ III-C Performance analysis of Algorithm 1 ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Theorem</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">5(ii)</span></a> asserts that the nodal Q-functions estimates (steps <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#alg1.l10" title="In Algorithm 1 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">10</span></a>–<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#alg1.l19" title="In Algorithm 1 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">19</span></a> of <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#alg1" title="In III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Algorithm</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>) converge to a consensual Q-function <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.SS3.p3.8.1">linearly</span> <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib37" title="">37</a>, p. 619]</cite>. A similar result holds true for the covariance-matrix estimates in <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.I3.i3" title="In Theorem 5. ‣ III-C Performance analysis of Algorithm 1 ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Theorem</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">5(iii)</span></a>. Moreover, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.I3.i4" title="In Theorem 5. ‣ III-C Performance analysis of Algorithm 1 ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Theorem</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">5(iv)</span></a> states that for sufficiently large iteration VI indices <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p3.1.m1.1"><semantics id="S3.SS3.p3.1.m1.1a"><mi id="S3.SS3.p3.1.m1.1.1" xref="S3.SS3.p3.1.m1.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p3.1.m1.1b"><ci id="S3.SS3.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.1.m1.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p3.1.m1.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p3.1.m1.1d">italic_k</annotation></semantics></math>, the difference between the nodal Q-function estimate <math alttext="Q^{(n)}[k]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p3.2.m2.2"><semantics id="S3.SS3.p3.2.m2.2a"><mrow id="S3.SS3.p3.2.m2.2.3" xref="S3.SS3.p3.2.m2.2.3.cmml"><msup id="S3.SS3.p3.2.m2.2.3.2" xref="S3.SS3.p3.2.m2.2.3.2.cmml"><mi id="S3.SS3.p3.2.m2.2.3.2.2" xref="S3.SS3.p3.2.m2.2.3.2.2.cmml">Q</mi><mrow id="S3.SS3.p3.2.m2.1.1.1.3" xref="S3.SS3.p3.2.m2.2.3.2.cmml"><mo id="S3.SS3.p3.2.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS3.p3.2.m2.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="S3.SS3.p3.2.m2.1.1.1.1" xref="S3.SS3.p3.2.m2.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.SS3.p3.2.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.p3.2.m2.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.SS3.p3.2.m2.2.3.1" xref="S3.SS3.p3.2.m2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS3.p3.2.m2.2.3.3.2" xref="S3.SS3.p3.2.m2.2.3.3.1.cmml"><mo id="S3.SS3.p3.2.m2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS3.p3.2.m2.2.3.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.SS3.p3.2.m2.2.2" xref="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.SS3.p3.2.m2.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.p3.2.m2.2.3.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p3.2.m2.2b"><apply id="S3.SS3.p3.2.m2.2.3.cmml" xref="S3.SS3.p3.2.m2.2.3"><times id="S3.SS3.p3.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.2.m2.2.3.1"></times><apply id="S3.SS3.p3.2.m2.2.3.2.cmml" xref="S3.SS3.p3.2.m2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p3.2.m2.2.3.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.2.m2.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p3.2.m2.2.3.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p3.2.m2.2.3.2.2">𝑄</ci><ci id="S3.SS3.p3.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.2.m2.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S3.SS3.p3.2.m2.2.3.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.2.m2.2.3.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS3.p3.2.m2.2.3.3.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.2.m2.2.3.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p3.2.m2.2.2">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p3.2.m2.2c">Q^{(n)}[k]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p3.2.m2.2d">italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ]</annotation></semantics></math> and the fixed point <math alttext="Q_{\star}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p3.3.m3.1"><semantics id="S3.SS3.p3.3.m3.1a"><msub id="S3.SS3.p3.3.m3.1.1" xref="S3.SS3.p3.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p3.3.m3.1.1.2" xref="S3.SS3.p3.3.m3.1.1.2.cmml">Q</mi><mo id="S3.SS3.p3.3.m3.1.1.3" xref="S3.SS3.p3.3.m3.1.1.3.cmml">⋆</mo></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p3.3.m3.1b"><apply id="S3.SS3.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p3.3.m3.1.1.2">𝑄</ci><ci id="S3.SS3.p3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p3.3.m3.1.1.3">⋆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p3.3.m3.1c">Q_{\star}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p3.3.m3.1d">italic_Q start_POSTSUBSCRIPT ⋆ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> of the centralized B-Map <math alttext="T_{\star}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p3.4.m4.1"><semantics id="S3.SS3.p3.4.m4.1a"><msub id="S3.SS3.p3.4.m4.1.1" xref="S3.SS3.p3.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p3.4.m4.1.1.2" xref="S3.SS3.p3.4.m4.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="S3.SS3.p3.4.m4.1.1.3" xref="S3.SS3.p3.4.m4.1.1.3.cmml">⋆</mo></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p3.4.m4.1b"><apply id="S3.SS3.p3.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p3.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p3.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p3.4.m4.1.1.2">𝑇</ci><ci id="S3.SS3.p3.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p3.4.m4.1.1.3">⋆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p3.4.m4.1c">T_{\star}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p3.4.m4.1d">italic_T start_POSTSUBSCRIPT ⋆ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> can be made arbitrarily small, at a linear rate with respect to the parameter <math alttext="M" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p3.5.m5.1"><semantics id="S3.SS3.p3.5.m5.1a"><mi id="S3.SS3.p3.5.m5.1.1" xref="S3.SS3.p3.5.m5.1.1.cmml">M</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p3.5.m5.1b"><ci id="S3.SS3.p3.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.5.m5.1.1">𝑀</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p3.5.m5.1c">M</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p3.5.m5.1d">italic_M</annotation></semantics></math> of <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#alg1" title="In III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Algorithm</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>. In simple terms, the longer the inner loop (steps <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#alg1.l10" title="In Algorithm 1 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">10</span></a>–<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#alg1.l19" title="In Algorithm 1 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">19</span></a> of <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#alg1" title="In III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Algorithm</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>) runs, the closer the VI output <math alttext="Q^{(n)}[k]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p3.6.m6.2"><semantics id="S3.SS3.p3.6.m6.2a"><mrow id="S3.SS3.p3.6.m6.2.3" xref="S3.SS3.p3.6.m6.2.3.cmml"><msup id="S3.SS3.p3.6.m6.2.3.2" xref="S3.SS3.p3.6.m6.2.3.2.cmml"><mi id="S3.SS3.p3.6.m6.2.3.2.2" xref="S3.SS3.p3.6.m6.2.3.2.2.cmml">Q</mi><mrow id="S3.SS3.p3.6.m6.1.1.1.3" xref="S3.SS3.p3.6.m6.2.3.2.cmml"><mo id="S3.SS3.p3.6.m6.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS3.p3.6.m6.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="S3.SS3.p3.6.m6.1.1.1.1" xref="S3.SS3.p3.6.m6.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.SS3.p3.6.m6.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.p3.6.m6.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.SS3.p3.6.m6.2.3.1" xref="S3.SS3.p3.6.m6.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS3.p3.6.m6.2.3.3.2" xref="S3.SS3.p3.6.m6.2.3.3.1.cmml"><mo id="S3.SS3.p3.6.m6.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS3.p3.6.m6.2.3.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.SS3.p3.6.m6.2.2" xref="S3.SS3.p3.6.m6.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.SS3.p3.6.m6.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.p3.6.m6.2.3.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p3.6.m6.2b"><apply id="S3.SS3.p3.6.m6.2.3.cmml" xref="S3.SS3.p3.6.m6.2.3"><times id="S3.SS3.p3.6.m6.2.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.6.m6.2.3.1"></times><apply id="S3.SS3.p3.6.m6.2.3.2.cmml" xref="S3.SS3.p3.6.m6.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p3.6.m6.2.3.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.6.m6.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p3.6.m6.2.3.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p3.6.m6.2.3.2.2">𝑄</ci><ci id="S3.SS3.p3.6.m6.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.6.m6.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S3.SS3.p3.6.m6.2.3.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.6.m6.2.3.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS3.p3.6.m6.2.3.3.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.6.m6.2.3.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.SS3.p3.6.m6.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p3.6.m6.2.2">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p3.6.m6.2c">Q^{(n)}[k]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p3.6.m6.2d">italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ]</annotation></semantics></math> at node <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p3.7.m7.1"><semantics id="S3.SS3.p3.7.m7.1a"><mi id="S3.SS3.p3.7.m7.1.1" xref="S3.SS3.p3.7.m7.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p3.7.m7.1b"><ci id="S3.SS3.p3.7.m7.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.7.m7.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p3.7.m7.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p3.7.m7.1d">italic_n</annotation></semantics></math> is to <math alttext="Q_{\star}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p3.8.m8.1"><semantics id="S3.SS3.p3.8.m8.1a"><msub id="S3.SS3.p3.8.m8.1.1" xref="S3.SS3.p3.8.m8.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p3.8.m8.1.1.2" xref="S3.SS3.p3.8.m8.1.1.2.cmml">Q</mi><mo id="S3.SS3.p3.8.m8.1.1.3" xref="S3.SS3.p3.8.m8.1.1.3.cmml">⋆</mo></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p3.8.m8.1b"><apply id="S3.SS3.p3.8.m8.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.8.m8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p3.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.8.m8.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p3.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p3.8.m8.1.1.2">𝑄</ci><ci id="S3.SS3.p3.8.m8.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p3.8.m8.1.1.3">⋆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p3.8.m8.1c">Q_{\star}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p3.8.m8.1d">italic_Q start_POSTSUBSCRIPT ⋆ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. This clearly indicates that the proposed DRL design closely mirrors the behavior of a centralized fusion center.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_thm" id="Thmthm5"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmthm5.1.1.1">Theorem 5</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmthm5.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmthm5.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmthm5.p1.1">Presume <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#Thmthm1" title="Assumptions 1. ‣ II-B General assumptions for the decentralized setting ‣ II Distributed Reinforcement Learning ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Assumptions</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> and <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.I2.i1" title="Assumption 4(i) ‣ Assumptions 4. ‣ III-C Performance analysis of Algorithm 1 ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4(i)</span></a>. The following hold true.</p> </div> <div class="ltx_para" id="Thmthm5.p2"> <ol class="ltx_enumerate" id="S3.I3"> <li class="ltx_item" id="S3.I3.i1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.I3.i1.1.1.1">(i)</span></span> <div class="ltx_para" id="S3.I3.i1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I3.i1.p1.2"><math alttext="\forall\eta\in(0,2(1-\varpi)\,)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.i1.p1.1.m1.2"><semantics id="S3.I3.i1.p1.1.m1.2a"><mrow id="S3.I3.i1.p1.1.m1.2.2" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.2.2.cmml"><mrow id="S3.I3.i1.p1.1.m1.2.2.3" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.2.2.3.cmml"><mo id="S3.I3.i1.p1.1.m1.2.2.3.1" rspace="0.167em" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.2.2.3.1.cmml">∀</mo><mi id="S3.I3.i1.p1.1.m1.2.2.3.2" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.2.2.3.2.cmml">η</mi></mrow><mo id="S3.I3.i1.p1.1.m1.2.2.2" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.2.2.2.cmml">∈</mo><mrow id="S3.I3.i1.p1.1.m1.2.2.1.1" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.I3.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml">(</mo><mn id="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.I3.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.3" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml">,</mo><mrow id="S3.I3.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mn id="S3.I3.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">2</mn><mo id="S3.I3.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I3.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.I3.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.I3.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.I3.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S3.I3.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S3.I3.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ϖ</mi></mrow><mo id="S3.I3.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.I3.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.i1.p1.1.m1.2b"><apply id="S3.I3.i1.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.2.2"><in id="S3.I3.i1.p1.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.2.2.2"></in><apply id="S3.I3.i1.p1.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.2.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.I3.i1.p1.1.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.2.2.3.1">for-all</csymbol><ci id="S3.I3.i1.p1.1.m1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.2.2.3.2">𝜂</ci></apply><interval closure="open" id="S3.I3.i1.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.2.2.1.1"><cn id="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1">0</cn><apply id="S3.I3.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1"><times id="S3.I3.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2"></times><cn id="S3.I3.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3">2</cn><apply id="S3.I3.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1"><minus id="S3.I3.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S3.I3.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><ci id="S3.I3.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3">italic-ϖ</ci></apply></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.i1.p1.1.m1.2c">\forall\eta\in(0,2(1-\varpi)\,)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.i1.p1.1.m1.2d">∀ italic_η ∈ ( 0 , 2 ( 1 - italic_ϖ ) )</annotation></semantics></math>, <math alttext="0<\varrho(\eta)<1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.i1.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.I3.i1.p1.2.m2.1a"><mrow id="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.2" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.2.cmml"><mn id="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.2.2" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.2.2.cmml">0</mn><mo id="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.2.3" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.2.3.cmml"><</mo><mrow id="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.2.4" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.2.4.cmml"><mi id="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.2.4.2" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.2.4.2.cmml">ϱ</mi><mo id="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.2.4.1" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.2.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.2.4.3.2" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.2.4.cmml"><mo id="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.2.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.2.4.cmml">(</mo><mi id="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.1" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.1.cmml">η</mi><mo id="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.2.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.2.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.2.5" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.2.5.cmml"><</mo><mn id="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.2.6" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.2.6.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.i1.p1.2.m2.1b"><apply id="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.2.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.2"><and id="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.2a.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.2"></and><apply id="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.2b.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.2"><lt id="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.2.3.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.2.3"></lt><cn id="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.2.2">0</cn><apply id="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.2.4.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.2.4"><times id="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.2.4.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.2.4.1"></times><ci id="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.2.4.2.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.2.4.2">italic-ϱ</ci><ci id="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.1">𝜂</ci></apply></apply><apply id="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.2c.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.2"><lt id="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.2.5.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.2.5"></lt><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.I3.i1.p1.2.m2.1.2.4.cmml" id="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.2d.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.2"></share><cn id="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.2.6.cmml" type="integer" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.2.6">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.i1.p1.2.m2.1c">0<\varrho(\eta)<1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.i1.p1.2.m2.1d">0 < italic_ϱ ( italic_η ) < 1</annotation></semantics></math>.</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S3.I3.i2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.I3.i2.1.1.1">(ii)</span></span> <div class="ltx_para" id="S3.I3.i2.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I3.i2.p1.2">Let <math alttext="(\,\mathfrak{Q}_{m}[k]=[\,Q_{m}^{(1)}[k],\ldots,Q_{m}^{(N)}[k]\,]\,)_{m\in% \mathbb{N}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7"><semantics id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7a"><msub id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.cmml"><mrow id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.cmml"><mo id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.2" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.4" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.4.cmml"><msub id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.4.2" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.4.2.cmml"><mi id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.4.2.2" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.4.2.2.cmml">𝔔</mi><mi id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.4.2.3" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.4.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.4.1" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.4.3.2" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.4.3.1.cmml"><mo id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.4.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.3" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.3.cmml">k</mi><mo id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.4.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.3" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.2.2" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.2.2.3" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.2.3.cmml">[</mo><mrow id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">Q</mi><mi id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">m</mi><mrow id="S3.I3.i2.p1.1.m1.1.1.1.3" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.I3.i2.p1.1.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mn id="S3.I3.i2.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.I3.i2.p1.1.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.I3.i2.p1.1.m1.4.4" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.4.4.cmml">k</mi><mo id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.2.2.4" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.I3.i2.p1.1.m1.6.6" mathvariant="normal" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.6.6.cmml">…</mi><mo id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.2.2.5" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.2.2.2" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.2.2.2.cmml"><msubsup id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">Q</mi><mi id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">m</mi><mrow id="S3.I3.i2.p1.1.m1.2.2.1.3" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mo id="S3.I3.i2.p1.1.m1.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.2.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S3.I3.i2.p1.1.m1.2.2.1.1" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.cmml">N</mi><mo id="S3.I3.i2.p1.1.m1.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.2.2.2.1" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.2.2.2.3.2" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml"><mo id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.2.2.2.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.I3.i2.p1.1.m1.5.5" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.5.5.cmml">k</mi><mo id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.2.2.2.3.2.2" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.2.2.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.2.2.6" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.2.3.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.3" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.3.cmml"><mi id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.3.2" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.3.2.cmml">m</mi><mo id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.3.1" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.3.1.cmml">∈</mo><mi id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.3.3" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.3.3.cmml">ℕ</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7b"><apply id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.2.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7">subscript</csymbol><apply id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1"><eq id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.3"></eq><apply id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.4.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.4"><times id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.4.1"></times><apply id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.4.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.4.2.2">𝔔</ci><ci id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.4.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.4.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.4.3.1.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.4.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.3.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.3">𝑘</ci></apply></apply><list id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.2.2"><apply id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑄</ci><ci id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑚</ci></apply><cn id="S3.I3.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.1.1.1.1">1</cn></apply><apply id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.I3.i2.p1.1.m1.4.4.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.4.4">𝑘</ci></apply></apply><ci id="S3.I3.i2.p1.1.m1.6.6.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.6.6">…</ci><apply id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.2.2.2"><times id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.2.2.2.1"></times><apply id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.2.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.2.2.2.2.2.2">𝑄</ci><ci id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.2.2.2.2.2.3">𝑚</ci></apply><ci id="S3.I3.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.2.2.1.1">𝑁</ci></apply><apply id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.2.2.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.2.2.2.3.1.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.1.1.1.2.2.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.I3.i2.p1.1.m1.5.5.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.5.5">𝑘</ci></apply></apply></list></apply><apply id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.3.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.3"><in id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.3.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.3.1"></in><ci id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.3.2.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.3.2">𝑚</ci><ci id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.3.3.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.7.7.3.3">ℕ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7c">(\,\mathfrak{Q}_{m}[k]=[\,Q_{m}^{(1)}[k],\ldots,Q_{m}^{(N)}[k]\,]\,)_{m\in% \mathbb{N}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.i2.p1.1.m1.7d">( fraktur_Q start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT [ italic_k ] = [ italic_Q start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ] , … , italic_Q start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_N ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ] ] ) start_POSTSUBSCRIPT italic_m ∈ blackboard_N end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> be the sequence generated by (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E15" title="Equation 15 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">15</span></a>). Then, for every node <math alttext="n\in\mathcal{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.i2.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.I3.i2.p1.2.m2.1a"><mrow id="S3.I3.i2.p1.2.m2.1.1" xref="S3.I3.i2.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.I3.i2.p1.2.m2.1.1.2" xref="S3.I3.i2.p1.2.m2.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S3.I3.i2.p1.2.m2.1.1.1" xref="S3.I3.i2.p1.2.m2.1.1.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.I3.i2.p1.2.m2.1.1.3" xref="S3.I3.i2.p1.2.m2.1.1.3.cmml">𝒩</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.i2.p1.2.m2.1b"><apply id="S3.I3.i2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.2.m2.1.1"><in id="S3.I3.i2.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.2.m2.1.1.1"></in><ci id="S3.I3.i2.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.2.m2.1.1.2">𝑛</ci><ci id="S3.I3.i2.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.2.m2.1.1.3">𝒩</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.i2.p1.2.m2.1c">n\in\mathcal{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.i2.p1.2.m2.1d">italic_n ∈ caligraphic_N</annotation></semantics></math>,</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A0.EGx30"> <tbody id="S3.Ex1"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\lVert\,Q_{m}^{(n)}[k]-\mathbf{T}(\mathfrak{Q}[k])\,\mathbf{1}_{N% }\,\rVert=\mathcal{O}(\,m\,\varrho^{m}(\eta)\,)\,," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex1.m1.5"><semantics id="S3.Ex1.m1.5a"><mrow id="S3.Ex1.m1.5.5.1" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.2" rspace="0.170em" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo><mrow id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">Q</mi><mi id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">m</mi><mrow id="S3.Ex1.m1.1.1.1.3" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mo id="S3.Ex1.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.Ex1.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.Ex1.m1.2.2" xref="S3.Ex1.m1.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝐓</mi><mo id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝔔</mi><mo id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.Ex1.m1.3.3" xref="S3.Ex1.m1.3.3.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mn class="ltx_mathvariant_bold" id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.2" mathvariant="bold" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml"> 1</mn><mi id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">N</mi></msub></mrow></mrow><mo fence="true" id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.3" lspace="0em" rspace="0.1389em" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mo id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.3" lspace="0.1389em" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.2" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.2.3" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.2.3.cmml">𝒪</mi><mo id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.2" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.2" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.2.cmml">m</mi><mo id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1" lspace="0.170em" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml">ϱ</mi><mi id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml">m</mi></msup><mo id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1a" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.4.2" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex1.m1.4.4" xref="S3.Ex1.m1.4.4.cmml">η</mi><mo id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.4.2.2" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.3" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex1.m1.5.5.1.2" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex1.m1.5b"><apply id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1"><eq id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.3"></eq><apply id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1"><minus id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.2"></minus><apply id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑄</ci><ci id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2.2.3">𝑚</ci></apply><ci id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.Ex1.m1.2.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.2.2">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3">𝐓</ci><apply id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝔔</ci><apply id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.Ex1.m1.3.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><cn id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.2">1</cn><ci id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.3">𝑁</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.2"><times id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2"></times><ci id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.2.3">𝒪</ci><apply id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1"><times id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1"></times><ci id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.2">𝑚</ci><apply id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3.2">italic-ϱ</ci><ci id="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3.3">𝑚</ci></apply><ci id="S3.Ex1.m1.4.4.cmml" xref="S3.Ex1.m1.4.4">𝜂</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex1.m1.5c">\displaystyle\lVert\,Q_{m}^{(n)}[k]-\mathbf{T}(\mathfrak{Q}[k])\,\mathbf{1}_{N% }\,\rVert=\mathcal{O}(\,m\,\varrho^{m}(\eta)\,)\,,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex1.m1.5d">∥ italic_Q start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ] - bold_T ( fraktur_Q [ italic_k ] ) bold_1 start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT ∥ = caligraphic_O ( italic_m italic_ϱ start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_η ) ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.I3.i2.p1.6">where <math alttext="\mathbf{T}(\cdot)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.i2.p1.3.m1.1"><semantics id="S3.I3.i2.p1.3.m1.1a"><mrow id="S3.I3.i2.p1.3.m1.1.2" xref="S3.I3.i2.p1.3.m1.1.2.cmml"><mi id="S3.I3.i2.p1.3.m1.1.2.2" xref="S3.I3.i2.p1.3.m1.1.2.2.cmml">𝐓</mi><mo id="S3.I3.i2.p1.3.m1.1.2.1" xref="S3.I3.i2.p1.3.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I3.i2.p1.3.m1.1.2.3.2" xref="S3.I3.i2.p1.3.m1.1.2.cmml"><mo id="S3.I3.i2.p1.3.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.I3.i2.p1.3.m1.1.2.cmml">(</mo><mo id="S3.I3.i2.p1.3.m1.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.I3.i2.p1.3.m1.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="S3.I3.i2.p1.3.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.I3.i2.p1.3.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.i2.p1.3.m1.1b"><apply id="S3.I3.i2.p1.3.m1.1.2.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.3.m1.1.2"><times id="S3.I3.i2.p1.3.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.3.m1.1.2.1"></times><ci id="S3.I3.i2.p1.3.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.3.m1.1.2.2">𝐓</ci><ci id="S3.I3.i2.p1.3.m1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.3.m1.1.1">⋅</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.i2.p1.3.m1.1c">\mathbf{T}(\cdot)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.i2.p1.3.m1.1d">bold_T ( ⋅ )</annotation></semantics></math> is defined by (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E10" title="Equation 10 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">10</span></a>), <math alttext="\lVert\cdot\rVert" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.i2.p1.4.m2.1"><semantics id="S3.I3.i2.p1.4.m2.1a"><mrow id="S3.I3.i2.p1.4.m2.1.2.2" xref="S3.I3.i2.p1.4.m2.1.2.1.cmml"><mo fence="true" id="S3.I3.i2.p1.4.m2.1.2.2.1" rspace="0em" xref="S3.I3.i2.p1.4.m2.1.2.1.1.cmml">∥</mo><mo id="S3.I3.i2.p1.4.m2.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.I3.i2.p1.4.m2.1.1.cmml">⋅</mo><mo fence="true" id="S3.I3.i2.p1.4.m2.1.2.2.2" lspace="0em" xref="S3.I3.i2.p1.4.m2.1.2.1.1.cmml">∥</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.i2.p1.4.m2.1b"><apply id="S3.I3.i2.p1.4.m2.1.2.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.4.m2.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.I3.i2.p1.4.m2.1.2.1.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.4.m2.1.2.2.1">delimited-∥∥</csymbol><ci id="S3.I3.i2.p1.4.m2.1.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.4.m2.1.1">⋅</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.i2.p1.4.m2.1c">\lVert\cdot\rVert</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.i2.p1.4.m2.1d">∥ ⋅ ∥</annotation></semantics></math> stands for the Euclidean norm in <math alttext="\mathbb{R}^{D}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.i2.p1.5.m3.1"><semantics id="S3.I3.i2.p1.5.m3.1a"><msup id="S3.I3.i2.p1.5.m3.1.1" xref="S3.I3.i2.p1.5.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.I3.i2.p1.5.m3.1.1.2" xref="S3.I3.i2.p1.5.m3.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S3.I3.i2.p1.5.m3.1.1.3" xref="S3.I3.i2.p1.5.m3.1.1.3.cmml">D</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.i2.p1.5.m3.1b"><apply id="S3.I3.i2.p1.5.m3.1.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.5.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.i2.p1.5.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.5.m3.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.I3.i2.p1.5.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.5.m3.1.1.2">ℝ</ci><ci id="S3.I3.i2.p1.5.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.5.m3.1.1.3">𝐷</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.i2.p1.5.m3.1c">\mathbb{R}^{D}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.i2.p1.5.m3.1d">blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_D end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, and <math alttext="\mathcal{O}(\cdot)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.i2.p1.6.m4.1"><semantics id="S3.I3.i2.p1.6.m4.1a"><mrow id="S3.I3.i2.p1.6.m4.1.2" xref="S3.I3.i2.p1.6.m4.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.I3.i2.p1.6.m4.1.2.2" xref="S3.I3.i2.p1.6.m4.1.2.2.cmml">𝒪</mi><mo id="S3.I3.i2.p1.6.m4.1.2.1" xref="S3.I3.i2.p1.6.m4.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I3.i2.p1.6.m4.1.2.3.2" xref="S3.I3.i2.p1.6.m4.1.2.cmml"><mo id="S3.I3.i2.p1.6.m4.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.I3.i2.p1.6.m4.1.2.cmml">(</mo><mo id="S3.I3.i2.p1.6.m4.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.I3.i2.p1.6.m4.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="S3.I3.i2.p1.6.m4.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.I3.i2.p1.6.m4.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.i2.p1.6.m4.1b"><apply id="S3.I3.i2.p1.6.m4.1.2.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.6.m4.1.2"><times id="S3.I3.i2.p1.6.m4.1.2.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.6.m4.1.2.1"></times><ci id="S3.I3.i2.p1.6.m4.1.2.2.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.6.m4.1.2.2">𝒪</ci><ci id="S3.I3.i2.p1.6.m4.1.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.6.m4.1.1">⋅</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.i2.p1.6.m4.1c">\mathcal{O}(\cdot)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.i2.p1.6.m4.1d">caligraphic_O ( ⋅ )</annotation></semantics></math> is the classical big-oh notation <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib38" title="">38</a>]</cite>.</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S3.I3.i3" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.I3.i3.1.1.1">(iii)</span></span> <div class="ltx_para" id="S3.I3.i3.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I3.i3.p1.3">Let <math alttext="(\mathfrak{C}_{l}=[\,\mathbf{C}_{l}^{(1)},\ldots,\mathbf{C}_{l}^{(N)}\,])" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.i3.p1.1.m1.4"><semantics id="S3.I3.i3.p1.1.m1.4a"><mrow id="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1" xref="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.cmml"><mo id="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.2" stretchy="false" xref="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1" xref="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.cmml"><msub id="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.4" xref="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.4.cmml"><mi id="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.4.2" xref="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.4.2.cmml">ℭ</mi><mi id="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.4.3" xref="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.4.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.3" xref="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.2.3.cmml"><mo id="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.2.2.3" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.2.3.cmml">[</mo><msubsup id="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐂</mi><mi id="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.cmml">l</mi><mrow id="S3.I3.i3.p1.1.m1.1.1.1.3" xref="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.I3.i3.p1.1.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mn id="S3.I3.i3.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.I3.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.I3.i3.p1.1.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.2.2.4" xref="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.I3.i3.p1.1.m1.3.3" mathvariant="normal" xref="S3.I3.i3.p1.1.m1.3.3.cmml">…</mi><mo id="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.2.2.5" xref="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.2.3.cmml">,</mo><msubsup id="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.2.2.2" xref="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.cmml">𝐂</mi><mi id="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3" xref="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.cmml">l</mi><mrow id="S3.I3.i3.p1.1.m1.2.2.1.3" xref="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="S3.I3.i3.p1.1.m1.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S3.I3.i3.p1.1.m1.2.2.1.1" xref="S3.I3.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.cmml">N</mi><mo id="S3.I3.i3.p1.1.m1.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.2.2.6" stretchy="false" xref="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.2.3.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.3" stretchy="false" xref="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.i3.p1.1.m1.4b"><apply id="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1"><eq id="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.3"></eq><apply id="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.4.cmml" xref="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.4.1.cmml" xref="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.4.2.cmml" xref="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.4.2">ℭ</ci><ci id="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.4.3.cmml" xref="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.4.3">𝑙</ci></apply><list id="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.2.3.cmml" xref="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.2.2"><apply id="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2">𝐂</ci><ci id="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3">𝑙</ci></apply><cn id="S3.I3.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.I3.i3.p1.1.m1.1.1.1.1">1</cn></apply><ci id="S3.I3.i3.p1.1.m1.3.3.cmml" xref="S3.I3.i3.p1.1.m1.3.3">…</ci><apply id="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2">𝐂</ci><ci id="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.I3.i3.p1.1.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3">𝑙</ci></apply><ci id="S3.I3.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.I3.i3.p1.1.m1.2.2.1.1">𝑁</ci></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.i3.p1.1.m1.4c">(\mathfrak{C}_{l}=[\,\mathbf{C}_{l}^{(1)},\ldots,\mathbf{C}_{l}^{(N)}\,])</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.i3.p1.1.m1.4d">( fraktur_C start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT = [ bold_C start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT , … , bold_C start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_N ) end_POSTSUPERSCRIPT ] )</annotation></semantics></math> be the sequence generated by (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E22" title="Equation 22 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">22</span></a>), and <math alttext="\mathbf{\Phi}_{\mathcal{N}}\mathbf{\Phi}_{\mathcal{N}}^{\intercal}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.i3.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.I3.i3.p1.2.m2.1a"><mrow id="S3.I3.i3.p1.2.m2.1.1" xref="S3.I3.i3.p1.2.m2.1.1.cmml"><msub id="S3.I3.i3.p1.2.m2.1.1.2" xref="S3.I3.i3.p1.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.I3.i3.p1.2.m2.1.1.2.2" xref="S3.I3.i3.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml">𝚽</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.I3.i3.p1.2.m2.1.1.2.3" xref="S3.I3.i3.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml">𝒩</mi></msub><mo id="S3.I3.i3.p1.2.m2.1.1.1" xref="S3.I3.i3.p1.2.m2.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.I3.i3.p1.2.m2.1.1.3" xref="S3.I3.i3.p1.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I3.i3.p1.2.m2.1.1.3.2.2" xref="S3.I3.i3.p1.2.m2.1.1.3.2.2.cmml">𝚽</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.I3.i3.p1.2.m2.1.1.3.2.3" xref="S3.I3.i3.p1.2.m2.1.1.3.2.3.cmml">𝒩</mi><mo id="S3.I3.i3.p1.2.m2.1.1.3.3" xref="S3.I3.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml">⊺</mo></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.i3.p1.2.m2.1b"><apply id="S3.I3.i3.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.I3.i3.p1.2.m2.1.1"><times id="S3.I3.i3.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i3.p1.2.m2.1.1.1"></times><apply id="S3.I3.i3.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.I3.i3.p1.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.i3.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I3.i3.p1.2.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I3.i3.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I3.i3.p1.2.m2.1.1.2.2">𝚽</ci><ci id="S3.I3.i3.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.I3.i3.p1.2.m2.1.1.2.3">𝒩</ci></apply><apply id="S3.I3.i3.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.I3.i3.p1.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.i3.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I3.i3.p1.2.m2.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S3.I3.i3.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I3.i3.p1.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.i3.p1.2.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.I3.i3.p1.2.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I3.i3.p1.2.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.I3.i3.p1.2.m2.1.1.3.2.2">𝚽</ci><ci id="S3.I3.i3.p1.2.m2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.I3.i3.p1.2.m2.1.1.3.2.3">𝒩</ci></apply><ci id="S3.I3.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.I3.i3.p1.2.m2.1.1.3.3">⊺</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.i3.p1.2.m2.1c">\mathbf{\Phi}_{\mathcal{N}}\mathbf{\Phi}_{\mathcal{N}}^{\intercal}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.i3.p1.2.m2.1d">bold_Φ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT bold_Φ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⊺ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> the network-wide covariance matrix of (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E7.4" title="Equation 7d ‣ Equation 7 ‣ III-A The centralized (star-topology) B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7d</span></a>). Then, for every node <math alttext="n\in\mathcal{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.i3.p1.3.m3.1"><semantics id="S3.I3.i3.p1.3.m3.1a"><mrow id="S3.I3.i3.p1.3.m3.1.1" xref="S3.I3.i3.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.I3.i3.p1.3.m3.1.1.2" xref="S3.I3.i3.p1.3.m3.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S3.I3.i3.p1.3.m3.1.1.1" xref="S3.I3.i3.p1.3.m3.1.1.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.I3.i3.p1.3.m3.1.1.3" xref="S3.I3.i3.p1.3.m3.1.1.3.cmml">𝒩</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.i3.p1.3.m3.1b"><apply id="S3.I3.i3.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.I3.i3.p1.3.m3.1.1"><in id="S3.I3.i3.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i3.p1.3.m3.1.1.1"></in><ci id="S3.I3.i3.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.I3.i3.p1.3.m3.1.1.2">𝑛</ci><ci id="S3.I3.i3.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.I3.i3.p1.3.m3.1.1.3">𝒩</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.i3.p1.3.m3.1c">n\in\mathcal{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.i3.p1.3.m3.1d">italic_n ∈ caligraphic_N</annotation></semantics></math>,</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A0.EGx31"> <tbody id="S3.Ex2a"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\lVert\,\mathbf{C}_{l}^{(n)}-\mathbf{\Phi}_{\mathcal{N}}\mathbf{% \Phi}_{\mathcal{N}}^{\intercal}\,\rVert_{\textnormal{F}}=\mathcal{O}(\,l\,% \varrho^{l}(\eta)\,)\,." class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex2a.m1.3"><semantics id="S3.Ex2a.m1.3a"><mrow id="S3.Ex2a.m1.3.3.1" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" rspace="0.170em" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo><mrow id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">𝐂</mi><mi id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">l</mi><mrow id="S3.Ex2a.m1.1.1.1.3" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex2a.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex2a.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex2a.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.Ex2a.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">𝚽</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">𝒩</mi></msub><mo id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">𝚽</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">𝒩</mi><mo id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">⊺</mo></msubsup></mrow></mrow><mo fence="true" id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" lspace="0em" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mtext id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.3a.cmml">F</mtext></msub><mo id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.3" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.2" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.2.3" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.2.3.cmml">𝒪</mi><mo id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.2.1.1" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.2.1.1.2" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.2.1.1.1" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.cmml">l</mi><mo id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1" lspace="0.170em" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml">ϱ</mi><mi id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml">l</mi></msup><mo id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1a" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.4.2" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex2a.m1.2.2" xref="S3.Ex2a.m1.2.2.cmml">η</mi><mo id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.4.2.2" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.2" lspace="0.170em" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex2a.m1.3b"><apply id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1"><eq id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.3"></eq><apply id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝐂</ci><ci id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑙</ci></apply><ci id="S3.Ex2a.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex2a.m1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝚽</ci><ci id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝒩</ci></apply><apply id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝚽</ci><ci id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3">𝒩</ci></apply><ci id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.3">⊺</ci></apply></apply></apply></apply><ci id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.3a.cmml" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.3"><mtext id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.1.3">F</mtext></ci></apply><apply id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.2"><times id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.2.2"></times><ci id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.2.3">𝒪</ci><apply id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.2.1.1"><times id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1"></times><ci id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2">𝑙</ci><apply id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3.2">italic-ϱ</ci><ci id="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex2a.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3.3">𝑙</ci></apply><ci id="S3.Ex2a.m1.2.2.cmml" xref="S3.Ex2a.m1.2.2">𝜂</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex2a.m1.3c">\displaystyle\lVert\,\mathbf{C}_{l}^{(n)}-\mathbf{\Phi}_{\mathcal{N}}\mathbf{% \Phi}_{\mathcal{N}}^{\intercal}\,\rVert_{\textnormal{F}}=\mathcal{O}(\,l\,% \varrho^{l}(\eta)\,)\,.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex2a.m1.3d">∥ bold_C start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT - bold_Φ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT bold_Φ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⊺ end_POSTSUPERSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT F end_POSTSUBSCRIPT = caligraphic_O ( italic_l italic_ϱ start_POSTSUPERSCRIPT italic_l end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_η ) ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S3.I3.i4" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.I3.i4.1.1.1">(iv)</span></span> <div class="ltx_para" id="S3.I3.i4.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I3.i4.p1.1">Consider also <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.I2.i2" title="In Assumptions 4. ‣ III-C Performance analysis of Algorithm 1 ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Assumptions</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">4(ii)</span></a> and <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.I2.i4" title="Assumption 4(iv) ‣ Assumptions 4. ‣ III-C Performance analysis of Algorithm 1 ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4(iv)</span></a>. Then, there exists <math alttext="C\in\mathbb{R}_{++}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.i4.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.I3.i4.p1.1.m1.1a"><mrow id="S3.I3.i4.p1.1.m1.1.1" xref="S3.I3.i4.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.I3.i4.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.I3.i4.p1.1.m1.1.1.2.cmml">C</mi><mo id="S3.I3.i4.p1.1.m1.1.1.1" xref="S3.I3.i4.p1.1.m1.1.1.1.cmml">∈</mo><msub id="S3.I3.i4.p1.1.m1.1.1.3" xref="S3.I3.i4.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I3.i4.p1.1.m1.1.1.3.2" xref="S3.I3.i4.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S3.I3.i4.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="S3.I3.i4.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.I3.i4.p1.1.m1.1.1.3.3.2" xref="S3.I3.i4.p1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml"></mi><mo id="S3.I3.i4.p1.1.m1.1.1.3.3.1" rspace="0em" xref="S3.I3.i4.p1.1.m1.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mo id="S3.I3.i4.p1.1.m1.1.1.3.3.3" lspace="0em" xref="S3.I3.i4.p1.1.m1.1.1.3.3.3.cmml">+</mo></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.i4.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.I3.i4.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i4.p1.1.m1.1.1"><in id="S3.I3.i4.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i4.p1.1.m1.1.1.1"></in><ci id="S3.I3.i4.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.I3.i4.p1.1.m1.1.1.2">𝐶</ci><apply id="S3.I3.i4.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.I3.i4.p1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.i4.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I3.i4.p1.1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I3.i4.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I3.i4.p1.1.m1.1.1.3.2">ℝ</ci><apply id="S3.I3.i4.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.I3.i4.p1.1.m1.1.1.3.3"><plus id="S3.I3.i4.p1.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.I3.i4.p1.1.m1.1.1.3.3.1"></plus><csymbol cd="latexml" id="S3.I3.i4.p1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.I3.i4.p1.1.m1.1.1.3.3.2">absent</csymbol><plus id="S3.I3.i4.p1.1.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.I3.i4.p1.1.m1.1.1.3.3.3"></plus></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.i4.p1.1.m1.1c">C\in\mathbb{R}_{++}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.i4.p1.1.m1.1d">italic_C ∈ blackboard_R start_POSTSUBSCRIPT + + end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> such that (s.t.)</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A0.EGx32"> <tbody id="S3.Ex3b"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\lim\sup_{k\to\infty}\lVert\,Q^{(n)}[k]-Q_{\star}\,\rVert\leq C\,% \frac{1}{1-\beta_{\star}}\,M\,\varrho^{M}(\eta)\,," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex3b.m1.4"><semantics id="S3.Ex3b.m1.4a"><mrow id="S3.Ex3b.m1.4.4.1" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.2" movablelimits="false" rspace="0.0835em" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">lim</mo><mrow id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><munder id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.2.2" lspace="0.0835em" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml">sup</mo><mrow id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.1" stretchy="false" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.1.cmml">→</mo><mi id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.3" mathvariant="normal" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.3.cmml">∞</mi></mrow></munder><mrow id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" lspace="0em" rspace="0.170em" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo><mrow id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msup id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">Q</mi><mrow id="S3.Ex3b.m1.1.1.1.3" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mo id="S3.Ex3b.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex3b.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex3b.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.Ex3b.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.Ex3b.m1.2.2" xref="S3.Ex3b.m1.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Q</mi><mo id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">⋆</mo></msub></mrow><mo fence="true" id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" lspace="0em" rspace="0.1389em" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.2" lspace="0.1389em" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.2.cmml">≤</mo><mrow id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.2" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.2.cmml">C</mi><mo id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.1" lspace="0.170em" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.3" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.3.cmml"><mfrac id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.3a" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.3.cmml"><mn id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.3.2.cmml">1</mn><mrow id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.3.3.cmml"><mn id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.3.3.2" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.3.3.2.cmml">1</mn><mo id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.3.3.1" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.3.3.1.cmml">−</mo><msub id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.3.3.3" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.3.3.3.2" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.3.3.3.2.cmml">β</mi><mo id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.3.3.3.3" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.3.3.3.3.cmml">⋆</mo></msub></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.1a" lspace="0.170em" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.4" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.4.cmml">M</mi><mo id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.1b" lspace="0.170em" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.5" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.5.cmml"><mi id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.5.2" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.5.2.cmml">ϱ</mi><mi id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.5.3" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.5.3.cmml">M</mi></msup><mo id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.1c" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.6.2" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mo id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.6.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex3b.m1.3.3" xref="S3.Ex3b.m1.3.3.cmml">η</mi><mo id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.6.2.2" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.2" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex3b.m1.4b"><apply id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1"><leq id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.2"></leq><apply id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1"><limit id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.2"></limit><apply id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1"><apply id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.2.2">supremum</csymbol><apply id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.2.3"><ci id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.1">→</ci><ci id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.2">𝑘</ci><infinity id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.3"></infinity></apply></apply><apply id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑄</ci><ci id="S3.Ex3b.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex3b.m1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.Ex3b.m1.2.2.cmml" xref="S3.Ex3b.m1.2.2">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑄</ci><ci id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3">⋆</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3"><times id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.1"></times><ci id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.2">𝐶</ci><apply id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.3"><divide id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.3"></divide><cn id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.3.2">1</cn><apply id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.3.3"><minus id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.3.3.1"></minus><cn id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.3.3.2">1</cn><apply id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.3.3.3.2">𝛽</ci><ci id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.3.3.3.3">⋆</ci></apply></apply></apply><ci id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.4.cmml" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.4">𝑀</ci><apply id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.5.cmml" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.5.1.cmml" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.5">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.5.2.cmml" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.5.2">italic-ϱ</ci><ci id="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.5.3.cmml" xref="S3.Ex3b.m1.4.4.1.1.3.5.3">𝑀</ci></apply><ci id="S3.Ex3b.m1.3.3.cmml" xref="S3.Ex3b.m1.3.3">𝜂</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex3b.m1.4c">\displaystyle\lim\sup_{k\to\infty}\lVert\,Q^{(n)}[k]-Q_{\star}\,\rVert\leq C\,% \frac{1}{1-\beta_{\star}}\,M\,\varrho^{M}(\eta)\,,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex3b.m1.4d">roman_lim roman_sup start_POSTSUBSCRIPT italic_k → ∞ end_POSTSUBSCRIPT ∥ italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ] - italic_Q start_POSTSUBSCRIPT ⋆ end_POSTSUBSCRIPT ∥ ≤ italic_C divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 1 - italic_β start_POSTSUBSCRIPT ⋆ end_POSTSUBSCRIPT end_ARG italic_M italic_ϱ start_POSTSUPERSCRIPT italic_M end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_η ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.I3.i4.p1.3">where <math alttext="Q_{\star}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.i4.p1.2.m1.1"><semantics id="S3.I3.i4.p1.2.m1.1a"><msub id="S3.I3.i4.p1.2.m1.1.1" xref="S3.I3.i4.p1.2.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.I3.i4.p1.2.m1.1.1.2" xref="S3.I3.i4.p1.2.m1.1.1.2.cmml">Q</mi><mo id="S3.I3.i4.p1.2.m1.1.1.3" xref="S3.I3.i4.p1.2.m1.1.1.3.cmml">⋆</mo></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.i4.p1.2.m1.1b"><apply id="S3.I3.i4.p1.2.m1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i4.p1.2.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.i4.p1.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i4.p1.2.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I3.i4.p1.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.I3.i4.p1.2.m1.1.1.2">𝑄</ci><ci id="S3.I3.i4.p1.2.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.I3.i4.p1.2.m1.1.1.3">⋆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.i4.p1.2.m1.1c">Q_{\star}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.i4.p1.2.m1.1d">italic_Q start_POSTSUBSCRIPT ⋆ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is the unique fixed point of the centralized B-Map <math alttext="T_{\star}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.i4.p1.3.m2.1"><semantics id="S3.I3.i4.p1.3.m2.1a"><msub id="S3.I3.i4.p1.3.m2.1.1" xref="S3.I3.i4.p1.3.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.I3.i4.p1.3.m2.1.1.2" xref="S3.I3.i4.p1.3.m2.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="S3.I3.i4.p1.3.m2.1.1.3" xref="S3.I3.i4.p1.3.m2.1.1.3.cmml">⋆</mo></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.i4.p1.3.m2.1b"><apply id="S3.I3.i4.p1.3.m2.1.1.cmml" xref="S3.I3.i4.p1.3.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.i4.p1.3.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i4.p1.3.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I3.i4.p1.3.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.I3.i4.p1.3.m2.1.1.2">𝑇</ci><ci id="S3.I3.i4.p1.3.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.I3.i4.p1.3.m2.1.1.3">⋆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.i4.p1.3.m2.1c">T_{\star}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.i4.p1.3.m2.1d">italic_T start_POSTSUBSCRIPT ⋆ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.I2.i2" title="In Assumptions 4. ‣ III-C Performance analysis of Algorithm 1 ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Assumption</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">4(ii)</span></a>).</p> </div> </li> </ol> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S3.SS3.1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_bold ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof:</h6> <div class="ltx_para" id="S3.SS3.1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.1.p1.1">See the appendix. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS3.p4"> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.p4.2">Interestingly, the following theorem states that the optimal learning rate <math alttext="\eta_{*}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p4.1.m1.1"><semantics id="S3.SS3.p4.1.m1.1a"><msub id="S3.SS3.p4.1.m1.1.1" xref="S3.SS3.p4.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p4.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS3.p4.1.m1.1.1.2.cmml">η</mi><mo id="S3.SS3.p4.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS3.p4.1.m1.1.1.3.cmml">∗</mo></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p4.1.m1.1b"><apply id="S3.SS3.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p4.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p4.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p4.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p4.1.m1.1.1.2">𝜂</ci><times id="S3.SS3.p4.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p4.1.m1.1.1.3"></times></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p4.1.m1.1c">\eta_{*}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p4.1.m1.1d">italic_η start_POSTSUBSCRIPT ∗ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> of recursions (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E15" title="Equation 15 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">15</span></a>) and (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E22" title="Equation 22 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">22</span></a>), which offers the “maximum” linear convergence rate in <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#Thmthm5" title="Theorem 5. ‣ III-C Performance analysis of Algorithm 1 ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Theorem</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a>, is determined by the value <math alttext="b_{N-1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p4.2.m2.1"><semantics id="S3.SS3.p4.2.m2.1a"><msub id="S3.SS3.p4.2.m2.1.1" xref="S3.SS3.p4.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p4.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS3.p4.2.m2.1.1.2.cmml">b</mi><mrow id="S3.SS3.p4.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS3.p4.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS3.p4.2.m2.1.1.3.2" xref="S3.SS3.p4.2.m2.1.1.3.2.cmml">N</mi><mo id="S3.SS3.p4.2.m2.1.1.3.1" xref="S3.SS3.p4.2.m2.1.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.SS3.p4.2.m2.1.1.3.3" xref="S3.SS3.p4.2.m2.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p4.2.m2.1b"><apply id="S3.SS3.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p4.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p4.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p4.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p4.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p4.2.m2.1.1.2">𝑏</ci><apply id="S3.SS3.p4.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p4.2.m2.1.1.3"><minus id="S3.SS3.p4.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p4.2.m2.1.1.3.1"></minus><ci id="S3.SS3.p4.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS3.p4.2.m2.1.1.3.2">𝑁</ci><cn id="S3.SS3.p4.2.m2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.p4.2.m2.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p4.2.m2.1c">b_{N-1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p4.2.m2.1d">italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_N - 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E24" title="Equation 24 ‣ III-C Performance analysis of Algorithm 1 ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">24</span></a>).</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_thm" id="Thmthm6"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmthm6.1.1.1">Theorem 6</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmthm6.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmthm6.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmthm6.p1.1">Consider <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.I2.i1" title="In Assumptions 4. ‣ III-C Performance analysis of Algorithm 1 ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Assumptions</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">4(i)</span></a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.I2.i5" title="Assumption 4(v) ‣ Assumptions 4. ‣ III-C Performance analysis of Algorithm 1 ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4(v)</span></a> and <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.I2.i6" title="Assumption 4(vi) ‣ Assumptions 4. ‣ III-C Performance analysis of Algorithm 1 ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4(vi)</span></a>. Notice that under <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.I2.i5" title="In Assumptions 4. ‣ III-C Performance analysis of Algorithm 1 ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Assumption</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">4(v)</span></a>, <math alttext="\eta\in(0,1)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmthm6.p1.1.m1.2"><semantics id="Thmthm6.p1.1.m1.2a"><mrow id="Thmthm6.p1.1.m1.2.3" xref="Thmthm6.p1.1.m1.2.3.cmml"><mi id="Thmthm6.p1.1.m1.2.3.2" xref="Thmthm6.p1.1.m1.2.3.2.cmml">η</mi><mo id="Thmthm6.p1.1.m1.2.3.1" xref="Thmthm6.p1.1.m1.2.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="Thmthm6.p1.1.m1.2.3.3.2" xref="Thmthm6.p1.1.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="Thmthm6.p1.1.m1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmthm6.p1.1.m1.2.3.3.1.cmml">(</mo><mn id="Thmthm6.p1.1.m1.1.1" xref="Thmthm6.p1.1.m1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Thmthm6.p1.1.m1.2.3.3.2.2" xref="Thmthm6.p1.1.m1.2.3.3.1.cmml">,</mo><mn id="Thmthm6.p1.1.m1.2.2" xref="Thmthm6.p1.1.m1.2.2.cmml">1</mn><mo id="Thmthm6.p1.1.m1.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="Thmthm6.p1.1.m1.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmthm6.p1.1.m1.2b"><apply id="Thmthm6.p1.1.m1.2.3.cmml" xref="Thmthm6.p1.1.m1.2.3"><in id="Thmthm6.p1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="Thmthm6.p1.1.m1.2.3.1"></in><ci id="Thmthm6.p1.1.m1.2.3.2.cmml" xref="Thmthm6.p1.1.m1.2.3.2">𝜂</ci><interval closure="open" id="Thmthm6.p1.1.m1.2.3.3.1.cmml" xref="Thmthm6.p1.1.m1.2.3.3.2"><cn id="Thmthm6.p1.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="Thmthm6.p1.1.m1.1.1">0</cn><cn id="Thmthm6.p1.1.m1.2.2.cmml" type="integer" xref="Thmthm6.p1.1.m1.2.2">1</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmthm6.p1.1.m1.2c">\eta\in(0,1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmthm6.p1.1.m1.2d">italic_η ∈ ( 0 , 1 )</annotation></semantics></math>. Then,</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A0.EGx33"> <tbody id="S3.Ex4a"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left(\,-b_{N-1}+\sqrt{2b_{N-1}}\,\right)\eqqcolon\eta_{*}=\arg% \min_{\eta\in(0,1)}\varrho(\eta)\,." class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex4a.m1.4"><semantics id="S3.Ex4a.m1.4a"><mrow id="S3.Ex4a.m1.4.4.1" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.2a" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><msub id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">b</mi><mrow id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">N</mi><mo id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow><mo id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msqrt id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">2</mn><mo id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">b</mi><mrow id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.cmml">N</mi><mo id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3.3.1" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow></msqrt></mrow><mo id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.3" lspace="0.170em" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.3" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.3.cmml">≕</mo><msub id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.4" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.4.2" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.4.2.cmml">η</mi><mo id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.4.3" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.4.3.cmml">∗</mo></msub><mo id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.5" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.6" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.6.cmml"><mrow id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.6.2" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.6.2.cmml"><mi id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.6.2.1" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.6.2.1.cmml">arg</mi><mo id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.6.2a" lspace="0.167em" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.6.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.6.2.2" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.6.2.2.cmml"><munder id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.6.2.2.1" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.6.2.2.1.cmml"><mi id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.6.2.2.1.2" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.6.2.2.1.2.cmml">min</mi><mrow id="S3.Ex4a.m1.2.2.2" xref="S3.Ex4a.m1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex4a.m1.2.2.2.4" xref="S3.Ex4a.m1.2.2.2.4.cmml">η</mi><mo id="S3.Ex4a.m1.2.2.2.3" xref="S3.Ex4a.m1.2.2.2.3.cmml">∈</mo><mrow id="S3.Ex4a.m1.2.2.2.5.2" xref="S3.Ex4a.m1.2.2.2.5.1.cmml"><mo id="S3.Ex4a.m1.2.2.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex4a.m1.2.2.2.5.1.cmml">(</mo><mn id="S3.Ex4a.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex4a.m1.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.Ex4a.m1.2.2.2.5.2.2" xref="S3.Ex4a.m1.2.2.2.5.1.cmml">,</mo><mn id="S3.Ex4a.m1.2.2.2.2" xref="S3.Ex4a.m1.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="S3.Ex4a.m1.2.2.2.5.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex4a.m1.2.2.2.5.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></munder><mo id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.6.2.2a" lspace="0.167em" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.6.2.2.cmml">⁡</mo><mi id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.6.2.2.2" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.6.2.2.2.cmml">ϱ</mi></mrow></mrow><mo id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.6.1" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.6.3.2" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.6.cmml"><mo id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.6.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.6.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex4a.m1.3.3" xref="S3.Ex4a.m1.3.3.cmml">η</mi><mo id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.6.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.6.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.2" lspace="0.170em" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex4a.m1.4b"><apply id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1"><and id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1a.cmml" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1"></and><apply id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1b.cmml" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1"><ci id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.3">≕</ci><apply id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1"><plus id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.2"><minus id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.2"></minus><apply id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑏</ci><apply id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3"><minus id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></minus><ci id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑁</ci><cn id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.3"><root id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.3"></root><apply id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2"><times id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.1"></times><cn id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.2">2</cn><apply id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑏</ci><apply id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3.3"><minus id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3.3.1"></minus><ci id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2">𝑁</ci><cn id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.4.2">𝜂</ci><times id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.4.3.cmml" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.4.3"></times></apply></apply><apply id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1c.cmml" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1"><eq id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.5.cmml" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.4.cmml" id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1d.cmml" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1"></share><apply id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.6.cmml" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.6"><times id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.6.1.cmml" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.6.1"></times><apply id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.6.2.cmml" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.6.2"><arg id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.6.2.1.cmml" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.6.2.1"></arg><apply id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.6.2.2.cmml" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.6.2.2"><apply id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.6.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.6.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.6.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.6.2.2.1">subscript</csymbol><min id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.6.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.6.2.2.1.2"></min><apply id="S3.Ex4a.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex4a.m1.2.2.2"><in id="S3.Ex4a.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex4a.m1.2.2.2.3"></in><ci id="S3.Ex4a.m1.2.2.2.4.cmml" xref="S3.Ex4a.m1.2.2.2.4">𝜂</ci><interval closure="open" id="S3.Ex4a.m1.2.2.2.5.1.cmml" xref="S3.Ex4a.m1.2.2.2.5.2"><cn id="S3.Ex4a.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.Ex4a.m1.1.1.1.1">0</cn><cn id="S3.Ex4a.m1.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex4a.m1.2.2.2.2">1</cn></interval></apply></apply><ci id="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.6.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex4a.m1.4.4.1.1.6.2.2.2">italic-ϱ</ci></apply></apply><ci id="S3.Ex4a.m1.3.3.cmml" xref="S3.Ex4a.m1.3.3">𝜂</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex4a.m1.4c">\displaystyle\left(\,-b_{N-1}+\sqrt{2b_{N-1}}\,\right)\eqqcolon\eta_{*}=\arg% \min_{\eta\in(0,1)}\varrho(\eta)\,.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex4a.m1.4d">( - italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_N - 1 end_POSTSUBSCRIPT + square-root start_ARG 2 italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_N - 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ) ≕ italic_η start_POSTSUBSCRIPT ∗ end_POSTSUBSCRIPT = roman_arg roman_min start_POSTSUBSCRIPT italic_η ∈ ( 0 , 1 ) end_POSTSUBSCRIPT italic_ϱ ( italic_η ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S3.SS3.2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_bold ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof:</h6> <div class="ltx_para" id="S3.SS3.2.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.2.p1.1">See the appendix. ∎</p> </div> </div> </section> </section> <section class="ltx_section" id="S4"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">IV </span><span class="ltx_text ltx_font_smallcaps" id="S4.1.1">Numerical Tests</span> </h2> <div class="ltx_para" id="S4.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.p1.7">To validate <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#alg1" title="In III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Algorithm</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>, a network <math alttext="\mathcal{G}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p1.1.m1.1"><semantics id="S4.p1.1.m1.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.p1.1.m1.1.1" xref="S4.p1.1.m1.1.1.cmml">𝒢</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p1.1.m1.1b"><ci id="S4.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p1.1.m1.1.1">𝒢</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p1.1.m1.1c">\mathcal{G}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p1.1.m1.1d">caligraphic_G</annotation></semantics></math> with <math alttext="N=25" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p1.2.m2.1"><semantics id="S4.p1.2.m2.1a"><mrow id="S4.p1.2.m2.1.1" xref="S4.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.p1.2.m2.1.1.2" xref="S4.p1.2.m2.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S4.p1.2.m2.1.1.1" xref="S4.p1.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.p1.2.m2.1.1.3" xref="S4.p1.2.m2.1.1.3.cmml">25</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p1.2.m2.1b"><apply id="S4.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.p1.2.m2.1.1"><eq id="S4.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.p1.2.m2.1.1.1"></eq><ci id="S4.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.p1.2.m2.1.1.2">𝑁</ci><cn id="S4.p1.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p1.2.m2.1.1.3">25</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p1.2.m2.1c">N=25</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p1.2.m2.1d">italic_N = 25</annotation></semantics></math> nodes arranged on a <math alttext="5\times 5" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p1.3.m3.1"><semantics id="S4.p1.3.m3.1a"><mrow id="S4.p1.3.m3.1.1" xref="S4.p1.3.m3.1.1.cmml"><mn id="S4.p1.3.m3.1.1.2" xref="S4.p1.3.m3.1.1.2.cmml">5</mn><mo id="S4.p1.3.m3.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.p1.3.m3.1.1.1.cmml">×</mo><mn id="S4.p1.3.m3.1.1.3" xref="S4.p1.3.m3.1.1.3.cmml">5</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p1.3.m3.1b"><apply id="S4.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.p1.3.m3.1.1"><times id="S4.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.p1.3.m3.1.1.1"></times><cn id="S4.p1.3.m3.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.p1.3.m3.1.1.2">5</cn><cn id="S4.p1.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p1.3.m3.1.1.3">5</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p1.3.m3.1c">5\times 5</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p1.3.m3.1d">5 × 5</annotation></semantics></math> orthogonal grid is used. Each agent is placed at a node <math alttext="n\in\{1,\dots,25\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p1.4.m4.3"><semantics id="S4.p1.4.m4.3a"><mrow id="S4.p1.4.m4.3.4" xref="S4.p1.4.m4.3.4.cmml"><mi id="S4.p1.4.m4.3.4.2" xref="S4.p1.4.m4.3.4.2.cmml">n</mi><mo id="S4.p1.4.m4.3.4.1" xref="S4.p1.4.m4.3.4.1.cmml">∈</mo><mrow id="S4.p1.4.m4.3.4.3.2" xref="S4.p1.4.m4.3.4.3.1.cmml"><mo id="S4.p1.4.m4.3.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.p1.4.m4.3.4.3.1.cmml">{</mo><mn id="S4.p1.4.m4.1.1" xref="S4.p1.4.m4.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.p1.4.m4.3.4.3.2.2" xref="S4.p1.4.m4.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.p1.4.m4.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.p1.4.m4.2.2.cmml">…</mi><mo id="S4.p1.4.m4.3.4.3.2.3" xref="S4.p1.4.m4.3.4.3.1.cmml">,</mo><mn id="S4.p1.4.m4.3.3" xref="S4.p1.4.m4.3.3.cmml">25</mn><mo id="S4.p1.4.m4.3.4.3.2.4" stretchy="false" xref="S4.p1.4.m4.3.4.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p1.4.m4.3b"><apply id="S4.p1.4.m4.3.4.cmml" xref="S4.p1.4.m4.3.4"><in id="S4.p1.4.m4.3.4.1.cmml" xref="S4.p1.4.m4.3.4.1"></in><ci id="S4.p1.4.m4.3.4.2.cmml" xref="S4.p1.4.m4.3.4.2">𝑛</ci><set id="S4.p1.4.m4.3.4.3.1.cmml" xref="S4.p1.4.m4.3.4.3.2"><cn id="S4.p1.4.m4.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.p1.4.m4.1.1">1</cn><ci id="S4.p1.4.m4.2.2.cmml" xref="S4.p1.4.m4.2.2">…</ci><cn id="S4.p1.4.m4.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.p1.4.m4.3.3">25</cn></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p1.4.m4.3c">n\in\{1,\dots,25\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p1.4.m4.3d">italic_n ∈ { 1 , … , 25 }</annotation></semantics></math> of <math alttext="\mathcal{G}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p1.5.m5.1"><semantics id="S4.p1.5.m5.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.p1.5.m5.1.1" xref="S4.p1.5.m5.1.1.cmml">𝒢</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p1.5.m5.1b"><ci id="S4.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S4.p1.5.m5.1.1">𝒢</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p1.5.m5.1c">\mathcal{G}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p1.5.m5.1d">caligraphic_G</annotation></semantics></math>, where agents communicate with their neighbors to the north, south, east, and west. Each of the <math alttext="25" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p1.6.m6.1"><semantics id="S4.p1.6.m6.1a"><mn id="S4.p1.6.m6.1.1" xref="S4.p1.6.m6.1.1.cmml">25</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p1.6.m6.1b"><cn id="S4.p1.6.m6.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.p1.6.m6.1.1">25</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p1.6.m6.1c">25</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p1.6.m6.1d">25</annotation></semantics></math> agents is assigned an independent system and learning task, resulting in a total of <math alttext="25" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p1.7.m7.1"><semantics id="S4.p1.7.m7.1a"><mn id="S4.p1.7.m7.1.1" xref="S4.p1.7.m7.1.1.cmml">25</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p1.7.m7.1b"><cn id="S4.p1.7.m7.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.p1.7.m7.1.1">25</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p1.7.m7.1c">25</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p1.7.m7.1d">25</annotation></semantics></math> systems. Two scenarios are considered: one where each system is a pendulum <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib39" title="">39</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib40" title="">40</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib41" title="">41</a>]</cite> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S4.SS1" title="IV-A Network of pendulums ‣ IV Numerical Tests ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Section</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag"><span class="ltx_text">IV-A</span></span></a>) and another where each system is a cartpole <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib39" title="">39</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib42" title="">42</a>]</cite> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S4.SS2" title="IV-B Network of cartpoles ‣ IV Numerical Tests ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Section</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag"><span class="ltx_text">IV-B</span></span></a>); see <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S4.F2" title="In IV-A Network of pendulums ‣ IV Numerical Tests ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Figure</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>. The goal is for all agents to collaborate via the graph topology to efficiently complete their learning tasks with minimal communication cost.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p2"> <p class="ltx_p" id="S4.p2.1"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#alg1" title="In III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Algorithm</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> competes against the following designs.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p3"> <ol class="ltx_enumerate" id="S4.I1"> <li class="ltx_item" id="S4.I1.i1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.I1.i1.1.1.1">(i)</span></span> <div class="ltx_para" id="S4.I1.i1.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.I1.i1.p1.3"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.I1.i1.p1.3.1">(D-FQ)</span> The decentralized fitted Q-iteration (D-FQ) <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib24" title="">24</a>]</cite> solves the TD task (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S2.E4" title="Equation 4 ‣ II-B General assumptions for the decentralized setting ‣ II Distributed Reinforcement Learning ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a>). In its original form, <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib24" title="">24</a>]</cite> assumes that all agents share the same state information, i.e., <math alttext="\mathbf{s}_{i}^{(n)}=\mathbf{s}_{i}^{(n^{\prime})}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.I1.i1.p1.1.m1.2"><semantics id="S4.I1.i1.p1.1.m1.2a"><mrow id="S4.I1.i1.p1.1.m1.2.3" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.2.3.cmml"><msubsup id="S4.I1.i1.p1.1.m1.2.3.2" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.2.3.2.cmml"><mi id="S4.I1.i1.p1.1.m1.2.3.2.2.2" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.2.3.2.2.2.cmml">𝐬</mi><mi id="S4.I1.i1.p1.1.m1.2.3.2.2.3" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.2.3.2.2.3.cmml">i</mi><mrow id="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.3" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.2.3.2.cmml"><mo id="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S4.I1.i1.p1.1.m1.2.3.1" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.2.3.1.cmml">=</mo><msubsup id="S4.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.cmml"><mi id="S4.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.2.2" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.2.2.cmml">𝐬</mi><mi id="S4.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.2.3" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.2.3.cmml">i</mi><mrow id="S4.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.1" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S4.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S4.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.I1.i1.p1.1.m1.2b"><apply id="S4.I1.i1.p1.1.m1.2.3.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.2.3"><eq id="S4.I1.i1.p1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.2.3.1"></eq><apply id="S4.I1.i1.p1.1.m1.2.3.2.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.I1.i1.p1.1.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.2.3.2">superscript</csymbol><apply id="S4.I1.i1.p1.1.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.I1.i1.p1.1.m1.2.3.2.2.1.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.I1.i1.p1.1.m1.2.3.2.2.2.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.2.3.2.2.2">𝐬</ci><ci id="S4.I1.i1.p1.1.m1.2.3.2.2.3.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.2.3.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S4.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.2.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.2.1.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.2.2.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.2.2">𝐬</ci><ci id="S4.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.2.3.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S4.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2">𝑛</ci><ci id="S4.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3">′</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.I1.i1.p1.1.m1.2c">\mathbf{s}_{i}^{(n)}=\mathbf{s}_{i}^{(n^{\prime})}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.I1.i1.p1.1.m1.2d">bold_s start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT = bold_s start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, for all <math alttext="i" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.I1.i1.p1.2.m2.1"><semantics id="S4.I1.i1.p1.2.m2.1a"><mi id="S4.I1.i1.p1.2.m2.1.1" xref="S4.I1.i1.p1.2.m2.1.1.cmml">i</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.I1.i1.p1.2.m2.1b"><ci id="S4.I1.i1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.2.m2.1.1">𝑖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.I1.i1.p1.2.m2.1c">i</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.I1.i1.p1.2.m2.1d">italic_i</annotation></semantics></math> and for all <math alttext="n,n^{\prime}\in\mathcal{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.I1.i1.p1.3.m3.2"><semantics id="S4.I1.i1.p1.3.m3.2a"><mrow id="S4.I1.i1.p1.3.m3.2.2" xref="S4.I1.i1.p1.3.m3.2.2.cmml"><mrow id="S4.I1.i1.p1.3.m3.2.2.1.1" xref="S4.I1.i1.p1.3.m3.2.2.1.2.cmml"><mi id="S4.I1.i1.p1.3.m3.1.1" xref="S4.I1.i1.p1.3.m3.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.I1.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.2" xref="S4.I1.i1.p1.3.m3.2.2.1.2.cmml">,</mo><msup id="S4.I1.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1" xref="S4.I1.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.I1.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.2" xref="S4.I1.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S4.I1.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.3" xref="S4.I1.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup></mrow><mo id="S4.I1.i1.p1.3.m3.2.2.2" xref="S4.I1.i1.p1.3.m3.2.2.2.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.I1.i1.p1.3.m3.2.2.3" xref="S4.I1.i1.p1.3.m3.2.2.3.cmml">𝒩</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.I1.i1.p1.3.m3.2b"><apply id="S4.I1.i1.p1.3.m3.2.2.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.3.m3.2.2"><in id="S4.I1.i1.p1.3.m3.2.2.2.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.3.m3.2.2.2"></in><list id="S4.I1.i1.p1.3.m3.2.2.1.2.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.3.m3.2.2.1.1"><ci id="S4.I1.i1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.3.m3.1.1">𝑛</ci><apply id="S4.I1.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.I1.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.I1.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.2">𝑛</ci><ci id="S4.I1.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.3">′</ci></apply></list><ci id="S4.I1.i1.p1.3.m3.2.2.3.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.3.m3.2.2.3">𝒩</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.I1.i1.p1.3.m3.2c">n,n^{\prime}\in\mathcal{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.I1.i1.p1.3.m3.2d">italic_n , italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ caligraphic_N</annotation></semantics></math> (global state space). However, since <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S2.I1.i3" title="In Assumptions 1. ‣ II-B General assumptions for the decentralized setting ‣ II Distributed Reinforcement Learning ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Assumption</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">1(iii)</span></a> relaxes this constraint, allowing agents to keep their states private, <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib24" title="">24</a>]</cite> is adapted to the current setting by eliminating the assumption of a global state space.</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S4.I1.i2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.I1.i2.1.1.1">(ii)</span></span> <div class="ltx_para" id="S4.I1.i2.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.I1.i2.p1.4"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.I1.i2.p1.4.1">(D-LSTD)</span> The diffusion off-policy gradient TD <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib18" title="">18</a>]</cite> efficiently minimizes, via stochastic gradient descent, a primal-dual reformulation of the widely used projected Bellman residual error (PBRE) encountered in the classical LSTD <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib2" title="">2</a>]</cite>. Due to the use of PBRE, the acronym D-LSTD will be used hereafter to refer to <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib18" title="">18</a>]</cite>. Originally, <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib18" title="">18</a>]</cite> was designed for J- and not Q-functions, and for online/streaming data. However, in the current setting, as described by <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#Thmthm1" title="Assumptions 1. ‣ II-B General assumptions for the decentralized setting ‣ II Distributed Reinforcement Learning ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Assumptions</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>, where the data is fixed, each gradient-TD step of D-LSTD is performed using all the available data at agent <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1"><semantics id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1a"><mi id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.1" xref="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1b"><ci id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1d">italic_n</annotation></semantics></math> (batch processing), for a total of <math alttext="M" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.I1.i2.p1.2.m2.1"><semantics id="S4.I1.i2.p1.2.m2.1a"><mi id="S4.I1.i2.p1.2.m2.1.1" xref="S4.I1.i2.p1.2.m2.1.1.cmml">M</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.I1.i2.p1.2.m2.1b"><ci id="S4.I1.i2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.2.m2.1.1">𝑀</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.I1.i2.p1.2.m2.1c">M</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.I1.i2.p1.2.m2.1d">italic_M</annotation></semantics></math> steps, similar to <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#alg1" title="In III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Algorithm</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>. Moreover, to robustify the original policy improvement of <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib18" title="">18</a>]</cite>, the following running-average “smoothing” strategy is employed: <math alttext="\mu^{(n)}[k+1]=\operatorname{argmin}_{a\in\mathcal{A}}Q^{(n)}_{\textnormal{% smooth}}[k](\mathbf{s},a)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.I1.i2.p1.3.m3.6"><semantics id="S4.I1.i2.p1.3.m3.6a"><mrow id="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.cmml"><mrow id="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.1" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.1.cmml"><msup id="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.1.3" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.1.3.cmml"><mi id="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.1.3.2" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.1.3.2.cmml">μ</mi><mrow id="S4.I1.i2.p1.3.m3.1.1.1.3" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.1.3.cmml"><mo id="S4.I1.i2.p1.3.m3.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.1.3.cmml">(</mo><mi id="S4.I1.i2.p1.3.m3.1.1.1.1" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.I1.i2.p1.3.m3.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.1.3.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.1.2" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.1.1.1" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.1.1.2.cmml"><mo id="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.1.1.1.1" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.1.1.1.1.2" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.1.1.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.1.1.1.1.1" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.1.1.1.1.3" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.2" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.3" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.3.cmml"><mrow id="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.3.2" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.3.2.cmml"><msub id="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.3.2.1" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.3.2.1.cmml"><mi id="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.3.2.1.2" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.3.2.1.2.cmml">argmin</mi><mrow id="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.3.2.1.3" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.3.2.1.3.cmml"><mi id="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.3.2.1.3.2" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.3.2.1.3.2.cmml">a</mi><mo id="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.3.2.1.3.1" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.3.2.1.3.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.3.2.1.3.3" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.3.2.1.3.3.cmml">𝒜</mi></mrow></msub><mo id="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.3.2a" lspace="0.167em" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.3.2.cmml">⁡</mo><msubsup id="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.3.2.2" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.3.2.2.cmml"><mi id="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.3.2.2.2.2" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.3.2.2.2.2.cmml">Q</mi><mtext id="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.3.2.2.3" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.3.2.2.3a.cmml">smooth</mtext><mrow id="S4.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.3" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.3.2.2.cmml"><mo id="S4.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.3.2.2.cmml">(</mo><mi id="S4.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.3.2.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup></mrow><mo id="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.3.1" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.3.3.2" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.3.3.1.cmml"><mo id="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.3.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S4.I1.i2.p1.3.m3.3.3" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.3.3.cmml">k</mi><mo id="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.3.3.1.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.3.1a" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.3.4.2" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.3.4.1.cmml"><mo id="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.3.4.1.cmml">(</mo><mi id="S4.I1.i2.p1.3.m3.4.4" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.4.4.cmml">𝐬</mi><mo id="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.3.4.2.2" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.3.4.1.cmml">,</mo><mi id="S4.I1.i2.p1.3.m3.5.5" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.5.5.cmml">a</mi><mo id="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.3.4.2.3" stretchy="false" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.3.4.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.I1.i2.p1.3.m3.6b"><apply id="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6"><eq id="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.2.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.2"></eq><apply id="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.1.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.1"><times id="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.1.2.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.1.2"></times><apply id="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.1.3.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.1.3.1.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.1.3.2.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.1.3.2">𝜇</ci><ci id="S4.I1.i2.p1.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.1.1.2.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.1.1.2.1.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.1.1.1.1"><plus id="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.1.1.1.1.2">𝑘</ci><cn id="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.3.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.3"><times id="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.3.1.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.3.1"></times><apply id="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.3.2.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.3.2"><apply id="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.3.2.1.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.3.2.1.1.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.3.2.1">subscript</csymbol><ci id="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.3.2.1.2.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.3.2.1.2">argmin</ci><apply id="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.3.2.1.3.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.3.2.1.3"><in id="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.3.2.1.3.1.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.3.2.1.3.1"></in><ci id="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.3.2.1.3.2.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.3.2.1.3.2">𝑎</ci><ci id="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.3.2.1.3.3.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.3.2.1.3.3">𝒜</ci></apply></apply><apply id="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.3.2.2.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.3.2.2.1.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.3.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.3.2.2.2.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.6.6.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" 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xref="S4.I1.i2.p1.3.m3.5.5">𝑎</ci></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.I1.i2.p1.3.m3.6c">\mu^{(n)}[k+1]=\operatorname{argmin}_{a\in\mathcal{A}}Q^{(n)}_{\textnormal{% smooth}}[k](\mathbf{s},a)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.I1.i2.p1.3.m3.6d">italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k + 1 ] = roman_argmin start_POSTSUBSCRIPT italic_a ∈ caligraphic_A end_POSTSUBSCRIPT italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT smooth end_POSTSUBSCRIPT [ italic_k ] ( bold_s , italic_a )</annotation></semantics></math>, where <math alttext="Q^{(n)}_{\textnormal{smooth}}[k]=0.3\,Q^{(n)}_{\textnormal{smooth}}[k-1]+0.7\,% Q^{(n)}[k]" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6"><semantics id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6a"><mrow id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.cmml"><mrow id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.3" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.3.cmml"><msubsup id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.3.2" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.3.2.cmml"><mi id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.3.2.2.2" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.3.2.2.2.cmml">Q</mi><mtext id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.3.2.3" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.3.2.3a.cmml">smooth</mtext><mrow id="S4.I1.i2.p1.4.m4.1.1.1.3" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.3.2.cmml"><mo id="S4.I1.i2.p1.4.m4.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.3.2.cmml">(</mo><mi id="S4.I1.i2.p1.4.m4.1.1.1.1" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.I1.i2.p1.4.m4.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.3.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.3.1" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.3.3.2" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.3.3.1.cmml"><mo id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.3.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S4.I1.i2.p1.4.m4.4.4" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.4.4.cmml">k</mi><mo id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.3.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.2" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.cmml"><mrow id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.1" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.1.cmml"><mn id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.1.3" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.1.3.cmml">0.3</mn><mo id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.1.2" lspace="0.170em" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.1.4" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.1.4.cmml"><mi id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.1.4.2.2" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.1.4.2.2.cmml">Q</mi><mtext id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.1.4.3" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.1.4.3a.cmml">smooth</mtext><mrow id="S4.I1.i2.p1.4.m4.2.2.1.3" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.1.4.cmml"><mo id="S4.I1.i2.p1.4.m4.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.1.4.cmml">(</mo><mi id="S4.I1.i2.p1.4.m4.2.2.1.1" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.I1.i2.p1.4.m4.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.1.4.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.1.2a" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.1.1.1" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.1.1.1.1" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.1.1.1.1.2" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.1.1.1.1.3" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.2" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.3" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.3.cmml"><mn id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.3.2" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.3.2.cmml">0.7</mn><mo id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.3.1" lspace="0.170em" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.3.3" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.3.3.cmml"><mi id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.3.3.2" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.3.3.2.cmml">Q</mi><mrow id="S4.I1.i2.p1.4.m4.3.3.1.3" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.3.3.cmml"><mo id="S4.I1.i2.p1.4.m4.3.3.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.3.3.cmml">(</mo><mi id="S4.I1.i2.p1.4.m4.3.3.1.1" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.3.3.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.I1.i2.p1.4.m4.3.3.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.3.3.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.3.1a" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.3.4.2" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.3.4.1.cmml"><mo id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.3.4.1.1.cmml">[</mo><mi id="S4.I1.i2.p1.4.m4.5.5" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.5.5.cmml">k</mi><mo id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.3.4.2.2" stretchy="false" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.3.4.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6b"><apply id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6"><eq id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.2.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.2"></eq><apply id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.3.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.3"><times id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.3.1.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.3.1"></times><apply id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.3.2.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.3.2.1.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.3.2">subscript</csymbol><apply id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.3.2.2.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.3.2.2.1.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.3.2.2.2.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.3.2.2.2">𝑄</ci><ci id="S4.I1.i2.p1.4.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><ci id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.3.2.3a.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.3.2.3"><mtext id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.3.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.3.2.3">smooth</mtext></ci></apply><apply id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.3.3.1.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.3.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.3.3.1.1.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.3.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S4.I1.i2.p1.4.m4.4.4.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.4.4">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1"><plus id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.2.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.2"></plus><apply id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.1.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.1"><times id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.1.2.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.1.2"></times><cn id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.1.3.cmml" type="float" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.1.3">0.3</cn><apply id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.1.4.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.1.4.1.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.1.4">subscript</csymbol><apply id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.1.4.2.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.1.4.2.1.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.1.4.2.2.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.1.4.2.2">𝑄</ci><ci id="S4.I1.i2.p1.4.m4.2.2.1.1.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.2.2.1.1">𝑛</ci></apply><ci id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.1.4.3a.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.1.4.3"><mtext id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.1.4.3.cmml" mathsize="70%" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.1.4.3">smooth</mtext></ci></apply><apply id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.1.1.1.1"><minus id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.1.1.1.1.2">𝑘</ci><cn id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.3.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.3"><times id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.3.1.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.3.1"></times><cn id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.3.2.cmml" type="float" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.3.2">0.7</cn><apply id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.3.3.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.3.3.1.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.3.3.2.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.3.3.2">𝑄</ci><ci id="S4.I1.i2.p1.4.m4.3.3.1.1.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.3.3.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.3.4.1.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.3.4.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.3.4.1.1.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.6.6.1.3.4.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S4.I1.i2.p1.4.m4.5.5.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.4.m4.5.5">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6c">Q^{(n)}_{\textnormal{smooth}}[k]=0.3\,Q^{(n)}_{\textnormal{smooth}}[k-1]+0.7\,% Q^{(n)}[k]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.I1.i2.p1.4.m4.6d">italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT smooth end_POSTSUBSCRIPT [ italic_k ] = 0.3 italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT smooth end_POSTSUBSCRIPT [ italic_k - 1 ] + 0.7 italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ]</annotation></semantics></math>.</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S4.I1.i3" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.I1.i3.1.1.1">(iii)</span></span> <div class="ltx_para" id="S4.I1.i3.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.I1.i3.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.I1.i3.p1.1.1">(Gossip-NN)</span> The Gossip-based <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib25" title="">25</a>]</cite>, originally designed for general distributed learning tasks, can also be applied to the TD task (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S2.E4" title="Equation 4 ‣ II-B General assumptions for the decentralized setting ‣ II Distributed Reinforcement Learning ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a>), where a fully connected neural network (NN) serves as the nonlinear Q-function. Consequently, we refer to <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib25" title="">25</a>]</cite> as Gossip-NN hereafter. Notably, the use of an NN makes Gossip-NN <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.I1.i3.p1.1.2">parametric,</span> distinguishing it from the proposed nonparametric <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#alg1" title="In III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Algorithm</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>.</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S4.I1.i4" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.I1.i4.1.1.1">(iv)</span></span> <div class="ltx_para" id="S4.I1.i4.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.I1.i4.p1.4"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.I1.i4.p1.4.1">(D-TD[ADMM])</span> An ADMM-based <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib31" title="">31</a>]</cite> solution to the TD task (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S2.E4" title="Equation 4 ‣ II-B General assumptions for the decentralized setting ‣ II Distributed Reinforcement Learning ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a>), proposed for the first time here to compete against <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib32" title="">32</a>]</cite> and its iterations in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E15" title="Equation 15 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">15</span></a>) and (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E22" title="Equation 22 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">22</span></a>). Henceforth, D-TD[ADMM] will be used to denote this ADMM-based solution. The regularization term <math alttext="\sigma^{\prime}\lVert Q^{(n)}\rVert_{\mathcal{H}}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.I1.i4.p1.1.m1.2"><semantics id="S4.I1.i4.p1.1.m1.2a"><mrow id="S4.I1.i4.p1.1.m1.2.2" xref="S4.I1.i4.p1.1.m1.2.2.cmml"><msup id="S4.I1.i4.p1.1.m1.2.2.3" xref="S4.I1.i4.p1.1.m1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.I1.i4.p1.1.m1.2.2.3.2" xref="S4.I1.i4.p1.1.m1.2.2.3.2.cmml">σ</mi><mo id="S4.I1.i4.p1.1.m1.2.2.3.3" xref="S4.I1.i4.p1.1.m1.2.2.3.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.I1.i4.p1.1.m1.2.2.2" lspace="0em" xref="S4.I1.i4.p1.1.m1.2.2.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.I1.i4.p1.1.m1.2.2.1" xref="S4.I1.i4.p1.1.m1.2.2.1.cmml"><mrow id="S4.I1.i4.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S4.I1.i4.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S4.I1.i4.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2" rspace="0em" xref="S4.I1.i4.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo><msup id="S4.I1.i4.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.I1.i4.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.I1.i4.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S4.I1.i4.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">Q</mi><mrow id="S4.I1.i4.p1.1.m1.1.1.1.3" xref="S4.I1.i4.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.I1.i4.p1.1.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.I1.i4.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.I1.i4.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S4.I1.i4.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.I1.i4.p1.1.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.I1.i4.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mo fence="true" id="S4.I1.i4.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3" lspace="0em" xref="S4.I1.i4.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.I1.i4.p1.1.m1.2.2.1.1.3" xref="S4.I1.i4.p1.1.m1.2.2.1.1.3.cmml">ℋ</mi><mn id="S4.I1.i4.p1.1.m1.2.2.1.3" xref="S4.I1.i4.p1.1.m1.2.2.1.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.I1.i4.p1.1.m1.2b"><apply id="S4.I1.i4.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S4.I1.i4.p1.1.m1.2.2"><times id="S4.I1.i4.p1.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.I1.i4.p1.1.m1.2.2.2"></times><apply id="S4.I1.i4.p1.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S4.I1.i4.p1.1.m1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.I1.i4.p1.1.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.I1.i4.p1.1.m1.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S4.I1.i4.p1.1.m1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.I1.i4.p1.1.m1.2.2.3.2">𝜎</ci><ci id="S4.I1.i4.p1.1.m1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.I1.i4.p1.1.m1.2.2.3.3">′</ci></apply><apply id="S4.I1.i4.p1.1.m1.2.2.1.cmml" xref="S4.I1.i4.p1.1.m1.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.I1.i4.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S4.I1.i4.p1.1.m1.2.2.1">superscript</csymbol><apply id="S4.I1.i4.p1.1.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.I1.i4.p1.1.m1.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.I1.i4.p1.1.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.I1.i4.p1.1.m1.2.2.1">subscript</csymbol><apply id="S4.I1.i4.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.I1.i4.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.I1.i4.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.I1.i4.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="S4.I1.i4.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.I1.i4.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.I1.i4.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.I1.i4.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.I1.i4.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.I1.i4.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2">𝑄</ci><ci id="S4.I1.i4.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.I1.i4.p1.1.m1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></apply><ci id="S4.I1.i4.p1.1.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.I1.i4.p1.1.m1.2.2.1.1.3">ℋ</ci></apply><cn id="S4.I1.i4.p1.1.m1.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.I1.i4.p1.1.m1.2.2.1.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.I1.i4.p1.1.m1.2c">\sigma^{\prime}\lVert Q^{(n)}\rVert_{\mathcal{H}}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.I1.i4.p1.1.m1.2d">italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∥ italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_H end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="\sigma^{\prime}\in\mathbb{R}_{++}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.I1.i4.p1.2.m2.1"><semantics id="S4.I1.i4.p1.2.m2.1a"><mrow id="S4.I1.i4.p1.2.m2.1.1" xref="S4.I1.i4.p1.2.m2.1.1.cmml"><msup id="S4.I1.i4.p1.2.m2.1.1.2" xref="S4.I1.i4.p1.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S4.I1.i4.p1.2.m2.1.1.2.2" xref="S4.I1.i4.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml">σ</mi><mo id="S4.I1.i4.p1.2.m2.1.1.2.3" xref="S4.I1.i4.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.I1.i4.p1.2.m2.1.1.1" xref="S4.I1.i4.p1.2.m2.1.1.1.cmml">∈</mo><msub id="S4.I1.i4.p1.2.m2.1.1.3" xref="S4.I1.i4.p1.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.I1.i4.p1.2.m2.1.1.3.2" xref="S4.I1.i4.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S4.I1.i4.p1.2.m2.1.1.3.3" xref="S4.I1.i4.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.I1.i4.p1.2.m2.1.1.3.3.2" xref="S4.I1.i4.p1.2.m2.1.1.3.3.2.cmml"></mi><mo id="S4.I1.i4.p1.2.m2.1.1.3.3.1" rspace="0em" xref="S4.I1.i4.p1.2.m2.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mo id="S4.I1.i4.p1.2.m2.1.1.3.3.3" lspace="0em" xref="S4.I1.i4.p1.2.m2.1.1.3.3.3.cmml">+</mo></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.I1.i4.p1.2.m2.1b"><apply id="S4.I1.i4.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.I1.i4.p1.2.m2.1.1"><in id="S4.I1.i4.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.I1.i4.p1.2.m2.1.1.1"></in><apply id="S4.I1.i4.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.I1.i4.p1.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.I1.i4.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.I1.i4.p1.2.m2.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.I1.i4.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.I1.i4.p1.2.m2.1.1.2.2">𝜎</ci><ci id="S4.I1.i4.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S4.I1.i4.p1.2.m2.1.1.2.3">′</ci></apply><apply id="S4.I1.i4.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.I1.i4.p1.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.I1.i4.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.I1.i4.p1.2.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.I1.i4.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.I1.i4.p1.2.m2.1.1.3.2">ℝ</ci><apply id="S4.I1.i4.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S4.I1.i4.p1.2.m2.1.1.3.3"><plus id="S4.I1.i4.p1.2.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.I1.i4.p1.2.m2.1.1.3.3.1"></plus><csymbol cd="latexml" id="S4.I1.i4.p1.2.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.I1.i4.p1.2.m2.1.1.3.3.2">absent</csymbol><plus id="S4.I1.i4.p1.2.m2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.I1.i4.p1.2.m2.1.1.3.3.3"></plus></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.I1.i4.p1.2.m2.1c">\sigma^{\prime}\in\mathbb{R}_{++}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.I1.i4.p1.2.m2.1d">italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ blackboard_R start_POSTSUBSCRIPT + + end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, is also included in the loss <math alttext="\mathcal{L}_{\text{TD}}^{(n)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.I1.i4.p1.3.m3.1"><semantics id="S4.I1.i4.p1.3.m3.1a"><msubsup id="S4.I1.i4.p1.3.m3.1.2" xref="S4.I1.i4.p1.3.m3.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.I1.i4.p1.3.m3.1.2.2.2" xref="S4.I1.i4.p1.3.m3.1.2.2.2.cmml">ℒ</mi><mtext id="S4.I1.i4.p1.3.m3.1.2.2.3" xref="S4.I1.i4.p1.3.m3.1.2.2.3a.cmml">TD</mtext><mrow id="S4.I1.i4.p1.3.m3.1.1.1.3" xref="S4.I1.i4.p1.3.m3.1.2.cmml"><mo id="S4.I1.i4.p1.3.m3.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.I1.i4.p1.3.m3.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.I1.i4.p1.3.m3.1.1.1.1" xref="S4.I1.i4.p1.3.m3.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.I1.i4.p1.3.m3.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.I1.i4.p1.3.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.I1.i4.p1.3.m3.1b"><apply id="S4.I1.i4.p1.3.m3.1.2.cmml" xref="S4.I1.i4.p1.3.m3.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.I1.i4.p1.3.m3.1.2.1.cmml" xref="S4.I1.i4.p1.3.m3.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.I1.i4.p1.3.m3.1.2.2.cmml" xref="S4.I1.i4.p1.3.m3.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.I1.i4.p1.3.m3.1.2.2.1.cmml" xref="S4.I1.i4.p1.3.m3.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.I1.i4.p1.3.m3.1.2.2.2.cmml" xref="S4.I1.i4.p1.3.m3.1.2.2.2">ℒ</ci><ci id="S4.I1.i4.p1.3.m3.1.2.2.3a.cmml" xref="S4.I1.i4.p1.3.m3.1.2.2.3"><mtext id="S4.I1.i4.p1.3.m3.1.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S4.I1.i4.p1.3.m3.1.2.2.3">TD</mtext></ci></apply><ci id="S4.I1.i4.p1.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.I1.i4.p1.3.m3.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.I1.i4.p1.3.m3.1c">\mathcal{L}_{\text{TD}}^{(n)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.I1.i4.p1.3.m3.1d">caligraphic_L start_POSTSUBSCRIPT TD end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> of (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S2.E4" title="Equation 4 ‣ II-B General assumptions for the decentralized setting ‣ II Distributed Reinforcement Learning ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a>) to mimic the regularization offered by <math alttext="\sigma" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.I1.i4.p1.4.m4.1"><semantics id="S4.I1.i4.p1.4.m4.1a"><mi id="S4.I1.i4.p1.4.m4.1.1" xref="S4.I1.i4.p1.4.m4.1.1.cmml">σ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.I1.i4.p1.4.m4.1b"><ci id="S4.I1.i4.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.I1.i4.p1.4.m4.1.1">𝜎</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.I1.i4.p1.4.m4.1c">\sigma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.I1.i4.p1.4.m4.1d">italic_σ</annotation></semantics></math> in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E23" title="Equation 23 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">23</span></a>). D-TD[ADMM] employs also RFFs [see (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E16" title="Equation 16 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">16</span></a>)] for dimensionality reduction.</p> </div> </li> </ol> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p4"> <p class="ltx_p" id="S4.p4.1">The parameters for each method were carefully tuned, and the curves corresponding to the parameters that produced the “best” performance for each method are shown in the following figures. Each curve represents the uniformly averaged result of <math alttext="100" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p4.1.m1.1"><semantics id="S4.p4.1.m1.1a"><mn id="S4.p4.1.m1.1.1" xref="S4.p4.1.m1.1.1.cmml">100</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p4.1.m1.1b"><cn id="S4.p4.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.p4.1.m1.1.1">100</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p4.1.m1.1c">100</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p4.1.m1.1d">100</annotation></semantics></math> independent tests.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p5"> <p class="ltx_p" id="S4.p5.9">In <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#alg1" title="In III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Algorithm</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>, <math alttext="\sigma=0.01" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p5.1.m1.1"><semantics id="S4.p5.1.m1.1a"><mrow id="S4.p5.1.m1.1.1" xref="S4.p5.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.p5.1.m1.1.1.2" xref="S4.p5.1.m1.1.1.2.cmml">σ</mi><mo id="S4.p5.1.m1.1.1.1" xref="S4.p5.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.p5.1.m1.1.1.3" xref="S4.p5.1.m1.1.1.3.cmml">0.01</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p5.1.m1.1b"><apply id="S4.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p5.1.m1.1.1"><eq id="S4.p5.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.p5.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S4.p5.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.p5.1.m1.1.1.2">𝜎</ci><cn id="S4.p5.1.m1.1.1.3.cmml" type="float" xref="S4.p5.1.m1.1.1.3">0.01</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p5.1.m1.1c">\sigma=0.01</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p5.1.m1.1d">italic_σ = 0.01</annotation></semantics></math> in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E23" title="Equation 23 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">23</span></a>), <math alttext="M=50" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p5.2.m2.1"><semantics id="S4.p5.2.m2.1a"><mrow id="S4.p5.2.m2.1.1" xref="S4.p5.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.p5.2.m2.1.1.2" xref="S4.p5.2.m2.1.1.2.cmml">M</mi><mo id="S4.p5.2.m2.1.1.1" xref="S4.p5.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.p5.2.m2.1.1.3" xref="S4.p5.2.m2.1.1.3.cmml">50</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p5.2.m2.1b"><apply id="S4.p5.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.p5.2.m2.1.1"><eq id="S4.p5.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.p5.2.m2.1.1.1"></eq><ci id="S4.p5.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.p5.2.m2.1.1.2">𝑀</ci><cn id="S4.p5.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p5.2.m2.1.1.3">50</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p5.2.m2.1c">M=50</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p5.2.m2.1d">italic_M = 50</annotation></semantics></math>, while <math alttext="\varpi=0.5,\gamma=1/\lVert\mathbf{L}\rVert_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p5.3.m3.3"><semantics id="S4.p5.3.m3.3a"><mrow id="S4.p5.3.m3.3.3.2" xref="S4.p5.3.m3.3.3.3.cmml"><mrow id="S4.p5.3.m3.2.2.1.1" xref="S4.p5.3.m3.2.2.1.1.cmml"><mi id="S4.p5.3.m3.2.2.1.1.2" xref="S4.p5.3.m3.2.2.1.1.2.cmml">ϖ</mi><mo id="S4.p5.3.m3.2.2.1.1.1" xref="S4.p5.3.m3.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.p5.3.m3.2.2.1.1.3" xref="S4.p5.3.m3.2.2.1.1.3.cmml">0.5</mn></mrow><mo id="S4.p5.3.m3.3.3.2.3" xref="S4.p5.3.m3.3.3.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.p5.3.m3.3.3.2.2" xref="S4.p5.3.m3.3.3.2.2.cmml"><mi id="S4.p5.3.m3.3.3.2.2.2" xref="S4.p5.3.m3.3.3.2.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.p5.3.m3.3.3.2.2.1" xref="S4.p5.3.m3.3.3.2.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.p5.3.m3.3.3.2.2.3" xref="S4.p5.3.m3.3.3.2.2.3.cmml"><mn id="S4.p5.3.m3.3.3.2.2.3.2" xref="S4.p5.3.m3.3.3.2.2.3.2.cmml">1</mn><mo id="S4.p5.3.m3.3.3.2.2.3.1" xref="S4.p5.3.m3.3.3.2.2.3.1.cmml">/</mo><msub id="S4.p5.3.m3.3.3.2.2.3.3" xref="S4.p5.3.m3.3.3.2.2.3.3.cmml"><mrow id="S4.p5.3.m3.3.3.2.2.3.3.2.2" xref="S4.p5.3.m3.3.3.2.2.3.3.2.1.cmml"><mo fence="true" id="S4.p5.3.m3.3.3.2.2.3.3.2.2.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S4.p5.3.m3.3.3.2.2.3.3.2.1.1.cmml">∥</mo><mi id="S4.p5.3.m3.1.1" xref="S4.p5.3.m3.1.1.cmml">𝐋</mi><mo fence="true" id="S4.p5.3.m3.3.3.2.2.3.3.2.2.2" lspace="0em" xref="S4.p5.3.m3.3.3.2.2.3.3.2.1.1.cmml">∥</mo></mrow><mn id="S4.p5.3.m3.3.3.2.2.3.3.3" xref="S4.p5.3.m3.3.3.2.2.3.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p5.3.m3.3b"><apply id="S4.p5.3.m3.3.3.3.cmml" xref="S4.p5.3.m3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p5.3.m3.3.3.3a.cmml" xref="S4.p5.3.m3.3.3.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.p5.3.m3.2.2.1.1.cmml" xref="S4.p5.3.m3.2.2.1.1"><eq id="S4.p5.3.m3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.p5.3.m3.2.2.1.1.1"></eq><ci id="S4.p5.3.m3.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.p5.3.m3.2.2.1.1.2">italic-ϖ</ci><cn id="S4.p5.3.m3.2.2.1.1.3.cmml" type="float" xref="S4.p5.3.m3.2.2.1.1.3">0.5</cn></apply><apply id="S4.p5.3.m3.3.3.2.2.cmml" xref="S4.p5.3.m3.3.3.2.2"><eq id="S4.p5.3.m3.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.p5.3.m3.3.3.2.2.1"></eq><ci id="S4.p5.3.m3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.p5.3.m3.3.3.2.2.2">𝛾</ci><apply id="S4.p5.3.m3.3.3.2.2.3.cmml" xref="S4.p5.3.m3.3.3.2.2.3"><divide id="S4.p5.3.m3.3.3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.p5.3.m3.3.3.2.2.3.1"></divide><cn id="S4.p5.3.m3.3.3.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.p5.3.m3.3.3.2.2.3.2">1</cn><apply id="S4.p5.3.m3.3.3.2.2.3.3.cmml" xref="S4.p5.3.m3.3.3.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p5.3.m3.3.3.2.2.3.3.1.cmml" xref="S4.p5.3.m3.3.3.2.2.3.3">subscript</csymbol><apply id="S4.p5.3.m3.3.3.2.2.3.3.2.1.cmml" xref="S4.p5.3.m3.3.3.2.2.3.3.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.p5.3.m3.3.3.2.2.3.3.2.1.1.cmml" xref="S4.p5.3.m3.3.3.2.2.3.3.2.2.1">delimited-∥∥</csymbol><ci id="S4.p5.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.p5.3.m3.1.1">𝐋</ci></apply><cn id="S4.p5.3.m3.3.3.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.p5.3.m3.3.3.2.2.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p5.3.m3.3c">\varpi=0.5,\gamma=1/\lVert\mathbf{L}\rVert_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p5.3.m3.3d">italic_ϖ = 0.5 , italic_γ = 1 / ∥ bold_L ∥ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> for the parameters of <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib32" title="">32</a>]</cite> in <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#alg1" title="In III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Algorithm</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>, and <math alttext="\eta=-b_{N-1}+(2b_{N-1})^{1/2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p5.4.m4.1"><semantics id="S4.p5.4.m4.1a"><mrow id="S4.p5.4.m4.1.1" xref="S4.p5.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S4.p5.4.m4.1.1.3" xref="S4.p5.4.m4.1.1.3.cmml">η</mi><mo id="S4.p5.4.m4.1.1.2" xref="S4.p5.4.m4.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.p5.4.m4.1.1.1" xref="S4.p5.4.m4.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.p5.4.m4.1.1.1.3" xref="S4.p5.4.m4.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.p5.4.m4.1.1.1.3a" xref="S4.p5.4.m4.1.1.1.3.cmml">−</mo><msub id="S4.p5.4.m4.1.1.1.3.2" xref="S4.p5.4.m4.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.p5.4.m4.1.1.1.3.2.2" xref="S4.p5.4.m4.1.1.1.3.2.2.cmml">b</mi><mrow id="S4.p5.4.m4.1.1.1.3.2.3" xref="S4.p5.4.m4.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.p5.4.m4.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.p5.4.m4.1.1.1.3.2.3.2.cmml">N</mi><mo id="S4.p5.4.m4.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.p5.4.m4.1.1.1.3.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="S4.p5.4.m4.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.p5.4.m4.1.1.1.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow><mo id="S4.p5.4.m4.1.1.1.2" xref="S4.p5.4.m4.1.1.1.2.cmml">+</mo><msup id="S4.p5.4.m4.1.1.1.1" xref="S4.p5.4.m4.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.p5.4.m4.1.1.1.1.1.1" xref="S4.p5.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.p5.4.m4.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.p5.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.p5.4.m4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.p5.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S4.p5.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.p5.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S4.p5.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.p5.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.p5.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.p5.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.p5.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.p5.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">b</mi><mrow id="S4.p5.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.p5.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.p5.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.p5.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">N</mi><mo id="S4.p5.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S4.p5.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S4.p5.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.p5.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow><mo id="S4.p5.4.m4.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.p5.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.p5.4.m4.1.1.1.1.3" xref="S4.p5.4.m4.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S4.p5.4.m4.1.1.1.1.3.2" xref="S4.p5.4.m4.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S4.p5.4.m4.1.1.1.1.3.1" xref="S4.p5.4.m4.1.1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S4.p5.4.m4.1.1.1.1.3.3" xref="S4.p5.4.m4.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p5.4.m4.1b"><apply id="S4.p5.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.p5.4.m4.1.1"><eq id="S4.p5.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.p5.4.m4.1.1.2"></eq><ci id="S4.p5.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S4.p5.4.m4.1.1.3">𝜂</ci><apply id="S4.p5.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.p5.4.m4.1.1.1"><plus id="S4.p5.4.m4.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p5.4.m4.1.1.1.2"></plus><apply id="S4.p5.4.m4.1.1.1.3.cmml" xref="S4.p5.4.m4.1.1.1.3"><minus id="S4.p5.4.m4.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.p5.4.m4.1.1.1.3"></minus><apply id="S4.p5.4.m4.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.p5.4.m4.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p5.4.m4.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.p5.4.m4.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p5.4.m4.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.p5.4.m4.1.1.1.3.2.2">𝑏</ci><apply id="S4.p5.4.m4.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.p5.4.m4.1.1.1.3.2.3"><minus id="S4.p5.4.m4.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.p5.4.m4.1.1.1.3.2.3.1"></minus><ci id="S4.p5.4.m4.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.p5.4.m4.1.1.1.3.2.3.2">𝑁</ci><cn id="S4.p5.4.m4.1.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.p5.4.m4.1.1.1.3.2.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.p5.4.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p5.4.m4.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p5.4.m4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p5.4.m4.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.p5.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p5.4.m4.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.p5.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p5.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><cn id="S4.p5.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.p5.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.2">2</cn><apply id="S4.p5.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.p5.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p5.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.p5.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.p5.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.p5.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑏</ci><apply id="S4.p5.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.p5.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><minus id="S4.p5.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.p5.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></minus><ci id="S4.p5.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.p5.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑁</ci><cn id="S4.p5.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.p5.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.p5.4.m4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.p5.4.m4.1.1.1.1.3"><divide id="S4.p5.4.m4.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.p5.4.m4.1.1.1.1.3.1"></divide><cn id="S4.p5.4.m4.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.p5.4.m4.1.1.1.1.3.2">1</cn><cn id="S4.p5.4.m4.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.p5.4.m4.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p5.4.m4.1c">\eta=-b_{N-1}+(2b_{N-1})^{1/2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p5.4.m4.1d">italic_η = - italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_N - 1 end_POSTSUBSCRIPT + ( 2 italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_N - 1 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> according to <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#Thmthm6" title="Theorem 6. ‣ III-C Performance analysis of Algorithm 1 ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Theorem</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">6</span></a>. The discount factor <math alttext="\alpha=0.9" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p5.5.m5.1"><semantics id="S4.p5.5.m5.1a"><mrow id="S4.p5.5.m5.1.1" xref="S4.p5.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S4.p5.5.m5.1.1.2" xref="S4.p5.5.m5.1.1.2.cmml">α</mi><mo id="S4.p5.5.m5.1.1.1" xref="S4.p5.5.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.p5.5.m5.1.1.3" xref="S4.p5.5.m5.1.1.3.cmml">0.9</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p5.5.m5.1b"><apply id="S4.p5.5.m5.1.1.cmml" xref="S4.p5.5.m5.1.1"><eq id="S4.p5.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S4.p5.5.m5.1.1.1"></eq><ci id="S4.p5.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S4.p5.5.m5.1.1.2">𝛼</ci><cn id="S4.p5.5.m5.1.1.3.cmml" type="float" xref="S4.p5.5.m5.1.1.3">0.9</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p5.5.m5.1c">\alpha=0.9</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p5.5.m5.1d">italic_α = 0.9</annotation></semantics></math> is used for all employed methods. Moreover, for all competitors of <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#alg1" title="In III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Algorithm</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>, dimension <math alttext="D" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p5.6.m6.1"><semantics id="S4.p5.6.m6.1a"><mi id="S4.p5.6.m6.1.1" xref="S4.p5.6.m6.1.1.cmml">D</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p5.6.m6.1b"><ci id="S4.p5.6.m6.1.1.cmml" xref="S4.p5.6.m6.1.1">𝐷</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p5.6.m6.1c">D</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p5.6.m6.1d">italic_D</annotation></semantics></math> of the RFF approximating space is set as <math alttext="D=500" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p5.7.m7.1"><semantics id="S4.p5.7.m7.1a"><mrow id="S4.p5.7.m7.1.1" xref="S4.p5.7.m7.1.1.cmml"><mi id="S4.p5.7.m7.1.1.2" xref="S4.p5.7.m7.1.1.2.cmml">D</mi><mo id="S4.p5.7.m7.1.1.1" xref="S4.p5.7.m7.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.p5.7.m7.1.1.3" xref="S4.p5.7.m7.1.1.3.cmml">500</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p5.7.m7.1b"><apply id="S4.p5.7.m7.1.1.cmml" xref="S4.p5.7.m7.1.1"><eq id="S4.p5.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S4.p5.7.m7.1.1.1"></eq><ci id="S4.p5.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S4.p5.7.m7.1.1.2">𝐷</ci><cn id="S4.p5.7.m7.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p5.7.m7.1.1.3">500</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p5.7.m7.1c">D=500</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p5.7.m7.1d">italic_D = 500</annotation></semantics></math> for <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S4.SS1" title="IV-A Network of pendulums ‣ IV Numerical Tests ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Section</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag"><span class="ltx_text">IV-A</span></span></a>, while <math alttext="D=250" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p5.8.m8.1"><semantics id="S4.p5.8.m8.1a"><mrow id="S4.p5.8.m8.1.1" xref="S4.p5.8.m8.1.1.cmml"><mi id="S4.p5.8.m8.1.1.2" xref="S4.p5.8.m8.1.1.2.cmml">D</mi><mo id="S4.p5.8.m8.1.1.1" xref="S4.p5.8.m8.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.p5.8.m8.1.1.3" xref="S4.p5.8.m8.1.1.3.cmml">250</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p5.8.m8.1b"><apply id="S4.p5.8.m8.1.1.cmml" xref="S4.p5.8.m8.1.1"><eq id="S4.p5.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S4.p5.8.m8.1.1.1"></eq><ci id="S4.p5.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S4.p5.8.m8.1.1.2">𝐷</ci><cn id="S4.p5.8.m8.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p5.8.m8.1.1.3">250</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p5.8.m8.1c">D=250</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p5.8.m8.1d">italic_D = 250</annotation></semantics></math> for <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S4.SS2" title="IV-B Network of cartpoles ‣ IV Numerical Tests ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Section</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag"><span class="ltx_text">IV-B</span></span></a>. Several values of <math alttext="D" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p5.9.m9.1"><semantics id="S4.p5.9.m9.1a"><mi id="S4.p5.9.m9.1.1" xref="S4.p5.9.m9.1.1.cmml">D</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p5.9.m9.1b"><ci id="S4.p5.9.m9.1.1.cmml" xref="S4.p5.9.m9.1.1">𝐷</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p5.9.m9.1c">D</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p5.9.m9.1d">italic_D</annotation></semantics></math> will be explored for <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#alg1" title="In III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Algorithm</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p6"> <p class="ltx_p" id="S4.p6.3">All employed methods run their distributed algorithm for <math alttext="M" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p6.1.m1.1"><semantics id="S4.p6.1.m1.1a"><mi id="S4.p6.1.m1.1.1" xref="S4.p6.1.m1.1.1.cmml">M</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p6.1.m1.1b"><ci id="S4.p6.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p6.1.m1.1.1">𝑀</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p6.1.m1.1c">M</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p6.1.m1.1d">italic_M</annotation></semantics></math> iterations between two consecutive value-iteration steps, as shown in <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.F1" title="In III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Figure</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>. The value of <math alttext="M" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p6.2.m2.1"><semantics id="S4.p6.2.m2.1a"><mi id="S4.p6.2.m2.1.1" xref="S4.p6.2.m2.1.1.cmml">M</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p6.2.m2.1b"><ci id="S4.p6.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.p6.2.m2.1.1">𝑀</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p6.2.m2.1c">M</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p6.2.m2.1d">italic_M</annotation></semantics></math>, determined through extensive tuning, varies between methods and is listed in <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S4.T1" title="In IV Numerical Tests ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Table</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">I</span></a>. Note that <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#alg1" title="In III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Algorithm</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> uses the smallest value of <math alttext="M" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p6.3.m3.1"><semantics id="S4.p6.3.m3.1a"><mi id="S4.p6.3.m3.1.1" xref="S4.p6.3.m3.1.1.cmml">M</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p6.3.m3.1b"><ci id="S4.p6.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.p6.3.m3.1.1">𝑀</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p6.3.m3.1c">M</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p6.3.m3.1d">italic_M</annotation></semantics></math>, as it requires fewer iterations than its competitors to reach consensus, as demonstrated in <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S4.F3.sf3" title="In Figure 3 ‣ IV-A Network of pendulums ‣ IV Numerical Tests ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Figure</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">3(c)</span></a> and <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S4.F4.sf3" title="In Figure 4 ‣ IV-B Network of cartpoles ‣ IV Numerical Tests ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Figure</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">4(c)</span></a>, and further supported by <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.I3.i2" title="In Theorem 5. ‣ III-C Performance analysis of Algorithm 1 ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Theorem</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">5(ii)</span></a>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p7"> <p class="ltx_p" id="S4.p7.3">Since each competing method uses different values for <math alttext="M" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p7.1.m1.1"><semantics id="S4.p7.1.m1.1a"><mi id="S4.p7.1.m1.1.1" xref="S4.p7.1.m1.1.1.cmml">M</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p7.1.m1.1b"><ci id="S4.p7.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p7.1.m1.1.1">𝑀</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p7.1.m1.1c">M</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p7.1.m1.1d">italic_M</annotation></semantics></math>, shares varying amounts of information among agents, and aims to minimize communication costs while achieving its objectives, the curves in <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S4.F3.sf1" title="In Figure 3 ‣ IV-A Network of pendulums ‣ IV Numerical Tests ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Figures</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">3(a)</span></a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S4.F3.sf2" title="Figure 3(b) ‣ Figure 3 ‣ IV-A Network of pendulums ‣ IV Numerical Tests ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3(b)</span></a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S4.F4.sf1" title="Figure 4(a) ‣ Figure 4 ‣ IV-B Network of cartpoles ‣ IV Numerical Tests ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4(a)</span></a> and <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S4.F4.sf2" title="Figure 4(b) ‣ Figure 4 ‣ IV-B Network of cartpoles ‣ IV Numerical Tests ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4(b)</span></a> are presented differently from the usual approach. Instead of plotting loss functions against VI iteration indices, each point on the curves represents the loss in relation to the cumulative communication cost (in bytes) used across <math alttext="\mathcal{G}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p7.2.m2.1"><semantics id="S4.p7.2.m2.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.p7.2.m2.1.1" xref="S4.p7.2.m2.1.1.cmml">𝒢</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p7.2.m2.1b"><ci id="S4.p7.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.p7.2.m2.1.1">𝒢</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p7.2.m2.1c">\mathcal{G}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p7.2.m2.1d">caligraphic_G</annotation></semantics></math> at a specific VI iteration index <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p7.3.m3.1"><semantics id="S4.p7.3.m3.1a"><mi id="S4.p7.3.m3.1.1" xref="S4.p7.3.m3.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p7.3.m3.1b"><ci id="S4.p7.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.p7.3.m3.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p7.3.m3.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p7.3.m3.1d">italic_k</annotation></semantics></math>. Therefore, the closer a curve is to the left and bottom edges of the figure, the better the method’s performance.</p> </div> <figure class="ltx_table" id="S4.T1"> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_table"><span class="ltx_text" id="S4.T1.15.2.1" style="font-size:90%;">TABLE I</span>: </span><span class="ltx_text" id="S4.T1.2.2.1" style="font-size:90%;">Values of <math alttext="M" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.T1.2.2.1.m1.1"><semantics id="S4.T1.2.2.1.m1.1b"><mi id="S4.T1.2.2.1.m1.1.1" xref="S4.T1.2.2.1.m1.1.1.cmml">M</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.T1.2.2.1.m1.1c"><ci id="S4.T1.2.2.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.T1.2.2.1.m1.1.1">𝑀</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.T1.2.2.1.m1.1d">M</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.T1.2.2.1.m1.1e">italic_M</annotation></semantics></math> per method and scenario</span></figcaption> <table class="ltx_tabular ltx_centering ltx_guessed_headers ltx_align_middle" id="S4.T1.13.13"> <thead class="ltx_thead"> <tr class="ltx_tr" id="S4.T1.3.3.1"> <th class="ltx_td ltx_align_left ltx_th ltx_th_column ltx_th_row ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T1.3.3.1.1">Method <math alttext="\setminus" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.T1.3.3.1.1.m1.1"><semantics id="S4.T1.3.3.1.1.m1.1a"><mo id="S4.T1.3.3.1.1.m1.1.1" xref="S4.T1.3.3.1.1.m1.1.1.cmml">∖</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.T1.3.3.1.1.m1.1b"><setdiff id="S4.T1.3.3.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.T1.3.3.1.1.m1.1.1"></setdiff></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.T1.3.3.1.1.m1.1c">\setminus</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.T1.3.3.1.1.m1.1d">∖</annotation></semantics></math> Scenario</th> <th class="ltx_td ltx_align_right ltx_th ltx_th_column ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T1.3.3.1.2">Pendulum</th> <th class="ltx_td ltx_align_right ltx_th ltx_th_column ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T1.3.3.1.3">Cartpole</th> </tr> </thead> <tbody class="ltx_tbody"> <tr class="ltx_tr" id="S4.T1.5.5.3"> <th class="ltx_td ltx_align_left ltx_th ltx_th_row ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T1.5.5.3.3">D-FQ <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib24" title="">24</a>]</cite> </th> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T1.4.4.2.1"><math alttext="500" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.T1.4.4.2.1.m1.1"><semantics id="S4.T1.4.4.2.1.m1.1a"><mn id="S4.T1.4.4.2.1.m1.1.1" xref="S4.T1.4.4.2.1.m1.1.1.cmml">500</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.T1.4.4.2.1.m1.1b"><cn id="S4.T1.4.4.2.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.T1.4.4.2.1.m1.1.1">500</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.T1.4.4.2.1.m1.1c">500</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.T1.4.4.2.1.m1.1d">500</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T1.5.5.3.2"><math alttext="500" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.T1.5.5.3.2.m1.1"><semantics id="S4.T1.5.5.3.2.m1.1a"><mn id="S4.T1.5.5.3.2.m1.1.1" xref="S4.T1.5.5.3.2.m1.1.1.cmml">500</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.T1.5.5.3.2.m1.1b"><cn id="S4.T1.5.5.3.2.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.T1.5.5.3.2.m1.1.1">500</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.T1.5.5.3.2.m1.1c">500</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.T1.5.5.3.2.m1.1d">500</annotation></semantics></math></td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S4.T1.7.7.5"> <th class="ltx_td ltx_align_left ltx_th ltx_th_row ltx_border_l ltx_border_r" id="S4.T1.7.7.5.3">D-LSTD <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib18" title="">18</a>]</cite> </th> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_border_r" id="S4.T1.6.6.4.1"><math alttext="2500" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.T1.6.6.4.1.m1.1"><semantics id="S4.T1.6.6.4.1.m1.1a"><mn id="S4.T1.6.6.4.1.m1.1.1" xref="S4.T1.6.6.4.1.m1.1.1.cmml">2500</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.T1.6.6.4.1.m1.1b"><cn id="S4.T1.6.6.4.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.T1.6.6.4.1.m1.1.1">2500</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.T1.6.6.4.1.m1.1c">2500</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.T1.6.6.4.1.m1.1d">2500</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_border_r" id="S4.T1.7.7.5.2"><math alttext="2500" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.T1.7.7.5.2.m1.1"><semantics id="S4.T1.7.7.5.2.m1.1a"><mn id="S4.T1.7.7.5.2.m1.1.1" xref="S4.T1.7.7.5.2.m1.1.1.cmml">2500</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.T1.7.7.5.2.m1.1b"><cn id="S4.T1.7.7.5.2.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.T1.7.7.5.2.m1.1.1">2500</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.T1.7.7.5.2.m1.1c">2500</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.T1.7.7.5.2.m1.1d">2500</annotation></semantics></math></td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S4.T1.9.9.7"> <th class="ltx_td ltx_align_left ltx_th ltx_th_row ltx_border_l ltx_border_r" id="S4.T1.9.9.7.3">Gossip-NN <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib25" title="">25</a>]</cite> </th> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_border_r" id="S4.T1.8.8.6.1"><math alttext="1000" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.T1.8.8.6.1.m1.1"><semantics id="S4.T1.8.8.6.1.m1.1a"><mn id="S4.T1.8.8.6.1.m1.1.1" xref="S4.T1.8.8.6.1.m1.1.1.cmml">1000</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.T1.8.8.6.1.m1.1b"><cn id="S4.T1.8.8.6.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.T1.8.8.6.1.m1.1.1">1000</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.T1.8.8.6.1.m1.1c">1000</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.T1.8.8.6.1.m1.1d">1000</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_border_r" id="S4.T1.9.9.7.2"><math alttext="2000" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.T1.9.9.7.2.m1.1"><semantics id="S4.T1.9.9.7.2.m1.1a"><mn id="S4.T1.9.9.7.2.m1.1.1" xref="S4.T1.9.9.7.2.m1.1.1.cmml">2000</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.T1.9.9.7.2.m1.1b"><cn id="S4.T1.9.9.7.2.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.T1.9.9.7.2.m1.1.1">2000</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.T1.9.9.7.2.m1.1c">2000</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.T1.9.9.7.2.m1.1d">2000</annotation></semantics></math></td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S4.T1.11.11.9"> <th class="ltx_td ltx_align_left ltx_th ltx_th_row ltx_border_l ltx_border_r" id="S4.T1.11.11.9.3">D-TD[ADMM]</th> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_border_r" id="S4.T1.10.10.8.1"><math alttext="2000" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.T1.10.10.8.1.m1.1"><semantics id="S4.T1.10.10.8.1.m1.1a"><mn id="S4.T1.10.10.8.1.m1.1.1" xref="S4.T1.10.10.8.1.m1.1.1.cmml">2000</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.T1.10.10.8.1.m1.1b"><cn id="S4.T1.10.10.8.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.T1.10.10.8.1.m1.1.1">2000</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.T1.10.10.8.1.m1.1c">2000</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.T1.10.10.8.1.m1.1d">2000</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_border_r" id="S4.T1.11.11.9.2"><math alttext="2000" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.T1.11.11.9.2.m1.1"><semantics id="S4.T1.11.11.9.2.m1.1a"><mn id="S4.T1.11.11.9.2.m1.1.1" xref="S4.T1.11.11.9.2.m1.1.1.cmml">2000</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.T1.11.11.9.2.m1.1b"><cn id="S4.T1.11.11.9.2.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.T1.11.11.9.2.m1.1.1">2000</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.T1.11.11.9.2.m1.1c">2000</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.T1.11.11.9.2.m1.1d">2000</annotation></semantics></math></td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S4.T1.13.13.11"> <th class="ltx_td ltx_align_left ltx_th ltx_th_row ltx_border_b ltx_border_l ltx_border_r" id="S4.T1.13.13.11.3"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#alg1" title="In III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Algorithm</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a></th> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_border_b ltx_border_r" id="S4.T1.12.12.10.1"><math alttext="50" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.T1.12.12.10.1.m1.1"><semantics id="S4.T1.12.12.10.1.m1.1a"><mn id="S4.T1.12.12.10.1.m1.1.1" xref="S4.T1.12.12.10.1.m1.1.1.cmml">50</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.T1.12.12.10.1.m1.1b"><cn id="S4.T1.12.12.10.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.T1.12.12.10.1.m1.1.1">50</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.T1.12.12.10.1.m1.1c">50</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.T1.12.12.10.1.m1.1d">50</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_border_b ltx_border_r" id="S4.T1.13.13.11.2"><math alttext="50" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.T1.13.13.11.2.m1.1"><semantics id="S4.T1.13.13.11.2.m1.1a"><mn id="S4.T1.13.13.11.2.m1.1.1" xref="S4.T1.13.13.11.2.m1.1.1.cmml">50</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.T1.13.13.11.2.m1.1b"><cn id="S4.T1.13.13.11.2.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.T1.13.13.11.2.m1.1.1">50</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.T1.13.13.11.2.m1.1c">50</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.T1.13.13.11.2.m1.1d">50</annotation></semantics></math></td> </tr> </tbody> </table> </figure> <section class="ltx_subsection" id="S4.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection"><span class="ltx_text" id="S4.SS1.5.1.1">IV-A</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.SS1.6.2">Network of pendulums</span> </h3> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p1.6">Each of the <math alttext="25" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.1.m1.1"><semantics id="S4.SS1.p1.1.m1.1a"><mn id="S4.SS1.p1.1.m1.1.1" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml">25</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.1.m1.1b"><cn id="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.1">25</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.1.m1.1c">25</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.1.m1.1d">25</annotation></semantics></math> agents is assigned a pendulum <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib39" title="">39</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib40" title="">40</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib41" title="">41</a>]</cite>, for a total of <math alttext="25" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.2.m2.1"><semantics id="S4.SS1.p1.2.m2.1a"><mn id="S4.SS1.p1.2.m2.1.1" xref="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.cmml">25</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.2.m2.1b"><cn id="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p1.2.m2.1.1">25</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.2.m2.1c">25</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.2.m2.1d">25</annotation></semantics></math> pendulums. One endpoint of each pendulum is fixed, while the other is free to move, as illustrated in <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S4.F2.sf1" title="In Figure 2 ‣ IV-A Network of pendulums ‣ IV Numerical Tests ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Figure</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">2(a)</span></a>. At node <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.3.m3.1"><semantics id="S4.SS1.p1.3.m3.1a"><mi id="S4.SS1.p1.3.m3.1.1" xref="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.3.m3.1b"><ci id="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.3.m3.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.3.m3.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.3.m3.1d">italic_n</annotation></semantics></math> of <math alttext="\mathcal{G}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.4.m4.1"><semantics id="S4.SS1.p1.4.m4.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.SS1.p1.4.m4.1.1" xref="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.cmml">𝒢</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.4.m4.1b"><ci id="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.4.m4.1.1">𝒢</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.4.m4.1c">\mathcal{G}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.4.m4.1d">caligraphic_G</annotation></semantics></math>, agent <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.5.m5.1"><semantics id="S4.SS1.p1.5.m5.1a"><mi id="S4.SS1.p1.5.m5.1.1" xref="S4.SS1.p1.5.m5.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.5.m5.1b"><ci id="S4.SS1.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.5.m5.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.5.m5.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.5.m5.1d">italic_n</annotation></semantics></math> applies torque to pendulum <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.6.m6.1"><semantics id="S4.SS1.p1.6.m6.1a"><mi id="S4.SS1.p1.6.m6.1.1" xref="S4.SS1.p1.6.m6.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.6.m6.1b"><ci id="S4.SS1.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.6.m6.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.6.m6.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.6.m6.1d">italic_n</annotation></semantics></math>, and by sharing information with neighboring agents, the goal is for all pendulums to collectively swing from their bottom (rest) position to the upright position and remain there, with the minimal possible communication cost.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S4.F2"> <div class="ltx_flex_figure"> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel" id="S4.F2.sf1"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_square" height="390" id="S4.F2.sf1.g1" src="x1.png" width="374"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S4.F2.sf1.2.1.1" style="font-size:90%;">(a)</span> </span></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_break"></div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel" id="S4.F2.sf2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="260" id="S4.F2.sf2.g1" src="x2.png" width="373"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S4.F2.sf2.2.1.1" style="font-size:90%;">(b)</span> </span></figcaption> </figure> </div> </div> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S4.F2.2.1.1" style="font-size:90%;">Figure 2</span>: </span><span class="ltx_text" id="S4.F2.3.2" style="font-size:90%;">Software for the pendulum and cartpole environments can be found in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib40" title="">40</a>]</cite> and <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib42" title="">42</a>]</cite>, respectively.</span></figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.p2"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p2.9">According to <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib39" title="">39</a>]</cite>, the generic state at node <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p2.1.m1.1"><semantics id="S4.SS1.p2.1.m1.1a"><mi id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p2.1.m1.1b"><ci id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p2.1.m1.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p2.1.m1.1d">italic_n</annotation></semantics></math> is defined as <math alttext="\mathbf{s}^{(n)}\coloneqq[\sin\theta^{(n)},\cos\theta^{(n)},\dot{\theta}^{(n)}% ]^{\intercal}\in\mathcal{S}\coloneqq\mathbb{R}^{3}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p2.2.m2.7"><semantics id="S4.SS1.p2.2.m2.7a"><mrow id="S4.SS1.p2.2.m2.7.7" xref="S4.SS1.p2.2.m2.7.7.cmml"><msup id="S4.SS1.p2.2.m2.7.7.5" xref="S4.SS1.p2.2.m2.7.7.5.cmml"><mi id="S4.SS1.p2.2.m2.7.7.5.2" xref="S4.SS1.p2.2.m2.7.7.5.2.cmml">𝐬</mi><mrow id="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p2.2.m2.7.7.5.cmml"><mo id="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p2.2.m2.7.7.5.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p2.2.m2.7.7.5.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S4.SS1.p2.2.m2.7.7.6" xref="S4.SS1.p2.2.m2.7.7.6.cmml">≔</mo><msup id="S4.SS1.p2.2.m2.7.7.3" xref="S4.SS1.p2.2.m2.7.7.3.cmml"><mrow id="S4.SS1.p2.2.m2.7.7.3.3.3" xref="S4.SS1.p2.2.m2.7.7.3.3.4.cmml"><mo id="S4.SS1.p2.2.m2.7.7.3.3.3.4" stretchy="false" xref="S4.SS1.p2.2.m2.7.7.3.3.4.cmml">[</mo><mrow id="S4.SS1.p2.2.m2.5.5.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p2.2.m2.5.5.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p2.2.m2.5.5.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p2.2.m2.5.5.1.1.1.1.1.cmml">sin</mi><mo id="S4.SS1.p2.2.m2.5.5.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S4.SS1.p2.2.m2.5.5.1.1.1.1.cmml">⁡</mo><msup id="S4.SS1.p2.2.m2.5.5.1.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p2.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p2.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.2" xref="S4.SS1.p2.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.cmml">θ</mi><mrow id="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.3" xref="S4.SS1.p2.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p2.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1" xref="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p2.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup></mrow><mo id="S4.SS1.p2.2.m2.7.7.3.3.3.5" xref="S4.SS1.p2.2.m2.7.7.3.3.4.cmml">,</mo><mrow id="S4.SS1.p2.2.m2.6.6.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p2.2.m2.6.6.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p2.2.m2.6.6.2.2.2.2.1" xref="S4.SS1.p2.2.m2.6.6.2.2.2.2.1.cmml">cos</mi><mo id="S4.SS1.p2.2.m2.6.6.2.2.2.2a" lspace="0.167em" xref="S4.SS1.p2.2.m2.6.6.2.2.2.2.cmml">⁡</mo><msup id="S4.SS1.p2.2.m2.6.6.2.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p2.2.m2.6.6.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p2.2.m2.6.6.2.2.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p2.2.m2.6.6.2.2.2.2.2.2.cmml">θ</mi><mrow id="S4.SS1.p2.2.m2.3.3.1.3" xref="S4.SS1.p2.2.m2.6.6.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p2.2.m2.3.3.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p2.2.m2.6.6.2.2.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p2.2.m2.3.3.1.1" xref="S4.SS1.p2.2.m2.3.3.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.SS1.p2.2.m2.3.3.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p2.2.m2.6.6.2.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></msup></mrow><mo id="S4.SS1.p2.2.m2.7.7.3.3.3.6" xref="S4.SS1.p2.2.m2.7.7.3.3.4.cmml">,</mo><msup id="S4.SS1.p2.2.m2.7.7.3.3.3.3" xref="S4.SS1.p2.2.m2.7.7.3.3.3.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS1.p2.2.m2.7.7.3.3.3.3.2" xref="S4.SS1.p2.2.m2.7.7.3.3.3.3.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p2.2.m2.7.7.3.3.3.3.2.2" xref="S4.SS1.p2.2.m2.7.7.3.3.3.3.2.2.cmml">θ</mi><mo id="S4.SS1.p2.2.m2.7.7.3.3.3.3.2.1" xref="S4.SS1.p2.2.m2.7.7.3.3.3.3.2.1.cmml">˙</mo></mover><mrow id="S4.SS1.p2.2.m2.4.4.1.3" xref="S4.SS1.p2.2.m2.7.7.3.3.3.3.cmml"><mo id="S4.SS1.p2.2.m2.4.4.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p2.2.m2.7.7.3.3.3.3.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p2.2.m2.4.4.1.1" xref="S4.SS1.p2.2.m2.4.4.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.SS1.p2.2.m2.4.4.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p2.2.m2.7.7.3.3.3.3.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S4.SS1.p2.2.m2.7.7.3.3.3.7" stretchy="false" xref="S4.SS1.p2.2.m2.7.7.3.3.4.cmml">]</mo></mrow><mo id="S4.SS1.p2.2.m2.7.7.3.5" xref="S4.SS1.p2.2.m2.7.7.3.5.cmml">⊺</mo></msup><mo id="S4.SS1.p2.2.m2.7.7.7" xref="S4.SS1.p2.2.m2.7.7.7.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.SS1.p2.2.m2.7.7.8" xref="S4.SS1.p2.2.m2.7.7.8.cmml">𝒮</mi><mo id="S4.SS1.p2.2.m2.7.7.9" xref="S4.SS1.p2.2.m2.7.7.9.cmml">≔</mo><msup id="S4.SS1.p2.2.m2.7.7.10" xref="S4.SS1.p2.2.m2.7.7.10.cmml"><mi id="S4.SS1.p2.2.m2.7.7.10.2" xref="S4.SS1.p2.2.m2.7.7.10.2.cmml">ℝ</mi><mn id="S4.SS1.p2.2.m2.7.7.10.3" xref="S4.SS1.p2.2.m2.7.7.10.3.cmml">3</mn></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p2.2.m2.7b"><apply id="S4.SS1.p2.2.m2.7.7.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.7.7"><and id="S4.SS1.p2.2.m2.7.7a.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.7.7"></and><apply id="S4.SS1.p2.2.m2.7.7b.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.7.7"><ci id="S4.SS1.p2.2.m2.7.7.6.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.7.7.6">≔</ci><apply id="S4.SS1.p2.2.m2.7.7.5.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.7.7.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p2.2.m2.7.7.5.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.7.7.5">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p2.2.m2.7.7.5.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.7.7.5.2">𝐬</ci><ci id="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S4.SS1.p2.2.m2.7.7.3.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.7.7.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p2.2.m2.7.7.3.4.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.7.7.3">superscript</csymbol><list id="S4.SS1.p2.2.m2.7.7.3.3.4.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.7.7.3.3.3"><apply id="S4.SS1.p2.2.m2.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.5.5.1.1.1.1"><sin id="S4.SS1.p2.2.m2.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.5.5.1.1.1.1.1"></sin><apply id="S4.SS1.p2.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.5.5.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p2.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.5.5.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p2.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.2">𝜃</ci><ci id="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1">𝑛</ci></apply></apply><apply id="S4.SS1.p2.2.m2.6.6.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.6.6.2.2.2.2"><cos id="S4.SS1.p2.2.m2.6.6.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.6.6.2.2.2.2.1"></cos><apply id="S4.SS1.p2.2.m2.6.6.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.6.6.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p2.2.m2.6.6.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.6.6.2.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p2.2.m2.6.6.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.6.6.2.2.2.2.2.2">𝜃</ci><ci 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id="S4.SS1.p2.2.m2.7.7.8.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.7.7.8">𝒮</ci></apply><apply id="S4.SS1.p2.2.m2.7.7e.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.7.7"><ci id="S4.SS1.p2.2.m2.7.7.9.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.7.7.9">≔</ci><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S4.SS1.p2.2.m2.7.7.8.cmml" id="S4.SS1.p2.2.m2.7.7f.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.7.7"></share><apply id="S4.SS1.p2.2.m2.7.7.10.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.7.7.10"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p2.2.m2.7.7.10.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.7.7.10">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p2.2.m2.7.7.10.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.7.7.10.2">ℝ</ci><cn id="S4.SS1.p2.2.m2.7.7.10.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p2.2.m2.7.7.10.3">3</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p2.2.m2.7c">\mathbf{s}^{(n)}\coloneqq[\sin\theta^{(n)},\cos\theta^{(n)},\dot{\theta}^{(n)}% ]^{\intercal}\in\mathcal{S}\coloneqq\mathbb{R}^{3}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p2.2.m2.7d">bold_s start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ≔ [ roman_sin italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT , roman_cos italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT , over˙ start_ARG italic_θ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ] start_POSTSUPERSCRIPT ⊺ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ caligraphic_S ≔ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, where <math alttext="\theta^{(n)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p2.3.m3.1"><semantics id="S4.SS1.p2.3.m3.1a"><msup id="S4.SS1.p2.3.m3.1.2" xref="S4.SS1.p2.3.m3.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p2.3.m3.1.2.2" xref="S4.SS1.p2.3.m3.1.2.2.cmml">θ</mi><mrow id="S4.SS1.p2.3.m3.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p2.3.m3.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p2.3.m3.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p2.3.m3.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p2.3.m3.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p2.3.m3.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.SS1.p2.3.m3.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p2.3.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p2.3.m3.1b"><apply id="S4.SS1.p2.3.m3.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.3.m3.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p2.3.m3.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.3.m3.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p2.3.m3.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.3.m3.1.2.2">𝜃</ci><ci id="S4.SS1.p2.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.3.m3.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p2.3.m3.1c">\theta^{(n)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p2.3.m3.1d">italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> measures the angle between the current direction of the pendulum’s arm and the upward direction, <math alttext="\dot{\theta}^{(n)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p2.4.m4.1"><semantics id="S4.SS1.p2.4.m4.1a"><msup id="S4.SS1.p2.4.m4.1.2" xref="S4.SS1.p2.4.m4.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS1.p2.4.m4.1.2.2" xref="S4.SS1.p2.4.m4.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p2.4.m4.1.2.2.2" xref="S4.SS1.p2.4.m4.1.2.2.2.cmml">θ</mi><mo id="S4.SS1.p2.4.m4.1.2.2.1" xref="S4.SS1.p2.4.m4.1.2.2.1.cmml">˙</mo></mover><mrow id="S4.SS1.p2.4.m4.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p2.4.m4.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p2.4.m4.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p2.4.m4.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p2.4.m4.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p2.4.m4.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.SS1.p2.4.m4.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p2.4.m4.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p2.4.m4.1b"><apply id="S4.SS1.p2.4.m4.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.4.m4.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p2.4.m4.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.4.m4.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p2.4.m4.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.4.m4.1.2.2"><ci id="S4.SS1.p2.4.m4.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.4.m4.1.2.2.1">˙</ci><ci id="S4.SS1.p2.4.m4.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.4.m4.1.2.2.2">𝜃</ci></apply><ci id="S4.SS1.p2.4.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.4.m4.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p2.4.m4.1c">\dot{\theta}^{(n)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p2.4.m4.1d">over˙ start_ARG italic_θ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is the angular velocity, while torque serves as action <math alttext="a^{(n)}\in\mathcal{A}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p2.5.m5.1"><semantics id="S4.SS1.p2.5.m5.1a"><mrow id="S4.SS1.p2.5.m5.1.2" xref="S4.SS1.p2.5.m5.1.2.cmml"><msup id="S4.SS1.p2.5.m5.1.2.2" xref="S4.SS1.p2.5.m5.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p2.5.m5.1.2.2.2" xref="S4.SS1.p2.5.m5.1.2.2.2.cmml">a</mi><mrow id="S4.SS1.p2.5.m5.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p2.5.m5.1.2.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p2.5.m5.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p2.5.m5.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.SS1.p2.5.m5.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p2.5.m5.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S4.SS1.p2.5.m5.1.2.1" xref="S4.SS1.p2.5.m5.1.2.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.SS1.p2.5.m5.1.2.3" xref="S4.SS1.p2.5.m5.1.2.3.cmml">𝒜</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p2.5.m5.1b"><apply id="S4.SS1.p2.5.m5.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.5.m5.1.2"><in id="S4.SS1.p2.5.m5.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.5.m5.1.2.1"></in><apply id="S4.SS1.p2.5.m5.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.5.m5.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p2.5.m5.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.5.m5.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p2.5.m5.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.5.m5.1.2.2.2">𝑎</ci><ci id="S4.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><ci id="S4.SS1.p2.5.m5.1.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p2.5.m5.1.2.3">𝒜</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p2.5.m5.1c">a^{(n)}\in\mathcal{A}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p2.5.m5.1d">italic_a start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ∈ caligraphic_A</annotation></semantics></math>, with the action space <math alttext="\mathcal{A}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p2.6.m6.1"><semantics id="S4.SS1.p2.6.m6.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.SS1.p2.6.m6.1.1" xref="S4.SS1.p2.6.m6.1.1.cmml">𝒜</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p2.6.m6.1b"><ci id="S4.SS1.p2.6.m6.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.6.m6.1.1">𝒜</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p2.6.m6.1c">\mathcal{A}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p2.6.m6.1d">caligraphic_A</annotation></semantics></math> defined as the finite grid resulting from evenly dividing <math alttext="[-2,2]" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p2.7.m7.2"><semantics id="S4.SS1.p2.7.m7.2a"><mrow id="S4.SS1.p2.7.m7.2.2.1" xref="S4.SS1.p2.7.m7.2.2.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p2.7.m7.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p2.7.m7.2.2.2.cmml">[</mo><mrow id="S4.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1" xref="S4.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1a" xref="S4.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.cmml">−</mo><mn id="S4.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.2" xref="S4.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.2.cmml">2</mn></mrow><mo id="S4.SS1.p2.7.m7.2.2.1.3" xref="S4.SS1.p2.7.m7.2.2.2.cmml">,</mo><mn id="S4.SS1.p2.7.m7.1.1" xref="S4.SS1.p2.7.m7.1.1.cmml">2</mn><mo id="S4.SS1.p2.7.m7.2.2.1.4" stretchy="false" xref="S4.SS1.p2.7.m7.2.2.2.cmml">]</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p2.7.m7.2b"><interval closure="closed" id="S4.SS1.p2.7.m7.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.7.m7.2.2.1"><apply id="S4.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1"><minus id="S4.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1"></minus><cn id="S4.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.2">2</cn></apply><cn id="S4.SS1.p2.7.m7.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p2.7.m7.1.1">2</cn></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p2.7.m7.2c">[-2,2]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p2.7.m7.2d">[ - 2 , 2 ]</annotation></semantics></math> into <math alttext="10" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p2.8.m8.1"><semantics id="S4.SS1.p2.8.m8.1a"><mn id="S4.SS1.p2.8.m8.1.1" xref="S4.SS1.p2.8.m8.1.1.cmml">10</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p2.8.m8.1b"><cn id="S4.SS1.p2.8.m8.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p2.8.m8.1.1">10</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p2.8.m8.1c">10</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p2.8.m8.1d">10</annotation></semantics></math> equal intervals. With the generic state-action vector defined as <math alttext="\mathbf{z}^{(n)}\coloneqq[\mathbf{s}^{(n)\intercal},a^{(n)}]^{\intercal}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p2.9.m9.5"><semantics id="S4.SS1.p2.9.m9.5a"><mrow id="S4.SS1.p2.9.m9.5.5" xref="S4.SS1.p2.9.m9.5.5.cmml"><msup id="S4.SS1.p2.9.m9.5.5.4" xref="S4.SS1.p2.9.m9.5.5.4.cmml"><mi id="S4.SS1.p2.9.m9.5.5.4.2" xref="S4.SS1.p2.9.m9.5.5.4.2.cmml">𝐳</mi><mrow id="S4.SS1.p2.9.m9.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p2.9.m9.5.5.4.cmml"><mo id="S4.SS1.p2.9.m9.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p2.9.m9.5.5.4.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p2.9.m9.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p2.9.m9.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.SS1.p2.9.m9.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p2.9.m9.5.5.4.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S4.SS1.p2.9.m9.5.5.3" xref="S4.SS1.p2.9.m9.5.5.3.cmml">≔</mo><msup id="S4.SS1.p2.9.m9.5.5.2" xref="S4.SS1.p2.9.m9.5.5.2.cmml"><mrow id="S4.SS1.p2.9.m9.5.5.2.2.2" xref="S4.SS1.p2.9.m9.5.5.2.2.3.cmml"><mo id="S4.SS1.p2.9.m9.5.5.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.SS1.p2.9.m9.5.5.2.2.3.cmml">[</mo><msup id="S4.SS1.p2.9.m9.4.4.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p2.9.m9.4.4.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p2.9.m9.4.4.1.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p2.9.m9.4.4.1.1.1.1.2.cmml">𝐬</mi><mrow id="S4.SS1.p2.9.m9.2.2.1" xref="S4.SS1.p2.9.m9.2.2.1.cmml"><mrow id="S4.SS1.p2.9.m9.2.2.1.3.2" xref="S4.SS1.p2.9.m9.2.2.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p2.9.m9.2.2.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p2.9.m9.2.2.1.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p2.9.m9.2.2.1.1" xref="S4.SS1.p2.9.m9.2.2.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.SS1.p2.9.m9.2.2.1.3.2.2" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S4.SS1.p2.9.m9.2.2.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.SS1.p2.9.m9.2.2.1.4" xref="S4.SS1.p2.9.m9.2.2.1.4.cmml">⊺</mo></mrow></msup><mo id="S4.SS1.p2.9.m9.5.5.2.2.2.4" xref="S4.SS1.p2.9.m9.5.5.2.2.3.cmml">,</mo><msup id="S4.SS1.p2.9.m9.5.5.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p2.9.m9.5.5.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p2.9.m9.5.5.2.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p2.9.m9.5.5.2.2.2.2.2.cmml">a</mi><mrow id="S4.SS1.p2.9.m9.3.3.1.3" xref="S4.SS1.p2.9.m9.5.5.2.2.2.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p2.9.m9.3.3.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p2.9.m9.5.5.2.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p2.9.m9.3.3.1.1" xref="S4.SS1.p2.9.m9.3.3.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.SS1.p2.9.m9.3.3.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p2.9.m9.5.5.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S4.SS1.p2.9.m9.5.5.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S4.SS1.p2.9.m9.5.5.2.2.3.cmml">]</mo></mrow><mo id="S4.SS1.p2.9.m9.5.5.2.4" xref="S4.SS1.p2.9.m9.5.5.2.4.cmml">⊺</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p2.9.m9.5b"><apply id="S4.SS1.p2.9.m9.5.5.cmml" xref="S4.SS1.p2.9.m9.5.5"><ci id="S4.SS1.p2.9.m9.5.5.3.cmml" xref="S4.SS1.p2.9.m9.5.5.3">≔</ci><apply id="S4.SS1.p2.9.m9.5.5.4.cmml" xref="S4.SS1.p2.9.m9.5.5.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p2.9.m9.5.5.4.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.9.m9.5.5.4">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p2.9.m9.5.5.4.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.9.m9.5.5.4.2">𝐳</ci><ci id="S4.SS1.p2.9.m9.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.9.m9.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S4.SS1.p2.9.m9.5.5.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.9.m9.5.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p2.9.m9.5.5.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p2.9.m9.5.5.2">superscript</csymbol><interval closure="closed" id="S4.SS1.p2.9.m9.5.5.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p2.9.m9.5.5.2.2.2"><apply id="S4.SS1.p2.9.m9.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.9.m9.4.4.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p2.9.m9.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.9.m9.4.4.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p2.9.m9.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.9.m9.4.4.1.1.1.1.2">𝐬</ci><apply id="S4.SS1.p2.9.m9.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.9.m9.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS1.p2.9.m9.2.2.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.9.m9.2.2.1">limit-from</csymbol><ci id="S4.SS1.p2.9.m9.2.2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.9.m9.2.2.1.1">𝑛</ci><ci id="S4.SS1.p2.9.m9.2.2.1.4.cmml" xref="S4.SS1.p2.9.m9.2.2.1.4">⊺</ci></apply></apply><apply id="S4.SS1.p2.9.m9.5.5.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.9.m9.5.5.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p2.9.m9.5.5.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.9.m9.5.5.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p2.9.m9.5.5.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.9.m9.5.5.2.2.2.2.2">𝑎</ci><ci id="S4.SS1.p2.9.m9.3.3.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.9.m9.3.3.1.1">𝑛</ci></apply></interval><ci id="S4.SS1.p2.9.m9.5.5.2.4.cmml" xref="S4.SS1.p2.9.m9.5.5.2.4">⊺</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p2.9.m9.5c">\mathbf{z}^{(n)}\coloneqq[\mathbf{s}^{(n)\intercal},a^{(n)}]^{\intercal}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p2.9.m9.5d">bold_z start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ≔ [ bold_s start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) ⊺ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_a start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ] start_POSTSUPERSCRIPT ⊺ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, the one-step loss function is defined as</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A0.EGx34"> <tbody id="S4.Ex5"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle g(\mathbf{z}^{(n)})\coloneqq(\theta^{(n)})^{2}+0.1\,(\dot{\theta% }^{(n)})^{2}+0.001\,(a^{(n)})^{2}\,." class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex5.m1.5"><semantics id="S4.Ex5.m1.5a"><mrow id="S4.Ex5.m1.5.5.1" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.1" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.1.3" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.1.3.cmml">g</mi><mo id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.1.2" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐳</mi><mrow id="S4.Ex5.m1.1.1.1.3" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex5.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.Ex5.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.5" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.5.cmml">≔</mo><mrow id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.cmml"><msup id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.1" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.1.cmml"><mrow id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.2" stretchy="false" 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xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.3.2.2.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.3.2.1" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.3.2.1.cmml"><mrow id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.1" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.1.2.2.cmml">θ</mi><mo id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.1.2.1.cmml">˙</mo></mover><mrow id="S4.Ex5.m1.3.3.1.3" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex5.m1.3.3.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.Ex5.m1.3.3.1.3.2" stretchy="false" 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end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.p3"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p3.16">The data trajectory <math alttext="\mathcal{T}^{(n)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p3.1.m1.1"><semantics id="S4.SS1.p3.1.m1.1a"><msup id="S4.SS1.p3.1.m1.1.2" xref="S4.SS1.p3.1.m1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.SS1.p3.1.m1.1.2.2" xref="S4.SS1.p3.1.m1.1.2.2.cmml">𝒯</mi><mrow id="S4.SS1.p3.1.m1.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p3.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p3.1.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.SS1.p3.1.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p3.1.m1.1b"><apply id="S4.SS1.p3.1.m1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.1.m1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.1.m1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p3.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.1.m1.1.2.2">𝒯</ci><ci id="S4.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p3.1.m1.1c">\mathcal{T}^{(n)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p3.1.m1.1d">caligraphic_T start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> of <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S2.I1.i3" title="In Assumptions 1. ‣ II-B General assumptions for the decentralized setting ‣ II Distributed Reinforcement Learning ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Assumption</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">1(iii)</span></a> is generated inductively as follows: starting with a random <math alttext="\mathbf{s}_{0}^{(n)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p3.2.m2.1"><semantics id="S4.SS1.p3.2.m2.1a"><msubsup id="S4.SS1.p3.2.m2.1.2" xref="S4.SS1.p3.2.m2.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.2.m2.1.2.2.2" xref="S4.SS1.p3.2.m2.1.2.2.2.cmml">𝐬</mi><mn id="S4.SS1.p3.2.m2.1.2.2.3" xref="S4.SS1.p3.2.m2.1.2.2.3.cmml">0</mn><mrow id="S4.SS1.p3.2.m2.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p3.2.m2.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p3.2.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p3.2.m2.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p3.2.m2.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.SS1.p3.2.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p3.2.m2.1b"><apply id="S4.SS1.p3.2.m2.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m2.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p3.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.2.m2.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m2.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p3.2.m2.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m2.1.2.2.2">𝐬</ci><cn id="S4.SS1.p3.2.m2.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p3.2.m2.1.2.2.3">0</cn></apply><ci id="S4.SS1.p3.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m2.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p3.2.m2.1c">\mathbf{s}_{0}^{(n)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p3.2.m2.1d">bold_s start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> as in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib39" title="">39</a>]</cite>, at state <math alttext="\mathbf{s}_{i}^{(n)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p3.3.m3.1"><semantics id="S4.SS1.p3.3.m3.1a"><msubsup id="S4.SS1.p3.3.m3.1.2" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.2.2" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.2.2.cmml">𝐬</mi><mi id="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.2.3" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.2.3.cmml">i</mi><mrow id="S4.SS1.p3.3.m3.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p3.3.m3.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.SS1.p3.3.m3.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p3.3.m3.1b"><apply id="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.2.2">𝐬</ci><ci id="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S4.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p3.3.m3.1c">\mathbf{s}_{i}^{(n)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p3.3.m3.1d">bold_s start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, action <math alttext="a_{i}^{(n)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p3.4.m4.1"><semantics id="S4.SS1.p3.4.m4.1a"><msubsup id="S4.SS1.p3.4.m4.1.2" xref="S4.SS1.p3.4.m4.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.4.m4.1.2.2.2" xref="S4.SS1.p3.4.m4.1.2.2.2.cmml">a</mi><mi id="S4.SS1.p3.4.m4.1.2.2.3" xref="S4.SS1.p3.4.m4.1.2.2.3.cmml">i</mi><mrow id="S4.SS1.p3.4.m4.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p3.4.m4.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p3.4.m4.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.4.m4.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p3.4.m4.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p3.4.m4.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.SS1.p3.4.m4.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.4.m4.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p3.4.m4.1b"><apply id="S4.SS1.p3.4.m4.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.4.m4.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.4.m4.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.4.m4.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p3.4.m4.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.4.m4.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.4.m4.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.4.m4.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p3.4.m4.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.4.m4.1.2.2.2">𝑎</ci><ci id="S4.SS1.p3.4.m4.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.4.m4.1.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S4.SS1.p3.4.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.4.m4.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p3.4.m4.1c">a_{i}^{(n)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p3.4.m4.1d">italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is selected randomly from <math alttext="\mathcal{A}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p3.5.m5.1"><semantics id="S4.SS1.p3.5.m5.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.SS1.p3.5.m5.1.1" xref="S4.SS1.p3.5.m5.1.1.cmml">𝒜</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p3.5.m5.1b"><ci id="S4.SS1.p3.5.m5.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.5.m5.1.1">𝒜</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p3.5.m5.1c">\mathcal{A}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p3.5.m5.1d">caligraphic_A</annotation></semantics></math>, and receives the one-step loss <math alttext="g_{i}^{(n)}=g(\mathbf{z}_{i}^{(n)})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p3.6.m6.3"><semantics id="S4.SS1.p3.6.m6.3a"><mrow id="S4.SS1.p3.6.m6.3.3" xref="S4.SS1.p3.6.m6.3.3.cmml"><msubsup id="S4.SS1.p3.6.m6.3.3.3" xref="S4.SS1.p3.6.m6.3.3.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.6.m6.3.3.3.2.2" xref="S4.SS1.p3.6.m6.3.3.3.2.2.cmml">g</mi><mi id="S4.SS1.p3.6.m6.3.3.3.2.3" xref="S4.SS1.p3.6.m6.3.3.3.2.3.cmml">i</mi><mrow id="S4.SS1.p3.6.m6.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p3.6.m6.3.3.3.cmml"><mo id="S4.SS1.p3.6.m6.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.6.m6.3.3.3.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p3.6.m6.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p3.6.m6.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.SS1.p3.6.m6.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.6.m6.3.3.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S4.SS1.p3.6.m6.3.3.2" xref="S4.SS1.p3.6.m6.3.3.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS1.p3.6.m6.3.3.1" xref="S4.SS1.p3.6.m6.3.3.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.6.m6.3.3.1.3" xref="S4.SS1.p3.6.m6.3.3.1.3.cmml">g</mi><mo id="S4.SS1.p3.6.m6.3.3.1.2" xref="S4.SS1.p3.6.m6.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p3.6.m6.3.3.1.1.1" xref="S4.SS1.p3.6.m6.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p3.6.m6.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.6.m6.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="S4.SS1.p3.6.m6.3.3.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p3.6.m6.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.6.m6.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="S4.SS1.p3.6.m6.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐳</mi><mi id="S4.SS1.p3.6.m6.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="S4.SS1.p3.6.m6.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi><mrow id="S4.SS1.p3.6.m6.2.2.1.3" xref="S4.SS1.p3.6.m6.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p3.6.m6.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.6.m6.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p3.6.m6.2.2.1.1" xref="S4.SS1.p3.6.m6.2.2.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.SS1.p3.6.m6.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.6.m6.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S4.SS1.p3.6.m6.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.6.m6.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p3.6.m6.3b"><apply id="S4.SS1.p3.6.m6.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.6.m6.3.3"><eq id="S4.SS1.p3.6.m6.3.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.6.m6.3.3.2"></eq><apply id="S4.SS1.p3.6.m6.3.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.6.m6.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.6.m6.3.3.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.6.m6.3.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p3.6.m6.3.3.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.6.m6.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.6.m6.3.3.3.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.6.m6.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p3.6.m6.3.3.3.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.6.m6.3.3.3.2.2">𝑔</ci><ci id="S4.SS1.p3.6.m6.3.3.3.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.6.m6.3.3.3.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S4.SS1.p3.6.m6.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.6.m6.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S4.SS1.p3.6.m6.3.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.6.m6.3.3.1"><times id="S4.SS1.p3.6.m6.3.3.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.6.m6.3.3.1.2"></times><ci id="S4.SS1.p3.6.m6.3.3.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.6.m6.3.3.1.3">𝑔</ci><apply id="S4.SS1.p3.6.m6.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.6.m6.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.6.m6.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.6.m6.3.3.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p3.6.m6.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.6.m6.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.6.m6.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.6.m6.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p3.6.m6.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.6.m6.3.3.1.1.1.1.2.2">𝐳</ci><ci id="S4.SS1.p3.6.m6.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.6.m6.3.3.1.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S4.SS1.p3.6.m6.2.2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.6.m6.2.2.1.1">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p3.6.m6.3c">g_{i}^{(n)}=g(\mathbf{z}_{i}^{(n)})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p3.6.m6.3d">italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT = italic_g ( bold_z start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> to transition to <math alttext="\mathbf{s}_{i+1}^{(n)}\coloneqq\mathbf{s}_{i}^{(n)\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p3.7.m7.4"><semantics id="S4.SS1.p3.7.m7.4a"><mrow id="S4.SS1.p3.7.m7.4.5" xref="S4.SS1.p3.7.m7.4.5.cmml"><msubsup id="S4.SS1.p3.7.m7.4.5.2" xref="S4.SS1.p3.7.m7.4.5.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.7.m7.4.5.2.2.2" xref="S4.SS1.p3.7.m7.4.5.2.2.2.cmml">𝐬</mi><mrow id="S4.SS1.p3.7.m7.4.5.2.2.3" xref="S4.SS1.p3.7.m7.4.5.2.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.7.m7.4.5.2.2.3.2" xref="S4.SS1.p3.7.m7.4.5.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S4.SS1.p3.7.m7.4.5.2.2.3.1" xref="S4.SS1.p3.7.m7.4.5.2.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S4.SS1.p3.7.m7.4.5.2.2.3.3" xref="S4.SS1.p3.7.m7.4.5.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="S4.SS1.p3.7.m7.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p3.7.m7.4.5.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p3.7.m7.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.7.m7.4.5.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p3.7.m7.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p3.7.m7.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.SS1.p3.7.m7.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.7.m7.4.5.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S4.SS1.p3.7.m7.4.5.1" xref="S4.SS1.p3.7.m7.4.5.1.cmml">≔</mo><msubsup id="S4.SS1.p3.7.m7.4.5.3" xref="S4.SS1.p3.7.m7.4.5.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.7.m7.4.5.3.2.2" xref="S4.SS1.p3.7.m7.4.5.3.2.2.cmml">𝐬</mi><mi id="S4.SS1.p3.7.m7.4.5.3.2.3" xref="S4.SS1.p3.7.m7.4.5.3.2.3.cmml">i</mi><mrow id="S4.SS1.p3.7.m7.4.4.3.3" xref="S4.SS1.p3.7.m7.4.4.3.4.cmml"><mrow id="S4.SS1.p3.7.m7.3.3.2.2.1.2" xref="S4.SS1.p3.7.m7.4.4.3.4.cmml"><mo id="S4.SS1.p3.7.m7.3.3.2.2.1.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.7.m7.4.4.3.4.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p3.7.m7.2.2.1.1" xref="S4.SS1.p3.7.m7.2.2.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.SS1.p3.7.m7.3.3.2.2.1.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.7.m7.4.4.3.4.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.SS1.p3.7.m7.4.4.3.3.3" lspace="0em" xref="S4.SS1.p3.7.m7.4.4.3.4.cmml">⁣</mo><mo id="S4.SS1.p3.7.m7.4.4.3.3.2" mathsize="142%" xref="S4.SS1.p3.7.m7.4.4.3.3.2.cmml">′</mo></mrow></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p3.7.m7.4b"><apply id="S4.SS1.p3.7.m7.4.5.cmml" xref="S4.SS1.p3.7.m7.4.5"><ci id="S4.SS1.p3.7.m7.4.5.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.7.m7.4.5.1">≔</ci><apply id="S4.SS1.p3.7.m7.4.5.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.7.m7.4.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.7.m7.4.5.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.7.m7.4.5.2">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p3.7.m7.4.5.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.7.m7.4.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.7.m7.4.5.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.7.m7.4.5.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p3.7.m7.4.5.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.7.m7.4.5.2.2.2">𝐬</ci><apply id="S4.SS1.p3.7.m7.4.5.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.7.m7.4.5.2.2.3"><plus id="S4.SS1.p3.7.m7.4.5.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.7.m7.4.5.2.2.3.1"></plus><ci id="S4.SS1.p3.7.m7.4.5.2.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.7.m7.4.5.2.2.3.2">𝑖</ci><cn id="S4.SS1.p3.7.m7.4.5.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p3.7.m7.4.5.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S4.SS1.p3.7.m7.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.7.m7.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S4.SS1.p3.7.m7.4.5.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.7.m7.4.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.7.m7.4.5.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.7.m7.4.5.3">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p3.7.m7.4.5.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.7.m7.4.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.7.m7.4.5.3.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.7.m7.4.5.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p3.7.m7.4.5.3.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.7.m7.4.5.3.2.2">𝐬</ci><ci id="S4.SS1.p3.7.m7.4.5.3.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.7.m7.4.5.3.2.3">𝑖</ci></apply><list id="S4.SS1.p3.7.m7.4.4.3.4.cmml" xref="S4.SS1.p3.7.m7.4.4.3.3"><ci id="S4.SS1.p3.7.m7.2.2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.7.m7.2.2.1.1">𝑛</ci><ci id="S4.SS1.p3.7.m7.4.4.3.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.7.m7.4.4.3.3.2">′</ci></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p3.7.m7.4c">\mathbf{s}_{i+1}^{(n)}\coloneqq\mathbf{s}_{i}^{(n)\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p3.7.m7.4d">bold_s start_POSTSUBSCRIPT italic_i + 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ≔ bold_s start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, according to a transition module function <math alttext="F_{\textnormal{trans}}(\cdot)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p3.8.m8.1"><semantics id="S4.SS1.p3.8.m8.1a"><mrow id="S4.SS1.p3.8.m8.1.2" xref="S4.SS1.p3.8.m8.1.2.cmml"><msub id="S4.SS1.p3.8.m8.1.2.2" xref="S4.SS1.p3.8.m8.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.8.m8.1.2.2.2" xref="S4.SS1.p3.8.m8.1.2.2.2.cmml">F</mi><mtext id="S4.SS1.p3.8.m8.1.2.2.3" xref="S4.SS1.p3.8.m8.1.2.2.3a.cmml">trans</mtext></msub><mo id="S4.SS1.p3.8.m8.1.2.1" xref="S4.SS1.p3.8.m8.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p3.8.m8.1.2.3.2" xref="S4.SS1.p3.8.m8.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p3.8.m8.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.8.m8.1.2.cmml">(</mo><mo id="S4.SS1.p3.8.m8.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S4.SS1.p3.8.m8.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="S4.SS1.p3.8.m8.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.8.m8.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p3.8.m8.1b"><apply id="S4.SS1.p3.8.m8.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.8.m8.1.2"><times id="S4.SS1.p3.8.m8.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.8.m8.1.2.1"></times><apply id="S4.SS1.p3.8.m8.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.8.m8.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.8.m8.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.8.m8.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p3.8.m8.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.8.m8.1.2.2.2">𝐹</ci><ci id="S4.SS1.p3.8.m8.1.2.2.3a.cmml" xref="S4.SS1.p3.8.m8.1.2.2.3"><mtext id="S4.SS1.p3.8.m8.1.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S4.SS1.p3.8.m8.1.2.2.3">trans</mtext></ci></apply><ci id="S4.SS1.p3.8.m8.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.8.m8.1.1">⋅</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p3.8.m8.1c">F_{\textnormal{trans}}(\cdot)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p3.8.m8.1d">italic_F start_POSTSUBSCRIPT trans end_POSTSUBSCRIPT ( ⋅ )</annotation></semantics></math>, inherent to the system <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib39" title="">39</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib40" title="">40</a>]</cite>. Although <math alttext="F_{\textnormal{trans}}(\cdot)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p3.9.m9.1"><semantics id="S4.SS1.p3.9.m9.1a"><mrow id="S4.SS1.p3.9.m9.1.2" xref="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.cmml"><msub id="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.2" xref="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.2.2" xref="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.2.2.cmml">F</mi><mtext id="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.2.3" xref="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.2.3a.cmml">trans</mtext></msub><mo id="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.1" xref="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.3.2" xref="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.cmml">(</mo><mo id="S4.SS1.p3.9.m9.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S4.SS1.p3.9.m9.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p3.9.m9.1b"><apply id="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.9.m9.1.2"><times id="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.1"></times><apply id="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.2.2">𝐹</ci><ci id="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.2.3a.cmml" xref="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.2.3"><mtext id="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.2.3">trans</mtext></ci></apply><ci id="S4.SS1.p3.9.m9.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.9.m9.1.1">⋅</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p3.9.m9.1c">F_{\textnormal{trans}}(\cdot)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p3.9.m9.1d">italic_F start_POSTSUBSCRIPT trans end_POSTSUBSCRIPT ( ⋅ )</annotation></semantics></math> does not include any noise in its original design <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib39" title="">39</a>]</cite>, to offer a more realistic setting here, measurement noise is also considered, so that <math alttext="(\theta_{i+1}^{(n)},\dot{\theta}_{i+1}^{(n)})=F_{\textnormal{trans}}(\theta_{i% }^{(n)}+\epsilon_{1},\dot{\theta}_{i}^{(n)}+\epsilon_{2},a_{i}^{(n)}+\epsilon_% {3})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p3.10.m10.10"><semantics id="S4.SS1.p3.10.m10.10a"><mrow id="S4.SS1.p3.10.m10.10.10" xref="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.cmml"><mrow id="S4.SS1.p3.10.m10.7.7.2.2" xref="S4.SS1.p3.10.m10.7.7.2.3.cmml"><mo id="S4.SS1.p3.10.m10.7.7.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.10.m10.7.7.2.3.cmml">(</mo><msubsup id="S4.SS1.p3.10.m10.6.6.1.1.1" xref="S4.SS1.p3.10.m10.6.6.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.10.m10.6.6.1.1.1.2.2" xref="S4.SS1.p3.10.m10.6.6.1.1.1.2.2.cmml">θ</mi><mrow id="S4.SS1.p3.10.m10.6.6.1.1.1.2.3" xref="S4.SS1.p3.10.m10.6.6.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.10.m10.6.6.1.1.1.2.3.2" xref="S4.SS1.p3.10.m10.6.6.1.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S4.SS1.p3.10.m10.6.6.1.1.1.2.3.1" xref="S4.SS1.p3.10.m10.6.6.1.1.1.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S4.SS1.p3.10.m10.6.6.1.1.1.2.3.3" xref="S4.SS1.p3.10.m10.6.6.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="S4.SS1.p3.10.m10.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p3.10.m10.6.6.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p3.10.m10.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.10.m10.6.6.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p3.10.m10.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p3.10.m10.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.SS1.p3.10.m10.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.10.m10.6.6.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S4.SS1.p3.10.m10.7.7.2.2.4" xref="S4.SS1.p3.10.m10.7.7.2.3.cmml">,</mo><msubsup id="S4.SS1.p3.10.m10.7.7.2.2.2" xref="S4.SS1.p3.10.m10.7.7.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS1.p3.10.m10.7.7.2.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p3.10.m10.7.7.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.10.m10.7.7.2.2.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p3.10.m10.7.7.2.2.2.2.2.2.cmml">θ</mi><mo id="S4.SS1.p3.10.m10.7.7.2.2.2.2.2.1" xref="S4.SS1.p3.10.m10.7.7.2.2.2.2.2.1.cmml">˙</mo></mover><mrow id="S4.SS1.p3.10.m10.7.7.2.2.2.2.3" xref="S4.SS1.p3.10.m10.7.7.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.10.m10.7.7.2.2.2.2.3.2" xref="S4.SS1.p3.10.m10.7.7.2.2.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S4.SS1.p3.10.m10.7.7.2.2.2.2.3.1" xref="S4.SS1.p3.10.m10.7.7.2.2.2.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S4.SS1.p3.10.m10.7.7.2.2.2.2.3.3" xref="S4.SS1.p3.10.m10.7.7.2.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="S4.SS1.p3.10.m10.2.2.1.3" xref="S4.SS1.p3.10.m10.7.7.2.2.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p3.10.m10.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.10.m10.7.7.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p3.10.m10.2.2.1.1" xref="S4.SS1.p3.10.m10.2.2.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.SS1.p3.10.m10.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.10.m10.7.7.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S4.SS1.p3.10.m10.7.7.2.2.5" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.10.m10.7.7.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.6" xref="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.6.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5" xref="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.cmml"><msub id="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.5" xref="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.5.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.5.2" xref="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.5.2.cmml">F</mi><mtext id="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.5.3" xref="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.5.3a.cmml">trans</mtext></msub><mo id="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.4" xref="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.3.3" xref="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.3.4.cmml"><mo id="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.3.3.4" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.3.4.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS1.p3.10.m10.8.8.3.1.1.1" xref="S4.SS1.p3.10.m10.8.8.3.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.SS1.p3.10.m10.8.8.3.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p3.10.m10.8.8.3.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.10.m10.8.8.3.1.1.1.2.2.2" xref="S4.SS1.p3.10.m10.8.8.3.1.1.1.2.2.2.cmml">θ</mi><mi id="S4.SS1.p3.10.m10.8.8.3.1.1.1.2.2.3" xref="S4.SS1.p3.10.m10.8.8.3.1.1.1.2.2.3.cmml">i</mi><mrow id="S4.SS1.p3.10.m10.3.3.1.3" xref="S4.SS1.p3.10.m10.8.8.3.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p3.10.m10.3.3.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.10.m10.8.8.3.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p3.10.m10.3.3.1.1" xref="S4.SS1.p3.10.m10.3.3.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.SS1.p3.10.m10.3.3.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.10.m10.8.8.3.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S4.SS1.p3.10.m10.8.8.3.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p3.10.m10.8.8.3.1.1.1.1.cmml">+</mo><msub id="S4.SS1.p3.10.m10.8.8.3.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p3.10.m10.8.8.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.10.m10.8.8.3.1.1.1.3.2" xref="S4.SS1.p3.10.m10.8.8.3.1.1.1.3.2.cmml">ϵ</mi><mn id="S4.SS1.p3.10.m10.8.8.3.1.1.1.3.3" xref="S4.SS1.p3.10.m10.8.8.3.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.3.3.5" xref="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.3.4.cmml">,</mo><mrow id="S4.SS1.p3.10.m10.9.9.4.2.2.2" xref="S4.SS1.p3.10.m10.9.9.4.2.2.2.cmml"><msubsup id="S4.SS1.p3.10.m10.9.9.4.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p3.10.m10.9.9.4.2.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS1.p3.10.m10.9.9.4.2.2.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p3.10.m10.9.9.4.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.10.m10.9.9.4.2.2.2.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p3.10.m10.9.9.4.2.2.2.2.2.2.2.cmml">θ</mi><mo id="S4.SS1.p3.10.m10.9.9.4.2.2.2.2.2.2.1" xref="S4.SS1.p3.10.m10.9.9.4.2.2.2.2.2.2.1.cmml">˙</mo></mover><mi id="S4.SS1.p3.10.m10.9.9.4.2.2.2.2.2.3" xref="S4.SS1.p3.10.m10.9.9.4.2.2.2.2.2.3.cmml">i</mi><mrow id="S4.SS1.p3.10.m10.4.4.1.3" xref="S4.SS1.p3.10.m10.9.9.4.2.2.2.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p3.10.m10.4.4.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.10.m10.9.9.4.2.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p3.10.m10.4.4.1.1" xref="S4.SS1.p3.10.m10.4.4.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.SS1.p3.10.m10.4.4.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.10.m10.9.9.4.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S4.SS1.p3.10.m10.9.9.4.2.2.2.1" xref="S4.SS1.p3.10.m10.9.9.4.2.2.2.1.cmml">+</mo><msub id="S4.SS1.p3.10.m10.9.9.4.2.2.2.3" xref="S4.SS1.p3.10.m10.9.9.4.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.10.m10.9.9.4.2.2.2.3.2" xref="S4.SS1.p3.10.m10.9.9.4.2.2.2.3.2.cmml">ϵ</mi><mn id="S4.SS1.p3.10.m10.9.9.4.2.2.2.3.3" xref="S4.SS1.p3.10.m10.9.9.4.2.2.2.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.3.3.6" xref="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.3.4.cmml">,</mo><mrow id="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.3.3.3" xref="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.3.3.3.cmml"><msubsup id="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.3.3.3.2" xref="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.3.3.3.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.3.3.3.2.2.2" xref="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.3.3.3.2.2.2.cmml">a</mi><mi id="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.3.3.3.2.2.3" xref="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.3.3.3.2.2.3.cmml">i</mi><mrow id="S4.SS1.p3.10.m10.5.5.1.3" xref="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.3.3.3.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p3.10.m10.5.5.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.3.3.3.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p3.10.m10.5.5.1.1" xref="S4.SS1.p3.10.m10.5.5.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.SS1.p3.10.m10.5.5.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.3.3.3.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.3.3.3.1" xref="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.3.3.3.1.cmml">+</mo><msub id="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.3.3.3.3" xref="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.3.3.3.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.3.3.3.3.2" xref="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.3.3.3.3.2.cmml">ϵ</mi><mn id="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.3.3.3.3.3" xref="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.3.3.3.3.3.cmml">3</mn></msub></mrow><mo id="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.3.3.7" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.3.4.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p3.10.m10.10b"><apply id="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.cmml" xref="S4.SS1.p3.10.m10.10.10"><eq id="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.6.cmml" xref="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.6"></eq><interval closure="open" id="S4.SS1.p3.10.m10.7.7.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.10.m10.7.7.2.2"><apply id="S4.SS1.p3.10.m10.6.6.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.10.m10.6.6.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.10.m10.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.10.m10.6.6.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p3.10.m10.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.10.m10.6.6.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.10.m10.6.6.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.10.m10.6.6.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p3.10.m10.6.6.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.10.m10.6.6.1.1.1.2.2">𝜃</ci><apply id="S4.SS1.p3.10.m10.6.6.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.10.m10.6.6.1.1.1.2.3"><plus id="S4.SS1.p3.10.m10.6.6.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.10.m10.6.6.1.1.1.2.3.1"></plus><ci id="S4.SS1.p3.10.m10.6.6.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.10.m10.6.6.1.1.1.2.3.2">𝑖</ci><cn id="S4.SS1.p3.10.m10.6.6.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p3.10.m10.6.6.1.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S4.SS1.p3.10.m10.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.10.m10.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><apply 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type="integer" xref="S4.SS1.p3.10.m10.7.7.2.2.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S4.SS1.p3.10.m10.2.2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.10.m10.2.2.1.1">𝑛</ci></apply></interval><apply id="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.cmml" xref="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5"><times id="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.4.cmml" xref="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.4"></times><apply id="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.5.cmml" xref="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.5.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.5">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.5.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.5.2">𝐹</ci><ci id="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.5.3a.cmml" xref="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.5.3"><mtext id="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.5.3.cmml" mathsize="70%" xref="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.5.3">trans</mtext></ci></apply><vector id="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.3.4.cmml" xref="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.3.3"><apply id="S4.SS1.p3.10.m10.8.8.3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.10.m10.8.8.3.1.1.1"><plus id="S4.SS1.p3.10.m10.8.8.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.10.m10.8.8.3.1.1.1.1"></plus><apply id="S4.SS1.p3.10.m10.8.8.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.10.m10.8.8.3.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.10.m10.8.8.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.10.m10.8.8.3.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p3.10.m10.8.8.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.10.m10.8.8.3.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.10.m10.8.8.3.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.10.m10.8.8.3.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p3.10.m10.8.8.3.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.10.m10.8.8.3.1.1.1.2.2.2">𝜃</ci><ci id="S4.SS1.p3.10.m10.8.8.3.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.10.m10.8.8.3.1.1.1.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S4.SS1.p3.10.m10.3.3.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.10.m10.3.3.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S4.SS1.p3.10.m10.8.8.3.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.10.m10.8.8.3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.10.m10.8.8.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.10.m10.8.8.3.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p3.10.m10.8.8.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.10.m10.8.8.3.1.1.1.3.2">italic-ϵ</ci><cn id="S4.SS1.p3.10.m10.8.8.3.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p3.10.m10.8.8.3.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.SS1.p3.10.m10.9.9.4.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.10.m10.9.9.4.2.2.2"><plus id="S4.SS1.p3.10.m10.9.9.4.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.10.m10.9.9.4.2.2.2.1"></plus><apply id="S4.SS1.p3.10.m10.9.9.4.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.10.m10.9.9.4.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.10.m10.9.9.4.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.10.m10.9.9.4.2.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p3.10.m10.9.9.4.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.10.m10.9.9.4.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.10.m10.9.9.4.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.10.m10.9.9.4.2.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p3.10.m10.9.9.4.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.10.m10.9.9.4.2.2.2.2.2.2"><ci id="S4.SS1.p3.10.m10.9.9.4.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.10.m10.9.9.4.2.2.2.2.2.2.1">˙</ci><ci id="S4.SS1.p3.10.m10.9.9.4.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.10.m10.9.9.4.2.2.2.2.2.2.2">𝜃</ci></apply><ci id="S4.SS1.p3.10.m10.9.9.4.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.10.m10.9.9.4.2.2.2.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S4.SS1.p3.10.m10.4.4.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.10.m10.4.4.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S4.SS1.p3.10.m10.9.9.4.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.10.m10.9.9.4.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.10.m10.9.9.4.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.10.m10.9.9.4.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p3.10.m10.9.9.4.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.10.m10.9.9.4.2.2.2.3.2">italic-ϵ</ci><cn id="S4.SS1.p3.10.m10.9.9.4.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p3.10.m10.9.9.4.2.2.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.3.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.3.3.3"><plus id="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.3.3.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.3.3.3.1"></plus><apply id="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.3.3.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.3.3.3.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.3.3.3.2">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.3.3.3.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.3.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.3.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.3.3.3.2.2.2">𝑎</ci><ci id="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.3.3.3.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.3.3.3.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S4.SS1.p3.10.m10.5.5.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.10.m10.5.5.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.3.3.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.3.3.3.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.3.3.3.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.3.3.3.3.2">italic-ϵ</ci><cn id="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p3.10.m10.10.10.5.3.3.3.3.3">3</cn></apply></apply></vector></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p3.10.m10.10c">(\theta_{i+1}^{(n)},\dot{\theta}_{i+1}^{(n)})=F_{\textnormal{trans}}(\theta_{i% }^{(n)}+\epsilon_{1},\dot{\theta}_{i}^{(n)}+\epsilon_{2},a_{i}^{(n)}+\epsilon_% {3})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p3.10.m10.10d">( italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_i + 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT , over˙ start_ARG italic_θ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i + 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ) = italic_F start_POSTSUBSCRIPT trans end_POSTSUBSCRIPT ( italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT + italic_ϵ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , over˙ start_ARG italic_θ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT + italic_ϵ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT + italic_ϵ start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>, where <math alttext="\epsilon_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p3.11.m11.1"><semantics id="S4.SS1.p3.11.m11.1a"><msub id="S4.SS1.p3.11.m11.1.1" xref="S4.SS1.p3.11.m11.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.11.m11.1.1.2" xref="S4.SS1.p3.11.m11.1.1.2.cmml">ϵ</mi><mi id="S4.SS1.p3.11.m11.1.1.3" xref="S4.SS1.p3.11.m11.1.1.3.cmml">k</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p3.11.m11.1b"><apply id="S4.SS1.p3.11.m11.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.11.m11.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.11.m11.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.11.m11.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p3.11.m11.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.11.m11.1.1.2">italic-ϵ</ci><ci id="S4.SS1.p3.11.m11.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.11.m11.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p3.11.m11.1c">\epsilon_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p3.11.m11.1d">italic_ϵ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is a random variable that follows the Gaussian PDF <math alttext="\mathcal{N}(0,\sigma_{k})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p3.12.m12.2"><semantics id="S4.SS1.p3.12.m12.2a"><mrow id="S4.SS1.p3.12.m12.2.2" xref="S4.SS1.p3.12.m12.2.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.SS1.p3.12.m12.2.2.3" xref="S4.SS1.p3.12.m12.2.2.3.cmml">𝒩</mi><mo id="S4.SS1.p3.12.m12.2.2.2" xref="S4.SS1.p3.12.m12.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p3.12.m12.2.2.1.1" xref="S4.SS1.p3.12.m12.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p3.12.m12.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.12.m12.2.2.1.2.cmml">(</mo><mn id="S4.SS1.p3.12.m12.1.1" xref="S4.SS1.p3.12.m12.1.1.cmml">0</mn><mo id="S4.SS1.p3.12.m12.2.2.1.1.3" xref="S4.SS1.p3.12.m12.2.2.1.2.cmml">,</mo><msub id="S4.SS1.p3.12.m12.2.2.1.1.1" xref="S4.SS1.p3.12.m12.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.12.m12.2.2.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p3.12.m12.2.2.1.1.1.2.cmml">σ</mi><mi id="S4.SS1.p3.12.m12.2.2.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p3.12.m12.2.2.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.SS1.p3.12.m12.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.12.m12.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p3.12.m12.2b"><apply id="S4.SS1.p3.12.m12.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.12.m12.2.2"><times id="S4.SS1.p3.12.m12.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.12.m12.2.2.2"></times><ci id="S4.SS1.p3.12.m12.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.12.m12.2.2.3">𝒩</ci><interval closure="open" id="S4.SS1.p3.12.m12.2.2.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.12.m12.2.2.1.1"><cn id="S4.SS1.p3.12.m12.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p3.12.m12.1.1">0</cn><apply id="S4.SS1.p3.12.m12.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.12.m12.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.12.m12.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.12.m12.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p3.12.m12.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.12.m12.2.2.1.1.1.2">𝜎</ci><ci id="S4.SS1.p3.12.m12.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.12.m12.2.2.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p3.12.m12.2c">\mathcal{N}(0,\sigma_{k})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p3.12.m12.2d">caligraphic_N ( 0 , italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>, with <math alttext="\sigma_{1}=0.05,\sigma_{2}=0.25" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p3.13.m13.2"><semantics id="S4.SS1.p3.13.m13.2a"><mrow id="S4.SS1.p3.13.m13.2.2.2" xref="S4.SS1.p3.13.m13.2.2.3.cmml"><mrow id="S4.SS1.p3.13.m13.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p3.13.m13.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.SS1.p3.13.m13.1.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p3.13.m13.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.13.m13.1.1.1.1.2.2" xref="S4.SS1.p3.13.m13.1.1.1.1.2.2.cmml">σ</mi><mn id="S4.SS1.p3.13.m13.1.1.1.1.2.3" xref="S4.SS1.p3.13.m13.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.SS1.p3.13.m13.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p3.13.m13.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.SS1.p3.13.m13.1.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p3.13.m13.1.1.1.1.3.cmml">0.05</mn></mrow><mo id="S4.SS1.p3.13.m13.2.2.2.3" xref="S4.SS1.p3.13.m13.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.SS1.p3.13.m13.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p3.13.m13.2.2.2.2.cmml"><msub id="S4.SS1.p3.13.m13.2.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p3.13.m13.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.13.m13.2.2.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p3.13.m13.2.2.2.2.2.2.cmml">σ</mi><mn id="S4.SS1.p3.13.m13.2.2.2.2.2.3" xref="S4.SS1.p3.13.m13.2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.SS1.p3.13.m13.2.2.2.2.1" xref="S4.SS1.p3.13.m13.2.2.2.2.1.cmml">=</mo><mn id="S4.SS1.p3.13.m13.2.2.2.2.3" xref="S4.SS1.p3.13.m13.2.2.2.2.3.cmml">0.25</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p3.13.m13.2b"><apply id="S4.SS1.p3.13.m13.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.13.m13.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.13.m13.2.2.3a.cmml" xref="S4.SS1.p3.13.m13.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.SS1.p3.13.m13.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.13.m13.1.1.1.1"><eq id="S4.SS1.p3.13.m13.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.13.m13.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.SS1.p3.13.m13.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.13.m13.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.13.m13.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.13.m13.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p3.13.m13.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.13.m13.1.1.1.1.2.2">𝜎</ci><cn id="S4.SS1.p3.13.m13.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p3.13.m13.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><cn id="S4.SS1.p3.13.m13.1.1.1.1.3.cmml" type="float" xref="S4.SS1.p3.13.m13.1.1.1.1.3">0.05</cn></apply><apply id="S4.SS1.p3.13.m13.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.13.m13.2.2.2.2"><eq id="S4.SS1.p3.13.m13.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.13.m13.2.2.2.2.1"></eq><apply id="S4.SS1.p3.13.m13.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.13.m13.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.13.m13.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.13.m13.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p3.13.m13.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.13.m13.2.2.2.2.2.2">𝜎</ci><cn id="S4.SS1.p3.13.m13.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p3.13.m13.2.2.2.2.2.3">2</cn></apply><cn id="S4.SS1.p3.13.m13.2.2.2.2.3.cmml" type="float" xref="S4.SS1.p3.13.m13.2.2.2.2.3">0.25</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p3.13.m13.2c">\sigma_{1}=0.05,\sigma_{2}=0.25</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p3.13.m13.2d">italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT = 0.05 , italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT = 0.25</annotation></semantics></math>, and <math alttext="\sigma_{3}=0.05" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p3.14.m14.1"><semantics id="S4.SS1.p3.14.m14.1a"><mrow id="S4.SS1.p3.14.m14.1.1" xref="S4.SS1.p3.14.m14.1.1.cmml"><msub id="S4.SS1.p3.14.m14.1.1.2" xref="S4.SS1.p3.14.m14.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.14.m14.1.1.2.2" xref="S4.SS1.p3.14.m14.1.1.2.2.cmml">σ</mi><mn id="S4.SS1.p3.14.m14.1.1.2.3" xref="S4.SS1.p3.14.m14.1.1.2.3.cmml">3</mn></msub><mo id="S4.SS1.p3.14.m14.1.1.1" xref="S4.SS1.p3.14.m14.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.SS1.p3.14.m14.1.1.3" xref="S4.SS1.p3.14.m14.1.1.3.cmml">0.05</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p3.14.m14.1b"><apply id="S4.SS1.p3.14.m14.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.14.m14.1.1"><eq id="S4.SS1.p3.14.m14.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.14.m14.1.1.1"></eq><apply id="S4.SS1.p3.14.m14.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.14.m14.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.14.m14.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.14.m14.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p3.14.m14.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.14.m14.1.1.2.2">𝜎</ci><cn id="S4.SS1.p3.14.m14.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p3.14.m14.1.1.2.3">3</cn></apply><cn id="S4.SS1.p3.14.m14.1.1.3.cmml" type="float" xref="S4.SS1.p3.14.m14.1.1.3">0.05</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p3.14.m14.1c">\sigma_{3}=0.05</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p3.14.m14.1d">italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT = 0.05</annotation></semantics></math>. This inductive construction of the trajectory continues till index <math alttext="i" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p3.15.m15.1"><semantics id="S4.SS1.p3.15.m15.1a"><mi id="S4.SS1.p3.15.m15.1.1" xref="S4.SS1.p3.15.m15.1.1.cmml">i</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p3.15.m15.1b"><ci id="S4.SS1.p3.15.m15.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.15.m15.1.1">𝑖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p3.15.m15.1c">i</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p3.15.m15.1d">italic_i</annotation></semantics></math> reaches the number <math alttext="N_{\textnormal{av}}^{(n)}=500" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p3.16.m16.1"><semantics id="S4.SS1.p3.16.m16.1a"><mrow id="S4.SS1.p3.16.m16.1.2" xref="S4.SS1.p3.16.m16.1.2.cmml"><msubsup id="S4.SS1.p3.16.m16.1.2.2" xref="S4.SS1.p3.16.m16.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.16.m16.1.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p3.16.m16.1.2.2.2.2.cmml">N</mi><mtext id="S4.SS1.p3.16.m16.1.2.2.2.3" xref="S4.SS1.p3.16.m16.1.2.2.2.3a.cmml">av</mtext><mrow id="S4.SS1.p3.16.m16.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p3.16.m16.1.2.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p3.16.m16.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.16.m16.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p3.16.m16.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p3.16.m16.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.SS1.p3.16.m16.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.16.m16.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S4.SS1.p3.16.m16.1.2.1" xref="S4.SS1.p3.16.m16.1.2.1.cmml">=</mo><mn id="S4.SS1.p3.16.m16.1.2.3" xref="S4.SS1.p3.16.m16.1.2.3.cmml">500</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p3.16.m16.1b"><apply id="S4.SS1.p3.16.m16.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.16.m16.1.2"><eq id="S4.SS1.p3.16.m16.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.16.m16.1.2.1"></eq><apply id="S4.SS1.p3.16.m16.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.16.m16.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.16.m16.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.16.m16.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p3.16.m16.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.16.m16.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.16.m16.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.16.m16.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p3.16.m16.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.16.m16.1.2.2.2.2">𝑁</ci><ci id="S4.SS1.p3.16.m16.1.2.2.2.3a.cmml" xref="S4.SS1.p3.16.m16.1.2.2.2.3"><mtext id="S4.SS1.p3.16.m16.1.2.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S4.SS1.p3.16.m16.1.2.2.2.3">av</mtext></ci></apply><ci id="S4.SS1.p3.16.m16.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.16.m16.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><cn id="S4.SS1.p3.16.m16.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p3.16.m16.1.2.3">500</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p3.16.m16.1c">N_{\textnormal{av}}^{(n)}=500</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p3.16.m16.1d">italic_N start_POSTSUBSCRIPT av end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT = 500</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.p4"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p4.11">To validate the current estimate <math alttext="Q^{(n)}[k]" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p4.1.m1.2"><semantics id="S4.SS1.p4.1.m1.2a"><mrow id="S4.SS1.p4.1.m1.2.3" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.3.cmml"><msup id="S4.SS1.p4.1.m1.2.3.2" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.3.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p4.1.m1.2.3.2.2" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.3.2.2.cmml">Q</mi><mrow id="S4.SS1.p4.1.m1.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.3.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p4.1.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p4.1.m1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p4.1.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.SS1.p4.1.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S4.SS1.p4.1.m1.2.3.1" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p4.1.m1.2.3.3.2" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p4.1.m1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.3.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S4.SS1.p4.1.m1.2.2" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.2.cmml">k</mi><mo id="S4.SS1.p4.1.m1.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.3.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p4.1.m1.2b"><apply id="S4.SS1.p4.1.m1.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.3"><times id="S4.SS1.p4.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.3.1"></times><apply id="S4.SS1.p4.1.m1.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p4.1.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p4.1.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.3.2.2">𝑄</ci><ci id="S4.SS1.p4.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S4.SS1.p4.1.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.3.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS1.p4.1.m1.2.3.3.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.3.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S4.SS1.p4.1.m1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.2">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p4.1.m1.2c">Q^{(n)}[k]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p4.1.m1.2d">italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ]</annotation></semantics></math> of each one of the employed methods, <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.SS1.p4.11.1">test</span> or <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.SS1.p4.11.2">episodic</span> trajectory data <math alttext="\mathfrak{E}_{k}\coloneqq(\mathfrak{s}_{i}^{(n)}[k],\mathfrak{a}_{i}^{(n)}[k],% \mathfrak{s}_{i+1}^{(n)}[k])_{i=0}^{N_{\text{e}}-1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p4.2.m2.9"><semantics id="S4.SS1.p4.2.m2.9a"><mrow id="S4.SS1.p4.2.m2.9.9" xref="S4.SS1.p4.2.m2.9.9.cmml"><msub id="S4.SS1.p4.2.m2.9.9.5" xref="S4.SS1.p4.2.m2.9.9.5.cmml"><mi id="S4.SS1.p4.2.m2.9.9.5.2" xref="S4.SS1.p4.2.m2.9.9.5.2.cmml">𝔈</mi><mi id="S4.SS1.p4.2.m2.9.9.5.3" xref="S4.SS1.p4.2.m2.9.9.5.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.SS1.p4.2.m2.9.9.4" xref="S4.SS1.p4.2.m2.9.9.4.cmml">≔</mo><msubsup id="S4.SS1.p4.2.m2.9.9.3" xref="S4.SS1.p4.2.m2.9.9.3.cmml"><mrow id="S4.SS1.p4.2.m2.9.9.3.3.3.3" xref="S4.SS1.p4.2.m2.9.9.3.3.3.4.cmml"><mo id="S4.SS1.p4.2.m2.9.9.3.3.3.3.4" stretchy="false" xref="S4.SS1.p4.2.m2.9.9.3.3.3.4.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS1.p4.2.m2.7.7.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p4.2.m2.7.7.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.SS1.p4.2.m2.7.7.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p4.2.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p4.2.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.SS1.p4.2.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">𝔰</mi><mi id="S4.SS1.p4.2.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.SS1.p4.2.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">i</mi><mrow id="S4.SS1.p4.2.m2.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p4.2.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p4.2.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p4.2.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.SS1.p4.2.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" 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id="S4.SS1.p4.2.m2.9.9.3.3.3.3.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.2.m2.9.9.3.3.3.3.3.1"></times><apply id="S4.SS1.p4.2.m2.9.9.3.3.3.3.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.2.m2.9.9.3.3.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p4.2.m2.9.9.3.3.3.3.3.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.2.m2.9.9.3.3.3.3.3.2">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p4.2.m2.9.9.3.3.3.3.3.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.2.m2.9.9.3.3.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p4.2.m2.9.9.3.3.3.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.2.m2.9.9.3.3.3.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p4.2.m2.9.9.3.3.3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.2.m2.9.9.3.3.3.3.3.2.2.2">𝔰</ci><apply id="S4.SS1.p4.2.m2.9.9.3.3.3.3.3.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p4.2.m2.9.9.3.3.3.3.3.2.2.3"><plus id="S4.SS1.p4.2.m2.9.9.3.3.3.3.3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.2.m2.9.9.3.3.3.3.3.2.2.3.1"></plus><ci id="S4.SS1.p4.2.m2.9.9.3.3.3.3.3.2.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.2.m2.9.9.3.3.3.3.3.2.2.3.2">𝑖</ci><cn id="S4.SS1.p4.2.m2.9.9.3.3.3.3.3.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p4.2.m2.9.9.3.3.3.3.3.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S4.SS1.p4.2.m2.3.3.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.2.m2.3.3.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S4.SS1.p4.2.m2.9.9.3.3.3.3.3.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.2.m2.9.9.3.3.3.3.3.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS1.p4.2.m2.9.9.3.3.3.3.3.3.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.2.m2.9.9.3.3.3.3.3.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S4.SS1.p4.2.m2.6.6.cmml" xref="S4.SS1.p4.2.m2.6.6">𝑘</ci></apply></apply></vector><apply id="S4.SS1.p4.2.m2.9.9.3.3.5.cmml" xref="S4.SS1.p4.2.m2.9.9.3.3.5"><eq id="S4.SS1.p4.2.m2.9.9.3.3.5.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.2.m2.9.9.3.3.5.1"></eq><ci id="S4.SS1.p4.2.m2.9.9.3.3.5.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.2.m2.9.9.3.3.5.2">𝑖</ci><cn id="S4.SS1.p4.2.m2.9.9.3.3.5.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p4.2.m2.9.9.3.3.5.3">0</cn></apply></apply><apply id="S4.SS1.p4.2.m2.9.9.3.5.cmml" xref="S4.SS1.p4.2.m2.9.9.3.5"><minus id="S4.SS1.p4.2.m2.9.9.3.5.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.2.m2.9.9.3.5.1"></minus><apply id="S4.SS1.p4.2.m2.9.9.3.5.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.2.m2.9.9.3.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p4.2.m2.9.9.3.5.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.2.m2.9.9.3.5.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p4.2.m2.9.9.3.5.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.2.m2.9.9.3.5.2.2">𝑁</ci><ci id="S4.SS1.p4.2.m2.9.9.3.5.2.3a.cmml" xref="S4.SS1.p4.2.m2.9.9.3.5.2.3"><mtext id="S4.SS1.p4.2.m2.9.9.3.5.2.3.cmml" mathsize="50%" xref="S4.SS1.p4.2.m2.9.9.3.5.2.3">e</mtext></ci></apply><cn id="S4.SS1.p4.2.m2.9.9.3.5.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p4.2.m2.9.9.3.5.3">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p4.2.m2.9c">\mathfrak{E}_{k}\coloneqq(\mathfrak{s}_{i}^{(n)}[k],\mathfrak{a}_{i}^{(n)}[k],% \mathfrak{s}_{i+1}^{(n)}[k])_{i=0}^{N_{\text{e}}-1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p4.2.m2.9d">fraktur_E start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ≔ ( fraktur_s start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ] , fraktur_a start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ] , fraktur_s start_POSTSUBSCRIPT italic_i + 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ] ) start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N start_POSTSUBSCRIPT e end_POSTSUBSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, for some <math alttext="N_{\text{e}}\in\mathbb{N}_{*}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p4.3.m3.1"><semantics id="S4.SS1.p4.3.m3.1a"><mrow id="S4.SS1.p4.3.m3.1.1" xref="S4.SS1.p4.3.m3.1.1.cmml"><msub id="S4.SS1.p4.3.m3.1.1.2" xref="S4.SS1.p4.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p4.3.m3.1.1.2.2" xref="S4.SS1.p4.3.m3.1.1.2.2.cmml">N</mi><mtext id="S4.SS1.p4.3.m3.1.1.2.3" xref="S4.SS1.p4.3.m3.1.1.2.3a.cmml">e</mtext></msub><mo id="S4.SS1.p4.3.m3.1.1.1" xref="S4.SS1.p4.3.m3.1.1.1.cmml">∈</mo><msub id="S4.SS1.p4.3.m3.1.1.3" xref="S4.SS1.p4.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p4.3.m3.1.1.3.2" xref="S4.SS1.p4.3.m3.1.1.3.2.cmml">ℕ</mi><mo id="S4.SS1.p4.3.m3.1.1.3.3" xref="S4.SS1.p4.3.m3.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p4.3.m3.1b"><apply id="S4.SS1.p4.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.3.m3.1.1"><in id="S4.SS1.p4.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.3.m3.1.1.1"></in><apply id="S4.SS1.p4.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p4.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.3.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p4.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.3.m3.1.1.2.2">𝑁</ci><ci id="S4.SS1.p4.3.m3.1.1.2.3a.cmml" xref="S4.SS1.p4.3.m3.1.1.2.3"><mtext id="S4.SS1.p4.3.m3.1.1.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S4.SS1.p4.3.m3.1.1.2.3">e</mtext></ci></apply><apply id="S4.SS1.p4.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p4.3.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p4.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.3.m3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p4.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.3.m3.1.1.3.2">ℕ</ci><times id="S4.SS1.p4.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p4.3.m3.1.1.3.3"></times></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p4.3.m3.1c">N_{\text{e}}\in\mathbb{N}_{*}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p4.3.m3.1d">italic_N start_POSTSUBSCRIPT e end_POSTSUBSCRIPT ∈ blackboard_N start_POSTSUBSCRIPT ∗ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, are generated inductively as follows: starting from the pendulum’s rest position <math alttext="\mathfrak{s}_{0}^{(n)}[k]\coloneqq[\sin\pi,\cos\pi,0]^{\intercal}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p4.4.m4.5"><semantics id="S4.SS1.p4.4.m4.5a"><mrow id="S4.SS1.p4.4.m4.5.5" xref="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.cmml"><mrow id="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.4" xref="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.4.cmml"><msubsup id="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.4.2" xref="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.4.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.4.2.2.2" xref="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.4.2.2.2.cmml">𝔰</mi><mn id="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.4.2.2.3" xref="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.4.2.2.3.cmml">0</mn><mrow id="S4.SS1.p4.4.m4.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.4.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p4.4.m4.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.4.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p4.4.m4.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p4.4.m4.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.SS1.p4.4.m4.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.4.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.4.1" xref="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.4.3.2" xref="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.4.3.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.4.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S4.SS1.p4.4.m4.2.2" xref="S4.SS1.p4.4.m4.2.2.cmml">k</mi><mo id="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.4.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.3" xref="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.3.cmml">≔</mo><msup id="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.2" xref="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.2.cmml"><mrow id="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.2.2.2" xref="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.2.2.3.cmml"><mo id="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.2.2.3.cmml">[</mo><mrow id="S4.SS1.p4.4.m4.4.4.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p4.4.m4.4.4.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p4.4.m4.4.4.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p4.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.cmml">sin</mi><mo id="S4.SS1.p4.4.m4.4.4.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S4.SS1.p4.4.m4.4.4.1.1.1.1.cmml">⁡</mo><mi id="S4.SS1.p4.4.m4.4.4.1.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p4.4.m4.4.4.1.1.1.1.2.cmml">π</mi></mrow><mo id="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.2.2.2.4" xref="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.2.2.2.2.1" xref="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.2.2.2.2.1.cmml">cos</mi><mo id="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.2.2.2.2a" lspace="0.167em" xref="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.2.2.2.2.cmml">⁡</mo><mi id="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.2.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.2.2.2.2.2.cmml">π</mi></mrow><mo id="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.2.2.2.5" xref="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="S4.SS1.p4.4.m4.3.3" xref="S4.SS1.p4.4.m4.3.3.cmml">0</mn><mo id="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.2.2.2.6" stretchy="false" xref="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.2.2.3.cmml">]</mo></mrow><mo id="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.2.4" xref="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.2.4.cmml">⊺</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p4.4.m4.5b"><apply id="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.cmml" xref="S4.SS1.p4.4.m4.5.5"><ci id="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.3.cmml" xref="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.3">≔</ci><apply id="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.4.cmml" xref="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.4"><times id="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.4.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.4.1"></times><apply id="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.4.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.4.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.4.2">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.4.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.4.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.4.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.4.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.4.2.2.2">𝔰</ci><cn id="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.4.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.4.2.2.3">0</cn></apply><ci id="S4.SS1.p4.4.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.4.m4.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.4.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.4.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.4.3.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.4.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S4.SS1.p4.4.m4.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.4.m4.2.2">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.2">superscript</csymbol><list id="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.2.2.2"><apply id="S4.SS1.p4.4.m4.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.4.m4.4.4.1.1.1.1"><sin id="S4.SS1.p4.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.4.m4.4.4.1.1.1.1.1"></sin><ci id="S4.SS1.p4.4.m4.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.4.m4.4.4.1.1.1.1.2">𝜋</ci></apply><apply id="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.2.2.2.2"><cos id="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.2.2.2.2.1"></cos><ci id="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.2.2.2.2.2">𝜋</ci></apply><cn id="S4.SS1.p4.4.m4.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p4.4.m4.3.3">0</cn></list><ci id="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.2.4.cmml" xref="S4.SS1.p4.4.m4.5.5.2.4">⊺</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p4.4.m4.5c">\mathfrak{s}_{0}^{(n)}[k]\coloneqq[\sin\pi,\cos\pi,0]^{\intercal}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p4.4.m4.5d">fraktur_s start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ] ≔ [ roman_sin italic_π , roman_cos italic_π , 0 ] start_POSTSUPERSCRIPT ⊺ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, and given <math alttext="\mathfrak{s}_{i}^{(n)}[k]" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p4.5.m5.2"><semantics id="S4.SS1.p4.5.m5.2a"><mrow id="S4.SS1.p4.5.m5.2.3" xref="S4.SS1.p4.5.m5.2.3.cmml"><msubsup id="S4.SS1.p4.5.m5.2.3.2" xref="S4.SS1.p4.5.m5.2.3.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p4.5.m5.2.3.2.2.2" xref="S4.SS1.p4.5.m5.2.3.2.2.2.cmml">𝔰</mi><mi id="S4.SS1.p4.5.m5.2.3.2.2.3" xref="S4.SS1.p4.5.m5.2.3.2.2.3.cmml">i</mi><mrow id="S4.SS1.p4.5.m5.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p4.5.m5.2.3.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p4.5.m5.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p4.5.m5.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p4.5.m5.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p4.5.m5.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.SS1.p4.5.m5.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p4.5.m5.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S4.SS1.p4.5.m5.2.3.1" xref="S4.SS1.p4.5.m5.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p4.5.m5.2.3.3.2" xref="S4.SS1.p4.5.m5.2.3.3.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p4.5.m5.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p4.5.m5.2.3.3.1.1.cmml">[</mo><mi 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xref="S4.SS1.p4.6.m6.8.8.1.3.2.cmml">⁡</mo><msup id="S4.SS1.p4.6.m6.8.8.1.3.2.2" xref="S4.SS1.p4.6.m6.8.8.1.3.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p4.6.m6.8.8.1.3.2.2.2" xref="S4.SS1.p4.6.m6.8.8.1.3.2.2.2.cmml">Q</mi><mrow id="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.1.3" xref="S4.SS1.p4.6.m6.8.8.1.3.2.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p4.6.m6.8.8.1.3.2.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.1.1" xref="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.SS1.p4.6.m6.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p4.6.m6.8.8.1.3.2.2.cmml">)</mo></mrow></msup></mrow></mrow><mo id="S4.SS1.p4.6.m6.8.8.1.2" xref="S4.SS1.p4.6.m6.8.8.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p4.6.m6.8.8.1.4.2" xref="S4.SS1.p4.6.m6.8.8.1.4.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p4.6.m6.8.8.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p4.6.m6.8.8.1.4.1.1.cmml">[</mo><mi id="S4.SS1.p4.6.m6.5.5" xref="S4.SS1.p4.6.m6.5.5.cmml">k</mi><mo id="S4.SS1.p4.6.m6.8.8.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p4.6.m6.8.8.1.4.1.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S4.SS1.p4.6.m6.8.8.1.2a" xref="S4.SS1.p4.6.m6.8.8.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p4.6.m6.8.8.1.1.1" xref="S4.SS1.p4.6.m6.8.8.1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p4.6.m6.8.8.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p4.6.m6.8.8.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS1.p4.6.m6.8.8.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p4.6.m6.8.8.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.SS1.p4.6.m6.8.8.1.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p4.6.m6.8.8.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p4.6.m6.8.8.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.SS1.p4.6.m6.8.8.1.1.1.1.2.2.2.cmml">𝔰</mi><mi id="S4.SS1.p4.6.m6.8.8.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.SS1.p4.6.m6.8.8.1.1.1.1.2.2.3.cmml">i</mi><mrow id="S4.SS1.p4.6.m6.3.3.1.3" xref="S4.SS1.p4.6.m6.8.8.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p4.6.m6.3.3.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p4.6.m6.8.8.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p4.6.m6.3.3.1.1" xref="S4.SS1.p4.6.m6.3.3.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.SS1.p4.6.m6.3.3.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p4.6.m6.8.8.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S4.SS1.p4.6.m6.8.8.1.1.1.1.1" 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encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p4.6.m6.8c">\mathfrak{a}_{i}^{(n)}[k]\coloneqq\arg\min_{a\in\mathcal{A}}Q^{(n)}[k](% \mathfrak{s}_{i}^{(n)}[k],a)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p4.6.m6.8d">fraktur_a start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ] ≔ roman_arg roman_min start_POSTSUBSCRIPT italic_a ∈ caligraphic_A end_POSTSUBSCRIPT italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ] ( fraktur_s start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ] , italic_a )</annotation></semantics></math> according to (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S2.E2" title="Equation 2 ‣ II-A Preliminaries and notation ‣ II Distributed Reinforcement Learning ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>) for the pendulum to swing to the its new state <math alttext="\mathfrak{s}_{i+1}^{(n)}[k]" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p4.7.m7.2"><semantics id="S4.SS1.p4.7.m7.2a"><mrow id="S4.SS1.p4.7.m7.2.3" xref="S4.SS1.p4.7.m7.2.3.cmml"><msubsup id="S4.SS1.p4.7.m7.2.3.2" xref="S4.SS1.p4.7.m7.2.3.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p4.7.m7.2.3.2.2.2" xref="S4.SS1.p4.7.m7.2.3.2.2.2.cmml">𝔰</mi><mrow id="S4.SS1.p4.7.m7.2.3.2.2.3" xref="S4.SS1.p4.7.m7.2.3.2.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p4.7.m7.2.3.2.2.3.2" xref="S4.SS1.p4.7.m7.2.3.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S4.SS1.p4.7.m7.2.3.2.2.3.1" xref="S4.SS1.p4.7.m7.2.3.2.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S4.SS1.p4.7.m7.2.3.2.2.3.3" xref="S4.SS1.p4.7.m7.2.3.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="S4.SS1.p4.7.m7.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p4.7.m7.2.3.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p4.7.m7.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p4.7.m7.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p4.7.m7.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p4.7.m7.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.SS1.p4.7.m7.1.1.1.3.2" 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xref="S4.SS1.p4.7.m7.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p4.7.m7.2.3.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.7.m7.2.3.2.2.2">𝔰</ci><apply id="S4.SS1.p4.7.m7.2.3.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p4.7.m7.2.3.2.2.3"><plus id="S4.SS1.p4.7.m7.2.3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.7.m7.2.3.2.2.3.1"></plus><ci id="S4.SS1.p4.7.m7.2.3.2.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.7.m7.2.3.2.2.3.2">𝑖</ci><cn id="S4.SS1.p4.7.m7.2.3.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p4.7.m7.2.3.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S4.SS1.p4.7.m7.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.7.m7.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S4.SS1.p4.7.m7.2.3.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.7.m7.2.3.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS1.p4.7.m7.2.3.3.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.7.m7.2.3.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S4.SS1.p4.7.m7.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.7.m7.2.2">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p4.7.m7.2c">\mathfrak{s}_{i+1}^{(n)}[k]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p4.7.m7.2d">fraktur_s start_POSTSUBSCRIPT italic_i + 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ]</annotation></semantics></math> via the earlier met transition module function <math alttext="F_{\textnormal{trans}}(\cdot)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p4.8.m8.1"><semantics id="S4.SS1.p4.8.m8.1a"><mrow id="S4.SS1.p4.8.m8.1.2" xref="S4.SS1.p4.8.m8.1.2.cmml"><msub id="S4.SS1.p4.8.m8.1.2.2" xref="S4.SS1.p4.8.m8.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p4.8.m8.1.2.2.2" xref="S4.SS1.p4.8.m8.1.2.2.2.cmml">F</mi><mtext id="S4.SS1.p4.8.m8.1.2.2.3" xref="S4.SS1.p4.8.m8.1.2.2.3a.cmml">trans</mtext></msub><mo id="S4.SS1.p4.8.m8.1.2.1" xref="S4.SS1.p4.8.m8.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p4.8.m8.1.2.3.2" xref="S4.SS1.p4.8.m8.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p4.8.m8.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p4.8.m8.1.2.cmml">(</mo><mo id="S4.SS1.p4.8.m8.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S4.SS1.p4.8.m8.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="S4.SS1.p4.8.m8.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p4.8.m8.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p4.8.m8.1b"><apply id="S4.SS1.p4.8.m8.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.8.m8.1.2"><times id="S4.SS1.p4.8.m8.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.8.m8.1.2.1"></times><apply id="S4.SS1.p4.8.m8.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.8.m8.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p4.8.m8.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.8.m8.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p4.8.m8.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.8.m8.1.2.2.2">𝐹</ci><ci id="S4.SS1.p4.8.m8.1.2.2.3a.cmml" xref="S4.SS1.p4.8.m8.1.2.2.3"><mtext id="S4.SS1.p4.8.m8.1.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S4.SS1.p4.8.m8.1.2.2.3">trans</mtext></ci></apply><ci id="S4.SS1.p4.8.m8.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.8.m8.1.1">⋅</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p4.8.m8.1c">F_{\textnormal{trans}}(\cdot)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p4.8.m8.1d">italic_F start_POSTSUBSCRIPT trans end_POSTSUBSCRIPT ( ⋅ )</annotation></semantics></math>. Noise is <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.SS1.p4.11.3">not</span> considered in the implementation of <math alttext="F_{\textnormal{trans}}(\cdot)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p4.9.m9.1"><semantics id="S4.SS1.p4.9.m9.1a"><mrow id="S4.SS1.p4.9.m9.1.2" xref="S4.SS1.p4.9.m9.1.2.cmml"><msub id="S4.SS1.p4.9.m9.1.2.2" xref="S4.SS1.p4.9.m9.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p4.9.m9.1.2.2.2" xref="S4.SS1.p4.9.m9.1.2.2.2.cmml">F</mi><mtext id="S4.SS1.p4.9.m9.1.2.2.3" xref="S4.SS1.p4.9.m9.1.2.2.3a.cmml">trans</mtext></msub><mo id="S4.SS1.p4.9.m9.1.2.1" xref="S4.SS1.p4.9.m9.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p4.9.m9.1.2.3.2" xref="S4.SS1.p4.9.m9.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p4.9.m9.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p4.9.m9.1.2.cmml">(</mo><mo id="S4.SS1.p4.9.m9.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S4.SS1.p4.9.m9.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="S4.SS1.p4.9.m9.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p4.9.m9.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p4.9.m9.1b"><apply id="S4.SS1.p4.9.m9.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.9.m9.1.2"><times id="S4.SS1.p4.9.m9.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.9.m9.1.2.1"></times><apply id="S4.SS1.p4.9.m9.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.9.m9.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p4.9.m9.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.9.m9.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p4.9.m9.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.9.m9.1.2.2.2">𝐹</ci><ci id="S4.SS1.p4.9.m9.1.2.2.3a.cmml" xref="S4.SS1.p4.9.m9.1.2.2.3"><mtext id="S4.SS1.p4.9.m9.1.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S4.SS1.p4.9.m9.1.2.2.3">trans</mtext></ci></apply><ci id="S4.SS1.p4.9.m9.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.9.m9.1.1">⋅</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p4.9.m9.1c">F_{\textnormal{trans}}(\cdot)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p4.9.m9.1d">italic_F start_POSTSUBSCRIPT trans end_POSTSUBSCRIPT ( ⋅ )</annotation></semantics></math>, unlike the case of training data generation. The reason is that the current estimate <math alttext="Q^{(n)}[k]" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p4.10.m10.2"><semantics id="S4.SS1.p4.10.m10.2a"><mrow id="S4.SS1.p4.10.m10.2.3" xref="S4.SS1.p4.10.m10.2.3.cmml"><msup id="S4.SS1.p4.10.m10.2.3.2" xref="S4.SS1.p4.10.m10.2.3.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p4.10.m10.2.3.2.2" xref="S4.SS1.p4.10.m10.2.3.2.2.cmml">Q</mi><mrow id="S4.SS1.p4.10.m10.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p4.10.m10.2.3.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p4.10.m10.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p4.10.m10.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p4.10.m10.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p4.10.m10.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.SS1.p4.10.m10.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p4.10.m10.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S4.SS1.p4.10.m10.2.3.1" xref="S4.SS1.p4.10.m10.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p4.10.m10.2.3.3.2" xref="S4.SS1.p4.10.m10.2.3.3.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p4.10.m10.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p4.10.m10.2.3.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S4.SS1.p4.10.m10.2.2" xref="S4.SS1.p4.10.m10.2.2.cmml">k</mi><mo id="S4.SS1.p4.10.m10.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p4.10.m10.2.3.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p4.10.m10.2b"><apply id="S4.SS1.p4.10.m10.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p4.10.m10.2.3"><times id="S4.SS1.p4.10.m10.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.10.m10.2.3.1"></times><apply id="S4.SS1.p4.10.m10.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.10.m10.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p4.10.m10.2.3.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.10.m10.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p4.10.m10.2.3.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.10.m10.2.3.2.2">𝑄</ci><ci id="S4.SS1.p4.10.m10.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.10.m10.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S4.SS1.p4.10.m10.2.3.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.10.m10.2.3.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS1.p4.10.m10.2.3.3.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.10.m10.2.3.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S4.SS1.p4.10.m10.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.10.m10.2.2">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p4.10.m10.2c">Q^{(n)}[k]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p4.10.m10.2d">italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ]</annotation></semantics></math>, despite the fact that it was learned from noisy training data, needs to be validated on noiseless, actual, or ground-truth data. Eventually, the quality of <math alttext="Q^{(n)}[k]" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p4.11.m11.2"><semantics id="S4.SS1.p4.11.m11.2a"><mrow id="S4.SS1.p4.11.m11.2.3" xref="S4.SS1.p4.11.m11.2.3.cmml"><msup id="S4.SS1.p4.11.m11.2.3.2" xref="S4.SS1.p4.11.m11.2.3.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p4.11.m11.2.3.2.2" xref="S4.SS1.p4.11.m11.2.3.2.2.cmml">Q</mi><mrow id="S4.SS1.p4.11.m11.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p4.11.m11.2.3.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p4.11.m11.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p4.11.m11.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p4.11.m11.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p4.11.m11.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.SS1.p4.11.m11.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p4.11.m11.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S4.SS1.p4.11.m11.2.3.1" xref="S4.SS1.p4.11.m11.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p4.11.m11.2.3.3.2" xref="S4.SS1.p4.11.m11.2.3.3.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p4.11.m11.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p4.11.m11.2.3.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S4.SS1.p4.11.m11.2.2" xref="S4.SS1.p4.11.m11.2.2.cmml">k</mi><mo id="S4.SS1.p4.11.m11.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p4.11.m11.2.3.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p4.11.m11.2b"><apply id="S4.SS1.p4.11.m11.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p4.11.m11.2.3"><times id="S4.SS1.p4.11.m11.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.11.m11.2.3.1"></times><apply id="S4.SS1.p4.11.m11.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.11.m11.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p4.11.m11.2.3.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.11.m11.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p4.11.m11.2.3.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.11.m11.2.3.2.2">𝑄</ci><ci id="S4.SS1.p4.11.m11.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.11.m11.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S4.SS1.p4.11.m11.2.3.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.11.m11.2.3.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS1.p4.11.m11.2.3.3.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.11.m11.2.3.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S4.SS1.p4.11.m11.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.11.m11.2.2">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p4.11.m11.2c">Q^{(n)}[k]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p4.11.m11.2d">italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ]</annotation></semantics></math> is validated by the following “episodic loss”</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A0.EGx35"> <tbody id="S4.E26"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathcal{L}_{\textnormal{e}}[k]\coloneqq\tfrac{1}{NN_{\text{e}}}% \sum_{n\in\mathcal{N}}\sum_{i=0}^{N_{\text{e}}-1}g(\mathfrak{s}_{i}^{(n)}[k],% \mathfrak{a}_{i}^{(n)}[k])\,." class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E26.m1.6"><semantics id="S4.E26.m1.6a"><mrow id="S4.E26.m1.6.6.1" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S4.E26.m1.6.6.1.1" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S4.E26.m1.6.6.1.1.4" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.4.cmml"><msub id="S4.E26.m1.6.6.1.1.4.2" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.4.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.E26.m1.6.6.1.1.4.2.2" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.4.2.2.cmml">ℒ</mi><mtext id="S4.E26.m1.6.6.1.1.4.2.3" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.4.2.3a.cmml">e</mtext></msub><mo id="S4.E26.m1.6.6.1.1.4.1" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E26.m1.6.6.1.1.4.3.2" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.4.3.1.cmml"><mo id="S4.E26.m1.6.6.1.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.4.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S4.E26.m1.3.3" xref="S4.E26.m1.3.3.cmml">k</mi><mo id="S4.E26.m1.6.6.1.1.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.4.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E26.m1.6.6.1.1.3" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.3.cmml">≔</mo><mrow id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.cmml"><mfrac id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.4" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.4.cmml"><mn id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.4.2" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.4.2.cmml">1</mn><mrow id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.4.3" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.4.3.cmml"><mi id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.4.3.2" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.4.3.2.cmml">N</mi><mo id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.4.3.1" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.4.3.3" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.4.3.3.cmml"><mi id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.4.3.3.2" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.4.3.3.2.cmml">N</mi><mtext id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.4.3.3.3" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.4.3.3.3a.cmml">e</mtext></msub></mrow></mfrac><mo id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.3" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.3" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.3.cmml"><munder id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.3a" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.3.2" movablelimits="false" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.3.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.3.3" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.3.3.cmml"><mi id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.3.3.2" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.3.3.1" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.3.3.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.3.3.3" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.3.3.3.cmml">𝒩</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.3" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.cmml"><munderover id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.3a" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.2.2" movablelimits="false" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.2.3" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.2.3.2" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.2.3.1" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.2.3.3" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.2.3.3.cmml">0</mn></mrow><mrow id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.3" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.3.cmml"><msub id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.3.2" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.3.2.cmml"><mi id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.3.2.2" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.3.2.2.cmml">N</mi><mtext id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.3.2.3" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.3.2.3a.cmml">e</mtext></msub><mo id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.3.1" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.3.3" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></munderover></mstyle><mrow id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.2" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.4" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.4.cmml">g</mi><mo id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.3" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S4.E26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.E26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">𝔰</mi><mi id="S4.E26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">i</mi><mrow id="S4.E26.m1.1.1.1.3" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E26.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.E26.m1.1.1.1.1" xref="S4.E26.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.E26.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S4.E26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S4.E26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S4.E26.m1.4.4" xref="S4.E26.m1.4.4.cmml">k</mi><mo id="S4.E26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.4" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><msubsup id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">𝔞</mi><mi id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">i</mi><mrow id="S4.E26.m1.2.2.1.3" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S4.E26.m1.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S4.E26.m1.2.2.1.1" xref="S4.E26.m1.2.2.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.E26.m1.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.2.1" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml"><mo id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S4.E26.m1.5.5" xref="S4.E26.m1.5.5.cmml">k</mi><mo id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E26.m1.6.6.1.2" lspace="0.170em" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E26.m1.6b"><apply id="S4.E26.m1.6.6.1.1.cmml" xref="S4.E26.m1.6.6.1"><ci id="S4.E26.m1.6.6.1.1.3.cmml" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.3">≔</ci><apply id="S4.E26.m1.6.6.1.1.4.cmml" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.4"><times id="S4.E26.m1.6.6.1.1.4.1.cmml" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.4.1"></times><apply id="S4.E26.m1.6.6.1.1.4.2.cmml" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E26.m1.6.6.1.1.4.2.1.cmml" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.4.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E26.m1.6.6.1.1.4.2.2.cmml" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.4.2.2">ℒ</ci><ci id="S4.E26.m1.6.6.1.1.4.2.3a.cmml" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.4.2.3"><mtext id="S4.E26.m1.6.6.1.1.4.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.4.2.3">e</mtext></ci></apply><apply id="S4.E26.m1.6.6.1.1.4.3.1.cmml" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.4.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.E26.m1.6.6.1.1.4.3.1.1.cmml" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.4.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S4.E26.m1.3.3.cmml" xref="S4.E26.m1.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply 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id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.4.3.3.3.cmml" mathsize="50%" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.4.3.3.3">e</mtext></ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2"><apply id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><sum id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.3.2"></sum><apply id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.3.3"><in id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.3.3.1.cmml" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.3.3.1"></in><ci id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.3.3.2.cmml" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.3.3.2">𝑛</ci><ci id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.3.3.3.cmml" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.3.3.3">𝒩</ci></apply></apply><apply id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2"><apply id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.3">subscript</csymbol><sum id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.2.2"></sum><apply id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.2.3.cmml" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.2.3"><eq id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.2.3.1.cmml" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.2.3.1"></eq><ci id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.2.3.2.cmml" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.2.3.2">𝑖</ci><cn id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.2.3.3">0</cn></apply></apply><apply id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.3"><minus id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.3.1"></minus><apply id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.3.2.1.cmml" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.3.2.2.cmml" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.3.2.2">𝑁</ci><ci id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.3.2.3a.cmml" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.3.2.3"><mtext id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.3.2.3.cmml" mathsize="50%" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.3.2.3">e</mtext></ci></apply><cn id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.2"><times id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.3"></times><ci id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.4.cmml" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.4">𝑔</ci><interval closure="open" id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2"><apply id="S4.E26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.E26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S4.E26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.E26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝔰</ci><ci id="S4.E26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S4.E26.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E26.m1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S4.E26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.E26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S4.E26.m1.4.4.cmml" xref="S4.E26.m1.4.4">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.2"><times id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.2.1"></times><apply id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2">𝔞</ci><ci id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S4.E26.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E26.m1.2.2.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.1.1.cmml" xref="S4.E26.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S4.E26.m1.5.5.cmml" xref="S4.E26.m1.5.5">𝑘</ci></apply></apply></interval></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E26.m1.6c">\displaystyle\mathcal{L}_{\textnormal{e}}[k]\coloneqq\tfrac{1}{NN_{\text{e}}}% \sum_{n\in\mathcal{N}}\sum_{i=0}^{N_{\text{e}}-1}g(\mathfrak{s}_{i}^{(n)}[k],% \mathfrak{a}_{i}^{(n)}[k])\,.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E26.m1.6d">caligraphic_L start_POSTSUBSCRIPT e end_POSTSUBSCRIPT [ italic_k ] ≔ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_N italic_N start_POSTSUBSCRIPT e end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n ∈ caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N start_POSTSUBSCRIPT e end_POSTSUBSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_g ( fraktur_s start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ] , fraktur_a start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ] ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(26)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p4.12">For the current scenario, <math alttext="N_{\text{e}}=200" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p4.12.m1.1"><semantics id="S4.SS1.p4.12.m1.1a"><mrow id="S4.SS1.p4.12.m1.1.1" xref="S4.SS1.p4.12.m1.1.1.cmml"><msub id="S4.SS1.p4.12.m1.1.1.2" xref="S4.SS1.p4.12.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p4.12.m1.1.1.2.2" xref="S4.SS1.p4.12.m1.1.1.2.2.cmml">N</mi><mtext id="S4.SS1.p4.12.m1.1.1.2.3" xref="S4.SS1.p4.12.m1.1.1.2.3a.cmml">e</mtext></msub><mo id="S4.SS1.p4.12.m1.1.1.1" xref="S4.SS1.p4.12.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.SS1.p4.12.m1.1.1.3" xref="S4.SS1.p4.12.m1.1.1.3.cmml">200</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p4.12.m1.1b"><apply id="S4.SS1.p4.12.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.12.m1.1.1"><eq id="S4.SS1.p4.12.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.12.m1.1.1.1"></eq><apply id="S4.SS1.p4.12.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.12.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p4.12.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.12.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p4.12.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.12.m1.1.1.2.2">𝑁</ci><ci id="S4.SS1.p4.12.m1.1.1.2.3a.cmml" xref="S4.SS1.p4.12.m1.1.1.2.3"><mtext id="S4.SS1.p4.12.m1.1.1.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S4.SS1.p4.12.m1.1.1.2.3">e</mtext></ci></apply><cn id="S4.SS1.p4.12.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p4.12.m1.1.1.3">200</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p4.12.m1.1c">N_{\text{e}}=200</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p4.12.m1.1d">italic_N start_POSTSUBSCRIPT e end_POSTSUBSCRIPT = 200</annotation></semantics></math>.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S4.F3"> <div class="ltx_flex_figure"> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S4.F3.sf1"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_square" height="546" id="S4.F3.sf1.g1" src="x3.png" width="664"/> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S4.F3.sf1.2.1.1" style="font-size:90%;">(a)</span> </span></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_break"></div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S4.F3.sf2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_landscape" height="511" id="S4.F3.sf2.g1" src="x4.png" width="664"/> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S4.F3.sf2.2.1.1" style="font-size:90%;">(b)</span> </span></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_break"></div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S4.F3.sf3"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_landscape" height="508" id="S4.F3.sf3.g1" src="x5.png" width="664"/> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S4.F3.sf3.2.1.1" style="font-size:90%;">(c)</span> </span></figcaption> </figure> </div> </div> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S4.F3.34.17.1" style="font-size:90%;">Figure 3</span>: </span><span class="ltx_text" id="S4.F3.32.16" style="font-size:90%;">Network of pendulums (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S4.SS1" title="IV-A Network of pendulums ‣ IV Numerical Tests ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Section</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag"><span class="ltx_text">IV-A</span></span></a>). D-FQ <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib24" title="">24</a>]</cite>: <svg class="ltx_picture" height="16.6" id="S4.F3.17.1.pic1" overflow="visible" version="1.1" width="16.6"><g color="#8C008C" fill="#8C008C" stroke="#8C008C" stroke-width="0.4pt" transform="translate(0,16.6) matrix(1 0 0 -1 0 0) translate(8.3,0) translate(0,8.3) matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -4.15 -4.15)"><path d="M -4.15 -4.15 h 8.3 v 8.3 h -8.3 Z" style="fill:none"></path></g></svg> , D-LSTD <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib18" title="">18</a>]</cite>: <svg class="ltx_picture" height="8.3" id="S4.F3.18.2.pic2" overflow="visible" version="1.1" width="8.3"><g color="#FF033D" fill="#FF033D" stroke="#FF033D" stroke-width="0.4pt" transform="translate(0,8.3) matrix(1 0 0 -1 0 0) translate(4.15,0) translate(0,4.15) matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 0 0)"><path d="M 0 4.15 L 0 -4.15" style="fill:none"></path></g></svg>, Gossip-NN <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib25" title="">25</a>]</cite> (NN with <math alttext="506" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F3.19.3.m1.1"><semantics id="S4.F3.19.3.m1.1b"><mn id="S4.F3.19.3.m1.1.1" xref="S4.F3.19.3.m1.1.1.cmml">506</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F3.19.3.m1.1c"><cn id="S4.F3.19.3.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.F3.19.3.m1.1.1">506</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F3.19.3.m1.1d">506</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F3.19.3.m1.1e">506</annotation></semantics></math> parameters): <svg class="ltx_picture" height="8.3" id="S4.F3.20.4.pic3" overflow="visible" version="1.1" width="8.3"><g color="#CC8540" fill="#CC8540" stroke="#CC8540" stroke-width="0.4pt" transform="translate(0,8.3) matrix(1 0 0 -1 0 0) translate(4.15,0) translate(0,4.15) matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 0 0)"><path d="M 0 4.15 L 3.95 1.28 L 2.44 -3.36 L -2.44 -3.36 L -3.95 1.28 Z" style="fill:none"></path></g></svg> , Gossip-NN <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib25" title="">25</a>]</cite> (NN with <math alttext="938" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F3.21.5.m2.1"><semantics id="S4.F3.21.5.m2.1b"><mn id="S4.F3.21.5.m2.1.1" xref="S4.F3.21.5.m2.1.1.cmml">938</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F3.21.5.m2.1c"><cn id="S4.F3.21.5.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.F3.21.5.m2.1.1">938</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F3.21.5.m2.1d">938</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F3.21.5.m2.1e">938</annotation></semantics></math> parameters): <svg class="ltx_picture" height="8.3" id="S4.F3.22.6.pic4" overflow="visible" version="1.1" width="8.3"><g color="#000000" fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.4pt" transform="translate(0,8.3) matrix(1 0 0 -1 0 0) translate(4.15,0) translate(0,4.15) matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 0 0)"><path d="M -2.94 -2.94 L 2.94 2.94 M -2.94 2.94 L 2.94 -2.94" style="fill:none"></path></g></svg> , D-TD[ADMM]: <svg class="ltx_picture" height="8.3" id="S4.F3.23.7.pic5" overflow="visible" version="1.1" width="8.3"><g color="#8CB500" fill="#8CB500" stroke="#8CB500" stroke-width="0.4pt" transform="translate(0,8.3) matrix(1 0 0 -1 0 0) translate(4.15,0) translate(0,4.15) matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 0 0)"><path d="M 0 4.15 L 3.11 0 L 0 -4.15 L -3.11 0 Z" style="fill:none"></path></g></svg> , <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#alg1" title="In III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Algorithm</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> <math alttext="(D,J_{C})=(500,50)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F3.24.8.m3.4"><semantics id="S4.F3.24.8.m3.4b"><mrow id="S4.F3.24.8.m3.4.4" xref="S4.F3.24.8.m3.4.4.cmml"><mrow id="S4.F3.24.8.m3.4.4.1.1" xref="S4.F3.24.8.m3.4.4.1.2.cmml"><mo id="S4.F3.24.8.m3.4.4.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.F3.24.8.m3.4.4.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.F3.24.8.m3.1.1" xref="S4.F3.24.8.m3.1.1.cmml">D</mi><mo id="S4.F3.24.8.m3.4.4.1.1.3" xref="S4.F3.24.8.m3.4.4.1.2.cmml">,</mo><msub id="S4.F3.24.8.m3.4.4.1.1.1" xref="S4.F3.24.8.m3.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="S4.F3.24.8.m3.4.4.1.1.1.2" xref="S4.F3.24.8.m3.4.4.1.1.1.2.cmml">J</mi><mi id="S4.F3.24.8.m3.4.4.1.1.1.3" xref="S4.F3.24.8.m3.4.4.1.1.1.3.cmml">C</mi></msub><mo id="S4.F3.24.8.m3.4.4.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.F3.24.8.m3.4.4.1.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.F3.24.8.m3.4.4.2" xref="S4.F3.24.8.m3.4.4.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.F3.24.8.m3.4.4.3.2" xref="S4.F3.24.8.m3.4.4.3.1.cmml"><mo id="S4.F3.24.8.m3.4.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.F3.24.8.m3.4.4.3.1.cmml">(</mo><mn 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xref="S4.F3.24.8.m3.4.4.1.1.1.3">𝐶</ci></apply></interval><interval closure="open" id="S4.F3.24.8.m3.4.4.3.1.cmml" xref="S4.F3.24.8.m3.4.4.3.2"><cn id="S4.F3.24.8.m3.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.F3.24.8.m3.2.2">500</cn><cn id="S4.F3.24.8.m3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.F3.24.8.m3.3.3">50</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F3.24.8.m3.4d">(D,J_{C})=(500,50)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F3.24.8.m3.4e">( italic_D , italic_J start_POSTSUBSCRIPT italic_C end_POSTSUBSCRIPT ) = ( 500 , 50 )</annotation></semantics></math>: <svg class="ltx_picture" height="8.3" id="S4.F3.25.9.pic6" overflow="visible" version="1.1" width="8.3"><g color="#000080" fill="#000080" stroke="#000080" stroke-width="0.4pt" transform="translate(0,8.3) matrix(1 0 0 -1 0 0) translate(4.15,0) translate(0,4.15) matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 0 0)"><path d="M 4.15 0 C 4.15 2.29 2.29 4.15 0 4.15 C -2.29 4.15 -4.15 2.29 -4.15 0 C -4.15 -2.29 -2.29 -4.15 0 -4.15 C 2.29 -4.15 4.15 -2.29 4.15 0 Z M 0 0" style="fill:none"></path></g></svg> , <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#alg1" title="In III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Algorithm</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> <math alttext="(D,J_{C})=(500,25)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F3.26.10.m4.4"><semantics id="S4.F3.26.10.m4.4b"><mrow id="S4.F3.26.10.m4.4.4" xref="S4.F3.26.10.m4.4.4.cmml"><mrow id="S4.F3.26.10.m4.4.4.1.1" xref="S4.F3.26.10.m4.4.4.1.2.cmml"><mo id="S4.F3.26.10.m4.4.4.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.F3.26.10.m4.4.4.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.F3.26.10.m4.1.1" xref="S4.F3.26.10.m4.1.1.cmml">D</mi><mo id="S4.F3.26.10.m4.4.4.1.1.3" xref="S4.F3.26.10.m4.4.4.1.2.cmml">,</mo><msub id="S4.F3.26.10.m4.4.4.1.1.1" 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encoding="application/x-llamapun" id="S4.F3.26.10.m4.4e">( italic_D , italic_J start_POSTSUBSCRIPT italic_C end_POSTSUBSCRIPT ) = ( 500 , 25 )</annotation></semantics></math>: <svg class="ltx_picture" height="8.3" id="S4.F3.27.11.pic7" overflow="visible" version="1.1" width="8.3"><g color="#004D00" fill="#004D00" stroke="#004D00" stroke-width="0.4pt" transform="translate(0,8.3) matrix(1 0 0 -1 0 0) translate(4.15,0) translate(0,4.15) matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 0 0)"><path d="M 0 0 L 0 4.15 M 0 0 L 3.95 1.28 M 0 0 L 2.44 -3.36 M 0 0 L -2.44 -3.36 M 0 0 L -3.95 1.28" style="fill:none"></path></g></svg> , <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#alg1" title="In III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Algorithm</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> <math alttext="(D,J_{C})=(500,10)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F3.28.12.m5.4"><semantics id="S4.F3.28.12.m5.4b"><mrow id="S4.F3.28.12.m5.4.4" xref="S4.F3.28.12.m5.4.4.cmml"><mrow id="S4.F3.28.12.m5.4.4.1.1" xref="S4.F3.28.12.m5.4.4.1.2.cmml"><mo id="S4.F3.28.12.m5.4.4.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.F3.28.12.m5.4.4.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.F3.28.12.m5.1.1" xref="S4.F3.28.12.m5.1.1.cmml">D</mi><mo id="S4.F3.28.12.m5.4.4.1.1.3" xref="S4.F3.28.12.m5.4.4.1.2.cmml">,</mo><msub id="S4.F3.28.12.m5.4.4.1.1.1" xref="S4.F3.28.12.m5.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="S4.F3.28.12.m5.4.4.1.1.1.2" xref="S4.F3.28.12.m5.4.4.1.1.1.2.cmml">J</mi><mi id="S4.F3.28.12.m5.4.4.1.1.1.3" xref="S4.F3.28.12.m5.4.4.1.1.1.3.cmml">C</mi></msub><mo id="S4.F3.28.12.m5.4.4.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.F3.28.12.m5.4.4.1.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.F3.28.12.m5.4.4.2" xref="S4.F3.28.12.m5.4.4.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.F3.28.12.m5.4.4.3.2" xref="S4.F3.28.12.m5.4.4.3.1.cmml"><mo id="S4.F3.28.12.m5.4.4.3.2.1" stretchy="false" 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id="S4.F3.28.12.m5.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="S4.F3.28.12.m5.4.4.1.1.1.3">𝐶</ci></apply></interval><interval closure="open" id="S4.F3.28.12.m5.4.4.3.1.cmml" xref="S4.F3.28.12.m5.4.4.3.2"><cn id="S4.F3.28.12.m5.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.F3.28.12.m5.2.2">500</cn><cn id="S4.F3.28.12.m5.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.F3.28.12.m5.3.3">10</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F3.28.12.m5.4d">(D,J_{C})=(500,10)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F3.28.12.m5.4e">( italic_D , italic_J start_POSTSUBSCRIPT italic_C end_POSTSUBSCRIPT ) = ( 500 , 10 )</annotation></semantics></math>: <svg class="ltx_picture" height="8.3" id="S4.F3.29.13.pic8" overflow="visible" version="1.1" width="8.3"><g color="#CC5400" fill="#CC5400" stroke="#CC5400" stroke-width="0.4pt" transform="translate(0,8.3) matrix(1 0 0 -1 0 0) translate(4.15,0) translate(0,4.15) matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 0 0)"><path d="M 4.15 0 L -4.15 0" style="fill:none"></path></g></svg> , <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#alg1" title="In III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Algorithm</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> <math alttext="(D,J_{C})=(300,50)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F3.30.14.m6.4"><semantics id="S4.F3.30.14.m6.4b"><mrow id="S4.F3.30.14.m6.4.4" xref="S4.F3.30.14.m6.4.4.cmml"><mrow id="S4.F3.30.14.m6.4.4.1.1" xref="S4.F3.30.14.m6.4.4.1.2.cmml"><mo id="S4.F3.30.14.m6.4.4.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.F3.30.14.m6.4.4.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.F3.30.14.m6.1.1" xref="S4.F3.30.14.m6.1.1.cmml">D</mi><mo id="S4.F3.30.14.m6.4.4.1.1.3" xref="S4.F3.30.14.m6.4.4.1.2.cmml">,</mo><msub id="S4.F3.30.14.m6.4.4.1.1.1" xref="S4.F3.30.14.m6.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="S4.F3.30.14.m6.4.4.1.1.1.2" xref="S4.F3.30.14.m6.4.4.1.1.1.2.cmml">J</mi><mi id="S4.F3.30.14.m6.4.4.1.1.1.3" xref="S4.F3.30.14.m6.4.4.1.1.1.3.cmml">C</mi></msub><mo id="S4.F3.30.14.m6.4.4.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.F3.30.14.m6.4.4.1.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.F3.30.14.m6.4.4.2" xref="S4.F3.30.14.m6.4.4.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.F3.30.14.m6.4.4.3.2" xref="S4.F3.30.14.m6.4.4.3.1.cmml"><mo id="S4.F3.30.14.m6.4.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.F3.30.14.m6.4.4.3.1.cmml">(</mo><mn id="S4.F3.30.14.m6.2.2" xref="S4.F3.30.14.m6.2.2.cmml">300</mn><mo id="S4.F3.30.14.m6.4.4.3.2.2" xref="S4.F3.30.14.m6.4.4.3.1.cmml">,</mo><mn id="S4.F3.30.14.m6.3.3" xref="S4.F3.30.14.m6.3.3.cmml">50</mn><mo id="S4.F3.30.14.m6.4.4.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.F3.30.14.m6.4.4.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F3.30.14.m6.4c"><apply id="S4.F3.30.14.m6.4.4.cmml" xref="S4.F3.30.14.m6.4.4"><eq id="S4.F3.30.14.m6.4.4.2.cmml" xref="S4.F3.30.14.m6.4.4.2"></eq><interval closure="open" id="S4.F3.30.14.m6.4.4.1.2.cmml" xref="S4.F3.30.14.m6.4.4.1.1"><ci id="S4.F3.30.14.m6.1.1.cmml" xref="S4.F3.30.14.m6.1.1">𝐷</ci><apply id="S4.F3.30.14.m6.4.4.1.1.1.cmml" xref="S4.F3.30.14.m6.4.4.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F3.30.14.m6.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.F3.30.14.m6.4.4.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.F3.30.14.m6.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S4.F3.30.14.m6.4.4.1.1.1.2">𝐽</ci><ci id="S4.F3.30.14.m6.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="S4.F3.30.14.m6.4.4.1.1.1.3">𝐶</ci></apply></interval><interval closure="open" id="S4.F3.30.14.m6.4.4.3.1.cmml" xref="S4.F3.30.14.m6.4.4.3.2"><cn id="S4.F3.30.14.m6.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.F3.30.14.m6.2.2">300</cn><cn id="S4.F3.30.14.m6.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.F3.30.14.m6.3.3">50</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F3.30.14.m6.4d">(D,J_{C})=(300,50)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F3.30.14.m6.4e">( italic_D , italic_J start_POSTSUBSCRIPT italic_C end_POSTSUBSCRIPT ) = ( 300 , 50 )</annotation></semantics></math>: <svg class="ltx_picture" height="8.3" id="S4.F3.31.15.pic9" overflow="visible" version="1.1" width="8.3"><g color="#800000" fill="#800000" stroke="#800000" stroke-width="0.4pt" transform="translate(0,8.3) matrix(1 0 0 -1 0 0) translate(4.15,0) translate(0,4.15) matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 0 0)"><path d="M 0 4.15 L 3.59 -2.08 L -3.59 -2.08 Z" style="fill:none"></path></g></svg> . The shaded areas in <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S4.F3.sf1" title="In Figure 3 ‣ IV-A Network of pendulums ‣ IV Numerical Tests ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Figure</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">3(a)</span></a> correspond to values in the range of <math alttext="(\text{mean})\pm 0.5\times(\text{standard deviation})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F3.32.16.m7.2"><semantics id="S4.F3.32.16.m7.2b"><mrow id="S4.F3.32.16.m7.2.3" xref="S4.F3.32.16.m7.2.3.cmml"><mrow id="S4.F3.32.16.m7.2.3.2.2" xref="S4.F3.32.16.m7.1.1a.cmml"><mo id="S4.F3.32.16.m7.2.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S4.F3.32.16.m7.1.1a.cmml">(</mo><mtext id="S4.F3.32.16.m7.1.1" xref="S4.F3.32.16.m7.1.1.cmml">mean</mtext><mo id="S4.F3.32.16.m7.2.3.2.2.2" stretchy="false" xref="S4.F3.32.16.m7.1.1a.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.F3.32.16.m7.2.3.1" xref="S4.F3.32.16.m7.2.3.1.cmml">±</mo><mrow id="S4.F3.32.16.m7.2.3.3" xref="S4.F3.32.16.m7.2.3.3.cmml"><mn id="S4.F3.32.16.m7.2.3.3.2" xref="S4.F3.32.16.m7.2.3.3.2.cmml">0.5</mn><mo id="S4.F3.32.16.m7.2.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.F3.32.16.m7.2.3.3.1.cmml">×</mo><mrow id="S4.F3.32.16.m7.2.3.3.3.2" xref="S4.F3.32.16.m7.2.2a.cmml"><mo id="S4.F3.32.16.m7.2.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.F3.32.16.m7.2.2a.cmml">(</mo><mtext id="S4.F3.32.16.m7.2.2" xref="S4.F3.32.16.m7.2.2.cmml">standard deviation</mtext><mo id="S4.F3.32.16.m7.2.3.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.F3.32.16.m7.2.2a.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F3.32.16.m7.2c"><apply id="S4.F3.32.16.m7.2.3.cmml" xref="S4.F3.32.16.m7.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.F3.32.16.m7.2.3.1.cmml" xref="S4.F3.32.16.m7.2.3.1">plus-or-minus</csymbol><ci id="S4.F3.32.16.m7.1.1a.cmml" xref="S4.F3.32.16.m7.2.3.2.2"><mtext id="S4.F3.32.16.m7.1.1.cmml" xref="S4.F3.32.16.m7.1.1">mean</mtext></ci><apply id="S4.F3.32.16.m7.2.3.3.cmml" xref="S4.F3.32.16.m7.2.3.3"><times id="S4.F3.32.16.m7.2.3.3.1.cmml" xref="S4.F3.32.16.m7.2.3.3.1"></times><cn id="S4.F3.32.16.m7.2.3.3.2.cmml" type="float" xref="S4.F3.32.16.m7.2.3.3.2">0.5</cn><ci id="S4.F3.32.16.m7.2.2a.cmml" xref="S4.F3.32.16.m7.2.3.3.3.2"><mtext id="S4.F3.32.16.m7.2.2.cmml" xref="S4.F3.32.16.m7.2.2">standard deviation</mtext></ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F3.32.16.m7.2d">(\text{mean})\pm 0.5\times(\text{standard deviation})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F3.32.16.m7.2e">( mean ) ± 0.5 × ( standard deviation )</annotation></semantics></math>. </span></figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.p5"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p5.9"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#alg1" title="In III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Algorithm</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> is also validated via the normalized distance</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A0.EGx36"> <tbody id="S4.E27"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle D_{Q_{\star}}[k]\coloneqq\tfrac{1}{N}\sum_{n\in\mathcal{N}}\frac% {\lVert Q^{(n)}[k]-Q_{\star}\rVert^{2}}{\lVert Q_{\star}\rVert^{2}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E27.m1.5"><semantics id="S4.E27.m1.5a"><mrow id="S4.E27.m1.5.6" xref="S4.E27.m1.5.6.cmml"><mrow id="S4.E27.m1.5.6.2" xref="S4.E27.m1.5.6.2.cmml"><msub id="S4.E27.m1.5.6.2.2" xref="S4.E27.m1.5.6.2.2.cmml"><mi id="S4.E27.m1.5.6.2.2.2" xref="S4.E27.m1.5.6.2.2.2.cmml">D</mi><msub id="S4.E27.m1.5.6.2.2.3" xref="S4.E27.m1.5.6.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E27.m1.5.6.2.2.3.2" xref="S4.E27.m1.5.6.2.2.3.2.cmml">Q</mi><mo id="S4.E27.m1.5.6.2.2.3.3" xref="S4.E27.m1.5.6.2.2.3.3.cmml">⋆</mo></msub></msub><mo id="S4.E27.m1.5.6.2.1" xref="S4.E27.m1.5.6.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E27.m1.5.6.2.3.2" xref="S4.E27.m1.5.6.2.3.1.cmml"><mo id="S4.E27.m1.5.6.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E27.m1.5.6.2.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S4.E27.m1.5.5" xref="S4.E27.m1.5.5.cmml">k</mi><mo id="S4.E27.m1.5.6.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.E27.m1.5.6.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E27.m1.5.6.1" xref="S4.E27.m1.5.6.1.cmml">≔</mo><mrow id="S4.E27.m1.5.6.3" xref="S4.E27.m1.5.6.3.cmml"><mfrac id="S4.E27.m1.5.6.3.2" xref="S4.E27.m1.5.6.3.2.cmml"><mn id="S4.E27.m1.5.6.3.2.2" xref="S4.E27.m1.5.6.3.2.2.cmml">1</mn><mi id="S4.E27.m1.5.6.3.2.3" xref="S4.E27.m1.5.6.3.2.3.cmml">N</mi></mfrac><mo id="S4.E27.m1.5.6.3.1" xref="S4.E27.m1.5.6.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E27.m1.5.6.3.3" xref="S4.E27.m1.5.6.3.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.E27.m1.5.6.3.3.1" xref="S4.E27.m1.5.6.3.3.1.cmml"><munder id="S4.E27.m1.5.6.3.3.1a" xref="S4.E27.m1.5.6.3.3.1.cmml"><mo id="S4.E27.m1.5.6.3.3.1.2" movablelimits="false" xref="S4.E27.m1.5.6.3.3.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.E27.m1.5.6.3.3.1.3" xref="S4.E27.m1.5.6.3.3.1.3.cmml"><mi id="S4.E27.m1.5.6.3.3.1.3.2" xref="S4.E27.m1.5.6.3.3.1.3.2.cmml">n</mi><mo id="S4.E27.m1.5.6.3.3.1.3.1" xref="S4.E27.m1.5.6.3.3.1.3.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.E27.m1.5.6.3.3.1.3.3" xref="S4.E27.m1.5.6.3.3.1.3.3.cmml">𝒩</mi></mrow></munder></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="S4.E27.m1.4.4" xref="S4.E27.m1.4.4.cmml"><mfrac id="S4.E27.m1.4.4a" xref="S4.E27.m1.4.4.cmml"><msup id="S4.E27.m1.3.3.3" xref="S4.E27.m1.3.3.3.cmml"><mrow id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.2.cmml"><mo fence="true" id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.2" rspace="0em" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.2.1.cmml">∥</mo><mrow id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.2" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.2.cmml"><msup id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.2.2" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.2" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.2.cmml">Q</mi><mrow id="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.cmml"><mo id="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.2.1" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.2" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S4.E27.m1.2.2.2.2" xref="S4.E27.m1.2.2.2.2.cmml">k</mi><mo id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.1" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.3" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.3.2" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.cmml">Q</mi><mo id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.3.3" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.3.3.cmml">⋆</mo></msub></mrow><mo fence="true" id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.3" lspace="0em" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mn id="S4.E27.m1.3.3.3.5" xref="S4.E27.m1.3.3.3.5.cmml">2</mn></msup><msup id="S4.E27.m1.4.4.4" xref="S4.E27.m1.4.4.4.cmml"><mrow id="S4.E27.m1.4.4.4.1.1" xref="S4.E27.m1.4.4.4.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S4.E27.m1.4.4.4.1.1.2" rspace="0em" xref="S4.E27.m1.4.4.4.1.2.1.cmml">∥</mo><msub id="S4.E27.m1.4.4.4.1.1.1" xref="S4.E27.m1.4.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E27.m1.4.4.4.1.1.1.2" xref="S4.E27.m1.4.4.4.1.1.1.2.cmml">Q</mi><mo id="S4.E27.m1.4.4.4.1.1.1.3" xref="S4.E27.m1.4.4.4.1.1.1.3.cmml">⋆</mo></msub><mo fence="true" id="S4.E27.m1.4.4.4.1.1.3" lspace="0em" xref="S4.E27.m1.4.4.4.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mn id="S4.E27.m1.4.4.4.3" xref="S4.E27.m1.4.4.4.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mstyle></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E27.m1.5b"><apply id="S4.E27.m1.5.6.cmml" xref="S4.E27.m1.5.6"><ci id="S4.E27.m1.5.6.1.cmml" xref="S4.E27.m1.5.6.1">≔</ci><apply id="S4.E27.m1.5.6.2.cmml" xref="S4.E27.m1.5.6.2"><times id="S4.E27.m1.5.6.2.1.cmml" xref="S4.E27.m1.5.6.2.1"></times><apply id="S4.E27.m1.5.6.2.2.cmml" xref="S4.E27.m1.5.6.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E27.m1.5.6.2.2.1.cmml" xref="S4.E27.m1.5.6.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E27.m1.5.6.2.2.2.cmml" xref="S4.E27.m1.5.6.2.2.2">𝐷</ci><apply id="S4.E27.m1.5.6.2.2.3.cmml" xref="S4.E27.m1.5.6.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E27.m1.5.6.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E27.m1.5.6.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E27.m1.5.6.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E27.m1.5.6.2.2.3.2">𝑄</ci><ci id="S4.E27.m1.5.6.2.2.3.3.cmml" xref="S4.E27.m1.5.6.2.2.3.3">⋆</ci></apply></apply><apply id="S4.E27.m1.5.6.2.3.1.cmml" xref="S4.E27.m1.5.6.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.E27.m1.5.6.2.3.1.1.cmml" xref="S4.E27.m1.5.6.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S4.E27.m1.5.5.cmml" xref="S4.E27.m1.5.5">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S4.E27.m1.5.6.3.cmml" xref="S4.E27.m1.5.6.3"><times id="S4.E27.m1.5.6.3.1.cmml" xref="S4.E27.m1.5.6.3.1"></times><apply id="S4.E27.m1.5.6.3.2.cmml" xref="S4.E27.m1.5.6.3.2"><divide id="S4.E27.m1.5.6.3.2.1.cmml" xref="S4.E27.m1.5.6.3.2"></divide><cn id="S4.E27.m1.5.6.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.E27.m1.5.6.3.2.2">1</cn><ci id="S4.E27.m1.5.6.3.2.3.cmml" xref="S4.E27.m1.5.6.3.2.3">𝑁</ci></apply><apply id="S4.E27.m1.5.6.3.3.cmml" xref="S4.E27.m1.5.6.3.3"><apply id="S4.E27.m1.5.6.3.3.1.cmml" xref="S4.E27.m1.5.6.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E27.m1.5.6.3.3.1.1.cmml" xref="S4.E27.m1.5.6.3.3.1">subscript</csymbol><sum id="S4.E27.m1.5.6.3.3.1.2.cmml" xref="S4.E27.m1.5.6.3.3.1.2"></sum><apply id="S4.E27.m1.5.6.3.3.1.3.cmml" xref="S4.E27.m1.5.6.3.3.1.3"><in id="S4.E27.m1.5.6.3.3.1.3.1.cmml" xref="S4.E27.m1.5.6.3.3.1.3.1"></in><ci id="S4.E27.m1.5.6.3.3.1.3.2.cmml" xref="S4.E27.m1.5.6.3.3.1.3.2">𝑛</ci><ci id="S4.E27.m1.5.6.3.3.1.3.3.cmml" xref="S4.E27.m1.5.6.3.3.1.3.3">𝒩</ci></apply></apply><apply id="S4.E27.m1.4.4.cmml" xref="S4.E27.m1.4.4"><divide id="S4.E27.m1.4.4.5.cmml" xref="S4.E27.m1.4.4"></divide><apply id="S4.E27.m1.3.3.3.cmml" xref="S4.E27.m1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E27.m1.3.3.3.4.cmml" xref="S4.E27.m1.3.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.E27.m1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E27.m1.3.3.3.3.2.1.cmml" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.cmml" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1"><minus id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.1"></minus><apply id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.2.cmml" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.2"><times id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.2.1"></times><apply id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.2">𝑄</ci><ci id="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.1.1.cmml" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S4.E27.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E27.m1.2.2.2.2">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.3.cmml" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.3.2">𝑄</ci><ci id="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E27.m1.3.3.3.3.1.1.3.3">⋆</ci></apply></apply></apply><cn id="S4.E27.m1.3.3.3.5.cmml" type="integer" xref="S4.E27.m1.3.3.3.5">2</cn></apply><apply id="S4.E27.m1.4.4.4.cmml" xref="S4.E27.m1.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E27.m1.4.4.4.2.cmml" xref="S4.E27.m1.4.4.4">superscript</csymbol><apply id="S4.E27.m1.4.4.4.1.2.cmml" xref="S4.E27.m1.4.4.4.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E27.m1.4.4.4.1.2.1.cmml" xref="S4.E27.m1.4.4.4.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="S4.E27.m1.4.4.4.1.1.1.cmml" xref="S4.E27.m1.4.4.4.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E27.m1.4.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E27.m1.4.4.4.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.E27.m1.4.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E27.m1.4.4.4.1.1.1.2">𝑄</ci><ci id="S4.E27.m1.4.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E27.m1.4.4.4.1.1.1.3">⋆</ci></apply></apply><cn id="S4.E27.m1.4.4.4.3.cmml" type="integer" xref="S4.E27.m1.4.4.4.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E27.m1.5c">\displaystyle D_{Q_{\star}}[k]\coloneqq\tfrac{1}{N}\sum_{n\in\mathcal{N}}\frac% {\lVert Q^{(n)}[k]-Q_{\star}\rVert^{2}}{\lVert Q_{\star}\rVert^{2}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E27.m1.5d">italic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_Q start_POSTSUBSCRIPT ⋆ end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT [ italic_k ] ≔ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_N end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n ∈ caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG ∥ italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ] - italic_Q start_POSTSUBSCRIPT ⋆ end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG ∥ italic_Q start_POSTSUBSCRIPT ⋆ end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(27)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p5.8">to a fixed point <math alttext="Q_{\star}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p5.1.m1.1"><semantics id="S4.SS1.p5.1.m1.1a"><msub id="S4.SS1.p5.1.m1.1.1" xref="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.2" xref="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.2.cmml">Q</mi><mo id="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.3" xref="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.3.cmml">⋆</mo></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p5.1.m1.1b"><apply id="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.2">𝑄</ci><ci id="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.3">⋆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p5.1.m1.1c">Q_{\star}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p5.1.m1.1d">italic_Q start_POSTSUBSCRIPT ⋆ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> of the star-topology map <math alttext="T_{\star}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p5.2.m2.1"><semantics id="S4.SS1.p5.2.m2.1a"><msub id="S4.SS1.p5.2.m2.1.1" xref="S4.SS1.p5.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.2.m2.1.1.2" xref="S4.SS1.p5.2.m2.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="S4.SS1.p5.2.m2.1.1.3" xref="S4.SS1.p5.2.m2.1.1.3.cmml">⋆</mo></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p5.2.m2.1b"><apply id="S4.SS1.p5.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p5.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.2.m2.1.1.2">𝑇</ci><ci id="S4.SS1.p5.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.2.m2.1.1.3">⋆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p5.2.m2.1c">T_{\star}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p5.2.m2.1d">italic_T start_POSTSUBSCRIPT ⋆ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> defined in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E6" title="Equation 6 ‣ III-A The centralized (star-topology) B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6</span></a>). However, in general, <math alttext="Q_{\star}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p5.3.m3.1"><semantics id="S4.SS1.p5.3.m3.1a"><msub id="S4.SS1.p5.3.m3.1.1" xref="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.2" xref="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.2.cmml">Q</mi><mo id="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.3" xref="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.3.cmml">⋆</mo></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p5.3.m3.1b"><apply id="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.2">𝑄</ci><ci id="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.3">⋆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p5.3.m3.1c">Q_{\star}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p5.3.m3.1d">italic_Q start_POSTSUBSCRIPT ⋆ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> cannot be obtained in closed form from (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E6" title="Equation 6 ‣ III-A The centralized (star-topology) B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6</span></a>). Assuming that <math alttext="T_{\star}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p5.4.m4.1"><semantics id="S4.SS1.p5.4.m4.1a"><msub id="S4.SS1.p5.4.m4.1.1" xref="S4.SS1.p5.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.4.m4.1.1.2" xref="S4.SS1.p5.4.m4.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="S4.SS1.p5.4.m4.1.1.3" xref="S4.SS1.p5.4.m4.1.1.3.cmml">⋆</mo></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p5.4.m4.1b"><apply id="S4.SS1.p5.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p5.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.4.m4.1.1.2">𝑇</ci><ci id="S4.SS1.p5.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.4.m4.1.1.3">⋆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p5.4.m4.1c">T_{\star}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p5.4.m4.1d">italic_T start_POSTSUBSCRIPT ⋆ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is a contraction mapping, <math alttext="Q_{\star}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p5.5.m5.1"><semantics id="S4.SS1.p5.5.m5.1a"><msub id="S4.SS1.p5.5.m5.1.1" xref="S4.SS1.p5.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.5.m5.1.1.2" xref="S4.SS1.p5.5.m5.1.1.2.cmml">Q</mi><mo id="S4.SS1.p5.5.m5.1.1.3" xref="S4.SS1.p5.5.m5.1.1.3.cmml">⋆</mo></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p5.5.m5.1b"><apply id="S4.SS1.p5.5.m5.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.5.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p5.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.5.m5.1.1.2">𝑄</ci><ci id="S4.SS1.p5.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.5.m5.1.1.3">⋆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p5.5.m5.1c">Q_{\star}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p5.5.m5.1d">italic_Q start_POSTSUBSCRIPT ⋆ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is taken to be the limit point of the Banach-Picard iteration <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib36" title="">36</a>]</cite>: for an arbitrarily fixed <math alttext="Q_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p5.6.m6.1"><semantics id="S4.SS1.p5.6.m6.1a"><msub id="S4.SS1.p5.6.m6.1.1" xref="S4.SS1.p5.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.6.m6.1.1.2" xref="S4.SS1.p5.6.m6.1.1.2.cmml">Q</mi><mn id="S4.SS1.p5.6.m6.1.1.3" xref="S4.SS1.p5.6.m6.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p5.6.m6.1b"><apply id="S4.SS1.p5.6.m6.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.6.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.6.m6.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p5.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.6.m6.1.1.2">𝑄</ci><cn id="S4.SS1.p5.6.m6.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p5.6.m6.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p5.6.m6.1c">Q_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p5.6.m6.1d">italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="Q_{k+1}\coloneqq T_{\star}(Q_{k})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p5.7.m7.1"><semantics id="S4.SS1.p5.7.m7.1a"><mrow id="S4.SS1.p5.7.m7.1.1" xref="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.cmml"><msub id="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.3" xref="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.3.2" xref="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.3.2.cmml">Q</mi><mrow id="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.3.3" xref="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.3.3.2" xref="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.3.3.1" xref="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.3.3.3" xref="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.2" xref="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.2.cmml">≔</mo><mrow id="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.1" xref="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.1.cmml"><msub id="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.1.3.2" xref="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.1.3.2.cmml">T</mi><mo id="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.1.3.3" xref="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.1.3.3.cmml">⋆</mo></msub><mo id="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.1.1.1.1.2.cmml">Q</mi><mi id="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p5.7.m7.1b"><apply id="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.7.m7.1.1"><ci id="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.2">≔</ci><apply id="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.3.2">𝑄</ci><apply id="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.3.3"><plus id="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.3.3.1"></plus><ci id="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.3.3.2">𝑘</ci><cn id="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.1"><times id="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.1.2"></times><apply id="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.1.3.2">𝑇</ci><ci id="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.1.3.3">⋆</ci></apply><apply id="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.1.1.1.1.2">𝑄</ci><ci id="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p5.7.m7.1c">Q_{k+1}\coloneqq T_{\star}(Q_{k})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p5.7.m7.1d">italic_Q start_POSTSUBSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUBSCRIPT ≔ italic_T start_POSTSUBSCRIPT ⋆ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_Q start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>, <math alttext="\forall k\in\mathbb{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p5.8.m8.1"><semantics id="S4.SS1.p5.8.m8.1a"><mrow id="S4.SS1.p5.8.m8.1.1" xref="S4.SS1.p5.8.m8.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS1.p5.8.m8.1.1.2" xref="S4.SS1.p5.8.m8.1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p5.8.m8.1.1.2.1" rspace="0.167em" xref="S4.SS1.p5.8.m8.1.1.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S4.SS1.p5.8.m8.1.1.2.2" xref="S4.SS1.p5.8.m8.1.1.2.2.cmml">k</mi></mrow><mo id="S4.SS1.p5.8.m8.1.1.1" xref="S4.SS1.p5.8.m8.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S4.SS1.p5.8.m8.1.1.3" xref="S4.SS1.p5.8.m8.1.1.3.cmml">ℕ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p5.8.m8.1b"><apply id="S4.SS1.p5.8.m8.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.8.m8.1.1"><in id="S4.SS1.p5.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.8.m8.1.1.1"></in><apply id="S4.SS1.p5.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.8.m8.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS1.p5.8.m8.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.8.m8.1.1.2.1">for-all</csymbol><ci id="S4.SS1.p5.8.m8.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.8.m8.1.1.2.2">𝑘</ci></apply><ci id="S4.SS1.p5.8.m8.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.8.m8.1.1.3">ℕ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p5.8.m8.1c">\forall k\in\mathbb{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p5.8.m8.1d">∀ italic_k ∈ blackboard_N</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.p6"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p6.7">To assess whether consensus is achieved by the employed algorithms, the following “consensus loss” is considered:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A0.EGx37"> <tbody id="S4.E28"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathcal{L}_{\text{c}}[kM+m]\coloneqq\tfrac{1}{N(N-1)}\sum_{n\neq n% ^{\prime}}\lVert\,Q_{m}^{(n)}[k]-Q_{m}^{(n^{\prime})}[k]\,\rVert\,," class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E28.m1.6"><semantics id="S4.E28.m1.6a"><mrow id="S4.E28.m1.6.6.1" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S4.E28.m1.6.6.1.1" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S4.E28.m1.6.6.1.1.1" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.1.cmml"><msub id="S4.E28.m1.6.6.1.1.1.3" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.E28.m1.6.6.1.1.1.3.2" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.1.3.2.cmml">ℒ</mi><mtext id="S4.E28.m1.6.6.1.1.1.3.3" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.1.3.3a.cmml">c</mtext></msub><mo id="S4.E28.m1.6.6.1.1.1.2" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E28.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E28.m1.6.6.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.E28.m1.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E28.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E28.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">k</mi><mo id="S4.E28.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E28.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">M</mi></mrow><mo id="S4.E28.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S4.E28.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml">m</mi></mrow><mo id="S4.E28.m1.6.6.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E28.m1.6.6.1.1.3" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.3.cmml">≔</mo><mrow id="S4.E28.m1.6.6.1.1.2" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.cmml"><mfrac id="S4.E28.m1.1.1" xref="S4.E28.m1.1.1.cmml"><mn id="S4.E28.m1.1.1.3" xref="S4.E28.m1.1.1.3.cmml">1</mn><mrow id="S4.E28.m1.1.1.1" xref="S4.E28.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E28.m1.1.1.1.3" xref="S4.E28.m1.1.1.1.3.cmml">N</mi><mo id="S4.E28.m1.1.1.1.2" xref="S4.E28.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E28.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E28.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E28.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E28.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S4.E28.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S4.E28.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.E28.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac><mo id="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.2" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.2" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.2.cmml"><munder id="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.2a" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.2.cmml"><mo id="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.2.2" movablelimits="false" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.2.3" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.2.3.cmml"><mi id="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.2.3.2" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.2.3.2.cmml">n</mi><mo id="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.2.3.1" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.2.3.1.cmml">≠</mo><msup id="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.2.3.3" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.2.3.3.cmml"><mi id="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.2.3.3.2" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.2.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.2.3.3.3" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.2.3.3.3.cmml">′</mo></msup></mrow></munder></mstyle><mrow id="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2" lspace="0em" rspace="0.170em" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.2.1.cmml">∥</mo><mrow id="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><msubsup id="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">Q</mi><mi id="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">m</mi><mrow id="S4.E28.m1.2.2.1.3" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.2.cmml"><mo id="S4.E28.m1.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S4.E28.m1.2.2.1.1" xref="S4.E28.m1.2.2.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.E28.m1.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.1" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S4.E28.m1.4.4" xref="S4.E28.m1.4.4.cmml">k</mi><mo id="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">Q</mi><mi id="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">m</mi><mrow id="S4.E28.m1.3.3.1.1" xref="S4.E28.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E28.m1.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E28.m1.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S4.E28.m1.3.3.1.1.1" xref="S4.E28.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E28.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S4.E28.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S4.E28.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S4.E28.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.E28.m1.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E28.m1.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.3.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S4.E28.m1.5.5" xref="S4.E28.m1.5.5.cmml">k</mi><mo id="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.3.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo fence="true" id="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3" lspace="0.170em" rspace="0.170em" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E28.m1.6.6.1.2" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E28.m1.6b"><apply id="S4.E28.m1.6.6.1.1.cmml" xref="S4.E28.m1.6.6.1"><ci id="S4.E28.m1.6.6.1.1.3.cmml" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.3">≔</ci><apply id="S4.E28.m1.6.6.1.1.1.cmml" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.1"><times id="S4.E28.m1.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.1.2"></times><apply id="S4.E28.m1.6.6.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E28.m1.6.6.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci 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xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3">𝑚</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.cmml" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.2"><times id="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.2"></times><apply id="S4.E28.m1.1.1.cmml" xref="S4.E28.m1.1.1"><divide id="S4.E28.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.E28.m1.1.1"></divide><cn id="S4.E28.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E28.m1.1.1.3">1</cn><apply id="S4.E28.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.E28.m1.1.1.1"><times id="S4.E28.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E28.m1.1.1.1.2"></times><ci id="S4.E28.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E28.m1.1.1.1.3">𝑁</ci><apply id="S4.E28.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.E28.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S4.E28.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci><cn id="S4.E28.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1"><apply id="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.2.cmml" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.2">subscript</csymbol><sum id="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.2.2.cmml" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.2.2"></sum><apply id="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.2.3.cmml" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.2.3"><neq id="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.2.3.1"></neq><ci id="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.2.3.2">𝑛</ci><apply id="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.2.3.3.cmml" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.2.3.3.1.cmml" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.2.3.3.2.cmml" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.2.3.3.2">𝑛</ci><ci id="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.2.3.3.3.cmml" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.2.3.3.3">′</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1"><minus id="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2"><times id="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.2">𝑄</ci><ci id="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.3">𝑚</ci></apply><ci id="S4.E28.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E28.m1.2.2.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.1.1.cmml" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S4.E28.m1.4.4.cmml" xref="S4.E28.m1.4.4">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.3"><times id="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑄</ci><ci id="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.3.2.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="S4.E28.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.E28.m1.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E28.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E28.m1.3.3.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.E28.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E28.m1.3.3.1.1.1.2">𝑛</ci><ci id="S4.E28.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E28.m1.3.3.1.1.1.3">′</ci></apply></apply><apply id="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.3.3.1.1.cmml" xref="S4.E28.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S4.E28.m1.5.5.cmml" xref="S4.E28.m1.5.5">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E28.m1.6c">\displaystyle\mathcal{L}_{\text{c}}[kM+m]\coloneqq\tfrac{1}{N(N-1)}\sum_{n\neq n% ^{\prime}}\lVert\,Q_{m}^{(n)}[k]-Q_{m}^{(n^{\prime})}[k]\,\rVert\,,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E28.m1.6d">caligraphic_L start_POSTSUBSCRIPT c end_POSTSUBSCRIPT [ italic_k italic_M + italic_m ] ≔ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_N ( italic_N - 1 ) end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n ≠ italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ∥ italic_Q start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ] - italic_Q start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ] ∥ ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(28)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p6.2">where <math alttext="k\in\mathbb{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p6.1.m1.1"><semantics id="S4.SS1.p6.1.m1.1a"><mrow id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.2" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3.cmml">ℕ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p6.1.m1.1b"><apply id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1"><in id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1"></in><ci id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.2">𝑘</ci><ci id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3">ℕ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p6.1.m1.1c">k\in\mathbb{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p6.1.m1.1d">italic_k ∈ blackboard_N</annotation></semantics></math> and <math alttext="m\in\{0,\ldots,M-1\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p6.2.m2.3"><semantics id="S4.SS1.p6.2.m2.3a"><mrow id="S4.SS1.p6.2.m2.3.3" xref="S4.SS1.p6.2.m2.3.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p6.2.m2.3.3.3" xref="S4.SS1.p6.2.m2.3.3.3.cmml">m</mi><mo id="S4.SS1.p6.2.m2.3.3.2" xref="S4.SS1.p6.2.m2.3.3.2.cmml">∈</mo><mrow id="S4.SS1.p6.2.m2.3.3.1.1" xref="S4.SS1.p6.2.m2.3.3.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p6.2.m2.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p6.2.m2.3.3.1.2.cmml">{</mo><mn id="S4.SS1.p6.2.m2.1.1" xref="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.cmml">0</mn><mo id="S4.SS1.p6.2.m2.3.3.1.1.3" xref="S4.SS1.p6.2.m2.3.3.1.2.cmml">,</mo><mi id="S4.SS1.p6.2.m2.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.SS1.p6.2.m2.2.2.cmml">…</mi><mo id="S4.SS1.p6.2.m2.3.3.1.1.4" xref="S4.SS1.p6.2.m2.3.3.1.2.cmml">,</mo><mrow id="S4.SS1.p6.2.m2.3.3.1.1.1" xref="S4.SS1.p6.2.m2.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p6.2.m2.3.3.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p6.2.m2.3.3.1.1.1.2.cmml">M</mi><mo id="S4.SS1.p6.2.m2.3.3.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p6.2.m2.3.3.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S4.SS1.p6.2.m2.3.3.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p6.2.m2.3.3.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.SS1.p6.2.m2.3.3.1.1.5" stretchy="false" xref="S4.SS1.p6.2.m2.3.3.1.2.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p6.2.m2.3b"><apply id="S4.SS1.p6.2.m2.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p6.2.m2.3.3"><in id="S4.SS1.p6.2.m2.3.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.2.m2.3.3.2"></in><ci id="S4.SS1.p6.2.m2.3.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p6.2.m2.3.3.3">𝑚</ci><set id="S4.SS1.p6.2.m2.3.3.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.2.m2.3.3.1.1"><cn id="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p6.2.m2.1.1">0</cn><ci id="S4.SS1.p6.2.m2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.2.m2.2.2">…</ci><apply id="S4.SS1.p6.2.m2.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.2.m2.3.3.1.1.1"><minus id="S4.SS1.p6.2.m2.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.2.m2.3.3.1.1.1.1"></minus><ci id="S4.SS1.p6.2.m2.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.2.m2.3.3.1.1.1.2">𝑀</ci><cn id="S4.SS1.p6.2.m2.3.3.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p6.2.m2.3.3.1.1.1.3">1</cn></apply></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p6.2.m2.3c">m\in\{0,\ldots,M-1\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p6.2.m2.3d">italic_m ∈ { 0 , … , italic_M - 1 }</annotation></semantics></math>. However, for Gossip-NN <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib25" title="">25</a>]</cite>, where dense NNs are used, the following consensus loss is adopted:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A0.EGx38"> <tbody id="S4.Ex6"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathcal{L}_{\text{c}}^{\text{NN}}[kM+m]" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex6.m1.1"><semantics id="S4.Ex6.m1.1a"><mrow id="S4.Ex6.m1.1.1" xref="S4.Ex6.m1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.Ex6.m1.1.1.3" xref="S4.Ex6.m1.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.Ex6.m1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex6.m1.1.1.3.2.2.cmml">ℒ</mi><mtext id="S4.Ex6.m1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex6.m1.1.1.3.2.3a.cmml">c</mtext><mtext id="S4.Ex6.m1.1.1.3.3" xref="S4.Ex6.m1.1.1.3.3a.cmml">NN</mtext></msubsup><mo id="S4.Ex6.m1.1.1.2" xref="S4.Ex6.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">M</mi></mrow><mo id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">m</mi></mrow><mo id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex6.m1.1b"><apply id="S4.Ex6.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.1.1"><times id="S4.Ex6.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.1.1.2"></times><apply id="S4.Ex6.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex6.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex6.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex6.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex6.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex6.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.1.1.3.2.2">ℒ</ci><ci id="S4.Ex6.m1.1.1.3.2.3a.cmml" xref="S4.Ex6.m1.1.1.3.2.3"><mtext id="S4.Ex6.m1.1.1.3.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S4.Ex6.m1.1.1.3.2.3">c</mtext></ci></apply><ci id="S4.Ex6.m1.1.1.3.3a.cmml" xref="S4.Ex6.m1.1.1.3.3"><mtext id="S4.Ex6.m1.1.1.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="S4.Ex6.m1.1.1.3.3">NN</mtext></ci></apply><apply id="S4.Ex6.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex6.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1"><plus id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.2"><times id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.2.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.2.3">𝑀</ci></apply><ci id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.3">𝑚</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex6.m1.1c">\displaystyle\mathcal{L}_{\text{c}}^{\text{NN}}[kM+m]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex6.m1.1d">caligraphic_L start_POSTSUBSCRIPT c end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT NN end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k italic_M + italic_m ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.Ex7"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\coloneqq\tfrac{1}{N(N-1)}\sum_{n\neq n^{\prime}}\Bigl{(}" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S4.Ex7.m1.1"><semantics id="S4.Ex7.m1.1a"><mrow id="S4.Ex7.m1.1b"><mo id="S4.Ex7.m1.1.2">≔</mo><mfrac id="S4.Ex7.m1.1.1"><mn id="S4.Ex7.m1.1.1.3">1</mn><mrow id="S4.Ex7.m1.1.1.1"><mi id="S4.Ex7.m1.1.1.1.3">N</mi><mo id="S4.Ex7.m1.1.1.1.2">⁢</mo><mrow id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1"><mo id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1"><mi id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.2">N</mi><mo id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1">−</mo><mn id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.3">1</mn></mrow><mo id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></mfrac><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex7.m1.1.3"><munder id="S4.Ex7.m1.1.3a"><mo id="S4.Ex7.m1.1.3.2" movablelimits="false">∑</mo><mrow id="S4.Ex7.m1.1.3.3"><mi id="S4.Ex7.m1.1.3.3.2">n</mi><mo id="S4.Ex7.m1.1.3.3.1">≠</mo><msup id="S4.Ex7.m1.1.3.3.3"><mi id="S4.Ex7.m1.1.3.3.3.2">n</mi><mo id="S4.Ex7.m1.1.3.3.3.3">′</mo></msup></mrow></munder></mstyle><mo id="S4.Ex7.m1.1.4" maxsize="160%" minsize="160%">(</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex7.m1.1c">\displaystyle\coloneqq\tfrac{1}{N(N-1)}\sum_{n\neq n^{\prime}}\Bigl{(}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex7.m1.1d">≔ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_N ( italic_N - 1 ) end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n ≠ italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT (</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\sum\nolimits_{i=1}^{L_{\text{NN}}}\lVert\mathbf{W}_{i}^{(n)}-% \mathbf{W}_{i}^{(n^{\prime})}\rVert_{\text{F}}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex7.m2.3"><semantics id="S4.Ex7.m2.3a"><mrow id="S4.Ex7.m2.3.3" xref="S4.Ex7.m2.3.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex7.m2.3.3.2" xref="S4.Ex7.m2.3.3.2.cmml"><msubsup id="S4.Ex7.m2.3.3.2a" xref="S4.Ex7.m2.3.3.2.cmml"><mo id="S4.Ex7.m2.3.3.2.2.2" xref="S4.Ex7.m2.3.3.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.Ex7.m2.3.3.2.2.3" xref="S4.Ex7.m2.3.3.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex7.m2.3.3.2.2.3.2" xref="S4.Ex7.m2.3.3.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S4.Ex7.m2.3.3.2.2.3.1" xref="S4.Ex7.m2.3.3.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S4.Ex7.m2.3.3.2.2.3.3" xref="S4.Ex7.m2.3.3.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msub id="S4.Ex7.m2.3.3.2.3" xref="S4.Ex7.m2.3.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex7.m2.3.3.2.3.2" xref="S4.Ex7.m2.3.3.2.3.2.cmml">L</mi><mtext id="S4.Ex7.m2.3.3.2.3.3" xref="S4.Ex7.m2.3.3.2.3.3a.cmml">NN</mtext></msub></msubsup></mstyle><msubsup id="S4.Ex7.m2.3.3.1" xref="S4.Ex7.m2.3.3.1.cmml"><mrow id="S4.Ex7.m2.3.3.1.1.1.1" xref="S4.Ex7.m2.3.3.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S4.Ex7.m2.3.3.1.1.1.1.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="S4.Ex7.m2.3.3.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo><mrow id="S4.Ex7.m2.3.3.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex7.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.Ex7.m2.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex7.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex7.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex7.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">𝐖</mi><mi id="S4.Ex7.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex7.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">i</mi><mrow id="S4.Ex7.m2.1.1.1.3" xref="S4.Ex7.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex7.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.Ex7.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex7.m2.1.1.1.1" xref="S4.Ex7.m2.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.Ex7.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.Ex7.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S4.Ex7.m2.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex7.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msubsup id="S4.Ex7.m2.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex7.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex7.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex7.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">𝐖</mi><mi id="S4.Ex7.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex7.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">i</mi><mrow id="S4.Ex7.m2.2.2.1.1" xref="S4.Ex7.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex7.m2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex7.m2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S4.Ex7.m2.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex7.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex7.m2.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex7.m2.2.2.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S4.Ex7.m2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex7.m2.2.2.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.Ex7.m2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex7.m2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup></mrow><mo fence="true" id="S4.Ex7.m2.3.3.1.1.1.1.3" lspace="0em" xref="S4.Ex7.m2.3.3.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mtext id="S4.Ex7.m2.3.3.1.1.3" xref="S4.Ex7.m2.3.3.1.1.3a.cmml">F</mtext><mn id="S4.Ex7.m2.3.3.1.3" xref="S4.Ex7.m2.3.3.1.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex7.m2.3b"><apply id="S4.Ex7.m2.3.3.cmml" xref="S4.Ex7.m2.3.3"><apply id="S4.Ex7.m2.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex7.m2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex7.m2.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex7.m2.3.3.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex7.m2.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex7.m2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex7.m2.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex7.m2.3.3.2">subscript</csymbol><sum id="S4.Ex7.m2.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex7.m2.3.3.2.2.2"></sum><apply id="S4.Ex7.m2.3.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex7.m2.3.3.2.2.3"><eq id="S4.Ex7.m2.3.3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex7.m2.3.3.2.2.3.1"></eq><ci id="S4.Ex7.m2.3.3.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex7.m2.3.3.2.2.3.2">𝑖</ci><cn id="S4.Ex7.m2.3.3.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex7.m2.3.3.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.Ex7.m2.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex7.m2.3.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex7.m2.3.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex7.m2.3.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex7.m2.3.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex7.m2.3.3.2.3.2">𝐿</ci><ci id="S4.Ex7.m2.3.3.2.3.3a.cmml" xref="S4.Ex7.m2.3.3.2.3.3"><mtext id="S4.Ex7.m2.3.3.2.3.3.cmml" mathsize="50%" xref="S4.Ex7.m2.3.3.2.3.3">NN</mtext></ci></apply></apply><apply id="S4.Ex7.m2.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex7.m2.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex7.m2.3.3.1.2.cmml" xref="S4.Ex7.m2.3.3.1">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex7.m2.3.3.1.1.cmml" xref="S4.Ex7.m2.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex7.m2.3.3.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex7.m2.3.3.1">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex7.m2.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex7.m2.3.3.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex7.m2.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex7.m2.3.3.1.1.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="S4.Ex7.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex7.m2.3.3.1.1.1.1.1"><minus id="S4.Ex7.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex7.m2.3.3.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.Ex7.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex7.m2.3.3.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex7.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex7.m2.3.3.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex7.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex7.m2.3.3.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex7.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex7.m2.3.3.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex7.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex7.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2">𝐖</ci><ci id="S4.Ex7.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex7.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S4.Ex7.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex7.m2.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S4.Ex7.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex7.m2.3.3.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex7.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex7.m2.3.3.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex7.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex7.m2.3.3.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex7.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex7.m2.3.3.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex7.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex7.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2">𝐖</ci><ci id="S4.Ex7.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex7.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S4.Ex7.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex7.m2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex7.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex7.m2.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex7.m2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex7.m2.2.2.1.1.1.2">𝑛</ci><ci id="S4.Ex7.m2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex7.m2.2.2.1.1.1.3">′</ci></apply></apply></apply></apply><ci id="S4.Ex7.m2.3.3.1.1.3a.cmml" xref="S4.Ex7.m2.3.3.1.1.3"><mtext id="S4.Ex7.m2.3.3.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S4.Ex7.m2.3.3.1.1.3">F</mtext></ci></apply><cn id="S4.Ex7.m2.3.3.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex7.m2.3.3.1.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex7.m2.3c">\displaystyle\sum\nolimits_{i=1}^{L_{\text{NN}}}\lVert\mathbf{W}_{i}^{(n)}-% \mathbf{W}_{i}^{(n^{\prime})}\rVert_{\text{F}}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex7.m2.3d">∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_L start_POSTSUBSCRIPT NN end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ∥ bold_W start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT - bold_W start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUPERSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT F end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.E29"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle+\lVert\mathbf{b}_{i}^{(n)}-\mathbf{b}_{i}^{(n^{\prime})}\rVert^{% 2}\Bigr{)}^{1/2}\,," class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S4.E29.m1.2"><semantics id="S4.E29.m1.2a"><mrow id="S4.E29.m1.2b"><mo id="S4.E29.m1.2.3">+</mo><msup id="S4.E29.m1.2.4"><mrow id="S4.E29.m1.2.4.2"><mo fence="true" id="S4.E29.m1.2.4.2.1" lspace="0em" rspace="0em">∥</mo><msubsup id="S4.E29.m1.2.4.2.2"><mi id="S4.E29.m1.2.4.2.2.2.2">𝐛</mi><mi id="S4.E29.m1.2.4.2.2.2.3">i</mi><mrow id="S4.E29.m1.1.1.1.3"><mo id="S4.E29.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S4.E29.m1.1.1.1.1">n</mi><mo id="S4.E29.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S4.E29.m1.2.4.2.3">−</mo><msubsup id="S4.E29.m1.2.4.2.4"><mi id="S4.E29.m1.2.4.2.4.2.2">𝐛</mi><mi id="S4.E29.m1.2.4.2.4.2.3">i</mi><mrow id="S4.E29.m1.2.2.1.1"><mo id="S4.E29.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false">(</mo><msup id="S4.E29.m1.2.2.1.1.1"><mi id="S4.E29.m1.2.2.1.1.1.2">n</mi><mo id="S4.E29.m1.2.2.1.1.1.3">′</mo></msup><mo id="S4.E29.m1.2.2.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow></msubsup><mo fence="true" id="S4.E29.m1.2.4.2.5" lspace="0em" rspace="0em">∥</mo></mrow><mn id="S4.E29.m1.2.4.3">2</mn></msup><mo id="S4.E29.m1.2.5" maxsize="160%" minsize="160%">)</mo><msup id="S4.E29.m1.2.6"><mi id="S4.E29.m1.2.6a"></mi><mrow id="S4.E29.m1.2.6.1"><mn id="S4.E29.m1.2.6.1.2">1</mn><mo id="S4.E29.m1.2.6.1.1">/</mo><mn id="S4.E29.m1.2.6.1.3">2</mn></mrow></msup><mo id="S4.E29.m1.2.7">,</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E29.m1.2c">\displaystyle+\lVert\mathbf{b}_{i}^{(n)}-\mathbf{b}_{i}^{(n^{\prime})}\rVert^{% 2}\Bigr{)}^{1/2}\,,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E29.m1.2d">+ ∥ bold_b start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT - bold_b start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUPERSCRIPT ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(29)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p6.6">where <math alttext="\mathbf{W}_{i}^{(n)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p6.3.m1.1"><semantics id="S4.SS1.p6.3.m1.1a"><msubsup id="S4.SS1.p6.3.m1.1.2" xref="S4.SS1.p6.3.m1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p6.3.m1.1.2.2.2" xref="S4.SS1.p6.3.m1.1.2.2.2.cmml">𝐖</mi><mi id="S4.SS1.p6.3.m1.1.2.2.3" xref="S4.SS1.p6.3.m1.1.2.2.3.cmml">i</mi><mrow id="S4.SS1.p6.3.m1.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p6.3.m1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p6.3.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p6.3.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p6.3.m1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p6.3.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.SS1.p6.3.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p6.3.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p6.3.m1.1b"><apply id="S4.SS1.p6.3.m1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.3.m1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p6.3.m1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.3.m1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p6.3.m1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.3.m1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p6.3.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.3.m1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p6.3.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.3.m1.1.2.2.2">𝐖</ci><ci id="S4.SS1.p6.3.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p6.3.m1.1.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S4.SS1.p6.3.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.3.m1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p6.3.m1.1c">\mathbf{W}_{i}^{(n)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p6.3.m1.1d">bold_W start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\mathbf{b}_{i}^{(n)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p6.4.m2.1"><semantics id="S4.SS1.p6.4.m2.1a"><msubsup id="S4.SS1.p6.4.m2.1.2" xref="S4.SS1.p6.4.m2.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p6.4.m2.1.2.2.2" xref="S4.SS1.p6.4.m2.1.2.2.2.cmml">𝐛</mi><mi id="S4.SS1.p6.4.m2.1.2.2.3" xref="S4.SS1.p6.4.m2.1.2.2.3.cmml">i</mi><mrow id="S4.SS1.p6.4.m2.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p6.4.m2.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p6.4.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p6.4.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p6.4.m2.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p6.4.m2.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.SS1.p6.4.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p6.4.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p6.4.m2.1b"><apply id="S4.SS1.p6.4.m2.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.4.m2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p6.4.m2.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.4.m2.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p6.4.m2.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.4.m2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p6.4.m2.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.4.m2.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p6.4.m2.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.4.m2.1.2.2.2">𝐛</ci><ci id="S4.SS1.p6.4.m2.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p6.4.m2.1.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S4.SS1.p6.4.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.4.m2.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p6.4.m2.1c">\mathbf{b}_{i}^{(n)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p6.4.m2.1d">bold_b start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> stand for the matrix of weights and vector of offsets of the <math alttext="i" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p6.5.m3.1"><semantics id="S4.SS1.p6.5.m3.1a"><mi id="S4.SS1.p6.5.m3.1.1" xref="S4.SS1.p6.5.m3.1.1.cmml">i</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p6.5.m3.1b"><ci id="S4.SS1.p6.5.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.5.m3.1.1">𝑖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p6.5.m3.1c">i</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p6.5.m3.1d">italic_i</annotation></semantics></math>th NN layer at node <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p6.6.m4.1"><semantics id="S4.SS1.p6.6.m4.1a"><mi id="S4.SS1.p6.6.m4.1.1" xref="S4.SS1.p6.6.m4.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p6.6.m4.1b"><ci id="S4.SS1.p6.6.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.6.m4.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p6.6.m4.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p6.6.m4.1d">italic_n</annotation></semantics></math>, respectively.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.p7"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p7.5"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S4.F3.sf1" title="In Figure 3 ‣ IV-A Network of pendulums ‣ IV Numerical Tests ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Figure</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">3(a)</span></a> shows that <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#alg1" title="In III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Algorithm</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>, with <math alttext="(D,J_{C})=(500,50)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p7.1.m1.4"><semantics id="S4.SS1.p7.1.m1.4a"><mrow id="S4.SS1.p7.1.m1.4.4" xref="S4.SS1.p7.1.m1.4.4.cmml"><mrow id="S4.SS1.p7.1.m1.4.4.1.1" xref="S4.SS1.p7.1.m1.4.4.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p7.1.m1.4.4.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p7.1.m1.4.4.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p7.1.m1.1.1" xref="S4.SS1.p7.1.m1.1.1.cmml">D</mi><mo id="S4.SS1.p7.1.m1.4.4.1.1.3" xref="S4.SS1.p7.1.m1.4.4.1.2.cmml">,</mo><msub id="S4.SS1.p7.1.m1.4.4.1.1.1" xref="S4.SS1.p7.1.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p7.1.m1.4.4.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p7.1.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">J</mi><mi id="S4.SS1.p7.1.m1.4.4.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p7.1.m1.4.4.1.1.1.3.cmml">C</mi></msub><mo id="S4.SS1.p7.1.m1.4.4.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.SS1.p7.1.m1.4.4.1.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.SS1.p7.1.m1.4.4.2" xref="S4.SS1.p7.1.m1.4.4.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS1.p7.1.m1.4.4.3.2" xref="S4.SS1.p7.1.m1.4.4.3.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p7.1.m1.4.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p7.1.m1.4.4.3.1.cmml">(</mo><mn id="S4.SS1.p7.1.m1.2.2" xref="S4.SS1.p7.1.m1.2.2.cmml">500</mn><mo id="S4.SS1.p7.1.m1.4.4.3.2.2" xref="S4.SS1.p7.1.m1.4.4.3.1.cmml">,</mo><mn id="S4.SS1.p7.1.m1.3.3" xref="S4.SS1.p7.1.m1.3.3.cmml">50</mn><mo id="S4.SS1.p7.1.m1.4.4.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.SS1.p7.1.m1.4.4.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p7.1.m1.4b"><apply id="S4.SS1.p7.1.m1.4.4.cmml" xref="S4.SS1.p7.1.m1.4.4"><eq id="S4.SS1.p7.1.m1.4.4.2.cmml" xref="S4.SS1.p7.1.m1.4.4.2"></eq><interval closure="open" id="S4.SS1.p7.1.m1.4.4.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p7.1.m1.4.4.1.1"><ci id="S4.SS1.p7.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p7.1.m1.1.1">𝐷</ci><apply id="S4.SS1.p7.1.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p7.1.m1.4.4.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p7.1.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p7.1.m1.4.4.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p7.1.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p7.1.m1.4.4.1.1.1.2">𝐽</ci><ci id="S4.SS1.p7.1.m1.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p7.1.m1.4.4.1.1.1.3">𝐶</ci></apply></interval><interval closure="open" id="S4.SS1.p7.1.m1.4.4.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p7.1.m1.4.4.3.2"><cn id="S4.SS1.p7.1.m1.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p7.1.m1.2.2">500</cn><cn id="S4.SS1.p7.1.m1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p7.1.m1.3.3">50</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p7.1.m1.4c">(D,J_{C})=(500,50)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p7.1.m1.4d">( italic_D , italic_J start_POSTSUBSCRIPT italic_C end_POSTSUBSCRIPT ) = ( 500 , 50 )</annotation></semantics></math> and <math alttext="(D,J_{C})=(300,50)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p7.2.m2.4"><semantics id="S4.SS1.p7.2.m2.4a"><mrow id="S4.SS1.p7.2.m2.4.4" xref="S4.SS1.p7.2.m2.4.4.cmml"><mrow id="S4.SS1.p7.2.m2.4.4.1.1" xref="S4.SS1.p7.2.m2.4.4.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p7.2.m2.4.4.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p7.2.m2.4.4.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p7.2.m2.1.1" xref="S4.SS1.p7.2.m2.1.1.cmml">D</mi><mo id="S4.SS1.p7.2.m2.4.4.1.1.3" xref="S4.SS1.p7.2.m2.4.4.1.2.cmml">,</mo><msub id="S4.SS1.p7.2.m2.4.4.1.1.1" xref="S4.SS1.p7.2.m2.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p7.2.m2.4.4.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p7.2.m2.4.4.1.1.1.2.cmml">J</mi><mi id="S4.SS1.p7.2.m2.4.4.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p7.2.m2.4.4.1.1.1.3.cmml">C</mi></msub><mo id="S4.SS1.p7.2.m2.4.4.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.SS1.p7.2.m2.4.4.1.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.SS1.p7.2.m2.4.4.2" xref="S4.SS1.p7.2.m2.4.4.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS1.p7.2.m2.4.4.3.2" xref="S4.SS1.p7.2.m2.4.4.3.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p7.2.m2.4.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p7.2.m2.4.4.3.1.cmml">(</mo><mn id="S4.SS1.p7.2.m2.2.2" xref="S4.SS1.p7.2.m2.2.2.cmml">300</mn><mo id="S4.SS1.p7.2.m2.4.4.3.2.2" xref="S4.SS1.p7.2.m2.4.4.3.1.cmml">,</mo><mn id="S4.SS1.p7.2.m2.3.3" xref="S4.SS1.p7.2.m2.3.3.cmml">50</mn><mo id="S4.SS1.p7.2.m2.4.4.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.SS1.p7.2.m2.4.4.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p7.2.m2.4b"><apply id="S4.SS1.p7.2.m2.4.4.cmml" xref="S4.SS1.p7.2.m2.4.4"><eq id="S4.SS1.p7.2.m2.4.4.2.cmml" xref="S4.SS1.p7.2.m2.4.4.2"></eq><interval closure="open" id="S4.SS1.p7.2.m2.4.4.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p7.2.m2.4.4.1.1"><ci id="S4.SS1.p7.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p7.2.m2.1.1">𝐷</ci><apply id="S4.SS1.p7.2.m2.4.4.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p7.2.m2.4.4.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p7.2.m2.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p7.2.m2.4.4.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p7.2.m2.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p7.2.m2.4.4.1.1.1.2">𝐽</ci><ci id="S4.SS1.p7.2.m2.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p7.2.m2.4.4.1.1.1.3">𝐶</ci></apply></interval><interval closure="open" id="S4.SS1.p7.2.m2.4.4.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p7.2.m2.4.4.3.2"><cn id="S4.SS1.p7.2.m2.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p7.2.m2.2.2">300</cn><cn id="S4.SS1.p7.2.m2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p7.2.m2.3.3">50</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p7.2.m2.4c">(D,J_{C})=(300,50)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p7.2.m2.4d">( italic_D , italic_J start_POSTSUBSCRIPT italic_C end_POSTSUBSCRIPT ) = ( 300 , 50 )</annotation></semantics></math>, outperforms all other methods in terms of the episodic loss (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S4.E26" title="Equation 26 ‣ IV-A Network of pendulums ‣ IV Numerical Tests ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">26</span></a>), as these configurations are positioned closest to the left and bottom edges of the figure. However, a trade-off arises. Reducing the RFF dimension <math alttext="D" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p7.3.m3.1"><semantics id="S4.SS1.p7.3.m3.1a"><mi id="S4.SS1.p7.3.m3.1.1" xref="S4.SS1.p7.3.m3.1.1.cmml">D</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p7.3.m3.1b"><ci id="S4.SS1.p7.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p7.3.m3.1.1">𝐷</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p7.3.m3.1c">D</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p7.3.m3.1d">italic_D</annotation></semantics></math> from <math alttext="500" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p7.4.m4.1"><semantics id="S4.SS1.p7.4.m4.1a"><mn id="S4.SS1.p7.4.m4.1.1" xref="S4.SS1.p7.4.m4.1.1.cmml">500</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p7.4.m4.1b"><cn id="S4.SS1.p7.4.m4.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p7.4.m4.1.1">500</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p7.4.m4.1c">500</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p7.4.m4.1d">500</annotation></semantics></math> to <math alttext="300" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p7.5.m5.1"><semantics id="S4.SS1.p7.5.m5.1a"><mn id="S4.SS1.p7.5.m5.1.1" xref="S4.SS1.p7.5.m5.1.1.cmml">300</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p7.5.m5.1b"><cn id="S4.SS1.p7.5.m5.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p7.5.m5.1.1">300</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p7.5.m5.1c">300</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p7.5.m5.1d">300</annotation></semantics></math> decreases the cumulative communication cost needed for the curve to reach its “steady state,” since fewer parameters are communicated among agents. On the other hand, the value of the steady-state loss is increased, as using fewer parameters reduces the RFF space’s ability to adequately approximate Q-functions.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.p8"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p8.2">It is also important to note that D-TD[ADMM], introduced here to solve (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S2.E4" title="Equation 4 ‣ II-B General assumptions for the decentralized setting ‣ II Distributed Reinforcement Learning ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a>), achieves the same loss-value level as <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#alg1" title="In III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Algorithm</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> with <math alttext="(D,J_{C})=(500,50)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p8.1.m1.4"><semantics id="S4.SS1.p8.1.m1.4a"><mrow id="S4.SS1.p8.1.m1.4.4" xref="S4.SS1.p8.1.m1.4.4.cmml"><mrow id="S4.SS1.p8.1.m1.4.4.1.1" xref="S4.SS1.p8.1.m1.4.4.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p8.1.m1.4.4.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p8.1.m1.4.4.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p8.1.m1.1.1" xref="S4.SS1.p8.1.m1.1.1.cmml">D</mi><mo id="S4.SS1.p8.1.m1.4.4.1.1.3" xref="S4.SS1.p8.1.m1.4.4.1.2.cmml">,</mo><msub id="S4.SS1.p8.1.m1.4.4.1.1.1" xref="S4.SS1.p8.1.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p8.1.m1.4.4.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p8.1.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">J</mi><mi id="S4.SS1.p8.1.m1.4.4.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p8.1.m1.4.4.1.1.1.3.cmml">C</mi></msub><mo id="S4.SS1.p8.1.m1.4.4.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.SS1.p8.1.m1.4.4.1.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.SS1.p8.1.m1.4.4.2" xref="S4.SS1.p8.1.m1.4.4.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS1.p8.1.m1.4.4.3.2" xref="S4.SS1.p8.1.m1.4.4.3.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p8.1.m1.4.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p8.1.m1.4.4.3.1.cmml">(</mo><mn id="S4.SS1.p8.1.m1.2.2" xref="S4.SS1.p8.1.m1.2.2.cmml">500</mn><mo id="S4.SS1.p8.1.m1.4.4.3.2.2" xref="S4.SS1.p8.1.m1.4.4.3.1.cmml">,</mo><mn id="S4.SS1.p8.1.m1.3.3" xref="S4.SS1.p8.1.m1.3.3.cmml">50</mn><mo id="S4.SS1.p8.1.m1.4.4.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.SS1.p8.1.m1.4.4.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p8.1.m1.4b"><apply id="S4.SS1.p8.1.m1.4.4.cmml" xref="S4.SS1.p8.1.m1.4.4"><eq id="S4.SS1.p8.1.m1.4.4.2.cmml" xref="S4.SS1.p8.1.m1.4.4.2"></eq><interval closure="open" id="S4.SS1.p8.1.m1.4.4.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p8.1.m1.4.4.1.1"><ci id="S4.SS1.p8.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p8.1.m1.1.1">𝐷</ci><apply id="S4.SS1.p8.1.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p8.1.m1.4.4.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p8.1.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p8.1.m1.4.4.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p8.1.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p8.1.m1.4.4.1.1.1.2">𝐽</ci><ci id="S4.SS1.p8.1.m1.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p8.1.m1.4.4.1.1.1.3">𝐶</ci></apply></interval><interval closure="open" id="S4.SS1.p8.1.m1.4.4.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p8.1.m1.4.4.3.2"><cn id="S4.SS1.p8.1.m1.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p8.1.m1.2.2">500</cn><cn id="S4.SS1.p8.1.m1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p8.1.m1.3.3">50</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p8.1.m1.4c">(D,J_{C})=(500,50)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p8.1.m1.4d">( italic_D , italic_J start_POSTSUBSCRIPT italic_C end_POSTSUBSCRIPT ) = ( 500 , 50 )</annotation></semantics></math>, but at the cost of significantly higher communication (more than double). Recall that in D-TD[ADMM], agents only communicate their Q-function information. Additionally, increasing the number of NN parameters in Gossip-NN “delays” convergence to a steady state, as more parameters are communicated among agents across <math alttext="\mathcal{G}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p8.2.m2.1"><semantics id="S4.SS1.p8.2.m2.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.SS1.p8.2.m2.1.1" xref="S4.SS1.p8.2.m2.1.1.cmml">𝒢</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p8.2.m2.1b"><ci id="S4.SS1.p8.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p8.2.m2.1.1">𝒢</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p8.2.m2.1c">\mathcal{G}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p8.2.m2.1d">caligraphic_G</annotation></semantics></math> per VI iteration. However, this increase leads to a slight improvement in the steady-state loss value, due to the enhanced Q-function approximation capacity provided by the larger number of NN parameters.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.p9"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p9.4"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S4.F3.sf2" title="In Figure 3 ‣ IV-A Network of pendulums ‣ IV Numerical Tests ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Figure</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">3(b)</span></a> illustrates the effect of the parameter <math alttext="J_{C}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p9.1.m1.1"><semantics id="S4.SS1.p9.1.m1.1a"><msub id="S4.SS1.p9.1.m1.1.1" xref="S4.SS1.p9.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p9.1.m1.1.1.2" xref="S4.SS1.p9.1.m1.1.1.2.cmml">J</mi><mi id="S4.SS1.p9.1.m1.1.1.3" xref="S4.SS1.p9.1.m1.1.1.3.cmml">C</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p9.1.m1.1b"><apply id="S4.SS1.p9.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p9.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p9.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p9.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p9.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p9.1.m1.1.1.2">𝐽</ci><ci id="S4.SS1.p9.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p9.1.m1.1.1.3">𝐶</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p9.1.m1.1c">J_{C}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p9.1.m1.1d">italic_J start_POSTSUBSCRIPT italic_C end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> in <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#alg1" title="In III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Algorithm</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> on the distance loss (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S4.E27" title="Equation 27 ‣ IV-A Network of pendulums ‣ IV Numerical Tests ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">27</span></a>). The curves confirm that as <math alttext="J_{C}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p9.2.m2.1"><semantics id="S4.SS1.p9.2.m2.1a"><msub id="S4.SS1.p9.2.m2.1.1" xref="S4.SS1.p9.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p9.2.m2.1.1.2" xref="S4.SS1.p9.2.m2.1.1.2.cmml">J</mi><mi id="S4.SS1.p9.2.m2.1.1.3" xref="S4.SS1.p9.2.m2.1.1.3.cmml">C</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p9.2.m2.1b"><apply id="S4.SS1.p9.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p9.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p9.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p9.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p9.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p9.2.m2.1.1.2">𝐽</ci><ci id="S4.SS1.p9.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p9.2.m2.1.1.3">𝐶</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p9.2.m2.1c">J_{C}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p9.2.m2.1d">italic_J start_POSTSUBSCRIPT italic_C end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> increases, <math alttext="\mathbf{C}_{l}^{(n)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p9.3.m3.1"><semantics id="S4.SS1.p9.3.m3.1a"><msubsup id="S4.SS1.p9.3.m3.1.2" xref="S4.SS1.p9.3.m3.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p9.3.m3.1.2.2.2" xref="S4.SS1.p9.3.m3.1.2.2.2.cmml">𝐂</mi><mi id="S4.SS1.p9.3.m3.1.2.2.3" xref="S4.SS1.p9.3.m3.1.2.2.3.cmml">l</mi><mrow id="S4.SS1.p9.3.m3.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p9.3.m3.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p9.3.m3.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p9.3.m3.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p9.3.m3.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p9.3.m3.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.SS1.p9.3.m3.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p9.3.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p9.3.m3.1b"><apply id="S4.SS1.p9.3.m3.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p9.3.m3.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p9.3.m3.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p9.3.m3.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p9.3.m3.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p9.3.m3.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p9.3.m3.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p9.3.m3.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p9.3.m3.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p9.3.m3.1.2.2.2">𝐂</ci><ci id="S4.SS1.p9.3.m3.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p9.3.m3.1.2.2.3">𝑙</ci></apply><ci id="S4.SS1.p9.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p9.3.m3.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p9.3.m3.1c">\mathbf{C}_{l}^{(n)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p9.3.m3.1d">bold_C start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is shared less frequently among neighbors via (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E20" title="Equation 20 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">20</span></a>) in the computation of (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E22.2" title="Equation 22b ‣ Equation 22 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">22b</span></a>), resulting in a smaller communication cost footprint. However, the robustness of <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#alg1" title="In III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Algorithm</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> to changes in <math alttext="J_{C}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p9.4.m4.1"><semantics id="S4.SS1.p9.4.m4.1a"><msub id="S4.SS1.p9.4.m4.1.1" xref="S4.SS1.p9.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p9.4.m4.1.1.2" xref="S4.SS1.p9.4.m4.1.1.2.cmml">J</mi><mi id="S4.SS1.p9.4.m4.1.1.3" xref="S4.SS1.p9.4.m4.1.1.3.cmml">C</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p9.4.m4.1b"><apply id="S4.SS1.p9.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p9.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p9.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p9.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p9.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p9.4.m4.1.1.2">𝐽</ci><ci id="S4.SS1.p9.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p9.4.m4.1.1.3">𝐶</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p9.4.m4.1c">J_{C}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p9.4.m4.1d">italic_J start_POSTSUBSCRIPT italic_C end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is noteworthy: the steady-state loss value appears unaffected by these variations.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.p10"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p10.5">Although each method employs different values of <math alttext="M" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p10.1.m1.1"><semantics id="S4.SS1.p10.1.m1.1a"><mi id="S4.SS1.p10.1.m1.1.1" xref="S4.SS1.p10.1.m1.1.1.cmml">M</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p10.1.m1.1b"><ci id="S4.SS1.p10.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p10.1.m1.1.1">𝑀</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p10.1.m1.1c">M</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p10.1.m1.1d">italic_M</annotation></semantics></math> to achieve consensus among agents between VI iterations (see <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.F1" title="In III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Figure</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> and <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S4.T1" title="In IV Numerical Tests ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Table</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">I</span></a>), to assess the consensus quality on a common platform, <math alttext="M" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p10.2.m2.1"><semantics id="S4.SS1.p10.2.m2.1a"><mi id="S4.SS1.p10.2.m2.1.1" xref="S4.SS1.p10.2.m2.1.1.cmml">M</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p10.2.m2.1b"><ci id="S4.SS1.p10.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p10.2.m2.1.1">𝑀</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p10.2.m2.1c">M</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p10.2.m2.1d">italic_M</annotation></semantics></math> is set to <math alttext="2000" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p10.3.m3.1"><semantics id="S4.SS1.p10.3.m3.1a"><mn id="S4.SS1.p10.3.m3.1.1" xref="S4.SS1.p10.3.m3.1.1.cmml">2000</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p10.3.m3.1b"><cn id="S4.SS1.p10.3.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p10.3.m3.1.1">2000</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p10.3.m3.1c">2000</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p10.3.m3.1d">2000</annotation></semantics></math> in <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S4.F3.sf3" title="In Figure 3 ‣ IV-A Network of pendulums ‣ IV Numerical Tests ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Figure</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">3(c)</span></a>. It is evident that <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#alg1" title="In III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Algorithm</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> achieves consensus quickly with low loss values in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S4.E28" title="Equation 28 ‣ IV-A Network of pendulums ‣ IV Numerical Tests ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">28</span></a>), supported theoretically by <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.I3.i2" title="In Theorem 5. ‣ III-C Performance analysis of Algorithm 1 ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Theorem</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">5(ii)</span></a>. This justifies the choice of <math alttext="M=50" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p10.4.m4.1"><semantics id="S4.SS1.p10.4.m4.1a"><mrow id="S4.SS1.p10.4.m4.1.1" xref="S4.SS1.p10.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p10.4.m4.1.1.2" xref="S4.SS1.p10.4.m4.1.1.2.cmml">M</mi><mo id="S4.SS1.p10.4.m4.1.1.1" xref="S4.SS1.p10.4.m4.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.SS1.p10.4.m4.1.1.3" xref="S4.SS1.p10.4.m4.1.1.3.cmml">50</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p10.4.m4.1b"><apply id="S4.SS1.p10.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p10.4.m4.1.1"><eq id="S4.SS1.p10.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p10.4.m4.1.1.1"></eq><ci id="S4.SS1.p10.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p10.4.m4.1.1.2">𝑀</ci><cn id="S4.SS1.p10.4.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p10.4.m4.1.1.3">50</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p10.4.m4.1c">M=50</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p10.4.m4.1d">italic_M = 50</annotation></semantics></math> in <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S4.T1" title="In IV Numerical Tests ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Table</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">I</span></a>, as there is no need to wait for <math alttext="2000" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p10.5.m5.1"><semantics id="S4.SS1.p10.5.m5.1a"><mn id="S4.SS1.p10.5.m5.1.1" xref="S4.SS1.p10.5.m5.1.1.cmml">2000</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p10.5.m5.1b"><cn id="S4.SS1.p10.5.m5.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p10.5.m5.1.1">2000</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p10.5.m5.1c">2000</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p10.5.m5.1d">2000</annotation></semantics></math> iterations before progressing to the next VI recursion (see <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.F1" title="In III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Figure</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>).</p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S4.SS2"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection"><span class="ltx_text" id="S4.SS2.5.1.1">IV-B</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.SS2.6.2">Network of cartpoles</span> </h3> <div class="ltx_para" id="S4.SS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p1.13">Similar to the setup in <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S4.SS1" title="IV-A Network of pendulums ‣ IV Numerical Tests ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Section</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag"><span class="ltx_text">IV-A</span></span></a>, a cartpole <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib39" title="">39</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib42" title="">42</a>]</cite> is assigned to each of the <math alttext="25" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.1.m1.1"><semantics id="S4.SS2.p1.1.m1.1a"><mn id="S4.SS2.p1.1.m1.1.1" xref="S4.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml">25</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.1.m1.1b"><cn id="S4.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p1.1.m1.1.1">25</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.1.m1.1c">25</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.1.m1.1d">25</annotation></semantics></math> agents on the <math alttext="5\times 5" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.2.m2.1"><semantics id="S4.SS2.p1.2.m2.1a"><mrow id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.cmml"><mn id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.2" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.2.cmml">5</mn><mo id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.cmml">×</mo><mn id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.3.cmml">5</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.2.m2.1b"><apply id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1"><times id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1"></times><cn id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.2">5</cn><cn id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.3">5</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.2.m2.1c">5\times 5</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.2.m2.1d">5 × 5</annotation></semantics></math> grid. A cartpole consists of a cart and a pole (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S4.F2.sf2" title="In Figure 2 ‣ IV-A Network of pendulums ‣ IV Numerical Tests ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Figure</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">2(b)</span></a>), with one end of the pole attached to the cart, which moves horizontally, while the other end is free to move. Following <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib39" title="">39</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib42" title="">42</a>]</cite>, the state of the cartpole at node <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.3.m3.1"><semantics id="S4.SS2.p1.3.m3.1a"><mi id="S4.SS2.p1.3.m3.1.1" xref="S4.SS2.p1.3.m3.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.3.m3.1b"><ci id="S4.SS2.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m3.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.3.m3.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.3.m3.1d">italic_n</annotation></semantics></math> is represented by the tuple <math alttext="(x^{(n)},v^{(n)},\theta^{(n)},\dot{\theta}^{(n)})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.4.m4.8"><semantics id="S4.SS2.p1.4.m4.8a"><mrow id="S4.SS2.p1.4.m4.8.8.4" xref="S4.SS2.p1.4.m4.8.8.5.cmml"><mo id="S4.SS2.p1.4.m4.8.8.4.5" stretchy="false" xref="S4.SS2.p1.4.m4.8.8.5.cmml">(</mo><msup id="S4.SS2.p1.4.m4.5.5.1.1" xref="S4.SS2.p1.4.m4.5.5.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.4.m4.5.5.1.1.2" xref="S4.SS2.p1.4.m4.5.5.1.1.2.cmml">x</mi><mrow id="S4.SS2.p1.4.m4.1.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.4.m4.5.5.1.1.cmml"><mo id="S4.SS2.p1.4.m4.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS2.p1.4.m4.5.5.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.SS2.p1.4.m4.1.1.1.1" xref="S4.SS2.p1.4.m4.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.SS2.p1.4.m4.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.p1.4.m4.5.5.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S4.SS2.p1.4.m4.8.8.4.6" xref="S4.SS2.p1.4.m4.8.8.5.cmml">,</mo><msup id="S4.SS2.p1.4.m4.6.6.2.2" xref="S4.SS2.p1.4.m4.6.6.2.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.4.m4.6.6.2.2.2" xref="S4.SS2.p1.4.m4.6.6.2.2.2.cmml">v</mi><mrow id="S4.SS2.p1.4.m4.2.2.1.3" xref="S4.SS2.p1.4.m4.6.6.2.2.cmml"><mo id="S4.SS2.p1.4.m4.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS2.p1.4.m4.6.6.2.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS2.p1.4.m4.2.2.1.1" xref="S4.SS2.p1.4.m4.2.2.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.SS2.p1.4.m4.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.p1.4.m4.6.6.2.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S4.SS2.p1.4.m4.8.8.4.7" xref="S4.SS2.p1.4.m4.8.8.5.cmml">,</mo><msup id="S4.SS2.p1.4.m4.7.7.3.3" xref="S4.SS2.p1.4.m4.7.7.3.3.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.4.m4.7.7.3.3.2" xref="S4.SS2.p1.4.m4.7.7.3.3.2.cmml">θ</mi><mrow id="S4.SS2.p1.4.m4.3.3.1.3" xref="S4.SS2.p1.4.m4.7.7.3.3.cmml"><mo id="S4.SS2.p1.4.m4.3.3.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS2.p1.4.m4.7.7.3.3.cmml">(</mo><mi id="S4.SS2.p1.4.m4.3.3.1.1" xref="S4.SS2.p1.4.m4.3.3.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.SS2.p1.4.m4.3.3.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.p1.4.m4.7.7.3.3.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S4.SS2.p1.4.m4.8.8.4.8" xref="S4.SS2.p1.4.m4.8.8.5.cmml">,</mo><msup id="S4.SS2.p1.4.m4.8.8.4.4" xref="S4.SS2.p1.4.m4.8.8.4.4.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS2.p1.4.m4.8.8.4.4.2" xref="S4.SS2.p1.4.m4.8.8.4.4.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.4.m4.8.8.4.4.2.2" xref="S4.SS2.p1.4.m4.8.8.4.4.2.2.cmml">θ</mi><mo id="S4.SS2.p1.4.m4.8.8.4.4.2.1" xref="S4.SS2.p1.4.m4.8.8.4.4.2.1.cmml">˙</mo></mover><mrow id="S4.SS2.p1.4.m4.4.4.1.3" xref="S4.SS2.p1.4.m4.8.8.4.4.cmml"><mo id="S4.SS2.p1.4.m4.4.4.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS2.p1.4.m4.8.8.4.4.cmml">(</mo><mi id="S4.SS2.p1.4.m4.4.4.1.1" xref="S4.SS2.p1.4.m4.4.4.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.SS2.p1.4.m4.4.4.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.p1.4.m4.8.8.4.4.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S4.SS2.p1.4.m4.8.8.4.9" stretchy="false" xref="S4.SS2.p1.4.m4.8.8.5.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.4.m4.8b"><vector id="S4.SS2.p1.4.m4.8.8.5.cmml" xref="S4.SS2.p1.4.m4.8.8.4"><apply id="S4.SS2.p1.4.m4.5.5.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.4.m4.5.5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.4.m4.5.5.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.4.m4.5.5.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.4.m4.5.5.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.4.m4.5.5.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S4.SS2.p1.4.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.4.m4.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S4.SS2.p1.4.m4.6.6.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.4.m4.6.6.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.4.m4.6.6.2.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.4.m4.6.6.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.4.m4.6.6.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.4.m4.6.6.2.2.2">𝑣</ci><ci id="S4.SS2.p1.4.m4.2.2.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.4.m4.2.2.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S4.SS2.p1.4.m4.7.7.3.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.4.m4.7.7.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.4.m4.7.7.3.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.4.m4.7.7.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.4.m4.7.7.3.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.4.m4.7.7.3.3.2">𝜃</ci><ci id="S4.SS2.p1.4.m4.3.3.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.4.m4.3.3.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S4.SS2.p1.4.m4.8.8.4.4.cmml" xref="S4.SS2.p1.4.m4.8.8.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.4.m4.8.8.4.4.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.4.m4.8.8.4.4">superscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p1.4.m4.8.8.4.4.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.4.m4.8.8.4.4.2"><ci id="S4.SS2.p1.4.m4.8.8.4.4.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.4.m4.8.8.4.4.2.1">˙</ci><ci id="S4.SS2.p1.4.m4.8.8.4.4.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.4.m4.8.8.4.4.2.2">𝜃</ci></apply><ci id="S4.SS2.p1.4.m4.4.4.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.4.m4.4.4.1.1">𝑛</ci></apply></vector></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.4.m4.8c">(x^{(n)},v^{(n)},\theta^{(n)},\dot{\theta}^{(n)})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.4.m4.8d">( italic_x start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT , italic_v start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT , italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT , over˙ start_ARG italic_θ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>, where <math alttext="x^{(n)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.5.m5.1"><semantics id="S4.SS2.p1.5.m5.1a"><msup id="S4.SS2.p1.5.m5.1.2" xref="S4.SS2.p1.5.m5.1.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.5.m5.1.2.2" xref="S4.SS2.p1.5.m5.1.2.2.cmml">x</mi><mrow id="S4.SS2.p1.5.m5.1.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.5.m5.1.2.cmml"><mo id="S4.SS2.p1.5.m5.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS2.p1.5.m5.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS2.p1.5.m5.1.1.1.1" xref="S4.SS2.p1.5.m5.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.SS2.p1.5.m5.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.p1.5.m5.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.5.m5.1b"><apply id="S4.SS2.p1.5.m5.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m5.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.5.m5.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m5.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.5.m5.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m5.1.2.2">𝑥</ci><ci id="S4.SS2.p1.5.m5.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m5.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.5.m5.1c">x^{(n)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.5.m5.1d">italic_x start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is the horizontal position of the cart, <math alttext="v^{(n)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.6.m6.1"><semantics id="S4.SS2.p1.6.m6.1a"><msup id="S4.SS2.p1.6.m6.1.2" xref="S4.SS2.p1.6.m6.1.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.6.m6.1.2.2" xref="S4.SS2.p1.6.m6.1.2.2.cmml">v</mi><mrow id="S4.SS2.p1.6.m6.1.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.6.m6.1.2.cmml"><mo id="S4.SS2.p1.6.m6.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS2.p1.6.m6.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS2.p1.6.m6.1.1.1.1" xref="S4.SS2.p1.6.m6.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.SS2.p1.6.m6.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.p1.6.m6.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.6.m6.1b"><apply id="S4.SS2.p1.6.m6.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.6.m6.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.6.m6.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.6.m6.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.6.m6.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.6.m6.1.2.2">𝑣</ci><ci id="S4.SS2.p1.6.m6.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.6.m6.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.6.m6.1c">v^{(n)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.6.m6.1d">italic_v start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is the cart’s velocity, <math alttext="\theta^{(n)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.7.m7.1"><semantics id="S4.SS2.p1.7.m7.1a"><msup id="S4.SS2.p1.7.m7.1.2" xref="S4.SS2.p1.7.m7.1.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.7.m7.1.2.2" xref="S4.SS2.p1.7.m7.1.2.2.cmml">θ</mi><mrow id="S4.SS2.p1.7.m7.1.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.7.m7.1.2.cmml"><mo id="S4.SS2.p1.7.m7.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS2.p1.7.m7.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS2.p1.7.m7.1.1.1.1" xref="S4.SS2.p1.7.m7.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.SS2.p1.7.m7.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.p1.7.m7.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.7.m7.1b"><apply id="S4.SS2.p1.7.m7.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.7.m7.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.7.m7.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.7.m7.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.7.m7.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.7.m7.1.2.2">𝜃</ci><ci id="S4.SS2.p1.7.m7.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.7.m7.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.7.m7.1c">\theta^{(n)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.7.m7.1d">italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is the angle between the pole’s current direction and its upright position (similar to the pendulum case), and <math alttext="\dot{\theta}^{(n)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.8.m8.1"><semantics id="S4.SS2.p1.8.m8.1a"><msup id="S4.SS2.p1.8.m8.1.2" xref="S4.SS2.p1.8.m8.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS2.p1.8.m8.1.2.2" xref="S4.SS2.p1.8.m8.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.8.m8.1.2.2.2" xref="S4.SS2.p1.8.m8.1.2.2.2.cmml">θ</mi><mo id="S4.SS2.p1.8.m8.1.2.2.1" xref="S4.SS2.p1.8.m8.1.2.2.1.cmml">˙</mo></mover><mrow id="S4.SS2.p1.8.m8.1.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.8.m8.1.2.cmml"><mo id="S4.SS2.p1.8.m8.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS2.p1.8.m8.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS2.p1.8.m8.1.1.1.1" xref="S4.SS2.p1.8.m8.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.SS2.p1.8.m8.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.p1.8.m8.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.8.m8.1b"><apply id="S4.SS2.p1.8.m8.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.8.m8.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.8.m8.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.8.m8.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p1.8.m8.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.8.m8.1.2.2"><ci id="S4.SS2.p1.8.m8.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.8.m8.1.2.2.1">˙</ci><ci id="S4.SS2.p1.8.m8.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.8.m8.1.2.2.2">𝜃</ci></apply><ci id="S4.SS2.p1.8.m8.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.8.m8.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.8.m8.1c">\dot{\theta}^{(n)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.8.m8.1d">over˙ start_ARG italic_θ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is the angular velocity. The goal of agent <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.9.m9.1"><semantics id="S4.SS2.p1.9.m9.1a"><mi id="S4.SS2.p1.9.m9.1.1" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.9.m9.1b"><ci id="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.9.m9.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.9.m9.1d">italic_n</annotation></semantics></math> is to apply a force/action <math alttext="a\in\mathcal{A}\coloneqq\{-10,10\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.10.m10.2"><semantics id="S4.SS2.p1.10.m10.2a"><mrow id="S4.SS2.p1.10.m10.2.2" xref="S4.SS2.p1.10.m10.2.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.10.m10.2.2.3" xref="S4.SS2.p1.10.m10.2.2.3.cmml">a</mi><mo id="S4.SS2.p1.10.m10.2.2.4" xref="S4.SS2.p1.10.m10.2.2.4.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.SS2.p1.10.m10.2.2.5" xref="S4.SS2.p1.10.m10.2.2.5.cmml">𝒜</mi><mo id="S4.SS2.p1.10.m10.2.2.6" xref="S4.SS2.p1.10.m10.2.2.6.cmml">≔</mo><mrow id="S4.SS2.p1.10.m10.2.2.1.1" xref="S4.SS2.p1.10.m10.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.SS2.p1.10.m10.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.p1.10.m10.2.2.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S4.SS2.p1.10.m10.2.2.1.1.1" xref="S4.SS2.p1.10.m10.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS2.p1.10.m10.2.2.1.1.1a" xref="S4.SS2.p1.10.m10.2.2.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S4.SS2.p1.10.m10.2.2.1.1.1.2" xref="S4.SS2.p1.10.m10.2.2.1.1.1.2.cmml">10</mn></mrow><mo id="S4.SS2.p1.10.m10.2.2.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.10.m10.2.2.1.2.cmml">,</mo><mn id="S4.SS2.p1.10.m10.1.1" xref="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.cmml">10</mn><mo id="S4.SS2.p1.10.m10.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.SS2.p1.10.m10.2.2.1.2.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.10.m10.2b"><apply id="S4.SS2.p1.10.m10.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.10.m10.2.2"><and id="S4.SS2.p1.10.m10.2.2a.cmml" xref="S4.SS2.p1.10.m10.2.2"></and><apply id="S4.SS2.p1.10.m10.2.2b.cmml" xref="S4.SS2.p1.10.m10.2.2"><in id="S4.SS2.p1.10.m10.2.2.4.cmml" xref="S4.SS2.p1.10.m10.2.2.4"></in><ci id="S4.SS2.p1.10.m10.2.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.10.m10.2.2.3">𝑎</ci><ci id="S4.SS2.p1.10.m10.2.2.5.cmml" xref="S4.SS2.p1.10.m10.2.2.5">𝒜</ci></apply><apply id="S4.SS2.p1.10.m10.2.2c.cmml" xref="S4.SS2.p1.10.m10.2.2"><ci id="S4.SS2.p1.10.m10.2.2.6.cmml" xref="S4.SS2.p1.10.m10.2.2.6">≔</ci><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S4.SS2.p1.10.m10.2.2.5.cmml" id="S4.SS2.p1.10.m10.2.2d.cmml" xref="S4.SS2.p1.10.m10.2.2"></share><set id="S4.SS2.p1.10.m10.2.2.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.10.m10.2.2.1.1"><apply id="S4.SS2.p1.10.m10.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.10.m10.2.2.1.1.1"><minus id="S4.SS2.p1.10.m10.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.10.m10.2.2.1.1.1"></minus><cn id="S4.SS2.p1.10.m10.2.2.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p1.10.m10.2.2.1.1.1.2">10</cn></apply><cn id="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p1.10.m10.1.1">10</cn></set></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.10.m10.2c">a\in\mathcal{A}\coloneqq\{-10,10\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.10.m10.2d">italic_a ∈ caligraphic_A ≔ { - 10 , 10 }</annotation></semantics></math> to the cart, moving it horizontally such that <math alttext="-B_{x}\leq x^{(n)}\leq B_{x}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.11.m11.1"><semantics id="S4.SS2.p1.11.m11.1a"><mrow id="S4.SS2.p1.11.m11.1.2" xref="S4.SS2.p1.11.m11.1.2.cmml"><mrow id="S4.SS2.p1.11.m11.1.2.2" xref="S4.SS2.p1.11.m11.1.2.2.cmml"><mo id="S4.SS2.p1.11.m11.1.2.2a" xref="S4.SS2.p1.11.m11.1.2.2.cmml">−</mo><msub id="S4.SS2.p1.11.m11.1.2.2.2" xref="S4.SS2.p1.11.m11.1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.11.m11.1.2.2.2.2" xref="S4.SS2.p1.11.m11.1.2.2.2.2.cmml">B</mi><mi id="S4.SS2.p1.11.m11.1.2.2.2.3" xref="S4.SS2.p1.11.m11.1.2.2.2.3.cmml">x</mi></msub></mrow><mo id="S4.SS2.p1.11.m11.1.2.3" xref="S4.SS2.p1.11.m11.1.2.3.cmml">≤</mo><msup id="S4.SS2.p1.11.m11.1.2.4" xref="S4.SS2.p1.11.m11.1.2.4.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.11.m11.1.2.4.2" xref="S4.SS2.p1.11.m11.1.2.4.2.cmml">x</mi><mrow id="S4.SS2.p1.11.m11.1.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.11.m11.1.2.4.cmml"><mo id="S4.SS2.p1.11.m11.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS2.p1.11.m11.1.2.4.cmml">(</mo><mi id="S4.SS2.p1.11.m11.1.1.1.1" xref="S4.SS2.p1.11.m11.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.SS2.p1.11.m11.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.p1.11.m11.1.2.4.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S4.SS2.p1.11.m11.1.2.5" xref="S4.SS2.p1.11.m11.1.2.5.cmml">≤</mo><msub id="S4.SS2.p1.11.m11.1.2.6" xref="S4.SS2.p1.11.m11.1.2.6.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.11.m11.1.2.6.2" xref="S4.SS2.p1.11.m11.1.2.6.2.cmml">B</mi><mi id="S4.SS2.p1.11.m11.1.2.6.3" xref="S4.SS2.p1.11.m11.1.2.6.3.cmml">x</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.11.m11.1b"><apply id="S4.SS2.p1.11.m11.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.11.m11.1.2"><and id="S4.SS2.p1.11.m11.1.2a.cmml" xref="S4.SS2.p1.11.m11.1.2"></and><apply id="S4.SS2.p1.11.m11.1.2b.cmml" xref="S4.SS2.p1.11.m11.1.2"><leq id="S4.SS2.p1.11.m11.1.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.11.m11.1.2.3"></leq><apply id="S4.SS2.p1.11.m11.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.11.m11.1.2.2"><minus id="S4.SS2.p1.11.m11.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.11.m11.1.2.2"></minus><apply id="S4.SS2.p1.11.m11.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.11.m11.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.11.m11.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.11.m11.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.11.m11.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.11.m11.1.2.2.2.2">𝐵</ci><ci id="S4.SS2.p1.11.m11.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.11.m11.1.2.2.2.3">𝑥</ci></apply></apply><apply id="S4.SS2.p1.11.m11.1.2.4.cmml" xref="S4.SS2.p1.11.m11.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.11.m11.1.2.4.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.11.m11.1.2.4">superscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.11.m11.1.2.4.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.11.m11.1.2.4.2">𝑥</ci><ci id="S4.SS2.p1.11.m11.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.11.m11.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></apply><apply id="S4.SS2.p1.11.m11.1.2c.cmml" xref="S4.SS2.p1.11.m11.1.2"><leq id="S4.SS2.p1.11.m11.1.2.5.cmml" xref="S4.SS2.p1.11.m11.1.2.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S4.SS2.p1.11.m11.1.2.4.cmml" id="S4.SS2.p1.11.m11.1.2d.cmml" xref="S4.SS2.p1.11.m11.1.2"></share><apply id="S4.SS2.p1.11.m11.1.2.6.cmml" xref="S4.SS2.p1.11.m11.1.2.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.11.m11.1.2.6.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.11.m11.1.2.6">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.11.m11.1.2.6.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.11.m11.1.2.6.2">𝐵</ci><ci id="S4.SS2.p1.11.m11.1.2.6.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.11.m11.1.2.6.3">𝑥</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.11.m11.1c">-B_{x}\leq x^{(n)}\leq B_{x}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.11.m11.1d">- italic_B start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT ≤ italic_x start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ≤ italic_B start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="-B_{\theta}\leq\theta^{(n)}\leq B_{\theta}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.12.m12.1"><semantics id="S4.SS2.p1.12.m12.1a"><mrow id="S4.SS2.p1.12.m12.1.2" xref="S4.SS2.p1.12.m12.1.2.cmml"><mrow id="S4.SS2.p1.12.m12.1.2.2" xref="S4.SS2.p1.12.m12.1.2.2.cmml"><mo id="S4.SS2.p1.12.m12.1.2.2a" xref="S4.SS2.p1.12.m12.1.2.2.cmml">−</mo><msub id="S4.SS2.p1.12.m12.1.2.2.2" xref="S4.SS2.p1.12.m12.1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.12.m12.1.2.2.2.2" xref="S4.SS2.p1.12.m12.1.2.2.2.2.cmml">B</mi><mi id="S4.SS2.p1.12.m12.1.2.2.2.3" xref="S4.SS2.p1.12.m12.1.2.2.2.3.cmml">θ</mi></msub></mrow><mo id="S4.SS2.p1.12.m12.1.2.3" xref="S4.SS2.p1.12.m12.1.2.3.cmml">≤</mo><msup id="S4.SS2.p1.12.m12.1.2.4" xref="S4.SS2.p1.12.m12.1.2.4.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.12.m12.1.2.4.2" 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id="S4.SS2.p1.12.m12.1.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.12.m12.1.2.3"></leq><apply id="S4.SS2.p1.12.m12.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.12.m12.1.2.2"><minus id="S4.SS2.p1.12.m12.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.12.m12.1.2.2"></minus><apply id="S4.SS2.p1.12.m12.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.12.m12.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.12.m12.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.12.m12.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.12.m12.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.12.m12.1.2.2.2.2">𝐵</ci><ci id="S4.SS2.p1.12.m12.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.12.m12.1.2.2.2.3">𝜃</ci></apply></apply><apply id="S4.SS2.p1.12.m12.1.2.4.cmml" xref="S4.SS2.p1.12.m12.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.12.m12.1.2.4.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.12.m12.1.2.4">superscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.12.m12.1.2.4.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.12.m12.1.2.4.2">𝜃</ci><ci id="S4.SS2.p1.12.m12.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.12.m12.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></apply><apply id="S4.SS2.p1.12.m12.1.2c.cmml" xref="S4.SS2.p1.12.m12.1.2"><leq id="S4.SS2.p1.12.m12.1.2.5.cmml" xref="S4.SS2.p1.12.m12.1.2.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S4.SS2.p1.12.m12.1.2.4.cmml" id="S4.SS2.p1.12.m12.1.2d.cmml" xref="S4.SS2.p1.12.m12.1.2"></share><apply id="S4.SS2.p1.12.m12.1.2.6.cmml" xref="S4.SS2.p1.12.m12.1.2.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.12.m12.1.2.6.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.12.m12.1.2.6">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.12.m12.1.2.6.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.12.m12.1.2.6.2">𝐵</ci><ci id="S4.SS2.p1.12.m12.1.2.6.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.12.m12.1.2.6.3">𝜃</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.12.m12.1c">-B_{\theta}\leq\theta^{(n)}\leq B_{\theta}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.12.m12.1d">- italic_B start_POSTSUBSCRIPT italic_θ end_POSTSUBSCRIPT ≤ italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ≤ italic_B start_POSTSUBSCRIPT italic_θ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, for some <math alttext="B_{x},B_{\theta}\in\mathbb{R}_{++}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.13.m13.2"><semantics id="S4.SS2.p1.13.m13.2a"><mrow id="S4.SS2.p1.13.m13.2.2" xref="S4.SS2.p1.13.m13.2.2.cmml"><mrow id="S4.SS2.p1.13.m13.2.2.2.2" xref="S4.SS2.p1.13.m13.2.2.2.3.cmml"><msub id="S4.SS2.p1.13.m13.1.1.1.1.1" xref="S4.SS2.p1.13.m13.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.13.m13.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS2.p1.13.m13.1.1.1.1.1.2.cmml">B</mi><mi id="S4.SS2.p1.13.m13.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.13.m13.1.1.1.1.1.3.cmml">x</mi></msub><mo id="S4.SS2.p1.13.m13.2.2.2.2.3" xref="S4.SS2.p1.13.m13.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S4.SS2.p1.13.m13.2.2.2.2.2" xref="S4.SS2.p1.13.m13.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.13.m13.2.2.2.2.2.2" xref="S4.SS2.p1.13.m13.2.2.2.2.2.2.cmml">B</mi><mi id="S4.SS2.p1.13.m13.2.2.2.2.2.3" xref="S4.SS2.p1.13.m13.2.2.2.2.2.3.cmml">θ</mi></msub></mrow><mo id="S4.SS2.p1.13.m13.2.2.3" xref="S4.SS2.p1.13.m13.2.2.3.cmml">∈</mo><msub id="S4.SS2.p1.13.m13.2.2.4" xref="S4.SS2.p1.13.m13.2.2.4.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.13.m13.2.2.4.2" xref="S4.SS2.p1.13.m13.2.2.4.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S4.SS2.p1.13.m13.2.2.4.3" xref="S4.SS2.p1.13.m13.2.2.4.3.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.13.m13.2.2.4.3.2" xref="S4.SS2.p1.13.m13.2.2.4.3.2.cmml"></mi><mo id="S4.SS2.p1.13.m13.2.2.4.3.1" rspace="0em" xref="S4.SS2.p1.13.m13.2.2.4.3.1.cmml">+</mo><mo id="S4.SS2.p1.13.m13.2.2.4.3.3" lspace="0em" xref="S4.SS2.p1.13.m13.2.2.4.3.3.cmml">+</mo></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.13.m13.2b"><apply id="S4.SS2.p1.13.m13.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.13.m13.2.2"><in id="S4.SS2.p1.13.m13.2.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.13.m13.2.2.3"></in><list id="S4.SS2.p1.13.m13.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.13.m13.2.2.2.2"><apply id="S4.SS2.p1.13.m13.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.13.m13.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.13.m13.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.13.m13.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.13.m13.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.13.m13.1.1.1.1.1.2">𝐵</ci><ci id="S4.SS2.p1.13.m13.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.13.m13.1.1.1.1.1.3">𝑥</ci></apply><apply id="S4.SS2.p1.13.m13.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.13.m13.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.13.m13.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.13.m13.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.13.m13.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.13.m13.2.2.2.2.2.2">𝐵</ci><ci id="S4.SS2.p1.13.m13.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.13.m13.2.2.2.2.2.3">𝜃</ci></apply></list><apply id="S4.SS2.p1.13.m13.2.2.4.cmml" xref="S4.SS2.p1.13.m13.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.13.m13.2.2.4.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.13.m13.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.13.m13.2.2.4.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.13.m13.2.2.4.2">ℝ</ci><apply id="S4.SS2.p1.13.m13.2.2.4.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.13.m13.2.2.4.3"><plus id="S4.SS2.p1.13.m13.2.2.4.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.13.m13.2.2.4.3.1"></plus><csymbol cd="latexml" id="S4.SS2.p1.13.m13.2.2.4.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.13.m13.2.2.4.3.2">absent</csymbol><plus id="S4.SS2.p1.13.m13.2.2.4.3.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.13.m13.2.2.4.3.3"></plus></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.13.m13.2c">B_{x},B_{\theta}\in\mathbb{R}_{++}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.13.m13.2d">italic_B start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT , italic_B start_POSTSUBSCRIPT italic_θ end_POSTSUBSCRIPT ∈ blackboard_R start_POSTSUBSCRIPT + + end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib39" title="">39</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib42" title="">42</a>]</cite>. The collective objective is for all agents to collaborate by exchanging information with their neighbors to achieve their individual goals with the least possible communication cost.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS2.p2"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p2.2">To amplify separability between actions in the approximating RKHS <math alttext="\mathcal{H}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p2.1.m1.1"><semantics id="S4.SS2.p2.1.m1.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.SS2.p2.1.m1.1.1" xref="S4.SS2.p2.1.m1.1.1.cmml">ℋ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p2.1.m1.1b"><ci id="S4.SS2.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.1.m1.1.1">ℋ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p2.1.m1.1c">\mathcal{H}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p2.1.m1.1d">caligraphic_H</annotation></semantics></math>, the strategy of <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib8" title="">8</a>]</cite> is followed here and the generic state-action vector at node <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p2.2.m2.1"><semantics id="S4.SS2.p2.2.m2.1a"><mi id="S4.SS2.p2.2.m2.1.1" xref="S4.SS2.p2.2.m2.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p2.2.m2.1b"><ci id="S4.SS2.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.2.m2.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p2.2.m2.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p2.2.m2.1d">italic_n</annotation></semantics></math> is defined as</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A0.EGx39"> <tbody id="S4.Ex8"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathbf{z}^{(n)}\coloneqq\begin{cases}[\frac{x^{(n)}}{4},\frac{v^% {(n)}}{4},\theta^{(n)},\frac{\dot{\theta}^{(n)}}{4},0,0,0,0]^{\intercal}\,,&% \text{if}\ a=-10\,,\\ [0,0,0,0,\frac{x^{(n)}}{4},\frac{v^{(n)}}{4},\theta^{(n)},\frac{\dot{\theta}^{% (n)}}{4}]^{\intercal}\,,&\text{if}\ a=10\,,\end{cases}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex8.m1.5"><semantics id="S4.Ex8.m1.5a"><mrow id="S4.Ex8.m1.5.6" xref="S4.Ex8.m1.5.6.cmml"><msup id="S4.Ex8.m1.5.6.2" xref="S4.Ex8.m1.5.6.2.cmml"><mi id="S4.Ex8.m1.5.6.2.2" xref="S4.Ex8.m1.5.6.2.2.cmml">𝐳</mi><mrow id="S4.Ex8.m1.5.5.1.3" xref="S4.Ex8.m1.5.6.2.cmml"><mo id="S4.Ex8.m1.5.5.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.Ex8.m1.5.6.2.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex8.m1.5.5.1.1" xref="S4.Ex8.m1.5.5.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.Ex8.m1.5.5.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.Ex8.m1.5.6.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S4.Ex8.m1.5.6.1" xref="S4.Ex8.m1.5.6.1.cmml">≔</mo><mrow id="S4.Ex8.m1.4.4a" xref="S4.Ex8.m1.5.6.3.1.cmml"><mo id="S4.Ex8.m1.4.4a.5" xref="S4.Ex8.m1.5.6.3.1.1.cmml">{</mo><mtable columnspacing="5pt" id="S4.Ex8.m1.4.4.4a" rowspacing="0pt" xref="S4.Ex8.m1.5.6.3.1.cmml"><mtr id="S4.Ex8.m1.4.4.4aa" xref="S4.Ex8.m1.5.6.3.1.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.Ex8.m1.4.4.4ab" xref="S4.Ex8.m1.5.6.3.1.cmml"><mrow id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.9" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.9.1.cmml"><msup id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.9.1" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.9.1.cmml"><mrow id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.9.1.1.1" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.9.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.9.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.9.1.1.2.cmml">[</mo><mfrac id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">x</mi><mrow id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mn id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">4</mn></mfrac><mo id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.9.1.1.1.3" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.9.1.1.2.cmml">,</mo><mfrac id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msup id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"><mi id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.cmml">v</mi><mrow id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"><mo id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mn id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">4</mn></mfrac><mo id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.9.1.1.1.4" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.9.1.1.2.cmml">,</mo><msup id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.9.1.1.1.1" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.9.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.9.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.9.1.1.1.1.2.cmml">θ</mi><mrow id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.9.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.9.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.9.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.9.1.1.1.5" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.9.1.1.2.cmml">,</mo><mfrac id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><msup id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.4.1" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.3" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.3.2" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.3.2.cmml">θ</mi><mo id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.3.1" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.3.1.cmml">˙</mo></mover><mrow id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.1.3" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml"><mo id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.1.1" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mn id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">4</mn></mfrac><mo id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.9.1.1.1.6" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.9.1.1.2.cmml">,</mo><mn id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.5" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.5.cmml">0</mn><mo id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.9.1.1.1.7" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.9.1.1.2.cmml">,</mo><mn id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.6" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.6.cmml">0</mn><mo id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.9.1.1.1.8" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.9.1.1.2.cmml">,</mo><mn id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.7" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.7.cmml">0</mn><mo id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.9.1.1.1.9" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.9.1.1.2.cmml">,</mo><mn id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.8" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.8.cmml">0</mn><mo id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.9.1.1.1.10" stretchy="false" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.9.1.1.2.cmml">]</mo></mrow><mo id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.9.1.3" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.9.1.3.cmml">⊺</mo></msup><mo id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.9.2" lspace="0.170em" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.9.1.cmml">,</mo></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.Ex8.m1.4.4.4ac" xref="S4.Ex8.m1.5.6.3.1.cmml"><mrow id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.1.1" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mtext id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2a.cmml">if</mtext><mo id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.1" lspace="0.500em" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml">a</mi></mrow><mo id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3a" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">10</mn></mrow></mrow><mo id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.1.1.2" lspace="0.170em" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">,</mo></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.Ex8.m1.4.4.4ad" 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xref="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.8.cmml">0</mn><mo id="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.9.1.1.1.6" xref="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.9.1.1.2.cmml">,</mo><mfrac id="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.1" xref="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.1.cmml"><msup id="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.1.1" xref="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.3.cmml">x</mi><mrow id="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mn id="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.1.3" xref="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.1.3.cmml">4</mn></mfrac><mo id="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.9.1.1.1.7" xref="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.9.1.1.2.cmml">,</mo><mfrac id="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.2" xref="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.2.cmml"><msup id="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.2.1" xref="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.cmml"><mi id="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.3" xref="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.3.cmml">v</mi><mrow id="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.cmml"><mo id="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1" xref="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mn id="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.2.3" xref="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.cmml">4</mn></mfrac><mo id="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.9.1.1.1.8" xref="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.9.1.1.2.cmml">,</mo><msup id="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.9.1.1.1.1" xref="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.9.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.9.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.9.1.1.1.1.2.cmml">θ</mi><mrow id="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.3.1.3" 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xref="S4.Ex8.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.2.cmml"><mtext id="S4.Ex8.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex8.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.2.2a.cmml">if</mtext><mo id="S4.Ex8.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.2.1" lspace="0.500em" xref="S4.Ex8.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex8.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex8.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.2.3.cmml">a</mi></mrow><mo id="S4.Ex8.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1" xref="S4.Ex8.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.Ex8.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex8.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.3.cmml">10</mn></mrow><mo id="S4.Ex8.m1.4.4.4.4.2.1.1.2" lspace="0.170em" xref="S4.Ex8.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.cmml">,</mo></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex8.m1.5b"><apply id="S4.Ex8.m1.5.6.cmml" xref="S4.Ex8.m1.5.6"><ci id="S4.Ex8.m1.5.6.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.5.6.1">≔</ci><apply id="S4.Ex8.m1.5.6.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.5.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex8.m1.5.6.2.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.5.6.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex8.m1.5.6.2.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.5.6.2.2">𝐳</ci><ci id="S4.Ex8.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.5.5.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S4.Ex8.m1.5.6.3.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.4.4a"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex8.m1.5.6.3.1.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.4.4a.5">cases</csymbol><apply id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.9.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.9"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.9.1.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.9">superscript</csymbol><list id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.9.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.9.1.1.1"><apply id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1"><divide id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1"></divide><apply id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑥</ci><ci id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><cn id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">4</cn></apply><apply id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2"><divide id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2"></divide><apply id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.1">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3">𝑣</ci><ci id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><cn id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">4</cn></apply><apply id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.9.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.9.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.9.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.9.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.9.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.9.1.1.1.1.2">𝜃</ci><ci id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.4"><divide id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.4"></divide><apply id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.4.1">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.3.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.3"><ci id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.3.1">˙</ci><ci id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.3.2">𝜃</ci></apply><ci id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><cn id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.4.3">4</cn></apply><cn id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.5.cmml" type="integer" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.5">0</cn><cn id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.6.cmml" type="integer" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.6">0</cn><cn id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.7.cmml" type="integer" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.7">0</cn><cn id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.8.cmml" type="integer" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.8">0</cn></list><ci id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.9.1.3.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.9.1.3">⊺</ci></apply><apply id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.1.1"><eq id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2"><times id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.1"></times><ci id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2a.cmml" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2"><mtext id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2">if</mtext></ci><ci id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3">𝑎</ci></apply><apply id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3"><minus id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3"></minus><cn id="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex8.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2">10</cn></apply></apply><apply id="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.9.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.9"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.9.1.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.9">superscript</csymbol><list id="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.9.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.9.1.1.1"><cn id="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.5.cmml" type="integer" xref="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.5">0</cn><cn id="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.6.cmml" type="integer" xref="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.6">0</cn><cn id="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.7.cmml" type="integer" xref="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.7">0</cn><cn id="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.8.cmml" type="integer" xref="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.8">0</cn><apply id="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.1"><divide id="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.1"></divide><apply id="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.3">𝑥</ci><ci id="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><cn id="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.1.3">4</cn></apply><apply id="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.2"><divide id="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.2"></divide><apply id="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.2.1">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.3.cmml" xref="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.3">𝑣</ci><ci id="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><cn id="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.2.3">4</cn></apply><apply id="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.9.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.9.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.9.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.9.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.9.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.9.1.1.1.1.2">𝜃</ci><ci id="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.3.1.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.3.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.4"><divide id="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.4.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.4"></divide><apply id="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.4.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.4.1.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.4.1">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.4.1.3.cmml" xref="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.4.1.3"><ci id="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.4.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.4.1.3.1">˙</ci><ci id="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.4.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.4.1.3.2">𝜃</ci></apply><ci id="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.4.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><cn id="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.4.3">4</cn></apply></list><ci id="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.9.1.3.cmml" xref="S4.Ex8.m1.3.3.3.3.1.1.9.1.3">⊺</ci></apply><apply id="S4.Ex8.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.4.4.4.4.2.1.1"><eq id="S4.Ex8.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.Ex8.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.2"><times id="S4.Ex8.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.2.1"></times><ci id="S4.Ex8.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.2.2a.cmml" xref="S4.Ex8.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.2.2"><mtext id="S4.Ex8.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.2.2">if</mtext></ci><ci id="S4.Ex8.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex8.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.2.3">𝑎</ci></apply><cn id="S4.Ex8.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex8.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.3">10</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex8.m1.5c">\displaystyle\mathbf{z}^{(n)}\coloneqq\begin{cases}[\frac{x^{(n)}}{4},\frac{v^% {(n)}}{4},\theta^{(n)},\frac{\dot{\theta}^{(n)}}{4},0,0,0,0]^{\intercal}\,,&% \text{if}\ a=-10\,,\\ [0,0,0,0,\frac{x^{(n)}}{4},\frac{v^{(n)}}{4},\theta^{(n)},\frac{\dot{\theta}^{% (n)}}{4}]^{\intercal}\,,&\text{if}\ a=10\,,\end{cases}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex8.m1.5d">bold_z start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ≔ { start_ROW start_CELL [ divide start_ARG italic_x start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 4 end_ARG , divide start_ARG italic_v start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 4 end_ARG , italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT , divide start_ARG over˙ start_ARG italic_θ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 4 end_ARG , 0 , 0 , 0 , 0 ] start_POSTSUPERSCRIPT ⊺ end_POSTSUPERSCRIPT , end_CELL start_CELL if italic_a = - 10 , end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL [ 0 , 0 , 0 , 0 , divide start_ARG italic_x start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 4 end_ARG , divide start_ARG italic_v start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 4 end_ARG , italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT , divide start_ARG over˙ start_ARG italic_θ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 4 end_ARG ] start_POSTSUPERSCRIPT ⊺ end_POSTSUPERSCRIPT , end_CELL start_CELL if italic_a = 10 , end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p2.3">where scaling by <math alttext="1/4" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p2.3.m1.1"><semantics id="S4.SS2.p2.3.m1.1a"><mrow id="S4.SS2.p2.3.m1.1.1" xref="S4.SS2.p2.3.m1.1.1.cmml"><mn id="S4.SS2.p2.3.m1.1.1.2" xref="S4.SS2.p2.3.m1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S4.SS2.p2.3.m1.1.1.1" xref="S4.SS2.p2.3.m1.1.1.1.cmml">/</mo><mn id="S4.SS2.p2.3.m1.1.1.3" xref="S4.SS2.p2.3.m1.1.1.3.cmml">4</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p2.3.m1.1b"><apply id="S4.SS2.p2.3.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.3.m1.1.1"><divide id="S4.SS2.p2.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.3.m1.1.1.1"></divide><cn id="S4.SS2.p2.3.m1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p2.3.m1.1.1.2">1</cn><cn id="S4.SS2.p2.3.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p2.3.m1.1.1.3">4</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p2.3.m1.1c">1/4</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p2.3.m1.1d">1 / 4</annotation></semantics></math> was introduced to facilitate learning. Moreover, the one-step loss is defined by</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A0.EGx40"> <tbody id="S4.Ex9"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle g(\mathbf{z}^{(n)})\coloneqq\begin{cases}0\,,&\text{if}\ \lvert x% ^{(n)}\rvert>B_{x}\ \text{or}\ \lvert\theta^{(n)}\rvert>B_{\theta}\,,\\ -1\,,&\text{otherwise}\,.\end{cases}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex9.m1.6"><semantics id="S4.Ex9.m1.6a"><mrow id="S4.Ex9.m1.6.6" xref="S4.Ex9.m1.6.6.cmml"><mrow id="S4.Ex9.m1.6.6.1" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.cmml"><mi id="S4.Ex9.m1.6.6.1.3" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.3.cmml">g</mi><mo id="S4.Ex9.m1.6.6.1.2" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml">𝐳</mi><mrow id="S4.Ex9.m1.5.5.1.3" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex9.m1.5.5.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex9.m1.5.5.1.1" xref="S4.Ex9.m1.5.5.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.Ex9.m1.5.5.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex9.m1.6.6.2" xref="S4.Ex9.m1.6.6.2.cmml">≔</mo><mrow id="S4.Ex9.m1.4.4a" xref="S4.Ex9.m1.6.6.3.1.cmml"><mo id="S4.Ex9.m1.4.4a.5" xref="S4.Ex9.m1.6.6.3.1.1.cmml">{</mo><mtable columnspacing="5pt" id="S4.Ex9.m1.4.4.4a" rowspacing="0pt" xref="S4.Ex9.m1.6.6.3.1.cmml"><mtr id="S4.Ex9.m1.4.4.4aa" xref="S4.Ex9.m1.6.6.3.1.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.Ex9.m1.4.4.4ab" xref="S4.Ex9.m1.6.6.3.1.cmml"><mrow id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex9.m1.6.6.3.1.cmml"><mn id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.3.1" lspace="0.170em" xref="S4.Ex9.m1.6.6.3.1.cmml">,</mo></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.Ex9.m1.4.4.4ac" xref="S4.Ex9.m1.6.6.3.1.cmml"><mrow id="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.cmml"><mrow id="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.cmml"><mrow id="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.cmml"><mtext id="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.3" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.3a.cmml">if</mtext><mo id="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.2" lspace="0.500em" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.1.1" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msup id="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mrow id="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.4" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.4.cmml">></mo><mrow id="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.cmml"><msub id="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.3" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.3.2" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.3.2.cmml">B</mi><mi id="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.3.3" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.3.3.cmml">x</mi></msub><mo id="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.2" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.2.cmml">⁢</mo><mtext id="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.4" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.4a.cmml">or</mtext><mo id="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.2a" lspace="0.500em" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.1.1" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.1.2.1.cmml">|</mo><msup id="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.1.1.1" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.1.1.1.2.cmml">θ</mi><mrow id="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.2.1.3" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.2.1.1" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.2.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.5" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.5.cmml">></mo><msub id="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.6" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.6.cmml"><mi id="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.6.2" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.6.2.cmml">B</mi><mi id="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.6.3" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.6.3.cmml">θ</mi></msub></mrow><mo id="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.2" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.cmml">,</mo></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.Ex9.m1.4.4.4ad" xref="S4.Ex9.m1.6.6.3.1.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.Ex9.m1.4.4.4ae" xref="S4.Ex9.m1.6.6.3.1.cmml"><mrow id="S4.Ex9.m1.3.3.3.3.1.1.1" xref="S4.Ex9.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex9.m1.3.3.3.3.1.1.1.1" xref="S4.Ex9.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex9.m1.3.3.3.3.1.1.1.1a" xref="S4.Ex9.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S4.Ex9.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex9.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.Ex9.m1.3.3.3.3.1.1.1.2" lspace="0.170em" xref="S4.Ex9.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.Ex9.m1.4.4.4af" xref="S4.Ex9.m1.6.6.3.1.cmml"><mrow id="S4.Ex9.m1.4.4.4.4.2.1.3" xref="S4.Ex9.m1.4.4.4.4.2.1.1a.cmml"><mtext id="S4.Ex9.m1.4.4.4.4.2.1.1" xref="S4.Ex9.m1.4.4.4.4.2.1.1.cmml">otherwise</mtext><mo id="S4.Ex9.m1.4.4.4.4.2.1.3.1" lspace="0.170em" xref="S4.Ex9.m1.4.4.4.4.2.1.1a.cmml">.</mo></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex9.m1.6b"><apply id="S4.Ex9.m1.6.6.cmml" xref="S4.Ex9.m1.6.6"><ci id="S4.Ex9.m1.6.6.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.6.6.2">≔</ci><apply id="S4.Ex9.m1.6.6.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1"><times id="S4.Ex9.m1.6.6.1.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.2"></times><ci id="S4.Ex9.m1.6.6.1.3.cmml" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.3">𝑔</ci><apply id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.6.6.1.1.1.1.2">𝐳</ci><ci id="S4.Ex9.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.5.5.1.1">𝑛</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex9.m1.6.6.3.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.4.4a"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex9.m1.6.6.3.1.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.4.4a.5">cases</csymbol><cn id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1">0</cn><apply id="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3"><and id="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1a.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3"></and><apply id="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1b.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3"><gt id="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.4.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.4"></gt><apply id="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1"><times id="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.2"></times><ci id="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.3a.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.3"><mtext id="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.3">if</mtext></ci><apply id="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.1.1"><abs id="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2"><times id="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.2"></times><apply id="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.3.2">𝐵</ci><ci id="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.3.3">𝑥</ci></apply><ci id="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.4a.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.4"><mtext id="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.4.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.4">or</mtext></ci><apply id="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.1.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.1.1"><abs id="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.1.1.2"></abs><apply id="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.1.1.1.2">𝜃</ci><ci id="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.2.1.1">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1c.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3"><gt id="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.5.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.5"></gt><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.cmml" id="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1d.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3"></share><apply id="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.6.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.6.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.6">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.6.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.6.2">𝐵</ci><ci id="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.6.3.cmml" xref="S4.Ex9.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.6.3">𝜃</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex9.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.3.3.3.3.1.1.1"><minus id="S4.Ex9.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.3.3.3.3.1.1.1"></minus><cn id="S4.Ex9.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex9.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.2">1</cn></apply><ci id="S4.Ex9.m1.4.4.4.4.2.1.1a.cmml" xref="S4.Ex9.m1.4.4.4.4.2.1.3"><mtext id="S4.Ex9.m1.4.4.4.4.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.4.4.4.4.2.1.1">otherwise</mtext></ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex9.m1.6c">\displaystyle g(\mathbf{z}^{(n)})\coloneqq\begin{cases}0\,,&\text{if}\ \lvert x% ^{(n)}\rvert>B_{x}\ \text{or}\ \lvert\theta^{(n)}\rvert>B_{\theta}\,,\\ -1\,,&\text{otherwise}\,.\end{cases}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex9.m1.6d">italic_g ( bold_z start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ) ≔ { start_ROW start_CELL 0 , end_CELL start_CELL if | italic_x start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT | > italic_B start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT or | italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT | > italic_B start_POSTSUBSCRIPT italic_θ end_POSTSUBSCRIPT , end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL - 1 , end_CELL start_CELL otherwise . end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <figure class="ltx_figure" id="S4.F4"> <div class="ltx_flex_figure"> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S4.F4.sf1"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_landscape" height="512" id="S4.F4.sf1.g1" src="x6.png" width="664"/> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S4.F4.sf1.2.1.1" style="font-size:90%;">(a)</span> </span></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_break"></div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S4.F4.sf2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_landscape" height="511" id="S4.F4.sf2.g1" src="x7.png" width="664"/> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S4.F4.sf2.2.1.1" style="font-size:90%;">(b)</span> </span></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_break"></div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S4.F4.sf3"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_landscape" height="508" id="S4.F4.sf3.g1" src="x8.png" width="664"/> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S4.F4.sf3.2.1.1" style="font-size:90%;">(c)</span> </span></figcaption> </figure> </div> </div> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S4.F4.34.17.1" style="font-size:90%;">Figure 4</span>: </span><span class="ltx_text" id="S4.F4.32.16" style="font-size:90%;">Network of cartpoles (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S4.SS2" title="IV-B Network of cartpoles ‣ IV Numerical Tests ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Section</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag"><span class="ltx_text">IV-B</span></span></a>). D-FQ <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib24" title="">24</a>]</cite>: <svg class="ltx_picture" height="16.6" id="S4.F4.17.1.pic1" overflow="visible" version="1.1" width="16.6"><g color="#8C008C" fill="#8C008C" stroke="#8C008C" stroke-width="0.4pt" transform="translate(0,16.6) matrix(1 0 0 -1 0 0) translate(8.3,0) translate(0,8.3) matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -4.15 -4.15)"><path d="M -4.15 -4.15 h 8.3 v 8.3 h -8.3 Z" style="fill:none"></path></g></svg> , D-LSTD <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib18" title="">18</a>]</cite>: <svg class="ltx_picture" height="8.3" id="S4.F4.18.2.pic2" overflow="visible" version="1.1" width="8.3"><g color="#FF033D" fill="#FF033D" stroke="#FF033D" stroke-width="0.4pt" transform="translate(0,8.3) matrix(1 0 0 -1 0 0) translate(4.15,0) translate(0,4.15) matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 0 0)"><path d="M 0 4.15 L 0 -4.15" style="fill:none"></path></g></svg>, Gossip-NN <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib25" title="">25</a>]</cite> (NN with <math alttext="218" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F4.19.3.m1.1"><semantics id="S4.F4.19.3.m1.1b"><mn id="S4.F4.19.3.m1.1.1" xref="S4.F4.19.3.m1.1.1.cmml">218</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F4.19.3.m1.1c"><cn id="S4.F4.19.3.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.F4.19.3.m1.1.1">218</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F4.19.3.m1.1d">218</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F4.19.3.m1.1e">218</annotation></semantics></math> parameters): <svg class="ltx_picture" height="8.3" id="S4.F4.20.4.pic3" overflow="visible" version="1.1" width="8.3"><g color="#CC8540" fill="#CC8540" stroke="#CC8540" stroke-width="0.4pt" transform="translate(0,8.3) matrix(1 0 0 -1 0 0) translate(4.15,0) translate(0,4.15) matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 0 0)"><path d="M 0 4.15 L 3.95 1.28 L 2.44 -3.36 L -2.44 -3.36 L -3.95 1.28 Z" style="fill:none"></path></g></svg> , Gossip-NN <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib25" title="">25</a>]</cite> (NN with <math alttext="386" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F4.21.5.m2.1"><semantics id="S4.F4.21.5.m2.1b"><mn id="S4.F4.21.5.m2.1.1" xref="S4.F4.21.5.m2.1.1.cmml">386</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F4.21.5.m2.1c"><cn id="S4.F4.21.5.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.F4.21.5.m2.1.1">386</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F4.21.5.m2.1d">386</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F4.21.5.m2.1e">386</annotation></semantics></math> parameters): <svg class="ltx_picture" height="8.3" id="S4.F4.22.6.pic4" overflow="visible" version="1.1" width="8.3"><g color="#000000" fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.4pt" transform="translate(0,8.3) matrix(1 0 0 -1 0 0) translate(4.15,0) translate(0,4.15) matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 0 0)"><path d="M -2.94 -2.94 L 2.94 2.94 M -2.94 2.94 L 2.94 -2.94" style="fill:none"></path></g></svg> , D-TD[ADMM]: <svg class="ltx_picture" height="8.3" id="S4.F4.23.7.pic5" overflow="visible" version="1.1" width="8.3"><g color="#8CB500" fill="#8CB500" stroke="#8CB500" stroke-width="0.4pt" transform="translate(0,8.3) matrix(1 0 0 -1 0 0) translate(4.15,0) translate(0,4.15) matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 0 0)"><path d="M 0 4.15 L 3.11 0 L 0 -4.15 L -3.11 0 Z" style="fill:none"></path></g></svg> , <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#alg1" title="In III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Algorithm</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> <math alttext="(D,J_{C})=(250,50)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F4.24.8.m3.4"><semantics id="S4.F4.24.8.m3.4b"><mrow id="S4.F4.24.8.m3.4.4" xref="S4.F4.24.8.m3.4.4.cmml"><mrow id="S4.F4.24.8.m3.4.4.1.1" xref="S4.F4.24.8.m3.4.4.1.2.cmml"><mo id="S4.F4.24.8.m3.4.4.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.F4.24.8.m3.4.4.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.F4.24.8.m3.1.1" xref="S4.F4.24.8.m3.1.1.cmml">D</mi><mo id="S4.F4.24.8.m3.4.4.1.1.3" xref="S4.F4.24.8.m3.4.4.1.2.cmml">,</mo><msub id="S4.F4.24.8.m3.4.4.1.1.1" xref="S4.F4.24.8.m3.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="S4.F4.24.8.m3.4.4.1.1.1.2" xref="S4.F4.24.8.m3.4.4.1.1.1.2.cmml">J</mi><mi id="S4.F4.24.8.m3.4.4.1.1.1.3" xref="S4.F4.24.8.m3.4.4.1.1.1.3.cmml">C</mi></msub><mo id="S4.F4.24.8.m3.4.4.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.F4.24.8.m3.4.4.1.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.F4.24.8.m3.4.4.2" xref="S4.F4.24.8.m3.4.4.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.F4.24.8.m3.4.4.3.2" xref="S4.F4.24.8.m3.4.4.3.1.cmml"><mo id="S4.F4.24.8.m3.4.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.F4.24.8.m3.4.4.3.1.cmml">(</mo><mn id="S4.F4.24.8.m3.2.2" xref="S4.F4.24.8.m3.2.2.cmml">250</mn><mo id="S4.F4.24.8.m3.4.4.3.2.2" xref="S4.F4.24.8.m3.4.4.3.1.cmml">,</mo><mn id="S4.F4.24.8.m3.3.3" xref="S4.F4.24.8.m3.3.3.cmml">50</mn><mo id="S4.F4.24.8.m3.4.4.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.F4.24.8.m3.4.4.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F4.24.8.m3.4c"><apply id="S4.F4.24.8.m3.4.4.cmml" xref="S4.F4.24.8.m3.4.4"><eq id="S4.F4.24.8.m3.4.4.2.cmml" xref="S4.F4.24.8.m3.4.4.2"></eq><interval closure="open" id="S4.F4.24.8.m3.4.4.1.2.cmml" xref="S4.F4.24.8.m3.4.4.1.1"><ci id="S4.F4.24.8.m3.1.1.cmml" xref="S4.F4.24.8.m3.1.1">𝐷</ci><apply id="S4.F4.24.8.m3.4.4.1.1.1.cmml" xref="S4.F4.24.8.m3.4.4.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F4.24.8.m3.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.F4.24.8.m3.4.4.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.F4.24.8.m3.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S4.F4.24.8.m3.4.4.1.1.1.2">𝐽</ci><ci id="S4.F4.24.8.m3.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="S4.F4.24.8.m3.4.4.1.1.1.3">𝐶</ci></apply></interval><interval closure="open" id="S4.F4.24.8.m3.4.4.3.1.cmml" xref="S4.F4.24.8.m3.4.4.3.2"><cn id="S4.F4.24.8.m3.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.F4.24.8.m3.2.2">250</cn><cn id="S4.F4.24.8.m3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.F4.24.8.m3.3.3">50</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F4.24.8.m3.4d">(D,J_{C})=(250,50)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F4.24.8.m3.4e">( italic_D , italic_J start_POSTSUBSCRIPT italic_C end_POSTSUBSCRIPT ) = ( 250 , 50 )</annotation></semantics></math>: <svg class="ltx_picture" height="8.3" id="S4.F4.25.9.pic6" overflow="visible" version="1.1" width="8.3"><g color="#000080" fill="#000080" stroke="#000080" stroke-width="0.4pt" transform="translate(0,8.3) matrix(1 0 0 -1 0 0) translate(4.15,0) translate(0,4.15) matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 0 0)"><path d="M 4.15 0 C 4.15 2.29 2.29 4.15 0 4.15 C -2.29 4.15 -4.15 2.29 -4.15 0 C -4.15 -2.29 -2.29 -4.15 0 -4.15 C 2.29 -4.15 4.15 -2.29 4.15 0 Z M 0 0" style="fill:none"></path></g></svg> , <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#alg1" title="In III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Algorithm</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> <math alttext="(D,J_{C})=(250,25)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F4.26.10.m4.4"><semantics id="S4.F4.26.10.m4.4b"><mrow id="S4.F4.26.10.m4.4.4" xref="S4.F4.26.10.m4.4.4.cmml"><mrow id="S4.F4.26.10.m4.4.4.1.1" xref="S4.F4.26.10.m4.4.4.1.2.cmml"><mo id="S4.F4.26.10.m4.4.4.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.F4.26.10.m4.4.4.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.F4.26.10.m4.1.1" xref="S4.F4.26.10.m4.1.1.cmml">D</mi><mo id="S4.F4.26.10.m4.4.4.1.1.3" xref="S4.F4.26.10.m4.4.4.1.2.cmml">,</mo><msub id="S4.F4.26.10.m4.4.4.1.1.1" xref="S4.F4.26.10.m4.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="S4.F4.26.10.m4.4.4.1.1.1.2" xref="S4.F4.26.10.m4.4.4.1.1.1.2.cmml">J</mi><mi id="S4.F4.26.10.m4.4.4.1.1.1.3" xref="S4.F4.26.10.m4.4.4.1.1.1.3.cmml">C</mi></msub><mo id="S4.F4.26.10.m4.4.4.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.F4.26.10.m4.4.4.1.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.F4.26.10.m4.4.4.2" xref="S4.F4.26.10.m4.4.4.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.F4.26.10.m4.4.4.3.2" xref="S4.F4.26.10.m4.4.4.3.1.cmml"><mo id="S4.F4.26.10.m4.4.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.F4.26.10.m4.4.4.3.1.cmml">(</mo><mn id="S4.F4.26.10.m4.2.2" xref="S4.F4.26.10.m4.2.2.cmml">250</mn><mo id="S4.F4.26.10.m4.4.4.3.2.2" xref="S4.F4.26.10.m4.4.4.3.1.cmml">,</mo><mn id="S4.F4.26.10.m4.3.3" xref="S4.F4.26.10.m4.3.3.cmml">25</mn><mo id="S4.F4.26.10.m4.4.4.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.F4.26.10.m4.4.4.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F4.26.10.m4.4c"><apply id="S4.F4.26.10.m4.4.4.cmml" xref="S4.F4.26.10.m4.4.4"><eq id="S4.F4.26.10.m4.4.4.2.cmml" xref="S4.F4.26.10.m4.4.4.2"></eq><interval closure="open" id="S4.F4.26.10.m4.4.4.1.2.cmml" xref="S4.F4.26.10.m4.4.4.1.1"><ci id="S4.F4.26.10.m4.1.1.cmml" xref="S4.F4.26.10.m4.1.1">𝐷</ci><apply id="S4.F4.26.10.m4.4.4.1.1.1.cmml" xref="S4.F4.26.10.m4.4.4.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F4.26.10.m4.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.F4.26.10.m4.4.4.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.F4.26.10.m4.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S4.F4.26.10.m4.4.4.1.1.1.2">𝐽</ci><ci id="S4.F4.26.10.m4.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="S4.F4.26.10.m4.4.4.1.1.1.3">𝐶</ci></apply></interval><interval closure="open" id="S4.F4.26.10.m4.4.4.3.1.cmml" xref="S4.F4.26.10.m4.4.4.3.2"><cn id="S4.F4.26.10.m4.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.F4.26.10.m4.2.2">250</cn><cn id="S4.F4.26.10.m4.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.F4.26.10.m4.3.3">25</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F4.26.10.m4.4d">(D,J_{C})=(250,25)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F4.26.10.m4.4e">( italic_D , italic_J start_POSTSUBSCRIPT italic_C end_POSTSUBSCRIPT ) = ( 250 , 25 )</annotation></semantics></math>: <svg class="ltx_picture" height="8.3" id="S4.F4.27.11.pic7" overflow="visible" version="1.1" width="8.3"><g color="#004D00" fill="#004D00" stroke="#004D00" stroke-width="0.4pt" transform="translate(0,8.3) matrix(1 0 0 -1 0 0) translate(4.15,0) translate(0,4.15) matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 0 0)"><path d="M 0 0 L 0 4.15 M 0 0 L 3.95 1.28 M 0 0 L 2.44 -3.36 M 0 0 L -2.44 -3.36 M 0 0 L -3.95 1.28" style="fill:none"></path></g></svg> , <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#alg1" title="In III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Algorithm</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> <math alttext="(D,J_{C})=(250,10)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F4.28.12.m5.4"><semantics id="S4.F4.28.12.m5.4b"><mrow id="S4.F4.28.12.m5.4.4" xref="S4.F4.28.12.m5.4.4.cmml"><mrow id="S4.F4.28.12.m5.4.4.1.1" xref="S4.F4.28.12.m5.4.4.1.2.cmml"><mo id="S4.F4.28.12.m5.4.4.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.F4.28.12.m5.4.4.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.F4.28.12.m5.1.1" xref="S4.F4.28.12.m5.1.1.cmml">D</mi><mo id="S4.F4.28.12.m5.4.4.1.1.3" xref="S4.F4.28.12.m5.4.4.1.2.cmml">,</mo><msub id="S4.F4.28.12.m5.4.4.1.1.1" xref="S4.F4.28.12.m5.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="S4.F4.28.12.m5.4.4.1.1.1.2" xref="S4.F4.28.12.m5.4.4.1.1.1.2.cmml">J</mi><mi id="S4.F4.28.12.m5.4.4.1.1.1.3" xref="S4.F4.28.12.m5.4.4.1.1.1.3.cmml">C</mi></msub><mo id="S4.F4.28.12.m5.4.4.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.F4.28.12.m5.4.4.1.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.F4.28.12.m5.4.4.2" xref="S4.F4.28.12.m5.4.4.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.F4.28.12.m5.4.4.3.2" xref="S4.F4.28.12.m5.4.4.3.1.cmml"><mo id="S4.F4.28.12.m5.4.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.F4.28.12.m5.4.4.3.1.cmml">(</mo><mn id="S4.F4.28.12.m5.2.2" xref="S4.F4.28.12.m5.2.2.cmml">250</mn><mo id="S4.F4.28.12.m5.4.4.3.2.2" xref="S4.F4.28.12.m5.4.4.3.1.cmml">,</mo><mn id="S4.F4.28.12.m5.3.3" xref="S4.F4.28.12.m5.3.3.cmml">10</mn><mo id="S4.F4.28.12.m5.4.4.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.F4.28.12.m5.4.4.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F4.28.12.m5.4c"><apply id="S4.F4.28.12.m5.4.4.cmml" xref="S4.F4.28.12.m5.4.4"><eq id="S4.F4.28.12.m5.4.4.2.cmml" xref="S4.F4.28.12.m5.4.4.2"></eq><interval closure="open" id="S4.F4.28.12.m5.4.4.1.2.cmml" xref="S4.F4.28.12.m5.4.4.1.1"><ci id="S4.F4.28.12.m5.1.1.cmml" xref="S4.F4.28.12.m5.1.1">𝐷</ci><apply id="S4.F4.28.12.m5.4.4.1.1.1.cmml" xref="S4.F4.28.12.m5.4.4.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F4.28.12.m5.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.F4.28.12.m5.4.4.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.F4.28.12.m5.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S4.F4.28.12.m5.4.4.1.1.1.2">𝐽</ci><ci id="S4.F4.28.12.m5.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="S4.F4.28.12.m5.4.4.1.1.1.3">𝐶</ci></apply></interval><interval closure="open" id="S4.F4.28.12.m5.4.4.3.1.cmml" xref="S4.F4.28.12.m5.4.4.3.2"><cn id="S4.F4.28.12.m5.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.F4.28.12.m5.2.2">250</cn><cn id="S4.F4.28.12.m5.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.F4.28.12.m5.3.3">10</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F4.28.12.m5.4d">(D,J_{C})=(250,10)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F4.28.12.m5.4e">( italic_D , italic_J start_POSTSUBSCRIPT italic_C end_POSTSUBSCRIPT ) = ( 250 , 10 )</annotation></semantics></math>: <svg class="ltx_picture" height="8.3" id="S4.F4.29.13.pic8" overflow="visible" version="1.1" width="8.3"><g color="#CC5400" fill="#CC5400" stroke="#CC5400" stroke-width="0.4pt" transform="translate(0,8.3) matrix(1 0 0 -1 0 0) translate(4.15,0) translate(0,4.15) matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 0 0)"><path d="M 4.15 0 L -4.15 0" style="fill:none"></path></g></svg> , <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#alg1" title="In III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Algorithm</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> <math alttext="(D,J_{C})=(150,50)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F4.30.14.m6.4"><semantics id="S4.F4.30.14.m6.4b"><mrow id="S4.F4.30.14.m6.4.4" xref="S4.F4.30.14.m6.4.4.cmml"><mrow id="S4.F4.30.14.m6.4.4.1.1" xref="S4.F4.30.14.m6.4.4.1.2.cmml"><mo id="S4.F4.30.14.m6.4.4.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.F4.30.14.m6.4.4.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.F4.30.14.m6.1.1" xref="S4.F4.30.14.m6.1.1.cmml">D</mi><mo id="S4.F4.30.14.m6.4.4.1.1.3" xref="S4.F4.30.14.m6.4.4.1.2.cmml">,</mo><msub id="S4.F4.30.14.m6.4.4.1.1.1" xref="S4.F4.30.14.m6.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="S4.F4.30.14.m6.4.4.1.1.1.2" xref="S4.F4.30.14.m6.4.4.1.1.1.2.cmml">J</mi><mi id="S4.F4.30.14.m6.4.4.1.1.1.3" xref="S4.F4.30.14.m6.4.4.1.1.1.3.cmml">C</mi></msub><mo id="S4.F4.30.14.m6.4.4.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.F4.30.14.m6.4.4.1.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.F4.30.14.m6.4.4.2" xref="S4.F4.30.14.m6.4.4.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.F4.30.14.m6.4.4.3.2" xref="S4.F4.30.14.m6.4.4.3.1.cmml"><mo id="S4.F4.30.14.m6.4.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.F4.30.14.m6.4.4.3.1.cmml">(</mo><mn id="S4.F4.30.14.m6.2.2" xref="S4.F4.30.14.m6.2.2.cmml">150</mn><mo id="S4.F4.30.14.m6.4.4.3.2.2" xref="S4.F4.30.14.m6.4.4.3.1.cmml">,</mo><mn id="S4.F4.30.14.m6.3.3" xref="S4.F4.30.14.m6.3.3.cmml">50</mn><mo id="S4.F4.30.14.m6.4.4.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.F4.30.14.m6.4.4.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F4.30.14.m6.4c"><apply id="S4.F4.30.14.m6.4.4.cmml" xref="S4.F4.30.14.m6.4.4"><eq id="S4.F4.30.14.m6.4.4.2.cmml" xref="S4.F4.30.14.m6.4.4.2"></eq><interval closure="open" id="S4.F4.30.14.m6.4.4.1.2.cmml" xref="S4.F4.30.14.m6.4.4.1.1"><ci id="S4.F4.30.14.m6.1.1.cmml" xref="S4.F4.30.14.m6.1.1">𝐷</ci><apply id="S4.F4.30.14.m6.4.4.1.1.1.cmml" xref="S4.F4.30.14.m6.4.4.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F4.30.14.m6.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.F4.30.14.m6.4.4.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.F4.30.14.m6.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S4.F4.30.14.m6.4.4.1.1.1.2">𝐽</ci><ci id="S4.F4.30.14.m6.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="S4.F4.30.14.m6.4.4.1.1.1.3">𝐶</ci></apply></interval><interval closure="open" id="S4.F4.30.14.m6.4.4.3.1.cmml" xref="S4.F4.30.14.m6.4.4.3.2"><cn id="S4.F4.30.14.m6.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.F4.30.14.m6.2.2">150</cn><cn id="S4.F4.30.14.m6.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.F4.30.14.m6.3.3">50</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F4.30.14.m6.4d">(D,J_{C})=(150,50)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F4.30.14.m6.4e">( italic_D , italic_J start_POSTSUBSCRIPT italic_C end_POSTSUBSCRIPT ) = ( 150 , 50 )</annotation></semantics></math>: <svg class="ltx_picture" height="8.3" id="S4.F4.31.15.pic9" overflow="visible" version="1.1" width="8.3"><g color="#800000" fill="#800000" stroke="#800000" stroke-width="0.4pt" transform="translate(0,8.3) matrix(1 0 0 -1 0 0) translate(4.15,0) translate(0,4.15) matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 0 0)"><path d="M 0 4.15 L 3.59 -2.08 L -3.59 -2.08 Z" style="fill:none"></path></g></svg> . The shaded areas in <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S4.F4.sf1" title="In Figure 4 ‣ IV-B Network of cartpoles ‣ IV Numerical Tests ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Figure</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">4(a)</span></a> correspond to values in the range of <math alttext="(\text{mean})\pm 0.5\times(\text{standard deviation})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F4.32.16.m7.2"><semantics id="S4.F4.32.16.m7.2b"><mrow id="S4.F4.32.16.m7.2.3" xref="S4.F4.32.16.m7.2.3.cmml"><mrow id="S4.F4.32.16.m7.2.3.2.2" xref="S4.F4.32.16.m7.1.1a.cmml"><mo id="S4.F4.32.16.m7.2.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S4.F4.32.16.m7.1.1a.cmml">(</mo><mtext id="S4.F4.32.16.m7.1.1" xref="S4.F4.32.16.m7.1.1.cmml">mean</mtext><mo id="S4.F4.32.16.m7.2.3.2.2.2" stretchy="false" xref="S4.F4.32.16.m7.1.1a.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.F4.32.16.m7.2.3.1" xref="S4.F4.32.16.m7.2.3.1.cmml">±</mo><mrow id="S4.F4.32.16.m7.2.3.3" xref="S4.F4.32.16.m7.2.3.3.cmml"><mn id="S4.F4.32.16.m7.2.3.3.2" xref="S4.F4.32.16.m7.2.3.3.2.cmml">0.5</mn><mo id="S4.F4.32.16.m7.2.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.F4.32.16.m7.2.3.3.1.cmml">×</mo><mrow id="S4.F4.32.16.m7.2.3.3.3.2" xref="S4.F4.32.16.m7.2.2a.cmml"><mo id="S4.F4.32.16.m7.2.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.F4.32.16.m7.2.2a.cmml">(</mo><mtext id="S4.F4.32.16.m7.2.2" xref="S4.F4.32.16.m7.2.2.cmml">standard deviation</mtext><mo id="S4.F4.32.16.m7.2.3.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.F4.32.16.m7.2.2a.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F4.32.16.m7.2c"><apply id="S4.F4.32.16.m7.2.3.cmml" xref="S4.F4.32.16.m7.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.F4.32.16.m7.2.3.1.cmml" xref="S4.F4.32.16.m7.2.3.1">plus-or-minus</csymbol><ci id="S4.F4.32.16.m7.1.1a.cmml" xref="S4.F4.32.16.m7.2.3.2.2"><mtext id="S4.F4.32.16.m7.1.1.cmml" xref="S4.F4.32.16.m7.1.1">mean</mtext></ci><apply id="S4.F4.32.16.m7.2.3.3.cmml" xref="S4.F4.32.16.m7.2.3.3"><times id="S4.F4.32.16.m7.2.3.3.1.cmml" xref="S4.F4.32.16.m7.2.3.3.1"></times><cn id="S4.F4.32.16.m7.2.3.3.2.cmml" type="float" xref="S4.F4.32.16.m7.2.3.3.2">0.5</cn><ci id="S4.F4.32.16.m7.2.2a.cmml" xref="S4.F4.32.16.m7.2.3.3.3.2"><mtext id="S4.F4.32.16.m7.2.2.cmml" xref="S4.F4.32.16.m7.2.2">standard deviation</mtext></ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F4.32.16.m7.2d">(\text{mean})\pm 0.5\times(\text{standard deviation})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F4.32.16.m7.2e">( mean ) ± 0.5 × ( standard deviation )</annotation></semantics></math>. </span></figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="S4.SS2.p3"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p3.16">The data trajectory <math alttext="\mathcal{T}^{(n)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p3.1.m1.1"><semantics id="S4.SS2.p3.1.m1.1a"><msup id="S4.SS2.p3.1.m1.1.2" xref="S4.SS2.p3.1.m1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.SS2.p3.1.m1.1.2.2" xref="S4.SS2.p3.1.m1.1.2.2.cmml">𝒯</mi><mrow id="S4.SS2.p3.1.m1.1.1.1.3" xref="S4.SS2.p3.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS2.p3.1.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS2.p3.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS2.p3.1.m1.1.1.1.1" xref="S4.SS2.p3.1.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.SS2.p3.1.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.p3.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p3.1.m1.1b"><apply id="S4.SS2.p3.1.m1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.1.m1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p3.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.1.m1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p3.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.1.m1.1.2.2">𝒯</ci><ci id="S4.SS2.p3.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.1.m1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p3.1.m1.1c">\mathcal{T}^{(n)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p3.1.m1.1d">caligraphic_T start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> of <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S2.I1.i3" title="In Assumptions 1. ‣ II-B General assumptions for the decentralized setting ‣ II Distributed Reinforcement Learning ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Assumption</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">1(iii)</span></a>, with <math alttext="N_{\textnormal{av}}^{(n)}=100" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p3.2.m2.1"><semantics id="S4.SS2.p3.2.m2.1a"><mrow id="S4.SS2.p3.2.m2.1.2" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.2.cmml"><msubsup id="S4.SS2.p3.2.m2.1.2.2" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p3.2.m2.1.2.2.2.2" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.2.2.2.2.cmml">N</mi><mtext id="S4.SS2.p3.2.m2.1.2.2.2.3" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.2.2.2.3a.cmml">av</mtext><mrow id="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.1.3" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.2.2.cmml"><mo id="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.1.1" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S4.SS2.p3.2.m2.1.2.1" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.2.1.cmml">=</mo><mn id="S4.SS2.p3.2.m2.1.2.3" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.2.3.cmml">100</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p3.2.m2.1b"><apply id="S4.SS2.p3.2.m2.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.2"><eq id="S4.SS2.p3.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.2.1"></eq><apply id="S4.SS2.p3.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p3.2.m2.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p3.2.m2.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p3.2.m2.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p3.2.m2.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.2.2.2.2">𝑁</ci><ci id="S4.SS2.p3.2.m2.1.2.2.2.3a.cmml" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.2.2.2.3"><mtext id="S4.SS2.p3.2.m2.1.2.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.2.2.2.3">av</mtext></ci></apply><ci id="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><cn id="S4.SS2.p3.2.m2.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.2.3">100</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p3.2.m2.1c">N_{\textnormal{av}}^{(n)}=100</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p3.2.m2.1d">italic_N start_POSTSUBSCRIPT av end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT = 100</annotation></semantics></math>, is generated here in a similar way to <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S4.SS1" title="IV-A Network of pendulums ‣ IV Numerical Tests ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Section</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag"><span class="ltx_text">IV-A</span></span></a>. In other words, to mimic realistic scenarios when using the transition module <math alttext="F_{\text{trans}}(\cdot)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p3.3.m3.1"><semantics id="S4.SS2.p3.3.m3.1a"><mrow id="S4.SS2.p3.3.m3.1.2" xref="S4.SS2.p3.3.m3.1.2.cmml"><msub id="S4.SS2.p3.3.m3.1.2.2" xref="S4.SS2.p3.3.m3.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p3.3.m3.1.2.2.2" xref="S4.SS2.p3.3.m3.1.2.2.2.cmml">F</mi><mtext id="S4.SS2.p3.3.m3.1.2.2.3" xref="S4.SS2.p3.3.m3.1.2.2.3a.cmml">trans</mtext></msub><mo id="S4.SS2.p3.3.m3.1.2.1" xref="S4.SS2.p3.3.m3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS2.p3.3.m3.1.2.3.2" xref="S4.SS2.p3.3.m3.1.2.cmml"><mo id="S4.SS2.p3.3.m3.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS2.p3.3.m3.1.2.cmml">(</mo><mo id="S4.SS2.p3.3.m3.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S4.SS2.p3.3.m3.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="S4.SS2.p3.3.m3.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.p3.3.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p3.3.m3.1b"><apply id="S4.SS2.p3.3.m3.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.3.m3.1.2"><times id="S4.SS2.p3.3.m3.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.3.m3.1.2.1"></times><apply id="S4.SS2.p3.3.m3.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.3.m3.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p3.3.m3.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.3.m3.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p3.3.m3.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.3.m3.1.2.2.2">𝐹</ci><ci id="S4.SS2.p3.3.m3.1.2.2.3a.cmml" xref="S4.SS2.p3.3.m3.1.2.2.3"><mtext id="S4.SS2.p3.3.m3.1.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S4.SS2.p3.3.m3.1.2.2.3">trans</mtext></ci></apply><ci id="S4.SS2.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.3.m3.1.1">⋅</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p3.3.m3.1c">F_{\text{trans}}(\cdot)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p3.3.m3.1d">italic_F start_POSTSUBSCRIPT trans end_POSTSUBSCRIPT ( ⋅ )</annotation></semantics></math> of <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib39" title="">39</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib42" title="">42</a>]</cite> to update <math alttext="(x_{i+1}^{(n)},v_{i+1}^{(n)},\theta_{i+1}^{(n)},\dot{\theta}_{i+1}^{(n)})% \coloneqq F_{\text{trans}}(x_{i}^{(n)}+\epsilon_{1},v_{i}^{(n)}+\epsilon_{2},% \theta_{i}^{(n)}+\epsilon_{3},\dot{\theta}_{i}^{(n)}+\epsilon_{4},a_{i}^{(n)}+% \epsilon_{5})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p3.4.m4.18"><semantics id="S4.SS2.p3.4.m4.18a"><mrow id="S4.SS2.p3.4.m4.18.18" xref="S4.SS2.p3.4.m4.18.18.cmml"><mrow id="S4.SS2.p3.4.m4.13.13.4.4" xref="S4.SS2.p3.4.m4.13.13.4.5.cmml"><mo id="S4.SS2.p3.4.m4.13.13.4.4.5" stretchy="false" xref="S4.SS2.p3.4.m4.13.13.4.5.cmml">(</mo><msubsup id="S4.SS2.p3.4.m4.10.10.1.1.1" xref="S4.SS2.p3.4.m4.10.10.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p3.4.m4.10.10.1.1.1.2.2" xref="S4.SS2.p3.4.m4.10.10.1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mrow id="S4.SS2.p3.4.m4.10.10.1.1.1.2.3" xref="S4.SS2.p3.4.m4.10.10.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.SS2.p3.4.m4.10.10.1.1.1.2.3.2" xref="S4.SS2.p3.4.m4.10.10.1.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S4.SS2.p3.4.m4.10.10.1.1.1.2.3.1" xref="S4.SS2.p3.4.m4.10.10.1.1.1.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S4.SS2.p3.4.m4.10.10.1.1.1.2.3.3" xref="S4.SS2.p3.4.m4.10.10.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="S4.SS2.p3.4.m4.1.1.1.3" xref="S4.SS2.p3.4.m4.10.10.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS2.p3.4.m4.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS2.p3.4.m4.10.10.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.SS2.p3.4.m4.1.1.1.1" xref="S4.SS2.p3.4.m4.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.SS2.p3.4.m4.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.p3.4.m4.10.10.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S4.SS2.p3.4.m4.13.13.4.4.6" xref="S4.SS2.p3.4.m4.13.13.4.5.cmml">,</mo><msubsup id="S4.SS2.p3.4.m4.11.11.2.2.2" xref="S4.SS2.p3.4.m4.11.11.2.2.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p3.4.m4.11.11.2.2.2.2.2" xref="S4.SS2.p3.4.m4.11.11.2.2.2.2.2.cmml">v</mi><mrow id="S4.SS2.p3.4.m4.11.11.2.2.2.2.3" xref="S4.SS2.p3.4.m4.11.11.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.SS2.p3.4.m4.11.11.2.2.2.2.3.2" xref="S4.SS2.p3.4.m4.11.11.2.2.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S4.SS2.p3.4.m4.11.11.2.2.2.2.3.1" xref="S4.SS2.p3.4.m4.11.11.2.2.2.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S4.SS2.p3.4.m4.11.11.2.2.2.2.3.3" xref="S4.SS2.p3.4.m4.11.11.2.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="S4.SS2.p3.4.m4.2.2.1.3" xref="S4.SS2.p3.4.m4.11.11.2.2.2.cmml"><mo id="S4.SS2.p3.4.m4.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS2.p3.4.m4.11.11.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS2.p3.4.m4.2.2.1.1" xref="S4.SS2.p3.4.m4.2.2.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.SS2.p3.4.m4.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.p3.4.m4.11.11.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S4.SS2.p3.4.m4.13.13.4.4.7" xref="S4.SS2.p3.4.m4.13.13.4.5.cmml">,</mo><msubsup id="S4.SS2.p3.4.m4.12.12.3.3.3" xref="S4.SS2.p3.4.m4.12.12.3.3.3.cmml"><mi id="S4.SS2.p3.4.m4.12.12.3.3.3.2.2" xref="S4.SS2.p3.4.m4.12.12.3.3.3.2.2.cmml">θ</mi><mrow id="S4.SS2.p3.4.m4.12.12.3.3.3.2.3" xref="S4.SS2.p3.4.m4.12.12.3.3.3.2.3.cmml"><mi id="S4.SS2.p3.4.m4.12.12.3.3.3.2.3.2" xref="S4.SS2.p3.4.m4.12.12.3.3.3.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S4.SS2.p3.4.m4.12.12.3.3.3.2.3.1" xref="S4.SS2.p3.4.m4.12.12.3.3.3.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S4.SS2.p3.4.m4.12.12.3.3.3.2.3.3" xref="S4.SS2.p3.4.m4.12.12.3.3.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="S4.SS2.p3.4.m4.3.3.1.3" xref="S4.SS2.p3.4.m4.12.12.3.3.3.cmml"><mo id="S4.SS2.p3.4.m4.3.3.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS2.p3.4.m4.12.12.3.3.3.cmml">(</mo><mi id="S4.SS2.p3.4.m4.3.3.1.1" xref="S4.SS2.p3.4.m4.3.3.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.SS2.p3.4.m4.3.3.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.p3.4.m4.12.12.3.3.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S4.SS2.p3.4.m4.13.13.4.4.8" xref="S4.SS2.p3.4.m4.13.13.4.5.cmml">,</mo><msubsup id="S4.SS2.p3.4.m4.13.13.4.4.4" xref="S4.SS2.p3.4.m4.13.13.4.4.4.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS2.p3.4.m4.13.13.4.4.4.2.2" xref="S4.SS2.p3.4.m4.13.13.4.4.4.2.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p3.4.m4.13.13.4.4.4.2.2.2" xref="S4.SS2.p3.4.m4.13.13.4.4.4.2.2.2.cmml">θ</mi><mo id="S4.SS2.p3.4.m4.13.13.4.4.4.2.2.1" xref="S4.SS2.p3.4.m4.13.13.4.4.4.2.2.1.cmml">˙</mo></mover><mrow id="S4.SS2.p3.4.m4.13.13.4.4.4.2.3" xref="S4.SS2.p3.4.m4.13.13.4.4.4.2.3.cmml"><mi id="S4.SS2.p3.4.m4.13.13.4.4.4.2.3.2" xref="S4.SS2.p3.4.m4.13.13.4.4.4.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S4.SS2.p3.4.m4.13.13.4.4.4.2.3.1" xref="S4.SS2.p3.4.m4.13.13.4.4.4.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S4.SS2.p3.4.m4.13.13.4.4.4.2.3.3" xref="S4.SS2.p3.4.m4.13.13.4.4.4.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="S4.SS2.p3.4.m4.4.4.1.3" xref="S4.SS2.p3.4.m4.13.13.4.4.4.cmml"><mo id="S4.SS2.p3.4.m4.4.4.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS2.p3.4.m4.13.13.4.4.4.cmml">(</mo><mi id="S4.SS2.p3.4.m4.4.4.1.1" xref="S4.SS2.p3.4.m4.4.4.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.SS2.p3.4.m4.4.4.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.p3.4.m4.13.13.4.4.4.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S4.SS2.p3.4.m4.13.13.4.4.9" stretchy="false" xref="S4.SS2.p3.4.m4.13.13.4.5.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.SS2.p3.4.m4.18.18.10" xref="S4.SS2.p3.4.m4.18.18.10.cmml">≔</mo><mrow id="S4.SS2.p3.4.m4.18.18.9" xref="S4.SS2.p3.4.m4.18.18.9.cmml"><msub id="S4.SS2.p3.4.m4.18.18.9.7" xref="S4.SS2.p3.4.m4.18.18.9.7.cmml"><mi id="S4.SS2.p3.4.m4.18.18.9.7.2" xref="S4.SS2.p3.4.m4.18.18.9.7.2.cmml">F</mi><mtext id="S4.SS2.p3.4.m4.18.18.9.7.3" xref="S4.SS2.p3.4.m4.18.18.9.7.3a.cmml">trans</mtext></msub><mo id="S4.SS2.p3.4.m4.18.18.9.6" xref="S4.SS2.p3.4.m4.18.18.9.6.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS2.p3.4.m4.18.18.9.5.5" xref="S4.SS2.p3.4.m4.18.18.9.5.6.cmml"><mo id="S4.SS2.p3.4.m4.18.18.9.5.5.6" stretchy="false" xref="S4.SS2.p3.4.m4.18.18.9.5.6.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS2.p3.4.m4.14.14.5.1.1.1" xref="S4.SS2.p3.4.m4.14.14.5.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.SS2.p3.4.m4.14.14.5.1.1.1.2" xref="S4.SS2.p3.4.m4.14.14.5.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p3.4.m4.14.14.5.1.1.1.2.2.2" xref="S4.SS2.p3.4.m4.14.14.5.1.1.1.2.2.2.cmml">x</mi><mi id="S4.SS2.p3.4.m4.14.14.5.1.1.1.2.2.3" xref="S4.SS2.p3.4.m4.14.14.5.1.1.1.2.2.3.cmml">i</mi><mrow id="S4.SS2.p3.4.m4.5.5.1.3" xref="S4.SS2.p3.4.m4.14.14.5.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS2.p3.4.m4.5.5.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS2.p3.4.m4.14.14.5.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS2.p3.4.m4.5.5.1.1" xref="S4.SS2.p3.4.m4.5.5.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.SS2.p3.4.m4.5.5.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.p3.4.m4.14.14.5.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S4.SS2.p3.4.m4.14.14.5.1.1.1.1" xref="S4.SS2.p3.4.m4.14.14.5.1.1.1.1.cmml">+</mo><msub id="S4.SS2.p3.4.m4.14.14.5.1.1.1.3" xref="S4.SS2.p3.4.m4.14.14.5.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS2.p3.4.m4.14.14.5.1.1.1.3.2" xref="S4.SS2.p3.4.m4.14.14.5.1.1.1.3.2.cmml">ϵ</mi><mn id="S4.SS2.p3.4.m4.14.14.5.1.1.1.3.3" xref="S4.SS2.p3.4.m4.14.14.5.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="S4.SS2.p3.4.m4.18.18.9.5.5.7" xref="S4.SS2.p3.4.m4.18.18.9.5.6.cmml">,</mo><mrow id="S4.SS2.p3.4.m4.15.15.6.2.2.2" xref="S4.SS2.p3.4.m4.15.15.6.2.2.2.cmml"><msubsup id="S4.SS2.p3.4.m4.15.15.6.2.2.2.2" xref="S4.SS2.p3.4.m4.15.15.6.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p3.4.m4.15.15.6.2.2.2.2.2.2" xref="S4.SS2.p3.4.m4.15.15.6.2.2.2.2.2.2.cmml">v</mi><mi id="S4.SS2.p3.4.m4.15.15.6.2.2.2.2.2.3" xref="S4.SS2.p3.4.m4.15.15.6.2.2.2.2.2.3.cmml">i</mi><mrow id="S4.SS2.p3.4.m4.6.6.1.3" xref="S4.SS2.p3.4.m4.15.15.6.2.2.2.2.cmml"><mo id="S4.SS2.p3.4.m4.6.6.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS2.p3.4.m4.15.15.6.2.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS2.p3.4.m4.6.6.1.1" xref="S4.SS2.p3.4.m4.6.6.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.SS2.p3.4.m4.6.6.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.p3.4.m4.15.15.6.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S4.SS2.p3.4.m4.15.15.6.2.2.2.1" xref="S4.SS2.p3.4.m4.15.15.6.2.2.2.1.cmml">+</mo><msub id="S4.SS2.p3.4.m4.15.15.6.2.2.2.3" xref="S4.SS2.p3.4.m4.15.15.6.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.SS2.p3.4.m4.15.15.6.2.2.2.3.2" xref="S4.SS2.p3.4.m4.15.15.6.2.2.2.3.2.cmml">ϵ</mi><mn id="S4.SS2.p3.4.m4.15.15.6.2.2.2.3.3" xref="S4.SS2.p3.4.m4.15.15.6.2.2.2.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S4.SS2.p3.4.m4.18.18.9.5.5.8" xref="S4.SS2.p3.4.m4.18.18.9.5.6.cmml">,</mo><mrow id="S4.SS2.p3.4.m4.16.16.7.3.3.3" xref="S4.SS2.p3.4.m4.16.16.7.3.3.3.cmml"><msubsup id="S4.SS2.p3.4.m4.16.16.7.3.3.3.2" xref="S4.SS2.p3.4.m4.16.16.7.3.3.3.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p3.4.m4.16.16.7.3.3.3.2.2.2" xref="S4.SS2.p3.4.m4.16.16.7.3.3.3.2.2.2.cmml">θ</mi><mi id="S4.SS2.p3.4.m4.16.16.7.3.3.3.2.2.3" xref="S4.SS2.p3.4.m4.16.16.7.3.3.3.2.2.3.cmml">i</mi><mrow id="S4.SS2.p3.4.m4.7.7.1.3" xref="S4.SS2.p3.4.m4.16.16.7.3.3.3.2.cmml"><mo id="S4.SS2.p3.4.m4.7.7.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS2.p3.4.m4.16.16.7.3.3.3.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS2.p3.4.m4.7.7.1.1" xref="S4.SS2.p3.4.m4.7.7.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.SS2.p3.4.m4.7.7.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.p3.4.m4.16.16.7.3.3.3.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S4.SS2.p3.4.m4.16.16.7.3.3.3.1" xref="S4.SS2.p3.4.m4.16.16.7.3.3.3.1.cmml">+</mo><msub id="S4.SS2.p3.4.m4.16.16.7.3.3.3.3" xref="S4.SS2.p3.4.m4.16.16.7.3.3.3.3.cmml"><mi id="S4.SS2.p3.4.m4.16.16.7.3.3.3.3.2" xref="S4.SS2.p3.4.m4.16.16.7.3.3.3.3.2.cmml">ϵ</mi><mn id="S4.SS2.p3.4.m4.16.16.7.3.3.3.3.3" xref="S4.SS2.p3.4.m4.16.16.7.3.3.3.3.3.cmml">3</mn></msub></mrow><mo id="S4.SS2.p3.4.m4.18.18.9.5.5.9" xref="S4.SS2.p3.4.m4.18.18.9.5.6.cmml">,</mo><mrow id="S4.SS2.p3.4.m4.17.17.8.4.4.4" xref="S4.SS2.p3.4.m4.17.17.8.4.4.4.cmml"><msubsup id="S4.SS2.p3.4.m4.17.17.8.4.4.4.2" xref="S4.SS2.p3.4.m4.17.17.8.4.4.4.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS2.p3.4.m4.17.17.8.4.4.4.2.2.2" xref="S4.SS2.p3.4.m4.17.17.8.4.4.4.2.2.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p3.4.m4.17.17.8.4.4.4.2.2.2.2" xref="S4.SS2.p3.4.m4.17.17.8.4.4.4.2.2.2.2.cmml">θ</mi><mo id="S4.SS2.p3.4.m4.17.17.8.4.4.4.2.2.2.1" xref="S4.SS2.p3.4.m4.17.17.8.4.4.4.2.2.2.1.cmml">˙</mo></mover><mi id="S4.SS2.p3.4.m4.17.17.8.4.4.4.2.2.3" xref="S4.SS2.p3.4.m4.17.17.8.4.4.4.2.2.3.cmml">i</mi><mrow id="S4.SS2.p3.4.m4.8.8.1.3" xref="S4.SS2.p3.4.m4.17.17.8.4.4.4.2.cmml"><mo id="S4.SS2.p3.4.m4.8.8.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS2.p3.4.m4.17.17.8.4.4.4.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS2.p3.4.m4.8.8.1.1" xref="S4.SS2.p3.4.m4.8.8.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.SS2.p3.4.m4.8.8.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.p3.4.m4.17.17.8.4.4.4.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S4.SS2.p3.4.m4.17.17.8.4.4.4.1" xref="S4.SS2.p3.4.m4.17.17.8.4.4.4.1.cmml">+</mo><msub id="S4.SS2.p3.4.m4.17.17.8.4.4.4.3" xref="S4.SS2.p3.4.m4.17.17.8.4.4.4.3.cmml"><mi id="S4.SS2.p3.4.m4.17.17.8.4.4.4.3.2" xref="S4.SS2.p3.4.m4.17.17.8.4.4.4.3.2.cmml">ϵ</mi><mn id="S4.SS2.p3.4.m4.17.17.8.4.4.4.3.3" xref="S4.SS2.p3.4.m4.17.17.8.4.4.4.3.3.cmml">4</mn></msub></mrow><mo id="S4.SS2.p3.4.m4.18.18.9.5.5.10" xref="S4.SS2.p3.4.m4.18.18.9.5.6.cmml">,</mo><mrow id="S4.SS2.p3.4.m4.18.18.9.5.5.5" xref="S4.SS2.p3.4.m4.18.18.9.5.5.5.cmml"><msubsup id="S4.SS2.p3.4.m4.18.18.9.5.5.5.2" xref="S4.SS2.p3.4.m4.18.18.9.5.5.5.2.cmml"><mi 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id="S4.SS2.p3.4.m4.16.16.7.3.3.3.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.4.m4.16.16.7.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p3.4.m4.16.16.7.3.3.3.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.4.m4.16.16.7.3.3.3.3.2">italic-ϵ</ci><cn id="S4.SS2.p3.4.m4.16.16.7.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p3.4.m4.16.16.7.3.3.3.3.3">3</cn></apply></apply><apply id="S4.SS2.p3.4.m4.17.17.8.4.4.4.cmml" xref="S4.SS2.p3.4.m4.17.17.8.4.4.4"><plus id="S4.SS2.p3.4.m4.17.17.8.4.4.4.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.4.m4.17.17.8.4.4.4.1"></plus><apply id="S4.SS2.p3.4.m4.17.17.8.4.4.4.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.4.m4.17.17.8.4.4.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p3.4.m4.17.17.8.4.4.4.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.4.m4.17.17.8.4.4.4.2">superscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p3.4.m4.17.17.8.4.4.4.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.4.m4.17.17.8.4.4.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p3.4.m4.17.17.8.4.4.4.2.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.4.m4.17.17.8.4.4.4.2">subscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p3.4.m4.17.17.8.4.4.4.2.2.2.cmml" 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end_POSTSUPERSCRIPT , over˙ start_ARG italic_θ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i + 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ) ≔ italic_F start_POSTSUBSCRIPT trans end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT + italic_ϵ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT + italic_ϵ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT + italic_ϵ start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT , over˙ start_ARG italic_θ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT + italic_ϵ start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT , italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT + italic_ϵ start_POSTSUBSCRIPT 5 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>, noise <math alttext="\epsilon_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p3.5.m5.1"><semantics id="S4.SS2.p3.5.m5.1a"><msub id="S4.SS2.p3.5.m5.1.1" xref="S4.SS2.p3.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p3.5.m5.1.1.2" xref="S4.SS2.p3.5.m5.1.1.2.cmml">ϵ</mi><mi id="S4.SS2.p3.5.m5.1.1.3" xref="S4.SS2.p3.5.m5.1.1.3.cmml">k</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p3.5.m5.1b"><apply id="S4.SS2.p3.5.m5.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p3.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.5.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p3.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.5.m5.1.1.2">italic-ϵ</ci><ci id="S4.SS2.p3.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p3.5.m5.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p3.5.m5.1c">\epsilon_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p3.5.m5.1d">italic_ϵ 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xref="S4.SS2.p3.11.m11.1.1.3">0.5</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p3.11.m11.1c">\sigma_{4}^{2}=0.5</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p3.11.m11.1d">italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT = 0.5</annotation></semantics></math>, and <math alttext="\sigma_{5}^{2}=0.05" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p3.12.m12.1"><semantics id="S4.SS2.p3.12.m12.1a"><mrow id="S4.SS2.p3.12.m12.1.1" xref="S4.SS2.p3.12.m12.1.1.cmml"><msubsup id="S4.SS2.p3.12.m12.1.1.2" xref="S4.SS2.p3.12.m12.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p3.12.m12.1.1.2.2.2" xref="S4.SS2.p3.12.m12.1.1.2.2.2.cmml">σ</mi><mn id="S4.SS2.p3.12.m12.1.1.2.2.3" xref="S4.SS2.p3.12.m12.1.1.2.2.3.cmml">5</mn><mn id="S4.SS2.p3.12.m12.1.1.2.3" xref="S4.SS2.p3.12.m12.1.1.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S4.SS2.p3.12.m12.1.1.1" xref="S4.SS2.p3.12.m12.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.SS2.p3.12.m12.1.1.3" xref="S4.SS2.p3.12.m12.1.1.3.cmml">0.05</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p3.12.m12.1b"><apply id="S4.SS2.p3.12.m12.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.12.m12.1.1"><eq id="S4.SS2.p3.12.m12.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.12.m12.1.1.1"></eq><apply id="S4.SS2.p3.12.m12.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.12.m12.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p3.12.m12.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.12.m12.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p3.12.m12.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.12.m12.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p3.12.m12.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.12.m12.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p3.12.m12.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.12.m12.1.1.2.2.2">𝜎</ci><cn id="S4.SS2.p3.12.m12.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p3.12.m12.1.1.2.2.3">5</cn></apply><cn id="S4.SS2.p3.12.m12.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p3.12.m12.1.1.2.3">2</cn></apply><cn id="S4.SS2.p3.12.m12.1.1.3.cmml" type="float" xref="S4.SS2.p3.12.m12.1.1.3">0.05</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p3.12.m12.1c">\sigma_{5}^{2}=0.05</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p3.12.m12.1d">italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 5 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT = 0.05</annotation></semantics></math>. The only twist here is that in the case where <math alttext="\lvert x_{i+1}^{(n)}\rvert>B_{x}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p3.13.m13.2"><semantics id="S4.SS2.p3.13.m13.2a"><mrow id="S4.SS2.p3.13.m13.2.2" xref="S4.SS2.p3.13.m13.2.2.cmml"><mrow id="S4.SS2.p3.13.m13.2.2.1.1" xref="S4.SS2.p3.13.m13.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.SS2.p3.13.m13.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.p3.13.m13.2.2.1.2.1.cmml">|</mo><msubsup id="S4.SS2.p3.13.m13.2.2.1.1.1" xref="S4.SS2.p3.13.m13.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p3.13.m13.2.2.1.1.1.2.2" xref="S4.SS2.p3.13.m13.2.2.1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mrow id="S4.SS2.p3.13.m13.2.2.1.1.1.2.3" xref="S4.SS2.p3.13.m13.2.2.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.SS2.p3.13.m13.2.2.1.1.1.2.3.2" xref="S4.SS2.p3.13.m13.2.2.1.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S4.SS2.p3.13.m13.2.2.1.1.1.2.3.1" xref="S4.SS2.p3.13.m13.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S4.SS2.p3.13.m13.2.2.1.1.1.2.3.3" xref="S4.SS2.p3.13.m13.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="S4.SS2.p3.13.m13.1.1.1.3" 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xref="S4.SS2.p3.13.m13.2.2.1.1"><abs id="S4.SS2.p3.13.m13.2.2.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.13.m13.2.2.1.1.2"></abs><apply id="S4.SS2.p3.13.m13.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.13.m13.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p3.13.m13.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.13.m13.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p3.13.m13.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.13.m13.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p3.13.m13.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.13.m13.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p3.13.m13.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.13.m13.2.2.1.1.1.2.2">𝑥</ci><apply id="S4.SS2.p3.13.m13.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p3.13.m13.2.2.1.1.1.2.3"><plus id="S4.SS2.p3.13.m13.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.13.m13.2.2.1.1.1.2.3.1"></plus><ci id="S4.SS2.p3.13.m13.2.2.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.13.m13.2.2.1.1.1.2.3.2">𝑖</ci><cn id="S4.SS2.p3.13.m13.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p3.13.m13.2.2.1.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S4.SS2.p3.13.m13.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.13.m13.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></apply><apply id="S4.SS2.p3.13.m13.2.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p3.13.m13.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p3.13.m13.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.13.m13.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p3.13.m13.2.2.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.13.m13.2.2.3.2">𝐵</ci><ci id="S4.SS2.p3.13.m13.2.2.3.3.cmml" xref="S4.SS2.p3.13.m13.2.2.3.3">𝑥</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p3.13.m13.2c">\lvert x_{i+1}^{(n)}\rvert>B_{x}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p3.13.m13.2d">| italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i + 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT | > italic_B start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> or <math alttext="\lvert\theta_{i+1}^{(n)}\rvert>B_{\theta}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p3.14.m14.2"><semantics id="S4.SS2.p3.14.m14.2a"><mrow id="S4.SS2.p3.14.m14.2.2" xref="S4.SS2.p3.14.m14.2.2.cmml"><mrow id="S4.SS2.p3.14.m14.2.2.1.1" xref="S4.SS2.p3.14.m14.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.SS2.p3.14.m14.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.p3.14.m14.2.2.1.2.1.cmml">|</mo><msubsup id="S4.SS2.p3.14.m14.2.2.1.1.1" xref="S4.SS2.p3.14.m14.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p3.14.m14.2.2.1.1.1.2.2" xref="S4.SS2.p3.14.m14.2.2.1.1.1.2.2.cmml">θ</mi><mrow id="S4.SS2.p3.14.m14.2.2.1.1.1.2.3" xref="S4.SS2.p3.14.m14.2.2.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.SS2.p3.14.m14.2.2.1.1.1.2.3.2" xref="S4.SS2.p3.14.m14.2.2.1.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S4.SS2.p3.14.m14.2.2.1.1.1.2.3.1" xref="S4.SS2.p3.14.m14.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S4.SS2.p3.14.m14.2.2.1.1.1.2.3.3" xref="S4.SS2.p3.14.m14.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="S4.SS2.p3.14.m14.1.1.1.3" xref="S4.SS2.p3.14.m14.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS2.p3.14.m14.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS2.p3.14.m14.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.SS2.p3.14.m14.1.1.1.1" xref="S4.SS2.p3.14.m14.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.SS2.p3.14.m14.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.p3.14.m14.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S4.SS2.p3.14.m14.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS2.p3.14.m14.2.2.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S4.SS2.p3.14.m14.2.2.2" xref="S4.SS2.p3.14.m14.2.2.2.cmml">></mo><msub id="S4.SS2.p3.14.m14.2.2.3" xref="S4.SS2.p3.14.m14.2.2.3.cmml"><mi id="S4.SS2.p3.14.m14.2.2.3.2" xref="S4.SS2.p3.14.m14.2.2.3.2.cmml">B</mi><mi id="S4.SS2.p3.14.m14.2.2.3.3" xref="S4.SS2.p3.14.m14.2.2.3.3.cmml">θ</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p3.14.m14.2b"><apply id="S4.SS2.p3.14.m14.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.14.m14.2.2"><gt id="S4.SS2.p3.14.m14.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.14.m14.2.2.2"></gt><apply id="S4.SS2.p3.14.m14.2.2.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.14.m14.2.2.1.1"><abs id="S4.SS2.p3.14.m14.2.2.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.14.m14.2.2.1.1.2"></abs><apply id="S4.SS2.p3.14.m14.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.14.m14.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p3.14.m14.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.14.m14.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p3.14.m14.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.14.m14.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p3.14.m14.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.14.m14.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p3.14.m14.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.14.m14.2.2.1.1.1.2.2">𝜃</ci><apply id="S4.SS2.p3.14.m14.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p3.14.m14.2.2.1.1.1.2.3"><plus id="S4.SS2.p3.14.m14.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.14.m14.2.2.1.1.1.2.3.1"></plus><ci id="S4.SS2.p3.14.m14.2.2.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.14.m14.2.2.1.1.1.2.3.2">𝑖</ci><cn id="S4.SS2.p3.14.m14.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p3.14.m14.2.2.1.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S4.SS2.p3.14.m14.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.14.m14.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></apply><apply id="S4.SS2.p3.14.m14.2.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p3.14.m14.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p3.14.m14.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.14.m14.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p3.14.m14.2.2.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.14.m14.2.2.3.2">𝐵</ci><ci id="S4.SS2.p3.14.m14.2.2.3.3.cmml" xref="S4.SS2.p3.14.m14.2.2.3.3">𝜃</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p3.14.m14.2c">\lvert\theta_{i+1}^{(n)}\rvert>B_{\theta}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p3.14.m14.2d">| italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_i + 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT | > italic_B start_POSTSUBSCRIPT italic_θ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, then <math alttext="(x_{i+1}^{(n)},v_{i+1}^{(n)},\theta_{i+1}^{(n)},\dot{\theta}_{i+1}^{(n)})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p3.15.m15.8"><semantics id="S4.SS2.p3.15.m15.8a"><mrow id="S4.SS2.p3.15.m15.8.8.4" 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end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT , over˙ start_ARG italic_θ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i + 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> is redefined as the initial <math alttext="(x_{0}^{(n)},v_{0}^{(n)},\theta_{0}^{(n)},\dot{\theta}_{0}^{(n)})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p3.16.m16.8"><semantics id="S4.SS2.p3.16.m16.8a"><mrow id="S4.SS2.p3.16.m16.8.8.4" xref="S4.SS2.p3.16.m16.8.8.5.cmml"><mo id="S4.SS2.p3.16.m16.8.8.4.5" stretchy="false" xref="S4.SS2.p3.16.m16.8.8.5.cmml">(</mo><msubsup id="S4.SS2.p3.16.m16.5.5.1.1" xref="S4.SS2.p3.16.m16.5.5.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p3.16.m16.5.5.1.1.2.2" xref="S4.SS2.p3.16.m16.5.5.1.1.2.2.cmml">x</mi><mn id="S4.SS2.p3.16.m16.5.5.1.1.2.3" xref="S4.SS2.p3.16.m16.5.5.1.1.2.3.cmml">0</mn><mrow id="S4.SS2.p3.16.m16.1.1.1.3" xref="S4.SS2.p3.16.m16.5.5.1.1.cmml"><mo id="S4.SS2.p3.16.m16.1.1.1.3.1" stretchy="false" 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id="S4.SS2.p3.16.m16.7.7.3.3" xref="S4.SS2.p3.16.m16.7.7.3.3.cmml"><mi id="S4.SS2.p3.16.m16.7.7.3.3.2.2" xref="S4.SS2.p3.16.m16.7.7.3.3.2.2.cmml">θ</mi><mn id="S4.SS2.p3.16.m16.7.7.3.3.2.3" xref="S4.SS2.p3.16.m16.7.7.3.3.2.3.cmml">0</mn><mrow id="S4.SS2.p3.16.m16.3.3.1.3" xref="S4.SS2.p3.16.m16.7.7.3.3.cmml"><mo id="S4.SS2.p3.16.m16.3.3.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS2.p3.16.m16.7.7.3.3.cmml">(</mo><mi id="S4.SS2.p3.16.m16.3.3.1.1" xref="S4.SS2.p3.16.m16.3.3.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.SS2.p3.16.m16.3.3.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.p3.16.m16.7.7.3.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S4.SS2.p3.16.m16.8.8.4.8" xref="S4.SS2.p3.16.m16.8.8.5.cmml">,</mo><msubsup id="S4.SS2.p3.16.m16.8.8.4.4" xref="S4.SS2.p3.16.m16.8.8.4.4.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS2.p3.16.m16.8.8.4.4.2.2" xref="S4.SS2.p3.16.m16.8.8.4.4.2.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p3.16.m16.8.8.4.4.2.2.2" xref="S4.SS2.p3.16.m16.8.8.4.4.2.2.2.cmml">θ</mi><mo id="S4.SS2.p3.16.m16.8.8.4.4.2.2.1" xref="S4.SS2.p3.16.m16.8.8.4.4.2.2.1.cmml">˙</mo></mover><mn id="S4.SS2.p3.16.m16.8.8.4.4.2.3" xref="S4.SS2.p3.16.m16.8.8.4.4.2.3.cmml">0</mn><mrow id="S4.SS2.p3.16.m16.4.4.1.3" xref="S4.SS2.p3.16.m16.8.8.4.4.cmml"><mo id="S4.SS2.p3.16.m16.4.4.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS2.p3.16.m16.8.8.4.4.cmml">(</mo><mi id="S4.SS2.p3.16.m16.4.4.1.1" xref="S4.SS2.p3.16.m16.4.4.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.SS2.p3.16.m16.4.4.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.p3.16.m16.8.8.4.4.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S4.SS2.p3.16.m16.8.8.4.9" stretchy="false" xref="S4.SS2.p3.16.m16.8.8.5.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p3.16.m16.8b"><vector id="S4.SS2.p3.16.m16.8.8.5.cmml" xref="S4.SS2.p3.16.m16.8.8.4"><apply id="S4.SS2.p3.16.m16.5.5.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.16.m16.5.5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p3.16.m16.5.5.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.16.m16.5.5.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p3.16.m16.5.5.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.16.m16.5.5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p3.16.m16.5.5.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.16.m16.5.5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p3.16.m16.5.5.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.16.m16.5.5.1.1.2.2">𝑥</ci><cn id="S4.SS2.p3.16.m16.5.5.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p3.16.m16.5.5.1.1.2.3">0</cn></apply><ci id="S4.SS2.p3.16.m16.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.16.m16.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S4.SS2.p3.16.m16.6.6.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.16.m16.6.6.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p3.16.m16.6.6.2.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.16.m16.6.6.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p3.16.m16.6.6.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.16.m16.6.6.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p3.16.m16.6.6.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.16.m16.6.6.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p3.16.m16.6.6.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.16.m16.6.6.2.2.2.2">𝑣</ci><cn id="S4.SS2.p3.16.m16.6.6.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p3.16.m16.6.6.2.2.2.3">0</cn></apply><ci id="S4.SS2.p3.16.m16.2.2.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.16.m16.2.2.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S4.SS2.p3.16.m16.7.7.3.3.cmml" xref="S4.SS2.p3.16.m16.7.7.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p3.16.m16.7.7.3.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.16.m16.7.7.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p3.16.m16.7.7.3.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.16.m16.7.7.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p3.16.m16.7.7.3.3.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.16.m16.7.7.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p3.16.m16.7.7.3.3.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.16.m16.7.7.3.3.2.2">𝜃</ci><cn id="S4.SS2.p3.16.m16.7.7.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p3.16.m16.7.7.3.3.2.3">0</cn></apply><ci id="S4.SS2.p3.16.m16.3.3.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.16.m16.3.3.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S4.SS2.p3.16.m16.8.8.4.4.cmml" xref="S4.SS2.p3.16.m16.8.8.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p3.16.m16.8.8.4.4.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.16.m16.8.8.4.4">superscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p3.16.m16.8.8.4.4.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.16.m16.8.8.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p3.16.m16.8.8.4.4.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.16.m16.8.8.4.4">subscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p3.16.m16.8.8.4.4.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.16.m16.8.8.4.4.2.2"><ci id="S4.SS2.p3.16.m16.8.8.4.4.2.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.16.m16.8.8.4.4.2.2.1">˙</ci><ci id="S4.SS2.p3.16.m16.8.8.4.4.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.16.m16.8.8.4.4.2.2.2">𝜃</ci></apply><cn id="S4.SS2.p3.16.m16.8.8.4.4.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p3.16.m16.8.8.4.4.2.3">0</cn></apply><ci id="S4.SS2.p3.16.m16.4.4.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.16.m16.4.4.1.1">𝑛</ci></apply></vector></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p3.16.m16.8c">(x_{0}^{(n)},v_{0}^{(n)},\theta_{0}^{(n)},\dot{\theta}_{0}^{(n)})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p3.16.m16.8d">( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT , italic_v start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT , italic_θ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT , over˙ start_ARG italic_θ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> which is provided in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#bib.bib39" title="">39</a>]</cite>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS2.p4"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p4.4">In the current scenario, <math alttext="N_{\text{e}}=500" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p4.1.m1.1"><semantics id="S4.SS2.p4.1.m1.1a"><mrow id="S4.SS2.p4.1.m1.1.1" xref="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.cmml"><msub id="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.2" xref="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.2.2" xref="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.2.2.cmml">N</mi><mtext id="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.2.3" xref="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.2.3a.cmml">e</mtext></msub><mo id="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.1" xref="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.3" xref="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.3.cmml">500</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p4.1.m1.1b"><apply id="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p4.1.m1.1.1"><eq id="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.1"></eq><apply id="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.2.2">𝑁</ci><ci id="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.2.3a.cmml" xref="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.2.3"><mtext id="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.2.3">e</mtext></ci></apply><cn id="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.3">500</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p4.1.m1.1c">N_{\text{e}}=500</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p4.1.m1.1d">italic_N start_POSTSUBSCRIPT e end_POSTSUBSCRIPT = 500</annotation></semantics></math> in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S4.E26" title="Equation 26 ‣ IV-A Network of pendulums ‣ IV Numerical Tests ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">26</span></a>), the RFF dimension <math alttext="D=250" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p4.2.m2.1"><semantics id="S4.SS2.p4.2.m2.1a"><mrow id="S4.SS2.p4.2.m2.1.1" xref="S4.SS2.p4.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p4.2.m2.1.1.2" xref="S4.SS2.p4.2.m2.1.1.2.cmml">D</mi><mo id="S4.SS2.p4.2.m2.1.1.1" xref="S4.SS2.p4.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.SS2.p4.2.m2.1.1.3" xref="S4.SS2.p4.2.m2.1.1.3.cmml">250</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p4.2.m2.1b"><apply id="S4.SS2.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p4.2.m2.1.1"><eq id="S4.SS2.p4.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p4.2.m2.1.1.1"></eq><ci id="S4.SS2.p4.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p4.2.m2.1.1.2">𝐷</ci><cn id="S4.SS2.p4.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p4.2.m2.1.1.3">250</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p4.2.m2.1c">D=250</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p4.2.m2.1d">italic_D = 250</annotation></semantics></math> in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E16" title="Equation 16 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">16</span></a>) for all employed methods (<math alttext="D=150" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p4.3.m3.1"><semantics id="S4.SS2.p4.3.m3.1a"><mrow id="S4.SS2.p4.3.m3.1.1" xref="S4.SS2.p4.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p4.3.m3.1.1.2" xref="S4.SS2.p4.3.m3.1.1.2.cmml">D</mi><mo id="S4.SS2.p4.3.m3.1.1.1" xref="S4.SS2.p4.3.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.SS2.p4.3.m3.1.1.3" xref="S4.SS2.p4.3.m3.1.1.3.cmml">150</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p4.3.m3.1b"><apply id="S4.SS2.p4.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p4.3.m3.1.1"><eq id="S4.SS2.p4.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p4.3.m3.1.1.1"></eq><ci id="S4.SS2.p4.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p4.3.m3.1.1.2">𝐷</ci><cn id="S4.SS2.p4.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p4.3.m3.1.1.3">150</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p4.3.m3.1c">D=150</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p4.3.m3.1d">italic_D = 150</annotation></semantics></math> is also tested in <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S4.F4.sf1" title="In Figure 4 ‣ IV-B Network of cartpoles ‣ IV Numerical Tests ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Figure</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">4(a)</span></a> for <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#alg1" title="In III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Algorithm</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>), and <math alttext="\sigma=0.025" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p4.4.m4.1"><semantics id="S4.SS2.p4.4.m4.1a"><mrow id="S4.SS2.p4.4.m4.1.1" xref="S4.SS2.p4.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p4.4.m4.1.1.2" xref="S4.SS2.p4.4.m4.1.1.2.cmml">σ</mi><mo id="S4.SS2.p4.4.m4.1.1.1" xref="S4.SS2.p4.4.m4.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.SS2.p4.4.m4.1.1.3" xref="S4.SS2.p4.4.m4.1.1.3.cmml">0.025</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p4.4.m4.1b"><apply id="S4.SS2.p4.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p4.4.m4.1.1"><eq id="S4.SS2.p4.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p4.4.m4.1.1.1"></eq><ci id="S4.SS2.p4.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p4.4.m4.1.1.2">𝜎</ci><cn id="S4.SS2.p4.4.m4.1.1.3.cmml" type="float" xref="S4.SS2.p4.4.m4.1.1.3">0.025</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p4.4.m4.1c">\sigma=0.025</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p4.4.m4.1d">italic_σ = 0.025</annotation></semantics></math> in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E23" title="Equation 23 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">23</span></a>). All other parameters of <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#alg1" title="In III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Algorithm</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> are kept the same as in <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S4.SS1" title="IV-A Network of pendulums ‣ IV Numerical Tests ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Section</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag"><span class="ltx_text">IV-A</span></span></a>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS2.p5"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p5.1"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S4.F4" title="In IV-B Network of cartpoles ‣ IV Numerical Tests ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Figure</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a> reveals similar observations to those made at the end of <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S4.SS1" title="IV-A Network of pendulums ‣ IV Numerical Tests ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Section</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag"><span class="ltx_text">IV-A</span></span></a>. However, D-LSTD seems to perform better in <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S4.F4.sf1" title="In Figure 4 ‣ IV-B Network of cartpoles ‣ IV Numerical Tests ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Figure</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">4(a)</span></a> compared to <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S4.F3.sf1" title="In Figure 3 ‣ IV-A Network of pendulums ‣ IV Numerical Tests ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Figure</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">3(a)</span></a>. Additionally, the differences in convergence speed between the curves in <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S4.F4.sf2" title="In Figure 4 ‣ IV-B Network of cartpoles ‣ IV Numerical Tests ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Figure</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">4(b)</span></a> are less pronounced than those in <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S4.F3.sf2" title="In Figure 3 ‣ IV-A Network of pendulums ‣ IV Numerical Tests ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Figure</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">3(b)</span></a>.</p> </div> </section> </section> <section class="ltx_section" id="S5"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">V </span><span class="ltx_text ltx_font_smallcaps" id="S5.15.1">Conclusions</span> </h2> <div class="ltx_para" id="S5.p1"> <p class="ltx_p" id="S5.p1.1">A novel class of nonparametric Bellman mappings (B-Maps) was introduced for value iteration (VI) in distributed reinforcement learning (DRL). This approach leveraged a reproducing kernel Hilbert space representation of the Q-function, enabling a nonparametric formulation that supports flexible, agent-specific basis function design. Beyond sharing Q-functions, agents also exchanged basis information without relying on a centralized fusion center, facilitating consensus. The proposed methodology was backed by rigorous theoretical analysis, and numerical evaluations on two well-known control problems demonstrated its superior performance compared to existing methods. Interestingly, the evaluations revealed a counter-intuitive insight: despite involving increased information exchange—specifically through covariance matrix sharing—the approach achieved the desired performance with lower cumulative communication cost than prior-art DRL schemes. This underscores the critical role of basis information in accelerating the learning process.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S5.p2"> <p class="ltx_p" id="S5.p2.1">Ongoing research aims to extend this framework to online/streaming data, integrate state-sharing mechanisms common in a plethora of multi-agent reinforcement learning (MARL) designs, and develop strategies to reduce the computational complexity of the matrix inversion in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E23" title="Equation 23 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">23</span></a>).</p> </div> <div class="ltx_para" id="S5.p3"> <p class="ltx_p" id="S5.p3.1">The discussion starts with the following lemma to establish properties on recursions (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E15" title="Equation 15 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">15</span></a>) and (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E22" title="Equation 22 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">22</span></a>). To save space, those recursions are unified in the generic form of (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#A0.E30" title="Equation 30 ‣ Lemma 7. ‣ V Conclusions ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">30</span></a>).</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmthm7"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmthm7.1.1.1">Lemma 7</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmthm7.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmthm7.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmthm7.p1.2">For the user-defined <math alttext="\mathbf{x}_{-1},\mathbf{x}^{\prime}\in\mathbb{R}^{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmthm7.p1.1.m1.2"><semantics id="Thmthm7.p1.1.m1.2a"><mrow id="Thmthm7.p1.1.m1.2.2" xref="Thmthm7.p1.1.m1.2.2.cmml"><mrow id="Thmthm7.p1.1.m1.2.2.2.2" xref="Thmthm7.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml"><msub id="Thmthm7.p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="Thmthm7.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmthm7.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmthm7.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mrow id="Thmthm7.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmthm7.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="Thmthm7.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3a" xref="Thmthm7.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="Thmthm7.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="Thmthm7.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="Thmthm7.p1.1.m1.2.2.2.2.3" xref="Thmthm7.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><msup id="Thmthm7.p1.1.m1.2.2.2.2.2" xref="Thmthm7.p1.1.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="Thmthm7.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2" xref="Thmthm7.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">𝐱</mi><mo id="Thmthm7.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3" xref="Thmthm7.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">′</mo></msup></mrow><mo id="Thmthm7.p1.1.m1.2.2.3" xref="Thmthm7.p1.1.m1.2.2.3.cmml">∈</mo><msup id="Thmthm7.p1.1.m1.2.2.4" xref="Thmthm7.p1.1.m1.2.2.4.cmml"><mi id="Thmthm7.p1.1.m1.2.2.4.2" xref="Thmthm7.p1.1.m1.2.2.4.2.cmml">ℝ</mi><mi id="Thmthm7.p1.1.m1.2.2.4.3" xref="Thmthm7.p1.1.m1.2.2.4.3.cmml">N</mi></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmthm7.p1.1.m1.2b"><apply id="Thmthm7.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="Thmthm7.p1.1.m1.2.2"><in id="Thmthm7.p1.1.m1.2.2.3.cmml" xref="Thmthm7.p1.1.m1.2.2.3"></in><list id="Thmthm7.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="Thmthm7.p1.1.m1.2.2.2.2"><apply id="Thmthm7.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmthm7.p1.1.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmthm7.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmthm7.p1.1.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmthm7.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmthm7.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2">𝐱</ci><apply id="Thmthm7.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmthm7.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3"><minus id="Thmthm7.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmthm7.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3"></minus><cn id="Thmthm7.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="Thmthm7.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="Thmthm7.p1.1.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmthm7.p1.1.m1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmthm7.p1.1.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="Thmthm7.p1.1.m1.2.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="Thmthm7.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmthm7.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2">𝐱</ci><ci id="Thmthm7.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="Thmthm7.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3">′</ci></apply></list><apply id="Thmthm7.p1.1.m1.2.2.4.cmml" xref="Thmthm7.p1.1.m1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmthm7.p1.1.m1.2.2.4.1.cmml" xref="Thmthm7.p1.1.m1.2.2.4">superscript</csymbol><ci id="Thmthm7.p1.1.m1.2.2.4.2.cmml" xref="Thmthm7.p1.1.m1.2.2.4.2">ℝ</ci><ci id="Thmthm7.p1.1.m1.2.2.4.3.cmml" xref="Thmthm7.p1.1.m1.2.2.4.3">𝑁</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmthm7.p1.1.m1.2c">\mathbf{x}_{-1},\mathbf{x}^{\prime}\in\mathbb{R}^{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmthm7.p1.1.m1.2d">bold_x start_POSTSUBSCRIPT - 1 end_POSTSUBSCRIPT , bold_x start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, generate sequence <math alttext="(\mathbf{x}_{m})_{m\in\mathbb{N}}\subset\mathbb{R}^{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmthm7.p1.2.m2.1"><semantics id="Thmthm7.p1.2.m2.1a"><mrow id="Thmthm7.p1.2.m2.1.1" xref="Thmthm7.p1.2.m2.1.1.cmml"><msub id="Thmthm7.p1.2.m2.1.1.1" xref="Thmthm7.p1.2.m2.1.1.1.cmml"><mrow id="Thmthm7.p1.2.m2.1.1.1.1.1" xref="Thmthm7.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmthm7.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmthm7.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="Thmthm7.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1" xref="Thmthm7.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmthm7.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmthm7.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mi id="Thmthm7.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmthm7.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">m</mi></msub><mo id="Thmthm7.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmthm7.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="Thmthm7.p1.2.m2.1.1.1.3" xref="Thmthm7.p1.2.m2.1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmthm7.p1.2.m2.1.1.1.3.2" xref="Thmthm7.p1.2.m2.1.1.1.3.2.cmml">m</mi><mo id="Thmthm7.p1.2.m2.1.1.1.3.1" xref="Thmthm7.p1.2.m2.1.1.1.3.1.cmml">∈</mo><mi id="Thmthm7.p1.2.m2.1.1.1.3.3" xref="Thmthm7.p1.2.m2.1.1.1.3.3.cmml">ℕ</mi></mrow></msub><mo id="Thmthm7.p1.2.m2.1.1.2" xref="Thmthm7.p1.2.m2.1.1.2.cmml">⊂</mo><msup id="Thmthm7.p1.2.m2.1.1.3" xref="Thmthm7.p1.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="Thmthm7.p1.2.m2.1.1.3.2" xref="Thmthm7.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml">ℝ</mi><mi id="Thmthm7.p1.2.m2.1.1.3.3" xref="Thmthm7.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml">N</mi></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmthm7.p1.2.m2.1b"><apply id="Thmthm7.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmthm7.p1.2.m2.1.1"><subset id="Thmthm7.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmthm7.p1.2.m2.1.1.2"></subset><apply id="Thmthm7.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmthm7.p1.2.m2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmthm7.p1.2.m2.1.1.1.2.cmml" xref="Thmthm7.p1.2.m2.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="Thmthm7.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmthm7.p1.2.m2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmthm7.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmthm7.p1.2.m2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmthm7.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmthm7.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2">𝐱</ci><ci id="Thmthm7.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmthm7.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.3">𝑚</ci></apply><apply id="Thmthm7.p1.2.m2.1.1.1.3.cmml" xref="Thmthm7.p1.2.m2.1.1.1.3"><in id="Thmthm7.p1.2.m2.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmthm7.p1.2.m2.1.1.1.3.1"></in><ci id="Thmthm7.p1.2.m2.1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmthm7.p1.2.m2.1.1.1.3.2">𝑚</ci><ci id="Thmthm7.p1.2.m2.1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmthm7.p1.2.m2.1.1.1.3.3">ℕ</ci></apply></apply><apply id="Thmthm7.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmthm7.p1.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmthm7.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="Thmthm7.p1.2.m2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="Thmthm7.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="Thmthm7.p1.2.m2.1.1.3.2">ℝ</ci><ci id="Thmthm7.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="Thmthm7.p1.2.m2.1.1.3.3">𝑁</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmthm7.p1.2.m2.1c">(\mathbf{x}_{m})_{m\in\mathbb{N}}\subset\mathbb{R}^{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmthm7.p1.2.m2.1d">( bold_x start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_m ∈ blackboard_N end_POSTSUBSCRIPT ⊂ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> by</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_table" id="A0.E30"> <tbody> <tr class="ltx_eqn_row" id="A0.EGx41"><td class="ltx_eqn_cell" colspan="6"></td></tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="A0.E30.1"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathbf{x}_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.E30.1.m1.1"><semantics id="A0.E30.1.m1.1a"><msub id="A0.E30.1.m1.1.1" xref="A0.E30.1.m1.1.1.cmml"><mi id="A0.E30.1.m1.1.1.2" xref="A0.E30.1.m1.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mn id="A0.E30.1.m1.1.1.3" xref="A0.E30.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.E30.1.m1.1b"><apply id="A0.E30.1.m1.1.1.cmml" xref="A0.E30.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E30.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A0.E30.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A0.E30.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A0.E30.1.m1.1.1.2">𝐱</ci><cn id="A0.E30.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A0.E30.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.E30.1.m1.1c">\displaystyle\mathbf{x}_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.E30.1.m1.1d">bold_x start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle{}\coloneqq{}" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.E30.1.m2.1"><semantics id="A0.E30.1.m2.1a"><mo id="A0.E30.1.m2.1.1" xref="A0.E30.1.m2.1.1.cmml">≔</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.E30.1.m2.1b"><ci id="A0.E30.1.m2.1.1.cmml" xref="A0.E30.1.m2.1.1">≔</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.E30.1.m2.1c">\displaystyle{}\coloneqq{}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.E30.1.m2.1d">≔</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle A_{\varpi}(\mathbf{x}_{-1})-\eta(\mathbf{x}_{-1}-N\,\mathbf{x}^{% \prime})" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.E30.1.m3.2"><semantics id="A0.E30.1.m3.2a"><mrow id="A0.E30.1.m3.2.2" xref="A0.E30.1.m3.2.2.cmml"><mrow id="A0.E30.1.m3.1.1.1" xref="A0.E30.1.m3.1.1.1.cmml"><msub id="A0.E30.1.m3.1.1.1.3" xref="A0.E30.1.m3.1.1.1.3.cmml"><mi id="A0.E30.1.m3.1.1.1.3.2" xref="A0.E30.1.m3.1.1.1.3.2.cmml">A</mi><mi id="A0.E30.1.m3.1.1.1.3.3" xref="A0.E30.1.m3.1.1.1.3.3.cmml">ϖ</mi></msub><mo id="A0.E30.1.m3.1.1.1.2" xref="A0.E30.1.m3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.E30.1.m3.1.1.1.1.1" xref="A0.E30.1.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.E30.1.m3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.E30.1.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="A0.E30.1.m3.1.1.1.1.1.1" xref="A0.E30.1.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A0.E30.1.m3.1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.E30.1.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mrow id="A0.E30.1.m3.1.1.1.1.1.1.3" xref="A0.E30.1.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A0.E30.1.m3.1.1.1.1.1.1.3a" xref="A0.E30.1.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="A0.E30.1.m3.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A0.E30.1.m3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="A0.E30.1.m3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.E30.1.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A0.E30.1.m3.2.2.3" xref="A0.E30.1.m3.2.2.3.cmml">−</mo><mrow id="A0.E30.1.m3.2.2.2" xref="A0.E30.1.m3.2.2.2.cmml"><mi id="A0.E30.1.m3.2.2.2.3" xref="A0.E30.1.m3.2.2.2.3.cmml">η</mi><mo id="A0.E30.1.m3.2.2.2.2" xref="A0.E30.1.m3.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.E30.1.m3.2.2.2.1.1" xref="A0.E30.1.m3.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A0.E30.1.m3.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.E30.1.m3.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.E30.1.m3.2.2.2.1.1.1" xref="A0.E30.1.m3.2.2.2.1.1.1.cmml"><msub id="A0.E30.1.m3.2.2.2.1.1.1.2" xref="A0.E30.1.m3.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="A0.E30.1.m3.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="A0.E30.1.m3.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml">𝐱</mi><mrow id="A0.E30.1.m3.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="A0.E30.1.m3.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="A0.E30.1.m3.2.2.2.1.1.1.2.3a" xref="A0.E30.1.m3.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="A0.E30.1.m3.2.2.2.1.1.1.2.3.2" xref="A0.E30.1.m3.2.2.2.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="A0.E30.1.m3.2.2.2.1.1.1.1" xref="A0.E30.1.m3.2.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A0.E30.1.m3.2.2.2.1.1.1.3" xref="A0.E30.1.m3.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A0.E30.1.m3.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="A0.E30.1.m3.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">N</mi><mo id="A0.E30.1.m3.2.2.2.1.1.1.3.1" lspace="0.170em" xref="A0.E30.1.m3.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="A0.E30.1.m3.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="A0.E30.1.m3.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A0.E30.1.m3.2.2.2.1.1.1.3.3.2" xref="A0.E30.1.m3.2.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml">𝐱</mi><mo id="A0.E30.1.m3.2.2.2.1.1.1.3.3.3" xref="A0.E30.1.m3.2.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml">′</mo></msup></mrow></mrow><mo id="A0.E30.1.m3.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.E30.1.m3.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.E30.1.m3.2b"><apply id="A0.E30.1.m3.2.2.cmml" xref="A0.E30.1.m3.2.2"><minus id="A0.E30.1.m3.2.2.3.cmml" xref="A0.E30.1.m3.2.2.3"></minus><apply id="A0.E30.1.m3.1.1.1.cmml" xref="A0.E30.1.m3.1.1.1"><times id="A0.E30.1.m3.1.1.1.2.cmml" xref="A0.E30.1.m3.1.1.1.2"></times><apply id="A0.E30.1.m3.1.1.1.3.cmml" xref="A0.E30.1.m3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E30.1.m3.1.1.1.3.1.cmml" xref="A0.E30.1.m3.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A0.E30.1.m3.1.1.1.3.2.cmml" xref="A0.E30.1.m3.1.1.1.3.2">𝐴</ci><ci id="A0.E30.1.m3.1.1.1.3.3.cmml" xref="A0.E30.1.m3.1.1.1.3.3">italic-ϖ</ci></apply><apply id="A0.E30.1.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.E30.1.m3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E30.1.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.E30.1.m3.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A0.E30.1.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.E30.1.m3.1.1.1.1.1.1.2">𝐱</ci><apply id="A0.E30.1.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.E30.1.m3.1.1.1.1.1.1.3"><minus id="A0.E30.1.m3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A0.E30.1.m3.1.1.1.1.1.1.3"></minus><cn id="A0.E30.1.m3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A0.E30.1.m3.1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply></apply><apply id="A0.E30.1.m3.2.2.2.cmml" xref="A0.E30.1.m3.2.2.2"><times id="A0.E30.1.m3.2.2.2.2.cmml" xref="A0.E30.1.m3.2.2.2.2"></times><ci id="A0.E30.1.m3.2.2.2.3.cmml" xref="A0.E30.1.m3.2.2.2.3">𝜂</ci><apply id="A0.E30.1.m3.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A0.E30.1.m3.2.2.2.1.1"><minus id="A0.E30.1.m3.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A0.E30.1.m3.2.2.2.1.1.1.1"></minus><apply id="A0.E30.1.m3.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A0.E30.1.m3.2.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E30.1.m3.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="A0.E30.1.m3.2.2.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A0.E30.1.m3.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="A0.E30.1.m3.2.2.2.1.1.1.2.2">𝐱</ci><apply id="A0.E30.1.m3.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="A0.E30.1.m3.2.2.2.1.1.1.2.3"><minus id="A0.E30.1.m3.2.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A0.E30.1.m3.2.2.2.1.1.1.2.3"></minus><cn id="A0.E30.1.m3.2.2.2.1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A0.E30.1.m3.2.2.2.1.1.1.2.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="A0.E30.1.m3.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A0.E30.1.m3.2.2.2.1.1.1.3"><times id="A0.E30.1.m3.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A0.E30.1.m3.2.2.2.1.1.1.3.1"></times><ci id="A0.E30.1.m3.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A0.E30.1.m3.2.2.2.1.1.1.3.2">𝑁</ci><apply id="A0.E30.1.m3.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="A0.E30.1.m3.2.2.2.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E30.1.m3.2.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A0.E30.1.m3.2.2.2.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="A0.E30.1.m3.2.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A0.E30.1.m3.2.2.2.1.1.1.3.3.2">𝐱</ci><ci id="A0.E30.1.m3.2.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A0.E30.1.m3.2.2.2.1.1.1.3.3.3">′</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.E30.1.m3.2c">\displaystyle A_{\varpi}(\mathbf{x}_{-1})-\eta(\mathbf{x}_{-1}-N\,\mathbf{x}^{% \prime})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.E30.1.m3.2d">italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_ϖ end_POSTSUBSCRIPT ( bold_x start_POSTSUBSCRIPT - 1 end_POSTSUBSCRIPT ) - italic_η ( bold_x start_POSTSUBSCRIPT - 1 end_POSTSUBSCRIPT - italic_N bold_x start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(30a)</span></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="A0.E30.x1"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathbf{x}_{m+1}" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.E30.x1.m1.1"><semantics id="A0.E30.x1.m1.1a"><msub id="A0.E30.x1.m1.1.1" xref="A0.E30.x1.m1.1.1.cmml"><mi id="A0.E30.x1.m1.1.1.2" xref="A0.E30.x1.m1.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mrow id="A0.E30.x1.m1.1.1.3" xref="A0.E30.x1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="A0.E30.x1.m1.1.1.3.2" xref="A0.E30.x1.m1.1.1.3.2.cmml">m</mi><mo id="A0.E30.x1.m1.1.1.3.1" xref="A0.E30.x1.m1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mn id="A0.E30.x1.m1.1.1.3.3" xref="A0.E30.x1.m1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.E30.x1.m1.1b"><apply id="A0.E30.x1.m1.1.1.cmml" xref="A0.E30.x1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E30.x1.m1.1.1.1.cmml" xref="A0.E30.x1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A0.E30.x1.m1.1.1.2.cmml" xref="A0.E30.x1.m1.1.1.2">𝐱</ci><apply id="A0.E30.x1.m1.1.1.3.cmml" xref="A0.E30.x1.m1.1.1.3"><plus id="A0.E30.x1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A0.E30.x1.m1.1.1.3.1"></plus><ci id="A0.E30.x1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A0.E30.x1.m1.1.1.3.2">𝑚</ci><cn id="A0.E30.x1.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A0.E30.x1.m1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.E30.x1.m1.1c">\displaystyle\mathbf{x}_{m+1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.E30.x1.m1.1d">bold_x start_POSTSUBSCRIPT italic_m + 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\coloneqq" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.E30.x1.m2.1"><semantics id="A0.E30.x1.m2.1a"><mo id="A0.E30.x1.m2.1.1" xref="A0.E30.x1.m2.1.1.cmml">≔</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.E30.x1.m2.1b"><ci id="A0.E30.x1.m2.1.1.cmml" xref="A0.E30.x1.m2.1.1">≔</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.E30.x1.m2.1c">\displaystyle\coloneqq</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.E30.x1.m2.1d">≔</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathbf{x}_{m}-(\,A_{\varpi}(\mathbf{x}_{m-1})-\eta\,\mathbf{x}_{% m-1}\,)" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.E30.x1.m3.1"><semantics id="A0.E30.x1.m3.1a"><mrow id="A0.E30.x1.m3.1.1" xref="A0.E30.x1.m3.1.1.cmml"><msub id="A0.E30.x1.m3.1.1.3" xref="A0.E30.x1.m3.1.1.3.cmml"><mi id="A0.E30.x1.m3.1.1.3.2" xref="A0.E30.x1.m3.1.1.3.2.cmml">𝐱</mi><mi id="A0.E30.x1.m3.1.1.3.3" xref="A0.E30.x1.m3.1.1.3.3.cmml">m</mi></msub><mo id="A0.E30.x1.m3.1.1.2" xref="A0.E30.x1.m3.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="A0.E30.x1.m3.1.1.1.1" xref="A0.E30.x1.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.E30.x1.m3.1.1.1.1.2" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="A0.E30.x1.m3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow 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class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\phantom{\mathbf{x}_{m}}+(\,A(\mathbf{x}_{m})-\eta\,\mathbf{x}_{m% }\,)\,,\quad\forall m\in\mathbb{N}\,," class="ltx_Math" display="inline" id="A0.E30.2.m1.1"><semantics id="A0.E30.2.m1.1a"><mrow id="A0.E30.2.m1.1.1.1" xref="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A0.E30.2.m1.1.1.1.1" xref="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.2.2" xref="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mrow id="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">A</mi><mo id="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mi id="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">m</mi></msub><mo id="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">η</mi><mo id="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" lspace="0.170em" xref="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">𝐱</mi><mi id="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">m</mi></msub></mrow></mrow><mo id="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.2.2.3" rspace="1.167em" xref="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><mrow id="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1" rspace="0.167em" xref="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">∀</mo><mi id="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">m</mi></mrow></mrow><mo id="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.3" xref="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.3.cmml">∈</mo><mi id="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.4" xref="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.4.cmml">ℕ</mi></mrow><mo id="A0.E30.2.m1.1.1.1.2" lspace="0.170em" xref="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.E30.2.m1.1b"><apply id="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.E30.2.m1.1.1.1"><in id="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.3"></in><list id="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.2.2"><apply id="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></minus><apply id="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝐴</ci><apply id="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝐱</ci><ci id="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑚</ci></apply></apply><apply id="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜂</ci><apply id="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝐱</ci><ci id="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑚</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1">for-all</csymbol><ci id="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝑚</ci></apply></list><ci id="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A0.E30.2.m1.1.1.1.1.4">ℕ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.E30.2.m1.1c">\displaystyle\phantom{\mathbf{x}_{m}}+(\,A(\mathbf{x}_{m})-\eta\,\mathbf{x}_{m% }\,)\,,\quad\forall m\in\mathbb{N}\,,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.E30.2.m1.1d">+ ( italic_A ( bold_x start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT ) - italic_η bold_x start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT ) , ∀ italic_m ∈ blackboard_N ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright" colspan="3"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(30b)</span></td> </tr> </tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmthm7.p1.9">where <math alttext="\varpi\in[1/2,1)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmthm7.p1.3.m1.2"><semantics id="Thmthm7.p1.3.m1.2a"><mrow id="Thmthm7.p1.3.m1.2.2" xref="Thmthm7.p1.3.m1.2.2.cmml"><mi id="Thmthm7.p1.3.m1.2.2.3" xref="Thmthm7.p1.3.m1.2.2.3.cmml">ϖ</mi><mo id="Thmthm7.p1.3.m1.2.2.2" xref="Thmthm7.p1.3.m1.2.2.2.cmml">∈</mo><mrow id="Thmthm7.p1.3.m1.2.2.1.1" xref="Thmthm7.p1.3.m1.2.2.1.2.cmml"><mo id="Thmthm7.p1.3.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmthm7.p1.3.m1.2.2.1.2.cmml">[</mo><mrow id="Thmthm7.p1.3.m1.2.2.1.1.1" xref="Thmthm7.p1.3.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mn id="Thmthm7.p1.3.m1.2.2.1.1.1.2" xref="Thmthm7.p1.3.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="Thmthm7.p1.3.m1.2.2.1.1.1.1" xref="Thmthm7.p1.3.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">/</mo><mn id="Thmthm7.p1.3.m1.2.2.1.1.1.3" xref="Thmthm7.p1.3.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><mo id="Thmthm7.p1.3.m1.2.2.1.1.3" xref="Thmthm7.p1.3.m1.2.2.1.2.cmml">,</mo><mn id="Thmthm7.p1.3.m1.1.1" xref="Thmthm7.p1.3.m1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Thmthm7.p1.3.m1.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="Thmthm7.p1.3.m1.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmthm7.p1.3.m1.2b"><apply id="Thmthm7.p1.3.m1.2.2.cmml" xref="Thmthm7.p1.3.m1.2.2"><in id="Thmthm7.p1.3.m1.2.2.2.cmml" xref="Thmthm7.p1.3.m1.2.2.2"></in><ci id="Thmthm7.p1.3.m1.2.2.3.cmml" xref="Thmthm7.p1.3.m1.2.2.3">italic-ϖ</ci><interval closure="closed-open" id="Thmthm7.p1.3.m1.2.2.1.2.cmml" xref="Thmthm7.p1.3.m1.2.2.1.1"><apply id="Thmthm7.p1.3.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="Thmthm7.p1.3.m1.2.2.1.1.1"><divide id="Thmthm7.p1.3.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="Thmthm7.p1.3.m1.2.2.1.1.1.1"></divide><cn id="Thmthm7.p1.3.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="Thmthm7.p1.3.m1.2.2.1.1.1.2">1</cn><cn id="Thmthm7.p1.3.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmthm7.p1.3.m1.2.2.1.1.1.3">2</cn></apply><cn id="Thmthm7.p1.3.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="Thmthm7.p1.3.m1.1.1">1</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmthm7.p1.3.m1.2c">\varpi\in[1/2,1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmthm7.p1.3.m1.2d">italic_ϖ ∈ [ 1 / 2 , 1 )</annotation></semantics></math>, <math alttext="\eta\in(0,2(1-\varpi)\,)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmthm7.p1.4.m2.2"><semantics id="Thmthm7.p1.4.m2.2a"><mrow id="Thmthm7.p1.4.m2.2.2" xref="Thmthm7.p1.4.m2.2.2.cmml"><mi id="Thmthm7.p1.4.m2.2.2.3" xref="Thmthm7.p1.4.m2.2.2.3.cmml">η</mi><mo id="Thmthm7.p1.4.m2.2.2.2" xref="Thmthm7.p1.4.m2.2.2.2.cmml">∈</mo><mrow id="Thmthm7.p1.4.m2.2.2.1.1" xref="Thmthm7.p1.4.m2.2.2.1.2.cmml"><mo id="Thmthm7.p1.4.m2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmthm7.p1.4.m2.2.2.1.2.cmml">(</mo><mn id="Thmthm7.p1.4.m2.1.1" xref="Thmthm7.p1.4.m2.1.1.cmml">0</mn><mo id="Thmthm7.p1.4.m2.2.2.1.1.3" xref="Thmthm7.p1.4.m2.2.2.1.2.cmml">,</mo><mrow id="Thmthm7.p1.4.m2.2.2.1.1.1" xref="Thmthm7.p1.4.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mn id="Thmthm7.p1.4.m2.2.2.1.1.1.3" xref="Thmthm7.p1.4.m2.2.2.1.1.1.3.cmml">2</mn><mo id="Thmthm7.p1.4.m2.2.2.1.1.1.2" xref="Thmthm7.p1.4.m2.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmthm7.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1.1" xref="Thmthm7.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmthm7.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmthm7.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Thmthm7.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="Thmthm7.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="Thmthm7.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmthm7.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="Thmthm7.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmthm7.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="Thmthm7.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmthm7.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ϖ</mi></mrow><mo id="Thmthm7.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1.1.3" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="Thmthm7.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmthm7.p1.4.m2.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="Thmthm7.p1.4.m2.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmthm7.p1.4.m2.2b"><apply id="Thmthm7.p1.4.m2.2.2.cmml" xref="Thmthm7.p1.4.m2.2.2"><in id="Thmthm7.p1.4.m2.2.2.2.cmml" xref="Thmthm7.p1.4.m2.2.2.2"></in><ci id="Thmthm7.p1.4.m2.2.2.3.cmml" xref="Thmthm7.p1.4.m2.2.2.3">𝜂</ci><interval closure="open" id="Thmthm7.p1.4.m2.2.2.1.2.cmml" xref="Thmthm7.p1.4.m2.2.2.1.1"><cn id="Thmthm7.p1.4.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="Thmthm7.p1.4.m2.1.1">0</cn><apply id="Thmthm7.p1.4.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="Thmthm7.p1.4.m2.2.2.1.1.1"><times id="Thmthm7.p1.4.m2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="Thmthm7.p1.4.m2.2.2.1.1.1.2"></times><cn id="Thmthm7.p1.4.m2.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmthm7.p1.4.m2.2.2.1.1.1.3">2</cn><apply id="Thmthm7.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmthm7.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1.1"><minus id="Thmthm7.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmthm7.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="Thmthm7.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="Thmthm7.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><ci id="Thmthm7.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmthm7.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3">italic-ϖ</ci></apply></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmthm7.p1.4.m2.2c">\eta\in(0,2(1-\varpi)\,)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmthm7.p1.4.m2.2d">italic_η ∈ ( 0 , 2 ( 1 - italic_ϖ ) )</annotation></semantics></math>, <math alttext="A\coloneqq\mathbf{I}_{N}-\gamma\mathbf{L}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmthm7.p1.5.m3.1"><semantics id="Thmthm7.p1.5.m3.1a"><mrow id="Thmthm7.p1.5.m3.1.1" xref="Thmthm7.p1.5.m3.1.1.cmml"><mi id="Thmthm7.p1.5.m3.1.1.2" xref="Thmthm7.p1.5.m3.1.1.2.cmml">A</mi><mo id="Thmthm7.p1.5.m3.1.1.1" xref="Thmthm7.p1.5.m3.1.1.1.cmml">≔</mo><mrow id="Thmthm7.p1.5.m3.1.1.3" xref="Thmthm7.p1.5.m3.1.1.3.cmml"><msub id="Thmthm7.p1.5.m3.1.1.3.2" xref="Thmthm7.p1.5.m3.1.1.3.2.cmml"><mi id="Thmthm7.p1.5.m3.1.1.3.2.2" xref="Thmthm7.p1.5.m3.1.1.3.2.2.cmml">𝐈</mi><mi id="Thmthm7.p1.5.m3.1.1.3.2.3" xref="Thmthm7.p1.5.m3.1.1.3.2.3.cmml">N</mi></msub><mo id="Thmthm7.p1.5.m3.1.1.3.1" xref="Thmthm7.p1.5.m3.1.1.3.1.cmml">−</mo><mrow id="Thmthm7.p1.5.m3.1.1.3.3" xref="Thmthm7.p1.5.m3.1.1.3.3.cmml"><mi id="Thmthm7.p1.5.m3.1.1.3.3.2" xref="Thmthm7.p1.5.m3.1.1.3.3.2.cmml">γ</mi><mo id="Thmthm7.p1.5.m3.1.1.3.3.1" xref="Thmthm7.p1.5.m3.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmthm7.p1.5.m3.1.1.3.3.3" xref="Thmthm7.p1.5.m3.1.1.3.3.3.cmml">𝐋</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmthm7.p1.5.m3.1b"><apply id="Thmthm7.p1.5.m3.1.1.cmml" xref="Thmthm7.p1.5.m3.1.1"><ci id="Thmthm7.p1.5.m3.1.1.1.cmml" xref="Thmthm7.p1.5.m3.1.1.1">≔</ci><ci id="Thmthm7.p1.5.m3.1.1.2.cmml" xref="Thmthm7.p1.5.m3.1.1.2">𝐴</ci><apply id="Thmthm7.p1.5.m3.1.1.3.cmml" xref="Thmthm7.p1.5.m3.1.1.3"><minus id="Thmthm7.p1.5.m3.1.1.3.1.cmml" xref="Thmthm7.p1.5.m3.1.1.3.1"></minus><apply id="Thmthm7.p1.5.m3.1.1.3.2.cmml" xref="Thmthm7.p1.5.m3.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmthm7.p1.5.m3.1.1.3.2.1.cmml" xref="Thmthm7.p1.5.m3.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="Thmthm7.p1.5.m3.1.1.3.2.2.cmml" xref="Thmthm7.p1.5.m3.1.1.3.2.2">𝐈</ci><ci id="Thmthm7.p1.5.m3.1.1.3.2.3.cmml" xref="Thmthm7.p1.5.m3.1.1.3.2.3">𝑁</ci></apply><apply id="Thmthm7.p1.5.m3.1.1.3.3.cmml" xref="Thmthm7.p1.5.m3.1.1.3.3"><times id="Thmthm7.p1.5.m3.1.1.3.3.1.cmml" xref="Thmthm7.p1.5.m3.1.1.3.3.1"></times><ci id="Thmthm7.p1.5.m3.1.1.3.3.2.cmml" xref="Thmthm7.p1.5.m3.1.1.3.3.2">𝛾</ci><ci id="Thmthm7.p1.5.m3.1.1.3.3.3.cmml" xref="Thmthm7.p1.5.m3.1.1.3.3.3">𝐋</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmthm7.p1.5.m3.1c">A\coloneqq\mathbf{I}_{N}-\gamma\mathbf{L}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmthm7.p1.5.m3.1d">italic_A ≔ bold_I start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT - italic_γ bold_L</annotation></semantics></math>, with <math alttext="\mathbf{L}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmthm7.p1.6.m4.1"><semantics id="Thmthm7.p1.6.m4.1a"><mi id="Thmthm7.p1.6.m4.1.1" xref="Thmthm7.p1.6.m4.1.1.cmml">𝐋</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmthm7.p1.6.m4.1b"><ci id="Thmthm7.p1.6.m4.1.1.cmml" xref="Thmthm7.p1.6.m4.1.1">𝐋</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmthm7.p1.6.m4.1c">\mathbf{L}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmthm7.p1.6.m4.1d">bold_L</annotation></semantics></math> being the <math alttext="N\times N" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmthm7.p1.7.m5.1"><semantics id="Thmthm7.p1.7.m5.1a"><mrow id="Thmthm7.p1.7.m5.1.1" xref="Thmthm7.p1.7.m5.1.1.cmml"><mi id="Thmthm7.p1.7.m5.1.1.2" xref="Thmthm7.p1.7.m5.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="Thmthm7.p1.7.m5.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Thmthm7.p1.7.m5.1.1.1.cmml">×</mo><mi id="Thmthm7.p1.7.m5.1.1.3" xref="Thmthm7.p1.7.m5.1.1.3.cmml">N</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmthm7.p1.7.m5.1b"><apply id="Thmthm7.p1.7.m5.1.1.cmml" xref="Thmthm7.p1.7.m5.1.1"><times id="Thmthm7.p1.7.m5.1.1.1.cmml" xref="Thmthm7.p1.7.m5.1.1.1"></times><ci id="Thmthm7.p1.7.m5.1.1.2.cmml" xref="Thmthm7.p1.7.m5.1.1.2">𝑁</ci><ci id="Thmthm7.p1.7.m5.1.1.3.cmml" xref="Thmthm7.p1.7.m5.1.1.3">𝑁</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmthm7.p1.7.m5.1c">N\times N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmthm7.p1.7.m5.1d">italic_N × italic_N</annotation></semantics></math> graph Laplacian matrix, and <math alttext="A_{\varpi}\coloneqq\varpi A+(1-\varpi)\mathbf{I}_{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmthm7.p1.8.m6.1"><semantics id="Thmthm7.p1.8.m6.1a"><mrow id="Thmthm7.p1.8.m6.1.1" xref="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.cmml"><msub id="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.3" xref="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.3.cmml"><mi id="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.3.2" xref="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.3.2.cmml">A</mi><mi id="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.3.3" xref="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.3.3.cmml">ϖ</mi></msub><mo id="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.2" xref="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.2.cmml">≔</mo><mrow id="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.1" xref="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.1.cmml"><mrow id="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.1.3" xref="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.1.3.2" xref="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.1.3.2.cmml">ϖ</mi><mo id="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.1.3.1" xref="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.1.3.3" xref="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.1.3.3.cmml">A</mi></mrow><mo id="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.1.2" xref="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.1.1" xref="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.1.1.cmml"><mrow id="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.1.1.1.1" xref="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ϖ</mi></mrow><mo id="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.1.1.2" xref="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.1.1.3" xref="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.1.1.3.2" xref="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.1.1.3.2.cmml">𝐈</mi><mi id="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.1.1.3.3" xref="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.1.1.3.3.cmml">N</mi></msub></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmthm7.p1.8.m6.1b"><apply id="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.cmml" xref="Thmthm7.p1.8.m6.1.1"><ci id="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.2.cmml" xref="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.2">≔</ci><apply id="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.3.cmml" xref="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.3.1.cmml" xref="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.3.2.cmml" xref="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.3.2">𝐴</ci><ci id="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.3.3.cmml" xref="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.3.3">italic-ϖ</ci></apply><apply id="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.1.cmml" xref="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.1"><plus id="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.1.2.cmml" xref="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.1.2"></plus><apply id="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.1.3.cmml" xref="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.1.3"><times id="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.1.3.1"></times><ci id="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.1.3.2">italic-ϖ</ci><ci id="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.1.3.3">𝐴</ci></apply><apply id="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.1.1.cmml" xref="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.1.1"><times id="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.1.1.2"></times><apply id="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.1.1.1.1"><minus id="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><ci id="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.1.1.1.1.1.3">italic-ϖ</ci></apply><apply id="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.1.1.3.2">𝐈</ci><ci id="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmthm7.p1.8.m6.1.1.1.1.3.3">𝑁</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmthm7.p1.8.m6.1c">A_{\varpi}\coloneqq\varpi A+(1-\varpi)\mathbf{I}_{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmthm7.p1.8.m6.1d">italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_ϖ end_POSTSUBSCRIPT ≔ italic_ϖ italic_A + ( 1 - italic_ϖ ) bold_I start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Then, <math alttext="0<\varrho(\eta)<1" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmthm7.p1.9.m7.1"><semantics id="Thmthm7.p1.9.m7.1a"><mrow id="Thmthm7.p1.9.m7.1.2" xref="Thmthm7.p1.9.m7.1.2.cmml"><mn id="Thmthm7.p1.9.m7.1.2.2" xref="Thmthm7.p1.9.m7.1.2.2.cmml">0</mn><mo id="Thmthm7.p1.9.m7.1.2.3" xref="Thmthm7.p1.9.m7.1.2.3.cmml"><</mo><mrow id="Thmthm7.p1.9.m7.1.2.4" xref="Thmthm7.p1.9.m7.1.2.4.cmml"><mi id="Thmthm7.p1.9.m7.1.2.4.2" xref="Thmthm7.p1.9.m7.1.2.4.2.cmml">ϱ</mi><mo id="Thmthm7.p1.9.m7.1.2.4.1" xref="Thmthm7.p1.9.m7.1.2.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmthm7.p1.9.m7.1.2.4.3.2" xref="Thmthm7.p1.9.m7.1.2.4.cmml"><mo id="Thmthm7.p1.9.m7.1.2.4.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmthm7.p1.9.m7.1.2.4.cmml">(</mo><mi id="Thmthm7.p1.9.m7.1.1" xref="Thmthm7.p1.9.m7.1.1.cmml">η</mi><mo id="Thmthm7.p1.9.m7.1.2.4.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmthm7.p1.9.m7.1.2.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmthm7.p1.9.m7.1.2.5" xref="Thmthm7.p1.9.m7.1.2.5.cmml"><</mo><mn id="Thmthm7.p1.9.m7.1.2.6" xref="Thmthm7.p1.9.m7.1.2.6.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmthm7.p1.9.m7.1b"><apply id="Thmthm7.p1.9.m7.1.2.cmml" xref="Thmthm7.p1.9.m7.1.2"><and id="Thmthm7.p1.9.m7.1.2a.cmml" xref="Thmthm7.p1.9.m7.1.2"></and><apply id="Thmthm7.p1.9.m7.1.2b.cmml" xref="Thmthm7.p1.9.m7.1.2"><lt id="Thmthm7.p1.9.m7.1.2.3.cmml" xref="Thmthm7.p1.9.m7.1.2.3"></lt><cn id="Thmthm7.p1.9.m7.1.2.2.cmml" type="integer" xref="Thmthm7.p1.9.m7.1.2.2">0</cn><apply id="Thmthm7.p1.9.m7.1.2.4.cmml" xref="Thmthm7.p1.9.m7.1.2.4"><times id="Thmthm7.p1.9.m7.1.2.4.1.cmml" xref="Thmthm7.p1.9.m7.1.2.4.1"></times><ci id="Thmthm7.p1.9.m7.1.2.4.2.cmml" xref="Thmthm7.p1.9.m7.1.2.4.2">italic-ϱ</ci><ci id="Thmthm7.p1.9.m7.1.1.cmml" xref="Thmthm7.p1.9.m7.1.1">𝜂</ci></apply></apply><apply id="Thmthm7.p1.9.m7.1.2c.cmml" xref="Thmthm7.p1.9.m7.1.2"><lt id="Thmthm7.p1.9.m7.1.2.5.cmml" xref="Thmthm7.p1.9.m7.1.2.5"></lt><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#Thmthm7.p1.9.m7.1.2.4.cmml" id="Thmthm7.p1.9.m7.1.2d.cmml" xref="Thmthm7.p1.9.m7.1.2"></share><cn id="Thmthm7.p1.9.m7.1.2.6.cmml" type="integer" xref="Thmthm7.p1.9.m7.1.2.6">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmthm7.p1.9.m7.1c">0<\varrho(\eta)<1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmthm7.p1.9.m7.1d">0 < italic_ϱ ( italic_η ) < 1</annotation></semantics></math> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.I3.i1" title="In Theorem 5. ‣ III-C Performance analysis of Algorithm 1 ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Theorem</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">5(i)</span></a>), and</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A0.EGx42"> <tbody id="A0.E31"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\lVert\mathbf{x}_{m}-\mathbf{x}_{*}\rVert=\mathcal{O}(\,m\,% \varrho^{m}(\eta)\,)\,," class="ltx_Math" display="inline" id="A0.E31.m1.2"><semantics id="A0.E31.m1.2a"><mrow id="A0.E31.m1.2.2.1" xref="A0.E31.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A0.E31.m1.2.2.1.1" xref="A0.E31.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A0.E31.m1.2.2.1.1.1.1" xref="A0.E31.m1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="A0.E31.m1.2.2.1.1.1.1.2" rspace="0em" xref="A0.E31.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo><mrow id="A0.E31.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="A0.E31.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A0.E31.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="A0.E31.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A0.E31.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2" xref="A0.E31.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐱</mi><mi id="A0.E31.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3" xref="A0.E31.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="A0.E31.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="A0.E31.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A0.E31.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="A0.E31.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A0.E31.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2" xref="A0.E31.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">𝐱</mi><mo id="A0.E31.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3" xref="A0.E31.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msub></mrow><mo fence="true" id="A0.E31.m1.2.2.1.1.1.1.3" lspace="0em" rspace="0.1389em" xref="A0.E31.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mo id="A0.E31.m1.2.2.1.1.3" lspace="0.1389em" xref="A0.E31.m1.2.2.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="A0.E31.m1.2.2.1.1.2" xref="A0.E31.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A0.E31.m1.2.2.1.1.2.3" xref="A0.E31.m1.2.2.1.1.2.3.cmml">𝒪</mi><mo id="A0.E31.m1.2.2.1.1.2.2" xref="A0.E31.m1.2.2.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.E31.m1.2.2.1.1.2.1.1" xref="A0.E31.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="A0.E31.m1.2.2.1.1.2.1.1.2" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="A0.E31.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.E31.m1.2.2.1.1.2.1.1.1" xref="A0.E31.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml"><mi id="A0.E31.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.2" xref="A0.E31.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.2.cmml">m</mi><mo id="A0.E31.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1" lspace="0.170em" xref="A0.E31.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="A0.E31.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3" xref="A0.E31.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A0.E31.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2" xref="A0.E31.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml">ϱ</mi><mi id="A0.E31.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.3" xref="A0.E31.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml">m</mi></msup><mo id="A0.E31.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1a" xref="A0.E31.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.E31.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.4.2" xref="A0.E31.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="A0.E31.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="A0.E31.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A0.E31.m1.1.1" xref="A0.E31.m1.1.1.cmml">η</mi><mo id="A0.E31.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.4.2.2" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="A0.E31.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A0.E31.m1.2.2.1.1.2.1.1.3" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="A0.E31.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A0.E31.m1.2.2.1.2" xref="A0.E31.m1.2.2.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.E31.m1.2b"><apply id="A0.E31.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A0.E31.m1.2.2.1"><eq id="A0.E31.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="A0.E31.m1.2.2.1.1.3"></eq><apply id="A0.E31.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A0.E31.m1.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A0.E31.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="A0.E31.m1.2.2.1.1.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="A0.E31.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.E31.m1.2.2.1.1.1.1.1"><minus id="A0.E31.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.E31.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A0.E31.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.E31.m1.2.2.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E31.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A0.E31.m1.2.2.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A0.E31.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A0.E31.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2">𝐱</ci><ci id="A0.E31.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A0.E31.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="A0.E31.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.E31.m1.2.2.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E31.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A0.E31.m1.2.2.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A0.E31.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A0.E31.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2">𝐱</ci><times id="A0.E31.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A0.E31.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3"></times></apply></apply></apply><apply id="A0.E31.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="A0.E31.m1.2.2.1.1.2"><times id="A0.E31.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="A0.E31.m1.2.2.1.1.2.2"></times><ci id="A0.E31.m1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="A0.E31.m1.2.2.1.1.2.3">𝒪</ci><apply id="A0.E31.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="A0.E31.m1.2.2.1.1.2.1.1"><times id="A0.E31.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="A0.E31.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1"></times><ci id="A0.E31.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="A0.E31.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.2">𝑚</ci><apply id="A0.E31.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="A0.E31.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E31.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A0.E31.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="A0.E31.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A0.E31.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2">italic-ϱ</ci><ci id="A0.E31.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="A0.E31.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.3">𝑚</ci></apply><ci id="A0.E31.m1.1.1.cmml" xref="A0.E31.m1.1.1">𝜂</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.E31.m1.2c">\displaystyle\lVert\mathbf{x}_{m}-\mathbf{x}_{*}\rVert=\mathcal{O}(\,m\,% \varrho^{m}(\eta)\,)\,,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.E31.m1.2d">∥ bold_x start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT - bold_x start_POSTSUBSCRIPT ∗ end_POSTSUBSCRIPT ∥ = caligraphic_O ( italic_m italic_ϱ start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_η ) ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(31)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmthm7.p1.10">where <math alttext="\mathbf{x}_{*}\coloneqq[\mathbf{1}_{N}^{\intercal}\mathbf{x}^{\prime},\ldots,% \mathbf{1}_{N}^{\intercal}\mathbf{x}^{\prime}]^{\intercal}=\mathbf{1}_{N\times N% }\,\mathbf{x}^{\prime}\in\mathbb{R}^{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmthm7.p1.10.m1.3"><semantics id="Thmthm7.p1.10.m1.3a"><mrow id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.cmml"><msub id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.4" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.4.cmml"><mi id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.4.2" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.4.2.cmml">𝐱</mi><mo id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.4.3" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.4.3.cmml">∗</mo></msub><mo id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.5" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.5.cmml">≔</mo><msup id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.2" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.2.cmml"><mrow id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.2.2.2" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.2.2.3.cmml"><mo id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.2.2.2.3" stretchy="false" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.2.2.3.cmml">[</mo><mrow id="Thmthm7.p1.10.m1.2.2.1.1.1.1" xref="Thmthm7.p1.10.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="Thmthm7.p1.10.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="Thmthm7.p1.10.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="Thmthm7.p1.10.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2" xref="Thmthm7.p1.10.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml">𝟏</mn><mi id="Thmthm7.p1.10.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.3" xref="Thmthm7.p1.10.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.3.cmml">N</mi><mo id="Thmthm7.p1.10.m1.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="Thmthm7.p1.10.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml">⊺</mo></msubsup><mo id="Thmthm7.p1.10.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="Thmthm7.p1.10.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="Thmthm7.p1.10.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="Thmthm7.p1.10.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmthm7.p1.10.m1.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="Thmthm7.p1.10.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">𝐱</mi><mo id="Thmthm7.p1.10.m1.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="Thmthm7.p1.10.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">′</mo></msup></mrow><mo id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.2.2.2.4" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="Thmthm7.p1.10.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="Thmthm7.p1.10.m1.1.1.cmml">…</mi><mo id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.2.2.2.5" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.2.2.2.2" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.2.2.2.2.cmml"><msubsup id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.2.2.2.2.2" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.2.2.2.2.2.cmml"><mn id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.2" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.2.cmml">𝟏</mn><mi id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.3" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.3.cmml">N</mi><mo id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.2.2.2.2.2.3" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.2.2.2.2.2.3.cmml">⊺</mo></msubsup><mo id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.2.2.2.2.1" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.2.2.2.2.3" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.2.2.2.2.3.2" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.2.2.2.2.3.2.cmml">𝐱</mi><mo id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.2.2.2.2.3.3" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.2.2.2.2.3.3.cmml">′</mo></msup></mrow><mo id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.2.2.2.6" stretchy="false" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.2.2.3.cmml">]</mo></mrow><mo id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.2.4" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.2.4.cmml">⊺</mo></msup><mo id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.6" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.6.cmml">=</mo><mrow id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.7" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.7.cmml"><msub id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.7.2" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.7.2.cmml"><mn id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.7.2.2" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.7.2.2.cmml">𝟏</mn><mrow id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.7.2.3" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.7.2.3.cmml"><mi id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.7.2.3.2" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.7.2.3.2.cmml">N</mi><mo id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.7.2.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.7.2.3.1.cmml">×</mo><mi id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.7.2.3.3" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.7.2.3.3.cmml">N</mi></mrow></msub><mo id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.7.1" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.7.1.cmml">⁢</mo><msup id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.7.3" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.7.3.cmml"><mi id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.7.3.2" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.7.3.2.cmml">𝐱</mi><mo id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.7.3.3" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.7.3.3.cmml">′</mo></msup></mrow><mo id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.8" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.8.cmml">∈</mo><msup id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.9" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.9.cmml"><mi id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.9.2" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.9.2.cmml">ℝ</mi><mi id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.9.3" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.9.3.cmml">N</mi></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmthm7.p1.10.m1.3b"><apply id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.cmml" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3"><and id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3a.cmml" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3"></and><apply id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3b.cmml" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3"><ci id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.5.cmml" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.5">≔</ci><apply id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.4.cmml" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.4.1.cmml" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.4">subscript</csymbol><ci id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.4.2.cmml" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.4.2">𝐱</ci><times id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.4.3.cmml" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.4.3"></times></apply><apply id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.2.cmml" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.2.3.cmml" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.2">superscript</csymbol><list id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.2.2.3.cmml" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.2.2.2"><apply id="Thmthm7.p1.10.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="Thmthm7.p1.10.m1.2.2.1.1.1.1"><times id="Thmthm7.p1.10.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmthm7.p1.10.m1.2.2.1.1.1.1.1"></times><apply id="Thmthm7.p1.10.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmthm7.p1.10.m1.2.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmthm7.p1.10.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmthm7.p1.10.m1.2.2.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="Thmthm7.p1.10.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmthm7.p1.10.m1.2.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmthm7.p1.10.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="Thmthm7.p1.10.m1.2.2.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><cn id="Thmthm7.p1.10.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Thmthm7.p1.10.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2">1</cn><ci id="Thmthm7.p1.10.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="Thmthm7.p1.10.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.3">𝑁</ci></apply><ci id="Thmthm7.p1.10.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmthm7.p1.10.m1.2.2.1.1.1.1.2.3">⊺</ci></apply><apply id="Thmthm7.p1.10.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmthm7.p1.10.m1.2.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmthm7.p1.10.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmthm7.p1.10.m1.2.2.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="Thmthm7.p1.10.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmthm7.p1.10.m1.2.2.1.1.1.1.3.2">𝐱</ci><ci id="Thmthm7.p1.10.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmthm7.p1.10.m1.2.2.1.1.1.1.3.3">′</ci></apply></apply><ci id="Thmthm7.p1.10.m1.1.1.cmml" xref="Thmthm7.p1.10.m1.1.1">…</ci><apply id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.2.2.2.2"><times id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.2.2.2.2.1"></times><apply id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.2.2.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><cn id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.2">1</cn><ci id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.3">𝑁</ci></apply><ci id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.2.2.2.2.2.3">⊺</ci></apply><apply id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.2.2.2.2.3.cmml" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.2.2.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.2.2.2.2.3.2">𝐱</ci><ci id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.2.2.2.2.3.3">′</ci></apply></apply></list><ci id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.2.4.cmml" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.2.4">⊺</ci></apply></apply><apply id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3c.cmml" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3"><eq id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.6.cmml" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.6"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#Thmthm7.p1.10.m1.3.3.2.cmml" id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3d.cmml" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3"></share><apply id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.7.cmml" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.7"><times id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.7.1.cmml" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.7.1"></times><apply id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.7.2.cmml" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.7.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.7.2.1.cmml" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.7.2">subscript</csymbol><cn id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.7.2.2.cmml" type="integer" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.7.2.2">1</cn><apply id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.7.2.3.cmml" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.7.2.3"><times id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.7.2.3.1.cmml" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.7.2.3.1"></times><ci id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.7.2.3.2.cmml" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.7.2.3.2">𝑁</ci><ci id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.7.2.3.3.cmml" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.7.2.3.3">𝑁</ci></apply></apply><apply id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.7.3.cmml" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.7.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.7.3.1.cmml" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.7.3">superscript</csymbol><ci id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.7.3.2.cmml" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.7.3.2">𝐱</ci><ci id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.7.3.3.cmml" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.7.3.3">′</ci></apply></apply></apply><apply id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3e.cmml" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3"><in id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.8.cmml" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.8"></in><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#Thmthm7.p1.10.m1.3.3.7.cmml" id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3f.cmml" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3"></share><apply id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.9.cmml" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.9"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.9.1.cmml" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.9">superscript</csymbol><ci id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.9.2.cmml" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.9.2">ℝ</ci><ci id="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.9.3.cmml" xref="Thmthm7.p1.10.m1.3.3.9.3">𝑁</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmthm7.p1.10.m1.3c">\mathbf{x}_{*}\coloneqq[\mathbf{1}_{N}^{\intercal}\mathbf{x}^{\prime},\ldots,% \mathbf{1}_{N}^{\intercal}\mathbf{x}^{\prime}]^{\intercal}=\mathbf{1}_{N\times N% }\,\mathbf{x}^{\prime}\in\mathbb{R}^{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmthm7.p1.10.m1.3d">bold_x start_POSTSUBSCRIPT ∗ end_POSTSUBSCRIPT ≔ [ bold_1 start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⊺ end_POSTSUPERSCRIPT bold_x start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , … , bold_1 start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⊺ end_POSTSUPERSCRIPT bold_x start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ] start_POSTSUPERSCRIPT ⊺ end_POSTSUPERSCRIPT = bold_1 start_POSTSUBSCRIPT italic_N × italic_N end_POSTSUBSCRIPT bold_x start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S5.7"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_bold ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof:</h6> <div class="ltx_para" id="S5.1.p1"> <p class="ltx_p" id="S5.1.p1.17">Notice that (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#A0.E30" title="Equation 30 ‣ Lemma 7. ‣ V Conclusions ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">30</span></a>) can be recast as</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_table" id="A0.E32"> <tbody> <tr class="ltx_eqn_row" id="A0.EGx43"><td class="ltx_eqn_cell" colspan="5"></td></tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="A0.E32.1"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathbf{x}_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.E32.1.m1.1"><semantics id="A0.E32.1.m1.1a"><msub id="A0.E32.1.m1.1.1" xref="A0.E32.1.m1.1.1.cmml"><mi id="A0.E32.1.m1.1.1.2" xref="A0.E32.1.m1.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mn id="A0.E32.1.m1.1.1.3" xref="A0.E32.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.E32.1.m1.1b"><apply id="A0.E32.1.m1.1.1.cmml" xref="A0.E32.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E32.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A0.E32.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A0.E32.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A0.E32.1.m1.1.1.2">𝐱</ci><cn id="A0.E32.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A0.E32.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.E32.1.m1.1c">\displaystyle\mathbf{x}_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.E32.1.m1.1d">bold_x start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=[\varpi(\mathbf{I}_{N}-\gamma\mathbf{L})+(1-\varpi)\mathbf{I}_{N% }-\eta\mathbf{I}_{N}]\mathbf{x}_{-1}+\eta N\mathbf{x}^{\prime}\,," class="ltx_Math" display="inline" id="A0.E32.1.m2.1"><semantics id="A0.E32.1.m2.1a"><mrow id="A0.E32.1.m2.1.1.1" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.3" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.2" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ϖ</mi><mo id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐈</mi><mi id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">N</mi></msub><mo id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">γ</mi><mo id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">𝐋</mi></mrow></mrow><mo id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">+</mo><mrow id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mrow id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mn id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml">ϖ</mi></mrow><mo id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">⁢</mo><msub id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">𝐈</mi><mi id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">N</mi></msub></mrow></mrow><mo id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">η</mi><mo id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">𝐈</mi><mi id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml">N</mi></msub></mrow></mrow><mo id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">𝐱</mi><mrow id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.3.3a" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">−</mo><mn id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow><mo id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.2" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.3" 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xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝛾</ci><ci id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝐋</ci></apply></apply></apply><apply id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><times id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"></times><apply id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1"><minus id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1"></minus><cn id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2">1</cn><ci id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3">italic-ϖ</ci></apply><apply id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝐈</ci><ci id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑁</ci></apply></apply></apply><apply id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><times id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1"></times><ci id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝜂</ci><apply id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3">subscript</csymbol><ci id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2">𝐈</ci><ci id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3">𝑁</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐱</ci><apply id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.3.3"><minus id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.3.3"></minus><cn id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.2">1</cn></apply></apply></apply><apply id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.3"><times id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.3.2">𝜂</ci><ci id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.3.3">𝑁</ci><apply id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.3.4">superscript</csymbol><ci id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.3.4.2">𝐱</ci><ci id="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml" xref="A0.E32.1.m2.1.1.1.1.1.3.4.3">′</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.E32.1.m2.1c">\displaystyle=[\varpi(\mathbf{I}_{N}-\gamma\mathbf{L})+(1-\varpi)\mathbf{I}_{N% }-\eta\mathbf{I}_{N}]\mathbf{x}_{-1}+\eta N\mathbf{x}^{\prime}\,,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.E32.1.m2.1d">= [ italic_ϖ ( bold_I start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT - italic_γ bold_L ) + ( 1 - italic_ϖ ) bold_I start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT - italic_η bold_I start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT ] bold_x start_POSTSUBSCRIPT - 1 end_POSTSUBSCRIPT + italic_η italic_N bold_x start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(32a)</span></td> </tr> <tr class="ltx_eqn_row ltx_align_baseline"><td class="ltx_eqn_cell ltx_align_left" colspan="5" style="white-space:normal;">and</td></tr> <tr class="ltx_eqn_row" id="A0.EGx44"><td class="ltx_eqn_cell" colspan="5"></td></tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="A0.E32.x1"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathchoice{}{}{}{}\mathbf{x}_{m+1}" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.E32.x1.m1.1"><semantics id="A0.E32.x1.m1.1a"><msub id="A0.E32.x1.m1.1.1" xref="A0.E32.x1.m1.1.1.cmml"><mi id="A0.E32.x1.m1.1.1.2" xref="A0.E32.x1.m1.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mrow id="A0.E32.x1.m1.1.1.3" xref="A0.E32.x1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="A0.E32.x1.m1.1.1.3.2" xref="A0.E32.x1.m1.1.1.3.2.cmml">m</mi><mo id="A0.E32.x1.m1.1.1.3.1" xref="A0.E32.x1.m1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mn id="A0.E32.x1.m1.1.1.3.3" xref="A0.E32.x1.m1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.E32.x1.m1.1b"><apply id="A0.E32.x1.m1.1.1.cmml" xref="A0.E32.x1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E32.x1.m1.1.1.1.cmml" xref="A0.E32.x1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A0.E32.x1.m1.1.1.2.cmml" xref="A0.E32.x1.m1.1.1.2">𝐱</ci><apply id="A0.E32.x1.m1.1.1.3.cmml" xref="A0.E32.x1.m1.1.1.3"><plus id="A0.E32.x1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A0.E32.x1.m1.1.1.3.1"></plus><ci id="A0.E32.x1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A0.E32.x1.m1.1.1.3.2">𝑚</ci><cn id="A0.E32.x1.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A0.E32.x1.m1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.E32.x1.m1.1c">\displaystyle\mathchoice{}{}{}{}\mathbf{x}_{m+1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.E32.x1.m1.1d">bold_x start_POSTSUBSCRIPT italic_m + 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="A0.E32.x2"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle{}={}" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.E32.x2.m1.1"><semantics id="A0.E32.x2.m1.1a"><mo id="A0.E32.x2.m1.1.1" xref="A0.E32.x2.m1.1.1.cmml">=</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.E32.x2.m1.1b"><eq id="A0.E32.x2.m1.1.1.cmml" xref="A0.E32.x2.m1.1.1"></eq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.E32.x2.m1.1c">\displaystyle{}={}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.E32.x2.m1.1d">=</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathbf{x}_{m}-(\,\varpi(\mathbf{I}_{N}-\gamma\mathbf{L})\mathbf{% x}_{m-1}+(1-\varpi)\mathbf{x}_{m-1}-\eta\,\mathbf{x}_{m-1}\,)" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.E32.x2.m2.1"><semantics id="A0.E32.x2.m2.1a"><mrow id="A0.E32.x2.m2.1.1" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.cmml"><msub id="A0.E32.x2.m2.1.1.3" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="A0.E32.x2.m2.1.1.3.2" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.3.2.cmml">𝐱</mi><mi id="A0.E32.x2.m2.1.1.3.3" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.3.3.cmml">m</mi></msub><mo id="A0.E32.x2.m2.1.1.2" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.2" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.2" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ϖ</mi><mo id="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐈</mi><mi id="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">N</mi></msub><mo id="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">γ</mi><mo id="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">𝐋</mi></mrow></mrow><mo id="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">𝐱</mi><mrow id="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">m</mi><mo id="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">−</mo><mn id="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow><mo id="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.2.3" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">+</mo><mrow id="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.2.2" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mrow id="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mn id="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml">ϖ</mi></mrow><mo id="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">⁢</mo><msub id="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">𝐱</mi><mrow id="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml"><mi id="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.3.2" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.3.1" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.3.3" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.3" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.4" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.4.2" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.4.2.cmml">η</mi><mo id="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.4.1" lspace="0.170em" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.4.3" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">𝐱</mi><mrow id="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.4.3.3" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml"><mi id="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.4.3.3.2" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.4.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.4.3.3.1" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.4.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.4.3.3.3" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.4.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.E32.x2.m2.1b"><apply id="A0.E32.x2.m2.1.1.cmml" xref="A0.E32.x2.m2.1.1"><minus id="A0.E32.x2.m2.1.1.2.cmml" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.2"></minus><apply id="A0.E32.x2.m2.1.1.3.cmml" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E32.x2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A0.E32.x2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.3.2">𝐱</ci><ci id="A0.E32.x2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.3.3">𝑚</ci></apply><apply id="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1"><minus id="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.3"></minus><apply id="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.2"><plus id="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.2.3"></plus><apply id="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.1.1.3">italic-ϖ</ci><apply id="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" 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id="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.4"><times id="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.4.1"></times><ci id="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.4.2">𝜂</ci><apply id="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.4.3">subscript</csymbol><ci id="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.4.3.2">𝐱</ci><apply id="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.4.3.3"><minus id="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.4.3.3.1.cmml" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.4.3.3.1"></minus><ci id="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.4.3.3.2.cmml" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.4.3.3.2">𝑚</ci><cn id="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.4.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A0.E32.x2.m2.1.1.1.1.1.4.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.E32.x2.m2.1c">\displaystyle\mathbf{x}_{m}-(\,\varpi(\mathbf{I}_{N}-\gamma\mathbf{L})\mathbf{% x}_{m-1}+(1-\varpi)\mathbf{x}_{m-1}-\eta\,\mathbf{x}_{m-1}\,)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.E32.x2.m2.1d">bold_x start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT - ( italic_ϖ ( bold_I start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT - italic_γ bold_L ) bold_x start_POSTSUBSCRIPT italic_m - 1 end_POSTSUBSCRIPT + ( 1 - italic_ϖ ) bold_x start_POSTSUBSCRIPT italic_m - 1 end_POSTSUBSCRIPT - italic_η bold_x start_POSTSUBSCRIPT italic_m - 1 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="A0.E32.x3"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\phantom{\mathbf{x}_{m}}+(\,(\mathbf{I}_{N}-\gamma\mathbf{L})% \mathbf{x}_{m}-\eta\,\mathbf{x}_{m}\,)" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.E32.x3.m1.1"><semantics id="A0.E32.x3.m1.1a"><mrow id="A0.E32.x3.m1.1.1" xref="A0.E32.x3.m1.1.1.cmml"><mo id="A0.E32.x3.m1.1.1a" xref="A0.E32.x3.m1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="A0.E32.x3.m1.1.1.1.1" xref="A0.E32.x3.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.E32.x3.m1.1.1.1.1.2" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="A0.E32.x3.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.E32.x3.m1.1.1.1.1.1" xref="A0.E32.x3.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A0.E32.x3.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.E32.x3.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A0.E32.x3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.E32.x3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.E32.x3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.E32.x3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.E32.x3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.E32.x3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A0.E32.x3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.E32.x3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A0.E32.x3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" 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id="A0.E32.x3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.E32.x3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="A0.E32.x3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A0.E32.x3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="A0.E32.x3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A0.E32.x3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝛾</ci><ci id="A0.E32.x3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A0.E32.x3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝐋</ci></apply></apply><apply id="A0.E32.x3.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.E32.x3.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E32.x3.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A0.E32.x3.m1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A0.E32.x3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A0.E32.x3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐱</ci><ci id="A0.E32.x3.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A0.E32.x3.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑚</ci></apply></apply><apply id="A0.E32.x3.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.E32.x3.m1.1.1.1.1.1.3"><times id="A0.E32.x3.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A0.E32.x3.m1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="A0.E32.x3.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" 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ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="A0.E32.2"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.E32.2.m1.1"><semantics id="A0.E32.2.m1.1a"><mo id="A0.E32.2.m1.1.1" xref="A0.E32.2.m1.1.1.cmml">=</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.E32.2.m1.1b"><eq id="A0.E32.2.m1.1.1.cmml" xref="A0.E32.2.m1.1.1"></eq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.E32.2.m1.1c">\displaystyle=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.E32.2.m1.1d">=</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle(\,(2-\eta)\mathbf{I}_{N}-\gamma\mathbf{L}\,)\mathbf{x}_{m}+(\,% \varpi\gamma\mathbf{L}+(\eta-1)\mathbf{I}_{N}\,)\mathbf{x}_{m-1}\,." class="ltx_Math" display="inline" id="A0.E32.2.m2.1"><semantics 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id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">η</mi></mrow><mo id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">𝐈</mi><mi id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">N</mi></msub></mrow><mo id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">γ</mi><mo id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">𝐋</mi></mrow></mrow><mo id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.3" lspace="0.170em" stretchy="false" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.1.2" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.1.3" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.1.3.2" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">𝐱</mi><mi id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.1.3.3" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.1.3.3.cmml">m</mi></msub></mrow><mo id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.3" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.3.cmml">+</mo><mrow id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.1.1" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.2" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mrow id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml">ϖ</mi><mo id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml">γ</mi><mo id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1a" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.4" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.4.cmml">𝐋</mi></mrow><mo id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">η</mi><mo id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.cmml">𝐈</mi><mi id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.3" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.3.cmml">N</mi></msub></mrow></mrow><mo id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.2" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><msub id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.3" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.3.2" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.3.2.cmml">𝐱</mi><mrow id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.3.3" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.3.3.2" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.3.3.1" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.3.3.3" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="A0.E32.2.m2.1.1.1.2" lspace="0em" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.E32.2.m2.1b"><apply id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1"><plus id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.3"></plus><apply 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xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐈</ci><ci id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑁</ci></apply></apply><apply id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝛾</ci><ci id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝐋</ci></apply></apply><apply id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.1.3.2">𝐱</ci><ci id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.1.3.3">𝑚</ci></apply></apply><apply id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2"><times id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.2"></times><apply id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.1.1"><plus id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.2"></plus><apply id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.3"><times id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1"></times><ci id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2">italic-ϖ</ci><ci id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3">𝛾</ci><ci id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.4.cmml" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.4">𝐋</ci></apply><apply id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" 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id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.3.2">𝐱</ci><apply id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.3.3"><minus id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.3.3.1"></minus><ci id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.3.3.2">𝑚</ci><cn id="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A0.E32.2.m2.1.1.1.1.2.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.E32.2.m2.1c">\displaystyle(\,(2-\eta)\mathbf{I}_{N}-\gamma\mathbf{L}\,)\mathbf{x}_{m}+(\,% \varpi\gamma\mathbf{L}+(\eta-1)\mathbf{I}_{N}\,)\mathbf{x}_{m-1}\,.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.E32.2.m2.1d">( ( 2 - italic_η ) bold_I start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT - italic_γ bold_L ) bold_x start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT + ( italic_ϖ italic_γ bold_L + ( italic_η - 1 ) bold_I start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT ) bold_x start_POSTSUBSCRIPT italic_m - 1 end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(32b)</span></td> </tr> </tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.1.p1.11">Define <math alttext="\mathbf{a}_{m}\coloneqq\mathbf{U}^{\intercal}\mathbf{x}_{m}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.1.p1.1.m1.1"><semantics id="S5.1.p1.1.m1.1a"><mrow id="S5.1.p1.1.m1.1.1" xref="S5.1.p1.1.m1.1.1.cmml"><msub id="S5.1.p1.1.m1.1.1.2" xref="S5.1.p1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.1.p1.1.m1.1.1.2.2" xref="S5.1.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml">𝐚</mi><mi id="S5.1.p1.1.m1.1.1.2.3" xref="S5.1.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S5.1.p1.1.m1.1.1.1" xref="S5.1.p1.1.m1.1.1.1.cmml">≔</mo><mrow id="S5.1.p1.1.m1.1.1.3" xref="S5.1.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><msup id="S5.1.p1.1.m1.1.1.3.2" xref="S5.1.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.1.p1.1.m1.1.1.3.2.2" xref="S5.1.p1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml">𝐔</mi><mo id="S5.1.p1.1.m1.1.1.3.2.3" xref="S5.1.p1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml">⊺</mo></msup><mo id="S5.1.p1.1.m1.1.1.3.1" xref="S5.1.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.1.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="S5.1.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.1.p1.1.m1.1.1.3.3.2" xref="S5.1.p1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml">𝐱</mi><mi id="S5.1.p1.1.m1.1.1.3.3.3" xref="S5.1.p1.1.m1.1.1.3.3.3.cmml">m</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.1.p1.1.m1.1b"><apply id="S5.1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.1.p1.1.m1.1.1"><ci id="S5.1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.1.p1.1.m1.1.1.1">≔</ci><apply id="S5.1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.1.p1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.1.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.1.p1.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.1.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.1.p1.1.m1.1.1.2.2">𝐚</ci><ci id="S5.1.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.1.p1.1.m1.1.1.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="S5.1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.1.p1.1.m1.1.1.3"><times id="S5.1.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.1.p1.1.m1.1.1.3.1"></times><apply id="S5.1.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.1.p1.1.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.1.p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.1.p1.1.m1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S5.1.p1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.1.p1.1.m1.1.1.3.2.2">𝐔</ci><ci id="S5.1.p1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.1.p1.1.m1.1.1.3.2.3">⊺</ci></apply><apply id="S5.1.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.1.p1.1.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.1.p1.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.1.p1.1.m1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.1.p1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.1.p1.1.m1.1.1.3.3.2">𝐱</ci><ci id="S5.1.p1.1.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.1.p1.1.m1.1.1.3.3.3">𝑚</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.1.p1.1.m1.1c">\mathbf{a}_{m}\coloneqq\mathbf{U}^{\intercal}\mathbf{x}_{m}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.1.p1.1.m1.1d">bold_a start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT ≔ bold_U start_POSTSUPERSCRIPT ⊺ end_POSTSUPERSCRIPT bold_x start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\mathbf{a}^{\prime}\coloneqq\mathbf{U}^{\intercal}\mathbf{x}^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.1.p1.2.m2.1"><semantics id="S5.1.p1.2.m2.1a"><mrow id="S5.1.p1.2.m2.1.1" xref="S5.1.p1.2.m2.1.1.cmml"><msup id="S5.1.p1.2.m2.1.1.2" xref="S5.1.p1.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S5.1.p1.2.m2.1.1.2.2" xref="S5.1.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml">𝐚</mi><mo id="S5.1.p1.2.m2.1.1.2.3" xref="S5.1.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S5.1.p1.2.m2.1.1.1" xref="S5.1.p1.2.m2.1.1.1.cmml">≔</mo><mrow id="S5.1.p1.2.m2.1.1.3" xref="S5.1.p1.2.m2.1.1.3.cmml"><msup id="S5.1.p1.2.m2.1.1.3.2" xref="S5.1.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.1.p1.2.m2.1.1.3.2.2" xref="S5.1.p1.2.m2.1.1.3.2.2.cmml">𝐔</mi><mo id="S5.1.p1.2.m2.1.1.3.2.3" xref="S5.1.p1.2.m2.1.1.3.2.3.cmml">⊺</mo></msup><mo id="S5.1.p1.2.m2.1.1.3.1" xref="S5.1.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.1.p1.2.m2.1.1.3.3" xref="S5.1.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.1.p1.2.m2.1.1.3.3.2" xref="S5.1.p1.2.m2.1.1.3.3.2.cmml">𝐱</mi><mo id="S5.1.p1.2.m2.1.1.3.3.3" xref="S5.1.p1.2.m2.1.1.3.3.3.cmml">′</mo></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.1.p1.2.m2.1b"><apply id="S5.1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.1.p1.2.m2.1.1"><ci id="S5.1.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.1.p1.2.m2.1.1.1">≔</ci><apply id="S5.1.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.1.p1.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.1.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.1.p1.2.m2.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.1.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S5.1.p1.2.m2.1.1.2.2">𝐚</ci><ci id="S5.1.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S5.1.p1.2.m2.1.1.2.3">′</ci></apply><apply id="S5.1.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.1.p1.2.m2.1.1.3"><times id="S5.1.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.1.p1.2.m2.1.1.3.1"></times><apply id="S5.1.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S5.1.p1.2.m2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.1.p1.2.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.1.p1.2.m2.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S5.1.p1.2.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.1.p1.2.m2.1.1.3.2.2">𝐔</ci><ci id="S5.1.p1.2.m2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.1.p1.2.m2.1.1.3.2.3">⊺</ci></apply><apply id="S5.1.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S5.1.p1.2.m2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.1.p1.2.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.1.p1.2.m2.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.1.p1.2.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.1.p1.2.m2.1.1.3.3.2">𝐱</ci><ci id="S5.1.p1.2.m2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.1.p1.2.m2.1.1.3.3.3">′</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.1.p1.2.m2.1c">\mathbf{a}^{\prime}\coloneqq\mathbf{U}^{\intercal}\mathbf{x}^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.1.p1.2.m2.1d">bold_a start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ≔ bold_U start_POSTSUPERSCRIPT ⊺ end_POSTSUPERSCRIPT bold_x start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, where <math alttext="\mathbf{U}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.1.p1.3.m3.1"><semantics id="S5.1.p1.3.m3.1a"><mi id="S5.1.p1.3.m3.1.1" xref="S5.1.p1.3.m3.1.1.cmml">𝐔</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.1.p1.3.m3.1b"><ci id="S5.1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.1.p1.3.m3.1.1">𝐔</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.1.p1.3.m3.1c">\mathbf{U}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.1.p1.3.m3.1d">bold_U</annotation></semantics></math> is obtained by the EVD of <math alttext="\mathbf{L}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.1.p1.4.m4.1"><semantics id="S5.1.p1.4.m4.1a"><mi id="S5.1.p1.4.m4.1.1" xref="S5.1.p1.4.m4.1.1.cmml">𝐋</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.1.p1.4.m4.1b"><ci id="S5.1.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S5.1.p1.4.m4.1.1">𝐋</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.1.p1.4.m4.1c">\mathbf{L}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.1.p1.4.m4.1d">bold_L</annotation></semantics></math>, and let <math alttext="a_{m}^{(n)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.1.p1.5.m5.1"><semantics id="S5.1.p1.5.m5.1a"><msubsup id="S5.1.p1.5.m5.1.2" xref="S5.1.p1.5.m5.1.2.cmml"><mi id="S5.1.p1.5.m5.1.2.2.2" xref="S5.1.p1.5.m5.1.2.2.2.cmml">a</mi><mi id="S5.1.p1.5.m5.1.2.2.3" xref="S5.1.p1.5.m5.1.2.2.3.cmml">m</mi><mrow id="S5.1.p1.5.m5.1.1.1.3" xref="S5.1.p1.5.m5.1.2.cmml"><mo id="S5.1.p1.5.m5.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S5.1.p1.5.m5.1.2.cmml">(</mo><mi id="S5.1.p1.5.m5.1.1.1.1" xref="S5.1.p1.5.m5.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S5.1.p1.5.m5.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S5.1.p1.5.m5.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.1.p1.5.m5.1b"><apply id="S5.1.p1.5.m5.1.2.cmml" xref="S5.1.p1.5.m5.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.1.p1.5.m5.1.2.1.cmml" xref="S5.1.p1.5.m5.1.2">superscript</csymbol><apply id="S5.1.p1.5.m5.1.2.2.cmml" xref="S5.1.p1.5.m5.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.1.p1.5.m5.1.2.2.1.cmml" xref="S5.1.p1.5.m5.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.1.p1.5.m5.1.2.2.2.cmml" xref="S5.1.p1.5.m5.1.2.2.2">𝑎</ci><ci id="S5.1.p1.5.m5.1.2.2.3.cmml" xref="S5.1.p1.5.m5.1.2.2.3">𝑚</ci></apply><ci id="S5.1.p1.5.m5.1.1.1.1.cmml" xref="S5.1.p1.5.m5.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.1.p1.5.m5.1c">a_{m}^{(n)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.1.p1.5.m5.1d">italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="a^{\prime(n)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.1.p1.6.m6.3"><semantics id="S5.1.p1.6.m6.3a"><msup id="S5.1.p1.6.m6.3.4" xref="S5.1.p1.6.m6.3.4.cmml"><mi id="S5.1.p1.6.m6.3.4.2" xref="S5.1.p1.6.m6.3.4.2.cmml">a</mi><mrow id="S5.1.p1.6.m6.3.3.3.3" xref="S5.1.p1.6.m6.3.3.3.4.cmml"><mo id="S5.1.p1.6.m6.2.2.2.2.1" mathsize="142%" xref="S5.1.p1.6.m6.2.2.2.2.1.cmml">′</mo><mo id="S5.1.p1.6.m6.3.3.3.3.3" lspace="0em" xref="S5.1.p1.6.m6.3.3.3.4.cmml">⁣</mo><mrow id="S5.1.p1.6.m6.3.3.3.3.2.2" xref="S5.1.p1.6.m6.3.3.3.4.cmml"><mo id="S5.1.p1.6.m6.3.3.3.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S5.1.p1.6.m6.3.3.3.4.cmml">(</mo><mi id="S5.1.p1.6.m6.1.1.1.1" xref="S5.1.p1.6.m6.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S5.1.p1.6.m6.3.3.3.3.2.2.2" stretchy="false" xref="S5.1.p1.6.m6.3.3.3.4.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.1.p1.6.m6.3b"><apply id="S5.1.p1.6.m6.3.4.cmml" xref="S5.1.p1.6.m6.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.1.p1.6.m6.3.4.1.cmml" xref="S5.1.p1.6.m6.3.4">superscript</csymbol><ci id="S5.1.p1.6.m6.3.4.2.cmml" xref="S5.1.p1.6.m6.3.4.2">𝑎</ci><list id="S5.1.p1.6.m6.3.3.3.4.cmml" xref="S5.1.p1.6.m6.3.3.3.3"><ci id="S5.1.p1.6.m6.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.1.p1.6.m6.2.2.2.2.1">′</ci><ci id="S5.1.p1.6.m6.1.1.1.1.cmml" xref="S5.1.p1.6.m6.1.1.1.1">𝑛</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.1.p1.6.m6.3c">a^{\prime(n)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.1.p1.6.m6.3d">italic_a start_POSTSUPERSCRIPT ′ ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> be the <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.1.p1.7.m7.1"><semantics id="S5.1.p1.7.m7.1a"><mi id="S5.1.p1.7.m7.1.1" xref="S5.1.p1.7.m7.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.1.p1.7.m7.1b"><ci id="S5.1.p1.7.m7.1.1.cmml" xref="S5.1.p1.7.m7.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.1.p1.7.m7.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.1.p1.7.m7.1d">italic_n</annotation></semantics></math>th entries of <math alttext="\mathbf{a}_{m}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.1.p1.8.m8.1"><semantics id="S5.1.p1.8.m8.1a"><msub id="S5.1.p1.8.m8.1.1" xref="S5.1.p1.8.m8.1.1.cmml"><mi id="S5.1.p1.8.m8.1.1.2" xref="S5.1.p1.8.m8.1.1.2.cmml">𝐚</mi><mi id="S5.1.p1.8.m8.1.1.3" xref="S5.1.p1.8.m8.1.1.3.cmml">m</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.1.p1.8.m8.1b"><apply id="S5.1.p1.8.m8.1.1.cmml" xref="S5.1.p1.8.m8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.1.p1.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S5.1.p1.8.m8.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.1.p1.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S5.1.p1.8.m8.1.1.2">𝐚</ci><ci id="S5.1.p1.8.m8.1.1.3.cmml" xref="S5.1.p1.8.m8.1.1.3">𝑚</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.1.p1.8.m8.1c">\mathbf{a}_{m}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.1.p1.8.m8.1d">bold_a start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\mathbf{a}^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.1.p1.9.m9.1"><semantics id="S5.1.p1.9.m9.1a"><msup id="S5.1.p1.9.m9.1.1" xref="S5.1.p1.9.m9.1.1.cmml"><mi id="S5.1.p1.9.m9.1.1.2" xref="S5.1.p1.9.m9.1.1.2.cmml">𝐚</mi><mo id="S5.1.p1.9.m9.1.1.3" xref="S5.1.p1.9.m9.1.1.3.cmml">′</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.1.p1.9.m9.1b"><apply id="S5.1.p1.9.m9.1.1.cmml" xref="S5.1.p1.9.m9.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.1.p1.9.m9.1.1.1.cmml" xref="S5.1.p1.9.m9.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.1.p1.9.m9.1.1.2.cmml" xref="S5.1.p1.9.m9.1.1.2">𝐚</ci><ci id="S5.1.p1.9.m9.1.1.3.cmml" xref="S5.1.p1.9.m9.1.1.3">′</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.1.p1.9.m9.1c">\mathbf{a}^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.1.p1.9.m9.1d">bold_a start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, respectively. Applying <math alttext="\mathbf{U}^{\intercal}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.1.p1.10.m10.1"><semantics id="S5.1.p1.10.m10.1a"><msup id="S5.1.p1.10.m10.1.1" xref="S5.1.p1.10.m10.1.1.cmml"><mi id="S5.1.p1.10.m10.1.1.2" xref="S5.1.p1.10.m10.1.1.2.cmml">𝐔</mi><mo id="S5.1.p1.10.m10.1.1.3" xref="S5.1.p1.10.m10.1.1.3.cmml">⊺</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.1.p1.10.m10.1b"><apply id="S5.1.p1.10.m10.1.1.cmml" xref="S5.1.p1.10.m10.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.1.p1.10.m10.1.1.1.cmml" xref="S5.1.p1.10.m10.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.1.p1.10.m10.1.1.2.cmml" xref="S5.1.p1.10.m10.1.1.2">𝐔</ci><ci id="S5.1.p1.10.m10.1.1.3.cmml" xref="S5.1.p1.10.m10.1.1.3">⊺</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.1.p1.10.m10.1c">\mathbf{U}^{\intercal}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.1.p1.10.m10.1d">bold_U start_POSTSUPERSCRIPT ⊺ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> to (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#A0.E32" title="Equation 32 ‣ Proof: ‣ V Conclusions ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">32</span></a>) yields that <math alttext="\forall n\in\mathcal{N}\coloneqq\{1,\ldots,N\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.1.p1.11.m11.3"><semantics id="S5.1.p1.11.m11.3a"><mrow id="S5.1.p1.11.m11.3.4" xref="S5.1.p1.11.m11.3.4.cmml"><mrow id="S5.1.p1.11.m11.3.4.2" xref="S5.1.p1.11.m11.3.4.2.cmml"><mo id="S5.1.p1.11.m11.3.4.2.1" rspace="0.167em" xref="S5.1.p1.11.m11.3.4.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S5.1.p1.11.m11.3.4.2.2" xref="S5.1.p1.11.m11.3.4.2.2.cmml">n</mi></mrow><mo id="S5.1.p1.11.m11.3.4.3" xref="S5.1.p1.11.m11.3.4.3.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.1.p1.11.m11.3.4.4" xref="S5.1.p1.11.m11.3.4.4.cmml">𝒩</mi><mo id="S5.1.p1.11.m11.3.4.5" xref="S5.1.p1.11.m11.3.4.5.cmml">≔</mo><mrow id="S5.1.p1.11.m11.3.4.6.2" xref="S5.1.p1.11.m11.3.4.6.1.cmml"><mo id="S5.1.p1.11.m11.3.4.6.2.1" stretchy="false" xref="S5.1.p1.11.m11.3.4.6.1.cmml">{</mo><mn id="S5.1.p1.11.m11.1.1" xref="S5.1.p1.11.m11.1.1.cmml">1</mn><mo id="S5.1.p1.11.m11.3.4.6.2.2" xref="S5.1.p1.11.m11.3.4.6.1.cmml">,</mo><mi id="S5.1.p1.11.m11.2.2" mathvariant="normal" xref="S5.1.p1.11.m11.2.2.cmml">…</mi><mo id="S5.1.p1.11.m11.3.4.6.2.3" xref="S5.1.p1.11.m11.3.4.6.1.cmml">,</mo><mi id="S5.1.p1.11.m11.3.3" xref="S5.1.p1.11.m11.3.3.cmml">N</mi><mo id="S5.1.p1.11.m11.3.4.6.2.4" stretchy="false" xref="S5.1.p1.11.m11.3.4.6.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.1.p1.11.m11.3b"><apply id="S5.1.p1.11.m11.3.4.cmml" xref="S5.1.p1.11.m11.3.4"><and id="S5.1.p1.11.m11.3.4a.cmml" xref="S5.1.p1.11.m11.3.4"></and><apply id="S5.1.p1.11.m11.3.4b.cmml" xref="S5.1.p1.11.m11.3.4"><in id="S5.1.p1.11.m11.3.4.3.cmml" xref="S5.1.p1.11.m11.3.4.3"></in><apply id="S5.1.p1.11.m11.3.4.2.cmml" xref="S5.1.p1.11.m11.3.4.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.1.p1.11.m11.3.4.2.1.cmml" xref="S5.1.p1.11.m11.3.4.2.1">for-all</csymbol><ci id="S5.1.p1.11.m11.3.4.2.2.cmml" xref="S5.1.p1.11.m11.3.4.2.2">𝑛</ci></apply><ci id="S5.1.p1.11.m11.3.4.4.cmml" xref="S5.1.p1.11.m11.3.4.4">𝒩</ci></apply><apply id="S5.1.p1.11.m11.3.4c.cmml" xref="S5.1.p1.11.m11.3.4"><ci id="S5.1.p1.11.m11.3.4.5.cmml" xref="S5.1.p1.11.m11.3.4.5">≔</ci><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S5.1.p1.11.m11.3.4.4.cmml" id="S5.1.p1.11.m11.3.4d.cmml" xref="S5.1.p1.11.m11.3.4"></share><set id="S5.1.p1.11.m11.3.4.6.1.cmml" xref="S5.1.p1.11.m11.3.4.6.2"><cn id="S5.1.p1.11.m11.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.1.p1.11.m11.1.1">1</cn><ci id="S5.1.p1.11.m11.2.2.cmml" xref="S5.1.p1.11.m11.2.2">…</ci><ci id="S5.1.p1.11.m11.3.3.cmml" xref="S5.1.p1.11.m11.3.3">𝑁</ci></set></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.1.p1.11.m11.3c">\forall n\in\mathcal{N}\coloneqq\{1,\ldots,N\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.1.p1.11.m11.3d">∀ italic_n ∈ caligraphic_N ≔ { 1 , … , italic_N }</annotation></semantics></math>,</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_table" id="A0.E33"> <tbody> <tr class="ltx_eqn_row" id="A0.EGx45"><td class="ltx_eqn_cell" colspan="5"></td></tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="A0.E33.1"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle a_{0}^{(n)}" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.E33.1.m1.1"><semantics id="A0.E33.1.m1.1a"><msubsup id="A0.E33.1.m1.1.2" xref="A0.E33.1.m1.1.2.cmml"><mi id="A0.E33.1.m1.1.2.2.2" xref="A0.E33.1.m1.1.2.2.2.cmml">a</mi><mn id="A0.E33.1.m1.1.2.2.3" xref="A0.E33.1.m1.1.2.2.3.cmml">0</mn><mrow id="A0.E33.1.m1.1.1.1.3" xref="A0.E33.1.m1.1.2.cmml"><mo id="A0.E33.1.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A0.E33.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A0.E33.1.m1.1.1.1.1" xref="A0.E33.1.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="A0.E33.1.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A0.E33.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.E33.1.m1.1b"><apply id="A0.E33.1.m1.1.2.cmml" xref="A0.E33.1.m1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E33.1.m1.1.2.1.cmml" xref="A0.E33.1.m1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A0.E33.1.m1.1.2.2.cmml" xref="A0.E33.1.m1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E33.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="A0.E33.1.m1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A0.E33.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="A0.E33.1.m1.1.2.2.2">𝑎</ci><cn id="A0.E33.1.m1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A0.E33.1.m1.1.2.2.3">0</cn></apply><ci id="A0.E33.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.E33.1.m1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.E33.1.m1.1c">\displaystyle a_{0}^{(n)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.E33.1.m1.1d">italic_a start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=-q_{n}a_{-1}^{(n)}+\eta Na^{\prime(n)}\,," class="ltx_Math" display="inline" id="A0.E33.1.m2.5"><semantics id="A0.E33.1.m2.5a"><mrow id="A0.E33.1.m2.5.5.1" xref="A0.E33.1.m2.5.5.1.1.cmml"><mrow id="A0.E33.1.m2.5.5.1.1" xref="A0.E33.1.m2.5.5.1.1.cmml"><mi id="A0.E33.1.m2.5.5.1.1.2" xref="A0.E33.1.m2.5.5.1.1.2.cmml"></mi><mo id="A0.E33.1.m2.5.5.1.1.1" xref="A0.E33.1.m2.5.5.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A0.E33.1.m2.5.5.1.1.3" xref="A0.E33.1.m2.5.5.1.1.3.cmml"><mrow id="A0.E33.1.m2.5.5.1.1.3.2" xref="A0.E33.1.m2.5.5.1.1.3.2.cmml"><mo id="A0.E33.1.m2.5.5.1.1.3.2a" xref="A0.E33.1.m2.5.5.1.1.3.2.cmml">−</mo><mrow id="A0.E33.1.m2.5.5.1.1.3.2.2" xref="A0.E33.1.m2.5.5.1.1.3.2.2.cmml"><msub id="A0.E33.1.m2.5.5.1.1.3.2.2.2" xref="A0.E33.1.m2.5.5.1.1.3.2.2.2.cmml"><mi id="A0.E33.1.m2.5.5.1.1.3.2.2.2.2" xref="A0.E33.1.m2.5.5.1.1.3.2.2.2.2.cmml">q</mi><mi id="A0.E33.1.m2.5.5.1.1.3.2.2.2.3" xref="A0.E33.1.m2.5.5.1.1.3.2.2.2.3.cmml">n</mi></msub><mo id="A0.E33.1.m2.5.5.1.1.3.2.2.1" xref="A0.E33.1.m2.5.5.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A0.E33.1.m2.5.5.1.1.3.2.2.3" xref="A0.E33.1.m2.5.5.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="A0.E33.1.m2.5.5.1.1.3.2.2.3.2.2" xref="A0.E33.1.m2.5.5.1.1.3.2.2.3.2.2.cmml">a</mi><mrow id="A0.E33.1.m2.5.5.1.1.3.2.2.3.2.3" xref="A0.E33.1.m2.5.5.1.1.3.2.2.3.2.3.cmml"><mo id="A0.E33.1.m2.5.5.1.1.3.2.2.3.2.3a" xref="A0.E33.1.m2.5.5.1.1.3.2.2.3.2.3.cmml">−</mo><mn id="A0.E33.1.m2.5.5.1.1.3.2.2.3.2.3.2" xref="A0.E33.1.m2.5.5.1.1.3.2.2.3.2.3.2.cmml">1</mn></mrow><mrow id="A0.E33.1.m2.1.1.1.3" xref="A0.E33.1.m2.5.5.1.1.3.2.2.3.cmml"><mo id="A0.E33.1.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A0.E33.1.m2.5.5.1.1.3.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="A0.E33.1.m2.1.1.1.1" xref="A0.E33.1.m2.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="A0.E33.1.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A0.E33.1.m2.5.5.1.1.3.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup></mrow></mrow><mo id="A0.E33.1.m2.5.5.1.1.3.1" xref="A0.E33.1.m2.5.5.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="A0.E33.1.m2.5.5.1.1.3.3" xref="A0.E33.1.m2.5.5.1.1.3.3.cmml"><mi id="A0.E33.1.m2.5.5.1.1.3.3.2" xref="A0.E33.1.m2.5.5.1.1.3.3.2.cmml">η</mi><mo id="A0.E33.1.m2.5.5.1.1.3.3.1" xref="A0.E33.1.m2.5.5.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A0.E33.1.m2.5.5.1.1.3.3.3" xref="A0.E33.1.m2.5.5.1.1.3.3.3.cmml">N</mi><mo id="A0.E33.1.m2.5.5.1.1.3.3.1a" xref="A0.E33.1.m2.5.5.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="A0.E33.1.m2.5.5.1.1.3.3.4" xref="A0.E33.1.m2.5.5.1.1.3.3.4.cmml"><mi id="A0.E33.1.m2.5.5.1.1.3.3.4.2" xref="A0.E33.1.m2.5.5.1.1.3.3.4.2.cmml">a</mi><mrow id="A0.E33.1.m2.4.4.3.3" xref="A0.E33.1.m2.4.4.3.4.cmml"><mo id="A0.E33.1.m2.3.3.2.2.1" mathsize="142%" xref="A0.E33.1.m2.3.3.2.2.1.cmml">′</mo><mo id="A0.E33.1.m2.4.4.3.3.3" lspace="0em" xref="A0.E33.1.m2.4.4.3.4.cmml">⁣</mo><mrow id="A0.E33.1.m2.4.4.3.3.2.2" xref="A0.E33.1.m2.4.4.3.4.cmml"><mo id="A0.E33.1.m2.4.4.3.3.2.2.1" stretchy="false" xref="A0.E33.1.m2.4.4.3.4.cmml">(</mo><mi id="A0.E33.1.m2.2.2.1.1" xref="A0.E33.1.m2.2.2.1.1.cmml">n</mi><mo id="A0.E33.1.m2.4.4.3.3.2.2.2" stretchy="false" xref="A0.E33.1.m2.4.4.3.4.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="A0.E33.1.m2.5.5.1.2" xref="A0.E33.1.m2.5.5.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.E33.1.m2.5b"><apply id="A0.E33.1.m2.5.5.1.1.cmml" xref="A0.E33.1.m2.5.5.1"><eq id="A0.E33.1.m2.5.5.1.1.1.cmml" xref="A0.E33.1.m2.5.5.1.1.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="A0.E33.1.m2.5.5.1.1.2.cmml" xref="A0.E33.1.m2.5.5.1.1.2">absent</csymbol><apply id="A0.E33.1.m2.5.5.1.1.3.cmml" xref="A0.E33.1.m2.5.5.1.1.3"><plus id="A0.E33.1.m2.5.5.1.1.3.1.cmml" xref="A0.E33.1.m2.5.5.1.1.3.1"></plus><apply id="A0.E33.1.m2.5.5.1.1.3.2.cmml" xref="A0.E33.1.m2.5.5.1.1.3.2"><minus id="A0.E33.1.m2.5.5.1.1.3.2.1.cmml" xref="A0.E33.1.m2.5.5.1.1.3.2"></minus><apply id="A0.E33.1.m2.5.5.1.1.3.2.2.cmml" xref="A0.E33.1.m2.5.5.1.1.3.2.2"><times 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id="A0.E33.1.m2.4.4.3.4.cmml" xref="A0.E33.1.m2.4.4.3.3"><ci id="A0.E33.1.m2.3.3.2.2.1.cmml" xref="A0.E33.1.m2.3.3.2.2.1">′</ci><ci id="A0.E33.1.m2.2.2.1.1.cmml" xref="A0.E33.1.m2.2.2.1.1">𝑛</ci></list></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.E33.1.m2.5c">\displaystyle=-q_{n}a_{-1}^{(n)}+\eta Na^{\prime(n)}\,,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.E33.1.m2.5d">= - italic_q start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT italic_a start_POSTSUBSCRIPT - 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT + italic_η italic_N italic_a start_POSTSUPERSCRIPT ′ ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(33a)</span></td> </tr> <tr class="ltx_eqn_row ltx_align_baseline"><td class="ltx_eqn_cell ltx_align_left" colspan="5" style="white-space:normal;">and <math alttext="\forall m\in\mathbb{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.EGx45.1.1.m1.1"><semantics id="A0.EGx45.1.1.m1.1a"><mrow id="A0.EGx45.1.1.m1.1.1" xref="A0.EGx45.1.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="A0.EGx45.1.1.m1.1.1.2" xref="A0.EGx45.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mo id="A0.EGx45.1.1.m1.1.1.2.1" rspace="0.167em" xref="A0.EGx45.1.1.m1.1.1.2.1.cmml">∀</mo><mi id="A0.EGx45.1.1.m1.1.1.2.2" xref="A0.EGx45.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">m</mi></mrow><mo id="A0.EGx45.1.1.m1.1.1.1" xref="A0.EGx45.1.1.m1.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="A0.EGx45.1.1.m1.1.1.3" xref="A0.EGx45.1.1.m1.1.1.3.cmml">ℕ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.EGx45.1.1.m1.1b"><apply id="A0.EGx45.1.1.m1.1.1.cmml" xref="A0.EGx45.1.1.m1.1.1"><in id="A0.EGx45.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A0.EGx45.1.1.m1.1.1.1"></in><apply id="A0.EGx45.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A0.EGx45.1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="A0.EGx45.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" 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xref="A0.E33.x1.m1.1.2.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A0.E33.x1.m1.1.2.2.3.1" xref="A0.E33.x1.m1.1.2.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="A0.E33.x1.m1.1.2.2.3.3" xref="A0.E33.x1.m1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="A0.E33.x1.m1.1.1.1.3" xref="A0.E33.x1.m1.1.2.cmml"><mo id="A0.E33.x1.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A0.E33.x1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A0.E33.x1.m1.1.1.1.1" xref="A0.E33.x1.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="A0.E33.x1.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A0.E33.x1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.E33.x1.m1.1b"><apply id="A0.E33.x1.m1.1.2.cmml" xref="A0.E33.x1.m1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E33.x1.m1.1.2.1.cmml" xref="A0.E33.x1.m1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A0.E33.x1.m1.1.2.2.cmml" xref="A0.E33.x1.m1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E33.x1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="A0.E33.x1.m1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A0.E33.x1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="A0.E33.x1.m1.1.2.2.2">𝑎</ci><apply id="A0.E33.x1.m1.1.2.2.3.cmml" xref="A0.E33.x1.m1.1.2.2.3"><plus id="A0.E33.x1.m1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A0.E33.x1.m1.1.2.2.3.1"></plus><ci id="A0.E33.x1.m1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A0.E33.x1.m1.1.2.2.3.2">𝑚</ci><cn id="A0.E33.x1.m1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A0.E33.x1.m1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A0.E33.x1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.E33.x1.m1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.E33.x1.m1.1c">\displaystyle a_{m+1}^{(n)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.E33.x1.m1.1d">italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_m + 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=(2-\eta-\gamma\lambda_{n})a_{m}^{(n)}+(\varpi\gamma\lambda_{n}+% \eta-1)a_{m-1}^{(n)}" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.E33.x1.m2.4"><semantics id="A0.E33.x1.m2.4a"><mrow id="A0.E33.x1.m2.4.4" xref="A0.E33.x1.m2.4.4.cmml"><mi id="A0.E33.x1.m2.4.4.4" xref="A0.E33.x1.m2.4.4.4.cmml"></mi><mo id="A0.E33.x1.m2.4.4.3" xref="A0.E33.x1.m2.4.4.3.cmml">=</mo><mrow id="A0.E33.x1.m2.4.4.2" xref="A0.E33.x1.m2.4.4.2.cmml"><mrow id="A0.E33.x1.m2.3.3.1.1" xref="A0.E33.x1.m2.3.3.1.1.cmml"><mrow id="A0.E33.x1.m2.3.3.1.1.1.1" xref="A0.E33.x1.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.E33.x1.m2.3.3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.E33.x1.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.E33.x1.m2.3.3.1.1.1.1.1" xref="A0.E33.x1.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A0.E33.x1.m2.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="A0.E33.x1.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="A0.E33.x1.m2.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="A0.E33.x1.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="A0.E33.x1.m2.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="A0.E33.x1.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml">η</mi><mo id="A0.E33.x1.m2.3.3.1.1.1.1.1.1a" xref="A0.E33.x1.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A0.E33.x1.m2.3.3.1.1.1.1.1.4" xref="A0.E33.x1.m2.3.3.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A0.E33.x1.m2.3.3.1.1.1.1.1.4.2" xref="A0.E33.x1.m2.3.3.1.1.1.1.1.4.2.cmml">γ</mi><mo id="A0.E33.x1.m2.3.3.1.1.1.1.1.4.1" xref="A0.E33.x1.m2.3.3.1.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="A0.E33.x1.m2.3.3.1.1.1.1.1.4.3" xref="A0.E33.x1.m2.3.3.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="A0.E33.x1.m2.3.3.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="A0.E33.x1.m2.3.3.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">λ</mi><mi id="A0.E33.x1.m2.3.3.1.1.1.1.1.4.3.3" xref="A0.E33.x1.m2.3.3.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml">n</mi></msub></mrow></mrow><mo id="A0.E33.x1.m2.3.3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.E33.x1.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A0.E33.x1.m2.3.3.1.1.2" xref="A0.E33.x1.m2.3.3.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="A0.E33.x1.m2.3.3.1.1.3" xref="A0.E33.x1.m2.3.3.1.1.3.cmml"><mi id="A0.E33.x1.m2.3.3.1.1.3.2.2" xref="A0.E33.x1.m2.3.3.1.1.3.2.2.cmml">a</mi><mi id="A0.E33.x1.m2.3.3.1.1.3.2.3" xref="A0.E33.x1.m2.3.3.1.1.3.2.3.cmml">m</mi><mrow id="A0.E33.x1.m2.1.1.1.3" xref="A0.E33.x1.m2.3.3.1.1.3.cmml"><mo id="A0.E33.x1.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A0.E33.x1.m2.3.3.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A0.E33.x1.m2.1.1.1.1" xref="A0.E33.x1.m2.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="A0.E33.x1.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A0.E33.x1.m2.3.3.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup></mrow><mo id="A0.E33.x1.m2.4.4.2.3" xref="A0.E33.x1.m2.4.4.2.3.cmml">+</mo><mrow id="A0.E33.x1.m2.4.4.2.2" xref="A0.E33.x1.m2.4.4.2.2.cmml"><mrow id="A0.E33.x1.m2.4.4.2.2.1.1" xref="A0.E33.x1.m2.4.4.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A0.E33.x1.m2.4.4.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.E33.x1.m2.4.4.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.E33.x1.m2.4.4.2.2.1.1.1" xref="A0.E33.x1.m2.4.4.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="A0.E33.x1.m2.4.4.2.2.1.1.1.2" xref="A0.E33.x1.m2.4.4.2.2.1.1.1.2.cmml"><mrow id="A0.E33.x1.m2.4.4.2.2.1.1.1.2.2" xref="A0.E33.x1.m2.4.4.2.2.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A0.E33.x1.m2.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2" xref="A0.E33.x1.m2.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml">ϖ</mi><mo id="A0.E33.x1.m2.4.4.2.2.1.1.1.2.2.1" xref="A0.E33.x1.m2.4.4.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A0.E33.x1.m2.4.4.2.2.1.1.1.2.2.3" xref="A0.E33.x1.m2.4.4.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml">γ</mi><mo id="A0.E33.x1.m2.4.4.2.2.1.1.1.2.2.1a" xref="A0.E33.x1.m2.4.4.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A0.E33.x1.m2.4.4.2.2.1.1.1.2.2.4" xref="A0.E33.x1.m2.4.4.2.2.1.1.1.2.2.4.cmml"><mi id="A0.E33.x1.m2.4.4.2.2.1.1.1.2.2.4.2" xref="A0.E33.x1.m2.4.4.2.2.1.1.1.2.2.4.2.cmml">λ</mi><mi id="A0.E33.x1.m2.4.4.2.2.1.1.1.2.2.4.3" xref="A0.E33.x1.m2.4.4.2.2.1.1.1.2.2.4.3.cmml">n</mi></msub></mrow><mo id="A0.E33.x1.m2.4.4.2.2.1.1.1.2.1" xref="A0.E33.x1.m2.4.4.2.2.1.1.1.2.1.cmml">+</mo><mi id="A0.E33.x1.m2.4.4.2.2.1.1.1.2.3" xref="A0.E33.x1.m2.4.4.2.2.1.1.1.2.3.cmml">η</mi></mrow><mo id="A0.E33.x1.m2.4.4.2.2.1.1.1.1" xref="A0.E33.x1.m2.4.4.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="A0.E33.x1.m2.4.4.2.2.1.1.1.3" xref="A0.E33.x1.m2.4.4.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="A0.E33.x1.m2.4.4.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.E33.x1.m2.4.4.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A0.E33.x1.m2.4.4.2.2.2" xref="A0.E33.x1.m2.4.4.2.2.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="A0.E33.x1.m2.4.4.2.2.3" xref="A0.E33.x1.m2.4.4.2.2.3.cmml"><mi id="A0.E33.x1.m2.4.4.2.2.3.2.2" xref="A0.E33.x1.m2.4.4.2.2.3.2.2.cmml">a</mi><mrow id="A0.E33.x1.m2.4.4.2.2.3.2.3" xref="A0.E33.x1.m2.4.4.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="A0.E33.x1.m2.4.4.2.2.3.2.3.2" xref="A0.E33.x1.m2.4.4.2.2.3.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A0.E33.x1.m2.4.4.2.2.3.2.3.1" xref="A0.E33.x1.m2.4.4.2.2.3.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="A0.E33.x1.m2.4.4.2.2.3.2.3.3" xref="A0.E33.x1.m2.4.4.2.2.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="A0.E33.x1.m2.2.2.1.3" xref="A0.E33.x1.m2.4.4.2.2.3.cmml"><mo id="A0.E33.x1.m2.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="A0.E33.x1.m2.4.4.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="A0.E33.x1.m2.2.2.1.1" xref="A0.E33.x1.m2.2.2.1.1.cmml">n</mi><mo id="A0.E33.x1.m2.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="A0.E33.x1.m2.4.4.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.E33.x1.m2.4b"><apply id="A0.E33.x1.m2.4.4.cmml" 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id="A0.E33.x1.m2.4.4.2.2.3.2.2.cmml" xref="A0.E33.x1.m2.4.4.2.2.3.2.2">𝑎</ci><apply id="A0.E33.x1.m2.4.4.2.2.3.2.3.cmml" xref="A0.E33.x1.m2.4.4.2.2.3.2.3"><minus id="A0.E33.x1.m2.4.4.2.2.3.2.3.1.cmml" xref="A0.E33.x1.m2.4.4.2.2.3.2.3.1"></minus><ci id="A0.E33.x1.m2.4.4.2.2.3.2.3.2.cmml" xref="A0.E33.x1.m2.4.4.2.2.3.2.3.2">𝑚</ci><cn id="A0.E33.x1.m2.4.4.2.2.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A0.E33.x1.m2.4.4.2.2.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A0.E33.x1.m2.2.2.1.1.cmml" xref="A0.E33.x1.m2.2.2.1.1">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.E33.x1.m2.4c">\displaystyle=(2-\eta-\gamma\lambda_{n})a_{m}^{(n)}+(\varpi\gamma\lambda_{n}+% \eta-1)a_{m-1}^{(n)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.E33.x1.m2.4d">= ( 2 - italic_η - italic_γ italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ) italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) 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xref="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">−</mo></msubsup><mo id="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">≔</mo><mstyle displaystyle="true" id="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mfrac id="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3a" xref="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mrow id="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml"><msub id="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2" xref="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.cmml"><mi id="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.2" xref="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.2.cmml">p</mi><mi id="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.3" xref="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.3.cmml">n</mi></msub><mo id="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.1" xref="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.1.cmml">−</mo><msqrt id="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3" xref="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.cmml"><mrow id="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.2" xref="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.2.cmml"><msubsup id="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.2.2" xref="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.2.2.cmml"><mi id="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.2.2.2.2" xref="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.2.2.2.2.cmml">p</mi><mi id="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.2.2.2.3" xref="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.2.2.2.3.cmml">n</mi><mn id="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.2.2.3" xref="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.2.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.2.1" xref="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.2.1.cmml">+</mo><mrow id="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.2.3" xref="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.2.3.cmml"><mn id="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.2.3.2" xref="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.2.3.2.cmml">4</mn><mo id="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.2.3.1" xref="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.2.3.3" xref="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.2.3.3.cmml"><mi id="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.2.3.3.2" xref="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.2.3.3.2.cmml">q</mi><mi id="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.2.3.3.3" xref="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.2.3.3.3.cmml">n</mi></msub></mrow></mrow></msqrt></mrow><mn id="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle></mrow></mrow><mo id="A0.Ex2.m1.1.1.1.2" lspace="0.170em">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex2.m1.1b"><apply id="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1"><ci id="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1">≔</ci><apply id="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝜃</ci><ci id="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑛</ci></apply><plus id="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.3"></plus></apply><apply id="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3"><divide id="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3"></divide><apply id="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2"><plus id="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1"></plus><apply id="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑝</ci><ci id="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3">𝑛</ci></apply><apply id="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><root id="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3a.cmml" xref="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"></root><apply id="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2"><plus id="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.1"></plus><apply id="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml" xref="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.1.cmml" xref="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2">superscript</csymbol><apply id="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.2.cmml" xref="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.2.1.cmml" xref="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.2.2.cmml" xref="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.2.2">𝑝</ci><ci id="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.2.3.cmml" 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xref="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.2.3.3.1.cmml" xref="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.2.3.3.2.cmml" xref="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.2.3.3.2">𝑞</ci><ci id="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.2.3.3.3.cmml" xref="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.2.3.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply></apply><cn id="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A0.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex2.m1.1c">\displaystyle\theta_{n}^{+}\coloneqq\frac{p_{n}+\sqrt{p_{n}^{2}+4q_{n}}}{2}\,,% \quad\theta_{n}^{-}\coloneqq\frac{p_{n}-\sqrt{p_{n}^{2}+4q_{n}}}{2}\,,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex2.m1.1d">italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT ≔ divide start_ARG italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT + square-root start_ARG italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + 4 italic_q start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT end_ARG end_ARG start_ARG 2 end_ARG , italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT ≔ divide start_ARG italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT - square-root start_ARG italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + 4 italic_q start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT end_ARG end_ARG start_ARG 2 end_ARG ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.1.p1.14">be the solutions of the quadratic equation <math alttext="\theta^{2}-p_{n}\theta-q_{n}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.1.p1.12.m1.1"><semantics id="S5.1.p1.12.m1.1a"><mrow id="S5.1.p1.12.m1.1.1" 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id="S5.1.p1.12.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.1.p1.12.m1.1.1.2.3"><times id="S5.1.p1.12.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.1.p1.12.m1.1.1.2.3.1"></times><apply id="S5.1.p1.12.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.1.p1.12.m1.1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.1.p1.12.m1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S5.1.p1.12.m1.1.1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.1.p1.12.m1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S5.1.p1.12.m1.1.1.2.3.2.2">𝑝</ci><ci id="S5.1.p1.12.m1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S5.1.p1.12.m1.1.1.2.3.2.3">𝑛</ci></apply><ci id="S5.1.p1.12.m1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S5.1.p1.12.m1.1.1.2.3.3">𝜃</ci></apply><apply id="S5.1.p1.12.m1.1.1.2.4.cmml" xref="S5.1.p1.12.m1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.1.p1.12.m1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S5.1.p1.12.m1.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S5.1.p1.12.m1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S5.1.p1.12.m1.1.1.2.4.2">𝑞</ci><ci id="S5.1.p1.12.m1.1.1.2.4.3.cmml" xref="S5.1.p1.12.m1.1.1.2.4.3">𝑛</ci></apply></apply><cn id="S5.1.p1.12.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.1.p1.12.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.1.p1.12.m1.1c">\theta^{2}-p_{n}\theta-q_{n}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.1.p1.12.m1.1d">italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT - italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT italic_θ - italic_q start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT = 0</annotation></semantics></math>, so that <math alttext="p_{n}=\theta_{n}^{+}+\theta_{n}^{-}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.1.p1.13.m2.1"><semantics id="S5.1.p1.13.m2.1a"><mrow id="S5.1.p1.13.m2.1.1" xref="S5.1.p1.13.m2.1.1.cmml"><msub id="S5.1.p1.13.m2.1.1.2" xref="S5.1.p1.13.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S5.1.p1.13.m2.1.1.2.2" xref="S5.1.p1.13.m2.1.1.2.2.cmml">p</mi><mi id="S5.1.p1.13.m2.1.1.2.3" xref="S5.1.p1.13.m2.1.1.2.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S5.1.p1.13.m2.1.1.1" xref="S5.1.p1.13.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.1.p1.13.m2.1.1.3" xref="S5.1.p1.13.m2.1.1.3.cmml"><msubsup id="S5.1.p1.13.m2.1.1.3.2" xref="S5.1.p1.13.m2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.1.p1.13.m2.1.1.3.2.2.2" xref="S5.1.p1.13.m2.1.1.3.2.2.2.cmml">θ</mi><mi id="S5.1.p1.13.m2.1.1.3.2.2.3" xref="S5.1.p1.13.m2.1.1.3.2.2.3.cmml">n</mi><mo id="S5.1.p1.13.m2.1.1.3.2.3" xref="S5.1.p1.13.m2.1.1.3.2.3.cmml">+</mo></msubsup><mo id="S5.1.p1.13.m2.1.1.3.1" xref="S5.1.p1.13.m2.1.1.3.1.cmml">+</mo><msubsup id="S5.1.p1.13.m2.1.1.3.3" xref="S5.1.p1.13.m2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.1.p1.13.m2.1.1.3.3.2.2" xref="S5.1.p1.13.m2.1.1.3.3.2.2.cmml">θ</mi><mi id="S5.1.p1.13.m2.1.1.3.3.2.3" xref="S5.1.p1.13.m2.1.1.3.3.2.3.cmml">n</mi><mo id="S5.1.p1.13.m2.1.1.3.3.3" xref="S5.1.p1.13.m2.1.1.3.3.3.cmml">−</mo></msubsup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.1.p1.13.m2.1b"><apply id="S5.1.p1.13.m2.1.1.cmml" xref="S5.1.p1.13.m2.1.1"><eq id="S5.1.p1.13.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.1.p1.13.m2.1.1.1"></eq><apply id="S5.1.p1.13.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.1.p1.13.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.1.p1.13.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.1.p1.13.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.1.p1.13.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S5.1.p1.13.m2.1.1.2.2">𝑝</ci><ci id="S5.1.p1.13.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S5.1.p1.13.m2.1.1.2.3">𝑛</ci></apply><apply id="S5.1.p1.13.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.1.p1.13.m2.1.1.3"><plus id="S5.1.p1.13.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.1.p1.13.m2.1.1.3.1"></plus><apply id="S5.1.p1.13.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S5.1.p1.13.m2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.1.p1.13.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.1.p1.13.m2.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="S5.1.p1.13.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.1.p1.13.m2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.1.p1.13.m2.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S5.1.p1.13.m2.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.1.p1.13.m2.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S5.1.p1.13.m2.1.1.3.2.2.2">𝜃</ci><ci id="S5.1.p1.13.m2.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S5.1.p1.13.m2.1.1.3.2.2.3">𝑛</ci></apply><plus id="S5.1.p1.13.m2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.1.p1.13.m2.1.1.3.2.3"></plus></apply><apply id="S5.1.p1.13.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S5.1.p1.13.m2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.1.p1.13.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.1.p1.13.m2.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S5.1.p1.13.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.1.p1.13.m2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.1.p1.13.m2.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S5.1.p1.13.m2.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.1.p1.13.m2.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S5.1.p1.13.m2.1.1.3.3.2.2">𝜃</ci><ci id="S5.1.p1.13.m2.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S5.1.p1.13.m2.1.1.3.3.2.3">𝑛</ci></apply><minus id="S5.1.p1.13.m2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.1.p1.13.m2.1.1.3.3.3"></minus></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.1.p1.13.m2.1c">p_{n}=\theta_{n}^{+}+\theta_{n}^{-}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.1.p1.13.m2.1d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT = italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT + italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="q_{n}=-\theta_{n}^{+}\theta_{n}^{-}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.1.p1.14.m3.1"><semantics id="S5.1.p1.14.m3.1a"><mrow id="S5.1.p1.14.m3.1.1" xref="S5.1.p1.14.m3.1.1.cmml"><msub id="S5.1.p1.14.m3.1.1.2" xref="S5.1.p1.14.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S5.1.p1.14.m3.1.1.2.2" xref="S5.1.p1.14.m3.1.1.2.2.cmml">q</mi><mi id="S5.1.p1.14.m3.1.1.2.3" xref="S5.1.p1.14.m3.1.1.2.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S5.1.p1.14.m3.1.1.1" xref="S5.1.p1.14.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.1.p1.14.m3.1.1.3" xref="S5.1.p1.14.m3.1.1.3.cmml"><mo id="S5.1.p1.14.m3.1.1.3a" xref="S5.1.p1.14.m3.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="S5.1.p1.14.m3.1.1.3.2" xref="S5.1.p1.14.m3.1.1.3.2.cmml"><msubsup id="S5.1.p1.14.m3.1.1.3.2.2" xref="S5.1.p1.14.m3.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S5.1.p1.14.m3.1.1.3.2.2.2.2" xref="S5.1.p1.14.m3.1.1.3.2.2.2.2.cmml">θ</mi><mi id="S5.1.p1.14.m3.1.1.3.2.2.2.3" xref="S5.1.p1.14.m3.1.1.3.2.2.2.3.cmml">n</mi><mo id="S5.1.p1.14.m3.1.1.3.2.2.3" xref="S5.1.p1.14.m3.1.1.3.2.2.3.cmml">+</mo></msubsup><mo id="S5.1.p1.14.m3.1.1.3.2.1" xref="S5.1.p1.14.m3.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.1.p1.14.m3.1.1.3.2.3" xref="S5.1.p1.14.m3.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S5.1.p1.14.m3.1.1.3.2.3.2.2" xref="S5.1.p1.14.m3.1.1.3.2.3.2.2.cmml">θ</mi><mi id="S5.1.p1.14.m3.1.1.3.2.3.2.3" xref="S5.1.p1.14.m3.1.1.3.2.3.2.3.cmml">n</mi><mo id="S5.1.p1.14.m3.1.1.3.2.3.3" xref="S5.1.p1.14.m3.1.1.3.2.3.3.cmml">−</mo></msubsup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.1.p1.14.m3.1b"><apply id="S5.1.p1.14.m3.1.1.cmml" xref="S5.1.p1.14.m3.1.1"><eq id="S5.1.p1.14.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.1.p1.14.m3.1.1.1"></eq><apply id="S5.1.p1.14.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.1.p1.14.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.1.p1.14.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S5.1.p1.14.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.1.p1.14.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S5.1.p1.14.m3.1.1.2.2">𝑞</ci><ci id="S5.1.p1.14.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S5.1.p1.14.m3.1.1.2.3">𝑛</ci></apply><apply id="S5.1.p1.14.m3.1.1.3.cmml" xref="S5.1.p1.14.m3.1.1.3"><minus id="S5.1.p1.14.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S5.1.p1.14.m3.1.1.3"></minus><apply id="S5.1.p1.14.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S5.1.p1.14.m3.1.1.3.2"><times id="S5.1.p1.14.m3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.1.p1.14.m3.1.1.3.2.1"></times><apply id="S5.1.p1.14.m3.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.1.p1.14.m3.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.1.p1.14.m3.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S5.1.p1.14.m3.1.1.3.2.2">superscript</csymbol><apply id="S5.1.p1.14.m3.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S5.1.p1.14.m3.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.1.p1.14.m3.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S5.1.p1.14.m3.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.1.p1.14.m3.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="S5.1.p1.14.m3.1.1.3.2.2.2.2">𝜃</ci><ci id="S5.1.p1.14.m3.1.1.3.2.2.2.3.cmml" xref="S5.1.p1.14.m3.1.1.3.2.2.2.3">𝑛</ci></apply><plus id="S5.1.p1.14.m3.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S5.1.p1.14.m3.1.1.3.2.2.3"></plus></apply><apply id="S5.1.p1.14.m3.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.1.p1.14.m3.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.1.p1.14.m3.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S5.1.p1.14.m3.1.1.3.2.3">superscript</csymbol><apply id="S5.1.p1.14.m3.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S5.1.p1.14.m3.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.1.p1.14.m3.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="S5.1.p1.14.m3.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.1.p1.14.m3.1.1.3.2.3.2.2.cmml" xref="S5.1.p1.14.m3.1.1.3.2.3.2.2">𝜃</ci><ci id="S5.1.p1.14.m3.1.1.3.2.3.2.3.cmml" xref="S5.1.p1.14.m3.1.1.3.2.3.2.3">𝑛</ci></apply><minus id="S5.1.p1.14.m3.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S5.1.p1.14.m3.1.1.3.2.3.3"></minus></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.1.p1.14.m3.1c">q_{n}=-\theta_{n}^{+}\theta_{n}^{-}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.1.p1.14.m3.1d">italic_q start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT = - italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. As such, (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#A0.E33.2" title="Equation 33b ‣ Equation 33 ‣ Proof: ‣ V Conclusions ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">33b</span></a>) yields</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A0.EGx47"> <tbody id="A0.E34"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle a_{m+1}^{(n)}-\theta_{n}^{+}a_{m}^{(n)}" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.E34.m1.2"><semantics id="A0.E34.m1.2a"><mrow id="A0.E34.m1.2.3" xref="A0.E34.m1.2.3.cmml"><msubsup id="A0.E34.m1.2.3.2" xref="A0.E34.m1.2.3.2.cmml"><mi id="A0.E34.m1.2.3.2.2.2" xref="A0.E34.m1.2.3.2.2.2.cmml">a</mi><mrow id="A0.E34.m1.2.3.2.2.3" xref="A0.E34.m1.2.3.2.2.3.cmml"><mi id="A0.E34.m1.2.3.2.2.3.2" xref="A0.E34.m1.2.3.2.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A0.E34.m1.2.3.2.2.3.1" xref="A0.E34.m1.2.3.2.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="A0.E34.m1.2.3.2.2.3.3" xref="A0.E34.m1.2.3.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="A0.E34.m1.1.1.1.3" xref="A0.E34.m1.2.3.2.cmml"><mo id="A0.E34.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A0.E34.m1.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="A0.E34.m1.1.1.1.1" xref="A0.E34.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="A0.E34.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A0.E34.m1.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="A0.E34.m1.2.3.1" xref="A0.E34.m1.2.3.1.cmml">−</mo><mrow id="A0.E34.m1.2.3.3" xref="A0.E34.m1.2.3.3.cmml"><msubsup id="A0.E34.m1.2.3.3.2" xref="A0.E34.m1.2.3.3.2.cmml"><mi id="A0.E34.m1.2.3.3.2.2.2" xref="A0.E34.m1.2.3.3.2.2.2.cmml">θ</mi><mi id="A0.E34.m1.2.3.3.2.2.3" xref="A0.E34.m1.2.3.3.2.2.3.cmml">n</mi><mo id="A0.E34.m1.2.3.3.2.3" xref="A0.E34.m1.2.3.3.2.3.cmml">+</mo></msubsup><mo id="A0.E34.m1.2.3.3.1" xref="A0.E34.m1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A0.E34.m1.2.3.3.3" xref="A0.E34.m1.2.3.3.3.cmml"><mi id="A0.E34.m1.2.3.3.3.2.2" xref="A0.E34.m1.2.3.3.3.2.2.cmml">a</mi><mi id="A0.E34.m1.2.3.3.3.2.3" xref="A0.E34.m1.2.3.3.3.2.3.cmml">m</mi><mrow id="A0.E34.m1.2.2.1.3" xref="A0.E34.m1.2.3.3.3.cmml"><mo id="A0.E34.m1.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="A0.E34.m1.2.3.3.3.cmml">(</mo><mi id="A0.E34.m1.2.2.1.1" xref="A0.E34.m1.2.2.1.1.cmml">n</mi><mo id="A0.E34.m1.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="A0.E34.m1.2.3.3.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.E34.m1.2b"><apply id="A0.E34.m1.2.3.cmml" xref="A0.E34.m1.2.3"><minus id="A0.E34.m1.2.3.1.cmml" xref="A0.E34.m1.2.3.1"></minus><apply id="A0.E34.m1.2.3.2.cmml" xref="A0.E34.m1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E34.m1.2.3.2.1.cmml" xref="A0.E34.m1.2.3.2">superscript</csymbol><apply id="A0.E34.m1.2.3.2.2.cmml" xref="A0.E34.m1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E34.m1.2.3.2.2.1.cmml" xref="A0.E34.m1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="A0.E34.m1.2.3.2.2.2.cmml" xref="A0.E34.m1.2.3.2.2.2">𝑎</ci><apply id="A0.E34.m1.2.3.2.2.3.cmml" xref="A0.E34.m1.2.3.2.2.3"><plus id="A0.E34.m1.2.3.2.2.3.1.cmml" xref="A0.E34.m1.2.3.2.2.3.1"></plus><ci id="A0.E34.m1.2.3.2.2.3.2.cmml" xref="A0.E34.m1.2.3.2.2.3.2">𝑚</ci><cn id="A0.E34.m1.2.3.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A0.E34.m1.2.3.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A0.E34.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.E34.m1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="A0.E34.m1.2.3.3.cmml" xref="A0.E34.m1.2.3.3"><times id="A0.E34.m1.2.3.3.1.cmml" xref="A0.E34.m1.2.3.3.1"></times><apply id="A0.E34.m1.2.3.3.2.cmml" xref="A0.E34.m1.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E34.m1.2.3.3.2.1.cmml" xref="A0.E34.m1.2.3.3.2">superscript</csymbol><apply id="A0.E34.m1.2.3.3.2.2.cmml" xref="A0.E34.m1.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E34.m1.2.3.3.2.2.1.cmml" xref="A0.E34.m1.2.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="A0.E34.m1.2.3.3.2.2.2.cmml" xref="A0.E34.m1.2.3.3.2.2.2">𝜃</ci><ci id="A0.E34.m1.2.3.3.2.2.3.cmml" xref="A0.E34.m1.2.3.3.2.2.3">𝑛</ci></apply><plus id="A0.E34.m1.2.3.3.2.3.cmml" xref="A0.E34.m1.2.3.3.2.3"></plus></apply><apply id="A0.E34.m1.2.3.3.3.cmml" xref="A0.E34.m1.2.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E34.m1.2.3.3.3.1.cmml" xref="A0.E34.m1.2.3.3.3">superscript</csymbol><apply id="A0.E34.m1.2.3.3.3.2.cmml" xref="A0.E34.m1.2.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E34.m1.2.3.3.3.2.1.cmml" xref="A0.E34.m1.2.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="A0.E34.m1.2.3.3.3.2.2.cmml" xref="A0.E34.m1.2.3.3.3.2.2">𝑎</ci><ci id="A0.E34.m1.2.3.3.3.2.3.cmml" xref="A0.E34.m1.2.3.3.3.2.3">𝑚</ci></apply><ci id="A0.E34.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A0.E34.m1.2.2.1.1">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.E34.m1.2c">\displaystyle a_{m+1}^{(n)}-\theta_{n}^{+}a_{m}^{(n)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.E34.m1.2d">italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_m + 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT - italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle{}={}" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.E34.m2.1"><semantics id="A0.E34.m2.1a"><mo id="A0.E34.m2.1.1" xref="A0.E34.m2.1.1.cmml">=</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.E34.m2.1b"><eq id="A0.E34.m2.1.1.cmml" xref="A0.E34.m2.1.1"></eq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.E34.m2.1c">\displaystyle{}={}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.E34.m2.1d">=</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\theta_{n}^{-}\overbrace{(a_{m}^{(n)}-\theta_{n}^{+}a_{m-1}^{(n)}% )}^{\Delta_{m}^{(n)+}}\,," class="ltx_Math" display="inline" id="A0.E34.m3.5"><semantics id="A0.E34.m3.5a"><mrow id="A0.E34.m3.5.5.1" xref="A0.E34.m3.5.5.1.1.cmml"><mrow id="A0.E34.m3.5.5.1.1" xref="A0.E34.m3.5.5.1.1.cmml"><msubsup id="A0.E34.m3.5.5.1.1.2" xref="A0.E34.m3.5.5.1.1.2.cmml"><mi id="A0.E34.m3.5.5.1.1.2.2.2" xref="A0.E34.m3.5.5.1.1.2.2.2.cmml">θ</mi><mi id="A0.E34.m3.5.5.1.1.2.2.3" xref="A0.E34.m3.5.5.1.1.2.2.3.cmml">n</mi><mo id="A0.E34.m3.5.5.1.1.2.3" xref="A0.E34.m3.5.5.1.1.2.3.cmml">−</mo></msubsup><mo id="A0.E34.m3.5.5.1.1.1" xref="A0.E34.m3.5.5.1.1.1.cmml">⁢</mo><mover id="A0.E34.m3.5.5.1.1.3" xref="A0.E34.m3.5.5.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="A0.E34.m3.3.3" xref="A0.E34.m3.3.3.cmml"><mrow id="A0.E34.m3.3.3.3.3" xref="A0.E34.m3.3.3.3.3.1.cmml"><mo id="A0.E34.m3.3.3.3.3.2" stretchy="false" xref="A0.E34.m3.3.3.3.3.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.E34.m3.3.3.3.3.1" xref="A0.E34.m3.3.3.3.3.1.cmml"><msubsup id="A0.E34.m3.3.3.3.3.1.2" xref="A0.E34.m3.3.3.3.3.1.2.cmml"><mi id="A0.E34.m3.3.3.3.3.1.2.2.2" 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end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex3.m2.1"><semantics id="A0.Ex3.m2.1a"><mo id="A0.Ex3.m2.1.1" xref="A0.Ex3.m2.1.1.cmml">=</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex3.m2.1b"><eq id="A0.Ex3.m2.1.1.cmml" xref="A0.Ex3.m2.1.1"></eq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex3.m2.1c">\displaystyle=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex3.m2.1d">=</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\theta_{n}^{+}\underbrace{(a_{m}^{(n)}-\theta_{n}^{-}a_{m-1}^{(n)% })}_{\Delta_{m}^{(n)-}}\,," class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex3.m3.5"><semantics id="A0.Ex3.m3.5a"><mrow 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xref="A0.Ex3.m3.5.5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex3.m3.5.5.1.1.2.1.cmml" xref="A0.Ex3.m3.5.5.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A0.Ex3.m3.5.5.1.1.2.2.cmml" xref="A0.Ex3.m3.5.5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex3.m3.5.5.1.1.2.2.1.cmml" xref="A0.Ex3.m3.5.5.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A0.Ex3.m3.5.5.1.1.2.2.2.cmml" xref="A0.Ex3.m3.5.5.1.1.2.2.2">𝜃</ci><ci id="A0.Ex3.m3.5.5.1.1.2.2.3.cmml" xref="A0.Ex3.m3.5.5.1.1.2.2.3">𝑛</ci></apply><plus id="A0.Ex3.m3.5.5.1.1.2.3.cmml" xref="A0.Ex3.m3.5.5.1.1.2.3"></plus></apply><apply id="A0.Ex3.m3.5.5.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex3.m3.5.5.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex3.m3.5.5.1.1.3.1.cmml" xref="A0.Ex3.m3.5.5.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="A0.Ex3.m3.3.3.cmml" xref="A0.Ex3.m3.3.3"><ci id="A0.Ex3.m3.3.3.4.cmml" xref="A0.Ex3.m3.3.3.4">⏟</ci><apply id="A0.Ex3.m3.3.3.3.3.1.cmml" xref="A0.Ex3.m3.3.3.3.3"><minus id="A0.Ex3.m3.3.3.3.3.1.1.cmml" xref="A0.Ex3.m3.3.3.3.3.1.1"></minus><apply id="A0.Ex3.m3.3.3.3.3.1.2.cmml" 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id="A0.Ex3.m3.3.3.3.3.1.3.2.2.1.cmml" xref="A0.Ex3.m3.3.3.3.3.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A0.Ex3.m3.3.3.3.3.1.3.2.2.2.cmml" xref="A0.Ex3.m3.3.3.3.3.1.3.2.2.2">𝜃</ci><ci id="A0.Ex3.m3.3.3.3.3.1.3.2.2.3.cmml" xref="A0.Ex3.m3.3.3.3.3.1.3.2.2.3">𝑛</ci></apply><minus id="A0.Ex3.m3.3.3.3.3.1.3.2.3.cmml" xref="A0.Ex3.m3.3.3.3.3.1.3.2.3"></minus></apply><apply id="A0.Ex3.m3.3.3.3.3.1.3.3.cmml" xref="A0.Ex3.m3.3.3.3.3.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex3.m3.3.3.3.3.1.3.3.1.cmml" xref="A0.Ex3.m3.3.3.3.3.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="A0.Ex3.m3.3.3.3.3.1.3.3.2.cmml" xref="A0.Ex3.m3.3.3.3.3.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex3.m3.3.3.3.3.1.3.3.2.1.cmml" xref="A0.Ex3.m3.3.3.3.3.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A0.Ex3.m3.3.3.3.3.1.3.3.2.2.cmml" xref="A0.Ex3.m3.3.3.3.3.1.3.3.2.2">𝑎</ci><apply id="A0.Ex3.m3.3.3.3.3.1.3.3.2.3.cmml" xref="A0.Ex3.m3.3.3.3.3.1.3.3.2.3"><minus id="A0.Ex3.m3.3.3.3.3.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="A0.Ex3.m3.3.3.3.3.1.3.3.2.3.1"></minus><ci id="A0.Ex3.m3.3.3.3.3.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="A0.Ex3.m3.3.3.3.3.1.3.3.2.3.2">𝑚</ci><cn id="A0.Ex3.m3.3.3.3.3.1.3.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A0.Ex3.m3.3.3.3.3.1.3.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A0.Ex3.m3.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="A0.Ex3.m3.2.2.2.2.1.1">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="A0.Ex3.m3.4.4.1.cmml" xref="A0.Ex3.m3.4.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex3.m3.4.4.1.2.cmml" xref="A0.Ex3.m3.4.4.1">superscript</csymbol><apply id="A0.Ex3.m3.4.4.1.3.cmml" xref="A0.Ex3.m3.4.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex3.m3.4.4.1.3.1.cmml" xref="A0.Ex3.m3.4.4.1">subscript</csymbol><ci id="A0.Ex3.m3.4.4.1.3.2.cmml" xref="A0.Ex3.m3.4.4.1.3.2">Δ</ci><ci id="A0.Ex3.m3.4.4.1.3.3.cmml" xref="A0.Ex3.m3.4.4.1.3.3">𝑚</ci></apply><apply id="A0.Ex3.m3.4.4.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex3.m3.4.4.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A0.Ex3.m3.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex3.m3.4.4.1.1.1">limit-from</csymbol><ci id="A0.Ex3.m3.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex3.m3.4.4.1.1.1.1">𝑛</ci><minus id="A0.Ex3.m3.4.4.1.1.1.4.cmml" xref="A0.Ex3.m3.4.4.1.1.1.4"></minus></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex3.m3.5c">\displaystyle\theta_{n}^{+}\underbrace{(a_{m}^{(n)}-\theta_{n}^{-}a_{m-1}^{(n)% })}_{\Delta_{m}^{(n)-}}\,,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex3.m3.5d">italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT under⏟ start_ARG ( italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT - italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_m - 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ) end_ARG start_POSTSUBSCRIPT roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) - end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.1.p1.16">which lead by induction to the following: <math alttext="\forall m\in\mathbb{N}_{*}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.1.p1.15.m1.1"><semantics id="S5.1.p1.15.m1.1a"><mrow id="S5.1.p1.15.m1.1.1" xref="S5.1.p1.15.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.1.p1.15.m1.1.1.2" xref="S5.1.p1.15.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.1.p1.15.m1.1.1.2.1" rspace="0.167em" xref="S5.1.p1.15.m1.1.1.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S5.1.p1.15.m1.1.1.2.2" xref="S5.1.p1.15.m1.1.1.2.2.cmml">m</mi></mrow><mo id="S5.1.p1.15.m1.1.1.1" xref="S5.1.p1.15.m1.1.1.1.cmml">∈</mo><msub id="S5.1.p1.15.m1.1.1.3" xref="S5.1.p1.15.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.1.p1.15.m1.1.1.3.2" xref="S5.1.p1.15.m1.1.1.3.2.cmml">ℕ</mi><mo id="S5.1.p1.15.m1.1.1.3.3" xref="S5.1.p1.15.m1.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.1.p1.15.m1.1b"><apply id="S5.1.p1.15.m1.1.1.cmml" xref="S5.1.p1.15.m1.1.1"><in id="S5.1.p1.15.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.1.p1.15.m1.1.1.1"></in><apply id="S5.1.p1.15.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.1.p1.15.m1.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.1.p1.15.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.1.p1.15.m1.1.1.2.1">for-all</csymbol><ci id="S5.1.p1.15.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.1.p1.15.m1.1.1.2.2">𝑚</ci></apply><apply id="S5.1.p1.15.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.1.p1.15.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.1.p1.15.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.1.p1.15.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.1.p1.15.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.1.p1.15.m1.1.1.3.2">ℕ</ci><times id="S5.1.p1.15.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.1.p1.15.m1.1.1.3.3"></times></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.1.p1.15.m1.1c">\forall m\in\mathbb{N}_{*}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.1.p1.15.m1.1d">∀ italic_m ∈ blackboard_N start_POSTSUBSCRIPT ∗ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="\forall n\in\mathcal{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.1.p1.16.m2.1"><semantics id="S5.1.p1.16.m2.1a"><mrow id="S5.1.p1.16.m2.1.1" xref="S5.1.p1.16.m2.1.1.cmml"><mrow id="S5.1.p1.16.m2.1.1.2" xref="S5.1.p1.16.m2.1.1.2.cmml"><mo id="S5.1.p1.16.m2.1.1.2.1" rspace="0.167em" xref="S5.1.p1.16.m2.1.1.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S5.1.p1.16.m2.1.1.2.2" xref="S5.1.p1.16.m2.1.1.2.2.cmml">n</mi></mrow><mo id="S5.1.p1.16.m2.1.1.1" xref="S5.1.p1.16.m2.1.1.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.1.p1.16.m2.1.1.3" xref="S5.1.p1.16.m2.1.1.3.cmml">𝒩</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.1.p1.16.m2.1b"><apply id="S5.1.p1.16.m2.1.1.cmml" xref="S5.1.p1.16.m2.1.1"><in id="S5.1.p1.16.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.1.p1.16.m2.1.1.1"></in><apply id="S5.1.p1.16.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.1.p1.16.m2.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.1.p1.16.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.1.p1.16.m2.1.1.2.1">for-all</csymbol><ci id="S5.1.p1.16.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S5.1.p1.16.m2.1.1.2.2">𝑛</ci></apply><ci id="S5.1.p1.16.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.1.p1.16.m2.1.1.3">𝒩</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.1.p1.16.m2.1c">\forall n\in\mathcal{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.1.p1.16.m2.1d">∀ italic_n ∈ caligraphic_N</annotation></semantics></math>,</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_table" id="A0.E35"> <tbody> <tr class="ltx_eqn_row" id="A0.EGx48"><td class="ltx_eqn_cell" colspan="6"></td></tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="A0.E35.1"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\Delta_{m}^{(n)+}" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.E35.1.m1.1"><semantics id="A0.E35.1.m1.1a"><msubsup id="A0.E35.1.m1.1.2" xref="A0.E35.1.m1.1.2.cmml"><mi id="A0.E35.1.m1.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="A0.E35.1.m1.1.2.2.2.cmml">Δ</mi><mi id="A0.E35.1.m1.1.2.2.3" xref="A0.E35.1.m1.1.2.2.3.cmml">m</mi><mrow id="A0.E35.1.m1.1.1.1" xref="A0.E35.1.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="A0.E35.1.m1.1.1.1.3.2" xref="A0.E35.1.m1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.E35.1.m1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A0.E35.1.m1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A0.E35.1.m1.1.1.1.1" xref="A0.E35.1.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="A0.E35.1.m1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A0.E35.1.m1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A0.E35.1.m1.1.1.1.4" xref="A0.E35.1.m1.1.1.1.4.cmml">+</mo></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.E35.1.m1.1b"><apply id="A0.E35.1.m1.1.2.cmml" xref="A0.E35.1.m1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E35.1.m1.1.2.1.cmml" xref="A0.E35.1.m1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A0.E35.1.m1.1.2.2.cmml" xref="A0.E35.1.m1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E35.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="A0.E35.1.m1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A0.E35.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="A0.E35.1.m1.1.2.2.2">Δ</ci><ci id="A0.E35.1.m1.1.2.2.3.cmml" xref="A0.E35.1.m1.1.2.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="A0.E35.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A0.E35.1.m1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A0.E35.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.E35.1.m1.1.1.1">limit-from</csymbol><ci id="A0.E35.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.E35.1.m1.1.1.1.1">𝑛</ci><plus id="A0.E35.1.m1.1.1.1.4.cmml" xref="A0.E35.1.m1.1.1.1.4"></plus></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.E35.1.m1.1c">\displaystyle\Delta_{m}^{(n)+}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.E35.1.m1.1d">roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) + end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle{}={}" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.E35.1.m2.1"><semantics id="A0.E35.1.m2.1a"><mo id="A0.E35.1.m2.1.1" xref="A0.E35.1.m2.1.1.cmml">=</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.E35.1.m2.1b"><eq id="A0.E35.1.m2.1.1.cmml" xref="A0.E35.1.m2.1.1"></eq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.E35.1.m2.1c">\displaystyle{}={}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.E35.1.m2.1d">=</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle(\theta_{n}^{-})^{m}\Delta_{0}^{(n)+}\,," class="ltx_Math" display="inline" id="A0.E35.1.m3.2"><semantics id="A0.E35.1.m3.2a"><mrow id="A0.E35.1.m3.2.2.1" xref="A0.E35.1.m3.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A0.E35.1.m3.2.2.1.1" xref="A0.E35.1.m3.2.2.1.1.cmml"><msup id="A0.E35.1.m3.2.2.1.1.1" xref="A0.E35.1.m3.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="A0.E35.1.m3.2.2.1.1.1.1.1" xref="A0.E35.1.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.E35.1.m3.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.E35.1.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="A0.E35.1.m3.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="A0.E35.1.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A0.E35.1.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A0.E35.1.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">θ</mi><mi id="A0.E35.1.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A0.E35.1.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">n</mi><mo id="A0.E35.1.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A0.E35.1.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo></msubsup><mo id="A0.E35.1.m3.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.E35.1.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A0.E35.1.m3.2.2.1.1.1.3" xref="A0.E35.1.m3.2.2.1.1.1.3.cmml">m</mi></msup><mo id="A0.E35.1.m3.2.2.1.1.2" xref="A0.E35.1.m3.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="A0.E35.1.m3.2.2.1.1.3" xref="A0.E35.1.m3.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="A0.E35.1.m3.2.2.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="A0.E35.1.m3.2.2.1.1.3.2.2.cmml">Δ</mi><mn id="A0.E35.1.m3.2.2.1.1.3.2.3" xref="A0.E35.1.m3.2.2.1.1.3.2.3.cmml">0</mn><mrow id="A0.E35.1.m3.1.1.1" xref="A0.E35.1.m3.1.1.1.cmml"><mrow id="A0.E35.1.m3.1.1.1.3.2" xref="A0.E35.1.m3.1.1.1.cmml"><mo id="A0.E35.1.m3.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A0.E35.1.m3.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A0.E35.1.m3.1.1.1.1" xref="A0.E35.1.m3.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="A0.E35.1.m3.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" 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ltx_align_baseline" id="A0.E35.2"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\Delta_{m}^{(n)-}" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.E35.2.m1.1"><semantics id="A0.E35.2.m1.1a"><msubsup id="A0.E35.2.m1.1.2" xref="A0.E35.2.m1.1.2.cmml"><mi id="A0.E35.2.m1.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="A0.E35.2.m1.1.2.2.2.cmml">Δ</mi><mi id="A0.E35.2.m1.1.2.2.3" xref="A0.E35.2.m1.1.2.2.3.cmml">m</mi><mrow id="A0.E35.2.m1.1.1.1" xref="A0.E35.2.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="A0.E35.2.m1.1.1.1.3.2" xref="A0.E35.2.m1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.E35.2.m1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A0.E35.2.m1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A0.E35.2.m1.1.1.1.1" xref="A0.E35.2.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="A0.E35.2.m1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A0.E35.2.m1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A0.E35.2.m1.1.1.1.4" xref="A0.E35.2.m1.1.1.1.4.cmml">−</mo></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" 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xref="A0.E35.3.m1.1.2.2.2">Δ</ci><cn id="A0.E35.3.m1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A0.E35.3.m1.1.2.2.3">0</cn></apply><apply id="A0.E35.3.m1.1.1.1.cmml" xref="A0.E35.3.m1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A0.E35.3.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.E35.3.m1.1.1.1">limit-from</csymbol><ci id="A0.E35.3.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.E35.3.m1.1.1.1.1">𝑛</ci><plus id="A0.E35.3.m1.1.1.1.4.cmml" xref="A0.E35.3.m1.1.1.1.4"></plus></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.E35.3.m1.1c">\displaystyle\Delta_{0}^{(n)+}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.E35.3.m1.1d">roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) + end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.E35.3.m2.1"><semantics id="A0.E35.3.m2.1a"><mo id="A0.E35.3.m2.1.1" xref="A0.E35.3.m2.1.1.cmml">=</mo><annotation-xml 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start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT + italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_a start_POSTSUBSCRIPT - 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT + italic_η italic_N italic_a start_POSTSUPERSCRIPT ′ ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(35c)</span></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="A0.E35.4"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\Delta_{0}^{(n)-}" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.E35.4.m1.1"><semantics id="A0.E35.4.m1.1a"><msubsup id="A0.E35.4.m1.1.2" xref="A0.E35.4.m1.1.2.cmml"><mi id="A0.E35.4.m1.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="A0.E35.4.m1.1.2.2.2.cmml">Δ</mi><mn id="A0.E35.4.m1.1.2.2.3" xref="A0.E35.4.m1.1.2.2.3.cmml">0</mn><mrow id="A0.E35.4.m1.1.1.1" xref="A0.E35.4.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="A0.E35.4.m1.1.1.1.3.2" xref="A0.E35.4.m1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.E35.4.m1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A0.E35.4.m1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A0.E35.4.m1.1.1.1.1" xref="A0.E35.4.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="A0.E35.4.m1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A0.E35.4.m1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A0.E35.4.m1.1.1.1.4" xref="A0.E35.4.m1.1.1.1.4.cmml">−</mo></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.E35.4.m1.1b"><apply id="A0.E35.4.m1.1.2.cmml" xref="A0.E35.4.m1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E35.4.m1.1.2.1.cmml" xref="A0.E35.4.m1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A0.E35.4.m1.1.2.2.cmml" xref="A0.E35.4.m1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E35.4.m1.1.2.2.1.cmml" xref="A0.E35.4.m1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A0.E35.4.m1.1.2.2.2.cmml" xref="A0.E35.4.m1.1.2.2.2">Δ</ci><cn id="A0.E35.4.m1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A0.E35.4.m1.1.2.2.3">0</cn></apply><apply id="A0.E35.4.m1.1.1.1.cmml" xref="A0.E35.4.m1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A0.E35.4.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.E35.4.m1.1.1.1">limit-from</csymbol><ci id="A0.E35.4.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.E35.4.m1.1.1.1.1">𝑛</ci><minus id="A0.E35.4.m1.1.1.1.4.cmml" xref="A0.E35.4.m1.1.1.1.4"></minus></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.E35.4.m1.1c">\displaystyle\Delta_{0}^{(n)-}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.E35.4.m1.1d">roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) - end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.E35.4.m2.1"><semantics id="A0.E35.4.m2.1a"><mo id="A0.E35.4.m2.1.1" xref="A0.E35.4.m2.1.1.cmml">=</mo><annotation-xml 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id="A0.E35.4.m3.5.5.1.1.3" xref="A0.E35.4.m3.5.5.1.1.3.cmml"><mi id="A0.E35.4.m3.5.5.1.1.3.2" xref="A0.E35.4.m3.5.5.1.1.3.2.cmml">η</mi><mo id="A0.E35.4.m3.5.5.1.1.3.1" xref="A0.E35.4.m3.5.5.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A0.E35.4.m3.5.5.1.1.3.3" xref="A0.E35.4.m3.5.5.1.1.3.3.cmml">N</mi><mo id="A0.E35.4.m3.5.5.1.1.3.1a" xref="A0.E35.4.m3.5.5.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="A0.E35.4.m3.5.5.1.1.3.4" xref="A0.E35.4.m3.5.5.1.1.3.4.cmml"><mi id="A0.E35.4.m3.5.5.1.1.3.4.2" xref="A0.E35.4.m3.5.5.1.1.3.4.2.cmml">a</mi><mrow id="A0.E35.4.m3.4.4.3.3" xref="A0.E35.4.m3.4.4.3.4.cmml"><mo id="A0.E35.4.m3.3.3.2.2.1" mathsize="142%" xref="A0.E35.4.m3.3.3.2.2.1.cmml">′</mo><mo id="A0.E35.4.m3.4.4.3.3.3" lspace="0em" xref="A0.E35.4.m3.4.4.3.4.cmml">⁣</mo><mrow id="A0.E35.4.m3.4.4.3.3.2.2" xref="A0.E35.4.m3.4.4.3.4.cmml"><mo id="A0.E35.4.m3.4.4.3.3.2.2.1" stretchy="false" xref="A0.E35.4.m3.4.4.3.4.cmml">(</mo><mi id="A0.E35.4.m3.2.2.1.1" xref="A0.E35.4.m3.2.2.1.1.cmml">n</mi><mo 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id="A0.E35.4.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A0.E35.4.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A0.E35.4.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A0.E35.4.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑞</ci><ci id="A0.E35.4.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A0.E35.4.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑛</ci></apply><apply id="A0.E35.4.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.E35.4.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E35.4.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A0.E35.4.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A0.E35.4.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A0.E35.4.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E35.4.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A0.E35.4.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A0.E35.4.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A0.E35.4.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝜃</ci><ci id="A0.E35.4.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A0.E35.4.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑛</ci></apply><minus id="A0.E35.4.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A0.E35.4.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3"></minus></apply></apply><apply id="A0.E35.4.m3.5.5.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.E35.4.m3.5.5.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E35.4.m3.5.5.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A0.E35.4.m3.5.5.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A0.E35.4.m3.5.5.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A0.E35.4.m3.5.5.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E35.4.m3.5.5.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A0.E35.4.m3.5.5.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A0.E35.4.m3.5.5.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A0.E35.4.m3.5.5.1.1.1.1.3.2.2">𝑎</ci><apply id="A0.E35.4.m3.5.5.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A0.E35.4.m3.5.5.1.1.1.1.3.2.3"><minus id="A0.E35.4.m3.5.5.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A0.E35.4.m3.5.5.1.1.1.1.3.2.3"></minus><cn id="A0.E35.4.m3.5.5.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A0.E35.4.m3.5.5.1.1.1.1.3.2.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="A0.E35.4.m3.1.1.1.1.cmml" xref="A0.E35.4.m3.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></apply></apply><apply id="A0.E35.4.m3.5.5.1.1.3.cmml" xref="A0.E35.4.m3.5.5.1.1.3"><times id="A0.E35.4.m3.5.5.1.1.3.1.cmml" xref="A0.E35.4.m3.5.5.1.1.3.1"></times><ci id="A0.E35.4.m3.5.5.1.1.3.2.cmml" xref="A0.E35.4.m3.5.5.1.1.3.2">𝜂</ci><ci id="A0.E35.4.m3.5.5.1.1.3.3.cmml" xref="A0.E35.4.m3.5.5.1.1.3.3">𝑁</ci><apply id="A0.E35.4.m3.5.5.1.1.3.4.cmml" xref="A0.E35.4.m3.5.5.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E35.4.m3.5.5.1.1.3.4.1.cmml" xref="A0.E35.4.m3.5.5.1.1.3.4">superscript</csymbol><ci id="A0.E35.4.m3.5.5.1.1.3.4.2.cmml" xref="A0.E35.4.m3.5.5.1.1.3.4.2">𝑎</ci><list id="A0.E35.4.m3.4.4.3.4.cmml" xref="A0.E35.4.m3.4.4.3.3"><ci id="A0.E35.4.m3.3.3.2.2.1.cmml" xref="A0.E35.4.m3.3.3.2.2.1">′</ci><ci id="A0.E35.4.m3.2.2.1.1.cmml" xref="A0.E35.4.m3.2.2.1.1">𝑛</ci></list></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.E35.4.m3.5c">\displaystyle-(q_{n}+\theta_{n}^{-})a_{-1}^{(n)}+\eta Na^{\prime(n)}\,.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.E35.4.m3.5d">- ( italic_q start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT + italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_a start_POSTSUBSCRIPT - 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT + italic_η italic_N italic_a start_POSTSUPERSCRIPT ′ ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(35d)</span></td> </tr> </tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S5.2.p2"> <p class="ltx_p" id="S5.2.p2.7">The case of <math alttext="n\in\mathcal{N}\setminus\{N\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.2.p2.1.m1.1"><semantics id="S5.2.p2.1.m1.1a"><mrow id="S5.2.p2.1.m1.1.2" xref="S5.2.p2.1.m1.1.2.cmml"><mi id="S5.2.p2.1.m1.1.2.2" xref="S5.2.p2.1.m1.1.2.2.cmml">n</mi><mo id="S5.2.p2.1.m1.1.2.1" xref="S5.2.p2.1.m1.1.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S5.2.p2.1.m1.1.2.3" xref="S5.2.p2.1.m1.1.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.2.p2.1.m1.1.2.3.2" xref="S5.2.p2.1.m1.1.2.3.2.cmml">𝒩</mi><mo id="S5.2.p2.1.m1.1.2.3.1" xref="S5.2.p2.1.m1.1.2.3.1.cmml">∖</mo><mrow id="S5.2.p2.1.m1.1.2.3.3.2" xref="S5.2.p2.1.m1.1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S5.2.p2.1.m1.1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.2.p2.1.m1.1.2.3.3.1.cmml">{</mo><mi id="S5.2.p2.1.m1.1.1" xref="S5.2.p2.1.m1.1.1.cmml">N</mi><mo id="S5.2.p2.1.m1.1.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.2.p2.1.m1.1.2.3.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.2.p2.1.m1.1b"><apply id="S5.2.p2.1.m1.1.2.cmml" xref="S5.2.p2.1.m1.1.2"><in id="S5.2.p2.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S5.2.p2.1.m1.1.2.1"></in><ci id="S5.2.p2.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S5.2.p2.1.m1.1.2.2">𝑛</ci><apply id="S5.2.p2.1.m1.1.2.3.cmml" xref="S5.2.p2.1.m1.1.2.3"><setdiff id="S5.2.p2.1.m1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.2.p2.1.m1.1.2.3.1"></setdiff><ci id="S5.2.p2.1.m1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.2.p2.1.m1.1.2.3.2">𝒩</ci><set id="S5.2.p2.1.m1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S5.2.p2.1.m1.1.2.3.3.2"><ci id="S5.2.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.2.p2.1.m1.1.1">𝑁</ci></set></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.2.p2.1.m1.1c">n\in\mathcal{N}\setminus\{N\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.2.p2.1.m1.1d">italic_n ∈ caligraphic_N ∖ { italic_N }</annotation></semantics></math> will be now considered. Recall that in this case <math alttext="\lambda_{n}>0" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.2.p2.2.m2.1"><semantics id="S5.2.p2.2.m2.1a"><mrow id="S5.2.p2.2.m2.1.1" xref="S5.2.p2.2.m2.1.1.cmml"><msub id="S5.2.p2.2.m2.1.1.2" xref="S5.2.p2.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S5.2.p2.2.m2.1.1.2.2" xref="S5.2.p2.2.m2.1.1.2.2.cmml">λ</mi><mi id="S5.2.p2.2.m2.1.1.2.3" xref="S5.2.p2.2.m2.1.1.2.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S5.2.p2.2.m2.1.1.1" xref="S5.2.p2.2.m2.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S5.2.p2.2.m2.1.1.3" xref="S5.2.p2.2.m2.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.2.p2.2.m2.1b"><apply id="S5.2.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.2.p2.2.m2.1.1"><gt id="S5.2.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.2.p2.2.m2.1.1.1"></gt><apply id="S5.2.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.2.p2.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.2.p2.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.2.p2.2.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.2.p2.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S5.2.p2.2.m2.1.1.2.2">𝜆</ci><ci id="S5.2.p2.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S5.2.p2.2.m2.1.1.2.3">𝑛</ci></apply><cn id="S5.2.p2.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.2.p2.2.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.2.p2.2.m2.1c">\lambda_{n}>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.2.p2.2.m2.1d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT > 0</annotation></semantics></math>. First, does there exist an <math alttext="n\in\mathcal{N}\setminus\{N\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.2.p2.3.m3.1"><semantics id="S5.2.p2.3.m3.1a"><mrow id="S5.2.p2.3.m3.1.2" xref="S5.2.p2.3.m3.1.2.cmml"><mi id="S5.2.p2.3.m3.1.2.2" xref="S5.2.p2.3.m3.1.2.2.cmml">n</mi><mo id="S5.2.p2.3.m3.1.2.1" xref="S5.2.p2.3.m3.1.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S5.2.p2.3.m3.1.2.3" xref="S5.2.p2.3.m3.1.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.2.p2.3.m3.1.2.3.2" xref="S5.2.p2.3.m3.1.2.3.2.cmml">𝒩</mi><mo id="S5.2.p2.3.m3.1.2.3.1" xref="S5.2.p2.3.m3.1.2.3.1.cmml">∖</mo><mrow id="S5.2.p2.3.m3.1.2.3.3.2" xref="S5.2.p2.3.m3.1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S5.2.p2.3.m3.1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.2.p2.3.m3.1.2.3.3.1.cmml">{</mo><mi id="S5.2.p2.3.m3.1.1" xref="S5.2.p2.3.m3.1.1.cmml">N</mi><mo id="S5.2.p2.3.m3.1.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.2.p2.3.m3.1.2.3.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.2.p2.3.m3.1b"><apply id="S5.2.p2.3.m3.1.2.cmml" xref="S5.2.p2.3.m3.1.2"><in id="S5.2.p2.3.m3.1.2.1.cmml" xref="S5.2.p2.3.m3.1.2.1"></in><ci id="S5.2.p2.3.m3.1.2.2.cmml" xref="S5.2.p2.3.m3.1.2.2">𝑛</ci><apply id="S5.2.p2.3.m3.1.2.3.cmml" xref="S5.2.p2.3.m3.1.2.3"><setdiff id="S5.2.p2.3.m3.1.2.3.1.cmml" xref="S5.2.p2.3.m3.1.2.3.1"></setdiff><ci id="S5.2.p2.3.m3.1.2.3.2.cmml" xref="S5.2.p2.3.m3.1.2.3.2">𝒩</ci><set id="S5.2.p2.3.m3.1.2.3.3.1.cmml" xref="S5.2.p2.3.m3.1.2.3.3.2"><ci id="S5.2.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.2.p2.3.m3.1.1">𝑁</ci></set></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.2.p2.3.m3.1c">n\in\mathcal{N}\setminus\{N\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.2.p2.3.m3.1d">italic_n ∈ caligraphic_N ∖ { italic_N }</annotation></semantics></math> s.t. <math alttext="\theta_{n}^{+}=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.2.p2.4.m4.1"><semantics id="S5.2.p2.4.m4.1a"><mrow id="S5.2.p2.4.m4.1.1" xref="S5.2.p2.4.m4.1.1.cmml"><msubsup id="S5.2.p2.4.m4.1.1.2" xref="S5.2.p2.4.m4.1.1.2.cmml"><mi id="S5.2.p2.4.m4.1.1.2.2.2" xref="S5.2.p2.4.m4.1.1.2.2.2.cmml">θ</mi><mi id="S5.2.p2.4.m4.1.1.2.2.3" xref="S5.2.p2.4.m4.1.1.2.2.3.cmml">n</mi><mo id="S5.2.p2.4.m4.1.1.2.3" xref="S5.2.p2.4.m4.1.1.2.3.cmml">+</mo></msubsup><mo id="S5.2.p2.4.m4.1.1.1" xref="S5.2.p2.4.m4.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.2.p2.4.m4.1.1.3" xref="S5.2.p2.4.m4.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.2.p2.4.m4.1b"><apply id="S5.2.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S5.2.p2.4.m4.1.1"><eq id="S5.2.p2.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S5.2.p2.4.m4.1.1.1"></eq><apply id="S5.2.p2.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S5.2.p2.4.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.2.p2.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S5.2.p2.4.m4.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S5.2.p2.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S5.2.p2.4.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.2.p2.4.m4.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.2.p2.4.m4.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.2.p2.4.m4.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.2.p2.4.m4.1.1.2.2.2">𝜃</ci><ci id="S5.2.p2.4.m4.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.2.p2.4.m4.1.1.2.2.3">𝑛</ci></apply><plus id="S5.2.p2.4.m4.1.1.2.3.cmml" xref="S5.2.p2.4.m4.1.1.2.3"></plus></apply><cn id="S5.2.p2.4.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.2.p2.4.m4.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.2.p2.4.m4.1c">\theta_{n}^{+}=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.2.p2.4.m4.1d">italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT = 1</annotation></semantics></math>? The answer is negative. To see this, assume for a contradiction that <math alttext="\theta_{n}^{+}=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.2.p2.5.m5.1"><semantics id="S5.2.p2.5.m5.1a"><mrow id="S5.2.p2.5.m5.1.1" xref="S5.2.p2.5.m5.1.1.cmml"><msubsup id="S5.2.p2.5.m5.1.1.2" xref="S5.2.p2.5.m5.1.1.2.cmml"><mi id="S5.2.p2.5.m5.1.1.2.2.2" xref="S5.2.p2.5.m5.1.1.2.2.2.cmml">θ</mi><mi id="S5.2.p2.5.m5.1.1.2.2.3" xref="S5.2.p2.5.m5.1.1.2.2.3.cmml">n</mi><mo id="S5.2.p2.5.m5.1.1.2.3" xref="S5.2.p2.5.m5.1.1.2.3.cmml">+</mo></msubsup><mo id="S5.2.p2.5.m5.1.1.1" xref="S5.2.p2.5.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.2.p2.5.m5.1.1.3" xref="S5.2.p2.5.m5.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.2.p2.5.m5.1b"><apply id="S5.2.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="S5.2.p2.5.m5.1.1"><eq id="S5.2.p2.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S5.2.p2.5.m5.1.1.1"></eq><apply id="S5.2.p2.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S5.2.p2.5.m5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.2.p2.5.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S5.2.p2.5.m5.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S5.2.p2.5.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S5.2.p2.5.m5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.2.p2.5.m5.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.2.p2.5.m5.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.2.p2.5.m5.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.2.p2.5.m5.1.1.2.2.2">𝜃</ci><ci id="S5.2.p2.5.m5.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.2.p2.5.m5.1.1.2.2.3">𝑛</ci></apply><plus id="S5.2.p2.5.m5.1.1.2.3.cmml" xref="S5.2.p2.5.m5.1.1.2.3"></plus></apply><cn id="S5.2.p2.5.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.2.p2.5.m5.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.2.p2.5.m5.1c">\theta_{n}^{+}=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.2.p2.5.m5.1d">italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT = 1</annotation></semantics></math> for some <math alttext="n\in\mathcal{N}\setminus\{N\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.2.p2.6.m6.1"><semantics id="S5.2.p2.6.m6.1a"><mrow id="S5.2.p2.6.m6.1.2" xref="S5.2.p2.6.m6.1.2.cmml"><mi id="S5.2.p2.6.m6.1.2.2" xref="S5.2.p2.6.m6.1.2.2.cmml">n</mi><mo id="S5.2.p2.6.m6.1.2.1" xref="S5.2.p2.6.m6.1.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S5.2.p2.6.m6.1.2.3" xref="S5.2.p2.6.m6.1.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.2.p2.6.m6.1.2.3.2" xref="S5.2.p2.6.m6.1.2.3.2.cmml">𝒩</mi><mo id="S5.2.p2.6.m6.1.2.3.1" xref="S5.2.p2.6.m6.1.2.3.1.cmml">∖</mo><mrow id="S5.2.p2.6.m6.1.2.3.3.2" xref="S5.2.p2.6.m6.1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S5.2.p2.6.m6.1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.2.p2.6.m6.1.2.3.3.1.cmml">{</mo><mi id="S5.2.p2.6.m6.1.1" xref="S5.2.p2.6.m6.1.1.cmml">N</mi><mo id="S5.2.p2.6.m6.1.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.2.p2.6.m6.1.2.3.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.2.p2.6.m6.1b"><apply id="S5.2.p2.6.m6.1.2.cmml" xref="S5.2.p2.6.m6.1.2"><in id="S5.2.p2.6.m6.1.2.1.cmml" xref="S5.2.p2.6.m6.1.2.1"></in><ci id="S5.2.p2.6.m6.1.2.2.cmml" xref="S5.2.p2.6.m6.1.2.2">𝑛</ci><apply id="S5.2.p2.6.m6.1.2.3.cmml" xref="S5.2.p2.6.m6.1.2.3"><setdiff id="S5.2.p2.6.m6.1.2.3.1.cmml" xref="S5.2.p2.6.m6.1.2.3.1"></setdiff><ci id="S5.2.p2.6.m6.1.2.3.2.cmml" xref="S5.2.p2.6.m6.1.2.3.2">𝒩</ci><set id="S5.2.p2.6.m6.1.2.3.3.1.cmml" xref="S5.2.p2.6.m6.1.2.3.3.2"><ci id="S5.2.p2.6.m6.1.1.cmml" xref="S5.2.p2.6.m6.1.1">𝑁</ci></set></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.2.p2.6.m6.1c">n\in\mathcal{N}\setminus\{N\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.2.p2.6.m6.1d">italic_n ∈ caligraphic_N ∖ { italic_N }</annotation></semantics></math>. Then, because <math alttext="p_{n}=\theta_{n}^{+}+\theta_{n}^{-}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.2.p2.7.m7.1"><semantics id="S5.2.p2.7.m7.1a"><mrow id="S5.2.p2.7.m7.1.1" xref="S5.2.p2.7.m7.1.1.cmml"><msub id="S5.2.p2.7.m7.1.1.2" xref="S5.2.p2.7.m7.1.1.2.cmml"><mi id="S5.2.p2.7.m7.1.1.2.2" xref="S5.2.p2.7.m7.1.1.2.2.cmml">p</mi><mi id="S5.2.p2.7.m7.1.1.2.3" xref="S5.2.p2.7.m7.1.1.2.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S5.2.p2.7.m7.1.1.1" xref="S5.2.p2.7.m7.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.2.p2.7.m7.1.1.3" xref="S5.2.p2.7.m7.1.1.3.cmml"><msubsup id="S5.2.p2.7.m7.1.1.3.2" xref="S5.2.p2.7.m7.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.2.p2.7.m7.1.1.3.2.2.2" xref="S5.2.p2.7.m7.1.1.3.2.2.2.cmml">θ</mi><mi id="S5.2.p2.7.m7.1.1.3.2.2.3" xref="S5.2.p2.7.m7.1.1.3.2.2.3.cmml">n</mi><mo id="S5.2.p2.7.m7.1.1.3.2.3" xref="S5.2.p2.7.m7.1.1.3.2.3.cmml">+</mo></msubsup><mo id="S5.2.p2.7.m7.1.1.3.1" xref="S5.2.p2.7.m7.1.1.3.1.cmml">+</mo><msubsup id="S5.2.p2.7.m7.1.1.3.3" xref="S5.2.p2.7.m7.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.2.p2.7.m7.1.1.3.3.2.2" xref="S5.2.p2.7.m7.1.1.3.3.2.2.cmml">θ</mi><mi id="S5.2.p2.7.m7.1.1.3.3.2.3" xref="S5.2.p2.7.m7.1.1.3.3.2.3.cmml">n</mi><mo id="S5.2.p2.7.m7.1.1.3.3.3" xref="S5.2.p2.7.m7.1.1.3.3.3.cmml">−</mo></msubsup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.2.p2.7.m7.1b"><apply id="S5.2.p2.7.m7.1.1.cmml" xref="S5.2.p2.7.m7.1.1"><eq id="S5.2.p2.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S5.2.p2.7.m7.1.1.1"></eq><apply id="S5.2.p2.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S5.2.p2.7.m7.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.2.p2.7.m7.1.1.2.1.cmml" xref="S5.2.p2.7.m7.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.2.p2.7.m7.1.1.2.2.cmml" xref="S5.2.p2.7.m7.1.1.2.2">𝑝</ci><ci id="S5.2.p2.7.m7.1.1.2.3.cmml" xref="S5.2.p2.7.m7.1.1.2.3">𝑛</ci></apply><apply id="S5.2.p2.7.m7.1.1.3.cmml" xref="S5.2.p2.7.m7.1.1.3"><plus id="S5.2.p2.7.m7.1.1.3.1.cmml" xref="S5.2.p2.7.m7.1.1.3.1"></plus><apply id="S5.2.p2.7.m7.1.1.3.2.cmml" xref="S5.2.p2.7.m7.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.2.p2.7.m7.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.2.p2.7.m7.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="S5.2.p2.7.m7.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.2.p2.7.m7.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.2.p2.7.m7.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S5.2.p2.7.m7.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.2.p2.7.m7.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S5.2.p2.7.m7.1.1.3.2.2.2">𝜃</ci><ci id="S5.2.p2.7.m7.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S5.2.p2.7.m7.1.1.3.2.2.3">𝑛</ci></apply><plus id="S5.2.p2.7.m7.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.2.p2.7.m7.1.1.3.2.3"></plus></apply><apply id="S5.2.p2.7.m7.1.1.3.3.cmml" xref="S5.2.p2.7.m7.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.2.p2.7.m7.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.2.p2.7.m7.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S5.2.p2.7.m7.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.2.p2.7.m7.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.2.p2.7.m7.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S5.2.p2.7.m7.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.2.p2.7.m7.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S5.2.p2.7.m7.1.1.3.3.2.2">𝜃</ci><ci id="S5.2.p2.7.m7.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S5.2.p2.7.m7.1.1.3.3.2.3">𝑛</ci></apply><minus id="S5.2.p2.7.m7.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.2.p2.7.m7.1.1.3.3.3"></minus></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.2.p2.7.m7.1c">p_{n}=\theta_{n}^{+}+\theta_{n}^{-}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.2.p2.7.m7.1d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT = italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT + italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>,</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A0.EGx49"> <tbody id="A0.Ex1"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle p_{n}" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex1.m1.1"><semantics id="A0.Ex1.m1.1a"><msub id="A0.Ex1.m1.1.1" xref="A0.Ex1.m1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex1.m1.1.1.2" xref="A0.Ex1.m1.1.1.2.cmml">p</mi><mi id="A0.Ex1.m1.1.1.3" xref="A0.Ex1.m1.1.1.3.cmml">n</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex1.m1.1b"><apply id="A0.Ex1.m1.1.1.cmml" xref="A0.Ex1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex1.m1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A0.Ex1.m1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex1.m1.1.1.2">𝑝</ci><ci id="A0.Ex1.m1.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex1.m1.1.1.3">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex1.m1.1c">\displaystyle p_{n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex1.m1.1d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=1+\theta_{n}^{-}" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex1.m2.1"><semantics id="A0.Ex1.m2.1a"><mrow id="A0.Ex1.m2.1.1" xref="A0.Ex1.m2.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex1.m2.1.1.2" xref="A0.Ex1.m2.1.1.2.cmml"></mi><mo id="A0.Ex1.m2.1.1.1" xref="A0.Ex1.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A0.Ex1.m2.1.1.3" xref="A0.Ex1.m2.1.1.3.cmml"><mn id="A0.Ex1.m2.1.1.3.2" xref="A0.Ex1.m2.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="A0.Ex1.m2.1.1.3.1" xref="A0.Ex1.m2.1.1.3.1.cmml">+</mo><msubsup id="A0.Ex1.m2.1.1.3.3" xref="A0.Ex1.m2.1.1.3.3.cmml"><mi id="A0.Ex1.m2.1.1.3.3.2.2" xref="A0.Ex1.m2.1.1.3.3.2.2.cmml">θ</mi><mi id="A0.Ex1.m2.1.1.3.3.2.3" xref="A0.Ex1.m2.1.1.3.3.2.3.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex1.m2.1.1.3.3.3" xref="A0.Ex1.m2.1.1.3.3.3.cmml">−</mo></msubsup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex1.m2.1b"><apply id="A0.Ex1.m2.1.1.cmml" xref="A0.Ex1.m2.1.1"><eq id="A0.Ex1.m2.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex1.m2.1.1.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="A0.Ex1.m2.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex1.m2.1.1.2">absent</csymbol><apply id="A0.Ex1.m2.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex1.m2.1.1.3"><plus id="A0.Ex1.m2.1.1.3.1.cmml" xref="A0.Ex1.m2.1.1.3.1"></plus><cn id="A0.Ex1.m2.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A0.Ex1.m2.1.1.3.2">1</cn><apply id="A0.Ex1.m2.1.1.3.3.cmml" xref="A0.Ex1.m2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex1.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="A0.Ex1.m2.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="A0.Ex1.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="A0.Ex1.m2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex1.m2.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="A0.Ex1.m2.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A0.Ex1.m2.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="A0.Ex1.m2.1.1.3.3.2.2">𝜃</ci><ci id="A0.Ex1.m2.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="A0.Ex1.m2.1.1.3.3.2.3">𝑛</ci></apply><minus id="A0.Ex1.m2.1.1.3.3.3.cmml" xref="A0.Ex1.m2.1.1.3.3.3"></minus></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex1.m2.1c">\displaystyle=1+\theta_{n}^{-}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex1.m2.1d">= 1 + italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A0.Ex2a"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\Rightarrow{}" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex2a.m1.1"><semantics id="A0.Ex2a.m1.1a"><mo id="A0.Ex2a.m1.1.1" stretchy="false" xref="A0.Ex2a.m1.1.1.cmml">⇒</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex2a.m1.1b"><ci id="A0.Ex2a.m1.1.1.cmml" xref="A0.Ex2a.m1.1.1">⇒</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex2a.m1.1c">\displaystyle\Rightarrow{}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex2a.m1.1d">⇒</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle 2-2\eta-2\gamma\lambda_{n}" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex2a.m2.1"><semantics id="A0.Ex2a.m2.1a"><mrow id="A0.Ex2a.m2.1.1" xref="A0.Ex2a.m2.1.1.cmml"><mn id="A0.Ex2a.m2.1.1.2" xref="A0.Ex2a.m2.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="A0.Ex2a.m2.1.1.1" xref="A0.Ex2a.m2.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A0.Ex2a.m2.1.1.3" xref="A0.Ex2a.m2.1.1.3.cmml"><mn id="A0.Ex2a.m2.1.1.3.2" xref="A0.Ex2a.m2.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="A0.Ex2a.m2.1.1.3.1" xref="A0.Ex2a.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A0.Ex2a.m2.1.1.3.3" xref="A0.Ex2a.m2.1.1.3.3.cmml">η</mi></mrow><mo id="A0.Ex2a.m2.1.1.1a" xref="A0.Ex2a.m2.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A0.Ex2a.m2.1.1.4" xref="A0.Ex2a.m2.1.1.4.cmml"><mn id="A0.Ex2a.m2.1.1.4.2" xref="A0.Ex2a.m2.1.1.4.2.cmml">2</mn><mo id="A0.Ex2a.m2.1.1.4.1" xref="A0.Ex2a.m2.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="A0.Ex2a.m2.1.1.4.3" xref="A0.Ex2a.m2.1.1.4.3.cmml">γ</mi><mo id="A0.Ex2a.m2.1.1.4.1a" xref="A0.Ex2a.m2.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="A0.Ex2a.m2.1.1.4.4" xref="A0.Ex2a.m2.1.1.4.4.cmml"><mi id="A0.Ex2a.m2.1.1.4.4.2" xref="A0.Ex2a.m2.1.1.4.4.2.cmml">λ</mi><mi id="A0.Ex2a.m2.1.1.4.4.3" xref="A0.Ex2a.m2.1.1.4.4.3.cmml">n</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex2a.m2.1b"><apply id="A0.Ex2a.m2.1.1.cmml" xref="A0.Ex2a.m2.1.1"><minus id="A0.Ex2a.m2.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex2a.m2.1.1.1"></minus><cn id="A0.Ex2a.m2.1.1.2.cmml" type="integer" xref="A0.Ex2a.m2.1.1.2">2</cn><apply id="A0.Ex2a.m2.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex2a.m2.1.1.3"><times id="A0.Ex2a.m2.1.1.3.1.cmml" xref="A0.Ex2a.m2.1.1.3.1"></times><cn id="A0.Ex2a.m2.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A0.Ex2a.m2.1.1.3.2">2</cn><ci id="A0.Ex2a.m2.1.1.3.3.cmml" xref="A0.Ex2a.m2.1.1.3.3">𝜂</ci></apply><apply id="A0.Ex2a.m2.1.1.4.cmml" xref="A0.Ex2a.m2.1.1.4"><times id="A0.Ex2a.m2.1.1.4.1.cmml" xref="A0.Ex2a.m2.1.1.4.1"></times><cn id="A0.Ex2a.m2.1.1.4.2.cmml" type="integer" xref="A0.Ex2a.m2.1.1.4.2">2</cn><ci id="A0.Ex2a.m2.1.1.4.3.cmml" xref="A0.Ex2a.m2.1.1.4.3">𝛾</ci><apply id="A0.Ex2a.m2.1.1.4.4.cmml" xref="A0.Ex2a.m2.1.1.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex2a.m2.1.1.4.4.1.cmml" xref="A0.Ex2a.m2.1.1.4.4">subscript</csymbol><ci id="A0.Ex2a.m2.1.1.4.4.2.cmml" xref="A0.Ex2a.m2.1.1.4.4.2">𝜆</ci><ci id="A0.Ex2a.m2.1.1.4.4.3.cmml" xref="A0.Ex2a.m2.1.1.4.4.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex2a.m2.1c">\displaystyle 2-2\eta-2\gamma\lambda_{n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex2a.m2.1d">2 - 2 italic_η - 2 italic_γ italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=2\theta_{n}^{-}=p_{n}-\sqrt{p_{n}^{2}+4q_{n}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex2a.m3.1"><semantics id="A0.Ex2a.m3.1a"><mrow id="A0.Ex2a.m3.1.1" xref="A0.Ex2a.m3.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex2a.m3.1.1.2" xref="A0.Ex2a.m3.1.1.2.cmml"></mi><mo id="A0.Ex2a.m3.1.1.3" xref="A0.Ex2a.m3.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="A0.Ex2a.m3.1.1.4" xref="A0.Ex2a.m3.1.1.4.cmml"><mn id="A0.Ex2a.m3.1.1.4.2" xref="A0.Ex2a.m3.1.1.4.2.cmml">2</mn><mo id="A0.Ex2a.m3.1.1.4.1" xref="A0.Ex2a.m3.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A0.Ex2a.m3.1.1.4.3" xref="A0.Ex2a.m3.1.1.4.3.cmml"><mi id="A0.Ex2a.m3.1.1.4.3.2.2" xref="A0.Ex2a.m3.1.1.4.3.2.2.cmml">θ</mi><mi id="A0.Ex2a.m3.1.1.4.3.2.3" xref="A0.Ex2a.m3.1.1.4.3.2.3.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex2a.m3.1.1.4.3.3" xref="A0.Ex2a.m3.1.1.4.3.3.cmml">−</mo></msubsup></mrow><mo id="A0.Ex2a.m3.1.1.5" xref="A0.Ex2a.m3.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="A0.Ex2a.m3.1.1.6" xref="A0.Ex2a.m3.1.1.6.cmml"><msub id="A0.Ex2a.m3.1.1.6.2" xref="A0.Ex2a.m3.1.1.6.2.cmml"><mi id="A0.Ex2a.m3.1.1.6.2.2" xref="A0.Ex2a.m3.1.1.6.2.2.cmml">p</mi><mi id="A0.Ex2a.m3.1.1.6.2.3" xref="A0.Ex2a.m3.1.1.6.2.3.cmml">n</mi></msub><mo id="A0.Ex2a.m3.1.1.6.1" xref="A0.Ex2a.m3.1.1.6.1.cmml">−</mo><msqrt id="A0.Ex2a.m3.1.1.6.3" xref="A0.Ex2a.m3.1.1.6.3.cmml"><mrow id="A0.Ex2a.m3.1.1.6.3.2" xref="A0.Ex2a.m3.1.1.6.3.2.cmml"><msubsup id="A0.Ex2a.m3.1.1.6.3.2.2" xref="A0.Ex2a.m3.1.1.6.3.2.2.cmml"><mi id="A0.Ex2a.m3.1.1.6.3.2.2.2.2" xref="A0.Ex2a.m3.1.1.6.3.2.2.2.2.cmml">p</mi><mi id="A0.Ex2a.m3.1.1.6.3.2.2.2.3" xref="A0.Ex2a.m3.1.1.6.3.2.2.2.3.cmml">n</mi><mn id="A0.Ex2a.m3.1.1.6.3.2.2.3" xref="A0.Ex2a.m3.1.1.6.3.2.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="A0.Ex2a.m3.1.1.6.3.2.1" xref="A0.Ex2a.m3.1.1.6.3.2.1.cmml">+</mo><mrow id="A0.Ex2a.m3.1.1.6.3.2.3" xref="A0.Ex2a.m3.1.1.6.3.2.3.cmml"><mn id="A0.Ex2a.m3.1.1.6.3.2.3.2" xref="A0.Ex2a.m3.1.1.6.3.2.3.2.cmml">4</mn><mo id="A0.Ex2a.m3.1.1.6.3.2.3.1" xref="A0.Ex2a.m3.1.1.6.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A0.Ex2a.m3.1.1.6.3.2.3.3" xref="A0.Ex2a.m3.1.1.6.3.2.3.3.cmml"><mi id="A0.Ex2a.m3.1.1.6.3.2.3.3.2" xref="A0.Ex2a.m3.1.1.6.3.2.3.3.2.cmml">q</mi><mi id="A0.Ex2a.m3.1.1.6.3.2.3.3.3" xref="A0.Ex2a.m3.1.1.6.3.2.3.3.3.cmml">n</mi></msub></mrow></mrow></msqrt></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex2a.m3.1b"><apply id="A0.Ex2a.m3.1.1.cmml" xref="A0.Ex2a.m3.1.1"><and id="A0.Ex2a.m3.1.1a.cmml" xref="A0.Ex2a.m3.1.1"></and><apply id="A0.Ex2a.m3.1.1b.cmml" xref="A0.Ex2a.m3.1.1"><eq id="A0.Ex2a.m3.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex2a.m3.1.1.3"></eq><csymbol cd="latexml" id="A0.Ex2a.m3.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex2a.m3.1.1.2">absent</csymbol><apply id="A0.Ex2a.m3.1.1.4.cmml" xref="A0.Ex2a.m3.1.1.4"><times id="A0.Ex2a.m3.1.1.4.1.cmml" xref="A0.Ex2a.m3.1.1.4.1"></times><cn id="A0.Ex2a.m3.1.1.4.2.cmml" type="integer" xref="A0.Ex2a.m3.1.1.4.2">2</cn><apply id="A0.Ex2a.m3.1.1.4.3.cmml" xref="A0.Ex2a.m3.1.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex2a.m3.1.1.4.3.1.cmml" xref="A0.Ex2a.m3.1.1.4.3">superscript</csymbol><apply id="A0.Ex2a.m3.1.1.4.3.2.cmml" xref="A0.Ex2a.m3.1.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex2a.m3.1.1.4.3.2.1.cmml" xref="A0.Ex2a.m3.1.1.4.3">subscript</csymbol><ci id="A0.Ex2a.m3.1.1.4.3.2.2.cmml" xref="A0.Ex2a.m3.1.1.4.3.2.2">𝜃</ci><ci id="A0.Ex2a.m3.1.1.4.3.2.3.cmml" xref="A0.Ex2a.m3.1.1.4.3.2.3">𝑛</ci></apply><minus id="A0.Ex2a.m3.1.1.4.3.3.cmml" xref="A0.Ex2a.m3.1.1.4.3.3"></minus></apply></apply></apply><apply id="A0.Ex2a.m3.1.1c.cmml" xref="A0.Ex2a.m3.1.1"><eq id="A0.Ex2a.m3.1.1.5.cmml" xref="A0.Ex2a.m3.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#A0.Ex2a.m3.1.1.4.cmml" id="A0.Ex2a.m3.1.1d.cmml" xref="A0.Ex2a.m3.1.1"></share><apply id="A0.Ex2a.m3.1.1.6.cmml" xref="A0.Ex2a.m3.1.1.6"><minus id="A0.Ex2a.m3.1.1.6.1.cmml" xref="A0.Ex2a.m3.1.1.6.1"></minus><apply id="A0.Ex2a.m3.1.1.6.2.cmml" xref="A0.Ex2a.m3.1.1.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex2a.m3.1.1.6.2.1.cmml" xref="A0.Ex2a.m3.1.1.6.2">subscript</csymbol><ci id="A0.Ex2a.m3.1.1.6.2.2.cmml" xref="A0.Ex2a.m3.1.1.6.2.2">𝑝</ci><ci id="A0.Ex2a.m3.1.1.6.2.3.cmml" xref="A0.Ex2a.m3.1.1.6.2.3">𝑛</ci></apply><apply id="A0.Ex2a.m3.1.1.6.3.cmml" xref="A0.Ex2a.m3.1.1.6.3"><root id="A0.Ex2a.m3.1.1.6.3a.cmml" xref="A0.Ex2a.m3.1.1.6.3"></root><apply id="A0.Ex2a.m3.1.1.6.3.2.cmml" xref="A0.Ex2a.m3.1.1.6.3.2"><plus id="A0.Ex2a.m3.1.1.6.3.2.1.cmml" xref="A0.Ex2a.m3.1.1.6.3.2.1"></plus><apply id="A0.Ex2a.m3.1.1.6.3.2.2.cmml" xref="A0.Ex2a.m3.1.1.6.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex2a.m3.1.1.6.3.2.2.1.cmml" xref="A0.Ex2a.m3.1.1.6.3.2.2">superscript</csymbol><apply id="A0.Ex2a.m3.1.1.6.3.2.2.2.cmml" xref="A0.Ex2a.m3.1.1.6.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex2a.m3.1.1.6.3.2.2.2.1.cmml" xref="A0.Ex2a.m3.1.1.6.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="A0.Ex2a.m3.1.1.6.3.2.2.2.2.cmml" xref="A0.Ex2a.m3.1.1.6.3.2.2.2.2">𝑝</ci><ci id="A0.Ex2a.m3.1.1.6.3.2.2.2.3.cmml" xref="A0.Ex2a.m3.1.1.6.3.2.2.2.3">𝑛</ci></apply><cn id="A0.Ex2a.m3.1.1.6.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A0.Ex2a.m3.1.1.6.3.2.2.3">2</cn></apply><apply id="A0.Ex2a.m3.1.1.6.3.2.3.cmml" xref="A0.Ex2a.m3.1.1.6.3.2.3"><times id="A0.Ex2a.m3.1.1.6.3.2.3.1.cmml" xref="A0.Ex2a.m3.1.1.6.3.2.3.1"></times><cn id="A0.Ex2a.m3.1.1.6.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A0.Ex2a.m3.1.1.6.3.2.3.2">4</cn><apply id="A0.Ex2a.m3.1.1.6.3.2.3.3.cmml" xref="A0.Ex2a.m3.1.1.6.3.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex2a.m3.1.1.6.3.2.3.3.1.cmml" xref="A0.Ex2a.m3.1.1.6.3.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="A0.Ex2a.m3.1.1.6.3.2.3.3.2.cmml" xref="A0.Ex2a.m3.1.1.6.3.2.3.3.2">𝑞</ci><ci id="A0.Ex2a.m3.1.1.6.3.2.3.3.3.cmml" xref="A0.Ex2a.m3.1.1.6.3.2.3.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex2a.m3.1c">\displaystyle=2\theta_{n}^{-}=p_{n}-\sqrt{p_{n}^{2}+4q_{n}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex2a.m3.1d">= 2 italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT = italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT - square-root start_ARG italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + 4 italic_q start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A0.Ex3a"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\Rightarrow{}" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex3a.m1.1"><semantics id="A0.Ex3a.m1.1a"><mo id="A0.Ex3a.m1.1.1" stretchy="false" xref="A0.Ex3a.m1.1.1.cmml">⇒</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex3a.m1.1b"><ci id="A0.Ex3a.m1.1.1.cmml" xref="A0.Ex3a.m1.1.1">⇒</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex3a.m1.1c">\displaystyle\Rightarrow{}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex3a.m1.1d">⇒</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\eta+\gamma\lambda_{n}" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex3a.m2.1"><semantics id="A0.Ex3a.m2.1a"><mrow id="A0.Ex3a.m2.1.1" xref="A0.Ex3a.m2.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex3a.m2.1.1.2" xref="A0.Ex3a.m2.1.1.2.cmml">η</mi><mo id="A0.Ex3a.m2.1.1.1" xref="A0.Ex3a.m2.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="A0.Ex3a.m2.1.1.3" xref="A0.Ex3a.m2.1.1.3.cmml"><mi id="A0.Ex3a.m2.1.1.3.2" xref="A0.Ex3a.m2.1.1.3.2.cmml">γ</mi><mo id="A0.Ex3a.m2.1.1.3.1" xref="A0.Ex3a.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A0.Ex3a.m2.1.1.3.3" xref="A0.Ex3a.m2.1.1.3.3.cmml"><mi id="A0.Ex3a.m2.1.1.3.3.2" xref="A0.Ex3a.m2.1.1.3.3.2.cmml">λ</mi><mi id="A0.Ex3a.m2.1.1.3.3.3" xref="A0.Ex3a.m2.1.1.3.3.3.cmml">n</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex3a.m2.1b"><apply id="A0.Ex3a.m2.1.1.cmml" xref="A0.Ex3a.m2.1.1"><plus id="A0.Ex3a.m2.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex3a.m2.1.1.1"></plus><ci id="A0.Ex3a.m2.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex3a.m2.1.1.2">𝜂</ci><apply id="A0.Ex3a.m2.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex3a.m2.1.1.3"><times id="A0.Ex3a.m2.1.1.3.1.cmml" xref="A0.Ex3a.m2.1.1.3.1"></times><ci id="A0.Ex3a.m2.1.1.3.2.cmml" xref="A0.Ex3a.m2.1.1.3.2">𝛾</ci><apply id="A0.Ex3a.m2.1.1.3.3.cmml" xref="A0.Ex3a.m2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex3a.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="A0.Ex3a.m2.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A0.Ex3a.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="A0.Ex3a.m2.1.1.3.3.2">𝜆</ci><ci id="A0.Ex3a.m2.1.1.3.3.3.cmml" xref="A0.Ex3a.m2.1.1.3.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex3a.m2.1c">\displaystyle\eta+\gamma\lambda_{n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex3a.m2.1d">italic_η + italic_γ italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sqrt{p_{n}^{2}+4q_{n}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex3a.m3.1"><semantics id="A0.Ex3a.m3.1a"><mrow id="A0.Ex3a.m3.1.1" xref="A0.Ex3a.m3.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex3a.m3.1.1.2" xref="A0.Ex3a.m3.1.1.2.cmml"></mi><mo id="A0.Ex3a.m3.1.1.1" xref="A0.Ex3a.m3.1.1.1.cmml">=</mo><msqrt id="A0.Ex3a.m3.1.1.3" xref="A0.Ex3a.m3.1.1.3.cmml"><mrow id="A0.Ex3a.m3.1.1.3.2" xref="A0.Ex3a.m3.1.1.3.2.cmml"><msubsup id="A0.Ex3a.m3.1.1.3.2.2" xref="A0.Ex3a.m3.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="A0.Ex3a.m3.1.1.3.2.2.2.2" xref="A0.Ex3a.m3.1.1.3.2.2.2.2.cmml">p</mi><mi id="A0.Ex3a.m3.1.1.3.2.2.2.3" xref="A0.Ex3a.m3.1.1.3.2.2.2.3.cmml">n</mi><mn id="A0.Ex3a.m3.1.1.3.2.2.3" xref="A0.Ex3a.m3.1.1.3.2.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="A0.Ex3a.m3.1.1.3.2.1" xref="A0.Ex3a.m3.1.1.3.2.1.cmml">+</mo><mrow id="A0.Ex3a.m3.1.1.3.2.3" xref="A0.Ex3a.m3.1.1.3.2.3.cmml"><mn id="A0.Ex3a.m3.1.1.3.2.3.2" xref="A0.Ex3a.m3.1.1.3.2.3.2.cmml">4</mn><mo id="A0.Ex3a.m3.1.1.3.2.3.1" xref="A0.Ex3a.m3.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A0.Ex3a.m3.1.1.3.2.3.3" xref="A0.Ex3a.m3.1.1.3.2.3.3.cmml"><mi id="A0.Ex3a.m3.1.1.3.2.3.3.2" xref="A0.Ex3a.m3.1.1.3.2.3.3.2.cmml">q</mi><mi id="A0.Ex3a.m3.1.1.3.2.3.3.3" xref="A0.Ex3a.m3.1.1.3.2.3.3.3.cmml">n</mi></msub></mrow></mrow></msqrt></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex3a.m3.1b"><apply id="A0.Ex3a.m3.1.1.cmml" xref="A0.Ex3a.m3.1.1"><eq id="A0.Ex3a.m3.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex3a.m3.1.1.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="A0.Ex3a.m3.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex3a.m3.1.1.2">absent</csymbol><apply id="A0.Ex3a.m3.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex3a.m3.1.1.3"><root id="A0.Ex3a.m3.1.1.3a.cmml" xref="A0.Ex3a.m3.1.1.3"></root><apply id="A0.Ex3a.m3.1.1.3.2.cmml" xref="A0.Ex3a.m3.1.1.3.2"><plus id="A0.Ex3a.m3.1.1.3.2.1.cmml" xref="A0.Ex3a.m3.1.1.3.2.1"></plus><apply id="A0.Ex3a.m3.1.1.3.2.2.cmml" xref="A0.Ex3a.m3.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex3a.m3.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A0.Ex3a.m3.1.1.3.2.2">superscript</csymbol><apply id="A0.Ex3a.m3.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A0.Ex3a.m3.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex3a.m3.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="A0.Ex3a.m3.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="A0.Ex3a.m3.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="A0.Ex3a.m3.1.1.3.2.2.2.2">𝑝</ci><ci id="A0.Ex3a.m3.1.1.3.2.2.2.3.cmml" xref="A0.Ex3a.m3.1.1.3.2.2.2.3">𝑛</ci></apply><cn id="A0.Ex3a.m3.1.1.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A0.Ex3a.m3.1.1.3.2.2.3">2</cn></apply><apply id="A0.Ex3a.m3.1.1.3.2.3.cmml" xref="A0.Ex3a.m3.1.1.3.2.3"><times id="A0.Ex3a.m3.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A0.Ex3a.m3.1.1.3.2.3.1"></times><cn id="A0.Ex3a.m3.1.1.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A0.Ex3a.m3.1.1.3.2.3.2">4</cn><apply id="A0.Ex3a.m3.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="A0.Ex3a.m3.1.1.3.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex3a.m3.1.1.3.2.3.3.1.cmml" xref="A0.Ex3a.m3.1.1.3.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="A0.Ex3a.m3.1.1.3.2.3.3.2.cmml" xref="A0.Ex3a.m3.1.1.3.2.3.3.2">𝑞</ci><ci id="A0.Ex3a.m3.1.1.3.2.3.3.3.cmml" xref="A0.Ex3a.m3.1.1.3.2.3.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex3a.m3.1c">\displaystyle=\sqrt{p_{n}^{2}+4q_{n}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex3a.m3.1d">= square-root start_ARG italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + 4 italic_q start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A0.Ex4"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\Rightarrow{}" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex4.m1.1"><semantics id="A0.Ex4.m1.1a"><mo id="A0.Ex4.m1.1.1" stretchy="false" xref="A0.Ex4.m1.1.1.cmml">⇒</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex4.m1.1b"><ci id="A0.Ex4.m1.1.1.cmml" xref="A0.Ex4.m1.1.1">⇒</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex4.m1.1c">\displaystyle\Rightarrow{}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex4.m1.1d">⇒</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle(\eta+\gamma\lambda_{n})^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex4.m2.1"><semantics id="A0.Ex4.m2.1a"><msup id="A0.Ex4.m2.1.1" xref="A0.Ex4.m2.1.1.cmml"><mrow id="A0.Ex4.m2.1.1.1.1" xref="A0.Ex4.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex4.m2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex4.m2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.Ex4.m2.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex4.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex4.m2.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex4.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">η</mi><mo id="A0.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="A0.Ex4.m2.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex4.m2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A0.Ex4.m2.1.1.1.1.1.3.2" xref="A0.Ex4.m2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">γ</mi><mo id="A0.Ex4.m2.1.1.1.1.1.3.1" xref="A0.Ex4.m2.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A0.Ex4.m2.1.1.1.1.1.3.3" xref="A0.Ex4.m2.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A0.Ex4.m2.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A0.Ex4.m2.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">λ</mi><mi id="A0.Ex4.m2.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A0.Ex4.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">n</mi></msub></mrow></mrow><mo id="A0.Ex4.m2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex4.m2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="A0.Ex4.m2.1.1.3" xref="A0.Ex4.m2.1.1.3.cmml">2</mn></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex4.m2.1b"><apply id="A0.Ex4.m2.1.1.cmml" xref="A0.Ex4.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex4.m2.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex4.m2.1.1">superscript</csymbol><apply id="A0.Ex4.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex4.m2.1.1.1.1"><plus id="A0.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex4.m2.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="A0.Ex4.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex4.m2.1.1.1.1.1.2">𝜂</ci><apply id="A0.Ex4.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex4.m2.1.1.1.1.1.3"><times id="A0.Ex4.m2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A0.Ex4.m2.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="A0.Ex4.m2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A0.Ex4.m2.1.1.1.1.1.3.2">𝛾</ci><apply id="A0.Ex4.m2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A0.Ex4.m2.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex4.m2.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A0.Ex4.m2.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A0.Ex4.m2.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A0.Ex4.m2.1.1.1.1.1.3.3.2">𝜆</ci><ci id="A0.Ex4.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A0.Ex4.m2.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply><cn id="A0.Ex4.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A0.Ex4.m2.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex4.m2.1c">\displaystyle(\eta+\gamma\lambda_{n})^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex4.m2.1d">( italic_η + italic_γ italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=4+(\eta+\gamma\lambda_{n})^{2}-4(\eta+\gamma\lambda_{n})+4q_{n}" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex4.m3.2"><semantics id="A0.Ex4.m3.2a"><mrow id="A0.Ex4.m3.2.2" xref="A0.Ex4.m3.2.2.cmml"><mi id="A0.Ex4.m3.2.2.4" xref="A0.Ex4.m3.2.2.4.cmml"></mi><mo id="A0.Ex4.m3.2.2.3" xref="A0.Ex4.m3.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="A0.Ex4.m3.2.2.2" xref="A0.Ex4.m3.2.2.2.cmml"><mrow id="A0.Ex4.m3.2.2.2.2" 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id="A0.Ex4.m3.2.2.2.2.2.1.1.1" xref="A0.Ex4.m3.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex4.m3.2.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="A0.Ex4.m3.2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">η</mi><mo id="A0.Ex4.m3.2.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="A0.Ex4.m3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="A0.Ex4.m3.2.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="A0.Ex4.m3.2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A0.Ex4.m3.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="A0.Ex4.m3.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">γ</mi><mo id="A0.Ex4.m3.2.2.2.2.2.1.1.1.3.1" xref="A0.Ex4.m3.2.2.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A0.Ex4.m3.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="A0.Ex4.m3.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A0.Ex4.m3.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2" xref="A0.Ex4.m3.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml">λ</mi><mi id="A0.Ex4.m3.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.3" xref="A0.Ex4.m3.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml">n</mi></msub></mrow></mrow><mo id="A0.Ex4.m3.2.2.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex4.m3.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A0.Ex4.m3.2.2.2.3" xref="A0.Ex4.m3.2.2.2.3.cmml">+</mo><mrow id="A0.Ex4.m3.2.2.2.4" 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id="A0.Ex4.m3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex4.m3.1.1.1.1.1.2"></plus><cn id="A0.Ex4.m3.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A0.Ex4.m3.1.1.1.1.1.3">4</cn><apply id="A0.Ex4.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex4.m3.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex4.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex4.m3.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A0.Ex4.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex4.m3.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="A0.Ex4.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex4.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="A0.Ex4.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex4.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜂</ci><apply id="A0.Ex4.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex4.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="A0.Ex4.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A0.Ex4.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="A0.Ex4.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A0.Ex4.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝛾</ci><apply id="A0.Ex4.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A0.Ex4.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex4.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A0.Ex4.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A0.Ex4.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A0.Ex4.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝜆</ci><ci id="A0.Ex4.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A0.Ex4.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply><cn id="A0.Ex4.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A0.Ex4.m3.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply><apply id="A0.Ex4.m3.2.2.2.2.2.cmml" xref="A0.Ex4.m3.2.2.2.2.2"><times id="A0.Ex4.m3.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A0.Ex4.m3.2.2.2.2.2.2"></times><cn id="A0.Ex4.m3.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A0.Ex4.m3.2.2.2.2.2.3">4</cn><apply id="A0.Ex4.m3.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex4.m3.2.2.2.2.2.1.1"><plus id="A0.Ex4.m3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex4.m3.2.2.2.2.2.1.1.1.1"></plus><ci id="A0.Ex4.m3.2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex4.m3.2.2.2.2.2.1.1.1.2">𝜂</ci><apply id="A0.Ex4.m3.2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex4.m3.2.2.2.2.2.1.1.1.3"><times id="A0.Ex4.m3.2.2.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A0.Ex4.m3.2.2.2.2.2.1.1.1.3.1"></times><ci id="A0.Ex4.m3.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A0.Ex4.m3.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2">𝛾</ci><apply id="A0.Ex4.m3.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="A0.Ex4.m3.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex4.m3.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A0.Ex4.m3.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A0.Ex4.m3.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A0.Ex4.m3.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2">𝜆</ci><ci id="A0.Ex4.m3.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A0.Ex4.m3.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A0.Ex4.m3.2.2.2.4.cmml" xref="A0.Ex4.m3.2.2.2.4"><times id="A0.Ex4.m3.2.2.2.4.1.cmml" xref="A0.Ex4.m3.2.2.2.4.1"></times><cn id="A0.Ex4.m3.2.2.2.4.2.cmml" type="integer" xref="A0.Ex4.m3.2.2.2.4.2">4</cn><apply id="A0.Ex4.m3.2.2.2.4.3.cmml" xref="A0.Ex4.m3.2.2.2.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex4.m3.2.2.2.4.3.1.cmml" xref="A0.Ex4.m3.2.2.2.4.3">subscript</csymbol><ci 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class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex5.m1.1"><semantics id="A0.Ex5.m1.1a"><mo id="A0.Ex5.m1.1.1" stretchy="false" xref="A0.Ex5.m1.1.1.cmml">⇒</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex5.m1.1b"><ci id="A0.Ex5.m1.1.1.cmml" xref="A0.Ex5.m1.1.1">⇒</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex5.m1.1c">\displaystyle\Rightarrow{}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex5.m1.1d">⇒</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\gamma\lambda_{n}" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex5.m2.1"><semantics id="A0.Ex5.m2.1a"><mrow id="A0.Ex5.m2.1.1" xref="A0.Ex5.m2.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex5.m2.1.1.2" xref="A0.Ex5.m2.1.1.2.cmml">γ</mi><mo id="A0.Ex5.m2.1.1.1" xref="A0.Ex5.m2.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A0.Ex5.m2.1.1.3" xref="A0.Ex5.m2.1.1.3.cmml"><mi id="A0.Ex5.m2.1.1.3.2" xref="A0.Ex5.m2.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mi id="A0.Ex5.m2.1.1.3.3" xref="A0.Ex5.m2.1.1.3.3.cmml">n</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex5.m2.1b"><apply id="A0.Ex5.m2.1.1.cmml" xref="A0.Ex5.m2.1.1"><times id="A0.Ex5.m2.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex5.m2.1.1.1"></times><ci id="A0.Ex5.m2.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex5.m2.1.1.2">𝛾</ci><apply id="A0.Ex5.m2.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex5.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex5.m2.1.1.3.1.cmml" xref="A0.Ex5.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A0.Ex5.m2.1.1.3.2.cmml" xref="A0.Ex5.m2.1.1.3.2">𝜆</ci><ci id="A0.Ex5.m2.1.1.3.3.cmml" xref="A0.Ex5.m2.1.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex5.m2.1c">\displaystyle\gamma\lambda_{n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex5.m2.1d">italic_γ italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\varpi\gamma\lambda_{n}\quad(\gamma\lambda_{n}\neq 0)" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex5.m3.2"><semantics id="A0.Ex5.m3.2a"><mrow id="A0.Ex5.m3.2.2" xref="A0.Ex5.m3.2.2.cmml"><mi id="A0.Ex5.m3.2.2.4" xref="A0.Ex5.m3.2.2.4.cmml"></mi><mo id="A0.Ex5.m3.2.2.3" xref="A0.Ex5.m3.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="A0.Ex5.m3.2.2.2.2" xref="A0.Ex5.m3.2.2.2.3.cmml"><mrow id="A0.Ex5.m3.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex5.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex5.m3.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex5.m3.1.1.1.1.1.2.cmml">ϖ</mi><mo id="A0.Ex5.m3.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex5.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A0.Ex5.m3.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex5.m3.1.1.1.1.1.3.cmml">γ</mi><mo id="A0.Ex5.m3.1.1.1.1.1.1a" xref="A0.Ex5.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A0.Ex5.m3.1.1.1.1.1.4" xref="A0.Ex5.m3.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A0.Ex5.m3.1.1.1.1.1.4.2" xref="A0.Ex5.m3.1.1.1.1.1.4.2.cmml">λ</mi><mi id="A0.Ex5.m3.1.1.1.1.1.4.3" xref="A0.Ex5.m3.1.1.1.1.1.4.3.cmml">n</mi></msub></mrow><mspace id="A0.Ex5.m3.2.2.2.2.3" width="1em" xref="A0.Ex5.m3.2.2.2.3.cmml"></mspace><mrow id="A0.Ex5.m3.2.2.2.2.2.1" xref="A0.Ex5.m3.2.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex5.m3.2.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex5.m3.2.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.Ex5.m3.2.2.2.2.2.1.1" xref="A0.Ex5.m3.2.2.2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A0.Ex5.m3.2.2.2.2.2.1.1.2" xref="A0.Ex5.m3.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="A0.Ex5.m3.2.2.2.2.2.1.1.2.2" xref="A0.Ex5.m3.2.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mo id="A0.Ex5.m3.2.2.2.2.2.1.1.2.1" xref="A0.Ex5.m3.2.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A0.Ex5.m3.2.2.2.2.2.1.1.2.3" xref="A0.Ex5.m3.2.2.2.2.2.1.1.2.3.cmml"><mi id="A0.Ex5.m3.2.2.2.2.2.1.1.2.3.2" xref="A0.Ex5.m3.2.2.2.2.2.1.1.2.3.2.cmml">λ</mi><mi id="A0.Ex5.m3.2.2.2.2.2.1.1.2.3.3" xref="A0.Ex5.m3.2.2.2.2.2.1.1.2.3.3.cmml">n</mi></msub></mrow><mo id="A0.Ex5.m3.2.2.2.2.2.1.1.1" xref="A0.Ex5.m3.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">≠</mo><mn id="A0.Ex5.m3.2.2.2.2.2.1.1.3" xref="A0.Ex5.m3.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="A0.Ex5.m3.2.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex5.m3.2.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex5.m3.2b"><apply id="A0.Ex5.m3.2.2.cmml" xref="A0.Ex5.m3.2.2"><eq id="A0.Ex5.m3.2.2.3.cmml" xref="A0.Ex5.m3.2.2.3"></eq><csymbol cd="latexml" id="A0.Ex5.m3.2.2.4.cmml" xref="A0.Ex5.m3.2.2.4">absent</csymbol><list id="A0.Ex5.m3.2.2.2.3.cmml" xref="A0.Ex5.m3.2.2.2.2"><apply id="A0.Ex5.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex5.m3.1.1.1.1.1"><times id="A0.Ex5.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex5.m3.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="A0.Ex5.m3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex5.m3.1.1.1.1.1.2">italic-ϖ</ci><ci id="A0.Ex5.m3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex5.m3.1.1.1.1.1.3">𝛾</ci><apply id="A0.Ex5.m3.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A0.Ex5.m3.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex5.m3.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A0.Ex5.m3.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="A0.Ex5.m3.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A0.Ex5.m3.1.1.1.1.1.4.2">𝜆</ci><ci id="A0.Ex5.m3.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A0.Ex5.m3.1.1.1.1.1.4.3">𝑛</ci></apply></apply><apply id="A0.Ex5.m3.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="A0.Ex5.m3.2.2.2.2.2.1"><neq id="A0.Ex5.m3.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex5.m3.2.2.2.2.2.1.1.1"></neq><apply id="A0.Ex5.m3.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex5.m3.2.2.2.2.2.1.1.2"><times id="A0.Ex5.m3.2.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="A0.Ex5.m3.2.2.2.2.2.1.1.2.1"></times><ci id="A0.Ex5.m3.2.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="A0.Ex5.m3.2.2.2.2.2.1.1.2.2">𝛾</ci><apply id="A0.Ex5.m3.2.2.2.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="A0.Ex5.m3.2.2.2.2.2.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex5.m3.2.2.2.2.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="A0.Ex5.m3.2.2.2.2.2.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="A0.Ex5.m3.2.2.2.2.2.1.1.2.3.2.cmml" xref="A0.Ex5.m3.2.2.2.2.2.1.1.2.3.2">𝜆</ci><ci id="A0.Ex5.m3.2.2.2.2.2.1.1.2.3.3.cmml" xref="A0.Ex5.m3.2.2.2.2.2.1.1.2.3.3">𝑛</ci></apply></apply><cn id="A0.Ex5.m3.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A0.Ex5.m3.2.2.2.2.2.1.1.3">0</cn></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex5.m3.2c">\displaystyle=\varpi\gamma\lambda_{n}\quad(\gamma\lambda_{n}\neq 0)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex5.m3.2d">= italic_ϖ italic_γ italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ( italic_γ italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ≠ 0 )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A0.Ex6"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\Rightarrow{}" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex6.m1.1"><semantics id="A0.Ex6.m1.1a"><mo id="A0.Ex6.m1.1.1" stretchy="false" xref="A0.Ex6.m1.1.1.cmml">⇒</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex6.m1.1b"><ci id="A0.Ex6.m1.1.1.cmml" xref="A0.Ex6.m1.1.1">⇒</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex6.m1.1c">\displaystyle\Rightarrow{}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex6.m1.1d">⇒</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle 1" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex6.m2.1"><semantics id="A0.Ex6.m2.1a"><mn id="A0.Ex6.m2.1.1" xref="A0.Ex6.m2.1.1.cmml">1</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex6.m2.1b"><cn id="A0.Ex6.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="A0.Ex6.m2.1.1">1</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex6.m2.1c">\displaystyle 1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex6.m2.1d">1</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\varpi\,," class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex6.m3.1"><semantics id="A0.Ex6.m3.1a"><mrow id="A0.Ex6.m3.1.1.1" xref="A0.Ex6.m3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A0.Ex6.m3.1.1.1.1" xref="A0.Ex6.m3.1.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex6.m3.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex6.m3.1.1.1.1.2.cmml"></mi><mo id="A0.Ex6.m3.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex6.m3.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="A0.Ex6.m3.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex6.m3.1.1.1.1.3.cmml">ϖ</mi></mrow><mo id="A0.Ex6.m3.1.1.1.2" lspace="0.170em" xref="A0.Ex6.m3.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex6.m3.1b"><apply id="A0.Ex6.m3.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex6.m3.1.1.1"><eq id="A0.Ex6.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex6.m3.1.1.1.1.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="A0.Ex6.m3.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex6.m3.1.1.1.1.2">absent</csymbol><ci id="A0.Ex6.m3.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex6.m3.1.1.1.1.3">italic-ϖ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex6.m3.1c">\displaystyle=\varpi\,,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex6.m3.1d">= italic_ϖ ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.2.p2.8">which contradicts the original design <math alttext="\varpi<1" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.2.p2.8.m1.1"><semantics id="S5.2.p2.8.m1.1a"><mrow id="S5.2.p2.8.m1.1.1" xref="S5.2.p2.8.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.2.p2.8.m1.1.1.2" xref="S5.2.p2.8.m1.1.1.2.cmml">ϖ</mi><mo id="S5.2.p2.8.m1.1.1.1" xref="S5.2.p2.8.m1.1.1.1.cmml"><</mo><mn id="S5.2.p2.8.m1.1.1.3" xref="S5.2.p2.8.m1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.2.p2.8.m1.1b"><apply id="S5.2.p2.8.m1.1.1.cmml" xref="S5.2.p2.8.m1.1.1"><lt id="S5.2.p2.8.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.2.p2.8.m1.1.1.1"></lt><ci id="S5.2.p2.8.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.2.p2.8.m1.1.1.2">italic-ϖ</ci><cn id="S5.2.p2.8.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.2.p2.8.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.2.p2.8.m1.1c">\varpi<1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.2.p2.8.m1.1d">italic_ϖ < 1</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S5.3.p3"> <p class="ltx_p" id="S5.3.p3.14">It has been already noted by the discussion after (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E15" title="Equation 15 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">15</span></a>) that sequence <math alttext="(\mathbf{x}_{m})_{m\in\mathbb{N}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.3.p3.1.m1.1"><semantics id="S5.3.p3.1.m1.1a"><msub id="S5.3.p3.1.m1.1.1" xref="S5.3.p3.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.3.p3.1.m1.1.1.1.1" xref="S5.3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.3.p3.1.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S5.3.p3.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mi id="S5.3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S5.3.p3.1.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S5.3.p3.1.m1.1.1.3" xref="S5.3.p3.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.3.p3.1.m1.1.1.3.2" xref="S5.3.p3.1.m1.1.1.3.2.cmml">m</mi><mo id="S5.3.p3.1.m1.1.1.3.1" xref="S5.3.p3.1.m1.1.1.3.1.cmml">∈</mo><mi id="S5.3.p3.1.m1.1.1.3.3" xref="S5.3.p3.1.m1.1.1.3.3.cmml">ℕ</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.3.p3.1.m1.1b"><apply id="S5.3.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.3.p3.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.3.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.3.p3.1.m1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S5.3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.3.p3.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.3.p3.1.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.2">𝐱</ci><ci id="S5.3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.3">𝑚</ci></apply><apply id="S5.3.p3.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.3.p3.1.m1.1.1.3"><in id="S5.3.p3.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.3.p3.1.m1.1.1.3.1"></in><ci id="S5.3.p3.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.3.p3.1.m1.1.1.3.2">𝑚</ci><ci id="S5.3.p3.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.3.p3.1.m1.1.1.3.3">ℕ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.3.p3.1.m1.1c">(\mathbf{x}_{m})_{m\in\mathbb{N}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.3.p3.1.m1.1d">( bold_x start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_m ∈ blackboard_N end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> converges. Hence, <math alttext="(\mathbf{a}_{m}=\mathbf{U}^{\intercal}\mathbf{x}_{m})_{m\in\mathbb{N}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.3.p3.2.m2.1"><semantics id="S5.3.p3.2.m2.1a"><msub id="S5.3.p3.2.m2.1.1" xref="S5.3.p3.2.m2.1.1.cmml"><mrow id="S5.3.p3.2.m2.1.1.1.1" xref="S5.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.3.p3.2.m2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1" xref="S5.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S5.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.2" xref="S5.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐚</mi><mi id="S5.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S5.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S5.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.3" xref="S5.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml"><msup id="S5.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">𝐔</mi><mo id="S5.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">⊺</mo></msup><mo id="S5.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">𝐱</mi><mi id="S5.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">m</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S5.3.p3.2.m2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S5.3.p3.2.m2.1.1.3" xref="S5.3.p3.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S5.3.p3.2.m2.1.1.3.2" xref="S5.3.p3.2.m2.1.1.3.2.cmml">m</mi><mo id="S5.3.p3.2.m2.1.1.3.1" xref="S5.3.p3.2.m2.1.1.3.1.cmml">∈</mo><mi id="S5.3.p3.2.m2.1.1.3.3" xref="S5.3.p3.2.m2.1.1.3.3.cmml">ℕ</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.3.p3.2.m2.1b"><apply id="S5.3.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.3.p3.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.3.p3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.3.p3.2.m2.1.1">subscript</csymbol><apply id="S5.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.3.p3.2.m2.1.1.1.1"><eq id="S5.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S5.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.2.2">𝐚</ci><ci id="S5.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="S5.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.3"><times id="S5.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S5.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S5.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.3.2.2">𝐔</ci><ci id="S5.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.3.2.3">⊺</ci></apply><apply id="S5.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.3.3.2">𝐱</ci><ci id="S5.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑚</ci></apply></apply></apply><apply id="S5.3.p3.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.3.p3.2.m2.1.1.3"><in id="S5.3.p3.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.3.p3.2.m2.1.1.3.1"></in><ci id="S5.3.p3.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S5.3.p3.2.m2.1.1.3.2">𝑚</ci><ci id="S5.3.p3.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S5.3.p3.2.m2.1.1.3.3">ℕ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.3.p3.2.m2.1c">(\mathbf{a}_{m}=\mathbf{U}^{\intercal}\mathbf{x}_{m})_{m\in\mathbb{N}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.3.p3.2.m2.1d">( bold_a start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT = bold_U start_POSTSUPERSCRIPT ⊺ end_POSTSUPERSCRIPT bold_x start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_m ∈ blackboard_N end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> converges <math alttext="\Rightarrow(\Delta_{m}^{(n)-})_{m\in\mathbb{N}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.3.p3.3.m3.2"><semantics id="S5.3.p3.3.m3.2a"><mrow id="S5.3.p3.3.m3.2.2" xref="S5.3.p3.3.m3.2.2.cmml"><mi id="S5.3.p3.3.m3.2.2.3" xref="S5.3.p3.3.m3.2.2.3.cmml"></mi><mo id="S5.3.p3.3.m3.2.2.2" stretchy="false" xref="S5.3.p3.3.m3.2.2.2.cmml">⇒</mo><msub id="S5.3.p3.3.m3.2.2.1" xref="S5.3.p3.3.m3.2.2.1.cmml"><mrow id="S5.3.p3.3.m3.2.2.1.1.1" xref="S5.3.p3.3.m3.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.3.p3.3.m3.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.3.p3.3.m3.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="S5.3.p3.3.m3.2.2.1.1.1.1" xref="S5.3.p3.3.m3.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.3.p3.3.m3.2.2.1.1.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="S5.3.p3.3.m3.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">Δ</mi><mi id="S5.3.p3.3.m3.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="S5.3.p3.3.m3.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml">m</mi><mrow id="S5.3.p3.3.m3.1.1.1" xref="S5.3.p3.3.m3.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.3.p3.3.m3.1.1.1.3.2" xref="S5.3.p3.3.m3.1.1.1.cmml"><mo id="S5.3.p3.3.m3.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.3.p3.3.m3.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S5.3.p3.3.m3.1.1.1.1" xref="S5.3.p3.3.m3.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S5.3.p3.3.m3.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.3.p3.3.m3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.3.p3.3.m3.1.1.1.4" xref="S5.3.p3.3.m3.1.1.1.4.cmml">−</mo></mrow></msubsup><mo id="S5.3.p3.3.m3.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.3.p3.3.m3.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S5.3.p3.3.m3.2.2.1.3" xref="S5.3.p3.3.m3.2.2.1.3.cmml"><mi id="S5.3.p3.3.m3.2.2.1.3.2" xref="S5.3.p3.3.m3.2.2.1.3.2.cmml">m</mi><mo id="S5.3.p3.3.m3.2.2.1.3.1" xref="S5.3.p3.3.m3.2.2.1.3.1.cmml">∈</mo><mi id="S5.3.p3.3.m3.2.2.1.3.3" xref="S5.3.p3.3.m3.2.2.1.3.3.cmml">ℕ</mi></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.3.p3.3.m3.2b"><apply id="S5.3.p3.3.m3.2.2.cmml" xref="S5.3.p3.3.m3.2.2"><ci id="S5.3.p3.3.m3.2.2.2.cmml" xref="S5.3.p3.3.m3.2.2.2">⇒</ci><csymbol cd="latexml" id="S5.3.p3.3.m3.2.2.3.cmml" xref="S5.3.p3.3.m3.2.2.3">absent</csymbol><apply id="S5.3.p3.3.m3.2.2.1.cmml" xref="S5.3.p3.3.m3.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.3.p3.3.m3.2.2.1.2.cmml" xref="S5.3.p3.3.m3.2.2.1">subscript</csymbol><apply id="S5.3.p3.3.m3.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.3.p3.3.m3.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.3.p3.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.3.p3.3.m3.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.3.p3.3.m3.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.3.p3.3.m3.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.3.p3.3.m3.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.3.p3.3.m3.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.3.p3.3.m3.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.3.p3.3.m3.2.2.1.1.1.1.2.2">Δ</ci><ci id="S5.3.p3.3.m3.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.3.p3.3.m3.2.2.1.1.1.1.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="S5.3.p3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.3.p3.3.m3.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.3.p3.3.m3.1.1.1.2.cmml" xref="S5.3.p3.3.m3.1.1.1">limit-from</csymbol><ci id="S5.3.p3.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S5.3.p3.3.m3.1.1.1.1">𝑛</ci><minus id="S5.3.p3.3.m3.1.1.1.4.cmml" xref="S5.3.p3.3.m3.1.1.1.4"></minus></apply></apply><apply id="S5.3.p3.3.m3.2.2.1.3.cmml" xref="S5.3.p3.3.m3.2.2.1.3"><in id="S5.3.p3.3.m3.2.2.1.3.1.cmml" xref="S5.3.p3.3.m3.2.2.1.3.1"></in><ci id="S5.3.p3.3.m3.2.2.1.3.2.cmml" xref="S5.3.p3.3.m3.2.2.1.3.2">𝑚</ci><ci id="S5.3.p3.3.m3.2.2.1.3.3.cmml" xref="S5.3.p3.3.m3.2.2.1.3.3">ℕ</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.3.p3.3.m3.2c">\Rightarrow(\Delta_{m}^{(n)-})_{m\in\mathbb{N}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.3.p3.3.m3.2d">⇒ ( roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) - end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_m ∈ blackboard_N end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> converges <math alttext="\Rightarrow(\Delta_{m}^{(n)-})_{m\in\mathbb{N}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.3.p3.4.m4.2"><semantics id="S5.3.p3.4.m4.2a"><mrow id="S5.3.p3.4.m4.2.2" xref="S5.3.p3.4.m4.2.2.cmml"><mi id="S5.3.p3.4.m4.2.2.3" xref="S5.3.p3.4.m4.2.2.3.cmml"></mi><mo id="S5.3.p3.4.m4.2.2.2" stretchy="false" xref="S5.3.p3.4.m4.2.2.2.cmml">⇒</mo><msub id="S5.3.p3.4.m4.2.2.1" xref="S5.3.p3.4.m4.2.2.1.cmml"><mrow id="S5.3.p3.4.m4.2.2.1.1.1" xref="S5.3.p3.4.m4.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.3.p3.4.m4.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.3.p3.4.m4.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="S5.3.p3.4.m4.2.2.1.1.1.1" xref="S5.3.p3.4.m4.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.3.p3.4.m4.2.2.1.1.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="S5.3.p3.4.m4.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">Δ</mi><mi id="S5.3.p3.4.m4.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="S5.3.p3.4.m4.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml">m</mi><mrow id="S5.3.p3.4.m4.1.1.1" xref="S5.3.p3.4.m4.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.3.p3.4.m4.1.1.1.3.2" xref="S5.3.p3.4.m4.1.1.1.cmml"><mo id="S5.3.p3.4.m4.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.3.p3.4.m4.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S5.3.p3.4.m4.1.1.1.1" xref="S5.3.p3.4.m4.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S5.3.p3.4.m4.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.3.p3.4.m4.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.3.p3.4.m4.1.1.1.4" xref="S5.3.p3.4.m4.1.1.1.4.cmml">−</mo></mrow></msubsup><mo id="S5.3.p3.4.m4.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.3.p3.4.m4.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S5.3.p3.4.m4.2.2.1.3" xref="S5.3.p3.4.m4.2.2.1.3.cmml"><mi id="S5.3.p3.4.m4.2.2.1.3.2" xref="S5.3.p3.4.m4.2.2.1.3.2.cmml">m</mi><mo id="S5.3.p3.4.m4.2.2.1.3.1" xref="S5.3.p3.4.m4.2.2.1.3.1.cmml">∈</mo><mi id="S5.3.p3.4.m4.2.2.1.3.3" xref="S5.3.p3.4.m4.2.2.1.3.3.cmml">ℕ</mi></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.3.p3.4.m4.2b"><apply id="S5.3.p3.4.m4.2.2.cmml" xref="S5.3.p3.4.m4.2.2"><ci id="S5.3.p3.4.m4.2.2.2.cmml" xref="S5.3.p3.4.m4.2.2.2">⇒</ci><csymbol cd="latexml" id="S5.3.p3.4.m4.2.2.3.cmml" xref="S5.3.p3.4.m4.2.2.3">absent</csymbol><apply id="S5.3.p3.4.m4.2.2.1.cmml" xref="S5.3.p3.4.m4.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.3.p3.4.m4.2.2.1.2.cmml" xref="S5.3.p3.4.m4.2.2.1">subscript</csymbol><apply id="S5.3.p3.4.m4.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.3.p3.4.m4.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.3.p3.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.3.p3.4.m4.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.3.p3.4.m4.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.3.p3.4.m4.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.3.p3.4.m4.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.3.p3.4.m4.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.3.p3.4.m4.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.3.p3.4.m4.2.2.1.1.1.1.2.2">Δ</ci><ci id="S5.3.p3.4.m4.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.3.p3.4.m4.2.2.1.1.1.1.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="S5.3.p3.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S5.3.p3.4.m4.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.3.p3.4.m4.1.1.1.2.cmml" xref="S5.3.p3.4.m4.1.1.1">limit-from</csymbol><ci id="S5.3.p3.4.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S5.3.p3.4.m4.1.1.1.1">𝑛</ci><minus id="S5.3.p3.4.m4.1.1.1.4.cmml" xref="S5.3.p3.4.m4.1.1.1.4"></minus></apply></apply><apply id="S5.3.p3.4.m4.2.2.1.3.cmml" xref="S5.3.p3.4.m4.2.2.1.3"><in id="S5.3.p3.4.m4.2.2.1.3.1.cmml" xref="S5.3.p3.4.m4.2.2.1.3.1"></in><ci id="S5.3.p3.4.m4.2.2.1.3.2.cmml" xref="S5.3.p3.4.m4.2.2.1.3.2">𝑚</ci><ci id="S5.3.p3.4.m4.2.2.1.3.3.cmml" xref="S5.3.p3.4.m4.2.2.1.3.3">ℕ</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.3.p3.4.m4.2c">\Rightarrow(\Delta_{m}^{(n)-})_{m\in\mathbb{N}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.3.p3.4.m4.2d">⇒ ( roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) - end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_m ∈ blackboard_N end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is a Cauchy sequence <math alttext="\Rightarrow\lvert\Delta_{m+1}^{(n)-}-\Delta_{m}^{(n)-}\rvert" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.3.p3.5.m5.3"><semantics id="S5.3.p3.5.m5.3a"><mrow id="S5.3.p3.5.m5.3.3" xref="S5.3.p3.5.m5.3.3.cmml"><mi id="S5.3.p3.5.m5.3.3.3" xref="S5.3.p3.5.m5.3.3.3.cmml"></mi><mo id="S5.3.p3.5.m5.3.3.2" stretchy="false" xref="S5.3.p3.5.m5.3.3.2.cmml">⇒</mo><mrow id="S5.3.p3.5.m5.3.3.1.1" xref="S5.3.p3.5.m5.3.3.1.2.cmml"><mo id="S5.3.p3.5.m5.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.3.p3.5.m5.3.3.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S5.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1" xref="S5.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1.cmml"><msubsup id="S5.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1.2" xref="S5.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S5.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1.2.2.2.cmml">Δ</mi><mrow id="S5.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1.2.2.3" xref="S5.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S5.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1.2.2.3.2" xref="S5.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1.2.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="S5.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1.2.2.3.1" xref="S5.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1.2.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S5.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1.2.2.3.3" xref="S5.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="S5.3.p3.5.m5.1.1.1" xref="S5.3.p3.5.m5.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.3.p3.5.m5.1.1.1.3.2" xref="S5.3.p3.5.m5.1.1.1.cmml"><mo id="S5.3.p3.5.m5.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.3.p3.5.m5.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S5.3.p3.5.m5.1.1.1.1" xref="S5.3.p3.5.m5.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S5.3.p3.5.m5.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.3.p3.5.m5.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.3.p3.5.m5.1.1.1.4" xref="S5.3.p3.5.m5.1.1.1.4.cmml">−</mo></mrow></msubsup><mo id="S5.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1.1" xref="S5.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1.1.cmml">−</mo><msubsup id="S5.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1.3" xref="S5.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S5.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1.3.2.2.cmml">Δ</mi><mi id="S5.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1.3.2.3" xref="S5.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1.3.2.3.cmml">m</mi><mrow id="S5.3.p3.5.m5.2.2.1" xref="S5.3.p3.5.m5.2.2.1.cmml"><mrow id="S5.3.p3.5.m5.2.2.1.3.2" xref="S5.3.p3.5.m5.2.2.1.cmml"><mo id="S5.3.p3.5.m5.2.2.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.3.p3.5.m5.2.2.1.cmml">(</mo><mi id="S5.3.p3.5.m5.2.2.1.1" xref="S5.3.p3.5.m5.2.2.1.1.cmml">n</mi><mo id="S5.3.p3.5.m5.2.2.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.3.p3.5.m5.2.2.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.3.p3.5.m5.2.2.1.4" xref="S5.3.p3.5.m5.2.2.1.4.cmml">−</mo></mrow></msubsup></mrow><mo id="S5.3.p3.5.m5.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.3.p3.5.m5.3.3.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.3.p3.5.m5.3b"><apply id="S5.3.p3.5.m5.3.3.cmml" xref="S5.3.p3.5.m5.3.3"><ci id="S5.3.p3.5.m5.3.3.2.cmml" xref="S5.3.p3.5.m5.3.3.2">⇒</ci><csymbol cd="latexml" id="S5.3.p3.5.m5.3.3.3.cmml" xref="S5.3.p3.5.m5.3.3.3">absent</csymbol><apply id="S5.3.p3.5.m5.3.3.1.2.cmml" xref="S5.3.p3.5.m5.3.3.1.1"><abs id="S5.3.p3.5.m5.3.3.1.2.1.cmml" xref="S5.3.p3.5.m5.3.3.1.1.2"></abs><apply id="S5.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1.cmml" xref="S5.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1"><minus id="S5.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S5.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1.1"></minus><apply id="S5.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S5.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S5.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1.2.2.2">Δ</ci><apply id="S5.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1.2.2.3"><plus id="S5.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S5.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1.2.2.3.1"></plus><ci id="S5.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S5.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1.2.2.3.2">𝑚</ci><cn id="S5.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S5.3.p3.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S5.3.p3.5.m5.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.3.p3.5.m5.1.1.1.2.cmml" xref="S5.3.p3.5.m5.1.1.1">limit-from</csymbol><ci id="S5.3.p3.5.m5.1.1.1.1.cmml" xref="S5.3.p3.5.m5.1.1.1.1">𝑛</ci><minus id="S5.3.p3.5.m5.1.1.1.4.cmml" xref="S5.3.p3.5.m5.1.1.1.4"></minus></apply></apply><apply id="S5.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S5.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S5.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1.3.2.2">Δ</ci><ci id="S5.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1.3.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="S5.3.p3.5.m5.2.2.1.cmml" xref="S5.3.p3.5.m5.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.3.p3.5.m5.2.2.1.2.cmml" xref="S5.3.p3.5.m5.2.2.1">limit-from</csymbol><ci id="S5.3.p3.5.m5.2.2.1.1.cmml" xref="S5.3.p3.5.m5.2.2.1.1">𝑛</ci><minus id="S5.3.p3.5.m5.2.2.1.4.cmml" xref="S5.3.p3.5.m5.2.2.1.4"></minus></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.3.p3.5.m5.3c">\Rightarrow\lvert\Delta_{m+1}^{(n)-}-\Delta_{m}^{(n)-}\rvert</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.3.p3.5.m5.3d">⇒ | roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT italic_m + 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) - end_POSTSUPERSCRIPT - roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) - end_POSTSUPERSCRIPT |</annotation></semantics></math> converges to zero. Because <math alttext="\mathbf{x}_{-1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.3.p3.6.m6.1"><semantics id="S5.3.p3.6.m6.1a"><msub id="S5.3.p3.6.m6.1.1" xref="S5.3.p3.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S5.3.p3.6.m6.1.1.2" xref="S5.3.p3.6.m6.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mrow id="S5.3.p3.6.m6.1.1.3" xref="S5.3.p3.6.m6.1.1.3.cmml"><mo id="S5.3.p3.6.m6.1.1.3a" xref="S5.3.p3.6.m6.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="S5.3.p3.6.m6.1.1.3.2" xref="S5.3.p3.6.m6.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.3.p3.6.m6.1b"><apply id="S5.3.p3.6.m6.1.1.cmml" xref="S5.3.p3.6.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.3.p3.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S5.3.p3.6.m6.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.3.p3.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S5.3.p3.6.m6.1.1.2">𝐱</ci><apply id="S5.3.p3.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S5.3.p3.6.m6.1.1.3"><minus id="S5.3.p3.6.m6.1.1.3.1.cmml" xref="S5.3.p3.6.m6.1.1.3"></minus><cn id="S5.3.p3.6.m6.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.3.p3.6.m6.1.1.3.2">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.3.p3.6.m6.1c">\mathbf{x}_{-1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.3.p3.6.m6.1d">bold_x start_POSTSUBSCRIPT - 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> can be arbitrarily fixed, it can be chosen so that <math alttext="\Delta_{0}^{(n)-}\neq 0" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.3.p3.7.m7.1"><semantics id="S5.3.p3.7.m7.1a"><mrow id="S5.3.p3.7.m7.1.2" xref="S5.3.p3.7.m7.1.2.cmml"><msubsup id="S5.3.p3.7.m7.1.2.2" xref="S5.3.p3.7.m7.1.2.2.cmml"><mi id="S5.3.p3.7.m7.1.2.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S5.3.p3.7.m7.1.2.2.2.2.cmml">Δ</mi><mn id="S5.3.p3.7.m7.1.2.2.2.3" xref="S5.3.p3.7.m7.1.2.2.2.3.cmml">0</mn><mrow id="S5.3.p3.7.m7.1.1.1" xref="S5.3.p3.7.m7.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.3.p3.7.m7.1.1.1.3.2" xref="S5.3.p3.7.m7.1.1.1.cmml"><mo id="S5.3.p3.7.m7.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.3.p3.7.m7.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S5.3.p3.7.m7.1.1.1.1" xref="S5.3.p3.7.m7.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S5.3.p3.7.m7.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.3.p3.7.m7.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.3.p3.7.m7.1.1.1.4" xref="S5.3.p3.7.m7.1.1.1.4.cmml">−</mo></mrow></msubsup><mo id="S5.3.p3.7.m7.1.2.1" xref="S5.3.p3.7.m7.1.2.1.cmml">≠</mo><mn id="S5.3.p3.7.m7.1.2.3" xref="S5.3.p3.7.m7.1.2.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.3.p3.7.m7.1b"><apply id="S5.3.p3.7.m7.1.2.cmml" xref="S5.3.p3.7.m7.1.2"><neq id="S5.3.p3.7.m7.1.2.1.cmml" xref="S5.3.p3.7.m7.1.2.1"></neq><apply id="S5.3.p3.7.m7.1.2.2.cmml" xref="S5.3.p3.7.m7.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.3.p3.7.m7.1.2.2.1.cmml" xref="S5.3.p3.7.m7.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S5.3.p3.7.m7.1.2.2.2.cmml" xref="S5.3.p3.7.m7.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.3.p3.7.m7.1.2.2.2.1.cmml" xref="S5.3.p3.7.m7.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.3.p3.7.m7.1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.3.p3.7.m7.1.2.2.2.2">Δ</ci><cn id="S5.3.p3.7.m7.1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.3.p3.7.m7.1.2.2.2.3">0</cn></apply><apply id="S5.3.p3.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S5.3.p3.7.m7.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.3.p3.7.m7.1.1.1.2.cmml" xref="S5.3.p3.7.m7.1.1.1">limit-from</csymbol><ci id="S5.3.p3.7.m7.1.1.1.1.cmml" xref="S5.3.p3.7.m7.1.1.1.1">𝑛</ci><minus id="S5.3.p3.7.m7.1.1.1.4.cmml" xref="S5.3.p3.7.m7.1.1.1.4"></minus></apply></apply><cn id="S5.3.p3.7.m7.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.3.p3.7.m7.1.2.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.3.p3.7.m7.1c">\Delta_{0}^{(n)-}\neq 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.3.p3.7.m7.1d">roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) - end_POSTSUPERSCRIPT ≠ 0</annotation></semantics></math>, <math alttext="\forall n\in\mathcal{N}\setminus\{N\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.3.p3.8.m8.1"><semantics id="S5.3.p3.8.m8.1a"><mrow id="S5.3.p3.8.m8.1.2" xref="S5.3.p3.8.m8.1.2.cmml"><mrow id="S5.3.p3.8.m8.1.2.2" xref="S5.3.p3.8.m8.1.2.2.cmml"><mo id="S5.3.p3.8.m8.1.2.2.1" rspace="0.167em" xref="S5.3.p3.8.m8.1.2.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S5.3.p3.8.m8.1.2.2.2" xref="S5.3.p3.8.m8.1.2.2.2.cmml">n</mi></mrow><mo id="S5.3.p3.8.m8.1.2.1" xref="S5.3.p3.8.m8.1.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S5.3.p3.8.m8.1.2.3" xref="S5.3.p3.8.m8.1.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.3.p3.8.m8.1.2.3.2" xref="S5.3.p3.8.m8.1.2.3.2.cmml">𝒩</mi><mo id="S5.3.p3.8.m8.1.2.3.1" xref="S5.3.p3.8.m8.1.2.3.1.cmml">∖</mo><mrow id="S5.3.p3.8.m8.1.2.3.3.2" xref="S5.3.p3.8.m8.1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S5.3.p3.8.m8.1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.3.p3.8.m8.1.2.3.3.1.cmml">{</mo><mi id="S5.3.p3.8.m8.1.1" xref="S5.3.p3.8.m8.1.1.cmml">N</mi><mo id="S5.3.p3.8.m8.1.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.3.p3.8.m8.1.2.3.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.3.p3.8.m8.1b"><apply id="S5.3.p3.8.m8.1.2.cmml" xref="S5.3.p3.8.m8.1.2"><in id="S5.3.p3.8.m8.1.2.1.cmml" xref="S5.3.p3.8.m8.1.2.1"></in><apply id="S5.3.p3.8.m8.1.2.2.cmml" xref="S5.3.p3.8.m8.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.3.p3.8.m8.1.2.2.1.cmml" xref="S5.3.p3.8.m8.1.2.2.1">for-all</csymbol><ci id="S5.3.p3.8.m8.1.2.2.2.cmml" xref="S5.3.p3.8.m8.1.2.2.2">𝑛</ci></apply><apply id="S5.3.p3.8.m8.1.2.3.cmml" xref="S5.3.p3.8.m8.1.2.3"><setdiff id="S5.3.p3.8.m8.1.2.3.1.cmml" xref="S5.3.p3.8.m8.1.2.3.1"></setdiff><ci id="S5.3.p3.8.m8.1.2.3.2.cmml" xref="S5.3.p3.8.m8.1.2.3.2">𝒩</ci><set id="S5.3.p3.8.m8.1.2.3.3.1.cmml" xref="S5.3.p3.8.m8.1.2.3.3.2"><ci id="S5.3.p3.8.m8.1.1.cmml" xref="S5.3.p3.8.m8.1.1">𝑁</ci></set></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.3.p3.8.m8.1c">\forall n\in\mathcal{N}\setminus\{N\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.3.p3.8.m8.1d">∀ italic_n ∈ caligraphic_N ∖ { italic_N }</annotation></semantics></math>; see (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#A0.E35.4" title="Equation 35d ‣ Equation 35 ‣ Proof: ‣ V Conclusions ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">35d</span></a>). Notice now that <math alttext="\lvert\Delta_{m+1}^{(n)-}-\Delta_{m}^{(n)-}\rvert=\lvert\theta_{n}^{+}\rvert^{% m}\,\lvert\theta_{n}^{+}-1\rvert\,\lvert\Delta_{0}^{(n)-}\rvert" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.3.p3.9.m9.7"><semantics id="S5.3.p3.9.m9.7a"><mrow id="S5.3.p3.9.m9.7.7" xref="S5.3.p3.9.m9.7.7.cmml"><mrow id="S5.3.p3.9.m9.4.4.1.1" xref="S5.3.p3.9.m9.4.4.1.2.cmml"><mo id="S5.3.p3.9.m9.4.4.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.3.p3.9.m9.4.4.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S5.3.p3.9.m9.4.4.1.1.1" xref="S5.3.p3.9.m9.4.4.1.1.1.cmml"><msubsup id="S5.3.p3.9.m9.4.4.1.1.1.2" xref="S5.3.p3.9.m9.4.4.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.3.p3.9.m9.4.4.1.1.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S5.3.p3.9.m9.4.4.1.1.1.2.2.2.cmml">Δ</mi><mrow id="S5.3.p3.9.m9.4.4.1.1.1.2.2.3" xref="S5.3.p3.9.m9.4.4.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S5.3.p3.9.m9.4.4.1.1.1.2.2.3.2" xref="S5.3.p3.9.m9.4.4.1.1.1.2.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="S5.3.p3.9.m9.4.4.1.1.1.2.2.3.1" xref="S5.3.p3.9.m9.4.4.1.1.1.2.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S5.3.p3.9.m9.4.4.1.1.1.2.2.3.3" xref="S5.3.p3.9.m9.4.4.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="S5.3.p3.9.m9.1.1.1" xref="S5.3.p3.9.m9.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.3.p3.9.m9.1.1.1.3.2" xref="S5.3.p3.9.m9.1.1.1.cmml"><mo id="S5.3.p3.9.m9.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.3.p3.9.m9.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S5.3.p3.9.m9.1.1.1.1" xref="S5.3.p3.9.m9.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S5.3.p3.9.m9.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.3.p3.9.m9.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.3.p3.9.m9.1.1.1.4" xref="S5.3.p3.9.m9.1.1.1.4.cmml">−</mo></mrow></msubsup><mo id="S5.3.p3.9.m9.4.4.1.1.1.1" xref="S5.3.p3.9.m9.4.4.1.1.1.1.cmml">−</mo><msubsup id="S5.3.p3.9.m9.4.4.1.1.1.3" xref="S5.3.p3.9.m9.4.4.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.3.p3.9.m9.4.4.1.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S5.3.p3.9.m9.4.4.1.1.1.3.2.2.cmml">Δ</mi><mi id="S5.3.p3.9.m9.4.4.1.1.1.3.2.3" xref="S5.3.p3.9.m9.4.4.1.1.1.3.2.3.cmml">m</mi><mrow id="S5.3.p3.9.m9.2.2.1" xref="S5.3.p3.9.m9.2.2.1.cmml"><mrow id="S5.3.p3.9.m9.2.2.1.3.2" xref="S5.3.p3.9.m9.2.2.1.cmml"><mo id="S5.3.p3.9.m9.2.2.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.3.p3.9.m9.2.2.1.cmml">(</mo><mi id="S5.3.p3.9.m9.2.2.1.1" xref="S5.3.p3.9.m9.2.2.1.1.cmml">n</mi><mo id="S5.3.p3.9.m9.2.2.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.3.p3.9.m9.2.2.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.3.p3.9.m9.2.2.1.4" xref="S5.3.p3.9.m9.2.2.1.4.cmml">−</mo></mrow></msubsup></mrow><mo id="S5.3.p3.9.m9.4.4.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.3.p3.9.m9.4.4.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S5.3.p3.9.m9.7.7.5" xref="S5.3.p3.9.m9.7.7.5.cmml">=</mo><mrow id="S5.3.p3.9.m9.7.7.4" xref="S5.3.p3.9.m9.7.7.4.cmml"><msup id="S5.3.p3.9.m9.5.5.2.1" xref="S5.3.p3.9.m9.5.5.2.1.cmml"><mrow id="S5.3.p3.9.m9.5.5.2.1.1.1" xref="S5.3.p3.9.m9.5.5.2.1.1.2.cmml"><mo id="S5.3.p3.9.m9.5.5.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.3.p3.9.m9.5.5.2.1.1.2.1.cmml">|</mo><msubsup id="S5.3.p3.9.m9.5.5.2.1.1.1.1" xref="S5.3.p3.9.m9.5.5.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.3.p3.9.m9.5.5.2.1.1.1.1.2.2" xref="S5.3.p3.9.m9.5.5.2.1.1.1.1.2.2.cmml">θ</mi><mi id="S5.3.p3.9.m9.5.5.2.1.1.1.1.2.3" xref="S5.3.p3.9.m9.5.5.2.1.1.1.1.2.3.cmml">n</mi><mo id="S5.3.p3.9.m9.5.5.2.1.1.1.1.3" xref="S5.3.p3.9.m9.5.5.2.1.1.1.1.3.cmml">+</mo></msubsup><mo id="S5.3.p3.9.m9.5.5.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.3.p3.9.m9.5.5.2.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mi id="S5.3.p3.9.m9.5.5.2.1.3" xref="S5.3.p3.9.m9.5.5.2.1.3.cmml">m</mi></msup><mo id="S5.3.p3.9.m9.7.7.4.4" xref="S5.3.p3.9.m9.7.7.4.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.3.p3.9.m9.6.6.3.2.1" xref="S5.3.p3.9.m9.6.6.3.2.2.cmml"><mo id="S5.3.p3.9.m9.6.6.3.2.1.2" stretchy="false" xref="S5.3.p3.9.m9.6.6.3.2.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S5.3.p3.9.m9.6.6.3.2.1.1" xref="S5.3.p3.9.m9.6.6.3.2.1.1.cmml"><msubsup id="S5.3.p3.9.m9.6.6.3.2.1.1.2" xref="S5.3.p3.9.m9.6.6.3.2.1.1.2.cmml"><mi id="S5.3.p3.9.m9.6.6.3.2.1.1.2.2.2" xref="S5.3.p3.9.m9.6.6.3.2.1.1.2.2.2.cmml">θ</mi><mi id="S5.3.p3.9.m9.6.6.3.2.1.1.2.2.3" xref="S5.3.p3.9.m9.6.6.3.2.1.1.2.2.3.cmml">n</mi><mo id="S5.3.p3.9.m9.6.6.3.2.1.1.2.3" xref="S5.3.p3.9.m9.6.6.3.2.1.1.2.3.cmml">+</mo></msubsup><mo id="S5.3.p3.9.m9.6.6.3.2.1.1.1" xref="S5.3.p3.9.m9.6.6.3.2.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S5.3.p3.9.m9.6.6.3.2.1.1.3" xref="S5.3.p3.9.m9.6.6.3.2.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S5.3.p3.9.m9.6.6.3.2.1.3" stretchy="false" xref="S5.3.p3.9.m9.6.6.3.2.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S5.3.p3.9.m9.7.7.4.4a" lspace="0.170em" xref="S5.3.p3.9.m9.7.7.4.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.3.p3.9.m9.7.7.4.3.1" xref="S5.3.p3.9.m9.7.7.4.3.2.cmml"><mo id="S5.3.p3.9.m9.7.7.4.3.1.2" stretchy="false" xref="S5.3.p3.9.m9.7.7.4.3.2.1.cmml">|</mo><msubsup id="S5.3.p3.9.m9.7.7.4.3.1.1" xref="S5.3.p3.9.m9.7.7.4.3.1.1.cmml"><mi id="S5.3.p3.9.m9.7.7.4.3.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="S5.3.p3.9.m9.7.7.4.3.1.1.2.2.cmml">Δ</mi><mn id="S5.3.p3.9.m9.7.7.4.3.1.1.2.3" xref="S5.3.p3.9.m9.7.7.4.3.1.1.2.3.cmml">0</mn><mrow id="S5.3.p3.9.m9.3.3.1" xref="S5.3.p3.9.m9.3.3.1.cmml"><mrow id="S5.3.p3.9.m9.3.3.1.3.2" xref="S5.3.p3.9.m9.3.3.1.cmml"><mo id="S5.3.p3.9.m9.3.3.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.3.p3.9.m9.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S5.3.p3.9.m9.3.3.1.1" xref="S5.3.p3.9.m9.3.3.1.1.cmml">n</mi><mo id="S5.3.p3.9.m9.3.3.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.3.p3.9.m9.3.3.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.3.p3.9.m9.3.3.1.4" xref="S5.3.p3.9.m9.3.3.1.4.cmml">−</mo></mrow></msubsup><mo id="S5.3.p3.9.m9.7.7.4.3.1.3" stretchy="false" xref="S5.3.p3.9.m9.7.7.4.3.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.3.p3.9.m9.7b"><apply id="S5.3.p3.9.m9.7.7.cmml" xref="S5.3.p3.9.m9.7.7"><eq id="S5.3.p3.9.m9.7.7.5.cmml" xref="S5.3.p3.9.m9.7.7.5"></eq><apply id="S5.3.p3.9.m9.4.4.1.2.cmml" xref="S5.3.p3.9.m9.4.4.1.1"><abs id="S5.3.p3.9.m9.4.4.1.2.1.cmml" xref="S5.3.p3.9.m9.4.4.1.1.2"></abs><apply id="S5.3.p3.9.m9.4.4.1.1.1.cmml" xref="S5.3.p3.9.m9.4.4.1.1.1"><minus id="S5.3.p3.9.m9.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S5.3.p3.9.m9.4.4.1.1.1.1"></minus><apply id="S5.3.p3.9.m9.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S5.3.p3.9.m9.4.4.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.3.p3.9.m9.4.4.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.3.p3.9.m9.4.4.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S5.3.p3.9.m9.4.4.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.3.p3.9.m9.4.4.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.3.p3.9.m9.4.4.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.3.p3.9.m9.4.4.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.3.p3.9.m9.4.4.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.3.p3.9.m9.4.4.1.1.1.2.2.2">Δ</ci><apply id="S5.3.p3.9.m9.4.4.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.3.p3.9.m9.4.4.1.1.1.2.2.3"><plus id="S5.3.p3.9.m9.4.4.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S5.3.p3.9.m9.4.4.1.1.1.2.2.3.1"></plus><ci id="S5.3.p3.9.m9.4.4.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S5.3.p3.9.m9.4.4.1.1.1.2.2.3.2">𝑚</ci><cn id="S5.3.p3.9.m9.4.4.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.3.p3.9.m9.4.4.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S5.3.p3.9.m9.1.1.1.cmml" xref="S5.3.p3.9.m9.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.3.p3.9.m9.1.1.1.2.cmml" xref="S5.3.p3.9.m9.1.1.1">limit-from</csymbol><ci id="S5.3.p3.9.m9.1.1.1.1.cmml" xref="S5.3.p3.9.m9.1.1.1.1">𝑛</ci><minus id="S5.3.p3.9.m9.1.1.1.4.cmml" xref="S5.3.p3.9.m9.1.1.1.4"></minus></apply></apply><apply id="S5.3.p3.9.m9.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="S5.3.p3.9.m9.4.4.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.3.p3.9.m9.4.4.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.3.p3.9.m9.4.4.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S5.3.p3.9.m9.4.4.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.3.p3.9.m9.4.4.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.3.p3.9.m9.4.4.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.3.p3.9.m9.4.4.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.3.p3.9.m9.4.4.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.3.p3.9.m9.4.4.1.1.1.3.2.2">Δ</ci><ci id="S5.3.p3.9.m9.4.4.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.3.p3.9.m9.4.4.1.1.1.3.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="S5.3.p3.9.m9.2.2.1.cmml" xref="S5.3.p3.9.m9.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.3.p3.9.m9.2.2.1.2.cmml" xref="S5.3.p3.9.m9.2.2.1">limit-from</csymbol><ci id="S5.3.p3.9.m9.2.2.1.1.cmml" xref="S5.3.p3.9.m9.2.2.1.1">𝑛</ci><minus id="S5.3.p3.9.m9.2.2.1.4.cmml" xref="S5.3.p3.9.m9.2.2.1.4"></minus></apply></apply></apply></apply><apply id="S5.3.p3.9.m9.7.7.4.cmml" xref="S5.3.p3.9.m9.7.7.4"><times id="S5.3.p3.9.m9.7.7.4.4.cmml" xref="S5.3.p3.9.m9.7.7.4.4"></times><apply id="S5.3.p3.9.m9.5.5.2.1.cmml" xref="S5.3.p3.9.m9.5.5.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.3.p3.9.m9.5.5.2.1.2.cmml" xref="S5.3.p3.9.m9.5.5.2.1">superscript</csymbol><apply id="S5.3.p3.9.m9.5.5.2.1.1.2.cmml" xref="S5.3.p3.9.m9.5.5.2.1.1.1"><abs id="S5.3.p3.9.m9.5.5.2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.3.p3.9.m9.5.5.2.1.1.1.2"></abs><apply id="S5.3.p3.9.m9.5.5.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.3.p3.9.m9.5.5.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.3.p3.9.m9.5.5.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.3.p3.9.m9.5.5.2.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.3.p3.9.m9.5.5.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.3.p3.9.m9.5.5.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.3.p3.9.m9.5.5.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.3.p3.9.m9.5.5.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci 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id="S5.3.p3.9.m9.6.6.3.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.3.p3.9.m9.6.6.3.2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.3.p3.9.m9.6.6.3.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.3.p3.9.m9.6.6.3.2.1.1.2.2.2">𝜃</ci><ci id="S5.3.p3.9.m9.6.6.3.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.3.p3.9.m9.6.6.3.2.1.1.2.2.3">𝑛</ci></apply><plus id="S5.3.p3.9.m9.6.6.3.2.1.1.2.3.cmml" xref="S5.3.p3.9.m9.6.6.3.2.1.1.2.3"></plus></apply><cn id="S5.3.p3.9.m9.6.6.3.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.3.p3.9.m9.6.6.3.2.1.1.3">1</cn></apply></apply><apply id="S5.3.p3.9.m9.7.7.4.3.2.cmml" xref="S5.3.p3.9.m9.7.7.4.3.1"><abs id="S5.3.p3.9.m9.7.7.4.3.2.1.cmml" xref="S5.3.p3.9.m9.7.7.4.3.1.2"></abs><apply id="S5.3.p3.9.m9.7.7.4.3.1.1.cmml" xref="S5.3.p3.9.m9.7.7.4.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.3.p3.9.m9.7.7.4.3.1.1.1.cmml" xref="S5.3.p3.9.m9.7.7.4.3.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.3.p3.9.m9.7.7.4.3.1.1.2.cmml" xref="S5.3.p3.9.m9.7.7.4.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.3.p3.9.m9.7.7.4.3.1.1.2.1.cmml" xref="S5.3.p3.9.m9.7.7.4.3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.3.p3.9.m9.7.7.4.3.1.1.2.2.cmml" xref="S5.3.p3.9.m9.7.7.4.3.1.1.2.2">Δ</ci><cn id="S5.3.p3.9.m9.7.7.4.3.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.3.p3.9.m9.7.7.4.3.1.1.2.3">0</cn></apply><apply id="S5.3.p3.9.m9.3.3.1.cmml" xref="S5.3.p3.9.m9.3.3.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.3.p3.9.m9.3.3.1.2.cmml" xref="S5.3.p3.9.m9.3.3.1">limit-from</csymbol><ci id="S5.3.p3.9.m9.3.3.1.1.cmml" xref="S5.3.p3.9.m9.3.3.1.1">𝑛</ci><minus id="S5.3.p3.9.m9.3.3.1.4.cmml" xref="S5.3.p3.9.m9.3.3.1.4"></minus></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.3.p3.9.m9.7c">\lvert\Delta_{m+1}^{(n)-}-\Delta_{m}^{(n)-}\rvert=\lvert\theta_{n}^{+}\rvert^{% m}\,\lvert\theta_{n}^{+}-1\rvert\,\lvert\Delta_{0}^{(n)-}\rvert</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.3.p3.9.m9.7d">| roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT italic_m + 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) - end_POSTSUPERSCRIPT - roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) - end_POSTSUPERSCRIPT | = | italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT | start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT | italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT - 1 | | roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) - end_POSTSUPERSCRIPT |</annotation></semantics></math>, which suggests that <math alttext="\forall n\in\mathcal{N}\setminus\{N\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.3.p3.10.m10.1"><semantics id="S5.3.p3.10.m10.1a"><mrow id="S5.3.p3.10.m10.1.2" xref="S5.3.p3.10.m10.1.2.cmml"><mrow id="S5.3.p3.10.m10.1.2.2" xref="S5.3.p3.10.m10.1.2.2.cmml"><mo id="S5.3.p3.10.m10.1.2.2.1" rspace="0.167em" xref="S5.3.p3.10.m10.1.2.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S5.3.p3.10.m10.1.2.2.2" xref="S5.3.p3.10.m10.1.2.2.2.cmml">n</mi></mrow><mo id="S5.3.p3.10.m10.1.2.1" xref="S5.3.p3.10.m10.1.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S5.3.p3.10.m10.1.2.3" xref="S5.3.p3.10.m10.1.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.3.p3.10.m10.1.2.3.2" xref="S5.3.p3.10.m10.1.2.3.2.cmml">𝒩</mi><mo id="S5.3.p3.10.m10.1.2.3.1" xref="S5.3.p3.10.m10.1.2.3.1.cmml">∖</mo><mrow id="S5.3.p3.10.m10.1.2.3.3.2" xref="S5.3.p3.10.m10.1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S5.3.p3.10.m10.1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.3.p3.10.m10.1.2.3.3.1.cmml">{</mo><mi id="S5.3.p3.10.m10.1.1" xref="S5.3.p3.10.m10.1.1.cmml">N</mi><mo id="S5.3.p3.10.m10.1.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.3.p3.10.m10.1.2.3.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.3.p3.10.m10.1b"><apply id="S5.3.p3.10.m10.1.2.cmml" xref="S5.3.p3.10.m10.1.2"><in id="S5.3.p3.10.m10.1.2.1.cmml" xref="S5.3.p3.10.m10.1.2.1"></in><apply id="S5.3.p3.10.m10.1.2.2.cmml" xref="S5.3.p3.10.m10.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.3.p3.10.m10.1.2.2.1.cmml" xref="S5.3.p3.10.m10.1.2.2.1">for-all</csymbol><ci id="S5.3.p3.10.m10.1.2.2.2.cmml" xref="S5.3.p3.10.m10.1.2.2.2">𝑛</ci></apply><apply id="S5.3.p3.10.m10.1.2.3.cmml" xref="S5.3.p3.10.m10.1.2.3"><setdiff id="S5.3.p3.10.m10.1.2.3.1.cmml" xref="S5.3.p3.10.m10.1.2.3.1"></setdiff><ci id="S5.3.p3.10.m10.1.2.3.2.cmml" xref="S5.3.p3.10.m10.1.2.3.2">𝒩</ci><set id="S5.3.p3.10.m10.1.2.3.3.1.cmml" xref="S5.3.p3.10.m10.1.2.3.3.2"><ci id="S5.3.p3.10.m10.1.1.cmml" xref="S5.3.p3.10.m10.1.1">𝑁</ci></set></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.3.p3.10.m10.1c">\forall n\in\mathcal{N}\setminus\{N\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.3.p3.10.m10.1d">∀ italic_n ∈ caligraphic_N ∖ { italic_N }</annotation></semantics></math>, <math alttext="\lvert\theta_{n}^{+}\rvert^{m}=\lvert\Delta_{m+1}^{(n)-}-\Delta_{m}^{(n)-}% \rvert/(\lvert\theta_{n}^{+}-1\rvert\,\lvert\Delta_{0}^{(n)-}\rvert)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.3.p3.11.m11.6"><semantics id="S5.3.p3.11.m11.6a"><mrow id="S5.3.p3.11.m11.6.6" xref="S5.3.p3.11.m11.6.6.cmml"><msup id="S5.3.p3.11.m11.4.4.1" xref="S5.3.p3.11.m11.4.4.1.cmml"><mrow id="S5.3.p3.11.m11.4.4.1.1.1" xref="S5.3.p3.11.m11.4.4.1.1.2.cmml"><mo id="S5.3.p3.11.m11.4.4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.3.p3.11.m11.4.4.1.1.2.1.cmml">|</mo><msubsup id="S5.3.p3.11.m11.4.4.1.1.1.1" xref="S5.3.p3.11.m11.4.4.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.3.p3.11.m11.4.4.1.1.1.1.2.2" xref="S5.3.p3.11.m11.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml">θ</mi><mi id="S5.3.p3.11.m11.4.4.1.1.1.1.2.3" xref="S5.3.p3.11.m11.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml">n</mi><mo id="S5.3.p3.11.m11.4.4.1.1.1.1.3" xref="S5.3.p3.11.m11.4.4.1.1.1.1.3.cmml">+</mo></msubsup><mo id="S5.3.p3.11.m11.4.4.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.3.p3.11.m11.4.4.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mi id="S5.3.p3.11.m11.4.4.1.3" xref="S5.3.p3.11.m11.4.4.1.3.cmml">m</mi></msup><mo id="S5.3.p3.11.m11.6.6.4" xref="S5.3.p3.11.m11.6.6.4.cmml">=</mo><mrow id="S5.3.p3.11.m11.6.6.3" xref="S5.3.p3.11.m11.6.6.3.cmml"><mrow id="S5.3.p3.11.m11.5.5.2.1.1" xref="S5.3.p3.11.m11.5.5.2.1.2.cmml"><mo id="S5.3.p3.11.m11.5.5.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.3.p3.11.m11.5.5.2.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S5.3.p3.11.m11.5.5.2.1.1.1" xref="S5.3.p3.11.m11.5.5.2.1.1.1.cmml"><msubsup id="S5.3.p3.11.m11.5.5.2.1.1.1.2" xref="S5.3.p3.11.m11.5.5.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.3.p3.11.m11.5.5.2.1.1.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S5.3.p3.11.m11.5.5.2.1.1.1.2.2.2.cmml">Δ</mi><mrow id="S5.3.p3.11.m11.5.5.2.1.1.1.2.2.3" xref="S5.3.p3.11.m11.5.5.2.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S5.3.p3.11.m11.5.5.2.1.1.1.2.2.3.2" xref="S5.3.p3.11.m11.5.5.2.1.1.1.2.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="S5.3.p3.11.m11.5.5.2.1.1.1.2.2.3.1" xref="S5.3.p3.11.m11.5.5.2.1.1.1.2.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S5.3.p3.11.m11.5.5.2.1.1.1.2.2.3.3" xref="S5.3.p3.11.m11.5.5.2.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="S5.3.p3.11.m11.1.1.1" xref="S5.3.p3.11.m11.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.3.p3.11.m11.1.1.1.3.2" xref="S5.3.p3.11.m11.1.1.1.cmml"><mo id="S5.3.p3.11.m11.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.3.p3.11.m11.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S5.3.p3.11.m11.1.1.1.1" xref="S5.3.p3.11.m11.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S5.3.p3.11.m11.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.3.p3.11.m11.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.3.p3.11.m11.1.1.1.4" xref="S5.3.p3.11.m11.1.1.1.4.cmml">−</mo></mrow></msubsup><mo id="S5.3.p3.11.m11.5.5.2.1.1.1.1" xref="S5.3.p3.11.m11.5.5.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><msubsup id="S5.3.p3.11.m11.5.5.2.1.1.1.3" xref="S5.3.p3.11.m11.5.5.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.3.p3.11.m11.5.5.2.1.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S5.3.p3.11.m11.5.5.2.1.1.1.3.2.2.cmml">Δ</mi><mi id="S5.3.p3.11.m11.5.5.2.1.1.1.3.2.3" xref="S5.3.p3.11.m11.5.5.2.1.1.1.3.2.3.cmml">m</mi><mrow id="S5.3.p3.11.m11.2.2.1" xref="S5.3.p3.11.m11.2.2.1.cmml"><mrow id="S5.3.p3.11.m11.2.2.1.3.2" xref="S5.3.p3.11.m11.2.2.1.cmml"><mo id="S5.3.p3.11.m11.2.2.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.3.p3.11.m11.2.2.1.cmml">(</mo><mi 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id="S5.3.p3.11.m11.6.6.3.2.1.1.1.1.1.2" xref="S5.3.p3.11.m11.6.6.3.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.3.p3.11.m11.6.6.3.2.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.3.p3.11.m11.6.6.3.2.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">θ</mi><mi id="S5.3.p3.11.m11.6.6.3.2.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.3.p3.11.m11.6.6.3.2.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">n</mi><mo id="S5.3.p3.11.m11.6.6.3.2.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.3.p3.11.m11.6.6.3.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">+</mo></msubsup><mo id="S5.3.p3.11.m11.6.6.3.2.1.1.1.1.1.1" xref="S5.3.p3.11.m11.6.6.3.2.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S5.3.p3.11.m11.6.6.3.2.1.1.1.1.1.3" xref="S5.3.p3.11.m11.6.6.3.2.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S5.3.p3.11.m11.6.6.3.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.3.p3.11.m11.6.6.3.2.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S5.3.p3.11.m11.6.6.3.2.1.1.3" lspace="0.170em" xref="S5.3.p3.11.m11.6.6.3.2.1.1.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.3.p3.11.m11.6.6.3.2.1.1.2.1" xref="S5.3.p3.11.m11.6.6.3.2.1.1.2.2.cmml"><mo id="S5.3.p3.11.m11.6.6.3.2.1.1.2.1.2" stretchy="false" xref="S5.3.p3.11.m11.6.6.3.2.1.1.2.2.1.cmml">|</mo><msubsup id="S5.3.p3.11.m11.6.6.3.2.1.1.2.1.1" xref="S5.3.p3.11.m11.6.6.3.2.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="S5.3.p3.11.m11.6.6.3.2.1.1.2.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="S5.3.p3.11.m11.6.6.3.2.1.1.2.1.1.2.2.cmml">Δ</mi><mn id="S5.3.p3.11.m11.6.6.3.2.1.1.2.1.1.2.3" xref="S5.3.p3.11.m11.6.6.3.2.1.1.2.1.1.2.3.cmml">0</mn><mrow id="S5.3.p3.11.m11.3.3.1" xref="S5.3.p3.11.m11.3.3.1.cmml"><mrow id="S5.3.p3.11.m11.3.3.1.3.2" xref="S5.3.p3.11.m11.3.3.1.cmml"><mo id="S5.3.p3.11.m11.3.3.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.3.p3.11.m11.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S5.3.p3.11.m11.3.3.1.1" xref="S5.3.p3.11.m11.3.3.1.1.cmml">n</mi><mo id="S5.3.p3.11.m11.3.3.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.3.p3.11.m11.3.3.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.3.p3.11.m11.3.3.1.4" xref="S5.3.p3.11.m11.3.3.1.4.cmml">−</mo></mrow></msubsup><mo id="S5.3.p3.11.m11.6.6.3.2.1.1.2.1.3" stretchy="false" xref="S5.3.p3.11.m11.6.6.3.2.1.1.2.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><mo 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id="S5.3.p3.11.m11.5.5.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.3.p3.11.m11.5.5.2.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S5.3.p3.11.m11.5.5.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.3.p3.11.m11.5.5.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.3.p3.11.m11.5.5.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.3.p3.11.m11.5.5.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.3.p3.11.m11.5.5.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.3.p3.11.m11.5.5.2.1.1.1.2.2.2">Δ</ci><apply id="S5.3.p3.11.m11.5.5.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.3.p3.11.m11.5.5.2.1.1.1.2.2.3"><plus id="S5.3.p3.11.m11.5.5.2.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S5.3.p3.11.m11.5.5.2.1.1.1.2.2.3.1"></plus><ci id="S5.3.p3.11.m11.5.5.2.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S5.3.p3.11.m11.5.5.2.1.1.1.2.2.3.2">𝑚</ci><cn id="S5.3.p3.11.m11.5.5.2.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.3.p3.11.m11.5.5.2.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S5.3.p3.11.m11.1.1.1.cmml" xref="S5.3.p3.11.m11.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.3.p3.11.m11.1.1.1.2.cmml" xref="S5.3.p3.11.m11.1.1.1">limit-from</csymbol><ci id="S5.3.p3.11.m11.1.1.1.1.cmml" xref="S5.3.p3.11.m11.1.1.1.1">𝑛</ci><minus id="S5.3.p3.11.m11.1.1.1.4.cmml" xref="S5.3.p3.11.m11.1.1.1.4"></minus></apply></apply><apply id="S5.3.p3.11.m11.5.5.2.1.1.1.3.cmml" xref="S5.3.p3.11.m11.5.5.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.3.p3.11.m11.5.5.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.3.p3.11.m11.5.5.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S5.3.p3.11.m11.5.5.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.3.p3.11.m11.5.5.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.3.p3.11.m11.5.5.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.3.p3.11.m11.5.5.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.3.p3.11.m11.5.5.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.3.p3.11.m11.5.5.2.1.1.1.3.2.2">Δ</ci><ci id="S5.3.p3.11.m11.5.5.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.3.p3.11.m11.5.5.2.1.1.1.3.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="S5.3.p3.11.m11.2.2.1.cmml" xref="S5.3.p3.11.m11.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.3.p3.11.m11.2.2.1.2.cmml" xref="S5.3.p3.11.m11.2.2.1">limit-from</csymbol><ci id="S5.3.p3.11.m11.2.2.1.1.cmml" xref="S5.3.p3.11.m11.2.2.1.1">𝑛</ci><minus id="S5.3.p3.11.m11.2.2.1.4.cmml" xref="S5.3.p3.11.m11.2.2.1.4"></minus></apply></apply></apply></apply><apply id="S5.3.p3.11.m11.6.6.3.2.1.1.cmml" xref="S5.3.p3.11.m11.6.6.3.2.1"><times id="S5.3.p3.11.m11.6.6.3.2.1.1.3.cmml" xref="S5.3.p3.11.m11.6.6.3.2.1.1.3"></times><apply id="S5.3.p3.11.m11.6.6.3.2.1.1.1.2.cmml" xref="S5.3.p3.11.m11.6.6.3.2.1.1.1.1"><abs id="S5.3.p3.11.m11.6.6.3.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.3.p3.11.m11.6.6.3.2.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S5.3.p3.11.m11.6.6.3.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.3.p3.11.m11.6.6.3.2.1.1.1.1.1"><minus id="S5.3.p3.11.m11.6.6.3.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.3.p3.11.m11.6.6.3.2.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S5.3.p3.11.m11.6.6.3.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.3.p3.11.m11.6.6.3.2.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.3.p3.11.m11.6.6.3.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.3.p3.11.m11.6.6.3.2.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S5.3.p3.11.m11.6.6.3.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.3.p3.11.m11.6.6.3.2.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.3.p3.11.m11.6.6.3.2.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.3.p3.11.m11.6.6.3.2.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.3.p3.11.m11.6.6.3.2.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.3.p3.11.m11.6.6.3.2.1.1.1.1.1.2.2.2">𝜃</ci><ci id="S5.3.p3.11.m11.6.6.3.2.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.3.p3.11.m11.6.6.3.2.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑛</ci></apply><plus id="S5.3.p3.11.m11.6.6.3.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.3.p3.11.m11.6.6.3.2.1.1.1.1.1.2.3"></plus></apply><cn id="S5.3.p3.11.m11.6.6.3.2.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.3.p3.11.m11.6.6.3.2.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply><apply id="S5.3.p3.11.m11.6.6.3.2.1.1.2.2.cmml" xref="S5.3.p3.11.m11.6.6.3.2.1.1.2.1"><abs id="S5.3.p3.11.m11.6.6.3.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.3.p3.11.m11.6.6.3.2.1.1.2.1.2"></abs><apply id="S5.3.p3.11.m11.6.6.3.2.1.1.2.1.1.cmml" xref="S5.3.p3.11.m11.6.6.3.2.1.1.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.3.p3.11.m11.6.6.3.2.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S5.3.p3.11.m11.6.6.3.2.1.1.2.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.3.p3.11.m11.6.6.3.2.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S5.3.p3.11.m11.6.6.3.2.1.1.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.3.p3.11.m11.6.6.3.2.1.1.2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.3.p3.11.m11.6.6.3.2.1.1.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.3.p3.11.m11.6.6.3.2.1.1.2.1.1.2.2.cmml" xref="S5.3.p3.11.m11.6.6.3.2.1.1.2.1.1.2.2">Δ</ci><cn id="S5.3.p3.11.m11.6.6.3.2.1.1.2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.3.p3.11.m11.6.6.3.2.1.1.2.1.1.2.3">0</cn></apply><apply id="S5.3.p3.11.m11.3.3.1.cmml" xref="S5.3.p3.11.m11.3.3.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.3.p3.11.m11.3.3.1.2.cmml" xref="S5.3.p3.11.m11.3.3.1">limit-from</csymbol><ci id="S5.3.p3.11.m11.3.3.1.1.cmml" xref="S5.3.p3.11.m11.3.3.1.1">𝑛</ci><minus id="S5.3.p3.11.m11.3.3.1.4.cmml" xref="S5.3.p3.11.m11.3.3.1.4"></minus></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.3.p3.11.m11.6c">\lvert\theta_{n}^{+}\rvert^{m}=\lvert\Delta_{m+1}^{(n)-}-\Delta_{m}^{(n)-}% \rvert/(\lvert\theta_{n}^{+}-1\rvert\,\lvert\Delta_{0}^{(n)-}\rvert)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.3.p3.11.m11.6d">| italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT | start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT = | roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT italic_m + 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) - end_POSTSUPERSCRIPT - roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) - end_POSTSUPERSCRIPT | / ( | italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT - 1 | | roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) - end_POSTSUPERSCRIPT | )</annotation></semantics></math> converges to zero, and this is feasible only if <math alttext="\lvert\theta_{n}^{+}\rvert<1" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.3.p3.12.m12.1"><semantics id="S5.3.p3.12.m12.1a"><mrow id="S5.3.p3.12.m12.1.1" xref="S5.3.p3.12.m12.1.1.cmml"><mrow id="S5.3.p3.12.m12.1.1.1.1" xref="S5.3.p3.12.m12.1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.3.p3.12.m12.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.3.p3.12.m12.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msubsup id="S5.3.p3.12.m12.1.1.1.1.1" xref="S5.3.p3.12.m12.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.3.p3.12.m12.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.3.p3.12.m12.1.1.1.1.1.2.2.cmml">θ</mi><mi id="S5.3.p3.12.m12.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.3.p3.12.m12.1.1.1.1.1.2.3.cmml">n</mi><mo id="S5.3.p3.12.m12.1.1.1.1.1.3" xref="S5.3.p3.12.m12.1.1.1.1.1.3.cmml">+</mo></msubsup><mo id="S5.3.p3.12.m12.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.3.p3.12.m12.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S5.3.p3.12.m12.1.1.2" xref="S5.3.p3.12.m12.1.1.2.cmml"><</mo><mn id="S5.3.p3.12.m12.1.1.3" xref="S5.3.p3.12.m12.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.3.p3.12.m12.1b"><apply id="S5.3.p3.12.m12.1.1.cmml" xref="S5.3.p3.12.m12.1.1"><lt id="S5.3.p3.12.m12.1.1.2.cmml" xref="S5.3.p3.12.m12.1.1.2"></lt><apply id="S5.3.p3.12.m12.1.1.1.2.cmml" xref="S5.3.p3.12.m12.1.1.1.1"><abs id="S5.3.p3.12.m12.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.3.p3.12.m12.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S5.3.p3.12.m12.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.3.p3.12.m12.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.3.p3.12.m12.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.3.p3.12.m12.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.3.p3.12.m12.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.3.p3.12.m12.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.3.p3.12.m12.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.3.p3.12.m12.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.3.p3.12.m12.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.3.p3.12.m12.1.1.1.1.1.2.2">𝜃</ci><ci id="S5.3.p3.12.m12.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.3.p3.12.m12.1.1.1.1.1.2.3">𝑛</ci></apply><plus id="S5.3.p3.12.m12.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.3.p3.12.m12.1.1.1.1.1.3"></plus></apply></apply><cn id="S5.3.p3.12.m12.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.3.p3.12.m12.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.3.p3.12.m12.1c">\lvert\theta_{n}^{+}\rvert<1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.3.p3.12.m12.1d">| italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT | < 1</annotation></semantics></math>. Observe also that <math alttext="1-\eta<1" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.3.p3.13.m13.1"><semantics id="S5.3.p3.13.m13.1a"><mrow id="S5.3.p3.13.m13.1.1" xref="S5.3.p3.13.m13.1.1.cmml"><mrow id="S5.3.p3.13.m13.1.1.2" xref="S5.3.p3.13.m13.1.1.2.cmml"><mn id="S5.3.p3.13.m13.1.1.2.2" xref="S5.3.p3.13.m13.1.1.2.2.cmml">1</mn><mo id="S5.3.p3.13.m13.1.1.2.1" xref="S5.3.p3.13.m13.1.1.2.1.cmml">−</mo><mi id="S5.3.p3.13.m13.1.1.2.3" xref="S5.3.p3.13.m13.1.1.2.3.cmml">η</mi></mrow><mo id="S5.3.p3.13.m13.1.1.1" xref="S5.3.p3.13.m13.1.1.1.cmml"><</mo><mn id="S5.3.p3.13.m13.1.1.3" xref="S5.3.p3.13.m13.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.3.p3.13.m13.1b"><apply id="S5.3.p3.13.m13.1.1.cmml" xref="S5.3.p3.13.m13.1.1"><lt id="S5.3.p3.13.m13.1.1.1.cmml" xref="S5.3.p3.13.m13.1.1.1"></lt><apply id="S5.3.p3.13.m13.1.1.2.cmml" xref="S5.3.p3.13.m13.1.1.2"><minus id="S5.3.p3.13.m13.1.1.2.1.cmml" xref="S5.3.p3.13.m13.1.1.2.1"></minus><cn id="S5.3.p3.13.m13.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.3.p3.13.m13.1.1.2.2">1</cn><ci id="S5.3.p3.13.m13.1.1.2.3.cmml" xref="S5.3.p3.13.m13.1.1.2.3">𝜂</ci></apply><cn id="S5.3.p3.13.m13.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.3.p3.13.m13.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.3.p3.13.m13.1c">1-\eta<1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.3.p3.13.m13.1d">1 - italic_η < 1</annotation></semantics></math> to establish <math alttext="0<\varrho(\eta)<1" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.3.p3.14.m14.1"><semantics id="S5.3.p3.14.m14.1a"><mrow id="S5.3.p3.14.m14.1.2" xref="S5.3.p3.14.m14.1.2.cmml"><mn id="S5.3.p3.14.m14.1.2.2" xref="S5.3.p3.14.m14.1.2.2.cmml">0</mn><mo id="S5.3.p3.14.m14.1.2.3" xref="S5.3.p3.14.m14.1.2.3.cmml"><</mo><mrow id="S5.3.p3.14.m14.1.2.4" xref="S5.3.p3.14.m14.1.2.4.cmml"><mi id="S5.3.p3.14.m14.1.2.4.2" xref="S5.3.p3.14.m14.1.2.4.2.cmml">ϱ</mi><mo id="S5.3.p3.14.m14.1.2.4.1" xref="S5.3.p3.14.m14.1.2.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.3.p3.14.m14.1.2.4.3.2" xref="S5.3.p3.14.m14.1.2.4.cmml"><mo id="S5.3.p3.14.m14.1.2.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.3.p3.14.m14.1.2.4.cmml">(</mo><mi id="S5.3.p3.14.m14.1.1" xref="S5.3.p3.14.m14.1.1.cmml">η</mi><mo id="S5.3.p3.14.m14.1.2.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.3.p3.14.m14.1.2.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.3.p3.14.m14.1.2.5" xref="S5.3.p3.14.m14.1.2.5.cmml"><</mo><mn id="S5.3.p3.14.m14.1.2.6" xref="S5.3.p3.14.m14.1.2.6.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.3.p3.14.m14.1b"><apply id="S5.3.p3.14.m14.1.2.cmml" xref="S5.3.p3.14.m14.1.2"><and id="S5.3.p3.14.m14.1.2a.cmml" xref="S5.3.p3.14.m14.1.2"></and><apply id="S5.3.p3.14.m14.1.2b.cmml" xref="S5.3.p3.14.m14.1.2"><lt id="S5.3.p3.14.m14.1.2.3.cmml" xref="S5.3.p3.14.m14.1.2.3"></lt><cn id="S5.3.p3.14.m14.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.3.p3.14.m14.1.2.2">0</cn><apply id="S5.3.p3.14.m14.1.2.4.cmml" xref="S5.3.p3.14.m14.1.2.4"><times id="S5.3.p3.14.m14.1.2.4.1.cmml" xref="S5.3.p3.14.m14.1.2.4.1"></times><ci id="S5.3.p3.14.m14.1.2.4.2.cmml" xref="S5.3.p3.14.m14.1.2.4.2">italic-ϱ</ci><ci id="S5.3.p3.14.m14.1.1.cmml" xref="S5.3.p3.14.m14.1.1">𝜂</ci></apply></apply><apply id="S5.3.p3.14.m14.1.2c.cmml" xref="S5.3.p3.14.m14.1.2"><lt id="S5.3.p3.14.m14.1.2.5.cmml" xref="S5.3.p3.14.m14.1.2.5"></lt><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S5.3.p3.14.m14.1.2.4.cmml" id="S5.3.p3.14.m14.1.2d.cmml" xref="S5.3.p3.14.m14.1.2"></share><cn id="S5.3.p3.14.m14.1.2.6.cmml" type="integer" xref="S5.3.p3.14.m14.1.2.6">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.3.p3.14.m14.1c">0<\varrho(\eta)<1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.3.p3.14.m14.1d">0 < italic_ϱ ( italic_η ) < 1</annotation></semantics></math> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.I3.i1" title="In Theorem 5. ‣ III-C Performance analysis of Algorithm 1 ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Theorem</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">5(i)</span></a>).</p> </div> <div class="ltx_para" id="S5.4.p4"> <p class="ltx_p" id="S5.4.p4.7">Consider the case where <math alttext="n\in\mathcal{N}\setminus\{N\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.4.p4.1.m1.1"><semantics id="S5.4.p4.1.m1.1a"><mrow id="S5.4.p4.1.m1.1.2" xref="S5.4.p4.1.m1.1.2.cmml"><mi id="S5.4.p4.1.m1.1.2.2" xref="S5.4.p4.1.m1.1.2.2.cmml">n</mi><mo id="S5.4.p4.1.m1.1.2.1" xref="S5.4.p4.1.m1.1.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S5.4.p4.1.m1.1.2.3" xref="S5.4.p4.1.m1.1.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.4.p4.1.m1.1.2.3.2" xref="S5.4.p4.1.m1.1.2.3.2.cmml">𝒩</mi><mo id="S5.4.p4.1.m1.1.2.3.1" xref="S5.4.p4.1.m1.1.2.3.1.cmml">∖</mo><mrow id="S5.4.p4.1.m1.1.2.3.3.2" xref="S5.4.p4.1.m1.1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S5.4.p4.1.m1.1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.4.p4.1.m1.1.2.3.3.1.cmml">{</mo><mi id="S5.4.p4.1.m1.1.1" xref="S5.4.p4.1.m1.1.1.cmml">N</mi><mo id="S5.4.p4.1.m1.1.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.4.p4.1.m1.1.2.3.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.4.p4.1.m1.1b"><apply id="S5.4.p4.1.m1.1.2.cmml" xref="S5.4.p4.1.m1.1.2"><in id="S5.4.p4.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S5.4.p4.1.m1.1.2.1"></in><ci id="S5.4.p4.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S5.4.p4.1.m1.1.2.2">𝑛</ci><apply id="S5.4.p4.1.m1.1.2.3.cmml" xref="S5.4.p4.1.m1.1.2.3"><setdiff id="S5.4.p4.1.m1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.4.p4.1.m1.1.2.3.1"></setdiff><ci id="S5.4.p4.1.m1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.4.p4.1.m1.1.2.3.2">𝒩</ci><set id="S5.4.p4.1.m1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S5.4.p4.1.m1.1.2.3.3.2"><ci id="S5.4.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.4.p4.1.m1.1.1">𝑁</ci></set></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.4.p4.1.m1.1c">n\in\mathcal{N}\setminus\{N\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.4.p4.1.m1.1d">italic_n ∈ caligraphic_N ∖ { italic_N }</annotation></semantics></math> and <math alttext="p_{n}^{2}+4q_{n}\neq 0" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.4.p4.2.m2.1"><semantics id="S5.4.p4.2.m2.1a"><mrow id="S5.4.p4.2.m2.1.1" xref="S5.4.p4.2.m2.1.1.cmml"><mrow id="S5.4.p4.2.m2.1.1.2" xref="S5.4.p4.2.m2.1.1.2.cmml"><msubsup id="S5.4.p4.2.m2.1.1.2.2" xref="S5.4.p4.2.m2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.4.p4.2.m2.1.1.2.2.2.2" xref="S5.4.p4.2.m2.1.1.2.2.2.2.cmml">p</mi><mi id="S5.4.p4.2.m2.1.1.2.2.2.3" xref="S5.4.p4.2.m2.1.1.2.2.2.3.cmml">n</mi><mn id="S5.4.p4.2.m2.1.1.2.2.3" xref="S5.4.p4.2.m2.1.1.2.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S5.4.p4.2.m2.1.1.2.1" xref="S5.4.p4.2.m2.1.1.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.4.p4.2.m2.1.1.2.3" xref="S5.4.p4.2.m2.1.1.2.3.cmml"><mn id="S5.4.p4.2.m2.1.1.2.3.2" xref="S5.4.p4.2.m2.1.1.2.3.2.cmml">4</mn><mo id="S5.4.p4.2.m2.1.1.2.3.1" xref="S5.4.p4.2.m2.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.4.p4.2.m2.1.1.2.3.3" xref="S5.4.p4.2.m2.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S5.4.p4.2.m2.1.1.2.3.3.2" xref="S5.4.p4.2.m2.1.1.2.3.3.2.cmml">q</mi><mi id="S5.4.p4.2.m2.1.1.2.3.3.3" xref="S5.4.p4.2.m2.1.1.2.3.3.3.cmml">n</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S5.4.p4.2.m2.1.1.1" xref="S5.4.p4.2.m2.1.1.1.cmml">≠</mo><mn id="S5.4.p4.2.m2.1.1.3" xref="S5.4.p4.2.m2.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.4.p4.2.m2.1b"><apply id="S5.4.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.4.p4.2.m2.1.1"><neq id="S5.4.p4.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.4.p4.2.m2.1.1.1"></neq><apply id="S5.4.p4.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.4.p4.2.m2.1.1.2"><plus id="S5.4.p4.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.4.p4.2.m2.1.1.2.1"></plus><apply id="S5.4.p4.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S5.4.p4.2.m2.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.4.p4.2.m2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.4.p4.2.m2.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S5.4.p4.2.m2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.4.p4.2.m2.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.4.p4.2.m2.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S5.4.p4.2.m2.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.4.p4.2.m2.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.4.p4.2.m2.1.1.2.2.2.2">𝑝</ci><ci id="S5.4.p4.2.m2.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S5.4.p4.2.m2.1.1.2.2.2.3">𝑛</ci></apply><cn id="S5.4.p4.2.m2.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.4.p4.2.m2.1.1.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.4.p4.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S5.4.p4.2.m2.1.1.2.3"><times id="S5.4.p4.2.m2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.4.p4.2.m2.1.1.2.3.1"></times><cn id="S5.4.p4.2.m2.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.4.p4.2.m2.1.1.2.3.2">4</cn><apply id="S5.4.p4.2.m2.1.1.2.3.3.cmml" xref="S5.4.p4.2.m2.1.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.4.p4.2.m2.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S5.4.p4.2.m2.1.1.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.4.p4.2.m2.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S5.4.p4.2.m2.1.1.2.3.3.2">𝑞</ci><ci id="S5.4.p4.2.m2.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="S5.4.p4.2.m2.1.1.2.3.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply><cn id="S5.4.p4.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.4.p4.2.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.4.p4.2.m2.1c">p_{n}^{2}+4q_{n}\neq 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.4.p4.2.m2.1d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + 4 italic_q start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ≠ 0</annotation></semantics></math>. Then, <math alttext="\theta_{n}^{-}\neq\theta_{n}^{+}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.4.p4.3.m3.1"><semantics id="S5.4.p4.3.m3.1a"><mrow id="S5.4.p4.3.m3.1.1" xref="S5.4.p4.3.m3.1.1.cmml"><msubsup id="S5.4.p4.3.m3.1.1.2" xref="S5.4.p4.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S5.4.p4.3.m3.1.1.2.2.2" xref="S5.4.p4.3.m3.1.1.2.2.2.cmml">θ</mi><mi id="S5.4.p4.3.m3.1.1.2.2.3" xref="S5.4.p4.3.m3.1.1.2.2.3.cmml">n</mi><mo id="S5.4.p4.3.m3.1.1.2.3" xref="S5.4.p4.3.m3.1.1.2.3.cmml">−</mo></msubsup><mo id="S5.4.p4.3.m3.1.1.1" xref="S5.4.p4.3.m3.1.1.1.cmml">≠</mo><msubsup id="S5.4.p4.3.m3.1.1.3" xref="S5.4.p4.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S5.4.p4.3.m3.1.1.3.2.2" xref="S5.4.p4.3.m3.1.1.3.2.2.cmml">θ</mi><mi id="S5.4.p4.3.m3.1.1.3.2.3" xref="S5.4.p4.3.m3.1.1.3.2.3.cmml">n</mi><mo id="S5.4.p4.3.m3.1.1.3.3" xref="S5.4.p4.3.m3.1.1.3.3.cmml">+</mo></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.4.p4.3.m3.1b"><apply id="S5.4.p4.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.4.p4.3.m3.1.1"><neq id="S5.4.p4.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.4.p4.3.m3.1.1.1"></neq><apply id="S5.4.p4.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.4.p4.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.4.p4.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S5.4.p4.3.m3.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S5.4.p4.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S5.4.p4.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.4.p4.3.m3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.4.p4.3.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.4.p4.3.m3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.4.p4.3.m3.1.1.2.2.2">𝜃</ci><ci id="S5.4.p4.3.m3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.4.p4.3.m3.1.1.2.2.3">𝑛</ci></apply><minus id="S5.4.p4.3.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S5.4.p4.3.m3.1.1.2.3"></minus></apply><apply id="S5.4.p4.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S5.4.p4.3.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.4.p4.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S5.4.p4.3.m3.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S5.4.p4.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S5.4.p4.3.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.4.p4.3.m3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.4.p4.3.m3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.4.p4.3.m3.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.4.p4.3.m3.1.1.3.2.2">𝜃</ci><ci id="S5.4.p4.3.m3.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.4.p4.3.m3.1.1.3.2.3">𝑛</ci></apply><plus id="S5.4.p4.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S5.4.p4.3.m3.1.1.3.3"></plus></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.4.p4.3.m3.1c">\theta_{n}^{-}\neq\theta_{n}^{+}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.4.p4.3.m3.1d">italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT ≠ italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. Moreover, because <math alttext="p_{n}=2-\eta-\gamma\lambda_{n}\geq 2-2(1-\varpi)-1\geq 2-1-1=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.4.p4.4.m4.1"><semantics id="S5.4.p4.4.m4.1a"><mrow id="S5.4.p4.4.m4.1.1" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.cmml"><msub id="S5.4.p4.4.m4.1.1.3" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S5.4.p4.4.m4.1.1.3.2" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.3.2.cmml">p</mi><mi id="S5.4.p4.4.m4.1.1.3.3" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.3.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S5.4.p4.4.m4.1.1.4" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="S5.4.p4.4.m4.1.1.5" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.5.cmml"><mn id="S5.4.p4.4.m4.1.1.5.2" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.5.2.cmml">2</mn><mo id="S5.4.p4.4.m4.1.1.5.1" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.5.1.cmml">−</mo><mi id="S5.4.p4.4.m4.1.1.5.3" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.5.3.cmml">η</mi><mo id="S5.4.p4.4.m4.1.1.5.1a" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.5.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.4.p4.4.m4.1.1.5.4" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.5.4.cmml"><mi id="S5.4.p4.4.m4.1.1.5.4.2" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.5.4.2.cmml">γ</mi><mo id="S5.4.p4.4.m4.1.1.5.4.1" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.5.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.4.p4.4.m4.1.1.5.4.3" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.5.4.3.cmml"><mi id="S5.4.p4.4.m4.1.1.5.4.3.2" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.5.4.3.2.cmml">λ</mi><mi id="S5.4.p4.4.m4.1.1.5.4.3.3" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.5.4.3.3.cmml">n</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S5.4.p4.4.m4.1.1.6" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.6.cmml">≥</mo><mrow id="S5.4.p4.4.m4.1.1.1" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.1.cmml"><mn id="S5.4.p4.4.m4.1.1.1.3" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.1.3.cmml">2</mn><mo id="S5.4.p4.4.m4.1.1.1.2" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S5.4.p4.4.m4.1.1.1.1" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.1.1.cmml"><mn id="S5.4.p4.4.m4.1.1.1.1.3" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.1.1.3.cmml">2</mn><mo id="S5.4.p4.4.m4.1.1.1.1.2" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.4.p4.4.m4.1.1.1.1.1.1" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.4.p4.4.m4.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.4.p4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S5.4.p4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S5.4.p4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S5.4.p4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ϖ</mi></mrow><mo id="S5.4.p4.4.m4.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.4.p4.4.m4.1.1.1.2a" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.1.2.cmml">−</mo><mn id="S5.4.p4.4.m4.1.1.1.4" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.1.4.cmml">1</mn></mrow><mo id="S5.4.p4.4.m4.1.1.7" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.7.cmml">≥</mo><mrow id="S5.4.p4.4.m4.1.1.8" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.8.cmml"><mn id="S5.4.p4.4.m4.1.1.8.2" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.8.2.cmml">2</mn><mo id="S5.4.p4.4.m4.1.1.8.1" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.8.1.cmml">−</mo><mn id="S5.4.p4.4.m4.1.1.8.3" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.8.3.cmml">1</mn><mo id="S5.4.p4.4.m4.1.1.8.1a" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.8.1.cmml">−</mo><mn id="S5.4.p4.4.m4.1.1.8.4" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.8.4.cmml">1</mn></mrow><mo id="S5.4.p4.4.m4.1.1.9" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.9.cmml">=</mo><mn id="S5.4.p4.4.m4.1.1.10" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.10.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.4.p4.4.m4.1b"><apply id="S5.4.p4.4.m4.1.1.cmml" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1"><and id="S5.4.p4.4.m4.1.1a.cmml" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1"></and><apply id="S5.4.p4.4.m4.1.1b.cmml" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1"><eq id="S5.4.p4.4.m4.1.1.4.cmml" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.4"></eq><apply id="S5.4.p4.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.4.p4.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.4.p4.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.3.2">𝑝</ci><ci id="S5.4.p4.4.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.3.3">𝑛</ci></apply><apply id="S5.4.p4.4.m4.1.1.5.cmml" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.5"><minus id="S5.4.p4.4.m4.1.1.5.1.cmml" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.5.1"></minus><cn id="S5.4.p4.4.m4.1.1.5.2.cmml" type="integer" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.5.2">2</cn><ci id="S5.4.p4.4.m4.1.1.5.3.cmml" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.5.3">𝜂</ci><apply id="S5.4.p4.4.m4.1.1.5.4.cmml" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.5.4"><times id="S5.4.p4.4.m4.1.1.5.4.1.cmml" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.5.4.1"></times><ci id="S5.4.p4.4.m4.1.1.5.4.2.cmml" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.5.4.2">𝛾</ci><apply id="S5.4.p4.4.m4.1.1.5.4.3.cmml" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.5.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.4.p4.4.m4.1.1.5.4.3.1.cmml" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.5.4.3">subscript</csymbol><ci id="S5.4.p4.4.m4.1.1.5.4.3.2.cmml" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.5.4.3.2">𝜆</ci><ci id="S5.4.p4.4.m4.1.1.5.4.3.3.cmml" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.5.4.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S5.4.p4.4.m4.1.1c.cmml" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1"><geq id="S5.4.p4.4.m4.1.1.6.cmml" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.6"></geq><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S5.4.p4.4.m4.1.1.5.cmml" id="S5.4.p4.4.m4.1.1d.cmml" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1"></share><apply id="S5.4.p4.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.1"><minus id="S5.4.p4.4.m4.1.1.1.2.cmml" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.1.2"></minus><cn id="S5.4.p4.4.m4.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.1.3">2</cn><apply id="S5.4.p4.4.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.1.1"><times id="S5.4.p4.4.m4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.1.1.2"></times><cn id="S5.4.p4.4.m4.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.1.1.3">2</cn><apply id="S5.4.p4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.1.1.1.1"><minus id="S5.4.p4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S5.4.p4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><ci id="S5.4.p4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.3">italic-ϖ</ci></apply></apply><cn id="S5.4.p4.4.m4.1.1.1.4.cmml" type="integer" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.1.4">1</cn></apply></apply><apply id="S5.4.p4.4.m4.1.1e.cmml" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1"><geq id="S5.4.p4.4.m4.1.1.7.cmml" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.7"></geq><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S5.4.p4.4.m4.1.1.1.cmml" id="S5.4.p4.4.m4.1.1f.cmml" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1"></share><apply id="S5.4.p4.4.m4.1.1.8.cmml" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.8"><minus id="S5.4.p4.4.m4.1.1.8.1.cmml" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.8.1"></minus><cn id="S5.4.p4.4.m4.1.1.8.2.cmml" type="integer" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.8.2">2</cn><cn id="S5.4.p4.4.m4.1.1.8.3.cmml" type="integer" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.8.3">1</cn><cn id="S5.4.p4.4.m4.1.1.8.4.cmml" type="integer" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.8.4">1</cn></apply></apply><apply id="S5.4.p4.4.m4.1.1g.cmml" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1"><eq id="S5.4.p4.4.m4.1.1.9.cmml" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.9"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S5.4.p4.4.m4.1.1.8.cmml" id="S5.4.p4.4.m4.1.1h.cmml" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1"></share><cn id="S5.4.p4.4.m4.1.1.10.cmml" type="integer" xref="S5.4.p4.4.m4.1.1.10">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.4.p4.4.m4.1c">p_{n}=2-\eta-\gamma\lambda_{n}\geq 2-2(1-\varpi)-1\geq 2-1-1=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.4.p4.4.m4.1d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT = 2 - italic_η - italic_γ italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ≥ 2 - 2 ( 1 - italic_ϖ ) - 1 ≥ 2 - 1 - 1 = 0</annotation></semantics></math>, it can be verified that <math alttext="\lvert\theta_{n}^{-}\rvert\leq\lvert\theta_{n}^{+}\rvert" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.4.p4.5.m5.2"><semantics id="S5.4.p4.5.m5.2a"><mrow id="S5.4.p4.5.m5.2.2" xref="S5.4.p4.5.m5.2.2.cmml"><mrow id="S5.4.p4.5.m5.1.1.1.1" xref="S5.4.p4.5.m5.1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.4.p4.5.m5.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.4.p4.5.m5.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msubsup id="S5.4.p4.5.m5.1.1.1.1.1" xref="S5.4.p4.5.m5.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.4.p4.5.m5.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.4.p4.5.m5.1.1.1.1.1.2.2.cmml">θ</mi><mi id="S5.4.p4.5.m5.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.4.p4.5.m5.1.1.1.1.1.2.3.cmml">n</mi><mo id="S5.4.p4.5.m5.1.1.1.1.1.3" xref="S5.4.p4.5.m5.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo></msubsup><mo id="S5.4.p4.5.m5.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.4.p4.5.m5.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S5.4.p4.5.m5.2.2.3" xref="S5.4.p4.5.m5.2.2.3.cmml">≤</mo><mrow id="S5.4.p4.5.m5.2.2.2.1" xref="S5.4.p4.5.m5.2.2.2.2.cmml"><mo id="S5.4.p4.5.m5.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S5.4.p4.5.m5.2.2.2.2.1.cmml">|</mo><msubsup id="S5.4.p4.5.m5.2.2.2.1.1" xref="S5.4.p4.5.m5.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S5.4.p4.5.m5.2.2.2.1.1.2.2" xref="S5.4.p4.5.m5.2.2.2.1.1.2.2.cmml">θ</mi><mi id="S5.4.p4.5.m5.2.2.2.1.1.2.3" xref="S5.4.p4.5.m5.2.2.2.1.1.2.3.cmml">n</mi><mo id="S5.4.p4.5.m5.2.2.2.1.1.3" xref="S5.4.p4.5.m5.2.2.2.1.1.3.cmml">+</mo></msubsup><mo id="S5.4.p4.5.m5.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S5.4.p4.5.m5.2.2.2.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.4.p4.5.m5.2b"><apply id="S5.4.p4.5.m5.2.2.cmml" xref="S5.4.p4.5.m5.2.2"><leq id="S5.4.p4.5.m5.2.2.3.cmml" xref="S5.4.p4.5.m5.2.2.3"></leq><apply id="S5.4.p4.5.m5.1.1.1.2.cmml" xref="S5.4.p4.5.m5.1.1.1.1"><abs id="S5.4.p4.5.m5.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.4.p4.5.m5.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S5.4.p4.5.m5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.4.p4.5.m5.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.4.p4.5.m5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.4.p4.5.m5.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.4.p4.5.m5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.4.p4.5.m5.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.4.p4.5.m5.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.4.p4.5.m5.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.4.p4.5.m5.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.4.p4.5.m5.1.1.1.1.1.2.2">𝜃</ci><ci id="S5.4.p4.5.m5.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.4.p4.5.m5.1.1.1.1.1.2.3">𝑛</ci></apply><minus id="S5.4.p4.5.m5.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.4.p4.5.m5.1.1.1.1.1.3"></minus></apply></apply><apply id="S5.4.p4.5.m5.2.2.2.2.cmml" xref="S5.4.p4.5.m5.2.2.2.1"><abs id="S5.4.p4.5.m5.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.4.p4.5.m5.2.2.2.1.2"></abs><apply id="S5.4.p4.5.m5.2.2.2.1.1.cmml" xref="S5.4.p4.5.m5.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.4.p4.5.m5.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.4.p4.5.m5.2.2.2.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.4.p4.5.m5.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.4.p4.5.m5.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.4.p4.5.m5.2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.4.p4.5.m5.2.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.4.p4.5.m5.2.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S5.4.p4.5.m5.2.2.2.1.1.2.2">𝜃</ci><ci id="S5.4.p4.5.m5.2.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S5.4.p4.5.m5.2.2.2.1.1.2.3">𝑛</ci></apply><plus id="S5.4.p4.5.m5.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S5.4.p4.5.m5.2.2.2.1.1.3"></plus></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.4.p4.5.m5.2c">\lvert\theta_{n}^{-}\rvert\leq\lvert\theta_{n}^{+}\rvert</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.4.p4.5.m5.2d">| italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT | ≤ | italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT |</annotation></semantics></math>. Multiplying (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#A0.E35.1" title="Equation 35a ‣ Equation 35 ‣ Proof: ‣ V Conclusions ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">35a</span></a>) by <math alttext="\theta_{n}^{-}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.4.p4.6.m6.1"><semantics id="S5.4.p4.6.m6.1a"><msubsup id="S5.4.p4.6.m6.1.1" xref="S5.4.p4.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S5.4.p4.6.m6.1.1.2.2" xref="S5.4.p4.6.m6.1.1.2.2.cmml">θ</mi><mi id="S5.4.p4.6.m6.1.1.2.3" xref="S5.4.p4.6.m6.1.1.2.3.cmml">n</mi><mo id="S5.4.p4.6.m6.1.1.3" xref="S5.4.p4.6.m6.1.1.3.cmml">−</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.4.p4.6.m6.1b"><apply id="S5.4.p4.6.m6.1.1.cmml" xref="S5.4.p4.6.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.4.p4.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S5.4.p4.6.m6.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.4.p4.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S5.4.p4.6.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.4.p4.6.m6.1.1.2.1.cmml" xref="S5.4.p4.6.m6.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.4.p4.6.m6.1.1.2.2.cmml" xref="S5.4.p4.6.m6.1.1.2.2">𝜃</ci><ci id="S5.4.p4.6.m6.1.1.2.3.cmml" xref="S5.4.p4.6.m6.1.1.2.3">𝑛</ci></apply><minus id="S5.4.p4.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S5.4.p4.6.m6.1.1.3"></minus></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.4.p4.6.m6.1c">\theta_{n}^{-}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.4.p4.6.m6.1d">italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#A0.E35.2" title="Equation 35b ‣ Equation 35 ‣ Proof: ‣ V Conclusions ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">35b</span></a>) by <math alttext="\theta_{n}^{+}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.4.p4.7.m7.1"><semantics id="S5.4.p4.7.m7.1a"><msubsup id="S5.4.p4.7.m7.1.1" xref="S5.4.p4.7.m7.1.1.cmml"><mi id="S5.4.p4.7.m7.1.1.2.2" xref="S5.4.p4.7.m7.1.1.2.2.cmml">θ</mi><mi id="S5.4.p4.7.m7.1.1.2.3" xref="S5.4.p4.7.m7.1.1.2.3.cmml">n</mi><mo id="S5.4.p4.7.m7.1.1.3" xref="S5.4.p4.7.m7.1.1.3.cmml">+</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.4.p4.7.m7.1b"><apply id="S5.4.p4.7.m7.1.1.cmml" xref="S5.4.p4.7.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.4.p4.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S5.4.p4.7.m7.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.4.p4.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S5.4.p4.7.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.4.p4.7.m7.1.1.2.1.cmml" xref="S5.4.p4.7.m7.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.4.p4.7.m7.1.1.2.2.cmml" xref="S5.4.p4.7.m7.1.1.2.2">𝜃</ci><ci id="S5.4.p4.7.m7.1.1.2.3.cmml" xref="S5.4.p4.7.m7.1.1.2.3">𝑛</ci></apply><plus id="S5.4.p4.7.m7.1.1.3.cmml" xref="S5.4.p4.7.m7.1.1.3"></plus></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.4.p4.7.m7.1c">\theta_{n}^{+}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.4.p4.7.m7.1d">italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and subtracting the resultant equations yield</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A0.EGx50"> <tbody id="A0.Ex7"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\lvert a_{m}^{(n)}\rvert" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex7.m1.2"><semantics id="A0.Ex7.m1.2a"><mrow id="A0.Ex7.m1.2.2.1" xref="A0.Ex7.m1.2.2.2.cmml"><mo id="A0.Ex7.m1.2.2.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex7.m1.2.2.2.1.cmml">|</mo><msubsup id="A0.Ex7.m1.2.2.1.1" xref="A0.Ex7.m1.2.2.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex7.m1.2.2.1.1.2.2" xref="A0.Ex7.m1.2.2.1.1.2.2.cmml">a</mi><mi id="A0.Ex7.m1.2.2.1.1.2.3" xref="A0.Ex7.m1.2.2.1.1.2.3.cmml">m</mi><mrow id="A0.Ex7.m1.1.1.1.3" xref="A0.Ex7.m1.2.2.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex7.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A0.Ex7.m1.2.2.1.1.cmml">(</mo><mi id="A0.Ex7.m1.1.1.1.1" xref="A0.Ex7.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex7.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A0.Ex7.m1.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="A0.Ex7.m1.2.2.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex7.m1.2.2.2.1.cmml">|</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex7.m1.2b"><apply id="A0.Ex7.m1.2.2.2.cmml" xref="A0.Ex7.m1.2.2.1"><abs id="A0.Ex7.m1.2.2.2.1.cmml" xref="A0.Ex7.m1.2.2.1.2"></abs><apply id="A0.Ex7.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A0.Ex7.m1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex7.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex7.m1.2.2.1.1">superscript</csymbol><apply id="A0.Ex7.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex7.m1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex7.m1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="A0.Ex7.m1.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="A0.Ex7.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="A0.Ex7.m1.2.2.1.1.2.2">𝑎</ci><ci id="A0.Ex7.m1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="A0.Ex7.m1.2.2.1.1.2.3">𝑚</ci></apply><ci id="A0.Ex7.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex7.m1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex7.m1.2c">\displaystyle\lvert a_{m}^{(n)}\rvert</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex7.m1.2d">| italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT |</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle{}={}" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex7.m2.1"><semantics id="A0.Ex7.m2.1a"><mo id="A0.Ex7.m2.1.1" xref="A0.Ex7.m2.1.1.cmml">=</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex7.m2.1b"><eq id="A0.Ex7.m2.1.1.cmml" xref="A0.Ex7.m2.1.1"></eq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex7.m2.1c">\displaystyle{}={}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex7.m2.1d">=</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\frac{1}{\lvert\theta_{n}^{+}-\theta_{n}^{-}\rvert}\Bigl{\lvert}(% \theta_{n}^{+})^{m+1}\Delta_{0}^{(n)-}-(\theta_{n}^{-})^{m+1}\Delta_{0}^{(n)+}% \Bigr{\rvert}" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex7.m3.4"><semantics id="A0.Ex7.m3.4a"><mrow id="A0.Ex7.m3.4.4" xref="A0.Ex7.m3.4.4.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A0.Ex7.m3.1.1" xref="A0.Ex7.m3.1.1.cmml"><mfrac id="A0.Ex7.m3.1.1a" xref="A0.Ex7.m3.1.1.cmml"><mn id="A0.Ex7.m3.1.1.3" xref="A0.Ex7.m3.1.1.3.cmml">1</mn><mrow id="A0.Ex7.m3.1.1.1.1" xref="A0.Ex7.m3.1.1.1.2.cmml"><mo id="A0.Ex7.m3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex7.m3.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A0.Ex7.m3.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex7.m3.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A0.Ex7.m3.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex7.m3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A0.Ex7.m3.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A0.Ex7.m3.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">θ</mi><mi id="A0.Ex7.m3.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A0.Ex7.m3.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex7.m3.1.1.1.1.1.2.3" xref="A0.Ex7.m3.1.1.1.1.1.2.3.cmml">+</mo></msubsup><mo id="A0.Ex7.m3.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex7.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msubsup id="A0.Ex7.m3.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex7.m3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A0.Ex7.m3.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A0.Ex7.m3.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">θ</mi><mi id="A0.Ex7.m3.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A0.Ex7.m3.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex7.m3.1.1.1.1.1.3.3" xref="A0.Ex7.m3.1.1.1.1.1.3.3.cmml">−</mo></msubsup></mrow><mo id="A0.Ex7.m3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex7.m3.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mfrac></mstyle><mo id="A0.Ex7.m3.4.4.2" xref="A0.Ex7.m3.4.4.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex7.m3.4.4.1.1" xref="A0.Ex7.m3.4.4.1.2.cmml"><mo id="A0.Ex7.m3.4.4.1.1.2" maxsize="160%" minsize="160%" xref="A0.Ex7.m3.4.4.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A0.Ex7.m3.4.4.1.1.1" xref="A0.Ex7.m3.4.4.1.1.1.cmml"><mrow id="A0.Ex7.m3.4.4.1.1.1.1" xref="A0.Ex7.m3.4.4.1.1.1.1.cmml"><msup id="A0.Ex7.m3.4.4.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex7.m3.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A0.Ex7.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex7.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex7.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex7.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="A0.Ex7.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex7.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex7.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A0.Ex7.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">θ</mi><mi id="A0.Ex7.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A0.Ex7.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex7.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex7.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">+</mo></msubsup><mo id="A0.Ex7.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex7.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A0.Ex7.m3.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex7.m3.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A0.Ex7.m3.4.4.1.1.1.1.1.3.2" xref="A0.Ex7.m3.4.4.1.1.1.1.1.3.2.cmml">m</mi><mo id="A0.Ex7.m3.4.4.1.1.1.1.1.3.1" xref="A0.Ex7.m3.4.4.1.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mn id="A0.Ex7.m3.4.4.1.1.1.1.1.3.3" xref="A0.Ex7.m3.4.4.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A0.Ex7.m3.4.4.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex7.m3.4.4.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="A0.Ex7.m3.4.4.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex7.m3.4.4.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A0.Ex7.m3.4.4.1.1.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="A0.Ex7.m3.4.4.1.1.1.1.3.2.2.cmml">Δ</mi><mn id="A0.Ex7.m3.4.4.1.1.1.1.3.2.3" xref="A0.Ex7.m3.4.4.1.1.1.1.3.2.3.cmml">0</mn><mrow id="A0.Ex7.m3.2.2.1" xref="A0.Ex7.m3.2.2.1.cmml"><mrow id="A0.Ex7.m3.2.2.1.3.2" xref="A0.Ex7.m3.2.2.1.cmml"><mo id="A0.Ex7.m3.2.2.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A0.Ex7.m3.2.2.1.cmml">(</mo><mi id="A0.Ex7.m3.2.2.1.1" xref="A0.Ex7.m3.2.2.1.1.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex7.m3.2.2.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A0.Ex7.m3.2.2.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A0.Ex7.m3.2.2.1.4" xref="A0.Ex7.m3.2.2.1.4.cmml">−</mo></mrow></msubsup></mrow><mo id="A0.Ex7.m3.4.4.1.1.1.3" xref="A0.Ex7.m3.4.4.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="A0.Ex7.m3.4.4.1.1.1.2" xref="A0.Ex7.m3.4.4.1.1.1.2.cmml"><msup id="A0.Ex7.m3.4.4.1.1.1.2.1" xref="A0.Ex7.m3.4.4.1.1.1.2.1.cmml"><mrow id="A0.Ex7.m3.4.4.1.1.1.2.1.1.1" xref="A0.Ex7.m3.4.4.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex7.m3.4.4.1.1.1.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex7.m3.4.4.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="A0.Ex7.m3.4.4.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="A0.Ex7.m3.4.4.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex7.m3.4.4.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2" xref="A0.Ex7.m3.4.4.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.cmml">θ</mi><mi id="A0.Ex7.m3.4.4.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3" xref="A0.Ex7.m3.4.4.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex7.m3.4.4.1.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex7.m3.4.4.1.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml">−</mo></msubsup><mo id="A0.Ex7.m3.4.4.1.1.1.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex7.m3.4.4.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A0.Ex7.m3.4.4.1.1.1.2.1.3" xref="A0.Ex7.m3.4.4.1.1.1.2.1.3.cmml"><mi id="A0.Ex7.m3.4.4.1.1.1.2.1.3.2" xref="A0.Ex7.m3.4.4.1.1.1.2.1.3.2.cmml">m</mi><mo id="A0.Ex7.m3.4.4.1.1.1.2.1.3.1" xref="A0.Ex7.m3.4.4.1.1.1.2.1.3.1.cmml">+</mo><mn id="A0.Ex7.m3.4.4.1.1.1.2.1.3.3" xref="A0.Ex7.m3.4.4.1.1.1.2.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A0.Ex7.m3.4.4.1.1.1.2.2" xref="A0.Ex7.m3.4.4.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="A0.Ex7.m3.4.4.1.1.1.2.3" xref="A0.Ex7.m3.4.4.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A0.Ex7.m3.4.4.1.1.1.2.3.2.2" mathvariant="normal" xref="A0.Ex7.m3.4.4.1.1.1.2.3.2.2.cmml">Δ</mi><mn id="A0.Ex7.m3.4.4.1.1.1.2.3.2.3" xref="A0.Ex7.m3.4.4.1.1.1.2.3.2.3.cmml">0</mn><mrow id="A0.Ex7.m3.3.3.1" xref="A0.Ex7.m3.3.3.1.cmml"><mrow id="A0.Ex7.m3.3.3.1.3.2" xref="A0.Ex7.m3.3.3.1.cmml"><mo id="A0.Ex7.m3.3.3.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A0.Ex7.m3.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="A0.Ex7.m3.3.3.1.1" xref="A0.Ex7.m3.3.3.1.1.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex7.m3.3.3.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A0.Ex7.m3.3.3.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A0.Ex7.m3.3.3.1.4" xref="A0.Ex7.m3.3.3.1.4.cmml">+</mo></mrow></msubsup></mrow></mrow><mo id="A0.Ex7.m3.4.4.1.1.3" maxsize="160%" minsize="160%" 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class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="A0.Ex8.m2.3"><semantics id="A0.Ex8.m2.3a"><mrow id="A0.Ex8.m2.3b"><mstyle displaystyle="true" id="A0.Ex8.m2.1.1"><mfrac id="A0.Ex8.m2.1.1a"><mn id="A0.Ex8.m2.1.1.3">1</mn><mrow id="A0.Ex8.m2.1.1.1.1"><mo id="A0.Ex8.m2.1.1.1.1.2" stretchy="false">|</mo><mrow id="A0.Ex8.m2.1.1.1.1.1"><msubsup id="A0.Ex8.m2.1.1.1.1.1.2"><mi id="A0.Ex8.m2.1.1.1.1.1.2.2.2">θ</mi><mi id="A0.Ex8.m2.1.1.1.1.1.2.2.3">n</mi><mo id="A0.Ex8.m2.1.1.1.1.1.2.3">+</mo></msubsup><mo id="A0.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1">−</mo><msubsup id="A0.Ex8.m2.1.1.1.1.1.3"><mi id="A0.Ex8.m2.1.1.1.1.1.3.2.2">θ</mi><mi id="A0.Ex8.m2.1.1.1.1.1.3.2.3">n</mi><mo id="A0.Ex8.m2.1.1.1.1.1.3.3">−</mo></msubsup></mrow><mo id="A0.Ex8.m2.1.1.1.1.3" stretchy="false">|</mo></mrow></mfrac></mstyle><mrow id="A0.Ex8.m2.3.4"><mo id="A0.Ex8.m2.3.4.1" maxsize="160%" minsize="160%">|</mo><msup id="A0.Ex8.m2.3.4.2"><mrow id="A0.Ex8.m2.3.4.2.2"><mo id="A0.Ex8.m2.3.4.2.2.1" stretchy="false">(</mo><msubsup id="A0.Ex8.m2.3.4.2.2.2"><mi id="A0.Ex8.m2.3.4.2.2.2.2.2">θ</mi><mi id="A0.Ex8.m2.3.4.2.2.2.2.3">n</mi><mo id="A0.Ex8.m2.3.4.2.2.2.3">+</mo></msubsup><mo id="A0.Ex8.m2.3.4.2.2.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mrow id="A0.Ex8.m2.3.4.2.3"><mi id="A0.Ex8.m2.3.4.2.3.2">m</mi><mo id="A0.Ex8.m2.3.4.2.3.1">+</mo><mn id="A0.Ex8.m2.3.4.2.3.3">1</mn></mrow></msup><msubsup id="A0.Ex8.m2.3.4.3"><mi id="A0.Ex8.m2.3.4.3.2.2" mathvariant="normal">Δ</mi><mn id="A0.Ex8.m2.3.4.3.2.3">0</mn><mrow id="A0.Ex8.m2.2.2.1"><mrow id="A0.Ex8.m2.2.2.1.3.2"><mo id="A0.Ex8.m2.2.2.1.3.2.1" stretchy="false">(</mo><mi id="A0.Ex8.m2.2.2.1.1">n</mi><mo id="A0.Ex8.m2.2.2.1.3.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="A0.Ex8.m2.2.2.1.4">−</mo></mrow></msubsup><mo id="A0.Ex8.m2.3.4.4">−</mo><msup id="A0.Ex8.m2.3.4.5"><mrow id="A0.Ex8.m2.3.4.5.2"><mo id="A0.Ex8.m2.3.4.5.2.1" stretchy="false">(</mo><msubsup id="A0.Ex8.m2.3.4.5.2.2"><mi id="A0.Ex8.m2.3.4.5.2.2.2.2">θ</mi><mi id="A0.Ex8.m2.3.4.5.2.2.2.3">n</mi><mo id="A0.Ex8.m2.3.4.5.2.2.3">−</mo></msubsup><mo id="A0.Ex8.m2.3.4.5.2.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mrow id="A0.Ex8.m2.3.4.5.3"><mi id="A0.Ex8.m2.3.4.5.3.2">m</mi><mo id="A0.Ex8.m2.3.4.5.3.1">+</mo><mn id="A0.Ex8.m2.3.4.5.3.3">1</mn></mrow></msup><msubsup id="A0.Ex8.m2.3.4.6"><mi id="A0.Ex8.m2.3.4.6.2.2" mathvariant="normal">Δ</mi><mn id="A0.Ex8.m2.3.4.6.2.3">0</mn><mrow id="A0.Ex8.m2.3.3.1"><mrow id="A0.Ex8.m2.3.3.1.3.2"><mo id="A0.Ex8.m2.3.3.1.3.2.1" stretchy="false">(</mo><mi id="A0.Ex8.m2.3.3.1.1">n</mi><mo id="A0.Ex8.m2.3.3.1.3.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="A0.Ex8.m2.3.3.1.4">−</mo></mrow></msubsup></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex8.m2.3c">\displaystyle\frac{1}{\lvert\theta_{n}^{+}-\theta_{n}^{-}\rvert}\Bigl{\lvert}(% \theta_{n}^{+})^{m+1}\Delta_{0}^{(n)-}-(\theta_{n}^{-})^{m+1}\Delta_{0}^{(n)-}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex8.m2.3d">divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG | italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT - italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT | end_ARG | ( italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_m + 1 end_POSTSUPERSCRIPT roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) - end_POSTSUPERSCRIPT - ( italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_m + 1 end_POSTSUPERSCRIPT roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) - end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A0.Ex9"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\phantom{\frac{1}{\lvert\theta_{n}^{+}-\theta_{n}^{-}\rvert}\Bigl% {\lvert}}+(\theta_{n}^{-})^{m+1}\Delta_{0}^{(n)-}-(\theta_{n}^{-})^{m+1}\Delta% _{0}^{(n)+}\Bigr{\rvert}" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="A0.Ex9.m1.2"><semantics id="A0.Ex9.m1.2a"><mrow id="A0.Ex9.m1.2b"><mo id="A0.Ex9.m1.2.3">+</mo><msup id="A0.Ex9.m1.2.4"><mrow id="A0.Ex9.m1.2.4.2"><mo id="A0.Ex9.m1.2.4.2.1" stretchy="false">(</mo><msubsup id="A0.Ex9.m1.2.4.2.2"><mi id="A0.Ex9.m1.2.4.2.2.2.2">θ</mi><mi id="A0.Ex9.m1.2.4.2.2.2.3">n</mi><mo id="A0.Ex9.m1.2.4.2.2.3">−</mo></msubsup><mo id="A0.Ex9.m1.2.4.2.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mrow id="A0.Ex9.m1.2.4.3"><mi id="A0.Ex9.m1.2.4.3.2">m</mi><mo id="A0.Ex9.m1.2.4.3.1">+</mo><mn id="A0.Ex9.m1.2.4.3.3">1</mn></mrow></msup><msubsup id="A0.Ex9.m1.2.5"><mi id="A0.Ex9.m1.2.5.2.2" mathvariant="normal">Δ</mi><mn id="A0.Ex9.m1.2.5.2.3">0</mn><mrow id="A0.Ex9.m1.1.1.1"><mrow id="A0.Ex9.m1.1.1.1.3.2"><mo id="A0.Ex9.m1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false">(</mo><mi id="A0.Ex9.m1.1.1.1.1">n</mi><mo id="A0.Ex9.m1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="A0.Ex9.m1.1.1.1.4">−</mo></mrow></msubsup><mo id="A0.Ex9.m1.2.6">−</mo><msup id="A0.Ex9.m1.2.7"><mrow id="A0.Ex9.m1.2.7.2"><mo id="A0.Ex9.m1.2.7.2.1" stretchy="false">(</mo><msubsup id="A0.Ex9.m1.2.7.2.2"><mi id="A0.Ex9.m1.2.7.2.2.2.2">θ</mi><mi id="A0.Ex9.m1.2.7.2.2.2.3">n</mi><mo id="A0.Ex9.m1.2.7.2.2.3">−</mo></msubsup><mo id="A0.Ex9.m1.2.7.2.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mrow id="A0.Ex9.m1.2.7.3"><mi id="A0.Ex9.m1.2.7.3.2">m</mi><mo id="A0.Ex9.m1.2.7.3.1">+</mo><mn id="A0.Ex9.m1.2.7.3.3">1</mn></mrow></msup><msubsup id="A0.Ex9.m1.2.8"><mi id="A0.Ex9.m1.2.8.2.2" mathvariant="normal">Δ</mi><mn id="A0.Ex9.m1.2.8.2.3">0</mn><mrow id="A0.Ex9.m1.2.2.1"><mrow id="A0.Ex9.m1.2.2.1.3.2"><mo id="A0.Ex9.m1.2.2.1.3.2.1" stretchy="false">(</mo><mi id="A0.Ex9.m1.2.2.1.1">n</mi><mo id="A0.Ex9.m1.2.2.1.3.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="A0.Ex9.m1.2.2.1.4">+</mo></mrow></msubsup><mo id="A0.Ex9.m1.2.9" maxsize="160%" minsize="160%">|</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex9.m1.2c">\displaystyle\phantom{\frac{1}{\lvert\theta_{n}^{+}-\theta_{n}^{-}\rvert}\Bigl% {\lvert}}+(\theta_{n}^{-})^{m+1}\Delta_{0}^{(n)-}-(\theta_{n}^{-})^{m+1}\Delta% _{0}^{(n)+}\Bigr{\rvert}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex9.m1.2d">+ ( italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_m + 1 end_POSTSUPERSCRIPT roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) - end_POSTSUPERSCRIPT - ( italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_m + 1 end_POSTSUPERSCRIPT roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) + end_POSTSUPERSCRIPT |</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright" colspan="3"></td> </tr></tbody> <tbody id="A0.Ex10"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex10.m1.1"><semantics id="A0.Ex10.m1.1a"><mo id="A0.Ex10.m1.1.1" xref="A0.Ex10.m1.1.1.cmml">≤</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex10.m1.1b"><leq id="A0.Ex10.m1.1.1.cmml" xref="A0.Ex10.m1.1.1"></leq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex10.m1.1c">\displaystyle\leq</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex10.m1.1d">≤</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\frac{\lvert(\theta_{n}^{+})^{m+1}-(\theta_{n}^{-})^{m+1}\rvert}{% \lvert\theta_{n}^{+}-\theta_{n}^{-}\rvert}\lvert\Delta_{0}^{(n)-}\rvert" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex10.m2.4"><semantics id="A0.Ex10.m2.4a"><mrow id="A0.Ex10.m2.4.4" xref="A0.Ex10.m2.4.4.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A0.Ex10.m2.2.2" xref="A0.Ex10.m2.2.2.cmml"><mfrac id="A0.Ex10.m2.2.2a" xref="A0.Ex10.m2.2.2.cmml"><mrow id="A0.Ex10.m2.1.1.1.1" xref="A0.Ex10.m2.1.1.1.2.cmml"><mo id="A0.Ex10.m2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex10.m2.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A0.Ex10.m2.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex10.m2.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="A0.Ex10.m2.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex10.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A0.Ex10.m2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex10.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex10.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex10.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="A0.Ex10.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex10.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex10.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A0.Ex10.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">θ</mi><mi id="A0.Ex10.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A0.Ex10.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex10.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex10.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">+</mo></msubsup><mo id="A0.Ex10.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex10.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A0.Ex10.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex10.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A0.Ex10.m2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A0.Ex10.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">m</mi><mo id="A0.Ex10.m2.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A0.Ex10.m2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mn id="A0.Ex10.m2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A0.Ex10.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A0.Ex10.m2.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex10.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><msup id="A0.Ex10.m2.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex10.m2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="A0.Ex10.m2.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="A0.Ex10.m2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex10.m2.1.1.1.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex10.m2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="A0.Ex10.m2.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="A0.Ex10.m2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex10.m2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2" xref="A0.Ex10.m2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml">θ</mi><mi id="A0.Ex10.m2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3" xref="A0.Ex10.m2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex10.m2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="A0.Ex10.m2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml">−</mo></msubsup><mo id="A0.Ex10.m2.1.1.1.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex10.m2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A0.Ex10.m2.1.1.1.1.1.2.3" xref="A0.Ex10.m2.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A0.Ex10.m2.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A0.Ex10.m2.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A0.Ex10.m2.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="A0.Ex10.m2.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="A0.Ex10.m2.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A0.Ex10.m2.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow><mo id="A0.Ex10.m2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex10.m2.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mrow id="A0.Ex10.m2.2.2.2.1" xref="A0.Ex10.m2.2.2.2.2.cmml"><mo id="A0.Ex10.m2.2.2.2.1.2" stretchy="false" 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alttext="\displaystyle+\lvert(\theta_{n}^{-})\rvert^{m+1}\frac{\lvert\Delta_{0}^{(n)-}-% \Delta_{0}^{(n)+}\rvert}{\lvert\theta_{n}^{+}-\theta_{n}^{-}\rvert}" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex11.m1.5"><semantics id="A0.Ex11.m1.5a"><mrow id="A0.Ex11.m1.5.5" xref="A0.Ex11.m1.5.5.cmml"><mo id="A0.Ex11.m1.5.5a" xref="A0.Ex11.m1.5.5.cmml">+</mo><mrow id="A0.Ex11.m1.5.5.1" xref="A0.Ex11.m1.5.5.1.cmml"><msup id="A0.Ex11.m1.5.5.1.1" xref="A0.Ex11.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="A0.Ex11.m1.5.5.1.1.1.1" xref="A0.Ex11.m1.5.5.1.1.1.2.cmml"><mo id="A0.Ex11.m1.5.5.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex11.m1.5.5.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A0.Ex11.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex11.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex11.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex11.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="A0.Ex11.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex11.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex11.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A0.Ex11.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">θ</mi><mi 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italic_k end_POSTSUPERSCRIPT | | roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) - end_POSTSUPERSCRIPT |</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A0.Ex13"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle+\lvert(\theta_{n}^{-})\rvert^{m+1}\frac{\lvert a_{-1}^{(n)}(% \theta_{n}^{+}-\theta_{n}^{-})\rvert}{\lvert\theta_{n}^{+}-\theta_{n}^{-}\rvert}" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex13.m1.4"><semantics id="A0.Ex13.m1.4a"><mrow id="A0.Ex13.m1.4.4" xref="A0.Ex13.m1.4.4.cmml"><mo id="A0.Ex13.m1.4.4a" xref="A0.Ex13.m1.4.4.cmml">+</mo><mrow id="A0.Ex13.m1.4.4.1" xref="A0.Ex13.m1.4.4.1.cmml"><msup id="A0.Ex13.m1.4.4.1.1" xref="A0.Ex13.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="A0.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1" xref="A0.Ex13.m1.4.4.1.1.1.2.cmml"><mo 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encoding="application/x-tex" id="A0.Ex13.m1.4c">\displaystyle+\lvert(\theta_{n}^{-})\rvert^{m+1}\frac{\lvert a_{-1}^{(n)}(% \theta_{n}^{+}-\theta_{n}^{-})\rvert}{\lvert\theta_{n}^{+}-\theta_{n}^{-}\rvert}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex13.m1.4d">+ | ( italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT ) | start_POSTSUPERSCRIPT italic_m + 1 end_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG | italic_a start_POSTSUBSCRIPT - 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT - italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT ) | end_ARG start_ARG | italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT - italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT | end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright" colspan="3"></td> </tr></tbody> <tbody id="A0.Ex14"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex14.m1.1"><semantics id="A0.Ex14.m1.1a"><mo id="A0.Ex14.m1.1.1" xref="A0.Ex14.m1.1.1.cmml">≤</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex14.m1.1b"><leq id="A0.Ex14.m1.1.1.cmml" xref="A0.Ex14.m1.1.1"></leq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex14.m1.1c">\displaystyle\leq</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex14.m1.1d">≤</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle(m+1)\,\lvert(\theta_{n}^{+})\rvert^{m}\,\lvert\Delta_{0}^{(n)-}% \rvert+\lvert(\theta_{n}^{-})\rvert^{m}\,\lvert a_{-1}^{(n)}\rvert" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex14.m2.7"><semantics id="A0.Ex14.m2.7a"><mrow id="A0.Ex14.m2.7.7" xref="A0.Ex14.m2.7.7.cmml"><mrow id="A0.Ex14.m2.5.5.3" xref="A0.Ex14.m2.5.5.3.cmml"><mrow id="A0.Ex14.m2.3.3.1.1.1" xref="A0.Ex14.m2.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex14.m2.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex14.m2.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.Ex14.m2.3.3.1.1.1.1" xref="A0.Ex14.m2.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex14.m2.3.3.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex14.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml">m</mi><mo id="A0.Ex14.m2.3.3.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex14.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="A0.Ex14.m2.3.3.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex14.m2.3.3.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="A0.Ex14.m2.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex14.m2.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A0.Ex14.m2.5.5.3.4" lspace="0.170em" xref="A0.Ex14.m2.5.5.3.4.cmml">⁢</mo><msup id="A0.Ex14.m2.4.4.2.2" xref="A0.Ex14.m2.4.4.2.2.cmml"><mrow id="A0.Ex14.m2.4.4.2.2.1.1" xref="A0.Ex14.m2.4.4.2.2.1.2.cmml"><mo id="A0.Ex14.m2.4.4.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex14.m2.4.4.2.2.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A0.Ex14.m2.4.4.2.2.1.1.1.1" xref="A0.Ex14.m2.4.4.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex14.m2.4.4.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex14.m2.4.4.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="A0.Ex14.m2.4.4.2.2.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex14.m2.4.4.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex14.m2.4.4.2.2.1.1.1.1.1.2.2" xref="A0.Ex14.m2.4.4.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">θ</mi><mi id="A0.Ex14.m2.4.4.2.2.1.1.1.1.1.2.3" xref="A0.Ex14.m2.4.4.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex14.m2.4.4.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex14.m2.4.4.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">+</mo></msubsup><mo id="A0.Ex14.m2.4.4.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex14.m2.4.4.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A0.Ex14.m2.4.4.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex14.m2.4.4.2.2.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mi id="A0.Ex14.m2.4.4.2.2.3" xref="A0.Ex14.m2.4.4.2.2.3.cmml">m</mi></msup><mo id="A0.Ex14.m2.5.5.3.4a" xref="A0.Ex14.m2.5.5.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex14.m2.5.5.3.3.1" xref="A0.Ex14.m2.5.5.3.3.2.cmml"><mo id="A0.Ex14.m2.5.5.3.3.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex14.m2.5.5.3.3.2.1.cmml">|</mo><msubsup id="A0.Ex14.m2.5.5.3.3.1.1" xref="A0.Ex14.m2.5.5.3.3.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex14.m2.5.5.3.3.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="A0.Ex14.m2.5.5.3.3.1.1.2.2.cmml">Δ</mi><mn id="A0.Ex14.m2.5.5.3.3.1.1.2.3" xref="A0.Ex14.m2.5.5.3.3.1.1.2.3.cmml">0</mn><mrow id="A0.Ex14.m2.1.1.1" xref="A0.Ex14.m2.1.1.1.cmml"><mrow id="A0.Ex14.m2.1.1.1.3.2" xref="A0.Ex14.m2.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex14.m2.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A0.Ex14.m2.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A0.Ex14.m2.1.1.1.1" xref="A0.Ex14.m2.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex14.m2.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A0.Ex14.m2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A0.Ex14.m2.1.1.1.4" xref="A0.Ex14.m2.1.1.1.4.cmml">−</mo></mrow></msubsup><mo 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end_POSTSUPERSCRIPT | + | ( italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT ) | start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT | italic_a start_POSTSUBSCRIPT - 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT |</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A0.Ex15"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex15.m1.1"><semantics id="A0.Ex15.m1.1a"><mo id="A0.Ex15.m1.1.1" xref="A0.Ex15.m1.1.1.cmml">≤</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex15.m1.1b"><leq id="A0.Ex15.m1.1.1.cmml" xref="A0.Ex15.m1.1.1"></leq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" 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end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT |</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A0.Ex16"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex16.m1.1"><semantics id="A0.Ex16.m1.1a"><mo id="A0.Ex16.m1.1.1" xref="A0.Ex16.m1.1.1.cmml">≤</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex16.m1.1b"><leq id="A0.Ex16.m1.1.1.cmml" xref="A0.Ex16.m1.1.1"></leq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex16.m1.1c">\displaystyle\leq</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex16.m1.1d">≤</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle C_{n}\,m\,\varrho^{m}(\eta)\leq C\,m\,\varrho^{m}(\eta)\,," class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex16.m2.3"><semantics id="A0.Ex16.m2.3a"><mrow id="A0.Ex16.m2.3.3.1" xref="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.cmml"><mrow id="A0.Ex16.m2.3.3.1.1" xref="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.cmml"><mrow id="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.2" xref="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.2.cmml"><msub id="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.2.2" xref="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.2.2.cmml"><mi id="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.2.2.2" xref="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.2.2.2.cmml">C</mi><mi id="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.2.2.3" xref="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.2.2.3.cmml">n</mi></msub><mo id="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.2.1" lspace="0.170em" xref="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.2.3" xref="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.2.3.cmml">m</mi><mo id="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.2.1a" lspace="0.170em" xref="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.2.4" xref="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.2.4.cmml"><mi id="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.2.4.2" xref="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.2.4.2.cmml">ϱ</mi><mi id="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.2.4.3" xref="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.2.4.3.cmml">m</mi></msup><mo id="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.2.1b" xref="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.2.5.2" xref="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.2.5.2.1" stretchy="false" xref="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A0.Ex16.m2.1.1" xref="A0.Ex16.m2.1.1.cmml">η</mi><mo id="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.2.5.2.2" stretchy="false" xref="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.1" xref="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.1.cmml">≤</mo><mrow id="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.3" xref="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.3.cmml"><mi id="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.3.2" xref="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.3.2.cmml">C</mi><mo id="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.3.1" lspace="0.170em" xref="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.3.3" xref="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.3.3.cmml">m</mi><mo id="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.3.1a" lspace="0.170em" xref="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.3.4" xref="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.3.4.cmml"><mi id="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.3.4.2" xref="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.3.4.2.cmml">ϱ</mi><mi id="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.3.4.3" xref="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.3.4.3.cmml">m</mi></msup><mo id="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.3.1b" xref="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.3.5.2" xref="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.3.cmml"><mo id="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.3.5.2.1" stretchy="false" xref="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A0.Ex16.m2.2.2" xref="A0.Ex16.m2.2.2.cmml">η</mi><mo id="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.3.5.2.2" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A0.Ex16.m2.3.3.1.2" xref="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex16.m2.3b"><apply id="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.cmml" xref="A0.Ex16.m2.3.3.1"><leq id="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.1"></leq><apply id="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.2"><times id="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.2.1"></times><apply id="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.2.2.1.cmml" xref="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.2.2.2">𝐶</ci><ci id="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.2.2.3">𝑛</ci></apply><ci id="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.2.3">𝑚</ci><apply id="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.2.4.cmml" xref="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.2.4.1.cmml" xref="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.2.4">superscript</csymbol><ci id="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.2.4.2.cmml" xref="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.2.4.2">italic-ϱ</ci><ci id="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.2.4.3.cmml" xref="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.2.4.3">𝑚</ci></apply><ci id="A0.Ex16.m2.1.1.cmml" xref="A0.Ex16.m2.1.1">𝜂</ci></apply><apply id="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.3"><times id="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.3.1"></times><ci id="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.3.2">𝐶</ci><ci id="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.3.3.cmml" xref="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.3.3">𝑚</ci><apply id="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.3.4.cmml" xref="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.3.4.1.cmml" xref="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.3.4">superscript</csymbol><ci id="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.3.4.2.cmml" xref="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.3.4.2">italic-ϱ</ci><ci id="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.3.4.3.cmml" xref="A0.Ex16.m2.3.3.1.1.3.4.3">𝑚</ci></apply><ci id="A0.Ex16.m2.2.2.cmml" xref="A0.Ex16.m2.2.2">𝜂</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex16.m2.3c">\displaystyle C_{n}\,m\,\varrho^{m}(\eta)\leq C\,m\,\varrho^{m}(\eta)\,,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex16.m2.3d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_ϱ start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_η ) ≤ italic_C italic_m italic_ϱ start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_η ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.4.p4.15">for some <math alttext="C_{n}\in\mathbb{R}_{++}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.4.p4.8.m1.1"><semantics id="S5.4.p4.8.m1.1a"><mrow id="S5.4.p4.8.m1.1.1" xref="S5.4.p4.8.m1.1.1.cmml"><msub id="S5.4.p4.8.m1.1.1.2" xref="S5.4.p4.8.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.4.p4.8.m1.1.1.2.2" xref="S5.4.p4.8.m1.1.1.2.2.cmml">C</mi><mi id="S5.4.p4.8.m1.1.1.2.3" xref="S5.4.p4.8.m1.1.1.2.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S5.4.p4.8.m1.1.1.1" xref="S5.4.p4.8.m1.1.1.1.cmml">∈</mo><msub id="S5.4.p4.8.m1.1.1.3" xref="S5.4.p4.8.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.4.p4.8.m1.1.1.3.2" xref="S5.4.p4.8.m1.1.1.3.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S5.4.p4.8.m1.1.1.3.3" xref="S5.4.p4.8.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.4.p4.8.m1.1.1.3.3.2" xref="S5.4.p4.8.m1.1.1.3.3.2.cmml"></mi><mo id="S5.4.p4.8.m1.1.1.3.3.1" rspace="0em" xref="S5.4.p4.8.m1.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mo id="S5.4.p4.8.m1.1.1.3.3.3" lspace="0em" xref="S5.4.p4.8.m1.1.1.3.3.3.cmml">+</mo></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.4.p4.8.m1.1b"><apply id="S5.4.p4.8.m1.1.1.cmml" xref="S5.4.p4.8.m1.1.1"><in id="S5.4.p4.8.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.4.p4.8.m1.1.1.1"></in><apply id="S5.4.p4.8.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.4.p4.8.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.4.p4.8.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.4.p4.8.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.4.p4.8.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.4.p4.8.m1.1.1.2.2">𝐶</ci><ci id="S5.4.p4.8.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.4.p4.8.m1.1.1.2.3">𝑛</ci></apply><apply id="S5.4.p4.8.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.4.p4.8.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.4.p4.8.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.4.p4.8.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.4.p4.8.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.4.p4.8.m1.1.1.3.2">ℝ</ci><apply id="S5.4.p4.8.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.4.p4.8.m1.1.1.3.3"><plus id="S5.4.p4.8.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.4.p4.8.m1.1.1.3.3.1"></plus><csymbol cd="latexml" id="S5.4.p4.8.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.4.p4.8.m1.1.1.3.3.2">absent</csymbol><plus id="S5.4.p4.8.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.4.p4.8.m1.1.1.3.3.3"></plus></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.4.p4.8.m1.1c">C_{n}\in\mathbb{R}_{++}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.4.p4.8.m1.1d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ∈ blackboard_R start_POSTSUBSCRIPT + + end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="C\coloneqq\max_{n\in\mathcal{N}\setminus\{N\}}C_{n}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.4.p4.9.m2.1"><semantics id="S5.4.p4.9.m2.1a"><mrow id="S5.4.p4.9.m2.1.2" xref="S5.4.p4.9.m2.1.2.cmml"><mi id="S5.4.p4.9.m2.1.2.2" xref="S5.4.p4.9.m2.1.2.2.cmml">C</mi><mo id="S5.4.p4.9.m2.1.2.1" xref="S5.4.p4.9.m2.1.2.1.cmml">≔</mo><mrow id="S5.4.p4.9.m2.1.2.3" xref="S5.4.p4.9.m2.1.2.3.cmml"><msub id="S5.4.p4.9.m2.1.2.3.1" xref="S5.4.p4.9.m2.1.2.3.1.cmml"><mi id="S5.4.p4.9.m2.1.2.3.1.2" xref="S5.4.p4.9.m2.1.2.3.1.2.cmml">max</mi><mrow id="S5.4.p4.9.m2.1.1.1" xref="S5.4.p4.9.m2.1.1.1.cmml"><mi id="S5.4.p4.9.m2.1.1.1.3" xref="S5.4.p4.9.m2.1.1.1.3.cmml">n</mi><mo id="S5.4.p4.9.m2.1.1.1.2" xref="S5.4.p4.9.m2.1.1.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="S5.4.p4.9.m2.1.1.1.4" xref="S5.4.p4.9.m2.1.1.1.4.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.4.p4.9.m2.1.1.1.4.2" xref="S5.4.p4.9.m2.1.1.1.4.2.cmml">𝒩</mi><mo id="S5.4.p4.9.m2.1.1.1.4.1" xref="S5.4.p4.9.m2.1.1.1.4.1.cmml">∖</mo><mrow id="S5.4.p4.9.m2.1.1.1.4.3.2" xref="S5.4.p4.9.m2.1.1.1.4.3.1.cmml"><mo id="S5.4.p4.9.m2.1.1.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.4.p4.9.m2.1.1.1.4.3.1.cmml">{</mo><mi id="S5.4.p4.9.m2.1.1.1.1" xref="S5.4.p4.9.m2.1.1.1.1.cmml">N</mi><mo id="S5.4.p4.9.m2.1.1.1.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.4.p4.9.m2.1.1.1.4.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow></msub><mo id="S5.4.p4.9.m2.1.2.3a" lspace="0.167em" xref="S5.4.p4.9.m2.1.2.3.cmml">⁡</mo><msub id="S5.4.p4.9.m2.1.2.3.2" xref="S5.4.p4.9.m2.1.2.3.2.cmml"><mi id="S5.4.p4.9.m2.1.2.3.2.2" xref="S5.4.p4.9.m2.1.2.3.2.2.cmml">C</mi><mi id="S5.4.p4.9.m2.1.2.3.2.3" xref="S5.4.p4.9.m2.1.2.3.2.3.cmml">n</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.4.p4.9.m2.1b"><apply id="S5.4.p4.9.m2.1.2.cmml" xref="S5.4.p4.9.m2.1.2"><ci id="S5.4.p4.9.m2.1.2.1.cmml" xref="S5.4.p4.9.m2.1.2.1">≔</ci><ci id="S5.4.p4.9.m2.1.2.2.cmml" xref="S5.4.p4.9.m2.1.2.2">𝐶</ci><apply id="S5.4.p4.9.m2.1.2.3.cmml" xref="S5.4.p4.9.m2.1.2.3"><apply id="S5.4.p4.9.m2.1.2.3.1.cmml" xref="S5.4.p4.9.m2.1.2.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.4.p4.9.m2.1.2.3.1.1.cmml" xref="S5.4.p4.9.m2.1.2.3.1">subscript</csymbol><max id="S5.4.p4.9.m2.1.2.3.1.2.cmml" xref="S5.4.p4.9.m2.1.2.3.1.2"></max><apply id="S5.4.p4.9.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.4.p4.9.m2.1.1.1"><in id="S5.4.p4.9.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S5.4.p4.9.m2.1.1.1.2"></in><ci id="S5.4.p4.9.m2.1.1.1.3.cmml" xref="S5.4.p4.9.m2.1.1.1.3">𝑛</ci><apply id="S5.4.p4.9.m2.1.1.1.4.cmml" xref="S5.4.p4.9.m2.1.1.1.4"><setdiff id="S5.4.p4.9.m2.1.1.1.4.1.cmml" xref="S5.4.p4.9.m2.1.1.1.4.1"></setdiff><ci id="S5.4.p4.9.m2.1.1.1.4.2.cmml" xref="S5.4.p4.9.m2.1.1.1.4.2">𝒩</ci><set id="S5.4.p4.9.m2.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S5.4.p4.9.m2.1.1.1.4.3.2"><ci id="S5.4.p4.9.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.4.p4.9.m2.1.1.1.1">𝑁</ci></set></apply></apply></apply><apply id="S5.4.p4.9.m2.1.2.3.2.cmml" xref="S5.4.p4.9.m2.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.4.p4.9.m2.1.2.3.2.1.cmml" xref="S5.4.p4.9.m2.1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.4.p4.9.m2.1.2.3.2.2.cmml" xref="S5.4.p4.9.m2.1.2.3.2.2">𝐶</ci><ci id="S5.4.p4.9.m2.1.2.3.2.3.cmml" xref="S5.4.p4.9.m2.1.2.3.2.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.4.p4.9.m2.1c">C\coloneqq\max_{n\in\mathcal{N}\setminus\{N\}}C_{n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.4.p4.9.m2.1d">italic_C ≔ roman_max start_POSTSUBSCRIPT italic_n ∈ caligraphic_N ∖ { italic_N } end_POSTSUBSCRIPT italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. It is worth stressing here that <math alttext="C_{n}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.4.p4.10.m3.1"><semantics id="S5.4.p4.10.m3.1a"><msub id="S5.4.p4.10.m3.1.1" xref="S5.4.p4.10.m3.1.1.cmml"><mi id="S5.4.p4.10.m3.1.1.2" xref="S5.4.p4.10.m3.1.1.2.cmml">C</mi><mi id="S5.4.p4.10.m3.1.1.3" xref="S5.4.p4.10.m3.1.1.3.cmml">n</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.4.p4.10.m3.1b"><apply id="S5.4.p4.10.m3.1.1.cmml" xref="S5.4.p4.10.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.4.p4.10.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.4.p4.10.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.4.p4.10.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.4.p4.10.m3.1.1.2">𝐶</ci><ci id="S5.4.p4.10.m3.1.1.3.cmml" xref="S5.4.p4.10.m3.1.1.3">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.4.p4.10.m3.1c">C_{n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.4.p4.10.m3.1d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="C" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.4.p4.11.m4.1"><semantics id="S5.4.p4.11.m4.1a"><mi id="S5.4.p4.11.m4.1.1" xref="S5.4.p4.11.m4.1.1.cmml">C</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.4.p4.11.m4.1b"><ci id="S5.4.p4.11.m4.1.1.cmml" xref="S5.4.p4.11.m4.1.1">𝐶</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.4.p4.11.m4.1c">C</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.4.p4.11.m4.1d">italic_C</annotation></semantics></math> depend on <math alttext="\mathbf{a}_{-1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.4.p4.12.m5.1"><semantics id="S5.4.p4.12.m5.1a"><msub id="S5.4.p4.12.m5.1.1" xref="S5.4.p4.12.m5.1.1.cmml"><mi id="S5.4.p4.12.m5.1.1.2" xref="S5.4.p4.12.m5.1.1.2.cmml">𝐚</mi><mrow id="S5.4.p4.12.m5.1.1.3" xref="S5.4.p4.12.m5.1.1.3.cmml"><mo id="S5.4.p4.12.m5.1.1.3a" xref="S5.4.p4.12.m5.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="S5.4.p4.12.m5.1.1.3.2" xref="S5.4.p4.12.m5.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.4.p4.12.m5.1b"><apply id="S5.4.p4.12.m5.1.1.cmml" xref="S5.4.p4.12.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.4.p4.12.m5.1.1.1.cmml" xref="S5.4.p4.12.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.4.p4.12.m5.1.1.2.cmml" xref="S5.4.p4.12.m5.1.1.2">𝐚</ci><apply id="S5.4.p4.12.m5.1.1.3.cmml" xref="S5.4.p4.12.m5.1.1.3"><minus id="S5.4.p4.12.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S5.4.p4.12.m5.1.1.3"></minus><cn id="S5.4.p4.12.m5.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.4.p4.12.m5.1.1.3.2">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.4.p4.12.m5.1c">\mathbf{a}_{-1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.4.p4.12.m5.1d">bold_a start_POSTSUBSCRIPT - 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="\mathbf{a}^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.4.p4.13.m6.1"><semantics id="S5.4.p4.13.m6.1a"><msup id="S5.4.p4.13.m6.1.1" xref="S5.4.p4.13.m6.1.1.cmml"><mi id="S5.4.p4.13.m6.1.1.2" xref="S5.4.p4.13.m6.1.1.2.cmml">𝐚</mi><mo id="S5.4.p4.13.m6.1.1.3" xref="S5.4.p4.13.m6.1.1.3.cmml">′</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.4.p4.13.m6.1b"><apply id="S5.4.p4.13.m6.1.1.cmml" xref="S5.4.p4.13.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.4.p4.13.m6.1.1.1.cmml" xref="S5.4.p4.13.m6.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.4.p4.13.m6.1.1.2.cmml" xref="S5.4.p4.13.m6.1.1.2">𝐚</ci><ci id="S5.4.p4.13.m6.1.1.3.cmml" xref="S5.4.p4.13.m6.1.1.3">′</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.4.p4.13.m6.1c">\mathbf{a}^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.4.p4.13.m6.1d">bold_a start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, and hence on <math alttext="\mathbf{x}_{-1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.4.p4.14.m7.1"><semantics id="S5.4.p4.14.m7.1a"><msub id="S5.4.p4.14.m7.1.1" xref="S5.4.p4.14.m7.1.1.cmml"><mi id="S5.4.p4.14.m7.1.1.2" xref="S5.4.p4.14.m7.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mrow id="S5.4.p4.14.m7.1.1.3" xref="S5.4.p4.14.m7.1.1.3.cmml"><mo id="S5.4.p4.14.m7.1.1.3a" xref="S5.4.p4.14.m7.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="S5.4.p4.14.m7.1.1.3.2" xref="S5.4.p4.14.m7.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.4.p4.14.m7.1b"><apply id="S5.4.p4.14.m7.1.1.cmml" xref="S5.4.p4.14.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.4.p4.14.m7.1.1.1.cmml" xref="S5.4.p4.14.m7.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.4.p4.14.m7.1.1.2.cmml" xref="S5.4.p4.14.m7.1.1.2">𝐱</ci><apply id="S5.4.p4.14.m7.1.1.3.cmml" xref="S5.4.p4.14.m7.1.1.3"><minus id="S5.4.p4.14.m7.1.1.3.1.cmml" xref="S5.4.p4.14.m7.1.1.3"></minus><cn id="S5.4.p4.14.m7.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.4.p4.14.m7.1.1.3.2">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.4.p4.14.m7.1c">\mathbf{x}_{-1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.4.p4.14.m7.1d">bold_x start_POSTSUBSCRIPT - 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\mathbf{x}^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.4.p4.15.m8.1"><semantics id="S5.4.p4.15.m8.1a"><msup id="S5.4.p4.15.m8.1.1" xref="S5.4.p4.15.m8.1.1.cmml"><mi id="S5.4.p4.15.m8.1.1.2" xref="S5.4.p4.15.m8.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mo id="S5.4.p4.15.m8.1.1.3" xref="S5.4.p4.15.m8.1.1.3.cmml">′</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.4.p4.15.m8.1b"><apply id="S5.4.p4.15.m8.1.1.cmml" xref="S5.4.p4.15.m8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.4.p4.15.m8.1.1.1.cmml" xref="S5.4.p4.15.m8.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.4.p4.15.m8.1.1.2.cmml" xref="S5.4.p4.15.m8.1.1.2">𝐱</ci><ci id="S5.4.p4.15.m8.1.1.3.cmml" xref="S5.4.p4.15.m8.1.1.3">′</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.4.p4.15.m8.1c">\mathbf{x}^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.4.p4.15.m8.1d">bold_x start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. This delicate point will be addressed at (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#A0.E37" title="Equation 37 ‣ V Conclusions ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">37</span></a>) via <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.I2.i4" title="In Assumptions 4. ‣ III-C Performance analysis of Algorithm 1 ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Assumption</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">4(iv)</span></a>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S5.5.p5"> <p class="ltx_p" id="S5.5.p5.3">Consider now the case where <math alttext="n\in\mathcal{N}\setminus\{N\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.5.p5.1.m1.1"><semantics id="S5.5.p5.1.m1.1a"><mrow id="S5.5.p5.1.m1.1.2" xref="S5.5.p5.1.m1.1.2.cmml"><mi id="S5.5.p5.1.m1.1.2.2" xref="S5.5.p5.1.m1.1.2.2.cmml">n</mi><mo id="S5.5.p5.1.m1.1.2.1" xref="S5.5.p5.1.m1.1.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S5.5.p5.1.m1.1.2.3" xref="S5.5.p5.1.m1.1.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.5.p5.1.m1.1.2.3.2" xref="S5.5.p5.1.m1.1.2.3.2.cmml">𝒩</mi><mo id="S5.5.p5.1.m1.1.2.3.1" xref="S5.5.p5.1.m1.1.2.3.1.cmml">∖</mo><mrow id="S5.5.p5.1.m1.1.2.3.3.2" xref="S5.5.p5.1.m1.1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S5.5.p5.1.m1.1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.5.p5.1.m1.1.2.3.3.1.cmml">{</mo><mi id="S5.5.p5.1.m1.1.1" xref="S5.5.p5.1.m1.1.1.cmml">N</mi><mo id="S5.5.p5.1.m1.1.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.5.p5.1.m1.1.2.3.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.5.p5.1.m1.1b"><apply id="S5.5.p5.1.m1.1.2.cmml" xref="S5.5.p5.1.m1.1.2"><in id="S5.5.p5.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S5.5.p5.1.m1.1.2.1"></in><ci id="S5.5.p5.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S5.5.p5.1.m1.1.2.2">𝑛</ci><apply id="S5.5.p5.1.m1.1.2.3.cmml" xref="S5.5.p5.1.m1.1.2.3"><setdiff id="S5.5.p5.1.m1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.5.p5.1.m1.1.2.3.1"></setdiff><ci id="S5.5.p5.1.m1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.5.p5.1.m1.1.2.3.2">𝒩</ci><set id="S5.5.p5.1.m1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S5.5.p5.1.m1.1.2.3.3.2"><ci id="S5.5.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.5.p5.1.m1.1.1">𝑁</ci></set></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.5.p5.1.m1.1c">n\in\mathcal{N}\setminus\{N\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.5.p5.1.m1.1d">italic_n ∈ caligraphic_N ∖ { italic_N }</annotation></semantics></math> with <math alttext="p_{n}^{2}+4q_{n}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.5.p5.2.m2.1"><semantics id="S5.5.p5.2.m2.1a"><mrow id="S5.5.p5.2.m2.1.1" xref="S5.5.p5.2.m2.1.1.cmml"><mrow id="S5.5.p5.2.m2.1.1.2" xref="S5.5.p5.2.m2.1.1.2.cmml"><msubsup id="S5.5.p5.2.m2.1.1.2.2" xref="S5.5.p5.2.m2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.5.p5.2.m2.1.1.2.2.2.2" xref="S5.5.p5.2.m2.1.1.2.2.2.2.cmml">p</mi><mi id="S5.5.p5.2.m2.1.1.2.2.2.3" xref="S5.5.p5.2.m2.1.1.2.2.2.3.cmml">n</mi><mn id="S5.5.p5.2.m2.1.1.2.2.3" xref="S5.5.p5.2.m2.1.1.2.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S5.5.p5.2.m2.1.1.2.1" xref="S5.5.p5.2.m2.1.1.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.5.p5.2.m2.1.1.2.3" xref="S5.5.p5.2.m2.1.1.2.3.cmml"><mn id="S5.5.p5.2.m2.1.1.2.3.2" xref="S5.5.p5.2.m2.1.1.2.3.2.cmml">4</mn><mo id="S5.5.p5.2.m2.1.1.2.3.1" xref="S5.5.p5.2.m2.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.5.p5.2.m2.1.1.2.3.3" xref="S5.5.p5.2.m2.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S5.5.p5.2.m2.1.1.2.3.3.2" xref="S5.5.p5.2.m2.1.1.2.3.3.2.cmml">q</mi><mi id="S5.5.p5.2.m2.1.1.2.3.3.3" xref="S5.5.p5.2.m2.1.1.2.3.3.3.cmml">n</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S5.5.p5.2.m2.1.1.1" xref="S5.5.p5.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.5.p5.2.m2.1.1.3" xref="S5.5.p5.2.m2.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.5.p5.2.m2.1b"><apply id="S5.5.p5.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.5.p5.2.m2.1.1"><eq id="S5.5.p5.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.5.p5.2.m2.1.1.1"></eq><apply id="S5.5.p5.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.5.p5.2.m2.1.1.2"><plus id="S5.5.p5.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.5.p5.2.m2.1.1.2.1"></plus><apply id="S5.5.p5.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S5.5.p5.2.m2.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.5.p5.2.m2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.5.p5.2.m2.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S5.5.p5.2.m2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.5.p5.2.m2.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.5.p5.2.m2.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S5.5.p5.2.m2.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.5.p5.2.m2.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.5.p5.2.m2.1.1.2.2.2.2">𝑝</ci><ci id="S5.5.p5.2.m2.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S5.5.p5.2.m2.1.1.2.2.2.3">𝑛</ci></apply><cn id="S5.5.p5.2.m2.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.5.p5.2.m2.1.1.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.5.p5.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S5.5.p5.2.m2.1.1.2.3"><times id="S5.5.p5.2.m2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.5.p5.2.m2.1.1.2.3.1"></times><cn id="S5.5.p5.2.m2.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.5.p5.2.m2.1.1.2.3.2">4</cn><apply id="S5.5.p5.2.m2.1.1.2.3.3.cmml" xref="S5.5.p5.2.m2.1.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.5.p5.2.m2.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S5.5.p5.2.m2.1.1.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.5.p5.2.m2.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S5.5.p5.2.m2.1.1.2.3.3.2">𝑞</ci><ci id="S5.5.p5.2.m2.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="S5.5.p5.2.m2.1.1.2.3.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply><cn id="S5.5.p5.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.5.p5.2.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.5.p5.2.m2.1c">p_{n}^{2}+4q_{n}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.5.p5.2.m2.1d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + 4 italic_q start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT = 0</annotation></semantics></math>. Then, <math alttext="\theta_{n}^{+}=\theta_{n}^{-}=p_{n}/2" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.5.p5.3.m3.1"><semantics id="S5.5.p5.3.m3.1a"><mrow id="S5.5.p5.3.m3.1.1" xref="S5.5.p5.3.m3.1.1.cmml"><msubsup id="S5.5.p5.3.m3.1.1.2" xref="S5.5.p5.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S5.5.p5.3.m3.1.1.2.2.2" xref="S5.5.p5.3.m3.1.1.2.2.2.cmml">θ</mi><mi id="S5.5.p5.3.m3.1.1.2.2.3" xref="S5.5.p5.3.m3.1.1.2.2.3.cmml">n</mi><mo id="S5.5.p5.3.m3.1.1.2.3" xref="S5.5.p5.3.m3.1.1.2.3.cmml">+</mo></msubsup><mo id="S5.5.p5.3.m3.1.1.3" xref="S5.5.p5.3.m3.1.1.3.cmml">=</mo><msubsup id="S5.5.p5.3.m3.1.1.4" xref="S5.5.p5.3.m3.1.1.4.cmml"><mi id="S5.5.p5.3.m3.1.1.4.2.2" xref="S5.5.p5.3.m3.1.1.4.2.2.cmml">θ</mi><mi id="S5.5.p5.3.m3.1.1.4.2.3" xref="S5.5.p5.3.m3.1.1.4.2.3.cmml">n</mi><mo id="S5.5.p5.3.m3.1.1.4.3" xref="S5.5.p5.3.m3.1.1.4.3.cmml">−</mo></msubsup><mo id="S5.5.p5.3.m3.1.1.5" xref="S5.5.p5.3.m3.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S5.5.p5.3.m3.1.1.6" xref="S5.5.p5.3.m3.1.1.6.cmml"><msub id="S5.5.p5.3.m3.1.1.6.2" xref="S5.5.p5.3.m3.1.1.6.2.cmml"><mi id="S5.5.p5.3.m3.1.1.6.2.2" xref="S5.5.p5.3.m3.1.1.6.2.2.cmml">p</mi><mi id="S5.5.p5.3.m3.1.1.6.2.3" xref="S5.5.p5.3.m3.1.1.6.2.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S5.5.p5.3.m3.1.1.6.1" xref="S5.5.p5.3.m3.1.1.6.1.cmml">/</mo><mn id="S5.5.p5.3.m3.1.1.6.3" xref="S5.5.p5.3.m3.1.1.6.3.cmml">2</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.5.p5.3.m3.1b"><apply id="S5.5.p5.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.5.p5.3.m3.1.1"><and id="S5.5.p5.3.m3.1.1a.cmml" xref="S5.5.p5.3.m3.1.1"></and><apply id="S5.5.p5.3.m3.1.1b.cmml" xref="S5.5.p5.3.m3.1.1"><eq id="S5.5.p5.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S5.5.p5.3.m3.1.1.3"></eq><apply id="S5.5.p5.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.5.p5.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.5.p5.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S5.5.p5.3.m3.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S5.5.p5.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S5.5.p5.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.5.p5.3.m3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.5.p5.3.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.5.p5.3.m3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.5.p5.3.m3.1.1.2.2.2">𝜃</ci><ci id="S5.5.p5.3.m3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.5.p5.3.m3.1.1.2.2.3">𝑛</ci></apply><plus id="S5.5.p5.3.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S5.5.p5.3.m3.1.1.2.3"></plus></apply><apply id="S5.5.p5.3.m3.1.1.4.cmml" xref="S5.5.p5.3.m3.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.5.p5.3.m3.1.1.4.1.cmml" xref="S5.5.p5.3.m3.1.1.4">superscript</csymbol><apply id="S5.5.p5.3.m3.1.1.4.2.cmml" xref="S5.5.p5.3.m3.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.5.p5.3.m3.1.1.4.2.1.cmml" xref="S5.5.p5.3.m3.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S5.5.p5.3.m3.1.1.4.2.2.cmml" xref="S5.5.p5.3.m3.1.1.4.2.2">𝜃</ci><ci id="S5.5.p5.3.m3.1.1.4.2.3.cmml" xref="S5.5.p5.3.m3.1.1.4.2.3">𝑛</ci></apply><minus id="S5.5.p5.3.m3.1.1.4.3.cmml" xref="S5.5.p5.3.m3.1.1.4.3"></minus></apply></apply><apply id="S5.5.p5.3.m3.1.1c.cmml" xref="S5.5.p5.3.m3.1.1"><eq id="S5.5.p5.3.m3.1.1.5.cmml" xref="S5.5.p5.3.m3.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S5.5.p5.3.m3.1.1.4.cmml" id="S5.5.p5.3.m3.1.1d.cmml" xref="S5.5.p5.3.m3.1.1"></share><apply id="S5.5.p5.3.m3.1.1.6.cmml" xref="S5.5.p5.3.m3.1.1.6"><divide id="S5.5.p5.3.m3.1.1.6.1.cmml" xref="S5.5.p5.3.m3.1.1.6.1"></divide><apply id="S5.5.p5.3.m3.1.1.6.2.cmml" xref="S5.5.p5.3.m3.1.1.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.5.p5.3.m3.1.1.6.2.1.cmml" xref="S5.5.p5.3.m3.1.1.6.2">subscript</csymbol><ci id="S5.5.p5.3.m3.1.1.6.2.2.cmml" xref="S5.5.p5.3.m3.1.1.6.2.2">𝑝</ci><ci id="S5.5.p5.3.m3.1.1.6.2.3.cmml" xref="S5.5.p5.3.m3.1.1.6.2.3">𝑛</ci></apply><cn id="S5.5.p5.3.m3.1.1.6.3.cmml" type="integer" xref="S5.5.p5.3.m3.1.1.6.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.5.p5.3.m3.1c">\theta_{n}^{+}=\theta_{n}^{-}=p_{n}/2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.5.p5.3.m3.1d">italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT = italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT = italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT / 2</annotation></semantics></math>, and induction on (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#A0.E35.1" title="Equation 35a ‣ Equation 35 ‣ Proof: ‣ V Conclusions ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">35a</span></a>), together with (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#A0.E33.1" title="Equation 33a ‣ Equation 33 ‣ Proof: ‣ V Conclusions ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">33a</span></a>), yield</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A0.EGx51"> <tbody id="A0.Ex17"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle a_{m}^{(n)}" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex17.m1.1"><semantics id="A0.Ex17.m1.1a"><msubsup id="A0.Ex17.m1.1.2" xref="A0.Ex17.m1.1.2.cmml"><mi id="A0.Ex17.m1.1.2.2.2" xref="A0.Ex17.m1.1.2.2.2.cmml">a</mi><mi id="A0.Ex17.m1.1.2.2.3" xref="A0.Ex17.m1.1.2.2.3.cmml">m</mi><mrow id="A0.Ex17.m1.1.1.1.3" xref="A0.Ex17.m1.1.2.cmml"><mo id="A0.Ex17.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A0.Ex17.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A0.Ex17.m1.1.1.1.1" xref="A0.Ex17.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex17.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A0.Ex17.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex17.m1.1b"><apply id="A0.Ex17.m1.1.2.cmml" xref="A0.Ex17.m1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex17.m1.1.2.1.cmml" xref="A0.Ex17.m1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A0.Ex17.m1.1.2.2.cmml" xref="A0.Ex17.m1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex17.m1.1.2.2.1.cmml" xref="A0.Ex17.m1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A0.Ex17.m1.1.2.2.2.cmml" xref="A0.Ex17.m1.1.2.2.2">𝑎</ci><ci id="A0.Ex17.m1.1.2.2.3.cmml" xref="A0.Ex17.m1.1.2.2.3">𝑚</ci></apply><ci id="A0.Ex17.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex17.m1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex17.m1.1c">\displaystyle a_{m}^{(n)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex17.m1.1d">italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle{}={}" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex17.m2.1"><semantics id="A0.Ex17.m2.1a"><mo id="A0.Ex17.m2.1.1" xref="A0.Ex17.m2.1.1.cmml">=</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex17.m2.1b"><eq id="A0.Ex17.m2.1.1.cmml" xref="A0.Ex17.m2.1.1"></eq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex17.m2.1c">\displaystyle{}={}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex17.m2.1d">=</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left(\frac{p_{n}}{2}\right)^{m}a_{0}^{(n)}+m\left(\frac{p_{n}}{2% }\right)^{m}\Delta_{0}^{(n)+}" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex17.m3.4"><semantics id="A0.Ex17.m3.4a"><mrow id="A0.Ex17.m3.4.5" xref="A0.Ex17.m3.4.5.cmml"><mrow id="A0.Ex17.m3.4.5.2" xref="A0.Ex17.m3.4.5.2.cmml"><msup id="A0.Ex17.m3.4.5.2.2" xref="A0.Ex17.m3.4.5.2.2.cmml"><mrow id="A0.Ex17.m3.4.5.2.2.2.2" xref="A0.Ex17.m3.3.3.cmml"><mo id="A0.Ex17.m3.4.5.2.2.2.2.1" xref="A0.Ex17.m3.3.3.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="A0.Ex17.m3.3.3" xref="A0.Ex17.m3.3.3.cmml"><mfrac id="A0.Ex17.m3.3.3a" xref="A0.Ex17.m3.3.3.cmml"><msub id="A0.Ex17.m3.3.3.2" xref="A0.Ex17.m3.3.3.2.cmml"><mi id="A0.Ex17.m3.3.3.2.2" xref="A0.Ex17.m3.3.3.2.2.cmml">p</mi><mi id="A0.Ex17.m3.3.3.2.3" xref="A0.Ex17.m3.3.3.2.3.cmml">n</mi></msub><mn id="A0.Ex17.m3.3.3.3" xref="A0.Ex17.m3.3.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="A0.Ex17.m3.4.5.2.2.2.2.2" xref="A0.Ex17.m3.3.3.cmml">)</mo></mrow><mi id="A0.Ex17.m3.4.5.2.2.3" xref="A0.Ex17.m3.4.5.2.2.3.cmml">m</mi></msup><mo id="A0.Ex17.m3.4.5.2.1" xref="A0.Ex17.m3.4.5.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A0.Ex17.m3.4.5.2.3" xref="A0.Ex17.m3.4.5.2.3.cmml"><mi id="A0.Ex17.m3.4.5.2.3.2.2" xref="A0.Ex17.m3.4.5.2.3.2.2.cmml">a</mi><mn id="A0.Ex17.m3.4.5.2.3.2.3" xref="A0.Ex17.m3.4.5.2.3.2.3.cmml">0</mn><mrow id="A0.Ex17.m3.1.1.1.3" xref="A0.Ex17.m3.4.5.2.3.cmml"><mo id="A0.Ex17.m3.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A0.Ex17.m3.4.5.2.3.cmml">(</mo><mi id="A0.Ex17.m3.1.1.1.1" xref="A0.Ex17.m3.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex17.m3.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A0.Ex17.m3.4.5.2.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup></mrow><mo id="A0.Ex17.m3.4.5.1" xref="A0.Ex17.m3.4.5.1.cmml">+</mo><mrow id="A0.Ex17.m3.4.5.3" xref="A0.Ex17.m3.4.5.3.cmml"><mi id="A0.Ex17.m3.4.5.3.2" xref="A0.Ex17.m3.4.5.3.2.cmml">m</mi><mo id="A0.Ex17.m3.4.5.3.1" xref="A0.Ex17.m3.4.5.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="A0.Ex17.m3.4.5.3.3" xref="A0.Ex17.m3.4.5.3.3.cmml"><mrow id="A0.Ex17.m3.4.5.3.3.2.2" xref="A0.Ex17.m3.4.4.cmml"><mo id="A0.Ex17.m3.4.5.3.3.2.2.1" xref="A0.Ex17.m3.4.4.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="A0.Ex17.m3.4.4" xref="A0.Ex17.m3.4.4.cmml"><mfrac id="A0.Ex17.m3.4.4a" xref="A0.Ex17.m3.4.4.cmml"><msub id="A0.Ex17.m3.4.4.2" xref="A0.Ex17.m3.4.4.2.cmml"><mi id="A0.Ex17.m3.4.4.2.2" xref="A0.Ex17.m3.4.4.2.2.cmml">p</mi><mi id="A0.Ex17.m3.4.4.2.3" xref="A0.Ex17.m3.4.4.2.3.cmml">n</mi></msub><mn id="A0.Ex17.m3.4.4.3" xref="A0.Ex17.m3.4.4.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="A0.Ex17.m3.4.5.3.3.2.2.2" xref="A0.Ex17.m3.4.4.cmml">)</mo></mrow><mi id="A0.Ex17.m3.4.5.3.3.3" xref="A0.Ex17.m3.4.5.3.3.3.cmml">m</mi></msup><mo id="A0.Ex17.m3.4.5.3.1a" xref="A0.Ex17.m3.4.5.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A0.Ex17.m3.4.5.3.4" xref="A0.Ex17.m3.4.5.3.4.cmml"><mi id="A0.Ex17.m3.4.5.3.4.2.2" mathvariant="normal" xref="A0.Ex17.m3.4.5.3.4.2.2.cmml">Δ</mi><mn id="A0.Ex17.m3.4.5.3.4.2.3" xref="A0.Ex17.m3.4.5.3.4.2.3.cmml">0</mn><mrow id="A0.Ex17.m3.2.2.1" xref="A0.Ex17.m3.2.2.1.cmml"><mrow id="A0.Ex17.m3.2.2.1.3.2" xref="A0.Ex17.m3.2.2.1.cmml"><mo id="A0.Ex17.m3.2.2.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A0.Ex17.m3.2.2.1.cmml">(</mo><mi id="A0.Ex17.m3.2.2.1.1" xref="A0.Ex17.m3.2.2.1.1.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex17.m3.2.2.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A0.Ex17.m3.2.2.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A0.Ex17.m3.2.2.1.4" xref="A0.Ex17.m3.2.2.1.4.cmml">+</mo></mrow></msubsup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex17.m3.4b"><apply id="A0.Ex17.m3.4.5.cmml" xref="A0.Ex17.m3.4.5"><plus id="A0.Ex17.m3.4.5.1.cmml" xref="A0.Ex17.m3.4.5.1"></plus><apply id="A0.Ex17.m3.4.5.2.cmml" xref="A0.Ex17.m3.4.5.2"><times id="A0.Ex17.m3.4.5.2.1.cmml" xref="A0.Ex17.m3.4.5.2.1"></times><apply id="A0.Ex17.m3.4.5.2.2.cmml" xref="A0.Ex17.m3.4.5.2.2"><csymbol 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<tbody id="A0.Ex18"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex18.m1.1"><semantics id="A0.Ex18.m1.1a"><mo id="A0.Ex18.m1.1.1" xref="A0.Ex18.m1.1.1.cmml">=</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex18.m1.1b"><eq id="A0.Ex18.m1.1.1.cmml" xref="A0.Ex18.m1.1.1"></eq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex18.m1.1c">\displaystyle=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex18.m1.1d">=</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left(\frac{p_{n}}{2}\right)^{m}\left[\left(\frac{p_{n}}{2}\right% )^{2}a_{-1}^{(n)}+\eta Na^{\prime(n)}\right]" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex18.m2.7"><semantics id="A0.Ex18.m2.7a"><mrow 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class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle+m\left(\frac{p_{n}}{2}\right)^{m}\left[\left(\frac{p_{n}}{2}% \right)\left(\frac{p_{n}}{2}-1\right)a_{-1}^{(n)}+\eta Na^{\prime(n)}\right]\,." class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex19.m1.7"><semantics id="A0.Ex19.m1.7a"><mrow id="A0.Ex19.m1.7.7.1" xref="A0.Ex19.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="A0.Ex19.m1.7.7.1.1" xref="A0.Ex19.m1.7.7.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex19.m1.7.7.1.1a" xref="A0.Ex19.m1.7.7.1.1.cmml">+</mo><mrow id="A0.Ex19.m1.7.7.1.1.1" xref="A0.Ex19.m1.7.7.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex19.m1.7.7.1.1.1.3" xref="A0.Ex19.m1.7.7.1.1.1.3.cmml">m</mi><mo id="A0.Ex19.m1.7.7.1.1.1.2" xref="A0.Ex19.m1.7.7.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="A0.Ex19.m1.7.7.1.1.1.4" xref="A0.Ex19.m1.7.7.1.1.1.4.cmml"><mrow id="A0.Ex19.m1.7.7.1.1.1.4.2.2" xref="A0.Ex19.m1.5.5.cmml"><mo id="A0.Ex19.m1.7.7.1.1.1.4.2.2.1" xref="A0.Ex19.m1.5.5.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="A0.Ex19.m1.5.5" xref="A0.Ex19.m1.5.5.cmml"><mfrac 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encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex19.m1.7d">+ italic_m ( divide start_ARG italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG 2 end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT [ ( divide start_ARG italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG 2 end_ARG ) ( divide start_ARG italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG 2 end_ARG - 1 ) italic_a start_POSTSUBSCRIPT - 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT + italic_η italic_N italic_a start_POSTSUPERSCRIPT ′ ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ] .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright" colspan="3"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.5.p5.6">Because <math alttext="\lvert p_{n}/2\rvert\leq\varrho(\eta)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.5.p5.4.m1.2"><semantics id="S5.5.p5.4.m1.2a"><mrow id="S5.5.p5.4.m1.2.2" 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xref="S5.5.p5.4.m1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.5.p5.4.m1.2.2.3.3.2" xref="S5.5.p5.4.m1.2.2.3.cmml"><mo id="S5.5.p5.4.m1.2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.5.p5.4.m1.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="S5.5.p5.4.m1.1.1" xref="S5.5.p5.4.m1.1.1.cmml">η</mi><mo id="S5.5.p5.4.m1.2.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.5.p5.4.m1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.5.p5.4.m1.2b"><apply id="S5.5.p5.4.m1.2.2.cmml" xref="S5.5.p5.4.m1.2.2"><leq id="S5.5.p5.4.m1.2.2.2.cmml" xref="S5.5.p5.4.m1.2.2.2"></leq><apply id="S5.5.p5.4.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S5.5.p5.4.m1.2.2.1.1"><abs id="S5.5.p5.4.m1.2.2.1.2.1.cmml" xref="S5.5.p5.4.m1.2.2.1.1.2"></abs><apply id="S5.5.p5.4.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.5.p5.4.m1.2.2.1.1.1"><divide id="S5.5.p5.4.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.5.p5.4.m1.2.2.1.1.1.1"></divide><apply id="S5.5.p5.4.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S5.5.p5.4.m1.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.5.p5.4.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.5.p5.4.m1.2.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.5.p5.4.m1.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.5.p5.4.m1.2.2.1.1.1.2.2">𝑝</ci><ci id="S5.5.p5.4.m1.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.5.p5.4.m1.2.2.1.1.1.2.3">𝑛</ci></apply><cn id="S5.5.p5.4.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.5.p5.4.m1.2.2.1.1.1.3">2</cn></apply></apply><apply id="S5.5.p5.4.m1.2.2.3.cmml" xref="S5.5.p5.4.m1.2.2.3"><times id="S5.5.p5.4.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S5.5.p5.4.m1.2.2.3.1"></times><ci id="S5.5.p5.4.m1.2.2.3.2.cmml" xref="S5.5.p5.4.m1.2.2.3.2">italic-ϱ</ci><ci id="S5.5.p5.4.m1.1.1.cmml" xref="S5.5.p5.4.m1.1.1">𝜂</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.5.p5.4.m1.2c">\lvert p_{n}/2\rvert\leq\varrho(\eta)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.5.p5.4.m1.2d">| italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT / 2 | ≤ italic_ϱ ( italic_η )</annotation></semantics></math>, the previous result suggests that there exists <math alttext="C_{n}\in\mathbb{R}_{++}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.5.p5.5.m2.1"><semantics id="S5.5.p5.5.m2.1a"><mrow id="S5.5.p5.5.m2.1.1" xref="S5.5.p5.5.m2.1.1.cmml"><msub id="S5.5.p5.5.m2.1.1.2" xref="S5.5.p5.5.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S5.5.p5.5.m2.1.1.2.2" xref="S5.5.p5.5.m2.1.1.2.2.cmml">C</mi><mi id="S5.5.p5.5.m2.1.1.2.3" xref="S5.5.p5.5.m2.1.1.2.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S5.5.p5.5.m2.1.1.1" xref="S5.5.p5.5.m2.1.1.1.cmml">∈</mo><msub id="S5.5.p5.5.m2.1.1.3" xref="S5.5.p5.5.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S5.5.p5.5.m2.1.1.3.2" xref="S5.5.p5.5.m2.1.1.3.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S5.5.p5.5.m2.1.1.3.3" xref="S5.5.p5.5.m2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.5.p5.5.m2.1.1.3.3.2" xref="S5.5.p5.5.m2.1.1.3.3.2.cmml"></mi><mo id="S5.5.p5.5.m2.1.1.3.3.1" rspace="0em" xref="S5.5.p5.5.m2.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mo id="S5.5.p5.5.m2.1.1.3.3.3" lspace="0em" xref="S5.5.p5.5.m2.1.1.3.3.3.cmml">+</mo></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.5.p5.5.m2.1b"><apply id="S5.5.p5.5.m2.1.1.cmml" xref="S5.5.p5.5.m2.1.1"><in id="S5.5.p5.5.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.5.p5.5.m2.1.1.1"></in><apply id="S5.5.p5.5.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.5.p5.5.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.5.p5.5.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.5.p5.5.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.5.p5.5.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S5.5.p5.5.m2.1.1.2.2">𝐶</ci><ci id="S5.5.p5.5.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S5.5.p5.5.m2.1.1.2.3">𝑛</ci></apply><apply id="S5.5.p5.5.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.5.p5.5.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.5.p5.5.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.5.p5.5.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.5.p5.5.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S5.5.p5.5.m2.1.1.3.2">ℝ</ci><apply id="S5.5.p5.5.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S5.5.p5.5.m2.1.1.3.3"><plus id="S5.5.p5.5.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.5.p5.5.m2.1.1.3.3.1"></plus><csymbol cd="latexml" id="S5.5.p5.5.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.5.p5.5.m2.1.1.3.3.2">absent</csymbol><plus id="S5.5.p5.5.m2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.5.p5.5.m2.1.1.3.3.3"></plus></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.5.p5.5.m2.1c">C_{n}\in\mathbb{R}_{++}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.5.p5.5.m2.1d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ∈ blackboard_R start_POSTSUBSCRIPT + + end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> s.t. <math alttext="\lvert a_{m}^{(n)}\rvert\leq C_{n}\,m\,\varrho^{m}(\eta)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.5.p5.6.m3.3"><semantics id="S5.5.p5.6.m3.3a"><mrow id="S5.5.p5.6.m3.3.3" xref="S5.5.p5.6.m3.3.3.cmml"><mrow id="S5.5.p5.6.m3.3.3.1.1" xref="S5.5.p5.6.m3.3.3.1.2.cmml"><mo id="S5.5.p5.6.m3.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.5.p5.6.m3.3.3.1.2.1.cmml">|</mo><msubsup id="S5.5.p5.6.m3.3.3.1.1.1" xref="S5.5.p5.6.m3.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S5.5.p5.6.m3.3.3.1.1.1.2.2" xref="S5.5.p5.6.m3.3.3.1.1.1.2.2.cmml">a</mi><mi id="S5.5.p5.6.m3.3.3.1.1.1.2.3" xref="S5.5.p5.6.m3.3.3.1.1.1.2.3.cmml">m</mi><mrow id="S5.5.p5.6.m3.1.1.1.3" xref="S5.5.p5.6.m3.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S5.5.p5.6.m3.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S5.5.p5.6.m3.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S5.5.p5.6.m3.1.1.1.1" xref="S5.5.p5.6.m3.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S5.5.p5.6.m3.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S5.5.p5.6.m3.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S5.5.p5.6.m3.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.5.p5.6.m3.3.3.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S5.5.p5.6.m3.3.3.2" xref="S5.5.p5.6.m3.3.3.2.cmml">≤</mo><mrow id="S5.5.p5.6.m3.3.3.3" xref="S5.5.p5.6.m3.3.3.3.cmml"><msub id="S5.5.p5.6.m3.3.3.3.2" xref="S5.5.p5.6.m3.3.3.3.2.cmml"><mi id="S5.5.p5.6.m3.3.3.3.2.2" xref="S5.5.p5.6.m3.3.3.3.2.2.cmml">C</mi><mi id="S5.5.p5.6.m3.3.3.3.2.3" xref="S5.5.p5.6.m3.3.3.3.2.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S5.5.p5.6.m3.3.3.3.1" xref="S5.5.p5.6.m3.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.5.p5.6.m3.3.3.3.3" xref="S5.5.p5.6.m3.3.3.3.3.cmml">m</mi><mo id="S5.5.p5.6.m3.3.3.3.1a" lspace="0.170em" xref="S5.5.p5.6.m3.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.5.p5.6.m3.3.3.3.4" xref="S5.5.p5.6.m3.3.3.3.4.cmml"><mi id="S5.5.p5.6.m3.3.3.3.4.2" xref="S5.5.p5.6.m3.3.3.3.4.2.cmml">ϱ</mi><mi id="S5.5.p5.6.m3.3.3.3.4.3" xref="S5.5.p5.6.m3.3.3.3.4.3.cmml">m</mi></msup><mo id="S5.5.p5.6.m3.3.3.3.1b" xref="S5.5.p5.6.m3.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.5.p5.6.m3.3.3.3.5.2" xref="S5.5.p5.6.m3.3.3.3.cmml"><mo id="S5.5.p5.6.m3.3.3.3.5.2.1" stretchy="false" xref="S5.5.p5.6.m3.3.3.3.cmml">(</mo><mi id="S5.5.p5.6.m3.2.2" xref="S5.5.p5.6.m3.2.2.cmml">η</mi><mo id="S5.5.p5.6.m3.3.3.3.5.2.2" stretchy="false" xref="S5.5.p5.6.m3.3.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.5.p5.6.m3.3b"><apply id="S5.5.p5.6.m3.3.3.cmml" xref="S5.5.p5.6.m3.3.3"><leq id="S5.5.p5.6.m3.3.3.2.cmml" xref="S5.5.p5.6.m3.3.3.2"></leq><apply id="S5.5.p5.6.m3.3.3.1.2.cmml" xref="S5.5.p5.6.m3.3.3.1.1"><abs id="S5.5.p5.6.m3.3.3.1.2.1.cmml" xref="S5.5.p5.6.m3.3.3.1.1.2"></abs><apply id="S5.5.p5.6.m3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S5.5.p5.6.m3.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.5.p5.6.m3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S5.5.p5.6.m3.3.3.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.5.p5.6.m3.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S5.5.p5.6.m3.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.5.p5.6.m3.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.5.p5.6.m3.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.5.p5.6.m3.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.5.p5.6.m3.3.3.1.1.1.2.2">𝑎</ci><ci id="S5.5.p5.6.m3.3.3.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.5.p5.6.m3.3.3.1.1.1.2.3">𝑚</ci></apply><ci id="S5.5.p5.6.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S5.5.p5.6.m3.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></apply><apply id="S5.5.p5.6.m3.3.3.3.cmml" xref="S5.5.p5.6.m3.3.3.3"><times id="S5.5.p5.6.m3.3.3.3.1.cmml" xref="S5.5.p5.6.m3.3.3.3.1"></times><apply id="S5.5.p5.6.m3.3.3.3.2.cmml" xref="S5.5.p5.6.m3.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.5.p5.6.m3.3.3.3.2.1.cmml" xref="S5.5.p5.6.m3.3.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.5.p5.6.m3.3.3.3.2.2.cmml" xref="S5.5.p5.6.m3.3.3.3.2.2">𝐶</ci><ci id="S5.5.p5.6.m3.3.3.3.2.3.cmml" xref="S5.5.p5.6.m3.3.3.3.2.3">𝑛</ci></apply><ci id="S5.5.p5.6.m3.3.3.3.3.cmml" xref="S5.5.p5.6.m3.3.3.3.3">𝑚</ci><apply id="S5.5.p5.6.m3.3.3.3.4.cmml" xref="S5.5.p5.6.m3.3.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.5.p5.6.m3.3.3.3.4.1.cmml" xref="S5.5.p5.6.m3.3.3.3.4">superscript</csymbol><ci id="S5.5.p5.6.m3.3.3.3.4.2.cmml" xref="S5.5.p5.6.m3.3.3.3.4.2">italic-ϱ</ci><ci id="S5.5.p5.6.m3.3.3.3.4.3.cmml" xref="S5.5.p5.6.m3.3.3.3.4.3">𝑚</ci></apply><ci id="S5.5.p5.6.m3.2.2.cmml" xref="S5.5.p5.6.m3.2.2">𝜂</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.5.p5.6.m3.3c">\lvert a_{m}^{(n)}\rvert\leq C_{n}\,m\,\varrho^{m}(\eta)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.5.p5.6.m3.3d">| italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT | ≤ italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_ϱ start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_η )</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S5.6.p6"> <p class="ltx_p" id="S5.6.p6.14">Consider now the case of <math alttext="n=N" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.6.p6.1.m1.1"><semantics id="S5.6.p6.1.m1.1a"><mrow id="S5.6.p6.1.m1.1.1" xref="S5.6.p6.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.6.p6.1.m1.1.1.2" xref="S5.6.p6.1.m1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S5.6.p6.1.m1.1.1.1" xref="S5.6.p6.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S5.6.p6.1.m1.1.1.3" xref="S5.6.p6.1.m1.1.1.3.cmml">N</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.6.p6.1.m1.1b"><apply id="S5.6.p6.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.6.p6.1.m1.1.1"><eq id="S5.6.p6.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.6.p6.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S5.6.p6.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.6.p6.1.m1.1.1.2">𝑛</ci><ci id="S5.6.p6.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.6.p6.1.m1.1.1.3">𝑁</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.6.p6.1.m1.1c">n=N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.6.p6.1.m1.1d">italic_n = italic_N</annotation></semantics></math>. Recall that <math alttext="\lambda_{N}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.6.p6.2.m2.1"><semantics id="S5.6.p6.2.m2.1a"><mrow id="S5.6.p6.2.m2.1.1" xref="S5.6.p6.2.m2.1.1.cmml"><msub id="S5.6.p6.2.m2.1.1.2" xref="S5.6.p6.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S5.6.p6.2.m2.1.1.2.2" xref="S5.6.p6.2.m2.1.1.2.2.cmml">λ</mi><mi id="S5.6.p6.2.m2.1.1.2.3" xref="S5.6.p6.2.m2.1.1.2.3.cmml">N</mi></msub><mo id="S5.6.p6.2.m2.1.1.1" xref="S5.6.p6.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.6.p6.2.m2.1.1.3" xref="S5.6.p6.2.m2.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.6.p6.2.m2.1b"><apply id="S5.6.p6.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.6.p6.2.m2.1.1"><eq id="S5.6.p6.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.6.p6.2.m2.1.1.1"></eq><apply id="S5.6.p6.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.6.p6.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.6.p6.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.6.p6.2.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.6.p6.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S5.6.p6.2.m2.1.1.2.2">𝜆</ci><ci id="S5.6.p6.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S5.6.p6.2.m2.1.1.2.3">𝑁</ci></apply><cn id="S5.6.p6.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.6.p6.2.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.6.p6.2.m2.1c">\lambda_{N}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.6.p6.2.m2.1d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT = 0</annotation></semantics></math> and the <math alttext="N" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.6.p6.3.m3.1"><semantics id="S5.6.p6.3.m3.1a"><mi id="S5.6.p6.3.m3.1.1" xref="S5.6.p6.3.m3.1.1.cmml">N</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.6.p6.3.m3.1b"><ci id="S5.6.p6.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.6.p6.3.m3.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.6.p6.3.m3.1c">N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.6.p6.3.m3.1d">italic_N</annotation></semantics></math>th column of <math alttext="\mathbf{U}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.6.p6.4.m4.1"><semantics id="S5.6.p6.4.m4.1a"><mi id="S5.6.p6.4.m4.1.1" xref="S5.6.p6.4.m4.1.1.cmml">𝐔</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.6.p6.4.m4.1b"><ci id="S5.6.p6.4.m4.1.1.cmml" xref="S5.6.p6.4.m4.1.1">𝐔</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.6.p6.4.m4.1c">\mathbf{U}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.6.p6.4.m4.1d">bold_U</annotation></semantics></math> is <math alttext="\mathbf{1}_{N}/\sqrt{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.6.p6.5.m5.1"><semantics id="S5.6.p6.5.m5.1a"><mrow id="S5.6.p6.5.m5.1.1" xref="S5.6.p6.5.m5.1.1.cmml"><msub id="S5.6.p6.5.m5.1.1.2" xref="S5.6.p6.5.m5.1.1.2.cmml"><mn id="S5.6.p6.5.m5.1.1.2.2" xref="S5.6.p6.5.m5.1.1.2.2.cmml">𝟏</mn><mi id="S5.6.p6.5.m5.1.1.2.3" xref="S5.6.p6.5.m5.1.1.2.3.cmml">N</mi></msub><mo id="S5.6.p6.5.m5.1.1.1" xref="S5.6.p6.5.m5.1.1.1.cmml">/</mo><msqrt id="S5.6.p6.5.m5.1.1.3" xref="S5.6.p6.5.m5.1.1.3.cmml"><mi id="S5.6.p6.5.m5.1.1.3.2" xref="S5.6.p6.5.m5.1.1.3.2.cmml">N</mi></msqrt></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.6.p6.5.m5.1b"><apply id="S5.6.p6.5.m5.1.1.cmml" xref="S5.6.p6.5.m5.1.1"><divide id="S5.6.p6.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S5.6.p6.5.m5.1.1.1"></divide><apply id="S5.6.p6.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S5.6.p6.5.m5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.6.p6.5.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S5.6.p6.5.m5.1.1.2">subscript</csymbol><cn id="S5.6.p6.5.m5.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.6.p6.5.m5.1.1.2.2">1</cn><ci id="S5.6.p6.5.m5.1.1.2.3.cmml" xref="S5.6.p6.5.m5.1.1.2.3">𝑁</ci></apply><apply id="S5.6.p6.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S5.6.p6.5.m5.1.1.3"><root id="S5.6.p6.5.m5.1.1.3a.cmml" xref="S5.6.p6.5.m5.1.1.3"></root><ci id="S5.6.p6.5.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S5.6.p6.5.m5.1.1.3.2">𝑁</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.6.p6.5.m5.1c">\mathbf{1}_{N}/\sqrt{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.6.p6.5.m5.1d">bold_1 start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT / square-root start_ARG italic_N end_ARG</annotation></semantics></math>. Then, <math alttext="p_{N}=2-\eta" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.6.p6.6.m6.1"><semantics id="S5.6.p6.6.m6.1a"><mrow id="S5.6.p6.6.m6.1.1" xref="S5.6.p6.6.m6.1.1.cmml"><msub id="S5.6.p6.6.m6.1.1.2" xref="S5.6.p6.6.m6.1.1.2.cmml"><mi id="S5.6.p6.6.m6.1.1.2.2" xref="S5.6.p6.6.m6.1.1.2.2.cmml">p</mi><mi id="S5.6.p6.6.m6.1.1.2.3" xref="S5.6.p6.6.m6.1.1.2.3.cmml">N</mi></msub><mo id="S5.6.p6.6.m6.1.1.1" xref="S5.6.p6.6.m6.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.6.p6.6.m6.1.1.3" xref="S5.6.p6.6.m6.1.1.3.cmml"><mn id="S5.6.p6.6.m6.1.1.3.2" xref="S5.6.p6.6.m6.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S5.6.p6.6.m6.1.1.3.1" xref="S5.6.p6.6.m6.1.1.3.1.cmml">−</mo><mi id="S5.6.p6.6.m6.1.1.3.3" xref="S5.6.p6.6.m6.1.1.3.3.cmml">η</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.6.p6.6.m6.1b"><apply id="S5.6.p6.6.m6.1.1.cmml" xref="S5.6.p6.6.m6.1.1"><eq id="S5.6.p6.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S5.6.p6.6.m6.1.1.1"></eq><apply id="S5.6.p6.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S5.6.p6.6.m6.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.6.p6.6.m6.1.1.2.1.cmml" xref="S5.6.p6.6.m6.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.6.p6.6.m6.1.1.2.2.cmml" xref="S5.6.p6.6.m6.1.1.2.2">𝑝</ci><ci id="S5.6.p6.6.m6.1.1.2.3.cmml" xref="S5.6.p6.6.m6.1.1.2.3">𝑁</ci></apply><apply id="S5.6.p6.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S5.6.p6.6.m6.1.1.3"><minus id="S5.6.p6.6.m6.1.1.3.1.cmml" xref="S5.6.p6.6.m6.1.1.3.1"></minus><cn id="S5.6.p6.6.m6.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.6.p6.6.m6.1.1.3.2">2</cn><ci id="S5.6.p6.6.m6.1.1.3.3.cmml" xref="S5.6.p6.6.m6.1.1.3.3">𝜂</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.6.p6.6.m6.1c">p_{N}=2-\eta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.6.p6.6.m6.1d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT = 2 - italic_η</annotation></semantics></math>, <math alttext="q_{N}=\eta-1" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.6.p6.7.m7.1"><semantics id="S5.6.p6.7.m7.1a"><mrow id="S5.6.p6.7.m7.1.1" xref="S5.6.p6.7.m7.1.1.cmml"><msub id="S5.6.p6.7.m7.1.1.2" xref="S5.6.p6.7.m7.1.1.2.cmml"><mi id="S5.6.p6.7.m7.1.1.2.2" xref="S5.6.p6.7.m7.1.1.2.2.cmml">q</mi><mi id="S5.6.p6.7.m7.1.1.2.3" xref="S5.6.p6.7.m7.1.1.2.3.cmml">N</mi></msub><mo id="S5.6.p6.7.m7.1.1.1" xref="S5.6.p6.7.m7.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.6.p6.7.m7.1.1.3" xref="S5.6.p6.7.m7.1.1.3.cmml"><mi id="S5.6.p6.7.m7.1.1.3.2" xref="S5.6.p6.7.m7.1.1.3.2.cmml">η</mi><mo id="S5.6.p6.7.m7.1.1.3.1" xref="S5.6.p6.7.m7.1.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="S5.6.p6.7.m7.1.1.3.3" xref="S5.6.p6.7.m7.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.6.p6.7.m7.1b"><apply id="S5.6.p6.7.m7.1.1.cmml" xref="S5.6.p6.7.m7.1.1"><eq id="S5.6.p6.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S5.6.p6.7.m7.1.1.1"></eq><apply id="S5.6.p6.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S5.6.p6.7.m7.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.6.p6.7.m7.1.1.2.1.cmml" xref="S5.6.p6.7.m7.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.6.p6.7.m7.1.1.2.2.cmml" xref="S5.6.p6.7.m7.1.1.2.2">𝑞</ci><ci id="S5.6.p6.7.m7.1.1.2.3.cmml" xref="S5.6.p6.7.m7.1.1.2.3">𝑁</ci></apply><apply id="S5.6.p6.7.m7.1.1.3.cmml" xref="S5.6.p6.7.m7.1.1.3"><minus id="S5.6.p6.7.m7.1.1.3.1.cmml" xref="S5.6.p6.7.m7.1.1.3.1"></minus><ci id="S5.6.p6.7.m7.1.1.3.2.cmml" xref="S5.6.p6.7.m7.1.1.3.2">𝜂</ci><cn id="S5.6.p6.7.m7.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.6.p6.7.m7.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.6.p6.7.m7.1c">q_{N}=\eta-1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.6.p6.7.m7.1d">italic_q start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT = italic_η - 1</annotation></semantics></math>, <math alttext="p_{N}^{2}+4q_{N}=\eta^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.6.p6.8.m8.1"><semantics id="S5.6.p6.8.m8.1a"><mrow id="S5.6.p6.8.m8.1.1" xref="S5.6.p6.8.m8.1.1.cmml"><mrow id="S5.6.p6.8.m8.1.1.2" xref="S5.6.p6.8.m8.1.1.2.cmml"><msubsup id="S5.6.p6.8.m8.1.1.2.2" xref="S5.6.p6.8.m8.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.6.p6.8.m8.1.1.2.2.2.2" xref="S5.6.p6.8.m8.1.1.2.2.2.2.cmml">p</mi><mi id="S5.6.p6.8.m8.1.1.2.2.2.3" xref="S5.6.p6.8.m8.1.1.2.2.2.3.cmml">N</mi><mn id="S5.6.p6.8.m8.1.1.2.2.3" xref="S5.6.p6.8.m8.1.1.2.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S5.6.p6.8.m8.1.1.2.1" xref="S5.6.p6.8.m8.1.1.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.6.p6.8.m8.1.1.2.3" xref="S5.6.p6.8.m8.1.1.2.3.cmml"><mn id="S5.6.p6.8.m8.1.1.2.3.2" xref="S5.6.p6.8.m8.1.1.2.3.2.cmml">4</mn><mo id="S5.6.p6.8.m8.1.1.2.3.1" xref="S5.6.p6.8.m8.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.6.p6.8.m8.1.1.2.3.3" xref="S5.6.p6.8.m8.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S5.6.p6.8.m8.1.1.2.3.3.2" xref="S5.6.p6.8.m8.1.1.2.3.3.2.cmml">q</mi><mi id="S5.6.p6.8.m8.1.1.2.3.3.3" xref="S5.6.p6.8.m8.1.1.2.3.3.3.cmml">N</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S5.6.p6.8.m8.1.1.1" xref="S5.6.p6.8.m8.1.1.1.cmml">=</mo><msup id="S5.6.p6.8.m8.1.1.3" xref="S5.6.p6.8.m8.1.1.3.cmml"><mi id="S5.6.p6.8.m8.1.1.3.2" xref="S5.6.p6.8.m8.1.1.3.2.cmml">η</mi><mn id="S5.6.p6.8.m8.1.1.3.3" xref="S5.6.p6.8.m8.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.6.p6.8.m8.1b"><apply id="S5.6.p6.8.m8.1.1.cmml" xref="S5.6.p6.8.m8.1.1"><eq id="S5.6.p6.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S5.6.p6.8.m8.1.1.1"></eq><apply id="S5.6.p6.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S5.6.p6.8.m8.1.1.2"><plus id="S5.6.p6.8.m8.1.1.2.1.cmml" xref="S5.6.p6.8.m8.1.1.2.1"></plus><apply id="S5.6.p6.8.m8.1.1.2.2.cmml" xref="S5.6.p6.8.m8.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.6.p6.8.m8.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.6.p6.8.m8.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S5.6.p6.8.m8.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.6.p6.8.m8.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.6.p6.8.m8.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S5.6.p6.8.m8.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.6.p6.8.m8.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.6.p6.8.m8.1.1.2.2.2.2">𝑝</ci><ci id="S5.6.p6.8.m8.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S5.6.p6.8.m8.1.1.2.2.2.3">𝑁</ci></apply><cn id="S5.6.p6.8.m8.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.6.p6.8.m8.1.1.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.6.p6.8.m8.1.1.2.3.cmml" xref="S5.6.p6.8.m8.1.1.2.3"><times id="S5.6.p6.8.m8.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.6.p6.8.m8.1.1.2.3.1"></times><cn id="S5.6.p6.8.m8.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.6.p6.8.m8.1.1.2.3.2">4</cn><apply id="S5.6.p6.8.m8.1.1.2.3.3.cmml" xref="S5.6.p6.8.m8.1.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.6.p6.8.m8.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S5.6.p6.8.m8.1.1.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.6.p6.8.m8.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S5.6.p6.8.m8.1.1.2.3.3.2">𝑞</ci><ci id="S5.6.p6.8.m8.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="S5.6.p6.8.m8.1.1.2.3.3.3">𝑁</ci></apply></apply></apply><apply id="S5.6.p6.8.m8.1.1.3.cmml" xref="S5.6.p6.8.m8.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.6.p6.8.m8.1.1.3.1.cmml" xref="S5.6.p6.8.m8.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.6.p6.8.m8.1.1.3.2.cmml" xref="S5.6.p6.8.m8.1.1.3.2">𝜂</ci><cn id="S5.6.p6.8.m8.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.6.p6.8.m8.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.6.p6.8.m8.1c">p_{N}^{2}+4q_{N}=\eta^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.6.p6.8.m8.1d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + 4 italic_q start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT = italic_η start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="\theta_{N}^{+}=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.6.p6.9.m9.1"><semantics id="S5.6.p6.9.m9.1a"><mrow id="S5.6.p6.9.m9.1.1" xref="S5.6.p6.9.m9.1.1.cmml"><msubsup id="S5.6.p6.9.m9.1.1.2" xref="S5.6.p6.9.m9.1.1.2.cmml"><mi id="S5.6.p6.9.m9.1.1.2.2.2" xref="S5.6.p6.9.m9.1.1.2.2.2.cmml">θ</mi><mi id="S5.6.p6.9.m9.1.1.2.2.3" xref="S5.6.p6.9.m9.1.1.2.2.3.cmml">N</mi><mo id="S5.6.p6.9.m9.1.1.2.3" xref="S5.6.p6.9.m9.1.1.2.3.cmml">+</mo></msubsup><mo id="S5.6.p6.9.m9.1.1.1" xref="S5.6.p6.9.m9.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.6.p6.9.m9.1.1.3" xref="S5.6.p6.9.m9.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.6.p6.9.m9.1b"><apply id="S5.6.p6.9.m9.1.1.cmml" xref="S5.6.p6.9.m9.1.1"><eq id="S5.6.p6.9.m9.1.1.1.cmml" xref="S5.6.p6.9.m9.1.1.1"></eq><apply id="S5.6.p6.9.m9.1.1.2.cmml" xref="S5.6.p6.9.m9.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.6.p6.9.m9.1.1.2.1.cmml" xref="S5.6.p6.9.m9.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S5.6.p6.9.m9.1.1.2.2.cmml" xref="S5.6.p6.9.m9.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.6.p6.9.m9.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.6.p6.9.m9.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.6.p6.9.m9.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.6.p6.9.m9.1.1.2.2.2">𝜃</ci><ci id="S5.6.p6.9.m9.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.6.p6.9.m9.1.1.2.2.3">𝑁</ci></apply><plus id="S5.6.p6.9.m9.1.1.2.3.cmml" xref="S5.6.p6.9.m9.1.1.2.3"></plus></apply><cn id="S5.6.p6.9.m9.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.6.p6.9.m9.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.6.p6.9.m9.1c">\theta_{N}^{+}=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.6.p6.9.m9.1d">italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT = 1</annotation></semantics></math>, and <math alttext="\theta_{N}^{-}=1-\eta" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.6.p6.10.m10.1"><semantics id="S5.6.p6.10.m10.1a"><mrow id="S5.6.p6.10.m10.1.1" xref="S5.6.p6.10.m10.1.1.cmml"><msubsup id="S5.6.p6.10.m10.1.1.2" xref="S5.6.p6.10.m10.1.1.2.cmml"><mi id="S5.6.p6.10.m10.1.1.2.2.2" xref="S5.6.p6.10.m10.1.1.2.2.2.cmml">θ</mi><mi id="S5.6.p6.10.m10.1.1.2.2.3" xref="S5.6.p6.10.m10.1.1.2.2.3.cmml">N</mi><mo id="S5.6.p6.10.m10.1.1.2.3" xref="S5.6.p6.10.m10.1.1.2.3.cmml">−</mo></msubsup><mo id="S5.6.p6.10.m10.1.1.1" xref="S5.6.p6.10.m10.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.6.p6.10.m10.1.1.3" xref="S5.6.p6.10.m10.1.1.3.cmml"><mn id="S5.6.p6.10.m10.1.1.3.2" xref="S5.6.p6.10.m10.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S5.6.p6.10.m10.1.1.3.1" xref="S5.6.p6.10.m10.1.1.3.1.cmml">−</mo><mi id="S5.6.p6.10.m10.1.1.3.3" xref="S5.6.p6.10.m10.1.1.3.3.cmml">η</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.6.p6.10.m10.1b"><apply id="S5.6.p6.10.m10.1.1.cmml" xref="S5.6.p6.10.m10.1.1"><eq id="S5.6.p6.10.m10.1.1.1.cmml" xref="S5.6.p6.10.m10.1.1.1"></eq><apply id="S5.6.p6.10.m10.1.1.2.cmml" xref="S5.6.p6.10.m10.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.6.p6.10.m10.1.1.2.1.cmml" xref="S5.6.p6.10.m10.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S5.6.p6.10.m10.1.1.2.2.cmml" xref="S5.6.p6.10.m10.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.6.p6.10.m10.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.6.p6.10.m10.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.6.p6.10.m10.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.6.p6.10.m10.1.1.2.2.2">𝜃</ci><ci id="S5.6.p6.10.m10.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.6.p6.10.m10.1.1.2.2.3">𝑁</ci></apply><minus id="S5.6.p6.10.m10.1.1.2.3.cmml" xref="S5.6.p6.10.m10.1.1.2.3"></minus></apply><apply id="S5.6.p6.10.m10.1.1.3.cmml" xref="S5.6.p6.10.m10.1.1.3"><minus id="S5.6.p6.10.m10.1.1.3.1.cmml" xref="S5.6.p6.10.m10.1.1.3.1"></minus><cn id="S5.6.p6.10.m10.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.6.p6.10.m10.1.1.3.2">1</cn><ci id="S5.6.p6.10.m10.1.1.3.3.cmml" xref="S5.6.p6.10.m10.1.1.3.3">𝜂</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.6.p6.10.m10.1c">\theta_{N}^{-}=1-\eta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.6.p6.10.m10.1d">italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT = 1 - italic_η</annotation></semantics></math>. Notice also that the <math alttext="N" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.6.p6.11.m11.1"><semantics id="S5.6.p6.11.m11.1a"><mi id="S5.6.p6.11.m11.1.1" xref="S5.6.p6.11.m11.1.1.cmml">N</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.6.p6.11.m11.1b"><ci id="S5.6.p6.11.m11.1.1.cmml" xref="S5.6.p6.11.m11.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.6.p6.11.m11.1c">N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.6.p6.11.m11.1d">italic_N</annotation></semantics></math>th entry of vector <math alttext="\mathbf{a}^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.6.p6.12.m12.1"><semantics id="S5.6.p6.12.m12.1a"><msup id="S5.6.p6.12.m12.1.1" xref="S5.6.p6.12.m12.1.1.cmml"><mi id="S5.6.p6.12.m12.1.1.2" xref="S5.6.p6.12.m12.1.1.2.cmml">𝐚</mi><mo id="S5.6.p6.12.m12.1.1.3" xref="S5.6.p6.12.m12.1.1.3.cmml">′</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.6.p6.12.m12.1b"><apply id="S5.6.p6.12.m12.1.1.cmml" xref="S5.6.p6.12.m12.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.6.p6.12.m12.1.1.1.cmml" xref="S5.6.p6.12.m12.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.6.p6.12.m12.1.1.2.cmml" xref="S5.6.p6.12.m12.1.1.2">𝐚</ci><ci id="S5.6.p6.12.m12.1.1.3.cmml" xref="S5.6.p6.12.m12.1.1.3">′</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.6.p6.12.m12.1c">\mathbf{a}^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.6.p6.12.m12.1d">bold_a start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is <math alttext="a^{\prime(N)}=(1/\sqrt{N})\mathbf{1}_{N}^{\intercal}\mathbf{x}^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.6.p6.13.m13.4"><semantics id="S5.6.p6.13.m13.4a"><mrow id="S5.6.p6.13.m13.4.4" xref="S5.6.p6.13.m13.4.4.cmml"><msup id="S5.6.p6.13.m13.4.4.3" xref="S5.6.p6.13.m13.4.4.3.cmml"><mi id="S5.6.p6.13.m13.4.4.3.2" xref="S5.6.p6.13.m13.4.4.3.2.cmml">a</mi><mrow id="S5.6.p6.13.m13.3.3.3.3" xref="S5.6.p6.13.m13.3.3.3.4.cmml"><mo id="S5.6.p6.13.m13.2.2.2.2.1" mathsize="142%" xref="S5.6.p6.13.m13.2.2.2.2.1.cmml">′</mo><mo id="S5.6.p6.13.m13.3.3.3.3.3" lspace="0em" xref="S5.6.p6.13.m13.3.3.3.4.cmml">⁣</mo><mrow id="S5.6.p6.13.m13.3.3.3.3.2.2" xref="S5.6.p6.13.m13.3.3.3.4.cmml"><mo id="S5.6.p6.13.m13.3.3.3.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S5.6.p6.13.m13.3.3.3.4.cmml">(</mo><mi id="S5.6.p6.13.m13.1.1.1.1" xref="S5.6.p6.13.m13.1.1.1.1.cmml">N</mi><mo id="S5.6.p6.13.m13.3.3.3.3.2.2.2" stretchy="false" xref="S5.6.p6.13.m13.3.3.3.4.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup><mo id="S5.6.p6.13.m13.4.4.2" xref="S5.6.p6.13.m13.4.4.2.cmml">=</mo><mrow id="S5.6.p6.13.m13.4.4.1" xref="S5.6.p6.13.m13.4.4.1.cmml"><mrow id="S5.6.p6.13.m13.4.4.1.1.1" xref="S5.6.p6.13.m13.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.6.p6.13.m13.4.4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.6.p6.13.m13.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.6.p6.13.m13.4.4.1.1.1.1" xref="S5.6.p6.13.m13.4.4.1.1.1.1.cmml"><mn id="S5.6.p6.13.m13.4.4.1.1.1.1.2" xref="S5.6.p6.13.m13.4.4.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S5.6.p6.13.m13.4.4.1.1.1.1.1" xref="S5.6.p6.13.m13.4.4.1.1.1.1.1.cmml">/</mo><msqrt id="S5.6.p6.13.m13.4.4.1.1.1.1.3" xref="S5.6.p6.13.m13.4.4.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.6.p6.13.m13.4.4.1.1.1.1.3.2" xref="S5.6.p6.13.m13.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml">N</mi></msqrt></mrow><mo id="S5.6.p6.13.m13.4.4.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.6.p6.13.m13.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.6.p6.13.m13.4.4.1.2" xref="S5.6.p6.13.m13.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.6.p6.13.m13.4.4.1.3" xref="S5.6.p6.13.m13.4.4.1.3.cmml"><mn id="S5.6.p6.13.m13.4.4.1.3.2.2" xref="S5.6.p6.13.m13.4.4.1.3.2.2.cmml">𝟏</mn><mi id="S5.6.p6.13.m13.4.4.1.3.2.3" xref="S5.6.p6.13.m13.4.4.1.3.2.3.cmml">N</mi><mo id="S5.6.p6.13.m13.4.4.1.3.3" xref="S5.6.p6.13.m13.4.4.1.3.3.cmml">⊺</mo></msubsup><mo id="S5.6.p6.13.m13.4.4.1.2a" xref="S5.6.p6.13.m13.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S5.6.p6.13.m13.4.4.1.4" xref="S5.6.p6.13.m13.4.4.1.4.cmml"><mi id="S5.6.p6.13.m13.4.4.1.4.2" xref="S5.6.p6.13.m13.4.4.1.4.2.cmml">𝐱</mi><mo id="S5.6.p6.13.m13.4.4.1.4.3" xref="S5.6.p6.13.m13.4.4.1.4.3.cmml">′</mo></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.6.p6.13.m13.4b"><apply id="S5.6.p6.13.m13.4.4.cmml" xref="S5.6.p6.13.m13.4.4"><eq id="S5.6.p6.13.m13.4.4.2.cmml" xref="S5.6.p6.13.m13.4.4.2"></eq><apply id="S5.6.p6.13.m13.4.4.3.cmml" xref="S5.6.p6.13.m13.4.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.6.p6.13.m13.4.4.3.1.cmml" xref="S5.6.p6.13.m13.4.4.3">superscript</csymbol><ci id="S5.6.p6.13.m13.4.4.3.2.cmml" xref="S5.6.p6.13.m13.4.4.3.2">𝑎</ci><list id="S5.6.p6.13.m13.3.3.3.4.cmml" xref="S5.6.p6.13.m13.3.3.3.3"><ci id="S5.6.p6.13.m13.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.6.p6.13.m13.2.2.2.2.1">′</ci><ci id="S5.6.p6.13.m13.1.1.1.1.cmml" xref="S5.6.p6.13.m13.1.1.1.1">𝑁</ci></list></apply><apply id="S5.6.p6.13.m13.4.4.1.cmml" xref="S5.6.p6.13.m13.4.4.1"><times id="S5.6.p6.13.m13.4.4.1.2.cmml" xref="S5.6.p6.13.m13.4.4.1.2"></times><apply id="S5.6.p6.13.m13.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S5.6.p6.13.m13.4.4.1.1.1"><divide id="S5.6.p6.13.m13.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.6.p6.13.m13.4.4.1.1.1.1.1"></divide><cn id="S5.6.p6.13.m13.4.4.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S5.6.p6.13.m13.4.4.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="S5.6.p6.13.m13.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.6.p6.13.m13.4.4.1.1.1.1.3"><root id="S5.6.p6.13.m13.4.4.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S5.6.p6.13.m13.4.4.1.1.1.1.3"></root><ci id="S5.6.p6.13.m13.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.6.p6.13.m13.4.4.1.1.1.1.3.2">𝑁</ci></apply></apply><apply id="S5.6.p6.13.m13.4.4.1.3.cmml" xref="S5.6.p6.13.m13.4.4.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.6.p6.13.m13.4.4.1.3.1.cmml" xref="S5.6.p6.13.m13.4.4.1.3">superscript</csymbol><apply id="S5.6.p6.13.m13.4.4.1.3.2.cmml" xref="S5.6.p6.13.m13.4.4.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.6.p6.13.m13.4.4.1.3.2.1.cmml" xref="S5.6.p6.13.m13.4.4.1.3">subscript</csymbol><cn id="S5.6.p6.13.m13.4.4.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.6.p6.13.m13.4.4.1.3.2.2">1</cn><ci id="S5.6.p6.13.m13.4.4.1.3.2.3.cmml" xref="S5.6.p6.13.m13.4.4.1.3.2.3">𝑁</ci></apply><ci id="S5.6.p6.13.m13.4.4.1.3.3.cmml" xref="S5.6.p6.13.m13.4.4.1.3.3">⊺</ci></apply><apply id="S5.6.p6.13.m13.4.4.1.4.cmml" xref="S5.6.p6.13.m13.4.4.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.6.p6.13.m13.4.4.1.4.1.cmml" xref="S5.6.p6.13.m13.4.4.1.4">superscript</csymbol><ci id="S5.6.p6.13.m13.4.4.1.4.2.cmml" xref="S5.6.p6.13.m13.4.4.1.4.2">𝐱</ci><ci id="S5.6.p6.13.m13.4.4.1.4.3.cmml" xref="S5.6.p6.13.m13.4.4.1.4.3">′</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.6.p6.13.m13.4c">a^{\prime(N)}=(1/\sqrt{N})\mathbf{1}_{N}^{\intercal}\mathbf{x}^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.6.p6.13.m13.4d">italic_a start_POSTSUPERSCRIPT ′ ( italic_N ) end_POSTSUPERSCRIPT = ( 1 / square-root start_ARG italic_N end_ARG ) bold_1 start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⊺ end_POSTSUPERSCRIPT bold_x start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. Now, adding (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#A0.E33.1" title="Equation 33a ‣ Equation 33 ‣ Proof: ‣ V Conclusions ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">33a</span></a>) to copies of (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#A0.E34" title="Equation 34 ‣ Proof: ‣ V Conclusions ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">34</span></a>) for consecutive values of <math alttext="m" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.6.p6.14.m14.1"><semantics id="S5.6.p6.14.m14.1a"><mi id="S5.6.p6.14.m14.1.1" xref="S5.6.p6.14.m14.1.1.cmml">m</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.6.p6.14.m14.1b"><ci id="S5.6.p6.14.m14.1.1.cmml" xref="S5.6.p6.14.m14.1.1">𝑚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.6.p6.14.m14.1c">m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.6.p6.14.m14.1d">italic_m</annotation></semantics></math> yields</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A0.EGx52"> <tbody id="A0.Ex20"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle a_{m}^{(N)}" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex20.m1.1"><semantics id="A0.Ex20.m1.1a"><msubsup id="A0.Ex20.m1.1.2" xref="A0.Ex20.m1.1.2.cmml"><mi id="A0.Ex20.m1.1.2.2.2" xref="A0.Ex20.m1.1.2.2.2.cmml">a</mi><mi id="A0.Ex20.m1.1.2.2.3" xref="A0.Ex20.m1.1.2.2.3.cmml">m</mi><mrow id="A0.Ex20.m1.1.1.1.3" xref="A0.Ex20.m1.1.2.cmml"><mo id="A0.Ex20.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A0.Ex20.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A0.Ex20.m1.1.1.1.1" xref="A0.Ex20.m1.1.1.1.1.cmml">N</mi><mo id="A0.Ex20.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A0.Ex20.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex20.m1.1b"><apply id="A0.Ex20.m1.1.2.cmml" xref="A0.Ex20.m1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex20.m1.1.2.1.cmml" xref="A0.Ex20.m1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A0.Ex20.m1.1.2.2.cmml" xref="A0.Ex20.m1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex20.m1.1.2.2.1.cmml" xref="A0.Ex20.m1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A0.Ex20.m1.1.2.2.2.cmml" xref="A0.Ex20.m1.1.2.2.2">𝑎</ci><ci id="A0.Ex20.m1.1.2.2.3.cmml" xref="A0.Ex20.m1.1.2.2.3">𝑚</ci></apply><ci id="A0.Ex20.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex20.m1.1.1.1.1">𝑁</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex20.m1.1c">\displaystyle a_{m}^{(N)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex20.m1.1d">italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_N ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A0.Ex21"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=(1-\eta)a_{-1}^{(N)}+\eta Na^{\prime(N)}+(1-\eta)\sum_{k=0}^{m-1% }\Delta_{k}^{(N)+}" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex21.m1.7"><semantics id="A0.Ex21.m1.7a"><mrow id="A0.Ex21.m1.7.7" xref="A0.Ex21.m1.7.7.cmml"><mi id="A0.Ex21.m1.7.7.4" xref="A0.Ex21.m1.7.7.4.cmml"></mi><mo id="A0.Ex21.m1.7.7.3" xref="A0.Ex21.m1.7.7.3.cmml">=</mo><mrow id="A0.Ex21.m1.7.7.2" xref="A0.Ex21.m1.7.7.2.cmml"><mrow id="A0.Ex21.m1.6.6.1.1" xref="A0.Ex21.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="A0.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1" xref="A0.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A0.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="A0.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="A0.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.cmml">η</mi></mrow><mo id="A0.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex21.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A0.Ex21.m1.6.6.1.1.2" xref="A0.Ex21.m1.6.6.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="A0.Ex21.m1.6.6.1.1.3" xref="A0.Ex21.m1.6.6.1.1.3.cmml"><mi id="A0.Ex21.m1.6.6.1.1.3.2.2" xref="A0.Ex21.m1.6.6.1.1.3.2.2.cmml">a</mi><mrow id="A0.Ex21.m1.6.6.1.1.3.2.3" xref="A0.Ex21.m1.6.6.1.1.3.2.3.cmml"><mo id="A0.Ex21.m1.6.6.1.1.3.2.3a" xref="A0.Ex21.m1.6.6.1.1.3.2.3.cmml">−</mo><mn id="A0.Ex21.m1.6.6.1.1.3.2.3.2" xref="A0.Ex21.m1.6.6.1.1.3.2.3.2.cmml">1</mn></mrow><mrow id="A0.Ex21.m1.1.1.1.3" xref="A0.Ex21.m1.6.6.1.1.3.cmml"><mo id="A0.Ex21.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A0.Ex21.m1.6.6.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A0.Ex21.m1.1.1.1.1" xref="A0.Ex21.m1.1.1.1.1.cmml">N</mi><mo id="A0.Ex21.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A0.Ex21.m1.6.6.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup></mrow><mo id="A0.Ex21.m1.7.7.2.3" xref="A0.Ex21.m1.7.7.2.3.cmml">+</mo><mrow id="A0.Ex21.m1.7.7.2.4" xref="A0.Ex21.m1.7.7.2.4.cmml"><mi id="A0.Ex21.m1.7.7.2.4.2" xref="A0.Ex21.m1.7.7.2.4.2.cmml">η</mi><mo id="A0.Ex21.m1.7.7.2.4.1" xref="A0.Ex21.m1.7.7.2.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="A0.Ex21.m1.7.7.2.4.3" xref="A0.Ex21.m1.7.7.2.4.3.cmml">N</mi><mo id="A0.Ex21.m1.7.7.2.4.1a" xref="A0.Ex21.m1.7.7.2.4.1.cmml">⁢</mo><msup id="A0.Ex21.m1.7.7.2.4.4" xref="A0.Ex21.m1.7.7.2.4.4.cmml"><mi id="A0.Ex21.m1.7.7.2.4.4.2" xref="A0.Ex21.m1.7.7.2.4.4.2.cmml">a</mi><mrow id="A0.Ex21.m1.4.4.3.3" xref="A0.Ex21.m1.4.4.3.4.cmml"><mo id="A0.Ex21.m1.3.3.2.2.1" mathsize="142%" xref="A0.Ex21.m1.3.3.2.2.1.cmml">′</mo><mo id="A0.Ex21.m1.4.4.3.3.3" lspace="0em" xref="A0.Ex21.m1.4.4.3.4.cmml">⁣</mo><mrow id="A0.Ex21.m1.4.4.3.3.2.2" xref="A0.Ex21.m1.4.4.3.4.cmml"><mo id="A0.Ex21.m1.4.4.3.3.2.2.1" stretchy="false" xref="A0.Ex21.m1.4.4.3.4.cmml">(</mo><mi id="A0.Ex21.m1.2.2.1.1" xref="A0.Ex21.m1.2.2.1.1.cmml">N</mi><mo id="A0.Ex21.m1.4.4.3.3.2.2.2" stretchy="false" xref="A0.Ex21.m1.4.4.3.4.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup></mrow><mo id="A0.Ex21.m1.7.7.2.3a" xref="A0.Ex21.m1.7.7.2.3.cmml">+</mo><mrow id="A0.Ex21.m1.7.7.2.2" xref="A0.Ex21.m1.7.7.2.2.cmml"><mrow id="A0.Ex21.m1.7.7.2.2.1.1" xref="A0.Ex21.m1.7.7.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex21.m1.7.7.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex21.m1.7.7.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.Ex21.m1.7.7.2.2.1.1.1" xref="A0.Ex21.m1.7.7.2.2.1.1.1.cmml"><mn id="A0.Ex21.m1.7.7.2.2.1.1.1.2" xref="A0.Ex21.m1.7.7.2.2.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="A0.Ex21.m1.7.7.2.2.1.1.1.1" xref="A0.Ex21.m1.7.7.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="A0.Ex21.m1.7.7.2.2.1.1.1.3" xref="A0.Ex21.m1.7.7.2.2.1.1.1.3.cmml">η</mi></mrow><mo id="A0.Ex21.m1.7.7.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex21.m1.7.7.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A0.Ex21.m1.7.7.2.2.2" xref="A0.Ex21.m1.7.7.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex21.m1.7.7.2.2.3" xref="A0.Ex21.m1.7.7.2.2.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A0.Ex21.m1.7.7.2.2.3.1" xref="A0.Ex21.m1.7.7.2.2.3.1.cmml"><munderover id="A0.Ex21.m1.7.7.2.2.3.1a" xref="A0.Ex21.m1.7.7.2.2.3.1.cmml"><mo id="A0.Ex21.m1.7.7.2.2.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="A0.Ex21.m1.7.7.2.2.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A0.Ex21.m1.7.7.2.2.3.1.2.3" xref="A0.Ex21.m1.7.7.2.2.3.1.2.3.cmml"><mi id="A0.Ex21.m1.7.7.2.2.3.1.2.3.2" xref="A0.Ex21.m1.7.7.2.2.3.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="A0.Ex21.m1.7.7.2.2.3.1.2.3.1" xref="A0.Ex21.m1.7.7.2.2.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A0.Ex21.m1.7.7.2.2.3.1.2.3.3" xref="A0.Ex21.m1.7.7.2.2.3.1.2.3.3.cmml">0</mn></mrow><mrow id="A0.Ex21.m1.7.7.2.2.3.1.3" xref="A0.Ex21.m1.7.7.2.2.3.1.3.cmml"><mi id="A0.Ex21.m1.7.7.2.2.3.1.3.2" xref="A0.Ex21.m1.7.7.2.2.3.1.3.2.cmml">m</mi><mo id="A0.Ex21.m1.7.7.2.2.3.1.3.1" xref="A0.Ex21.m1.7.7.2.2.3.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="A0.Ex21.m1.7.7.2.2.3.1.3.3" xref="A0.Ex21.m1.7.7.2.2.3.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></munderover></mstyle><msubsup 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id="A0.Ex22.m1.8a"><mrow id="A0.Ex22.m1.8.8" xref="A0.Ex22.m1.8.8.cmml"><mi id="A0.Ex22.m1.8.8.5" xref="A0.Ex22.m1.8.8.5.cmml"></mi><mo id="A0.Ex22.m1.8.8.4" xref="A0.Ex22.m1.8.8.4.cmml">=</mo><mrow id="A0.Ex22.m1.8.8.3" xref="A0.Ex22.m1.8.8.3.cmml"><mrow id="A0.Ex22.m1.6.6.1.1" xref="A0.Ex22.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="A0.Ex22.m1.6.6.1.1.1.1" xref="A0.Ex22.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex22.m1.6.6.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex22.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.Ex22.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex22.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A0.Ex22.m1.6.6.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex22.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="A0.Ex22.m1.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex22.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="A0.Ex22.m1.6.6.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex22.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.cmml">η</mi></mrow><mo id="A0.Ex22.m1.6.6.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex22.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A0.Ex22.m1.6.6.1.1.2" xref="A0.Ex22.m1.6.6.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup 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xref="A0.Ex22.m1.7.7.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex22.m1.7.7.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex22.m1.7.7.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.Ex22.m1.7.7.2.2.1.1.1" xref="A0.Ex22.m1.7.7.2.2.1.1.1.cmml"><mn id="A0.Ex22.m1.7.7.2.2.1.1.1.2" xref="A0.Ex22.m1.7.7.2.2.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="A0.Ex22.m1.7.7.2.2.1.1.1.1" xref="A0.Ex22.m1.7.7.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="A0.Ex22.m1.7.7.2.2.1.1.1.3" xref="A0.Ex22.m1.7.7.2.2.1.1.1.3.cmml">η</mi></mrow><mo id="A0.Ex22.m1.7.7.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex22.m1.7.7.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A0.Ex22.m1.8.8.3.3.3" xref="A0.Ex22.m1.8.8.3.3.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex22.m1.8.8.3.3.2" xref="A0.Ex22.m1.8.8.3.3.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A0.Ex22.m1.8.8.3.3.2.2" xref="A0.Ex22.m1.8.8.3.3.2.2.cmml"><munderover id="A0.Ex22.m1.8.8.3.3.2.2a" xref="A0.Ex22.m1.8.8.3.3.2.2.cmml"><mo id="A0.Ex22.m1.8.8.3.3.2.2.2.2" movablelimits="false" xref="A0.Ex22.m1.8.8.3.3.2.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A0.Ex22.m1.8.8.3.3.2.2.2.3" xref="A0.Ex22.m1.8.8.3.3.2.2.2.3.cmml"><mi id="A0.Ex22.m1.8.8.3.3.2.2.2.3.2" xref="A0.Ex22.m1.8.8.3.3.2.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="A0.Ex22.m1.8.8.3.3.2.2.2.3.1" xref="A0.Ex22.m1.8.8.3.3.2.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A0.Ex22.m1.8.8.3.3.2.2.2.3.3" xref="A0.Ex22.m1.8.8.3.3.2.2.2.3.3.cmml">0</mn></mrow><mrow id="A0.Ex22.m1.8.8.3.3.2.2.3" xref="A0.Ex22.m1.8.8.3.3.2.2.3.cmml"><mi id="A0.Ex22.m1.8.8.3.3.2.2.3.2" xref="A0.Ex22.m1.8.8.3.3.2.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A0.Ex22.m1.8.8.3.3.2.2.3.1" xref="A0.Ex22.m1.8.8.3.3.2.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="A0.Ex22.m1.8.8.3.3.2.2.3.3" xref="A0.Ex22.m1.8.8.3.3.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></munderover></mstyle><mrow id="A0.Ex22.m1.8.8.3.3.2.1" xref="A0.Ex22.m1.8.8.3.3.2.1.cmml"><msup id="A0.Ex22.m1.8.8.3.3.2.1.1" xref="A0.Ex22.m1.8.8.3.3.2.1.1.cmml"><mrow id="A0.Ex22.m1.8.8.3.3.2.1.1.1.1" xref="A0.Ex22.m1.8.8.3.3.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex22.m1.8.8.3.3.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex22.m1.8.8.3.3.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.Ex22.m1.8.8.3.3.2.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex22.m1.8.8.3.3.2.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A0.Ex22.m1.8.8.3.3.2.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex22.m1.8.8.3.3.2.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="A0.Ex22.m1.8.8.3.3.2.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex22.m1.8.8.3.3.2.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="A0.Ex22.m1.8.8.3.3.2.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex22.m1.8.8.3.3.2.1.1.1.1.1.3.cmml">η</mi></mrow><mo id="A0.Ex22.m1.8.8.3.3.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex22.m1.8.8.3.3.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A0.Ex22.m1.8.8.3.3.2.1.1.3" xref="A0.Ex22.m1.8.8.3.3.2.1.1.3.cmml">k</mi></msup><mo id="A0.Ex22.m1.8.8.3.3.2.1.2" xref="A0.Ex22.m1.8.8.3.3.2.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="A0.Ex22.m1.8.8.3.3.2.1.3" xref="A0.Ex22.m1.8.8.3.3.2.1.3.cmml"><mi id="A0.Ex22.m1.8.8.3.3.2.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="A0.Ex22.m1.8.8.3.3.2.1.3.2.2.cmml">Δ</mi><mn id="A0.Ex22.m1.8.8.3.3.2.1.3.2.3" xref="A0.Ex22.m1.8.8.3.3.2.1.3.2.3.cmml">0</mn><mrow id="A0.Ex22.m1.5.5.1" xref="A0.Ex22.m1.5.5.1.cmml"><mrow id="A0.Ex22.m1.5.5.1.3.2" 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id="A0.Ex22.m1.5.5.1.2.cmml" xref="A0.Ex22.m1.5.5.1">limit-from</csymbol><ci id="A0.Ex22.m1.5.5.1.1.cmml" xref="A0.Ex22.m1.5.5.1.1">𝑁</ci><plus id="A0.Ex22.m1.5.5.1.4.cmml" xref="A0.Ex22.m1.5.5.1.4"></plus></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex22.m1.8c">\displaystyle=(1-\eta)a_{-1}^{(N)}+\eta Na^{\prime(N)}+(1-\eta)\sum_{k=0}^{m-1% }(1-\eta)^{k}\Delta_{0}^{(N)+}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex22.m1.8d">= ( 1 - italic_η ) italic_a start_POSTSUBSCRIPT - 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_N ) end_POSTSUPERSCRIPT + italic_η italic_N italic_a start_POSTSUPERSCRIPT ′ ( italic_N ) end_POSTSUPERSCRIPT + ( 1 - italic_η ) ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_k = 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_m - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( 1 - italic_η ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_N ) + end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A0.Ex23"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=Na^{\prime(N)}+(1-\eta)^{m+1}(\,a_{-1}^{(N)}-Na^{\prime(N)}\,)" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex23.m1.9"><semantics id="A0.Ex23.m1.9a"><mrow id="A0.Ex23.m1.9.9" xref="A0.Ex23.m1.9.9.cmml"><mi id="A0.Ex23.m1.9.9.4" xref="A0.Ex23.m1.9.9.4.cmml"></mi><mo id="A0.Ex23.m1.9.9.3" xref="A0.Ex23.m1.9.9.3.cmml">=</mo><mrow id="A0.Ex23.m1.9.9.2" xref="A0.Ex23.m1.9.9.2.cmml"><mrow id="A0.Ex23.m1.9.9.2.4" xref="A0.Ex23.m1.9.9.2.4.cmml"><mi id="A0.Ex23.m1.9.9.2.4.2" xref="A0.Ex23.m1.9.9.2.4.2.cmml">N</mi><mo id="A0.Ex23.m1.9.9.2.4.1" xref="A0.Ex23.m1.9.9.2.4.1.cmml">⁢</mo><msup id="A0.Ex23.m1.9.9.2.4.3" 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xref="A0.Ex23.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.Ex23.m1.8.8.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex23.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A0.Ex23.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex23.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="A0.Ex23.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex23.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="A0.Ex23.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex23.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.cmml">η</mi></mrow><mo id="A0.Ex23.m1.8.8.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex23.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A0.Ex23.m1.8.8.1.1.1.3" xref="A0.Ex23.m1.8.8.1.1.1.3.cmml"><mi id="A0.Ex23.m1.8.8.1.1.1.3.2" xref="A0.Ex23.m1.8.8.1.1.1.3.2.cmml">m</mi><mo id="A0.Ex23.m1.8.8.1.1.1.3.1" xref="A0.Ex23.m1.8.8.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mn id="A0.Ex23.m1.8.8.1.1.1.3.3" xref="A0.Ex23.m1.8.8.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A0.Ex23.m1.9.9.2.2.3" xref="A0.Ex23.m1.9.9.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex23.m1.9.9.2.2.2.1" xref="A0.Ex23.m1.9.9.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex23.m1.9.9.2.2.2.1.2" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="A0.Ex23.m1.9.9.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.Ex23.m1.9.9.2.2.2.1.1" xref="A0.Ex23.m1.9.9.2.2.2.1.1.cmml"><msubsup id="A0.Ex23.m1.9.9.2.2.2.1.1.2" xref="A0.Ex23.m1.9.9.2.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="A0.Ex23.m1.9.9.2.2.2.1.1.2.2.2" xref="A0.Ex23.m1.9.9.2.2.2.1.1.2.2.2.cmml">a</mi><mrow id="A0.Ex23.m1.9.9.2.2.2.1.1.2.2.3" xref="A0.Ex23.m1.9.9.2.2.2.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="A0.Ex23.m1.9.9.2.2.2.1.1.2.2.3a" xref="A0.Ex23.m1.9.9.2.2.2.1.1.2.2.3.cmml">−</mo><mn id="A0.Ex23.m1.9.9.2.2.2.1.1.2.2.3.2" xref="A0.Ex23.m1.9.9.2.2.2.1.1.2.2.3.2.cmml">1</mn></mrow><mrow id="A0.Ex23.m1.4.4.1.3" xref="A0.Ex23.m1.9.9.2.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="A0.Ex23.m1.4.4.1.3.1" stretchy="false" xref="A0.Ex23.m1.9.9.2.2.2.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A0.Ex23.m1.4.4.1.1" xref="A0.Ex23.m1.4.4.1.1.cmml">N</mi><mo id="A0.Ex23.m1.4.4.1.3.2" stretchy="false" xref="A0.Ex23.m1.9.9.2.2.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="A0.Ex23.m1.9.9.2.2.2.1.1.1" xref="A0.Ex23.m1.9.9.2.2.2.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A0.Ex23.m1.9.9.2.2.2.1.1.3" xref="A0.Ex23.m1.9.9.2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="A0.Ex23.m1.9.9.2.2.2.1.1.3.2" xref="A0.Ex23.m1.9.9.2.2.2.1.1.3.2.cmml">N</mi><mo id="A0.Ex23.m1.9.9.2.2.2.1.1.3.1" xref="A0.Ex23.m1.9.9.2.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="A0.Ex23.m1.9.9.2.2.2.1.1.3.3" xref="A0.Ex23.m1.9.9.2.2.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="A0.Ex23.m1.9.9.2.2.2.1.1.3.3.2" xref="A0.Ex23.m1.9.9.2.2.2.1.1.3.3.2.cmml">a</mi><mrow id="A0.Ex23.m1.7.7.3.3" xref="A0.Ex23.m1.7.7.3.4.cmml"><mo id="A0.Ex23.m1.6.6.2.2.1" mathsize="142%" xref="A0.Ex23.m1.6.6.2.2.1.cmml">′</mo><mo id="A0.Ex23.m1.7.7.3.3.3" lspace="0em" xref="A0.Ex23.m1.7.7.3.4.cmml">⁣</mo><mrow id="A0.Ex23.m1.7.7.3.3.2.2" xref="A0.Ex23.m1.7.7.3.4.cmml"><mo id="A0.Ex23.m1.7.7.3.3.2.2.1" stretchy="false" xref="A0.Ex23.m1.7.7.3.4.cmml">(</mo><mi id="A0.Ex23.m1.5.5.1.1" xref="A0.Ex23.m1.5.5.1.1.cmml">N</mi><mo id="A0.Ex23.m1.7.7.3.3.2.2.2" stretchy="false" xref="A0.Ex23.m1.7.7.3.4.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup></mrow></mrow><mo id="A0.Ex23.m1.9.9.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex23.m1.9.9.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex23.m1.9b"><apply id="A0.Ex23.m1.9.9.cmml" xref="A0.Ex23.m1.9.9"><eq id="A0.Ex23.m1.9.9.3.cmml" xref="A0.Ex23.m1.9.9.3"></eq><csymbol cd="latexml" id="A0.Ex23.m1.9.9.4.cmml" xref="A0.Ex23.m1.9.9.4">absent</csymbol><apply id="A0.Ex23.m1.9.9.2.cmml" xref="A0.Ex23.m1.9.9.2"><plus id="A0.Ex23.m1.9.9.2.3.cmml" xref="A0.Ex23.m1.9.9.2.3"></plus><apply id="A0.Ex23.m1.9.9.2.4.cmml" xref="A0.Ex23.m1.9.9.2.4"><times id="A0.Ex23.m1.9.9.2.4.1.cmml" xref="A0.Ex23.m1.9.9.2.4.1"></times><ci id="A0.Ex23.m1.9.9.2.4.2.cmml" xref="A0.Ex23.m1.9.9.2.4.2">𝑁</ci><apply id="A0.Ex23.m1.9.9.2.4.3.cmml" xref="A0.Ex23.m1.9.9.2.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex23.m1.9.9.2.4.3.1.cmml" xref="A0.Ex23.m1.9.9.2.4.3">superscript</csymbol><ci id="A0.Ex23.m1.9.9.2.4.3.2.cmml" xref="A0.Ex23.m1.9.9.2.4.3.2">𝑎</ci><list id="A0.Ex23.m1.3.3.3.4.cmml" 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alttext="\displaystyle=\sqrt{N}\,\mathbf{1}_{N}^{\intercal}\mathbf{x}^{\prime}+(1-\eta)% ^{m+1}(\,a_{-1}^{(N)}-\sqrt{N}\,\mathbf{1}_{N}^{\intercal}\mathbf{x}^{\prime}% \,)\,." class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex24.m1.2"><semantics id="A0.Ex24.m1.2a"><mrow id="A0.Ex24.m1.2.2.1" xref="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A0.Ex24.m1.2.2.1.1" xref="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.4" xref="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.4.cmml"></mi><mo id="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.3" xref="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.2" xref="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mrow id="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.2.4" xref="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.2.4.cmml"><msqrt id="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.2.4.2" xref="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.2.4.2.cmml"><mi id="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.2.4.2.2" xref="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.2.4.2.2.cmml">N</mi></msqrt><mo id="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.2.4.1" xref="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.2.4.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.2.4.3" xref="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.2.4.3.cmml"><mn class="ltx_mathvariant_bold" 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id="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.1a" xref="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.4" xref="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.4.cmml"><mi id="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.4.2" xref="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.4.2.cmml">𝐱</mi><mo id="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.4.3" xref="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.4.3.cmml">′</mo></msup></mrow></mrow><mo id="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A0.Ex24.m1.2.2.1.2" lspace="0.170em" xref="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex24.m1.2b"><apply id="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A0.Ex24.m1.2.2.1"><eq id="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.3"></eq><csymbol cd="latexml" id="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.4.cmml" xref="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.4">absent</csymbol><apply id="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.2"><plus 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xref="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><ci id="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝜂</ci></apply><apply id="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.1.1.1.3"><plus id="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1"></plus><ci id="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2">𝑚</ci><cn id="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.cmml" xref="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.2.2.2.1"><minus id="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1"></minus><apply id="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2">𝑎</ci><apply id="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.3"><minus id="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.3"></minus><cn id="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="A0.Ex24.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex24.m1.1.1.1.1">𝑁</ci></apply><apply id="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3"><times id="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.1"></times><apply 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xref="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.3.3">⊺</ci></apply><apply id="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.4.cmml" xref="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.4.1.cmml" xref="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.4">superscript</csymbol><ci id="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.4.2.cmml" xref="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.4.2">𝐱</ci><ci id="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.4.3.cmml" xref="A0.Ex24.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.4.3">′</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex24.m1.2c">\displaystyle=\sqrt{N}\,\mathbf{1}_{N}^{\intercal}\mathbf{x}^{\prime}+(1-\eta)% ^{m+1}(\,a_{-1}^{(N)}-\sqrt{N}\,\mathbf{1}_{N}^{\intercal}\mathbf{x}^{\prime}% \,)\,.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex24.m1.2d">= square-root start_ARG italic_N end_ARG bold_1 start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⊺ end_POSTSUPERSCRIPT bold_x start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT + ( 1 - italic_η ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_m + 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_a start_POSTSUBSCRIPT - 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_N ) end_POSTSUPERSCRIPT - square-root start_ARG italic_N end_ARG bold_1 start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⊺ end_POSTSUPERSCRIPT bold_x start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.6.p6.15">Therefore, there exists <math alttext="C_{N}\in\mathbb{R}_{++}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.6.p6.15.m1.1"><semantics id="S5.6.p6.15.m1.1a"><mrow id="S5.6.p6.15.m1.1.1" xref="S5.6.p6.15.m1.1.1.cmml"><msub id="S5.6.p6.15.m1.1.1.2" xref="S5.6.p6.15.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.6.p6.15.m1.1.1.2.2" xref="S5.6.p6.15.m1.1.1.2.2.cmml">C</mi><mi id="S5.6.p6.15.m1.1.1.2.3" xref="S5.6.p6.15.m1.1.1.2.3.cmml">N</mi></msub><mo id="S5.6.p6.15.m1.1.1.1" xref="S5.6.p6.15.m1.1.1.1.cmml">∈</mo><msub id="S5.6.p6.15.m1.1.1.3" xref="S5.6.p6.15.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.6.p6.15.m1.1.1.3.2" xref="S5.6.p6.15.m1.1.1.3.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S5.6.p6.15.m1.1.1.3.3" xref="S5.6.p6.15.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.6.p6.15.m1.1.1.3.3.2" xref="S5.6.p6.15.m1.1.1.3.3.2.cmml"></mi><mo id="S5.6.p6.15.m1.1.1.3.3.1" rspace="0em" xref="S5.6.p6.15.m1.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mo id="S5.6.p6.15.m1.1.1.3.3.3" lspace="0em" xref="S5.6.p6.15.m1.1.1.3.3.3.cmml">+</mo></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.6.p6.15.m1.1b"><apply id="S5.6.p6.15.m1.1.1.cmml" xref="S5.6.p6.15.m1.1.1"><in id="S5.6.p6.15.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.6.p6.15.m1.1.1.1"></in><apply id="S5.6.p6.15.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.6.p6.15.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.6.p6.15.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.6.p6.15.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.6.p6.15.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.6.p6.15.m1.1.1.2.2">𝐶</ci><ci id="S5.6.p6.15.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.6.p6.15.m1.1.1.2.3">𝑁</ci></apply><apply id="S5.6.p6.15.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.6.p6.15.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.6.p6.15.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.6.p6.15.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.6.p6.15.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.6.p6.15.m1.1.1.3.2">ℝ</ci><apply id="S5.6.p6.15.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.6.p6.15.m1.1.1.3.3"><plus id="S5.6.p6.15.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.6.p6.15.m1.1.1.3.3.1"></plus><csymbol cd="latexml" id="S5.6.p6.15.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.6.p6.15.m1.1.1.3.3.2">absent</csymbol><plus id="S5.6.p6.15.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.6.p6.15.m1.1.1.3.3.3"></plus></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.6.p6.15.m1.1c">C_{N}\in\mathbb{R}_{++}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.6.p6.15.m1.1d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT ∈ blackboard_R start_POSTSUBSCRIPT + + end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> s.t.</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A0.EGx53"> <tbody id="A0.Ex25"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\lvert a_{m}^{(N)}-\sqrt{N}\,\mathbf{1}_{N}^{\intercal}\mathbf{x}% ^{\prime}\rvert" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex25.m1.2"><semantics id="A0.Ex25.m1.2a"><mrow id="A0.Ex25.m1.2.2.1" xref="A0.Ex25.m1.2.2.2.cmml"><mo id="A0.Ex25.m1.2.2.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex25.m1.2.2.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A0.Ex25.m1.2.2.1.1" xref="A0.Ex25.m1.2.2.1.1.cmml"><msubsup id="A0.Ex25.m1.2.2.1.1.2" xref="A0.Ex25.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="A0.Ex25.m1.2.2.1.1.2.2.2" xref="A0.Ex25.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml">a</mi><mi id="A0.Ex25.m1.2.2.1.1.2.2.3" xref="A0.Ex25.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml">m</mi><mrow id="A0.Ex25.m1.1.1.1.3" xref="A0.Ex25.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="A0.Ex25.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A0.Ex25.m1.2.2.1.1.2.cmml">(</mo><mi 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id="A0.Ex25.m1.2.2.1.1.3.4" xref="A0.Ex25.m1.2.2.1.1.3.4.cmml"><mi id="A0.Ex25.m1.2.2.1.1.3.4.2" xref="A0.Ex25.m1.2.2.1.1.3.4.2.cmml">𝐱</mi><mo id="A0.Ex25.m1.2.2.1.1.3.4.3" xref="A0.Ex25.m1.2.2.1.1.3.4.3.cmml">′</mo></msup></mrow></mrow><mo id="A0.Ex25.m1.2.2.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex25.m1.2.2.2.1.cmml">|</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex25.m1.2b"><apply id="A0.Ex25.m1.2.2.2.cmml" xref="A0.Ex25.m1.2.2.1"><abs id="A0.Ex25.m1.2.2.2.1.cmml" xref="A0.Ex25.m1.2.2.1.2"></abs><apply id="A0.Ex25.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A0.Ex25.m1.2.2.1.1"><minus id="A0.Ex25.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex25.m1.2.2.1.1.1"></minus><apply id="A0.Ex25.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex25.m1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex25.m1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="A0.Ex25.m1.2.2.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A0.Ex25.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="A0.Ex25.m1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex25.m1.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="A0.Ex25.m1.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A0.Ex25.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="A0.Ex25.m1.2.2.1.1.2.2.2">𝑎</ci><ci id="A0.Ex25.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="A0.Ex25.m1.2.2.1.1.2.2.3">𝑚</ci></apply><ci id="A0.Ex25.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex25.m1.1.1.1.1">𝑁</ci></apply><apply id="A0.Ex25.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex25.m1.2.2.1.1.3"><times id="A0.Ex25.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="A0.Ex25.m1.2.2.1.1.3.1"></times><apply id="A0.Ex25.m1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="A0.Ex25.m1.2.2.1.1.3.2"><root id="A0.Ex25.m1.2.2.1.1.3.2a.cmml" xref="A0.Ex25.m1.2.2.1.1.3.2"></root><ci id="A0.Ex25.m1.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="A0.Ex25.m1.2.2.1.1.3.2.2">𝑁</ci></apply><apply id="A0.Ex25.m1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="A0.Ex25.m1.2.2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex25.m1.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="A0.Ex25.m1.2.2.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="A0.Ex25.m1.2.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="A0.Ex25.m1.2.2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex25.m1.2.2.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="A0.Ex25.m1.2.2.1.1.3.3">subscript</csymbol><cn id="A0.Ex25.m1.2.2.1.1.3.3.2.2.cmml" type="integer" xref="A0.Ex25.m1.2.2.1.1.3.3.2.2">1</cn><ci id="A0.Ex25.m1.2.2.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="A0.Ex25.m1.2.2.1.1.3.3.2.3">𝑁</ci></apply><ci id="A0.Ex25.m1.2.2.1.1.3.3.3.cmml" xref="A0.Ex25.m1.2.2.1.1.3.3.3">⊺</ci></apply><apply id="A0.Ex25.m1.2.2.1.1.3.4.cmml" xref="A0.Ex25.m1.2.2.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex25.m1.2.2.1.1.3.4.1.cmml" xref="A0.Ex25.m1.2.2.1.1.3.4">superscript</csymbol><ci id="A0.Ex25.m1.2.2.1.1.3.4.2.cmml" xref="A0.Ex25.m1.2.2.1.1.3.4.2">𝐱</ci><ci id="A0.Ex25.m1.2.2.1.1.3.4.3.cmml" xref="A0.Ex25.m1.2.2.1.1.3.4.3">′</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex25.m1.2c">\displaystyle\lvert a_{m}^{(N)}-\sqrt{N}\,\mathbf{1}_{N}^{\intercal}\mathbf{x}% ^{\prime}\rvert</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex25.m1.2d">| italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_N ) end_POSTSUPERSCRIPT - square-root start_ARG italic_N end_ARG bold_1 start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⊺ end_POSTSUPERSCRIPT bold_x start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT |</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A0.Ex26"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=(1-\eta)^{m+1}\,\lvert a_{-1}^{(N)}-\sqrt{N}\,\mathbf{1}_{N}^{% \intercal}\mathbf{x}^{\prime}\rvert" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex26.m1.3"><semantics id="A0.Ex26.m1.3a"><mrow id="A0.Ex26.m1.3.3" xref="A0.Ex26.m1.3.3.cmml"><mi id="A0.Ex26.m1.3.3.4" xref="A0.Ex26.m1.3.3.4.cmml"></mi><mo id="A0.Ex26.m1.3.3.3" xref="A0.Ex26.m1.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="A0.Ex26.m1.3.3.2" xref="A0.Ex26.m1.3.3.2.cmml"><msup id="A0.Ex26.m1.2.2.1.1" xref="A0.Ex26.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow 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xref="A0.Ex26.m1.3.3.2.2.1.1.3.4.2.cmml">𝐱</mi><mo id="A0.Ex26.m1.3.3.2.2.1.1.3.4.3" xref="A0.Ex26.m1.3.3.2.2.1.1.3.4.3.cmml">′</mo></msup></mrow></mrow><mo id="A0.Ex26.m1.3.3.2.2.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex26.m1.3.3.2.2.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex26.m1.3b"><apply id="A0.Ex26.m1.3.3.cmml" xref="A0.Ex26.m1.3.3"><eq id="A0.Ex26.m1.3.3.3.cmml" xref="A0.Ex26.m1.3.3.3"></eq><csymbol cd="latexml" id="A0.Ex26.m1.3.3.4.cmml" xref="A0.Ex26.m1.3.3.4">absent</csymbol><apply id="A0.Ex26.m1.3.3.2.cmml" xref="A0.Ex26.m1.3.3.2"><times id="A0.Ex26.m1.3.3.2.3.cmml" xref="A0.Ex26.m1.3.3.2.3"></times><apply id="A0.Ex26.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A0.Ex26.m1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex26.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex26.m1.2.2.1.1">superscript</csymbol><apply id="A0.Ex26.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex26.m1.2.2.1.1.1.1"><minus id="A0.Ex26.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex26.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"></minus><cn 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xref="A0.Ex26.m1.3.3.2.2.1.1.3.4.2">𝐱</ci><ci id="A0.Ex26.m1.3.3.2.2.1.1.3.4.3.cmml" xref="A0.Ex26.m1.3.3.2.2.1.1.3.4.3">′</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex26.m1.3c">\displaystyle=(1-\eta)^{m+1}\,\lvert a_{-1}^{(N)}-\sqrt{N}\,\mathbf{1}_{N}^{% \intercal}\mathbf{x}^{\prime}\rvert</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex26.m1.3d">= ( 1 - italic_η ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_m + 1 end_POSTSUPERSCRIPT | italic_a start_POSTSUBSCRIPT - 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_N ) end_POSTSUPERSCRIPT - square-root start_ARG italic_N end_ARG bold_1 start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⊺ end_POSTSUPERSCRIPT bold_x start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT |</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A0.Ex27"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq(1-\eta)^{m+1}(\lvert a_{-1}^{(N)}\rvert+N\lVert\mathbf{x}^{% \prime}\rVert)" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex27.m1.3"><semantics id="A0.Ex27.m1.3a"><mrow id="A0.Ex27.m1.3.3" xref="A0.Ex27.m1.3.3.cmml"><mi id="A0.Ex27.m1.3.3.4" xref="A0.Ex27.m1.3.3.4.cmml"></mi><mo id="A0.Ex27.m1.3.3.3" xref="A0.Ex27.m1.3.3.3.cmml">≤</mo><mrow id="A0.Ex27.m1.3.3.2" xref="A0.Ex27.m1.3.3.2.cmml"><msup id="A0.Ex27.m1.2.2.1.1" xref="A0.Ex27.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A0.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1" xref="A0.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A0.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="A0.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi 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ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq C_{N}\,(1-\eta)^{m+1}\leq C_{N}\,(1-\eta)^{m}" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex28.m1.2"><semantics id="A0.Ex28.m1.2a"><mrow id="A0.Ex28.m1.2.2" xref="A0.Ex28.m1.2.2.cmml"><mi id="A0.Ex28.m1.2.2.4" xref="A0.Ex28.m1.2.2.4.cmml"></mi><mo id="A0.Ex28.m1.2.2.5" xref="A0.Ex28.m1.2.2.5.cmml">≤</mo><mrow id="A0.Ex28.m1.1.1.1" xref="A0.Ex28.m1.1.1.1.cmml"><msub id="A0.Ex28.m1.1.1.1.3" xref="A0.Ex28.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A0.Ex28.m1.1.1.1.3.2" xref="A0.Ex28.m1.1.1.1.3.2.cmml">C</mi><mi id="A0.Ex28.m1.1.1.1.3.3" xref="A0.Ex28.m1.1.1.1.3.3.cmml">N</mi></msub><mo id="A0.Ex28.m1.1.1.1.2" xref="A0.Ex28.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="A0.Ex28.m1.1.1.1.1" xref="A0.Ex28.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A0.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" 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href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#A0.Ex29.m1.3.3.1.1.4.cmml" id="A0.Ex29.m1.3.3.1.1d.cmml" xref="A0.Ex29.m1.3.3.1"></share><apply id="A0.Ex29.m1.3.3.1.1.6.cmml" xref="A0.Ex29.m1.3.3.1.1.6"><times id="A0.Ex29.m1.3.3.1.1.6.1.cmml" xref="A0.Ex29.m1.3.3.1.1.6.1"></times><apply id="A0.Ex29.m1.3.3.1.1.6.2.cmml" xref="A0.Ex29.m1.3.3.1.1.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex29.m1.3.3.1.1.6.2.1.cmml" xref="A0.Ex29.m1.3.3.1.1.6.2">subscript</csymbol><ci id="A0.Ex29.m1.3.3.1.1.6.2.2.cmml" xref="A0.Ex29.m1.3.3.1.1.6.2.2">𝐶</ci><ci id="A0.Ex29.m1.3.3.1.1.6.2.3.cmml" xref="A0.Ex29.m1.3.3.1.1.6.2.3">𝑁</ci></apply><ci id="A0.Ex29.m1.3.3.1.1.6.3.cmml" xref="A0.Ex29.m1.3.3.1.1.6.3">𝑚</ci><apply id="A0.Ex29.m1.3.3.1.1.6.4.cmml" xref="A0.Ex29.m1.3.3.1.1.6.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex29.m1.3.3.1.1.6.4.1.cmml" xref="A0.Ex29.m1.3.3.1.1.6.4">superscript</csymbol><ci id="A0.Ex29.m1.3.3.1.1.6.4.2.cmml" xref="A0.Ex29.m1.3.3.1.1.6.4.2">italic-ϱ</ci><ci id="A0.Ex29.m1.3.3.1.1.6.4.3.cmml" xref="A0.Ex29.m1.3.3.1.1.6.4.3">𝑚</ci></apply><ci id="A0.Ex29.m1.2.2.cmml" xref="A0.Ex29.m1.2.2">𝜂</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex29.m1.3c">\displaystyle\leq C_{N}\,\varrho^{m}(\eta)\leq C_{N}\,m\,\varrho^{m}(\eta)\,.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex29.m1.3d">≤ italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT italic_ϱ start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_η ) ≤ italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_ϱ start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_η ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S5.7.p7"> <p class="ltx_p" id="S5.7.p7.4">To summarize all of the previous findings, recall that <math alttext="\mathbf{1}_{N}/\sqrt{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.7.p7.1.m1.1"><semantics id="S5.7.p7.1.m1.1a"><mrow id="S5.7.p7.1.m1.1.1" xref="S5.7.p7.1.m1.1.1.cmml"><msub id="S5.7.p7.1.m1.1.1.2" xref="S5.7.p7.1.m1.1.1.2.cmml"><mn id="S5.7.p7.1.m1.1.1.2.2" xref="S5.7.p7.1.m1.1.1.2.2.cmml">𝟏</mn><mi id="S5.7.p7.1.m1.1.1.2.3" xref="S5.7.p7.1.m1.1.1.2.3.cmml">N</mi></msub><mo id="S5.7.p7.1.m1.1.1.1" xref="S5.7.p7.1.m1.1.1.1.cmml">/</mo><msqrt id="S5.7.p7.1.m1.1.1.3" xref="S5.7.p7.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.7.p7.1.m1.1.1.3.2" xref="S5.7.p7.1.m1.1.1.3.2.cmml">N</mi></msqrt></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.7.p7.1.m1.1b"><apply id="S5.7.p7.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.7.p7.1.m1.1.1"><divide id="S5.7.p7.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.7.p7.1.m1.1.1.1"></divide><apply id="S5.7.p7.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.7.p7.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.7.p7.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.7.p7.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><cn id="S5.7.p7.1.m1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.7.p7.1.m1.1.1.2.2">1</cn><ci id="S5.7.p7.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.7.p7.1.m1.1.1.2.3">𝑁</ci></apply><apply id="S5.7.p7.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.7.p7.1.m1.1.1.3"><root id="S5.7.p7.1.m1.1.1.3a.cmml" xref="S5.7.p7.1.m1.1.1.3"></root><ci id="S5.7.p7.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.7.p7.1.m1.1.1.3.2">𝑁</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.7.p7.1.m1.1c">\mathbf{1}_{N}/\sqrt{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.7.p7.1.m1.1d">bold_1 start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT / square-root start_ARG italic_N end_ARG</annotation></semantics></math> is the <math alttext="N" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.7.p7.2.m2.1"><semantics id="S5.7.p7.2.m2.1a"><mi id="S5.7.p7.2.m2.1.1" xref="S5.7.p7.2.m2.1.1.cmml">N</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.7.p7.2.m2.1b"><ci id="S5.7.p7.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.7.p7.2.m2.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.7.p7.2.m2.1c">N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.7.p7.2.m2.1d">italic_N</annotation></semantics></math>th column of the orthogonal <math alttext="\mathbf{U}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.7.p7.3.m3.1"><semantics id="S5.7.p7.3.m3.1a"><mi id="S5.7.p7.3.m3.1.1" xref="S5.7.p7.3.m3.1.1.cmml">𝐔</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.7.p7.3.m3.1b"><ci id="S5.7.p7.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.7.p7.3.m3.1.1">𝐔</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.7.p7.3.m3.1c">\mathbf{U}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.7.p7.3.m3.1d">bold_U</annotation></semantics></math>, so that <math alttext="\mathbf{U}^{\intercal}\mathbf{1}_{N}=[0,0,\ldots,\sqrt{N}]^{\intercal}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.7.p7.4.m4.4"><semantics id="S5.7.p7.4.m4.4a"><mrow id="S5.7.p7.4.m4.4.5" xref="S5.7.p7.4.m4.4.5.cmml"><mrow id="S5.7.p7.4.m4.4.5.2" xref="S5.7.p7.4.m4.4.5.2.cmml"><msup id="S5.7.p7.4.m4.4.5.2.2" xref="S5.7.p7.4.m4.4.5.2.2.cmml"><mi id="S5.7.p7.4.m4.4.5.2.2.2" xref="S5.7.p7.4.m4.4.5.2.2.2.cmml">𝐔</mi><mo id="S5.7.p7.4.m4.4.5.2.2.3" xref="S5.7.p7.4.m4.4.5.2.2.3.cmml">⊺</mo></msup><mo id="S5.7.p7.4.m4.4.5.2.1" xref="S5.7.p7.4.m4.4.5.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.7.p7.4.m4.4.5.2.3" xref="S5.7.p7.4.m4.4.5.2.3.cmml"><mn id="S5.7.p7.4.m4.4.5.2.3.2" xref="S5.7.p7.4.m4.4.5.2.3.2.cmml">𝟏</mn><mi id="S5.7.p7.4.m4.4.5.2.3.3" xref="S5.7.p7.4.m4.4.5.2.3.3.cmml">N</mi></msub></mrow><mo id="S5.7.p7.4.m4.4.5.1" xref="S5.7.p7.4.m4.4.5.1.cmml">=</mo><msup id="S5.7.p7.4.m4.4.5.3" xref="S5.7.p7.4.m4.4.5.3.cmml"><mrow id="S5.7.p7.4.m4.4.5.3.2.2" xref="S5.7.p7.4.m4.4.5.3.2.1.cmml"><mo id="S5.7.p7.4.m4.4.5.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S5.7.p7.4.m4.4.5.3.2.1.cmml">[</mo><mn id="S5.7.p7.4.m4.1.1" xref="S5.7.p7.4.m4.1.1.cmml">0</mn><mo id="S5.7.p7.4.m4.4.5.3.2.2.2" xref="S5.7.p7.4.m4.4.5.3.2.1.cmml">,</mo><mn id="S5.7.p7.4.m4.2.2" xref="S5.7.p7.4.m4.2.2.cmml">0</mn><mo id="S5.7.p7.4.m4.4.5.3.2.2.3" xref="S5.7.p7.4.m4.4.5.3.2.1.cmml">,</mo><mi id="S5.7.p7.4.m4.3.3" mathvariant="normal" xref="S5.7.p7.4.m4.3.3.cmml">…</mi><mo id="S5.7.p7.4.m4.4.5.3.2.2.4" xref="S5.7.p7.4.m4.4.5.3.2.1.cmml">,</mo><msqrt id="S5.7.p7.4.m4.4.4" xref="S5.7.p7.4.m4.4.4.cmml"><mi id="S5.7.p7.4.m4.4.4.2" xref="S5.7.p7.4.m4.4.4.2.cmml">N</mi></msqrt><mo id="S5.7.p7.4.m4.4.5.3.2.2.5" stretchy="false" xref="S5.7.p7.4.m4.4.5.3.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S5.7.p7.4.m4.4.5.3.3" xref="S5.7.p7.4.m4.4.5.3.3.cmml">⊺</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.7.p7.4.m4.4b"><apply id="S5.7.p7.4.m4.4.5.cmml" xref="S5.7.p7.4.m4.4.5"><eq id="S5.7.p7.4.m4.4.5.1.cmml" xref="S5.7.p7.4.m4.4.5.1"></eq><apply id="S5.7.p7.4.m4.4.5.2.cmml" xref="S5.7.p7.4.m4.4.5.2"><times id="S5.7.p7.4.m4.4.5.2.1.cmml" xref="S5.7.p7.4.m4.4.5.2.1"></times><apply id="S5.7.p7.4.m4.4.5.2.2.cmml" xref="S5.7.p7.4.m4.4.5.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.7.p7.4.m4.4.5.2.2.1.cmml" xref="S5.7.p7.4.m4.4.5.2.2">superscript</csymbol><ci id="S5.7.p7.4.m4.4.5.2.2.2.cmml" xref="S5.7.p7.4.m4.4.5.2.2.2">𝐔</ci><ci id="S5.7.p7.4.m4.4.5.2.2.3.cmml" xref="S5.7.p7.4.m4.4.5.2.2.3">⊺</ci></apply><apply id="S5.7.p7.4.m4.4.5.2.3.cmml" xref="S5.7.p7.4.m4.4.5.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.7.p7.4.m4.4.5.2.3.1.cmml" xref="S5.7.p7.4.m4.4.5.2.3">subscript</csymbol><cn id="S5.7.p7.4.m4.4.5.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.7.p7.4.m4.4.5.2.3.2">1</cn><ci id="S5.7.p7.4.m4.4.5.2.3.3.cmml" xref="S5.7.p7.4.m4.4.5.2.3.3">𝑁</ci></apply></apply><apply id="S5.7.p7.4.m4.4.5.3.cmml" xref="S5.7.p7.4.m4.4.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.7.p7.4.m4.4.5.3.1.cmml" xref="S5.7.p7.4.m4.4.5.3">superscript</csymbol><list id="S5.7.p7.4.m4.4.5.3.2.1.cmml" xref="S5.7.p7.4.m4.4.5.3.2.2"><cn id="S5.7.p7.4.m4.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.7.p7.4.m4.1.1">0</cn><cn id="S5.7.p7.4.m4.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.7.p7.4.m4.2.2">0</cn><ci id="S5.7.p7.4.m4.3.3.cmml" xref="S5.7.p7.4.m4.3.3">…</ci><apply id="S5.7.p7.4.m4.4.4.cmml" xref="S5.7.p7.4.m4.4.4"><root id="S5.7.p7.4.m4.4.4a.cmml" xref="S5.7.p7.4.m4.4.4"></root><ci id="S5.7.p7.4.m4.4.4.2.cmml" xref="S5.7.p7.4.m4.4.4.2">𝑁</ci></apply></list><ci id="S5.7.p7.4.m4.4.5.3.3.cmml" xref="S5.7.p7.4.m4.4.5.3.3">⊺</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.7.p7.4.m4.4c">\mathbf{U}^{\intercal}\mathbf{1}_{N}=[0,0,\ldots,\sqrt{N}]^{\intercal}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.7.p7.4.m4.4d">bold_U start_POSTSUPERSCRIPT ⊺ end_POSTSUPERSCRIPT bold_1 start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT = [ 0 , 0 , … , square-root start_ARG italic_N end_ARG ] start_POSTSUPERSCRIPT ⊺ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, and</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A0.EGx54"> <tbody id="A0.Ex30"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathbf{a}_{*}" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex30.m1.1"><semantics id="A0.Ex30.m1.1a"><msub id="A0.Ex30.m1.1.1" xref="A0.Ex30.m1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex30.m1.1.1.2" xref="A0.Ex30.m1.1.1.2.cmml">𝐚</mi><mo id="A0.Ex30.m1.1.1.3" xref="A0.Ex30.m1.1.1.3.cmml">∗</mo></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex30.m1.1b"><apply id="A0.Ex30.m1.1.1.cmml" xref="A0.Ex30.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex30.m1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex30.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A0.Ex30.m1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex30.m1.1.1.2">𝐚</ci><times id="A0.Ex30.m1.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex30.m1.1.1.3"></times></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex30.m1.1c">\displaystyle\mathbf{a}_{*}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex30.m1.1d">bold_a start_POSTSUBSCRIPT ∗ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle{}\coloneqq{}" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex30.m2.1"><semantics id="A0.Ex30.m2.1a"><mo id="A0.Ex30.m2.1.1" xref="A0.Ex30.m2.1.1.cmml">≔</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex30.m2.1b"><ci id="A0.Ex30.m2.1.1.cmml" xref="A0.Ex30.m2.1.1">≔</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex30.m2.1c">\displaystyle{}\coloneqq{}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex30.m2.1d">≔</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathbf{U}^{\intercal}\mathbf{x}_{*}=\mathbf{U}^{\intercal}[% \mathbf{1}_{N},\ldots,\mathbf{1}_{N}]\mathbf{x}^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex30.m3.3"><semantics id="A0.Ex30.m3.3a"><mrow id="A0.Ex30.m3.3.3" xref="A0.Ex30.m3.3.3.cmml"><mrow id="A0.Ex30.m3.3.3.4" xref="A0.Ex30.m3.3.3.4.cmml"><msup id="A0.Ex30.m3.3.3.4.2" xref="A0.Ex30.m3.3.3.4.2.cmml"><mi id="A0.Ex30.m3.3.3.4.2.2" xref="A0.Ex30.m3.3.3.4.2.2.cmml">𝐔</mi><mo id="A0.Ex30.m3.3.3.4.2.3" xref="A0.Ex30.m3.3.3.4.2.3.cmml">⊺</mo></msup><mo id="A0.Ex30.m3.3.3.4.1" xref="A0.Ex30.m3.3.3.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="A0.Ex30.m3.3.3.4.3" xref="A0.Ex30.m3.3.3.4.3.cmml"><mi id="A0.Ex30.m3.3.3.4.3.2" xref="A0.Ex30.m3.3.3.4.3.2.cmml">𝐱</mi><mo id="A0.Ex30.m3.3.3.4.3.3" xref="A0.Ex30.m3.3.3.4.3.3.cmml">∗</mo></msub></mrow><mo id="A0.Ex30.m3.3.3.3" xref="A0.Ex30.m3.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="A0.Ex30.m3.3.3.2" xref="A0.Ex30.m3.3.3.2.cmml"><msup id="A0.Ex30.m3.3.3.2.4" xref="A0.Ex30.m3.3.3.2.4.cmml"><mi id="A0.Ex30.m3.3.3.2.4.2" xref="A0.Ex30.m3.3.3.2.4.2.cmml">𝐔</mi><mo id="A0.Ex30.m3.3.3.2.4.3" xref="A0.Ex30.m3.3.3.2.4.3.cmml">⊺</mo></msup><mo id="A0.Ex30.m3.3.3.2.3" xref="A0.Ex30.m3.3.3.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex30.m3.3.3.2.2.2" xref="A0.Ex30.m3.3.3.2.2.3.cmml"><mo id="A0.Ex30.m3.3.3.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A0.Ex30.m3.3.3.2.2.3.cmml">[</mo><msub id="A0.Ex30.m3.2.2.1.1.1.1" xref="A0.Ex30.m3.2.2.1.1.1.1.cmml"><mn id="A0.Ex30.m3.2.2.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex30.m3.2.2.1.1.1.1.2.cmml">𝟏</mn><mi id="A0.Ex30.m3.2.2.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex30.m3.2.2.1.1.1.1.3.cmml">N</mi></msub><mo id="A0.Ex30.m3.3.3.2.2.2.4" xref="A0.Ex30.m3.3.3.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="A0.Ex30.m3.1.1" mathvariant="normal" xref="A0.Ex30.m3.1.1.cmml">…</mi><mo id="A0.Ex30.m3.3.3.2.2.2.5" xref="A0.Ex30.m3.3.3.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="A0.Ex30.m3.3.3.2.2.2.2" xref="A0.Ex30.m3.3.3.2.2.2.2.cmml"><mn id="A0.Ex30.m3.3.3.2.2.2.2.2" xref="A0.Ex30.m3.3.3.2.2.2.2.2.cmml">𝟏</mn><mi id="A0.Ex30.m3.3.3.2.2.2.2.3" xref="A0.Ex30.m3.3.3.2.2.2.2.3.cmml">N</mi></msub><mo id="A0.Ex30.m3.3.3.2.2.2.6" stretchy="false" xref="A0.Ex30.m3.3.3.2.2.3.cmml">]</mo></mrow><mo id="A0.Ex30.m3.3.3.2.3a" xref="A0.Ex30.m3.3.3.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="A0.Ex30.m3.3.3.2.5" xref="A0.Ex30.m3.3.3.2.5.cmml"><mi id="A0.Ex30.m3.3.3.2.5.2" xref="A0.Ex30.m3.3.3.2.5.2.cmml">𝐱</mi><mo id="A0.Ex30.m3.3.3.2.5.3" xref="A0.Ex30.m3.3.3.2.5.3.cmml">′</mo></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex30.m3.3b"><apply id="A0.Ex30.m3.3.3.cmml" xref="A0.Ex30.m3.3.3"><eq id="A0.Ex30.m3.3.3.3.cmml" xref="A0.Ex30.m3.3.3.3"></eq><apply id="A0.Ex30.m3.3.3.4.cmml" xref="A0.Ex30.m3.3.3.4"><times id="A0.Ex30.m3.3.3.4.1.cmml" xref="A0.Ex30.m3.3.3.4.1"></times><apply id="A0.Ex30.m3.3.3.4.2.cmml" xref="A0.Ex30.m3.3.3.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex30.m3.3.3.4.2.1.cmml" xref="A0.Ex30.m3.3.3.4.2">superscript</csymbol><ci id="A0.Ex30.m3.3.3.4.2.2.cmml" xref="A0.Ex30.m3.3.3.4.2.2">𝐔</ci><ci id="A0.Ex30.m3.3.3.4.2.3.cmml" xref="A0.Ex30.m3.3.3.4.2.3">⊺</ci></apply><apply id="A0.Ex30.m3.3.3.4.3.cmml" xref="A0.Ex30.m3.3.3.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex30.m3.3.3.4.3.1.cmml" xref="A0.Ex30.m3.3.3.4.3">subscript</csymbol><ci id="A0.Ex30.m3.3.3.4.3.2.cmml" xref="A0.Ex30.m3.3.3.4.3.2">𝐱</ci><times id="A0.Ex30.m3.3.3.4.3.3.cmml" xref="A0.Ex30.m3.3.3.4.3.3"></times></apply></apply><apply id="A0.Ex30.m3.3.3.2.cmml" xref="A0.Ex30.m3.3.3.2"><times id="A0.Ex30.m3.3.3.2.3.cmml" xref="A0.Ex30.m3.3.3.2.3"></times><apply id="A0.Ex30.m3.3.3.2.4.cmml" xref="A0.Ex30.m3.3.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex30.m3.3.3.2.4.1.cmml" xref="A0.Ex30.m3.3.3.2.4">superscript</csymbol><ci id="A0.Ex30.m3.3.3.2.4.2.cmml" xref="A0.Ex30.m3.3.3.2.4.2">𝐔</ci><ci id="A0.Ex30.m3.3.3.2.4.3.cmml" xref="A0.Ex30.m3.3.3.2.4.3">⊺</ci></apply><list id="A0.Ex30.m3.3.3.2.2.3.cmml" xref="A0.Ex30.m3.3.3.2.2.2"><apply id="A0.Ex30.m3.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex30.m3.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex30.m3.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex30.m3.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><cn id="A0.Ex30.m3.2.2.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="A0.Ex30.m3.2.2.1.1.1.1.2">1</cn><ci id="A0.Ex30.m3.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex30.m3.2.2.1.1.1.1.3">𝑁</ci></apply><ci id="A0.Ex30.m3.1.1.cmml" xref="A0.Ex30.m3.1.1">…</ci><apply id="A0.Ex30.m3.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="A0.Ex30.m3.3.3.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex30.m3.3.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="A0.Ex30.m3.3.3.2.2.2.2">subscript</csymbol><cn id="A0.Ex30.m3.3.3.2.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="A0.Ex30.m3.3.3.2.2.2.2.2">1</cn><ci id="A0.Ex30.m3.3.3.2.2.2.2.3.cmml" xref="A0.Ex30.m3.3.3.2.2.2.2.3">𝑁</ci></apply></list><apply id="A0.Ex30.m3.3.3.2.5.cmml" xref="A0.Ex30.m3.3.3.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex30.m3.3.3.2.5.1.cmml" xref="A0.Ex30.m3.3.3.2.5">superscript</csymbol><ci id="A0.Ex30.m3.3.3.2.5.2.cmml" xref="A0.Ex30.m3.3.3.2.5.2">𝐱</ci><ci id="A0.Ex30.m3.3.3.2.5.3.cmml" xref="A0.Ex30.m3.3.3.2.5.3">′</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex30.m3.3c">\displaystyle\mathbf{U}^{\intercal}\mathbf{x}_{*}=\mathbf{U}^{\intercal}[% \mathbf{1}_{N},\ldots,\mathbf{1}_{N}]\mathbf{x}^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex30.m3.3d">bold_U start_POSTSUPERSCRIPT ⊺ end_POSTSUPERSCRIPT bold_x start_POSTSUBSCRIPT ∗ end_POSTSUBSCRIPT = bold_U start_POSTSUPERSCRIPT ⊺ end_POSTSUPERSCRIPT [ bold_1 start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT , … , bold_1 start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT ] bold_x start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A0.Ex31"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex31.m1.1"><semantics id="A0.Ex31.m1.1a"><mo id="A0.Ex31.m1.1.1" xref="A0.Ex31.m1.1.1.cmml">=</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex31.m1.1b"><eq id="A0.Ex31.m1.1.1.cmml" xref="A0.Ex31.m1.1.1"></eq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex31.m1.1c">\displaystyle=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex31.m1.1d">=</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left[\begin{smallmatrix}\mathbf{0}^{\intercal}\\ \vdots\\ \mathbf{0}^{\intercal}\\ \sqrt{N}\,\mathbf{1}_{N}^{\intercal}\end{smallmatrix}\right]\mathbf{x}^{\prime% }=\left[\begin{smallmatrix}0\\ \vdots\\ 0\\ \sqrt{N}\,\mathbf{1}_{N}^{\intercal}\mathbf{x}^{\prime}\end{smallmatrix}\right% ]\,." class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex31.m2.3"><semantics id="A0.Ex31.m2.3a"><mrow id="A0.Ex31.m2.3.3.1" xref="A0.Ex31.m2.3.3.1.1.cmml"><mrow id="A0.Ex31.m2.3.3.1.1" xref="A0.Ex31.m2.3.3.1.1.cmml"><mrow id="A0.Ex31.m2.3.3.1.1.2" xref="A0.Ex31.m2.3.3.1.1.2.cmml"><mrow id="A0.Ex31.m2.3.3.1.1.2.2.2" xref="A0.Ex31.m2.3.3.1.1.2.2.1.cmml"><mo id="A0.Ex31.m2.3.3.1.1.2.2.2.1" xref="A0.Ex31.m2.3.3.1.1.2.2.1.1.cmml">[</mo><mtable id="A0.Ex31.m2.1.1" rowspacing="0pt" xref="A0.Ex31.m2.1.1.cmml"><mtr id="A0.Ex31.m2.1.1a" xref="A0.Ex31.m2.1.1.cmml"><mtd id="A0.Ex31.m2.1.1b" xref="A0.Ex31.m2.1.1.cmml"><msup id="A0.Ex31.m2.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex31.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A0.Ex31.m2.1.1.1.1.1.2" mathsize="70%" xref="A0.Ex31.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">𝟎</mn><mo id="A0.Ex31.m2.1.1.1.1.1.3" mathsize="70%" xref="A0.Ex31.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">⊺</mo></msup></mtd></mtr><mtr id="A0.Ex31.m2.1.1c" xref="A0.Ex31.m2.1.1.cmml"><mtd id="A0.Ex31.m2.1.1d" xref="A0.Ex31.m2.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex31.m2.1.1.2.1.1" mathsize="70%" mathvariant="normal" xref="A0.Ex31.m2.1.1.2.1.1.cmml">⋮</mi></mtd></mtr><mtr id="A0.Ex31.m2.1.1e" xref="A0.Ex31.m2.1.1.cmml"><mtd id="A0.Ex31.m2.1.1f" xref="A0.Ex31.m2.1.1.cmml"><msup id="A0.Ex31.m2.1.1.3.1.1" xref="A0.Ex31.m2.1.1.3.1.1.cmml"><mn id="A0.Ex31.m2.1.1.3.1.1.2" mathsize="70%" xref="A0.Ex31.m2.1.1.3.1.1.2.cmml">𝟎</mn><mo id="A0.Ex31.m2.1.1.3.1.1.3" mathsize="70%" xref="A0.Ex31.m2.1.1.3.1.1.3.cmml">⊺</mo></msup></mtd></mtr><mtr id="A0.Ex31.m2.1.1g" xref="A0.Ex31.m2.1.1.cmml"><mtd id="A0.Ex31.m2.1.1h" xref="A0.Ex31.m2.1.1.cmml"><mrow 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id="A0.Ex31.m2.3.3.1.1.2.3.2" xref="A0.Ex31.m2.3.3.1.1.2.3.2.cmml">𝐱</mi><mo id="A0.Ex31.m2.3.3.1.1.2.3.3" xref="A0.Ex31.m2.3.3.1.1.2.3.3.cmml">′</mo></msup></mrow><mo id="A0.Ex31.m2.3.3.1.1.1" xref="A0.Ex31.m2.3.3.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A0.Ex31.m2.3.3.1.1.3.2" xref="A0.Ex31.m2.3.3.1.1.3.1.cmml"><mo id="A0.Ex31.m2.3.3.1.1.3.2.1" xref="A0.Ex31.m2.3.3.1.1.3.1.1.cmml">[</mo><mtable id="A0.Ex31.m2.2.2" rowspacing="0pt" xref="A0.Ex31.m2.2.2.cmml"><mtr id="A0.Ex31.m2.2.2a" xref="A0.Ex31.m2.2.2.cmml"><mtd id="A0.Ex31.m2.2.2b" xref="A0.Ex31.m2.2.2.cmml"><mn id="A0.Ex31.m2.2.2.1.1.1" mathsize="70%" xref="A0.Ex31.m2.2.2.1.1.1.cmml">0</mn></mtd></mtr><mtr id="A0.Ex31.m2.2.2c" xref="A0.Ex31.m2.2.2.cmml"><mtd id="A0.Ex31.m2.2.2d" xref="A0.Ex31.m2.2.2.cmml"><mi id="A0.Ex31.m2.2.2.2.1.1" mathsize="70%" mathvariant="normal" xref="A0.Ex31.m2.2.2.2.1.1.cmml">⋮</mi></mtd></mtr><mtr id="A0.Ex31.m2.2.2e" xref="A0.Ex31.m2.2.2.cmml"><mtd id="A0.Ex31.m2.2.2f" xref="A0.Ex31.m2.2.2.cmml"><mn id="A0.Ex31.m2.2.2.3.1.1" mathsize="70%" xref="A0.Ex31.m2.2.2.3.1.1.cmml">0</mn></mtd></mtr><mtr id="A0.Ex31.m2.2.2g" xref="A0.Ex31.m2.2.2.cmml"><mtd id="A0.Ex31.m2.2.2h" xref="A0.Ex31.m2.2.2.cmml"><mrow id="A0.Ex31.m2.2.2.4.1.1" xref="A0.Ex31.m2.2.2.4.1.1.cmml"><msqrt id="A0.Ex31.m2.2.2.4.1.1.2" xref="A0.Ex31.m2.2.2.4.1.1.2.cmml"><mi id="A0.Ex31.m2.2.2.4.1.1.2.2" mathsize="70%" xref="A0.Ex31.m2.2.2.4.1.1.2.2.cmml">N</mi></msqrt><mo id="A0.Ex31.m2.2.2.4.1.1.1" xref="A0.Ex31.m2.2.2.4.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A0.Ex31.m2.2.2.4.1.1.3" xref="A0.Ex31.m2.2.2.4.1.1.3.cmml"><mn class="ltx_mathvariant_bold" id="A0.Ex31.m2.2.2.4.1.1.3.2.2" mathsize="70%" mathvariant="bold" xref="A0.Ex31.m2.2.2.4.1.1.3.2.2.cmml"> 1</mn><mi id="A0.Ex31.m2.2.2.4.1.1.3.2.3" mathsize="70%" xref="A0.Ex31.m2.2.2.4.1.1.3.2.3.cmml">N</mi><mo id="A0.Ex31.m2.2.2.4.1.1.3.3" mathsize="70%" xref="A0.Ex31.m2.2.2.4.1.1.3.3.cmml">⊺</mo></msubsup><mo id="A0.Ex31.m2.2.2.4.1.1.1a" xref="A0.Ex31.m2.2.2.4.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="A0.Ex31.m2.2.2.4.1.1.4" xref="A0.Ex31.m2.2.2.4.1.1.4.cmml"><mi id="A0.Ex31.m2.2.2.4.1.1.4.2" mathsize="70%" xref="A0.Ex31.m2.2.2.4.1.1.4.2.cmml">𝐱</mi><mo id="A0.Ex31.m2.2.2.4.1.1.4.3" mathsize="70%" xref="A0.Ex31.m2.2.2.4.1.1.4.3.cmml">′</mo></msup></mrow></mtd></mtr></mtable><mo id="A0.Ex31.m2.3.3.1.1.3.2.2" xref="A0.Ex31.m2.3.3.1.1.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="A0.Ex31.m2.3.3.1.2" lspace="0.170em" xref="A0.Ex31.m2.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex31.m2.3b"><apply id="A0.Ex31.m2.3.3.1.1.cmml" xref="A0.Ex31.m2.3.3.1"><eq id="A0.Ex31.m2.3.3.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex31.m2.3.3.1.1.1"></eq><apply id="A0.Ex31.m2.3.3.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex31.m2.3.3.1.1.2"><times id="A0.Ex31.m2.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="A0.Ex31.m2.3.3.1.1.2.1"></times><apply id="A0.Ex31.m2.3.3.1.1.2.2.1.cmml" xref="A0.Ex31.m2.3.3.1.1.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="A0.Ex31.m2.3.3.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="A0.Ex31.m2.3.3.1.1.2.2.2.1">delimited-[]</csymbol><matrix id="A0.Ex31.m2.1.1.cmml" xref="A0.Ex31.m2.1.1"><matrixrow id="A0.Ex31.m2.1.1a.cmml" xref="A0.Ex31.m2.1.1"><apply id="A0.Ex31.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex31.m2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex31.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex31.m2.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><cn id="A0.Ex31.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="A0.Ex31.m2.1.1.1.1.1.2">0</cn><ci id="A0.Ex31.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex31.m2.1.1.1.1.1.3">⊺</ci></apply></matrixrow><matrixrow id="A0.Ex31.m2.1.1b.cmml" xref="A0.Ex31.m2.1.1"><ci id="A0.Ex31.m2.1.1.2.1.1.cmml" xref="A0.Ex31.m2.1.1.2.1.1">⋮</ci></matrixrow><matrixrow id="A0.Ex31.m2.1.1c.cmml" xref="A0.Ex31.m2.1.1"><apply id="A0.Ex31.m2.1.1.3.1.1.cmml" xref="A0.Ex31.m2.1.1.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex31.m2.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex31.m2.1.1.3.1.1">superscript</csymbol><cn id="A0.Ex31.m2.1.1.3.1.1.2.cmml" type="integer" xref="A0.Ex31.m2.1.1.3.1.1.2">0</cn><ci id="A0.Ex31.m2.1.1.3.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex31.m2.1.1.3.1.1.3">⊺</ci></apply></matrixrow><matrixrow id="A0.Ex31.m2.1.1d.cmml" xref="A0.Ex31.m2.1.1"><apply id="A0.Ex31.m2.1.1.4.1.1.cmml" xref="A0.Ex31.m2.1.1.4.1.1"><times id="A0.Ex31.m2.1.1.4.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex31.m2.1.1.4.1.1.1"></times><apply id="A0.Ex31.m2.1.1.4.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex31.m2.1.1.4.1.1.2"><root id="A0.Ex31.m2.1.1.4.1.1.2a.cmml" xref="A0.Ex31.m2.1.1.4.1.1.2"></root><ci id="A0.Ex31.m2.1.1.4.1.1.2.2.cmml" xref="A0.Ex31.m2.1.1.4.1.1.2.2">𝑁</ci></apply><apply id="A0.Ex31.m2.1.1.4.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex31.m2.1.1.4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex31.m2.1.1.4.1.1.3.1.cmml" xref="A0.Ex31.m2.1.1.4.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A0.Ex31.m2.1.1.4.1.1.3.2.cmml" xref="A0.Ex31.m2.1.1.4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex31.m2.1.1.4.1.1.3.2.1.cmml" xref="A0.Ex31.m2.1.1.4.1.1.3">subscript</csymbol><cn id="A0.Ex31.m2.1.1.4.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="A0.Ex31.m2.1.1.4.1.1.3.2.2">1</cn><ci id="A0.Ex31.m2.1.1.4.1.1.3.2.3.cmml" xref="A0.Ex31.m2.1.1.4.1.1.3.2.3">𝑁</ci></apply><ci id="A0.Ex31.m2.1.1.4.1.1.3.3.cmml" xref="A0.Ex31.m2.1.1.4.1.1.3.3">⊺</ci></apply></apply></matrixrow></matrix></apply><apply id="A0.Ex31.m2.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="A0.Ex31.m2.3.3.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex31.m2.3.3.1.1.2.3.1.cmml" xref="A0.Ex31.m2.3.3.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="A0.Ex31.m2.3.3.1.1.2.3.2.cmml" xref="A0.Ex31.m2.3.3.1.1.2.3.2">𝐱</ci><ci id="A0.Ex31.m2.3.3.1.1.2.3.3.cmml" xref="A0.Ex31.m2.3.3.1.1.2.3.3">′</ci></apply></apply><apply id="A0.Ex31.m2.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="A0.Ex31.m2.3.3.1.1.3.2"><csymbol cd="latexml" id="A0.Ex31.m2.3.3.1.1.3.1.1.cmml" xref="A0.Ex31.m2.3.3.1.1.3.2.1">delimited-[]</csymbol><matrix id="A0.Ex31.m2.2.2.cmml" xref="A0.Ex31.m2.2.2"><matrixrow id="A0.Ex31.m2.2.2a.cmml" xref="A0.Ex31.m2.2.2"><cn id="A0.Ex31.m2.2.2.1.1.1.cmml" type="integer" xref="A0.Ex31.m2.2.2.1.1.1">0</cn></matrixrow><matrixrow id="A0.Ex31.m2.2.2b.cmml" xref="A0.Ex31.m2.2.2"><ci 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xref="A0.Ex31.m2.2.2.4.1.1.3">subscript</csymbol><cn id="A0.Ex31.m2.2.2.4.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="A0.Ex31.m2.2.2.4.1.1.3.2.2">1</cn><ci id="A0.Ex31.m2.2.2.4.1.1.3.2.3.cmml" xref="A0.Ex31.m2.2.2.4.1.1.3.2.3">𝑁</ci></apply><ci id="A0.Ex31.m2.2.2.4.1.1.3.3.cmml" xref="A0.Ex31.m2.2.2.4.1.1.3.3">⊺</ci></apply><apply id="A0.Ex31.m2.2.2.4.1.1.4.cmml" xref="A0.Ex31.m2.2.2.4.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex31.m2.2.2.4.1.1.4.1.cmml" xref="A0.Ex31.m2.2.2.4.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="A0.Ex31.m2.2.2.4.1.1.4.2.cmml" xref="A0.Ex31.m2.2.2.4.1.1.4.2">𝐱</ci><ci id="A0.Ex31.m2.2.2.4.1.1.4.3.cmml" xref="A0.Ex31.m2.2.2.4.1.1.4.3">′</ci></apply></apply></matrixrow></matrix></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex31.m2.3c">\displaystyle\left[\begin{smallmatrix}\mathbf{0}^{\intercal}\\ \vdots\\ \mathbf{0}^{\intercal}\\ \sqrt{N}\,\mathbf{1}_{N}^{\intercal}\end{smallmatrix}\right]\mathbf{x}^{\prime% }=\left[\begin{smallmatrix}0\\ \vdots\\ 0\\ \sqrt{N}\,\mathbf{1}_{N}^{\intercal}\mathbf{x}^{\prime}\end{smallmatrix}\right% ]\,.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex31.m2.3d">[ start_ROW start_CELL bold_0 start_POSTSUPERSCRIPT ⊺ end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL ⋮ end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL bold_0 start_POSTSUPERSCRIPT ⊺ end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL square-root start_ARG italic_N end_ARG bold_1 start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⊺ end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW ] bold_x start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT = [ start_ROW start_CELL 0 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL ⋮ end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL square-root start_ARG italic_N end_ARG bold_1 start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⊺ end_POSTSUPERSCRIPT bold_x start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW ] .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.7.p7.5">Therefore, there exists <math alttext="C\in\mathbb{R}_{++}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.7.p7.5.m1.1"><semantics id="S5.7.p7.5.m1.1a"><mrow id="S5.7.p7.5.m1.1.1" xref="S5.7.p7.5.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.7.p7.5.m1.1.1.2" xref="S5.7.p7.5.m1.1.1.2.cmml">C</mi><mo id="S5.7.p7.5.m1.1.1.1" xref="S5.7.p7.5.m1.1.1.1.cmml">∈</mo><msub id="S5.7.p7.5.m1.1.1.3" xref="S5.7.p7.5.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.7.p7.5.m1.1.1.3.2" xref="S5.7.p7.5.m1.1.1.3.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S5.7.p7.5.m1.1.1.3.3" xref="S5.7.p7.5.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.7.p7.5.m1.1.1.3.3.2" xref="S5.7.p7.5.m1.1.1.3.3.2.cmml"></mi><mo id="S5.7.p7.5.m1.1.1.3.3.1" rspace="0em" xref="S5.7.p7.5.m1.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mo id="S5.7.p7.5.m1.1.1.3.3.3" lspace="0em" xref="S5.7.p7.5.m1.1.1.3.3.3.cmml">+</mo></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.7.p7.5.m1.1b"><apply id="S5.7.p7.5.m1.1.1.cmml" xref="S5.7.p7.5.m1.1.1"><in id="S5.7.p7.5.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.7.p7.5.m1.1.1.1"></in><ci id="S5.7.p7.5.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.7.p7.5.m1.1.1.2">𝐶</ci><apply id="S5.7.p7.5.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.7.p7.5.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.7.p7.5.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.7.p7.5.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.7.p7.5.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.7.p7.5.m1.1.1.3.2">ℝ</ci><apply id="S5.7.p7.5.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.7.p7.5.m1.1.1.3.3"><plus id="S5.7.p7.5.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.7.p7.5.m1.1.1.3.3.1"></plus><csymbol cd="latexml" id="S5.7.p7.5.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.7.p7.5.m1.1.1.3.3.2">absent</csymbol><plus id="S5.7.p7.5.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.7.p7.5.m1.1.1.3.3.3"></plus></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.7.p7.5.m1.1c">C\in\mathbb{R}_{++}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.7.p7.5.m1.1d">italic_C ∈ blackboard_R start_POSTSUBSCRIPT + + end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> s.t.</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A0.EGx55"> <tbody id="A0.Ex32"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\lVert\mathbf{x}_{m}-\mathbf{x}_{*}\rVert^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex32.m1.1"><semantics id="A0.Ex32.m1.1a"><msup id="A0.Ex32.m1.1.1" xref="A0.Ex32.m1.1.1.cmml"><mrow id="A0.Ex32.m1.1.1.1.1" xref="A0.Ex32.m1.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="A0.Ex32.m1.1.1.1.1.2" rspace="0em" xref="A0.Ex32.m1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo><mrow id="A0.Ex32.m1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex32.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A0.Ex32.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex32.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A0.Ex32.m1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A0.Ex32.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐱</mi><mi id="A0.Ex32.m1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A0.Ex32.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="A0.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A0.Ex32.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex32.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A0.Ex32.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A0.Ex32.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">𝐱</mi><mo id="A0.Ex32.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A0.Ex32.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msub></mrow><mo fence="true" id="A0.Ex32.m1.1.1.1.1.3" lspace="0em" xref="A0.Ex32.m1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mn id="A0.Ex32.m1.1.1.3" xref="A0.Ex32.m1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex32.m1.1b"><apply id="A0.Ex32.m1.1.1.cmml" xref="A0.Ex32.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex32.m1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex32.m1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A0.Ex32.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex32.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A0.Ex32.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A0.Ex32.m1.1.1.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="A0.Ex32.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex32.m1.1.1.1.1.1"><minus 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id="A0.Ex32.m1.1c">\displaystyle\lVert\mathbf{x}_{m}-\mathbf{x}_{*}\rVert^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex32.m1.1d">∥ bold_x start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT - bold_x start_POSTSUBSCRIPT ∗ end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\lVert\mathbf{U}(\mathbf{x}_{m}-\mathbf{x}_{*})\rVert^{2}=\lVert% \mathbf{a}_{m}-\mathbf{a}_{*}\rVert^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex32.m2.2"><semantics id="A0.Ex32.m2.2a"><mrow id="A0.Ex32.m2.2.2" xref="A0.Ex32.m2.2.2.cmml"><mi id="A0.Ex32.m2.2.2.4" xref="A0.Ex32.m2.2.2.4.cmml"></mi><mo id="A0.Ex32.m2.2.2.5" rspace="0.1389em" xref="A0.Ex32.m2.2.2.5.cmml">=</mo><msup id="A0.Ex32.m2.1.1.1" xref="A0.Ex32.m2.1.1.1.cmml"><mrow id="A0.Ex32.m2.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex32.m2.1.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="A0.Ex32.m2.1.1.1.1.1.2" lspace="0.1389em" rspace="0em" 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id="A0.Ex32.m2.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="A0.Ex32.m2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml">𝐚</mi><mi id="A0.Ex32.m2.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="A0.Ex32.m2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="A0.Ex32.m2.2.2.2.1.1.1.1" xref="A0.Ex32.m2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A0.Ex32.m2.2.2.2.1.1.1.3" xref="A0.Ex32.m2.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A0.Ex32.m2.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="A0.Ex32.m2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">𝐚</mi><mo id="A0.Ex32.m2.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="A0.Ex32.m2.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msub></mrow><mo fence="true" id="A0.Ex32.m2.2.2.2.1.1.3" lspace="0em" xref="A0.Ex32.m2.2.2.2.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mn id="A0.Ex32.m2.2.2.2.3" xref="A0.Ex32.m2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex32.m2.2b"><apply id="A0.Ex32.m2.2.2.cmml" xref="A0.Ex32.m2.2.2"><and id="A0.Ex32.m2.2.2a.cmml" xref="A0.Ex32.m2.2.2"></and><apply id="A0.Ex32.m2.2.2b.cmml" xref="A0.Ex32.m2.2.2"><eq id="A0.Ex32.m2.2.2.5.cmml" xref="A0.Ex32.m2.2.2.5"></eq><csymbol cd="latexml" 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end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A0.Ex33"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sum\nolimits_{n\in\mathcal{N}\setminus\{N\}}\lvert a_{m}^{(n)}% \rvert^{2}+\lvert a_{m}^{(N)}-\sqrt{N}\,\mathbf{1}_{N}^{\intercal}\mathbf{x}^{% \prime}\rvert^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex33.m1.5"><semantics id="A0.Ex33.m1.5a"><mrow id="A0.Ex33.m1.5.5" xref="A0.Ex33.m1.5.5.cmml"><mi id="A0.Ex33.m1.5.5.4" xref="A0.Ex33.m1.5.5.4.cmml"></mi><mo id="A0.Ex33.m1.5.5.3" xref="A0.Ex33.m1.5.5.3.cmml">=</mo><mrow id="A0.Ex33.m1.5.5.2" xref="A0.Ex33.m1.5.5.2.cmml"><mrow id="A0.Ex33.m1.4.4.1.1" xref="A0.Ex33.m1.4.4.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A0.Ex33.m1.4.4.1.1.2" xref="A0.Ex33.m1.4.4.1.1.2.cmml"><msub id="A0.Ex33.m1.4.4.1.1.2a" xref="A0.Ex33.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mo id="A0.Ex33.m1.4.4.1.1.2.2" xref="A0.Ex33.m1.4.4.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A0.Ex33.m1.1.1.1" xref="A0.Ex33.m1.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex33.m1.1.1.1.3" xref="A0.Ex33.m1.1.1.1.3.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex33.m1.1.1.1.2" xref="A0.Ex33.m1.1.1.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="A0.Ex33.m1.1.1.1.4" xref="A0.Ex33.m1.1.1.1.4.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A0.Ex33.m1.1.1.1.4.2" xref="A0.Ex33.m1.1.1.1.4.2.cmml">𝒩</mi><mo id="A0.Ex33.m1.1.1.1.4.1" xref="A0.Ex33.m1.1.1.1.4.1.cmml">∖</mo><mrow id="A0.Ex33.m1.1.1.1.4.3.2" xref="A0.Ex33.m1.1.1.1.4.3.1.cmml"><mo id="A0.Ex33.m1.1.1.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="A0.Ex33.m1.1.1.1.4.3.1.cmml">{</mo><mi id="A0.Ex33.m1.1.1.1.1" xref="A0.Ex33.m1.1.1.1.1.cmml">N</mi><mo id="A0.Ex33.m1.1.1.1.4.3.2.2" stretchy="false" xref="A0.Ex33.m1.1.1.1.4.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow></msub></mstyle><msup id="A0.Ex33.m1.4.4.1.1.1" xref="A0.Ex33.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mrow id="A0.Ex33.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex33.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A0.Ex33.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex33.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msubsup id="A0.Ex33.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex33.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex33.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A0.Ex33.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">a</mi><mi id="A0.Ex33.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A0.Ex33.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">m</mi><mrow id="A0.Ex33.m1.2.2.1.3" xref="A0.Ex33.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex33.m1.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="A0.Ex33.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A0.Ex33.m1.2.2.1.1" xref="A0.Ex33.m1.2.2.1.1.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex33.m1.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="A0.Ex33.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="A0.Ex33.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex33.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mn id="A0.Ex33.m1.4.4.1.1.1.3" xref="A0.Ex33.m1.4.4.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="A0.Ex33.m1.5.5.2.3" xref="A0.Ex33.m1.5.5.2.3.cmml">+</mo><msup id="A0.Ex33.m1.5.5.2.2" xref="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.cmml"><mrow id="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.1" xref="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.2.cmml"><mo id="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.1.1" xref="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.1.1.cmml"><msubsup id="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.1.1.2" xref="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.2.2" xref="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml">a</mi><mi id="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.2.3" xref="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml">m</mi><mrow id="A0.Ex33.m1.3.3.1.3" xref="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="A0.Ex33.m1.3.3.1.3.1" stretchy="false" xref="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A0.Ex33.m1.3.3.1.1" xref="A0.Ex33.m1.3.3.1.1.cmml">N</mi><mo id="A0.Ex33.m1.3.3.1.3.2" stretchy="false" xref="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.1.1.1" xref="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.1.1.3" xref="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.cmml"><msqrt id="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.2" xref="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml">N</mi></msqrt><mo id="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.1" xref="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.3" xref="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.3.cmml"><mn class="ltx_mathvariant_bold" id="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.3.2.2" mathvariant="bold" xref="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.3.2.2.cmml"> 1</mn><mi id="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.3.2.3" xref="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.3.2.3.cmml">N</mi><mo id="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.3.3" xref="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml">⊺</mo></msubsup><mo id="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.1a" xref="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.4" xref="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.4.cmml"><mi id="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.4.2" xref="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.4.2.cmml">𝐱</mi><mo id="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.4.3" xref="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.4.3.cmml">′</mo></msup></mrow></mrow><mo id="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mn id="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.3" xref="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex33.m1.5b"><apply id="A0.Ex33.m1.5.5.cmml" xref="A0.Ex33.m1.5.5"><eq id="A0.Ex33.m1.5.5.3.cmml" xref="A0.Ex33.m1.5.5.3"></eq><csymbol cd="latexml" id="A0.Ex33.m1.5.5.4.cmml" xref="A0.Ex33.m1.5.5.4">absent</csymbol><apply id="A0.Ex33.m1.5.5.2.cmml" xref="A0.Ex33.m1.5.5.2"><plus id="A0.Ex33.m1.5.5.2.3.cmml" xref="A0.Ex33.m1.5.5.2.3"></plus><apply id="A0.Ex33.m1.4.4.1.1.cmml" xref="A0.Ex33.m1.4.4.1.1"><apply id="A0.Ex33.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex33.m1.4.4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex33.m1.4.4.1.1.2.1.cmml" 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id="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.2.cmml" xref="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.1"><abs id="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.2.1.cmml" xref="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.1.2"></abs><apply id="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.1.1"><minus id="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.1.1.1"></minus><apply id="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.2.2">𝑎</ci><ci id="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.2.3">𝑚</ci></apply><ci id="A0.Ex33.m1.3.3.1.1.cmml" xref="A0.Ex33.m1.3.3.1.1">𝑁</ci></apply><apply id="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.cmml" 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xref="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.3.2.3">𝑁</ci></apply><ci id="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.3.3">⊺</ci></apply><apply id="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.4.cmml" xref="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.4">superscript</csymbol><ci id="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.4.2">𝐱</ci><ci id="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.4.3.cmml" xref="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.4.3">′</ci></apply></apply></apply></apply><cn id="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A0.Ex33.m1.5.5.2.2.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex33.m1.5c">\displaystyle=\sum\nolimits_{n\in\mathcal{N}\setminus\{N\}}\lvert a_{m}^{(n)}% \rvert^{2}+\lvert a_{m}^{(N)}-\sqrt{N}\,\mathbf{1}_{N}^{\intercal}\mathbf{x}^{% \prime}\rvert^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex33.m1.5d">= ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n ∈ caligraphic_N ∖ { italic_N } end_POSTSUBSCRIPT | italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + | italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_N ) end_POSTSUPERSCRIPT - square-root start_ARG italic_N end_ARG bold_1 start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⊺ end_POSTSUPERSCRIPT bold_x start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A0.Ex34"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq C\,m^{2}\varrho^{2m}(\eta)\,," class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex34.m1.2"><semantics id="A0.Ex34.m1.2a"><mrow id="A0.Ex34.m1.2.2.1" xref="A0.Ex34.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A0.Ex34.m1.2.2.1.1" xref="A0.Ex34.m1.2.2.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex34.m1.2.2.1.1.2" xref="A0.Ex34.m1.2.2.1.1.2.cmml"></mi><mo id="A0.Ex34.m1.2.2.1.1.1" xref="A0.Ex34.m1.2.2.1.1.1.cmml">≤</mo><mrow id="A0.Ex34.m1.2.2.1.1.3" xref="A0.Ex34.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="A0.Ex34.m1.2.2.1.1.3.2" xref="A0.Ex34.m1.2.2.1.1.3.2.cmml">C</mi><mo id="A0.Ex34.m1.2.2.1.1.3.1" lspace="0.170em" xref="A0.Ex34.m1.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="A0.Ex34.m1.2.2.1.1.3.3" xref="A0.Ex34.m1.2.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="A0.Ex34.m1.2.2.1.1.3.3.2" xref="A0.Ex34.m1.2.2.1.1.3.3.2.cmml">m</mi><mn id="A0.Ex34.m1.2.2.1.1.3.3.3" xref="A0.Ex34.m1.2.2.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="A0.Ex34.m1.2.2.1.1.3.1a" xref="A0.Ex34.m1.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="A0.Ex34.m1.2.2.1.1.3.4" xref="A0.Ex34.m1.2.2.1.1.3.4.cmml"><mi id="A0.Ex34.m1.2.2.1.1.3.4.2" xref="A0.Ex34.m1.2.2.1.1.3.4.2.cmml">ϱ</mi><mrow id="A0.Ex34.m1.2.2.1.1.3.4.3" xref="A0.Ex34.m1.2.2.1.1.3.4.3.cmml"><mn id="A0.Ex34.m1.2.2.1.1.3.4.3.2" xref="A0.Ex34.m1.2.2.1.1.3.4.3.2.cmml">2</mn><mo id="A0.Ex34.m1.2.2.1.1.3.4.3.1" xref="A0.Ex34.m1.2.2.1.1.3.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A0.Ex34.m1.2.2.1.1.3.4.3.3" xref="A0.Ex34.m1.2.2.1.1.3.4.3.3.cmml">m</mi></mrow></msup><mo id="A0.Ex34.m1.2.2.1.1.3.1b" xref="A0.Ex34.m1.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex34.m1.2.2.1.1.3.5.2" xref="A0.Ex34.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mo id="A0.Ex34.m1.2.2.1.1.3.5.2.1" stretchy="false" xref="A0.Ex34.m1.2.2.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A0.Ex34.m1.1.1" xref="A0.Ex34.m1.1.1.cmml">η</mi><mo id="A0.Ex34.m1.2.2.1.1.3.5.2.2" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="A0.Ex34.m1.2.2.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A0.Ex34.m1.2.2.1.2" xref="A0.Ex34.m1.2.2.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex34.m1.2b"><apply id="A0.Ex34.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A0.Ex34.m1.2.2.1"><leq id="A0.Ex34.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex34.m1.2.2.1.1.1"></leq><csymbol cd="latexml" id="A0.Ex34.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex34.m1.2.2.1.1.2">absent</csymbol><apply id="A0.Ex34.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex34.m1.2.2.1.1.3"><times id="A0.Ex34.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="A0.Ex34.m1.2.2.1.1.3.1"></times><ci id="A0.Ex34.m1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="A0.Ex34.m1.2.2.1.1.3.2">𝐶</ci><apply id="A0.Ex34.m1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="A0.Ex34.m1.2.2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex34.m1.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="A0.Ex34.m1.2.2.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="A0.Ex34.m1.2.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="A0.Ex34.m1.2.2.1.1.3.3.2">𝑚</ci><cn id="A0.Ex34.m1.2.2.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A0.Ex34.m1.2.2.1.1.3.3.3">2</cn></apply><apply id="A0.Ex34.m1.2.2.1.1.3.4.cmml" xref="A0.Ex34.m1.2.2.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex34.m1.2.2.1.1.3.4.1.cmml" xref="A0.Ex34.m1.2.2.1.1.3.4">superscript</csymbol><ci id="A0.Ex34.m1.2.2.1.1.3.4.2.cmml" xref="A0.Ex34.m1.2.2.1.1.3.4.2">italic-ϱ</ci><apply id="A0.Ex34.m1.2.2.1.1.3.4.3.cmml" xref="A0.Ex34.m1.2.2.1.1.3.4.3"><times id="A0.Ex34.m1.2.2.1.1.3.4.3.1.cmml" xref="A0.Ex34.m1.2.2.1.1.3.4.3.1"></times><cn id="A0.Ex34.m1.2.2.1.1.3.4.3.2.cmml" type="integer" xref="A0.Ex34.m1.2.2.1.1.3.4.3.2">2</cn><ci id="A0.Ex34.m1.2.2.1.1.3.4.3.3.cmml" xref="A0.Ex34.m1.2.2.1.1.3.4.3.3">𝑚</ci></apply></apply><ci id="A0.Ex34.m1.1.1.cmml" xref="A0.Ex34.m1.1.1">𝜂</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex34.m1.2c">\displaystyle\leq C\,m^{2}\varrho^{2m}(\eta)\,,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex34.m1.2d">≤ italic_C italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ϱ start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_m end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_η ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.7.p7.6">which establishes (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#A0.E31" title="Equation 31 ‣ Lemma 7. ‣ V Conclusions ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">31</span></a>). ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S5.p4"> <p class="ltx_p" id="S5.p4.19">Now, by applying the transpose operator <math alttext="\intercal" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p4.1.m1.1"><semantics id="S5.p4.1.m1.1a"><mo id="S5.p4.1.m1.1.1" xref="S5.p4.1.m1.1.1.cmml">⊺</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p4.1.m1.1b"><ci id="S5.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.p4.1.m1.1.1">⊺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p4.1.m1.1c">\intercal</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p4.1.m1.1d">⊺</annotation></semantics></math> to (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E15" title="Equation 15 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">15</span></a>) and by recalling that <math alttext="\mathbf{L}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p4.2.m2.1"><semantics id="S5.p4.2.m2.1a"><mi id="S5.p4.2.m2.1.1" xref="S5.p4.2.m2.1.1.cmml">𝐋</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p4.2.m2.1b"><ci id="S5.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.p4.2.m2.1.1">𝐋</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p4.2.m2.1c">\mathbf{L}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p4.2.m2.1d">bold_L</annotation></semantics></math> is symmetric, it can be verified that (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E15" title="Equation 15 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">15</span></a>) can be viewed as (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#A0.E30" title="Equation 30 ‣ Lemma 7. ‣ V Conclusions ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">30</span></a>), where <math alttext="\mathbf{x}_{m}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p4.3.m3.1"><semantics id="S5.p4.3.m3.1a"><msub id="S5.p4.3.m3.1.1" xref="S5.p4.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S5.p4.3.m3.1.1.2" xref="S5.p4.3.m3.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mi id="S5.p4.3.m3.1.1.3" xref="S5.p4.3.m3.1.1.3.cmml">m</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p4.3.m3.1b"><apply id="S5.p4.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.p4.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p4.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.p4.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.p4.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.p4.3.m3.1.1.2">𝐱</ci><ci id="S5.p4.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S5.p4.3.m3.1.1.3">𝑚</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p4.3.m3.1c">\mathbf{x}_{m}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p4.3.m3.1d">bold_x start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> refers to the <math alttext="d" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p4.4.m4.1"><semantics id="S5.p4.4.m4.1a"><mi id="S5.p4.4.m4.1.1" xref="S5.p4.4.m4.1.1.cmml">d</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p4.4.m4.1b"><ci id="S5.p4.4.m4.1.1.cmml" xref="S5.p4.4.m4.1.1">𝑑</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p4.4.m4.1c">d</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p4.4.m4.1d">italic_d</annotation></semantics></math>th column <math alttext="\mathbf{q}_{m}^{(d)}[k]" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p4.5.m5.2"><semantics id="S5.p4.5.m5.2a"><mrow id="S5.p4.5.m5.2.3" xref="S5.p4.5.m5.2.3.cmml"><msubsup id="S5.p4.5.m5.2.3.2" xref="S5.p4.5.m5.2.3.2.cmml"><mi id="S5.p4.5.m5.2.3.2.2.2" xref="S5.p4.5.m5.2.3.2.2.2.cmml">𝐪</mi><mi id="S5.p4.5.m5.2.3.2.2.3" xref="S5.p4.5.m5.2.3.2.2.3.cmml">m</mi><mrow id="S5.p4.5.m5.1.1.1.3" xref="S5.p4.5.m5.2.3.2.cmml"><mo id="S5.p4.5.m5.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S5.p4.5.m5.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="S5.p4.5.m5.1.1.1.1" xref="S5.p4.5.m5.1.1.1.1.cmml">d</mi><mo id="S5.p4.5.m5.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S5.p4.5.m5.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S5.p4.5.m5.2.3.1" xref="S5.p4.5.m5.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.p4.5.m5.2.3.3.2" xref="S5.p4.5.m5.2.3.3.1.cmml"><mo id="S5.p4.5.m5.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.p4.5.m5.2.3.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S5.p4.5.m5.2.2" xref="S5.p4.5.m5.2.2.cmml">k</mi><mo id="S5.p4.5.m5.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.p4.5.m5.2.3.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p4.5.m5.2b"><apply id="S5.p4.5.m5.2.3.cmml" xref="S5.p4.5.m5.2.3"><times id="S5.p4.5.m5.2.3.1.cmml" xref="S5.p4.5.m5.2.3.1"></times><apply id="S5.p4.5.m5.2.3.2.cmml" xref="S5.p4.5.m5.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p4.5.m5.2.3.2.1.cmml" xref="S5.p4.5.m5.2.3.2">superscript</csymbol><apply id="S5.p4.5.m5.2.3.2.2.cmml" xref="S5.p4.5.m5.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p4.5.m5.2.3.2.2.1.cmml" xref="S5.p4.5.m5.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.p4.5.m5.2.3.2.2.2.cmml" xref="S5.p4.5.m5.2.3.2.2.2">𝐪</ci><ci id="S5.p4.5.m5.2.3.2.2.3.cmml" xref="S5.p4.5.m5.2.3.2.2.3">𝑚</ci></apply><ci id="S5.p4.5.m5.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p4.5.m5.1.1.1.1">𝑑</ci></apply><apply id="S5.p4.5.m5.2.3.3.1.cmml" xref="S5.p4.5.m5.2.3.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.p4.5.m5.2.3.3.1.1.cmml" xref="S5.p4.5.m5.2.3.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S5.p4.5.m5.2.2.cmml" xref="S5.p4.5.m5.2.2">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p4.5.m5.2c">\mathbf{q}_{m}^{(d)}[k]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p4.5.m5.2d">bold_q start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_d ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ]</annotation></semantics></math> (<math alttext="d\in\{1,\ldots,D\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p4.6.m6.3"><semantics id="S5.p4.6.m6.3a"><mrow id="S5.p4.6.m6.3.4" xref="S5.p4.6.m6.3.4.cmml"><mi id="S5.p4.6.m6.3.4.2" xref="S5.p4.6.m6.3.4.2.cmml">d</mi><mo id="S5.p4.6.m6.3.4.1" xref="S5.p4.6.m6.3.4.1.cmml">∈</mo><mrow id="S5.p4.6.m6.3.4.3.2" xref="S5.p4.6.m6.3.4.3.1.cmml"><mo id="S5.p4.6.m6.3.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.p4.6.m6.3.4.3.1.cmml">{</mo><mn id="S5.p4.6.m6.1.1" xref="S5.p4.6.m6.1.1.cmml">1</mn><mo id="S5.p4.6.m6.3.4.3.2.2" xref="S5.p4.6.m6.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S5.p4.6.m6.2.2" mathvariant="normal" xref="S5.p4.6.m6.2.2.cmml">…</mi><mo id="S5.p4.6.m6.3.4.3.2.3" xref="S5.p4.6.m6.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S5.p4.6.m6.3.3" xref="S5.p4.6.m6.3.3.cmml">D</mi><mo id="S5.p4.6.m6.3.4.3.2.4" stretchy="false" xref="S5.p4.6.m6.3.4.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p4.6.m6.3b"><apply id="S5.p4.6.m6.3.4.cmml" xref="S5.p4.6.m6.3.4"><in id="S5.p4.6.m6.3.4.1.cmml" xref="S5.p4.6.m6.3.4.1"></in><ci id="S5.p4.6.m6.3.4.2.cmml" xref="S5.p4.6.m6.3.4.2">𝑑</ci><set id="S5.p4.6.m6.3.4.3.1.cmml" xref="S5.p4.6.m6.3.4.3.2"><cn id="S5.p4.6.m6.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.p4.6.m6.1.1">1</cn><ci id="S5.p4.6.m6.2.2.cmml" xref="S5.p4.6.m6.2.2">…</ci><ci id="S5.p4.6.m6.3.3.cmml" xref="S5.p4.6.m6.3.3">𝐷</ci></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p4.6.m6.3c">d\in\{1,\ldots,D\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p4.6.m6.3d">italic_d ∈ { 1 , … , italic_D }</annotation></semantics></math>) of the <math alttext="N\times D" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p4.7.m7.1"><semantics id="S5.p4.7.m7.1a"><mrow id="S5.p4.7.m7.1.1" xref="S5.p4.7.m7.1.1.cmml"><mi id="S5.p4.7.m7.1.1.2" xref="S5.p4.7.m7.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S5.p4.7.m7.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S5.p4.7.m7.1.1.1.cmml">×</mo><mi id="S5.p4.7.m7.1.1.3" xref="S5.p4.7.m7.1.1.3.cmml">D</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p4.7.m7.1b"><apply id="S5.p4.7.m7.1.1.cmml" xref="S5.p4.7.m7.1.1"><times id="S5.p4.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S5.p4.7.m7.1.1.1"></times><ci id="S5.p4.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S5.p4.7.m7.1.1.2">𝑁</ci><ci id="S5.p4.7.m7.1.1.3.cmml" xref="S5.p4.7.m7.1.1.3">𝐷</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p4.7.m7.1c">N\times D</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p4.7.m7.1d">italic_N × italic_D</annotation></semantics></math> matrix <math alttext="\mathfrak{Q}_{m}^{\intercal}[k]" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p4.8.m8.1"><semantics id="S5.p4.8.m8.1a"><mrow id="S5.p4.8.m8.1.2" xref="S5.p4.8.m8.1.2.cmml"><msubsup id="S5.p4.8.m8.1.2.2" xref="S5.p4.8.m8.1.2.2.cmml"><mi id="S5.p4.8.m8.1.2.2.2.2" xref="S5.p4.8.m8.1.2.2.2.2.cmml">𝔔</mi><mi id="S5.p4.8.m8.1.2.2.2.3" xref="S5.p4.8.m8.1.2.2.2.3.cmml">m</mi><mo id="S5.p4.8.m8.1.2.2.3" xref="S5.p4.8.m8.1.2.2.3.cmml">⊺</mo></msubsup><mo id="S5.p4.8.m8.1.2.1" xref="S5.p4.8.m8.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.p4.8.m8.1.2.3.2" xref="S5.p4.8.m8.1.2.3.1.cmml"><mo id="S5.p4.8.m8.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.p4.8.m8.1.2.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S5.p4.8.m8.1.1" xref="S5.p4.8.m8.1.1.cmml">k</mi><mo id="S5.p4.8.m8.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.p4.8.m8.1.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p4.8.m8.1b"><apply id="S5.p4.8.m8.1.2.cmml" xref="S5.p4.8.m8.1.2"><times id="S5.p4.8.m8.1.2.1.cmml" xref="S5.p4.8.m8.1.2.1"></times><apply id="S5.p4.8.m8.1.2.2.cmml" xref="S5.p4.8.m8.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p4.8.m8.1.2.2.1.cmml" xref="S5.p4.8.m8.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S5.p4.8.m8.1.2.2.2.cmml" xref="S5.p4.8.m8.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p4.8.m8.1.2.2.2.1.cmml" xref="S5.p4.8.m8.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.p4.8.m8.1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.p4.8.m8.1.2.2.2.2">𝔔</ci><ci id="S5.p4.8.m8.1.2.2.2.3.cmml" xref="S5.p4.8.m8.1.2.2.2.3">𝑚</ci></apply><ci id="S5.p4.8.m8.1.2.2.3.cmml" xref="S5.p4.8.m8.1.2.2.3">⊺</ci></apply><apply id="S5.p4.8.m8.1.2.3.1.cmml" xref="S5.p4.8.m8.1.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.p4.8.m8.1.2.3.1.1.cmml" xref="S5.p4.8.m8.1.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S5.p4.8.m8.1.1.cmml" xref="S5.p4.8.m8.1.1">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p4.8.m8.1c">\mathfrak{Q}_{m}^{\intercal}[k]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p4.8.m8.1d">fraktur_Q start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⊺ end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ]</annotation></semantics></math>, <math alttext="\mathbf{x}_{-1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p4.9.m9.1"><semantics id="S5.p4.9.m9.1a"><msub id="S5.p4.9.m9.1.1" xref="S5.p4.9.m9.1.1.cmml"><mi id="S5.p4.9.m9.1.1.2" xref="S5.p4.9.m9.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mrow id="S5.p4.9.m9.1.1.3" xref="S5.p4.9.m9.1.1.3.cmml"><mo id="S5.p4.9.m9.1.1.3a" xref="S5.p4.9.m9.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="S5.p4.9.m9.1.1.3.2" xref="S5.p4.9.m9.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p4.9.m9.1b"><apply id="S5.p4.9.m9.1.1.cmml" xref="S5.p4.9.m9.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p4.9.m9.1.1.1.cmml" xref="S5.p4.9.m9.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.p4.9.m9.1.1.2.cmml" xref="S5.p4.9.m9.1.1.2">𝐱</ci><apply id="S5.p4.9.m9.1.1.3.cmml" xref="S5.p4.9.m9.1.1.3"><minus id="S5.p4.9.m9.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p4.9.m9.1.1.3"></minus><cn id="S5.p4.9.m9.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.p4.9.m9.1.1.3.2">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p4.9.m9.1c">\mathbf{x}_{-1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p4.9.m9.1d">bold_x start_POSTSUBSCRIPT - 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> refers to the <math alttext="d" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p4.10.m10.1"><semantics id="S5.p4.10.m10.1a"><mi id="S5.p4.10.m10.1.1" xref="S5.p4.10.m10.1.1.cmml">d</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p4.10.m10.1b"><ci id="S5.p4.10.m10.1.1.cmml" xref="S5.p4.10.m10.1.1">𝑑</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p4.10.m10.1c">d</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p4.10.m10.1d">italic_d</annotation></semantics></math>th column of <math alttext="\mathfrak{Q}_{-1}^{\intercal}[k]" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p4.11.m11.1"><semantics id="S5.p4.11.m11.1a"><mrow id="S5.p4.11.m11.1.2" xref="S5.p4.11.m11.1.2.cmml"><msubsup id="S5.p4.11.m11.1.2.2" xref="S5.p4.11.m11.1.2.2.cmml"><mi id="S5.p4.11.m11.1.2.2.2.2" xref="S5.p4.11.m11.1.2.2.2.2.cmml">𝔔</mi><mrow id="S5.p4.11.m11.1.2.2.2.3" xref="S5.p4.11.m11.1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S5.p4.11.m11.1.2.2.2.3a" xref="S5.p4.11.m11.1.2.2.2.3.cmml">−</mo><mn id="S5.p4.11.m11.1.2.2.2.3.2" xref="S5.p4.11.m11.1.2.2.2.3.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="S5.p4.11.m11.1.2.2.3" xref="S5.p4.11.m11.1.2.2.3.cmml">⊺</mo></msubsup><mo id="S5.p4.11.m11.1.2.1" xref="S5.p4.11.m11.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.p4.11.m11.1.2.3.2" xref="S5.p4.11.m11.1.2.3.1.cmml"><mo id="S5.p4.11.m11.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.p4.11.m11.1.2.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S5.p4.11.m11.1.1" xref="S5.p4.11.m11.1.1.cmml">k</mi><mo id="S5.p4.11.m11.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.p4.11.m11.1.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p4.11.m11.1b"><apply id="S5.p4.11.m11.1.2.cmml" xref="S5.p4.11.m11.1.2"><times id="S5.p4.11.m11.1.2.1.cmml" xref="S5.p4.11.m11.1.2.1"></times><apply id="S5.p4.11.m11.1.2.2.cmml" xref="S5.p4.11.m11.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p4.11.m11.1.2.2.1.cmml" xref="S5.p4.11.m11.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S5.p4.11.m11.1.2.2.2.cmml" xref="S5.p4.11.m11.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p4.11.m11.1.2.2.2.1.cmml" xref="S5.p4.11.m11.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.p4.11.m11.1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.p4.11.m11.1.2.2.2.2">𝔔</ci><apply id="S5.p4.11.m11.1.2.2.2.3.cmml" xref="S5.p4.11.m11.1.2.2.2.3"><minus id="S5.p4.11.m11.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.p4.11.m11.1.2.2.2.3"></minus><cn id="S5.p4.11.m11.1.2.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.p4.11.m11.1.2.2.2.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="S5.p4.11.m11.1.2.2.3.cmml" xref="S5.p4.11.m11.1.2.2.3">⊺</ci></apply><apply id="S5.p4.11.m11.1.2.3.1.cmml" xref="S5.p4.11.m11.1.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.p4.11.m11.1.2.3.1.1.cmml" xref="S5.p4.11.m11.1.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S5.p4.11.m11.1.1.cmml" xref="S5.p4.11.m11.1.1">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p4.11.m11.1c">\mathfrak{Q}_{-1}^{\intercal}[k]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p4.11.m11.1d">fraktur_Q start_POSTSUBSCRIPT - 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⊺ end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ]</annotation></semantics></math>, <math alttext="\mathbf{x}^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p4.12.m12.1"><semantics id="S5.p4.12.m12.1a"><msup id="S5.p4.12.m12.1.1" xref="S5.p4.12.m12.1.1.cmml"><mi id="S5.p4.12.m12.1.1.2" xref="S5.p4.12.m12.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mo id="S5.p4.12.m12.1.1.3" xref="S5.p4.12.m12.1.1.3.cmml">′</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p4.12.m12.1b"><apply id="S5.p4.12.m12.1.1.cmml" xref="S5.p4.12.m12.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p4.12.m12.1.1.1.cmml" xref="S5.p4.12.m12.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.p4.12.m12.1.1.2.cmml" xref="S5.p4.12.m12.1.1.2">𝐱</ci><ci id="S5.p4.12.m12.1.1.3.cmml" xref="S5.p4.12.m12.1.1.3">′</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p4.12.m12.1c">\mathbf{x}^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p4.12.m12.1d">bold_x start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> to the <math alttext="d" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p4.13.m13.1"><semantics id="S5.p4.13.m13.1a"><mi id="S5.p4.13.m13.1.1" xref="S5.p4.13.m13.1.1.cmml">d</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p4.13.m13.1b"><ci id="S5.p4.13.m13.1.1.cmml" xref="S5.p4.13.m13.1.1">𝑑</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p4.13.m13.1c">d</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p4.13.m13.1d">italic_d</annotation></semantics></math>th column <math alttext="\mathbf{q}_{T}^{(d)}[k]" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p4.14.m14.2"><semantics id="S5.p4.14.m14.2a"><mrow id="S5.p4.14.m14.2.3" xref="S5.p4.14.m14.2.3.cmml"><msubsup id="S5.p4.14.m14.2.3.2" xref="S5.p4.14.m14.2.3.2.cmml"><mi id="S5.p4.14.m14.2.3.2.2.2" xref="S5.p4.14.m14.2.3.2.2.2.cmml">𝐪</mi><mi id="S5.p4.14.m14.2.3.2.2.3" xref="S5.p4.14.m14.2.3.2.2.3.cmml">T</mi><mrow id="S5.p4.14.m14.1.1.1.3" xref="S5.p4.14.m14.2.3.2.cmml"><mo id="S5.p4.14.m14.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S5.p4.14.m14.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="S5.p4.14.m14.1.1.1.1" xref="S5.p4.14.m14.1.1.1.1.cmml">d</mi><mo id="S5.p4.14.m14.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S5.p4.14.m14.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S5.p4.14.m14.2.3.1" xref="S5.p4.14.m14.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.p4.14.m14.2.3.3.2" xref="S5.p4.14.m14.2.3.3.1.cmml"><mo id="S5.p4.14.m14.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.p4.14.m14.2.3.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S5.p4.14.m14.2.2" xref="S5.p4.14.m14.2.2.cmml">k</mi><mo id="S5.p4.14.m14.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.p4.14.m14.2.3.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p4.14.m14.2b"><apply id="S5.p4.14.m14.2.3.cmml" xref="S5.p4.14.m14.2.3"><times id="S5.p4.14.m14.2.3.1.cmml" xref="S5.p4.14.m14.2.3.1"></times><apply id="S5.p4.14.m14.2.3.2.cmml" xref="S5.p4.14.m14.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p4.14.m14.2.3.2.1.cmml" xref="S5.p4.14.m14.2.3.2">superscript</csymbol><apply id="S5.p4.14.m14.2.3.2.2.cmml" xref="S5.p4.14.m14.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p4.14.m14.2.3.2.2.1.cmml" xref="S5.p4.14.m14.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.p4.14.m14.2.3.2.2.2.cmml" xref="S5.p4.14.m14.2.3.2.2.2">𝐪</ci><ci id="S5.p4.14.m14.2.3.2.2.3.cmml" xref="S5.p4.14.m14.2.3.2.2.3">𝑇</ci></apply><ci id="S5.p4.14.m14.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p4.14.m14.1.1.1.1">𝑑</ci></apply><apply id="S5.p4.14.m14.2.3.3.1.cmml" xref="S5.p4.14.m14.2.3.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.p4.14.m14.2.3.3.1.1.cmml" xref="S5.p4.14.m14.2.3.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S5.p4.14.m14.2.2.cmml" xref="S5.p4.14.m14.2.2">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p4.14.m14.2c">\mathbf{q}_{T}^{(d)}[k]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p4.14.m14.2d">bold_q start_POSTSUBSCRIPT italic_T end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_d ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ]</annotation></semantics></math> of <math alttext="\mathbf{T}^{\intercal}(\mathfrak{Q}[k])" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p4.15.m15.2"><semantics id="S5.p4.15.m15.2a"><mrow id="S5.p4.15.m15.2.2" xref="S5.p4.15.m15.2.2.cmml"><msup id="S5.p4.15.m15.2.2.3" xref="S5.p4.15.m15.2.2.3.cmml"><mi id="S5.p4.15.m15.2.2.3.2" xref="S5.p4.15.m15.2.2.3.2.cmml">𝐓</mi><mo id="S5.p4.15.m15.2.2.3.3" xref="S5.p4.15.m15.2.2.3.3.cmml">⊺</mo></msup><mo id="S5.p4.15.m15.2.2.2" xref="S5.p4.15.m15.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.p4.15.m15.2.2.1.1" xref="S5.p4.15.m15.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S5.p4.15.m15.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.p4.15.m15.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.p4.15.m15.2.2.1.1.1" xref="S5.p4.15.m15.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S5.p4.15.m15.2.2.1.1.1.2" xref="S5.p4.15.m15.2.2.1.1.1.2.cmml">𝔔</mi><mo id="S5.p4.15.m15.2.2.1.1.1.1" xref="S5.p4.15.m15.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.p4.15.m15.2.2.1.1.1.3.2" xref="S5.p4.15.m15.2.2.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S5.p4.15.m15.2.2.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.p4.15.m15.2.2.1.1.1.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S5.p4.15.m15.1.1" xref="S5.p4.15.m15.1.1.cmml">k</mi><mo id="S5.p4.15.m15.2.2.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.p4.15.m15.2.2.1.1.1.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S5.p4.15.m15.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.p4.15.m15.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p4.15.m15.2b"><apply id="S5.p4.15.m15.2.2.cmml" xref="S5.p4.15.m15.2.2"><times id="S5.p4.15.m15.2.2.2.cmml" xref="S5.p4.15.m15.2.2.2"></times><apply id="S5.p4.15.m15.2.2.3.cmml" xref="S5.p4.15.m15.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p4.15.m15.2.2.3.1.cmml" xref="S5.p4.15.m15.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S5.p4.15.m15.2.2.3.2.cmml" xref="S5.p4.15.m15.2.2.3.2">𝐓</ci><ci id="S5.p4.15.m15.2.2.3.3.cmml" xref="S5.p4.15.m15.2.2.3.3">⊺</ci></apply><apply id="S5.p4.15.m15.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.p4.15.m15.2.2.1.1"><times id="S5.p4.15.m15.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p4.15.m15.2.2.1.1.1.1"></times><ci id="S5.p4.15.m15.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S5.p4.15.m15.2.2.1.1.1.2">𝔔</ci><apply id="S5.p4.15.m15.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p4.15.m15.2.2.1.1.1.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.p4.15.m15.2.2.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S5.p4.15.m15.2.2.1.1.1.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S5.p4.15.m15.1.1.cmml" xref="S5.p4.15.m15.1.1">𝑘</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p4.15.m15.2c">\mathbf{T}^{\intercal}(\mathfrak{Q}[k])</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p4.15.m15.2d">bold_T start_POSTSUPERSCRIPT ⊺ end_POSTSUPERSCRIPT ( fraktur_Q [ italic_k ] )</annotation></semantics></math>, <math alttext="\mathbf{x}_{*}=\mathbf{1}_{N\times N}\,\mathbf{q}_{T}^{(d)}[k]" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p4.16.m16.2"><semantics id="S5.p4.16.m16.2a"><mrow id="S5.p4.16.m16.2.3" xref="S5.p4.16.m16.2.3.cmml"><msub id="S5.p4.16.m16.2.3.2" xref="S5.p4.16.m16.2.3.2.cmml"><mi id="S5.p4.16.m16.2.3.2.2" xref="S5.p4.16.m16.2.3.2.2.cmml">𝐱</mi><mo id="S5.p4.16.m16.2.3.2.3" xref="S5.p4.16.m16.2.3.2.3.cmml">∗</mo></msub><mo id="S5.p4.16.m16.2.3.1" xref="S5.p4.16.m16.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.p4.16.m16.2.3.3" xref="S5.p4.16.m16.2.3.3.cmml"><msub id="S5.p4.16.m16.2.3.3.2" xref="S5.p4.16.m16.2.3.3.2.cmml"><mn id="S5.p4.16.m16.2.3.3.2.2" xref="S5.p4.16.m16.2.3.3.2.2.cmml">𝟏</mn><mrow id="S5.p4.16.m16.2.3.3.2.3" xref="S5.p4.16.m16.2.3.3.2.3.cmml"><mi id="S5.p4.16.m16.2.3.3.2.3.2" xref="S5.p4.16.m16.2.3.3.2.3.2.cmml">N</mi><mo id="S5.p4.16.m16.2.3.3.2.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S5.p4.16.m16.2.3.3.2.3.1.cmml">×</mo><mi id="S5.p4.16.m16.2.3.3.2.3.3" xref="S5.p4.16.m16.2.3.3.2.3.3.cmml">N</mi></mrow></msub><mo id="S5.p4.16.m16.2.3.3.1" xref="S5.p4.16.m16.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.p4.16.m16.2.3.3.3" xref="S5.p4.16.m16.2.3.3.3.cmml"><mi id="S5.p4.16.m16.2.3.3.3.2.2" xref="S5.p4.16.m16.2.3.3.3.2.2.cmml">𝐪</mi><mi id="S5.p4.16.m16.2.3.3.3.2.3" xref="S5.p4.16.m16.2.3.3.3.2.3.cmml">T</mi><mrow id="S5.p4.16.m16.1.1.1.3" xref="S5.p4.16.m16.2.3.3.3.cmml"><mo id="S5.p4.16.m16.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S5.p4.16.m16.2.3.3.3.cmml">(</mo><mi id="S5.p4.16.m16.1.1.1.1" xref="S5.p4.16.m16.1.1.1.1.cmml">d</mi><mo id="S5.p4.16.m16.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S5.p4.16.m16.2.3.3.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S5.p4.16.m16.2.3.3.1a" xref="S5.p4.16.m16.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.p4.16.m16.2.3.3.4.2" xref="S5.p4.16.m16.2.3.3.4.1.cmml"><mo id="S5.p4.16.m16.2.3.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S5.p4.16.m16.2.3.3.4.1.1.cmml">[</mo><mi id="S5.p4.16.m16.2.2" xref="S5.p4.16.m16.2.2.cmml">k</mi><mo id="S5.p4.16.m16.2.3.3.4.2.2" stretchy="false" xref="S5.p4.16.m16.2.3.3.4.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p4.16.m16.2b"><apply id="S5.p4.16.m16.2.3.cmml" xref="S5.p4.16.m16.2.3"><eq id="S5.p4.16.m16.2.3.1.cmml" xref="S5.p4.16.m16.2.3.1"></eq><apply id="S5.p4.16.m16.2.3.2.cmml" xref="S5.p4.16.m16.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p4.16.m16.2.3.2.1.cmml" xref="S5.p4.16.m16.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.p4.16.m16.2.3.2.2.cmml" xref="S5.p4.16.m16.2.3.2.2">𝐱</ci><times id="S5.p4.16.m16.2.3.2.3.cmml" xref="S5.p4.16.m16.2.3.2.3"></times></apply><apply id="S5.p4.16.m16.2.3.3.cmml" xref="S5.p4.16.m16.2.3.3"><times id="S5.p4.16.m16.2.3.3.1.cmml" xref="S5.p4.16.m16.2.3.3.1"></times><apply id="S5.p4.16.m16.2.3.3.2.cmml" xref="S5.p4.16.m16.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p4.16.m16.2.3.3.2.1.cmml" xref="S5.p4.16.m16.2.3.3.2">subscript</csymbol><cn id="S5.p4.16.m16.2.3.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.p4.16.m16.2.3.3.2.2">1</cn><apply id="S5.p4.16.m16.2.3.3.2.3.cmml" xref="S5.p4.16.m16.2.3.3.2.3"><times id="S5.p4.16.m16.2.3.3.2.3.1.cmml" xref="S5.p4.16.m16.2.3.3.2.3.1"></times><ci id="S5.p4.16.m16.2.3.3.2.3.2.cmml" xref="S5.p4.16.m16.2.3.3.2.3.2">𝑁</ci><ci id="S5.p4.16.m16.2.3.3.2.3.3.cmml" xref="S5.p4.16.m16.2.3.3.2.3.3">𝑁</ci></apply></apply><apply id="S5.p4.16.m16.2.3.3.3.cmml" xref="S5.p4.16.m16.2.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p4.16.m16.2.3.3.3.1.cmml" xref="S5.p4.16.m16.2.3.3.3">superscript</csymbol><apply id="S5.p4.16.m16.2.3.3.3.2.cmml" xref="S5.p4.16.m16.2.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p4.16.m16.2.3.3.3.2.1.cmml" xref="S5.p4.16.m16.2.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.p4.16.m16.2.3.3.3.2.2.cmml" xref="S5.p4.16.m16.2.3.3.3.2.2">𝐪</ci><ci id="S5.p4.16.m16.2.3.3.3.2.3.cmml" xref="S5.p4.16.m16.2.3.3.3.2.3">𝑇</ci></apply><ci id="S5.p4.16.m16.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p4.16.m16.1.1.1.1">𝑑</ci></apply><apply id="S5.p4.16.m16.2.3.3.4.1.cmml" xref="S5.p4.16.m16.2.3.3.4.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.p4.16.m16.2.3.3.4.1.1.cmml" xref="S5.p4.16.m16.2.3.3.4.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S5.p4.16.m16.2.2.cmml" xref="S5.p4.16.m16.2.2">𝑘</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p4.16.m16.2c">\mathbf{x}_{*}=\mathbf{1}_{N\times N}\,\mathbf{q}_{T}^{(d)}[k]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p4.16.m16.2d">bold_x start_POSTSUBSCRIPT ∗ end_POSTSUBSCRIPT = bold_1 start_POSTSUBSCRIPT italic_N × italic_N end_POSTSUBSCRIPT bold_q start_POSTSUBSCRIPT italic_T end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_d ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ]</annotation></semantics></math>, and <math alttext="A\coloneqq A^{\textnormal{Q}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p4.17.m17.1"><semantics id="S5.p4.17.m17.1a"><mrow id="S5.p4.17.m17.1.1" xref="S5.p4.17.m17.1.1.cmml"><mi id="S5.p4.17.m17.1.1.2" xref="S5.p4.17.m17.1.1.2.cmml">A</mi><mo id="S5.p4.17.m17.1.1.1" xref="S5.p4.17.m17.1.1.1.cmml">≔</mo><msup id="S5.p4.17.m17.1.1.3" xref="S5.p4.17.m17.1.1.3.cmml"><mi id="S5.p4.17.m17.1.1.3.2" xref="S5.p4.17.m17.1.1.3.2.cmml">A</mi><mtext id="S5.p4.17.m17.1.1.3.3" xref="S5.p4.17.m17.1.1.3.3a.cmml">Q</mtext></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p4.17.m17.1b"><apply id="S5.p4.17.m17.1.1.cmml" xref="S5.p4.17.m17.1.1"><ci id="S5.p4.17.m17.1.1.1.cmml" xref="S5.p4.17.m17.1.1.1">≔</ci><ci id="S5.p4.17.m17.1.1.2.cmml" xref="S5.p4.17.m17.1.1.2">𝐴</ci><apply id="S5.p4.17.m17.1.1.3.cmml" xref="S5.p4.17.m17.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p4.17.m17.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p4.17.m17.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.p4.17.m17.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p4.17.m17.1.1.3.2">𝐴</ci><ci id="S5.p4.17.m17.1.1.3.3a.cmml" xref="S5.p4.17.m17.1.1.3.3"><mtext id="S5.p4.17.m17.1.1.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="S5.p4.17.m17.1.1.3.3">Q</mtext></ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p4.17.m17.1c">A\coloneqq A^{\textnormal{Q}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p4.17.m17.1d">italic_A ≔ italic_A start_POSTSUPERSCRIPT Q end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. Then, by stacking together all of the aforementioned <math alttext="D" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p4.18.m18.1"><semantics id="S5.p4.18.m18.1a"><mi id="S5.p4.18.m18.1.1" xref="S5.p4.18.m18.1.1.cmml">D</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p4.18.m18.1b"><ci id="S5.p4.18.m18.1.1.cmml" xref="S5.p4.18.m18.1.1">𝐷</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p4.18.m18.1c">D</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p4.18.m18.1d">italic_D</annotation></semantics></math> columns into matrices and by applying <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#Thmthm7" title="Lemma 7. ‣ V Conclusions ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Lemma</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">7</span></a>, it can be verified that there exists <math alttext="C\in\mathbb{R}_{++}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p4.19.m19.1"><semantics id="S5.p4.19.m19.1a"><mrow id="S5.p4.19.m19.1.1" xref="S5.p4.19.m19.1.1.cmml"><mi id="S5.p4.19.m19.1.1.2" xref="S5.p4.19.m19.1.1.2.cmml">C</mi><mo id="S5.p4.19.m19.1.1.1" xref="S5.p4.19.m19.1.1.1.cmml">∈</mo><msub id="S5.p4.19.m19.1.1.3" xref="S5.p4.19.m19.1.1.3.cmml"><mi id="S5.p4.19.m19.1.1.3.2" xref="S5.p4.19.m19.1.1.3.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S5.p4.19.m19.1.1.3.3" xref="S5.p4.19.m19.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.p4.19.m19.1.1.3.3.2" xref="S5.p4.19.m19.1.1.3.3.2.cmml"></mi><mo id="S5.p4.19.m19.1.1.3.3.1" rspace="0em" xref="S5.p4.19.m19.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mo id="S5.p4.19.m19.1.1.3.3.3" lspace="0em" xref="S5.p4.19.m19.1.1.3.3.3.cmml">+</mo></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p4.19.m19.1b"><apply id="S5.p4.19.m19.1.1.cmml" xref="S5.p4.19.m19.1.1"><in id="S5.p4.19.m19.1.1.1.cmml" xref="S5.p4.19.m19.1.1.1"></in><ci id="S5.p4.19.m19.1.1.2.cmml" xref="S5.p4.19.m19.1.1.2">𝐶</ci><apply id="S5.p4.19.m19.1.1.3.cmml" xref="S5.p4.19.m19.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p4.19.m19.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p4.19.m19.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.p4.19.m19.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p4.19.m19.1.1.3.2">ℝ</ci><apply id="S5.p4.19.m19.1.1.3.3.cmml" xref="S5.p4.19.m19.1.1.3.3"><plus id="S5.p4.19.m19.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.p4.19.m19.1.1.3.3.1"></plus><csymbol cd="latexml" id="S5.p4.19.m19.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.p4.19.m19.1.1.3.3.2">absent</csymbol><plus id="S5.p4.19.m19.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.p4.19.m19.1.1.3.3.3"></plus></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p4.19.m19.1c">C\in\mathbb{R}_{++}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p4.19.m19.1d">italic_C ∈ blackboard_R start_POSTSUBSCRIPT + + end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> s.t.</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A0.EGx56"> <tbody id="A0.Ex35"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle C\,m^{2}\varrho^{2m}(\eta)" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex35.m1.1"><semantics id="A0.Ex35.m1.1a"><mrow id="A0.Ex35.m1.1.2" xref="A0.Ex35.m1.1.2.cmml"><mi id="A0.Ex35.m1.1.2.2" xref="A0.Ex35.m1.1.2.2.cmml">C</mi><mo id="A0.Ex35.m1.1.2.1" lspace="0.170em" xref="A0.Ex35.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="A0.Ex35.m1.1.2.3" xref="A0.Ex35.m1.1.2.3.cmml"><mi id="A0.Ex35.m1.1.2.3.2" xref="A0.Ex35.m1.1.2.3.2.cmml">m</mi><mn id="A0.Ex35.m1.1.2.3.3" xref="A0.Ex35.m1.1.2.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="A0.Ex35.m1.1.2.1a" xref="A0.Ex35.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="A0.Ex35.m1.1.2.4" xref="A0.Ex35.m1.1.2.4.cmml"><mi id="A0.Ex35.m1.1.2.4.2" xref="A0.Ex35.m1.1.2.4.2.cmml">ϱ</mi><mrow id="A0.Ex35.m1.1.2.4.3" xref="A0.Ex35.m1.1.2.4.3.cmml"><mn id="A0.Ex35.m1.1.2.4.3.2" xref="A0.Ex35.m1.1.2.4.3.2.cmml">2</mn><mo id="A0.Ex35.m1.1.2.4.3.1" xref="A0.Ex35.m1.1.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A0.Ex35.m1.1.2.4.3.3" xref="A0.Ex35.m1.1.2.4.3.3.cmml">m</mi></mrow></msup><mo id="A0.Ex35.m1.1.2.1b" xref="A0.Ex35.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex35.m1.1.2.5.2" xref="A0.Ex35.m1.1.2.cmml"><mo id="A0.Ex35.m1.1.2.5.2.1" stretchy="false" xref="A0.Ex35.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A0.Ex35.m1.1.1" xref="A0.Ex35.m1.1.1.cmml">η</mi><mo id="A0.Ex35.m1.1.2.5.2.2" stretchy="false" xref="A0.Ex35.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex35.m1.1b"><apply id="A0.Ex35.m1.1.2.cmml" xref="A0.Ex35.m1.1.2"><times id="A0.Ex35.m1.1.2.1.cmml" xref="A0.Ex35.m1.1.2.1"></times><ci id="A0.Ex35.m1.1.2.2.cmml" xref="A0.Ex35.m1.1.2.2">𝐶</ci><apply id="A0.Ex35.m1.1.2.3.cmml" xref="A0.Ex35.m1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex35.m1.1.2.3.1.cmml" xref="A0.Ex35.m1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="A0.Ex35.m1.1.2.3.2.cmml" xref="A0.Ex35.m1.1.2.3.2">𝑚</ci><cn id="A0.Ex35.m1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A0.Ex35.m1.1.2.3.3">2</cn></apply><apply id="A0.Ex35.m1.1.2.4.cmml" xref="A0.Ex35.m1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex35.m1.1.2.4.1.cmml" xref="A0.Ex35.m1.1.2.4">superscript</csymbol><ci id="A0.Ex35.m1.1.2.4.2.cmml" xref="A0.Ex35.m1.1.2.4.2">italic-ϱ</ci><apply id="A0.Ex35.m1.1.2.4.3.cmml" xref="A0.Ex35.m1.1.2.4.3"><times id="A0.Ex35.m1.1.2.4.3.1.cmml" xref="A0.Ex35.m1.1.2.4.3.1"></times><cn id="A0.Ex35.m1.1.2.4.3.2.cmml" type="integer" xref="A0.Ex35.m1.1.2.4.3.2">2</cn><ci id="A0.Ex35.m1.1.2.4.3.3.cmml" xref="A0.Ex35.m1.1.2.4.3.3">𝑚</ci></apply></apply><ci id="A0.Ex35.m1.1.1.cmml" xref="A0.Ex35.m1.1.1">𝜂</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex35.m1.1c">\displaystyle C\,m^{2}\varrho^{2m}(\eta)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex35.m1.1d">italic_C italic_m start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ϱ start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_m end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_η )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\geq\sum_{d\in\{1,\ldots,D\}}\lVert\,\mathbf{q}_{m}^{(d)}[k]-% \mathbf{1}_{N\times N}\,\mathbf{q}_{T}^{(d)}[k]\,\rVert^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex35.m2.8"><semantics id="A0.Ex35.m2.8a"><mrow id="A0.Ex35.m2.8.8" xref="A0.Ex35.m2.8.8.cmml"><mi id="A0.Ex35.m2.8.8.3" xref="A0.Ex35.m2.8.8.3.cmml"></mi><mo id="A0.Ex35.m2.8.8.2" xref="A0.Ex35.m2.8.8.2.cmml">≥</mo><mrow id="A0.Ex35.m2.8.8.1" xref="A0.Ex35.m2.8.8.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A0.Ex35.m2.8.8.1.2" xref="A0.Ex35.m2.8.8.1.2.cmml"><munder id="A0.Ex35.m2.8.8.1.2a" xref="A0.Ex35.m2.8.8.1.2.cmml"><mo id="A0.Ex35.m2.8.8.1.2.2" movablelimits="false" xref="A0.Ex35.m2.8.8.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A0.Ex35.m2.3.3.3" xref="A0.Ex35.m2.3.3.3.cmml"><mi id="A0.Ex35.m2.3.3.3.5" xref="A0.Ex35.m2.3.3.3.5.cmml">d</mi><mo id="A0.Ex35.m2.3.3.3.4" xref="A0.Ex35.m2.3.3.3.4.cmml">∈</mo><mrow id="A0.Ex35.m2.3.3.3.6.2" xref="A0.Ex35.m2.3.3.3.6.1.cmml"><mo id="A0.Ex35.m2.3.3.3.6.2.1" stretchy="false" xref="A0.Ex35.m2.3.3.3.6.1.cmml">{</mo><mn id="A0.Ex35.m2.1.1.1.1" xref="A0.Ex35.m2.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="A0.Ex35.m2.3.3.3.6.2.2" xref="A0.Ex35.m2.3.3.3.6.1.cmml">,</mo><mi id="A0.Ex35.m2.2.2.2.2" mathvariant="normal" xref="A0.Ex35.m2.2.2.2.2.cmml">…</mi><mo id="A0.Ex35.m2.3.3.3.6.2.3" xref="A0.Ex35.m2.3.3.3.6.1.cmml">,</mo><mi id="A0.Ex35.m2.3.3.3.3" xref="A0.Ex35.m2.3.3.3.3.cmml">D</mi><mo id="A0.Ex35.m2.3.3.3.6.2.4" stretchy="false" xref="A0.Ex35.m2.3.3.3.6.1.cmml">}</mo></mrow></mrow></munder></mstyle><msup id="A0.Ex35.m2.8.8.1.1" xref="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.cmml"><mrow id="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.1" xref="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.1.2" lspace="0em" rspace="0.170em" xref="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo><mrow id="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.1.1.2.cmml"><msubsup id="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.1.1.2.2" xref="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">𝐪</mi><mi id="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">m</mi><mrow id="A0.Ex35.m2.4.4.1.3" xref="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mo id="A0.Ex35.m2.4.4.1.3.1" stretchy="false" xref="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.1.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="A0.Ex35.m2.4.4.1.1" xref="A0.Ex35.m2.4.4.1.1.cmml">d</mi><mo id="A0.Ex35.m2.4.4.1.3.2" stretchy="false" xref="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.1.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.1.1.2.1" xref="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.1.1.2.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="A0.Ex35.m2.6.6" xref="A0.Ex35.m2.6.6.cmml">k</mi><mo id="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.1.1.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.1.1.3.2" xref="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">𝟏</mn><mrow id="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">N</mi><mo id="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.1.1.3.2.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">×</mo><mi id="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">N</mi></mrow></msub><mo id="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.1.1.3.1" xref="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.1.1.3.3" xref="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">𝐪</mi><mi id="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">T</mi><mrow id="A0.Ex35.m2.5.5.1.3" xref="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="A0.Ex35.m2.5.5.1.3.1" stretchy="false" xref="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.1.1.3.3.cmml">(</mo><mi id="A0.Ex35.m2.5.5.1.1" xref="A0.Ex35.m2.5.5.1.1.cmml">d</mi><mo id="A0.Ex35.m2.5.5.1.3.2" stretchy="false" xref="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.1.1.3.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.1.1.3.1a" xref="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.1.1.3.4.2" xref="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.1.1.3.4.1.cmml"><mo id="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.1.1.3.4.2.1" stretchy="false" xref="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.1.1.3.4.1.1.cmml">[</mo><mi id="A0.Ex35.m2.7.7" xref="A0.Ex35.m2.7.7.cmml">k</mi><mo id="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.1.1.3.4.2.2" stretchy="false" xref="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.1.1.3.4.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo fence="true" id="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.1.3" lspace="0.170em" xref="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mn id="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.3" xref="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex35.m2.8b"><apply id="A0.Ex35.m2.8.8.cmml" xref="A0.Ex35.m2.8.8"><geq id="A0.Ex35.m2.8.8.2.cmml" xref="A0.Ex35.m2.8.8.2"></geq><csymbol cd="latexml" id="A0.Ex35.m2.8.8.3.cmml" xref="A0.Ex35.m2.8.8.3">absent</csymbol><apply id="A0.Ex35.m2.8.8.1.cmml" xref="A0.Ex35.m2.8.8.1"><apply id="A0.Ex35.m2.8.8.1.2.cmml" xref="A0.Ex35.m2.8.8.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex35.m2.8.8.1.2.1.cmml" xref="A0.Ex35.m2.8.8.1.2">subscript</csymbol><sum id="A0.Ex35.m2.8.8.1.2.2.cmml" xref="A0.Ex35.m2.8.8.1.2.2"></sum><apply id="A0.Ex35.m2.3.3.3.cmml" xref="A0.Ex35.m2.3.3.3"><in id="A0.Ex35.m2.3.3.3.4.cmml" xref="A0.Ex35.m2.3.3.3.4"></in><ci id="A0.Ex35.m2.3.3.3.5.cmml" xref="A0.Ex35.m2.3.3.3.5">𝑑</ci><set id="A0.Ex35.m2.3.3.3.6.1.cmml" xref="A0.Ex35.m2.3.3.3.6.2"><cn id="A0.Ex35.m2.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="A0.Ex35.m2.1.1.1.1">1</cn><ci id="A0.Ex35.m2.2.2.2.2.cmml" xref="A0.Ex35.m2.2.2.2.2">…</ci><ci id="A0.Ex35.m2.3.3.3.3.cmml" xref="A0.Ex35.m2.3.3.3.3">𝐷</ci></set></apply></apply><apply id="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.cmml" xref="A0.Ex35.m2.8.8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex35.m2.8.8.1.1">superscript</csymbol><apply id="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.2.1.cmml" xref="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.1.1"><minus id="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.1.1.2"><times id="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="A0.Ex35.m2.8.8.1.1.1.1.1.2.2.cmml" 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id="A0.Ex35.m2.8c">\displaystyle\geq\sum_{d\in\{1,\ldots,D\}}\lVert\,\mathbf{q}_{m}^{(d)}[k]-% \mathbf{1}_{N\times N}\,\mathbf{q}_{T}^{(d)}[k]\,\rVert^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex35.m2.8d">≥ ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_d ∈ { 1 , … , italic_D } end_POSTSUBSCRIPT ∥ bold_q start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_d ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ] - bold_1 start_POSTSUBSCRIPT italic_N × italic_N end_POSTSUBSCRIPT bold_q start_POSTSUBSCRIPT italic_T end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_d ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ] ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A0.Ex36"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\lVert\,\mathfrak{Q}_{m}^{\intercal}[k]-\mathbf{1}_{N\times N}\,% [\,\mathbf{q}_{T}^{(1)}[k],\ldots,\mathbf{q}_{T}^{(D)}[k]\,]\,\rVert_{% \textnormal{F}}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex36.m1.7"><semantics id="A0.Ex36.m1.7a"><mrow id="A0.Ex36.m1.7.7" xref="A0.Ex36.m1.7.7.cmml"><mi id="A0.Ex36.m1.7.7.3" xref="A0.Ex36.m1.7.7.3.cmml"></mi><mo id="A0.Ex36.m1.7.7.2" rspace="0.1389em" xref="A0.Ex36.m1.7.7.2.cmml">=</mo><msubsup id="A0.Ex36.m1.7.7.1" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.cmml"><mrow id="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.2" lspace="0.1389em" rspace="0.170em" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo><mrow id="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.4" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.cmml"><msubsup id="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.2" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mi id="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.2.2.2" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.2.2.2.cmml">𝔔</mi><mi id="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.2.2.3" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.2.2.3.cmml">m</mi><mo id="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.2.3" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">⊺</mo></msubsup><mo id="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.1" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml"><mo id="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="A0.Ex36.m1.3.3" xref="A0.Ex36.m1.3.3.cmml">k</mi><mo id="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.3.2.2" stretchy="false" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.4" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mn id="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.4.2" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml">𝟏</mn><mrow id="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.4.3" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml"><mi id="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.4.3.2" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.4.3.2.cmml">N</mi><mo id="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.4.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.4.3.1.cmml">×</mo><mi id="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.4.3.3" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.4.3.3.cmml">N</mi></mrow></msub><mo id="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.3" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.2.3" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">[</mo><mrow id="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">𝐪</mi><mi id="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">T</mi><mrow id="A0.Ex36.m1.1.1.1.3" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A0.Ex36.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mn id="A0.Ex36.m1.1.1.1.1" xref="A0.Ex36.m1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="A0.Ex36.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="A0.Ex36.m1.4.4" xref="A0.Ex36.m1.4.4.cmml">k</mi><mo id="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.2.4" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="A0.Ex36.m1.6.6" mathvariant="normal" xref="A0.Ex36.m1.6.6.cmml">…</mi><mo id="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.2.5" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><msubsup id="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml">𝐪</mi><mi id="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.cmml">T</mi><mrow id="A0.Ex36.m1.2.2.1.3" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="A0.Ex36.m1.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="A0.Ex36.m1.2.2.1.1" xref="A0.Ex36.m1.2.2.1.1.cmml">D</mi><mo id="A0.Ex36.m1.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml"><mo id="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="A0.Ex36.m1.5.5" xref="A0.Ex36.m1.5.5.cmml">k</mi><mo id="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.2" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.2.6" stretchy="false" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo fence="true" id="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.3" lspace="0.170em" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mtext id="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.3" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.3a.cmml">F</mtext><mn id="A0.Ex36.m1.7.7.1.3" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex36.m1.7b"><apply id="A0.Ex36.m1.7.7.cmml" xref="A0.Ex36.m1.7.7"><eq id="A0.Ex36.m1.7.7.2.cmml" xref="A0.Ex36.m1.7.7.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="A0.Ex36.m1.7.7.3.cmml" xref="A0.Ex36.m1.7.7.3">absent</csymbol><apply id="A0.Ex36.m1.7.7.1.cmml" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex36.m1.7.7.1.2.cmml" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1">superscript</csymbol><apply id="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.cmml" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1">subscript</csymbol><apply id="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.2.1.cmml" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1"><minus id="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.3"></minus><apply id="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.4"><times id="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.1"></times><apply id="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.2">superscript</csymbol><apply id="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.2.2.1.cmml" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.2">subscript</csymbol><ci id="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.2.2.2.cmml" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.2.2.2">𝔔</ci><ci id="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.2.2.3.cmml" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.2.2.3">𝑚</ci></apply><ci id="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.2.3">⊺</ci></apply><apply id="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.3.2"><csymbol cd="latexml" id="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.3.1.1.cmml" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.4.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="A0.Ex36.m1.3.3.cmml" xref="A0.Ex36.m1.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.2"><times id="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.3"></times><apply id="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.4">subscript</csymbol><cn id="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml" type="integer" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.4.2">1</cn><apply id="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.4.3"><times id="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.4.3.1.cmml" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.4.3.1"></times><ci id="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.4.3.2.cmml" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.4.3.2">𝑁</ci><ci id="A0.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.4.3.3.cmml" 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id="A0.Ex36.m1.7.7.1.3.cmml" type="integer" xref="A0.Ex36.m1.7.7.1.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex36.m1.7c">\displaystyle=\lVert\,\mathfrak{Q}_{m}^{\intercal}[k]-\mathbf{1}_{N\times N}\,% [\,\mathbf{q}_{T}^{(1)}[k],\ldots,\mathbf{q}_{T}^{(D)}[k]\,]\,\rVert_{% \textnormal{F}}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex36.m1.7d">= ∥ fraktur_Q start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⊺ end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ] - bold_1 start_POSTSUBSCRIPT italic_N × italic_N end_POSTSUBSCRIPT [ bold_q start_POSTSUBSCRIPT italic_T end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ] , … , bold_q start_POSTSUBSCRIPT italic_T end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_D ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ] ] ∥ start_POSTSUBSCRIPT F end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A0.Ex37"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\lVert\,\mathfrak{Q}_{m}^{\intercal}[k]-\mathbf{1}_{N\times N}\,% \mathbf{T}^{\intercal}(\mathfrak{Q}[k])\,\rVert_{\textnormal{F}}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex37.m1.3"><semantics id="A0.Ex37.m1.3a"><mrow id="A0.Ex37.m1.3.3" xref="A0.Ex37.m1.3.3.cmml"><mi id="A0.Ex37.m1.3.3.3" xref="A0.Ex37.m1.3.3.3.cmml"></mi><mo id="A0.Ex37.m1.3.3.2" rspace="0.1389em" xref="A0.Ex37.m1.3.3.2.cmml">=</mo><msubsup id="A0.Ex37.m1.3.3.1" xref="A0.Ex37.m1.3.3.1.cmml"><mrow id="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1" xref="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.2" lspace="0.1389em" rspace="0.170em" xref="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo><mrow id="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1" 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xref="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">𝟏</mn><mrow id="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">N</mi><mo id="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">×</mo><mi id="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">N</mi></mrow></msub><mo id="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4" xref="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">𝐓</mi><mo id="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">⊺</mo></msup><mo id="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2a" xref="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝔔</mi><mo id="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="A0.Ex37.m1.2.2" xref="A0.Ex37.m1.2.2.cmml">k</mi><mo id="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" 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id="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex37.m1.3.3.1">subscript</csymbol><apply id="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1"><minus id="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1.2"></minus><apply id="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1.3"><times id="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci 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xref="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝔔</ci><apply id="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="latexml" id="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="A0.Ex37.m1.2.2.cmml" xref="A0.Ex37.m1.2.2">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></apply><ci id="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.3a.cmml" xref="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.3"><mtext id="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="A0.Ex37.m1.3.3.1.1.3">F</mtext></ci></apply><cn id="A0.Ex37.m1.3.3.1.3.cmml" type="integer" xref="A0.Ex37.m1.3.3.1.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex37.m1.3c">\displaystyle=\lVert\,\mathfrak{Q}_{m}^{\intercal}[k]-\mathbf{1}_{N\times N}\,% \mathbf{T}^{\intercal}(\mathfrak{Q}[k])\,\rVert_{\textnormal{F}}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex37.m1.3d">= ∥ fraktur_Q start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⊺ end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ] - bold_1 start_POSTSUBSCRIPT italic_N × italic_N end_POSTSUBSCRIPT bold_T start_POSTSUPERSCRIPT ⊺ end_POSTSUPERSCRIPT ( fraktur_Q [ italic_k ] ) ∥ start_POSTSUBSCRIPT F end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A0.Ex38"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\lVert\,\mathfrak{Q}_{m}[k]-\mathbf{T}(\mathfrak{Q}[k])\,\mathbf% {1}_{N\times N}\,\rVert_{\textnormal{F}}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex38.m1.3"><semantics id="A0.Ex38.m1.3a"><mrow id="A0.Ex38.m1.3.3" xref="A0.Ex38.m1.3.3.cmml"><mi id="A0.Ex38.m1.3.3.3" xref="A0.Ex38.m1.3.3.3.cmml"></mi><mo id="A0.Ex38.m1.3.3.2" rspace="0.1389em" xref="A0.Ex38.m1.3.3.2.cmml">=</mo><msubsup id="A0.Ex38.m1.3.3.1" xref="A0.Ex38.m1.3.3.1.cmml"><mrow id="A0.Ex38.m1.3.3.1.1.1.1" xref="A0.Ex38.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="A0.Ex38.m1.3.3.1.1.1.1.2" lspace="0.1389em" rspace="0.170em" xref="A0.Ex38.m1.3.3.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo><mrow id="A0.Ex38.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex38.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A0.Ex38.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex38.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="A0.Ex38.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2" xref="A0.Ex38.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A0.Ex38.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A0.Ex38.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">𝔔</mi><mi id="A0.Ex38.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A0.Ex38.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="A0.Ex38.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1" xref="A0.Ex38.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex38.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A0.Ex38.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="A0.Ex38.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A0.Ex38.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="A0.Ex38.m1.1.1" xref="A0.Ex38.m1.1.1.cmml">k</mi><mo id="A0.Ex38.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A0.Ex38.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="A0.Ex38.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex38.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="A0.Ex38.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex38.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex38.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex38.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝐓</mi><mo id="A0.Ex38.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex38.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex38.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex38.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex38.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex38.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.Ex38.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex38.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex38.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" 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id="A0.Ex38.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="A0.Ex38.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="A0.Ex38.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="A0.Ex38.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">N</mi><mo id="A0.Ex38.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A0.Ex38.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">×</mo><mi id="A0.Ex38.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.3.3" xref="A0.Ex38.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml">N</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo fence="true" id="A0.Ex38.m1.3.3.1.1.1.1.3" lspace="0em" xref="A0.Ex38.m1.3.3.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mtext id="A0.Ex38.m1.3.3.1.1.3" xref="A0.Ex38.m1.3.3.1.1.3a.cmml">F</mtext><mn id="A0.Ex38.m1.3.3.1.3" xref="A0.Ex38.m1.3.3.1.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex38.m1.3b"><apply id="A0.Ex38.m1.3.3.cmml" xref="A0.Ex38.m1.3.3"><eq id="A0.Ex38.m1.3.3.2.cmml" xref="A0.Ex38.m1.3.3.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="A0.Ex38.m1.3.3.3.cmml" xref="A0.Ex38.m1.3.3.3">absent</csymbol><apply id="A0.Ex38.m1.3.3.1.cmml" 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id="A0.Ex38.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A0.Ex38.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2">𝔔</ci><ci id="A0.Ex38.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A0.Ex38.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="A0.Ex38.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A0.Ex38.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="latexml" id="A0.Ex38.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.1.1.cmml" xref="A0.Ex38.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="A0.Ex38.m1.1.1.cmml" xref="A0.Ex38.m1.1.1">𝑘</ci></apply></apply><apply id="A0.Ex38.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex38.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"><times id="A0.Ex38.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex38.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="A0.Ex38.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex38.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3">𝐓</ci><apply id="A0.Ex38.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex38.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A0.Ex38.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex38.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="A0.Ex38.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" 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xref="A0.Ex38.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.3.3">𝑁</ci></apply></apply></apply></apply></apply><ci id="A0.Ex38.m1.3.3.1.1.3a.cmml" xref="A0.Ex38.m1.3.3.1.1.3"><mtext id="A0.Ex38.m1.3.3.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="A0.Ex38.m1.3.3.1.1.3">F</mtext></ci></apply><cn id="A0.Ex38.m1.3.3.1.3.cmml" type="integer" xref="A0.Ex38.m1.3.3.1.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex38.m1.3c">\displaystyle=\lVert\,\mathfrak{Q}_{m}[k]-\mathbf{T}(\mathfrak{Q}[k])\,\mathbf% {1}_{N\times N}\,\rVert_{\textnormal{F}}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex38.m1.3d">= ∥ fraktur_Q start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT [ italic_k ] - bold_T ( fraktur_Q [ italic_k ] ) bold_1 start_POSTSUBSCRIPT italic_N × italic_N end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT F end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A0.Ex39"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sum\nolimits_{n\in\mathcal{N}}\lVert\,Q_{m}^{(n)}[k]-\mathbf{T}% (\mathfrak{Q}[k])\,\mathbf{1}_{N}\,\rVert^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex39.m1.4"><semantics id="A0.Ex39.m1.4a"><mrow id="A0.Ex39.m1.4.4" xref="A0.Ex39.m1.4.4.cmml"><mi id="A0.Ex39.m1.4.4.3" xref="A0.Ex39.m1.4.4.3.cmml"></mi><mo id="A0.Ex39.m1.4.4.2" xref="A0.Ex39.m1.4.4.2.cmml">=</mo><mrow id="A0.Ex39.m1.4.4.1" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A0.Ex39.m1.4.4.1.2" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.2.cmml"><msub id="A0.Ex39.m1.4.4.1.2a" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.2.cmml"><mo id="A0.Ex39.m1.4.4.1.2.2" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A0.Ex39.m1.4.4.1.2.3" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.2.3.cmml"><mi id="A0.Ex39.m1.4.4.1.2.3.2" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.2.3.2.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex39.m1.4.4.1.2.3.1" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.2.3.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A0.Ex39.m1.4.4.1.2.3.3" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.2.3.3.cmml">𝒩</mi></mrow></msub></mstyle><msup id="A0.Ex39.m1.4.4.1.1" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.2" lspace="0em" rspace="0.170em" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo><mrow id="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">Q</mi><mi id="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">m</mi><mrow id="A0.Ex39.m1.1.1.1.3" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mo id="A0.Ex39.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.cmml">(</mo><mi id="A0.Ex39.m1.1.1.1.1" xref="A0.Ex39.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex39.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.1" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="A0.Ex39.m1.2.2" xref="A0.Ex39.m1.2.2.cmml">k</mi><mo id="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝐓</mi><mo id="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝔔</mi><mo id="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="A0.Ex39.m1.3.3" xref="A0.Ex39.m1.3.3.cmml">k</mi><mo id="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2a" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mn class="ltx_mathvariant_bold" id="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.2" mathvariant="bold" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml"> 1</mn><mi id="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">N</mi></msub></mrow></mrow><mo fence="true" id="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.3" lspace="0em" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mn id="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.3" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex39.m1.4b"><apply id="A0.Ex39.m1.4.4.cmml" xref="A0.Ex39.m1.4.4"><eq id="A0.Ex39.m1.4.4.2.cmml" xref="A0.Ex39.m1.4.4.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="A0.Ex39.m1.4.4.3.cmml" xref="A0.Ex39.m1.4.4.3">absent</csymbol><apply id="A0.Ex39.m1.4.4.1.cmml" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1"><apply id="A0.Ex39.m1.4.4.1.2.cmml" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex39.m1.4.4.1.2.1.cmml" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.2">subscript</csymbol><sum id="A0.Ex39.m1.4.4.1.2.2.cmml" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.2.2"></sum><apply id="A0.Ex39.m1.4.4.1.2.3.cmml" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.2.3"><in id="A0.Ex39.m1.4.4.1.2.3.1.cmml" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.2.3.1"></in><ci id="A0.Ex39.m1.4.4.1.2.3.2.cmml" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.2.3.2">𝑛</ci><ci id="A0.Ex39.m1.4.4.1.2.3.3.cmml" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.2.3.3">𝒩</ci></apply></apply><apply id="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.cmml" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.1">superscript</csymbol><apply id="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.2.1.cmml" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1"><minus id="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.2"></minus><apply id="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.3"><times id="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑄</ci><ci id="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.2.3">𝑚</ci></apply><ci id="A0.Ex39.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex39.m1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="latexml" id="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.1.1.cmml" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="A0.Ex39.m1.2.2.cmml" xref="A0.Ex39.m1.2.2">𝑘</ci></apply></apply><apply id="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.1"><times id="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3">𝐓</ci><apply id="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝔔</ci><apply id="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="latexml" id="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="A0.Ex39.m1.3.3.cmml" xref="A0.Ex39.m1.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><cn id="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" type="integer" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.2">1</cn><ci id="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.3">𝑁</ci></apply></apply></apply></apply><cn id="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A0.Ex39.m1.4.4.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex39.m1.4c">\displaystyle=\sum\nolimits_{n\in\mathcal{N}}\lVert\,Q_{m}^{(n)}[k]-\mathbf{T}% (\mathfrak{Q}[k])\,\mathbf{1}_{N}\,\rVert^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex39.m1.4d">= ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n ∈ caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT ∥ italic_Q start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ] - bold_T ( fraktur_Q [ italic_k ] ) bold_1 start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A0.Ex40"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\geq\lVert\,Q_{m}^{(n)}[k]-\mathbf{T}(\mathfrak{Q}[k])\,\mathbf{1% }_{N}\,\rVert^{2}\,," class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex40.m1.4"><semantics id="A0.Ex40.m1.4a"><mrow id="A0.Ex40.m1.4.4.1" xref="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="A0.Ex40.m1.4.4.1.1" xref="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.3" xref="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.3.cmml"></mi><mo id="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.2" rspace="0.1389em" xref="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.2.cmml">≥</mo><msup id="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1" xref="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mrow id="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" lspace="0.1389em" rspace="0.170em" xref="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo><mrow id="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">Q</mi><mi id="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">m</mi><mrow id="A0.Ex40.m1.1.1.1.3" xref="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mo id="A0.Ex40.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">(</mo><mi id="A0.Ex40.m1.1.1.1.1" xref="A0.Ex40.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex40.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="A0.Ex40.m1.2.2" xref="A0.Ex40.m1.2.2.cmml">k</mi><mo id="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝐓</mi><mo id="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝔔</mi><mo id="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="A0.Ex40.m1.3.3" xref="A0.Ex40.m1.3.3.cmml">k</mi><mo id="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mn class="ltx_mathvariant_bold" id="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2" mathvariant="bold" xref="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml"> 1</mn><mi id="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">N</mi></msub></mrow></mrow><mo fence="true" id="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" lspace="0em" rspace="0em" xref="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mn id="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.3" xref="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="A0.Ex40.m1.4.4.1.2" xref="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex40.m1.4b"><apply id="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.cmml" xref="A0.Ex40.m1.4.4.1"><geq id="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.2"></geq><csymbol cd="latexml" id="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.3">absent</csymbol><apply id="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1"><minus id="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2"></minus><apply id="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3"><times id="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑄</ci><ci id="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3">𝑚</ci></apply><ci id="A0.Ex40.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex40.m1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="latexml" id="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.cmml" xref="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="A0.Ex40.m1.2.2.cmml" xref="A0.Ex40.m1.2.2">𝑘</ci></apply></apply><apply id="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3">𝐓</ci><apply id="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝔔</ci><apply id="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="latexml" id="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="A0.Ex40.m1.3.3.cmml" xref="A0.Ex40.m1.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><cn id="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" type="integer" xref="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2">1</cn><ci id="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.3">𝑁</ci></apply></apply></apply></apply><cn id="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A0.Ex40.m1.4.4.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex40.m1.4c">\displaystyle\geq\lVert\,Q_{m}^{(n)}[k]-\mathbf{T}(\mathfrak{Q}[k])\,\mathbf{1% }_{N}\,\rVert^{2}\,,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex40.m1.4d">≥ ∥ italic_Q start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ] - bold_T ( fraktur_Q [ italic_k ] ) bold_1 start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.p4.20">which establishes <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.I3.i2" title="In Theorem 5. ‣ III-C Performance analysis of Algorithm 1 ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Theorem</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">5(ii)</span></a>. A similar sequence of arguments leads to the proof of <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.I3.i3" title="In Theorem 5. ‣ III-C Performance analysis of Algorithm 1 ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Theorem</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">5(iii)</span></a>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S5.p5"> <p class="ltx_p" id="S5.p5.15">To prove <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.I3.i4" title="In Theorem 5. ‣ III-C Performance analysis of Algorithm 1 ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Theorem</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">5(iv)</span></a>, notice first that</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A0.EGx57"> <tbody id="A0.Ex41"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathchoice{}{}{}{}\lVert\,Q^{(n)}[k+1]-Q_{\star}\,\rVert" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex41.m1.2"><semantics id="A0.Ex41.m1.2a"><mrow id="A0.Ex41.m1.2.2.1" xref="A0.Ex41.m1.2.2.2.cmml"><mo fence="true" id="A0.Ex41.m1.2.2.1.2" rspace="0.170em" xref="A0.Ex41.m1.2.2.2.1.cmml">∥</mo><mrow id="A0.Ex41.m1.2.2.1.1" xref="A0.Ex41.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A0.Ex41.m1.2.2.1.1.1" xref="A0.Ex41.m1.2.2.1.1.1.cmml"><msup id="A0.Ex41.m1.2.2.1.1.1.3" xref="A0.Ex41.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A0.Ex41.m1.2.2.1.1.1.3.2" xref="A0.Ex41.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml">Q</mi><mrow id="A0.Ex41.m1.1.1.1.3" xref="A0.Ex41.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mo id="A0.Ex41.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A0.Ex41.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A0.Ex41.m1.1.1.1.1" xref="A0.Ex41.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex41.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A0.Ex41.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="A0.Ex41.m1.2.2.1.1.1.2" xref="A0.Ex41.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex41.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex41.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A0.Ex41.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex41.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A0.Ex41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="A0.Ex41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="A0.Ex41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="A0.Ex41.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex41.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="A0.Ex41.m1.2.2.1.1.2" xref="A0.Ex41.m1.2.2.1.1.2.cmml">−</mo><msub id="A0.Ex41.m1.2.2.1.1.3" xref="A0.Ex41.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="A0.Ex41.m1.2.2.1.1.3.2" xref="A0.Ex41.m1.2.2.1.1.3.2.cmml">Q</mi><mo id="A0.Ex41.m1.2.2.1.1.3.3" xref="A0.Ex41.m1.2.2.1.1.3.3.cmml">⋆</mo></msub></mrow><mo fence="true" id="A0.Ex41.m1.2.2.1.3" lspace="0em" xref="A0.Ex41.m1.2.2.2.1.cmml">∥</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex41.m1.2b"><apply id="A0.Ex41.m1.2.2.2.cmml" xref="A0.Ex41.m1.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="A0.Ex41.m1.2.2.2.1.cmml" xref="A0.Ex41.m1.2.2.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="A0.Ex41.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A0.Ex41.m1.2.2.1.1"><minus id="A0.Ex41.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex41.m1.2.2.1.1.2"></minus><apply id="A0.Ex41.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex41.m1.2.2.1.1.1"><times id="A0.Ex41.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex41.m1.2.2.1.1.1.2"></times><apply id="A0.Ex41.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex41.m1.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex41.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A0.Ex41.m1.2.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="A0.Ex41.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A0.Ex41.m1.2.2.1.1.1.3.2">𝑄</ci><ci id="A0.Ex41.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex41.m1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="A0.Ex41.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex41.m1.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A0.Ex41.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A0.Ex41.m1.2.2.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="A0.Ex41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"><plus id="A0.Ex41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="A0.Ex41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2">𝑘</ci><cn id="A0.Ex41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A0.Ex41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="A0.Ex41.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex41.m1.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex41.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="A0.Ex41.m1.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A0.Ex41.m1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="A0.Ex41.m1.2.2.1.1.3.2">𝑄</ci><ci id="A0.Ex41.m1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="A0.Ex41.m1.2.2.1.1.3.3">⋆</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex41.m1.2c">\displaystyle\mathchoice{}{}{}{}\lVert\,Q^{(n)}[k+1]-Q_{\star}\,\rVert</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex41.m1.2d">∥ italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k + 1 ] - italic_Q start_POSTSUBSCRIPT ⋆ end_POSTSUBSCRIPT ∥</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A0.Ex42"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle{}={}" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex42.m1.1"><semantics id="A0.Ex42.m1.1a"><mo id="A0.Ex42.m1.1.1" xref="A0.Ex42.m1.1.1.cmml">=</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex42.m1.1b"><eq id="A0.Ex42.m1.1.1.cmml" 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xref="A0.Ex43.m2.6.6.1.1.1.1.3.3.cmml">⋆</mo></msub><mo id="A0.Ex43.m2.6.6.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex43.m2.6.6.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex43.m2.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex43.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex43.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex43.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.Ex43.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex43.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="A0.Ex43.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex43.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A0.Ex43.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A0.Ex43.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Q</mi><mrow id="A0.Ex43.m2.1.1.1.3" xref="A0.Ex43.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A0.Ex43.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A0.Ex43.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A0.Ex43.m2.1.1.1.1" xref="A0.Ex43.m2.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex43.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A0.Ex43.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="A0.Ex43.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex43.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex43.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A0.Ex43.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="A0.Ex43.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A0.Ex43.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="A0.Ex43.m2.3.3" xref="A0.Ex43.m2.3.3.cmml">k</mi><mo id="A0.Ex43.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A0.Ex43.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="A0.Ex43.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex43.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A0.Ex43.m2.6.6.1.1.1.2" xref="A0.Ex43.m2.6.6.1.1.1.2.cmml">−</mo><msub id="A0.Ex43.m2.6.6.1.1.1.3" xref="A0.Ex43.m2.6.6.1.1.1.3.cmml"><mi id="A0.Ex43.m2.6.6.1.1.1.3.2" xref="A0.Ex43.m2.6.6.1.1.1.3.2.cmml">Q</mi><mo id="A0.Ex43.m2.6.6.1.1.1.3.3" xref="A0.Ex43.m2.6.6.1.1.1.3.3.cmml">⋆</mo></msub></mrow><mo fence="true" id="A0.Ex43.m2.6.6.1.1.3" lspace="0em" rspace="0em" xref="A0.Ex43.m2.6.6.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mo id="A0.Ex43.m2.7.7.3" xref="A0.Ex43.m2.7.7.3.cmml">+</mo><mrow id="A0.Ex43.m2.7.7.2.1" xref="A0.Ex43.m2.7.7.2.2.cmml"><mo fence="true" id="A0.Ex43.m2.7.7.2.1.2" lspace="0em" rspace="0.170em" xref="A0.Ex43.m2.7.7.2.2.1.cmml">∥</mo><mrow id="A0.Ex43.m2.7.7.2.1.1" xref="A0.Ex43.m2.7.7.2.1.1.cmml"><mrow id="A0.Ex43.m2.7.7.2.1.1.1" xref="A0.Ex43.m2.7.7.2.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex43.m2.7.7.2.1.1.1.3" xref="A0.Ex43.m2.7.7.2.1.1.1.3.cmml">𝐓</mi><mo id="A0.Ex43.m2.7.7.2.1.1.1.2" xref="A0.Ex43.m2.7.7.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex43.m2.7.7.2.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex43.m2.7.7.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex43.m2.7.7.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex43.m2.7.7.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.Ex43.m2.7.7.2.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex43.m2.7.7.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex43.m2.7.7.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex43.m2.7.7.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝔔</mi><mo id="A0.Ex43.m2.7.7.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex43.m2.7.7.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex43.m2.7.7.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A0.Ex43.m2.7.7.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="A0.Ex43.m2.7.7.2.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A0.Ex43.m2.7.7.2.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="A0.Ex43.m2.4.4" xref="A0.Ex43.m2.4.4.cmml">k</mi><mo id="A0.Ex43.m2.7.7.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A0.Ex43.m2.7.7.2.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="A0.Ex43.m2.7.7.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex43.m2.7.7.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A0.Ex43.m2.7.7.2.1.1.1.2a" xref="A0.Ex43.m2.7.7.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A0.Ex43.m2.7.7.2.1.1.1.4" xref="A0.Ex43.m2.7.7.2.1.1.1.4.cmml"><mn class="ltx_mathvariant_bold" id="A0.Ex43.m2.7.7.2.1.1.1.4.2" mathvariant="bold" xref="A0.Ex43.m2.7.7.2.1.1.1.4.2.cmml"> 1</mn><mi id="A0.Ex43.m2.7.7.2.1.1.1.4.3" xref="A0.Ex43.m2.7.7.2.1.1.1.4.3.cmml">N</mi></msub></mrow><mo id="A0.Ex43.m2.7.7.2.1.1.3" xref="A0.Ex43.m2.7.7.2.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="A0.Ex43.m2.7.7.2.1.1.2" xref="A0.Ex43.m2.7.7.2.1.1.2.cmml"><msub id="A0.Ex43.m2.7.7.2.1.1.2.3" xref="A0.Ex43.m2.7.7.2.1.1.2.3.cmml"><mi id="A0.Ex43.m2.7.7.2.1.1.2.3.2" xref="A0.Ex43.m2.7.7.2.1.1.2.3.2.cmml">T</mi><mo id="A0.Ex43.m2.7.7.2.1.1.2.3.3" xref="A0.Ex43.m2.7.7.2.1.1.2.3.3.cmml">⋆</mo></msub><mo id="A0.Ex43.m2.7.7.2.1.1.2.2" xref="A0.Ex43.m2.7.7.2.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex43.m2.7.7.2.1.1.2.1.1" xref="A0.Ex43.m2.7.7.2.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex43.m2.7.7.2.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex43.m2.7.7.2.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.Ex43.m2.7.7.2.1.1.2.1.1.1" xref="A0.Ex43.m2.7.7.2.1.1.2.1.1.1.cmml"><msup id="A0.Ex43.m2.7.7.2.1.1.2.1.1.1.2" xref="A0.Ex43.m2.7.7.2.1.1.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="A0.Ex43.m2.7.7.2.1.1.2.1.1.1.2.2" xref="A0.Ex43.m2.7.7.2.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml">Q</mi><mrow id="A0.Ex43.m2.2.2.1.3" xref="A0.Ex43.m2.7.7.2.1.1.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="A0.Ex43.m2.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="A0.Ex43.m2.7.7.2.1.1.2.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A0.Ex43.m2.2.2.1.1" xref="A0.Ex43.m2.2.2.1.1.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex43.m2.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="A0.Ex43.m2.7.7.2.1.1.2.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="A0.Ex43.m2.7.7.2.1.1.2.1.1.1.1" xref="A0.Ex43.m2.7.7.2.1.1.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex43.m2.7.7.2.1.1.2.1.1.1.3.2" xref="A0.Ex43.m2.7.7.2.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="A0.Ex43.m2.7.7.2.1.1.2.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A0.Ex43.m2.7.7.2.1.1.2.1.1.1.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="A0.Ex43.m2.5.5" xref="A0.Ex43.m2.5.5.cmml">k</mi><mo id="A0.Ex43.m2.7.7.2.1.1.2.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A0.Ex43.m2.7.7.2.1.1.2.1.1.1.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="A0.Ex43.m2.7.7.2.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex43.m2.7.7.2.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo fence="true" id="A0.Ex43.m2.7.7.2.1.3" lspace="0.170em" xref="A0.Ex43.m2.7.7.2.2.1.cmml">∥</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex43.m2.7b"><apply id="A0.Ex43.m2.7.7.cmml" xref="A0.Ex43.m2.7.7"><plus 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xref="A0.Ex43.m2.5.5">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex43.m2.7c">\displaystyle\lVert\,T_{\star}(Q^{(n)}[k])-Q_{\star}\,\rVert+\lVert\,\mathbf{T% }(\mathfrak{Q}[k])\,\mathbf{1}_{N}-T_{\star}(Q^{(n)}[k])\,\rVert</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex43.m2.7d">∥ italic_T start_POSTSUBSCRIPT ⋆ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ] ) - italic_Q start_POSTSUBSCRIPT ⋆ end_POSTSUBSCRIPT ∥ + ∥ bold_T ( fraktur_Q [ italic_k ] ) bold_1 start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT - italic_T start_POSTSUBSCRIPT ⋆ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ] ) ∥</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A0.Ex44"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle+\lVert\,Q_{M}^{(n)}[k]-\mathbf{T}(\mathfrak{Q}[k])\,\mathbf{1}_{% N}\,\rVert" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex44.m1.4"><semantics id="A0.Ex44.m1.4a"><mrow id="A0.Ex44.m1.4.4" xref="A0.Ex44.m1.4.4.cmml"><mo id="A0.Ex44.m1.4.4a" xref="A0.Ex44.m1.4.4.cmml">+</mo><mrow id="A0.Ex44.m1.4.4.1.1" xref="A0.Ex44.m1.4.4.1.2.cmml"><mo fence="true" id="A0.Ex44.m1.4.4.1.1.2" lspace="0em" rspace="0.170em" xref="A0.Ex44.m1.4.4.1.2.1.cmml">∥</mo><mrow id="A0.Ex44.m1.4.4.1.1.1" xref="A0.Ex44.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mrow id="A0.Ex44.m1.4.4.1.1.1.3" xref="A0.Ex44.m1.4.4.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="A0.Ex44.m1.4.4.1.1.1.3.2" xref="A0.Ex44.m1.4.4.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A0.Ex44.m1.4.4.1.1.1.3.2.2.2" xref="A0.Ex44.m1.4.4.1.1.1.3.2.2.2.cmml">Q</mi><mi id="A0.Ex44.m1.4.4.1.1.1.3.2.2.3" xref="A0.Ex44.m1.4.4.1.1.1.3.2.2.3.cmml">M</mi><mrow id="A0.Ex44.m1.1.1.1.3" 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xref="A0.Ex44.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex44.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex44.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex44.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex44.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.Ex44.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex44.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex44.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex44.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝔔</mi><mo id="A0.Ex44.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex44.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex44.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A0.Ex44.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="A0.Ex44.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A0.Ex44.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="A0.Ex44.m1.3.3" xref="A0.Ex44.m1.3.3.cmml">k</mi><mo id="A0.Ex44.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A0.Ex44.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="A0.Ex44.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex44.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A0.Ex44.m1.4.4.1.1.1.1.2a" xref="A0.Ex44.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A0.Ex44.m1.4.4.1.1.1.1.4" xref="A0.Ex44.m1.4.4.1.1.1.1.4.cmml"><mn class="ltx_mathvariant_bold" id="A0.Ex44.m1.4.4.1.1.1.1.4.2" mathvariant="bold" xref="A0.Ex44.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.cmml"> 1</mn><mi id="A0.Ex44.m1.4.4.1.1.1.1.4.3" xref="A0.Ex44.m1.4.4.1.1.1.1.4.3.cmml">N</mi></msub></mrow></mrow><mo fence="true" id="A0.Ex44.m1.4.4.1.1.3" lspace="0em" xref="A0.Ex44.m1.4.4.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex44.m1.4b"><apply id="A0.Ex44.m1.4.4.cmml" xref="A0.Ex44.m1.4.4"><plus id="A0.Ex44.m1.4.4.2.cmml" xref="A0.Ex44.m1.4.4"></plus><apply id="A0.Ex44.m1.4.4.1.2.cmml" xref="A0.Ex44.m1.4.4.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A0.Ex44.m1.4.4.1.2.1.cmml" xref="A0.Ex44.m1.4.4.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="A0.Ex44.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex44.m1.4.4.1.1.1"><minus id="A0.Ex44.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex44.m1.4.4.1.1.1.2"></minus><apply 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ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex45.m1.1"><semantics id="A0.Ex45.m1.1a"><mo id="A0.Ex45.m1.1.1" xref="A0.Ex45.m1.1.1.cmml">≤</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex45.m1.1b"><leq id="A0.Ex45.m1.1.1.cmml" xref="A0.Ex45.m1.1.1"></leq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex45.m1.1c">\displaystyle\leq</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex45.m1.1d">≤</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\beta_{\star}\,\lVert\,Q^{(n)}[k]-Q_{\star}\,\rVert+\lVert\,% \mathbf{T}(\mathfrak{Q}[k])\,\mathbf{1}_{N}-T_{\star}(Q^{(n)}[k])\,\rVert" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex45.m2.7"><semantics id="A0.Ex45.m2.7a"><mrow id="A0.Ex45.m2.7.7" xref="A0.Ex45.m2.7.7.cmml"><mrow id="A0.Ex45.m2.6.6.1" xref="A0.Ex45.m2.6.6.1.cmml"><msub id="A0.Ex45.m2.6.6.1.3" xref="A0.Ex45.m2.6.6.1.3.cmml"><mi 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id="A0.Ex45.m2.7c">\displaystyle\beta_{\star}\,\lVert\,Q^{(n)}[k]-Q_{\star}\,\rVert+\lVert\,% \mathbf{T}(\mathfrak{Q}[k])\,\mathbf{1}_{N}-T_{\star}(Q^{(n)}[k])\,\rVert</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex45.m2.7d">italic_β start_POSTSUBSCRIPT ⋆ end_POSTSUBSCRIPT ∥ italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ] - italic_Q start_POSTSUBSCRIPT ⋆ end_POSTSUBSCRIPT ∥ + ∥ bold_T ( fraktur_Q [ italic_k ] ) bold_1 start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT - italic_T start_POSTSUBSCRIPT ⋆ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ] ) ∥</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A0.E36"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle+\lVert\,Q_{M}^{(n)}[k]-\mathbf{T}(\mathfrak{Q}[k])\,\mathbf{1}_{% N}\,\rVert\,," class="ltx_Math" display="inline" id="A0.E36.m1.4"><semantics id="A0.E36.m1.4a"><mrow id="A0.E36.m1.4.4.1" xref="A0.E36.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="A0.E36.m1.4.4.1.1" xref="A0.E36.m1.4.4.1.1.cmml"><mo id="A0.E36.m1.4.4.1.1a" xref="A0.E36.m1.4.4.1.1.cmml">+</mo><mrow id="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.1" xref="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.1.2" lspace="0em" rspace="0.170em" xref="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo><mrow id="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2" xref="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">Q</mi><mi id="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">M</mi><mrow id="A0.E36.m1.1.1.1.3" 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id="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝔔</mi><mo id="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="A0.E36.m1.3.3" xref="A0.E36.m1.3.3.cmml">k</mi><mo id="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2a" xref="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4" xref="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mn class="ltx_mathvariant_bold" id="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.2" mathvariant="bold" xref="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml"> 1</mn><mi id="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">N</mi></msub></mrow></mrow><mo fence="true" id="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.1.3" lspace="0em" rspace="0.170em" xref="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow></mrow><mo id="A0.E36.m1.4.4.1.2" xref="A0.E36.m1.4.4.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.E36.m1.4b"><apply id="A0.E36.m1.4.4.1.1.cmml" xref="A0.E36.m1.4.4.1"><plus id="A0.E36.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="A0.E36.m1.4.4.1"></plus><apply id="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.2.1.cmml" 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xref="A0.E36.m1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="latexml" id="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.1.1.cmml" xref="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="A0.E36.m1.2.2.cmml" xref="A0.E36.m1.2.2">𝑘</ci></apply></apply><apply id="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1"><times id="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3">𝐓</ci><apply id="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝔔</ci><apply id="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="latexml" id="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="A0.E36.m1.3.3.cmml" xref="A0.E36.m1.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><cn id="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" type="integer" xref="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.2">1</cn><ci id="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A0.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.3">𝑁</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.E36.m1.4c">\displaystyle+\lVert\,Q_{M}^{(n)}[k]-\mathbf{T}(\mathfrak{Q}[k])\,\mathbf{1}_{% N}\,\rVert\,,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.E36.m1.4d">+ ∥ italic_Q start_POSTSUBSCRIPT italic_M end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ] - bold_T ( fraktur_Q [ italic_k ] ) bold_1 start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT ∥ ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(36)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.p5.16">where the second inequality holds because of <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.I2.i2" title="In Assumptions 4. ‣ III-C Performance analysis of Algorithm 1 ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Assumption</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">4(ii)</span></a>. Observe now that</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A0.EGx58"> <tbody id="A0.Ex46"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathchoice{}{}{}{}T_{\star}(Q^{(n)}[k])" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex46.m1.3"><semantics id="A0.Ex46.m1.3a"><mrow id="A0.Ex46.m1.3.3" xref="A0.Ex46.m1.3.3.cmml"><msub id="A0.Ex46.m1.3.3.3" xref="A0.Ex46.m1.3.3.3.cmml"><mi id="A0.Ex46.m1.3.3.3.2" xref="A0.Ex46.m1.3.3.3.2.cmml">T</mi><mo id="A0.Ex46.m1.3.3.3.3" xref="A0.Ex46.m1.3.3.3.3.cmml">⋆</mo></msub><mo id="A0.Ex46.m1.3.3.2" xref="A0.Ex46.m1.3.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex46.m1.3.3.1.1" xref="A0.Ex46.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex46.m1.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex46.m1.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.Ex46.m1.3.3.1.1.1" xref="A0.Ex46.m1.3.3.1.1.1.cmml"><msup id="A0.Ex46.m1.3.3.1.1.1.2" xref="A0.Ex46.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"><mi id="A0.Ex46.m1.3.3.1.1.1.2.2" xref="A0.Ex46.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml">Q</mi><mrow id="A0.Ex46.m1.1.1.1.3" xref="A0.Ex46.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"><mo id="A0.Ex46.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A0.Ex46.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A0.Ex46.m1.1.1.1.1" xref="A0.Ex46.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex46.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A0.Ex46.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="A0.Ex46.m1.3.3.1.1.1.1" xref="A0.Ex46.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.2" xref="A0.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="A0.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A0.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="A0.Ex46.m1.2.2" xref="A0.Ex46.m1.2.2.cmml">k</mi><mo id="A0.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A0.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="A0.Ex46.m1.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex46.m1.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex46.m1.3b"><apply id="A0.Ex46.m1.3.3.cmml" xref="A0.Ex46.m1.3.3"><times id="A0.Ex46.m1.3.3.2.cmml" xref="A0.Ex46.m1.3.3.2"></times><apply id="A0.Ex46.m1.3.3.3.cmml" xref="A0.Ex46.m1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex46.m1.3.3.3.1.cmml" xref="A0.Ex46.m1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="A0.Ex46.m1.3.3.3.2.cmml" xref="A0.Ex46.m1.3.3.3.2">𝑇</ci><ci id="A0.Ex46.m1.3.3.3.3.cmml" xref="A0.Ex46.m1.3.3.3.3">⋆</ci></apply><apply id="A0.Ex46.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex46.m1.3.3.1.1"><times id="A0.Ex46.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex46.m1.3.3.1.1.1.1"></times><apply id="A0.Ex46.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex46.m1.3.3.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex46.m1.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="A0.Ex46.m1.3.3.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="A0.Ex46.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="A0.Ex46.m1.3.3.1.1.1.2.2">𝑄</ci><ci id="A0.Ex46.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex46.m1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="A0.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="A0.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.2"><csymbol cd="latexml" id="A0.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="A0.Ex46.m1.3.3.1.1.1.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="A0.Ex46.m1.2.2.cmml" xref="A0.Ex46.m1.2.2">𝑘</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex46.m1.3c">\displaystyle\mathchoice{}{}{}{}T_{\star}(Q^{(n)}[k])</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex46.m1.3d">italic_T start_POSTSUBSCRIPT ⋆ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ] )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A0.Ex47"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle{}={}" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex47.m1.1"><semantics id="A0.Ex47.m1.1a"><mo id="A0.Ex47.m1.1.1" xref="A0.Ex47.m1.1.1.cmml">=</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex47.m1.1b"><eq id="A0.Ex47.m1.1.1.cmml" xref="A0.Ex47.m1.1.1"></eq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex47.m1.1c">\displaystyle{}={}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex47.m1.1d">=</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\sum\nolimits_{n^{\prime}\in\mathcal{N}}\mathbf{\Psi}_{\star}^{(n% ^{\prime})}\,\mathbf{c}^{(n^{\prime})}(Q^{(n)}[k])" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex47.m2.5"><semantics id="A0.Ex47.m2.5a"><mrow id="A0.Ex47.m2.5.5" xref="A0.Ex47.m2.5.5.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A0.Ex47.m2.5.5.2" xref="A0.Ex47.m2.5.5.2.cmml"><msub id="A0.Ex47.m2.5.5.2a" xref="A0.Ex47.m2.5.5.2.cmml"><mo id="A0.Ex47.m2.5.5.2.2" xref="A0.Ex47.m2.5.5.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A0.Ex47.m2.5.5.2.3" xref="A0.Ex47.m2.5.5.2.3.cmml"><msup id="A0.Ex47.m2.5.5.2.3.2" xref="A0.Ex47.m2.5.5.2.3.2.cmml"><mi id="A0.Ex47.m2.5.5.2.3.2.2" xref="A0.Ex47.m2.5.5.2.3.2.2.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex47.m2.5.5.2.3.2.3" xref="A0.Ex47.m2.5.5.2.3.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A0.Ex47.m2.5.5.2.3.1" xref="A0.Ex47.m2.5.5.2.3.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A0.Ex47.m2.5.5.2.3.3" xref="A0.Ex47.m2.5.5.2.3.3.cmml">𝒩</mi></mrow></msub></mstyle><mrow id="A0.Ex47.m2.5.5.1" xref="A0.Ex47.m2.5.5.1.cmml"><msubsup id="A0.Ex47.m2.5.5.1.3" xref="A0.Ex47.m2.5.5.1.3.cmml"><mi id="A0.Ex47.m2.5.5.1.3.2.2" xref="A0.Ex47.m2.5.5.1.3.2.2.cmml">𝚿</mi><mo id="A0.Ex47.m2.5.5.1.3.2.3" xref="A0.Ex47.m2.5.5.1.3.2.3.cmml">⋆</mo><mrow id="A0.Ex47.m2.1.1.1.1" xref="A0.Ex47.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex47.m2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex47.m2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A0.Ex47.m2.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex47.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex47.m2.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex47.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex47.m2.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex47.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A0.Ex47.m2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex47.m2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="A0.Ex47.m2.5.5.1.2" xref="A0.Ex47.m2.5.5.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="A0.Ex47.m2.5.5.1.4" xref="A0.Ex47.m2.5.5.1.4.cmml"><mi id="A0.Ex47.m2.5.5.1.4.2" xref="A0.Ex47.m2.5.5.1.4.2.cmml">𝐜</mi><mrow id="A0.Ex47.m2.2.2.1.1" xref="A0.Ex47.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex47.m2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex47.m2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A0.Ex47.m2.2.2.1.1.1" xref="A0.Ex47.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex47.m2.2.2.1.1.1.2" xref="A0.Ex47.m2.2.2.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex47.m2.2.2.1.1.1.3" xref="A0.Ex47.m2.2.2.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A0.Ex47.m2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex47.m2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="A0.Ex47.m2.5.5.1.2a" xref="A0.Ex47.m2.5.5.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex47.m2.5.5.1.1.1" xref="A0.Ex47.m2.5.5.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex47.m2.5.5.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex47.m2.5.5.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.Ex47.m2.5.5.1.1.1.1" xref="A0.Ex47.m2.5.5.1.1.1.1.cmml"><msup id="A0.Ex47.m2.5.5.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex47.m2.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A0.Ex47.m2.5.5.1.1.1.1.2.2" xref="A0.Ex47.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.cmml">Q</mi><mrow id="A0.Ex47.m2.3.3.1.3" xref="A0.Ex47.m2.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A0.Ex47.m2.3.3.1.3.1" stretchy="false" xref="A0.Ex47.m2.5.5.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A0.Ex47.m2.3.3.1.1" xref="A0.Ex47.m2.3.3.1.1.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex47.m2.3.3.1.3.2" stretchy="false" xref="A0.Ex47.m2.5.5.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="A0.Ex47.m2.5.5.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex47.m2.5.5.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex47.m2.5.5.1.1.1.1.3.2" xref="A0.Ex47.m2.5.5.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="A0.Ex47.m2.5.5.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A0.Ex47.m2.5.5.1.1.1.1.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="A0.Ex47.m2.4.4" xref="A0.Ex47.m2.4.4.cmml">k</mi><mo id="A0.Ex47.m2.5.5.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A0.Ex47.m2.5.5.1.1.1.1.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="A0.Ex47.m2.5.5.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex47.m2.5.5.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex47.m2.5b"><apply id="A0.Ex47.m2.5.5.cmml" xref="A0.Ex47.m2.5.5"><apply id="A0.Ex47.m2.5.5.2.cmml" xref="A0.Ex47.m2.5.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex47.m2.5.5.2.1.cmml" xref="A0.Ex47.m2.5.5.2">subscript</csymbol><sum id="A0.Ex47.m2.5.5.2.2.cmml" xref="A0.Ex47.m2.5.5.2.2"></sum><apply id="A0.Ex47.m2.5.5.2.3.cmml" xref="A0.Ex47.m2.5.5.2.3"><in id="A0.Ex47.m2.5.5.2.3.1.cmml" xref="A0.Ex47.m2.5.5.2.3.1"></in><apply id="A0.Ex47.m2.5.5.2.3.2.cmml" xref="A0.Ex47.m2.5.5.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex47.m2.5.5.2.3.2.1.cmml" xref="A0.Ex47.m2.5.5.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="A0.Ex47.m2.5.5.2.3.2.2.cmml" xref="A0.Ex47.m2.5.5.2.3.2.2">𝑛</ci><ci id="A0.Ex47.m2.5.5.2.3.2.3.cmml" xref="A0.Ex47.m2.5.5.2.3.2.3">′</ci></apply><ci id="A0.Ex47.m2.5.5.2.3.3.cmml" xref="A0.Ex47.m2.5.5.2.3.3">𝒩</ci></apply></apply><apply id="A0.Ex47.m2.5.5.1.cmml" xref="A0.Ex47.m2.5.5.1"><times id="A0.Ex47.m2.5.5.1.2.cmml" xref="A0.Ex47.m2.5.5.1.2"></times><apply id="A0.Ex47.m2.5.5.1.3.cmml" xref="A0.Ex47.m2.5.5.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex47.m2.5.5.1.3.1.cmml" xref="A0.Ex47.m2.5.5.1.3">superscript</csymbol><apply id="A0.Ex47.m2.5.5.1.3.2.cmml" xref="A0.Ex47.m2.5.5.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex47.m2.5.5.1.3.2.1.cmml" xref="A0.Ex47.m2.5.5.1.3">subscript</csymbol><ci id="A0.Ex47.m2.5.5.1.3.2.2.cmml" xref="A0.Ex47.m2.5.5.1.3.2.2">𝚿</ci><ci id="A0.Ex47.m2.5.5.1.3.2.3.cmml" xref="A0.Ex47.m2.5.5.1.3.2.3">⋆</ci></apply><apply id="A0.Ex47.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex47.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex47.m2.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A0.Ex47.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex47.m2.1.1.1.1.1.2">𝑛</ci><ci id="A0.Ex47.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex47.m2.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply></apply><apply id="A0.Ex47.m2.5.5.1.4.cmml" xref="A0.Ex47.m2.5.5.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex47.m2.5.5.1.4.1.cmml" xref="A0.Ex47.m2.5.5.1.4">superscript</csymbol><ci id="A0.Ex47.m2.5.5.1.4.2.cmml" xref="A0.Ex47.m2.5.5.1.4.2">𝐜</ci><apply id="A0.Ex47.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex47.m2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex47.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex47.m2.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="A0.Ex47.m2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex47.m2.2.2.1.1.1.2">𝑛</ci><ci id="A0.Ex47.m2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex47.m2.2.2.1.1.1.3">′</ci></apply></apply><apply id="A0.Ex47.m2.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex47.m2.5.5.1.1.1"><times id="A0.Ex47.m2.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex47.m2.5.5.1.1.1.1.1"></times><apply id="A0.Ex47.m2.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex47.m2.5.5.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex47.m2.5.5.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A0.Ex47.m2.5.5.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="A0.Ex47.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A0.Ex47.m2.5.5.1.1.1.1.2.2">𝑄</ci><ci id="A0.Ex47.m2.3.3.1.1.cmml" xref="A0.Ex47.m2.3.3.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="A0.Ex47.m2.5.5.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A0.Ex47.m2.5.5.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="latexml" id="A0.Ex47.m2.5.5.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="A0.Ex47.m2.5.5.1.1.1.1.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="A0.Ex47.m2.4.4.cmml" xref="A0.Ex47.m2.4.4">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex47.m2.5c">\displaystyle\sum\nolimits_{n^{\prime}\in\mathcal{N}}\mathbf{\Psi}_{\star}^{(n% ^{\prime})}\,\mathbf{c}^{(n^{\prime})}(Q^{(n)}[k])</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex47.m2.5d">∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT bold_Ψ start_POSTSUBSCRIPT ⋆ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUPERSCRIPT bold_c start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ] )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A0.Ex48"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex48.m1.1"><semantics id="A0.Ex48.m1.1a"><mo id="A0.Ex48.m1.1.1" xref="A0.Ex48.m1.1.1.cmml">=</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex48.m1.1b"><eq id="A0.Ex48.m1.1.1.cmml" xref="A0.Ex48.m1.1.1"></eq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex48.m1.1c">\displaystyle=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex48.m1.1d">=</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\sum\nolimits_{n^{\prime}\in\mathcal{N}}\mathbf{\Psi}^{(n^{\prime% })}[k]\,\mathbf{c}^{(n^{\prime})}(Q^{(n)}[k])" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex48.m2.6"><semantics id="A0.Ex48.m2.6a"><mrow id="A0.Ex48.m2.6.6" xref="A0.Ex48.m2.6.6.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A0.Ex48.m2.6.6.2" xref="A0.Ex48.m2.6.6.2.cmml"><msub id="A0.Ex48.m2.6.6.2a" xref="A0.Ex48.m2.6.6.2.cmml"><mo id="A0.Ex48.m2.6.6.2.2" xref="A0.Ex48.m2.6.6.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A0.Ex48.m2.6.6.2.3" xref="A0.Ex48.m2.6.6.2.3.cmml"><msup id="A0.Ex48.m2.6.6.2.3.2" xref="A0.Ex48.m2.6.6.2.3.2.cmml"><mi id="A0.Ex48.m2.6.6.2.3.2.2" xref="A0.Ex48.m2.6.6.2.3.2.2.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex48.m2.6.6.2.3.2.3" xref="A0.Ex48.m2.6.6.2.3.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A0.Ex48.m2.6.6.2.3.1" xref="A0.Ex48.m2.6.6.2.3.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A0.Ex48.m2.6.6.2.3.3" xref="A0.Ex48.m2.6.6.2.3.3.cmml">𝒩</mi></mrow></msub></mstyle><mrow id="A0.Ex48.m2.6.6.1" xref="A0.Ex48.m2.6.6.1.cmml"><msup id="A0.Ex48.m2.6.6.1.3" xref="A0.Ex48.m2.6.6.1.3.cmml"><mi id="A0.Ex48.m2.6.6.1.3.2" xref="A0.Ex48.m2.6.6.1.3.2.cmml">𝚿</mi><mrow id="A0.Ex48.m2.1.1.1.1" xref="A0.Ex48.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex48.m2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex48.m2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A0.Ex48.m2.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex48.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex48.m2.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex48.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex48.m2.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex48.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A0.Ex48.m2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex48.m2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="A0.Ex48.m2.6.6.1.2" xref="A0.Ex48.m2.6.6.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex48.m2.6.6.1.4.2" xref="A0.Ex48.m2.6.6.1.4.1.cmml"><mo id="A0.Ex48.m2.6.6.1.4.2.1" stretchy="false" xref="A0.Ex48.m2.6.6.1.4.1.1.cmml">[</mo><mi id="A0.Ex48.m2.4.4" xref="A0.Ex48.m2.4.4.cmml">k</mi><mo id="A0.Ex48.m2.6.6.1.4.2.2" stretchy="false" xref="A0.Ex48.m2.6.6.1.4.1.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="A0.Ex48.m2.6.6.1.2a" lspace="0.170em" xref="A0.Ex48.m2.6.6.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="A0.Ex48.m2.6.6.1.5" xref="A0.Ex48.m2.6.6.1.5.cmml"><mi id="A0.Ex48.m2.6.6.1.5.2" xref="A0.Ex48.m2.6.6.1.5.2.cmml">𝐜</mi><mrow id="A0.Ex48.m2.2.2.1.1" xref="A0.Ex48.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex48.m2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex48.m2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A0.Ex48.m2.2.2.1.1.1" xref="A0.Ex48.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex48.m2.2.2.1.1.1.2" xref="A0.Ex48.m2.2.2.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex48.m2.2.2.1.1.1.3" xref="A0.Ex48.m2.2.2.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A0.Ex48.m2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex48.m2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="A0.Ex48.m2.6.6.1.2b" xref="A0.Ex48.m2.6.6.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex48.m2.6.6.1.1.1" xref="A0.Ex48.m2.6.6.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex48.m2.6.6.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex48.m2.6.6.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.Ex48.m2.6.6.1.1.1.1" xref="A0.Ex48.m2.6.6.1.1.1.1.cmml"><msup id="A0.Ex48.m2.6.6.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex48.m2.6.6.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A0.Ex48.m2.6.6.1.1.1.1.2.2" xref="A0.Ex48.m2.6.6.1.1.1.1.2.2.cmml">Q</mi><mrow id="A0.Ex48.m2.3.3.1.3" xref="A0.Ex48.m2.6.6.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A0.Ex48.m2.3.3.1.3.1" stretchy="false" xref="A0.Ex48.m2.6.6.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A0.Ex48.m2.3.3.1.1" xref="A0.Ex48.m2.3.3.1.1.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex48.m2.3.3.1.3.2" stretchy="false" xref="A0.Ex48.m2.6.6.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="A0.Ex48.m2.6.6.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex48.m2.6.6.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex48.m2.6.6.1.1.1.1.3.2" xref="A0.Ex48.m2.6.6.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="A0.Ex48.m2.6.6.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A0.Ex48.m2.6.6.1.1.1.1.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="A0.Ex48.m2.5.5" xref="A0.Ex48.m2.5.5.cmml">k</mi><mo id="A0.Ex48.m2.6.6.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A0.Ex48.m2.6.6.1.1.1.1.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="A0.Ex48.m2.6.6.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex48.m2.6.6.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex48.m2.6b"><apply id="A0.Ex48.m2.6.6.cmml" xref="A0.Ex48.m2.6.6"><apply id="A0.Ex48.m2.6.6.2.cmml" xref="A0.Ex48.m2.6.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex48.m2.6.6.2.1.cmml" xref="A0.Ex48.m2.6.6.2">subscript</csymbol><sum id="A0.Ex48.m2.6.6.2.2.cmml" xref="A0.Ex48.m2.6.6.2.2"></sum><apply id="A0.Ex48.m2.6.6.2.3.cmml" xref="A0.Ex48.m2.6.6.2.3"><in id="A0.Ex48.m2.6.6.2.3.1.cmml" xref="A0.Ex48.m2.6.6.2.3.1"></in><apply id="A0.Ex48.m2.6.6.2.3.2.cmml" xref="A0.Ex48.m2.6.6.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex48.m2.6.6.2.3.2.1.cmml" xref="A0.Ex48.m2.6.6.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="A0.Ex48.m2.6.6.2.3.2.2.cmml" xref="A0.Ex48.m2.6.6.2.3.2.2">𝑛</ci><ci id="A0.Ex48.m2.6.6.2.3.2.3.cmml" xref="A0.Ex48.m2.6.6.2.3.2.3">′</ci></apply><ci id="A0.Ex48.m2.6.6.2.3.3.cmml" xref="A0.Ex48.m2.6.6.2.3.3">𝒩</ci></apply></apply><apply id="A0.Ex48.m2.6.6.1.cmml" 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id="A0.Ex48.m2.6.6.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A0.Ex48.m2.6.6.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="latexml" id="A0.Ex48.m2.6.6.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="A0.Ex48.m2.6.6.1.1.1.1.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="A0.Ex48.m2.5.5.cmml" xref="A0.Ex48.m2.5.5">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex48.m2.6c">\displaystyle\sum\nolimits_{n^{\prime}\in\mathcal{N}}\mathbf{\Psi}^{(n^{\prime% })}[k]\,\mathbf{c}^{(n^{\prime})}(Q^{(n)}[k])</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex48.m2.6d">∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT bold_Ψ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ] bold_c start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ] )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A0.Ex49"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle+\sum\nolimits_{n^{\prime}\in\mathcal{N}}(\mathbf{\Psi}_{\star}^{% (n^{\prime})}-\mathbf{\Psi}^{(n^{\prime})}[k])\,\mathbf{c}^{(n^{\prime})}(Q^{(% n)}[k])" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex49.m1.8"><semantics id="A0.Ex49.m1.8a"><mrow id="A0.Ex49.m1.8.8" xref="A0.Ex49.m1.8.8.cmml"><mo id="A0.Ex49.m1.8.8a" xref="A0.Ex49.m1.8.8.cmml">+</mo><mrow id="A0.Ex49.m1.8.8.2" xref="A0.Ex49.m1.8.8.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A0.Ex49.m1.8.8.2.3" xref="A0.Ex49.m1.8.8.2.3.cmml"><msub id="A0.Ex49.m1.8.8.2.3a" xref="A0.Ex49.m1.8.8.2.3.cmml"><mo id="A0.Ex49.m1.8.8.2.3.2" xref="A0.Ex49.m1.8.8.2.3.2.cmml">∑</mo><mrow id="A0.Ex49.m1.8.8.2.3.3" xref="A0.Ex49.m1.8.8.2.3.3.cmml"><msup id="A0.Ex49.m1.8.8.2.3.3.2" xref="A0.Ex49.m1.8.8.2.3.3.2.cmml"><mi id="A0.Ex49.m1.8.8.2.3.3.2.2" xref="A0.Ex49.m1.8.8.2.3.3.2.2.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex49.m1.8.8.2.3.3.2.3" xref="A0.Ex49.m1.8.8.2.3.3.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A0.Ex49.m1.8.8.2.3.3.1" xref="A0.Ex49.m1.8.8.2.3.3.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A0.Ex49.m1.8.8.2.3.3.3" xref="A0.Ex49.m1.8.8.2.3.3.3.cmml">𝒩</mi></mrow></msub></mstyle><mrow id="A0.Ex49.m1.8.8.2.2" xref="A0.Ex49.m1.8.8.2.2.cmml"><mrow id="A0.Ex49.m1.7.7.1.1.1.1" xref="A0.Ex49.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex49.m1.7.7.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex49.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.Ex49.m1.7.7.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex49.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A0.Ex49.m1.7.7.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex49.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A0.Ex49.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A0.Ex49.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">𝚿</mi><mo id="A0.Ex49.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A0.Ex49.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">⋆</mo><mrow id="A0.Ex49.m1.1.1.1.1" xref="A0.Ex49.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex49.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex49.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A0.Ex49.m1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex49.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex49.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex49.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A0.Ex49.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex49.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="A0.Ex49.m1.7.7.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex49.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A0.Ex49.m1.7.7.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex49.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.cmml"><msup id="A0.Ex49.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.2" xref="A0.Ex49.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A0.Ex49.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A0.Ex49.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">𝚿</mi><mrow id="A0.Ex49.m1.2.2.1.1" xref="A0.Ex49.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex49.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex49.m1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A0.Ex49.m1.2.2.1.1.1" xref="A0.Ex49.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex49.m1.2.2.1.1.1.2" xref="A0.Ex49.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex49.m1.2.2.1.1.1.3" xref="A0.Ex49.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A0.Ex49.m1.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex49.m1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="A0.Ex49.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.1" xref="A0.Ex49.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex49.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A0.Ex49.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="A0.Ex49.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A0.Ex49.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="A0.Ex49.m1.5.5" xref="A0.Ex49.m1.5.5.cmml">k</mi><mo id="A0.Ex49.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A0.Ex49.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A0.Ex49.m1.7.7.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex49.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A0.Ex49.m1.8.8.2.2.3" lspace="0.170em" xref="A0.Ex49.m1.8.8.2.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="A0.Ex49.m1.8.8.2.2.4" xref="A0.Ex49.m1.8.8.2.2.4.cmml"><mi id="A0.Ex49.m1.8.8.2.2.4.2" xref="A0.Ex49.m1.8.8.2.2.4.2.cmml">𝐜</mi><mrow id="A0.Ex49.m1.3.3.1.1" xref="A0.Ex49.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex49.m1.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex49.m1.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A0.Ex49.m1.3.3.1.1.1" xref="A0.Ex49.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex49.m1.3.3.1.1.1.2" xref="A0.Ex49.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex49.m1.3.3.1.1.1.3" xref="A0.Ex49.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A0.Ex49.m1.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex49.m1.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="A0.Ex49.m1.8.8.2.2.3a" xref="A0.Ex49.m1.8.8.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex49.m1.8.8.2.2.2.1" xref="A0.Ex49.m1.8.8.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex49.m1.8.8.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex49.m1.8.8.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.Ex49.m1.8.8.2.2.2.1.1" xref="A0.Ex49.m1.8.8.2.2.2.1.1.cmml"><msup id="A0.Ex49.m1.8.8.2.2.2.1.1.2" xref="A0.Ex49.m1.8.8.2.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="A0.Ex49.m1.8.8.2.2.2.1.1.2.2" xref="A0.Ex49.m1.8.8.2.2.2.1.1.2.2.cmml">Q</mi><mrow id="A0.Ex49.m1.4.4.1.3" xref="A0.Ex49.m1.8.8.2.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="A0.Ex49.m1.4.4.1.3.1" stretchy="false" xref="A0.Ex49.m1.8.8.2.2.2.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A0.Ex49.m1.4.4.1.1" xref="A0.Ex49.m1.4.4.1.1.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex49.m1.4.4.1.3.2" stretchy="false" xref="A0.Ex49.m1.8.8.2.2.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="A0.Ex49.m1.8.8.2.2.2.1.1.1" xref="A0.Ex49.m1.8.8.2.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex49.m1.8.8.2.2.2.1.1.3.2" xref="A0.Ex49.m1.8.8.2.2.2.1.1.3.1.cmml"><mo id="A0.Ex49.m1.8.8.2.2.2.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A0.Ex49.m1.8.8.2.2.2.1.1.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="A0.Ex49.m1.6.6" xref="A0.Ex49.m1.6.6.cmml">k</mi><mo id="A0.Ex49.m1.8.8.2.2.2.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A0.Ex49.m1.8.8.2.2.2.1.1.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="A0.Ex49.m1.8.8.2.2.2.1.3" stretchy="false" 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xref="A0.Ex49.m1.8.8.2.3.3.2.3">′</ci></apply><ci id="A0.Ex49.m1.8.8.2.3.3.3.cmml" xref="A0.Ex49.m1.8.8.2.3.3.3">𝒩</ci></apply></apply><apply id="A0.Ex49.m1.8.8.2.2.cmml" xref="A0.Ex49.m1.8.8.2.2"><times id="A0.Ex49.m1.8.8.2.2.3.cmml" xref="A0.Ex49.m1.8.8.2.2.3"></times><apply id="A0.Ex49.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex49.m1.7.7.1.1.1.1"><minus id="A0.Ex49.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex49.m1.7.7.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A0.Ex49.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex49.m1.7.7.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex49.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A0.Ex49.m1.7.7.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A0.Ex49.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A0.Ex49.m1.7.7.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex49.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A0.Ex49.m1.7.7.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A0.Ex49.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A0.Ex49.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.2">𝚿</ci><ci id="A0.Ex49.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" 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id="A0.Ex49.m1.8c">\displaystyle+\sum\nolimits_{n^{\prime}\in\mathcal{N}}(\mathbf{\Psi}_{\star}^{% (n^{\prime})}-\mathbf{\Psi}^{(n^{\prime})}[k])\,\mathbf{c}^{(n^{\prime})}(Q^{(% n)}[k])</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex49.m1.8d">+ ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT ( bold_Ψ start_POSTSUBSCRIPT ⋆ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUPERSCRIPT - bold_Ψ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ] ) bold_c start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ] )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A0.Ex50"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex50.m1.1"><semantics id="A0.Ex50.m1.1a"><mo id="A0.Ex50.m1.1.1" xref="A0.Ex50.m1.1.1.cmml">=</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex50.m1.1b"><eq id="A0.Ex50.m1.1.1.cmml" xref="A0.Ex50.m1.1.1"></eq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex50.m1.1c">\displaystyle=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex50.m1.1d">=</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\sum\nolimits_{n^{\prime}\in\mathcal{N}}T^{(n^{\prime})}(Q^{(n)}[% k])" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex50.m2.4"><semantics id="A0.Ex50.m2.4a"><mrow id="A0.Ex50.m2.4.4" xref="A0.Ex50.m2.4.4.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A0.Ex50.m2.4.4.2" xref="A0.Ex50.m2.4.4.2.cmml"><msub id="A0.Ex50.m2.4.4.2a" xref="A0.Ex50.m2.4.4.2.cmml"><mo id="A0.Ex50.m2.4.4.2.2" xref="A0.Ex50.m2.4.4.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A0.Ex50.m2.4.4.2.3" xref="A0.Ex50.m2.4.4.2.3.cmml"><msup id="A0.Ex50.m2.4.4.2.3.2" xref="A0.Ex50.m2.4.4.2.3.2.cmml"><mi id="A0.Ex50.m2.4.4.2.3.2.2" xref="A0.Ex50.m2.4.4.2.3.2.2.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex50.m2.4.4.2.3.2.3" xref="A0.Ex50.m2.4.4.2.3.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A0.Ex50.m2.4.4.2.3.1" xref="A0.Ex50.m2.4.4.2.3.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A0.Ex50.m2.4.4.2.3.3" xref="A0.Ex50.m2.4.4.2.3.3.cmml">𝒩</mi></mrow></msub></mstyle><mrow id="A0.Ex50.m2.4.4.1" xref="A0.Ex50.m2.4.4.1.cmml"><msup id="A0.Ex50.m2.4.4.1.3" xref="A0.Ex50.m2.4.4.1.3.cmml"><mi id="A0.Ex50.m2.4.4.1.3.2" xref="A0.Ex50.m2.4.4.1.3.2.cmml">T</mi><mrow id="A0.Ex50.m2.1.1.1.1" xref="A0.Ex50.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex50.m2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex50.m2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A0.Ex50.m2.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex50.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex50.m2.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex50.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex50.m2.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex50.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A0.Ex50.m2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex50.m2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="A0.Ex50.m2.4.4.1.2" xref="A0.Ex50.m2.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex50.m2.4.4.1.1.1" xref="A0.Ex50.m2.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex50.m2.4.4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex50.m2.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.Ex50.m2.4.4.1.1.1.1" xref="A0.Ex50.m2.4.4.1.1.1.1.cmml"><msup id="A0.Ex50.m2.4.4.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex50.m2.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A0.Ex50.m2.4.4.1.1.1.1.2.2" xref="A0.Ex50.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml">Q</mi><mrow id="A0.Ex50.m2.2.2.1.3" xref="A0.Ex50.m2.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A0.Ex50.m2.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="A0.Ex50.m2.4.4.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A0.Ex50.m2.2.2.1.1" xref="A0.Ex50.m2.2.2.1.1.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex50.m2.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="A0.Ex50.m2.4.4.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="A0.Ex50.m2.4.4.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex50.m2.4.4.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex50.m2.4.4.1.1.1.1.3.2" xref="A0.Ex50.m2.4.4.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="A0.Ex50.m2.4.4.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A0.Ex50.m2.4.4.1.1.1.1.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="A0.Ex50.m2.3.3" xref="A0.Ex50.m2.3.3.cmml">k</mi><mo id="A0.Ex50.m2.4.4.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A0.Ex50.m2.4.4.1.1.1.1.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="A0.Ex50.m2.4.4.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex50.m2.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex50.m2.4b"><apply id="A0.Ex50.m2.4.4.cmml" xref="A0.Ex50.m2.4.4"><apply id="A0.Ex50.m2.4.4.2.cmml" xref="A0.Ex50.m2.4.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex50.m2.4.4.2.1.cmml" xref="A0.Ex50.m2.4.4.2">subscript</csymbol><sum id="A0.Ex50.m2.4.4.2.2.cmml" xref="A0.Ex50.m2.4.4.2.2"></sum><apply id="A0.Ex50.m2.4.4.2.3.cmml" xref="A0.Ex50.m2.4.4.2.3"><in id="A0.Ex50.m2.4.4.2.3.1.cmml" xref="A0.Ex50.m2.4.4.2.3.1"></in><apply id="A0.Ex50.m2.4.4.2.3.2.cmml" xref="A0.Ex50.m2.4.4.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex50.m2.4.4.2.3.2.1.cmml" xref="A0.Ex50.m2.4.4.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="A0.Ex50.m2.4.4.2.3.2.2.cmml" xref="A0.Ex50.m2.4.4.2.3.2.2">𝑛</ci><ci id="A0.Ex50.m2.4.4.2.3.2.3.cmml" xref="A0.Ex50.m2.4.4.2.3.2.3">′</ci></apply><ci id="A0.Ex50.m2.4.4.2.3.3.cmml" xref="A0.Ex50.m2.4.4.2.3.3">𝒩</ci></apply></apply><apply id="A0.Ex50.m2.4.4.1.cmml" xref="A0.Ex50.m2.4.4.1"><times id="A0.Ex50.m2.4.4.1.2.cmml" xref="A0.Ex50.m2.4.4.1.2"></times><apply id="A0.Ex50.m2.4.4.1.3.cmml" xref="A0.Ex50.m2.4.4.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex50.m2.4.4.1.3.1.cmml" xref="A0.Ex50.m2.4.4.1.3">superscript</csymbol><ci id="A0.Ex50.m2.4.4.1.3.2.cmml" xref="A0.Ex50.m2.4.4.1.3.2">𝑇</ci><apply id="A0.Ex50.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex50.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex50.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex50.m2.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A0.Ex50.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex50.m2.1.1.1.1.1.2">𝑛</ci><ci id="A0.Ex50.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex50.m2.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply></apply><apply id="A0.Ex50.m2.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex50.m2.4.4.1.1.1"><times id="A0.Ex50.m2.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex50.m2.4.4.1.1.1.1.1"></times><apply id="A0.Ex50.m2.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex50.m2.4.4.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex50.m2.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A0.Ex50.m2.4.4.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="A0.Ex50.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A0.Ex50.m2.4.4.1.1.1.1.2.2">𝑄</ci><ci id="A0.Ex50.m2.2.2.1.1.cmml" xref="A0.Ex50.m2.2.2.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="A0.Ex50.m2.4.4.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A0.Ex50.m2.4.4.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="latexml" id="A0.Ex50.m2.4.4.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="A0.Ex50.m2.4.4.1.1.1.1.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="A0.Ex50.m2.3.3.cmml" xref="A0.Ex50.m2.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex50.m2.4c">\displaystyle\sum\nolimits_{n^{\prime}\in\mathcal{N}}T^{(n^{\prime})}(Q^{(n)}[% k])</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex50.m2.4d">∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ] )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A0.Ex51"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle+\sum\nolimits_{n^{\prime}\in\mathcal{N}}(\mathbf{\Psi}_{\star}^{% (n^{\prime})}-\mathbf{\Psi}^{(n^{\prime})}[k])\,\mathbf{c}^{(n^{\prime})}(Q^{(% n)}[k])\,." class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex51.m1.7"><semantics id="A0.Ex51.m1.7a"><mrow id="A0.Ex51.m1.7.7.1" xref="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="A0.Ex51.m1.7.7.1.1" xref="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex51.m1.7.7.1.1a" xref="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.cmml">+</mo><mrow id="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.2" xref="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.2.3" xref="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.2.3.cmml"><msub id="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.2.3a" xref="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.2.3.cmml"><mo id="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.2.3.2" xref="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.2.3.2.cmml">∑</mo><mrow id="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.2.3.3" xref="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.2.3.3.cmml"><msup id="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.2.3.3.2" xref="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.2.3.3.2.cmml"><mi id="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.2.3.3.2.2" xref="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.2.3.3.2.2.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.2.3.3.2.3" xref="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.2.3.3.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.2.3.3.1" xref="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.2.3.3.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.2.3.3.3" xref="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.2.3.3.3.cmml">𝒩</mi></mrow></msub></mstyle><mrow id="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.2.2" xref="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.2.2.cmml"><mrow id="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">𝚿</mi><mo id="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">⋆</mo><mrow id="A0.Ex51.m1.1.1.1.1" xref="A0.Ex51.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex51.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex51.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A0.Ex51.m1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex51.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex51.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex51.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex51.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex51.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A0.Ex51.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex51.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msup id="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">𝚿</mi><mrow id="A0.Ex51.m1.2.2.1.1" xref="A0.Ex51.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex51.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex51.m1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A0.Ex51.m1.2.2.1.1.1" xref="A0.Ex51.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex51.m1.2.2.1.1.1.2" xref="A0.Ex51.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex51.m1.2.2.1.1.1.3" xref="A0.Ex51.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A0.Ex51.m1.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex51.m1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="A0.Ex51.m1.5.5" xref="A0.Ex51.m1.5.5.cmml">k</mi><mo id="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.2.2.3" lspace="0.170em" xref="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.2.2.4" xref="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.2.2.4.cmml"><mi id="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.2.2.4.2" xref="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.2.2.4.2.cmml">𝐜</mi><mrow id="A0.Ex51.m1.3.3.1.1" xref="A0.Ex51.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex51.m1.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex51.m1.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A0.Ex51.m1.3.3.1.1.1" xref="A0.Ex51.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex51.m1.3.3.1.1.1.2" xref="A0.Ex51.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex51.m1.3.3.1.1.1.3" xref="A0.Ex51.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A0.Ex51.m1.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex51.m1.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.2.2.3a" xref="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.2.2.2.1" xref="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1" xref="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.cmml"><msup id="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.2" xref="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.2.2" xref="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.2.2.cmml">Q</mi><mrow id="A0.Ex51.m1.4.4.1.3" xref="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="A0.Ex51.m1.4.4.1.3.1" stretchy="false" xref="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A0.Ex51.m1.4.4.1.1" xref="A0.Ex51.m1.4.4.1.1.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex51.m1.4.4.1.3.2" stretchy="false" xref="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1" xref="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.3.2" xref="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.3.1.cmml"><mo id="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="A0.Ex51.m1.6.6" xref="A0.Ex51.m1.6.6.cmml">k</mi><mo id="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.3" 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id="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.2.2.4.2.cmml" xref="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.2.2.4.2">𝐜</ci><apply id="A0.Ex51.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex51.m1.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex51.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex51.m1.3.3.1.1">superscript</csymbol><ci id="A0.Ex51.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex51.m1.3.3.1.1.1.2">𝑛</ci><ci id="A0.Ex51.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex51.m1.3.3.1.1.1.3">′</ci></apply></apply><apply id="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.cmml" xref="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.2.2.2.1"><times id="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1"></times><apply id="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.2.2">𝑄</ci><ci id="A0.Ex51.m1.4.4.1.1.cmml" xref="A0.Ex51.m1.4.4.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.3.2"><csymbol cd="latexml" id="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.3.1.1.cmml" xref="A0.Ex51.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="A0.Ex51.m1.6.6.cmml" xref="A0.Ex51.m1.6.6">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex51.m1.7c">\displaystyle+\sum\nolimits_{n^{\prime}\in\mathcal{N}}(\mathbf{\Psi}_{\star}^{% (n^{\prime})}-\mathbf{\Psi}^{(n^{\prime})}[k])\,\mathbf{c}^{(n^{\prime})}(Q^{(% n)}[k])\,.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex51.m1.7d">+ ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT ( bold_Ψ start_POSTSUBSCRIPT ⋆ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUPERSCRIPT - bold_Ψ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ] ) bold_c start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ] ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.p5.6">An inspection of (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E7.2" title="Equation 7b ‣ Equation 7 ‣ III-A The centralized (star-topology) B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7b</span></a>) and (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E23" title="Equation 23 ‣ III-B Distributing the centralized B-Map ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">23</span></a>), under the light of <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.I3.i3" title="In Theorem 5. ‣ III-C Performance analysis of Algorithm 1 ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Theorem</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">5(iii)</span></a>, and the continuity of the mapping <math alttext="(\cdot+\sigma\mathbf{I}_{D})^{-1}" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S5.p5.1.m1.1"><semantics id="S5.p5.1.m1.1a"><msup id="S5.p5.1.m1.1.1"><mrow id="S5.p5.1.m1.1.1.2"><mo id="S5.p5.1.m1.1.1.2.1" stretchy="false">(</mo><mo id="S5.p5.1.m1.1.1.2.2" lspace="0em" rspace="0em">⋅</mo><mo id="S5.p5.1.m1.1.1.2.3" lspace="0em">+</mo><mi id="S5.p5.1.m1.1.1.2.4">σ</mi><msub id="S5.p5.1.m1.1.1.2.5"><mi id="S5.p5.1.m1.1.1.2.5.2">𝐈</mi><mi id="S5.p5.1.m1.1.1.2.5.3">D</mi></msub><mo id="S5.p5.1.m1.1.1.2.6" stretchy="false">)</mo></mrow><mrow id="S5.p5.1.m1.1.1.3"><mo id="S5.p5.1.m1.1.1.3a">−</mo><mn id="S5.p5.1.m1.1.1.3.2">1</mn></mrow></msup><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p5.1.m1.1b">(\cdot+\sigma\mathbf{I}_{D})^{-1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p5.1.m1.1c">( ⋅ + italic_σ bold_I start_POSTSUBSCRIPT italic_D end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> suggest that for an arbitrarily fixed <math alttext="\epsilon\in\mathbb{R}_{++}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p5.2.m2.1"><semantics id="S5.p5.2.m2.1a"><mrow id="S5.p5.2.m2.1.1" xref="S5.p5.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S5.p5.2.m2.1.1.2" xref="S5.p5.2.m2.1.1.2.cmml">ϵ</mi><mo id="S5.p5.2.m2.1.1.1" xref="S5.p5.2.m2.1.1.1.cmml">∈</mo><msub id="S5.p5.2.m2.1.1.3" xref="S5.p5.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S5.p5.2.m2.1.1.3.2" xref="S5.p5.2.m2.1.1.3.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S5.p5.2.m2.1.1.3.3" xref="S5.p5.2.m2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.p5.2.m2.1.1.3.3.2" xref="S5.p5.2.m2.1.1.3.3.2.cmml"></mi><mo id="S5.p5.2.m2.1.1.3.3.1" rspace="0em" xref="S5.p5.2.m2.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mo id="S5.p5.2.m2.1.1.3.3.3" lspace="0em" xref="S5.p5.2.m2.1.1.3.3.3.cmml">+</mo></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p5.2.m2.1b"><apply id="S5.p5.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.p5.2.m2.1.1"><in id="S5.p5.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.p5.2.m2.1.1.1"></in><ci id="S5.p5.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.p5.2.m2.1.1.2">italic-ϵ</ci><apply id="S5.p5.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.p5.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p5.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p5.2.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.p5.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p5.2.m2.1.1.3.2">ℝ</ci><apply id="S5.p5.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S5.p5.2.m2.1.1.3.3"><plus id="S5.p5.2.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.p5.2.m2.1.1.3.3.1"></plus><csymbol cd="latexml" id="S5.p5.2.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.p5.2.m2.1.1.3.3.2">absent</csymbol><plus id="S5.p5.2.m2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.p5.2.m2.1.1.3.3.3"></plus></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p5.2.m2.1c">\epsilon\in\mathbb{R}_{++}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p5.2.m2.1d">italic_ϵ ∈ blackboard_R start_POSTSUBSCRIPT + + end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and for all sufficiently large <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p5.3.m3.1"><semantics id="S5.p5.3.m3.1a"><mi id="S5.p5.3.m3.1.1" xref="S5.p5.3.m3.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p5.3.m3.1b"><ci id="S5.p5.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.p5.3.m3.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p5.3.m3.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p5.3.m3.1d">italic_k</annotation></semantics></math>, <math alttext="\lVert\,\mathbf{\Psi}_{\star}^{(n^{\prime})}-\mathbf{\Psi}^{(n^{\prime})}[k]\,% \rVert_{\textnormal{F}}\leq\epsilon" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p5.4.m4.4"><semantics id="S5.p5.4.m4.4a"><mrow id="S5.p5.4.m4.4.4" xref="S5.p5.4.m4.4.4.cmml"><msub id="S5.p5.4.m4.4.4.1" xref="S5.p5.4.m4.4.4.1.cmml"><mrow id="S5.p5.4.m4.4.4.1.1.1" xref="S5.p5.4.m4.4.4.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S5.p5.4.m4.4.4.1.1.1.2" rspace="0.170em" xref="S5.p5.4.m4.4.4.1.1.2.1.cmml">∥</mo><mrow id="S5.p5.4.m4.4.4.1.1.1.1" xref="S5.p5.4.m4.4.4.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S5.p5.4.m4.4.4.1.1.1.1.2" xref="S5.p5.4.m4.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.p5.4.m4.4.4.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.p5.4.m4.4.4.1.1.1.1.2.2.2.cmml">𝚿</mi><mo id="S5.p5.4.m4.4.4.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.p5.4.m4.4.4.1.1.1.1.2.2.3.cmml">⋆</mo><mrow id="S5.p5.4.m4.1.1.1.1" xref="S5.p5.4.m4.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.p5.4.m4.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.p5.4.m4.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S5.p5.4.m4.1.1.1.1.1" xref="S5.p5.4.m4.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.p5.4.m4.1.1.1.1.1.2" xref="S5.p5.4.m4.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S5.p5.4.m4.1.1.1.1.1.3" xref="S5.p5.4.m4.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S5.p5.4.m4.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.p5.4.m4.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S5.p5.4.m4.4.4.1.1.1.1.1" xref="S5.p5.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.p5.4.m4.4.4.1.1.1.1.3" xref="S5.p5.4.m4.4.4.1.1.1.1.3.cmml"><msup id="S5.p5.4.m4.4.4.1.1.1.1.3.2" xref="S5.p5.4.m4.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.p5.4.m4.4.4.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.p5.4.m4.4.4.1.1.1.1.3.2.2.cmml">𝚿</mi><mrow id="S5.p5.4.m4.2.2.1.1" xref="S5.p5.4.m4.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S5.p5.4.m4.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.p5.4.m4.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S5.p5.4.m4.2.2.1.1.1" xref="S5.p5.4.m4.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S5.p5.4.m4.2.2.1.1.1.2" xref="S5.p5.4.m4.2.2.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S5.p5.4.m4.2.2.1.1.1.3" xref="S5.p5.4.m4.2.2.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S5.p5.4.m4.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.p5.4.m4.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S5.p5.4.m4.4.4.1.1.1.1.3.1" xref="S5.p5.4.m4.4.4.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.p5.4.m4.4.4.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.p5.4.m4.4.4.1.1.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S5.p5.4.m4.4.4.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.p5.4.m4.4.4.1.1.1.1.3.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S5.p5.4.m4.3.3" xref="S5.p5.4.m4.3.3.cmml">k</mi><mo id="S5.p5.4.m4.4.4.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.p5.4.m4.4.4.1.1.1.1.3.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo fence="true" id="S5.p5.4.m4.4.4.1.1.1.3" lspace="0.170em" xref="S5.p5.4.m4.4.4.1.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mtext id="S5.p5.4.m4.4.4.1.3" xref="S5.p5.4.m4.4.4.1.3a.cmml">F</mtext></msub><mo id="S5.p5.4.m4.4.4.2" xref="S5.p5.4.m4.4.4.2.cmml">≤</mo><mi id="S5.p5.4.m4.4.4.3" xref="S5.p5.4.m4.4.4.3.cmml">ϵ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p5.4.m4.4b"><apply id="S5.p5.4.m4.4.4.cmml" xref="S5.p5.4.m4.4.4"><leq id="S5.p5.4.m4.4.4.2.cmml" xref="S5.p5.4.m4.4.4.2"></leq><apply id="S5.p5.4.m4.4.4.1.cmml" xref="S5.p5.4.m4.4.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p5.4.m4.4.4.1.2.cmml" xref="S5.p5.4.m4.4.4.1">subscript</csymbol><apply id="S5.p5.4.m4.4.4.1.1.2.cmml" xref="S5.p5.4.m4.4.4.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.p5.4.m4.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p5.4.m4.4.4.1.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="S5.p5.4.m4.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p5.4.m4.4.4.1.1.1.1"><minus id="S5.p5.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p5.4.m4.4.4.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S5.p5.4.m4.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.p5.4.m4.4.4.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p5.4.m4.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p5.4.m4.4.4.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S5.p5.4.m4.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p5.4.m4.4.4.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p5.4.m4.4.4.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.p5.4.m4.4.4.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.p5.4.m4.4.4.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.p5.4.m4.4.4.1.1.1.1.2.2.2">𝚿</ci><ci id="S5.p5.4.m4.4.4.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.p5.4.m4.4.4.1.1.1.1.2.2.3">⋆</ci></apply><apply id="S5.p5.4.m4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p5.4.m4.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p5.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p5.4.m4.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.p5.4.m4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.p5.4.m4.1.1.1.1.1.2">𝑛</ci><ci id="S5.p5.4.m4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.p5.4.m4.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply></apply><apply id="S5.p5.4.m4.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.p5.4.m4.4.4.1.1.1.1.3"><times id="S5.p5.4.m4.4.4.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p5.4.m4.4.4.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S5.p5.4.m4.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p5.4.m4.4.4.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p5.4.m4.4.4.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.p5.4.m4.4.4.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S5.p5.4.m4.4.4.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.p5.4.m4.4.4.1.1.1.1.3.2.2">𝚿</ci><apply id="S5.p5.4.m4.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.p5.4.m4.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p5.4.m4.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p5.4.m4.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.p5.4.m4.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S5.p5.4.m4.2.2.1.1.1.2">𝑛</ci><ci id="S5.p5.4.m4.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S5.p5.4.m4.2.2.1.1.1.3">′</ci></apply></apply><apply id="S5.p5.4.m4.4.4.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.p5.4.m4.4.4.1.1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.p5.4.m4.4.4.1.1.1.1.3.3.1.1.cmml" xref="S5.p5.4.m4.4.4.1.1.1.1.3.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S5.p5.4.m4.3.3.cmml" xref="S5.p5.4.m4.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply><ci id="S5.p5.4.m4.4.4.1.3a.cmml" xref="S5.p5.4.m4.4.4.1.3"><mtext id="S5.p5.4.m4.4.4.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S5.p5.4.m4.4.4.1.3">F</mtext></ci></apply><ci id="S5.p5.4.m4.4.4.3.cmml" xref="S5.p5.4.m4.4.4.3">italic-ϵ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p5.4.m4.4c">\lVert\,\mathbf{\Psi}_{\star}^{(n^{\prime})}-\mathbf{\Psi}^{(n^{\prime})}[k]\,% \rVert_{\textnormal{F}}\leq\epsilon</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p5.4.m4.4d">∥ bold_Ψ start_POSTSUBSCRIPT ⋆ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUPERSCRIPT - bold_Ψ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ] ∥ start_POSTSUBSCRIPT F end_POSTSUBSCRIPT ≤ italic_ϵ</annotation></semantics></math>. Further, by <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.I2.i4" title="In Assumptions 4. ‣ III-C Performance analysis of Algorithm 1 ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Assumption</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">4(iv)</span></a>, there exists a <math alttext="C^{\prime\prime}\in\mathbb{R}_{++}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p5.5.m5.1"><semantics id="S5.p5.5.m5.1a"><mrow id="S5.p5.5.m5.1.1" xref="S5.p5.5.m5.1.1.cmml"><msup id="S5.p5.5.m5.1.1.2" xref="S5.p5.5.m5.1.1.2.cmml"><mi id="S5.p5.5.m5.1.1.2.2" xref="S5.p5.5.m5.1.1.2.2.cmml">C</mi><mo id="S5.p5.5.m5.1.1.2.3" xref="S5.p5.5.m5.1.1.2.3.cmml">′′</mo></msup><mo id="S5.p5.5.m5.1.1.1" xref="S5.p5.5.m5.1.1.1.cmml">∈</mo><msub id="S5.p5.5.m5.1.1.3" xref="S5.p5.5.m5.1.1.3.cmml"><mi id="S5.p5.5.m5.1.1.3.2" xref="S5.p5.5.m5.1.1.3.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S5.p5.5.m5.1.1.3.3" xref="S5.p5.5.m5.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.p5.5.m5.1.1.3.3.2" xref="S5.p5.5.m5.1.1.3.3.2.cmml"></mi><mo id="S5.p5.5.m5.1.1.3.3.1" rspace="0em" xref="S5.p5.5.m5.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mo id="S5.p5.5.m5.1.1.3.3.3" lspace="0em" xref="S5.p5.5.m5.1.1.3.3.3.cmml">+</mo></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p5.5.m5.1b"><apply id="S5.p5.5.m5.1.1.cmml" xref="S5.p5.5.m5.1.1"><in id="S5.p5.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S5.p5.5.m5.1.1.1"></in><apply id="S5.p5.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S5.p5.5.m5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p5.5.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p5.5.m5.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.p5.5.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p5.5.m5.1.1.2.2">𝐶</ci><ci id="S5.p5.5.m5.1.1.2.3.cmml" xref="S5.p5.5.m5.1.1.2.3">′′</ci></apply><apply id="S5.p5.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S5.p5.5.m5.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p5.5.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p5.5.m5.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.p5.5.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p5.5.m5.1.1.3.2">ℝ</ci><apply id="S5.p5.5.m5.1.1.3.3.cmml" xref="S5.p5.5.m5.1.1.3.3"><plus id="S5.p5.5.m5.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.p5.5.m5.1.1.3.3.1"></plus><csymbol cd="latexml" id="S5.p5.5.m5.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.p5.5.m5.1.1.3.3.2">absent</csymbol><plus id="S5.p5.5.m5.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.p5.5.m5.1.1.3.3.3"></plus></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p5.5.m5.1c">C^{\prime\prime}\in\mathbb{R}_{++}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p5.5.m5.1d">italic_C start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ blackboard_R start_POSTSUBSCRIPT + + end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> such that for all sufficiently large <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p5.6.m6.1"><semantics id="S5.p5.6.m6.1a"><mi id="S5.p5.6.m6.1.1" xref="S5.p5.6.m6.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p5.6.m6.1b"><ci id="S5.p5.6.m6.1.1.cmml" xref="S5.p5.6.m6.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p5.6.m6.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p5.6.m6.1d">italic_k</annotation></semantics></math>,</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A0.EGx59"> <tbody id="A0.Ex52"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\sum\nolimits_{n^{\prime}\in\mathcal{N}}\lVert\,(\mathbf{\Psi}_{% \star}^{(n^{\prime})}-\mathbf{\Psi}^{(n^{\prime})}[k])\,\mathbf{c}^{(n^{\prime% })}(Q^{(n)}[k])\,\rVert\leq C^{\prime\prime}\epsilon\,." class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex52.m1.7"><semantics id="A0.Ex52.m1.7a"><mrow id="A0.Ex52.m1.7.7.1" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="A0.Ex52.m1.7.7.1.1" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.2" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.2.cmml"><msub id="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.2a" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.2.cmml"><mo id="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.2.2" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.2.3" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.2.3.cmml"><msup id="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.2.3.2" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.2.3.2.2" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.2.3.2.2.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.2.3.2.3" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.2.3.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.2.3.1" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.2.3.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.2.3.3" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.2.3.3.cmml">𝒩</mi></mrow></msub></mstyle><mrow id="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.1.1.2" lspace="0em" rspace="0.170em" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo><mrow id="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">𝚿</mi><mo id="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">⋆</mo><mrow id="A0.Ex52.m1.1.1.1.1" xref="A0.Ex52.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex52.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex52.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A0.Ex52.m1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex52.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex52.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex52.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex52.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex52.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A0.Ex52.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex52.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msup id="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">𝚿</mi><mrow id="A0.Ex52.m1.2.2.1.1" xref="A0.Ex52.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex52.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex52.m1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A0.Ex52.m1.2.2.1.1.1" xref="A0.Ex52.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex52.m1.2.2.1.1.1.2" xref="A0.Ex52.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex52.m1.2.2.1.1.1.3" xref="A0.Ex52.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A0.Ex52.m1.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex52.m1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="A0.Ex52.m1.5.5" xref="A0.Ex52.m1.5.5.cmml">k</mi><mo id="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3" lspace="0.170em" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><msup id="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">𝐜</mi><mrow id="A0.Ex52.m1.3.3.1.1" xref="A0.Ex52.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex52.m1.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex52.m1.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A0.Ex52.m1.3.3.1.1.1" xref="A0.Ex52.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex52.m1.3.3.1.1.1.2" xref="A0.Ex52.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex52.m1.3.3.1.1.1.3" xref="A0.Ex52.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A0.Ex52.m1.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex52.m1.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3a" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><msup id="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml"><mi id="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.2" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.2.cmml">Q</mi><mrow id="A0.Ex52.m1.4.4.1.3" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml"><mo id="A0.Ex52.m1.4.4.1.3.1" stretchy="false" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A0.Ex52.m1.4.4.1.1" xref="A0.Ex52.m1.4.4.1.1.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex52.m1.4.4.1.3.2" stretchy="false" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.1.cmml"><mo id="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="A0.Ex52.m1.6.6" xref="A0.Ex52.m1.6.6.cmml">k</mi><mo id="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo fence="true" id="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.1.1.3" lspace="0.170em" rspace="0.1389em" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow></mrow><mo id="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.2" lspace="0.1389em" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.2.cmml">≤</mo><mrow id="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.3" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.3.cmml"><msup id="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.3.2" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.3.2.cmml"><mi id="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.3.2.2" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.3.2.2.cmml">C</mi><mo id="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.3.2.3" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.3.2.3.cmml">′′</mo></msup><mo id="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.3.1" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.3.3" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.3.3.cmml">ϵ</mi></mrow></mrow><mo id="A0.Ex52.m1.7.7.1.2" lspace="0.170em" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex52.m1.7b"><apply id="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.cmml" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1"><leq id="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.2"></leq><apply id="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1"><apply id="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.2.1.cmml" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.2.2.cmml" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.2.2"></sum><apply id="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.2.3.cmml" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.2.3"><in id="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.2.3.1"></in><apply id="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.2.3.2.2">𝑛</ci><ci id="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.2.3.2.3">′</ci></apply><ci id="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.2.3.3">𝒩</ci></apply></apply><apply 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id="A0.Ex52.m1.4.4.1.1.cmml" xref="A0.Ex52.m1.4.4.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.1.cmml" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2"><csymbol cd="latexml" id="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.1.1.cmml" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="A0.Ex52.m1.6.6.cmml" xref="A0.Ex52.m1.6.6">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.3"><times id="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.3.1.cmml" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.3.1"></times><apply id="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.3.2.cmml" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.3.2.1.cmml" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.3.2.2.cmml" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.3.2.2">𝐶</ci><ci id="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.3.2.3.cmml" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.3.2.3">′′</ci></apply><ci id="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.3.3.cmml" xref="A0.Ex52.m1.7.7.1.1.3.3">italic-ϵ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex52.m1.7c">\displaystyle\sum\nolimits_{n^{\prime}\in\mathcal{N}}\lVert\,(\mathbf{\Psi}_{% \star}^{(n^{\prime})}-\mathbf{\Psi}^{(n^{\prime})}[k])\,\mathbf{c}^{(n^{\prime% })}(Q^{(n)}[k])\,\rVert\leq C^{\prime\prime}\epsilon\,.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex52.m1.7d">∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT ∥ ( bold_Ψ start_POSTSUBSCRIPT ⋆ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUPERSCRIPT - bold_Ψ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ] ) bold_c start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ] ) ∥ ≤ italic_C start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_ϵ .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.p5.17">Via the previous observations,</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A0.EGx60"> <tbody id="A0.Ex53"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathchoice{}{}{}{}\lVert\,\mathbf{T}(\mathfrak{Q}[k])\,\mathbf{1% }_{N}-T_{\star}(Q^{(n)}[k])\,\rVert" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex53.m1.4"><semantics id="A0.Ex53.m1.4a"><mrow id="A0.Ex53.m1.4.4.1" xref="A0.Ex53.m1.4.4.2.cmml"><mo fence="true" id="A0.Ex53.m1.4.4.1.2" rspace="0.170em" xref="A0.Ex53.m1.4.4.2.1.cmml">∥</mo><mrow id="A0.Ex53.m1.4.4.1.1" xref="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.1" xref="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.1.3" xref="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.1.3.cmml">𝐓</mi><mo id="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.1.2" xref="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝔔</mi><mo id="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="A0.Ex53.m1.2.2" xref="A0.Ex53.m1.2.2.cmml">k</mi><mo id="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.1.2a" xref="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.1.4" xref="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.1.4.cmml"><mn class="ltx_mathvariant_bold" id="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.1.4.2" mathvariant="bold" xref="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.1.4.2.cmml"> 1</mn><mi id="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.1.4.3" xref="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.1.4.3.cmml">N</mi></msub></mrow><mo id="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.3" xref="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.2" xref="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.2.cmml"><msub id="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.2.3" xref="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.2.3.cmml"><mi id="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.2.3.2" xref="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.2.3.2.cmml">T</mi><mo id="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.2.3.3" xref="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.2.3.3.cmml">⋆</mo></msub><mo id="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.2.2" xref="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.2.1.1" xref="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.2.1.1.1" xref="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.cmml"><msup id="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2" xref="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.2" xref="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml">Q</mi><mrow id="A0.Ex53.m1.1.1.1.3" xref="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="A0.Ex53.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A0.Ex53.m1.1.1.1.1" xref="A0.Ex53.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex53.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1" xref="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.2" xref="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="A0.Ex53.m1.3.3" xref="A0.Ex53.m1.3.3.cmml">k</mi><mo id="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo fence="true" id="A0.Ex53.m1.4.4.1.3" lspace="0.170em" xref="A0.Ex53.m1.4.4.2.1.cmml">∥</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex53.m1.4b"><apply id="A0.Ex53.m1.4.4.2.cmml" xref="A0.Ex53.m1.4.4.1"><csymbol cd="latexml" id="A0.Ex53.m1.4.4.2.1.cmml" xref="A0.Ex53.m1.4.4.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.cmml" xref="A0.Ex53.m1.4.4.1.1"><minus id="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.3"></minus><apply id="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.1"><times id="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.1.2"></times><ci id="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.1.3">𝐓</ci><apply id="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.1.1.1"><times id="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2">𝔔</ci><apply id="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="latexml" id="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="A0.Ex53.m1.2.2.cmml" xref="A0.Ex53.m1.2.2">𝑘</ci></apply></apply><apply id="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.1.4.cmml" xref="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.1.4.1.cmml" xref="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.1.4">subscript</csymbol><cn id="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.1.4.2.cmml" type="integer" xref="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.1.4.2">1</cn><ci id="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.1.4.3.cmml" xref="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.1.4.3">𝑁</ci></apply></apply><apply id="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.2"><times id="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.2.2"></times><apply id="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.2.3.cmml" xref="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.2.3.1.cmml" xref="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.2.3.2.cmml" xref="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.2.3.2">𝑇</ci><ci id="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.2.3.3.cmml" xref="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.2.3.3">⋆</ci></apply><apply id="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.2.1.1"><times id="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1"></times><apply id="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.2">𝑄</ci><ci id="A0.Ex53.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex53.m1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.2"><csymbol cd="latexml" id="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="A0.Ex53.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="A0.Ex53.m1.3.3.cmml" xref="A0.Ex53.m1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex53.m1.4c">\displaystyle\mathchoice{}{}{}{}\lVert\,\mathbf{T}(\mathfrak{Q}[k])\,\mathbf{1% }_{N}-T_{\star}(Q^{(n)}[k])\,\rVert</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex53.m1.4d">∥ bold_T ( fraktur_Q [ italic_k ] ) bold_1 start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT - italic_T start_POSTSUBSCRIPT ⋆ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ] ) ∥</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A0.Ex54"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle{}\leq{}" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex54.m1.1"><semantics id="A0.Ex54.m1.1a"><mo id="A0.Ex54.m1.1.1" xref="A0.Ex54.m1.1.1.cmml">≤</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex54.m1.1b"><leq id="A0.Ex54.m1.1.1.cmml" xref="A0.Ex54.m1.1.1"></leq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex54.m1.1c">\displaystyle{}\leq{}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex54.m1.1d">≤</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\lVert\,\sum\nolimits_{n^{\prime}\in\mathcal{N}}T^{(n^{\prime})}(% Q^{(n^{\prime})}[k])-\sum\nolimits_{n^{\prime}\in\mathcal{N}}T^{(n^{\prime})}(% Q^{(n)}[k])\,\rVert" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex54.m2.7"><semantics id="A0.Ex54.m2.7a"><mrow id="A0.Ex54.m2.7.7.1" xref="A0.Ex54.m2.7.7.2.cmml"><mo fence="true" id="A0.Ex54.m2.7.7.1.2" rspace="0em" xref="A0.Ex54.m2.7.7.2.1.cmml">∥</mo><mrow id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.cmml"><mrow id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.2" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.2.cmml"><msub id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.2a" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.2.cmml"><mo id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.2.2" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.2.3" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.2.3.cmml"><msup id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.2.3.2" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.2.3.2.2" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.2.3.2.2.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.2.3.2.3" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.2.3.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.2.3.1" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.2.3.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.2.3.3" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.2.3.3.cmml">𝒩</mi></mrow></msub></mstyle><mrow id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.1" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.1.cmml"><msup id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.1.3.2" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.1.3.2.cmml">T</mi><mrow id="A0.Ex54.m2.1.1.1.1" xref="A0.Ex54.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex54.m2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex54.m2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A0.Ex54.m2.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex54.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex54.m2.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex54.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex54.m2.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex54.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A0.Ex54.m2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex54.m2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Q</mi><mrow id="A0.Ex54.m2.2.2.1.1" xref="A0.Ex54.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex54.m2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex54.m2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A0.Ex54.m2.2.2.1.1.1" xref="A0.Ex54.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex54.m2.2.2.1.1.1.2" xref="A0.Ex54.m2.2.2.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex54.m2.2.2.1.1.1.3" xref="A0.Ex54.m2.2.2.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A0.Ex54.m2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex54.m2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="A0.Ex54.m2.5.5" xref="A0.Ex54.m2.5.5.cmml">k</mi><mo id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.3" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.2" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.2.cmml"><msub id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.2a" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.2.cmml"><mo id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.2.2" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.2.3" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.2.3.cmml"><msup id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.2.3.2" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.2.3.2.cmml"><mi id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.2.3.2.2" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.2.3.2.2.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.2.3.2.3" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.2.3.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.2.3.1" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.2.3.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.2.3.3" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.2.3.3.cmml">𝒩</mi></mrow></msub></mstyle><mrow id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.1" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.1.cmml"><msup id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.1.3" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.1.3.cmml"><mi id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.1.3.2" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.1.3.2.cmml">T</mi><mrow id="A0.Ex54.m2.3.3.1.1" xref="A0.Ex54.m2.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex54.m2.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex54.m2.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A0.Ex54.m2.3.3.1.1.1" xref="A0.Ex54.m2.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex54.m2.3.3.1.1.1.2" xref="A0.Ex54.m2.3.3.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex54.m2.3.3.1.1.1.3" xref="A0.Ex54.m2.3.3.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A0.Ex54.m2.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex54.m2.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.1.2" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.1.1.1" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.1.1.1.1" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><msup id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2.2" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2.2.cmml">Q</mi><mrow id="A0.Ex54.m2.4.4.1.3" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A0.Ex54.m2.4.4.1.3.1" stretchy="false" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A0.Ex54.m2.4.4.1.1" xref="A0.Ex54.m2.4.4.1.1.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex54.m2.4.4.1.3.2" stretchy="false" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.1.1.1.1.3.2" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="A0.Ex54.m2.6.6" xref="A0.Ex54.m2.6.6.cmml">k</mi><mo id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo fence="true" id="A0.Ex54.m2.7.7.1.3" lspace="0.170em" xref="A0.Ex54.m2.7.7.2.1.cmml">∥</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex54.m2.7b"><apply id="A0.Ex54.m2.7.7.2.cmml" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1"><csymbol cd="latexml" id="A0.Ex54.m2.7.7.2.1.cmml" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.cmml" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1"><minus id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.3"></minus><apply id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1"><apply id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.2.1.cmml" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.2.2.cmml" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.2.2"></sum><apply id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.2.3.cmml" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.2.3"><in id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.2.3.1"></in><apply id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.2.3.2.2">𝑛</ci><ci id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.2.3.2.3">′</ci></apply><ci id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.2.3.3">𝒩</ci></apply></apply><apply id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.1"><times id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.1.2"></times><apply id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.1.3.2">𝑇</ci><apply id="A0.Ex54.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex54.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex54.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex54.m2.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A0.Ex54.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex54.m2.1.1.1.1.1.2">𝑛</ci><ci id="A0.Ex54.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex54.m2.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply></apply><apply id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.1.1.1"><times id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑄</ci><apply id="A0.Ex54.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex54.m2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex54.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex54.m2.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="A0.Ex54.m2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex54.m2.2.2.1.1.1.2">𝑛</ci><ci id="A0.Ex54.m2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex54.m2.2.2.1.1.1.3">′</ci></apply></apply><apply id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="latexml" id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="A0.Ex54.m2.5.5.cmml" xref="A0.Ex54.m2.5.5">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2"><apply id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.2.cmml" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.2.1.cmml" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.2">subscript</csymbol><sum id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.2.2.cmml" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.2.2"></sum><apply id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.2.3.cmml" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.2.3"><in id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.2.3.1"></in><apply id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.2.3.2.1.cmml" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.2.3.2.2.cmml" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.2.3.2.2">𝑛</ci><ci id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.2.3.2.3.cmml" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.2.3.2.3">′</ci></apply><ci id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.2.3.3">𝒩</ci></apply></apply><apply id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.1.cmml" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.1"><times id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.1.2.cmml" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.1.2"></times><apply id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.1.3.cmml" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.1.3.1.cmml" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.1.3">superscript</csymbol><ci id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.1.3.2.cmml" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.1.3.2">𝑇</ci><apply id="A0.Ex54.m2.3.3.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex54.m2.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex54.m2.3.3.1.1">superscript</csymbol><ci id="A0.Ex54.m2.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex54.m2.3.3.1.1.1.2">𝑛</ci><ci id="A0.Ex54.m2.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex54.m2.3.3.1.1.1.3">′</ci></apply></apply><apply id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.1.1.1"><times id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1"></times><apply id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2.2">𝑄</ci><ci id="A0.Ex54.m2.4.4.1.1.cmml" xref="A0.Ex54.m2.4.4.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="latexml" id="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="A0.Ex54.m2.7.7.1.1.2.1.1.1.1.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="A0.Ex54.m2.6.6.cmml" xref="A0.Ex54.m2.6.6">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex54.m2.7c">\displaystyle\lVert\,\sum\nolimits_{n^{\prime}\in\mathcal{N}}T^{(n^{\prime})}(% Q^{(n^{\prime})}[k])-\sum\nolimits_{n^{\prime}\in\mathcal{N}}T^{(n^{\prime})}(% Q^{(n)}[k])\,\rVert</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex54.m2.7d">∥ ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ] ) - ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ] ) ∥</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A0.Ex55"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle+\sum\nolimits_{n^{\prime}\in\mathcal{N}}\lVert\,(\mathbf{\Psi}_{% \star}^{(n^{\prime})}-\mathbf{\Psi}^{(n^{\prime})}[k])\,\mathbf{c}^{(n^{\prime% })}(Q^{(n)}[k])\,\rVert" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex55.m1.7"><semantics id="A0.Ex55.m1.7a"><mrow id="A0.Ex55.m1.7.7" xref="A0.Ex55.m1.7.7.cmml"><mo id="A0.Ex55.m1.7.7a" xref="A0.Ex55.m1.7.7.cmml">+</mo><mrow id="A0.Ex55.m1.7.7.1" xref="A0.Ex55.m1.7.7.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A0.Ex55.m1.7.7.1.2" xref="A0.Ex55.m1.7.7.1.2.cmml"><msub id="A0.Ex55.m1.7.7.1.2a" xref="A0.Ex55.m1.7.7.1.2.cmml"><mo id="A0.Ex55.m1.7.7.1.2.2" xref="A0.Ex55.m1.7.7.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A0.Ex55.m1.7.7.1.2.3" xref="A0.Ex55.m1.7.7.1.2.3.cmml"><msup id="A0.Ex55.m1.7.7.1.2.3.2" xref="A0.Ex55.m1.7.7.1.2.3.2.cmml"><mi id="A0.Ex55.m1.7.7.1.2.3.2.2" xref="A0.Ex55.m1.7.7.1.2.3.2.2.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex55.m1.7.7.1.2.3.2.3" xref="A0.Ex55.m1.7.7.1.2.3.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A0.Ex55.m1.7.7.1.2.3.1" xref="A0.Ex55.m1.7.7.1.2.3.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A0.Ex55.m1.7.7.1.2.3.3" xref="A0.Ex55.m1.7.7.1.2.3.3.cmml">𝒩</mi></mrow></msub></mstyle><mrow id="A0.Ex55.m1.7.7.1.1.1" xref="A0.Ex55.m1.7.7.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="A0.Ex55.m1.7.7.1.1.1.2" lspace="0em" rspace="0.170em" 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id="A0.Ex55.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A0.Ex55.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex55.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A0.Ex55.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="A0.Ex55.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A0.Ex55.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="A0.Ex55.m1.5.5" xref="A0.Ex55.m1.5.5.cmml">k</mi><mo id="A0.Ex55.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A0.Ex55.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A0.Ex55.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex55.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A0.Ex55.m1.7.7.1.1.1.1.3" lspace="0.170em" xref="A0.Ex55.m1.7.7.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><msup id="A0.Ex55.m1.7.7.1.1.1.1.4" xref="A0.Ex55.m1.7.7.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A0.Ex55.m1.7.7.1.1.1.1.4.2" xref="A0.Ex55.m1.7.7.1.1.1.1.4.2.cmml">𝐜</mi><mrow id="A0.Ex55.m1.3.3.1.1" xref="A0.Ex55.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex55.m1.3.3.1.1.2" stretchy="false" 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id="A0.Ex55.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex55.m1.3.3.1.1">superscript</csymbol><ci id="A0.Ex55.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex55.m1.3.3.1.1.1.2">𝑛</ci><ci id="A0.Ex55.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex55.m1.3.3.1.1.1.3">′</ci></apply></apply><apply id="A0.Ex55.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="A0.Ex55.m1.7.7.1.1.1.1.2.1"><times id="A0.Ex55.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex55.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.1.1"></times><apply id="A0.Ex55.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex55.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex55.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.1.2.1.cmml" xref="A0.Ex55.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="A0.Ex55.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.1.2.2.cmml" xref="A0.Ex55.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.1.2.2">𝑄</ci><ci id="A0.Ex55.m1.4.4.1.1.cmml" xref="A0.Ex55.m1.4.4.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="A0.Ex55.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.1.3.1.cmml" xref="A0.Ex55.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.1.3.2"><csymbol cd="latexml" id="A0.Ex55.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.1.3.1.1.cmml" xref="A0.Ex55.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.1.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="A0.Ex55.m1.6.6.cmml" xref="A0.Ex55.m1.6.6">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex55.m1.7c">\displaystyle+\sum\nolimits_{n^{\prime}\in\mathcal{N}}\lVert\,(\mathbf{\Psi}_{% \star}^{(n^{\prime})}-\mathbf{\Psi}^{(n^{\prime})}[k])\,\mathbf{c}^{(n^{\prime% })}(Q^{(n)}[k])\,\rVert</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex55.m1.7d">+ ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT ∥ ( bold_Ψ start_POSTSUBSCRIPT ⋆ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUPERSCRIPT - bold_Ψ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ] ) bold_c start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ] ) ∥</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A0.Ex56"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex56.m1.1"><semantics id="A0.Ex56.m1.1a"><mo id="A0.Ex56.m1.1.1" xref="A0.Ex56.m1.1.1.cmml">≤</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex56.m1.1b"><leq id="A0.Ex56.m1.1.1.cmml" xref="A0.Ex56.m1.1.1"></leq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex56.m1.1c">\displaystyle\leq</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex56.m1.1d">≤</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\sum\nolimits_{n^{\prime}\in\mathcal{N}}\lVert\,T^{(n^{\prime})}(% Q^{(n^{\prime})}[k])-T^{(n^{\prime})}(Q^{(n)}[k])\,\rVert+C^{\prime\prime}\epsilon" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex56.m2.7"><semantics id="A0.Ex56.m2.7a"><mrow id="A0.Ex56.m2.7.7" xref="A0.Ex56.m2.7.7.cmml"><mrow id="A0.Ex56.m2.7.7.1" xref="A0.Ex56.m2.7.7.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A0.Ex56.m2.7.7.1.2" xref="A0.Ex56.m2.7.7.1.2.cmml"><msub id="A0.Ex56.m2.7.7.1.2a" xref="A0.Ex56.m2.7.7.1.2.cmml"><mo id="A0.Ex56.m2.7.7.1.2.2" xref="A0.Ex56.m2.7.7.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A0.Ex56.m2.7.7.1.2.3" xref="A0.Ex56.m2.7.7.1.2.3.cmml"><msup id="A0.Ex56.m2.7.7.1.2.3.2" xref="A0.Ex56.m2.7.7.1.2.3.2.cmml"><mi id="A0.Ex56.m2.7.7.1.2.3.2.2" xref="A0.Ex56.m2.7.7.1.2.3.2.2.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex56.m2.7.7.1.2.3.2.3" xref="A0.Ex56.m2.7.7.1.2.3.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A0.Ex56.m2.7.7.1.2.3.1" xref="A0.Ex56.m2.7.7.1.2.3.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A0.Ex56.m2.7.7.1.2.3.3" xref="A0.Ex56.m2.7.7.1.2.3.3.cmml">𝒩</mi></mrow></msub></mstyle><mrow id="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1" xref="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.2" lspace="0em" rspace="0.170em" xref="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.2.1.cmml">∥</mo><mrow id="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1" xref="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.1.3.2" xref="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.1.3.2.cmml">T</mi><mrow id="A0.Ex56.m2.1.1.1.1" xref="A0.Ex56.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex56.m2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex56.m2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A0.Ex56.m2.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex56.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex56.m2.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex56.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex56.m2.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex56.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A0.Ex56.m2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex56.m2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Q</mi><mrow id="A0.Ex56.m2.2.2.1.1" xref="A0.Ex56.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex56.m2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex56.m2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A0.Ex56.m2.2.2.1.1.1" xref="A0.Ex56.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex56.m2.2.2.1.1.1.2" xref="A0.Ex56.m2.2.2.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex56.m2.2.2.1.1.1.3" xref="A0.Ex56.m2.2.2.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A0.Ex56.m2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex56.m2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="A0.Ex56.m2.5.5" xref="A0.Ex56.m2.5.5.cmml">k</mi><mo id="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.2.cmml"><msup id="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.2.3" xref="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.2.3.2" xref="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.2.3.2.cmml">T</mi><mrow id="A0.Ex56.m2.3.3.1.1" xref="A0.Ex56.m2.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex56.m2.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex56.m2.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A0.Ex56.m2.3.3.1.1.1" xref="A0.Ex56.m2.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex56.m2.3.3.1.1.1.2" xref="A0.Ex56.m2.3.3.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex56.m2.3.3.1.1.1.3" xref="A0.Ex56.m2.3.3.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A0.Ex56.m2.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex56.m2.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.2.2" xref="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.2.1.1" xref="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><msup id="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2" xref="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml">Q</mi><mrow id="A0.Ex56.m2.4.4.1.3" xref="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="A0.Ex56.m2.4.4.1.3.1" stretchy="false" xref="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A0.Ex56.m2.4.4.1.1" xref="A0.Ex56.m2.4.4.1.1.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex56.m2.4.4.1.3.2" stretchy="false" xref="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2" xref="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="A0.Ex56.m2.6.6" xref="A0.Ex56.m2.6.6.cmml">k</mi><mo id="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo fence="true" id="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.3" lspace="0.170em" rspace="0em" xref="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow></mrow><mo id="A0.Ex56.m2.7.7.2" xref="A0.Ex56.m2.7.7.2.cmml">+</mo><mrow id="A0.Ex56.m2.7.7.3" xref="A0.Ex56.m2.7.7.3.cmml"><msup id="A0.Ex56.m2.7.7.3.2" xref="A0.Ex56.m2.7.7.3.2.cmml"><mi id="A0.Ex56.m2.7.7.3.2.2" xref="A0.Ex56.m2.7.7.3.2.2.cmml">C</mi><mo id="A0.Ex56.m2.7.7.3.2.3" xref="A0.Ex56.m2.7.7.3.2.3.cmml">′′</mo></msup><mo id="A0.Ex56.m2.7.7.3.1" xref="A0.Ex56.m2.7.7.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A0.Ex56.m2.7.7.3.3" xref="A0.Ex56.m2.7.7.3.3.cmml">ϵ</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex56.m2.7b"><apply id="A0.Ex56.m2.7.7.cmml" xref="A0.Ex56.m2.7.7"><plus id="A0.Ex56.m2.7.7.2.cmml" xref="A0.Ex56.m2.7.7.2"></plus><apply id="A0.Ex56.m2.7.7.1.cmml" xref="A0.Ex56.m2.7.7.1"><apply id="A0.Ex56.m2.7.7.1.2.cmml" xref="A0.Ex56.m2.7.7.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex56.m2.7.7.1.2.1.cmml" xref="A0.Ex56.m2.7.7.1.2">subscript</csymbol><sum id="A0.Ex56.m2.7.7.1.2.2.cmml" xref="A0.Ex56.m2.7.7.1.2.2"></sum><apply id="A0.Ex56.m2.7.7.1.2.3.cmml" xref="A0.Ex56.m2.7.7.1.2.3"><in id="A0.Ex56.m2.7.7.1.2.3.1.cmml" xref="A0.Ex56.m2.7.7.1.2.3.1"></in><apply id="A0.Ex56.m2.7.7.1.2.3.2.cmml" xref="A0.Ex56.m2.7.7.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex56.m2.7.7.1.2.3.2.1.cmml" xref="A0.Ex56.m2.7.7.1.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="A0.Ex56.m2.7.7.1.2.3.2.2.cmml" xref="A0.Ex56.m2.7.7.1.2.3.2.2">𝑛</ci><ci id="A0.Ex56.m2.7.7.1.2.3.2.3.cmml" xref="A0.Ex56.m2.7.7.1.2.3.2.3">′</ci></apply><ci id="A0.Ex56.m2.7.7.1.2.3.3.cmml" xref="A0.Ex56.m2.7.7.1.2.3.3">𝒩</ci></apply></apply><apply id="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.2.1.cmml" xref="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1"><minus id="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.3"></minus><apply id="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.1"><times id="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.1.3.2">𝑇</ci><apply id="A0.Ex56.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex56.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex56.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex56.m2.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A0.Ex56.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex56.m2.1.1.1.1.1.2">𝑛</ci><ci id="A0.Ex56.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex56.m2.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply></apply><apply id="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex56.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply 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xref="A0.Ex56.m2.7.7.3.2.2">𝐶</ci><ci id="A0.Ex56.m2.7.7.3.2.3.cmml" xref="A0.Ex56.m2.7.7.3.2.3">′′</ci></apply><ci id="A0.Ex56.m2.7.7.3.3.cmml" xref="A0.Ex56.m2.7.7.3.3">italic-ϵ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex56.m2.7c">\displaystyle\sum\nolimits_{n^{\prime}\in\mathcal{N}}\lVert\,T^{(n^{\prime})}(% Q^{(n^{\prime})}[k])-T^{(n^{\prime})}(Q^{(n)}[k])\,\rVert+C^{\prime\prime}\epsilon</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex56.m2.7d">∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT ∥ italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ] ) - italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ] ) ∥ + italic_C start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_ϵ</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A0.Ex57"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex57.m1.1"><semantics id="A0.Ex57.m1.1a"><mo id="A0.Ex57.m1.1.1" xref="A0.Ex57.m1.1.1.cmml">≤</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex57.m1.1b"><leq id="A0.Ex57.m1.1.1.cmml" xref="A0.Ex57.m1.1.1"></leq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex57.m1.1c">\displaystyle\leq</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex57.m1.1d">≤</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\sum\nolimits_{n^{\prime}\in\mathcal{N}}\beta^{(n^{\prime})}[k]\,% \lVert\,Q^{(n^{\prime})}[k]-Q^{(n)}[k]\,\rVert+C^{\prime\prime}\epsilon" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex57.m2.7"><semantics id="A0.Ex57.m2.7a"><mrow id="A0.Ex57.m2.7.7" xref="A0.Ex57.m2.7.7.cmml"><mrow id="A0.Ex57.m2.7.7.1" xref="A0.Ex57.m2.7.7.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A0.Ex57.m2.7.7.1.2" xref="A0.Ex57.m2.7.7.1.2.cmml"><msub id="A0.Ex57.m2.7.7.1.2a" xref="A0.Ex57.m2.7.7.1.2.cmml"><mo id="A0.Ex57.m2.7.7.1.2.2" xref="A0.Ex57.m2.7.7.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A0.Ex57.m2.7.7.1.2.3" xref="A0.Ex57.m2.7.7.1.2.3.cmml"><msup id="A0.Ex57.m2.7.7.1.2.3.2" xref="A0.Ex57.m2.7.7.1.2.3.2.cmml"><mi id="A0.Ex57.m2.7.7.1.2.3.2.2" xref="A0.Ex57.m2.7.7.1.2.3.2.2.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex57.m2.7.7.1.2.3.2.3" xref="A0.Ex57.m2.7.7.1.2.3.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A0.Ex57.m2.7.7.1.2.3.1" xref="A0.Ex57.m2.7.7.1.2.3.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A0.Ex57.m2.7.7.1.2.3.3" xref="A0.Ex57.m2.7.7.1.2.3.3.cmml">𝒩</mi></mrow></msub></mstyle><mrow id="A0.Ex57.m2.7.7.1.1" xref="A0.Ex57.m2.7.7.1.1.cmml"><msup id="A0.Ex57.m2.7.7.1.1.3" xref="A0.Ex57.m2.7.7.1.1.3.cmml"><mi id="A0.Ex57.m2.7.7.1.1.3.2" xref="A0.Ex57.m2.7.7.1.1.3.2.cmml">β</mi><mrow id="A0.Ex57.m2.1.1.1.1" xref="A0.Ex57.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex57.m2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex57.m2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A0.Ex57.m2.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex57.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex57.m2.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex57.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex57.m2.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex57.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A0.Ex57.m2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex57.m2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="A0.Ex57.m2.7.7.1.1.2" xref="A0.Ex57.m2.7.7.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex57.m2.7.7.1.1.4.2" xref="A0.Ex57.m2.7.7.1.1.4.1.cmml"><mo id="A0.Ex57.m2.7.7.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="A0.Ex57.m2.7.7.1.1.4.1.1.cmml">[</mo><mi id="A0.Ex57.m2.4.4" xref="A0.Ex57.m2.4.4.cmml">k</mi><mo id="A0.Ex57.m2.7.7.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="A0.Ex57.m2.7.7.1.1.4.1.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="A0.Ex57.m2.7.7.1.1.2a" lspace="0.170em" xref="A0.Ex57.m2.7.7.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex57.m2.7.7.1.1.1.1" xref="A0.Ex57.m2.7.7.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="A0.Ex57.m2.7.7.1.1.1.1.2" rspace="0.170em" xref="A0.Ex57.m2.7.7.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo><mrow id="A0.Ex57.m2.7.7.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex57.m2.7.7.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A0.Ex57.m2.7.7.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex57.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.cmml"><msup id="A0.Ex57.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.2" xref="A0.Ex57.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A0.Ex57.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A0.Ex57.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">Q</mi><mrow id="A0.Ex57.m2.2.2.1.1" xref="A0.Ex57.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex57.m2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex57.m2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A0.Ex57.m2.2.2.1.1.1" xref="A0.Ex57.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex57.m2.2.2.1.1.1.2" xref="A0.Ex57.m2.2.2.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex57.m2.2.2.1.1.1.3" xref="A0.Ex57.m2.2.2.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A0.Ex57.m2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex57.m2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="A0.Ex57.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.1" xref="A0.Ex57.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex57.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A0.Ex57.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="A0.Ex57.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A0.Ex57.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="A0.Ex57.m2.5.5" xref="A0.Ex57.m2.5.5.cmml">k</mi><mo id="A0.Ex57.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A0.Ex57.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="A0.Ex57.m2.7.7.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex57.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A0.Ex57.m2.7.7.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex57.m2.7.7.1.1.1.1.1.3.cmml"><msup id="A0.Ex57.m2.7.7.1.1.1.1.1.3.2" xref="A0.Ex57.m2.7.7.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A0.Ex57.m2.7.7.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A0.Ex57.m2.7.7.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">Q</mi><mrow id="A0.Ex57.m2.3.3.1.3" xref="A0.Ex57.m2.7.7.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mo id="A0.Ex57.m2.3.3.1.3.1" stretchy="false" xref="A0.Ex57.m2.7.7.1.1.1.1.1.3.2.cmml">(</mo><mi id="A0.Ex57.m2.3.3.1.1" xref="A0.Ex57.m2.3.3.1.1.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex57.m2.3.3.1.3.2" stretchy="false" xref="A0.Ex57.m2.7.7.1.1.1.1.1.3.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="A0.Ex57.m2.7.7.1.1.1.1.1.3.1" xref="A0.Ex57.m2.7.7.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex57.m2.7.7.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A0.Ex57.m2.7.7.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="A0.Ex57.m2.7.7.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A0.Ex57.m2.7.7.1.1.1.1.1.3.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="A0.Ex57.m2.6.6" xref="A0.Ex57.m2.6.6.cmml">k</mi><mo id="A0.Ex57.m2.7.7.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A0.Ex57.m2.7.7.1.1.1.1.1.3.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo fence="true" id="A0.Ex57.m2.7.7.1.1.1.1.3" lspace="0.170em" rspace="0em" xref="A0.Ex57.m2.7.7.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A0.Ex57.m2.7.7.2" xref="A0.Ex57.m2.7.7.2.cmml">+</mo><mrow id="A0.Ex57.m2.7.7.3" xref="A0.Ex57.m2.7.7.3.cmml"><msup id="A0.Ex57.m2.7.7.3.2" xref="A0.Ex57.m2.7.7.3.2.cmml"><mi id="A0.Ex57.m2.7.7.3.2.2" xref="A0.Ex57.m2.7.7.3.2.2.cmml">C</mi><mo id="A0.Ex57.m2.7.7.3.2.3" xref="A0.Ex57.m2.7.7.3.2.3.cmml">′′</mo></msup><mo id="A0.Ex57.m2.7.7.3.1" xref="A0.Ex57.m2.7.7.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A0.Ex57.m2.7.7.3.3" xref="A0.Ex57.m2.7.7.3.3.cmml">ϵ</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex57.m2.7b"><apply id="A0.Ex57.m2.7.7.cmml" xref="A0.Ex57.m2.7.7"><plus id="A0.Ex57.m2.7.7.2.cmml" xref="A0.Ex57.m2.7.7.2"></plus><apply id="A0.Ex57.m2.7.7.1.cmml" xref="A0.Ex57.m2.7.7.1"><apply id="A0.Ex57.m2.7.7.1.2.cmml" xref="A0.Ex57.m2.7.7.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex57.m2.7.7.1.2.1.cmml" xref="A0.Ex57.m2.7.7.1.2">subscript</csymbol><sum id="A0.Ex57.m2.7.7.1.2.2.cmml" xref="A0.Ex57.m2.7.7.1.2.2"></sum><apply id="A0.Ex57.m2.7.7.1.2.3.cmml" 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end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ] - italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ] ∥ + italic_C start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_ϵ</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A0.Ex58"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex58.m1.1"><semantics id="A0.Ex58.m1.1a"><mo id="A0.Ex58.m1.1.1" xref="A0.Ex58.m1.1.1.cmml">≤</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex58.m1.1b"><leq id="A0.Ex58.m1.1.1.cmml" xref="A0.Ex58.m1.1.1"></leq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex58.m1.1c">\displaystyle\leq</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex58.m1.1d">≤</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\sum_{n^{\prime}\in\mathcal{N}}\beta^{(n^{\prime})}[k]\,\lVert\,Q% ^{(n^{\prime})}[k]-\mathbf{T}(\mathfrak{Q}[k-1])\,\mathbf{1}_{N}\,\rVert" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex58.m2.5"><semantics id="A0.Ex58.m2.5a"><mrow id="A0.Ex58.m2.5.5" xref="A0.Ex58.m2.5.5.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A0.Ex58.m2.5.5.2" xref="A0.Ex58.m2.5.5.2.cmml"><munder id="A0.Ex58.m2.5.5.2a" xref="A0.Ex58.m2.5.5.2.cmml"><mo id="A0.Ex58.m2.5.5.2.2" movablelimits="false" xref="A0.Ex58.m2.5.5.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A0.Ex58.m2.5.5.2.3" xref="A0.Ex58.m2.5.5.2.3.cmml"><msup id="A0.Ex58.m2.5.5.2.3.2" xref="A0.Ex58.m2.5.5.2.3.2.cmml"><mi id="A0.Ex58.m2.5.5.2.3.2.2" xref="A0.Ex58.m2.5.5.2.3.2.2.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex58.m2.5.5.2.3.2.3" xref="A0.Ex58.m2.5.5.2.3.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A0.Ex58.m2.5.5.2.3.1" xref="A0.Ex58.m2.5.5.2.3.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A0.Ex58.m2.5.5.2.3.3" xref="A0.Ex58.m2.5.5.2.3.3.cmml">𝒩</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="A0.Ex58.m2.5.5.1" xref="A0.Ex58.m2.5.5.1.cmml"><msup id="A0.Ex58.m2.5.5.1.3" xref="A0.Ex58.m2.5.5.1.3.cmml"><mi id="A0.Ex58.m2.5.5.1.3.2" xref="A0.Ex58.m2.5.5.1.3.2.cmml">β</mi><mrow id="A0.Ex58.m2.1.1.1.1" xref="A0.Ex58.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex58.m2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex58.m2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A0.Ex58.m2.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex58.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex58.m2.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex58.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex58.m2.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex58.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A0.Ex58.m2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex58.m2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="A0.Ex58.m2.5.5.1.2" xref="A0.Ex58.m2.5.5.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex58.m2.5.5.1.4.2" xref="A0.Ex58.m2.5.5.1.4.1.cmml"><mo id="A0.Ex58.m2.5.5.1.4.2.1" stretchy="false" xref="A0.Ex58.m2.5.5.1.4.1.1.cmml">[</mo><mi id="A0.Ex58.m2.3.3" xref="A0.Ex58.m2.3.3.cmml">k</mi><mo id="A0.Ex58.m2.5.5.1.4.2.2" stretchy="false" xref="A0.Ex58.m2.5.5.1.4.1.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="A0.Ex58.m2.5.5.1.2a" lspace="0.170em" xref="A0.Ex58.m2.5.5.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1" xref="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.2" rspace="0.170em" xref="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.2.1.cmml">∥</mo><mrow id="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1" xref="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.3.cmml"><msup id="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.3.2" xref="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.3.2.2" xref="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.3.2.2.cmml">Q</mi><mrow id="A0.Ex58.m2.2.2.1.1" xref="A0.Ex58.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex58.m2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex58.m2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A0.Ex58.m2.2.2.1.1.1" xref="A0.Ex58.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex58.m2.2.2.1.1.1.2" xref="A0.Ex58.m2.2.2.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex58.m2.2.2.1.1.1.3" xref="A0.Ex58.m2.2.2.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A0.Ex58.m2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex58.m2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.3.1" xref="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.3.3.2" xref="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.3.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="A0.Ex58.m2.4.4" xref="A0.Ex58.m2.4.4.cmml">k</mi><mo id="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.3.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml">𝐓</mi><mo id="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝔔</mi><mo id="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.1.2a" xref="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.1.4" xref="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.1.4.cmml"><mn class="ltx_mathvariant_bold" id="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.1.4.2" mathvariant="bold" xref="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.1.4.2.cmml"> 1</mn><mi id="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.1.4.3" xref="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.1.4.3.cmml">N</mi></msub></mrow></mrow><mo fence="true" id="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.3" lspace="0em" xref="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex58.m2.5b"><apply id="A0.Ex58.m2.5.5.cmml" xref="A0.Ex58.m2.5.5"><apply id="A0.Ex58.m2.5.5.2.cmml" 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xref="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.3.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="A0.Ex58.m2.4.4.cmml" xref="A0.Ex58.m2.4.4">𝑘</ci></apply></apply><apply id="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.1"><times id="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.1.3">𝐓</ci><apply id="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝔔</ci><apply id="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑘</ci><cn id="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><cn id="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.1.4.2.cmml" type="integer" xref="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.1.4.2">1</cn><ci id="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A0.Ex58.m2.5.5.1.1.1.1.1.4.3">𝑁</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex58.m2.5c">\displaystyle\sum_{n^{\prime}\in\mathcal{N}}\beta^{(n^{\prime})}[k]\,\lVert\,Q% ^{(n^{\prime})}[k]-\mathbf{T}(\mathfrak{Q}[k-1])\,\mathbf{1}_{N}\,\rVert</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex58.m2.5d">∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT italic_β start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ] ∥ italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ] - bold_T ( fraktur_Q [ italic_k - 1 ] ) bold_1 start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT ∥</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A0.Ex59"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle+\sum_{n^{\prime}\in\mathcal{N}}\beta^{(n^{\prime})}[k]\,\lVert\,% \mathbf{T}(\mathfrak{Q}[k-1])\,\mathbf{1}_{N}-Q^{(n)}[k]\,\rVert+C^{\prime% \prime}\epsilon" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex59.m1.5"><semantics id="A0.Ex59.m1.5a"><mrow id="A0.Ex59.m1.5.5" xref="A0.Ex59.m1.5.5.cmml"><mrow id="A0.Ex59.m1.5.5.1" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.cmml"><mo id="A0.Ex59.m1.5.5.1a" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.cmml">+</mo><mrow id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.2" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.2.cmml"><munder id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.2a" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.2.cmml"><mo id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.2.3" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.2.3.cmml"><msup id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.2.3.2" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.2.3.2.2" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.2.3.2.2.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.2.3.2.3" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.2.3.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.2.3.1" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.2.3.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.2.3.3" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.2.3.3.cmml">𝒩</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.cmml"><msup id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.3" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.3.cmml"><mi id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.3.2" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.3.2.cmml">β</mi><mrow id="A0.Ex59.m1.1.1.1.1" xref="A0.Ex59.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex59.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex59.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A0.Ex59.m1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex59.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex59.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex59.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex59.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex59.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A0.Ex59.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex59.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.2" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.4.2" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.4.1.cmml"><mo id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.4.1.1.cmml">[</mo><mi id="A0.Ex59.m1.3.3" xref="A0.Ex59.m1.3.3.cmml">k</mi><mo id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.4.1.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.2a" lspace="0.170em" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.2" rspace="0.170em" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo><mrow id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝐓</mi><mo id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝔔</mi><mo id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mn class="ltx_mathvariant_bold" id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.2" mathvariant="bold" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml"> 1</mn><mi id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">N</mi></msub></mrow><mo id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msup id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">Q</mi><mrow id="A0.Ex59.m1.2.2.1.3" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mo id="A0.Ex59.m1.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">(</mo><mi id="A0.Ex59.m1.2.2.1.1" xref="A0.Ex59.m1.2.2.1.1.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex59.m1.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="A0.Ex59.m1.4.4" xref="A0.Ex59.m1.4.4.cmml">k</mi><mo id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo fence="true" id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.3" lspace="0.170em" rspace="0em" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A0.Ex59.m1.5.5.2" xref="A0.Ex59.m1.5.5.2.cmml">+</mo><mrow id="A0.Ex59.m1.5.5.3" xref="A0.Ex59.m1.5.5.3.cmml"><msup id="A0.Ex59.m1.5.5.3.2" xref="A0.Ex59.m1.5.5.3.2.cmml"><mi id="A0.Ex59.m1.5.5.3.2.2" xref="A0.Ex59.m1.5.5.3.2.2.cmml">C</mi><mo id="A0.Ex59.m1.5.5.3.2.3" xref="A0.Ex59.m1.5.5.3.2.3.cmml">′′</mo></msup><mo id="A0.Ex59.m1.5.5.3.1" xref="A0.Ex59.m1.5.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A0.Ex59.m1.5.5.3.3" xref="A0.Ex59.m1.5.5.3.3.cmml">ϵ</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex59.m1.5b"><apply id="A0.Ex59.m1.5.5.cmml" xref="A0.Ex59.m1.5.5"><plus id="A0.Ex59.m1.5.5.2.cmml" xref="A0.Ex59.m1.5.5.2"></plus><apply 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id="A0.Ex59.m1.3.3.cmml" xref="A0.Ex59.m1.3.3">𝑘</ci></apply><apply id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1"><minus id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2"></minus><apply id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3">𝐓</ci><apply id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝔔</ci><apply id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑘</ci><cn id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><cn id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" type="integer" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.2">1</cn><ci id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.3">𝑁</ci></apply></apply><apply id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3"><times id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑄</ci><ci id="A0.Ex59.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A0.Ex59.m1.2.2.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="latexml" id="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.cmml" xref="A0.Ex59.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="A0.Ex59.m1.4.4.cmml" xref="A0.Ex59.m1.4.4">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A0.Ex59.m1.5.5.3.cmml" xref="A0.Ex59.m1.5.5.3"><times id="A0.Ex59.m1.5.5.3.1.cmml" xref="A0.Ex59.m1.5.5.3.1"></times><apply id="A0.Ex59.m1.5.5.3.2.cmml" xref="A0.Ex59.m1.5.5.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex59.m1.5.5.3.2.1.cmml" xref="A0.Ex59.m1.5.5.3.2">superscript</csymbol><ci id="A0.Ex59.m1.5.5.3.2.2.cmml" xref="A0.Ex59.m1.5.5.3.2.2">𝐶</ci><ci id="A0.Ex59.m1.5.5.3.2.3.cmml" xref="A0.Ex59.m1.5.5.3.2.3">′′</ci></apply><ci id="A0.Ex59.m1.5.5.3.3.cmml" xref="A0.Ex59.m1.5.5.3.3">italic-ϵ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex59.m1.5c">\displaystyle+\sum_{n^{\prime}\in\mathcal{N}}\beta^{(n^{\prime})}[k]\,\lVert\,% \mathbf{T}(\mathfrak{Q}[k-1])\,\mathbf{1}_{N}-Q^{(n)}[k]\,\rVert+C^{\prime% \prime}\epsilon</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex59.m1.5d">+ ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT italic_β start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ] ∥ bold_T ( fraktur_Q [ italic_k - 1 ] ) bold_1 start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT - italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ] ∥ + italic_C start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_ϵ</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A0.Ex60"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex60.m1.1"><semantics id="A0.Ex60.m1.1a"><mo id="A0.Ex60.m1.1.1" xref="A0.Ex60.m1.1.1.cmml">≤</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex60.m1.1b"><leq id="A0.Ex60.m1.1.1.cmml" xref="A0.Ex60.m1.1.1"></leq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex60.m1.1c">\displaystyle\leq</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex60.m1.1d">≤</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle C^{\prime}\sum\nolimits_{n^{\prime}\in\mathcal{N}}\lVert\,Q_{M}^% {(n^{\prime})}[k-1]-\mathbf{T}(\mathfrak{Q}[k-1])\,\mathbf{1}_{N}\,\rVert" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex60.m2.2"><semantics id="A0.Ex60.m2.2a"><mrow id="A0.Ex60.m2.2.2" xref="A0.Ex60.m2.2.2.cmml"><msup id="A0.Ex60.m2.2.2.3" xref="A0.Ex60.m2.2.2.3.cmml"><mi id="A0.Ex60.m2.2.2.3.2" xref="A0.Ex60.m2.2.2.3.2.cmml">C</mi><mo id="A0.Ex60.m2.2.2.3.3" xref="A0.Ex60.m2.2.2.3.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A0.Ex60.m2.2.2.2" xref="A0.Ex60.m2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex60.m2.2.2.1" xref="A0.Ex60.m2.2.2.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A0.Ex60.m2.2.2.1.2" xref="A0.Ex60.m2.2.2.1.2.cmml"><msub id="A0.Ex60.m2.2.2.1.2a" xref="A0.Ex60.m2.2.2.1.2.cmml"><mo id="A0.Ex60.m2.2.2.1.2.2" xref="A0.Ex60.m2.2.2.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A0.Ex60.m2.2.2.1.2.3" xref="A0.Ex60.m2.2.2.1.2.3.cmml"><msup id="A0.Ex60.m2.2.2.1.2.3.2" xref="A0.Ex60.m2.2.2.1.2.3.2.cmml"><mi id="A0.Ex60.m2.2.2.1.2.3.2.2" xref="A0.Ex60.m2.2.2.1.2.3.2.2.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex60.m2.2.2.1.2.3.2.3" xref="A0.Ex60.m2.2.2.1.2.3.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A0.Ex60.m2.2.2.1.2.3.1" xref="A0.Ex60.m2.2.2.1.2.3.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A0.Ex60.m2.2.2.1.2.3.3" xref="A0.Ex60.m2.2.2.1.2.3.3.cmml">𝒩</mi></mrow></msub></mstyle><mrow id="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1" xref="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.2" lspace="0em" rspace="0.170em" xref="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.2.1.cmml">∥</mo><mrow id="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1" xref="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">Q</mi><mi id="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">M</mi><mrow id="A0.Ex60.m2.1.1.1.1" xref="A0.Ex60.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex60.m2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex60.m2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A0.Ex60.m2.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex60.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex60.m2.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex60.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex60.m2.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex60.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A0.Ex60.m2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex60.m2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml">𝐓</mi><mo id="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.2.1.1" xref="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml">𝔔</mi><mo id="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.2.2a" xref="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><msub id="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.2.4" xref="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.2.4.cmml"><mn class="ltx_mathvariant_bold" id="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.2.4.2" mathvariant="bold" xref="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.2.4.2.cmml"> 1</mn><mi id="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.2.4.3" xref="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.2.4.3.cmml">N</mi></msub></mrow></mrow><mo fence="true" id="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.3" lspace="0em" xref="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex60.m2.2b"><apply id="A0.Ex60.m2.2.2.cmml" xref="A0.Ex60.m2.2.2"><times id="A0.Ex60.m2.2.2.2.cmml" xref="A0.Ex60.m2.2.2.2"></times><apply id="A0.Ex60.m2.2.2.3.cmml" xref="A0.Ex60.m2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex60.m2.2.2.3.1.cmml" xref="A0.Ex60.m2.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="A0.Ex60.m2.2.2.3.2.cmml" xref="A0.Ex60.m2.2.2.3.2">𝐶</ci><ci id="A0.Ex60.m2.2.2.3.3.cmml" xref="A0.Ex60.m2.2.2.3.3">′</ci></apply><apply id="A0.Ex60.m2.2.2.1.cmml" xref="A0.Ex60.m2.2.2.1"><apply id="A0.Ex60.m2.2.2.1.2.cmml" xref="A0.Ex60.m2.2.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex60.m2.2.2.1.2.1.cmml" xref="A0.Ex60.m2.2.2.1.2">subscript</csymbol><sum id="A0.Ex60.m2.2.2.1.2.2.cmml" xref="A0.Ex60.m2.2.2.1.2.2"></sum><apply id="A0.Ex60.m2.2.2.1.2.3.cmml" xref="A0.Ex60.m2.2.2.1.2.3"><in id="A0.Ex60.m2.2.2.1.2.3.1.cmml" xref="A0.Ex60.m2.2.2.1.2.3.1"></in><apply id="A0.Ex60.m2.2.2.1.2.3.2.cmml" xref="A0.Ex60.m2.2.2.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex60.m2.2.2.1.2.3.2.1.cmml" xref="A0.Ex60.m2.2.2.1.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="A0.Ex60.m2.2.2.1.2.3.2.2.cmml" xref="A0.Ex60.m2.2.2.1.2.3.2.2">𝑛</ci><ci id="A0.Ex60.m2.2.2.1.2.3.2.3.cmml" xref="A0.Ex60.m2.2.2.1.2.3.2.3">′</ci></apply><ci id="A0.Ex60.m2.2.2.1.2.3.3.cmml" xref="A0.Ex60.m2.2.2.1.2.3.3">𝒩</ci></apply></apply><apply 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id="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑀</ci></apply><apply id="A0.Ex60.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex60.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex60.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex60.m2.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A0.Ex60.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex60.m2.1.1.1.1.1.2">𝑛</ci><ci id="A0.Ex60.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex60.m2.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply></apply><apply id="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑘</ci><cn id="A0.Ex60.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" 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encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex60.m2.2d">italic_C start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT ∥ italic_Q start_POSTSUBSCRIPT italic_M end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k - 1 ] - bold_T ( fraktur_Q [ italic_k - 1 ] ) bold_1 start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT ∥</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A0.Ex61"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle+NC^{\prime}\lVert\,\mathbf{T}(\mathfrak{Q}[k-1])\,\mathbf{1}_{N}% -Q_{M}^{(n)}[k-1]\,\rVert+C^{\prime\prime}\epsilon\,," class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex61.m1.2"><semantics id="A0.Ex61.m1.2a"><mrow id="A0.Ex61.m1.2.2.1" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1a" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">N</mi><mo id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.4" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.4.2" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.4.2.cmml">C</mi><mo id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.4.3" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.2a" lspace="0em" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" rspace="0.170em" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo><mrow id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝐓</mi><mo id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝔔</mi><mo id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mn class="ltx_mathvariant_bold" id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" mathvariant="bold" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml"> 1</mn><mi id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">N</mi></msub></mrow><mo id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msubsup id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">Q</mi><mi id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">M</mi><mrow id="A0.Ex61.m1.1.1.1.3" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="A0.Ex61.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">(</mo><mi id="A0.Ex61.m1.1.1.1.1" xref="A0.Ex61.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex61.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml"><mo id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo fence="true" id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" lspace="0.170em" rspace="0em" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.2" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.3" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.3.cmml"><msup id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.3.2" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.3.2.2" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.3.2.2.cmml">C</mi><mo id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.3.2.3" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.3.2.3.cmml">′′</mo></msup><mo id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.3.1" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.3.3" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.3.3.cmml">ϵ</mi></mrow></mrow><mo id="A0.Ex61.m1.2.2.1.2" lspace="0.170em" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex61.m1.2b"><apply id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1"><plus id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.2"></plus><apply id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1"><plus id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1"></plus><apply id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1"><times id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.2"></times><ci id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.3">𝑁</ci><apply id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.4.cmml" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.4.2">𝐶</ci><ci id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.4.3">′</ci></apply><apply id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3"></minus><apply id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝐓</ci><apply id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝔔</ci><apply id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑘</ci><cn id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><cn id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" type="integer" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2">1</cn><ci id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3">𝑁</ci></apply></apply><apply id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2"></times><apply id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2">𝑄</ci><ci id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3">𝑀</ci></apply><ci id="A0.Ex61.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex61.m1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1"><minus id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1"></minus><ci id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2">𝑘</ci><cn id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.3"><times id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.3.1"></times><apply id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.3.2.2">𝐶</ci><ci id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.3.2.3">′′</ci></apply><ci id="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="A0.Ex61.m1.2.2.1.1.3.3">italic-ϵ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex61.m1.2c">\displaystyle+NC^{\prime}\lVert\,\mathbf{T}(\mathfrak{Q}[k-1])\,\mathbf{1}_{N}% -Q_{M}^{(n)}[k-1]\,\rVert+C^{\prime\prime}\epsilon\,,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex61.m1.2d">+ italic_N italic_C start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∥ bold_T ( fraktur_Q [ italic_k - 1 ] ) bold_1 start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT - italic_Q start_POSTSUBSCRIPT italic_M end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k - 1 ] ∥ + italic_C start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_ϵ ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.p5.7">where <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.I2.i3" title="In Assumptions 4. ‣ III-C Performance analysis of Algorithm 1 ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Assumption</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">4(iii)</span></a> on <math alttext="\beta^{(n^{\prime})}[k]" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p5.7.m1.2"><semantics id="S5.p5.7.m1.2a"><mrow id="S5.p5.7.m1.2.3" xref="S5.p5.7.m1.2.3.cmml"><msup id="S5.p5.7.m1.2.3.2" xref="S5.p5.7.m1.2.3.2.cmml"><mi id="S5.p5.7.m1.2.3.2.2" xref="S5.p5.7.m1.2.3.2.2.cmml">β</mi><mrow id="S5.p5.7.m1.1.1.1.1" xref="S5.p5.7.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.p5.7.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.p5.7.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S5.p5.7.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.p5.7.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.p5.7.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.p5.7.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S5.p5.7.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.p5.7.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S5.p5.7.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.p5.7.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S5.p5.7.m1.2.3.1" xref="S5.p5.7.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.p5.7.m1.2.3.3.2" xref="S5.p5.7.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S5.p5.7.m1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.p5.7.m1.2.3.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S5.p5.7.m1.2.2" xref="S5.p5.7.m1.2.2.cmml">k</mi><mo id="S5.p5.7.m1.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.p5.7.m1.2.3.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p5.7.m1.2b"><apply id="S5.p5.7.m1.2.3.cmml" xref="S5.p5.7.m1.2.3"><times id="S5.p5.7.m1.2.3.1.cmml" xref="S5.p5.7.m1.2.3.1"></times><apply id="S5.p5.7.m1.2.3.2.cmml" xref="S5.p5.7.m1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p5.7.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S5.p5.7.m1.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S5.p5.7.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S5.p5.7.m1.2.3.2.2">𝛽</ci><apply id="S5.p5.7.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p5.7.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p5.7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p5.7.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.p5.7.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.p5.7.m1.1.1.1.1.1.2">𝑛</ci><ci id="S5.p5.7.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.p5.7.m1.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply></apply><apply id="S5.p5.7.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S5.p5.7.m1.2.3.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.p5.7.m1.2.3.3.1.1.cmml" xref="S5.p5.7.m1.2.3.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S5.p5.7.m1.2.2.cmml" xref="S5.p5.7.m1.2.2">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p5.7.m1.2c">\beta^{(n^{\prime})}[k]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p5.7.m1.2d">italic_β start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ]</annotation></semantics></math> was also utilized. Therefore, (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#A0.E36" title="Equation 36 ‣ V Conclusions ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">36</span></a>) becomes</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A0.EGx61"> <tbody id="A0.Ex62"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathchoice{}{}{}{}\lVert\,Q^{(n)}[k+1]-Q_{\star}\,\rVert" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex62.m1.2"><semantics id="A0.Ex62.m1.2a"><mrow id="A0.Ex62.m1.2.2.1" xref="A0.Ex62.m1.2.2.2.cmml"><mo fence="true" id="A0.Ex62.m1.2.2.1.2" rspace="0.170em" xref="A0.Ex62.m1.2.2.2.1.cmml">∥</mo><mrow id="A0.Ex62.m1.2.2.1.1" xref="A0.Ex62.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A0.Ex62.m1.2.2.1.1.1" xref="A0.Ex62.m1.2.2.1.1.1.cmml"><msup id="A0.Ex62.m1.2.2.1.1.1.3" xref="A0.Ex62.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A0.Ex62.m1.2.2.1.1.1.3.2" xref="A0.Ex62.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml">Q</mi><mrow id="A0.Ex62.m1.1.1.1.3" xref="A0.Ex62.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mo id="A0.Ex62.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A0.Ex62.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A0.Ex62.m1.1.1.1.1" xref="A0.Ex62.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex62.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A0.Ex62.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="A0.Ex62.m1.2.2.1.1.1.2" xref="A0.Ex62.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex62.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex62.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A0.Ex62.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex62.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A0.Ex62.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex62.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex62.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex62.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="A0.Ex62.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex62.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="A0.Ex62.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex62.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="A0.Ex62.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex62.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="A0.Ex62.m1.2.2.1.1.2" xref="A0.Ex62.m1.2.2.1.1.2.cmml">−</mo><msub id="A0.Ex62.m1.2.2.1.1.3" xref="A0.Ex62.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="A0.Ex62.m1.2.2.1.1.3.2" xref="A0.Ex62.m1.2.2.1.1.3.2.cmml">Q</mi><mo id="A0.Ex62.m1.2.2.1.1.3.3" xref="A0.Ex62.m1.2.2.1.1.3.3.cmml">⋆</mo></msub></mrow><mo fence="true" id="A0.Ex62.m1.2.2.1.3" lspace="0em" xref="A0.Ex62.m1.2.2.2.1.cmml">∥</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex62.m1.2b"><apply id="A0.Ex62.m1.2.2.2.cmml" xref="A0.Ex62.m1.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="A0.Ex62.m1.2.2.2.1.cmml" xref="A0.Ex62.m1.2.2.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="A0.Ex62.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A0.Ex62.m1.2.2.1.1"><minus id="A0.Ex62.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex62.m1.2.2.1.1.2"></minus><apply id="A0.Ex62.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex62.m1.2.2.1.1.1"><times id="A0.Ex62.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex62.m1.2.2.1.1.1.2"></times><apply id="A0.Ex62.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex62.m1.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex62.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A0.Ex62.m1.2.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="A0.Ex62.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A0.Ex62.m1.2.2.1.1.1.3.2">𝑄</ci><ci id="A0.Ex62.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex62.m1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="A0.Ex62.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex62.m1.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A0.Ex62.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A0.Ex62.m1.2.2.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="A0.Ex62.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex62.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"><plus id="A0.Ex62.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex62.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="A0.Ex62.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex62.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2">𝑘</ci><cn id="A0.Ex62.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A0.Ex62.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="A0.Ex62.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex62.m1.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex62.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="A0.Ex62.m1.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A0.Ex62.m1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="A0.Ex62.m1.2.2.1.1.3.2">𝑄</ci><ci id="A0.Ex62.m1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="A0.Ex62.m1.2.2.1.1.3.3">⋆</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex62.m1.2c">\displaystyle\mathchoice{}{}{}{}\lVert\,Q^{(n)}[k+1]-Q_{\star}\,\rVert</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex62.m1.2d">∥ italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k + 1 ] - italic_Q start_POSTSUBSCRIPT ⋆ end_POSTSUBSCRIPT ∥</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A0.Ex63"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle{}\leq{}" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex63.m1.1"><semantics id="A0.Ex63.m1.1a"><mo id="A0.Ex63.m1.1.1" xref="A0.Ex63.m1.1.1.cmml">≤</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex63.m1.1b"><leq id="A0.Ex63.m1.1.1.cmml" xref="A0.Ex63.m1.1.1"></leq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex63.m1.1c">\displaystyle{}\leq{}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex63.m1.1d">≤</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\beta_{\star}\,\lVert\,Q^{(n)}[k]-Q_{\star}\,\rVert" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex63.m2.3"><semantics id="A0.Ex63.m2.3a"><mrow id="A0.Ex63.m2.3.3" xref="A0.Ex63.m2.3.3.cmml"><msub id="A0.Ex63.m2.3.3.3" xref="A0.Ex63.m2.3.3.3.cmml"><mi id="A0.Ex63.m2.3.3.3.2" xref="A0.Ex63.m2.3.3.3.2.cmml">β</mi><mo id="A0.Ex63.m2.3.3.3.3" xref="A0.Ex63.m2.3.3.3.3.cmml">⋆</mo></msub><mo id="A0.Ex63.m2.3.3.2" lspace="0.170em" xref="A0.Ex63.m2.3.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex63.m2.3.3.1.1" xref="A0.Ex63.m2.3.3.1.2.cmml"><mo fence="true" id="A0.Ex63.m2.3.3.1.1.2" rspace="0.170em" xref="A0.Ex63.m2.3.3.1.2.1.cmml">∥</mo><mrow id="A0.Ex63.m2.3.3.1.1.1" xref="A0.Ex63.m2.3.3.1.1.1.cmml"><mrow id="A0.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2" xref="A0.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.cmml"><msup id="A0.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.2" xref="A0.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A0.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.2.2" xref="A0.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.2.2.cmml">Q</mi><mrow id="A0.Ex63.m2.1.1.1.3" xref="A0.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.2.cmml"><mo id="A0.Ex63.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A0.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="A0.Ex63.m2.1.1.1.1" xref="A0.Ex63.m2.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex63.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A0.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="A0.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.1" xref="A0.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.3.2" xref="A0.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="A0.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A0.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="A0.Ex63.m2.2.2" xref="A0.Ex63.m2.2.2.cmml">k</mi><mo id="A0.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A0.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="A0.Ex63.m2.3.3.1.1.1.1" xref="A0.Ex63.m2.3.3.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A0.Ex63.m2.3.3.1.1.1.3" xref="A0.Ex63.m2.3.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="A0.Ex63.m2.3.3.1.1.1.3.2" xref="A0.Ex63.m2.3.3.1.1.1.3.2.cmml">Q</mi><mo id="A0.Ex63.m2.3.3.1.1.1.3.3" xref="A0.Ex63.m2.3.3.1.1.1.3.3.cmml">⋆</mo></msub></mrow><mo fence="true" id="A0.Ex63.m2.3.3.1.1.3" lspace="0em" xref="A0.Ex63.m2.3.3.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex63.m2.3b"><apply id="A0.Ex63.m2.3.3.cmml" xref="A0.Ex63.m2.3.3"><times id="A0.Ex63.m2.3.3.2.cmml" xref="A0.Ex63.m2.3.3.2"></times><apply id="A0.Ex63.m2.3.3.3.cmml" xref="A0.Ex63.m2.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex63.m2.3.3.3.1.cmml" xref="A0.Ex63.m2.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="A0.Ex63.m2.3.3.3.2.cmml" xref="A0.Ex63.m2.3.3.3.2">𝛽</ci><ci id="A0.Ex63.m2.3.3.3.3.cmml" xref="A0.Ex63.m2.3.3.3.3">⋆</ci></apply><apply id="A0.Ex63.m2.3.3.1.2.cmml" xref="A0.Ex63.m2.3.3.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A0.Ex63.m2.3.3.1.2.1.cmml" xref="A0.Ex63.m2.3.3.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="A0.Ex63.m2.3.3.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex63.m2.3.3.1.1.1"><minus id="A0.Ex63.m2.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex63.m2.3.3.1.1.1.1"></minus><apply id="A0.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2"><times id="A0.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="A0.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.1"></times><apply id="A0.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="A0.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A0.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="A0.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A0.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.2.2">𝑄</ci><ci id="A0.Ex63.m2.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex63.m2.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="A0.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A0.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="A0.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.3.1.1.cmml" xref="A0.Ex63.m2.3.3.1.1.1.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="A0.Ex63.m2.2.2.cmml" xref="A0.Ex63.m2.2.2">𝑘</ci></apply></apply><apply id="A0.Ex63.m2.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex63.m2.3.3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex63.m2.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="A0.Ex63.m2.3.3.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A0.Ex63.m2.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="A0.Ex63.m2.3.3.1.1.1.3.2">𝑄</ci><ci id="A0.Ex63.m2.3.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="A0.Ex63.m2.3.3.1.1.1.3.3">⋆</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex63.m2.3c">\displaystyle\beta_{\star}\,\lVert\,Q^{(n)}[k]-Q_{\star}\,\rVert</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex63.m2.3d">italic_β start_POSTSUBSCRIPT ⋆ end_POSTSUBSCRIPT ∥ italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ] - italic_Q start_POSTSUBSCRIPT ⋆ end_POSTSUBSCRIPT ∥</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A0.Ex64"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle+C^{\prime}\sum\nolimits_{n^{\prime}\in\mathcal{N}}\lVert\,Q_{M}^% {(n^{\prime})}[k-1]-\mathbf{T}(\mathfrak{Q}[k-1])\,\mathbf{1}_{N}\,\rVert" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex64.m1.2"><semantics id="A0.Ex64.m1.2a"><mrow id="A0.Ex64.m1.2.2" xref="A0.Ex64.m1.2.2.cmml"><mo id="A0.Ex64.m1.2.2a" xref="A0.Ex64.m1.2.2.cmml">+</mo><mrow id="A0.Ex64.m1.2.2.1" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.cmml"><msup id="A0.Ex64.m1.2.2.1.3" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.3.cmml"><mi id="A0.Ex64.m1.2.2.1.3.2" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.3.2.cmml">C</mi><mo id="A0.Ex64.m1.2.2.1.3.3" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.3.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A0.Ex64.m1.2.2.1.2" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex64.m1.2.2.1.1" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.2" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.2.cmml"><msub id="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.2a" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.2.2" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.2.3" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.2.3.cmml"><msup id="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.2.3.2" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.2.3.2.2" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.2.3.2.2.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.2.3.2.3" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.2.3.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.2.3.1" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.2.3.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.2.3.3" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.2.3.3.cmml">𝒩</mi></mrow></msub></mstyle><mrow id="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.2" lspace="0em" rspace="0.170em" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo><mrow id="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">Q</mi><mi id="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">M</mi><mrow id="A0.Ex64.m1.1.1.1.1" xref="A0.Ex64.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex64.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex64.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A0.Ex64.m1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex64.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex64.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex64.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex64.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex64.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A0.Ex64.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex64.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">𝐓</mi><mo id="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml">𝔔</mi><mo id="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2a" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><msub id="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.4" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mn class="ltx_mathvariant_bold" id="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.4.2" mathvariant="bold" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml"> 1</mn><mi id="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.4.3" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml">N</mi></msub></mrow></mrow><mo fence="true" id="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.3" lspace="0em" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex64.m1.2b"><apply id="A0.Ex64.m1.2.2.cmml" xref="A0.Ex64.m1.2.2"><plus id="A0.Ex64.m1.2.2.2.cmml" xref="A0.Ex64.m1.2.2"></plus><apply id="A0.Ex64.m1.2.2.1.cmml" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1"><times id="A0.Ex64.m1.2.2.1.2.cmml" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.2"></times><apply id="A0.Ex64.m1.2.2.1.3.cmml" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex64.m1.2.2.1.3.1.cmml" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.3">superscript</csymbol><ci id="A0.Ex64.m1.2.2.1.3.2.cmml" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.3.2">𝐶</ci><ci id="A0.Ex64.m1.2.2.1.3.3.cmml" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.3.3">′</ci></apply><apply id="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.1"><apply id="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.2.2"></sum><apply id="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.2.3"><in id="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.2.3.1"></in><apply id="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.2.3.2.cmml" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.2.3.2.2">𝑛</ci><ci id="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.2.3.2.3">′</ci></apply><ci id="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.2.3.3.cmml" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.2.3.3">𝒩</ci></apply></apply><apply id="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1"><minus 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id="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.4">subscript</csymbol><cn id="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml" type="integer" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.4.2">1</cn><ci id="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml" xref="A0.Ex64.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.4.3">𝑁</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex64.m1.2c">\displaystyle+C^{\prime}\sum\nolimits_{n^{\prime}\in\mathcal{N}}\lVert\,Q_{M}^% {(n^{\prime})}[k-1]-\mathbf{T}(\mathfrak{Q}[k-1])\,\mathbf{1}_{N}\,\rVert</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex64.m1.2d">+ italic_C start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT ∥ italic_Q start_POSTSUBSCRIPT italic_M end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k - 1 ] - bold_T ( fraktur_Q [ italic_k - 1 ] ) bold_1 start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT ∥</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A0.Ex65"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle+NC^{\prime}\lVert\,\mathbf{T}(\mathfrak{Q}[k-1])\,\mathbf{1}_{N}% -Q_{M}^{(n)}[k-1]\,\rVert+C^{\prime\prime}\epsilon" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex65.m1.2"><semantics id="A0.Ex65.m1.2a"><mrow id="A0.Ex65.m1.2.2" xref="A0.Ex65.m1.2.2.cmml"><mrow id="A0.Ex65.m1.2.2.1" xref="A0.Ex65.m1.2.2.1.cmml"><mo id="A0.Ex65.m1.2.2.1a" xref="A0.Ex65.m1.2.2.1.cmml">+</mo><mrow id="A0.Ex65.m1.2.2.1.1" xref="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.3" xref="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.3.cmml">N</mi><mo id="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.2" xref="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.4" xref="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.4.cmml"><mi id="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.4.2" xref="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.4.2.cmml">C</mi><mo id="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.4.3" xref="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.4.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.2a" lspace="0em" xref="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1" xref="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.2" rspace="0.170em" xref="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo><mrow id="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝐓</mi><mo id="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝔔</mi><mo id="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2a" xref="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4" xref="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mn class="ltx_mathvariant_bold" id="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4.2" mathvariant="bold" xref="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml"> 1</mn><mi id="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">N</mi></msub></mrow><mo id="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><msubsup id="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3" xref="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">Q</mi><mi id="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">M</mi><mrow id="A0.Ex65.m1.1.1.1.3" xref="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="A0.Ex65.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">(</mo><mi id="A0.Ex65.m1.1.1.1.1" xref="A0.Ex65.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex65.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2" xref="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml"><mo id="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo fence="true" id="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.3" lspace="0.170em" rspace="0em" xref="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A0.Ex65.m1.2.2.2" xref="A0.Ex65.m1.2.2.2.cmml">+</mo><mrow id="A0.Ex65.m1.2.2.3" xref="A0.Ex65.m1.2.2.3.cmml"><msup id="A0.Ex65.m1.2.2.3.2" xref="A0.Ex65.m1.2.2.3.2.cmml"><mi id="A0.Ex65.m1.2.2.3.2.2" xref="A0.Ex65.m1.2.2.3.2.2.cmml">C</mi><mo id="A0.Ex65.m1.2.2.3.2.3" xref="A0.Ex65.m1.2.2.3.2.3.cmml">′′</mo></msup><mo id="A0.Ex65.m1.2.2.3.1" xref="A0.Ex65.m1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A0.Ex65.m1.2.2.3.3" xref="A0.Ex65.m1.2.2.3.3.cmml">ϵ</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex65.m1.2b"><apply id="A0.Ex65.m1.2.2.cmml" xref="A0.Ex65.m1.2.2"><plus id="A0.Ex65.m1.2.2.2.cmml" xref="A0.Ex65.m1.2.2.2"></plus><apply id="A0.Ex65.m1.2.2.1.cmml" xref="A0.Ex65.m1.2.2.1"><plus id="A0.Ex65.m1.2.2.1.2.cmml" xref="A0.Ex65.m1.2.2.1"></plus><apply id="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A0.Ex65.m1.2.2.1.1"><times id="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.2"></times><ci id="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.3">𝑁</ci><apply id="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.4.cmml" xref="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.4.1.cmml" xref="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.4.2.cmml" xref="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.4.2">𝐶</ci><ci id="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.4.3.cmml" xref="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.4.3">′</ci></apply><apply id="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1"><minus id="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.3"></minus><apply id="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"><times id="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3">𝐓</ci><apply id="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝔔</ci><apply id="A0.Ex65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" 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id="A0.Ex65.m1.2.2.3.2.3.cmml" xref="A0.Ex65.m1.2.2.3.2.3">′′</ci></apply><ci id="A0.Ex65.m1.2.2.3.3.cmml" xref="A0.Ex65.m1.2.2.3.3">italic-ϵ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex65.m1.2c">\displaystyle+NC^{\prime}\lVert\,\mathbf{T}(\mathfrak{Q}[k-1])\,\mathbf{1}_{N}% -Q_{M}^{(n)}[k-1]\,\rVert+C^{\prime\prime}\epsilon</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex65.m1.2d">+ italic_N italic_C start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∥ bold_T ( fraktur_Q [ italic_k - 1 ] ) bold_1 start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT - italic_Q start_POSTSUBSCRIPT italic_M end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k - 1 ] ∥ + italic_C start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_ϵ</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A0.Ex66"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle+\lVert\,Q_{M}^{(n)}[k]-\mathbf{T}(\mathfrak{Q}[k])\,\mathbf{1}_{% N}\,\rVert" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex66.m1.4"><semantics id="A0.Ex66.m1.4a"><mrow id="A0.Ex66.m1.4.4" xref="A0.Ex66.m1.4.4.cmml"><mo id="A0.Ex66.m1.4.4a" xref="A0.Ex66.m1.4.4.cmml">+</mo><mrow id="A0.Ex66.m1.4.4.1.1" xref="A0.Ex66.m1.4.4.1.2.cmml"><mo fence="true" id="A0.Ex66.m1.4.4.1.1.2" lspace="0em" rspace="0.170em" xref="A0.Ex66.m1.4.4.1.2.1.cmml">∥</mo><mrow id="A0.Ex66.m1.4.4.1.1.1" xref="A0.Ex66.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mrow id="A0.Ex66.m1.4.4.1.1.1.3" xref="A0.Ex66.m1.4.4.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="A0.Ex66.m1.4.4.1.1.1.3.2" xref="A0.Ex66.m1.4.4.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A0.Ex66.m1.4.4.1.1.1.3.2.2.2" xref="A0.Ex66.m1.4.4.1.1.1.3.2.2.2.cmml">Q</mi><mi id="A0.Ex66.m1.4.4.1.1.1.3.2.2.3" xref="A0.Ex66.m1.4.4.1.1.1.3.2.2.3.cmml">M</mi><mrow 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id="A0.Ex66.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex66.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex66.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex66.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex66.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex66.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.Ex66.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex66.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex66.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex66.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝔔</mi><mo id="A0.Ex66.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex66.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex66.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A0.Ex66.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="A0.Ex66.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A0.Ex66.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="A0.Ex66.m1.3.3" xref="A0.Ex66.m1.3.3.cmml">k</mi><mo id="A0.Ex66.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A0.Ex66.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="A0.Ex66.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" 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cd="ambiguous" id="A0.Ex66.m1.4.4.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A0.Ex66.m1.4.4.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><cn id="A0.Ex66.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.cmml" type="integer" xref="A0.Ex66.m1.4.4.1.1.1.1.4.2">1</cn><ci id="A0.Ex66.m1.4.4.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A0.Ex66.m1.4.4.1.1.1.1.4.3">𝑁</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex66.m1.4c">\displaystyle+\lVert\,Q_{M}^{(n)}[k]-\mathbf{T}(\mathfrak{Q}[k])\,\mathbf{1}_{% N}\,\rVert</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex66.m1.4d">+ ∥ italic_Q start_POSTSUBSCRIPT italic_M end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ] - bold_T ( fraktur_Q [ italic_k ] ) bold_1 start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT ∥</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A0.E37"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.E37.m1.1"><semantics id="A0.E37.m1.1a"><mo id="A0.E37.m1.1.1" xref="A0.E37.m1.1.1.cmml">≤</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.E37.m1.1b"><leq id="A0.E37.m1.1.1.cmml" xref="A0.E37.m1.1.1"></leq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.E37.m1.1c">\displaystyle\leq</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.E37.m1.1d">≤</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\beta_{\star}\,\lVert\,Q^{(n)}[k]-Q_{\star}\,\rVert+C\,(M\,% \varrho^{M}(\eta)+\epsilon)\,," class="ltx_Math" display="inline" id="A0.E37.m2.4"><semantics id="A0.E37.m2.4a"><mrow id="A0.E37.m2.4.4.1" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.cmml"><mrow id="A0.E37.m2.4.4.1.1" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.cmml"><mrow id="A0.E37.m2.4.4.1.1.1" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.cmml"><msub id="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.3" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.3.cmml"><mi id="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.3.2" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.3.2.cmml">β</mi><mo id="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.3.3" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.3.3.cmml">⋆</mo></msub><mo id="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.2" lspace="0.170em" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.1.1" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.1.1.2" rspace="0.170em" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo><mrow id="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msup id="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">Q</mi><mrow id="A0.E37.m2.1.1.1.3" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mo id="A0.E37.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="A0.E37.m2.1.1.1.1" xref="A0.E37.m2.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="A0.E37.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="A0.E37.m2.2.2" xref="A0.E37.m2.2.2.cmml">k</mi><mo id="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Q</mi><mo id="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">⋆</mo></msub></mrow><mo fence="true" id="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.1.1.3" lspace="0em" rspace="0em" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow></mrow><mo id="A0.E37.m2.4.4.1.1.3" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.3.cmml">+</mo><mrow id="A0.E37.m2.4.4.1.1.2" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.2.cmml"><mi id="A0.E37.m2.4.4.1.1.2.3" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.2.3.cmml">C</mi><mo id="A0.E37.m2.4.4.1.1.2.2" lspace="0.170em" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.E37.m2.4.4.1.1.2.1.1" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="A0.E37.m2.4.4.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.E37.m2.4.4.1.1.2.1.1.1" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.2.1.1.1.cmml"><mrow id="A0.E37.m2.4.4.1.1.2.1.1.1.2" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="A0.E37.m2.4.4.1.1.2.1.1.1.2.2" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml">M</mi><mo id="A0.E37.m2.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1" lspace="0.170em" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="A0.E37.m2.4.4.1.1.2.1.1.1.2.3" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A0.E37.m2.4.4.1.1.2.1.1.1.2.3.2" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.2.1.1.1.2.3.2.cmml">ϱ</mi><mi id="A0.E37.m2.4.4.1.1.2.1.1.1.2.3.3" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.2.1.1.1.2.3.3.cmml">M</mi></msup><mo id="A0.E37.m2.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1a" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.E37.m2.4.4.1.1.2.1.1.1.2.4.2" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="A0.E37.m2.4.4.1.1.2.1.1.1.2.4.2.1" stretchy="false" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.2.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A0.E37.m2.3.3" xref="A0.E37.m2.3.3.cmml">η</mi><mo id="A0.E37.m2.4.4.1.1.2.1.1.1.2.4.2.2" stretchy="false" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.2.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A0.E37.m2.4.4.1.1.2.1.1.1.1" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="A0.E37.m2.4.4.1.1.2.1.1.1.3" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.2.1.1.1.3.cmml">ϵ</mi></mrow><mo id="A0.E37.m2.4.4.1.1.2.1.1.3" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A0.E37.m2.4.4.1.2" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.E37.m2.4b"><apply id="A0.E37.m2.4.4.1.1.cmml" xref="A0.E37.m2.4.4.1"><plus id="A0.E37.m2.4.4.1.1.3.cmml" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.3"></plus><apply id="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.cmml" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.1"><times id="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.2"></times><apply id="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.3.1.cmml" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.3.2.cmml" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.3.2">𝛽</ci><ci id="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.3.3.cmml" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.3.3">⋆</ci></apply><apply id="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.1.1.1"><minus id="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2"><times id="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑄</ci><ci id="A0.E37.m2.1.1.1.1.cmml" xref="A0.E37.m2.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.1.1.cmml" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="A0.E37.m2.2.2.cmml" xref="A0.E37.m2.2.2">𝑘</ci></apply></apply><apply id="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑄</ci><ci id="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3">⋆</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="A0.E37.m2.4.4.1.1.2.cmml" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.2"><times id="A0.E37.m2.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.2.2"></times><ci id="A0.E37.m2.4.4.1.1.2.3.cmml" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.2.3">𝐶</ci><apply id="A0.E37.m2.4.4.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.2.1.1"><plus id="A0.E37.m2.4.4.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.2.1.1.1.1"></plus><apply id="A0.E37.m2.4.4.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.2.1.1.1.2"><times id="A0.E37.m2.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1"></times><ci id="A0.E37.m2.4.4.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.2.1.1.1.2.2">𝑀</ci><apply id="A0.E37.m2.4.4.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.2.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E37.m2.4.4.1.1.2.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.2.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="A0.E37.m2.4.4.1.1.2.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.2.1.1.1.2.3.2">italic-ϱ</ci><ci id="A0.E37.m2.4.4.1.1.2.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.2.1.1.1.2.3.3">𝑀</ci></apply><ci id="A0.E37.m2.3.3.cmml" xref="A0.E37.m2.3.3">𝜂</ci></apply><ci id="A0.E37.m2.4.4.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="A0.E37.m2.4.4.1.1.2.1.1.1.3">italic-ϵ</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.E37.m2.4c">\displaystyle\beta_{\star}\,\lVert\,Q^{(n)}[k]-Q_{\star}\,\rVert+C\,(M\,% \varrho^{M}(\eta)+\epsilon)\,,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.E37.m2.4d">italic_β start_POSTSUBSCRIPT ⋆ end_POSTSUBSCRIPT ∥ italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k ] - italic_Q start_POSTSUBSCRIPT ⋆ end_POSTSUBSCRIPT ∥ + italic_C ( italic_M italic_ϱ start_POSTSUPERSCRIPT italic_M end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_η ) + italic_ϵ ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(37)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.p5.12">for some <math alttext="C\in\mathbb{R}_{++}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p5.8.m1.1"><semantics id="S5.p5.8.m1.1a"><mrow id="S5.p5.8.m1.1.1" xref="S5.p5.8.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.p5.8.m1.1.1.2" xref="S5.p5.8.m1.1.1.2.cmml">C</mi><mo id="S5.p5.8.m1.1.1.1" xref="S5.p5.8.m1.1.1.1.cmml">∈</mo><msub id="S5.p5.8.m1.1.1.3" xref="S5.p5.8.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.p5.8.m1.1.1.3.2" xref="S5.p5.8.m1.1.1.3.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S5.p5.8.m1.1.1.3.3" xref="S5.p5.8.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.p5.8.m1.1.1.3.3.2" xref="S5.p5.8.m1.1.1.3.3.2.cmml"></mi><mo id="S5.p5.8.m1.1.1.3.3.1" rspace="0em" xref="S5.p5.8.m1.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mo id="S5.p5.8.m1.1.1.3.3.3" lspace="0em" xref="S5.p5.8.m1.1.1.3.3.3.cmml">+</mo></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p5.8.m1.1b"><apply id="S5.p5.8.m1.1.1.cmml" xref="S5.p5.8.m1.1.1"><in id="S5.p5.8.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.p5.8.m1.1.1.1"></in><ci id="S5.p5.8.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.p5.8.m1.1.1.2">𝐶</ci><apply id="S5.p5.8.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.p5.8.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p5.8.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p5.8.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.p5.8.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p5.8.m1.1.1.3.2">ℝ</ci><apply id="S5.p5.8.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.p5.8.m1.1.1.3.3"><plus id="S5.p5.8.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.p5.8.m1.1.1.3.3.1"></plus><csymbol cd="latexml" id="S5.p5.8.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.p5.8.m1.1.1.3.3.2">absent</csymbol><plus id="S5.p5.8.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.p5.8.m1.1.1.3.3.3"></plus></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p5.8.m1.1c">C\in\mathbb{R}_{++}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p5.8.m1.1d">italic_C ∈ blackboard_R start_POSTSUBSCRIPT + + end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, where the existence of <math alttext="C" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p5.9.m2.1"><semantics id="S5.p5.9.m2.1a"><mi id="S5.p5.9.m2.1.1" xref="S5.p5.9.m2.1.1.cmml">C</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p5.9.m2.1b"><ci id="S5.p5.9.m2.1.1.cmml" xref="S5.p5.9.m2.1.1">𝐶</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p5.9.m2.1c">C</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p5.9.m2.1d">italic_C</annotation></semantics></math> is ensured by <math alttext="C^{\prime\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p5.10.m3.1"><semantics id="S5.p5.10.m3.1a"><msup id="S5.p5.10.m3.1.1" xref="S5.p5.10.m3.1.1.cmml"><mi id="S5.p5.10.m3.1.1.2" xref="S5.p5.10.m3.1.1.2.cmml">C</mi><mo id="S5.p5.10.m3.1.1.3" xref="S5.p5.10.m3.1.1.3.cmml">′′</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p5.10.m3.1b"><apply id="S5.p5.10.m3.1.1.cmml" xref="S5.p5.10.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p5.10.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.p5.10.m3.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.p5.10.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.p5.10.m3.1.1.2">𝐶</ci><ci id="S5.p5.10.m3.1.1.3.cmml" xref="S5.p5.10.m3.1.1.3">′′</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p5.10.m3.1c">C^{\prime\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p5.10.m3.1d">italic_C start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.I3.i2" title="In Theorem 5. ‣ III-C Performance analysis of Algorithm 1 ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Theorem</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">5(ii)</span></a> and <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.I2.i4" title="In Assumptions 4. ‣ III-C Performance analysis of Algorithm 1 ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Assumption</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">4(iv)</span></a>. Now, by using induction on (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#A0.E37" title="Equation 37 ‣ V Conclusions ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">37</span></a>), it can be verified that there exists a sufficiently large <math alttext="k_{0}\in\mathbb{N}_{*}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p5.11.m4.1"><semantics id="S5.p5.11.m4.1a"><mrow id="S5.p5.11.m4.1.1" xref="S5.p5.11.m4.1.1.cmml"><msub id="S5.p5.11.m4.1.1.2" xref="S5.p5.11.m4.1.1.2.cmml"><mi id="S5.p5.11.m4.1.1.2.2" xref="S5.p5.11.m4.1.1.2.2.cmml">k</mi><mn id="S5.p5.11.m4.1.1.2.3" xref="S5.p5.11.m4.1.1.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S5.p5.11.m4.1.1.1" xref="S5.p5.11.m4.1.1.1.cmml">∈</mo><msub id="S5.p5.11.m4.1.1.3" xref="S5.p5.11.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S5.p5.11.m4.1.1.3.2" xref="S5.p5.11.m4.1.1.3.2.cmml">ℕ</mi><mo id="S5.p5.11.m4.1.1.3.3" xref="S5.p5.11.m4.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p5.11.m4.1b"><apply id="S5.p5.11.m4.1.1.cmml" xref="S5.p5.11.m4.1.1"><in id="S5.p5.11.m4.1.1.1.cmml" xref="S5.p5.11.m4.1.1.1"></in><apply id="S5.p5.11.m4.1.1.2.cmml" xref="S5.p5.11.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p5.11.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p5.11.m4.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.p5.11.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p5.11.m4.1.1.2.2">𝑘</ci><cn id="S5.p5.11.m4.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.p5.11.m4.1.1.2.3">0</cn></apply><apply id="S5.p5.11.m4.1.1.3.cmml" xref="S5.p5.11.m4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p5.11.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p5.11.m4.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.p5.11.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p5.11.m4.1.1.3.2">ℕ</ci><times id="S5.p5.11.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S5.p5.11.m4.1.1.3.3"></times></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p5.11.m4.1c">k_{0}\in\mathbb{N}_{*}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p5.11.m4.1d">italic_k start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ∈ blackboard_N start_POSTSUBSCRIPT ∗ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> such that for all <math alttext="\mathbb{N}_{*}\ni k>k_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p5.12.m5.1"><semantics id="S5.p5.12.m5.1a"><mrow id="S5.p5.12.m5.1.1" xref="S5.p5.12.m5.1.1.cmml"><msub id="S5.p5.12.m5.1.1.2" xref="S5.p5.12.m5.1.1.2.cmml"><mi id="S5.p5.12.m5.1.1.2.2" xref="S5.p5.12.m5.1.1.2.2.cmml">ℕ</mi><mo id="S5.p5.12.m5.1.1.2.3" xref="S5.p5.12.m5.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msub><mo id="S5.p5.12.m5.1.1.3" xref="S5.p5.12.m5.1.1.3.cmml">∋</mo><mi id="S5.p5.12.m5.1.1.4" xref="S5.p5.12.m5.1.1.4.cmml">k</mi><mo id="S5.p5.12.m5.1.1.5" xref="S5.p5.12.m5.1.1.5.cmml">></mo><msub id="S5.p5.12.m5.1.1.6" xref="S5.p5.12.m5.1.1.6.cmml"><mi id="S5.p5.12.m5.1.1.6.2" xref="S5.p5.12.m5.1.1.6.2.cmml">k</mi><mn id="S5.p5.12.m5.1.1.6.3" xref="S5.p5.12.m5.1.1.6.3.cmml">0</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p5.12.m5.1b"><apply id="S5.p5.12.m5.1.1.cmml" xref="S5.p5.12.m5.1.1"><and id="S5.p5.12.m5.1.1a.cmml" xref="S5.p5.12.m5.1.1"></and><apply id="S5.p5.12.m5.1.1b.cmml" xref="S5.p5.12.m5.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.p5.12.m5.1.1.3.cmml" xref="S5.p5.12.m5.1.1.3">contains</csymbol><apply id="S5.p5.12.m5.1.1.2.cmml" xref="S5.p5.12.m5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p5.12.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p5.12.m5.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.p5.12.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p5.12.m5.1.1.2.2">ℕ</ci><times id="S5.p5.12.m5.1.1.2.3.cmml" xref="S5.p5.12.m5.1.1.2.3"></times></apply><ci id="S5.p5.12.m5.1.1.4.cmml" xref="S5.p5.12.m5.1.1.4">𝑘</ci></apply><apply id="S5.p5.12.m5.1.1c.cmml" xref="S5.p5.12.m5.1.1"><gt id="S5.p5.12.m5.1.1.5.cmml" xref="S5.p5.12.m5.1.1.5"></gt><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S5.p5.12.m5.1.1.4.cmml" id="S5.p5.12.m5.1.1d.cmml" xref="S5.p5.12.m5.1.1"></share><apply id="S5.p5.12.m5.1.1.6.cmml" xref="S5.p5.12.m5.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p5.12.m5.1.1.6.1.cmml" xref="S5.p5.12.m5.1.1.6">subscript</csymbol><ci id="S5.p5.12.m5.1.1.6.2.cmml" xref="S5.p5.12.m5.1.1.6.2">𝑘</ci><cn id="S5.p5.12.m5.1.1.6.3.cmml" type="integer" xref="S5.p5.12.m5.1.1.6.3">0</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p5.12.m5.1c">\mathbb{N}_{*}\ni k>k_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p5.12.m5.1d">blackboard_N start_POSTSUBSCRIPT ∗ end_POSTSUBSCRIPT ∋ italic_k > italic_k start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>,</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A0.EGx62"> <tbody id="A0.Ex67"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\lVert\,Q^{(n)}[k+k_{0}]-Q_{\star}\,\rVert" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex67.m1.2"><semantics id="A0.Ex67.m1.2a"><mrow id="A0.Ex67.m1.2.2.1" xref="A0.Ex67.m1.2.2.2.cmml"><mo fence="true" id="A0.Ex67.m1.2.2.1.2" rspace="0.170em" xref="A0.Ex67.m1.2.2.2.1.cmml">∥</mo><mrow id="A0.Ex67.m1.2.2.1.1" xref="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.1" xref="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.1.cmml"><msup id="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.1.3" xref="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.1.3.2" xref="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml">Q</mi><mrow id="A0.Ex67.m1.1.1.1.3" xref="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mo id="A0.Ex67.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A0.Ex67.m1.1.1.1.1" xref="A0.Ex67.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex67.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.1.2" xref="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msub id="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">k</mi><mn id="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow><mo id="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.2" xref="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.2.cmml">−</mo><msub id="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.3" xref="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.3.2" xref="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.3.2.cmml">Q</mi><mo id="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.3.3" xref="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.3.3.cmml">⋆</mo></msub></mrow><mo fence="true" id="A0.Ex67.m1.2.2.1.3" lspace="0em" xref="A0.Ex67.m1.2.2.2.1.cmml">∥</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex67.m1.2b"><apply id="A0.Ex67.m1.2.2.2.cmml" xref="A0.Ex67.m1.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="A0.Ex67.m1.2.2.2.1.cmml" xref="A0.Ex67.m1.2.2.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A0.Ex67.m1.2.2.1.1"><minus id="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.2"></minus><apply id="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.1"><times id="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.1.2"></times><apply id="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.1.3.2">𝑄</ci><ci id="A0.Ex67.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex67.m1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"><plus id="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2">𝑘</ci><apply id="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑘</ci><cn id="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3">0</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.3.2">𝑄</ci><ci id="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="A0.Ex67.m1.2.2.1.1.3.3">⋆</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex67.m1.2c">\displaystyle\lVert\,Q^{(n)}[k+k_{0}]-Q_{\star}\,\rVert</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex67.m1.2d">∥ italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_k + italic_k start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ] - italic_Q start_POSTSUBSCRIPT ⋆ end_POSTSUBSCRIPT ∥</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle{}\leq{}" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex67.m2.1"><semantics id="A0.Ex67.m2.1a"><mo id="A0.Ex67.m2.1.1" xref="A0.Ex67.m2.1.1.cmml">≤</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex67.m2.1b"><leq id="A0.Ex67.m2.1.1.cmml" xref="A0.Ex67.m2.1.1"></leq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex67.m2.1c">\displaystyle{}\leq{}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex67.m2.1d">≤</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\beta_{\star}^{k}\lVert\,Q^{(n)}[k_{0}]-Q_{\star}\,\rVert" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex67.m3.2"><semantics id="A0.Ex67.m3.2a"><mrow id="A0.Ex67.m3.2.2" xref="A0.Ex67.m3.2.2.cmml"><msubsup id="A0.Ex67.m3.2.2.3" xref="A0.Ex67.m3.2.2.3.cmml"><mi id="A0.Ex67.m3.2.2.3.2.2" xref="A0.Ex67.m3.2.2.3.2.2.cmml">β</mi><mo id="A0.Ex67.m3.2.2.3.2.3" xref="A0.Ex67.m3.2.2.3.2.3.cmml">⋆</mo><mi id="A0.Ex67.m3.2.2.3.3" xref="A0.Ex67.m3.2.2.3.3.cmml">k</mi></msubsup><mo id="A0.Ex67.m3.2.2.2" lspace="0em" xref="A0.Ex67.m3.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex67.m3.2.2.1.1" xref="A0.Ex67.m3.2.2.1.2.cmml"><mo fence="true" id="A0.Ex67.m3.2.2.1.1.2" rspace="0.170em" xref="A0.Ex67.m3.2.2.1.2.1.cmml">∥</mo><mrow id="A0.Ex67.m3.2.2.1.1.1" xref="A0.Ex67.m3.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="A0.Ex67.m3.2.2.1.1.1.1" xref="A0.Ex67.m3.2.2.1.1.1.1.cmml"><msup id="A0.Ex67.m3.2.2.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex67.m3.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A0.Ex67.m3.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="A0.Ex67.m3.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">Q</mi><mrow id="A0.Ex67.m3.1.1.1.3" xref="A0.Ex67.m3.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A0.Ex67.m3.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A0.Ex67.m3.2.2.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A0.Ex67.m3.1.1.1.1" xref="A0.Ex67.m3.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="A0.Ex67.m3.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A0.Ex67.m3.2.2.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="A0.Ex67.m3.2.2.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex67.m3.2.2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex67.m3.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex67.m3.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A0.Ex67.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex67.m3.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><msub id="A0.Ex67.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex67.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex67.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" 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id="A0.Ex67.m3.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A0.Ex67.m3.2.2.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="A0.Ex67.m3.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A0.Ex67.m3.2.2.1.1.1.1.3.2">𝑄</ci><ci id="A0.Ex67.m3.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex67.m3.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="A0.Ex67.m3.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex67.m3.2.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A0.Ex67.m3.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A0.Ex67.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="A0.Ex67.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex67.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex67.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex67.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A0.Ex67.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex67.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑘</ci><cn id="A0.Ex67.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A0.Ex67.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply></apply></apply><apply id="A0.Ex67.m3.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex67.m3.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex67.m3.2.2.1.1.1.3.1.cmml" 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ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle+C\,(M\,\varrho^{M}(\eta)+\epsilon)\sum\nolimits_{i=0}^{k-1}\beta% _{\star}^{i}\,." class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex68.m1.2"><semantics id="A0.Ex68.m1.2a"><mrow id="A0.Ex68.m1.2.2.1" xref="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A0.Ex68.m1.2.2.1.1" xref="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex68.m1.2.2.1.1a" xref="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.cmml">+</mo><mrow id="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1" xref="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.3" xref="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">C</mi><mo id="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.2" lspace="0.170em" xref="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi 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id="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex68.m1.2.2.1"></plus><apply id="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1"><times id="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.2"></times><ci id="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.3">𝐶</ci><apply id="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.1.1"><plus id="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2"><times id="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑀</ci><apply id="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2">italic-ϱ</ci><ci id="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑀</ci></apply><ci id="A0.Ex68.m1.1.1.cmml" xref="A0.Ex68.m1.1.1">𝜂</ci></apply><ci id="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3">italic-ϵ</ci></apply><apply id="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.4.cmml" xref="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.4"><apply id="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.4.1.cmml" xref="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.4.1.1.cmml" xref="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.4.1">superscript</csymbol><apply id="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.4.1.2.cmml" xref="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.4.1.2.1.cmml" xref="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.4.1">subscript</csymbol><sum id="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.4.1.2.2.cmml" xref="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.4.1.2.2"></sum><apply id="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.4.1.2.3.cmml" xref="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.4.1.2.3"><eq id="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.4.1.2.3.1.cmml" xref="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.4.1.2.3.1"></eq><ci id="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.4.1.2.3.2.cmml" xref="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.4.1.2.3.2">𝑖</ci><cn id="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.4.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.4.1.2.3.3">0</cn></apply></apply><apply id="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.4.1.3.cmml" xref="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.4.1.3"><minus id="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.4.1.3.1.cmml" xref="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.4.1.3.1"></minus><ci id="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.4.1.3.2.cmml" xref="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.4.1.3.2">𝑘</ci><cn id="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.4.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.4.1.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.4.2.cmml" xref="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.4.2">superscript</csymbol><apply id="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.4.2.2.1.cmml" xref="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.4.2">subscript</csymbol><ci id="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.4.2.2.2.cmml" xref="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.4.2.2.2">𝛽</ci><ci id="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.4.2.2.3.cmml" xref="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.4.2.2.3">⋆</ci></apply><ci id="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="A0.Ex68.m1.2.2.1.1.1.4.2.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex68.m1.2c">\displaystyle+C\,(M\,\varrho^{M}(\eta)+\epsilon)\sum\nolimits_{i=0}^{k-1}\beta% _{\star}^{i}\,.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex68.m1.2d">+ italic_C ( italic_M italic_ϱ start_POSTSUPERSCRIPT italic_M end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_η ) + italic_ϵ ) ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_β start_POSTSUBSCRIPT ⋆ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright" colspan="3"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.p5.14">The application of <math alttext="\lim\sup_{k\to\infty}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p5.13.m1.1"><semantics id="S5.p5.13.m1.1a"><mrow id="S5.p5.13.m1.1.1" xref="S5.p5.13.m1.1.1.cmml"><mo id="S5.p5.13.m1.1.1.1" rspace="0.0835em" xref="S5.p5.13.m1.1.1.1.cmml">lim</mo><msub id="S5.p5.13.m1.1.1.2" xref="S5.p5.13.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.p5.13.m1.1.1.2.2" lspace="0.0835em" xref="S5.p5.13.m1.1.1.2.2.cmml">sup</mo><mrow id="S5.p5.13.m1.1.1.2.3" xref="S5.p5.13.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.p5.13.m1.1.1.2.3.2" xref="S5.p5.13.m1.1.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S5.p5.13.m1.1.1.2.3.1" stretchy="false" xref="S5.p5.13.m1.1.1.2.3.1.cmml">→</mo><mi id="S5.p5.13.m1.1.1.2.3.3" mathvariant="normal" xref="S5.p5.13.m1.1.1.2.3.3.cmml">∞</mi></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p5.13.m1.1b"><apply id="S5.p5.13.m1.1.1.cmml" xref="S5.p5.13.m1.1.1"><limit id="S5.p5.13.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.p5.13.m1.1.1.1"></limit><apply id="S5.p5.13.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.p5.13.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p5.13.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p5.13.m1.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S5.p5.13.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p5.13.m1.1.1.2.2">supremum</csymbol><apply id="S5.p5.13.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.p5.13.m1.1.1.2.3"><ci id="S5.p5.13.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.p5.13.m1.1.1.2.3.1">→</ci><ci id="S5.p5.13.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.p5.13.m1.1.1.2.3.2">𝑘</ci><infinity id="S5.p5.13.m1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S5.p5.13.m1.1.1.2.3.3"></infinity></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p5.13.m1.1c">\lim\sup_{k\to\infty}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p5.13.m1.1d">roman_lim roman_sup start_POSTSUBSCRIPT italic_k → ∞ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> to both sides of the previous inequality and the fact that <math alttext="\epsilon\in\mathbb{R}_{++}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p5.14.m2.1"><semantics id="S5.p5.14.m2.1a"><mrow id="S5.p5.14.m2.1.1" xref="S5.p5.14.m2.1.1.cmml"><mi id="S5.p5.14.m2.1.1.2" xref="S5.p5.14.m2.1.1.2.cmml">ϵ</mi><mo id="S5.p5.14.m2.1.1.1" xref="S5.p5.14.m2.1.1.1.cmml">∈</mo><msub id="S5.p5.14.m2.1.1.3" xref="S5.p5.14.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S5.p5.14.m2.1.1.3.2" xref="S5.p5.14.m2.1.1.3.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S5.p5.14.m2.1.1.3.3" xref="S5.p5.14.m2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.p5.14.m2.1.1.3.3.2" xref="S5.p5.14.m2.1.1.3.3.2.cmml"></mi><mo id="S5.p5.14.m2.1.1.3.3.1" rspace="0em" xref="S5.p5.14.m2.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mo id="S5.p5.14.m2.1.1.3.3.3" lspace="0em" xref="S5.p5.14.m2.1.1.3.3.3.cmml">+</mo></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p5.14.m2.1b"><apply id="S5.p5.14.m2.1.1.cmml" xref="S5.p5.14.m2.1.1"><in id="S5.p5.14.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.p5.14.m2.1.1.1"></in><ci id="S5.p5.14.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.p5.14.m2.1.1.2">italic-ϵ</ci><apply id="S5.p5.14.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.p5.14.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p5.14.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p5.14.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.p5.14.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p5.14.m2.1.1.3.2">ℝ</ci><apply id="S5.p5.14.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S5.p5.14.m2.1.1.3.3"><plus id="S5.p5.14.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.p5.14.m2.1.1.3.3.1"></plus><csymbol cd="latexml" id="S5.p5.14.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.p5.14.m2.1.1.3.3.2">absent</csymbol><plus id="S5.p5.14.m2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.p5.14.m2.1.1.3.3.3"></plus></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p5.14.m2.1c">\epsilon\in\mathbb{R}_{++}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p5.14.m2.1d">italic_ϵ ∈ blackboard_R start_POSTSUBSCRIPT + + end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> was arbitrarily fixed establish <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.I3.i4" title="In Theorem 5. ‣ III-C Performance analysis of Algorithm 1 ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Theorem</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">5(iv)</span></a>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S5.p6"> <p class="ltx_p" id="S5.p6.1">Moving on to the proof of <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#Thmthm6" title="Theorem 6. ‣ III-C Performance analysis of Algorithm 1 ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Theorem</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">6</span></a>, notice that under <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.I2.i1" title="In Assumptions 4. ‣ III-C Performance analysis of Algorithm 1 ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Assumptions</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">4(i)</span></a> and <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.I2.i5" title="Assumption 4(v) ‣ Assumptions 4. ‣ III-C Performance analysis of Algorithm 1 ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4(v)</span></a>, <math alttext="p_{n}+(p_{n}^{2}+4q_{n})^{1/2}=2-\eta-b_{n}+(b_{n}^{2}+2(\eta-1)b_{n}+\eta^{2}% )^{1/2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p6.1.m1.2"><semantics id="S5.p6.1.m1.2a"><mrow id="S5.p6.1.m1.2.2" xref="S5.p6.1.m1.2.2.cmml"><mrow id="S5.p6.1.m1.1.1.1" xref="S5.p6.1.m1.1.1.1.cmml"><msub id="S5.p6.1.m1.1.1.1.3" xref="S5.p6.1.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.p6.1.m1.1.1.1.3.2" xref="S5.p6.1.m1.1.1.1.3.2.cmml">p</mi><mi id="S5.p6.1.m1.1.1.1.3.3" xref="S5.p6.1.m1.1.1.1.3.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S5.p6.1.m1.1.1.1.2" xref="S5.p6.1.m1.1.1.1.2.cmml">+</mo><msup id="S5.p6.1.m1.1.1.1.1" xref="S5.p6.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S5.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">p</mi><mi id="S5.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">n</mi><mn id="S5.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S5.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S5.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">4</mn><mo id="S5.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">q</mi><mi id="S5.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">n</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S5.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S5.p6.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S5.p6.1.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S5.p6.1.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.p6.1.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S5.p6.1.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.p6.1.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S5.p6.1.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.p6.1.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup></mrow><mo id="S5.p6.1.m1.2.2.3" xref="S5.p6.1.m1.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S5.p6.1.m1.2.2.2" xref="S5.p6.1.m1.2.2.2.cmml"><mrow id="S5.p6.1.m1.2.2.2.3" xref="S5.p6.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mn id="S5.p6.1.m1.2.2.2.3.2" xref="S5.p6.1.m1.2.2.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S5.p6.1.m1.2.2.2.3.1" xref="S5.p6.1.m1.2.2.2.3.1.cmml">−</mo><mi id="S5.p6.1.m1.2.2.2.3.3" xref="S5.p6.1.m1.2.2.2.3.3.cmml">η</mi><mo id="S5.p6.1.m1.2.2.2.3.1a" xref="S5.p6.1.m1.2.2.2.3.1.cmml">−</mo><msub id="S5.p6.1.m1.2.2.2.3.4" xref="S5.p6.1.m1.2.2.2.3.4.cmml"><mi id="S5.p6.1.m1.2.2.2.3.4.2" xref="S5.p6.1.m1.2.2.2.3.4.2.cmml">b</mi><mi id="S5.p6.1.m1.2.2.2.3.4.3" xref="S5.p6.1.m1.2.2.2.3.4.3.cmml">n</mi></msub></mrow><mo id="S5.p6.1.m1.2.2.2.2" xref="S5.p6.1.m1.2.2.2.2.cmml">+</mo><msup id="S5.p6.1.m1.2.2.2.1" xref="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.cmml"><mrow id="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.1.1" xref="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.1.1.1" xref="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml">b</mi><mi 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id="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2a" xref="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.4" xref="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.4.2" xref="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.4.2.cmml">b</mi><mi id="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.4.3" xref="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.4.3.cmml">n</mi></msub></mrow><mo id="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.2a" xref="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><msup id="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.4" xref="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.4.2" xref="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.4.2.cmml">η</mi><mn id="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.4.3" xref="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.3" xref="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.3.cmml"><mn id="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.3.2" xref="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.3.1" xref="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.3.3" xref="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p6.1.m1.2b"><apply id="S5.p6.1.m1.2.2.cmml" xref="S5.p6.1.m1.2.2"><eq id="S5.p6.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S5.p6.1.m1.2.2.3"></eq><apply id="S5.p6.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.p6.1.m1.1.1.1"><plus id="S5.p6.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.p6.1.m1.1.1.1.2"></plus><apply id="S5.p6.1.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.p6.1.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p6.1.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p6.1.m1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.p6.1.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p6.1.m1.1.1.1.3.2">𝑝</ci><ci id="S5.p6.1.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.p6.1.m1.1.1.1.3.3">𝑛</ci></apply><apply 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xref="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2"></times><cn id="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3">2</cn><apply id="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜂</ci><cn id="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.4.2">𝑏</ci><ci id="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.4.3">𝑛</ci></apply></apply><apply id="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.4.cmml" xref="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.4.2">𝜂</ci><cn id="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.4.3">2</cn></apply></apply><apply id="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.3.cmml" xref="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.3"><divide id="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.3.1.cmml" xref="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.3.1"></divide><cn id="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.3.2">1</cn><cn id="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.p6.1.m1.2.2.2.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p6.1.m1.2c">p_{n}+(p_{n}^{2}+4q_{n})^{1/2}=2-\eta-b_{n}+(b_{n}^{2}+2(\eta-1)b_{n}+\eta^{2}% )^{1/2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p6.1.m1.2d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT + ( italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + 4 italic_q start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT = 2 - italic_η - italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT + ( italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + 2 ( italic_η - 1 ) italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT + italic_η start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S3.E25.1" title="Equation 25a ‣ Equation 25 ‣ III-C Performance analysis of Algorithm 1 ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">25a</span></a>).</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmthm8"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmthm8.1.1.1">Lemma 8</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmthm8.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmthm8.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmthm8.p1.3">Let <math alttext="\eta\in(0,1)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmthm8.p1.1.m1.2"><semantics id="Thmthm8.p1.1.m1.2a"><mrow id="Thmthm8.p1.1.m1.2.3" xref="Thmthm8.p1.1.m1.2.3.cmml"><mi id="Thmthm8.p1.1.m1.2.3.2" xref="Thmthm8.p1.1.m1.2.3.2.cmml">η</mi><mo id="Thmthm8.p1.1.m1.2.3.1" xref="Thmthm8.p1.1.m1.2.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="Thmthm8.p1.1.m1.2.3.3.2" xref="Thmthm8.p1.1.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="Thmthm8.p1.1.m1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmthm8.p1.1.m1.2.3.3.1.cmml">(</mo><mn id="Thmthm8.p1.1.m1.1.1" xref="Thmthm8.p1.1.m1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Thmthm8.p1.1.m1.2.3.3.2.2" xref="Thmthm8.p1.1.m1.2.3.3.1.cmml">,</mo><mn id="Thmthm8.p1.1.m1.2.2" xref="Thmthm8.p1.1.m1.2.2.cmml">1</mn><mo id="Thmthm8.p1.1.m1.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="Thmthm8.p1.1.m1.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmthm8.p1.1.m1.2b"><apply id="Thmthm8.p1.1.m1.2.3.cmml" xref="Thmthm8.p1.1.m1.2.3"><in id="Thmthm8.p1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="Thmthm8.p1.1.m1.2.3.1"></in><ci id="Thmthm8.p1.1.m1.2.3.2.cmml" xref="Thmthm8.p1.1.m1.2.3.2">𝜂</ci><interval closure="open" id="Thmthm8.p1.1.m1.2.3.3.1.cmml" xref="Thmthm8.p1.1.m1.2.3.3.2"><cn id="Thmthm8.p1.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="Thmthm8.p1.1.m1.1.1">0</cn><cn id="Thmthm8.p1.1.m1.2.2.cmml" type="integer" xref="Thmthm8.p1.1.m1.2.2">1</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmthm8.p1.1.m1.2c">\eta\in(0,1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmthm8.p1.1.m1.2d">italic_η ∈ ( 0 , 1 )</annotation></semantics></math> and <math alttext="b_{N-1}\in(0,1/2)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmthm8.p1.2.m2.2"><semantics id="Thmthm8.p1.2.m2.2a"><mrow id="Thmthm8.p1.2.m2.2.2" xref="Thmthm8.p1.2.m2.2.2.cmml"><msub id="Thmthm8.p1.2.m2.2.2.3" xref="Thmthm8.p1.2.m2.2.2.3.cmml"><mi id="Thmthm8.p1.2.m2.2.2.3.2" xref="Thmthm8.p1.2.m2.2.2.3.2.cmml">b</mi><mrow id="Thmthm8.p1.2.m2.2.2.3.3" xref="Thmthm8.p1.2.m2.2.2.3.3.cmml"><mi id="Thmthm8.p1.2.m2.2.2.3.3.2" xref="Thmthm8.p1.2.m2.2.2.3.3.2.cmml">N</mi><mo id="Thmthm8.p1.2.m2.2.2.3.3.1" xref="Thmthm8.p1.2.m2.2.2.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="Thmthm8.p1.2.m2.2.2.3.3.3" xref="Thmthm8.p1.2.m2.2.2.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="Thmthm8.p1.2.m2.2.2.2" xref="Thmthm8.p1.2.m2.2.2.2.cmml">∈</mo><mrow id="Thmthm8.p1.2.m2.2.2.1.1" xref="Thmthm8.p1.2.m2.2.2.1.2.cmml"><mo id="Thmthm8.p1.2.m2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmthm8.p1.2.m2.2.2.1.2.cmml">(</mo><mn id="Thmthm8.p1.2.m2.1.1" xref="Thmthm8.p1.2.m2.1.1.cmml">0</mn><mo id="Thmthm8.p1.2.m2.2.2.1.1.3" xref="Thmthm8.p1.2.m2.2.2.1.2.cmml">,</mo><mrow id="Thmthm8.p1.2.m2.2.2.1.1.1" xref="Thmthm8.p1.2.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mn id="Thmthm8.p1.2.m2.2.2.1.1.1.2" xref="Thmthm8.p1.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="Thmthm8.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1" xref="Thmthm8.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml">/</mo><mn id="Thmthm8.p1.2.m2.2.2.1.1.1.3" xref="Thmthm8.p1.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><mo id="Thmthm8.p1.2.m2.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="Thmthm8.p1.2.m2.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmthm8.p1.2.m2.2b"><apply id="Thmthm8.p1.2.m2.2.2.cmml" xref="Thmthm8.p1.2.m2.2.2"><in id="Thmthm8.p1.2.m2.2.2.2.cmml" xref="Thmthm8.p1.2.m2.2.2.2"></in><apply id="Thmthm8.p1.2.m2.2.2.3.cmml" xref="Thmthm8.p1.2.m2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmthm8.p1.2.m2.2.2.3.1.cmml" xref="Thmthm8.p1.2.m2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="Thmthm8.p1.2.m2.2.2.3.2.cmml" xref="Thmthm8.p1.2.m2.2.2.3.2">𝑏</ci><apply id="Thmthm8.p1.2.m2.2.2.3.3.cmml" xref="Thmthm8.p1.2.m2.2.2.3.3"><minus id="Thmthm8.p1.2.m2.2.2.3.3.1.cmml" xref="Thmthm8.p1.2.m2.2.2.3.3.1"></minus><ci id="Thmthm8.p1.2.m2.2.2.3.3.2.cmml" xref="Thmthm8.p1.2.m2.2.2.3.3.2">𝑁</ci><cn id="Thmthm8.p1.2.m2.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmthm8.p1.2.m2.2.2.3.3.3">1</cn></apply></apply><interval closure="open" id="Thmthm8.p1.2.m2.2.2.1.2.cmml" xref="Thmthm8.p1.2.m2.2.2.1.1"><cn id="Thmthm8.p1.2.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="Thmthm8.p1.2.m2.1.1">0</cn><apply id="Thmthm8.p1.2.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="Thmthm8.p1.2.m2.2.2.1.1.1"><divide id="Thmthm8.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="Thmthm8.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1"></divide><cn id="Thmthm8.p1.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="Thmthm8.p1.2.m2.2.2.1.1.1.2">1</cn><cn id="Thmthm8.p1.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmthm8.p1.2.m2.2.2.1.1.1.3">2</cn></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmthm8.p1.2.m2.2c">b_{N-1}\in(0,1/2)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmthm8.p1.2.m2.2d">italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_N - 1 end_POSTSUBSCRIPT ∈ ( 0 , 1 / 2 )</annotation></semantics></math>. Define the continuous function <math alttext="f_{\eta}\colon(0,1]\to\mathbb{R}\colon b\mapsto f_{\eta}(b)\coloneqq\lvert d_{% \eta}(b)\rvert^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmthm8.p1.3.m3.5"><semantics id="Thmthm8.p1.3.m3.5a"><mrow id="Thmthm8.p1.3.m3.5.5" xref="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.cmml"><msub id="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.3" xref="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.3.cmml"><mi id="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.3.2" xref="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.3.2.cmml">f</mi><mi id="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.3.3" xref="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.3.3.cmml">η</mi></msub><mo id="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.4" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.4.cmml">:</mo><mrow id="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.5" xref="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.5.cmml"><mrow id="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.5.2.2" xref="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.5.2.1.cmml"><mo id="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.5.2.2.1" stretchy="false" xref="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.5.2.1.cmml">(</mo><mn id="Thmthm8.p1.3.m3.1.1" xref="Thmthm8.p1.3.m3.1.1.cmml">0</mn><mo id="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.5.2.2.2" xref="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.5.2.1.cmml">,</mo><mn id="Thmthm8.p1.3.m3.2.2" xref="Thmthm8.p1.3.m3.2.2.cmml">1</mn><mo id="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.5.2.2.3" stretchy="false" xref="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.5.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.5.1" stretchy="false" xref="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.5.1.cmml">→</mo><mi id="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.5.3" xref="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.5.3.cmml">ℝ</mi></mrow><mo id="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.6" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.6.cmml">:</mo><mrow id="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.1" xref="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.1.cmml"><mi id="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.1.3" xref="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.1.3.cmml">b</mi><mo id="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.1.4" stretchy="false" xref="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.1.4.cmml">↦</mo><mrow id="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.1.5" xref="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.1.5.cmml"><msub id="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.1.5.2" xref="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.1.5.2.cmml"><mi id="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.1.5.2.2" xref="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.1.5.2.2.cmml">f</mi><mi id="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.1.5.2.3" xref="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.1.5.2.3.cmml">η</mi></msub><mo id="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.1.5.1" xref="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.1.5.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.1.5.3.2" xref="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.1.5.cmml"><mo id="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.1.5.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.1.5.cmml">(</mo><mi id="Thmthm8.p1.3.m3.3.3" xref="Thmthm8.p1.3.m3.3.3.cmml">b</mi><mo id="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.1.5.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.1.5.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.1.6" xref="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.1.6.cmml">≔</mo><msup id="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.1.1" xref="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.1.1.cmml"><mrow id="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.1.1.1.1" xref="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.1.1.1.2.cmml"><mo id="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.1.1.1.1.1" xref="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.2" xref="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.2.2" xref="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.2.2.cmml">d</mi><mi id="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.2.3" xref="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.2.3.cmml">η</mi></msub><mo id="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.3.2" xref="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="Thmthm8.p1.3.m3.4.4" xref="Thmthm8.p1.3.m3.4.4.cmml">b</mi><mo id="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mn id="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.1.1.3" xref="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmthm8.p1.3.m3.5b"><apply id="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.cmml" xref="Thmthm8.p1.3.m3.5.5"><and id="Thmthm8.p1.3.m3.5.5a.cmml" xref="Thmthm8.p1.3.m3.5.5"></and><apply id="Thmthm8.p1.3.m3.5.5b.cmml" xref="Thmthm8.p1.3.m3.5.5"><ci id="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.4.cmml" xref="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.4">:</ci><apply id="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.3.cmml" xref="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.3.1.cmml" xref="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.3">subscript</csymbol><ci id="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.3.2.cmml" xref="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.3.2">𝑓</ci><ci id="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.3.3.cmml" xref="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.3.3">𝜂</ci></apply><apply id="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.5.cmml" xref="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.5"><ci id="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.5.1.cmml" xref="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.5.1">→</ci><interval closure="open-closed" id="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.5.2.1.cmml" xref="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.5.2.2"><cn id="Thmthm8.p1.3.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="Thmthm8.p1.3.m3.1.1">0</cn><cn id="Thmthm8.p1.3.m3.2.2.cmml" type="integer" xref="Thmthm8.p1.3.m3.2.2">1</cn></interval><ci 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cd="ambiguous" id="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.1.5.2.1.cmml" xref="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.1.5.2">subscript</csymbol><ci id="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.1.5.2.2.cmml" xref="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.1.5.2.2">𝑓</ci><ci id="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.1.5.2.3.cmml" xref="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.1.5.2.3">𝜂</ci></apply><ci id="Thmthm8.p1.3.m3.3.3.cmml" xref="Thmthm8.p1.3.m3.3.3">𝑏</ci></apply></apply><apply id="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.1c.cmml" xref="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.1"><ci id="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.1.6.cmml" xref="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.1.6">≔</ci><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#Thmthm8.p1.3.m3.5.5.1.5.cmml" id="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.1d.cmml" xref="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.1"></share><apply id="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.1.1.cmml" xref="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.1.1.2.cmml" xref="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.1.1">superscript</csymbol><apply id="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.1.1.1.1"><abs id="Thmthm8.p1.3.m3.5.5.1.1.1.2.1.cmml" 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f_{\eta}(b)\coloneqq\lvert d_{% \eta}(b)\rvert^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmthm8.p1.3.m3.5d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_η end_POSTSUBSCRIPT : ( 0 , 1 ] → blackboard_R : italic_b ↦ italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_η end_POSTSUBSCRIPT ( italic_b ) ≔ | italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_η end_POSTSUBSCRIPT ( italic_b ) | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, where</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A0.EGx63"> <tbody id="A0.Ex69"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle d_{\eta}(b)\coloneqq 2-\eta-b+\sqrt{b^{2}+2(\eta-1)b+\eta^{2}}\,." class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex69.m1.3"><semantics id="A0.Ex69.m1.3a"><mrow id="A0.Ex69.m1.3.3.1" xref="A0.Ex69.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="A0.Ex69.m1.3.3.1.1" 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xref="A0.Ex69.m1.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="A0.Ex69.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex69.m1.1.1.1.1"><times id="A0.Ex69.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex69.m1.1.1.1.1.2"></times><cn id="A0.Ex69.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A0.Ex69.m1.1.1.1.1.3">2</cn><apply id="A0.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A0.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="A0.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜂</ci><cn id="A0.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A0.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="A0.Ex69.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A0.Ex69.m1.1.1.1.1.4">𝑏</ci></apply><apply id="A0.Ex69.m1.1.1.1.4.cmml" xref="A0.Ex69.m1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex69.m1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A0.Ex69.m1.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="A0.Ex69.m1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A0.Ex69.m1.1.1.1.4.2">𝜂</ci><cn id="A0.Ex69.m1.1.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="A0.Ex69.m1.1.1.1.4.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex69.m1.3c">\displaystyle d_{\eta}(b)\coloneqq 2-\eta-b+\sqrt{b^{2}+2(\eta-1)b+\eta^{2}}\,.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex69.m1.3d">italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_η end_POSTSUBSCRIPT ( italic_b ) ≔ 2 - italic_η - italic_b + square-root start_ARG italic_b start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + 2 ( italic_η - 1 ) italic_b + italic_η start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmthm8.p1.5">Then, <math alttext="\forall\eta\in(0,1)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmthm8.p1.4.m1.2"><semantics id="Thmthm8.p1.4.m1.2a"><mrow id="Thmthm8.p1.4.m1.2.3" xref="Thmthm8.p1.4.m1.2.3.cmml"><mrow id="Thmthm8.p1.4.m1.2.3.2" xref="Thmthm8.p1.4.m1.2.3.2.cmml"><mo id="Thmthm8.p1.4.m1.2.3.2.1" rspace="0.167em" xref="Thmthm8.p1.4.m1.2.3.2.1.cmml">∀</mo><mi id="Thmthm8.p1.4.m1.2.3.2.2" xref="Thmthm8.p1.4.m1.2.3.2.2.cmml">η</mi></mrow><mo id="Thmthm8.p1.4.m1.2.3.1" xref="Thmthm8.p1.4.m1.2.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="Thmthm8.p1.4.m1.2.3.3.2" xref="Thmthm8.p1.4.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="Thmthm8.p1.4.m1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmthm8.p1.4.m1.2.3.3.1.cmml">(</mo><mn id="Thmthm8.p1.4.m1.1.1" xref="Thmthm8.p1.4.m1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Thmthm8.p1.4.m1.2.3.3.2.2" xref="Thmthm8.p1.4.m1.2.3.3.1.cmml">,</mo><mn id="Thmthm8.p1.4.m1.2.2" xref="Thmthm8.p1.4.m1.2.2.cmml">1</mn><mo id="Thmthm8.p1.4.m1.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="Thmthm8.p1.4.m1.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmthm8.p1.4.m1.2b"><apply id="Thmthm8.p1.4.m1.2.3.cmml" xref="Thmthm8.p1.4.m1.2.3"><in id="Thmthm8.p1.4.m1.2.3.1.cmml" xref="Thmthm8.p1.4.m1.2.3.1"></in><apply id="Thmthm8.p1.4.m1.2.3.2.cmml" xref="Thmthm8.p1.4.m1.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="Thmthm8.p1.4.m1.2.3.2.1.cmml" xref="Thmthm8.p1.4.m1.2.3.2.1">for-all</csymbol><ci id="Thmthm8.p1.4.m1.2.3.2.2.cmml" xref="Thmthm8.p1.4.m1.2.3.2.2">𝜂</ci></apply><interval closure="open" id="Thmthm8.p1.4.m1.2.3.3.1.cmml" xref="Thmthm8.p1.4.m1.2.3.3.2"><cn id="Thmthm8.p1.4.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="Thmthm8.p1.4.m1.1.1">0</cn><cn id="Thmthm8.p1.4.m1.2.2.cmml" type="integer" xref="Thmthm8.p1.4.m1.2.2">1</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmthm8.p1.4.m1.2c">\forall\eta\in(0,1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmthm8.p1.4.m1.2d">∀ italic_η ∈ ( 0 , 1 )</annotation></semantics></math>, <math alttext="b_{N-1}\in\arg\max_{\{\,b_{n}\,{\mathbin{}\mid\mathbin{}}\,n\in\mathcal{N}% \setminus\{N\}\,\}}f_{\eta}(b_{n})" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmthm8.p1.5.m2.4"><semantics id="Thmthm8.p1.5.m2.4a"><mrow id="Thmthm8.p1.5.m2.4.4" xref="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.cmml"><msub id="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.3" xref="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.3.cmml"><mi id="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.3.2" xref="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.3.2.cmml">b</mi><mrow id="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.3.3" xref="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.3.3.cmml"><mi id="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.3.3.2" xref="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.3.3.2.cmml">N</mi><mo id="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.3.3.1" xref="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.3.3.3" xref="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.2" xref="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.2.cmml">∈</mo><mrow id="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.1" xref="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.1.cmml"><mrow id="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.1.3" xref="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.1.3.cmml"><mi id="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.1.3.1" xref="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.1.3.1.cmml">arg</mi><mo id="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.1.3a" lspace="0.167em" xref="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.1.3.cmml">⁡</mo><mrow id="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.1.3.2" xref="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.1.3.2.cmml"><msub id="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.1.3.2.1" xref="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.1.3.2.1.cmml"><mi id="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.1.3.2.1.2" xref="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.1.3.2.1.2.cmml">max</mi><mrow id="Thmthm8.p1.5.m2.3.3.3.3" xref="Thmthm8.p1.5.m2.3.3.3.4.cmml"><mo id="Thmthm8.p1.5.m2.3.3.3.3.3" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="Thmthm8.p1.5.m2.3.3.3.4.1.cmml">{</mo><msub id="Thmthm8.p1.5.m2.2.2.2.2.1" xref="Thmthm8.p1.5.m2.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="Thmthm8.p1.5.m2.2.2.2.2.1.2" xref="Thmthm8.p1.5.m2.2.2.2.2.1.2.cmml">b</mi><mi id="Thmthm8.p1.5.m2.2.2.2.2.1.3" xref="Thmthm8.p1.5.m2.2.2.2.2.1.3.cmml">n</mi></msub><mo fence="true" id="Thmthm8.p1.5.m2.3.3.3.3.4" lspace="0em" rspace="0.170em" xref="Thmthm8.p1.5.m2.3.3.3.4.1.cmml">∣</mo><mrow id="Thmthm8.p1.5.m2.3.3.3.3.2" xref="Thmthm8.p1.5.m2.3.3.3.3.2.cmml"><mi id="Thmthm8.p1.5.m2.3.3.3.3.2.2" xref="Thmthm8.p1.5.m2.3.3.3.3.2.2.cmml">n</mi><mo id="Thmthm8.p1.5.m2.3.3.3.3.2.1" xref="Thmthm8.p1.5.m2.3.3.3.3.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="Thmthm8.p1.5.m2.3.3.3.3.2.3" xref="Thmthm8.p1.5.m2.3.3.3.3.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmthm8.p1.5.m2.3.3.3.3.2.3.2" xref="Thmthm8.p1.5.m2.3.3.3.3.2.3.2.cmml">𝒩</mi><mo id="Thmthm8.p1.5.m2.3.3.3.3.2.3.1" xref="Thmthm8.p1.5.m2.3.3.3.3.2.3.1.cmml">∖</mo><mrow id="Thmthm8.p1.5.m2.3.3.3.3.2.3.3.2" xref="Thmthm8.p1.5.m2.3.3.3.3.2.3.3.1.cmml"><mo id="Thmthm8.p1.5.m2.3.3.3.3.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmthm8.p1.5.m2.3.3.3.3.2.3.3.1.cmml">{</mo><mi id="Thmthm8.p1.5.m2.1.1.1.1" xref="Thmthm8.p1.5.m2.1.1.1.1.cmml">N</mi><mo id="Thmthm8.p1.5.m2.3.3.3.3.2.3.3.2.2" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="Thmthm8.p1.5.m2.3.3.3.3.2.3.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="Thmthm8.p1.5.m2.3.3.3.3.5" stretchy="false" xref="Thmthm8.p1.5.m2.3.3.3.4.1.cmml">}</mo></mrow></msub><mo id="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.1.3.2a" lspace="0.167em" xref="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.1.3.2.cmml">⁡</mo><msub id="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.1.3.2.2" xref="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.1.3.2.2.cmml"><mi id="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.1.3.2.2.2" xref="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.1.3.2.2.2.cmml">f</mi><mi id="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.1.3.2.2.3" xref="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.1.3.2.2.3.cmml">η</mi></msub></mrow></mrow><mo id="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.1.2" xref="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.1.1.1" xref="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.1.1.1.1" xref="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.1.1.1.1.2" xref="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.1.1.1.1.2.cmml">b</mi><mi id="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.1.1.1.1.3" xref="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msub><mo id="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmthm8.p1.5.m2.4b"><apply id="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.cmml" xref="Thmthm8.p1.5.m2.4.4"><in id="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.2.cmml" xref="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.2"></in><apply id="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.3.cmml" xref="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.3.1.cmml" xref="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.3">subscript</csymbol><ci id="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.3.2.cmml" xref="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.3.2">𝑏</ci><apply id="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.3.3.cmml" xref="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.3.3"><minus id="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.3.3.1.cmml" xref="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.3.3.1"></minus><ci id="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.3.3.2.cmml" xref="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.3.3.2">𝑁</ci><cn id="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.3.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.3.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.1.cmml" xref="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.1"><times id="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.1.2.cmml" xref="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.1.2"></times><apply id="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.1.3.cmml" xref="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.1.3"><arg id="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.1.3.1.cmml" xref="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.1.3.1"></arg><apply id="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.1.3.2.cmml" xref="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.1.3.2"><apply id="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.1.3.2.1.cmml" xref="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.1.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.1.3.2.1.1.cmml" xref="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.1.3.2.1">subscript</csymbol><max id="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.1.3.2.1.2.cmml" xref="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.1.3.2.1.2"></max><apply id="Thmthm8.p1.5.m2.3.3.3.4.cmml" xref="Thmthm8.p1.5.m2.3.3.3.3"><csymbol cd="latexml" id="Thmthm8.p1.5.m2.3.3.3.4.1.cmml" xref="Thmthm8.p1.5.m2.3.3.3.3.3">conditional-set</csymbol><apply id="Thmthm8.p1.5.m2.2.2.2.2.1.cmml" xref="Thmthm8.p1.5.m2.2.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmthm8.p1.5.m2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="Thmthm8.p1.5.m2.2.2.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="Thmthm8.p1.5.m2.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="Thmthm8.p1.5.m2.2.2.2.2.1.2">𝑏</ci><ci id="Thmthm8.p1.5.m2.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="Thmthm8.p1.5.m2.2.2.2.2.1.3">𝑛</ci></apply><apply id="Thmthm8.p1.5.m2.3.3.3.3.2.cmml" xref="Thmthm8.p1.5.m2.3.3.3.3.2"><in id="Thmthm8.p1.5.m2.3.3.3.3.2.1.cmml" xref="Thmthm8.p1.5.m2.3.3.3.3.2.1"></in><ci id="Thmthm8.p1.5.m2.3.3.3.3.2.2.cmml" xref="Thmthm8.p1.5.m2.3.3.3.3.2.2">𝑛</ci><apply id="Thmthm8.p1.5.m2.3.3.3.3.2.3.cmml" xref="Thmthm8.p1.5.m2.3.3.3.3.2.3"><setdiff id="Thmthm8.p1.5.m2.3.3.3.3.2.3.1.cmml" xref="Thmthm8.p1.5.m2.3.3.3.3.2.3.1"></setdiff><ci id="Thmthm8.p1.5.m2.3.3.3.3.2.3.2.cmml" xref="Thmthm8.p1.5.m2.3.3.3.3.2.3.2">𝒩</ci><set id="Thmthm8.p1.5.m2.3.3.3.3.2.3.3.1.cmml" xref="Thmthm8.p1.5.m2.3.3.3.3.2.3.3.2"><ci id="Thmthm8.p1.5.m2.1.1.1.1.cmml" xref="Thmthm8.p1.5.m2.1.1.1.1">𝑁</ci></set></apply></apply></apply></apply><apply id="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.1.3.2.2.cmml" xref="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.1.3.2.2.1.cmml" xref="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.1.3.2.2.2.cmml" xref="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.1.3.2.2.2">𝑓</ci><ci id="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.1.3.2.2.3.cmml" xref="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.1.3.2.2.3">𝜂</ci></apply></apply></apply><apply id="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.1.1.1.1.2">𝑏</ci><ci id="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmthm8.p1.5.m2.4.4.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmthm8.p1.5.m2.4c">b_{N-1}\in\arg\max_{\{\,b_{n}\,{\mathbin{}\mid\mathbin{}}\,n\in\mathcal{N}% \setminus\{N\}\,\}}f_{\eta}(b_{n})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmthm8.p1.5.m2.4d">italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_N - 1 end_POSTSUBSCRIPT ∈ roman_arg roman_max start_POSTSUBSCRIPT { italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ∣ italic_n ∈ caligraphic_N ∖ { italic_N } } end_POSTSUBSCRIPT italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_η end_POSTSUBSCRIPT ( italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>.</p> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S5.12"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_bold ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof:</h6> <div class="ltx_para" id="S5.8.p1"> <p class="ltx_p" id="S5.8.p1.5">Notice that <math alttext="\forall b\in(0,1]" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.8.p1.1.m1.2"><semantics id="S5.8.p1.1.m1.2a"><mrow id="S5.8.p1.1.m1.2.3" xref="S5.8.p1.1.m1.2.3.cmml"><mrow id="S5.8.p1.1.m1.2.3.2" xref="S5.8.p1.1.m1.2.3.2.cmml"><mo id="S5.8.p1.1.m1.2.3.2.1" rspace="0.167em" xref="S5.8.p1.1.m1.2.3.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S5.8.p1.1.m1.2.3.2.2" xref="S5.8.p1.1.m1.2.3.2.2.cmml">b</mi></mrow><mo id="S5.8.p1.1.m1.2.3.1" xref="S5.8.p1.1.m1.2.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="S5.8.p1.1.m1.2.3.3.2" xref="S5.8.p1.1.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S5.8.p1.1.m1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.8.p1.1.m1.2.3.3.1.cmml">(</mo><mn id="S5.8.p1.1.m1.1.1" xref="S5.8.p1.1.m1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S5.8.p1.1.m1.2.3.3.2.2" xref="S5.8.p1.1.m1.2.3.3.1.cmml">,</mo><mn id="S5.8.p1.1.m1.2.2" xref="S5.8.p1.1.m1.2.2.cmml">1</mn><mo id="S5.8.p1.1.m1.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S5.8.p1.1.m1.2.3.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.8.p1.1.m1.2b"><apply id="S5.8.p1.1.m1.2.3.cmml" xref="S5.8.p1.1.m1.2.3"><in id="S5.8.p1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S5.8.p1.1.m1.2.3.1"></in><apply id="S5.8.p1.1.m1.2.3.2.cmml" xref="S5.8.p1.1.m1.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.8.p1.1.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S5.8.p1.1.m1.2.3.2.1">for-all</csymbol><ci id="S5.8.p1.1.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S5.8.p1.1.m1.2.3.2.2">𝑏</ci></apply><interval closure="open-closed" id="S5.8.p1.1.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S5.8.p1.1.m1.2.3.3.2"><cn id="S5.8.p1.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.8.p1.1.m1.1.1">0</cn><cn id="S5.8.p1.1.m1.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.8.p1.1.m1.2.2">1</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.8.p1.1.m1.2c">\forall b\in(0,1]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.8.p1.1.m1.2d">∀ italic_b ∈ ( 0 , 1 ]</annotation></semantics></math>, <math alttext="2-\eta-b>2-1-1=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.8.p1.2.m2.1"><semantics id="S5.8.p1.2.m2.1a"><mrow id="S5.8.p1.2.m2.1.1" xref="S5.8.p1.2.m2.1.1.cmml"><mrow id="S5.8.p1.2.m2.1.1.2" xref="S5.8.p1.2.m2.1.1.2.cmml"><mn id="S5.8.p1.2.m2.1.1.2.2" xref="S5.8.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml">2</mn><mo id="S5.8.p1.2.m2.1.1.2.1" xref="S5.8.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml">−</mo><mi id="S5.8.p1.2.m2.1.1.2.3" xref="S5.8.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml">η</mi><mo id="S5.8.p1.2.m2.1.1.2.1a" xref="S5.8.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml">−</mo><mi id="S5.8.p1.2.m2.1.1.2.4" xref="S5.8.p1.2.m2.1.1.2.4.cmml">b</mi></mrow><mo id="S5.8.p1.2.m2.1.1.3" xref="S5.8.p1.2.m2.1.1.3.cmml">></mo><mrow id="S5.8.p1.2.m2.1.1.4" xref="S5.8.p1.2.m2.1.1.4.cmml"><mn id="S5.8.p1.2.m2.1.1.4.2" xref="S5.8.p1.2.m2.1.1.4.2.cmml">2</mn><mo id="S5.8.p1.2.m2.1.1.4.1" xref="S5.8.p1.2.m2.1.1.4.1.cmml">−</mo><mn id="S5.8.p1.2.m2.1.1.4.3" xref="S5.8.p1.2.m2.1.1.4.3.cmml">1</mn><mo id="S5.8.p1.2.m2.1.1.4.1a" xref="S5.8.p1.2.m2.1.1.4.1.cmml">−</mo><mn id="S5.8.p1.2.m2.1.1.4.4" xref="S5.8.p1.2.m2.1.1.4.4.cmml">1</mn></mrow><mo id="S5.8.p1.2.m2.1.1.5" xref="S5.8.p1.2.m2.1.1.5.cmml">=</mo><mn id="S5.8.p1.2.m2.1.1.6" xref="S5.8.p1.2.m2.1.1.6.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.8.p1.2.m2.1b"><apply id="S5.8.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.8.p1.2.m2.1.1"><and id="S5.8.p1.2.m2.1.1a.cmml" xref="S5.8.p1.2.m2.1.1"></and><apply id="S5.8.p1.2.m2.1.1b.cmml" xref="S5.8.p1.2.m2.1.1"><gt id="S5.8.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.8.p1.2.m2.1.1.3"></gt><apply id="S5.8.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.8.p1.2.m2.1.1.2"><minus id="S5.8.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.8.p1.2.m2.1.1.2.1"></minus><cn id="S5.8.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.8.p1.2.m2.1.1.2.2">2</cn><ci id="S5.8.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S5.8.p1.2.m2.1.1.2.3">𝜂</ci><ci id="S5.8.p1.2.m2.1.1.2.4.cmml" xref="S5.8.p1.2.m2.1.1.2.4">𝑏</ci></apply><apply id="S5.8.p1.2.m2.1.1.4.cmml" xref="S5.8.p1.2.m2.1.1.4"><minus id="S5.8.p1.2.m2.1.1.4.1.cmml" xref="S5.8.p1.2.m2.1.1.4.1"></minus><cn id="S5.8.p1.2.m2.1.1.4.2.cmml" type="integer" xref="S5.8.p1.2.m2.1.1.4.2">2</cn><cn id="S5.8.p1.2.m2.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.8.p1.2.m2.1.1.4.3">1</cn><cn id="S5.8.p1.2.m2.1.1.4.4.cmml" type="integer" xref="S5.8.p1.2.m2.1.1.4.4">1</cn></apply></apply><apply id="S5.8.p1.2.m2.1.1c.cmml" xref="S5.8.p1.2.m2.1.1"><eq id="S5.8.p1.2.m2.1.1.5.cmml" xref="S5.8.p1.2.m2.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S5.8.p1.2.m2.1.1.4.cmml" id="S5.8.p1.2.m2.1.1d.cmml" xref="S5.8.p1.2.m2.1.1"></share><cn id="S5.8.p1.2.m2.1.1.6.cmml" type="integer" xref="S5.8.p1.2.m2.1.1.6">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.8.p1.2.m2.1c">2-\eta-b>2-1-1=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.8.p1.2.m2.1d">2 - italic_η - italic_b > 2 - 1 - 1 = 0</annotation></semantics></math>. Consider first the case <math alttext="\eta>1/2" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.8.p1.3.m3.1"><semantics id="S5.8.p1.3.m3.1a"><mrow id="S5.8.p1.3.m3.1.1" xref="S5.8.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S5.8.p1.3.m3.1.1.2" xref="S5.8.p1.3.m3.1.1.2.cmml">η</mi><mo id="S5.8.p1.3.m3.1.1.1" xref="S5.8.p1.3.m3.1.1.1.cmml">></mo><mrow id="S5.8.p1.3.m3.1.1.3" xref="S5.8.p1.3.m3.1.1.3.cmml"><mn id="S5.8.p1.3.m3.1.1.3.2" xref="S5.8.p1.3.m3.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S5.8.p1.3.m3.1.1.3.1" xref="S5.8.p1.3.m3.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S5.8.p1.3.m3.1.1.3.3" xref="S5.8.p1.3.m3.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.8.p1.3.m3.1b"><apply id="S5.8.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.8.p1.3.m3.1.1"><gt id="S5.8.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.8.p1.3.m3.1.1.1"></gt><ci id="S5.8.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.8.p1.3.m3.1.1.2">𝜂</ci><apply id="S5.8.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S5.8.p1.3.m3.1.1.3"><divide id="S5.8.p1.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S5.8.p1.3.m3.1.1.3.1"></divide><cn id="S5.8.p1.3.m3.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.8.p1.3.m3.1.1.3.2">1</cn><cn id="S5.8.p1.3.m3.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.8.p1.3.m3.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.8.p1.3.m3.1c">\eta>1/2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.8.p1.3.m3.1d">italic_η > 1 / 2</annotation></semantics></math>. Then <math alttext="\forall b\in(0,1]" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.8.p1.4.m4.2"><semantics id="S5.8.p1.4.m4.2a"><mrow id="S5.8.p1.4.m4.2.3" xref="S5.8.p1.4.m4.2.3.cmml"><mrow id="S5.8.p1.4.m4.2.3.2" xref="S5.8.p1.4.m4.2.3.2.cmml"><mo id="S5.8.p1.4.m4.2.3.2.1" rspace="0.167em" xref="S5.8.p1.4.m4.2.3.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S5.8.p1.4.m4.2.3.2.2" xref="S5.8.p1.4.m4.2.3.2.2.cmml">b</mi></mrow><mo id="S5.8.p1.4.m4.2.3.1" xref="S5.8.p1.4.m4.2.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="S5.8.p1.4.m4.2.3.3.2" xref="S5.8.p1.4.m4.2.3.3.1.cmml"><mo id="S5.8.p1.4.m4.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.8.p1.4.m4.2.3.3.1.cmml">(</mo><mn id="S5.8.p1.4.m4.1.1" xref="S5.8.p1.4.m4.1.1.cmml">0</mn><mo id="S5.8.p1.4.m4.2.3.3.2.2" xref="S5.8.p1.4.m4.2.3.3.1.cmml">,</mo><mn id="S5.8.p1.4.m4.2.2" xref="S5.8.p1.4.m4.2.2.cmml">1</mn><mo id="S5.8.p1.4.m4.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S5.8.p1.4.m4.2.3.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.8.p1.4.m4.2b"><apply id="S5.8.p1.4.m4.2.3.cmml" xref="S5.8.p1.4.m4.2.3"><in id="S5.8.p1.4.m4.2.3.1.cmml" xref="S5.8.p1.4.m4.2.3.1"></in><apply id="S5.8.p1.4.m4.2.3.2.cmml" xref="S5.8.p1.4.m4.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.8.p1.4.m4.2.3.2.1.cmml" xref="S5.8.p1.4.m4.2.3.2.1">for-all</csymbol><ci id="S5.8.p1.4.m4.2.3.2.2.cmml" xref="S5.8.p1.4.m4.2.3.2.2">𝑏</ci></apply><interval closure="open-closed" id="S5.8.p1.4.m4.2.3.3.1.cmml" xref="S5.8.p1.4.m4.2.3.3.2"><cn id="S5.8.p1.4.m4.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.8.p1.4.m4.1.1">0</cn><cn id="S5.8.p1.4.m4.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.8.p1.4.m4.2.2">1</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.8.p1.4.m4.2c">\forall b\in(0,1]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.8.p1.4.m4.2d">∀ italic_b ∈ ( 0 , 1 ]</annotation></semantics></math>, <math alttext="b^{2}+2(\eta-1)b+\eta^{2}>b^{2}-b+1/4=(b-1/2)^{2}\geq 0\Rightarrow d_{\eta}(b)% >0\Rightarrow f_{\eta}(b)=d_{\eta}^{2}(b)\Rightarrow" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.8.p1.5.m5.5"><semantics id="S5.8.p1.5.m5.5a"><mrow id="S5.8.p1.5.m5.5.5" xref="S5.8.p1.5.m5.5.5.cmml"><mrow id="S5.8.p1.5.m5.4.4.1" xref="S5.8.p1.5.m5.4.4.1.cmml"><msup id="S5.8.p1.5.m5.4.4.1.3" xref="S5.8.p1.5.m5.4.4.1.3.cmml"><mi id="S5.8.p1.5.m5.4.4.1.3.2" xref="S5.8.p1.5.m5.4.4.1.3.2.cmml">b</mi><mn id="S5.8.p1.5.m5.4.4.1.3.3" xref="S5.8.p1.5.m5.4.4.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.8.p1.5.m5.4.4.1.2" xref="S5.8.p1.5.m5.4.4.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S5.8.p1.5.m5.4.4.1.1" xref="S5.8.p1.5.m5.4.4.1.1.cmml"><mn id="S5.8.p1.5.m5.4.4.1.1.3" xref="S5.8.p1.5.m5.4.4.1.1.3.cmml">2</mn><mo id="S5.8.p1.5.m5.4.4.1.1.2" xref="S5.8.p1.5.m5.4.4.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.8.p1.5.m5.4.4.1.1.1.1" xref="S5.8.p1.5.m5.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.8.p1.5.m5.4.4.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.8.p1.5.m5.4.4.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.8.p1.5.m5.4.4.1.1.1.1.1" xref="S5.8.p1.5.m5.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.8.p1.5.m5.4.4.1.1.1.1.1.2" 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id="S5.8.p1.5.m5.5.5.2.1.1.1.cmml" xref="S5.8.p1.5.m5.5.5.2.1.1"><minus id="S5.8.p1.5.m5.5.5.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.8.p1.5.m5.5.5.2.1.1.1.1"></minus><ci id="S5.8.p1.5.m5.5.5.2.1.1.1.2.cmml" xref="S5.8.p1.5.m5.5.5.2.1.1.1.2">𝑏</ci><apply id="S5.8.p1.5.m5.5.5.2.1.1.1.3.cmml" xref="S5.8.p1.5.m5.5.5.2.1.1.1.3"><divide id="S5.8.p1.5.m5.5.5.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.8.p1.5.m5.5.5.2.1.1.1.3.1"></divide><cn id="S5.8.p1.5.m5.5.5.2.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.8.p1.5.m5.5.5.2.1.1.1.3.2">1</cn><cn id="S5.8.p1.5.m5.5.5.2.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.8.p1.5.m5.5.5.2.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><cn id="S5.8.p1.5.m5.5.5.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.8.p1.5.m5.5.5.2.3">2</cn></apply></apply><apply id="S5.8.p1.5.m5.5.5e.cmml" xref="S5.8.p1.5.m5.5.5"><geq id="S5.8.p1.5.m5.5.5.7.cmml" xref="S5.8.p1.5.m5.5.5.7"></geq><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S5.8.p1.5.m5.5.5.2.cmml" id="S5.8.p1.5.m5.5.5f.cmml" xref="S5.8.p1.5.m5.5.5"></share><cn id="S5.8.p1.5.m5.5.5.8.cmml" type="integer" xref="S5.8.p1.5.m5.5.5.8">0</cn></apply><apply id="S5.8.p1.5.m5.5.5g.cmml" xref="S5.8.p1.5.m5.5.5"><ci id="S5.8.p1.5.m5.5.5.9.cmml" xref="S5.8.p1.5.m5.5.5.9">⇒</ci><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S5.8.p1.5.m5.5.5.8.cmml" id="S5.8.p1.5.m5.5.5h.cmml" xref="S5.8.p1.5.m5.5.5"></share><apply id="S5.8.p1.5.m5.5.5.10.cmml" xref="S5.8.p1.5.m5.5.5.10"><times id="S5.8.p1.5.m5.5.5.10.1.cmml" xref="S5.8.p1.5.m5.5.5.10.1"></times><apply id="S5.8.p1.5.m5.5.5.10.2.cmml" xref="S5.8.p1.5.m5.5.5.10.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.8.p1.5.m5.5.5.10.2.1.cmml" xref="S5.8.p1.5.m5.5.5.10.2">subscript</csymbol><ci id="S5.8.p1.5.m5.5.5.10.2.2.cmml" xref="S5.8.p1.5.m5.5.5.10.2.2">𝑑</ci><ci id="S5.8.p1.5.m5.5.5.10.2.3.cmml" xref="S5.8.p1.5.m5.5.5.10.2.3">𝜂</ci></apply><ci id="S5.8.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S5.8.p1.5.m5.1.1">𝑏</ci></apply></apply><apply id="S5.8.p1.5.m5.5.5i.cmml" xref="S5.8.p1.5.m5.5.5"><gt id="S5.8.p1.5.m5.5.5.11.cmml" 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id="S5.8.p1.5.m5.2.2.cmml" xref="S5.8.p1.5.m5.2.2">𝑏</ci></apply></apply><apply id="S5.8.p1.5.m5.5.5m.cmml" xref="S5.8.p1.5.m5.5.5"><eq id="S5.8.p1.5.m5.5.5.15.cmml" xref="S5.8.p1.5.m5.5.5.15"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S5.8.p1.5.m5.5.5.14.cmml" id="S5.8.p1.5.m5.5.5n.cmml" xref="S5.8.p1.5.m5.5.5"></share><apply id="S5.8.p1.5.m5.5.5.16.cmml" xref="S5.8.p1.5.m5.5.5.16"><times id="S5.8.p1.5.m5.5.5.16.1.cmml" xref="S5.8.p1.5.m5.5.5.16.1"></times><apply id="S5.8.p1.5.m5.5.5.16.2.cmml" xref="S5.8.p1.5.m5.5.5.16.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.8.p1.5.m5.5.5.16.2.1.cmml" xref="S5.8.p1.5.m5.5.5.16.2">superscript</csymbol><apply id="S5.8.p1.5.m5.5.5.16.2.2.cmml" xref="S5.8.p1.5.m5.5.5.16.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.8.p1.5.m5.5.5.16.2.2.1.cmml" xref="S5.8.p1.5.m5.5.5.16.2">subscript</csymbol><ci id="S5.8.p1.5.m5.5.5.16.2.2.2.cmml" xref="S5.8.p1.5.m5.5.5.16.2.2.2">𝑑</ci><ci id="S5.8.p1.5.m5.5.5.16.2.2.3.cmml" xref="S5.8.p1.5.m5.5.5.16.2.2.3">𝜂</ci></apply><cn id="S5.8.p1.5.m5.5.5.16.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.8.p1.5.m5.5.5.16.2.3">2</cn></apply><ci id="S5.8.p1.5.m5.3.3.cmml" xref="S5.8.p1.5.m5.3.3">𝑏</ci></apply></apply><apply id="S5.8.p1.5.m5.5.5o.cmml" xref="S5.8.p1.5.m5.5.5"><ci id="S5.8.p1.5.m5.5.5.17.cmml" xref="S5.8.p1.5.m5.5.5.17">⇒</ci><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S5.8.p1.5.m5.5.5.16.cmml" id="S5.8.p1.5.m5.5.5p.cmml" xref="S5.8.p1.5.m5.5.5"></share><csymbol cd="latexml" id="S5.8.p1.5.m5.5.5.18.cmml" xref="S5.8.p1.5.m5.5.5.18">absent</csymbol></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.8.p1.5.m5.5c">b^{2}+2(\eta-1)b+\eta^{2}>b^{2}-b+1/4=(b-1/2)^{2}\geq 0\Rightarrow d_{\eta}(b)% >0\Rightarrow f_{\eta}(b)=d_{\eta}^{2}(b)\Rightarrow</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.8.p1.5.m5.5d">italic_b start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + 2 ( italic_η - 1 ) italic_b + italic_η start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT > italic_b start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT - italic_b + 1 / 4 = ( italic_b - 1 / 2 ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ≥ 0 ⇒ italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_η end_POSTSUBSCRIPT ( italic_b ) > 0 ⇒ italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_η end_POSTSUBSCRIPT ( italic_b ) = italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_η end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_b ) ⇒</annotation></semantics></math></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A0.EGx64"> <tbody id="A0.E38"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle f_{\eta}^{\prime}(b)=2\,d_{\eta}(b)\left(-1+\frac{b+\eta-1}{% \sqrt{b^{2}+2(\eta-1)b+\eta^{2}}}\right)\,." class="ltx_Math" display="inline" id="A0.E38.m1.4"><semantics id="A0.E38.m1.4a"><mrow id="A0.E38.m1.4.4.1" xref="A0.E38.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="A0.E38.m1.4.4.1.1" 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end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG end_ARG ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(38)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.8.p1.13">Now, by</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A0.EGx65"> <tbody id="A0.E39"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle b^{2}+2(\eta-1)b+\eta^{2}=(b+\eta-1)^{2}+2\eta-1\,," class="ltx_Math" display="inline" id="A0.E39.m1.1"><semantics id="A0.E39.m1.1a"><mrow id="A0.E39.m1.1.1.1" xref="A0.E39.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A0.E39.m1.1.1.1.1" xref="A0.E39.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A0.E39.m1.1.1.1.1.1" xref="A0.E39.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="A0.E39.m1.1.1.1.1.1.3" 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id="A0.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="A0.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A0.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2" xref="A0.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A0.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2" xref="A0.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">b</mi><mo id="A0.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.1" xref="A0.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">+</mo><mi id="A0.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3" xref="A0.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">η</mi></mrow><mo id="A0.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="A0.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="A0.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3" xref="A0.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="A0.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="A0.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="A0.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="A0.E39.m1.1.1.1.1.2.1.2" xref="A0.E39.m1.1.1.1.1.2.1.2.cmml">+</mo><mrow id="A0.E39.m1.1.1.1.1.2.1.3" xref="A0.E39.m1.1.1.1.1.2.1.3.cmml"><mn id="A0.E39.m1.1.1.1.1.2.1.3.2" xref="A0.E39.m1.1.1.1.1.2.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="A0.E39.m1.1.1.1.1.2.1.3.1" xref="A0.E39.m1.1.1.1.1.2.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A0.E39.m1.1.1.1.1.2.1.3.3" xref="A0.E39.m1.1.1.1.1.2.1.3.3.cmml">η</mi></mrow></mrow><mo id="A0.E39.m1.1.1.1.1.2.2" xref="A0.E39.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">−</mo><mn id="A0.E39.m1.1.1.1.1.2.3" xref="A0.E39.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></mrow></mrow><mo id="A0.E39.m1.1.1.1.2" lspace="0.170em" xref="A0.E39.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.E39.m1.1b"><apply id="A0.E39.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.E39.m1.1.1.1"><eq id="A0.E39.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.E39.m1.1.1.1.1.3"></eq><apply id="A0.E39.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.E39.m1.1.1.1.1.1"><plus id="A0.E39.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.E39.m1.1.1.1.1.1.2"></plus><apply id="A0.E39.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.E39.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E39.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A0.E39.m1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="A0.E39.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A0.E39.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝑏</ci><cn id="A0.E39.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A0.E39.m1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="A0.E39.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.E39.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="A0.E39.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.E39.m1.1.1.1.1.1.1.2"></times><cn id="A0.E39.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A0.E39.m1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn><apply id="A0.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A0.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="A0.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜂</ci><cn id="A0.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A0.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="A0.E39.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A0.E39.m1.1.1.1.1.1.1.4">𝑏</ci></apply><apply id="A0.E39.m1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A0.E39.m1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E39.m1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A0.E39.m1.1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="A0.E39.m1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A0.E39.m1.1.1.1.1.1.4.2">𝜂</ci><cn id="A0.E39.m1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="A0.E39.m1.1.1.1.1.1.4.3">2</cn></apply></apply><apply id="A0.E39.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.E39.m1.1.1.1.1.2"><minus id="A0.E39.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A0.E39.m1.1.1.1.1.2.2"></minus><apply id="A0.E39.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A0.E39.m1.1.1.1.1.2.1"><plus id="A0.E39.m1.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="A0.E39.m1.1.1.1.1.2.1.2"></plus><apply id="A0.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="A0.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="A0.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1">superscript</csymbol><apply id="A0.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1"><minus id="A0.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A0.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2"><plus id="A0.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A0.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.1"></plus><ci id="A0.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A0.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2">𝑏</ci><ci id="A0.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A0.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3">𝜂</ci></apply><cn id="A0.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A0.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><cn id="A0.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A0.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.3">2</cn></apply><apply id="A0.E39.m1.1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="A0.E39.m1.1.1.1.1.2.1.3"><times id="A0.E39.m1.1.1.1.1.2.1.3.1.cmml" xref="A0.E39.m1.1.1.1.1.2.1.3.1"></times><cn id="A0.E39.m1.1.1.1.1.2.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A0.E39.m1.1.1.1.1.2.1.3.2">2</cn><ci id="A0.E39.m1.1.1.1.1.2.1.3.3.cmml" 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id="S5.8.p1.6.m1.1"><semantics id="S5.8.p1.6.m1.1a"><mrow id="S5.8.p1.6.m1.1.1" xref="S5.8.p1.6.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.8.p1.6.m1.1.1.2" xref="S5.8.p1.6.m1.1.1.2.cmml">η</mi><mo id="S5.8.p1.6.m1.1.1.1" xref="S5.8.p1.6.m1.1.1.1.cmml">></mo><mrow id="S5.8.p1.6.m1.1.1.3" xref="S5.8.p1.6.m1.1.1.3.cmml"><mn id="S5.8.p1.6.m1.1.1.3.2" xref="S5.8.p1.6.m1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S5.8.p1.6.m1.1.1.3.1" xref="S5.8.p1.6.m1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S5.8.p1.6.m1.1.1.3.3" xref="S5.8.p1.6.m1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.8.p1.6.m1.1b"><apply id="S5.8.p1.6.m1.1.1.cmml" xref="S5.8.p1.6.m1.1.1"><gt id="S5.8.p1.6.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.8.p1.6.m1.1.1.1"></gt><ci id="S5.8.p1.6.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.8.p1.6.m1.1.1.2">𝜂</ci><apply id="S5.8.p1.6.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.8.p1.6.m1.1.1.3"><divide id="S5.8.p1.6.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.8.p1.6.m1.1.1.3.1"></divide><cn id="S5.8.p1.6.m1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.8.p1.6.m1.1.1.3.2">1</cn><cn id="S5.8.p1.6.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.8.p1.6.m1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.8.p1.6.m1.1c">\eta>1/2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.8.p1.6.m1.1d">italic_η > 1 / 2</annotation></semantics></math>, it can be verified that <math alttext="f_{\eta}^{\prime}(b)<0" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.8.p1.7.m2.1"><semantics id="S5.8.p1.7.m2.1a"><mrow id="S5.8.p1.7.m2.1.2" xref="S5.8.p1.7.m2.1.2.cmml"><mrow id="S5.8.p1.7.m2.1.2.2" xref="S5.8.p1.7.m2.1.2.2.cmml"><msubsup id="S5.8.p1.7.m2.1.2.2.2" xref="S5.8.p1.7.m2.1.2.2.2.cmml"><mi id="S5.8.p1.7.m2.1.2.2.2.2.2" xref="S5.8.p1.7.m2.1.2.2.2.2.2.cmml">f</mi><mi id="S5.8.p1.7.m2.1.2.2.2.2.3" xref="S5.8.p1.7.m2.1.2.2.2.2.3.cmml">η</mi><mo id="S5.8.p1.7.m2.1.2.2.2.3" xref="S5.8.p1.7.m2.1.2.2.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S5.8.p1.7.m2.1.2.2.1" xref="S5.8.p1.7.m2.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.8.p1.7.m2.1.2.2.3.2" xref="S5.8.p1.7.m2.1.2.2.cmml"><mo id="S5.8.p1.7.m2.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.8.p1.7.m2.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S5.8.p1.7.m2.1.1" xref="S5.8.p1.7.m2.1.1.cmml">b</mi><mo id="S5.8.p1.7.m2.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.8.p1.7.m2.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.8.p1.7.m2.1.2.1" xref="S5.8.p1.7.m2.1.2.1.cmml"><</mo><mn id="S5.8.p1.7.m2.1.2.3" xref="S5.8.p1.7.m2.1.2.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.8.p1.7.m2.1b"><apply id="S5.8.p1.7.m2.1.2.cmml" xref="S5.8.p1.7.m2.1.2"><lt id="S5.8.p1.7.m2.1.2.1.cmml" xref="S5.8.p1.7.m2.1.2.1"></lt><apply id="S5.8.p1.7.m2.1.2.2.cmml" xref="S5.8.p1.7.m2.1.2.2"><times id="S5.8.p1.7.m2.1.2.2.1.cmml" xref="S5.8.p1.7.m2.1.2.2.1"></times><apply id="S5.8.p1.7.m2.1.2.2.2.cmml" xref="S5.8.p1.7.m2.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.8.p1.7.m2.1.2.2.2.1.cmml" xref="S5.8.p1.7.m2.1.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S5.8.p1.7.m2.1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.8.p1.7.m2.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.8.p1.7.m2.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.8.p1.7.m2.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.8.p1.7.m2.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.8.p1.7.m2.1.2.2.2.2.2">𝑓</ci><ci id="S5.8.p1.7.m2.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.8.p1.7.m2.1.2.2.2.2.3">𝜂</ci></apply><ci id="S5.8.p1.7.m2.1.2.2.2.3.cmml" xref="S5.8.p1.7.m2.1.2.2.2.3">′</ci></apply><ci id="S5.8.p1.7.m2.1.1.cmml" xref="S5.8.p1.7.m2.1.1">𝑏</ci></apply><cn id="S5.8.p1.7.m2.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.8.p1.7.m2.1.2.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.8.p1.7.m2.1c">f_{\eta}^{\prime}(b)<0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.8.p1.7.m2.1d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_η end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_b ) < 0</annotation></semantics></math> in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#A0.E38" title="Equation 38 ‣ Proof: ‣ V Conclusions ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">38</span></a>). Hence <math alttext="f_{\eta}(\cdot)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.8.p1.8.m3.1"><semantics id="S5.8.p1.8.m3.1a"><mrow id="S5.8.p1.8.m3.1.2" xref="S5.8.p1.8.m3.1.2.cmml"><msub id="S5.8.p1.8.m3.1.2.2" xref="S5.8.p1.8.m3.1.2.2.cmml"><mi id="S5.8.p1.8.m3.1.2.2.2" xref="S5.8.p1.8.m3.1.2.2.2.cmml">f</mi><mi id="S5.8.p1.8.m3.1.2.2.3" xref="S5.8.p1.8.m3.1.2.2.3.cmml">η</mi></msub><mo id="S5.8.p1.8.m3.1.2.1" xref="S5.8.p1.8.m3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.8.p1.8.m3.1.2.3.2" xref="S5.8.p1.8.m3.1.2.cmml"><mo id="S5.8.p1.8.m3.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.8.p1.8.m3.1.2.cmml">(</mo><mo id="S5.8.p1.8.m3.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S5.8.p1.8.m3.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="S5.8.p1.8.m3.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.8.p1.8.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.8.p1.8.m3.1b"><apply id="S5.8.p1.8.m3.1.2.cmml" xref="S5.8.p1.8.m3.1.2"><times id="S5.8.p1.8.m3.1.2.1.cmml" xref="S5.8.p1.8.m3.1.2.1"></times><apply id="S5.8.p1.8.m3.1.2.2.cmml" xref="S5.8.p1.8.m3.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.8.p1.8.m3.1.2.2.1.cmml" xref="S5.8.p1.8.m3.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.8.p1.8.m3.1.2.2.2.cmml" xref="S5.8.p1.8.m3.1.2.2.2">𝑓</ci><ci id="S5.8.p1.8.m3.1.2.2.3.cmml" xref="S5.8.p1.8.m3.1.2.2.3">𝜂</ci></apply><ci id="S5.8.p1.8.m3.1.1.cmml" xref="S5.8.p1.8.m3.1.1">⋅</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.8.p1.8.m3.1c">f_{\eta}(\cdot)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.8.p1.8.m3.1d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_η end_POSTSUBSCRIPT ( ⋅ )</annotation></semantics></math> is monotonically decreasing on <math alttext="(0,1]" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.8.p1.9.m4.2"><semantics id="S5.8.p1.9.m4.2a"><mrow id="S5.8.p1.9.m4.2.3.2" xref="S5.8.p1.9.m4.2.3.1.cmml"><mo id="S5.8.p1.9.m4.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.8.p1.9.m4.2.3.1.cmml">(</mo><mn id="S5.8.p1.9.m4.1.1" xref="S5.8.p1.9.m4.1.1.cmml">0</mn><mo id="S5.8.p1.9.m4.2.3.2.2" xref="S5.8.p1.9.m4.2.3.1.cmml">,</mo><mn id="S5.8.p1.9.m4.2.2" xref="S5.8.p1.9.m4.2.2.cmml">1</mn><mo id="S5.8.p1.9.m4.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S5.8.p1.9.m4.2.3.1.cmml">]</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.8.p1.9.m4.2b"><interval closure="open-closed" id="S5.8.p1.9.m4.2.3.1.cmml" xref="S5.8.p1.9.m4.2.3.2"><cn id="S5.8.p1.9.m4.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.8.p1.9.m4.1.1">0</cn><cn id="S5.8.p1.9.m4.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.8.p1.9.m4.2.2">1</cn></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.8.p1.9.m4.2c">(0,1]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.8.p1.9.m4.2d">( 0 , 1 ]</annotation></semantics></math>, and for any <math alttext="n\in\mathcal{N}\setminus\{N\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.8.p1.10.m5.1"><semantics id="S5.8.p1.10.m5.1a"><mrow id="S5.8.p1.10.m5.1.2" xref="S5.8.p1.10.m5.1.2.cmml"><mi id="S5.8.p1.10.m5.1.2.2" xref="S5.8.p1.10.m5.1.2.2.cmml">n</mi><mo id="S5.8.p1.10.m5.1.2.1" xref="S5.8.p1.10.m5.1.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S5.8.p1.10.m5.1.2.3" xref="S5.8.p1.10.m5.1.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.8.p1.10.m5.1.2.3.2" xref="S5.8.p1.10.m5.1.2.3.2.cmml">𝒩</mi><mo id="S5.8.p1.10.m5.1.2.3.1" xref="S5.8.p1.10.m5.1.2.3.1.cmml">∖</mo><mrow id="S5.8.p1.10.m5.1.2.3.3.2" xref="S5.8.p1.10.m5.1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S5.8.p1.10.m5.1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.8.p1.10.m5.1.2.3.3.1.cmml">{</mo><mi id="S5.8.p1.10.m5.1.1" xref="S5.8.p1.10.m5.1.1.cmml">N</mi><mo id="S5.8.p1.10.m5.1.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.8.p1.10.m5.1.2.3.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.8.p1.10.m5.1b"><apply id="S5.8.p1.10.m5.1.2.cmml" xref="S5.8.p1.10.m5.1.2"><in id="S5.8.p1.10.m5.1.2.1.cmml" xref="S5.8.p1.10.m5.1.2.1"></in><ci id="S5.8.p1.10.m5.1.2.2.cmml" xref="S5.8.p1.10.m5.1.2.2">𝑛</ci><apply id="S5.8.p1.10.m5.1.2.3.cmml" xref="S5.8.p1.10.m5.1.2.3"><setdiff id="S5.8.p1.10.m5.1.2.3.1.cmml" xref="S5.8.p1.10.m5.1.2.3.1"></setdiff><ci id="S5.8.p1.10.m5.1.2.3.2.cmml" xref="S5.8.p1.10.m5.1.2.3.2">𝒩</ci><set id="S5.8.p1.10.m5.1.2.3.3.1.cmml" xref="S5.8.p1.10.m5.1.2.3.3.2"><ci id="S5.8.p1.10.m5.1.1.cmml" xref="S5.8.p1.10.m5.1.1">𝑁</ci></set></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.8.p1.10.m5.1c">n\in\mathcal{N}\setminus\{N\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.8.p1.10.m5.1d">italic_n ∈ caligraphic_N ∖ { italic_N }</annotation></semantics></math>, <math alttext="f_{\eta}(b_{N-1})\geq f_{\eta}(b_{n})" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.8.p1.11.m6.2"><semantics id="S5.8.p1.11.m6.2a"><mrow id="S5.8.p1.11.m6.2.2" xref="S5.8.p1.11.m6.2.2.cmml"><mrow id="S5.8.p1.11.m6.1.1.1" xref="S5.8.p1.11.m6.1.1.1.cmml"><msub id="S5.8.p1.11.m6.1.1.1.3" xref="S5.8.p1.11.m6.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.8.p1.11.m6.1.1.1.3.2" xref="S5.8.p1.11.m6.1.1.1.3.2.cmml">f</mi><mi id="S5.8.p1.11.m6.1.1.1.3.3" xref="S5.8.p1.11.m6.1.1.1.3.3.cmml">η</mi></msub><mo id="S5.8.p1.11.m6.1.1.1.2" xref="S5.8.p1.11.m6.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.8.p1.11.m6.1.1.1.1.1" xref="S5.8.p1.11.m6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.8.p1.11.m6.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.8.p1.11.m6.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S5.8.p1.11.m6.1.1.1.1.1.1" xref="S5.8.p1.11.m6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.8.p1.11.m6.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.8.p1.11.m6.1.1.1.1.1.1.2.cmml">b</mi><mrow id="S5.8.p1.11.m6.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.8.p1.11.m6.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.8.p1.11.m6.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.8.p1.11.m6.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">N</mi><mo id="S5.8.p1.11.m6.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.8.p1.11.m6.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="S5.8.p1.11.m6.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.8.p1.11.m6.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S5.8.p1.11.m6.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.8.p1.11.m6.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.8.p1.11.m6.2.2.3" xref="S5.8.p1.11.m6.2.2.3.cmml">≥</mo><mrow id="S5.8.p1.11.m6.2.2.2" xref="S5.8.p1.11.m6.2.2.2.cmml"><msub id="S5.8.p1.11.m6.2.2.2.3" xref="S5.8.p1.11.m6.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.8.p1.11.m6.2.2.2.3.2" xref="S5.8.p1.11.m6.2.2.2.3.2.cmml">f</mi><mi id="S5.8.p1.11.m6.2.2.2.3.3" xref="S5.8.p1.11.m6.2.2.2.3.3.cmml">η</mi></msub><mo id="S5.8.p1.11.m6.2.2.2.2" xref="S5.8.p1.11.m6.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.8.p1.11.m6.2.2.2.1.1" xref="S5.8.p1.11.m6.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S5.8.p1.11.m6.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.8.p1.11.m6.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S5.8.p1.11.m6.2.2.2.1.1.1" xref="S5.8.p1.11.m6.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S5.8.p1.11.m6.2.2.2.1.1.1.2" xref="S5.8.p1.11.m6.2.2.2.1.1.1.2.cmml">b</mi><mi id="S5.8.p1.11.m6.2.2.2.1.1.1.3" xref="S5.8.p1.11.m6.2.2.2.1.1.1.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S5.8.p1.11.m6.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.8.p1.11.m6.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.8.p1.11.m6.2b"><apply id="S5.8.p1.11.m6.2.2.cmml" xref="S5.8.p1.11.m6.2.2"><geq id="S5.8.p1.11.m6.2.2.3.cmml" xref="S5.8.p1.11.m6.2.2.3"></geq><apply id="S5.8.p1.11.m6.1.1.1.cmml" xref="S5.8.p1.11.m6.1.1.1"><times id="S5.8.p1.11.m6.1.1.1.2.cmml" xref="S5.8.p1.11.m6.1.1.1.2"></times><apply id="S5.8.p1.11.m6.1.1.1.3.cmml" xref="S5.8.p1.11.m6.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.8.p1.11.m6.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.8.p1.11.m6.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.8.p1.11.m6.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.8.p1.11.m6.1.1.1.3.2">𝑓</ci><ci id="S5.8.p1.11.m6.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.8.p1.11.m6.1.1.1.3.3">𝜂</ci></apply><apply id="S5.8.p1.11.m6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.8.p1.11.m6.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.8.p1.11.m6.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.8.p1.11.m6.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.8.p1.11.m6.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.8.p1.11.m6.1.1.1.1.1.1.2">𝑏</ci><apply id="S5.8.p1.11.m6.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.8.p1.11.m6.1.1.1.1.1.1.3"><minus id="S5.8.p1.11.m6.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.8.p1.11.m6.1.1.1.1.1.1.3.1"></minus><ci id="S5.8.p1.11.m6.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.8.p1.11.m6.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑁</ci><cn id="S5.8.p1.11.m6.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.8.p1.11.m6.1.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.8.p1.11.m6.2.2.2.cmml" xref="S5.8.p1.11.m6.2.2.2"><times id="S5.8.p1.11.m6.2.2.2.2.cmml" xref="S5.8.p1.11.m6.2.2.2.2"></times><apply id="S5.8.p1.11.m6.2.2.2.3.cmml" xref="S5.8.p1.11.m6.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.8.p1.11.m6.2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.8.p1.11.m6.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.8.p1.11.m6.2.2.2.3.2.cmml" xref="S5.8.p1.11.m6.2.2.2.3.2">𝑓</ci><ci id="S5.8.p1.11.m6.2.2.2.3.3.cmml" xref="S5.8.p1.11.m6.2.2.2.3.3">𝜂</ci></apply><apply id="S5.8.p1.11.m6.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.8.p1.11.m6.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.8.p1.11.m6.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.8.p1.11.m6.2.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.8.p1.11.m6.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S5.8.p1.11.m6.2.2.2.1.1.1.2">𝑏</ci><ci id="S5.8.p1.11.m6.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S5.8.p1.11.m6.2.2.2.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.8.p1.11.m6.2c">f_{\eta}(b_{N-1})\geq f_{\eta}(b_{n})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.8.p1.11.m6.2d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_η end_POSTSUBSCRIPT ( italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_N - 1 end_POSTSUBSCRIPT ) ≥ italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_η end_POSTSUBSCRIPT ( italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> because <math alttext="b_{N-1}\leq b_{N-2}\leq\ldots\leq b_{1}=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.8.p1.12.m7.1"><semantics id="S5.8.p1.12.m7.1a"><mrow id="S5.8.p1.12.m7.1.1" xref="S5.8.p1.12.m7.1.1.cmml"><msub id="S5.8.p1.12.m7.1.1.2" xref="S5.8.p1.12.m7.1.1.2.cmml"><mi id="S5.8.p1.12.m7.1.1.2.2" xref="S5.8.p1.12.m7.1.1.2.2.cmml">b</mi><mrow id="S5.8.p1.12.m7.1.1.2.3" xref="S5.8.p1.12.m7.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.8.p1.12.m7.1.1.2.3.2" xref="S5.8.p1.12.m7.1.1.2.3.2.cmml">N</mi><mo id="S5.8.p1.12.m7.1.1.2.3.1" xref="S5.8.p1.12.m7.1.1.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="S5.8.p1.12.m7.1.1.2.3.3" xref="S5.8.p1.12.m7.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S5.8.p1.12.m7.1.1.3" xref="S5.8.p1.12.m7.1.1.3.cmml">≤</mo><msub id="S5.8.p1.12.m7.1.1.4" xref="S5.8.p1.12.m7.1.1.4.cmml"><mi id="S5.8.p1.12.m7.1.1.4.2" xref="S5.8.p1.12.m7.1.1.4.2.cmml">b</mi><mrow id="S5.8.p1.12.m7.1.1.4.3" xref="S5.8.p1.12.m7.1.1.4.3.cmml"><mi id="S5.8.p1.12.m7.1.1.4.3.2" xref="S5.8.p1.12.m7.1.1.4.3.2.cmml">N</mi><mo id="S5.8.p1.12.m7.1.1.4.3.1" xref="S5.8.p1.12.m7.1.1.4.3.1.cmml">−</mo><mn id="S5.8.p1.12.m7.1.1.4.3.3" xref="S5.8.p1.12.m7.1.1.4.3.3.cmml">2</mn></mrow></msub><mo id="S5.8.p1.12.m7.1.1.5" xref="S5.8.p1.12.m7.1.1.5.cmml">≤</mo><mi id="S5.8.p1.12.m7.1.1.6" mathvariant="normal" xref="S5.8.p1.12.m7.1.1.6.cmml">…</mi><mo id="S5.8.p1.12.m7.1.1.7" xref="S5.8.p1.12.m7.1.1.7.cmml">≤</mo><msub id="S5.8.p1.12.m7.1.1.8" xref="S5.8.p1.12.m7.1.1.8.cmml"><mi id="S5.8.p1.12.m7.1.1.8.2" xref="S5.8.p1.12.m7.1.1.8.2.cmml">b</mi><mn id="S5.8.p1.12.m7.1.1.8.3" xref="S5.8.p1.12.m7.1.1.8.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.8.p1.12.m7.1.1.9" xref="S5.8.p1.12.m7.1.1.9.cmml">=</mo><mn id="S5.8.p1.12.m7.1.1.10" xref="S5.8.p1.12.m7.1.1.10.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.8.p1.12.m7.1b"><apply id="S5.8.p1.12.m7.1.1.cmml" xref="S5.8.p1.12.m7.1.1"><and id="S5.8.p1.12.m7.1.1a.cmml" xref="S5.8.p1.12.m7.1.1"></and><apply id="S5.8.p1.12.m7.1.1b.cmml" xref="S5.8.p1.12.m7.1.1"><leq id="S5.8.p1.12.m7.1.1.3.cmml" xref="S5.8.p1.12.m7.1.1.3"></leq><apply id="S5.8.p1.12.m7.1.1.2.cmml" xref="S5.8.p1.12.m7.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.8.p1.12.m7.1.1.2.1.cmml" xref="S5.8.p1.12.m7.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.8.p1.12.m7.1.1.2.2.cmml" xref="S5.8.p1.12.m7.1.1.2.2">𝑏</ci><apply id="S5.8.p1.12.m7.1.1.2.3.cmml" xref="S5.8.p1.12.m7.1.1.2.3"><minus id="S5.8.p1.12.m7.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.8.p1.12.m7.1.1.2.3.1"></minus><ci id="S5.8.p1.12.m7.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.8.p1.12.m7.1.1.2.3.2">𝑁</ci><cn id="S5.8.p1.12.m7.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.8.p1.12.m7.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S5.8.p1.12.m7.1.1.4.cmml" xref="S5.8.p1.12.m7.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.8.p1.12.m7.1.1.4.1.cmml" xref="S5.8.p1.12.m7.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S5.8.p1.12.m7.1.1.4.2.cmml" xref="S5.8.p1.12.m7.1.1.4.2">𝑏</ci><apply id="S5.8.p1.12.m7.1.1.4.3.cmml" xref="S5.8.p1.12.m7.1.1.4.3"><minus id="S5.8.p1.12.m7.1.1.4.3.1.cmml" xref="S5.8.p1.12.m7.1.1.4.3.1"></minus><ci id="S5.8.p1.12.m7.1.1.4.3.2.cmml" xref="S5.8.p1.12.m7.1.1.4.3.2">𝑁</ci><cn id="S5.8.p1.12.m7.1.1.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.8.p1.12.m7.1.1.4.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.8.p1.12.m7.1.1c.cmml" xref="S5.8.p1.12.m7.1.1"><leq id="S5.8.p1.12.m7.1.1.5.cmml" xref="S5.8.p1.12.m7.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S5.8.p1.12.m7.1.1.4.cmml" id="S5.8.p1.12.m7.1.1d.cmml" xref="S5.8.p1.12.m7.1.1"></share><ci id="S5.8.p1.12.m7.1.1.6.cmml" xref="S5.8.p1.12.m7.1.1.6">…</ci></apply><apply id="S5.8.p1.12.m7.1.1e.cmml" xref="S5.8.p1.12.m7.1.1"><leq id="S5.8.p1.12.m7.1.1.7.cmml" xref="S5.8.p1.12.m7.1.1.7"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S5.8.p1.12.m7.1.1.6.cmml" id="S5.8.p1.12.m7.1.1f.cmml" xref="S5.8.p1.12.m7.1.1"></share><apply id="S5.8.p1.12.m7.1.1.8.cmml" xref="S5.8.p1.12.m7.1.1.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.8.p1.12.m7.1.1.8.1.cmml" xref="S5.8.p1.12.m7.1.1.8">subscript</csymbol><ci id="S5.8.p1.12.m7.1.1.8.2.cmml" xref="S5.8.p1.12.m7.1.1.8.2">𝑏</ci><cn id="S5.8.p1.12.m7.1.1.8.3.cmml" type="integer" xref="S5.8.p1.12.m7.1.1.8.3">1</cn></apply></apply><apply id="S5.8.p1.12.m7.1.1g.cmml" xref="S5.8.p1.12.m7.1.1"><eq id="S5.8.p1.12.m7.1.1.9.cmml" xref="S5.8.p1.12.m7.1.1.9"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S5.8.p1.12.m7.1.1.8.cmml" id="S5.8.p1.12.m7.1.1h.cmml" xref="S5.8.p1.12.m7.1.1"></share><cn id="S5.8.p1.12.m7.1.1.10.cmml" type="integer" xref="S5.8.p1.12.m7.1.1.10">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.8.p1.12.m7.1c">b_{N-1}\leq b_{N-2}\leq\ldots\leq b_{1}=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.8.p1.12.m7.1d">italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_N - 1 end_POSTSUBSCRIPT ≤ italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_N - 2 end_POSTSUBSCRIPT ≤ … ≤ italic_b start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT = 1</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S5.9.p2"> <p class="ltx_p" id="S5.9.p2.10">The following refer to the case <math alttext="\eta\leq 1/2" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.9.p2.1.m1.1"><semantics id="S5.9.p2.1.m1.1a"><mrow id="S5.9.p2.1.m1.1.1" xref="S5.9.p2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.9.p2.1.m1.1.1.2" xref="S5.9.p2.1.m1.1.1.2.cmml">η</mi><mo id="S5.9.p2.1.m1.1.1.1" xref="S5.9.p2.1.m1.1.1.1.cmml">≤</mo><mrow id="S5.9.p2.1.m1.1.1.3" xref="S5.9.p2.1.m1.1.1.3.cmml"><mn id="S5.9.p2.1.m1.1.1.3.2" xref="S5.9.p2.1.m1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S5.9.p2.1.m1.1.1.3.1" xref="S5.9.p2.1.m1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S5.9.p2.1.m1.1.1.3.3" xref="S5.9.p2.1.m1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.9.p2.1.m1.1b"><apply id="S5.9.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.9.p2.1.m1.1.1"><leq id="S5.9.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.9.p2.1.m1.1.1.1"></leq><ci id="S5.9.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.9.p2.1.m1.1.1.2">𝜂</ci><apply id="S5.9.p2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.9.p2.1.m1.1.1.3"><divide id="S5.9.p2.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.9.p2.1.m1.1.1.3.1"></divide><cn id="S5.9.p2.1.m1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.9.p2.1.m1.1.1.3.2">1</cn><cn id="S5.9.p2.1.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.9.p2.1.m1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.9.p2.1.m1.1c">\eta\leq 1/2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.9.p2.1.m1.1d">italic_η ≤ 1 / 2</annotation></semantics></math>. Define <math alttext="x_{1}\coloneqq 1-\eta-\sqrt{1-2\eta}>0" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.9.p2.2.m2.1"><semantics id="S5.9.p2.2.m2.1a"><mrow id="S5.9.p2.2.m2.1.1" xref="S5.9.p2.2.m2.1.1.cmml"><msub id="S5.9.p2.2.m2.1.1.2" xref="S5.9.p2.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S5.9.p2.2.m2.1.1.2.2" xref="S5.9.p2.2.m2.1.1.2.2.cmml">x</mi><mn id="S5.9.p2.2.m2.1.1.2.3" xref="S5.9.p2.2.m2.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.9.p2.2.m2.1.1.3" xref="S5.9.p2.2.m2.1.1.3.cmml">≔</mo><mrow id="S5.9.p2.2.m2.1.1.4" xref="S5.9.p2.2.m2.1.1.4.cmml"><mn id="S5.9.p2.2.m2.1.1.4.2" xref="S5.9.p2.2.m2.1.1.4.2.cmml">1</mn><mo id="S5.9.p2.2.m2.1.1.4.1" xref="S5.9.p2.2.m2.1.1.4.1.cmml">−</mo><mi id="S5.9.p2.2.m2.1.1.4.3" xref="S5.9.p2.2.m2.1.1.4.3.cmml">η</mi><mo id="S5.9.p2.2.m2.1.1.4.1a" xref="S5.9.p2.2.m2.1.1.4.1.cmml">−</mo><msqrt id="S5.9.p2.2.m2.1.1.4.4" xref="S5.9.p2.2.m2.1.1.4.4.cmml"><mrow id="S5.9.p2.2.m2.1.1.4.4.2" xref="S5.9.p2.2.m2.1.1.4.4.2.cmml"><mn id="S5.9.p2.2.m2.1.1.4.4.2.2" xref="S5.9.p2.2.m2.1.1.4.4.2.2.cmml">1</mn><mo id="S5.9.p2.2.m2.1.1.4.4.2.1" xref="S5.9.p2.2.m2.1.1.4.4.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.9.p2.2.m2.1.1.4.4.2.3" xref="S5.9.p2.2.m2.1.1.4.4.2.3.cmml"><mn id="S5.9.p2.2.m2.1.1.4.4.2.3.2" xref="S5.9.p2.2.m2.1.1.4.4.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S5.9.p2.2.m2.1.1.4.4.2.3.1" xref="S5.9.p2.2.m2.1.1.4.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.9.p2.2.m2.1.1.4.4.2.3.3" xref="S5.9.p2.2.m2.1.1.4.4.2.3.3.cmml">η</mi></mrow></mrow></msqrt></mrow><mo id="S5.9.p2.2.m2.1.1.5" xref="S5.9.p2.2.m2.1.1.5.cmml">></mo><mn id="S5.9.p2.2.m2.1.1.6" xref="S5.9.p2.2.m2.1.1.6.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.9.p2.2.m2.1b"><apply id="S5.9.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.9.p2.2.m2.1.1"><and id="S5.9.p2.2.m2.1.1a.cmml" xref="S5.9.p2.2.m2.1.1"></and><apply id="S5.9.p2.2.m2.1.1b.cmml" xref="S5.9.p2.2.m2.1.1"><ci id="S5.9.p2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.9.p2.2.m2.1.1.3">≔</ci><apply id="S5.9.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.9.p2.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.9.p2.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.9.p2.2.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.9.p2.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S5.9.p2.2.m2.1.1.2.2">𝑥</ci><cn id="S5.9.p2.2.m2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.9.p2.2.m2.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S5.9.p2.2.m2.1.1.4.cmml" xref="S5.9.p2.2.m2.1.1.4"><minus id="S5.9.p2.2.m2.1.1.4.1.cmml" xref="S5.9.p2.2.m2.1.1.4.1"></minus><cn id="S5.9.p2.2.m2.1.1.4.2.cmml" type="integer" xref="S5.9.p2.2.m2.1.1.4.2">1</cn><ci id="S5.9.p2.2.m2.1.1.4.3.cmml" xref="S5.9.p2.2.m2.1.1.4.3">𝜂</ci><apply id="S5.9.p2.2.m2.1.1.4.4.cmml" xref="S5.9.p2.2.m2.1.1.4.4"><root id="S5.9.p2.2.m2.1.1.4.4a.cmml" xref="S5.9.p2.2.m2.1.1.4.4"></root><apply id="S5.9.p2.2.m2.1.1.4.4.2.cmml" xref="S5.9.p2.2.m2.1.1.4.4.2"><minus id="S5.9.p2.2.m2.1.1.4.4.2.1.cmml" xref="S5.9.p2.2.m2.1.1.4.4.2.1"></minus><cn id="S5.9.p2.2.m2.1.1.4.4.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.9.p2.2.m2.1.1.4.4.2.2">1</cn><apply id="S5.9.p2.2.m2.1.1.4.4.2.3.cmml" xref="S5.9.p2.2.m2.1.1.4.4.2.3"><times id="S5.9.p2.2.m2.1.1.4.4.2.3.1.cmml" xref="S5.9.p2.2.m2.1.1.4.4.2.3.1"></times><cn id="S5.9.p2.2.m2.1.1.4.4.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.9.p2.2.m2.1.1.4.4.2.3.2">2</cn><ci id="S5.9.p2.2.m2.1.1.4.4.2.3.3.cmml" xref="S5.9.p2.2.m2.1.1.4.4.2.3.3">𝜂</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S5.9.p2.2.m2.1.1c.cmml" xref="S5.9.p2.2.m2.1.1"><gt id="S5.9.p2.2.m2.1.1.5.cmml" xref="S5.9.p2.2.m2.1.1.5"></gt><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S5.9.p2.2.m2.1.1.4.cmml" id="S5.9.p2.2.m2.1.1d.cmml" xref="S5.9.p2.2.m2.1.1"></share><cn id="S5.9.p2.2.m2.1.1.6.cmml" type="integer" xref="S5.9.p2.2.m2.1.1.6">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.9.p2.2.m2.1c">x_{1}\coloneqq 1-\eta-\sqrt{1-2\eta}>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.9.p2.2.m2.1d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ≔ 1 - italic_η - square-root start_ARG 1 - 2 italic_η end_ARG > 0</annotation></semantics></math> and <math alttext="x_{2}\coloneqq 1-\eta+\sqrt{1-2\eta}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.9.p2.3.m3.1"><semantics id="S5.9.p2.3.m3.1a"><mrow id="S5.9.p2.3.m3.1.1" xref="S5.9.p2.3.m3.1.1.cmml"><msub id="S5.9.p2.3.m3.1.1.2" xref="S5.9.p2.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S5.9.p2.3.m3.1.1.2.2" xref="S5.9.p2.3.m3.1.1.2.2.cmml">x</mi><mn id="S5.9.p2.3.m3.1.1.2.3" xref="S5.9.p2.3.m3.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S5.9.p2.3.m3.1.1.1" xref="S5.9.p2.3.m3.1.1.1.cmml">≔</mo><mrow id="S5.9.p2.3.m3.1.1.3" xref="S5.9.p2.3.m3.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.9.p2.3.m3.1.1.3.2" xref="S5.9.p2.3.m3.1.1.3.2.cmml"><mn id="S5.9.p2.3.m3.1.1.3.2.2" xref="S5.9.p2.3.m3.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="S5.9.p2.3.m3.1.1.3.2.1" xref="S5.9.p2.3.m3.1.1.3.2.1.cmml">−</mo><mi id="S5.9.p2.3.m3.1.1.3.2.3" xref="S5.9.p2.3.m3.1.1.3.2.3.cmml">η</mi></mrow><mo id="S5.9.p2.3.m3.1.1.3.1" xref="S5.9.p2.3.m3.1.1.3.1.cmml">+</mo><msqrt id="S5.9.p2.3.m3.1.1.3.3" xref="S5.9.p2.3.m3.1.1.3.3.cmml"><mrow id="S5.9.p2.3.m3.1.1.3.3.2" xref="S5.9.p2.3.m3.1.1.3.3.2.cmml"><mn id="S5.9.p2.3.m3.1.1.3.3.2.2" xref="S5.9.p2.3.m3.1.1.3.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="S5.9.p2.3.m3.1.1.3.3.2.1" xref="S5.9.p2.3.m3.1.1.3.3.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.9.p2.3.m3.1.1.3.3.2.3" xref="S5.9.p2.3.m3.1.1.3.3.2.3.cmml"><mn id="S5.9.p2.3.m3.1.1.3.3.2.3.2" xref="S5.9.p2.3.m3.1.1.3.3.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S5.9.p2.3.m3.1.1.3.3.2.3.1" xref="S5.9.p2.3.m3.1.1.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.9.p2.3.m3.1.1.3.3.2.3.3" xref="S5.9.p2.3.m3.1.1.3.3.2.3.3.cmml">η</mi></mrow></mrow></msqrt></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.9.p2.3.m3.1b"><apply id="S5.9.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.9.p2.3.m3.1.1"><ci id="S5.9.p2.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.9.p2.3.m3.1.1.1">≔</ci><apply id="S5.9.p2.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.9.p2.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.9.p2.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S5.9.p2.3.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.9.p2.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S5.9.p2.3.m3.1.1.2.2">𝑥</ci><cn id="S5.9.p2.3.m3.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.9.p2.3.m3.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.9.p2.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S5.9.p2.3.m3.1.1.3"><plus id="S5.9.p2.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S5.9.p2.3.m3.1.1.3.1"></plus><apply id="S5.9.p2.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S5.9.p2.3.m3.1.1.3.2"><minus id="S5.9.p2.3.m3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.9.p2.3.m3.1.1.3.2.1"></minus><cn id="S5.9.p2.3.m3.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.9.p2.3.m3.1.1.3.2.2">1</cn><ci id="S5.9.p2.3.m3.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.9.p2.3.m3.1.1.3.2.3">𝜂</ci></apply><apply id="S5.9.p2.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S5.9.p2.3.m3.1.1.3.3"><root id="S5.9.p2.3.m3.1.1.3.3a.cmml" xref="S5.9.p2.3.m3.1.1.3.3"></root><apply id="S5.9.p2.3.m3.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.9.p2.3.m3.1.1.3.3.2"><minus id="S5.9.p2.3.m3.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S5.9.p2.3.m3.1.1.3.3.2.1"></minus><cn id="S5.9.p2.3.m3.1.1.3.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.9.p2.3.m3.1.1.3.3.2.2">1</cn><apply id="S5.9.p2.3.m3.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S5.9.p2.3.m3.1.1.3.3.2.3"><times id="S5.9.p2.3.m3.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S5.9.p2.3.m3.1.1.3.3.2.3.1"></times><cn id="S5.9.p2.3.m3.1.1.3.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.9.p2.3.m3.1.1.3.3.2.3.2">2</cn><ci id="S5.9.p2.3.m3.1.1.3.3.2.3.3.cmml" xref="S5.9.p2.3.m3.1.1.3.3.2.3.3">𝜂</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.9.p2.3.m3.1c">x_{2}\coloneqq 1-\eta+\sqrt{1-2\eta}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.9.p2.3.m3.1d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ≔ 1 - italic_η + square-root start_ARG 1 - 2 italic_η end_ARG</annotation></semantics></math>, and notice that <math alttext="x_{1}<1" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.9.p2.4.m4.1"><semantics id="S5.9.p2.4.m4.1a"><mrow id="S5.9.p2.4.m4.1.1" xref="S5.9.p2.4.m4.1.1.cmml"><msub id="S5.9.p2.4.m4.1.1.2" xref="S5.9.p2.4.m4.1.1.2.cmml"><mi id="S5.9.p2.4.m4.1.1.2.2" xref="S5.9.p2.4.m4.1.1.2.2.cmml">x</mi><mn id="S5.9.p2.4.m4.1.1.2.3" xref="S5.9.p2.4.m4.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.9.p2.4.m4.1.1.1" xref="S5.9.p2.4.m4.1.1.1.cmml"><</mo><mn id="S5.9.p2.4.m4.1.1.3" xref="S5.9.p2.4.m4.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.9.p2.4.m4.1b"><apply id="S5.9.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S5.9.p2.4.m4.1.1"><lt id="S5.9.p2.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S5.9.p2.4.m4.1.1.1"></lt><apply id="S5.9.p2.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S5.9.p2.4.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.9.p2.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S5.9.p2.4.m4.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.9.p2.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S5.9.p2.4.m4.1.1.2.2">𝑥</ci><cn id="S5.9.p2.4.m4.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.9.p2.4.m4.1.1.2.3">1</cn></apply><cn id="S5.9.p2.4.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.9.p2.4.m4.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.9.p2.4.m4.1c">x_{1}<1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.9.p2.4.m4.1d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT < 1</annotation></semantics></math> and <math alttext="x_{2}<2(1-\eta)<2-\eta" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.9.p2.5.m5.1"><semantics id="S5.9.p2.5.m5.1a"><mrow id="S5.9.p2.5.m5.1.1" xref="S5.9.p2.5.m5.1.1.cmml"><msub id="S5.9.p2.5.m5.1.1.3" xref="S5.9.p2.5.m5.1.1.3.cmml"><mi id="S5.9.p2.5.m5.1.1.3.2" xref="S5.9.p2.5.m5.1.1.3.2.cmml">x</mi><mn id="S5.9.p2.5.m5.1.1.3.3" xref="S5.9.p2.5.m5.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S5.9.p2.5.m5.1.1.4" xref="S5.9.p2.5.m5.1.1.4.cmml"><</mo><mrow id="S5.9.p2.5.m5.1.1.1" xref="S5.9.p2.5.m5.1.1.1.cmml"><mn id="S5.9.p2.5.m5.1.1.1.3" xref="S5.9.p2.5.m5.1.1.1.3.cmml">2</mn><mo id="S5.9.p2.5.m5.1.1.1.2" xref="S5.9.p2.5.m5.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.9.p2.5.m5.1.1.1.1.1" xref="S5.9.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.9.p2.5.m5.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.9.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.9.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1" xref="S5.9.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S5.9.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.9.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S5.9.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.9.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S5.9.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.9.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.3.cmml">η</mi></mrow><mo id="S5.9.p2.5.m5.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.9.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.9.p2.5.m5.1.1.5" xref="S5.9.p2.5.m5.1.1.5.cmml"><</mo><mrow id="S5.9.p2.5.m5.1.1.6" xref="S5.9.p2.5.m5.1.1.6.cmml"><mn id="S5.9.p2.5.m5.1.1.6.2" xref="S5.9.p2.5.m5.1.1.6.2.cmml">2</mn><mo id="S5.9.p2.5.m5.1.1.6.1" xref="S5.9.p2.5.m5.1.1.6.1.cmml">−</mo><mi id="S5.9.p2.5.m5.1.1.6.3" xref="S5.9.p2.5.m5.1.1.6.3.cmml">η</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.9.p2.5.m5.1b"><apply id="S5.9.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="S5.9.p2.5.m5.1.1"><and id="S5.9.p2.5.m5.1.1a.cmml" xref="S5.9.p2.5.m5.1.1"></and><apply id="S5.9.p2.5.m5.1.1b.cmml" xref="S5.9.p2.5.m5.1.1"><lt id="S5.9.p2.5.m5.1.1.4.cmml" xref="S5.9.p2.5.m5.1.1.4"></lt><apply id="S5.9.p2.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S5.9.p2.5.m5.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.9.p2.5.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S5.9.p2.5.m5.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.9.p2.5.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S5.9.p2.5.m5.1.1.3.2">𝑥</ci><cn id="S5.9.p2.5.m5.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.9.p2.5.m5.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S5.9.p2.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S5.9.p2.5.m5.1.1.1"><times id="S5.9.p2.5.m5.1.1.1.2.cmml" xref="S5.9.p2.5.m5.1.1.1.2"></times><cn id="S5.9.p2.5.m5.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.9.p2.5.m5.1.1.1.3">2</cn><apply id="S5.9.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.9.p2.5.m5.1.1.1.1.1"><minus id="S5.9.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.9.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S5.9.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S5.9.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><ci id="S5.9.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.9.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.3">𝜂</ci></apply></apply></apply><apply id="S5.9.p2.5.m5.1.1c.cmml" xref="S5.9.p2.5.m5.1.1"><lt id="S5.9.p2.5.m5.1.1.5.cmml" xref="S5.9.p2.5.m5.1.1.5"></lt><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S5.9.p2.5.m5.1.1.1.cmml" id="S5.9.p2.5.m5.1.1d.cmml" xref="S5.9.p2.5.m5.1.1"></share><apply id="S5.9.p2.5.m5.1.1.6.cmml" xref="S5.9.p2.5.m5.1.1.6"><minus id="S5.9.p2.5.m5.1.1.6.1.cmml" xref="S5.9.p2.5.m5.1.1.6.1"></minus><cn id="S5.9.p2.5.m5.1.1.6.2.cmml" type="integer" xref="S5.9.p2.5.m5.1.1.6.2">2</cn><ci id="S5.9.p2.5.m5.1.1.6.3.cmml" xref="S5.9.p2.5.m5.1.1.6.3">𝜂</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.9.p2.5.m5.1c">x_{2}<2(1-\eta)<2-\eta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.9.p2.5.m5.1d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT < 2 ( 1 - italic_η ) < 2 - italic_η</annotation></semantics></math>. Use (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#A0.E39" title="Equation 39 ‣ Proof: ‣ V Conclusions ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">39</span></a>) to verify that if <math alttext="b\in(0,x_{1})\Rightarrow b^{2}+2(\eta-1)b+\eta^{2}>0\Rightarrow d_{\eta}(b)>2-% \eta-b\geq 2-1/2-b=3/2-b>1/2>0\Rightarrow f_{\eta}^{\prime}(b)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.9.p2.6.m6.5"><semantics id="S5.9.p2.6.m6.5a"><mrow id="S5.9.p2.6.m6.5.5" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.cmml"><mi id="S5.9.p2.6.m6.5.5.4" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.4.cmml">b</mi><mo id="S5.9.p2.6.m6.5.5.5" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.5.cmml">∈</mo><mrow id="S5.9.p2.6.m6.4.4.1.1" xref="S5.9.p2.6.m6.4.4.1.2.cmml"><mo id="S5.9.p2.6.m6.4.4.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.9.p2.6.m6.4.4.1.2.cmml">(</mo><mn id="S5.9.p2.6.m6.1.1" xref="S5.9.p2.6.m6.1.1.cmml">0</mn><mo id="S5.9.p2.6.m6.4.4.1.1.3" xref="S5.9.p2.6.m6.4.4.1.2.cmml">,</mo><msub id="S5.9.p2.6.m6.4.4.1.1.1" xref="S5.9.p2.6.m6.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="S5.9.p2.6.m6.4.4.1.1.1.2" xref="S5.9.p2.6.m6.4.4.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S5.9.p2.6.m6.4.4.1.1.1.3" xref="S5.9.p2.6.m6.4.4.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.9.p2.6.m6.4.4.1.1.4" stretchy="false" xref="S5.9.p2.6.m6.4.4.1.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.9.p2.6.m6.5.5.6" stretchy="false" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.6.cmml">⇒</mo><mrow id="S5.9.p2.6.m6.5.5.2" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.2.cmml"><msup id="S5.9.p2.6.m6.5.5.2.3" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.2.3.cmml"><mi id="S5.9.p2.6.m6.5.5.2.3.2" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.2.3.2.cmml">b</mi><mn id="S5.9.p2.6.m6.5.5.2.3.3" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.2.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.9.p2.6.m6.5.5.2.2" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.2.2.cmml">+</mo><mrow id="S5.9.p2.6.m6.5.5.2.1" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.2.1.cmml"><mn id="S5.9.p2.6.m6.5.5.2.1.3" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.2.1.3.cmml">2</mn><mo id="S5.9.p2.6.m6.5.5.2.1.2" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.9.p2.6.m6.5.5.2.1.1.1" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.9.p2.6.m6.5.5.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.9.p2.6.m6.5.5.2.1.1.1.1" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.9.p2.6.m6.5.5.2.1.1.1.1.2" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.2.1.1.1.1.2.cmml">η</mi><mo id="S5.9.p2.6.m6.5.5.2.1.1.1.1.1" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S5.9.p2.6.m6.5.5.2.1.1.1.1.3" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.2.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S5.9.p2.6.m6.5.5.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.9.p2.6.m6.5.5.2.1.2a" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.2.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S5.9.p2.6.m6.5.5.2.1.4" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.2.1.4.cmml">b</mi></mrow><mo id="S5.9.p2.6.m6.5.5.2.2a" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.2.2.cmml">+</mo><msup id="S5.9.p2.6.m6.5.5.2.4" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.2.4.cmml"><mi id="S5.9.p2.6.m6.5.5.2.4.2" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.2.4.2.cmml">η</mi><mn id="S5.9.p2.6.m6.5.5.2.4.3" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.2.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.9.p2.6.m6.5.5.7" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.7.cmml">></mo><mn id="S5.9.p2.6.m6.5.5.8" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.8.cmml">0</mn><mo id="S5.9.p2.6.m6.5.5.9" stretchy="false" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.9.cmml">⇒</mo><mrow id="S5.9.p2.6.m6.5.5.10" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.10.cmml"><msub id="S5.9.p2.6.m6.5.5.10.2" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.10.2.cmml"><mi id="S5.9.p2.6.m6.5.5.10.2.2" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.10.2.2.cmml">d</mi><mi id="S5.9.p2.6.m6.5.5.10.2.3" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.10.2.3.cmml">η</mi></msub><mo id="S5.9.p2.6.m6.5.5.10.1" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.10.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.9.p2.6.m6.5.5.10.3.2" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.10.cmml"><mo id="S5.9.p2.6.m6.5.5.10.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.10.cmml">(</mo><mi id="S5.9.p2.6.m6.2.2" xref="S5.9.p2.6.m6.2.2.cmml">b</mi><mo id="S5.9.p2.6.m6.5.5.10.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.10.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.9.p2.6.m6.5.5.11" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.11.cmml">></mo><mrow id="S5.9.p2.6.m6.5.5.12" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.12.cmml"><mn id="S5.9.p2.6.m6.5.5.12.2" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.12.2.cmml">2</mn><mo id="S5.9.p2.6.m6.5.5.12.1" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.12.1.cmml">−</mo><mi id="S5.9.p2.6.m6.5.5.12.3" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.12.3.cmml">η</mi><mo id="S5.9.p2.6.m6.5.5.12.1a" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.12.1.cmml">−</mo><mi id="S5.9.p2.6.m6.5.5.12.4" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.12.4.cmml">b</mi></mrow><mo id="S5.9.p2.6.m6.5.5.13" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.13.cmml">≥</mo><mrow id="S5.9.p2.6.m6.5.5.14" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.14.cmml"><mn id="S5.9.p2.6.m6.5.5.14.2" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.14.2.cmml">2</mn><mo id="S5.9.p2.6.m6.5.5.14.1" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.14.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.9.p2.6.m6.5.5.14.3" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.14.3.cmml"><mn id="S5.9.p2.6.m6.5.5.14.3.2" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.14.3.2.cmml">1</mn><mo id="S5.9.p2.6.m6.5.5.14.3.1" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.14.3.1.cmml">/</mo><mn id="S5.9.p2.6.m6.5.5.14.3.3" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.14.3.3.cmml">2</mn></mrow><mo id="S5.9.p2.6.m6.5.5.14.1a" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.14.1.cmml">−</mo><mi id="S5.9.p2.6.m6.5.5.14.4" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.14.4.cmml">b</mi></mrow><mo id="S5.9.p2.6.m6.5.5.15" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.15.cmml">=</mo><mrow id="S5.9.p2.6.m6.5.5.16" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.16.cmml"><mrow id="S5.9.p2.6.m6.5.5.16.2" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.16.2.cmml"><mn id="S5.9.p2.6.m6.5.5.16.2.2" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.16.2.2.cmml">3</mn><mo id="S5.9.p2.6.m6.5.5.16.2.1" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.16.2.1.cmml">/</mo><mn id="S5.9.p2.6.m6.5.5.16.2.3" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.16.2.3.cmml">2</mn></mrow><mo id="S5.9.p2.6.m6.5.5.16.1" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.16.1.cmml">−</mo><mi id="S5.9.p2.6.m6.5.5.16.3" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.16.3.cmml">b</mi></mrow><mo id="S5.9.p2.6.m6.5.5.17" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.17.cmml">></mo><mrow id="S5.9.p2.6.m6.5.5.18" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.18.cmml"><mn id="S5.9.p2.6.m6.5.5.18.2" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.18.2.cmml">1</mn><mo id="S5.9.p2.6.m6.5.5.18.1" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.18.1.cmml">/</mo><mn id="S5.9.p2.6.m6.5.5.18.3" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.18.3.cmml">2</mn></mrow><mo id="S5.9.p2.6.m6.5.5.19" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.19.cmml">></mo><mn id="S5.9.p2.6.m6.5.5.20" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.20.cmml">0</mn><mo id="S5.9.p2.6.m6.5.5.21" stretchy="false" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.21.cmml">⇒</mo><mrow id="S5.9.p2.6.m6.5.5.22" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.22.cmml"><msubsup id="S5.9.p2.6.m6.5.5.22.2" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.22.2.cmml"><mi id="S5.9.p2.6.m6.5.5.22.2.2.2" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.22.2.2.2.cmml">f</mi><mi id="S5.9.p2.6.m6.5.5.22.2.2.3" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.22.2.2.3.cmml">η</mi><mo id="S5.9.p2.6.m6.5.5.22.2.3" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.22.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S5.9.p2.6.m6.5.5.22.1" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.22.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.9.p2.6.m6.5.5.22.3.2" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.22.cmml"><mo id="S5.9.p2.6.m6.5.5.22.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.22.cmml">(</mo><mi id="S5.9.p2.6.m6.3.3" 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href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S5.9.p2.6.m6.5.5.2.cmml" id="S5.9.p2.6.m6.5.5f.cmml" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5"></share><cn id="S5.9.p2.6.m6.5.5.8.cmml" type="integer" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.8">0</cn></apply><apply id="S5.9.p2.6.m6.5.5g.cmml" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5"><ci id="S5.9.p2.6.m6.5.5.9.cmml" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.9">⇒</ci><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S5.9.p2.6.m6.5.5.8.cmml" id="S5.9.p2.6.m6.5.5h.cmml" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5"></share><apply id="S5.9.p2.6.m6.5.5.10.cmml" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.10"><times id="S5.9.p2.6.m6.5.5.10.1.cmml" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.10.1"></times><apply id="S5.9.p2.6.m6.5.5.10.2.cmml" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.10.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.9.p2.6.m6.5.5.10.2.1.cmml" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.10.2">subscript</csymbol><ci id="S5.9.p2.6.m6.5.5.10.2.2.cmml" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.10.2.2">𝑑</ci><ci id="S5.9.p2.6.m6.5.5.10.2.3.cmml" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.10.2.3">𝜂</ci></apply><ci id="S5.9.p2.6.m6.2.2.cmml" 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xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.14"><minus id="S5.9.p2.6.m6.5.5.14.1.cmml" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.14.1"></minus><cn id="S5.9.p2.6.m6.5.5.14.2.cmml" type="integer" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.14.2">2</cn><apply id="S5.9.p2.6.m6.5.5.14.3.cmml" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.14.3"><divide id="S5.9.p2.6.m6.5.5.14.3.1.cmml" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.14.3.1"></divide><cn id="S5.9.p2.6.m6.5.5.14.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.14.3.2">1</cn><cn id="S5.9.p2.6.m6.5.5.14.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.14.3.3">2</cn></apply><ci id="S5.9.p2.6.m6.5.5.14.4.cmml" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.14.4">𝑏</ci></apply></apply><apply id="S5.9.p2.6.m6.5.5m.cmml" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5"><eq id="S5.9.p2.6.m6.5.5.15.cmml" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.15"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S5.9.p2.6.m6.5.5.14.cmml" id="S5.9.p2.6.m6.5.5n.cmml" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5"></share><apply id="S5.9.p2.6.m6.5.5.16.cmml" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.16"><minus id="S5.9.p2.6.m6.5.5.16.1.cmml" 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id="S5.9.p2.6.m6.5.5.22.2.2.cmml" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.22.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.9.p2.6.m6.5.5.22.2.2.1.cmml" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.22.2">subscript</csymbol><ci id="S5.9.p2.6.m6.5.5.22.2.2.2.cmml" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.22.2.2.2">𝑓</ci><ci id="S5.9.p2.6.m6.5.5.22.2.2.3.cmml" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.22.2.2.3">𝜂</ci></apply><ci id="S5.9.p2.6.m6.5.5.22.2.3.cmml" xref="S5.9.p2.6.m6.5.5.22.2.3">′</ci></apply><ci id="S5.9.p2.6.m6.3.3.cmml" xref="S5.9.p2.6.m6.3.3">𝑏</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.9.p2.6.m6.5c">b\in(0,x_{1})\Rightarrow b^{2}+2(\eta-1)b+\eta^{2}>0\Rightarrow d_{\eta}(b)>2-% \eta-b\geq 2-1/2-b=3/2-b>1/2>0\Rightarrow f_{\eta}^{\prime}(b)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.9.p2.6.m6.5d">italic_b ∈ ( 0 , italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) ⇒ italic_b start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + 2 ( italic_η - 1 ) italic_b + italic_η start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT > 0 ⇒ italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_η end_POSTSUBSCRIPT ( italic_b ) > 2 - italic_η - italic_b ≥ 2 - 1 / 2 - italic_b = 3 / 2 - italic_b > 1 / 2 > 0 ⇒ italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_η end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_b )</annotation></semantics></math> is given by (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#A0.E38" title="Equation 38 ‣ Proof: ‣ V Conclusions ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">38</span></a>). Moreover, <math alttext="b+\eta-1<x_{1}+\eta-1\leq 0\Rightarrow f_{\eta}^{\prime}(b)<0" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.9.p2.7.m7.1"><semantics id="S5.9.p2.7.m7.1a"><mrow id="S5.9.p2.7.m7.1.2" xref="S5.9.p2.7.m7.1.2.cmml"><mrow id="S5.9.p2.7.m7.1.2.2" xref="S5.9.p2.7.m7.1.2.2.cmml"><mrow id="S5.9.p2.7.m7.1.2.2.2" xref="S5.9.p2.7.m7.1.2.2.2.cmml"><mi id="S5.9.p2.7.m7.1.2.2.2.2" xref="S5.9.p2.7.m7.1.2.2.2.2.cmml">b</mi><mo id="S5.9.p2.7.m7.1.2.2.2.1" xref="S5.9.p2.7.m7.1.2.2.2.1.cmml">+</mo><mi id="S5.9.p2.7.m7.1.2.2.2.3" xref="S5.9.p2.7.m7.1.2.2.2.3.cmml">η</mi></mrow><mo id="S5.9.p2.7.m7.1.2.2.1" xref="S5.9.p2.7.m7.1.2.2.1.cmml">−</mo><mn id="S5.9.p2.7.m7.1.2.2.3" xref="S5.9.p2.7.m7.1.2.2.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S5.9.p2.7.m7.1.2.3" xref="S5.9.p2.7.m7.1.2.3.cmml"><</mo><mrow id="S5.9.p2.7.m7.1.2.4" xref="S5.9.p2.7.m7.1.2.4.cmml"><mrow id="S5.9.p2.7.m7.1.2.4.2" xref="S5.9.p2.7.m7.1.2.4.2.cmml"><msub id="S5.9.p2.7.m7.1.2.4.2.2" xref="S5.9.p2.7.m7.1.2.4.2.2.cmml"><mi id="S5.9.p2.7.m7.1.2.4.2.2.2" xref="S5.9.p2.7.m7.1.2.4.2.2.2.cmml">x</mi><mn id="S5.9.p2.7.m7.1.2.4.2.2.3" xref="S5.9.p2.7.m7.1.2.4.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.9.p2.7.m7.1.2.4.2.1" xref="S5.9.p2.7.m7.1.2.4.2.1.cmml">+</mo><mi id="S5.9.p2.7.m7.1.2.4.2.3" xref="S5.9.p2.7.m7.1.2.4.2.3.cmml">η</mi></mrow><mo id="S5.9.p2.7.m7.1.2.4.1" xref="S5.9.p2.7.m7.1.2.4.1.cmml">−</mo><mn id="S5.9.p2.7.m7.1.2.4.3" xref="S5.9.p2.7.m7.1.2.4.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S5.9.p2.7.m7.1.2.5" xref="S5.9.p2.7.m7.1.2.5.cmml">≤</mo><mn id="S5.9.p2.7.m7.1.2.6" xref="S5.9.p2.7.m7.1.2.6.cmml">0</mn><mo id="S5.9.p2.7.m7.1.2.7" stretchy="false" xref="S5.9.p2.7.m7.1.2.7.cmml">⇒</mo><mrow id="S5.9.p2.7.m7.1.2.8" xref="S5.9.p2.7.m7.1.2.8.cmml"><msubsup id="S5.9.p2.7.m7.1.2.8.2" xref="S5.9.p2.7.m7.1.2.8.2.cmml"><mi id="S5.9.p2.7.m7.1.2.8.2.2.2" xref="S5.9.p2.7.m7.1.2.8.2.2.2.cmml">f</mi><mi id="S5.9.p2.7.m7.1.2.8.2.2.3" xref="S5.9.p2.7.m7.1.2.8.2.2.3.cmml">η</mi><mo id="S5.9.p2.7.m7.1.2.8.2.3" xref="S5.9.p2.7.m7.1.2.8.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S5.9.p2.7.m7.1.2.8.1" xref="S5.9.p2.7.m7.1.2.8.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.9.p2.7.m7.1.2.8.3.2" xref="S5.9.p2.7.m7.1.2.8.cmml"><mo id="S5.9.p2.7.m7.1.2.8.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.9.p2.7.m7.1.2.8.cmml">(</mo><mi id="S5.9.p2.7.m7.1.1" xref="S5.9.p2.7.m7.1.1.cmml">b</mi><mo id="S5.9.p2.7.m7.1.2.8.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.9.p2.7.m7.1.2.8.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.9.p2.7.m7.1.2.9" xref="S5.9.p2.7.m7.1.2.9.cmml"><</mo><mn id="S5.9.p2.7.m7.1.2.10" xref="S5.9.p2.7.m7.1.2.10.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.9.p2.7.m7.1b"><apply id="S5.9.p2.7.m7.1.2.cmml" xref="S5.9.p2.7.m7.1.2"><and id="S5.9.p2.7.m7.1.2a.cmml" xref="S5.9.p2.7.m7.1.2"></and><apply id="S5.9.p2.7.m7.1.2b.cmml" xref="S5.9.p2.7.m7.1.2"><lt id="S5.9.p2.7.m7.1.2.3.cmml" xref="S5.9.p2.7.m7.1.2.3"></lt><apply id="S5.9.p2.7.m7.1.2.2.cmml" xref="S5.9.p2.7.m7.1.2.2"><minus id="S5.9.p2.7.m7.1.2.2.1.cmml" xref="S5.9.p2.7.m7.1.2.2.1"></minus><apply id="S5.9.p2.7.m7.1.2.2.2.cmml" xref="S5.9.p2.7.m7.1.2.2.2"><plus id="S5.9.p2.7.m7.1.2.2.2.1.cmml" xref="S5.9.p2.7.m7.1.2.2.2.1"></plus><ci id="S5.9.p2.7.m7.1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.9.p2.7.m7.1.2.2.2.2">𝑏</ci><ci id="S5.9.p2.7.m7.1.2.2.2.3.cmml" xref="S5.9.p2.7.m7.1.2.2.2.3">𝜂</ci></apply><cn id="S5.9.p2.7.m7.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.9.p2.7.m7.1.2.2.3">1</cn></apply><apply id="S5.9.p2.7.m7.1.2.4.cmml" xref="S5.9.p2.7.m7.1.2.4"><minus id="S5.9.p2.7.m7.1.2.4.1.cmml" xref="S5.9.p2.7.m7.1.2.4.1"></minus><apply id="S5.9.p2.7.m7.1.2.4.2.cmml" xref="S5.9.p2.7.m7.1.2.4.2"><plus id="S5.9.p2.7.m7.1.2.4.2.1.cmml" xref="S5.9.p2.7.m7.1.2.4.2.1"></plus><apply id="S5.9.p2.7.m7.1.2.4.2.2.cmml" xref="S5.9.p2.7.m7.1.2.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.9.p2.7.m7.1.2.4.2.2.1.cmml" xref="S5.9.p2.7.m7.1.2.4.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.9.p2.7.m7.1.2.4.2.2.2.cmml" xref="S5.9.p2.7.m7.1.2.4.2.2.2">𝑥</ci><cn id="S5.9.p2.7.m7.1.2.4.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.9.p2.7.m7.1.2.4.2.2.3">1</cn></apply><ci id="S5.9.p2.7.m7.1.2.4.2.3.cmml" xref="S5.9.p2.7.m7.1.2.4.2.3">𝜂</ci></apply><cn id="S5.9.p2.7.m7.1.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.9.p2.7.m7.1.2.4.3">1</cn></apply></apply><apply id="S5.9.p2.7.m7.1.2c.cmml" xref="S5.9.p2.7.m7.1.2"><leq id="S5.9.p2.7.m7.1.2.5.cmml" xref="S5.9.p2.7.m7.1.2.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S5.9.p2.7.m7.1.2.4.cmml" id="S5.9.p2.7.m7.1.2d.cmml" xref="S5.9.p2.7.m7.1.2"></share><cn id="S5.9.p2.7.m7.1.2.6.cmml" type="integer" xref="S5.9.p2.7.m7.1.2.6">0</cn></apply><apply id="S5.9.p2.7.m7.1.2e.cmml" xref="S5.9.p2.7.m7.1.2"><ci id="S5.9.p2.7.m7.1.2.7.cmml" xref="S5.9.p2.7.m7.1.2.7">⇒</ci><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S5.9.p2.7.m7.1.2.6.cmml" id="S5.9.p2.7.m7.1.2f.cmml" xref="S5.9.p2.7.m7.1.2"></share><apply id="S5.9.p2.7.m7.1.2.8.cmml" xref="S5.9.p2.7.m7.1.2.8"><times id="S5.9.p2.7.m7.1.2.8.1.cmml" xref="S5.9.p2.7.m7.1.2.8.1"></times><apply id="S5.9.p2.7.m7.1.2.8.2.cmml" xref="S5.9.p2.7.m7.1.2.8.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.9.p2.7.m7.1.2.8.2.1.cmml" xref="S5.9.p2.7.m7.1.2.8.2">superscript</csymbol><apply id="S5.9.p2.7.m7.1.2.8.2.2.cmml" xref="S5.9.p2.7.m7.1.2.8.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.9.p2.7.m7.1.2.8.2.2.1.cmml" xref="S5.9.p2.7.m7.1.2.8.2">subscript</csymbol><ci id="S5.9.p2.7.m7.1.2.8.2.2.2.cmml" xref="S5.9.p2.7.m7.1.2.8.2.2.2">𝑓</ci><ci id="S5.9.p2.7.m7.1.2.8.2.2.3.cmml" xref="S5.9.p2.7.m7.1.2.8.2.2.3">𝜂</ci></apply><ci id="S5.9.p2.7.m7.1.2.8.2.3.cmml" xref="S5.9.p2.7.m7.1.2.8.2.3">′</ci></apply><ci id="S5.9.p2.7.m7.1.1.cmml" xref="S5.9.p2.7.m7.1.1">𝑏</ci></apply></apply><apply id="S5.9.p2.7.m7.1.2g.cmml" xref="S5.9.p2.7.m7.1.2"><lt id="S5.9.p2.7.m7.1.2.9.cmml" xref="S5.9.p2.7.m7.1.2.9"></lt><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S5.9.p2.7.m7.1.2.8.cmml" id="S5.9.p2.7.m7.1.2h.cmml" xref="S5.9.p2.7.m7.1.2"></share><cn id="S5.9.p2.7.m7.1.2.10.cmml" type="integer" xref="S5.9.p2.7.m7.1.2.10">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.9.p2.7.m7.1c">b+\eta-1<x_{1}+\eta-1\leq 0\Rightarrow f_{\eta}^{\prime}(b)<0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.9.p2.7.m7.1d">italic_b + italic_η - 1 < italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT + italic_η - 1 ≤ 0 ⇒ italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_η end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_b ) < 0</annotation></semantics></math>. Hence, <math alttext="f_{\eta}(\cdot)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.9.p2.8.m8.1"><semantics id="S5.9.p2.8.m8.1a"><mrow id="S5.9.p2.8.m8.1.2" xref="S5.9.p2.8.m8.1.2.cmml"><msub id="S5.9.p2.8.m8.1.2.2" xref="S5.9.p2.8.m8.1.2.2.cmml"><mi id="S5.9.p2.8.m8.1.2.2.2" xref="S5.9.p2.8.m8.1.2.2.2.cmml">f</mi><mi id="S5.9.p2.8.m8.1.2.2.3" xref="S5.9.p2.8.m8.1.2.2.3.cmml">η</mi></msub><mo id="S5.9.p2.8.m8.1.2.1" xref="S5.9.p2.8.m8.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.9.p2.8.m8.1.2.3.2" xref="S5.9.p2.8.m8.1.2.cmml"><mo id="S5.9.p2.8.m8.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.9.p2.8.m8.1.2.cmml">(</mo><mo id="S5.9.p2.8.m8.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S5.9.p2.8.m8.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="S5.9.p2.8.m8.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.9.p2.8.m8.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.9.p2.8.m8.1b"><apply id="S5.9.p2.8.m8.1.2.cmml" xref="S5.9.p2.8.m8.1.2"><times id="S5.9.p2.8.m8.1.2.1.cmml" xref="S5.9.p2.8.m8.1.2.1"></times><apply id="S5.9.p2.8.m8.1.2.2.cmml" xref="S5.9.p2.8.m8.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.9.p2.8.m8.1.2.2.1.cmml" xref="S5.9.p2.8.m8.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.9.p2.8.m8.1.2.2.2.cmml" xref="S5.9.p2.8.m8.1.2.2.2">𝑓</ci><ci id="S5.9.p2.8.m8.1.2.2.3.cmml" xref="S5.9.p2.8.m8.1.2.2.3">𝜂</ci></apply><ci id="S5.9.p2.8.m8.1.1.cmml" xref="S5.9.p2.8.m8.1.1">⋅</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.9.p2.8.m8.1c">f_{\eta}(\cdot)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.9.p2.8.m8.1d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_η end_POSTSUBSCRIPT ( ⋅ )</annotation></semantics></math> is monotonically decreasing on <math alttext="(0,x_{1})" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.9.p2.9.m9.2"><semantics id="S5.9.p2.9.m9.2a"><mrow id="S5.9.p2.9.m9.2.2.1" xref="S5.9.p2.9.m9.2.2.2.cmml"><mo id="S5.9.p2.9.m9.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S5.9.p2.9.m9.2.2.2.cmml">(</mo><mn id="S5.9.p2.9.m9.1.1" xref="S5.9.p2.9.m9.1.1.cmml">0</mn><mo id="S5.9.p2.9.m9.2.2.1.3" xref="S5.9.p2.9.m9.2.2.2.cmml">,</mo><msub id="S5.9.p2.9.m9.2.2.1.1" xref="S5.9.p2.9.m9.2.2.1.1.cmml"><mi id="S5.9.p2.9.m9.2.2.1.1.2" xref="S5.9.p2.9.m9.2.2.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S5.9.p2.9.m9.2.2.1.1.3" xref="S5.9.p2.9.m9.2.2.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.9.p2.9.m9.2.2.1.4" stretchy="false" xref="S5.9.p2.9.m9.2.2.2.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.9.p2.9.m9.2b"><interval closure="open" id="S5.9.p2.9.m9.2.2.2.cmml" xref="S5.9.p2.9.m9.2.2.1"><cn id="S5.9.p2.9.m9.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.9.p2.9.m9.1.1">0</cn><apply id="S5.9.p2.9.m9.2.2.1.1.cmml" xref="S5.9.p2.9.m9.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.9.p2.9.m9.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.9.p2.9.m9.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.9.p2.9.m9.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.9.p2.9.m9.2.2.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S5.9.p2.9.m9.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.9.p2.9.m9.2.2.1.1.3">1</cn></apply></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.9.p2.9.m9.2c">(0,x_{1})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.9.p2.9.m9.2d">( 0 , italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>, and <math alttext="f_{\eta}(b_{N-1})\geq\max\{f_{\eta}(b_{n}){\mathbin{}\mid\mathbin{}}b_{n}\in(0% ,x_{1}),n\in\mathcal{N}\setminus\{N\}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.9.p2.10.m10.6"><semantics id="S5.9.p2.10.m10.6a"><mrow id="S5.9.p2.10.m10.6.6" xref="S5.9.p2.10.m10.6.6.cmml"><mrow id="S5.9.p2.10.m10.4.4.1" xref="S5.9.p2.10.m10.4.4.1.cmml"><msub id="S5.9.p2.10.m10.4.4.1.3" xref="S5.9.p2.10.m10.4.4.1.3.cmml"><mi id="S5.9.p2.10.m10.4.4.1.3.2" xref="S5.9.p2.10.m10.4.4.1.3.2.cmml">f</mi><mi id="S5.9.p2.10.m10.4.4.1.3.3" xref="S5.9.p2.10.m10.4.4.1.3.3.cmml">η</mi></msub><mo id="S5.9.p2.10.m10.4.4.1.2" xref="S5.9.p2.10.m10.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.9.p2.10.m10.4.4.1.1.1" xref="S5.9.p2.10.m10.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.9.p2.10.m10.4.4.1.1.1.2" stretchy="false" 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xref="S5.9.p2.10.m10.5.5.2.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.9.p2.10.m10.5.5.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.9.p2.10.m10.5.5.2.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.9.p2.10.m10.5.5.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.9.p2.10.m10.5.5.2.1.1.1.1.1.3.2">𝑓</ci><ci id="S5.9.p2.10.m10.5.5.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.9.p2.10.m10.5.5.2.1.1.1.1.1.3.3">𝜂</ci></apply><apply id="S5.9.p2.10.m10.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.9.p2.10.m10.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.9.p2.10.m10.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.9.p2.10.m10.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.9.p2.10.m10.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.9.p2.10.m10.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑏</ci><ci id="S5.9.p2.10.m10.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.9.p2.10.m10.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply><apply id="S5.9.p2.10.m10.5.5.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.9.p2.10.m10.5.5.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.9.p2.10.m10.5.5.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.9.p2.10.m10.5.5.2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.9.p2.10.m10.5.5.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.9.p2.10.m10.5.5.2.1.1.1.1.3.2">𝑏</ci><ci id="S5.9.p2.10.m10.5.5.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.9.p2.10.m10.5.5.2.1.1.1.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply><interval closure="open" id="S5.9.p2.10.m10.5.5.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.9.p2.10.m10.5.5.2.1.1.1.2.1"><cn id="S5.9.p2.10.m10.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.9.p2.10.m10.1.1">0</cn><apply id="S5.9.p2.10.m10.5.5.2.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S5.9.p2.10.m10.5.5.2.1.1.1.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.9.p2.10.m10.5.5.2.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S5.9.p2.10.m10.5.5.2.1.1.1.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.9.p2.10.m10.5.5.2.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S5.9.p2.10.m10.5.5.2.1.1.1.2.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S5.9.p2.10.m10.5.5.2.1.1.1.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.9.p2.10.m10.5.5.2.1.1.1.2.1.1.3">1</cn></apply></interval></apply><apply id="S5.9.p2.10.m10.6.6.3.2.2.2.cmml" xref="S5.9.p2.10.m10.6.6.3.2.2.2"><in id="S5.9.p2.10.m10.6.6.3.2.2.2.1.cmml" xref="S5.9.p2.10.m10.6.6.3.2.2.2.1"></in><ci id="S5.9.p2.10.m10.6.6.3.2.2.2.2.cmml" xref="S5.9.p2.10.m10.6.6.3.2.2.2.2">𝑛</ci><apply id="S5.9.p2.10.m10.6.6.3.2.2.2.3.cmml" xref="S5.9.p2.10.m10.6.6.3.2.2.2.3"><setdiff id="S5.9.p2.10.m10.6.6.3.2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.9.p2.10.m10.6.6.3.2.2.2.3.1"></setdiff><ci id="S5.9.p2.10.m10.6.6.3.2.2.2.3.2.cmml" xref="S5.9.p2.10.m10.6.6.3.2.2.2.3.2">𝒩</ci><set id="S5.9.p2.10.m10.6.6.3.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="S5.9.p2.10.m10.6.6.3.2.2.2.3.3.2"><ci id="S5.9.p2.10.m10.2.2.cmml" xref="S5.9.p2.10.m10.2.2">𝑁</ci></set></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.9.p2.10.m10.6c">f_{\eta}(b_{N-1})\geq\max\{f_{\eta}(b_{n}){\mathbin{}\mid\mathbin{}}b_{n}\in(0% ,x_{1}),n\in\mathcal{N}\setminus\{N\}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.9.p2.10.m10.6d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_η end_POSTSUBSCRIPT ( italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_N - 1 end_POSTSUBSCRIPT ) ≥ roman_max { italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_η end_POSTSUBSCRIPT ( italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ) ∣ italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ∈ ( 0 , italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) , italic_n ∈ caligraphic_N ∖ { italic_N } }</annotation></semantics></math> whenever the latter set is nonempty.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S5.10.p3"> <p class="ltx_p" id="S5.10.p3.7">If <math alttext="b\in[x_{1},x_{2}]\cap(0,1]" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.10.p3.1.m1.4"><semantics id="S5.10.p3.1.m1.4a"><mrow id="S5.10.p3.1.m1.4.4" xref="S5.10.p3.1.m1.4.4.cmml"><mi id="S5.10.p3.1.m1.4.4.4" xref="S5.10.p3.1.m1.4.4.4.cmml">b</mi><mo id="S5.10.p3.1.m1.4.4.3" xref="S5.10.p3.1.m1.4.4.3.cmml">∈</mo><mrow id="S5.10.p3.1.m1.4.4.2" xref="S5.10.p3.1.m1.4.4.2.cmml"><mrow id="S5.10.p3.1.m1.4.4.2.2.2" xref="S5.10.p3.1.m1.4.4.2.2.3.cmml"><mo id="S5.10.p3.1.m1.4.4.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S5.10.p3.1.m1.4.4.2.2.3.cmml">[</mo><msub id="S5.10.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S5.10.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.10.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S5.10.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S5.10.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S5.10.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.10.p3.1.m1.4.4.2.2.2.4" xref="S5.10.p3.1.m1.4.4.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S5.10.p3.1.m1.4.4.2.2.2.2" xref="S5.10.p3.1.m1.4.4.2.2.2.2.cmml"><mi id="S5.10.p3.1.m1.4.4.2.2.2.2.2" xref="S5.10.p3.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.cmml">x</mi><mn id="S5.10.p3.1.m1.4.4.2.2.2.2.3" xref="S5.10.p3.1.m1.4.4.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S5.10.p3.1.m1.4.4.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S5.10.p3.1.m1.4.4.2.2.3.cmml">]</mo></mrow><mo id="S5.10.p3.1.m1.4.4.2.3" xref="S5.10.p3.1.m1.4.4.2.3.cmml">∩</mo><mrow id="S5.10.p3.1.m1.4.4.2.4.2" xref="S5.10.p3.1.m1.4.4.2.4.1.cmml"><mo id="S5.10.p3.1.m1.4.4.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S5.10.p3.1.m1.4.4.2.4.1.cmml">(</mo><mn id="S5.10.p3.1.m1.1.1" xref="S5.10.p3.1.m1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S5.10.p3.1.m1.4.4.2.4.2.2" xref="S5.10.p3.1.m1.4.4.2.4.1.cmml">,</mo><mn id="S5.10.p3.1.m1.2.2" xref="S5.10.p3.1.m1.2.2.cmml">1</mn><mo id="S5.10.p3.1.m1.4.4.2.4.2.3" stretchy="false" xref="S5.10.p3.1.m1.4.4.2.4.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.10.p3.1.m1.4b"><apply id="S5.10.p3.1.m1.4.4.cmml" xref="S5.10.p3.1.m1.4.4"><in id="S5.10.p3.1.m1.4.4.3.cmml" xref="S5.10.p3.1.m1.4.4.3"></in><ci id="S5.10.p3.1.m1.4.4.4.cmml" xref="S5.10.p3.1.m1.4.4.4">𝑏</ci><apply id="S5.10.p3.1.m1.4.4.2.cmml" xref="S5.10.p3.1.m1.4.4.2"><intersect id="S5.10.p3.1.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S5.10.p3.1.m1.4.4.2.3"></intersect><interval closure="closed" id="S5.10.p3.1.m1.4.4.2.2.3.cmml" xref="S5.10.p3.1.m1.4.4.2.2.2"><apply id="S5.10.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S5.10.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.10.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.10.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.10.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.10.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S5.10.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.10.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S5.10.p3.1.m1.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S5.10.p3.1.m1.4.4.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.10.p3.1.m1.4.4.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.10.p3.1.m1.4.4.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.10.p3.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.10.p3.1.m1.4.4.2.2.2.2.2">𝑥</ci><cn id="S5.10.p3.1.m1.4.4.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.10.p3.1.m1.4.4.2.2.2.2.3">2</cn></apply></interval><interval closure="open-closed" id="S5.10.p3.1.m1.4.4.2.4.1.cmml" xref="S5.10.p3.1.m1.4.4.2.4.2"><cn id="S5.10.p3.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.10.p3.1.m1.1.1">0</cn><cn id="S5.10.p3.1.m1.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.10.p3.1.m1.2.2">1</cn></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.10.p3.1.m1.4c">b\in[x_{1},x_{2}]\cap(0,1]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.10.p3.1.m1.4d">italic_b ∈ [ italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ] ∩ ( 0 , 1 ]</annotation></semantics></math>, then by (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#A0.E39" title="Equation 39 ‣ Proof: ‣ V Conclusions ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">39</span></a>), <math alttext="b^{2}+2(\eta-1)b+\eta^{2}\leq 0\Rightarrow f_{\eta}(b)=(2-\eta-b)^{2}-(b^{2}+2% (\eta-1)b+\eta^{2})=-2b+4-4\eta" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.10.p3.2.m2.4"><semantics id="S5.10.p3.2.m2.4a"><mrow id="S5.10.p3.2.m2.4.4" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.cmml"><mrow id="S5.10.p3.2.m2.2.2.1" xref="S5.10.p3.2.m2.2.2.1.cmml"><msup id="S5.10.p3.2.m2.2.2.1.3" xref="S5.10.p3.2.m2.2.2.1.3.cmml"><mi id="S5.10.p3.2.m2.2.2.1.3.2" xref="S5.10.p3.2.m2.2.2.1.3.2.cmml">b</mi><mn id="S5.10.p3.2.m2.2.2.1.3.3" xref="S5.10.p3.2.m2.2.2.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.10.p3.2.m2.2.2.1.2" xref="S5.10.p3.2.m2.2.2.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S5.10.p3.2.m2.2.2.1.1" xref="S5.10.p3.2.m2.2.2.1.1.cmml"><mn id="S5.10.p3.2.m2.2.2.1.1.3" xref="S5.10.p3.2.m2.2.2.1.1.3.cmml">2</mn><mo id="S5.10.p3.2.m2.2.2.1.1.2" xref="S5.10.p3.2.m2.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.10.p3.2.m2.2.2.1.1.1.1" xref="S5.10.p3.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.10.p3.2.m2.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.10.p3.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.10.p3.2.m2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S5.10.p3.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.10.p3.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S5.10.p3.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">η</mi><mo id="S5.10.p3.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S5.10.p3.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S5.10.p3.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S5.10.p3.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S5.10.p3.2.m2.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.10.p3.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.10.p3.2.m2.2.2.1.1.2a" xref="S5.10.p3.2.m2.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S5.10.p3.2.m2.2.2.1.1.4" xref="S5.10.p3.2.m2.2.2.1.1.4.cmml">b</mi></mrow><mo id="S5.10.p3.2.m2.2.2.1.2a" xref="S5.10.p3.2.m2.2.2.1.2.cmml">+</mo><msup id="S5.10.p3.2.m2.2.2.1.4" xref="S5.10.p3.2.m2.2.2.1.4.cmml"><mi id="S5.10.p3.2.m2.2.2.1.4.2" xref="S5.10.p3.2.m2.2.2.1.4.2.cmml">η</mi><mn id="S5.10.p3.2.m2.2.2.1.4.3" xref="S5.10.p3.2.m2.2.2.1.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.10.p3.2.m2.4.4.5" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.5.cmml">≤</mo><mn id="S5.10.p3.2.m2.4.4.6" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.6.cmml">0</mn><mo id="S5.10.p3.2.m2.4.4.7" stretchy="false" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.7.cmml">⇒</mo><mrow id="S5.10.p3.2.m2.4.4.8" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.8.cmml"><msub id="S5.10.p3.2.m2.4.4.8.2" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.8.2.cmml"><mi id="S5.10.p3.2.m2.4.4.8.2.2" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.8.2.2.cmml">f</mi><mi id="S5.10.p3.2.m2.4.4.8.2.3" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.8.2.3.cmml">η</mi></msub><mo id="S5.10.p3.2.m2.4.4.8.1" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.8.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.10.p3.2.m2.4.4.8.3.2" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.8.cmml"><mo id="S5.10.p3.2.m2.4.4.8.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.8.cmml">(</mo><mi id="S5.10.p3.2.m2.1.1" xref="S5.10.p3.2.m2.1.1.cmml">b</mi><mo id="S5.10.p3.2.m2.4.4.8.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.8.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.10.p3.2.m2.4.4.9" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.9.cmml">=</mo><mrow id="S5.10.p3.2.m2.4.4.3" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.cmml"><msup id="S5.10.p3.2.m2.3.3.2.1" xref="S5.10.p3.2.m2.3.3.2.1.cmml"><mrow id="S5.10.p3.2.m2.3.3.2.1.1.1" xref="S5.10.p3.2.m2.3.3.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.10.p3.2.m2.3.3.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.10.p3.2.m2.3.3.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.10.p3.2.m2.3.3.2.1.1.1.1" xref="S5.10.p3.2.m2.3.3.2.1.1.1.1.cmml"><mn id="S5.10.p3.2.m2.3.3.2.1.1.1.1.2" xref="S5.10.p3.2.m2.3.3.2.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S5.10.p3.2.m2.3.3.2.1.1.1.1.1" xref="S5.10.p3.2.m2.3.3.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S5.10.p3.2.m2.3.3.2.1.1.1.1.3" xref="S5.10.p3.2.m2.3.3.2.1.1.1.1.3.cmml">η</mi><mo id="S5.10.p3.2.m2.3.3.2.1.1.1.1.1a" xref="S5.10.p3.2.m2.3.3.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S5.10.p3.2.m2.3.3.2.1.1.1.1.4" xref="S5.10.p3.2.m2.3.3.2.1.1.1.1.4.cmml">b</mi></mrow><mo id="S5.10.p3.2.m2.3.3.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.10.p3.2.m2.3.3.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S5.10.p3.2.m2.3.3.2.1.3" xref="S5.10.p3.2.m2.3.3.2.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.3" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.3.cmml">−</mo><mrow id="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.cmml"><mo id="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.2" stretchy="false" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.cmml"><msup id="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.3" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.3.cmml"><mi id="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.3.2" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.3.2.cmml">b</mi><mn id="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.3.3" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.2" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.1" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.1.cmml"><mn id="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.1.3" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.1.3.cmml">2</mn><mo id="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.1.2" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.1.1.1" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.1.1.1.1" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">η</mi><mo id="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.1.2a" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.1.4" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.1.4.cmml">b</mi></mrow><mo id="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.2a" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.2.cmml">+</mo><msup id="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.4" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.4.cmml"><mi id="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.4.2" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.4.2.cmml">η</mi><mn id="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.4.3" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.3" stretchy="false" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.10.p3.2.m2.4.4.10" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.10.cmml">=</mo><mrow id="S5.10.p3.2.m2.4.4.11" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.11.cmml"><mrow id="S5.10.p3.2.m2.4.4.11.2" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.11.2.cmml"><mrow id="S5.10.p3.2.m2.4.4.11.2.2" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.11.2.2.cmml"><mo id="S5.10.p3.2.m2.4.4.11.2.2a" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.11.2.2.cmml">−</mo><mrow id="S5.10.p3.2.m2.4.4.11.2.2.2" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.11.2.2.2.cmml"><mn id="S5.10.p3.2.m2.4.4.11.2.2.2.2" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.11.2.2.2.2.cmml">2</mn><mo id="S5.10.p3.2.m2.4.4.11.2.2.2.1" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.11.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.10.p3.2.m2.4.4.11.2.2.2.3" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.11.2.2.2.3.cmml">b</mi></mrow></mrow><mo id="S5.10.p3.2.m2.4.4.11.2.1" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.11.2.1.cmml">+</mo><mn id="S5.10.p3.2.m2.4.4.11.2.3" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.11.2.3.cmml">4</mn></mrow><mo id="S5.10.p3.2.m2.4.4.11.1" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.11.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.10.p3.2.m2.4.4.11.3" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.11.3.cmml"><mn id="S5.10.p3.2.m2.4.4.11.3.2" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.11.3.2.cmml">4</mn><mo id="S5.10.p3.2.m2.4.4.11.3.1" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.11.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.10.p3.2.m2.4.4.11.3.3" 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xref="S5.10.p3.2.m2.3.3.2.1.3">2</cn></apply><apply id="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.cmml" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1"><plus id="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.2.cmml" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.2"></plus><apply id="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.3.cmml" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.3.2.cmml" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.3.2">𝑏</ci><cn id="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.1.cmml" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.1"><times id="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.1.2.cmml" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.1.2"></times><cn id="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.1.3">2</cn><apply id="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.1.1.1"><minus id="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.1.1.1.1.2">𝜂</ci><cn id="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.1.4.cmml" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.1.4">𝑏</ci></apply><apply id="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.4.cmml" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.4.1.cmml" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.4.2.cmml" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.4.2">𝜂</ci><cn id="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.3.2.1.1.4.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S5.10.p3.2.m2.4.4g.cmml" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4"><eq id="S5.10.p3.2.m2.4.4.10.cmml" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.10"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S5.10.p3.2.m2.4.4.3.cmml" id="S5.10.p3.2.m2.4.4h.cmml" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4"></share><apply id="S5.10.p3.2.m2.4.4.11.cmml" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.11"><minus id="S5.10.p3.2.m2.4.4.11.1.cmml" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.11.1"></minus><apply id="S5.10.p3.2.m2.4.4.11.2.cmml" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.11.2"><plus id="S5.10.p3.2.m2.4.4.11.2.1.cmml" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.11.2.1"></plus><apply id="S5.10.p3.2.m2.4.4.11.2.2.cmml" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.11.2.2"><minus id="S5.10.p3.2.m2.4.4.11.2.2.1.cmml" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.11.2.2"></minus><apply id="S5.10.p3.2.m2.4.4.11.2.2.2.cmml" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.11.2.2.2"><times id="S5.10.p3.2.m2.4.4.11.2.2.2.1.cmml" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.11.2.2.2.1"></times><cn id="S5.10.p3.2.m2.4.4.11.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.11.2.2.2.2">2</cn><ci id="S5.10.p3.2.m2.4.4.11.2.2.2.3.cmml" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.11.2.2.2.3">𝑏</ci></apply></apply><cn id="S5.10.p3.2.m2.4.4.11.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.11.2.3">4</cn></apply><apply id="S5.10.p3.2.m2.4.4.11.3.cmml" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.11.3"><times id="S5.10.p3.2.m2.4.4.11.3.1.cmml" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.11.3.1"></times><cn id="S5.10.p3.2.m2.4.4.11.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.11.3.2">4</cn><ci id="S5.10.p3.2.m2.4.4.11.3.3.cmml" xref="S5.10.p3.2.m2.4.4.11.3.3">𝜂</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.10.p3.2.m2.4c">b^{2}+2(\eta-1)b+\eta^{2}\leq 0\Rightarrow f_{\eta}(b)=(2-\eta-b)^{2}-(b^{2}+2% (\eta-1)b+\eta^{2})=-2b+4-4\eta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.10.p3.2.m2.4d">italic_b start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + 2 ( italic_η - 1 ) italic_b + italic_η start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ≤ 0 ⇒ italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_η end_POSTSUBSCRIPT ( italic_b ) = ( 2 - italic_η - italic_b ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT - ( italic_b start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + 2 ( italic_η - 1 ) italic_b + italic_η start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) = - 2 italic_b + 4 - 4 italic_η</annotation></semantics></math>. Thus <math alttext="f_{\eta}(\cdot)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.10.p3.3.m3.1"><semantics id="S5.10.p3.3.m3.1a"><mrow id="S5.10.p3.3.m3.1.2" xref="S5.10.p3.3.m3.1.2.cmml"><msub id="S5.10.p3.3.m3.1.2.2" xref="S5.10.p3.3.m3.1.2.2.cmml"><mi id="S5.10.p3.3.m3.1.2.2.2" xref="S5.10.p3.3.m3.1.2.2.2.cmml">f</mi><mi id="S5.10.p3.3.m3.1.2.2.3" xref="S5.10.p3.3.m3.1.2.2.3.cmml">η</mi></msub><mo id="S5.10.p3.3.m3.1.2.1" xref="S5.10.p3.3.m3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.10.p3.3.m3.1.2.3.2" xref="S5.10.p3.3.m3.1.2.cmml"><mo id="S5.10.p3.3.m3.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.10.p3.3.m3.1.2.cmml">(</mo><mo id="S5.10.p3.3.m3.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S5.10.p3.3.m3.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="S5.10.p3.3.m3.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.10.p3.3.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.10.p3.3.m3.1b"><apply id="S5.10.p3.3.m3.1.2.cmml" xref="S5.10.p3.3.m3.1.2"><times id="S5.10.p3.3.m3.1.2.1.cmml" xref="S5.10.p3.3.m3.1.2.1"></times><apply id="S5.10.p3.3.m3.1.2.2.cmml" xref="S5.10.p3.3.m3.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.10.p3.3.m3.1.2.2.1.cmml" xref="S5.10.p3.3.m3.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.10.p3.3.m3.1.2.2.2.cmml" xref="S5.10.p3.3.m3.1.2.2.2">𝑓</ci><ci id="S5.10.p3.3.m3.1.2.2.3.cmml" xref="S5.10.p3.3.m3.1.2.2.3">𝜂</ci></apply><ci id="S5.10.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.10.p3.3.m3.1.1">⋅</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.10.p3.3.m3.1c">f_{\eta}(\cdot)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.10.p3.3.m3.1d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_η end_POSTSUBSCRIPT ( ⋅ )</annotation></semantics></math> is monotonically decreasing on <math alttext="[x_{1},x_{2}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.10.p3.4.m4.2"><semantics id="S5.10.p3.4.m4.2a"><mrow id="S5.10.p3.4.m4.2.2.2" xref="S5.10.p3.4.m4.2.2.3.cmml"><mo id="S5.10.p3.4.m4.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S5.10.p3.4.m4.2.2.3.cmml">[</mo><msub id="S5.10.p3.4.m4.1.1.1.1" xref="S5.10.p3.4.m4.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.10.p3.4.m4.1.1.1.1.2" xref="S5.10.p3.4.m4.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S5.10.p3.4.m4.1.1.1.1.3" xref="S5.10.p3.4.m4.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.10.p3.4.m4.2.2.2.4" xref="S5.10.p3.4.m4.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S5.10.p3.4.m4.2.2.2.2" xref="S5.10.p3.4.m4.2.2.2.2.cmml"><mi id="S5.10.p3.4.m4.2.2.2.2.2" xref="S5.10.p3.4.m4.2.2.2.2.2.cmml">x</mi><mn id="S5.10.p3.4.m4.2.2.2.2.3" xref="S5.10.p3.4.m4.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S5.10.p3.4.m4.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S5.10.p3.4.m4.2.2.3.cmml">]</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.10.p3.4.m4.2b"><interval closure="closed" id="S5.10.p3.4.m4.2.2.3.cmml" xref="S5.10.p3.4.m4.2.2.2"><apply id="S5.10.p3.4.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S5.10.p3.4.m4.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.10.p3.4.m4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.10.p3.4.m4.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.10.p3.4.m4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.10.p3.4.m4.1.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S5.10.p3.4.m4.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.10.p3.4.m4.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S5.10.p3.4.m4.2.2.2.2.cmml" xref="S5.10.p3.4.m4.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.10.p3.4.m4.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.10.p3.4.m4.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.10.p3.4.m4.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.10.p3.4.m4.2.2.2.2.2">𝑥</ci><cn id="S5.10.p3.4.m4.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.10.p3.4.m4.2.2.2.2.3">2</cn></apply></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.10.p3.4.m4.2c">[x_{1},x_{2}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.10.p3.4.m4.2d">[ italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ]</annotation></semantics></math>, and <math alttext="f_{\eta}(b_{N-1})\geq\max\{f_{\eta}(b_{n}){\mathbin{}\mid\mathbin{}}b_{n}\in[x% _{1},x_{2}],n\in\mathcal{N}\setminus\{N\}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.10.p3.5.m5.5"><semantics id="S5.10.p3.5.m5.5a"><mrow id="S5.10.p3.5.m5.5.5" xref="S5.10.p3.5.m5.5.5.cmml"><mrow id="S5.10.p3.5.m5.3.3.1" xref="S5.10.p3.5.m5.3.3.1.cmml"><msub id="S5.10.p3.5.m5.3.3.1.3" xref="S5.10.p3.5.m5.3.3.1.3.cmml"><mi id="S5.10.p3.5.m5.3.3.1.3.2" xref="S5.10.p3.5.m5.3.3.1.3.2.cmml">f</mi><mi id="S5.10.p3.5.m5.3.3.1.3.3" xref="S5.10.p3.5.m5.3.3.1.3.3.cmml">η</mi></msub><mo id="S5.10.p3.5.m5.3.3.1.2" xref="S5.10.p3.5.m5.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.10.p3.5.m5.3.3.1.1.1" xref="S5.10.p3.5.m5.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.10.p3.5.m5.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.10.p3.5.m5.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S5.10.p3.5.m5.3.3.1.1.1.1" xref="S5.10.p3.5.m5.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.10.p3.5.m5.3.3.1.1.1.1.2" xref="S5.10.p3.5.m5.3.3.1.1.1.1.2.cmml">b</mi><mrow id="S5.10.p3.5.m5.3.3.1.1.1.1.3" xref="S5.10.p3.5.m5.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.10.p3.5.m5.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S5.10.p3.5.m5.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">N</mi><mo id="S5.10.p3.5.m5.3.3.1.1.1.1.3.1" xref="S5.10.p3.5.m5.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="S5.10.p3.5.m5.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="S5.10.p3.5.m5.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S5.10.p3.5.m5.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.10.p3.5.m5.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.10.p3.5.m5.5.5.4" xref="S5.10.p3.5.m5.5.5.4.cmml">≥</mo><mrow id="S5.10.p3.5.m5.5.5.3.2" xref="S5.10.p3.5.m5.5.5.3.3.cmml"><mi id="S5.10.p3.5.m5.2.2" xref="S5.10.p3.5.m5.2.2.cmml">max</mi><mo id="S5.10.p3.5.m5.5.5.3.2a" xref="S5.10.p3.5.m5.5.5.3.3.cmml">⁡</mo><mrow id="S5.10.p3.5.m5.5.5.3.2.2" xref="S5.10.p3.5.m5.5.5.3.3.cmml"><mo id="S5.10.p3.5.m5.5.5.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S5.10.p3.5.m5.5.5.3.3.cmml">{</mo><mrow id="S5.10.p3.5.m5.4.4.2.1.1.1" xref="S5.10.p3.5.m5.4.4.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.10.p3.5.m5.4.4.2.1.1.1.1" xref="S5.10.p3.5.m5.4.4.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.10.p3.5.m5.4.4.2.1.1.1.1.1" xref="S5.10.p3.5.m5.4.4.2.1.1.1.1.1.cmml"><msub 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id="S5.10.p3.5.m5.4.4.2.1.1.1.3.2.4" xref="S5.10.p3.5.m5.4.4.2.1.1.1.3.3.cmml">,</mo><msub id="S5.10.p3.5.m5.4.4.2.1.1.1.3.2.2" xref="S5.10.p3.5.m5.4.4.2.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S5.10.p3.5.m5.4.4.2.1.1.1.3.2.2.2" xref="S5.10.p3.5.m5.4.4.2.1.1.1.3.2.2.2.cmml">x</mi><mn id="S5.10.p3.5.m5.4.4.2.1.1.1.3.2.2.3" xref="S5.10.p3.5.m5.4.4.2.1.1.1.3.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S5.10.p3.5.m5.4.4.2.1.1.1.3.2.5" stretchy="false" xref="S5.10.p3.5.m5.4.4.2.1.1.1.3.3.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S5.10.p3.5.m5.5.5.3.2.2.4" xref="S5.10.p3.5.m5.5.5.3.3.cmml">,</mo><mrow id="S5.10.p3.5.m5.5.5.3.2.2.2" xref="S5.10.p3.5.m5.5.5.3.2.2.2.cmml"><mi id="S5.10.p3.5.m5.5.5.3.2.2.2.2" xref="S5.10.p3.5.m5.5.5.3.2.2.2.2.cmml">n</mi><mo id="S5.10.p3.5.m5.5.5.3.2.2.2.1" xref="S5.10.p3.5.m5.5.5.3.2.2.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S5.10.p3.5.m5.5.5.3.2.2.2.3" xref="S5.10.p3.5.m5.5.5.3.2.2.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.10.p3.5.m5.5.5.3.2.2.2.3.2" xref="S5.10.p3.5.m5.5.5.3.2.2.2.3.2.cmml">𝒩</mi><mo id="S5.10.p3.5.m5.5.5.3.2.2.2.3.1" xref="S5.10.p3.5.m5.5.5.3.2.2.2.3.1.cmml">∖</mo><mrow id="S5.10.p3.5.m5.5.5.3.2.2.2.3.3.2" xref="S5.10.p3.5.m5.5.5.3.2.2.2.3.3.1.cmml"><mo id="S5.10.p3.5.m5.5.5.3.2.2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.10.p3.5.m5.5.5.3.2.2.2.3.3.1.cmml">{</mo><mi id="S5.10.p3.5.m5.1.1" xref="S5.10.p3.5.m5.1.1.cmml">N</mi><mo id="S5.10.p3.5.m5.5.5.3.2.2.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.10.p3.5.m5.5.5.3.2.2.2.3.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.10.p3.5.m5.5.5.3.2.2.5" stretchy="false" xref="S5.10.p3.5.m5.5.5.3.3.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.10.p3.5.m5.5b"><apply id="S5.10.p3.5.m5.5.5.cmml" xref="S5.10.p3.5.m5.5.5"><geq id="S5.10.p3.5.m5.5.5.4.cmml" xref="S5.10.p3.5.m5.5.5.4"></geq><apply id="S5.10.p3.5.m5.3.3.1.cmml" xref="S5.10.p3.5.m5.3.3.1"><times id="S5.10.p3.5.m5.3.3.1.2.cmml" xref="S5.10.p3.5.m5.3.3.1.2"></times><apply id="S5.10.p3.5.m5.3.3.1.3.cmml" xref="S5.10.p3.5.m5.3.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.10.p3.5.m5.3.3.1.3.1.cmml" xref="S5.10.p3.5.m5.3.3.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.10.p3.5.m5.3.3.1.3.2.cmml" xref="S5.10.p3.5.m5.3.3.1.3.2">𝑓</ci><ci id="S5.10.p3.5.m5.3.3.1.3.3.cmml" xref="S5.10.p3.5.m5.3.3.1.3.3">𝜂</ci></apply><apply id="S5.10.p3.5.m5.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S5.10.p3.5.m5.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.10.p3.5.m5.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.10.p3.5.m5.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.10.p3.5.m5.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.10.p3.5.m5.3.3.1.1.1.1.2">𝑏</ci><apply id="S5.10.p3.5.m5.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.10.p3.5.m5.3.3.1.1.1.1.3"><minus id="S5.10.p3.5.m5.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.10.p3.5.m5.3.3.1.1.1.1.3.1"></minus><ci id="S5.10.p3.5.m5.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.10.p3.5.m5.3.3.1.1.1.1.3.2">𝑁</ci><cn id="S5.10.p3.5.m5.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.10.p3.5.m5.3.3.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.10.p3.5.m5.5.5.3.3.cmml" xref="S5.10.p3.5.m5.5.5.3.2"><max id="S5.10.p3.5.m5.2.2.cmml" xref="S5.10.p3.5.m5.2.2"></max><apply id="S5.10.p3.5.m5.4.4.2.1.1.1.cmml" xref="S5.10.p3.5.m5.4.4.2.1.1.1"><in id="S5.10.p3.5.m5.4.4.2.1.1.1.4.cmml" xref="S5.10.p3.5.m5.4.4.2.1.1.1.4"></in><apply id="S5.10.p3.5.m5.4.4.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.10.p3.5.m5.4.4.2.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.10.p3.5.m5.4.4.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.10.p3.5.m5.4.4.2.1.1.1.1.2">conditional</csymbol><apply id="S5.10.p3.5.m5.4.4.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.10.p3.5.m5.4.4.2.1.1.1.1.1"><times id="S5.10.p3.5.m5.4.4.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.10.p3.5.m5.4.4.2.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S5.10.p3.5.m5.4.4.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.10.p3.5.m5.4.4.2.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.10.p3.5.m5.4.4.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.10.p3.5.m5.4.4.2.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.10.p3.5.m5.4.4.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.10.p3.5.m5.4.4.2.1.1.1.1.1.3.2">𝑓</ci><ci id="S5.10.p3.5.m5.4.4.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.10.p3.5.m5.4.4.2.1.1.1.1.1.3.3">𝜂</ci></apply><apply id="S5.10.p3.5.m5.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.10.p3.5.m5.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.10.p3.5.m5.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.10.p3.5.m5.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.10.p3.5.m5.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.10.p3.5.m5.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑏</ci><ci id="S5.10.p3.5.m5.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.10.p3.5.m5.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply><apply id="S5.10.p3.5.m5.4.4.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.10.p3.5.m5.4.4.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.10.p3.5.m5.4.4.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.10.p3.5.m5.4.4.2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.10.p3.5.m5.4.4.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.10.p3.5.m5.4.4.2.1.1.1.1.3.2">𝑏</ci><ci id="S5.10.p3.5.m5.4.4.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.10.p3.5.m5.4.4.2.1.1.1.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply><interval closure="closed" id="S5.10.p3.5.m5.4.4.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.10.p3.5.m5.4.4.2.1.1.1.3.2"><apply id="S5.10.p3.5.m5.4.4.2.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S5.10.p3.5.m5.4.4.2.1.1.1.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.10.p3.5.m5.4.4.2.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S5.10.p3.5.m5.4.4.2.1.1.1.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.10.p3.5.m5.4.4.2.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S5.10.p3.5.m5.4.4.2.1.1.1.2.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S5.10.p3.5.m5.4.4.2.1.1.1.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.10.p3.5.m5.4.4.2.1.1.1.2.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S5.10.p3.5.m5.4.4.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.10.p3.5.m5.4.4.2.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.10.p3.5.m5.4.4.2.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S5.10.p3.5.m5.4.4.2.1.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.10.p3.5.m5.4.4.2.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S5.10.p3.5.m5.4.4.2.1.1.1.3.2.2.2">𝑥</ci><cn id="S5.10.p3.5.m5.4.4.2.1.1.1.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.10.p3.5.m5.4.4.2.1.1.1.3.2.2.3">2</cn></apply></interval></apply><apply id="S5.10.p3.5.m5.5.5.3.2.2.2.cmml" xref="S5.10.p3.5.m5.5.5.3.2.2.2"><in id="S5.10.p3.5.m5.5.5.3.2.2.2.1.cmml" xref="S5.10.p3.5.m5.5.5.3.2.2.2.1"></in><ci id="S5.10.p3.5.m5.5.5.3.2.2.2.2.cmml" xref="S5.10.p3.5.m5.5.5.3.2.2.2.2">𝑛</ci><apply id="S5.10.p3.5.m5.5.5.3.2.2.2.3.cmml" xref="S5.10.p3.5.m5.5.5.3.2.2.2.3"><setdiff id="S5.10.p3.5.m5.5.5.3.2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.10.p3.5.m5.5.5.3.2.2.2.3.1"></setdiff><ci id="S5.10.p3.5.m5.5.5.3.2.2.2.3.2.cmml" xref="S5.10.p3.5.m5.5.5.3.2.2.2.3.2">𝒩</ci><set id="S5.10.p3.5.m5.5.5.3.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="S5.10.p3.5.m5.5.5.3.2.2.2.3.3.2"><ci id="S5.10.p3.5.m5.1.1.cmml" xref="S5.10.p3.5.m5.1.1">𝑁</ci></set></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.10.p3.5.m5.5c">f_{\eta}(b_{N-1})\geq\max\{f_{\eta}(b_{n}){\mathbin{}\mid\mathbin{}}b_{n}\in[x% _{1},x_{2}],n\in\mathcal{N}\setminus\{N\}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.10.p3.5.m5.5d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_η end_POSTSUBSCRIPT ( italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_N - 1 end_POSTSUBSCRIPT ) ≥ roman_max { italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_η end_POSTSUBSCRIPT ( italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ) ∣ italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ∈ [ italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ] , italic_n ∈ caligraphic_N ∖ { italic_N } }</annotation></semantics></math>. Notice also that <math alttext="b_{N-1}<1/2\leq 1-\eta\leq x_{2}\Rightarrow f_{\eta}(b_{N-1})\geq f_{\eta}(1/2)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.10.p3.6.m6.2"><semantics id="S5.10.p3.6.m6.2a"><mrow id="S5.10.p3.6.m6.2.2" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2.cmml"><msub id="S5.10.p3.6.m6.2.2.4" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2.4.cmml"><mi id="S5.10.p3.6.m6.2.2.4.2" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2.4.2.cmml">b</mi><mrow id="S5.10.p3.6.m6.2.2.4.3" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2.4.3.cmml"><mi id="S5.10.p3.6.m6.2.2.4.3.2" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2.4.3.2.cmml">N</mi><mo id="S5.10.p3.6.m6.2.2.4.3.1" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2.4.3.1.cmml">−</mo><mn id="S5.10.p3.6.m6.2.2.4.3.3" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2.4.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S5.10.p3.6.m6.2.2.5" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2.5.cmml"><</mo><mrow id="S5.10.p3.6.m6.2.2.6" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2.6.cmml"><mn id="S5.10.p3.6.m6.2.2.6.2" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2.6.2.cmml">1</mn><mo id="S5.10.p3.6.m6.2.2.6.1" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2.6.1.cmml">/</mo><mn id="S5.10.p3.6.m6.2.2.6.3" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2.6.3.cmml">2</mn></mrow><mo id="S5.10.p3.6.m6.2.2.7" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2.7.cmml">≤</mo><mrow id="S5.10.p3.6.m6.2.2.8" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2.8.cmml"><mn id="S5.10.p3.6.m6.2.2.8.2" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2.8.2.cmml">1</mn><mo id="S5.10.p3.6.m6.2.2.8.1" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2.8.1.cmml">−</mo><mi id="S5.10.p3.6.m6.2.2.8.3" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2.8.3.cmml">η</mi></mrow><mo id="S5.10.p3.6.m6.2.2.9" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2.9.cmml">≤</mo><msub id="S5.10.p3.6.m6.2.2.10" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2.10.cmml"><mi id="S5.10.p3.6.m6.2.2.10.2" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2.10.2.cmml">x</mi><mn id="S5.10.p3.6.m6.2.2.10.3" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2.10.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S5.10.p3.6.m6.2.2.11" stretchy="false" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2.11.cmml">⇒</mo><mrow id="S5.10.p3.6.m6.1.1.1" xref="S5.10.p3.6.m6.1.1.1.cmml"><msub id="S5.10.p3.6.m6.1.1.1.3" xref="S5.10.p3.6.m6.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.10.p3.6.m6.1.1.1.3.2" xref="S5.10.p3.6.m6.1.1.1.3.2.cmml">f</mi><mi id="S5.10.p3.6.m6.1.1.1.3.3" xref="S5.10.p3.6.m6.1.1.1.3.3.cmml">η</mi></msub><mo id="S5.10.p3.6.m6.1.1.1.2" xref="S5.10.p3.6.m6.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.10.p3.6.m6.1.1.1.1.1" xref="S5.10.p3.6.m6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.10.p3.6.m6.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.10.p3.6.m6.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S5.10.p3.6.m6.1.1.1.1.1.1" xref="S5.10.p3.6.m6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.10.p3.6.m6.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.10.p3.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.cmml">b</mi><mrow id="S5.10.p3.6.m6.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.10.p3.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.10.p3.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.10.p3.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">N</mi><mo id="S5.10.p3.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.10.p3.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="S5.10.p3.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.10.p3.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S5.10.p3.6.m6.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.10.p3.6.m6.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.10.p3.6.m6.2.2.12" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2.12.cmml">≥</mo><mrow id="S5.10.p3.6.m6.2.2.2" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2.2.cmml"><msub id="S5.10.p3.6.m6.2.2.2.3" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.10.p3.6.m6.2.2.2.3.2" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2.2.3.2.cmml">f</mi><mi id="S5.10.p3.6.m6.2.2.2.3.3" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2.2.3.3.cmml">η</mi></msub><mo id="S5.10.p3.6.m6.2.2.2.2" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.10.p3.6.m6.2.2.2.1.1" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S5.10.p3.6.m6.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.10.p3.6.m6.2.2.2.1.1.1" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2.2.1.1.1.cmml"><mn id="S5.10.p3.6.m6.2.2.2.1.1.1.2" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2.2.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S5.10.p3.6.m6.2.2.2.1.1.1.1" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2.2.1.1.1.1.cmml">/</mo><mn id="S5.10.p3.6.m6.2.2.2.1.1.1.3" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2.2.1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><mo id="S5.10.p3.6.m6.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.10.p3.6.m6.2b"><apply id="S5.10.p3.6.m6.2.2.cmml" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2"><and id="S5.10.p3.6.m6.2.2a.cmml" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2"></and><apply id="S5.10.p3.6.m6.2.2b.cmml" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2"><lt id="S5.10.p3.6.m6.2.2.5.cmml" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2.5"></lt><apply id="S5.10.p3.6.m6.2.2.4.cmml" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.10.p3.6.m6.2.2.4.1.cmml" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S5.10.p3.6.m6.2.2.4.2.cmml" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2.4.2">𝑏</ci><apply id="S5.10.p3.6.m6.2.2.4.3.cmml" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2.4.3"><minus id="S5.10.p3.6.m6.2.2.4.3.1.cmml" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2.4.3.1"></minus><ci id="S5.10.p3.6.m6.2.2.4.3.2.cmml" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2.4.3.2">𝑁</ci><cn id="S5.10.p3.6.m6.2.2.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2.4.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S5.10.p3.6.m6.2.2.6.cmml" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2.6"><divide id="S5.10.p3.6.m6.2.2.6.1.cmml" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2.6.1"></divide><cn id="S5.10.p3.6.m6.2.2.6.2.cmml" type="integer" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2.6.2">1</cn><cn id="S5.10.p3.6.m6.2.2.6.3.cmml" type="integer" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2.6.3">2</cn></apply></apply><apply id="S5.10.p3.6.m6.2.2c.cmml" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2"><leq id="S5.10.p3.6.m6.2.2.7.cmml" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2.7"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S5.10.p3.6.m6.2.2.6.cmml" id="S5.10.p3.6.m6.2.2d.cmml" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2"></share><apply id="S5.10.p3.6.m6.2.2.8.cmml" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2.8"><minus id="S5.10.p3.6.m6.2.2.8.1.cmml" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2.8.1"></minus><cn id="S5.10.p3.6.m6.2.2.8.2.cmml" type="integer" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2.8.2">1</cn><ci id="S5.10.p3.6.m6.2.2.8.3.cmml" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2.8.3">𝜂</ci></apply></apply><apply id="S5.10.p3.6.m6.2.2e.cmml" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2"><leq id="S5.10.p3.6.m6.2.2.9.cmml" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2.9"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S5.10.p3.6.m6.2.2.8.cmml" id="S5.10.p3.6.m6.2.2f.cmml" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2"></share><apply id="S5.10.p3.6.m6.2.2.10.cmml" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2.10"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.10.p3.6.m6.2.2.10.1.cmml" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2.10">subscript</csymbol><ci id="S5.10.p3.6.m6.2.2.10.2.cmml" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2.10.2">𝑥</ci><cn id="S5.10.p3.6.m6.2.2.10.3.cmml" type="integer" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2.10.3">2</cn></apply></apply><apply id="S5.10.p3.6.m6.2.2g.cmml" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2"><ci id="S5.10.p3.6.m6.2.2.11.cmml" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2.11">⇒</ci><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S5.10.p3.6.m6.2.2.10.cmml" id="S5.10.p3.6.m6.2.2h.cmml" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2"></share><apply id="S5.10.p3.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S5.10.p3.6.m6.1.1.1"><times id="S5.10.p3.6.m6.1.1.1.2.cmml" xref="S5.10.p3.6.m6.1.1.1.2"></times><apply id="S5.10.p3.6.m6.1.1.1.3.cmml" xref="S5.10.p3.6.m6.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.10.p3.6.m6.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.10.p3.6.m6.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.10.p3.6.m6.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.10.p3.6.m6.1.1.1.3.2">𝑓</ci><ci id="S5.10.p3.6.m6.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.10.p3.6.m6.1.1.1.3.3">𝜂</ci></apply><apply id="S5.10.p3.6.m6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.10.p3.6.m6.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.10.p3.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.10.p3.6.m6.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.10.p3.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.10.p3.6.m6.1.1.1.1.1.1.2">𝑏</ci><apply id="S5.10.p3.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.10.p3.6.m6.1.1.1.1.1.1.3"><minus id="S5.10.p3.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.10.p3.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.1"></minus><ci id="S5.10.p3.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.10.p3.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑁</ci><cn id="S5.10.p3.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.10.p3.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S5.10.p3.6.m6.2.2i.cmml" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2"><geq id="S5.10.p3.6.m6.2.2.12.cmml" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2.12"></geq><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S5.10.p3.6.m6.1.1.1.cmml" id="S5.10.p3.6.m6.2.2j.cmml" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2"></share><apply id="S5.10.p3.6.m6.2.2.2.cmml" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2.2"><times id="S5.10.p3.6.m6.2.2.2.2.cmml" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2.2.2"></times><apply id="S5.10.p3.6.m6.2.2.2.3.cmml" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.10.p3.6.m6.2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.10.p3.6.m6.2.2.2.3.2.cmml" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2.2.3.2">𝑓</ci><ci id="S5.10.p3.6.m6.2.2.2.3.3.cmml" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2.2.3.3">𝜂</ci></apply><apply id="S5.10.p3.6.m6.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2.2.1.1"><divide id="S5.10.p3.6.m6.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2.2.1.1.1.1"></divide><cn id="S5.10.p3.6.m6.2.2.2.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2.2.1.1.1.2">1</cn><cn id="S5.10.p3.6.m6.2.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.10.p3.6.m6.2.2.2.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.10.p3.6.m6.2c">b_{N-1}<1/2\leq 1-\eta\leq x_{2}\Rightarrow f_{\eta}(b_{N-1})\geq f_{\eta}(1/2)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.10.p3.6.m6.2d">italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_N - 1 end_POSTSUBSCRIPT < 1 / 2 ≤ 1 - italic_η ≤ italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ⇒ italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_η end_POSTSUBSCRIPT ( italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_N - 1 end_POSTSUBSCRIPT ) ≥ italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_η end_POSTSUBSCRIPT ( 1 / 2 )</annotation></semantics></math>. These results hold true even if <math alttext="x_{2}\geq 1" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.10.p3.7.m7.1"><semantics id="S5.10.p3.7.m7.1a"><mrow id="S5.10.p3.7.m7.1.1" xref="S5.10.p3.7.m7.1.1.cmml"><msub id="S5.10.p3.7.m7.1.1.2" xref="S5.10.p3.7.m7.1.1.2.cmml"><mi id="S5.10.p3.7.m7.1.1.2.2" xref="S5.10.p3.7.m7.1.1.2.2.cmml">x</mi><mn id="S5.10.p3.7.m7.1.1.2.3" xref="S5.10.p3.7.m7.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S5.10.p3.7.m7.1.1.1" xref="S5.10.p3.7.m7.1.1.1.cmml">≥</mo><mn id="S5.10.p3.7.m7.1.1.3" xref="S5.10.p3.7.m7.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.10.p3.7.m7.1b"><apply id="S5.10.p3.7.m7.1.1.cmml" xref="S5.10.p3.7.m7.1.1"><geq id="S5.10.p3.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S5.10.p3.7.m7.1.1.1"></geq><apply id="S5.10.p3.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S5.10.p3.7.m7.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.10.p3.7.m7.1.1.2.1.cmml" xref="S5.10.p3.7.m7.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.10.p3.7.m7.1.1.2.2.cmml" xref="S5.10.p3.7.m7.1.1.2.2">𝑥</ci><cn id="S5.10.p3.7.m7.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.10.p3.7.m7.1.1.2.3">2</cn></apply><cn id="S5.10.p3.7.m7.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.10.p3.7.m7.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.10.p3.7.m7.1c">x_{2}\geq 1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.10.p3.7.m7.1d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ≥ 1</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S5.11.p4"> <p class="ltx_p" id="S5.11.p4.7">Consider finally the case <math alttext="x_{2}<1" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.11.p4.1.m1.1"><semantics id="S5.11.p4.1.m1.1a"><mrow id="S5.11.p4.1.m1.1.1" xref="S5.11.p4.1.m1.1.1.cmml"><msub id="S5.11.p4.1.m1.1.1.2" xref="S5.11.p4.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.11.p4.1.m1.1.1.2.2" xref="S5.11.p4.1.m1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mn id="S5.11.p4.1.m1.1.1.2.3" xref="S5.11.p4.1.m1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S5.11.p4.1.m1.1.1.1" xref="S5.11.p4.1.m1.1.1.1.cmml"><</mo><mn id="S5.11.p4.1.m1.1.1.3" xref="S5.11.p4.1.m1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.11.p4.1.m1.1b"><apply id="S5.11.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.11.p4.1.m1.1.1"><lt id="S5.11.p4.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.11.p4.1.m1.1.1.1"></lt><apply id="S5.11.p4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.11.p4.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.11.p4.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.11.p4.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.11.p4.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.11.p4.1.m1.1.1.2.2">𝑥</ci><cn id="S5.11.p4.1.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.11.p4.1.m1.1.1.2.3">2</cn></apply><cn id="S5.11.p4.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.11.p4.1.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.11.p4.1.m1.1c">x_{2}<1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.11.p4.1.m1.1d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT < 1</annotation></semantics></math>. Extend function <math alttext="f_{\eta}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.11.p4.2.m2.1"><semantics id="S5.11.p4.2.m2.1a"><msub id="S5.11.p4.2.m2.1.1" xref="S5.11.p4.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S5.11.p4.2.m2.1.1.2" xref="S5.11.p4.2.m2.1.1.2.cmml">f</mi><mi id="S5.11.p4.2.m2.1.1.3" xref="S5.11.p4.2.m2.1.1.3.cmml">η</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.11.p4.2.m2.1b"><apply id="S5.11.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.11.p4.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.11.p4.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.11.p4.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.11.p4.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.11.p4.2.m2.1.1.2">𝑓</ci><ci id="S5.11.p4.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.11.p4.2.m2.1.1.3">𝜂</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.11.p4.2.m2.1c">f_{\eta}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.11.p4.2.m2.1d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_η end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> to the continuous <math alttext="\bar{f}_{\eta}\colon(x_{2},+\infty)\to\mathbb{R}\colon b\mapsto\bar{f}_{\eta}(% b)\coloneqq\lvert d_{\eta}(b)\rvert^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.11.p4.3.m3.5"><semantics id="S5.11.p4.3.m3.5a"><mrow id="S5.11.p4.3.m3.5.5" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5.cmml"><msub id="S5.11.p4.3.m3.5.5.5" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5.5.cmml"><mover accent="true" id="S5.11.p4.3.m3.5.5.5.2" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5.5.2.cmml"><mi id="S5.11.p4.3.m3.5.5.5.2.2" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5.5.2.2.cmml">f</mi><mo id="S5.11.p4.3.m3.5.5.5.2.1" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5.5.2.1.cmml">¯</mo></mover><mi id="S5.11.p4.3.m3.5.5.5.3" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5.5.3.cmml">η</mi></msub><mo id="S5.11.p4.3.m3.5.5.6" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5.6.cmml">:</mo><mrow id="S5.11.p4.3.m3.4.4.2" xref="S5.11.p4.3.m3.4.4.2.cmml"><mrow id="S5.11.p4.3.m3.4.4.2.2.2" xref="S5.11.p4.3.m3.4.4.2.2.3.cmml"><mo id="S5.11.p4.3.m3.4.4.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S5.11.p4.3.m3.4.4.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S5.11.p4.3.m3.3.3.1.1.1.1" xref="S5.11.p4.3.m3.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.11.p4.3.m3.3.3.1.1.1.1.2" xref="S5.11.p4.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S5.11.p4.3.m3.3.3.1.1.1.1.3" xref="S5.11.p4.3.m3.3.3.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S5.11.p4.3.m3.4.4.2.2.2.4" xref="S5.11.p4.3.m3.4.4.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S5.11.p4.3.m3.4.4.2.2.2.2" xref="S5.11.p4.3.m3.4.4.2.2.2.2.cmml"><mo id="S5.11.p4.3.m3.4.4.2.2.2.2a" xref="S5.11.p4.3.m3.4.4.2.2.2.2.cmml">+</mo><mi id="S5.11.p4.3.m3.4.4.2.2.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S5.11.p4.3.m3.4.4.2.2.2.2.2.cmml">∞</mi></mrow><mo id="S5.11.p4.3.m3.4.4.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S5.11.p4.3.m3.4.4.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.11.p4.3.m3.4.4.2.3" stretchy="false" xref="S5.11.p4.3.m3.4.4.2.3.cmml">→</mo><mi id="S5.11.p4.3.m3.4.4.2.4" xref="S5.11.p4.3.m3.4.4.2.4.cmml">ℝ</mi></mrow><mo id="S5.11.p4.3.m3.5.5.7" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5.7.cmml">:</mo><mrow id="S5.11.p4.3.m3.5.5.3" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.cmml"><mi id="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.3" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.3.cmml">b</mi><mo id="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.4" stretchy="false" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.4.cmml">↦</mo><mrow id="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.5" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.5.cmml"><msub id="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.5.2" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.5.2.cmml"><mover accent="true" id="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.5.2.2" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.5.2.2.cmml"><mi id="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.5.2.2.2" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.5.2.2.2.cmml">f</mi><mo id="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.5.2.2.1" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.5.2.2.1.cmml">¯</mo></mover><mi id="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.5.2.3" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.5.2.3.cmml">η</mi></msub><mo id="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.5.1" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.5.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.5.3.2" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.5.cmml"><mo id="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.5.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.5.cmml">(</mo><mi id="S5.11.p4.3.m3.1.1" xref="S5.11.p4.3.m3.1.1.cmml">b</mi><mo id="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.5.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.5.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.6" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.6.cmml">≔</mo><msup id="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.1" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.1.cmml"><mrow id="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.1.1.1" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.1.1.2.cmml"><mo id="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.1.1.1.1" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.1.1.1.1.cmml"><msub id="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.1.1.1.1.2" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.1.1.1.1.2.2" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.1.1.1.1.2.2.cmml">d</mi><mi id="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.1.1.1.1.2.3" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.1.1.1.1.2.3.cmml">η</mi></msub><mo id="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.1.1.1.1.1" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.1.1.1.1.3.2" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S5.11.p4.3.m3.2.2" xref="S5.11.p4.3.m3.2.2.cmml">b</mi><mo id="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mn id="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.1.3" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.11.p4.3.m3.5b"><apply id="S5.11.p4.3.m3.5.5.cmml" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5"><and id="S5.11.p4.3.m3.5.5a.cmml" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5"></and><apply id="S5.11.p4.3.m3.5.5b.cmml" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5"><ci id="S5.11.p4.3.m3.5.5.6.cmml" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5.6">:</ci><apply id="S5.11.p4.3.m3.5.5.5.cmml" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.11.p4.3.m3.5.5.5.1.cmml" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5.5">subscript</csymbol><apply id="S5.11.p4.3.m3.5.5.5.2.cmml" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5.5.2"><ci id="S5.11.p4.3.m3.5.5.5.2.1.cmml" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5.5.2.1">¯</ci><ci id="S5.11.p4.3.m3.5.5.5.2.2.cmml" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5.5.2.2">𝑓</ci></apply><ci id="S5.11.p4.3.m3.5.5.5.3.cmml" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5.5.3">𝜂</ci></apply><apply id="S5.11.p4.3.m3.4.4.2.cmml" xref="S5.11.p4.3.m3.4.4.2"><ci id="S5.11.p4.3.m3.4.4.2.3.cmml" xref="S5.11.p4.3.m3.4.4.2.3">→</ci><interval closure="open" id="S5.11.p4.3.m3.4.4.2.2.3.cmml" xref="S5.11.p4.3.m3.4.4.2.2.2"><apply id="S5.11.p4.3.m3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S5.11.p4.3.m3.3.3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.11.p4.3.m3.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.11.p4.3.m3.3.3.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.11.p4.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.11.p4.3.m3.3.3.1.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S5.11.p4.3.m3.3.3.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.11.p4.3.m3.3.3.1.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="S5.11.p4.3.m3.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S5.11.p4.3.m3.4.4.2.2.2.2"><plus id="S5.11.p4.3.m3.4.4.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.11.p4.3.m3.4.4.2.2.2.2"></plus><infinity id="S5.11.p4.3.m3.4.4.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.11.p4.3.m3.4.4.2.2.2.2.2"></infinity></apply></interval><ci id="S5.11.p4.3.m3.4.4.2.4.cmml" xref="S5.11.p4.3.m3.4.4.2.4">ℝ</ci></apply></apply><apply id="S5.11.p4.3.m3.5.5c.cmml" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5"><ci id="S5.11.p4.3.m3.5.5.7.cmml" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5.7">:</ci><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S5.11.p4.3.m3.4.4.2.cmml" id="S5.11.p4.3.m3.5.5d.cmml" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5"></share><apply id="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.cmml" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5.3"><and id="S5.11.p4.3.m3.5.5.3a.cmml" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5.3"></and><apply id="S5.11.p4.3.m3.5.5.3b.cmml" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5.3"><csymbol cd="latexml" id="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.4.cmml" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.4">maps-to</csymbol><ci id="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.3.cmml" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.3">𝑏</ci><apply id="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.5.cmml" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.5"><times id="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.5.1.cmml" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.5.1"></times><apply id="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.5.2.cmml" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.5.2.1.cmml" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.5.2">subscript</csymbol><apply id="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.5.2.2.cmml" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.5.2.2"><ci id="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.5.2.2.1.cmml" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.5.2.2.1">¯</ci><ci id="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.5.2.2.2.cmml" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.5.2.2.2">𝑓</ci></apply><ci id="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.5.2.3.cmml" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.5.2.3">𝜂</ci></apply><ci id="S5.11.p4.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.11.p4.3.m3.1.1">𝑏</ci></apply></apply><apply id="S5.11.p4.3.m3.5.5.3c.cmml" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5.3"><ci id="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.6.cmml" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.6">≔</ci><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S5.11.p4.3.m3.5.5.3.5.cmml" id="S5.11.p4.3.m3.5.5.3d.cmml" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5.3"></share><apply id="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.1.cmml" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.1.2.cmml" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.1">superscript</csymbol><apply id="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.1.1.2.cmml" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.1.1.1"><abs id="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.1.1.2.1.cmml" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.1.1.1.2"></abs><apply id="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.1.1.1.1.cmml" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.1.1.1.1"><times id="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.1.1.1.1.1"></times><apply id="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.1.1.1.1.2.2">𝑑</ci><ci id="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.1.1.1.1.2.3">𝜂</ci></apply><ci id="S5.11.p4.3.m3.2.2.cmml" xref="S5.11.p4.3.m3.2.2">𝑏</ci></apply></apply><cn id="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.11.p4.3.m3.5.5.3.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.11.p4.3.m3.5c">\bar{f}_{\eta}\colon(x_{2},+\infty)\to\mathbb{R}\colon b\mapsto\bar{f}_{\eta}(% b)\coloneqq\lvert d_{\eta}(b)\rvert^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.11.p4.3.m3.5d">over¯ start_ARG italic_f end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_η end_POSTSUBSCRIPT : ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , + ∞ ) → blackboard_R : italic_b ↦ over¯ start_ARG italic_f end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_η end_POSTSUBSCRIPT ( italic_b ) ≔ | italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_η end_POSTSUBSCRIPT ( italic_b ) | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, so that <math alttext="\bar{f}_{\eta}\rvert_{(x_{2},1]}=f_{\eta}" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S5.11.p4.4.m4.2"><semantics id="S5.11.p4.4.m4.2a"><mrow id="S5.11.p4.4.m4.2b"><msub id="S5.11.p4.4.m4.2.3"><mover accent="true" id="S5.11.p4.4.m4.2.3.2"><mi id="S5.11.p4.4.m4.2.3.2.2">f</mi><mo id="S5.11.p4.4.m4.2.3.2.1">¯</mo></mover><mi id="S5.11.p4.4.m4.2.3.3">η</mi></msub><mo id="S5.11.p4.4.m4.2.4" stretchy="false">|</mo><msub id="S5.11.p4.4.m4.2.2"><mi id="S5.11.p4.4.m4.2.2a"></mi><mrow id="S5.11.p4.4.m4.2.2.2.2"><mo id="S5.11.p4.4.m4.2.2.2.2.2" stretchy="false">(</mo><msub id="S5.11.p4.4.m4.2.2.2.2.1"><mi id="S5.11.p4.4.m4.2.2.2.2.1.2">x</mi><mn id="S5.11.p4.4.m4.2.2.2.2.1.3">2</mn></msub><mo id="S5.11.p4.4.m4.2.2.2.2.3">,</mo><mn id="S5.11.p4.4.m4.1.1.1.1">1</mn><mo id="S5.11.p4.4.m4.2.2.2.2.4" stretchy="false">]</mo></mrow></msub><mo id="S5.11.p4.4.m4.2.5">=</mo><mi id="S5.11.p4.4.m4.2.6">f</mi><msub id="S5.11.p4.4.m4.2.7"><mi id="S5.11.p4.4.m4.2.7a"></mi><mi id="S5.11.p4.4.m4.2.7.1">η</mi></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.11.p4.4.m4.2c">\bar{f}_{\eta}\rvert_{(x_{2},1]}=f_{\eta}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.11.p4.4.m4.2d">over¯ start_ARG italic_f end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_η end_POSTSUBSCRIPT | start_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , 1 ] end_POSTSUBSCRIPT = italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_η end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Notice that <math alttext="\forall b>x_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.11.p4.5.m5.1"><semantics id="S5.11.p4.5.m5.1a"><mrow id="S5.11.p4.5.m5.1.1" xref="S5.11.p4.5.m5.1.1.cmml"><mrow id="S5.11.p4.5.m5.1.1.2" xref="S5.11.p4.5.m5.1.1.2.cmml"><mo id="S5.11.p4.5.m5.1.1.2.1" rspace="0.167em" xref="S5.11.p4.5.m5.1.1.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S5.11.p4.5.m5.1.1.2.2" xref="S5.11.p4.5.m5.1.1.2.2.cmml">b</mi></mrow><mo id="S5.11.p4.5.m5.1.1.1" xref="S5.11.p4.5.m5.1.1.1.cmml">></mo><msub id="S5.11.p4.5.m5.1.1.3" xref="S5.11.p4.5.m5.1.1.3.cmml"><mi id="S5.11.p4.5.m5.1.1.3.2" xref="S5.11.p4.5.m5.1.1.3.2.cmml">x</mi><mn id="S5.11.p4.5.m5.1.1.3.3" xref="S5.11.p4.5.m5.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.11.p4.5.m5.1b"><apply id="S5.11.p4.5.m5.1.1.cmml" xref="S5.11.p4.5.m5.1.1"><gt id="S5.11.p4.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S5.11.p4.5.m5.1.1.1"></gt><apply id="S5.11.p4.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S5.11.p4.5.m5.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.11.p4.5.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S5.11.p4.5.m5.1.1.2.1">for-all</csymbol><ci id="S5.11.p4.5.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S5.11.p4.5.m5.1.1.2.2">𝑏</ci></apply><apply id="S5.11.p4.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S5.11.p4.5.m5.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.11.p4.5.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S5.11.p4.5.m5.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.11.p4.5.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S5.11.p4.5.m5.1.1.3.2">𝑥</ci><cn id="S5.11.p4.5.m5.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.11.p4.5.m5.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.11.p4.5.m5.1c">\forall b>x_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.11.p4.5.m5.1d">∀ italic_b > italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, by (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#A0.E39" title="Equation 39 ‣ Proof: ‣ V Conclusions ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">39</span></a>) and <math alttext="b+\eta-1>x_{2}+\eta-1=(1-2\eta)^{1/2}\geq 0\Rightarrow b^{2}+2(\eta-1)b+\eta^{% 2}>(x_{2}+\eta-1)^{2}+2\eta-1=1-2\eta+2\eta-1=0\Rightarrow(b+\eta-1)/(b^{2}+2(% \eta-1)b+\eta^{2})^{1/2}\geq 1" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.11.p4.6.m6.5"><semantics id="S5.11.p4.6.m6.5a"><mrow id="S5.11.p4.6.m6.5.5" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.cmml"><mrow id="S5.11.p4.6.m6.5.5.7" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.7.cmml"><mrow id="S5.11.p4.6.m6.5.5.7.2" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.7.2.cmml"><mi id="S5.11.p4.6.m6.5.5.7.2.2" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.7.2.2.cmml">b</mi><mo id="S5.11.p4.6.m6.5.5.7.2.1" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.7.2.1.cmml">+</mo><mi id="S5.11.p4.6.m6.5.5.7.2.3" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.7.2.3.cmml">η</mi></mrow><mo id="S5.11.p4.6.m6.5.5.7.1" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.7.1.cmml">−</mo><mn id="S5.11.p4.6.m6.5.5.7.3" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.7.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S5.11.p4.6.m6.5.5.8" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.8.cmml">></mo><mrow id="S5.11.p4.6.m6.5.5.9" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.9.cmml"><mrow id="S5.11.p4.6.m6.5.5.9.2" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.9.2.cmml"><msub id="S5.11.p4.6.m6.5.5.9.2.2" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.9.2.2.cmml"><mi id="S5.11.p4.6.m6.5.5.9.2.2.2" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.9.2.2.2.cmml">x</mi><mn id="S5.11.p4.6.m6.5.5.9.2.2.3" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.9.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S5.11.p4.6.m6.5.5.9.2.1" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.9.2.1.cmml">+</mo><mi id="S5.11.p4.6.m6.5.5.9.2.3" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.9.2.3.cmml">η</mi></mrow><mo id="S5.11.p4.6.m6.5.5.9.1" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.9.1.cmml">−</mo><mn id="S5.11.p4.6.m6.5.5.9.3" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.9.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S5.11.p4.6.m6.5.5.10" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.10.cmml">=</mo><msup id="S5.11.p4.6.m6.1.1.1" xref="S5.11.p4.6.m6.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.11.p4.6.m6.1.1.1.1.1" xref="S5.11.p4.6.m6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.11.p4.6.m6.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.11.p4.6.m6.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.11.p4.6.m6.1.1.1.1.1.1" xref="S5.11.p4.6.m6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S5.11.p4.6.m6.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.11.p4.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S5.11.p4.6.m6.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.11.p4.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.11.p4.6.m6.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.11.p4.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S5.11.p4.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.11.p4.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S5.11.p4.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.11.p4.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.11.p4.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.11.p4.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">η</mi></mrow></mrow><mo id="S5.11.p4.6.m6.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.11.p4.6.m6.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S5.11.p4.6.m6.1.1.1.3" xref="S5.11.p4.6.m6.1.1.1.3.cmml"><mn id="S5.11.p4.6.m6.1.1.1.3.2" xref="S5.11.p4.6.m6.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S5.11.p4.6.m6.1.1.1.3.1" xref="S5.11.p4.6.m6.1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S5.11.p4.6.m6.1.1.1.3.3" xref="S5.11.p4.6.m6.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="S5.11.p4.6.m6.5.5.11" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.11.cmml">≥</mo><mn id="S5.11.p4.6.m6.5.5.12" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.12.cmml">0</mn><mo id="S5.11.p4.6.m6.5.5.13" stretchy="false" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.13.cmml">⇒</mo><mrow id="S5.11.p4.6.m6.2.2.2" xref="S5.11.p4.6.m6.2.2.2.cmml"><msup id="S5.11.p4.6.m6.2.2.2.3" xref="S5.11.p4.6.m6.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.11.p4.6.m6.2.2.2.3.2" xref="S5.11.p4.6.m6.2.2.2.3.2.cmml">b</mi><mn id="S5.11.p4.6.m6.2.2.2.3.3" xref="S5.11.p4.6.m6.2.2.2.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.11.p4.6.m6.2.2.2.2" xref="S5.11.p4.6.m6.2.2.2.2.cmml">+</mo><mrow id="S5.11.p4.6.m6.2.2.2.1" xref="S5.11.p4.6.m6.2.2.2.1.cmml"><mn id="S5.11.p4.6.m6.2.2.2.1.3" xref="S5.11.p4.6.m6.2.2.2.1.3.cmml">2</mn><mo id="S5.11.p4.6.m6.2.2.2.1.2" xref="S5.11.p4.6.m6.2.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.11.p4.6.m6.2.2.2.1.1.1" xref="S5.11.p4.6.m6.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.11.p4.6.m6.2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.11.p4.6.m6.2.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.11.p4.6.m6.2.2.2.1.1.1.1" xref="S5.11.p4.6.m6.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.11.p4.6.m6.2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S5.11.p4.6.m6.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">η</mi><mo id="S5.11.p4.6.m6.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S5.11.p4.6.m6.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S5.11.p4.6.m6.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S5.11.p4.6.m6.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S5.11.p4.6.m6.2.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.11.p4.6.m6.2.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.11.p4.6.m6.2.2.2.1.2a" xref="S5.11.p4.6.m6.2.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S5.11.p4.6.m6.2.2.2.1.4" xref="S5.11.p4.6.m6.2.2.2.1.4.cmml">b</mi></mrow><mo id="S5.11.p4.6.m6.2.2.2.2a" xref="S5.11.p4.6.m6.2.2.2.2.cmml">+</mo><msup id="S5.11.p4.6.m6.2.2.2.4" xref="S5.11.p4.6.m6.2.2.2.4.cmml"><mi id="S5.11.p4.6.m6.2.2.2.4.2" xref="S5.11.p4.6.m6.2.2.2.4.2.cmml">η</mi><mn id="S5.11.p4.6.m6.2.2.2.4.3" xref="S5.11.p4.6.m6.2.2.2.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.11.p4.6.m6.5.5.14" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.14.cmml">></mo><mrow id="S5.11.p4.6.m6.3.3.3" xref="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.cmml"><mrow id="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1" xref="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.cmml"><msup id="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.1" xref="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.1.1.1" xref="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.1.1.1.1" xref="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">x</mi><mn id="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml">+</mo><mi id="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.1.1.1.1.2.3.cmml">η</mi></mrow><mo id="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.1.3" xref="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.2" xref="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.3" xref="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.3.cmml"><mn id="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.3.2" xref="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.3.1" xref="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.3.3" xref="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.3.3.cmml">η</mi></mrow></mrow><mo id="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.2" xref="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.2.cmml">−</mo><mn id="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.3" xref="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S5.11.p4.6.m6.5.5.15" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.15.cmml">=</mo><mrow id="S5.11.p4.6.m6.5.5.16" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.16.cmml"><mrow id="S5.11.p4.6.m6.5.5.16.2" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.16.2.cmml"><mrow id="S5.11.p4.6.m6.5.5.16.2.2" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.16.2.2.cmml"><mn id="S5.11.p4.6.m6.5.5.16.2.2.2" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.16.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="S5.11.p4.6.m6.5.5.16.2.2.1" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.16.2.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.11.p4.6.m6.5.5.16.2.2.3" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.16.2.2.3.cmml"><mn id="S5.11.p4.6.m6.5.5.16.2.2.3.2" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.16.2.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S5.11.p4.6.m6.5.5.16.2.2.3.1" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.16.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.11.p4.6.m6.5.5.16.2.2.3.3" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.16.2.2.3.3.cmml">η</mi></mrow></mrow><mo id="S5.11.p4.6.m6.5.5.16.2.1" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.16.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.11.p4.6.m6.5.5.16.2.3" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.16.2.3.cmml"><mn id="S5.11.p4.6.m6.5.5.16.2.3.2" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.16.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S5.11.p4.6.m6.5.5.16.2.3.1" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.16.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.11.p4.6.m6.5.5.16.2.3.3" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.16.2.3.3.cmml">η</mi></mrow></mrow><mo id="S5.11.p4.6.m6.5.5.16.1" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.16.1.cmml">−</mo><mn id="S5.11.p4.6.m6.5.5.16.3" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.16.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S5.11.p4.6.m6.5.5.17" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.17.cmml">=</mo><mn id="S5.11.p4.6.m6.5.5.18" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.18.cmml">0</mn><mo id="S5.11.p4.6.m6.5.5.19" stretchy="false" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.19.cmml">⇒</mo><mrow id="S5.11.p4.6.m6.5.5.5" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.cmml"><mrow id="S5.11.p4.6.m6.4.4.4.1.1" xref="S5.11.p4.6.m6.4.4.4.1.1.1.cmml"><mo id="S5.11.p4.6.m6.4.4.4.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.11.p4.6.m6.4.4.4.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.11.p4.6.m6.4.4.4.1.1.1" xref="S5.11.p4.6.m6.4.4.4.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.11.p4.6.m6.4.4.4.1.1.1.2" xref="S5.11.p4.6.m6.4.4.4.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.11.p4.6.m6.4.4.4.1.1.1.2.2" xref="S5.11.p4.6.m6.4.4.4.1.1.1.2.2.cmml">b</mi><mo id="S5.11.p4.6.m6.4.4.4.1.1.1.2.1" xref="S5.11.p4.6.m6.4.4.4.1.1.1.2.1.cmml">+</mo><mi id="S5.11.p4.6.m6.4.4.4.1.1.1.2.3" xref="S5.11.p4.6.m6.4.4.4.1.1.1.2.3.cmml">η</mi></mrow><mo id="S5.11.p4.6.m6.4.4.4.1.1.1.1" xref="S5.11.p4.6.m6.4.4.4.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S5.11.p4.6.m6.4.4.4.1.1.1.3" xref="S5.11.p4.6.m6.4.4.4.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S5.11.p4.6.m6.4.4.4.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.11.p4.6.m6.4.4.4.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.3" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.3.cmml">/</mo><msup id="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.cmml"><mrow id="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.1.1" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.1.1.1.cmml"><mo id="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.1.1.1" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.1.1.1.cmml"><msup id="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.1.1.1.3" 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id="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.1.1.1.1.2a" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.1.1.1.1.4" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.1.1.1.1.4.cmml">b</mi></mrow><mo id="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.1.1.1.2a" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.1.1.1.2.cmml">+</mo><msup id="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.1.1.1.4" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.1.1.1.4.cmml"><mi id="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.1.1.1.4.2" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.1.1.1.4.2.cmml">η</mi><mn id="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.1.1.1.4.3" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.1.1.1.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.3" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.3.cmml"><mn id="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.3.2" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.3.2.cmml">1</mn><mo id="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.3.1" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.3.1.cmml">/</mo><mn id="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.3.3" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup></mrow><mo id="S5.11.p4.6.m6.5.5.20" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.20.cmml">≥</mo><mn id="S5.11.p4.6.m6.5.5.21" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.21.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.11.p4.6.m6.5b"><apply id="S5.11.p4.6.m6.5.5.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5"><and id="S5.11.p4.6.m6.5.5a.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5"></and><apply id="S5.11.p4.6.m6.5.5b.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5"><gt id="S5.11.p4.6.m6.5.5.8.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.8"></gt><apply id="S5.11.p4.6.m6.5.5.7.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.7"><minus id="S5.11.p4.6.m6.5.5.7.1.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.7.1"></minus><apply 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type="integer" xref="S5.11.p4.6.m6.2.2.2.1.3">2</cn><apply id="S5.11.p4.6.m6.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.2.2.2.1.1.1"><minus id="S5.11.p4.6.m6.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.2.2.2.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S5.11.p4.6.m6.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.2.2.2.1.1.1.1.2">𝜂</ci><cn id="S5.11.p4.6.m6.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.11.p4.6.m6.2.2.2.1.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S5.11.p4.6.m6.2.2.2.1.4.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.2.2.2.1.4">𝑏</ci></apply><apply id="S5.11.p4.6.m6.2.2.2.4.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.11.p4.6.m6.2.2.2.4.1.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.2.2.2.4">superscript</csymbol><ci id="S5.11.p4.6.m6.2.2.2.4.2.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.2.2.2.4.2">𝜂</ci><cn id="S5.11.p4.6.m6.2.2.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.11.p4.6.m6.2.2.2.4.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.11.p4.6.m6.5.5i.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5"><gt id="S5.11.p4.6.m6.5.5.14.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.14"></gt><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S5.11.p4.6.m6.2.2.2.cmml" id="S5.11.p4.6.m6.5.5j.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5"></share><apply id="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.3.3.3"><minus id="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.2.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.2"></minus><apply id="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1"><plus id="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.2.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.2"></plus><apply id="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.1.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.1.2.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.1.1.1"><minus id="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.1.1.1.1.2"><plus id="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.1.1.1.1.2.1"></plus><apply id="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑥</ci><cn id="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3">2</cn></apply><ci id="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.1.1.1.1.2.3">𝜂</ci></apply><cn id="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><cn id="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.1.3">2</cn></apply><apply id="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.3.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.3"><times id="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.3.1.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.3.1"></times><cn id="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.3.2">2</cn><ci id="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.3.3.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.1.3.3">𝜂</ci></apply></apply><cn id="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.11.p4.6.m6.3.3.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S5.11.p4.6.m6.5.5k.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5"><eq id="S5.11.p4.6.m6.5.5.15.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.15"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S5.11.p4.6.m6.3.3.3.cmml" id="S5.11.p4.6.m6.5.5l.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5"></share><apply id="S5.11.p4.6.m6.5.5.16.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.16"><minus id="S5.11.p4.6.m6.5.5.16.1.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.16.1"></minus><apply id="S5.11.p4.6.m6.5.5.16.2.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.16.2"><plus id="S5.11.p4.6.m6.5.5.16.2.1.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.16.2.1"></plus><apply id="S5.11.p4.6.m6.5.5.16.2.2.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.16.2.2"><minus id="S5.11.p4.6.m6.5.5.16.2.2.1.cmml" 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xref="S5.11.p4.6.m6.5.5"><eq id="S5.11.p4.6.m6.5.5.17.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.17"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S5.11.p4.6.m6.5.5.16.cmml" id="S5.11.p4.6.m6.5.5n.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5"></share><cn id="S5.11.p4.6.m6.5.5.18.cmml" type="integer" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.18">0</cn></apply><apply id="S5.11.p4.6.m6.5.5o.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5"><ci id="S5.11.p4.6.m6.5.5.19.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.19">⇒</ci><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S5.11.p4.6.m6.5.5.18.cmml" id="S5.11.p4.6.m6.5.5p.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5"></share><apply id="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.5"><divide id="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.3.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.3"></divide><apply id="S5.11.p4.6.m6.4.4.4.1.1.1.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.4.4.4.1.1"><minus id="S5.11.p4.6.m6.4.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.4.4.4.1.1.1.1"></minus><apply id="S5.11.p4.6.m6.4.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.4.4.4.1.1.1.2"><plus id="S5.11.p4.6.m6.4.4.4.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.4.4.4.1.1.1.2.1"></plus><ci id="S5.11.p4.6.m6.4.4.4.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.4.4.4.1.1.1.2.2">𝑏</ci><ci id="S5.11.p4.6.m6.4.4.4.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.4.4.4.1.1.1.2.3">𝜂</ci></apply><cn id="S5.11.p4.6.m6.4.4.4.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.11.p4.6.m6.4.4.4.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.2.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2">superscript</csymbol><apply id="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.1.1.1.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.1.1"><plus id="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.1.1.1.2.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.1.1.1.2"></plus><apply id="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.1.1.1.3.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.1.1.1.3.2">𝑏</ci><cn id="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.1.1.1.1"><times id="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.1.1.1.1.2"></times><cn id="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.1.1.1.1.3">2</cn><apply id="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1"><minus id="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜂</ci><cn id="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.1.1.1.1.4.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.1.1.1.1.4">𝑏</ci></apply><apply id="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.1.1.1.4.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.1.1.1.4.1.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.1.1.1.4.2.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.1.1.1.4.2">𝜂</ci><cn id="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.1.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.1.1.1.4.3">2</cn></apply></apply><apply id="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.3.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.3"><divide id="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.3.1.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.3.1"></divide><cn id="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.3.2">1</cn><cn id="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.5.2.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S5.11.p4.6.m6.5.5q.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5"><geq id="S5.11.p4.6.m6.5.5.20.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.20"></geq><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S5.11.p4.6.m6.5.5.5.cmml" id="S5.11.p4.6.m6.5.5r.cmml" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5"></share><cn id="S5.11.p4.6.m6.5.5.21.cmml" type="integer" xref="S5.11.p4.6.m6.5.5.21">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.11.p4.6.m6.5c">b+\eta-1>x_{2}+\eta-1=(1-2\eta)^{1/2}\geq 0\Rightarrow b^{2}+2(\eta-1)b+\eta^{% 2}>(x_{2}+\eta-1)^{2}+2\eta-1=1-2\eta+2\eta-1=0\Rightarrow(b+\eta-1)/(b^{2}+2(% \eta-1)b+\eta^{2})^{1/2}\geq 1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.11.p4.6.m6.5d">italic_b + italic_η - 1 > italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT + italic_η - 1 = ( 1 - 2 italic_η ) start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT ≥ 0 ⇒ italic_b start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + 2 ( italic_η - 1 ) italic_b + italic_η start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT > ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT + italic_η - 1 ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + 2 italic_η - 1 = 1 - 2 italic_η + 2 italic_η - 1 = 0 ⇒ ( italic_b + italic_η - 1 ) / ( italic_b start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + 2 ( italic_η - 1 ) italic_b + italic_η start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT ≥ 1</annotation></semantics></math> and <math alttext="\bar{f}_{\eta}(b)=d_{\eta}^{2}(b)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.11.p4.7.m7.2"><semantics id="S5.11.p4.7.m7.2a"><mrow id="S5.11.p4.7.m7.2.3" xref="S5.11.p4.7.m7.2.3.cmml"><mrow id="S5.11.p4.7.m7.2.3.2" xref="S5.11.p4.7.m7.2.3.2.cmml"><msub id="S5.11.p4.7.m7.2.3.2.2" xref="S5.11.p4.7.m7.2.3.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S5.11.p4.7.m7.2.3.2.2.2" xref="S5.11.p4.7.m7.2.3.2.2.2.cmml"><mi id="S5.11.p4.7.m7.2.3.2.2.2.2" xref="S5.11.p4.7.m7.2.3.2.2.2.2.cmml">f</mi><mo id="S5.11.p4.7.m7.2.3.2.2.2.1" xref="S5.11.p4.7.m7.2.3.2.2.2.1.cmml">¯</mo></mover><mi id="S5.11.p4.7.m7.2.3.2.2.3" xref="S5.11.p4.7.m7.2.3.2.2.3.cmml">η</mi></msub><mo id="S5.11.p4.7.m7.2.3.2.1" xref="S5.11.p4.7.m7.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.11.p4.7.m7.2.3.2.3.2" xref="S5.11.p4.7.m7.2.3.2.cmml"><mo id="S5.11.p4.7.m7.2.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.11.p4.7.m7.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="S5.11.p4.7.m7.1.1" xref="S5.11.p4.7.m7.1.1.cmml">b</mi><mo id="S5.11.p4.7.m7.2.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.11.p4.7.m7.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.11.p4.7.m7.2.3.1" xref="S5.11.p4.7.m7.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.11.p4.7.m7.2.3.3" xref="S5.11.p4.7.m7.2.3.3.cmml"><msubsup id="S5.11.p4.7.m7.2.3.3.2" xref="S5.11.p4.7.m7.2.3.3.2.cmml"><mi id="S5.11.p4.7.m7.2.3.3.2.2.2" xref="S5.11.p4.7.m7.2.3.3.2.2.2.cmml">d</mi><mi id="S5.11.p4.7.m7.2.3.3.2.2.3" xref="S5.11.p4.7.m7.2.3.3.2.2.3.cmml">η</mi><mn id="S5.11.p4.7.m7.2.3.3.2.3" xref="S5.11.p4.7.m7.2.3.3.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S5.11.p4.7.m7.2.3.3.1" xref="S5.11.p4.7.m7.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.11.p4.7.m7.2.3.3.3.2" xref="S5.11.p4.7.m7.2.3.3.cmml"><mo id="S5.11.p4.7.m7.2.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.11.p4.7.m7.2.3.3.cmml">(</mo><mi id="S5.11.p4.7.m7.2.2" xref="S5.11.p4.7.m7.2.2.cmml">b</mi><mo id="S5.11.p4.7.m7.2.3.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.11.p4.7.m7.2.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.11.p4.7.m7.2b"><apply id="S5.11.p4.7.m7.2.3.cmml" xref="S5.11.p4.7.m7.2.3"><eq id="S5.11.p4.7.m7.2.3.1.cmml" xref="S5.11.p4.7.m7.2.3.1"></eq><apply id="S5.11.p4.7.m7.2.3.2.cmml" xref="S5.11.p4.7.m7.2.3.2"><times id="S5.11.p4.7.m7.2.3.2.1.cmml" xref="S5.11.p4.7.m7.2.3.2.1"></times><apply id="S5.11.p4.7.m7.2.3.2.2.cmml" xref="S5.11.p4.7.m7.2.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.11.p4.7.m7.2.3.2.2.1.cmml" xref="S5.11.p4.7.m7.2.3.2.2">subscript</csymbol><apply id="S5.11.p4.7.m7.2.3.2.2.2.cmml" xref="S5.11.p4.7.m7.2.3.2.2.2"><ci id="S5.11.p4.7.m7.2.3.2.2.2.1.cmml" xref="S5.11.p4.7.m7.2.3.2.2.2.1">¯</ci><ci id="S5.11.p4.7.m7.2.3.2.2.2.2.cmml" xref="S5.11.p4.7.m7.2.3.2.2.2.2">𝑓</ci></apply><ci id="S5.11.p4.7.m7.2.3.2.2.3.cmml" xref="S5.11.p4.7.m7.2.3.2.2.3">𝜂</ci></apply><ci id="S5.11.p4.7.m7.1.1.cmml" xref="S5.11.p4.7.m7.1.1">𝑏</ci></apply><apply id="S5.11.p4.7.m7.2.3.3.cmml" xref="S5.11.p4.7.m7.2.3.3"><times id="S5.11.p4.7.m7.2.3.3.1.cmml" xref="S5.11.p4.7.m7.2.3.3.1"></times><apply id="S5.11.p4.7.m7.2.3.3.2.cmml" xref="S5.11.p4.7.m7.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.11.p4.7.m7.2.3.3.2.1.cmml" xref="S5.11.p4.7.m7.2.3.3.2">superscript</csymbol><apply id="S5.11.p4.7.m7.2.3.3.2.2.cmml" xref="S5.11.p4.7.m7.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.11.p4.7.m7.2.3.3.2.2.1.cmml" xref="S5.11.p4.7.m7.2.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.11.p4.7.m7.2.3.3.2.2.2.cmml" xref="S5.11.p4.7.m7.2.3.3.2.2.2">𝑑</ci><ci id="S5.11.p4.7.m7.2.3.3.2.2.3.cmml" xref="S5.11.p4.7.m7.2.3.3.2.2.3">𝜂</ci></apply><cn id="S5.11.p4.7.m7.2.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.11.p4.7.m7.2.3.3.2.3">2</cn></apply><ci id="S5.11.p4.7.m7.2.2.cmml" xref="S5.11.p4.7.m7.2.2">𝑏</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.11.p4.7.m7.2c">\bar{f}_{\eta}(b)=d_{\eta}^{2}(b)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.11.p4.7.m7.2d">over¯ start_ARG italic_f end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_η end_POSTSUBSCRIPT ( italic_b ) = italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_η end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_b )</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S5.12.p5"> <p class="ltx_p" id="S5.12.p5.7">The monotonicity of <math alttext="\bar{f}_{\eta}(b)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.12.p5.1.m1.1"><semantics id="S5.12.p5.1.m1.1a"><mrow id="S5.12.p5.1.m1.1.2" xref="S5.12.p5.1.m1.1.2.cmml"><msub id="S5.12.p5.1.m1.1.2.2" xref="S5.12.p5.1.m1.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S5.12.p5.1.m1.1.2.2.2" xref="S5.12.p5.1.m1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S5.12.p5.1.m1.1.2.2.2.2" xref="S5.12.p5.1.m1.1.2.2.2.2.cmml">f</mi><mo id="S5.12.p5.1.m1.1.2.2.2.1" xref="S5.12.p5.1.m1.1.2.2.2.1.cmml">¯</mo></mover><mi id="S5.12.p5.1.m1.1.2.2.3" xref="S5.12.p5.1.m1.1.2.2.3.cmml">η</mi></msub><mo id="S5.12.p5.1.m1.1.2.1" xref="S5.12.p5.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.12.p5.1.m1.1.2.3.2" xref="S5.12.p5.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S5.12.p5.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.12.p5.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S5.12.p5.1.m1.1.1" xref="S5.12.p5.1.m1.1.1.cmml">b</mi><mo id="S5.12.p5.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.12.p5.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.12.p5.1.m1.1b"><apply id="S5.12.p5.1.m1.1.2.cmml" xref="S5.12.p5.1.m1.1.2"><times id="S5.12.p5.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S5.12.p5.1.m1.1.2.1"></times><apply id="S5.12.p5.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S5.12.p5.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.12.p5.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.12.p5.1.m1.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="S5.12.p5.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.12.p5.1.m1.1.2.2.2"><ci id="S5.12.p5.1.m1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S5.12.p5.1.m1.1.2.2.2.1">¯</ci><ci id="S5.12.p5.1.m1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.12.p5.1.m1.1.2.2.2.2">𝑓</ci></apply><ci id="S5.12.p5.1.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.12.p5.1.m1.1.2.2.3">𝜂</ci></apply><ci id="S5.12.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.12.p5.1.m1.1.1">𝑏</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.12.p5.1.m1.1c">\bar{f}_{\eta}(b)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.12.p5.1.m1.1d">over¯ start_ARG italic_f end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_η end_POSTSUBSCRIPT ( italic_b )</annotation></semantics></math> on <math alttext="(x_{2},+\infty)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.12.p5.2.m2.2"><semantics id="S5.12.p5.2.m2.2a"><mrow id="S5.12.p5.2.m2.2.2.2" xref="S5.12.p5.2.m2.2.2.3.cmml"><mo id="S5.12.p5.2.m2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S5.12.p5.2.m2.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S5.12.p5.2.m2.1.1.1.1" xref="S5.12.p5.2.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.12.p5.2.m2.1.1.1.1.2" xref="S5.12.p5.2.m2.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S5.12.p5.2.m2.1.1.1.1.3" xref="S5.12.p5.2.m2.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S5.12.p5.2.m2.2.2.2.4" xref="S5.12.p5.2.m2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S5.12.p5.2.m2.2.2.2.2" xref="S5.12.p5.2.m2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S5.12.p5.2.m2.2.2.2.2a" xref="S5.12.p5.2.m2.2.2.2.2.cmml">+</mo><mi id="S5.12.p5.2.m2.2.2.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S5.12.p5.2.m2.2.2.2.2.2.cmml">∞</mi></mrow><mo id="S5.12.p5.2.m2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S5.12.p5.2.m2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.12.p5.2.m2.2b"><interval closure="open" id="S5.12.p5.2.m2.2.2.3.cmml" xref="S5.12.p5.2.m2.2.2.2"><apply id="S5.12.p5.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.12.p5.2.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.12.p5.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.12.p5.2.m2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.12.p5.2.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.12.p5.2.m2.1.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S5.12.p5.2.m2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.12.p5.2.m2.1.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="S5.12.p5.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.12.p5.2.m2.2.2.2.2"><plus id="S5.12.p5.2.m2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.12.p5.2.m2.2.2.2.2"></plus><infinity id="S5.12.p5.2.m2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.12.p5.2.m2.2.2.2.2.2"></infinity></apply></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.12.p5.2.m2.2c">(x_{2},+\infty)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.12.p5.2.m2.2d">( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , + ∞ )</annotation></semantics></math> is going to be explored next. The case where <math alttext="b\in(x_{2},2-\eta]" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.12.p5.3.m3.2"><semantics id="S5.12.p5.3.m3.2a"><mrow id="S5.12.p5.3.m3.2.2" xref="S5.12.p5.3.m3.2.2.cmml"><mi id="S5.12.p5.3.m3.2.2.4" xref="S5.12.p5.3.m3.2.2.4.cmml">b</mi><mo id="S5.12.p5.3.m3.2.2.3" xref="S5.12.p5.3.m3.2.2.3.cmml">∈</mo><mrow id="S5.12.p5.3.m3.2.2.2.2" xref="S5.12.p5.3.m3.2.2.2.3.cmml"><mo id="S5.12.p5.3.m3.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S5.12.p5.3.m3.2.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S5.12.p5.3.m3.1.1.1.1.1" xref="S5.12.p5.3.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.12.p5.3.m3.1.1.1.1.1.2" xref="S5.12.p5.3.m3.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S5.12.p5.3.m3.1.1.1.1.1.3" xref="S5.12.p5.3.m3.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S5.12.p5.3.m3.2.2.2.2.4" xref="S5.12.p5.3.m3.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S5.12.p5.3.m3.2.2.2.2.2" xref="S5.12.p5.3.m3.2.2.2.2.2.cmml"><mn id="S5.12.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2" xref="S5.12.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2.cmml">2</mn><mo id="S5.12.p5.3.m3.2.2.2.2.2.1" xref="S5.12.p5.3.m3.2.2.2.2.2.1.cmml">−</mo><mi id="S5.12.p5.3.m3.2.2.2.2.2.3" xref="S5.12.p5.3.m3.2.2.2.2.2.3.cmml">η</mi></mrow><mo id="S5.12.p5.3.m3.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S5.12.p5.3.m3.2.2.2.3.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.12.p5.3.m3.2b"><apply id="S5.12.p5.3.m3.2.2.cmml" xref="S5.12.p5.3.m3.2.2"><in id="S5.12.p5.3.m3.2.2.3.cmml" xref="S5.12.p5.3.m3.2.2.3"></in><ci id="S5.12.p5.3.m3.2.2.4.cmml" xref="S5.12.p5.3.m3.2.2.4">𝑏</ci><interval closure="open-closed" id="S5.12.p5.3.m3.2.2.2.3.cmml" xref="S5.12.p5.3.m3.2.2.2.2"><apply id="S5.12.p5.3.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.12.p5.3.m3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.12.p5.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.12.p5.3.m3.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.12.p5.3.m3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.12.p5.3.m3.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S5.12.p5.3.m3.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.12.p5.3.m3.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="S5.12.p5.3.m3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.12.p5.3.m3.2.2.2.2.2"><minus id="S5.12.p5.3.m3.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.12.p5.3.m3.2.2.2.2.2.1"></minus><cn id="S5.12.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.12.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2">2</cn><ci id="S5.12.p5.3.m3.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.12.p5.3.m3.2.2.2.2.2.3">𝜂</ci></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.12.p5.3.m3.2c">b\in(x_{2},2-\eta]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.12.p5.3.m3.2d">italic_b ∈ ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , 2 - italic_η ]</annotation></semantics></math> is considered first: <math alttext="b\leq 2-\eta\Rightarrow 2-\eta-b\geq 0\Rightarrow d_{\eta}(b)>0\Rightarrow\bar% {f}_{\eta}^{\prime}(b)\geq 0" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.12.p5.4.m4.2"><semantics id="S5.12.p5.4.m4.2a"><mrow id="S5.12.p5.4.m4.2.3" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.cmml"><mi id="S5.12.p5.4.m4.2.3.2" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.2.cmml">b</mi><mo id="S5.12.p5.4.m4.2.3.3" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.3.cmml">≤</mo><mrow id="S5.12.p5.4.m4.2.3.4" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.4.cmml"><mn id="S5.12.p5.4.m4.2.3.4.2" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.4.2.cmml">2</mn><mo id="S5.12.p5.4.m4.2.3.4.1" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.4.1.cmml">−</mo><mi id="S5.12.p5.4.m4.2.3.4.3" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.4.3.cmml">η</mi></mrow><mo id="S5.12.p5.4.m4.2.3.5" stretchy="false" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.5.cmml">⇒</mo><mrow id="S5.12.p5.4.m4.2.3.6" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.6.cmml"><mn id="S5.12.p5.4.m4.2.3.6.2" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.6.2.cmml">2</mn><mo id="S5.12.p5.4.m4.2.3.6.1" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.6.1.cmml">−</mo><mi id="S5.12.p5.4.m4.2.3.6.3" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.6.3.cmml">η</mi><mo id="S5.12.p5.4.m4.2.3.6.1a" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.6.1.cmml">−</mo><mi id="S5.12.p5.4.m4.2.3.6.4" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.6.4.cmml">b</mi></mrow><mo id="S5.12.p5.4.m4.2.3.7" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.7.cmml">≥</mo><mn id="S5.12.p5.4.m4.2.3.8" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.8.cmml">0</mn><mo id="S5.12.p5.4.m4.2.3.9" stretchy="false" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.9.cmml">⇒</mo><mrow id="S5.12.p5.4.m4.2.3.10" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.10.cmml"><msub id="S5.12.p5.4.m4.2.3.10.2" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.10.2.cmml"><mi id="S5.12.p5.4.m4.2.3.10.2.2" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.10.2.2.cmml">d</mi><mi id="S5.12.p5.4.m4.2.3.10.2.3" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.10.2.3.cmml">η</mi></msub><mo id="S5.12.p5.4.m4.2.3.10.1" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.10.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.12.p5.4.m4.2.3.10.3.2" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.10.cmml"><mo id="S5.12.p5.4.m4.2.3.10.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.10.cmml">(</mo><mi id="S5.12.p5.4.m4.1.1" xref="S5.12.p5.4.m4.1.1.cmml">b</mi><mo id="S5.12.p5.4.m4.2.3.10.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.10.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.12.p5.4.m4.2.3.11" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.11.cmml">></mo><mn id="S5.12.p5.4.m4.2.3.12" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.12.cmml">0</mn><mo id="S5.12.p5.4.m4.2.3.13" stretchy="false" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.13.cmml">⇒</mo><mrow id="S5.12.p5.4.m4.2.3.14" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.14.cmml"><msubsup id="S5.12.p5.4.m4.2.3.14.2" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.14.2.cmml"><mover accent="true" id="S5.12.p5.4.m4.2.3.14.2.2.2" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.14.2.2.2.cmml"><mi id="S5.12.p5.4.m4.2.3.14.2.2.2.2" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.14.2.2.2.2.cmml">f</mi><mo id="S5.12.p5.4.m4.2.3.14.2.2.2.1" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.14.2.2.2.1.cmml">¯</mo></mover><mi id="S5.12.p5.4.m4.2.3.14.2.2.3" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.14.2.2.3.cmml">η</mi><mo id="S5.12.p5.4.m4.2.3.14.2.3" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.14.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S5.12.p5.4.m4.2.3.14.1" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.14.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.12.p5.4.m4.2.3.14.3.2" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.14.cmml"><mo id="S5.12.p5.4.m4.2.3.14.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.14.cmml">(</mo><mi id="S5.12.p5.4.m4.2.2" xref="S5.12.p5.4.m4.2.2.cmml">b</mi><mo id="S5.12.p5.4.m4.2.3.14.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.14.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.12.p5.4.m4.2.3.15" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.15.cmml">≥</mo><mn id="S5.12.p5.4.m4.2.3.16" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.16.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.12.p5.4.m4.2b"><apply id="S5.12.p5.4.m4.2.3.cmml" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3"><and id="S5.12.p5.4.m4.2.3a.cmml" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3"></and><apply id="S5.12.p5.4.m4.2.3b.cmml" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3"><leq id="S5.12.p5.4.m4.2.3.3.cmml" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.3"></leq><ci id="S5.12.p5.4.m4.2.3.2.cmml" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.2">𝑏</ci><apply id="S5.12.p5.4.m4.2.3.4.cmml" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.4"><minus id="S5.12.p5.4.m4.2.3.4.1.cmml" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.4.1"></minus><cn id="S5.12.p5.4.m4.2.3.4.2.cmml" type="integer" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.4.2">2</cn><ci id="S5.12.p5.4.m4.2.3.4.3.cmml" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.4.3">𝜂</ci></apply></apply><apply id="S5.12.p5.4.m4.2.3c.cmml" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3"><ci id="S5.12.p5.4.m4.2.3.5.cmml" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.5">⇒</ci><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S5.12.p5.4.m4.2.3.4.cmml" id="S5.12.p5.4.m4.2.3d.cmml" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3"></share><apply id="S5.12.p5.4.m4.2.3.6.cmml" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.6"><minus id="S5.12.p5.4.m4.2.3.6.1.cmml" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.6.1"></minus><cn id="S5.12.p5.4.m4.2.3.6.2.cmml" type="integer" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.6.2">2</cn><ci id="S5.12.p5.4.m4.2.3.6.3.cmml" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.6.3">𝜂</ci><ci id="S5.12.p5.4.m4.2.3.6.4.cmml" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.6.4">𝑏</ci></apply></apply><apply id="S5.12.p5.4.m4.2.3e.cmml" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3"><geq id="S5.12.p5.4.m4.2.3.7.cmml" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.7"></geq><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S5.12.p5.4.m4.2.3.6.cmml" id="S5.12.p5.4.m4.2.3f.cmml" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3"></share><cn id="S5.12.p5.4.m4.2.3.8.cmml" type="integer" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.8">0</cn></apply><apply id="S5.12.p5.4.m4.2.3g.cmml" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3"><ci id="S5.12.p5.4.m4.2.3.9.cmml" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.9">⇒</ci><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S5.12.p5.4.m4.2.3.8.cmml" id="S5.12.p5.4.m4.2.3h.cmml" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3"></share><apply id="S5.12.p5.4.m4.2.3.10.cmml" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.10"><times id="S5.12.p5.4.m4.2.3.10.1.cmml" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.10.1"></times><apply id="S5.12.p5.4.m4.2.3.10.2.cmml" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.10.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.12.p5.4.m4.2.3.10.2.1.cmml" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.10.2">subscript</csymbol><ci id="S5.12.p5.4.m4.2.3.10.2.2.cmml" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.10.2.2">𝑑</ci><ci id="S5.12.p5.4.m4.2.3.10.2.3.cmml" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.10.2.3">𝜂</ci></apply><ci id="S5.12.p5.4.m4.1.1.cmml" xref="S5.12.p5.4.m4.1.1">𝑏</ci></apply></apply><apply id="S5.12.p5.4.m4.2.3i.cmml" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3"><gt id="S5.12.p5.4.m4.2.3.11.cmml" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.11"></gt><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S5.12.p5.4.m4.2.3.10.cmml" id="S5.12.p5.4.m4.2.3j.cmml" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3"></share><cn id="S5.12.p5.4.m4.2.3.12.cmml" type="integer" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.12">0</cn></apply><apply id="S5.12.p5.4.m4.2.3k.cmml" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3"><ci id="S5.12.p5.4.m4.2.3.13.cmml" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.13">⇒</ci><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S5.12.p5.4.m4.2.3.12.cmml" id="S5.12.p5.4.m4.2.3l.cmml" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3"></share><apply id="S5.12.p5.4.m4.2.3.14.cmml" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.14"><times id="S5.12.p5.4.m4.2.3.14.1.cmml" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.14.1"></times><apply id="S5.12.p5.4.m4.2.3.14.2.cmml" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.14.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.12.p5.4.m4.2.3.14.2.1.cmml" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.14.2">superscript</csymbol><apply id="S5.12.p5.4.m4.2.3.14.2.2.cmml" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.14.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.12.p5.4.m4.2.3.14.2.2.1.cmml" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.14.2">subscript</csymbol><apply id="S5.12.p5.4.m4.2.3.14.2.2.2.cmml" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.14.2.2.2"><ci id="S5.12.p5.4.m4.2.3.14.2.2.2.1.cmml" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.14.2.2.2.1">¯</ci><ci id="S5.12.p5.4.m4.2.3.14.2.2.2.2.cmml" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.14.2.2.2.2">𝑓</ci></apply><ci id="S5.12.p5.4.m4.2.3.14.2.2.3.cmml" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.14.2.2.3">𝜂</ci></apply><ci id="S5.12.p5.4.m4.2.3.14.2.3.cmml" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.14.2.3">′</ci></apply><ci id="S5.12.p5.4.m4.2.2.cmml" xref="S5.12.p5.4.m4.2.2">𝑏</ci></apply></apply><apply id="S5.12.p5.4.m4.2.3m.cmml" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3"><geq id="S5.12.p5.4.m4.2.3.15.cmml" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.15"></geq><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S5.12.p5.4.m4.2.3.14.cmml" id="S5.12.p5.4.m4.2.3n.cmml" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3"></share><cn id="S5.12.p5.4.m4.2.3.16.cmml" type="integer" xref="S5.12.p5.4.m4.2.3.16">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.12.p5.4.m4.2c">b\leq 2-\eta\Rightarrow 2-\eta-b\geq 0\Rightarrow d_{\eta}(b)>0\Rightarrow\bar% {f}_{\eta}^{\prime}(b)\geq 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.12.p5.4.m4.2d">italic_b ≤ 2 - italic_η ⇒ 2 - italic_η - italic_b ≥ 0 ⇒ italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_η end_POSTSUBSCRIPT ( italic_b ) > 0 ⇒ over¯ start_ARG italic_f end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_η end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_b ) ≥ 0</annotation></semantics></math>. In the case where <math alttext="b>2-\eta" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.12.p5.5.m5.1"><semantics id="S5.12.p5.5.m5.1a"><mrow id="S5.12.p5.5.m5.1.1" xref="S5.12.p5.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S5.12.p5.5.m5.1.1.2" xref="S5.12.p5.5.m5.1.1.2.cmml">b</mi><mo id="S5.12.p5.5.m5.1.1.1" xref="S5.12.p5.5.m5.1.1.1.cmml">></mo><mrow id="S5.12.p5.5.m5.1.1.3" xref="S5.12.p5.5.m5.1.1.3.cmml"><mn id="S5.12.p5.5.m5.1.1.3.2" xref="S5.12.p5.5.m5.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S5.12.p5.5.m5.1.1.3.1" xref="S5.12.p5.5.m5.1.1.3.1.cmml">−</mo><mi id="S5.12.p5.5.m5.1.1.3.3" xref="S5.12.p5.5.m5.1.1.3.3.cmml">η</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.12.p5.5.m5.1b"><apply id="S5.12.p5.5.m5.1.1.cmml" xref="S5.12.p5.5.m5.1.1"><gt id="S5.12.p5.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S5.12.p5.5.m5.1.1.1"></gt><ci id="S5.12.p5.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S5.12.p5.5.m5.1.1.2">𝑏</ci><apply id="S5.12.p5.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S5.12.p5.5.m5.1.1.3"><minus id="S5.12.p5.5.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S5.12.p5.5.m5.1.1.3.1"></minus><cn id="S5.12.p5.5.m5.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.12.p5.5.m5.1.1.3.2">2</cn><ci id="S5.12.p5.5.m5.1.1.3.3.cmml" xref="S5.12.p5.5.m5.1.1.3.3">𝜂</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.12.p5.5.m5.1c">b>2-\eta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.12.p5.5.m5.1d">italic_b > 2 - italic_η</annotation></semantics></math>, notice from <math alttext="4-4\eta-2b<4-4\eta-2(2-\eta)=-2\eta<0" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.12.p5.6.m6.1"><semantics id="S5.12.p5.6.m6.1a"><mrow id="S5.12.p5.6.m6.1.1" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.cmml"><mrow id="S5.12.p5.6.m6.1.1.3" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.3.cmml"><mn id="S5.12.p5.6.m6.1.1.3.2" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.3.2.cmml">4</mn><mo id="S5.12.p5.6.m6.1.1.3.1" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.12.p5.6.m6.1.1.3.3" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.3.3.cmml"><mn id="S5.12.p5.6.m6.1.1.3.3.2" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.3.3.2.cmml">4</mn><mo id="S5.12.p5.6.m6.1.1.3.3.1" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.12.p5.6.m6.1.1.3.3.3" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.3.3.3.cmml">η</mi></mrow><mo id="S5.12.p5.6.m6.1.1.3.1a" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.12.p5.6.m6.1.1.3.4" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.3.4.cmml"><mn id="S5.12.p5.6.m6.1.1.3.4.2" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.3.4.2.cmml">2</mn><mo id="S5.12.p5.6.m6.1.1.3.4.1" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.3.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.12.p5.6.m6.1.1.3.4.3" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.3.4.3.cmml">b</mi></mrow></mrow><mo id="S5.12.p5.6.m6.1.1.4" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.4.cmml"><</mo><mrow id="S5.12.p5.6.m6.1.1.1" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.1.cmml"><mn id="S5.12.p5.6.m6.1.1.1.3" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.1.3.cmml">4</mn><mo id="S5.12.p5.6.m6.1.1.1.2" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S5.12.p5.6.m6.1.1.1.4" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.1.4.cmml"><mn id="S5.12.p5.6.m6.1.1.1.4.2" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.1.4.2.cmml">4</mn><mo id="S5.12.p5.6.m6.1.1.1.4.1" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.12.p5.6.m6.1.1.1.4.3" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.1.4.3.cmml">η</mi></mrow><mo id="S5.12.p5.6.m6.1.1.1.2a" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S5.12.p5.6.m6.1.1.1.1" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.1.1.cmml"><mn id="S5.12.p5.6.m6.1.1.1.1.3" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.1.1.3.cmml">2</mn><mo id="S5.12.p5.6.m6.1.1.1.1.2" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.12.p5.6.m6.1.1.1.1.1.1" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.12.p5.6.m6.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.12.p5.6.m6.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S5.12.p5.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S5.12.p5.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S5.12.p5.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">η</mi></mrow><mo id="S5.12.p5.6.m6.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.12.p5.6.m6.1.1.5" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S5.12.p5.6.m6.1.1.6" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.6.cmml"><mo id="S5.12.p5.6.m6.1.1.6a" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.6.cmml">−</mo><mrow id="S5.12.p5.6.m6.1.1.6.2" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.6.2.cmml"><mn id="S5.12.p5.6.m6.1.1.6.2.2" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.6.2.2.cmml">2</mn><mo id="S5.12.p5.6.m6.1.1.6.2.1" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.6.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.12.p5.6.m6.1.1.6.2.3" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.6.2.3.cmml">η</mi></mrow></mrow><mo id="S5.12.p5.6.m6.1.1.7" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.7.cmml"><</mo><mn id="S5.12.p5.6.m6.1.1.8" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.8.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.12.p5.6.m6.1b"><apply id="S5.12.p5.6.m6.1.1.cmml" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1"><and id="S5.12.p5.6.m6.1.1a.cmml" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1"></and><apply id="S5.12.p5.6.m6.1.1b.cmml" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1"><lt id="S5.12.p5.6.m6.1.1.4.cmml" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.4"></lt><apply id="S5.12.p5.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.3"><minus id="S5.12.p5.6.m6.1.1.3.1.cmml" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.3.1"></minus><cn id="S5.12.p5.6.m6.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.3.2">4</cn><apply id="S5.12.p5.6.m6.1.1.3.3.cmml" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.3.3"><times id="S5.12.p5.6.m6.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.3.3.1"></times><cn id="S5.12.p5.6.m6.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.3.3.2">4</cn><ci id="S5.12.p5.6.m6.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.3.3.3">𝜂</ci></apply><apply id="S5.12.p5.6.m6.1.1.3.4.cmml" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.3.4"><times id="S5.12.p5.6.m6.1.1.3.4.1.cmml" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.3.4.1"></times><cn id="S5.12.p5.6.m6.1.1.3.4.2.cmml" type="integer" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.3.4.2">2</cn><ci id="S5.12.p5.6.m6.1.1.3.4.3.cmml" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.3.4.3">𝑏</ci></apply></apply><apply id="S5.12.p5.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.1"><minus id="S5.12.p5.6.m6.1.1.1.2.cmml" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.1.2"></minus><cn id="S5.12.p5.6.m6.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.1.3">4</cn><apply id="S5.12.p5.6.m6.1.1.1.4.cmml" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.1.4"><times id="S5.12.p5.6.m6.1.1.1.4.1.cmml" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.1.4.1"></times><cn id="S5.12.p5.6.m6.1.1.1.4.2.cmml" type="integer" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.1.4.2">4</cn><ci id="S5.12.p5.6.m6.1.1.1.4.3.cmml" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.1.4.3">𝜂</ci></apply><apply id="S5.12.p5.6.m6.1.1.1.1.cmml" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.1.1"><times id="S5.12.p5.6.m6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.1.1.2"></times><cn id="S5.12.p5.6.m6.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.1.1.3">2</cn><apply id="S5.12.p5.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.1.1.1.1"><minus id="S5.12.p5.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S5.12.p5.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.2">2</cn><ci id="S5.12.p5.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.3">𝜂</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S5.12.p5.6.m6.1.1c.cmml" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1"><eq id="S5.12.p5.6.m6.1.1.5.cmml" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S5.12.p5.6.m6.1.1.1.cmml" id="S5.12.p5.6.m6.1.1d.cmml" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1"></share><apply id="S5.12.p5.6.m6.1.1.6.cmml" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.6"><minus id="S5.12.p5.6.m6.1.1.6.1.cmml" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.6"></minus><apply id="S5.12.p5.6.m6.1.1.6.2.cmml" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.6.2"><times id="S5.12.p5.6.m6.1.1.6.2.1.cmml" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.6.2.1"></times><cn id="S5.12.p5.6.m6.1.1.6.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.6.2.2">2</cn><ci id="S5.12.p5.6.m6.1.1.6.2.3.cmml" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.6.2.3">𝜂</ci></apply></apply></apply><apply id="S5.12.p5.6.m6.1.1e.cmml" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1"><lt id="S5.12.p5.6.m6.1.1.7.cmml" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.7"></lt><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S5.12.p5.6.m6.1.1.6.cmml" id="S5.12.p5.6.m6.1.1f.cmml" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1"></share><cn id="S5.12.p5.6.m6.1.1.8.cmml" type="integer" xref="S5.12.p5.6.m6.1.1.8">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.12.p5.6.m6.1c">4-4\eta-2b<4-4\eta-2(2-\eta)=-2\eta<0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.12.p5.6.m6.1d">4 - 4 italic_η - 2 italic_b < 4 - 4 italic_η - 2 ( 2 - italic_η ) = - 2 italic_η < 0</annotation></semantics></math> and <math alttext="2-\eta-b<0" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.12.p5.7.m7.1"><semantics id="S5.12.p5.7.m7.1a"><mrow id="S5.12.p5.7.m7.1.1" xref="S5.12.p5.7.m7.1.1.cmml"><mrow id="S5.12.p5.7.m7.1.1.2" xref="S5.12.p5.7.m7.1.1.2.cmml"><mn id="S5.12.p5.7.m7.1.1.2.2" xref="S5.12.p5.7.m7.1.1.2.2.cmml">2</mn><mo id="S5.12.p5.7.m7.1.1.2.1" xref="S5.12.p5.7.m7.1.1.2.1.cmml">−</mo><mi id="S5.12.p5.7.m7.1.1.2.3" xref="S5.12.p5.7.m7.1.1.2.3.cmml">η</mi><mo id="S5.12.p5.7.m7.1.1.2.1a" xref="S5.12.p5.7.m7.1.1.2.1.cmml">−</mo><mi id="S5.12.p5.7.m7.1.1.2.4" xref="S5.12.p5.7.m7.1.1.2.4.cmml">b</mi></mrow><mo id="S5.12.p5.7.m7.1.1.1" xref="S5.12.p5.7.m7.1.1.1.cmml"><</mo><mn id="S5.12.p5.7.m7.1.1.3" xref="S5.12.p5.7.m7.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.12.p5.7.m7.1b"><apply id="S5.12.p5.7.m7.1.1.cmml" xref="S5.12.p5.7.m7.1.1"><lt id="S5.12.p5.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S5.12.p5.7.m7.1.1.1"></lt><apply id="S5.12.p5.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S5.12.p5.7.m7.1.1.2"><minus id="S5.12.p5.7.m7.1.1.2.1.cmml" xref="S5.12.p5.7.m7.1.1.2.1"></minus><cn id="S5.12.p5.7.m7.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.12.p5.7.m7.1.1.2.2">2</cn><ci id="S5.12.p5.7.m7.1.1.2.3.cmml" xref="S5.12.p5.7.m7.1.1.2.3">𝜂</ci><ci id="S5.12.p5.7.m7.1.1.2.4.cmml" xref="S5.12.p5.7.m7.1.1.2.4">𝑏</ci></apply><cn id="S5.12.p5.7.m7.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.12.p5.7.m7.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.12.p5.7.m7.1c">2-\eta-b<0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.12.p5.7.m7.1d">2 - italic_η - italic_b < 0</annotation></semantics></math> that</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A0.EGx66"> <tbody id="A0.Ex70"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle d_{\eta}(b)" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex70.m1.1"><semantics id="A0.Ex70.m1.1a"><mrow id="A0.Ex70.m1.1.2" xref="A0.Ex70.m1.1.2.cmml"><msub id="A0.Ex70.m1.1.2.2" xref="A0.Ex70.m1.1.2.2.cmml"><mi id="A0.Ex70.m1.1.2.2.2" xref="A0.Ex70.m1.1.2.2.2.cmml">d</mi><mi id="A0.Ex70.m1.1.2.2.3" xref="A0.Ex70.m1.1.2.2.3.cmml">η</mi></msub><mo id="A0.Ex70.m1.1.2.1" xref="A0.Ex70.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex70.m1.1.2.3.2" xref="A0.Ex70.m1.1.2.cmml"><mo id="A0.Ex70.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" 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)</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\frac{(2-\eta-b)^{2}-(b^{2}+2(\eta-1)b+\eta^{2})}{2-\eta-b-\sqrt% {b^{2}+2(\eta-1)b+\eta^{2}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex70.m2.3"><semantics id="A0.Ex70.m2.3a"><mrow id="A0.Ex70.m2.3.4" xref="A0.Ex70.m2.3.4.cmml"><mi id="A0.Ex70.m2.3.4.2" xref="A0.Ex70.m2.3.4.2.cmml"></mi><mo id="A0.Ex70.m2.3.4.1" xref="A0.Ex70.m2.3.4.1.cmml">=</mo><mstyle displaystyle="true" id="A0.Ex70.m2.3.3" xref="A0.Ex70.m2.3.3.cmml"><mfrac id="A0.Ex70.m2.3.3a" xref="A0.Ex70.m2.3.3.cmml"><mrow id="A0.Ex70.m2.2.2.2" xref="A0.Ex70.m2.2.2.2.cmml"><msup id="A0.Ex70.m2.1.1.1.1" xref="A0.Ex70.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A0.Ex70.m2.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex70.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex70.m2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex70.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.Ex70.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex70.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A0.Ex70.m2.1.1.1.1.1.1.1.2" 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xref="A0.Ex70.m2.3.3.3.4.cmml">η</mi><mo id="A0.Ex70.m2.3.3.3.2a" xref="A0.Ex70.m2.3.3.3.2.cmml">−</mo><mi id="A0.Ex70.m2.3.3.3.5" xref="A0.Ex70.m2.3.3.3.5.cmml">b</mi><mo id="A0.Ex70.m2.3.3.3.2b" xref="A0.Ex70.m2.3.3.3.2.cmml">−</mo><msqrt id="A0.Ex70.m2.3.3.3.1" xref="A0.Ex70.m2.3.3.3.1.cmml"><mrow id="A0.Ex70.m2.3.3.3.1.1" xref="A0.Ex70.m2.3.3.3.1.1.cmml"><msup id="A0.Ex70.m2.3.3.3.1.1.3" xref="A0.Ex70.m2.3.3.3.1.1.3.cmml"><mi id="A0.Ex70.m2.3.3.3.1.1.3.2" xref="A0.Ex70.m2.3.3.3.1.1.3.2.cmml">b</mi><mn id="A0.Ex70.m2.3.3.3.1.1.3.3" xref="A0.Ex70.m2.3.3.3.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="A0.Ex70.m2.3.3.3.1.1.2" xref="A0.Ex70.m2.3.3.3.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="A0.Ex70.m2.3.3.3.1.1.1" xref="A0.Ex70.m2.3.3.3.1.1.1.cmml"><mn id="A0.Ex70.m2.3.3.3.1.1.1.3" xref="A0.Ex70.m2.3.3.3.1.1.1.3.cmml">2</mn><mo id="A0.Ex70.m2.3.3.3.1.1.1.2" xref="A0.Ex70.m2.3.3.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex70.m2.3.3.3.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex70.m2.3.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo 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xref="A0.Ex71.m1.1.1.1.1.1.2"></plus><apply id="A0.Ex71.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex71.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex71.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A0.Ex71.m1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="A0.Ex71.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A0.Ex71.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝑏</ci><cn id="A0.Ex71.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A0.Ex71.m1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="A0.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="A0.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.2"></times><cn id="A0.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A0.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn><apply id="A0.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A0.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="A0.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜂</ci><cn id="A0.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" 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id="A0.Ex71.m1.2c">\displaystyle=\frac{4-4\eta-2b}{2-\eta-b-\sqrt{b^{2}+2(\eta-1)b+\eta^{2}}}>0\,.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex71.m1.2d">= divide start_ARG 4 - 4 italic_η - 2 italic_b end_ARG start_ARG 2 - italic_η - italic_b - square-root start_ARG italic_b start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + 2 ( italic_η - 1 ) italic_b + italic_η start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG end_ARG > 0 .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.12.p5.17">Hence, <math alttext="\bar{f}_{\eta}^{\prime}(b)\geq 0" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.12.p5.8.m1.1"><semantics id="S5.12.p5.8.m1.1a"><mrow id="S5.12.p5.8.m1.1.2" xref="S5.12.p5.8.m1.1.2.cmml"><mrow id="S5.12.p5.8.m1.1.2.2" xref="S5.12.p5.8.m1.1.2.2.cmml"><msubsup id="S5.12.p5.8.m1.1.2.2.2" xref="S5.12.p5.8.m1.1.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S5.12.p5.8.m1.1.2.2.2.2.2" 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id="S5.12.p5.8.m1.1.2.cmml" xref="S5.12.p5.8.m1.1.2"><geq id="S5.12.p5.8.m1.1.2.1.cmml" xref="S5.12.p5.8.m1.1.2.1"></geq><apply id="S5.12.p5.8.m1.1.2.2.cmml" xref="S5.12.p5.8.m1.1.2.2"><times id="S5.12.p5.8.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.12.p5.8.m1.1.2.2.1"></times><apply id="S5.12.p5.8.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.12.p5.8.m1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.12.p5.8.m1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S5.12.p5.8.m1.1.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S5.12.p5.8.m1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.12.p5.8.m1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.12.p5.8.m1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.12.p5.8.m1.1.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S5.12.p5.8.m1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.12.p5.8.m1.1.2.2.2.2.2"><ci id="S5.12.p5.8.m1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.12.p5.8.m1.1.2.2.2.2.2.1">¯</ci><ci id="S5.12.p5.8.m1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.12.p5.8.m1.1.2.2.2.2.2.2">𝑓</ci></apply><ci id="S5.12.p5.8.m1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.12.p5.8.m1.1.2.2.2.2.3">𝜂</ci></apply><ci id="S5.12.p5.8.m1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S5.12.p5.8.m1.1.2.2.2.3">′</ci></apply><ci id="S5.12.p5.8.m1.1.1.cmml" xref="S5.12.p5.8.m1.1.1">𝑏</ci></apply><cn id="S5.12.p5.8.m1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.12.p5.8.m1.1.2.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.12.p5.8.m1.1c">\bar{f}_{\eta}^{\prime}(b)\geq 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.12.p5.8.m1.1d">over¯ start_ARG italic_f end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_η end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_b ) ≥ 0</annotation></semantics></math>. To summarize, <math alttext="\bar{f}_{\eta}(\cdot)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.12.p5.9.m2.1"><semantics id="S5.12.p5.9.m2.1a"><mrow id="S5.12.p5.9.m2.1.2" xref="S5.12.p5.9.m2.1.2.cmml"><msub id="S5.12.p5.9.m2.1.2.2" xref="S5.12.p5.9.m2.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S5.12.p5.9.m2.1.2.2.2" xref="S5.12.p5.9.m2.1.2.2.2.cmml"><mi id="S5.12.p5.9.m2.1.2.2.2.2" xref="S5.12.p5.9.m2.1.2.2.2.2.cmml">f</mi><mo id="S5.12.p5.9.m2.1.2.2.2.1" xref="S5.12.p5.9.m2.1.2.2.2.1.cmml">¯</mo></mover><mi id="S5.12.p5.9.m2.1.2.2.3" xref="S5.12.p5.9.m2.1.2.2.3.cmml">η</mi></msub><mo id="S5.12.p5.9.m2.1.2.1" xref="S5.12.p5.9.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.12.p5.9.m2.1.2.3.2" xref="S5.12.p5.9.m2.1.2.cmml"><mo id="S5.12.p5.9.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.12.p5.9.m2.1.2.cmml">(</mo><mo id="S5.12.p5.9.m2.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S5.12.p5.9.m2.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="S5.12.p5.9.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.12.p5.9.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.12.p5.9.m2.1b"><apply id="S5.12.p5.9.m2.1.2.cmml" xref="S5.12.p5.9.m2.1.2"><times id="S5.12.p5.9.m2.1.2.1.cmml" xref="S5.12.p5.9.m2.1.2.1"></times><apply id="S5.12.p5.9.m2.1.2.2.cmml" xref="S5.12.p5.9.m2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.12.p5.9.m2.1.2.2.1.cmml" xref="S5.12.p5.9.m2.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="S5.12.p5.9.m2.1.2.2.2.cmml" xref="S5.12.p5.9.m2.1.2.2.2"><ci id="S5.12.p5.9.m2.1.2.2.2.1.cmml" xref="S5.12.p5.9.m2.1.2.2.2.1">¯</ci><ci id="S5.12.p5.9.m2.1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.12.p5.9.m2.1.2.2.2.2">𝑓</ci></apply><ci id="S5.12.p5.9.m2.1.2.2.3.cmml" xref="S5.12.p5.9.m2.1.2.2.3">𝜂</ci></apply><ci id="S5.12.p5.9.m2.1.1.cmml" xref="S5.12.p5.9.m2.1.1">⋅</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.12.p5.9.m2.1c">\bar{f}_{\eta}(\cdot)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.12.p5.9.m2.1d">over¯ start_ARG italic_f end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_η end_POSTSUBSCRIPT ( ⋅ )</annotation></semantics></math> is monotonically non-decreasing on <math alttext="(x_{2},+\infty)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.12.p5.10.m3.2"><semantics id="S5.12.p5.10.m3.2a"><mrow id="S5.12.p5.10.m3.2.2.2" xref="S5.12.p5.10.m3.2.2.3.cmml"><mo id="S5.12.p5.10.m3.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S5.12.p5.10.m3.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S5.12.p5.10.m3.1.1.1.1" xref="S5.12.p5.10.m3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.12.p5.10.m3.1.1.1.1.2" xref="S5.12.p5.10.m3.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S5.12.p5.10.m3.1.1.1.1.3" xref="S5.12.p5.10.m3.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S5.12.p5.10.m3.2.2.2.4" xref="S5.12.p5.10.m3.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S5.12.p5.10.m3.2.2.2.2" xref="S5.12.p5.10.m3.2.2.2.2.cmml"><mo id="S5.12.p5.10.m3.2.2.2.2a" xref="S5.12.p5.10.m3.2.2.2.2.cmml">+</mo><mi id="S5.12.p5.10.m3.2.2.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S5.12.p5.10.m3.2.2.2.2.2.cmml">∞</mi></mrow><mo id="S5.12.p5.10.m3.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S5.12.p5.10.m3.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.12.p5.10.m3.2b"><interval closure="open" id="S5.12.p5.10.m3.2.2.3.cmml" xref="S5.12.p5.10.m3.2.2.2"><apply id="S5.12.p5.10.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S5.12.p5.10.m3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.12.p5.10.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.12.p5.10.m3.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.12.p5.10.m3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.12.p5.10.m3.1.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S5.12.p5.10.m3.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.12.p5.10.m3.1.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="S5.12.p5.10.m3.2.2.2.2.cmml" xref="S5.12.p5.10.m3.2.2.2.2"><plus id="S5.12.p5.10.m3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.12.p5.10.m3.2.2.2.2"></plus><infinity id="S5.12.p5.10.m3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.12.p5.10.m3.2.2.2.2.2"></infinity></apply></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.12.p5.10.m3.2c">(x_{2},+\infty)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.12.p5.10.m3.2d">( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , + ∞ )</annotation></semantics></math>. Thus, <math alttext="\forall b\in(x_{2},+\infty)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.12.p5.11.m4.2"><semantics id="S5.12.p5.11.m4.2a"><mrow id="S5.12.p5.11.m4.2.2" xref="S5.12.p5.11.m4.2.2.cmml"><mrow id="S5.12.p5.11.m4.2.2.4" xref="S5.12.p5.11.m4.2.2.4.cmml"><mo id="S5.12.p5.11.m4.2.2.4.1" rspace="0.167em" xref="S5.12.p5.11.m4.2.2.4.1.cmml">∀</mo><mi id="S5.12.p5.11.m4.2.2.4.2" xref="S5.12.p5.11.m4.2.2.4.2.cmml">b</mi></mrow><mo id="S5.12.p5.11.m4.2.2.3" xref="S5.12.p5.11.m4.2.2.3.cmml">∈</mo><mrow id="S5.12.p5.11.m4.2.2.2.2" xref="S5.12.p5.11.m4.2.2.2.3.cmml"><mo id="S5.12.p5.11.m4.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S5.12.p5.11.m4.2.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S5.12.p5.11.m4.1.1.1.1.1" xref="S5.12.p5.11.m4.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.12.p5.11.m4.1.1.1.1.1.2" xref="S5.12.p5.11.m4.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S5.12.p5.11.m4.1.1.1.1.1.3" xref="S5.12.p5.11.m4.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S5.12.p5.11.m4.2.2.2.2.4" xref="S5.12.p5.11.m4.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S5.12.p5.11.m4.2.2.2.2.2" xref="S5.12.p5.11.m4.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S5.12.p5.11.m4.2.2.2.2.2a" xref="S5.12.p5.11.m4.2.2.2.2.2.cmml">+</mo><mi id="S5.12.p5.11.m4.2.2.2.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S5.12.p5.11.m4.2.2.2.2.2.2.cmml">∞</mi></mrow><mo id="S5.12.p5.11.m4.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S5.12.p5.11.m4.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.12.p5.11.m4.2b"><apply id="S5.12.p5.11.m4.2.2.cmml" xref="S5.12.p5.11.m4.2.2"><in id="S5.12.p5.11.m4.2.2.3.cmml" xref="S5.12.p5.11.m4.2.2.3"></in><apply id="S5.12.p5.11.m4.2.2.4.cmml" xref="S5.12.p5.11.m4.2.2.4"><csymbol cd="latexml" id="S5.12.p5.11.m4.2.2.4.1.cmml" xref="S5.12.p5.11.m4.2.2.4.1">for-all</csymbol><ci id="S5.12.p5.11.m4.2.2.4.2.cmml" xref="S5.12.p5.11.m4.2.2.4.2">𝑏</ci></apply><interval closure="open" id="S5.12.p5.11.m4.2.2.2.3.cmml" xref="S5.12.p5.11.m4.2.2.2.2"><apply id="S5.12.p5.11.m4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.12.p5.11.m4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.12.p5.11.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.12.p5.11.m4.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.12.p5.11.m4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.12.p5.11.m4.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S5.12.p5.11.m4.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.12.p5.11.m4.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="S5.12.p5.11.m4.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.12.p5.11.m4.2.2.2.2.2"><plus id="S5.12.p5.11.m4.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.12.p5.11.m4.2.2.2.2.2"></plus><infinity id="S5.12.p5.11.m4.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.12.p5.11.m4.2.2.2.2.2.2"></infinity></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.12.p5.11.m4.2c">\forall b\in(x_{2},+\infty)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.12.p5.11.m4.2d">∀ italic_b ∈ ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , + ∞ )</annotation></semantics></math>, <math alttext="\bar{f}_{\eta}(b)\leq\lim_{b^{\prime}\to\infty}\bar{f}_{\eta}(b^{\prime})=\lim% _{b^{\prime}\to\infty}d_{\eta}^{2}(b^{\prime})=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.12.p5.12.m5.3"><semantics id="S5.12.p5.12.m5.3a"><mrow id="S5.12.p5.12.m5.3.3" xref="S5.12.p5.12.m5.3.3.cmml"><mrow id="S5.12.p5.12.m5.3.3.4" xref="S5.12.p5.12.m5.3.3.4.cmml"><msub id="S5.12.p5.12.m5.3.3.4.2" xref="S5.12.p5.12.m5.3.3.4.2.cmml"><mover accent="true" id="S5.12.p5.12.m5.3.3.4.2.2" xref="S5.12.p5.12.m5.3.3.4.2.2.cmml"><mi id="S5.12.p5.12.m5.3.3.4.2.2.2" xref="S5.12.p5.12.m5.3.3.4.2.2.2.cmml">f</mi><mo id="S5.12.p5.12.m5.3.3.4.2.2.1" xref="S5.12.p5.12.m5.3.3.4.2.2.1.cmml">¯</mo></mover><mi id="S5.12.p5.12.m5.3.3.4.2.3" xref="S5.12.p5.12.m5.3.3.4.2.3.cmml">η</mi></msub><mo id="S5.12.p5.12.m5.3.3.4.1" xref="S5.12.p5.12.m5.3.3.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.12.p5.12.m5.3.3.4.3.2" xref="S5.12.p5.12.m5.3.3.4.cmml"><mo id="S5.12.p5.12.m5.3.3.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.12.p5.12.m5.3.3.4.cmml">(</mo><mi id="S5.12.p5.12.m5.1.1" xref="S5.12.p5.12.m5.1.1.cmml">b</mi><mo id="S5.12.p5.12.m5.3.3.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.12.p5.12.m5.3.3.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.12.p5.12.m5.3.3.5" rspace="0.1389em" xref="S5.12.p5.12.m5.3.3.5.cmml">≤</mo><mrow id="S5.12.p5.12.m5.2.2.1" xref="S5.12.p5.12.m5.2.2.1.cmml"><msub id="S5.12.p5.12.m5.2.2.1.2" xref="S5.12.p5.12.m5.2.2.1.2.cmml"><mo id="S5.12.p5.12.m5.2.2.1.2.2" lspace="0.1389em" rspace="0.167em" xref="S5.12.p5.12.m5.2.2.1.2.2.cmml">lim</mo><mrow id="S5.12.p5.12.m5.2.2.1.2.3" xref="S5.12.p5.12.m5.2.2.1.2.3.cmml"><msup id="S5.12.p5.12.m5.2.2.1.2.3.2" xref="S5.12.p5.12.m5.2.2.1.2.3.2.cmml"><mi id="S5.12.p5.12.m5.2.2.1.2.3.2.2" xref="S5.12.p5.12.m5.2.2.1.2.3.2.2.cmml">b</mi><mo id="S5.12.p5.12.m5.2.2.1.2.3.2.3" xref="S5.12.p5.12.m5.2.2.1.2.3.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S5.12.p5.12.m5.2.2.1.2.3.1" stretchy="false" xref="S5.12.p5.12.m5.2.2.1.2.3.1.cmml">→</mo><mi id="S5.12.p5.12.m5.2.2.1.2.3.3" mathvariant="normal" xref="S5.12.p5.12.m5.2.2.1.2.3.3.cmml">∞</mi></mrow></msub><mrow id="S5.12.p5.12.m5.2.2.1.1" xref="S5.12.p5.12.m5.2.2.1.1.cmml"><msub id="S5.12.p5.12.m5.2.2.1.1.3" xref="S5.12.p5.12.m5.2.2.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.12.p5.12.m5.2.2.1.1.3.2" xref="S5.12.p5.12.m5.2.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.12.p5.12.m5.2.2.1.1.3.2.2" xref="S5.12.p5.12.m5.2.2.1.1.3.2.2.cmml">f</mi><mo id="S5.12.p5.12.m5.2.2.1.1.3.2.1" xref="S5.12.p5.12.m5.2.2.1.1.3.2.1.cmml">¯</mo></mover><mi id="S5.12.p5.12.m5.2.2.1.1.3.3" xref="S5.12.p5.12.m5.2.2.1.1.3.3.cmml">η</mi></msub><mo id="S5.12.p5.12.m5.2.2.1.1.2" xref="S5.12.p5.12.m5.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.12.p5.12.m5.2.2.1.1.1.1" xref="S5.12.p5.12.m5.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.12.p5.12.m5.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.12.p5.12.m5.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S5.12.p5.12.m5.2.2.1.1.1.1.1" xref="S5.12.p5.12.m5.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.12.p5.12.m5.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S5.12.p5.12.m5.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">b</mi><mo id="S5.12.p5.12.m5.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S5.12.p5.12.m5.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S5.12.p5.12.m5.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.12.p5.12.m5.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.12.p5.12.m5.3.3.6" rspace="0.1389em" xref="S5.12.p5.12.m5.3.3.6.cmml">=</mo><mrow id="S5.12.p5.12.m5.3.3.2" xref="S5.12.p5.12.m5.3.3.2.cmml"><msub id="S5.12.p5.12.m5.3.3.2.2" xref="S5.12.p5.12.m5.3.3.2.2.cmml"><mo id="S5.12.p5.12.m5.3.3.2.2.2" lspace="0.1389em" rspace="0.167em" xref="S5.12.p5.12.m5.3.3.2.2.2.cmml">lim</mo><mrow id="S5.12.p5.12.m5.3.3.2.2.3" xref="S5.12.p5.12.m5.3.3.2.2.3.cmml"><msup id="S5.12.p5.12.m5.3.3.2.2.3.2" xref="S5.12.p5.12.m5.3.3.2.2.3.2.cmml"><mi id="S5.12.p5.12.m5.3.3.2.2.3.2.2" xref="S5.12.p5.12.m5.3.3.2.2.3.2.2.cmml">b</mi><mo id="S5.12.p5.12.m5.3.3.2.2.3.2.3" xref="S5.12.p5.12.m5.3.3.2.2.3.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S5.12.p5.12.m5.3.3.2.2.3.1" stretchy="false" xref="S5.12.p5.12.m5.3.3.2.2.3.1.cmml">→</mo><mi id="S5.12.p5.12.m5.3.3.2.2.3.3" mathvariant="normal" xref="S5.12.p5.12.m5.3.3.2.2.3.3.cmml">∞</mi></mrow></msub><mrow id="S5.12.p5.12.m5.3.3.2.1" xref="S5.12.p5.12.m5.3.3.2.1.cmml"><msubsup id="S5.12.p5.12.m5.3.3.2.1.3" xref="S5.12.p5.12.m5.3.3.2.1.3.cmml"><mi id="S5.12.p5.12.m5.3.3.2.1.3.2.2" xref="S5.12.p5.12.m5.3.3.2.1.3.2.2.cmml">d</mi><mi id="S5.12.p5.12.m5.3.3.2.1.3.2.3" xref="S5.12.p5.12.m5.3.3.2.1.3.2.3.cmml">η</mi><mn id="S5.12.p5.12.m5.3.3.2.1.3.3" xref="S5.12.p5.12.m5.3.3.2.1.3.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S5.12.p5.12.m5.3.3.2.1.2" xref="S5.12.p5.12.m5.3.3.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.12.p5.12.m5.3.3.2.1.1.1" xref="S5.12.p5.12.m5.3.3.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.12.p5.12.m5.3.3.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.12.p5.12.m5.3.3.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S5.12.p5.12.m5.3.3.2.1.1.1.1" xref="S5.12.p5.12.m5.3.3.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.12.p5.12.m5.3.3.2.1.1.1.1.2" xref="S5.12.p5.12.m5.3.3.2.1.1.1.1.2.cmml">b</mi><mo id="S5.12.p5.12.m5.3.3.2.1.1.1.1.3" xref="S5.12.p5.12.m5.3.3.2.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S5.12.p5.12.m5.3.3.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.12.p5.12.m5.3.3.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.12.p5.12.m5.3.3.7" xref="S5.12.p5.12.m5.3.3.7.cmml">=</mo><mn id="S5.12.p5.12.m5.3.3.8" xref="S5.12.p5.12.m5.3.3.8.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.12.p5.12.m5.3b"><apply id="S5.12.p5.12.m5.3.3.cmml" xref="S5.12.p5.12.m5.3.3"><and id="S5.12.p5.12.m5.3.3a.cmml" xref="S5.12.p5.12.m5.3.3"></and><apply id="S5.12.p5.12.m5.3.3b.cmml" xref="S5.12.p5.12.m5.3.3"><leq id="S5.12.p5.12.m5.3.3.5.cmml" xref="S5.12.p5.12.m5.3.3.5"></leq><apply id="S5.12.p5.12.m5.3.3.4.cmml" xref="S5.12.p5.12.m5.3.3.4"><times id="S5.12.p5.12.m5.3.3.4.1.cmml" xref="S5.12.p5.12.m5.3.3.4.1"></times><apply id="S5.12.p5.12.m5.3.3.4.2.cmml" xref="S5.12.p5.12.m5.3.3.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.12.p5.12.m5.3.3.4.2.1.cmml" xref="S5.12.p5.12.m5.3.3.4.2">subscript</csymbol><apply id="S5.12.p5.12.m5.3.3.4.2.2.cmml" xref="S5.12.p5.12.m5.3.3.4.2.2"><ci id="S5.12.p5.12.m5.3.3.4.2.2.1.cmml" xref="S5.12.p5.12.m5.3.3.4.2.2.1">¯</ci><ci id="S5.12.p5.12.m5.3.3.4.2.2.2.cmml" xref="S5.12.p5.12.m5.3.3.4.2.2.2">𝑓</ci></apply><ci id="S5.12.p5.12.m5.3.3.4.2.3.cmml" xref="S5.12.p5.12.m5.3.3.4.2.3">𝜂</ci></apply><ci id="S5.12.p5.12.m5.1.1.cmml" xref="S5.12.p5.12.m5.1.1">𝑏</ci></apply><apply id="S5.12.p5.12.m5.2.2.1.cmml" xref="S5.12.p5.12.m5.2.2.1"><apply id="S5.12.p5.12.m5.2.2.1.2.cmml" xref="S5.12.p5.12.m5.2.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.12.p5.12.m5.2.2.1.2.1.cmml" xref="S5.12.p5.12.m5.2.2.1.2">subscript</csymbol><limit id="S5.12.p5.12.m5.2.2.1.2.2.cmml" xref="S5.12.p5.12.m5.2.2.1.2.2"></limit><apply id="S5.12.p5.12.m5.2.2.1.2.3.cmml" xref="S5.12.p5.12.m5.2.2.1.2.3"><ci id="S5.12.p5.12.m5.2.2.1.2.3.1.cmml" xref="S5.12.p5.12.m5.2.2.1.2.3.1">→</ci><apply id="S5.12.p5.12.m5.2.2.1.2.3.2.cmml" xref="S5.12.p5.12.m5.2.2.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.12.p5.12.m5.2.2.1.2.3.2.1.cmml" xref="S5.12.p5.12.m5.2.2.1.2.3.2">superscript</csymbol><ci 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xref="S5.12.p5.12.m5.3.3"><eq id="S5.12.p5.12.m5.3.3.7.cmml" xref="S5.12.p5.12.m5.3.3.7"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S5.12.p5.12.m5.3.3.2.cmml" id="S5.12.p5.12.m5.3.3f.cmml" xref="S5.12.p5.12.m5.3.3"></share><cn id="S5.12.p5.12.m5.3.3.8.cmml" type="integer" xref="S5.12.p5.12.m5.3.3.8">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.12.p5.12.m5.3c">\bar{f}_{\eta}(b)\leq\lim_{b^{\prime}\to\infty}\bar{f}_{\eta}(b^{\prime})=\lim% _{b^{\prime}\to\infty}d_{\eta}^{2}(b^{\prime})=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.12.p5.12.m5.3d">over¯ start_ARG italic_f end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_η end_POSTSUBSCRIPT ( italic_b ) ≤ roman_lim start_POSTSUBSCRIPT italic_b start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT → ∞ end_POSTSUBSCRIPT over¯ start_ARG italic_f end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_η end_POSTSUBSCRIPT ( italic_b start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) = roman_lim start_POSTSUBSCRIPT italic_b start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT → ∞ end_POSTSUBSCRIPT italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_η end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_b start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) = 1</annotation></semantics></math>. It has been already noted earlier that <math alttext="f_{\eta}(b_{N-1})\geq f_{\eta}(1/2)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.12.p5.13.m6.2"><semantics id="S5.12.p5.13.m6.2a"><mrow id="S5.12.p5.13.m6.2.2" xref="S5.12.p5.13.m6.2.2.cmml"><mrow id="S5.12.p5.13.m6.1.1.1" xref="S5.12.p5.13.m6.1.1.1.cmml"><msub id="S5.12.p5.13.m6.1.1.1.3" xref="S5.12.p5.13.m6.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.12.p5.13.m6.1.1.1.3.2" xref="S5.12.p5.13.m6.1.1.1.3.2.cmml">f</mi><mi id="S5.12.p5.13.m6.1.1.1.3.3" xref="S5.12.p5.13.m6.1.1.1.3.3.cmml">η</mi></msub><mo id="S5.12.p5.13.m6.1.1.1.2" xref="S5.12.p5.13.m6.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.12.p5.13.m6.1.1.1.1.1" xref="S5.12.p5.13.m6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.12.p5.13.m6.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.12.p5.13.m6.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S5.12.p5.13.m6.1.1.1.1.1.1" xref="S5.12.p5.13.m6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.12.p5.13.m6.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.12.p5.13.m6.1.1.1.1.1.1.2.cmml">b</mi><mrow id="S5.12.p5.13.m6.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.12.p5.13.m6.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.12.p5.13.m6.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.12.p5.13.m6.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">N</mi><mo id="S5.12.p5.13.m6.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.12.p5.13.m6.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="S5.12.p5.13.m6.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.12.p5.13.m6.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S5.12.p5.13.m6.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.12.p5.13.m6.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.12.p5.13.m6.2.2.3" xref="S5.12.p5.13.m6.2.2.3.cmml">≥</mo><mrow id="S5.12.p5.13.m6.2.2.2" xref="S5.12.p5.13.m6.2.2.2.cmml"><msub id="S5.12.p5.13.m6.2.2.2.3" xref="S5.12.p5.13.m6.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.12.p5.13.m6.2.2.2.3.2" xref="S5.12.p5.13.m6.2.2.2.3.2.cmml">f</mi><mi id="S5.12.p5.13.m6.2.2.2.3.3" xref="S5.12.p5.13.m6.2.2.2.3.3.cmml">η</mi></msub><mo id="S5.12.p5.13.m6.2.2.2.2" xref="S5.12.p5.13.m6.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.12.p5.13.m6.2.2.2.1.1" xref="S5.12.p5.13.m6.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S5.12.p5.13.m6.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.12.p5.13.m6.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.12.p5.13.m6.2.2.2.1.1.1" xref="S5.12.p5.13.m6.2.2.2.1.1.1.cmml"><mn id="S5.12.p5.13.m6.2.2.2.1.1.1.2" xref="S5.12.p5.13.m6.2.2.2.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S5.12.p5.13.m6.2.2.2.1.1.1.1" xref="S5.12.p5.13.m6.2.2.2.1.1.1.1.cmml">/</mo><mn id="S5.12.p5.13.m6.2.2.2.1.1.1.3" xref="S5.12.p5.13.m6.2.2.2.1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><mo id="S5.12.p5.13.m6.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.12.p5.13.m6.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.12.p5.13.m6.2b"><apply id="S5.12.p5.13.m6.2.2.cmml" xref="S5.12.p5.13.m6.2.2"><geq id="S5.12.p5.13.m6.2.2.3.cmml" xref="S5.12.p5.13.m6.2.2.3"></geq><apply id="S5.12.p5.13.m6.1.1.1.cmml" xref="S5.12.p5.13.m6.1.1.1"><times id="S5.12.p5.13.m6.1.1.1.2.cmml" xref="S5.12.p5.13.m6.1.1.1.2"></times><apply id="S5.12.p5.13.m6.1.1.1.3.cmml" xref="S5.12.p5.13.m6.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.12.p5.13.m6.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.12.p5.13.m6.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.12.p5.13.m6.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.12.p5.13.m6.1.1.1.3.2">𝑓</ci><ci id="S5.12.p5.13.m6.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.12.p5.13.m6.1.1.1.3.3">𝜂</ci></apply><apply id="S5.12.p5.13.m6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.12.p5.13.m6.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.12.p5.13.m6.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.12.p5.13.m6.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.12.p5.13.m6.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.12.p5.13.m6.1.1.1.1.1.1.2">𝑏</ci><apply id="S5.12.p5.13.m6.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.12.p5.13.m6.1.1.1.1.1.1.3"><minus id="S5.12.p5.13.m6.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.12.p5.13.m6.1.1.1.1.1.1.3.1"></minus><ci id="S5.12.p5.13.m6.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.12.p5.13.m6.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑁</ci><cn id="S5.12.p5.13.m6.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.12.p5.13.m6.1.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.12.p5.13.m6.2.2.2.cmml" xref="S5.12.p5.13.m6.2.2.2"><times id="S5.12.p5.13.m6.2.2.2.2.cmml" xref="S5.12.p5.13.m6.2.2.2.2"></times><apply id="S5.12.p5.13.m6.2.2.2.3.cmml" xref="S5.12.p5.13.m6.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.12.p5.13.m6.2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.12.p5.13.m6.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.12.p5.13.m6.2.2.2.3.2.cmml" xref="S5.12.p5.13.m6.2.2.2.3.2">𝑓</ci><ci id="S5.12.p5.13.m6.2.2.2.3.3.cmml" xref="S5.12.p5.13.m6.2.2.2.3.3">𝜂</ci></apply><apply id="S5.12.p5.13.m6.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.12.p5.13.m6.2.2.2.1.1"><divide id="S5.12.p5.13.m6.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.12.p5.13.m6.2.2.2.1.1.1.1"></divide><cn id="S5.12.p5.13.m6.2.2.2.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S5.12.p5.13.m6.2.2.2.1.1.1.2">1</cn><cn id="S5.12.p5.13.m6.2.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.12.p5.13.m6.2.2.2.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.12.p5.13.m6.2c">f_{\eta}(b_{N-1})\geq f_{\eta}(1/2)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.12.p5.13.m6.2d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_η end_POSTSUBSCRIPT ( italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_N - 1 end_POSTSUBSCRIPT ) ≥ italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_η end_POSTSUBSCRIPT ( 1 / 2 )</annotation></semantics></math>. Consequently, <math alttext="\forall b\in(x_{2},1]" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.12.p5.14.m7.2"><semantics id="S5.12.p5.14.m7.2a"><mrow id="S5.12.p5.14.m7.2.2" xref="S5.12.p5.14.m7.2.2.cmml"><mrow id="S5.12.p5.14.m7.2.2.3" xref="S5.12.p5.14.m7.2.2.3.cmml"><mo id="S5.12.p5.14.m7.2.2.3.1" rspace="0.167em" xref="S5.12.p5.14.m7.2.2.3.1.cmml">∀</mo><mi id="S5.12.p5.14.m7.2.2.3.2" xref="S5.12.p5.14.m7.2.2.3.2.cmml">b</mi></mrow><mo id="S5.12.p5.14.m7.2.2.2" xref="S5.12.p5.14.m7.2.2.2.cmml">∈</mo><mrow id="S5.12.p5.14.m7.2.2.1.1" xref="S5.12.p5.14.m7.2.2.1.2.cmml"><mo id="S5.12.p5.14.m7.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.12.p5.14.m7.2.2.1.2.cmml">(</mo><msub id="S5.12.p5.14.m7.2.2.1.1.1" xref="S5.12.p5.14.m7.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S5.12.p5.14.m7.2.2.1.1.1.2" xref="S5.12.p5.14.m7.2.2.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S5.12.p5.14.m7.2.2.1.1.1.3" xref="S5.12.p5.14.m7.2.2.1.1.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S5.12.p5.14.m7.2.2.1.1.3" xref="S5.12.p5.14.m7.2.2.1.2.cmml">,</mo><mn id="S5.12.p5.14.m7.1.1" xref="S5.12.p5.14.m7.1.1.cmml">1</mn><mo id="S5.12.p5.14.m7.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S5.12.p5.14.m7.2.2.1.2.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.12.p5.14.m7.2b"><apply id="S5.12.p5.14.m7.2.2.cmml" xref="S5.12.p5.14.m7.2.2"><in id="S5.12.p5.14.m7.2.2.2.cmml" xref="S5.12.p5.14.m7.2.2.2"></in><apply id="S5.12.p5.14.m7.2.2.3.cmml" xref="S5.12.p5.14.m7.2.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S5.12.p5.14.m7.2.2.3.1.cmml" xref="S5.12.p5.14.m7.2.2.3.1">for-all</csymbol><ci id="S5.12.p5.14.m7.2.2.3.2.cmml" xref="S5.12.p5.14.m7.2.2.3.2">𝑏</ci></apply><interval closure="open-closed" id="S5.12.p5.14.m7.2.2.1.2.cmml" xref="S5.12.p5.14.m7.2.2.1.1"><apply id="S5.12.p5.14.m7.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.12.p5.14.m7.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.12.p5.14.m7.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.12.p5.14.m7.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.12.p5.14.m7.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S5.12.p5.14.m7.2.2.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S5.12.p5.14.m7.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.12.p5.14.m7.2.2.1.1.1.3">2</cn></apply><cn id="S5.12.p5.14.m7.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.12.p5.14.m7.1.1">1</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.12.p5.14.m7.2c">\forall b\in(x_{2},1]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.12.p5.14.m7.2d">∀ italic_b ∈ ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , 1 ]</annotation></semantics></math> and for <math alttext="\eta\leq 1/2" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.12.p5.15.m8.1"><semantics id="S5.12.p5.15.m8.1a"><mrow id="S5.12.p5.15.m8.1.1" xref="S5.12.p5.15.m8.1.1.cmml"><mi id="S5.12.p5.15.m8.1.1.2" xref="S5.12.p5.15.m8.1.1.2.cmml">η</mi><mo id="S5.12.p5.15.m8.1.1.1" xref="S5.12.p5.15.m8.1.1.1.cmml">≤</mo><mrow id="S5.12.p5.15.m8.1.1.3" xref="S5.12.p5.15.m8.1.1.3.cmml"><mn id="S5.12.p5.15.m8.1.1.3.2" xref="S5.12.p5.15.m8.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S5.12.p5.15.m8.1.1.3.1" xref="S5.12.p5.15.m8.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S5.12.p5.15.m8.1.1.3.3" xref="S5.12.p5.15.m8.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.12.p5.15.m8.1b"><apply id="S5.12.p5.15.m8.1.1.cmml" xref="S5.12.p5.15.m8.1.1"><leq id="S5.12.p5.15.m8.1.1.1.cmml" xref="S5.12.p5.15.m8.1.1.1"></leq><ci id="S5.12.p5.15.m8.1.1.2.cmml" xref="S5.12.p5.15.m8.1.1.2">𝜂</ci><apply id="S5.12.p5.15.m8.1.1.3.cmml" xref="S5.12.p5.15.m8.1.1.3"><divide id="S5.12.p5.15.m8.1.1.3.1.cmml" xref="S5.12.p5.15.m8.1.1.3.1"></divide><cn id="S5.12.p5.15.m8.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.12.p5.15.m8.1.1.3.2">1</cn><cn id="S5.12.p5.15.m8.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.12.p5.15.m8.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.12.p5.15.m8.1c">\eta\leq 1/2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.12.p5.15.m8.1d">italic_η ≤ 1 / 2</annotation></semantics></math>, <math alttext="f_{\eta}(b_{N-1})\geq f_{\eta}(1/2)=d_{\eta}^{2}(1/2)\geq(3/2-\eta)^{2}\geq 1% \geq\bar{f}_{\eta}(b)=f_{\eta}(b)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.12.p5.16.m9.6"><semantics id="S5.12.p5.16.m9.6a"><mrow id="S5.12.p5.16.m9.6.6" xref="S5.12.p5.16.m9.6.6.cmml"><mrow id="S5.12.p5.16.m9.3.3.1" xref="S5.12.p5.16.m9.3.3.1.cmml"><msub id="S5.12.p5.16.m9.3.3.1.3" xref="S5.12.p5.16.m9.3.3.1.3.cmml"><mi id="S5.12.p5.16.m9.3.3.1.3.2" xref="S5.12.p5.16.m9.3.3.1.3.2.cmml">f</mi><mi id="S5.12.p5.16.m9.3.3.1.3.3" xref="S5.12.p5.16.m9.3.3.1.3.3.cmml">η</mi></msub><mo id="S5.12.p5.16.m9.3.3.1.2" xref="S5.12.p5.16.m9.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.12.p5.16.m9.3.3.1.1.1" xref="S5.12.p5.16.m9.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.12.p5.16.m9.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.12.p5.16.m9.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S5.12.p5.16.m9.3.3.1.1.1.1" xref="S5.12.p5.16.m9.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.12.p5.16.m9.3.3.1.1.1.1.2" xref="S5.12.p5.16.m9.3.3.1.1.1.1.2.cmml">b</mi><mrow id="S5.12.p5.16.m9.3.3.1.1.1.1.3" xref="S5.12.p5.16.m9.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.12.p5.16.m9.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S5.12.p5.16.m9.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">N</mi><mo id="S5.12.p5.16.m9.3.3.1.1.1.1.3.1" xref="S5.12.p5.16.m9.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="S5.12.p5.16.m9.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="S5.12.p5.16.m9.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S5.12.p5.16.m9.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.12.p5.16.m9.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.12.p5.16.m9.6.6.6" xref="S5.12.p5.16.m9.6.6.6.cmml">≥</mo><mrow id="S5.12.p5.16.m9.4.4.2" xref="S5.12.p5.16.m9.4.4.2.cmml"><msub id="S5.12.p5.16.m9.4.4.2.3" xref="S5.12.p5.16.m9.4.4.2.3.cmml"><mi id="S5.12.p5.16.m9.4.4.2.3.2" xref="S5.12.p5.16.m9.4.4.2.3.2.cmml">f</mi><mi id="S5.12.p5.16.m9.4.4.2.3.3" xref="S5.12.p5.16.m9.4.4.2.3.3.cmml">η</mi></msub><mo id="S5.12.p5.16.m9.4.4.2.2" xref="S5.12.p5.16.m9.4.4.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.12.p5.16.m9.4.4.2.1.1" xref="S5.12.p5.16.m9.4.4.2.1.1.1.cmml"><mo id="S5.12.p5.16.m9.4.4.2.1.1.2" stretchy="false" 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xref="S5.12.p5.16.m9.5.5.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.12.p5.16.m9.5.5.3.1.1" xref="S5.12.p5.16.m9.5.5.3.1.1.1.cmml"><mo id="S5.12.p5.16.m9.5.5.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.12.p5.16.m9.5.5.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.12.p5.16.m9.5.5.3.1.1.1" xref="S5.12.p5.16.m9.5.5.3.1.1.1.cmml"><mn id="S5.12.p5.16.m9.5.5.3.1.1.1.2" xref="S5.12.p5.16.m9.5.5.3.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S5.12.p5.16.m9.5.5.3.1.1.1.1" xref="S5.12.p5.16.m9.5.5.3.1.1.1.1.cmml">/</mo><mn id="S5.12.p5.16.m9.5.5.3.1.1.1.3" xref="S5.12.p5.16.m9.5.5.3.1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><mo id="S5.12.p5.16.m9.5.5.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.12.p5.16.m9.5.5.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.12.p5.16.m9.6.6.8" xref="S5.12.p5.16.m9.6.6.8.cmml">≥</mo><msup id="S5.12.p5.16.m9.6.6.4" xref="S5.12.p5.16.m9.6.6.4.cmml"><mrow id="S5.12.p5.16.m9.6.6.4.1.1" xref="S5.12.p5.16.m9.6.6.4.1.1.1.cmml"><mo id="S5.12.p5.16.m9.6.6.4.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.12.p5.16.m9.6.6.4.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.12.p5.16.m9.6.6.4.1.1.1" xref="S5.12.p5.16.m9.6.6.4.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.12.p5.16.m9.6.6.4.1.1.1.2" xref="S5.12.p5.16.m9.6.6.4.1.1.1.2.cmml"><mn id="S5.12.p5.16.m9.6.6.4.1.1.1.2.2" xref="S5.12.p5.16.m9.6.6.4.1.1.1.2.2.cmml">3</mn><mo id="S5.12.p5.16.m9.6.6.4.1.1.1.2.1" xref="S5.12.p5.16.m9.6.6.4.1.1.1.2.1.cmml">/</mo><mn id="S5.12.p5.16.m9.6.6.4.1.1.1.2.3" xref="S5.12.p5.16.m9.6.6.4.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></mrow><mo id="S5.12.p5.16.m9.6.6.4.1.1.1.1" xref="S5.12.p5.16.m9.6.6.4.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S5.12.p5.16.m9.6.6.4.1.1.1.3" xref="S5.12.p5.16.m9.6.6.4.1.1.1.3.cmml">η</mi></mrow><mo id="S5.12.p5.16.m9.6.6.4.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.12.p5.16.m9.6.6.4.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S5.12.p5.16.m9.6.6.4.3" xref="S5.12.p5.16.m9.6.6.4.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.12.p5.16.m9.6.6.9" xref="S5.12.p5.16.m9.6.6.9.cmml">≥</mo><mn id="S5.12.p5.16.m9.6.6.10" xref="S5.12.p5.16.m9.6.6.10.cmml">1</mn><mo id="S5.12.p5.16.m9.6.6.11" 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xref="S5.12.p5.16.m9.5.5.3.3.2.2">𝑑</ci><ci id="S5.12.p5.16.m9.5.5.3.3.2.3.cmml" xref="S5.12.p5.16.m9.5.5.3.3.2.3">𝜂</ci></apply><cn id="S5.12.p5.16.m9.5.5.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.12.p5.16.m9.5.5.3.3.3">2</cn></apply><apply id="S5.12.p5.16.m9.5.5.3.1.1.1.cmml" xref="S5.12.p5.16.m9.5.5.3.1.1"><divide id="S5.12.p5.16.m9.5.5.3.1.1.1.1.cmml" xref="S5.12.p5.16.m9.5.5.3.1.1.1.1"></divide><cn id="S5.12.p5.16.m9.5.5.3.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S5.12.p5.16.m9.5.5.3.1.1.1.2">1</cn><cn id="S5.12.p5.16.m9.5.5.3.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.12.p5.16.m9.5.5.3.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.12.p5.16.m9.6.6e.cmml" xref="S5.12.p5.16.m9.6.6"><geq id="S5.12.p5.16.m9.6.6.8.cmml" xref="S5.12.p5.16.m9.6.6.8"></geq><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S5.12.p5.16.m9.5.5.3.cmml" id="S5.12.p5.16.m9.6.6f.cmml" xref="S5.12.p5.16.m9.6.6"></share><apply id="S5.12.p5.16.m9.6.6.4.cmml" xref="S5.12.p5.16.m9.6.6.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.12.p5.16.m9.6.6.4.2.cmml" xref="S5.12.p5.16.m9.6.6.4">superscript</csymbol><apply id="S5.12.p5.16.m9.6.6.4.1.1.1.cmml" xref="S5.12.p5.16.m9.6.6.4.1.1"><minus id="S5.12.p5.16.m9.6.6.4.1.1.1.1.cmml" xref="S5.12.p5.16.m9.6.6.4.1.1.1.1"></minus><apply id="S5.12.p5.16.m9.6.6.4.1.1.1.2.cmml" xref="S5.12.p5.16.m9.6.6.4.1.1.1.2"><divide id="S5.12.p5.16.m9.6.6.4.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.12.p5.16.m9.6.6.4.1.1.1.2.1"></divide><cn id="S5.12.p5.16.m9.6.6.4.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.12.p5.16.m9.6.6.4.1.1.1.2.2">3</cn><cn id="S5.12.p5.16.m9.6.6.4.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.12.p5.16.m9.6.6.4.1.1.1.2.3">2</cn></apply><ci id="S5.12.p5.16.m9.6.6.4.1.1.1.3.cmml" xref="S5.12.p5.16.m9.6.6.4.1.1.1.3">𝜂</ci></apply><cn id="S5.12.p5.16.m9.6.6.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.12.p5.16.m9.6.6.4.3">2</cn></apply></apply><apply id="S5.12.p5.16.m9.6.6g.cmml" xref="S5.12.p5.16.m9.6.6"><geq id="S5.12.p5.16.m9.6.6.9.cmml" xref="S5.12.p5.16.m9.6.6.9"></geq><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S5.12.p5.16.m9.6.6.4.cmml" id="S5.12.p5.16.m9.6.6h.cmml" xref="S5.12.p5.16.m9.6.6"></share><cn id="S5.12.p5.16.m9.6.6.10.cmml" type="integer" xref="S5.12.p5.16.m9.6.6.10">1</cn></apply><apply id="S5.12.p5.16.m9.6.6i.cmml" xref="S5.12.p5.16.m9.6.6"><geq id="S5.12.p5.16.m9.6.6.11.cmml" xref="S5.12.p5.16.m9.6.6.11"></geq><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S5.12.p5.16.m9.6.6.10.cmml" id="S5.12.p5.16.m9.6.6j.cmml" xref="S5.12.p5.16.m9.6.6"></share><apply id="S5.12.p5.16.m9.6.6.12.cmml" xref="S5.12.p5.16.m9.6.6.12"><times id="S5.12.p5.16.m9.6.6.12.1.cmml" xref="S5.12.p5.16.m9.6.6.12.1"></times><apply id="S5.12.p5.16.m9.6.6.12.2.cmml" xref="S5.12.p5.16.m9.6.6.12.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.12.p5.16.m9.6.6.12.2.1.cmml" xref="S5.12.p5.16.m9.6.6.12.2">subscript</csymbol><apply id="S5.12.p5.16.m9.6.6.12.2.2.cmml" xref="S5.12.p5.16.m9.6.6.12.2.2"><ci id="S5.12.p5.16.m9.6.6.12.2.2.1.cmml" xref="S5.12.p5.16.m9.6.6.12.2.2.1">¯</ci><ci id="S5.12.p5.16.m9.6.6.12.2.2.2.cmml" xref="S5.12.p5.16.m9.6.6.12.2.2.2">𝑓</ci></apply><ci id="S5.12.p5.16.m9.6.6.12.2.3.cmml" xref="S5.12.p5.16.m9.6.6.12.2.3">𝜂</ci></apply><ci id="S5.12.p5.16.m9.1.1.cmml" xref="S5.12.p5.16.m9.1.1">𝑏</ci></apply></apply><apply id="S5.12.p5.16.m9.6.6k.cmml" xref="S5.12.p5.16.m9.6.6"><eq id="S5.12.p5.16.m9.6.6.13.cmml" xref="S5.12.p5.16.m9.6.6.13"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S5.12.p5.16.m9.6.6.12.cmml" id="S5.12.p5.16.m9.6.6l.cmml" xref="S5.12.p5.16.m9.6.6"></share><apply id="S5.12.p5.16.m9.6.6.14.cmml" xref="S5.12.p5.16.m9.6.6.14"><times id="S5.12.p5.16.m9.6.6.14.1.cmml" xref="S5.12.p5.16.m9.6.6.14.1"></times><apply id="S5.12.p5.16.m9.6.6.14.2.cmml" xref="S5.12.p5.16.m9.6.6.14.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.12.p5.16.m9.6.6.14.2.1.cmml" xref="S5.12.p5.16.m9.6.6.14.2">subscript</csymbol><ci id="S5.12.p5.16.m9.6.6.14.2.2.cmml" xref="S5.12.p5.16.m9.6.6.14.2.2">𝑓</ci><ci id="S5.12.p5.16.m9.6.6.14.2.3.cmml" xref="S5.12.p5.16.m9.6.6.14.2.3">𝜂</ci></apply><ci id="S5.12.p5.16.m9.2.2.cmml" xref="S5.12.p5.16.m9.2.2">𝑏</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.12.p5.16.m9.6c">f_{\eta}(b_{N-1})\geq f_{\eta}(1/2)=d_{\eta}^{2}(1/2)\geq(3/2-\eta)^{2}\geq 1% \geq\bar{f}_{\eta}(b)=f_{\eta}(b)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.12.p5.16.m9.6d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_η end_POSTSUBSCRIPT ( italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_N - 1 end_POSTSUBSCRIPT ) ≥ italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_η end_POSTSUBSCRIPT ( 1 / 2 ) = italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_η end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( 1 / 2 ) ≥ ( 3 / 2 - italic_η ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ≥ 1 ≥ over¯ start_ARG italic_f end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_η end_POSTSUBSCRIPT ( italic_b ) = italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_η end_POSTSUBSCRIPT ( italic_b )</annotation></semantics></math>. This establishes <math alttext="f_{\eta}(b_{N-1})\geq\max\{f_{\eta}(b_{n}){\mathbin{}\mid\mathbin{}}b_{n}\in(x% _{2},1],n\in\mathcal{N}\setminus\{N\}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.12.p5.17.m10.6"><semantics id="S5.12.p5.17.m10.6a"><mrow id="S5.12.p5.17.m10.6.6" xref="S5.12.p5.17.m10.6.6.cmml"><mrow id="S5.12.p5.17.m10.4.4.1" xref="S5.12.p5.17.m10.4.4.1.cmml"><msub id="S5.12.p5.17.m10.4.4.1.3" xref="S5.12.p5.17.m10.4.4.1.3.cmml"><mi id="S5.12.p5.17.m10.4.4.1.3.2" xref="S5.12.p5.17.m10.4.4.1.3.2.cmml">f</mi><mi id="S5.12.p5.17.m10.4.4.1.3.3" xref="S5.12.p5.17.m10.4.4.1.3.3.cmml">η</mi></msub><mo id="S5.12.p5.17.m10.4.4.1.2" xref="S5.12.p5.17.m10.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.12.p5.17.m10.4.4.1.1.1" xref="S5.12.p5.17.m10.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.12.p5.17.m10.4.4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.12.p5.17.m10.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S5.12.p5.17.m10.4.4.1.1.1.1" xref="S5.12.p5.17.m10.4.4.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.12.p5.17.m10.4.4.1.1.1.1.2" xref="S5.12.p5.17.m10.4.4.1.1.1.1.2.cmml">b</mi><mrow id="S5.12.p5.17.m10.4.4.1.1.1.1.3" xref="S5.12.p5.17.m10.4.4.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.12.p5.17.m10.4.4.1.1.1.1.3.2" xref="S5.12.p5.17.m10.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml">N</mi><mo id="S5.12.p5.17.m10.4.4.1.1.1.1.3.1" xref="S5.12.p5.17.m10.4.4.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="S5.12.p5.17.m10.4.4.1.1.1.1.3.3" xref="S5.12.p5.17.m10.4.4.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S5.12.p5.17.m10.4.4.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.12.p5.17.m10.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.12.p5.17.m10.6.6.4" xref="S5.12.p5.17.m10.6.6.4.cmml">≥</mo><mrow id="S5.12.p5.17.m10.6.6.3.2" xref="S5.12.p5.17.m10.6.6.3.3.cmml"><mi id="S5.12.p5.17.m10.3.3" xref="S5.12.p5.17.m10.3.3.cmml">max</mi><mo id="S5.12.p5.17.m10.6.6.3.2a" xref="S5.12.p5.17.m10.6.6.3.3.cmml">⁡</mo><mrow id="S5.12.p5.17.m10.6.6.3.2.2" xref="S5.12.p5.17.m10.6.6.3.3.cmml"><mo id="S5.12.p5.17.m10.6.6.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S5.12.p5.17.m10.6.6.3.3.cmml">{</mo><mrow id="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1" xref="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.1" xref="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.1.1" xref="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.1.1.3" xref="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">f</mi><mi id="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml">η</mi></msub><mo id="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.1.1.2" xref="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">b</mi><mi id="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.1.2" xref="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.1.2.cmml">∣</mo><msub id="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.1.3" xref="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.1.3.2" xref="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.1.3.2.cmml">b</mi><mi id="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.1.3.3" xref="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.1.3.3.cmml">n</mi></msub></mrow><mo id="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.3" xref="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.3.cmml">∈</mo><mrow id="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.2.1" xref="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.2.2.cmml"><mo id="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.2.1.2" stretchy="false" xref="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.2.2.cmml">(</mo><msub id="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.2.1.1" xref="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.2.1.1.2" xref="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.2.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.2.1.1.3" xref="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.2.1.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.2.1.3" xref="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.2.2.cmml">,</mo><mn id="S5.12.p5.17.m10.1.1" xref="S5.12.p5.17.m10.1.1.cmml">1</mn><mo id="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.2.1.4" stretchy="false" xref="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.2.2.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S5.12.p5.17.m10.6.6.3.2.2.4" xref="S5.12.p5.17.m10.6.6.3.3.cmml">,</mo><mrow id="S5.12.p5.17.m10.6.6.3.2.2.2" xref="S5.12.p5.17.m10.6.6.3.2.2.2.cmml"><mi id="S5.12.p5.17.m10.6.6.3.2.2.2.2" xref="S5.12.p5.17.m10.6.6.3.2.2.2.2.cmml">n</mi><mo id="S5.12.p5.17.m10.6.6.3.2.2.2.1" xref="S5.12.p5.17.m10.6.6.3.2.2.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S5.12.p5.17.m10.6.6.3.2.2.2.3" xref="S5.12.p5.17.m10.6.6.3.2.2.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.12.p5.17.m10.6.6.3.2.2.2.3.2" xref="S5.12.p5.17.m10.6.6.3.2.2.2.3.2.cmml">𝒩</mi><mo id="S5.12.p5.17.m10.6.6.3.2.2.2.3.1" xref="S5.12.p5.17.m10.6.6.3.2.2.2.3.1.cmml">∖</mo><mrow id="S5.12.p5.17.m10.6.6.3.2.2.2.3.3.2" xref="S5.12.p5.17.m10.6.6.3.2.2.2.3.3.1.cmml"><mo id="S5.12.p5.17.m10.6.6.3.2.2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.12.p5.17.m10.6.6.3.2.2.2.3.3.1.cmml">{</mo><mi id="S5.12.p5.17.m10.2.2" xref="S5.12.p5.17.m10.2.2.cmml">N</mi><mo id="S5.12.p5.17.m10.6.6.3.2.2.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.12.p5.17.m10.6.6.3.2.2.2.3.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.12.p5.17.m10.6.6.3.2.2.5" stretchy="false" xref="S5.12.p5.17.m10.6.6.3.3.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.12.p5.17.m10.6b"><apply id="S5.12.p5.17.m10.6.6.cmml" xref="S5.12.p5.17.m10.6.6"><geq id="S5.12.p5.17.m10.6.6.4.cmml" xref="S5.12.p5.17.m10.6.6.4"></geq><apply id="S5.12.p5.17.m10.4.4.1.cmml" xref="S5.12.p5.17.m10.4.4.1"><times id="S5.12.p5.17.m10.4.4.1.2.cmml" xref="S5.12.p5.17.m10.4.4.1.2"></times><apply id="S5.12.p5.17.m10.4.4.1.3.cmml" xref="S5.12.p5.17.m10.4.4.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.12.p5.17.m10.4.4.1.3.1.cmml" xref="S5.12.p5.17.m10.4.4.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.12.p5.17.m10.4.4.1.3.2.cmml" xref="S5.12.p5.17.m10.4.4.1.3.2">𝑓</ci><ci id="S5.12.p5.17.m10.4.4.1.3.3.cmml" xref="S5.12.p5.17.m10.4.4.1.3.3">𝜂</ci></apply><apply id="S5.12.p5.17.m10.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S5.12.p5.17.m10.4.4.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.12.p5.17.m10.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.12.p5.17.m10.4.4.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.12.p5.17.m10.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.12.p5.17.m10.4.4.1.1.1.1.2">𝑏</ci><apply id="S5.12.p5.17.m10.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.12.p5.17.m10.4.4.1.1.1.1.3"><minus id="S5.12.p5.17.m10.4.4.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.12.p5.17.m10.4.4.1.1.1.1.3.1"></minus><ci id="S5.12.p5.17.m10.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.12.p5.17.m10.4.4.1.1.1.1.3.2">𝑁</ci><cn id="S5.12.p5.17.m10.4.4.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.12.p5.17.m10.4.4.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.12.p5.17.m10.6.6.3.3.cmml" xref="S5.12.p5.17.m10.6.6.3.2"><max id="S5.12.p5.17.m10.3.3.cmml" xref="S5.12.p5.17.m10.3.3"></max><apply id="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.cmml" xref="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1"><in id="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.3.cmml" xref="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.3"></in><apply id="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.1.2">conditional</csymbol><apply id="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.1.1"><times id="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.1.1.3.2">𝑓</ci><ci id="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.1.1.3.3">𝜂</ci></apply><apply id="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑏</ci><ci id="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply><apply id="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.1.3.2">𝑏</ci><ci id="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply><interval closure="open-closed" id="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.2.1"><apply id="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.2.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.12.p5.17.m10.5.5.2.1.1.1.2.1.1.3">2</cn></apply><cn id="S5.12.p5.17.m10.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.12.p5.17.m10.1.1">1</cn></interval></apply><apply id="S5.12.p5.17.m10.6.6.3.2.2.2.cmml" xref="S5.12.p5.17.m10.6.6.3.2.2.2"><in id="S5.12.p5.17.m10.6.6.3.2.2.2.1.cmml" xref="S5.12.p5.17.m10.6.6.3.2.2.2.1"></in><ci id="S5.12.p5.17.m10.6.6.3.2.2.2.2.cmml" xref="S5.12.p5.17.m10.6.6.3.2.2.2.2">𝑛</ci><apply id="S5.12.p5.17.m10.6.6.3.2.2.2.3.cmml" xref="S5.12.p5.17.m10.6.6.3.2.2.2.3"><setdiff id="S5.12.p5.17.m10.6.6.3.2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.12.p5.17.m10.6.6.3.2.2.2.3.1"></setdiff><ci id="S5.12.p5.17.m10.6.6.3.2.2.2.3.2.cmml" xref="S5.12.p5.17.m10.6.6.3.2.2.2.3.2">𝒩</ci><set id="S5.12.p5.17.m10.6.6.3.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="S5.12.p5.17.m10.6.6.3.2.2.2.3.3.2"><ci id="S5.12.p5.17.m10.2.2.cmml" xref="S5.12.p5.17.m10.2.2">𝑁</ci></set></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.12.p5.17.m10.6c">f_{\eta}(b_{N-1})\geq\max\{f_{\eta}(b_{n}){\mathbin{}\mid\mathbin{}}b_{n}\in(x% _{2},1],n\in\mathcal{N}\setminus\{N\}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.12.p5.17.m10.6d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_η end_POSTSUBSCRIPT ( italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_N - 1 end_POSTSUBSCRIPT ) ≥ roman_max { italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_η end_POSTSUBSCRIPT ( italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ) ∣ italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ∈ ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , 1 ] , italic_n ∈ caligraphic_N ∖ { italic_N } }</annotation></semantics></math> whenever the latter set is nonempty. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmthm9"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmthm9.1.1.1">Lemma 9</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmthm9.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmthm9.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmthm9.p1.2">For <math alttext="b\in(0,1/2)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmthm9.p1.1.m1.2"><semantics id="Thmthm9.p1.1.m1.2a"><mrow id="Thmthm9.p1.1.m1.2.2" xref="Thmthm9.p1.1.m1.2.2.cmml"><mi id="Thmthm9.p1.1.m1.2.2.3" xref="Thmthm9.p1.1.m1.2.2.3.cmml">b</mi><mo id="Thmthm9.p1.1.m1.2.2.2" xref="Thmthm9.p1.1.m1.2.2.2.cmml">∈</mo><mrow id="Thmthm9.p1.1.m1.2.2.1.1" xref="Thmthm9.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml"><mo id="Thmthm9.p1.1.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmthm9.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml">(</mo><mn id="Thmthm9.p1.1.m1.1.1" xref="Thmthm9.p1.1.m1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Thmthm9.p1.1.m1.2.2.1.1.3" xref="Thmthm9.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml">,</mo><mrow id="Thmthm9.p1.1.m1.2.2.1.1.1" xref="Thmthm9.p1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mn id="Thmthm9.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2" xref="Thmthm9.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="Thmthm9.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1" xref="Thmthm9.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">/</mo><mn id="Thmthm9.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="Thmthm9.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><mo id="Thmthm9.p1.1.m1.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="Thmthm9.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmthm9.p1.1.m1.2b"><apply id="Thmthm9.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="Thmthm9.p1.1.m1.2.2"><in id="Thmthm9.p1.1.m1.2.2.2.cmml" xref="Thmthm9.p1.1.m1.2.2.2"></in><ci id="Thmthm9.p1.1.m1.2.2.3.cmml" xref="Thmthm9.p1.1.m1.2.2.3">𝑏</ci><interval closure="open" id="Thmthm9.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml" xref="Thmthm9.p1.1.m1.2.2.1.1"><cn id="Thmthm9.p1.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="Thmthm9.p1.1.m1.1.1">0</cn><apply id="Thmthm9.p1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="Thmthm9.p1.1.m1.2.2.1.1.1"><divide id="Thmthm9.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="Thmthm9.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1"></divide><cn id="Thmthm9.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="Thmthm9.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2">1</cn><cn id="Thmthm9.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmthm9.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3">2</cn></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmthm9.p1.1.m1.2c">b\in(0,1/2)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmthm9.p1.1.m1.2d">italic_b ∈ ( 0 , 1 / 2 )</annotation></semantics></math>, define <math alttext="h_{b}\colon(0,1)\to\mathbb{R}\colon\eta\mapsto h_{b}(\eta)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmthm9.p1.2.m2.3"><semantics id="Thmthm9.p1.2.m2.3a"><mrow id="Thmthm9.p1.2.m2.3.4" xref="Thmthm9.p1.2.m2.3.4.cmml"><msub id="Thmthm9.p1.2.m2.3.4.2" xref="Thmthm9.p1.2.m2.3.4.2.cmml"><mi id="Thmthm9.p1.2.m2.3.4.2.2" xref="Thmthm9.p1.2.m2.3.4.2.2.cmml">h</mi><mi id="Thmthm9.p1.2.m2.3.4.2.3" xref="Thmthm9.p1.2.m2.3.4.2.3.cmml">b</mi></msub><mo id="Thmthm9.p1.2.m2.3.4.3" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="Thmthm9.p1.2.m2.3.4.3.cmml">:</mo><mrow id="Thmthm9.p1.2.m2.3.4.4" xref="Thmthm9.p1.2.m2.3.4.4.cmml"><mrow id="Thmthm9.p1.2.m2.3.4.4.2.2" xref="Thmthm9.p1.2.m2.3.4.4.2.1.cmml"><mo id="Thmthm9.p1.2.m2.3.4.4.2.2.1" stretchy="false" xref="Thmthm9.p1.2.m2.3.4.4.2.1.cmml">(</mo><mn id="Thmthm9.p1.2.m2.1.1" xref="Thmthm9.p1.2.m2.1.1.cmml">0</mn><mo id="Thmthm9.p1.2.m2.3.4.4.2.2.2" xref="Thmthm9.p1.2.m2.3.4.4.2.1.cmml">,</mo><mn id="Thmthm9.p1.2.m2.2.2" xref="Thmthm9.p1.2.m2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Thmthm9.p1.2.m2.3.4.4.2.2.3" 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id="Thmthm9.p1.2.m2.3.4.6.3.3.2" xref="Thmthm9.p1.2.m2.3.4.6.3.cmml"><mo id="Thmthm9.p1.2.m2.3.4.6.3.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmthm9.p1.2.m2.3.4.6.3.cmml">(</mo><mi id="Thmthm9.p1.2.m2.3.3" xref="Thmthm9.p1.2.m2.3.3.cmml">η</mi><mo id="Thmthm9.p1.2.m2.3.4.6.3.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmthm9.p1.2.m2.3.4.6.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmthm9.p1.2.m2.3b"><apply id="Thmthm9.p1.2.m2.3.4.cmml" xref="Thmthm9.p1.2.m2.3.4"><and id="Thmthm9.p1.2.m2.3.4a.cmml" xref="Thmthm9.p1.2.m2.3.4"></and><apply id="Thmthm9.p1.2.m2.3.4b.cmml" xref="Thmthm9.p1.2.m2.3.4"><ci id="Thmthm9.p1.2.m2.3.4.3.cmml" xref="Thmthm9.p1.2.m2.3.4.3">:</ci><apply id="Thmthm9.p1.2.m2.3.4.2.cmml" xref="Thmthm9.p1.2.m2.3.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmthm9.p1.2.m2.3.4.2.1.cmml" xref="Thmthm9.p1.2.m2.3.4.2">subscript</csymbol><ci id="Thmthm9.p1.2.m2.3.4.2.2.cmml" xref="Thmthm9.p1.2.m2.3.4.2.2">ℎ</ci><ci id="Thmthm9.p1.2.m2.3.4.2.3.cmml" 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italic_b end_POSTSUBSCRIPT : ( 0 , 1 ) → blackboard_R : italic_η ↦ italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT ( italic_η )</annotation></semantics></math> as</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A0.EGx67"> <tbody id="A0.Ex72"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle h_{b}(\eta)\coloneqq\frac{\left\lvert 2-\eta-b+\sqrt{\eta^{2}+2(% \eta-1)b+b^{2}}\right\rvert^{2}}{4}\,." class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex72.m1.4"><semantics id="A0.Ex72.m1.4a"><mrow id="A0.Ex72.m1.4.4.1" xref="A0.Ex72.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="A0.Ex72.m1.4.4.1.1" xref="A0.Ex72.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="A0.Ex72.m1.4.4.1.1.2" xref="A0.Ex72.m1.4.4.1.1.2.cmml"><msub id="A0.Ex72.m1.4.4.1.1.2.2" xref="A0.Ex72.m1.4.4.1.1.2.2.cmml"><mi id="A0.Ex72.m1.4.4.1.1.2.2.2" xref="A0.Ex72.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml">h</mi><mi 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xref="A0.Ex72.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml"><mn id="A0.Ex72.m1.2.2.2.2.1.1.2.2" xref="A0.Ex72.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml">2</mn><mo id="A0.Ex72.m1.2.2.2.2.1.1.2.1" xref="A0.Ex72.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml">−</mo><mi id="A0.Ex72.m1.2.2.2.2.1.1.2.3" xref="A0.Ex72.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.cmml">η</mi><mo id="A0.Ex72.m1.2.2.2.2.1.1.2.1a" xref="A0.Ex72.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml">−</mo><mi id="A0.Ex72.m1.2.2.2.2.1.1.2.4" xref="A0.Ex72.m1.2.2.2.2.1.1.2.4.cmml">b</mi></mrow><mo id="A0.Ex72.m1.2.2.2.2.1.1.1" xref="A0.Ex72.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">+</mo><msqrt id="A0.Ex72.m1.1.1.1.1" xref="A0.Ex72.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A0.Ex72.m1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex72.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="A0.Ex72.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex72.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A0.Ex72.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A0.Ex72.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">η</mi><mn id="A0.Ex72.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A0.Ex72.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="A0.Ex72.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex72.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="A0.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1" 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.</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmthm9.p1.3">Then, <math alttext="-b+\sqrt{2b}=\arg\min_{\eta\in(0,1)}h_{b}(\eta)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmthm9.p1.3.m1.3"><semantics id="Thmthm9.p1.3.m1.3a"><mrow id="Thmthm9.p1.3.m1.3.4" xref="Thmthm9.p1.3.m1.3.4.cmml"><mrow id="Thmthm9.p1.3.m1.3.4.2" xref="Thmthm9.p1.3.m1.3.4.2.cmml"><mrow id="Thmthm9.p1.3.m1.3.4.2.2" xref="Thmthm9.p1.3.m1.3.4.2.2.cmml"><mo id="Thmthm9.p1.3.m1.3.4.2.2a" xref="Thmthm9.p1.3.m1.3.4.2.2.cmml">−</mo><mi id="Thmthm9.p1.3.m1.3.4.2.2.2" xref="Thmthm9.p1.3.m1.3.4.2.2.2.cmml">b</mi></mrow><mo id="Thmthm9.p1.3.m1.3.4.2.1" xref="Thmthm9.p1.3.m1.3.4.2.1.cmml">+</mo><msqrt id="Thmthm9.p1.3.m1.3.4.2.3" xref="Thmthm9.p1.3.m1.3.4.2.3.cmml"><mrow id="Thmthm9.p1.3.m1.3.4.2.3.2" xref="Thmthm9.p1.3.m1.3.4.2.3.2.cmml"><mn id="Thmthm9.p1.3.m1.3.4.2.3.2.2" xref="Thmthm9.p1.3.m1.3.4.2.3.2.2.cmml">2</mn><mo id="Thmthm9.p1.3.m1.3.4.2.3.2.1" xref="Thmthm9.p1.3.m1.3.4.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmthm9.p1.3.m1.3.4.2.3.2.3" xref="Thmthm9.p1.3.m1.3.4.2.3.2.3.cmml">b</mi></mrow></msqrt></mrow><mo id="Thmthm9.p1.3.m1.3.4.1" xref="Thmthm9.p1.3.m1.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="Thmthm9.p1.3.m1.3.4.3" xref="Thmthm9.p1.3.m1.3.4.3.cmml"><mrow id="Thmthm9.p1.3.m1.3.4.3.2" xref="Thmthm9.p1.3.m1.3.4.3.2.cmml"><mi id="Thmthm9.p1.3.m1.3.4.3.2.1" xref="Thmthm9.p1.3.m1.3.4.3.2.1.cmml">arg</mi><mo id="Thmthm9.p1.3.m1.3.4.3.2a" lspace="0.167em" xref="Thmthm9.p1.3.m1.3.4.3.2.cmml">⁡</mo><mrow id="Thmthm9.p1.3.m1.3.4.3.2.2" xref="Thmthm9.p1.3.m1.3.4.3.2.2.cmml"><msub id="Thmthm9.p1.3.m1.3.4.3.2.2.1" xref="Thmthm9.p1.3.m1.3.4.3.2.2.1.cmml"><mi id="Thmthm9.p1.3.m1.3.4.3.2.2.1.2" xref="Thmthm9.p1.3.m1.3.4.3.2.2.1.2.cmml">min</mi><mrow id="Thmthm9.p1.3.m1.2.2.2" xref="Thmthm9.p1.3.m1.2.2.2.cmml"><mi id="Thmthm9.p1.3.m1.2.2.2.4" xref="Thmthm9.p1.3.m1.2.2.2.4.cmml">η</mi><mo id="Thmthm9.p1.3.m1.2.2.2.3" xref="Thmthm9.p1.3.m1.2.2.2.3.cmml">∈</mo><mrow id="Thmthm9.p1.3.m1.2.2.2.5.2" xref="Thmthm9.p1.3.m1.2.2.2.5.1.cmml"><mo id="Thmthm9.p1.3.m1.2.2.2.5.2.1" stretchy="false" xref="Thmthm9.p1.3.m1.2.2.2.5.1.cmml">(</mo><mn id="Thmthm9.p1.3.m1.1.1.1.1" xref="Thmthm9.p1.3.m1.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Thmthm9.p1.3.m1.2.2.2.5.2.2" xref="Thmthm9.p1.3.m1.2.2.2.5.1.cmml">,</mo><mn id="Thmthm9.p1.3.m1.2.2.2.2" xref="Thmthm9.p1.3.m1.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Thmthm9.p1.3.m1.2.2.2.5.2.3" stretchy="false" xref="Thmthm9.p1.3.m1.2.2.2.5.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub><mo id="Thmthm9.p1.3.m1.3.4.3.2.2a" lspace="0.167em" xref="Thmthm9.p1.3.m1.3.4.3.2.2.cmml">⁡</mo><msub id="Thmthm9.p1.3.m1.3.4.3.2.2.2" xref="Thmthm9.p1.3.m1.3.4.3.2.2.2.cmml"><mi id="Thmthm9.p1.3.m1.3.4.3.2.2.2.2" xref="Thmthm9.p1.3.m1.3.4.3.2.2.2.2.cmml">h</mi><mi id="Thmthm9.p1.3.m1.3.4.3.2.2.2.3" xref="Thmthm9.p1.3.m1.3.4.3.2.2.2.3.cmml">b</mi></msub></mrow></mrow><mo id="Thmthm9.p1.3.m1.3.4.3.1" 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id="Thmthm9.p1.3.m1.3.4.3.2.2.2.3.cmml" xref="Thmthm9.p1.3.m1.3.4.3.2.2.2.3">𝑏</ci></apply></apply></apply><ci id="Thmthm9.p1.3.m1.3.3.cmml" xref="Thmthm9.p1.3.m1.3.3">𝜂</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmthm9.p1.3.m1.3c">-b+\sqrt{2b}=\arg\min_{\eta\in(0,1)}h_{b}(\eta)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmthm9.p1.3.m1.3d">- italic_b + square-root start_ARG 2 italic_b end_ARG = roman_arg roman_min start_POSTSUBSCRIPT italic_η ∈ ( 0 , 1 ) end_POSTSUBSCRIPT italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT ( italic_η )</annotation></semantics></math>.</p> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S5.14"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_bold ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof:</h6> <div class="ltx_para" id="S5.13.p1"> <p class="ltx_p" id="S5.13.p1.2">Notice that <math alttext="\eta\in(0,-b+(2b)^{1/2}\,]\Rightarrow\eta^{2}+2(\eta-1)b+b^{2}\leq 0% \Rightarrow h_{b}(\eta)=(1/4)(\,(2-\eta-b)^{2}-(\eta^{2}+2b\eta+b^{2}-2b)\,)=(% 1/2)(-2\eta+2-b)\Rightarrow h_{b}^{\prime}(\eta)=-1<0" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.13.p1.1.m1.9"><semantics id="S5.13.p1.1.m1.9a"><mrow id="S5.13.p1.1.m1.9.9" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9.cmml"><mi id="S5.13.p1.1.m1.9.9.8" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9.8.cmml">η</mi><mo id="S5.13.p1.1.m1.9.9.9" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9.9.cmml">∈</mo><mrow id="S5.13.p1.1.m1.4.4.1.1" xref="S5.13.p1.1.m1.4.4.1.2.cmml"><mo id="S5.13.p1.1.m1.4.4.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.13.p1.1.m1.4.4.1.2.cmml">(</mo><mn id="S5.13.p1.1.m1.1.1" xref="S5.13.p1.1.m1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S5.13.p1.1.m1.4.4.1.1.3" xref="S5.13.p1.1.m1.4.4.1.2.cmml">,</mo><mrow id="S5.13.p1.1.m1.4.4.1.1.1" xref="S5.13.p1.1.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.13.p1.1.m1.4.4.1.1.1.3" xref="S5.13.p1.1.m1.4.4.1.1.1.3.cmml"><mo id="S5.13.p1.1.m1.4.4.1.1.1.3a" xref="S5.13.p1.1.m1.4.4.1.1.1.3.cmml">−</mo><mi id="S5.13.p1.1.m1.4.4.1.1.1.3.2" 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id="S5.13.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.3.2" xref="S5.13.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S5.13.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.3.1" xref="S5.13.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S5.13.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.3.3" xref="S5.13.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup></mrow><mo id="S5.13.p1.1.m1.4.4.1.1.4" stretchy="false" xref="S5.13.p1.1.m1.4.4.1.2.cmml">]</mo></mrow><mo id="S5.13.p1.1.m1.9.9.10" stretchy="false" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9.10.cmml">⇒</mo><mrow id="S5.13.p1.1.m1.5.5.2" xref="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.cmml"><msup id="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.3" xref="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.3.cmml"><mi id="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.3.2" xref="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.3.2.cmml">η</mi><mn id="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.3.3" xref="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.2" xref="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.2.cmml">+</mo><mrow id="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.1" xref="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.1.cmml"><mn id="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.1.3" xref="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.1.3.cmml">2</mn><mo id="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.1.2" xref="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.1.1.1" xref="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.1.1.1.1" xref="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.1.1.1.1.2" xref="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.cmml">η</mi><mo id="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.1.1.1.1.1" xref="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.1.1.1.1.3" xref="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.1.2a" xref="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.1.4" xref="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.1.4.cmml">b</mi></mrow><mo id="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.2a" xref="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.2.cmml">+</mo><msup id="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.4" xref="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.4.cmml"><mi id="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.4.2" xref="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.4.2.cmml">b</mi><mn id="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.4.3" xref="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.13.p1.1.m1.9.9.11" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9.11.cmml">≤</mo><mn id="S5.13.p1.1.m1.9.9.12" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9.12.cmml">0</mn><mo id="S5.13.p1.1.m1.9.9.13" stretchy="false" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9.13.cmml">⇒</mo><mrow id="S5.13.p1.1.m1.9.9.14" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9.14.cmml"><msub id="S5.13.p1.1.m1.9.9.14.2" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9.14.2.cmml"><mi id="S5.13.p1.1.m1.9.9.14.2.2" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9.14.2.2.cmml">h</mi><mi id="S5.13.p1.1.m1.9.9.14.2.3" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9.14.2.3.cmml">b</mi></msub><mo id="S5.13.p1.1.m1.9.9.14.1" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9.14.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.13.p1.1.m1.9.9.14.3.2" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9.14.cmml"><mo id="S5.13.p1.1.m1.9.9.14.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9.14.cmml">(</mo><mi id="S5.13.p1.1.m1.2.2" xref="S5.13.p1.1.m1.2.2.cmml">η</mi><mo id="S5.13.p1.1.m1.9.9.14.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9.14.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.13.p1.1.m1.9.9.15" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9.15.cmml">=</mo><mrow id="S5.13.p1.1.m1.7.7.4" xref="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.cmml"><mrow id="S5.13.p1.1.m1.6.6.3.1.1" xref="S5.13.p1.1.m1.6.6.3.1.1.1.cmml"><mo id="S5.13.p1.1.m1.6.6.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.13.p1.1.m1.6.6.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.13.p1.1.m1.6.6.3.1.1.1" xref="S5.13.p1.1.m1.6.6.3.1.1.1.cmml"><mn id="S5.13.p1.1.m1.6.6.3.1.1.1.2" xref="S5.13.p1.1.m1.6.6.3.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S5.13.p1.1.m1.6.6.3.1.1.1.1" xref="S5.13.p1.1.m1.6.6.3.1.1.1.1.cmml">/</mo><mn id="S5.13.p1.1.m1.6.6.3.1.1.1.3" xref="S5.13.p1.1.m1.6.6.3.1.1.1.3.cmml">4</mn></mrow><mo id="S5.13.p1.1.m1.6.6.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.13.p1.1.m1.6.6.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.3" xref="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1" xref="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.cmml"><mo id="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.2" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1" xref="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.cmml"><msup id="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.1" xref="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.1.1.1" xref="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.1.1.1.1" xref="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">η</mi><mo id="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.1.1.1.1.4" xref="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.1.1.1.1.4.cmml">b</mi></mrow><mo id="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.1.3" xref="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.3" xref="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.2.1" xref="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.2.1.1.cmml"><mo id="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.2.1.2" stretchy="false" xref="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.2.1.1" xref="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.2.1.1.cmml"><mrow id="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.2.1.1.2" xref="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.2.1.1.2.cmml"><msup id="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.2.1.1.2.2" xref="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.2.1.1.2.2.2" xref="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.2.1.1.2.2.2.cmml">η</mi><mn id="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.2.1.1.2.2.3" xref="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.2.1.1.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.2.1.1.2.1" xref="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.2.1.1.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.2.1.1.2.3" xref="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.2.1.1.2.3.cmml"><mn id="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.2.1.1.2.3.2" xref="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.2.1.1.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.2.1.1.2.3.1" xref="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.2.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.2.1.1.2.3.3" xref="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.2.1.1.2.3.3.cmml">b</mi><mo id="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.2.1.1.2.3.1a" xref="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.2.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.2.1.1.2.3.4" xref="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.2.1.1.2.3.4.cmml">η</mi></mrow><mo id="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.2.1.1.2.1a" xref="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.2.1.1.2.1.cmml">+</mo><msup id="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.2.1.1.2.4" xref="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.2.1.1.2.4.cmml"><mi id="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.2.1.1.2.4.2" xref="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.2.1.1.2.4.2.cmml">b</mi><mn id="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.2.1.1.2.4.3" xref="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.2.1.1.2.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.2.1.1.1" xref="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.2.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.2.1.1.3" xref="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.2.1.1.3.cmml"><mn id="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.2.1.1.3.2" xref="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.2.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.2.1.1.3.1" xref="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.2.1.1.3.3" xref="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.2.1.1.3.3.cmml">b</mi></mrow></mrow><mo id="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.2.1.3" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.3" stretchy="false" xref="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.13.p1.1.m1.9.9.16" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9.16.cmml">=</mo><mrow id="S5.13.p1.1.m1.9.9.6" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9.6.cmml"><mrow id="S5.13.p1.1.m1.8.8.5.1.1" xref="S5.13.p1.1.m1.8.8.5.1.1.1.cmml"><mo id="S5.13.p1.1.m1.8.8.5.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.13.p1.1.m1.8.8.5.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.13.p1.1.m1.8.8.5.1.1.1" xref="S5.13.p1.1.m1.8.8.5.1.1.1.cmml"><mn id="S5.13.p1.1.m1.8.8.5.1.1.1.2" xref="S5.13.p1.1.m1.8.8.5.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S5.13.p1.1.m1.8.8.5.1.1.1.1" xref="S5.13.p1.1.m1.8.8.5.1.1.1.1.cmml">/</mo><mn id="S5.13.p1.1.m1.8.8.5.1.1.1.3" xref="S5.13.p1.1.m1.8.8.5.1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><mo id="S5.13.p1.1.m1.8.8.5.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.13.p1.1.m1.8.8.5.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.13.p1.1.m1.9.9.6.3" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9.6.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.13.p1.1.m1.9.9.6.2.1" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9.6.2.1.1.cmml"><mo id="S5.13.p1.1.m1.9.9.6.2.1.2" stretchy="false" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9.6.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.13.p1.1.m1.9.9.6.2.1.1" 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xref="S5.13.p1.1.m1.9.9.6.2.1.1.3.cmml">b</mi></mrow><mo id="S5.13.p1.1.m1.9.9.6.2.1.3" stretchy="false" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9.6.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.13.p1.1.m1.9.9.17" stretchy="false" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9.17.cmml">⇒</mo><mrow id="S5.13.p1.1.m1.9.9.18" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9.18.cmml"><msubsup id="S5.13.p1.1.m1.9.9.18.2" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9.18.2.cmml"><mi id="S5.13.p1.1.m1.9.9.18.2.2.2" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9.18.2.2.2.cmml">h</mi><mi id="S5.13.p1.1.m1.9.9.18.2.2.3" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9.18.2.2.3.cmml">b</mi><mo id="S5.13.p1.1.m1.9.9.18.2.3" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9.18.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S5.13.p1.1.m1.9.9.18.1" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9.18.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.13.p1.1.m1.9.9.18.3.2" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9.18.cmml"><mo id="S5.13.p1.1.m1.9.9.18.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9.18.cmml">(</mo><mi id="S5.13.p1.1.m1.3.3" xref="S5.13.p1.1.m1.3.3.cmml">η</mi><mo id="S5.13.p1.1.m1.9.9.18.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9.18.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.13.p1.1.m1.9.9.19" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9.19.cmml">=</mo><mrow id="S5.13.p1.1.m1.9.9.20" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9.20.cmml"><mo id="S5.13.p1.1.m1.9.9.20a" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9.20.cmml">−</mo><mn id="S5.13.p1.1.m1.9.9.20.2" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9.20.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="S5.13.p1.1.m1.9.9.21" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9.21.cmml"><</mo><mn id="S5.13.p1.1.m1.9.9.22" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9.22.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.13.p1.1.m1.9b"><apply id="S5.13.p1.1.m1.9.9.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9"><and id="S5.13.p1.1.m1.9.9a.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9"></and><apply id="S5.13.p1.1.m1.9.9b.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9"><in id="S5.13.p1.1.m1.9.9.9.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9.9"></in><ci id="S5.13.p1.1.m1.9.9.8.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9.8">𝜂</ci><interval closure="open-closed" id="S5.13.p1.1.m1.4.4.1.2.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.4.4.1.1"><cn id="S5.13.p1.1.m1.1.1.cmml" 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xref="S5.13.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑏</ci></apply><apply id="S5.13.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.3"><divide id="S5.13.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.3.1"></divide><cn id="S5.13.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.13.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.3.2">1</cn><cn id="S5.13.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.13.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply></interval></apply><apply id="S5.13.p1.1.m1.9.9c.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9"><ci id="S5.13.p1.1.m1.9.9.10.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9.10">⇒</ci><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S5.13.p1.1.m1.4.4.1.cmml" id="S5.13.p1.1.m1.9.9d.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9"></share><apply id="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.5.5.2"><plus id="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.2.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.2"></plus><apply id="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.3.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.3.1.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.3">superscript</csymbol><ci id="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.3.2.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.3.2">𝜂</ci><cn id="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.3.3">2</cn></apply><apply id="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.1.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.1"><times id="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.1.2.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.1.2"></times><cn id="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.1.3">2</cn><apply id="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.1.1.1"><minus id="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.1.1.1.1.2">𝜂</ci><cn id="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.1.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.1.4.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.1.4">𝑏</ci></apply><apply id="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.4.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.4.1.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.4">superscript</csymbol><ci id="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.4.2.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.4.2">𝑏</ci><cn id="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.13.p1.1.m1.5.5.2.4.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.13.p1.1.m1.9.9e.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9"><leq id="S5.13.p1.1.m1.9.9.11.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9.11"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S5.13.p1.1.m1.5.5.2.cmml" id="S5.13.p1.1.m1.9.9f.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9"></share><cn id="S5.13.p1.1.m1.9.9.12.cmml" type="integer" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9.12">0</cn></apply><apply id="S5.13.p1.1.m1.9.9g.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9"><ci id="S5.13.p1.1.m1.9.9.13.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9.13">⇒</ci><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S5.13.p1.1.m1.9.9.12.cmml" id="S5.13.p1.1.m1.9.9h.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9"></share><apply id="S5.13.p1.1.m1.9.9.14.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9.14"><times id="S5.13.p1.1.m1.9.9.14.1.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9.14.1"></times><apply id="S5.13.p1.1.m1.9.9.14.2.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9.14.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.13.p1.1.m1.9.9.14.2.1.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9.14.2">subscript</csymbol><ci id="S5.13.p1.1.m1.9.9.14.2.2.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9.14.2.2">ℎ</ci><ci id="S5.13.p1.1.m1.9.9.14.2.3.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9.14.2.3">𝑏</ci></apply><ci id="S5.13.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.2.2">𝜂</ci></apply></apply><apply id="S5.13.p1.1.m1.9.9i.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9"><eq id="S5.13.p1.1.m1.9.9.15.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9.15"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S5.13.p1.1.m1.9.9.14.cmml" id="S5.13.p1.1.m1.9.9j.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9"></share><apply id="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.7.7.4"><times id="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.3.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.3"></times><apply id="S5.13.p1.1.m1.6.6.3.1.1.1.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.6.6.3.1.1"><divide id="S5.13.p1.1.m1.6.6.3.1.1.1.1.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.6.6.3.1.1.1.1"></divide><cn id="S5.13.p1.1.m1.6.6.3.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S5.13.p1.1.m1.6.6.3.1.1.1.2">1</cn><cn id="S5.13.p1.1.m1.6.6.3.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.13.p1.1.m1.6.6.3.1.1.1.3">4</cn></apply><apply id="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1"><minus id="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.3.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.3"></minus><apply id="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.1.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.1.2.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.1.1.1"><minus id="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.1.1.1.1.2">2</cn><ci id="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.1.1.1.1.3">𝜂</ci><ci id="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.1.1.1.1.4">𝑏</ci></apply><cn id="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.2.1.1.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.2.1"><minus id="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.2.1.1.1"></minus><apply id="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.2.1.1.2"><plus id="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.2.1.1.2.1"></plus><apply id="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.2.1.1.2.2.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.2.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.2.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S5.13.p1.1.m1.7.7.4.2.1.1.2.1.1.2.2.2.cmml" 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xref="S5.13.p1.1.m1.9.9.6.2.1.1.2.2.2"><times id="S5.13.p1.1.m1.9.9.6.2.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9.6.2.1.1.2.2.2.1"></times><cn id="S5.13.p1.1.m1.9.9.6.2.1.1.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9.6.2.1.1.2.2.2.2">2</cn><ci id="S5.13.p1.1.m1.9.9.6.2.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9.6.2.1.1.2.2.2.3">𝜂</ci></apply></apply><cn id="S5.13.p1.1.m1.9.9.6.2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9.6.2.1.1.2.3">2</cn></apply><ci id="S5.13.p1.1.m1.9.9.6.2.1.1.3.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9.6.2.1.1.3">𝑏</ci></apply></apply></apply><apply id="S5.13.p1.1.m1.9.9m.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9"><ci id="S5.13.p1.1.m1.9.9.17.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9.17">⇒</ci><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S5.13.p1.1.m1.9.9.6.cmml" id="S5.13.p1.1.m1.9.9n.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9"></share><apply id="S5.13.p1.1.m1.9.9.18.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9.18"><times id="S5.13.p1.1.m1.9.9.18.1.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9.18.1"></times><apply id="S5.13.p1.1.m1.9.9.18.2.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9.18.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.13.p1.1.m1.9.9.18.2.1.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9.18.2">superscript</csymbol><apply id="S5.13.p1.1.m1.9.9.18.2.2.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9.18.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.13.p1.1.m1.9.9.18.2.2.1.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9.18.2">subscript</csymbol><ci id="S5.13.p1.1.m1.9.9.18.2.2.2.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9.18.2.2.2">ℎ</ci><ci id="S5.13.p1.1.m1.9.9.18.2.2.3.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9.18.2.2.3">𝑏</ci></apply><ci id="S5.13.p1.1.m1.9.9.18.2.3.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9.18.2.3">′</ci></apply><ci id="S5.13.p1.1.m1.3.3.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.3.3">𝜂</ci></apply></apply><apply id="S5.13.p1.1.m1.9.9o.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9"><eq id="S5.13.p1.1.m1.9.9.19.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9.19"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S5.13.p1.1.m1.9.9.18.cmml" id="S5.13.p1.1.m1.9.9p.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9"></share><apply id="S5.13.p1.1.m1.9.9.20.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9.20"><minus id="S5.13.p1.1.m1.9.9.20.1.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9.20"></minus><cn id="S5.13.p1.1.m1.9.9.20.2.cmml" type="integer" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9.20.2">1</cn></apply></apply><apply id="S5.13.p1.1.m1.9.9q.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9"><lt id="S5.13.p1.1.m1.9.9.21.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9.21"></lt><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S5.13.p1.1.m1.9.9.20.cmml" id="S5.13.p1.1.m1.9.9r.cmml" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9"></share><cn id="S5.13.p1.1.m1.9.9.22.cmml" type="integer" xref="S5.13.p1.1.m1.9.9.22">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.13.p1.1.m1.9c">\eta\in(0,-b+(2b)^{1/2}\,]\Rightarrow\eta^{2}+2(\eta-1)b+b^{2}\leq 0% \Rightarrow h_{b}(\eta)=(1/4)(\,(2-\eta-b)^{2}-(\eta^{2}+2b\eta+b^{2}-2b)\,)=(% 1/2)(-2\eta+2-b)\Rightarrow h_{b}^{\prime}(\eta)=-1<0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.13.p1.1.m1.9d">italic_η ∈ ( 0 , - italic_b + ( 2 italic_b ) start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT ] ⇒ italic_η start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + 2 ( italic_η - 1 ) italic_b + italic_b start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ≤ 0 ⇒ italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT ( italic_η ) = ( 1 / 4 ) ( ( 2 - italic_η - italic_b ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT - ( italic_η start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + 2 italic_b italic_η + italic_b start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT - 2 italic_b ) ) = ( 1 / 2 ) ( - 2 italic_η + 2 - italic_b ) ⇒ italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_η ) = - 1 < 0</annotation></semantics></math>, <math alttext="\forall\eta\in(0,-b+(2b)^{1/2}\,]" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.13.p1.2.m2.2"><semantics id="S5.13.p1.2.m2.2a"><mrow id="S5.13.p1.2.m2.2.2" xref="S5.13.p1.2.m2.2.2.cmml"><mrow id="S5.13.p1.2.m2.2.2.3" xref="S5.13.p1.2.m2.2.2.3.cmml"><mo id="S5.13.p1.2.m2.2.2.3.1" rspace="0.167em" xref="S5.13.p1.2.m2.2.2.3.1.cmml">∀</mo><mi id="S5.13.p1.2.m2.2.2.3.2" xref="S5.13.p1.2.m2.2.2.3.2.cmml">η</mi></mrow><mo id="S5.13.p1.2.m2.2.2.2" xref="S5.13.p1.2.m2.2.2.2.cmml">∈</mo><mrow id="S5.13.p1.2.m2.2.2.1.1" xref="S5.13.p1.2.m2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S5.13.p1.2.m2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.13.p1.2.m2.2.2.1.2.cmml">(</mo><mn id="S5.13.p1.2.m2.1.1" xref="S5.13.p1.2.m2.1.1.cmml">0</mn><mo id="S5.13.p1.2.m2.2.2.1.1.3" xref="S5.13.p1.2.m2.2.2.1.2.cmml">,</mo><mrow id="S5.13.p1.2.m2.2.2.1.1.1" xref="S5.13.p1.2.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.13.p1.2.m2.2.2.1.1.1.3" xref="S5.13.p1.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mo id="S5.13.p1.2.m2.2.2.1.1.1.3a" xref="S5.13.p1.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml">−</mo><mi id="S5.13.p1.2.m2.2.2.1.1.1.3.2" xref="S5.13.p1.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">b</mi></mrow><mo id="S5.13.p1.2.m2.2.2.1.1.1.2" xref="S5.13.p1.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml">+</mo><msup id="S5.13.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1" xref="S5.13.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.13.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S5.13.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.13.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.13.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.13.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.13.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S5.13.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.13.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S5.13.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.13.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.13.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.13.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">b</mi></mrow><mo id="S5.13.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.13.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S5.13.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S5.13.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S5.13.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S5.13.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S5.13.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.1" xref="S5.13.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S5.13.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S5.13.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup></mrow><mo id="S5.13.p1.2.m2.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S5.13.p1.2.m2.2.2.1.2.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.13.p1.2.m2.2b"><apply id="S5.13.p1.2.m2.2.2.cmml" xref="S5.13.p1.2.m2.2.2"><in id="S5.13.p1.2.m2.2.2.2.cmml" xref="S5.13.p1.2.m2.2.2.2"></in><apply id="S5.13.p1.2.m2.2.2.3.cmml" xref="S5.13.p1.2.m2.2.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S5.13.p1.2.m2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.13.p1.2.m2.2.2.3.1">for-all</csymbol><ci id="S5.13.p1.2.m2.2.2.3.2.cmml" xref="S5.13.p1.2.m2.2.2.3.2">𝜂</ci></apply><interval closure="open-closed" id="S5.13.p1.2.m2.2.2.1.2.cmml" xref="S5.13.p1.2.m2.2.2.1.1"><cn id="S5.13.p1.2.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.13.p1.2.m2.1.1">0</cn><apply id="S5.13.p1.2.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.13.p1.2.m2.2.2.1.1.1"><plus id="S5.13.p1.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S5.13.p1.2.m2.2.2.1.1.1.2"></plus><apply id="S5.13.p1.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S5.13.p1.2.m2.2.2.1.1.1.3"><minus id="S5.13.p1.2.m2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.13.p1.2.m2.2.2.1.1.1.3"></minus><ci id="S5.13.p1.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.13.p1.2.m2.2.2.1.1.1.3.2">𝑏</ci></apply><apply id="S5.13.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.13.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.13.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.13.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.13.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.13.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1"><times id="S5.13.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.13.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><cn id="S5.13.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S5.13.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2">2</cn><ci id="S5.13.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.13.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑏</ci></apply><apply id="S5.13.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.13.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3"><divide id="S5.13.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.13.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.1"></divide><cn id="S5.13.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.13.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.2">1</cn><cn id="S5.13.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.13.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.13.p1.2.m2.2c">\forall\eta\in(0,-b+(2b)^{1/2}\,]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.13.p1.2.m2.2d">∀ italic_η ∈ ( 0 , - italic_b + ( 2 italic_b ) start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT ]</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S5.14.p2"> <p class="ltx_p" id="S5.14.p2.1">Next, <math alttext="\eta\in(-b+(2b)^{1/2},1)\Rightarrow\eta^{2}+2b\eta+b^{2}-2b>0" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.14.p2.1.m1.2"><semantics id="S5.14.p2.1.m1.2a"><mrow id="S5.14.p2.1.m1.2.2" xref="S5.14.p2.1.m1.2.2.cmml"><mi id="S5.14.p2.1.m1.2.2.3" xref="S5.14.p2.1.m1.2.2.3.cmml">η</mi><mo id="S5.14.p2.1.m1.2.2.4" xref="S5.14.p2.1.m1.2.2.4.cmml">∈</mo><mrow id="S5.14.p2.1.m1.2.2.1.1" xref="S5.14.p2.1.m1.2.2.1.2.cmml"><mo id="S5.14.p2.1.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.14.p2.1.m1.2.2.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S5.14.p2.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S5.14.p2.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.14.p2.1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S5.14.p2.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mo id="S5.14.p2.1.m1.2.2.1.1.1.3a" xref="S5.14.p2.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">−</mo><mi id="S5.14.p2.1.m1.2.2.1.1.1.3.2" xref="S5.14.p2.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml">b</mi></mrow><mo id="S5.14.p2.1.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S5.14.p2.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">+</mo><msup id="S5.14.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S5.14.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.14.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S5.14.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.14.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.14.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.14.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.14.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S5.14.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" 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stretchy="false" xref="S5.14.p2.1.m1.2.2.5.cmml">⇒</mo><mrow id="S5.14.p2.1.m1.2.2.6" xref="S5.14.p2.1.m1.2.2.6.cmml"><mrow id="S5.14.p2.1.m1.2.2.6.2" xref="S5.14.p2.1.m1.2.2.6.2.cmml"><msup id="S5.14.p2.1.m1.2.2.6.2.2" xref="S5.14.p2.1.m1.2.2.6.2.2.cmml"><mi id="S5.14.p2.1.m1.2.2.6.2.2.2" xref="S5.14.p2.1.m1.2.2.6.2.2.2.cmml">η</mi><mn id="S5.14.p2.1.m1.2.2.6.2.2.3" xref="S5.14.p2.1.m1.2.2.6.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.14.p2.1.m1.2.2.6.2.1" xref="S5.14.p2.1.m1.2.2.6.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.14.p2.1.m1.2.2.6.2.3" xref="S5.14.p2.1.m1.2.2.6.2.3.cmml"><mn id="S5.14.p2.1.m1.2.2.6.2.3.2" xref="S5.14.p2.1.m1.2.2.6.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S5.14.p2.1.m1.2.2.6.2.3.1" xref="S5.14.p2.1.m1.2.2.6.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.14.p2.1.m1.2.2.6.2.3.3" xref="S5.14.p2.1.m1.2.2.6.2.3.3.cmml">b</mi><mo id="S5.14.p2.1.m1.2.2.6.2.3.1a" xref="S5.14.p2.1.m1.2.2.6.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.14.p2.1.m1.2.2.6.2.3.4" xref="S5.14.p2.1.m1.2.2.6.2.3.4.cmml">η</mi></mrow><mo id="S5.14.p2.1.m1.2.2.6.2.1a" xref="S5.14.p2.1.m1.2.2.6.2.1.cmml">+</mo><msup id="S5.14.p2.1.m1.2.2.6.2.4" xref="S5.14.p2.1.m1.2.2.6.2.4.cmml"><mi id="S5.14.p2.1.m1.2.2.6.2.4.2" xref="S5.14.p2.1.m1.2.2.6.2.4.2.cmml">b</mi><mn id="S5.14.p2.1.m1.2.2.6.2.4.3" xref="S5.14.p2.1.m1.2.2.6.2.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.14.p2.1.m1.2.2.6.1" xref="S5.14.p2.1.m1.2.2.6.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.14.p2.1.m1.2.2.6.3" xref="S5.14.p2.1.m1.2.2.6.3.cmml"><mn id="S5.14.p2.1.m1.2.2.6.3.2" xref="S5.14.p2.1.m1.2.2.6.3.2.cmml">2</mn><mo id="S5.14.p2.1.m1.2.2.6.3.1" xref="S5.14.p2.1.m1.2.2.6.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.14.p2.1.m1.2.2.6.3.3" xref="S5.14.p2.1.m1.2.2.6.3.3.cmml">b</mi></mrow></mrow><mo id="S5.14.p2.1.m1.2.2.7" xref="S5.14.p2.1.m1.2.2.7.cmml">></mo><mn id="S5.14.p2.1.m1.2.2.8" xref="S5.14.p2.1.m1.2.2.8.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.14.p2.1.m1.2b"><apply id="S5.14.p2.1.m1.2.2.cmml" xref="S5.14.p2.1.m1.2.2"><and id="S5.14.p2.1.m1.2.2a.cmml" 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href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S5.14.p2.1.m1.2.2.1.cmml" id="S5.14.p2.1.m1.2.2d.cmml" xref="S5.14.p2.1.m1.2.2"></share><apply id="S5.14.p2.1.m1.2.2.6.cmml" xref="S5.14.p2.1.m1.2.2.6"><minus id="S5.14.p2.1.m1.2.2.6.1.cmml" xref="S5.14.p2.1.m1.2.2.6.1"></minus><apply id="S5.14.p2.1.m1.2.2.6.2.cmml" xref="S5.14.p2.1.m1.2.2.6.2"><plus id="S5.14.p2.1.m1.2.2.6.2.1.cmml" xref="S5.14.p2.1.m1.2.2.6.2.1"></plus><apply id="S5.14.p2.1.m1.2.2.6.2.2.cmml" xref="S5.14.p2.1.m1.2.2.6.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.14.p2.1.m1.2.2.6.2.2.1.cmml" xref="S5.14.p2.1.m1.2.2.6.2.2">superscript</csymbol><ci id="S5.14.p2.1.m1.2.2.6.2.2.2.cmml" xref="S5.14.p2.1.m1.2.2.6.2.2.2">𝜂</ci><cn id="S5.14.p2.1.m1.2.2.6.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.14.p2.1.m1.2.2.6.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.14.p2.1.m1.2.2.6.2.3.cmml" xref="S5.14.p2.1.m1.2.2.6.2.3"><times id="S5.14.p2.1.m1.2.2.6.2.3.1.cmml" xref="S5.14.p2.1.m1.2.2.6.2.3.1"></times><cn id="S5.14.p2.1.m1.2.2.6.2.3.2.cmml" type="integer" 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id="S5.14.p2.1.m1.2.2.7.cmml" xref="S5.14.p2.1.m1.2.2.7"></gt><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#S5.14.p2.1.m1.2.2.6.cmml" id="S5.14.p2.1.m1.2.2f.cmml" xref="S5.14.p2.1.m1.2.2"></share><cn id="S5.14.p2.1.m1.2.2.8.cmml" type="integer" xref="S5.14.p2.1.m1.2.2.8">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.14.p2.1.m1.2c">\eta\in(-b+(2b)^{1/2},1)\Rightarrow\eta^{2}+2b\eta+b^{2}-2b>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.14.p2.1.m1.2d">italic_η ∈ ( - italic_b + ( 2 italic_b ) start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT , 1 ) ⇒ italic_η start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + 2 italic_b italic_η + italic_b start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT - 2 italic_b > 0</annotation></semantics></math>, and</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A0.EGx68"> <tbody id="A0.Ex73"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle h_{b}^{\prime}(\eta){}={}" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex73.m1.1"><semantics id="A0.Ex73.m1.1a"><mrow id="A0.Ex73.m1.1.2" xref="A0.Ex73.m1.1.2.cmml"><mrow id="A0.Ex73.m1.1.2.2" xref="A0.Ex73.m1.1.2.2.cmml"><msubsup id="A0.Ex73.m1.1.2.2.2" xref="A0.Ex73.m1.1.2.2.2.cmml"><mi id="A0.Ex73.m1.1.2.2.2.2.2" xref="A0.Ex73.m1.1.2.2.2.2.2.cmml">h</mi><mi id="A0.Ex73.m1.1.2.2.2.2.3" xref="A0.Ex73.m1.1.2.2.2.2.3.cmml">b</mi><mo id="A0.Ex73.m1.1.2.2.2.3" xref="A0.Ex73.m1.1.2.2.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="A0.Ex73.m1.1.2.2.1" xref="A0.Ex73.m1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex73.m1.1.2.2.3.2" xref="A0.Ex73.m1.1.2.2.cmml"><mo id="A0.Ex73.m1.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A0.Ex73.m1.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="A0.Ex73.m1.1.1" xref="A0.Ex73.m1.1.1.cmml">η</mi><mo id="A0.Ex73.m1.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A0.Ex73.m1.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo 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id="A0.Ex73.m1.1.1.cmml" xref="A0.Ex73.m1.1.1">𝜂</ci></apply><csymbol cd="latexml" id="A0.Ex73.m1.1.2.3.cmml" xref="A0.Ex73.m1.1.2.3">absent</csymbol></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex73.m1.1c">\displaystyle h_{b}^{\prime}(\eta){}={}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex73.m1.1d">italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_η ) =</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\frac{2-\eta-b+\sqrt{\eta^{2}+2b\eta+b^{2}-2b}}{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex73.m2.1"><semantics id="A0.Ex73.m2.1a"><mstyle displaystyle="true" id="A0.Ex73.m2.1.1" xref="A0.Ex73.m2.1.1.cmml"><mfrac id="A0.Ex73.m2.1.1a" xref="A0.Ex73.m2.1.1.cmml"><mrow id="A0.Ex73.m2.1.1.2" xref="A0.Ex73.m2.1.1.2.cmml"><mrow id="A0.Ex73.m2.1.1.2.2" xref="A0.Ex73.m2.1.1.2.2.cmml"><mn id="A0.Ex73.m2.1.1.2.2.2" 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id="A0.Ex73.m2.1.1.2.3.2.2.3.2" xref="A0.Ex73.m2.1.1.2.3.2.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="A0.Ex73.m2.1.1.2.3.2.2.3.1" xref="A0.Ex73.m2.1.1.2.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A0.Ex73.m2.1.1.2.3.2.2.3.3" xref="A0.Ex73.m2.1.1.2.3.2.2.3.3.cmml">b</mi><mo id="A0.Ex73.m2.1.1.2.3.2.2.3.1a" xref="A0.Ex73.m2.1.1.2.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A0.Ex73.m2.1.1.2.3.2.2.3.4" xref="A0.Ex73.m2.1.1.2.3.2.2.3.4.cmml">η</mi></mrow><mo id="A0.Ex73.m2.1.1.2.3.2.2.1a" xref="A0.Ex73.m2.1.1.2.3.2.2.1.cmml">+</mo><msup id="A0.Ex73.m2.1.1.2.3.2.2.4" xref="A0.Ex73.m2.1.1.2.3.2.2.4.cmml"><mi id="A0.Ex73.m2.1.1.2.3.2.2.4.2" xref="A0.Ex73.m2.1.1.2.3.2.2.4.2.cmml">b</mi><mn id="A0.Ex73.m2.1.1.2.3.2.2.4.3" xref="A0.Ex73.m2.1.1.2.3.2.2.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="A0.Ex73.m2.1.1.2.3.2.1" xref="A0.Ex73.m2.1.1.2.3.2.1.cmml">−</mo><mrow id="A0.Ex73.m2.1.1.2.3.2.3" xref="A0.Ex73.m2.1.1.2.3.2.3.cmml"><mn id="A0.Ex73.m2.1.1.2.3.2.3.2" xref="A0.Ex73.m2.1.1.2.3.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="A0.Ex73.m2.1.1.2.3.2.3.1" xref="A0.Ex73.m2.1.1.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A0.Ex73.m2.1.1.2.3.2.3.3" xref="A0.Ex73.m2.1.1.2.3.2.3.3.cmml">b</mi></mrow></mrow></msqrt></mrow><mn id="A0.Ex73.m2.1.1.3" xref="A0.Ex73.m2.1.1.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex73.m2.1b"><apply id="A0.Ex73.m2.1.1.cmml" xref="A0.Ex73.m2.1.1"><divide id="A0.Ex73.m2.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex73.m2.1.1"></divide><apply id="A0.Ex73.m2.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex73.m2.1.1.2"><plus id="A0.Ex73.m2.1.1.2.1.cmml" xref="A0.Ex73.m2.1.1.2.1"></plus><apply id="A0.Ex73.m2.1.1.2.2.cmml" xref="A0.Ex73.m2.1.1.2.2"><minus id="A0.Ex73.m2.1.1.2.2.1.cmml" xref="A0.Ex73.m2.1.1.2.2.1"></minus><cn id="A0.Ex73.m2.1.1.2.2.2.cmml" type="integer" xref="A0.Ex73.m2.1.1.2.2.2">2</cn><ci id="A0.Ex73.m2.1.1.2.2.3.cmml" xref="A0.Ex73.m2.1.1.2.2.3">𝜂</ci><ci id="A0.Ex73.m2.1.1.2.2.4.cmml" xref="A0.Ex73.m2.1.1.2.2.4">𝑏</ci></apply><apply id="A0.Ex73.m2.1.1.2.3.cmml" xref="A0.Ex73.m2.1.1.2.3"><root id="A0.Ex73.m2.1.1.2.3a.cmml" 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encoding="application/x-tex" id="A0.Ex73.m2.1c">\displaystyle\frac{2-\eta-b+\sqrt{\eta^{2}+2b\eta+b^{2}-2b}}{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex73.m2.1d">divide start_ARG 2 - italic_η - italic_b + square-root start_ARG italic_η start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + 2 italic_b italic_η + italic_b start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT - 2 italic_b end_ARG end_ARG start_ARG 2 end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A0.Ex74"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\cdot\Bigl{(}-1+\frac{\eta+b}{\sqrt{\eta^{2}+2b\eta+b^{2}-2b}}% \Bigr{)}\,." class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex74.m1.1"><semantics id="A0.Ex74.m1.1a"><mrow id="A0.Ex74.m1.1.1.1" 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xref="A0.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="A0.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A0.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A0.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A0.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">η</mi><mo id="A0.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="A0.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">+</mo><mi id="A0.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A0.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">b</mi></mrow><msqrt id="A0.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A0.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mrow id="A0.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A0.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mrow id="A0.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="A0.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml"><msup id="A0.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2" xref="A0.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="A0.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2" xref="A0.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.cmml">η</mi><mn id="A0.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.3" xref="A0.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="A0.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.1" 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cd="latexml" id="A0.Ex74.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex74.m1.1.1.1.1.3">absent</csymbol><apply id="A0.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1"><plus id="A0.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="A0.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"><minus id="A0.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A0.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"></minus><cn id="A0.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="A0.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">1</cn></apply><apply id="A0.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><divide id="A0.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A0.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"></divide><apply id="A0.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A0.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><plus id="A0.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A0.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1"></plus><ci id="A0.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A0.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝜂</ci><ci id="A0.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" 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end_ARG ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.14.p2.6">Because <math alttext="\eta+b>0" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.14.p2.2.m1.1"><semantics id="S5.14.p2.2.m1.1a"><mrow id="S5.14.p2.2.m1.1.1" xref="S5.14.p2.2.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.14.p2.2.m1.1.1.2" xref="S5.14.p2.2.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.14.p2.2.m1.1.1.2.2" xref="S5.14.p2.2.m1.1.1.2.2.cmml">η</mi><mo id="S5.14.p2.2.m1.1.1.2.1" xref="S5.14.p2.2.m1.1.1.2.1.cmml">+</mo><mi id="S5.14.p2.2.m1.1.1.2.3" xref="S5.14.p2.2.m1.1.1.2.3.cmml">b</mi></mrow><mo id="S5.14.p2.2.m1.1.1.1" xref="S5.14.p2.2.m1.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S5.14.p2.2.m1.1.1.3" xref="S5.14.p2.2.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.14.p2.2.m1.1b"><apply id="S5.14.p2.2.m1.1.1.cmml" xref="S5.14.p2.2.m1.1.1"><gt id="S5.14.p2.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.14.p2.2.m1.1.1.1"></gt><apply id="S5.14.p2.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.14.p2.2.m1.1.1.2"><plus id="S5.14.p2.2.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.14.p2.2.m1.1.1.2.1"></plus><ci id="S5.14.p2.2.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.14.p2.2.m1.1.1.2.2">𝜂</ci><ci id="S5.14.p2.2.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.14.p2.2.m1.1.1.2.3">𝑏</ci></apply><cn id="S5.14.p2.2.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.14.p2.2.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.14.p2.2.m1.1c">\eta+b>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.14.p2.2.m1.1d">italic_η + italic_b > 0</annotation></semantics></math> and <math alttext="\eta^{2}+2b\eta+b^{2}-2b<(\eta+b)^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.14.p2.3.m2.1"><semantics id="S5.14.p2.3.m2.1a"><mrow id="S5.14.p2.3.m2.1.1" xref="S5.14.p2.3.m2.1.1.cmml"><mrow id="S5.14.p2.3.m2.1.1.3" xref="S5.14.p2.3.m2.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.14.p2.3.m2.1.1.3.2" xref="S5.14.p2.3.m2.1.1.3.2.cmml"><msup id="S5.14.p2.3.m2.1.1.3.2.2" xref="S5.14.p2.3.m2.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S5.14.p2.3.m2.1.1.3.2.2.2" xref="S5.14.p2.3.m2.1.1.3.2.2.2.cmml">η</mi><mn id="S5.14.p2.3.m2.1.1.3.2.2.3" xref="S5.14.p2.3.m2.1.1.3.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.14.p2.3.m2.1.1.3.2.1" xref="S5.14.p2.3.m2.1.1.3.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.14.p2.3.m2.1.1.3.2.3" xref="S5.14.p2.3.m2.1.1.3.2.3.cmml"><mn id="S5.14.p2.3.m2.1.1.3.2.3.2" xref="S5.14.p2.3.m2.1.1.3.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S5.14.p2.3.m2.1.1.3.2.3.1" xref="S5.14.p2.3.m2.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.14.p2.3.m2.1.1.3.2.3.3" xref="S5.14.p2.3.m2.1.1.3.2.3.3.cmml">b</mi><mo id="S5.14.p2.3.m2.1.1.3.2.3.1a" xref="S5.14.p2.3.m2.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.14.p2.3.m2.1.1.3.2.3.4" xref="S5.14.p2.3.m2.1.1.3.2.3.4.cmml">η</mi></mrow><mo id="S5.14.p2.3.m2.1.1.3.2.1a" xref="S5.14.p2.3.m2.1.1.3.2.1.cmml">+</mo><msup id="S5.14.p2.3.m2.1.1.3.2.4" xref="S5.14.p2.3.m2.1.1.3.2.4.cmml"><mi id="S5.14.p2.3.m2.1.1.3.2.4.2" xref="S5.14.p2.3.m2.1.1.3.2.4.2.cmml">b</mi><mn id="S5.14.p2.3.m2.1.1.3.2.4.3" xref="S5.14.p2.3.m2.1.1.3.2.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.14.p2.3.m2.1.1.3.1" xref="S5.14.p2.3.m2.1.1.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.14.p2.3.m2.1.1.3.3" xref="S5.14.p2.3.m2.1.1.3.3.cmml"><mn id="S5.14.p2.3.m2.1.1.3.3.2" xref="S5.14.p2.3.m2.1.1.3.3.2.cmml">2</mn><mo id="S5.14.p2.3.m2.1.1.3.3.1" xref="S5.14.p2.3.m2.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.14.p2.3.m2.1.1.3.3.3" xref="S5.14.p2.3.m2.1.1.3.3.3.cmml">b</mi></mrow></mrow><mo id="S5.14.p2.3.m2.1.1.2" xref="S5.14.p2.3.m2.1.1.2.cmml"><</mo><msup id="S5.14.p2.3.m2.1.1.1" xref="S5.14.p2.3.m2.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.14.p2.3.m2.1.1.1.1.1" xref="S5.14.p2.3.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.14.p2.3.m2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.14.p2.3.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.14.p2.3.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S5.14.p2.3.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.14.p2.3.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.14.p2.3.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">η</mi><mo id="S5.14.p2.3.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.14.p2.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi 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xref="S5.14.p2.3.m2.1.1.3.2.2.2">𝜂</ci><cn id="S5.14.p2.3.m2.1.1.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.14.p2.3.m2.1.1.3.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.14.p2.3.m2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.14.p2.3.m2.1.1.3.2.3"><times id="S5.14.p2.3.m2.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S5.14.p2.3.m2.1.1.3.2.3.1"></times><cn id="S5.14.p2.3.m2.1.1.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.14.p2.3.m2.1.1.3.2.3.2">2</cn><ci id="S5.14.p2.3.m2.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S5.14.p2.3.m2.1.1.3.2.3.3">𝑏</ci><ci id="S5.14.p2.3.m2.1.1.3.2.3.4.cmml" xref="S5.14.p2.3.m2.1.1.3.2.3.4">𝜂</ci></apply><apply id="S5.14.p2.3.m2.1.1.3.2.4.cmml" xref="S5.14.p2.3.m2.1.1.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.14.p2.3.m2.1.1.3.2.4.1.cmml" xref="S5.14.p2.3.m2.1.1.3.2.4">superscript</csymbol><ci id="S5.14.p2.3.m2.1.1.3.2.4.2.cmml" xref="S5.14.p2.3.m2.1.1.3.2.4.2">𝑏</ci><cn id="S5.14.p2.3.m2.1.1.3.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.14.p2.3.m2.1.1.3.2.4.3">2</cn></apply></apply><apply id="S5.14.p2.3.m2.1.1.3.3.cmml" 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id="S5.14.p2.3.m2.1c">\eta^{2}+2b\eta+b^{2}-2b<(\eta+b)^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.14.p2.3.m2.1d">italic_η start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + 2 italic_b italic_η + italic_b start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT - 2 italic_b < ( italic_η + italic_b ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="(\eta+b)/(\eta^{2}+2b\eta+b^{2}-2b)^{1/2}>1" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.14.p2.4.m3.2"><semantics id="S5.14.p2.4.m3.2a"><mrow id="S5.14.p2.4.m3.2.2" xref="S5.14.p2.4.m3.2.2.cmml"><mrow id="S5.14.p2.4.m3.2.2.2" xref="S5.14.p2.4.m3.2.2.2.cmml"><mrow id="S5.14.p2.4.m3.1.1.1.1.1" xref="S5.14.p2.4.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.14.p2.4.m3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.14.p2.4.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.14.p2.4.m3.1.1.1.1.1.1" xref="S5.14.p2.4.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.14.p2.4.m3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.14.p2.4.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">η</mi><mo id="S5.14.p2.4.m3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.14.p2.4.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S5.14.p2.4.m3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.14.p2.4.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">b</mi></mrow><mo id="S5.14.p2.4.m3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.14.p2.4.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.14.p2.4.m3.2.2.2.3" xref="S5.14.p2.4.m3.2.2.2.3.cmml">/</mo><msup id="S5.14.p2.4.m3.2.2.2.2" xref="S5.14.p2.4.m3.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S5.14.p2.4.m3.2.2.2.2.1.1" xref="S5.14.p2.4.m3.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S5.14.p2.4.m3.2.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.14.p2.4.m3.2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.14.p2.4.m3.2.2.2.2.1.1.1" xref="S5.14.p2.4.m3.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.14.p2.4.m3.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S5.14.p2.4.m3.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><msup id="S5.14.p2.4.m3.2.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="S5.14.p2.4.m3.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.14.p2.4.m3.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2" xref="S5.14.p2.4.m3.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml">η</mi><mn id="S5.14.p2.4.m3.2.2.2.2.1.1.1.2.2.3" xref="S5.14.p2.4.m3.2.2.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.14.p2.4.m3.2.2.2.2.1.1.1.2.1" xref="S5.14.p2.4.m3.2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.14.p2.4.m3.2.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="S5.14.p2.4.m3.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml"><mn id="S5.14.p2.4.m3.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2" xref="S5.14.p2.4.m3.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S5.14.p2.4.m3.2.2.2.2.1.1.1.2.3.1" xref="S5.14.p2.4.m3.2.2.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.14.p2.4.m3.2.2.2.2.1.1.1.2.3.3" xref="S5.14.p2.4.m3.2.2.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml">b</mi><mo id="S5.14.p2.4.m3.2.2.2.2.1.1.1.2.3.1a" xref="S5.14.p2.4.m3.2.2.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.14.p2.4.m3.2.2.2.2.1.1.1.2.3.4" xref="S5.14.p2.4.m3.2.2.2.2.1.1.1.2.3.4.cmml">η</mi></mrow><mo id="S5.14.p2.4.m3.2.2.2.2.1.1.1.2.1a" xref="S5.14.p2.4.m3.2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml">+</mo><msup id="S5.14.p2.4.m3.2.2.2.2.1.1.1.2.4" xref="S5.14.p2.4.m3.2.2.2.2.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S5.14.p2.4.m3.2.2.2.2.1.1.1.2.4.2" xref="S5.14.p2.4.m3.2.2.2.2.1.1.1.2.4.2.cmml">b</mi><mn id="S5.14.p2.4.m3.2.2.2.2.1.1.1.2.4.3" xref="S5.14.p2.4.m3.2.2.2.2.1.1.1.2.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.14.p2.4.m3.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S5.14.p2.4.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.14.p2.4.m3.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S5.14.p2.4.m3.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mn id="S5.14.p2.4.m3.2.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="S5.14.p2.4.m3.2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S5.14.p2.4.m3.2.2.2.2.1.1.1.3.1" xref="S5.14.p2.4.m3.2.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.14.p2.4.m3.2.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="S5.14.p2.4.m3.2.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml">b</mi></mrow></mrow><mo id="S5.14.p2.4.m3.2.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.14.p2.4.m3.2.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S5.14.p2.4.m3.2.2.2.2.3" xref="S5.14.p2.4.m3.2.2.2.2.3.cmml"><mn id="S5.14.p2.4.m3.2.2.2.2.3.2" xref="S5.14.p2.4.m3.2.2.2.2.3.2.cmml">1</mn><mo id="S5.14.p2.4.m3.2.2.2.2.3.1" xref="S5.14.p2.4.m3.2.2.2.2.3.1.cmml">/</mo><mn id="S5.14.p2.4.m3.2.2.2.2.3.3" xref="S5.14.p2.4.m3.2.2.2.2.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup></mrow><mo id="S5.14.p2.4.m3.2.2.3" xref="S5.14.p2.4.m3.2.2.3.cmml">></mo><mn id="S5.14.p2.4.m3.2.2.4" xref="S5.14.p2.4.m3.2.2.4.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.14.p2.4.m3.2b"><apply id="S5.14.p2.4.m3.2.2.cmml" xref="S5.14.p2.4.m3.2.2"><gt id="S5.14.p2.4.m3.2.2.3.cmml" xref="S5.14.p2.4.m3.2.2.3"></gt><apply id="S5.14.p2.4.m3.2.2.2.cmml" xref="S5.14.p2.4.m3.2.2.2"><divide id="S5.14.p2.4.m3.2.2.2.3.cmml" xref="S5.14.p2.4.m3.2.2.2.3"></divide><apply id="S5.14.p2.4.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.14.p2.4.m3.1.1.1.1.1"><plus id="S5.14.p2.4.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.14.p2.4.m3.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S5.14.p2.4.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.14.p2.4.m3.1.1.1.1.1.1.2">𝜂</ci><ci id="S5.14.p2.4.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.14.p2.4.m3.1.1.1.1.1.1.3">𝑏</ci></apply><apply id="S5.14.p2.4.m3.2.2.2.2.cmml" xref="S5.14.p2.4.m3.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.14.p2.4.m3.2.2.2.2.2.cmml" 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Moreover, <math alttext="2-\eta-b+(\eta^{2}+2b\eta+b^{2}-2b)^{1/2}>0\Rightarrow h_{b}^{\prime}(\eta)>0" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.14.p2.5.m4.2"><semantics id="S5.14.p2.5.m4.2a"><mrow id="S5.14.p2.5.m4.2.2" xref="S5.14.p2.5.m4.2.2.cmml"><mrow id="S5.14.p2.5.m4.2.2.1" xref="S5.14.p2.5.m4.2.2.1.cmml"><mrow id="S5.14.p2.5.m4.2.2.1.3" xref="S5.14.p2.5.m4.2.2.1.3.cmml"><mn id="S5.14.p2.5.m4.2.2.1.3.2" xref="S5.14.p2.5.m4.2.2.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S5.14.p2.5.m4.2.2.1.3.1" xref="S5.14.p2.5.m4.2.2.1.3.1.cmml">−</mo><mi id="S5.14.p2.5.m4.2.2.1.3.3" xref="S5.14.p2.5.m4.2.2.1.3.3.cmml">η</mi><mo id="S5.14.p2.5.m4.2.2.1.3.1a" xref="S5.14.p2.5.m4.2.2.1.3.1.cmml">−</mo><mi id="S5.14.p2.5.m4.2.2.1.3.4" xref="S5.14.p2.5.m4.2.2.1.3.4.cmml">b</mi></mrow><mo id="S5.14.p2.5.m4.2.2.1.2" xref="S5.14.p2.5.m4.2.2.1.2.cmml">+</mo><msup id="S5.14.p2.5.m4.2.2.1.1" xref="S5.14.p2.5.m4.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S5.14.p2.5.m4.2.2.1.1.1.1" xref="S5.14.p2.5.m4.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo 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id="S5.14.p2.5.m4.2.2.6.2.2.3" xref="S5.14.p2.5.m4.2.2.6.2.2.3.cmml">b</mi><mo id="S5.14.p2.5.m4.2.2.6.2.3" xref="S5.14.p2.5.m4.2.2.6.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S5.14.p2.5.m4.2.2.6.1" xref="S5.14.p2.5.m4.2.2.6.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.14.p2.5.m4.2.2.6.3.2" xref="S5.14.p2.5.m4.2.2.6.cmml"><mo id="S5.14.p2.5.m4.2.2.6.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.14.p2.5.m4.2.2.6.cmml">(</mo><mi id="S5.14.p2.5.m4.1.1" xref="S5.14.p2.5.m4.1.1.cmml">η</mi><mo id="S5.14.p2.5.m4.2.2.6.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.14.p2.5.m4.2.2.6.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.14.p2.5.m4.2.2.7" xref="S5.14.p2.5.m4.2.2.7.cmml">></mo><mn id="S5.14.p2.5.m4.2.2.8" xref="S5.14.p2.5.m4.2.2.8.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.14.p2.5.m4.2b"><apply id="S5.14.p2.5.m4.2.2.cmml" xref="S5.14.p2.5.m4.2.2"><and id="S5.14.p2.5.m4.2.2a.cmml" xref="S5.14.p2.5.m4.2.2"></and><apply id="S5.14.p2.5.m4.2.2b.cmml" xref="S5.14.p2.5.m4.2.2"><gt id="S5.14.p2.5.m4.2.2.3.cmml" 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h_{b}^{\prime}(\eta)>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.14.p2.5.m4.2d">2 - italic_η - italic_b + ( italic_η start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + 2 italic_b italic_η + italic_b start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT - 2 italic_b ) start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT > 0 ⇒ italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_η ) > 0</annotation></semantics></math>, <math alttext="\forall\eta\in(-b+(2b)^{1/2},1)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.14.p2.6.m5.2"><semantics id="S5.14.p2.6.m5.2a"><mrow id="S5.14.p2.6.m5.2.2" xref="S5.14.p2.6.m5.2.2.cmml"><mrow id="S5.14.p2.6.m5.2.2.3" xref="S5.14.p2.6.m5.2.2.3.cmml"><mo id="S5.14.p2.6.m5.2.2.3.1" rspace="0.167em" xref="S5.14.p2.6.m5.2.2.3.1.cmml">∀</mo><mi id="S5.14.p2.6.m5.2.2.3.2" xref="S5.14.p2.6.m5.2.2.3.2.cmml">η</mi></mrow><mo id="S5.14.p2.6.m5.2.2.2" xref="S5.14.p2.6.m5.2.2.2.cmml">∈</mo><mrow id="S5.14.p2.6.m5.2.2.1.1" xref="S5.14.p2.6.m5.2.2.1.2.cmml"><mo id="S5.14.p2.6.m5.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.14.p2.6.m5.2.2.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S5.14.p2.6.m5.2.2.1.1.1" xref="S5.14.p2.6.m5.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.14.p2.6.m5.2.2.1.1.1.3" xref="S5.14.p2.6.m5.2.2.1.1.1.3.cmml"><mo id="S5.14.p2.6.m5.2.2.1.1.1.3a" xref="S5.14.p2.6.m5.2.2.1.1.1.3.cmml">−</mo><mi id="S5.14.p2.6.m5.2.2.1.1.1.3.2" xref="S5.14.p2.6.m5.2.2.1.1.1.3.2.cmml">b</mi></mrow><mo id="S5.14.p2.6.m5.2.2.1.1.1.2" xref="S5.14.p2.6.m5.2.2.1.1.1.2.cmml">+</mo><msup id="S5.14.p2.6.m5.2.2.1.1.1.1" xref="S5.14.p2.6.m5.2.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.14.p2.6.m5.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S5.14.p2.6.m5.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.14.p2.6.m5.2.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.14.p2.6.m5.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.14.p2.6.m5.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.14.p2.6.m5.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S5.14.p2.6.m5.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.14.p2.6.m5.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S5.14.p2.6.m5.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.14.p2.6.m5.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.14.p2.6.m5.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.14.p2.6.m5.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">b</mi></mrow><mo id="S5.14.p2.6.m5.2.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.14.p2.6.m5.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S5.14.p2.6.m5.2.2.1.1.1.1.3" xref="S5.14.p2.6.m5.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S5.14.p2.6.m5.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S5.14.p2.6.m5.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S5.14.p2.6.m5.2.2.1.1.1.1.3.1" xref="S5.14.p2.6.m5.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S5.14.p2.6.m5.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S5.14.p2.6.m5.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup></mrow><mo id="S5.14.p2.6.m5.2.2.1.1.3" xref="S5.14.p2.6.m5.2.2.1.2.cmml">,</mo><mn id="S5.14.p2.6.m5.1.1" xref="S5.14.p2.6.m5.1.1.cmml">1</mn><mo id="S5.14.p2.6.m5.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S5.14.p2.6.m5.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.14.p2.6.m5.2b"><apply id="S5.14.p2.6.m5.2.2.cmml" xref="S5.14.p2.6.m5.2.2"><in id="S5.14.p2.6.m5.2.2.2.cmml" xref="S5.14.p2.6.m5.2.2.2"></in><apply id="S5.14.p2.6.m5.2.2.3.cmml" xref="S5.14.p2.6.m5.2.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S5.14.p2.6.m5.2.2.3.1.cmml" xref="S5.14.p2.6.m5.2.2.3.1">for-all</csymbol><ci id="S5.14.p2.6.m5.2.2.3.2.cmml" xref="S5.14.p2.6.m5.2.2.3.2">𝜂</ci></apply><interval closure="open" id="S5.14.p2.6.m5.2.2.1.2.cmml" xref="S5.14.p2.6.m5.2.2.1.1"><apply id="S5.14.p2.6.m5.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.14.p2.6.m5.2.2.1.1.1"><plus id="S5.14.p2.6.m5.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S5.14.p2.6.m5.2.2.1.1.1.2"></plus><apply id="S5.14.p2.6.m5.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S5.14.p2.6.m5.2.2.1.1.1.3"><minus id="S5.14.p2.6.m5.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.14.p2.6.m5.2.2.1.1.1.3"></minus><ci id="S5.14.p2.6.m5.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.14.p2.6.m5.2.2.1.1.1.3.2">𝑏</ci></apply><apply id="S5.14.p2.6.m5.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.14.p2.6.m5.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.14.p2.6.m5.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.14.p2.6.m5.2.2.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.14.p2.6.m5.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.14.p2.6.m5.2.2.1.1.1.1.1.1"><times id="S5.14.p2.6.m5.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.14.p2.6.m5.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><cn id="S5.14.p2.6.m5.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S5.14.p2.6.m5.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2">2</cn><ci id="S5.14.p2.6.m5.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.14.p2.6.m5.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑏</ci></apply><apply id="S5.14.p2.6.m5.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.14.p2.6.m5.2.2.1.1.1.1.3"><divide id="S5.14.p2.6.m5.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.14.p2.6.m5.2.2.1.1.1.1.3.1"></divide><cn id="S5.14.p2.6.m5.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.14.p2.6.m5.2.2.1.1.1.1.3.2">1</cn><cn id="S5.14.p2.6.m5.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.14.p2.6.m5.2.2.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply><cn id="S5.14.p2.6.m5.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.14.p2.6.m5.1.1">1</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.14.p2.6.m5.2c">\forall\eta\in(-b+(2b)^{1/2},1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.14.p2.6.m5.2d">∀ italic_η ∈ ( - italic_b + ( 2 italic_b ) start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT , 1 )</annotation></semantics></math>. Therefore, the claim of <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#Thmthm9" title="Lemma 9. ‣ V Conclusions ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Lemma</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">9</span></a> holds true. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S5.p7"> <p class="ltx_p" id="S5.p7.5">By <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#Thmthm9" title="Lemma 9. ‣ V Conclusions ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Lemma</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">9</span></a>, define <math alttext="\eta_{*}\coloneqq-b_{N-1}+(2b_{N-1})^{1/2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p7.1.m1.1"><semantics id="S5.p7.1.m1.1a"><mrow id="S5.p7.1.m1.1.1" xref="S5.p7.1.m1.1.1.cmml"><msub id="S5.p7.1.m1.1.1.3" xref="S5.p7.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.p7.1.m1.1.1.3.2" xref="S5.p7.1.m1.1.1.3.2.cmml">η</mi><mo id="S5.p7.1.m1.1.1.3.3" xref="S5.p7.1.m1.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msub><mo id="S5.p7.1.m1.1.1.2" xref="S5.p7.1.m1.1.1.2.cmml">≔</mo><mrow id="S5.p7.1.m1.1.1.1" xref="S5.p7.1.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.p7.1.m1.1.1.1.3" xref="S5.p7.1.m1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S5.p7.1.m1.1.1.1.3a" xref="S5.p7.1.m1.1.1.1.3.cmml">−</mo><msub id="S5.p7.1.m1.1.1.1.3.2" xref="S5.p7.1.m1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.p7.1.m1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.p7.1.m1.1.1.1.3.2.2.cmml">b</mi><mrow id="S5.p7.1.m1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.p7.1.m1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S5.p7.1.m1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S5.p7.1.m1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">N</mi><mo id="S5.p7.1.m1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S5.p7.1.m1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="S5.p7.1.m1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S5.p7.1.m1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow><mo id="S5.p7.1.m1.1.1.1.2" xref="S5.p7.1.m1.1.1.1.2.cmml">+</mo><msup id="S5.p7.1.m1.1.1.1.1" xref="S5.p7.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.p7.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.p7.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.p7.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.p7.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.p7.1.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.p7.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S5.p7.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.p7.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S5.p7.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.p7.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.p7.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.p7.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.p7.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.p7.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">b</mi><mrow id="S5.p7.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.p7.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.p7.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.p7.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">N</mi><mo id="S5.p7.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S5.p7.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S5.p7.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.p7.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow><mo id="S5.p7.1.m1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.p7.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S5.p7.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S5.p7.1.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S5.p7.1.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.p7.1.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S5.p7.1.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.p7.1.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S5.p7.1.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.p7.1.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p7.1.m1.1b"><apply id="S5.p7.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.p7.1.m1.1.1"><ci id="S5.p7.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.p7.1.m1.1.1.2">≔</ci><apply id="S5.p7.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.p7.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p7.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p7.1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.p7.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p7.1.m1.1.1.3.2">𝜂</ci><times id="S5.p7.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.p7.1.m1.1.1.3.3"></times></apply><apply id="S5.p7.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.p7.1.m1.1.1.1"><plus id="S5.p7.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.p7.1.m1.1.1.1.2"></plus><apply id="S5.p7.1.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.p7.1.m1.1.1.1.3"><minus id="S5.p7.1.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p7.1.m1.1.1.1.3"></minus><apply id="S5.p7.1.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p7.1.m1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p7.1.m1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.p7.1.m1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.p7.1.m1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.p7.1.m1.1.1.1.3.2.2">𝑏</ci><apply id="S5.p7.1.m1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.p7.1.m1.1.1.1.3.2.3"><minus id="S5.p7.1.m1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S5.p7.1.m1.1.1.1.3.2.3.1"></minus><ci id="S5.p7.1.m1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S5.p7.1.m1.1.1.1.3.2.3.2">𝑁</ci><cn id="S5.p7.1.m1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.p7.1.m1.1.1.1.3.2.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.p7.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p7.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p7.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.p7.1.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.p7.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p7.1.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="S5.p7.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p7.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><cn id="S5.p7.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S5.p7.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">2</cn><apply id="S5.p7.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.p7.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p7.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p7.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.p7.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p7.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑏</ci><apply id="S5.p7.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.p7.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><minus id="S5.p7.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.p7.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></minus><ci id="S5.p7.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.p7.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑁</ci><cn id="S5.p7.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.p7.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.p7.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.p7.1.m1.1.1.1.1.3"><divide id="S5.p7.1.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p7.1.m1.1.1.1.1.3.1"></divide><cn id="S5.p7.1.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.p7.1.m1.1.1.1.1.3.2">1</cn><cn id="S5.p7.1.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.p7.1.m1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p7.1.m1.1c">\eta_{*}\coloneqq-b_{N-1}+(2b_{N-1})^{1/2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p7.1.m1.1d">italic_η start_POSTSUBSCRIPT ∗ end_POSTSUBSCRIPT ≔ - italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_N - 1 end_POSTSUBSCRIPT + ( 2 italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_N - 1 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, and notice that <math alttext="\forall\eta\in(0,1)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p7.2.m2.2"><semantics id="S5.p7.2.m2.2a"><mrow id="S5.p7.2.m2.2.3" xref="S5.p7.2.m2.2.3.cmml"><mrow id="S5.p7.2.m2.2.3.2" xref="S5.p7.2.m2.2.3.2.cmml"><mo id="S5.p7.2.m2.2.3.2.1" rspace="0.167em" xref="S5.p7.2.m2.2.3.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S5.p7.2.m2.2.3.2.2" xref="S5.p7.2.m2.2.3.2.2.cmml">η</mi></mrow><mo id="S5.p7.2.m2.2.3.1" xref="S5.p7.2.m2.2.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="S5.p7.2.m2.2.3.3.2" xref="S5.p7.2.m2.2.3.3.1.cmml"><mo id="S5.p7.2.m2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.p7.2.m2.2.3.3.1.cmml">(</mo><mn id="S5.p7.2.m2.1.1" xref="S5.p7.2.m2.1.1.cmml">0</mn><mo id="S5.p7.2.m2.2.3.3.2.2" xref="S5.p7.2.m2.2.3.3.1.cmml">,</mo><mn id="S5.p7.2.m2.2.2" xref="S5.p7.2.m2.2.2.cmml">1</mn><mo id="S5.p7.2.m2.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S5.p7.2.m2.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p7.2.m2.2b"><apply id="S5.p7.2.m2.2.3.cmml" xref="S5.p7.2.m2.2.3"><in id="S5.p7.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S5.p7.2.m2.2.3.1"></in><apply id="S5.p7.2.m2.2.3.2.cmml" xref="S5.p7.2.m2.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.p7.2.m2.2.3.2.1.cmml" xref="S5.p7.2.m2.2.3.2.1">for-all</csymbol><ci id="S5.p7.2.m2.2.3.2.2.cmml" xref="S5.p7.2.m2.2.3.2.2">𝜂</ci></apply><interval closure="open" id="S5.p7.2.m2.2.3.3.1.cmml" xref="S5.p7.2.m2.2.3.3.2"><cn id="S5.p7.2.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.p7.2.m2.1.1">0</cn><cn id="S5.p7.2.m2.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.p7.2.m2.2.2">1</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p7.2.m2.2c">\forall\eta\in(0,1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p7.2.m2.2d">∀ italic_η ∈ ( 0 , 1 )</annotation></semantics></math>, <math alttext="\lvert 1-(2b_{N-1})^{1/2}/2\rvert=h_{b_{N-1}}^{1/2}(\eta_{*})\leq h_{b_{N-1}}^% {1/2}(\eta)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p7.3.m3.3"><semantics id="S5.p7.3.m3.3a"><mrow id="S5.p7.3.m3.3.3" xref="S5.p7.3.m3.3.3.cmml"><mrow id="S5.p7.3.m3.2.2.1.1" xref="S5.p7.3.m3.2.2.1.2.cmml"><mo id="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.p7.3.m3.2.2.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1" xref="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.cmml"><mn id="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.3" xref="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn><mo id="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.2" xref="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1" xref="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.cmml"><msup id="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.1" xref="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">b</mi><mrow id="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">N</mi><mo id="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow><mo id="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.2" xref="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.2.cmml">/</mo><mn id="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.3" xref="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow></mrow><mo id="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.p7.3.m3.2.2.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S5.p7.3.m3.3.3.4" xref="S5.p7.3.m3.3.3.4.cmml">=</mo><mrow id="S5.p7.3.m3.3.3.2" xref="S5.p7.3.m3.3.3.2.cmml"><msubsup id="S5.p7.3.m3.3.3.2.3" xref="S5.p7.3.m3.3.3.2.3.cmml"><mi id="S5.p7.3.m3.3.3.2.3.2.2" xref="S5.p7.3.m3.3.3.2.3.2.2.cmml">h</mi><msub id="S5.p7.3.m3.3.3.2.3.2.3" xref="S5.p7.3.m3.3.3.2.3.2.3.cmml"><mi id="S5.p7.3.m3.3.3.2.3.2.3.2" xref="S5.p7.3.m3.3.3.2.3.2.3.2.cmml">b</mi><mrow id="S5.p7.3.m3.3.3.2.3.2.3.3" xref="S5.p7.3.m3.3.3.2.3.2.3.3.cmml"><mi id="S5.p7.3.m3.3.3.2.3.2.3.3.2" xref="S5.p7.3.m3.3.3.2.3.2.3.3.2.cmml">N</mi><mo id="S5.p7.3.m3.3.3.2.3.2.3.3.1" xref="S5.p7.3.m3.3.3.2.3.2.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S5.p7.3.m3.3.3.2.3.2.3.3.3" xref="S5.p7.3.m3.3.3.2.3.2.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mrow id="S5.p7.3.m3.3.3.2.3.3" xref="S5.p7.3.m3.3.3.2.3.3.cmml"><mn id="S5.p7.3.m3.3.3.2.3.3.2" xref="S5.p7.3.m3.3.3.2.3.3.2.cmml">1</mn><mo id="S5.p7.3.m3.3.3.2.3.3.1" xref="S5.p7.3.m3.3.3.2.3.3.1.cmml">/</mo><mn id="S5.p7.3.m3.3.3.2.3.3.3" xref="S5.p7.3.m3.3.3.2.3.3.3.cmml">2</mn></mrow></msubsup><mo id="S5.p7.3.m3.3.3.2.2" xref="S5.p7.3.m3.3.3.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.p7.3.m3.3.3.2.1.1" xref="S5.p7.3.m3.3.3.2.1.1.1.cmml"><mo id="S5.p7.3.m3.3.3.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.p7.3.m3.3.3.2.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S5.p7.3.m3.3.3.2.1.1.1" xref="S5.p7.3.m3.3.3.2.1.1.1.cmml"><mi id="S5.p7.3.m3.3.3.2.1.1.1.2" xref="S5.p7.3.m3.3.3.2.1.1.1.2.cmml">η</mi><mo id="S5.p7.3.m3.3.3.2.1.1.1.3" xref="S5.p7.3.m3.3.3.2.1.1.1.3.cmml">∗</mo></msub><mo id="S5.p7.3.m3.3.3.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.p7.3.m3.3.3.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.p7.3.m3.3.3.5" xref="S5.p7.3.m3.3.3.5.cmml">≤</mo><mrow id="S5.p7.3.m3.3.3.6" xref="S5.p7.3.m3.3.3.6.cmml"><msubsup id="S5.p7.3.m3.3.3.6.2" xref="S5.p7.3.m3.3.3.6.2.cmml"><mi id="S5.p7.3.m3.3.3.6.2.2.2" xref="S5.p7.3.m3.3.3.6.2.2.2.cmml">h</mi><msub id="S5.p7.3.m3.3.3.6.2.2.3" xref="S5.p7.3.m3.3.3.6.2.2.3.cmml"><mi id="S5.p7.3.m3.3.3.6.2.2.3.2" xref="S5.p7.3.m3.3.3.6.2.2.3.2.cmml">b</mi><mrow id="S5.p7.3.m3.3.3.6.2.2.3.3" xref="S5.p7.3.m3.3.3.6.2.2.3.3.cmml"><mi id="S5.p7.3.m3.3.3.6.2.2.3.3.2" xref="S5.p7.3.m3.3.3.6.2.2.3.3.2.cmml">N</mi><mo id="S5.p7.3.m3.3.3.6.2.2.3.3.1" xref="S5.p7.3.m3.3.3.6.2.2.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S5.p7.3.m3.3.3.6.2.2.3.3.3" xref="S5.p7.3.m3.3.3.6.2.2.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mrow id="S5.p7.3.m3.3.3.6.2.3" xref="S5.p7.3.m3.3.3.6.2.3.cmml"><mn id="S5.p7.3.m3.3.3.6.2.3.2" xref="S5.p7.3.m3.3.3.6.2.3.2.cmml">1</mn><mo id="S5.p7.3.m3.3.3.6.2.3.1" xref="S5.p7.3.m3.3.3.6.2.3.1.cmml">/</mo><mn id="S5.p7.3.m3.3.3.6.2.3.3" xref="S5.p7.3.m3.3.3.6.2.3.3.cmml">2</mn></mrow></msubsup><mo id="S5.p7.3.m3.3.3.6.1" xref="S5.p7.3.m3.3.3.6.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.p7.3.m3.3.3.6.3.2" xref="S5.p7.3.m3.3.3.6.cmml"><mo id="S5.p7.3.m3.3.3.6.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.p7.3.m3.3.3.6.cmml">(</mo><mi id="S5.p7.3.m3.1.1" xref="S5.p7.3.m3.1.1.cmml">η</mi><mo id="S5.p7.3.m3.3.3.6.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.p7.3.m3.3.3.6.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p7.3.m3.3b"><apply id="S5.p7.3.m3.3.3.cmml" xref="S5.p7.3.m3.3.3"><and id="S5.p7.3.m3.3.3a.cmml" xref="S5.p7.3.m3.3.3"></and><apply id="S5.p7.3.m3.3.3b.cmml" xref="S5.p7.3.m3.3.3"><eq id="S5.p7.3.m3.3.3.4.cmml" xref="S5.p7.3.m3.3.3.4"></eq><apply id="S5.p7.3.m3.2.2.1.2.cmml" xref="S5.p7.3.m3.2.2.1.1"><abs id="S5.p7.3.m3.2.2.1.2.1.cmml" xref="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.2"></abs><apply id="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1"><minus id="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.2"></minus><cn id="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.3">1</cn><apply id="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1"><divide id="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.2"></divide><apply id="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><cn id="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2">2</cn><apply id="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑏</ci><apply id="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><minus id="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></minus><ci id="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑁</ci><cn id="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.3"><divide id="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.3.1"></divide><cn id="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.3.2">1</cn><cn id="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><cn id="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.p7.3.m3.3.3.2.cmml" xref="S5.p7.3.m3.3.3.2"><times id="S5.p7.3.m3.3.3.2.2.cmml" xref="S5.p7.3.m3.3.3.2.2"></times><apply id="S5.p7.3.m3.3.3.2.3.cmml" xref="S5.p7.3.m3.3.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p7.3.m3.3.3.2.3.1.cmml" xref="S5.p7.3.m3.3.3.2.3">superscript</csymbol><apply id="S5.p7.3.m3.3.3.2.3.2.cmml" xref="S5.p7.3.m3.3.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p7.3.m3.3.3.2.3.2.1.cmml" xref="S5.p7.3.m3.3.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.p7.3.m3.3.3.2.3.2.2.cmml" xref="S5.p7.3.m3.3.3.2.3.2.2">ℎ</ci><apply id="S5.p7.3.m3.3.3.2.3.2.3.cmml" xref="S5.p7.3.m3.3.3.2.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p7.3.m3.3.3.2.3.2.3.1.cmml" xref="S5.p7.3.m3.3.3.2.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.p7.3.m3.3.3.2.3.2.3.2.cmml" xref="S5.p7.3.m3.3.3.2.3.2.3.2">𝑏</ci><apply id="S5.p7.3.m3.3.3.2.3.2.3.3.cmml" xref="S5.p7.3.m3.3.3.2.3.2.3.3"><minus id="S5.p7.3.m3.3.3.2.3.2.3.3.1.cmml" xref="S5.p7.3.m3.3.3.2.3.2.3.3.1"></minus><ci id="S5.p7.3.m3.3.3.2.3.2.3.3.2.cmml" xref="S5.p7.3.m3.3.3.2.3.2.3.3.2">𝑁</ci><cn id="S5.p7.3.m3.3.3.2.3.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.p7.3.m3.3.3.2.3.2.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.p7.3.m3.3.3.2.3.3.cmml" xref="S5.p7.3.m3.3.3.2.3.3"><divide id="S5.p7.3.m3.3.3.2.3.3.1.cmml" xref="S5.p7.3.m3.3.3.2.3.3.1"></divide><cn id="S5.p7.3.m3.3.3.2.3.3.2.cmml" 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id="S5.p7.3.m3.3.3.6.2.1.cmml" xref="S5.p7.3.m3.3.3.6.2">superscript</csymbol><apply id="S5.p7.3.m3.3.3.6.2.2.cmml" xref="S5.p7.3.m3.3.3.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p7.3.m3.3.3.6.2.2.1.cmml" xref="S5.p7.3.m3.3.3.6.2">subscript</csymbol><ci id="S5.p7.3.m3.3.3.6.2.2.2.cmml" xref="S5.p7.3.m3.3.3.6.2.2.2">ℎ</ci><apply id="S5.p7.3.m3.3.3.6.2.2.3.cmml" xref="S5.p7.3.m3.3.3.6.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p7.3.m3.3.3.6.2.2.3.1.cmml" xref="S5.p7.3.m3.3.3.6.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.p7.3.m3.3.3.6.2.2.3.2.cmml" xref="S5.p7.3.m3.3.3.6.2.2.3.2">𝑏</ci><apply id="S5.p7.3.m3.3.3.6.2.2.3.3.cmml" xref="S5.p7.3.m3.3.3.6.2.2.3.3"><minus id="S5.p7.3.m3.3.3.6.2.2.3.3.1.cmml" xref="S5.p7.3.m3.3.3.6.2.2.3.3.1"></minus><ci id="S5.p7.3.m3.3.3.6.2.2.3.3.2.cmml" xref="S5.p7.3.m3.3.3.6.2.2.3.3.2">𝑁</ci><cn id="S5.p7.3.m3.3.3.6.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.p7.3.m3.3.3.6.2.2.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.p7.3.m3.3.3.6.2.3.cmml" xref="S5.p7.3.m3.3.3.6.2.3"><divide id="S5.p7.3.m3.3.3.6.2.3.1.cmml" xref="S5.p7.3.m3.3.3.6.2.3.1"></divide><cn id="S5.p7.3.m3.3.3.6.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.p7.3.m3.3.3.6.2.3.2">1</cn><cn id="S5.p7.3.m3.3.3.6.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.p7.3.m3.3.3.6.2.3.3">2</cn></apply></apply><ci id="S5.p7.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.p7.3.m3.1.1">𝜂</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p7.3.m3.3c">\lvert 1-(2b_{N-1})^{1/2}/2\rvert=h_{b_{N-1}}^{1/2}(\eta_{*})\leq h_{b_{N-1}}^% {1/2}(\eta)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p7.3.m3.3d">| 1 - ( 2 italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_N - 1 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT / 2 | = italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_N - 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_η start_POSTSUBSCRIPT ∗ end_POSTSUBSCRIPT ) ≤ italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_N - 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_η )</annotation></semantics></math>. Moreover, by <math alttext="b_{N-1}\in(0,1/2)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p7.4.m4.2"><semantics id="S5.p7.4.m4.2a"><mrow id="S5.p7.4.m4.2.2" xref="S5.p7.4.m4.2.2.cmml"><msub id="S5.p7.4.m4.2.2.3" xref="S5.p7.4.m4.2.2.3.cmml"><mi id="S5.p7.4.m4.2.2.3.2" xref="S5.p7.4.m4.2.2.3.2.cmml">b</mi><mrow id="S5.p7.4.m4.2.2.3.3" xref="S5.p7.4.m4.2.2.3.3.cmml"><mi id="S5.p7.4.m4.2.2.3.3.2" xref="S5.p7.4.m4.2.2.3.3.2.cmml">N</mi><mo id="S5.p7.4.m4.2.2.3.3.1" xref="S5.p7.4.m4.2.2.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S5.p7.4.m4.2.2.3.3.3" xref="S5.p7.4.m4.2.2.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S5.p7.4.m4.2.2.2" xref="S5.p7.4.m4.2.2.2.cmml">∈</mo><mrow id="S5.p7.4.m4.2.2.1.1" xref="S5.p7.4.m4.2.2.1.2.cmml"><mo id="S5.p7.4.m4.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.p7.4.m4.2.2.1.2.cmml">(</mo><mn id="S5.p7.4.m4.1.1" xref="S5.p7.4.m4.1.1.cmml">0</mn><mo id="S5.p7.4.m4.2.2.1.1.3" xref="S5.p7.4.m4.2.2.1.2.cmml">,</mo><mrow id="S5.p7.4.m4.2.2.1.1.1" xref="S5.p7.4.m4.2.2.1.1.1.cmml"><mn id="S5.p7.4.m4.2.2.1.1.1.2" xref="S5.p7.4.m4.2.2.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S5.p7.4.m4.2.2.1.1.1.1" xref="S5.p7.4.m4.2.2.1.1.1.1.cmml">/</mo><mn id="S5.p7.4.m4.2.2.1.1.1.3" xref="S5.p7.4.m4.2.2.1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><mo id="S5.p7.4.m4.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S5.p7.4.m4.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p7.4.m4.2b"><apply id="S5.p7.4.m4.2.2.cmml" xref="S5.p7.4.m4.2.2"><in id="S5.p7.4.m4.2.2.2.cmml" xref="S5.p7.4.m4.2.2.2"></in><apply id="S5.p7.4.m4.2.2.3.cmml" xref="S5.p7.4.m4.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p7.4.m4.2.2.3.1.cmml" xref="S5.p7.4.m4.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.p7.4.m4.2.2.3.2.cmml" xref="S5.p7.4.m4.2.2.3.2">𝑏</ci><apply id="S5.p7.4.m4.2.2.3.3.cmml" xref="S5.p7.4.m4.2.2.3.3"><minus id="S5.p7.4.m4.2.2.3.3.1.cmml" xref="S5.p7.4.m4.2.2.3.3.1"></minus><ci id="S5.p7.4.m4.2.2.3.3.2.cmml" xref="S5.p7.4.m4.2.2.3.3.2">𝑁</ci><cn id="S5.p7.4.m4.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" 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id="S5.p7.5.m5.2.2" xref="S5.p7.5.m5.2.2.cmml"><mrow id="S5.p7.5.m5.1.1.1" xref="S5.p7.5.m5.1.1.1.cmml"><msup id="S5.p7.5.m5.1.1.1.1" xref="S5.p7.5.m5.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.p7.5.m5.1.1.1.1.1.1" xref="S5.p7.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.p7.5.m5.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.p7.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.p7.5.m5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.p7.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S5.p7.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.p7.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S5.p7.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.p7.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.p7.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.p7.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.p7.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.p7.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">b</mi><mrow id="S5.p7.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.p7.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.p7.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.p7.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">N</mi><mo id="S5.p7.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S5.p7.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">−</mo><mn 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end_POSTSUBSCRIPT + ( 2 italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_N - 1 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT ≤ 1</annotation></semantics></math>, and</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A0.EGx69"> <tbody id="A0.Ex75"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle h_{b_{N-1}}^{1/2}(\eta_{*})" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex75.m1.1"><semantics id="A0.Ex75.m1.1a"><mrow id="A0.Ex75.m1.1.1" xref="A0.Ex75.m1.1.1.cmml"><msubsup id="A0.Ex75.m1.1.1.3" xref="A0.Ex75.m1.1.1.3.cmml"><mi id="A0.Ex75.m1.1.1.3.2.2" xref="A0.Ex75.m1.1.1.3.2.2.cmml">h</mi><msub id="A0.Ex75.m1.1.1.3.2.3" xref="A0.Ex75.m1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A0.Ex75.m1.1.1.3.2.3.2" xref="A0.Ex75.m1.1.1.3.2.3.2.cmml">b</mi><mrow id="A0.Ex75.m1.1.1.3.2.3.3" xref="A0.Ex75.m1.1.1.3.2.3.3.cmml"><mi id="A0.Ex75.m1.1.1.3.2.3.3.2" 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xref="A0.Ex75.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex75.m1.1b"><apply id="A0.Ex75.m1.1.1.cmml" xref="A0.Ex75.m1.1.1"><times id="A0.Ex75.m1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex75.m1.1.1.2"></times><apply id="A0.Ex75.m1.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex75.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex75.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A0.Ex75.m1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A0.Ex75.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A0.Ex75.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex75.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A0.Ex75.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A0.Ex75.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A0.Ex75.m1.1.1.3.2.2">ℎ</ci><apply id="A0.Ex75.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A0.Ex75.m1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex75.m1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A0.Ex75.m1.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="A0.Ex75.m1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="A0.Ex75.m1.1.1.3.2.3.2">𝑏</ci><apply id="A0.Ex75.m1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="A0.Ex75.m1.1.1.3.2.3.3"><minus id="A0.Ex75.m1.1.1.3.2.3.3.1.cmml" 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h_{b_{N-1}}^{1/2}(\eta_{*})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex75.m1.1d">italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_N - 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_η start_POSTSUBSCRIPT ∗ end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\lvert 1-(2b_{N-1})^{1/2}/2\rvert" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex75.m2.1"><semantics id="A0.Ex75.m2.1a"><mrow id="A0.Ex75.m2.1.1" xref="A0.Ex75.m2.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex75.m2.1.1.3" xref="A0.Ex75.m2.1.1.3.cmml"></mi><mo id="A0.Ex75.m2.1.1.2" xref="A0.Ex75.m2.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="A0.Ex75.m2.1.1.1.1" xref="A0.Ex75.m2.1.1.1.2.cmml"><mo id="A0.Ex75.m2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex75.m2.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A0.Ex75.m2.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex75.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A0.Ex75.m2.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex75.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn><mo id="A0.Ex75.m2.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex75.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="A0.Ex75.m2.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex75.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="A0.Ex75.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex75.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A0.Ex75.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex75.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex75.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex75.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.Ex75.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex75.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A0.Ex75.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex75.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="A0.Ex75.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex75.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A0.Ex75.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex75.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A0.Ex75.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A0.Ex75.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">b</mi><mrow id="A0.Ex75.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A0.Ex75.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi 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|</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A0.Ex76"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\geq\lvert 1-(-b_{N-1}+(2b_{N-1})^{1/2})\rvert" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex76.m1.1"><semantics id="A0.Ex76.m1.1a"><mrow id="A0.Ex76.m1.1.1" xref="A0.Ex76.m1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex76.m1.1.1.3" xref="A0.Ex76.m1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="A0.Ex76.m1.1.1.2" xref="A0.Ex76.m1.1.1.2.cmml">≥</mo><mrow id="A0.Ex76.m1.1.1.1.1" xref="A0.Ex76.m1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A0.Ex76.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex76.m1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A0.Ex76.m1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex76.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A0.Ex76.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex76.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn><mo id="A0.Ex76.m1.1.1.1.1.1.2" 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italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_N - 1 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) |</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A0.E40"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\lvert 1-\eta_{*}\rvert=1-\eta_{*}\,." class="ltx_Math" display="inline" id="A0.E40.m1.1"><semantics id="A0.E40.m1.1a"><mrow id="A0.E40.m1.1.1.1" xref="A0.E40.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A0.E40.m1.1.1.1.1" xref="A0.E40.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A0.E40.m1.1.1.1.1.3" xref="A0.E40.m1.1.1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="A0.E40.m1.1.1.1.1.4" xref="A0.E40.m1.1.1.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="A0.E40.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.E40.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A0.E40.m1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.E40.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A0.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A0.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="A0.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A0.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A0.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A0.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A0.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">η</mi><mo id="A0.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A0.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msub></mrow><mo id="A0.E40.m1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.E40.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="A0.E40.m1.1.1.1.1.5" xref="A0.E40.m1.1.1.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="A0.E40.m1.1.1.1.1.6" xref="A0.E40.m1.1.1.1.1.6.cmml"><mn id="A0.E40.m1.1.1.1.1.6.2" xref="A0.E40.m1.1.1.1.1.6.2.cmml">1</mn><mo id="A0.E40.m1.1.1.1.1.6.1" xref="A0.E40.m1.1.1.1.1.6.1.cmml">−</mo><msub id="A0.E40.m1.1.1.1.1.6.3" xref="A0.E40.m1.1.1.1.1.6.3.cmml"><mi id="A0.E40.m1.1.1.1.1.6.3.2" xref="A0.E40.m1.1.1.1.1.6.3.2.cmml">η</mi><mo id="A0.E40.m1.1.1.1.1.6.3.3" xref="A0.E40.m1.1.1.1.1.6.3.3.cmml">∗</mo></msub></mrow></mrow><mo id="A0.E40.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="A0.E40.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.E40.m1.1b"><apply id="A0.E40.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.E40.m1.1.1.1"><and id="A0.E40.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="A0.E40.m1.1.1.1"></and><apply id="A0.E40.m1.1.1.1.1b.cmml" xref="A0.E40.m1.1.1.1"><eq id="A0.E40.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A0.E40.m1.1.1.1.1.4"></eq><csymbol cd="latexml" id="A0.E40.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.E40.m1.1.1.1.1.3">absent</csymbol><apply id="A0.E40.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.E40.m1.1.1.1.1.1.1"><abs id="A0.E40.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A0.E40.m1.1.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="A0.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A0.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="A0.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="A0.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="A0.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A0.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A0.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A0.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜂</ci><times id="A0.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A0.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"></times></apply></apply></apply></apply><apply id="A0.E40.m1.1.1.1.1c.cmml" xref="A0.E40.m1.1.1.1"><eq id="A0.E40.m1.1.1.1.1.5.cmml" xref="A0.E40.m1.1.1.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#A0.E40.m1.1.1.1.1.1.cmml" id="A0.E40.m1.1.1.1.1d.cmml" xref="A0.E40.m1.1.1.1"></share><apply id="A0.E40.m1.1.1.1.1.6.cmml" xref="A0.E40.m1.1.1.1.1.6"><minus id="A0.E40.m1.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="A0.E40.m1.1.1.1.1.6.1"></minus><cn id="A0.E40.m1.1.1.1.1.6.2.cmml" type="integer" xref="A0.E40.m1.1.1.1.1.6.2">1</cn><apply id="A0.E40.m1.1.1.1.1.6.3.cmml" xref="A0.E40.m1.1.1.1.1.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E40.m1.1.1.1.1.6.3.1.cmml" xref="A0.E40.m1.1.1.1.1.6.3">subscript</csymbol><ci id="A0.E40.m1.1.1.1.1.6.3.2.cmml" xref="A0.E40.m1.1.1.1.1.6.3.2">𝜂</ci><times id="A0.E40.m1.1.1.1.1.6.3.3.cmml" xref="A0.E40.m1.1.1.1.1.6.3.3"></times></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.E40.m1.1c">\displaystyle=\lvert 1-\eta_{*}\rvert=1-\eta_{*}\,.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.E40.m1.1d">= | 1 - italic_η start_POSTSUBSCRIPT ∗ end_POSTSUBSCRIPT | = 1 - italic_η start_POSTSUBSCRIPT ∗ end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(40)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S5.p8"> <p class="ltx_p" id="S5.p8.4">Observe now by the definitions of <math alttext="f_{\eta},h_{b}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p8.1.m1.2"><semantics id="S5.p8.1.m1.2a"><mrow id="S5.p8.1.m1.2.2.2" xref="S5.p8.1.m1.2.2.3.cmml"><msub id="S5.p8.1.m1.1.1.1.1" xref="S5.p8.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.p8.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S5.p8.1.m1.1.1.1.1.2.cmml">f</mi><mi id="S5.p8.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S5.p8.1.m1.1.1.1.1.3.cmml">η</mi></msub><mo id="S5.p8.1.m1.2.2.2.3" xref="S5.p8.1.m1.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S5.p8.1.m1.2.2.2.2" xref="S5.p8.1.m1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S5.p8.1.m1.2.2.2.2.2" xref="S5.p8.1.m1.2.2.2.2.2.cmml">h</mi><mi id="S5.p8.1.m1.2.2.2.2.3" xref="S5.p8.1.m1.2.2.2.2.3.cmml">b</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p8.1.m1.2b"><list id="S5.p8.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S5.p8.1.m1.2.2.2"><apply id="S5.p8.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p8.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p8.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p8.1.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.p8.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.p8.1.m1.1.1.1.1.2">𝑓</ci><ci id="S5.p8.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.p8.1.m1.1.1.1.1.3">𝜂</ci></apply><apply id="S5.p8.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.p8.1.m1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p8.1.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.p8.1.m1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.p8.1.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.p8.1.m1.2.2.2.2.2">ℎ</ci><ci id="S5.p8.1.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.p8.1.m1.2.2.2.2.3">𝑏</ci></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p8.1.m1.2c">f_{\eta},h_{b}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p8.1.m1.2d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_η end_POSTSUBSCRIPT , italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> in <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#Thmthm8" title="Lemma 8. ‣ V Conclusions ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Lemmata</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">8</span></a> and <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#Thmthm9" title="Lemma 9. ‣ V Conclusions ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">9</span></a> that <math alttext="\forall\eta\in(0,1)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p8.2.m2.2"><semantics id="S5.p8.2.m2.2a"><mrow id="S5.p8.2.m2.2.3" xref="S5.p8.2.m2.2.3.cmml"><mrow id="S5.p8.2.m2.2.3.2" xref="S5.p8.2.m2.2.3.2.cmml"><mo id="S5.p8.2.m2.2.3.2.1" rspace="0.167em" xref="S5.p8.2.m2.2.3.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S5.p8.2.m2.2.3.2.2" xref="S5.p8.2.m2.2.3.2.2.cmml">η</mi></mrow><mo id="S5.p8.2.m2.2.3.1" xref="S5.p8.2.m2.2.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="S5.p8.2.m2.2.3.3.2" xref="S5.p8.2.m2.2.3.3.1.cmml"><mo id="S5.p8.2.m2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.p8.2.m2.2.3.3.1.cmml">(</mo><mn id="S5.p8.2.m2.1.1" xref="S5.p8.2.m2.1.1.cmml">0</mn><mo id="S5.p8.2.m2.2.3.3.2.2" xref="S5.p8.2.m2.2.3.3.1.cmml">,</mo><mn id="S5.p8.2.m2.2.2" xref="S5.p8.2.m2.2.2.cmml">1</mn><mo id="S5.p8.2.m2.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S5.p8.2.m2.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p8.2.m2.2b"><apply id="S5.p8.2.m2.2.3.cmml" xref="S5.p8.2.m2.2.3"><in id="S5.p8.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S5.p8.2.m2.2.3.1"></in><apply id="S5.p8.2.m2.2.3.2.cmml" xref="S5.p8.2.m2.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.p8.2.m2.2.3.2.1.cmml" xref="S5.p8.2.m2.2.3.2.1">for-all</csymbol><ci id="S5.p8.2.m2.2.3.2.2.cmml" xref="S5.p8.2.m2.2.3.2.2">𝜂</ci></apply><interval closure="open" id="S5.p8.2.m2.2.3.3.1.cmml" xref="S5.p8.2.m2.2.3.3.2"><cn id="S5.p8.2.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.p8.2.m2.1.1">0</cn><cn id="S5.p8.2.m2.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.p8.2.m2.2.2">1</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p8.2.m2.2c">\forall\eta\in(0,1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p8.2.m2.2d">∀ italic_η ∈ ( 0 , 1 )</annotation></semantics></math>, <math alttext="\forall b\in(0,1)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p8.3.m3.2"><semantics id="S5.p8.3.m3.2a"><mrow id="S5.p8.3.m3.2.3" xref="S5.p8.3.m3.2.3.cmml"><mrow id="S5.p8.3.m3.2.3.2" xref="S5.p8.3.m3.2.3.2.cmml"><mo id="S5.p8.3.m3.2.3.2.1" rspace="0.167em" xref="S5.p8.3.m3.2.3.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S5.p8.3.m3.2.3.2.2" xref="S5.p8.3.m3.2.3.2.2.cmml">b</mi></mrow><mo id="S5.p8.3.m3.2.3.1" xref="S5.p8.3.m3.2.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="S5.p8.3.m3.2.3.3.2" xref="S5.p8.3.m3.2.3.3.1.cmml"><mo id="S5.p8.3.m3.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.p8.3.m3.2.3.3.1.cmml">(</mo><mn id="S5.p8.3.m3.1.1" xref="S5.p8.3.m3.1.1.cmml">0</mn><mo id="S5.p8.3.m3.2.3.3.2.2" xref="S5.p8.3.m3.2.3.3.1.cmml">,</mo><mn id="S5.p8.3.m3.2.2" xref="S5.p8.3.m3.2.2.cmml">1</mn><mo id="S5.p8.3.m3.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S5.p8.3.m3.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p8.3.m3.2b"><apply id="S5.p8.3.m3.2.3.cmml" xref="S5.p8.3.m3.2.3"><in id="S5.p8.3.m3.2.3.1.cmml" xref="S5.p8.3.m3.2.3.1"></in><apply id="S5.p8.3.m3.2.3.2.cmml" xref="S5.p8.3.m3.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.p8.3.m3.2.3.2.1.cmml" xref="S5.p8.3.m3.2.3.2.1">for-all</csymbol><ci id="S5.p8.3.m3.2.3.2.2.cmml" xref="S5.p8.3.m3.2.3.2.2">𝑏</ci></apply><interval closure="open" id="S5.p8.3.m3.2.3.3.1.cmml" xref="S5.p8.3.m3.2.3.3.2"><cn id="S5.p8.3.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.p8.3.m3.1.1">0</cn><cn id="S5.p8.3.m3.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.p8.3.m3.2.2">1</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p8.3.m3.2c">\forall b\in(0,1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p8.3.m3.2d">∀ italic_b ∈ ( 0 , 1 )</annotation></semantics></math>, <math alttext="h_{b}(\eta)=f_{\eta}(b)/4" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p8.4.m4.2"><semantics id="S5.p8.4.m4.2a"><mrow id="S5.p8.4.m4.2.3" xref="S5.p8.4.m4.2.3.cmml"><mrow id="S5.p8.4.m4.2.3.2" xref="S5.p8.4.m4.2.3.2.cmml"><msub id="S5.p8.4.m4.2.3.2.2" xref="S5.p8.4.m4.2.3.2.2.cmml"><mi id="S5.p8.4.m4.2.3.2.2.2" xref="S5.p8.4.m4.2.3.2.2.2.cmml">h</mi><mi id="S5.p8.4.m4.2.3.2.2.3" xref="S5.p8.4.m4.2.3.2.2.3.cmml">b</mi></msub><mo id="S5.p8.4.m4.2.3.2.1" xref="S5.p8.4.m4.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.p8.4.m4.2.3.2.3.2" xref="S5.p8.4.m4.2.3.2.cmml"><mo id="S5.p8.4.m4.2.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.p8.4.m4.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="S5.p8.4.m4.1.1" xref="S5.p8.4.m4.1.1.cmml">η</mi><mo id="S5.p8.4.m4.2.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.p8.4.m4.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.p8.4.m4.2.3.1" xref="S5.p8.4.m4.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.p8.4.m4.2.3.3" xref="S5.p8.4.m4.2.3.3.cmml"><mrow id="S5.p8.4.m4.2.3.3.2" xref="S5.p8.4.m4.2.3.3.2.cmml"><msub id="S5.p8.4.m4.2.3.3.2.2" xref="S5.p8.4.m4.2.3.3.2.2.cmml"><mi id="S5.p8.4.m4.2.3.3.2.2.2" xref="S5.p8.4.m4.2.3.3.2.2.2.cmml">f</mi><mi id="S5.p8.4.m4.2.3.3.2.2.3" xref="S5.p8.4.m4.2.3.3.2.2.3.cmml">η</mi></msub><mo id="S5.p8.4.m4.2.3.3.2.1" 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xref="S5.p8.4.m4.2.3.2.2.2">ℎ</ci><ci id="S5.p8.4.m4.2.3.2.2.3.cmml" xref="S5.p8.4.m4.2.3.2.2.3">𝑏</ci></apply><ci id="S5.p8.4.m4.1.1.cmml" xref="S5.p8.4.m4.1.1">𝜂</ci></apply><apply id="S5.p8.4.m4.2.3.3.cmml" xref="S5.p8.4.m4.2.3.3"><divide id="S5.p8.4.m4.2.3.3.1.cmml" xref="S5.p8.4.m4.2.3.3.1"></divide><apply id="S5.p8.4.m4.2.3.3.2.cmml" xref="S5.p8.4.m4.2.3.3.2"><times id="S5.p8.4.m4.2.3.3.2.1.cmml" xref="S5.p8.4.m4.2.3.3.2.1"></times><apply id="S5.p8.4.m4.2.3.3.2.2.cmml" xref="S5.p8.4.m4.2.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p8.4.m4.2.3.3.2.2.1.cmml" xref="S5.p8.4.m4.2.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.p8.4.m4.2.3.3.2.2.2.cmml" xref="S5.p8.4.m4.2.3.3.2.2.2">𝑓</ci><ci id="S5.p8.4.m4.2.3.3.2.2.3.cmml" xref="S5.p8.4.m4.2.3.3.2.2.3">𝜂</ci></apply><ci id="S5.p8.4.m4.2.2.cmml" xref="S5.p8.4.m4.2.2">𝑏</ci></apply><cn id="S5.p8.4.m4.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.p8.4.m4.2.3.3.3">4</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p8.4.m4.2c">h_{b}(\eta)=f_{\eta}(b)/4</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p8.4.m4.2d">italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT ( italic_η ) = italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_η end_POSTSUBSCRIPT ( italic_b ) / 4</annotation></semantics></math> and</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A0.EGx70"> <tbody id="A0.Ex77"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\arg\max_{b_{n}\,{\mathbin{}\mid\mathbin{}}\,n\in\mathcal{N}% \setminus\{N\}}h_{b_{n}}^{1/2}(\eta)" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex77.m1.2"><semantics id="A0.Ex77.m1.2a"><mrow id="A0.Ex77.m1.2.3" xref="A0.Ex77.m1.2.3.cmml"><mrow id="A0.Ex77.m1.2.3.2" xref="A0.Ex77.m1.2.3.2.cmml"><mi id="A0.Ex77.m1.2.3.2.1" xref="A0.Ex77.m1.2.3.2.1.cmml">arg</mi><mo id="A0.Ex77.m1.2.3.2a" lspace="0.167em" 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id="A0.Ex77.m1.1.1.1.4.1" xref="A0.Ex77.m1.1.1.1.4.1.cmml">∖</mo><mrow id="A0.Ex77.m1.1.1.1.4.3.2" xref="A0.Ex77.m1.1.1.1.4.3.1.cmml"><mo id="A0.Ex77.m1.1.1.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="A0.Ex77.m1.1.1.1.4.3.1.cmml">{</mo><mi id="A0.Ex77.m1.1.1.1.1" xref="A0.Ex77.m1.1.1.1.1.cmml">N</mi><mo id="A0.Ex77.m1.1.1.1.4.3.2.2" stretchy="false" xref="A0.Ex77.m1.1.1.1.4.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow></munder><mo id="A0.Ex77.m1.2.3.2.2a" lspace="0.167em" xref="A0.Ex77.m1.2.3.2.2.cmml">⁡</mo><msubsup id="A0.Ex77.m1.2.3.2.2.2" xref="A0.Ex77.m1.2.3.2.2.2.cmml"><mi id="A0.Ex77.m1.2.3.2.2.2.2.2" xref="A0.Ex77.m1.2.3.2.2.2.2.2.cmml">h</mi><msub id="A0.Ex77.m1.2.3.2.2.2.2.3" xref="A0.Ex77.m1.2.3.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A0.Ex77.m1.2.3.2.2.2.2.3.2" xref="A0.Ex77.m1.2.3.2.2.2.2.3.2.cmml">b</mi><mi id="A0.Ex77.m1.2.3.2.2.2.2.3.3" xref="A0.Ex77.m1.2.3.2.2.2.2.3.3.cmml">n</mi></msub><mrow id="A0.Ex77.m1.2.3.2.2.2.3" xref="A0.Ex77.m1.2.3.2.2.2.3.cmml"><mn id="A0.Ex77.m1.2.3.2.2.2.3.2" 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xref="A0.Ex77.m1.2.3.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex77.m1.2.3.2.2.1.1.cmml" xref="A0.Ex77.m1.2.3.2.2.1">subscript</csymbol><max id="A0.Ex77.m1.2.3.2.2.1.2.cmml" xref="A0.Ex77.m1.2.3.2.2.1.2"></max><apply id="A0.Ex77.m1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex77.m1.1.1.1"><in id="A0.Ex77.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex77.m1.1.1.1.2"></in><apply id="A0.Ex77.m1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex77.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="A0.Ex77.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A0.Ex77.m1.1.1.1.3.1">conditional</csymbol><apply id="A0.Ex77.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A0.Ex77.m1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex77.m1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A0.Ex77.m1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A0.Ex77.m1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A0.Ex77.m1.1.1.1.3.2.2">𝑏</ci><ci id="A0.Ex77.m1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A0.Ex77.m1.1.1.1.3.2.3">𝑛</ci></apply><ci id="A0.Ex77.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A0.Ex77.m1.1.1.1.3.3">𝑛</ci></apply><apply id="A0.Ex77.m1.1.1.1.4.cmml" xref="A0.Ex77.m1.1.1.1.4"><setdiff id="A0.Ex77.m1.1.1.1.4.1.cmml" 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xref="A0.Ex77.m1.2.3.2.2.2.2.3.3">𝑛</ci></apply></apply><apply id="A0.Ex77.m1.2.3.2.2.2.3.cmml" xref="A0.Ex77.m1.2.3.2.2.2.3"><divide id="A0.Ex77.m1.2.3.2.2.2.3.1.cmml" xref="A0.Ex77.m1.2.3.2.2.2.3.1"></divide><cn id="A0.Ex77.m1.2.3.2.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A0.Ex77.m1.2.3.2.2.2.3.2">1</cn><cn id="A0.Ex77.m1.2.3.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A0.Ex77.m1.2.3.2.2.2.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><ci id="A0.Ex77.m1.2.2.cmml" xref="A0.Ex77.m1.2.2">𝜂</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex77.m1.2c">\displaystyle\arg\max_{b_{n}\,{\mathbin{}\mid\mathbin{}}\,n\in\mathcal{N}% \setminus\{N\}}h_{b_{n}}^{1/2}(\eta)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex77.m1.2d">roman_arg roman_max start_POSTSUBSCRIPT italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ∣ italic_n ∈ caligraphic_N ∖ { italic_N } end_POSTSUBSCRIPT italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_η )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A0.E41"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\arg\max_{b_{n}\,{\mathbin{}\mid\mathbin{}}\,n\in\mathcal{N}% \setminus\{N\}}f_{\eta}^{1/2}(b_{n})\,\ni b_{N-1}\,." class="ltx_Math" display="inline" id="A0.E41.m1.2"><semantics id="A0.E41.m1.2a"><mrow id="A0.E41.m1.2.2.1" xref="A0.E41.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A0.E41.m1.2.2.1.1" xref="A0.E41.m1.2.2.1.1.cmml"><mi id="A0.E41.m1.2.2.1.1.3" xref="A0.E41.m1.2.2.1.1.3.cmml"></mi><mo id="A0.E41.m1.2.2.1.1.4" xref="A0.E41.m1.2.2.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="A0.E41.m1.2.2.1.1.1" xref="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.3" xref="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.3.1" xref="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml">arg</mi><mo id="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.3a" lspace="0.167em" xref="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">⁡</mo><mrow id="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.3.2" xref="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml"><munder id="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.3.2.1" xref="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml"><mi id="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.3.2.1.2" xref="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.3.2.1.2.cmml">max</mi><mrow id="A0.E41.m1.1.1.1" xref="A0.E41.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="A0.E41.m1.1.1.1.3" xref="A0.E41.m1.1.1.1.3.cmml"><msub id="A0.E41.m1.1.1.1.3.2" xref="A0.E41.m1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A0.E41.m1.1.1.1.3.2.2" xref="A0.E41.m1.1.1.1.3.2.2.cmml">b</mi><mi id="A0.E41.m1.1.1.1.3.2.3" xref="A0.E41.m1.1.1.1.3.2.3.cmml">n</mi></msub><mo id="A0.E41.m1.1.1.1.3.1" lspace="0.448em" rspace="0.448em" xref="A0.E41.m1.1.1.1.3.1.cmml">∣</mo><mi id="A0.E41.m1.1.1.1.3.3" xref="A0.E41.m1.1.1.1.3.3.cmml">n</mi></mrow><mo id="A0.E41.m1.1.1.1.2" xref="A0.E41.m1.1.1.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="A0.E41.m1.1.1.1.4" xref="A0.E41.m1.1.1.1.4.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A0.E41.m1.1.1.1.4.2" xref="A0.E41.m1.1.1.1.4.2.cmml">𝒩</mi><mo id="A0.E41.m1.1.1.1.4.1" xref="A0.E41.m1.1.1.1.4.1.cmml">∖</mo><mrow id="A0.E41.m1.1.1.1.4.3.2" xref="A0.E41.m1.1.1.1.4.3.1.cmml"><mo id="A0.E41.m1.1.1.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="A0.E41.m1.1.1.1.4.3.1.cmml">{</mo><mi id="A0.E41.m1.1.1.1.1" xref="A0.E41.m1.1.1.1.1.cmml">N</mi><mo id="A0.E41.m1.1.1.1.4.3.2.2" stretchy="false" xref="A0.E41.m1.1.1.1.4.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow></munder><mo id="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.3.2a" lspace="0.167em" xref="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml">⁡</mo><msubsup id="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.2.2" xref="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml">f</mi><mi id="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.2.3" xref="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml">η</mi><mrow id="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.3" xref="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mn id="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.3.2" xref="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">1</mn><mo id="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.3.1" xref="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">/</mo><mn id="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.3.3" xref="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml">2</mn></mrow></msubsup></mrow></mrow><mo id="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.2" xref="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">b</mi><mi id="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msub><mo id="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A0.E41.m1.2.2.1.1.5" xref="A0.E41.m1.2.2.1.1.5.cmml">∋</mo><msub id="A0.E41.m1.2.2.1.1.6" xref="A0.E41.m1.2.2.1.1.6.cmml"><mi id="A0.E41.m1.2.2.1.1.6.2" xref="A0.E41.m1.2.2.1.1.6.2.cmml">b</mi><mrow id="A0.E41.m1.2.2.1.1.6.3" xref="A0.E41.m1.2.2.1.1.6.3.cmml"><mi id="A0.E41.m1.2.2.1.1.6.3.2" xref="A0.E41.m1.2.2.1.1.6.3.2.cmml">N</mi><mo id="A0.E41.m1.2.2.1.1.6.3.1" xref="A0.E41.m1.2.2.1.1.6.3.1.cmml">−</mo><mn id="A0.E41.m1.2.2.1.1.6.3.3" xref="A0.E41.m1.2.2.1.1.6.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow><mo id="A0.E41.m1.2.2.1.2" lspace="0em" xref="A0.E41.m1.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.E41.m1.2b"><apply id="A0.E41.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A0.E41.m1.2.2.1"><and id="A0.E41.m1.2.2.1.1a.cmml" xref="A0.E41.m1.2.2.1"></and><apply id="A0.E41.m1.2.2.1.1b.cmml" xref="A0.E41.m1.2.2.1"><eq id="A0.E41.m1.2.2.1.1.4.cmml" xref="A0.E41.m1.2.2.1.1.4"></eq><csymbol cd="latexml" id="A0.E41.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="A0.E41.m1.2.2.1.1.3">absent</csymbol><apply id="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="A0.E41.m1.2.2.1.1.1"><times id="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.2"></times><apply id="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.3"><arg id="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.3.1"></arg><apply id="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.3.2"><apply id="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.3.2.1">subscript</csymbol><max id="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.3.2.1.2.cmml" xref="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.3.2.1.2"></max><apply id="A0.E41.m1.1.1.1.cmml" xref="A0.E41.m1.1.1.1"><in id="A0.E41.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.E41.m1.1.1.1.2"></in><apply id="A0.E41.m1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.E41.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="A0.E41.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A0.E41.m1.1.1.1.3.1">conditional</csymbol><apply id="A0.E41.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A0.E41.m1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E41.m1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A0.E41.m1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A0.E41.m1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A0.E41.m1.1.1.1.3.2.2">𝑏</ci><ci id="A0.E41.m1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A0.E41.m1.1.1.1.3.2.3">𝑛</ci></apply><ci id="A0.E41.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A0.E41.m1.1.1.1.3.3">𝑛</ci></apply><apply id="A0.E41.m1.1.1.1.4.cmml" xref="A0.E41.m1.1.1.1.4"><setdiff id="A0.E41.m1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A0.E41.m1.1.1.1.4.1"></setdiff><ci id="A0.E41.m1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A0.E41.m1.1.1.1.4.2">𝒩</ci><set id="A0.E41.m1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="A0.E41.m1.1.1.1.4.3.2"><ci id="A0.E41.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.E41.m1.1.1.1.1">𝑁</ci></set></apply></apply></apply><apply id="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.3.2.2">superscript</csymbol><apply id="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.2.2">𝑓</ci><ci id="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml" xref="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.2.3">𝜂</ci></apply><apply id="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.3"><divide id="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.3.1"></divide><cn id="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.3.2">1</cn><cn id="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2">𝑏</ci><ci id="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></apply><apply id="A0.E41.m1.2.2.1.1c.cmml" xref="A0.E41.m1.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="A0.E41.m1.2.2.1.1.5.cmml" xref="A0.E41.m1.2.2.1.1.5">contains</csymbol><share href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#A0.E41.m1.2.2.1.1.1.cmml" id="A0.E41.m1.2.2.1.1d.cmml" xref="A0.E41.m1.2.2.1"></share><apply id="A0.E41.m1.2.2.1.1.6.cmml" xref="A0.E41.m1.2.2.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E41.m1.2.2.1.1.6.1.cmml" xref="A0.E41.m1.2.2.1.1.6">subscript</csymbol><ci id="A0.E41.m1.2.2.1.1.6.2.cmml" xref="A0.E41.m1.2.2.1.1.6.2">𝑏</ci><apply id="A0.E41.m1.2.2.1.1.6.3.cmml" xref="A0.E41.m1.2.2.1.1.6.3"><minus id="A0.E41.m1.2.2.1.1.6.3.1.cmml" xref="A0.E41.m1.2.2.1.1.6.3.1"></minus><ci id="A0.E41.m1.2.2.1.1.6.3.2.cmml" xref="A0.E41.m1.2.2.1.1.6.3.2">𝑁</ci><cn id="A0.E41.m1.2.2.1.1.6.3.3.cmml" type="integer" xref="A0.E41.m1.2.2.1.1.6.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.E41.m1.2c">\displaystyle=\arg\max_{b_{n}\,{\mathbin{}\mid\mathbin{}}\,n\in\mathcal{N}% \setminus\{N\}}f_{\eta}^{1/2}(b_{n})\,\ni b_{N-1}\,.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.E41.m1.2d">= roman_arg roman_max start_POSTSUBSCRIPT italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ∣ italic_n ∈ caligraphic_N ∖ { italic_N } end_POSTSUBSCRIPT italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_η end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ) ∋ italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_N - 1 end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(41)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S5.p9"> <p class="ltx_p" id="S5.p9.1">Putting all arguments together, <math alttext="\forall\eta\in(0,1)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p9.1.m1.2"><semantics id="S5.p9.1.m1.2a"><mrow id="S5.p9.1.m1.2.3" xref="S5.p9.1.m1.2.3.cmml"><mrow id="S5.p9.1.m1.2.3.2" xref="S5.p9.1.m1.2.3.2.cmml"><mo id="S5.p9.1.m1.2.3.2.1" rspace="0.167em" xref="S5.p9.1.m1.2.3.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S5.p9.1.m1.2.3.2.2" xref="S5.p9.1.m1.2.3.2.2.cmml">η</mi></mrow><mo id="S5.p9.1.m1.2.3.1" xref="S5.p9.1.m1.2.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="S5.p9.1.m1.2.3.3.2" xref="S5.p9.1.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S5.p9.1.m1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.p9.1.m1.2.3.3.1.cmml">(</mo><mn id="S5.p9.1.m1.1.1" xref="S5.p9.1.m1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S5.p9.1.m1.2.3.3.2.2" xref="S5.p9.1.m1.2.3.3.1.cmml">,</mo><mn id="S5.p9.1.m1.2.2" xref="S5.p9.1.m1.2.2.cmml">1</mn><mo id="S5.p9.1.m1.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S5.p9.1.m1.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p9.1.m1.2b"><apply id="S5.p9.1.m1.2.3.cmml" xref="S5.p9.1.m1.2.3"><in id="S5.p9.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S5.p9.1.m1.2.3.1"></in><apply id="S5.p9.1.m1.2.3.2.cmml" xref="S5.p9.1.m1.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.p9.1.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S5.p9.1.m1.2.3.2.1">for-all</csymbol><ci id="S5.p9.1.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S5.p9.1.m1.2.3.2.2">𝜂</ci></apply><interval closure="open" id="S5.p9.1.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S5.p9.1.m1.2.3.3.2"><cn id="S5.p9.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.p9.1.m1.1.1">0</cn><cn id="S5.p9.1.m1.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.p9.1.m1.2.2">1</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p9.1.m1.2c">\forall\eta\in(0,1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p9.1.m1.2d">∀ italic_η ∈ ( 0 , 1 )</annotation></semantics></math>,</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A0.EGx71"> <tbody id="A0.Ex78"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\varrho(\eta_{*})" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex78.m1.1"><semantics id="A0.Ex78.m1.1a"><mrow id="A0.Ex78.m1.1.1" xref="A0.Ex78.m1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex78.m1.1.1.3" xref="A0.Ex78.m1.1.1.3.cmml">ϱ</mi><mo id="A0.Ex78.m1.1.1.2" xref="A0.Ex78.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex78.m1.1.1.1.1" xref="A0.Ex78.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex78.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex78.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="A0.Ex78.m1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex78.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex78.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex78.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">η</mi><mo id="A0.Ex78.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex78.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">∗</mo></msub><mo id="A0.Ex78.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex78.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex78.m1.1b"><apply id="A0.Ex78.m1.1.1.cmml" xref="A0.Ex78.m1.1.1"><times id="A0.Ex78.m1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex78.m1.1.1.2"></times><ci id="A0.Ex78.m1.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex78.m1.1.1.3">italic-ϱ</ci><apply id="A0.Ex78.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex78.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex78.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex78.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A0.Ex78.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex78.m1.1.1.1.1.1.2">𝜂</ci><times id="A0.Ex78.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex78.m1.1.1.1.1.1.3"></times></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex78.m1.1c">\displaystyle\varrho(\eta_{*})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex78.m1.1d">italic_ϱ ( italic_η start_POSTSUBSCRIPT ∗ end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\max\left\{\max\{\,h_{b_{n}}^{1/2}(\eta_{*}){\mathbin{}\mid% \mathbin{}}n\in\mathcal{N}\setminus\{N\}\,\},(1-\eta_{*})\right\}" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex78.m2.5"><semantics id="A0.Ex78.m2.5a"><mrow id="A0.Ex78.m2.5.5" xref="A0.Ex78.m2.5.5.cmml"><mi id="A0.Ex78.m2.5.5.4" xref="A0.Ex78.m2.5.5.4.cmml"></mi><mo id="A0.Ex78.m2.5.5.3" xref="A0.Ex78.m2.5.5.3.cmml">=</mo><mrow id="A0.Ex78.m2.5.5.2.2" xref="A0.Ex78.m2.5.5.2.3.cmml"><mi id="A0.Ex78.m2.3.3" xref="A0.Ex78.m2.3.3.cmml">max</mi><mo id="A0.Ex78.m2.5.5.2.2a" xref="A0.Ex78.m2.5.5.2.3.cmml">⁡</mo><mrow id="A0.Ex78.m2.5.5.2.2.2" xref="A0.Ex78.m2.5.5.2.3.cmml"><mo id="A0.Ex78.m2.5.5.2.2.2.3" xref="A0.Ex78.m2.5.5.2.3.cmml">{</mo><mrow id="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A0.Ex78.m2.2.2" xref="A0.Ex78.m2.2.2.cmml">max</mi><mo id="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1a" xref="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">h</mi><msub id="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">b</mi><mi id="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">n</mi></msub><mrow id="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mn id="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">1</mn><mo id="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">/</mo><mn id="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></mrow></msubsup><mo id="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">η</mi><mo id="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">∗</mo></msub><mo id="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">∣</mo><mi id="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></mrow><mo id="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">𝒩</mi><mo id="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">∖</mo><mrow id="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">{</mo><mi id="A0.Ex78.m2.1.1" xref="A0.Ex78.m2.1.1.cmml">N</mi><mo id="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow></mrow><mo id="A0.Ex78.m2.5.5.2.2.2.4" xref="A0.Ex78.m2.5.5.2.3.cmml">,</mo><mrow id="A0.Ex78.m2.5.5.2.2.2.2.1" xref="A0.Ex78.m2.5.5.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex78.m2.5.5.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex78.m2.5.5.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.Ex78.m2.5.5.2.2.2.2.1.1" xref="A0.Ex78.m2.5.5.2.2.2.2.1.1.cmml"><mn id="A0.Ex78.m2.5.5.2.2.2.2.1.1.2" xref="A0.Ex78.m2.5.5.2.2.2.2.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="A0.Ex78.m2.5.5.2.2.2.2.1.1.1" xref="A0.Ex78.m2.5.5.2.2.2.2.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A0.Ex78.m2.5.5.2.2.2.2.1.1.3" xref="A0.Ex78.m2.5.5.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="A0.Ex78.m2.5.5.2.2.2.2.1.1.3.2" xref="A0.Ex78.m2.5.5.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml">η</mi><mo id="A0.Ex78.m2.5.5.2.2.2.2.1.1.3.3" xref="A0.Ex78.m2.5.5.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msub></mrow><mo id="A0.Ex78.m2.5.5.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex78.m2.5.5.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A0.Ex78.m2.5.5.2.2.2.5" xref="A0.Ex78.m2.5.5.2.3.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex78.m2.5b"><apply id="A0.Ex78.m2.5.5.cmml" xref="A0.Ex78.m2.5.5"><eq id="A0.Ex78.m2.5.5.3.cmml" xref="A0.Ex78.m2.5.5.3"></eq><csymbol cd="latexml" id="A0.Ex78.m2.5.5.4.cmml" xref="A0.Ex78.m2.5.5.4">absent</csymbol><apply id="A0.Ex78.m2.5.5.2.3.cmml" xref="A0.Ex78.m2.5.5.2.2"><max id="A0.Ex78.m2.3.3.cmml" xref="A0.Ex78.m2.3.3"></max><apply id="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1"><max id="A0.Ex78.m2.2.2.cmml" xref="A0.Ex78.m2.2.2"></max><apply id="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1"><in id="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2"></in><apply id="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2">conditional</csymbol><apply id="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">ℎ</ci><apply id="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A0.Ex78.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci 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caligraphic_N ∖ { italic_N } } , ( 1 - italic_η start_POSTSUBSCRIPT ∗ end_POSTSUBSCRIPT ) }</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A0.Ex79"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\overset{\eqref{h.f.argmax}}{=}\max\left\{h_{b_{N-1}}^{1/2}(\eta_% {*}),(1-\eta_{*})\right\}\overset{\eqref{h.eta.star}}{=}h_{b_{N-1}}^{1/2}(\eta% _{*})" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex79.m1.4"><semantics id="A0.Ex79.m1.4a"><mrow id="A0.Ex79.m1.4.4" xref="A0.Ex79.m1.4.4.cmml"><mover accent="true" id="A0.Ex79.m1.4.4.5" xref="A0.Ex79.m1.4.4.5.cmml"><mo id="A0.Ex79.m1.4.4.5.2" xref="A0.Ex79.m1.4.4.5.2.cmml">=</mo><mrow id="A0.Ex79.m1.4.4.5.1" xref="A0.Ex79.m1.4.4.5.1.cmml"><mi id="A0.Ex79.m1.4.4.5.1.2" 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id="A0.Ex79.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.1" xref="A0.Ex79.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.1.cmml">/</mo><mn id="A0.Ex79.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.3" xref="A0.Ex79.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></mrow></msubsup><mo id="A0.Ex79.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex79.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex79.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex79.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex79.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex79.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="A0.Ex79.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex79.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex79.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex79.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">η</mi><mo id="A0.Ex79.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex79.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">∗</mo></msub><mo id="A0.Ex79.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex79.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A0.Ex79.m1.3.3.2.2.2.4" xref="A0.Ex79.m1.3.3.2.3.cmml">,</mo><mrow id="A0.Ex79.m1.3.3.2.2.2.2.1" xref="A0.Ex79.m1.3.3.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex79.m1.3.3.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex79.m1.3.3.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.Ex79.m1.3.3.2.2.2.2.1.1" xref="A0.Ex79.m1.3.3.2.2.2.2.1.1.cmml"><mn id="A0.Ex79.m1.3.3.2.2.2.2.1.1.2" xref="A0.Ex79.m1.3.3.2.2.2.2.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="A0.Ex79.m1.3.3.2.2.2.2.1.1.1" xref="A0.Ex79.m1.3.3.2.2.2.2.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A0.Ex79.m1.3.3.2.2.2.2.1.1.3" xref="A0.Ex79.m1.3.3.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="A0.Ex79.m1.3.3.2.2.2.2.1.1.3.2" xref="A0.Ex79.m1.3.3.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml">η</mi><mo id="A0.Ex79.m1.3.3.2.2.2.2.1.1.3.3" xref="A0.Ex79.m1.3.3.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msub></mrow><mo id="A0.Ex79.m1.3.3.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex79.m1.3.3.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A0.Ex79.m1.3.3.2.2.2.5" xref="A0.Ex79.m1.3.3.2.3.cmml">}</mo></mrow></mrow><mo id="A0.Ex79.m1.4.4.4a" xref="A0.Ex79.m1.4.4.4.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="A0.Ex79.m1.4.4.6" xref="A0.Ex79.m1.4.4.6.cmml"><mo id="A0.Ex79.m1.4.4.6.2" 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xref="A0.Ex79.m1.4.4.7.2.3.cmml"><mi id="A0.Ex79.m1.4.4.7.2.3.2" xref="A0.Ex79.m1.4.4.7.2.3.2.cmml">b</mi><mrow id="A0.Ex79.m1.4.4.7.2.3.3" xref="A0.Ex79.m1.4.4.7.2.3.3.cmml"><mi id="A0.Ex79.m1.4.4.7.2.3.3.2" xref="A0.Ex79.m1.4.4.7.2.3.3.2.cmml">N</mi><mo id="A0.Ex79.m1.4.4.7.2.3.3.1" xref="A0.Ex79.m1.4.4.7.2.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="A0.Ex79.m1.4.4.7.2.3.3.3" xref="A0.Ex79.m1.4.4.7.2.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mrow id="A0.Ex79.m1.4.4.7.3" xref="A0.Ex79.m1.4.4.7.3.cmml"><mn id="A0.Ex79.m1.4.4.7.3.2" xref="A0.Ex79.m1.4.4.7.3.2.cmml">1</mn><mo id="A0.Ex79.m1.4.4.7.3.1" xref="A0.Ex79.m1.4.4.7.3.1.cmml">/</mo><mn id="A0.Ex79.m1.4.4.7.3.3" xref="A0.Ex79.m1.4.4.7.3.3.cmml">2</mn></mrow></msubsup><mo id="A0.Ex79.m1.4.4.4c" xref="A0.Ex79.m1.4.4.4.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex79.m1.4.4.3.1" xref="A0.Ex79.m1.4.4.3.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex79.m1.4.4.3.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex79.m1.4.4.3.1.1.cmml">(</mo><msub id="A0.Ex79.m1.4.4.3.1.1" xref="A0.Ex79.m1.4.4.3.1.1.cmml"><mi 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Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">41</span></a></mtext></ci><ci id="A0.Ex79.m1.4.4.5.1.4.cmml" xref="A0.Ex79.m1.4.4.5.1.4">italic-)</ci></apply><eq id="A0.Ex79.m1.4.4.5.2.cmml" xref="A0.Ex79.m1.4.4.5.2"></eq></apply><apply id="A0.Ex79.m1.3.3.2.3.cmml" xref="A0.Ex79.m1.3.3.2.2"><max id="A0.Ex79.m1.1.1.cmml" xref="A0.Ex79.m1.1.1"></max><apply id="A0.Ex79.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex79.m1.2.2.1.1.1.1"><times id="A0.Ex79.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex79.m1.2.2.1.1.1.1.2"></times><apply id="A0.Ex79.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex79.m1.2.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex79.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A0.Ex79.m1.2.2.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A0.Ex79.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A0.Ex79.m1.2.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex79.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A0.Ex79.m1.2.2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A0.Ex79.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" 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{*}),(1-\eta_{*})\right\}\overset{\eqref{h.eta.star}}{=}h_{b_{N-1}}^{1/2}(\eta% _{*})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex79.m1.4d">start_OVERACCENT italic_( italic_) end_OVERACCENT start_ARG = end_ARG roman_max { italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_N - 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_η start_POSTSUBSCRIPT ∗ end_POSTSUBSCRIPT ) , ( 1 - italic_η start_POSTSUBSCRIPT ∗ end_POSTSUBSCRIPT ) } start_OVERACCENT italic_( italic_) end_OVERACCENT start_ARG = end_ARG italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_N - 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_η start_POSTSUBSCRIPT ∗ end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A0.Ex80"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq h_{b_{N-1}}^{1/2}(\eta)\leq\max\left\{h_{b_{N-1}}^{1/2}(\eta% ),(1-\eta)\right\}" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex80.m1.5"><semantics id="A0.Ex80.m1.5a"><mrow id="A0.Ex80.m1.5.5" xref="A0.Ex80.m1.5.5.cmml"><mi id="A0.Ex80.m1.5.5.4" xref="A0.Ex80.m1.5.5.4.cmml"></mi><mo id="A0.Ex80.m1.5.5.5" xref="A0.Ex80.m1.5.5.5.cmml">≤</mo><mrow id="A0.Ex80.m1.5.5.6" xref="A0.Ex80.m1.5.5.6.cmml"><msubsup id="A0.Ex80.m1.5.5.6.2" xref="A0.Ex80.m1.5.5.6.2.cmml"><mi id="A0.Ex80.m1.5.5.6.2.2.2" xref="A0.Ex80.m1.5.5.6.2.2.2.cmml">h</mi><msub id="A0.Ex80.m1.5.5.6.2.2.3" xref="A0.Ex80.m1.5.5.6.2.2.3.cmml"><mi id="A0.Ex80.m1.5.5.6.2.2.3.2" xref="A0.Ex80.m1.5.5.6.2.2.3.2.cmml">b</mi><mrow id="A0.Ex80.m1.5.5.6.2.2.3.3" xref="A0.Ex80.m1.5.5.6.2.2.3.3.cmml"><mi id="A0.Ex80.m1.5.5.6.2.2.3.3.2" xref="A0.Ex80.m1.5.5.6.2.2.3.3.2.cmml">N</mi><mo id="A0.Ex80.m1.5.5.6.2.2.3.3.1" xref="A0.Ex80.m1.5.5.6.2.2.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="A0.Ex80.m1.5.5.6.2.2.3.3.3" xref="A0.Ex80.m1.5.5.6.2.2.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mrow id="A0.Ex80.m1.5.5.6.2.3" xref="A0.Ex80.m1.5.5.6.2.3.cmml"><mn id="A0.Ex80.m1.5.5.6.2.3.2" xref="A0.Ex80.m1.5.5.6.2.3.2.cmml">1</mn><mo id="A0.Ex80.m1.5.5.6.2.3.1" xref="A0.Ex80.m1.5.5.6.2.3.1.cmml">/</mo><mn id="A0.Ex80.m1.5.5.6.2.3.3" xref="A0.Ex80.m1.5.5.6.2.3.3.cmml">2</mn></mrow></msubsup><mo id="A0.Ex80.m1.5.5.6.1" xref="A0.Ex80.m1.5.5.6.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex80.m1.5.5.6.3.2" xref="A0.Ex80.m1.5.5.6.cmml"><mo id="A0.Ex80.m1.5.5.6.3.2.1" stretchy="false" xref="A0.Ex80.m1.5.5.6.cmml">(</mo><mi id="A0.Ex80.m1.1.1" xref="A0.Ex80.m1.1.1.cmml">η</mi><mo id="A0.Ex80.m1.5.5.6.3.2.2" stretchy="false" xref="A0.Ex80.m1.5.5.6.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A0.Ex80.m1.5.5.7" xref="A0.Ex80.m1.5.5.7.cmml">≤</mo><mrow id="A0.Ex80.m1.5.5.2.2" xref="A0.Ex80.m1.5.5.2.3.cmml"><mi id="A0.Ex80.m1.3.3" xref="A0.Ex80.m1.3.3.cmml">max</mi><mo id="A0.Ex80.m1.5.5.2.2a" xref="A0.Ex80.m1.5.5.2.3.cmml">⁡</mo><mrow id="A0.Ex80.m1.5.5.2.2.2" xref="A0.Ex80.m1.5.5.2.3.cmml"><mo id="A0.Ex80.m1.5.5.2.2.2.3" xref="A0.Ex80.m1.5.5.2.3.cmml">{</mo><mrow id="A0.Ex80.m1.4.4.1.1.1.1" xref="A0.Ex80.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A0.Ex80.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex80.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A0.Ex80.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2" xref="A0.Ex80.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.cmml">h</mi><msub id="A0.Ex80.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3" xref="A0.Ex80.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A0.Ex80.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A0.Ex80.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">b</mi><mrow id="A0.Ex80.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A0.Ex80.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml"><mi id="A0.Ex80.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.3.2" xref="A0.Ex80.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.3.2.cmml">N</mi><mo id="A0.Ex80.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.3.1" xref="A0.Ex80.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="A0.Ex80.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.3.3" xref="A0.Ex80.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mrow id="A0.Ex80.m1.4.4.1.1.1.1.2.3" xref="A0.Ex80.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml"><mn id="A0.Ex80.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.2" xref="A0.Ex80.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn><mo id="A0.Ex80.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.1" xref="A0.Ex80.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.1.cmml">/</mo><mn id="A0.Ex80.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.3" xref="A0.Ex80.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.3.cmml">2</mn></mrow></msubsup><mo id="A0.Ex80.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex80.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex80.m1.4.4.1.1.1.1.3.2" xref="A0.Ex80.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex80.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A0.Ex80.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A0.Ex80.m1.2.2" xref="A0.Ex80.m1.2.2.cmml">η</mi><mo id="A0.Ex80.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A0.Ex80.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A0.Ex80.m1.5.5.2.2.2.4" xref="A0.Ex80.m1.5.5.2.3.cmml">,</mo><mrow id="A0.Ex80.m1.5.5.2.2.2.2.1" xref="A0.Ex80.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex80.m1.5.5.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex80.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.Ex80.m1.5.5.2.2.2.2.1.1" xref="A0.Ex80.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.cmml"><mn id="A0.Ex80.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.2" xref="A0.Ex80.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="A0.Ex80.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1" xref="A0.Ex80.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="A0.Ex80.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.3" xref="A0.Ex80.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.3.cmml">η</mi></mrow><mo id="A0.Ex80.m1.5.5.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex80.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A0.Ex80.m1.5.5.2.2.2.5" xref="A0.Ex80.m1.5.5.2.3.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex80.m1.5b"><apply id="A0.Ex80.m1.5.5.cmml" xref="A0.Ex80.m1.5.5"><and id="A0.Ex80.m1.5.5a.cmml" xref="A0.Ex80.m1.5.5"></and><apply id="A0.Ex80.m1.5.5b.cmml" xref="A0.Ex80.m1.5.5"><leq id="A0.Ex80.m1.5.5.5.cmml" xref="A0.Ex80.m1.5.5.5"></leq><csymbol cd="latexml" id="A0.Ex80.m1.5.5.4.cmml" 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id="A0.Ex80.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.3.1.cmml" xref="A0.Ex80.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.3.1"></minus><ci id="A0.Ex80.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.3.2.cmml" xref="A0.Ex80.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.3.2">𝑁</ci><cn id="A0.Ex80.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A0.Ex80.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="A0.Ex80.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A0.Ex80.m1.4.4.1.1.1.1.2.3"><divide id="A0.Ex80.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A0.Ex80.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.1"></divide><cn id="A0.Ex80.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A0.Ex80.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.2">1</cn><cn id="A0.Ex80.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A0.Ex80.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.3">2</cn></apply></apply><ci id="A0.Ex80.m1.2.2.cmml" xref="A0.Ex80.m1.2.2">𝜂</ci></apply><apply id="A0.Ex80.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="A0.Ex80.m1.5.5.2.2.2.2.1"><minus id="A0.Ex80.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex80.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1"></minus><cn id="A0.Ex80.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.2.cmml" type="integer" 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ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\overset{\eqref{h.f.argmax}}{=}\max\left\{\max\{\,h_{b_{n}}^{1/2}% (\eta){\mathbin{}\mid\mathbin{}}n\in\mathcal{N}\setminus\{N\}\,\},(1-\eta)\right\}" class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex81.m1.6"><semantics id="A0.Ex81.m1.6a"><mrow id="A0.Ex81.m1.6.6" xref="A0.Ex81.m1.6.6.cmml"><mover accent="true" id="A0.Ex81.m1.6.6.4" xref="A0.Ex81.m1.6.6.4.cmml"><mo id="A0.Ex81.m1.6.6.4.2" xref="A0.Ex81.m1.6.6.4.2.cmml">=</mo><mrow id="A0.Ex81.m1.6.6.4.1" xref="A0.Ex81.m1.6.6.4.1.cmml"><mi id="A0.Ex81.m1.6.6.4.1.2" xref="A0.Ex81.m1.6.6.4.1.2.cmml">(</mi><mo id="A0.Ex81.m1.6.6.4.1.1" xref="A0.Ex81.m1.6.6.4.1.1.cmml">⁢</mo><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="A0.Ex81.m1.6.6.4.1.3" xref="A0.Ex81.m1.6.6.4.1.3c.cmml"><a class="ltx_ref ltx_font_italic" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#A0.E41" title="Equation 41 ‣ V Conclusions ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">41</span></a></mtext><mo id="A0.Ex81.m1.6.6.4.1.1a" xref="A0.Ex81.m1.6.6.4.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A0.Ex81.m1.6.6.4.1.4" xref="A0.Ex81.m1.6.6.4.1.4.cmml">)</mi></mrow></mover><mo id="A0.Ex81.m1.6.6.3" xref="A0.Ex81.m1.6.6.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex81.m1.6.6.2.2" xref="A0.Ex81.m1.6.6.2.3.cmml"><mi id="A0.Ex81.m1.4.4" xref="A0.Ex81.m1.4.4.cmml">max</mi><mo id="A0.Ex81.m1.6.6.2.2a" xref="A0.Ex81.m1.6.6.2.3.cmml">⁡</mo><mrow id="A0.Ex81.m1.6.6.2.2.2" xref="A0.Ex81.m1.6.6.2.3.cmml"><mo id="A0.Ex81.m1.6.6.2.2.2.3" xref="A0.Ex81.m1.6.6.2.3.cmml">{</mo><mrow id="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A0.Ex81.m1.3.3" xref="A0.Ex81.m1.3.3.cmml">max</mi><mo id="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.1a" xref="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><msubsup id="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">h</mi><msub id="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml">b</mi><mi id="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3" xref="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml">n</mi></msub><mrow id="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml"><mn id="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2" xref="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml">1</mn><mo id="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1" xref="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml">/</mo><mn id="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3" xref="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml">2</mn></mrow></msubsup><mo id="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mo id="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="A0.Ex81.m1.1.1" xref="A0.Ex81.m1.1.1.cmml">η</mi><mo id="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">∣</mo><mi id="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">n</mi></mrow><mo id="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∈</mo><mrow id="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">𝒩</mi><mo id="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">∖</mo><mrow id="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">{</mo><mi id="A0.Ex81.m1.2.2" xref="A0.Ex81.m1.2.2.cmml">N</mi><mo id="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow></mrow><mo id="A0.Ex81.m1.6.6.2.2.2.4" xref="A0.Ex81.m1.6.6.2.3.cmml">,</mo><mrow id="A0.Ex81.m1.6.6.2.2.2.2.1" xref="A0.Ex81.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex81.m1.6.6.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex81.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.Ex81.m1.6.6.2.2.2.2.1.1" xref="A0.Ex81.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.cmml"><mn id="A0.Ex81.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.2" xref="A0.Ex81.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="A0.Ex81.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.1" xref="A0.Ex81.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="A0.Ex81.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.3" xref="A0.Ex81.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.3.cmml">η</mi></mrow><mo id="A0.Ex81.m1.6.6.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex81.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A0.Ex81.m1.6.6.2.2.2.5" xref="A0.Ex81.m1.6.6.2.3.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex81.m1.6b"><apply id="A0.Ex81.m1.6.6.cmml" xref="A0.Ex81.m1.6.6"><times id="A0.Ex81.m1.6.6.3.cmml" xref="A0.Ex81.m1.6.6.3"></times><apply id="A0.Ex81.m1.6.6.4.cmml" 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xref="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.1"><max id="A0.Ex81.m1.3.3.cmml" xref="A0.Ex81.m1.3.3"></max><apply id="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1"><in id="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1"></in><apply id="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1">conditional</csymbol><apply id="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><times id="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1"></times><apply id="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="A0.Ex81.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol 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id="A0.Ex81.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.2.cmml" type="integer" xref="A0.Ex81.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.2">1</cn><ci id="A0.Ex81.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex81.m1.6.6.2.2.2.2.1.1.3">𝜂</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex81.m1.6c">\displaystyle\overset{\eqref{h.f.argmax}}{=}\max\left\{\max\{\,h_{b_{n}}^{1/2}% (\eta){\mathbin{}\mid\mathbin{}}n\in\mathcal{N}\setminus\{N\}\,\},(1-\eta)\right\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex81.m1.6d">start_OVERACCENT italic_( italic_) end_OVERACCENT start_ARG = end_ARG roman_max { roman_max { italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_η ) ∣ italic_n ∈ caligraphic_N ∖ { italic_N } } , ( 1 - italic_η ) }</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A0.Ex82"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\varrho(\eta)\,," class="ltx_Math" display="inline" id="A0.Ex82.m1.2"><semantics id="A0.Ex82.m1.2a"><mrow id="A0.Ex82.m1.2.2.1" xref="A0.Ex82.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A0.Ex82.m1.2.2.1.1" xref="A0.Ex82.m1.2.2.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex82.m1.2.2.1.1.2" xref="A0.Ex82.m1.2.2.1.1.2.cmml"></mi><mo id="A0.Ex82.m1.2.2.1.1.1" xref="A0.Ex82.m1.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A0.Ex82.m1.2.2.1.1.3" xref="A0.Ex82.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="A0.Ex82.m1.2.2.1.1.3.2" xref="A0.Ex82.m1.2.2.1.1.3.2.cmml">ϱ</mi><mo id="A0.Ex82.m1.2.2.1.1.3.1" xref="A0.Ex82.m1.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex82.m1.2.2.1.1.3.3.2" xref="A0.Ex82.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mo id="A0.Ex82.m1.2.2.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A0.Ex82.m1.2.2.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A0.Ex82.m1.1.1" xref="A0.Ex82.m1.1.1.cmml">η</mi><mo id="A0.Ex82.m1.2.2.1.1.3.3.2.2" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="A0.Ex82.m1.2.2.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A0.Ex82.m1.2.2.1.2" xref="A0.Ex82.m1.2.2.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex82.m1.2b"><apply id="A0.Ex82.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A0.Ex82.m1.2.2.1"><eq id="A0.Ex82.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex82.m1.2.2.1.1.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="A0.Ex82.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex82.m1.2.2.1.1.2">absent</csymbol><apply id="A0.Ex82.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex82.m1.2.2.1.1.3"><times id="A0.Ex82.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="A0.Ex82.m1.2.2.1.1.3.1"></times><ci id="A0.Ex82.m1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="A0.Ex82.m1.2.2.1.1.3.2">italic-ϱ</ci><ci id="A0.Ex82.m1.1.1.cmml" xref="A0.Ex82.m1.1.1">𝜂</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex82.m1.2c">\displaystyle=\varrho(\eta)\,,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex82.m1.2d">= italic_ϱ ( italic_η ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.p9.2">where the first inequality holds because of <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#Thmthm9" title="Lemma 9. ‣ V Conclusions ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Lemma</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">9</span></a> and <math alttext="b_{N-1}\in(0,1/2)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p9.2.m1.2"><semantics id="S5.p9.2.m1.2a"><mrow id="S5.p9.2.m1.2.2" xref="S5.p9.2.m1.2.2.cmml"><msub id="S5.p9.2.m1.2.2.3" xref="S5.p9.2.m1.2.2.3.cmml"><mi id="S5.p9.2.m1.2.2.3.2" xref="S5.p9.2.m1.2.2.3.2.cmml">b</mi><mrow id="S5.p9.2.m1.2.2.3.3" xref="S5.p9.2.m1.2.2.3.3.cmml"><mi id="S5.p9.2.m1.2.2.3.3.2" xref="S5.p9.2.m1.2.2.3.3.2.cmml">N</mi><mo id="S5.p9.2.m1.2.2.3.3.1" xref="S5.p9.2.m1.2.2.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S5.p9.2.m1.2.2.3.3.3" xref="S5.p9.2.m1.2.2.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S5.p9.2.m1.2.2.2" xref="S5.p9.2.m1.2.2.2.cmml">∈</mo><mrow id="S5.p9.2.m1.2.2.1.1" xref="S5.p9.2.m1.2.2.1.2.cmml"><mo id="S5.p9.2.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.p9.2.m1.2.2.1.2.cmml">(</mo><mn id="S5.p9.2.m1.1.1" xref="S5.p9.2.m1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S5.p9.2.m1.2.2.1.1.3" xref="S5.p9.2.m1.2.2.1.2.cmml">,</mo><mrow id="S5.p9.2.m1.2.2.1.1.1" xref="S5.p9.2.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mn id="S5.p9.2.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S5.p9.2.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S5.p9.2.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S5.p9.2.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">/</mo><mn id="S5.p9.2.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S5.p9.2.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><mo id="S5.p9.2.m1.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S5.p9.2.m1.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p9.2.m1.2b"><apply id="S5.p9.2.m1.2.2.cmml" xref="S5.p9.2.m1.2.2"><in id="S5.p9.2.m1.2.2.2.cmml" xref="S5.p9.2.m1.2.2.2"></in><apply id="S5.p9.2.m1.2.2.3.cmml" xref="S5.p9.2.m1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p9.2.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S5.p9.2.m1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.p9.2.m1.2.2.3.2.cmml" xref="S5.p9.2.m1.2.2.3.2">𝑏</ci><apply id="S5.p9.2.m1.2.2.3.3.cmml" xref="S5.p9.2.m1.2.2.3.3"><minus id="S5.p9.2.m1.2.2.3.3.1.cmml" xref="S5.p9.2.m1.2.2.3.3.1"></minus><ci id="S5.p9.2.m1.2.2.3.3.2.cmml" xref="S5.p9.2.m1.2.2.3.3.2">𝑁</ci><cn id="S5.p9.2.m1.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.p9.2.m1.2.2.3.3.3">1</cn></apply></apply><interval closure="open" id="S5.p9.2.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S5.p9.2.m1.2.2.1.1"><cn id="S5.p9.2.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.p9.2.m1.1.1">0</cn><apply id="S5.p9.2.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.p9.2.m1.2.2.1.1.1"><divide id="S5.p9.2.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p9.2.m1.2.2.1.1.1.1"></divide><cn id="S5.p9.2.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S5.p9.2.m1.2.2.1.1.1.2">1</cn><cn id="S5.p9.2.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p9.2.m1.2.2.1.1.1.3">2</cn></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p9.2.m1.2c">b_{N-1}\in(0,1/2)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p9.2.m1.2d">italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_N - 1 end_POSTSUBSCRIPT ∈ ( 0 , 1 / 2 )</annotation></semantics></math>. The previous result establishes <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.16192v1#Thmthm6" title="Theorem 6. ‣ III-C Performance analysis of Algorithm 1 ‣ III Novel Distributed Nonparametric B-Maps ‣ Nonparametric Bellman Mappings for Value Iteration in Distributed Reinforcement Learning"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">Theorem</span> <span class="ltx_text ltx_ref_tag">6</span></a>.</p> </div> </section> <section class="ltx_bibliography" id="bib"> <h2 class="ltx_title ltx_title_bibliography">References</h2> <ul class="ltx_biblist"> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib1"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[1]</span> <span class="ltx_bibblock"> D. Bertsekas and J. N. Tsitsiklis, <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="bib.bib1.1.1">Neuro-Dynamic Programming</em>. Athena Scientific, 1996. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib2"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[2]</span> <span class="ltx_bibblock"> D. 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