CINXE.COM

<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-enabled skin-theme-clientpref-day vector-sticky-header-enabled vector-toc-available" lang="fa" dir="rtl"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>قدر مطلق (ریاضی) - ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد</title> <script>(function(){var className="client-js vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-enabled skin-theme-clientpref-day vector-sticky-header-enabled vector-toc-available";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )fawikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[".\t,","٫\t٬"],"wgDigitTransformTable":["0\t1\t2\t3\t4\t5\t6\t7\t8\t9\t%","۰\t۱\t۲\t۳\t۴\t۵\t۶\t۷\t۸\t۹\t٪"],"wgDefaultDateFormat":"dmy","wgMonthNames":["","ژانویه","فوریه","مارس","آوریل","مه","ژوئن","ژوئیه","اوت","سپتامبر","اکتبر","نوامبر","دسامبر"],"wgRequestId":"ccf39cb3-7897-41e6-86ec-5006b77059a4","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"قدر_مطلق_(ریاضی)","wgTitle":"قدر مطلق (ریاضی)","wgCurRevisionId":41053806,"wgRevisionId":41053806,"wgArticleId":146947,"wgIsArticle":true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":["مقاله‌های دارای واژگان به زبان انگلیسی","اعداد حقیقی","توابع ریاضی","حسابان","نرم‌ها (ریاضیات)"],"wgPageViewLanguage":"fa","wgPageContentLanguage":"fa","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"قدر_مطلق_(ریاضی)","wgRelevantArticleId":146947,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":true,"wgFlaggedRevsParams":{"tags":{"status":{"levels":1}}},"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"fa","pageLanguageDir":"rtl","pageVariantFallbacks":"fa"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":20000,"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":false,"wgVector2022LanguageInHeader":true,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q120812","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":true,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false,"wgSiteNoticeId":"2.0"}; RLSTATE={"ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","ext.cite.styles":"ready","ext.math.styles":"ready","skins.vector.search.codex.styles":"ready","skins.vector.styles":"ready","skins.vector.icons":"ready","jquery.makeCollapsible.styles":"ready","ext.wikimediamessages.styles":"ready","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","wikibase.client.init":"ready","ext.dismissableSiteNotice.styles":"ready"};RLPAGEMODULES=["ext.cite.ux-enhancements","mediawiki.page.media","site","mediawiki.page.ready","jquery.makeCollapsible","mediawiki.toc","skins.vector.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.gadget.Edittools","ext.gadget.EasyNewSection","ext.gadget.signit","ext.gadget.decodesummary","ext.gadget.Watchlist","ext.gadget.switcher","ext.gadget.refToolbar","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.cx.uls.quick.actions","wikibase.client.vector-2022","ext.checkUser.clientHints","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession","ext.dismissableSiteNotice"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); }];});});</script> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=fa&modules=ext.cite.styles%7Cext.dismissableSiteNotice.styles%7Cext.math.styles%7Cext.uls.interlanguage%7Cext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript%7Cext.wikimediamessages.styles%7Cjquery.makeCollapsible.styles%7Cskins.vector.icons%2Cstyles%7Cskins.vector.search.codex.styles%7Cwikibase.client.init&only=styles&skin=vector-2022"> <script async="" src="/w/load.php?lang=fa&modules=startup&only=scripts&raw=1&skin=vector-2022"></script> <meta name="ResourceLoaderDynamicStyles" content=""> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=fa&modules=site.styles&only=styles&skin=vector-2022"> <meta name="generator" content="MediaWiki 1.44.0-wmf.19"> <meta name="referrer" content="origin"> <meta name="referrer" content="origin-when-cross-origin"> <meta name="robots" content="max-image-preview:standard"> <meta name="format-detection" content="telephone=no"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6b/Absolute_value.svg/1200px-Absolute_value.svg.png"> <meta property="og:image:width" content="1200"> <meta property="og:image:height" content="800"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6b/Absolute_value.svg/800px-Absolute_value.svg.png"> <meta property="og:image:width" content="800"> <meta property="og:image:height" content="533"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6b/Absolute_value.svg/640px-Absolute_value.svg.png"> <meta property="og:image:width" content="640"> <meta property="og:image:height" content="427"> <meta name="viewport" content="width=1120"> <meta property="og:title" content="قدر مطلق (ریاضی) - ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد"> <meta property="og:type" content="website"> <link rel="preconnect" href="//upload.wikimedia.org"> <link rel="alternate" media="only screen and (max-width: 640px)" href="//fa.m.wikipedia.org/wiki/%D9%82%D8%AF%D8%B1_%D9%85%D8%B7%D9%84%D9%82_(%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C)"> <link rel="alternate" type="application/x-wiki" title="ویرایش" href="/w/index.php?title=%D9%82%D8%AF%D8%B1_%D9%85%D8%B7%D9%84%D9%82_(%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C)&action=edit"> <link rel="apple-touch-icon" href="/static/apple-touch/wikipedia.png"> <link rel="icon" href="/static/favicon/wikipedia.ico"> <link rel="search" type="application/opensearchdescription+xml" href="/w/rest.php/v1/search" title="ویکی‌پدیا (fa)"> <link rel="EditURI" type="application/rsd+xml" href="//fa.wikipedia.org/w/api.php?action=rsd"> <link rel="canonical" href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%82%D8%AF%D8%B1_%D9%85%D8%B7%D9%84%D9%82_(%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C)"> <link rel="license" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.fa"> <link rel="alternate" type="application/atom+xml" title="خوراک اتم برای ویکی‌پدیا" href="/w/index.php?title=%D9%88%DB%8C%DA%98%D9%87:%D8%AA%D8%BA%DB%8C%DB%8C%D8%B1%D8%A7%D8%AA_%D8%A7%D8%AE%DB%8C%D8%B1&feed=atom"> <link rel="dns-prefetch" href="//meta.wikimedia.org" /> <link rel="dns-prefetch" href="login.wikimedia.org"> </head> <body class="skin--responsive skin-vector skin-vector-search-vue mediawiki rtl sitedir-rtl mw-hide-empty-elt ns-0 ns-subject mw-editable page-قدر_مطلق_ریاضی rootpage-قدر_مطلق_ریاضی skin-vector-2022 action-view"><a class="mw-jump-link" href="#bodyContent">پرش به محتوا</a> <div class="vector-header-container"> <header class="vector-header mw-header"> <div class="vector-header-start"> <nav class="vector-main-menu-landmark" aria-label="وبگاه"> <div id="vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown vector-main-menu-dropdown vector-button-flush-left vector-button-flush-right" title="منوی اصلی" > <input type="checkbox" id="vector-main-menu-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="منوی اصلی" > <label id="vector-main-menu-dropdown-label" for="vector-main-menu-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-menu mw-ui-icon-wikimedia-menu"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">منوی اصلی</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-main-menu-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-main-menu" class="vector-main-menu vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-main-menu-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="main-menu-pinned" data-pinnable-element-id="vector-main-menu" data-pinned-container-id="vector-main-menu-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-main-menu-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">منوی اصلی</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.pin">انتقال به نوار کناری</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.unpin">نهفتن</button> </div> <div id="p-navigation" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-navigation" > <div class="vector-menu-heading"> بازدید محتوا </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-mainpage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D8%B5%D9%81%D8%AD%D9%87%D9%94_%D8%A7%D8%B5%D9%84%DB%8C" title="مشاهدهٔ صفحهٔ اصلی [z]" accesskey="z"><span>صفحهٔ اصلی</span></a></li><li id="n-currentevents" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D8%AF%D8%B1%DA%AF%D8%A7%D9%87:%D8%B1%D9%88%DB%8C%D8%AF%D8%A7%D8%AF%D9%87%D8%A7%DB%8C_%DA%A9%D9%86%D9%88%D9%86%DB%8C" title="یافتن اطلاعات پس‌زمینه پیرامون رویدادهای کنونی"><span>رویدادهای کنونی</span></a></li><li id="n-randompage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D9%88%DB%8C%DA%98%D9%87:%D8%B5%D9%81%D8%AD%D9%87%D9%94_%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF%D9%81%DB%8C" title="آوردن یک صفحهٔ تصادفی [x]" accesskey="x"><span>مقالهٔ تصادفی</span></a></li><li id="n-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D9%88%DB%8C%DA%98%D9%87:%D8%B5%D9%81%D8%AD%D9%87%E2%80%8C%D9%87%D8%A7%DB%8C_%D9%88%DB%8C%DA%98%D9%87"><span>صفحه‌های ویژه</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-collaboration" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-collaboration" > <div class="vector-menu-heading"> همکاری </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-recentchanges" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D9%88%DB%8C%DA%98%D9%87:%D8%AA%D8%BA%DB%8C%DB%8C%D8%B1%D8%A7%D8%AA_%D8%A7%D8%AE%DB%8C%D8%B1" title="فهرستی از تغییرات اخیر ویکی [r]" accesskey="r"><span>تغییرات اخیر</span></a></li><li id="n-cooperateing" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D8%B1%D8%A7%D9%87%D9%86%D9%85%D8%A7:%D9%87%D9%85%DA%A9%D8%A7%D8%B1%DB%8C"><span>ویکی‌نویس شوید!</span></a></li><li id="n-help" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D8%B1%D8%A7%D9%87%D9%86%D9%85%D8%A7:%D9%81%D9%87%D8%B1%D8%B3%D8%AA" title="مکانی برای دریافتن"><span>راهنما</span></a></li><li id="n-contact" class="mw-list-item"><a href="//fa.wikipedia.org/wiki/%D9%88%DB%8C%DA%A9%DB%8C%E2%80%8C%D9%BE%D8%AF%DB%8C%D8%A7:%D8%AA%D9%85%D8%A7%D8%B3_%D8%A8%D8%A7_%D9%85%D8%A7"><span>تماس با ویکی‌پدیا</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> <a href="/wiki/%D8%B5%D9%81%D8%AD%D9%87%D9%94_%D8%A7%D8%B5%D9%84%DB%8C" class="mw-logo"> <img class="mw-logo-icon" src="/static/images/icons/wikipedia.png" alt="" aria-hidden="true" height="50" width="50"> <span class="mw-logo-container skin-invert"> <img class="mw-logo-wordmark" alt="ویکی‌پدیا" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-wordmark-fa.svg" style="width: 6em; height: 2em;"> <img class="mw-logo-tagline" alt="دانشنامهٔ آزاد" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-tagline-fa.svg" width="72" height="18" style="width: 4.5em; height: 1.125em;"> </span> </a> </div> <div class="vector-header-end"> <div id="p-search" role="search" class="vector-search-box-vue vector-search-box-collapses vector-search-box-show-thumbnail vector-search-box-auto-expand-width vector-search-box"> <a href="/wiki/%D9%88%DB%8C%DA%98%D9%87:%D8%AC%D8%B3%D8%AA%D8%AC%D9%88" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only search-toggle" title="جستجو در ویکی‌پدیا [f]" accesskey="f"><span class="vector-icon mw-ui-icon-search mw-ui-icon-wikimedia-search"></span> <span>جستجو</span> </a> <div class="vector-typeahead-search-container"> <div class="cdx-typeahead-search cdx-typeahead-search--show-thumbnail cdx-typeahead-search--auto-expand-width"> <form action="/w/index.php" id="searchform" class="cdx-search-input cdx-search-input--has-end-button"> <div id="simpleSearch" class="cdx-search-input__input-wrapper" data-search-loc="header-moved"> <div class="cdx-text-input cdx-text-input--has-start-icon"> <input class="cdx-text-input__input" type="search" name="search" placeholder="جستجو در ویکی‌پدیا" aria-label="جستجو در ویکی‌پدیا" autocapitalize="sentences" title="جستجو در ویکی‌پدیا [f]" accesskey="f" id="searchInput" > <span class="cdx-text-input__icon cdx-text-input__start-icon"></span> </div> <input type="hidden" name="title" value="ویژه:جستجو"> </div> <button class="cdx-button cdx-search-input__end-button">جستجو</button> </form> </div> </div> </div> <nav class="vector-user-links vector-user-links-wide" aria-label="ابزارهای شخصی"> <div class="vector-user-links-main"> <div id="p-vector-user-menu-preferences" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-userpage" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="ظاهر"> <div id="vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown " title="تغییر ظاهر اندازهٔ قلم، عرض و رنگ صفحه" > <input type="checkbox" id="vector-appearance-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="ظاهر" > <label id="vector-appearance-dropdown-label" for="vector-appearance-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-appearance mw-ui-icon-wikimedia-appearance"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">ظاهر</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-appearance-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <div id="p-vector-user-menu-notifications" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-overflow" class="vector-menu mw-portlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="https://donate.wikimedia.org/?wmf_source=donate&wmf_medium=sidebar&wmf_campaign=fa.wikipedia.org&uselang=fa" class=""><span>کمک مالی</span></a> </li> <li id="pt-createaccount-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=%D9%88%DB%8C%DA%98%D9%87:%D8%A7%DB%8C%D8%AC%D8%A7%D8%AF_%D8%AD%D8%B3%D8%A7%D8%A8_%DA%A9%D8%A7%D8%B1%D8%A8%D8%B1%DB%8C&returnto=%D9%82%D8%AF%D8%B1+%D9%85%D8%B7%D9%84%D9%82+%28%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C%29" title="از شما دعوت می‌شود که یک حساب ایجاد کنید و وارد شوید؛ هرچند که این کار اختیاری است." class=""><span>ساخت حساب</span></a> </li> <li id="pt-login-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=%D9%88%DB%8C%DA%98%D9%87:%D9%88%D8%B1%D9%88%D8%AF_%D8%A8%D9%87_%D8%B3%D8%A7%D9%85%D8%A7%D9%86%D9%87&returnto=%D9%82%D8%AF%D8%B1+%D9%85%D8%B7%D9%84%D9%82+%28%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C%29" title="توصیه می‌شود که به سامانه وارد شوید، گرچه اجباری نیست [o]" accesskey="o" class=""><span>ورود</span></a> </li> </ul> </div> </div> </div> <div id="vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown vector-user-menu vector-button-flush-right vector-user-menu-logged-out" title="گزینه‌های بیشتر" > <input type="checkbox" id="vector-user-links-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="ابزارهای شخصی" > <label id="vector-user-links-dropdown-label" for="vector-user-links-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-ellipsis mw-ui-icon-wikimedia-ellipsis"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">ابزارهای شخصی</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-personal" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-personal user-links-collapsible-item" title="منوی کاربری" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="https://donate.wikimedia.org/?wmf_source=donate&wmf_medium=sidebar&wmf_campaign=fa.wikipedia.org&uselang=fa"><span>کمک مالی</span></a></li><li id="pt-createaccount" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D9%88%DB%8C%DA%98%D9%87:%D8%A7%DB%8C%D8%AC%D8%A7%D8%AF_%D8%AD%D8%B3%D8%A7%D8%A8_%DA%A9%D8%A7%D8%B1%D8%A8%D8%B1%DB%8C&returnto=%D9%82%D8%AF%D8%B1+%D9%85%D8%B7%D9%84%D9%82+%28%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C%29" title="از شما دعوت می‌شود که یک حساب ایجاد کنید و وارد شوید؛ هرچند که این کار اختیاری است."><span class="vector-icon mw-ui-icon-userAdd mw-ui-icon-wikimedia-userAdd"></span> <span>ساخت حساب</span></a></li><li id="pt-login" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D9%88%DB%8C%DA%98%D9%87:%D9%88%D8%B1%D9%88%D8%AF_%D8%A8%D9%87_%D8%B3%D8%A7%D9%85%D8%A7%D9%86%D9%87&returnto=%D9%82%D8%AF%D8%B1+%D9%85%D8%B7%D9%84%D9%82+%28%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C%29" title="توصیه می‌شود که به سامانه وارد شوید، گرچه اجباری نیست [o]" accesskey="o"><span class="vector-icon mw-ui-icon-logIn mw-ui-icon-wikimedia-logIn"></span> <span>ورود</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-user-menu-anon-editor" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-user-menu-anon-editor" > <div class="vector-menu-heading"> صفحه‌هایی برای ویرایشگرانی که از سامانه خارج شدند <a href="/wiki/%D8%B1%D8%A7%D9%87%D9%86%D9%85%D8%A7:%D9%85%D9%82%D8%AF%D9%85%D9%87" aria-label="دربارهٔ ویرایش کردن بیشتر بدانید"><span>بیشتر بدانید</span></a> </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D9%88%DB%8C%DA%98%D9%87:%D9%85%D8%B4%D8%A7%D8%B1%DA%A9%D8%AA%E2%80%8C%D9%87%D8%A7%DB%8C_%D9%85%D9%86" title="فهرست ویرایش‌ها انجام شده از این نشانی آی‌پی [y]" accesskey="y"><span>مشارکت‌ها</span></a></li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D9%88%DB%8C%DA%98%D9%87:%D8%A8%D8%AD%D8%AB_%D9%85%D9%86" title="بحث پیرامون ویرایش‌های این نشانی آی‌پی [n]" accesskey="n"><span>بحث</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </header> </div> <div class="mw-page-container"> <div class="mw-page-container-inner"> <div class="vector-sitenotice-container"> <div id="siteNotice"><div id="mw-dismissablenotice-anonplace"></div><script>(function(){var node=document.getElementById("mw-dismissablenotice-anonplace");if(node){node.outerHTML="\u003Cdiv class=\"mw-dismissable-notice\"\u003E\u003Cdiv class=\"mw-dismissable-notice-close\"\u003E[\u003Ca tabindex=\"0\" role=\"button\"\u003Eپنهان‌سازی\u003C/a\u003E]\u003C/div\u003E\u003Cdiv class=\"mw-dismissable-notice-body\"\u003E\u003C!-- CentralNotice --\u003E\u003Cdiv id=\"localNotice\" data-nosnippet=\"\"\u003E\u003Cdiv class=\"sitenotice\" lang=\"fa\" dir=\"rtl\"\u003E\u003Ctable style=\"box-shadow: 0 0 0.2em var(--color-destructive, #bf3c2c);font-family:vazir; border-radius: 0.6em; margin: 0.5em 0.5em 1em 0.5em;font-size:12pt; background-color: var(--background-color-base, #fff);\"\u003E\n\u003Ctbody\u003E\u003Ctr\u003E\n\u003Ctd rowspan=\"2\" style=\"vertical-align: middle; padding: 3px; width: 145px;\"\u003E\u003Cspan class=\"skin-invert-image\"\u003E\u003Cspan typeof=\"mw:File\"\u003E\u003Ca href=\"/wiki/%D9%88%DB%8C%DA%A9%DB%8C%E2%80%8C%D9%BE%D8%AF%DB%8C%D8%A7:%D8%B2%D9%86%D8%A7%D9%86_%D8%B3%D8%B1%D8%AE%E2%80%8C%D9%BE%D9%88%D8%B4/%DB%B2%DB%B0%DB%B2%DB%B5\" title=\"ویکی‌پدیا:زنان سرخ‌پوش/۲۰۲۵\"\u003E\u003Cimg src=\"//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/13/Women_in_Red-2025.png/145px-Women_in_Red-2025.png\" decoding=\"async\" width=\"145\" height=\"145\" class=\"mw-file-element\" srcset=\"//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/13/Women_in_Red-2025.png/218px-Women_in_Red-2025.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/13/Women_in_Red-2025.png/290px-Women_in_Red-2025.png 2x\" data-file-width=\"1024\" data-file-height=\"1024\" /\u003E\u003C/a\u003E\u003C/span\u003E\u003C/span\u003E\n\u003C/td\u003E\n\u003Ctd style=\"font-size: 16pt; padding: 3px 3px 0 3px; height: 1.5em; var(--color-destructive, #bf3c2c);\"\u003E\u003Cspan style=\"color: var(--color-destructive, #bf3c2c);\"\u003E\u003Cb\u003E\u003Ca href=\"/wiki/%D9%88%DB%8C%DA%A9%DB%8C%E2%80%8C%D9%BE%D8%AF%DB%8C%D8%A7:%D8%B2%D9%86%D8%A7%D9%86_%D8%B3%D8%B1%D8%AE%E2%80%8C%D9%BE%D9%88%D8%B4/%DB%B2%DB%B0%DB%B2%DB%B5\" title=\"ویکی‌پدیا:زنان سرخ‌پوش/۲۰۲۵\"\u003E\u003Cspan style=\"color: #bf3c2c; text-decoration: inherit; -moz-text-decoration-color: #bf3c2c; text-decoration-color: #bf3c2c;\"\u003Eزنان سرخ‌پوش ۲۰۲۵\u003C/span\u003E\u003C/a\u003E\u003C/b\u003E\u003C/span\u003E\n\u003C/td\u003E\u003C/tr\u003E\n\u003Ctr\u003E\n\u003Ctd style=\"vertical-align: middle; padding: 3px;color: var(--color-base, #202122);\"\u003Eهمزمان با \u003Ca href=\"/wiki/%D8%B1%D9%88%D8%B2_%D8%AC%D9%87%D8%A7%D9%86%DB%8C_%D8%B2%D9%86\" title=\"روز جهانی زن\"\u003Eروز جهانی زن\u003C/a\u003E، مسابقهٔ مقاله‌نویسی \u003Cb\u003E\u003Ca href=\"/wiki/%D9%88%DB%8C%DA%A9%DB%8C%E2%80%8C%D9%BE%D8%AF%DB%8C%D8%A7:%D8%B2%D9%86%D8%A7%D9%86_%D8%B3%D8%B1%D8%AE%E2%80%8C%D9%BE%D9%88%D8%B4/%DB%B2%DB%B0%DB%B2%DB%B5\" title=\"ویکی‌پدیا:زنان سرخ‌پوش/۲۰۲۵\"\u003Eزنان سرخ‌پوش ۲۰۲۵\u003C/a\u003E\u003C/b\u003E با هدف کاهش \u003Ca href=\"/wiki/%D8%AA%D8%B9%D8%B5%D8%A8_%D8%AC%D9%86%D8%B3%DB%8C%D8%AA%DB%8C_%D8%AF%D8%B1_%D9%88%DB%8C%DA%A9%DB%8C%E2%80%8C%D9%BE%D8%AF%DB%8C%D8%A7\" class=\"mw-redirect\" title=\"تعصب جنسیتی در ویکی‌پدیا\"\u003Eشکاف جنسیتی در ویکی‌پدیا\u003C/a\u003E آغاز شده است. اگر به گسترش دانش دربارهٔ زنان علاقه‌مندید، جهت شرکت در این مسابقه \u003Cb\u003E\u003Ca href=\"/wiki/%D9%88%DB%8C%DA%A9%DB%8C%E2%80%8C%D9%BE%D8%AF%DB%8C%D8%A7:%D8%B2%D9%86%D8%A7%D9%86_%D8%B3%D8%B1%D8%AE%E2%80%8C%D9%BE%D9%88%D8%B4/%D8%B4%D8%B1%DA%A9%D8%AA%E2%80%8C%DA%A9%D9%86%D9%86%D8%AF%DA%AF%D8%A7%D9%86/%DB%B2%DB%B0%DB%B2%DB%B5\" title=\"ویکی‌پدیا:زنان سرخ‌پوش/شرکت‌کنندگان/۲۰۲۵\"\u003Eنام‌نویسی\u003C/a\u003E\u003C/b\u003E کنید.\n\u003C/td\u003E\u003C/tr\u003E\u003C/tbody\u003E\u003C/table\u003E\u003C/div\u003E\u003C/div\u003E\u003C/div\u003E\u003C/div\u003E";}}());</script></div> </div> <div class="vector-column-start"> <div class="vector-main-menu-container"> <div id="mw-navigation"> <nav id="mw-panel" class="vector-main-menu-landmark" aria-label="وبگاه"> <div id="vector-main-menu-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> </div> </div> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav id="mw-panel-toc" aria-label="فهرست" data-event-name="ui.sidebar-toc" class="mw-table-of-contents-container vector-toc-landmark"> <div id="vector-toc-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-toc" class="vector-toc vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-toc-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="toc-pinned" data-pinnable-element-id="vector-toc" > <h2 class="vector-pinnable-header-label">فهرست</h2> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.pin">انتقال به نوار کناری</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.unpin">نهفتن</button> </div> <ul class="vector-toc-contents" id="mw-panel-toc-list"> <li id="toc-mw-content-text" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a href="#" class="vector-toc-link"> <div class="vector-toc-text">بخش آغازین</div> </a> </li> <li id="toc-پیشینه" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#پیشینه"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">۱</span> <span>پیشینه</span> </div> </a> <ul id="toc-پیشینه-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-مفهوم_و_ویژگی‌ها" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#مفهوم_و_ویژگی‌ها"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">۲</span> <span>مفهوم و ویژگی‌ها</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-مفهوم_و_ویژگی‌ها-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>تغییر وضعیت زیربخش‌های مفهوم و ویژگی‌ها</span> </button> <ul id="toc-مفهوم_و_ویژگی‌ها-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-اعداد_حقیقی" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#اعداد_حقیقی"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">۲.۱</span> <span>اعداد حقیقی</span> </div> </a> <ul id="toc-اعداد_حقیقی-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-اعداد_مختلط" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#اعداد_مختلط"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">۲.۲</span> <span>اعداد مختلط</span> </div> </a> <ul id="toc-اعداد_مختلط-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-تابع‌های_قدر_مطلق" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#تابع‌های_قدر_مطلق"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">۳</span> <span>تابع‌های قدر مطلق</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-تابع‌های_قدر_مطلق-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>تغییر وضعیت زیربخش‌های تابع‌های قدر مطلق</span> </button> <ul id="toc-تابع‌های_قدر_مطلق-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-مشتق" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#مشتق"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">۳.۱</span> <span>مشتق</span> </div> </a> <ul id="toc-مشتق-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-نمودار_تابع_قدر_مطلق" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#نمودار_تابع_قدر_مطلق"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">۴</span> <span>نمودار تابع قدر مطلق</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-نمودار_تابع_قدر_مطلق-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>تغییر وضعیت زیربخش‌های نمودار تابع قدر مطلق</span> </button> <ul id="toc-نمودار_تابع_قدر_مطلق-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-روش_انتقال" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#روش_انتقال"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">۴.۱</span> <span>روش انتقال</span> </div> </a> <ul id="toc-روش_انتقال-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-روش_نقطه_یابی" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#روش_نقطه_یابی"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">۴.۲</span> <span>روش نقطه یابی</span> </div> </a> <ul id="toc-روش_نقطه_یابی-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-فاصله" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#فاصله"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">۵</span> <span>فاصله</span> </div> </a> <ul id="toc-فاصله-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-در_حالت_کلی" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#در_حالت_کلی"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">۶</span> <span>در حالت کلی</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-در_حالت_کلی-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>تغییر وضعیت زیربخش‌های در حالت کلی</span> </button> <ul id="toc-در_حالت_کلی-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-حلقه‌های_مرتب" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#حلقه‌های_مرتب"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">۶.۱</span> <span>حلقه‌های مرتب</span> </div> </a> <ul id="toc-حلقه‌های_مرتب-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-میدان‌ها" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#میدان‌ها"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">۶.۲</span> <span>میدان‌ها</span> </div> </a> <ul id="toc-میدان‌ها-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-فضای_برداری" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#فضای_برداری"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">۶.۳</span> <span>فضای برداری</span> </div> </a> <ul id="toc-فضای_برداری-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-یادداشت_و_منابع" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#یادداشت_و_منابع"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">۷</span> <span>یادداشت و منابع</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-یادداشت_و_منابع-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>تغییر وضعیت زیربخش‌های یادداشت و منابع</span> </button> <ul id="toc-یادداشت_و_منابع-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-پانویس" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#پانویس"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">۷.۱</span> <span>پانویس</span> </div> </a> <ul id="toc-پانویس-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-کتابشناسی" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#کتابشناسی"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">۷.۲</span> <span>کتابشناسی</span> </div> </a> <ul id="toc-کتابشناسی-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-پیوند_به_بیرون" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#پیوند_به_بیرون"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">۸</span> <span>پیوند به بیرون</span> </div> </a> <ul id="toc-پیوند_به_بیرون-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="فهرست" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" title="فهرست محتوا" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="تغییر وضعیت فهرست محتویات" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">تغییر وضعیت فهرست محتویات</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">قدر مطلق (ریاضی)</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="به مقاله‌ای به یک زبان دیگر بروید. به ۷۶ زبان در دسترس است." > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-76" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">۷۶ زبان</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-af mw-list-item"><a href="https://af.wikipedia.org/wiki/Absolute_waarde" title="Absolute waarde–آفریکانس" lang="af" hreflang="af" data-title="Absolute waarde" data-language-autonym="Afrikaans" data-language-local-name="آفریکانس" class="interlanguage-link-target"><span>Afrikaans</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-am mw-list-item"><a href="https://am.wikipedia.org/wiki/%E1%8A%95%E1%8C%A5%E1%88%A8_%E1%8A%A5%E1%88%B4%E1%89%B5" title="ንጥረ እሴት–امهری" lang="am" hreflang="am" data-title="ንጥረ እሴት" data-language-autonym="አማርኛ" data-language-local-name="امهری" class="interlanguage-link-target"><span>አማርኛ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D9%82%D9%8A%D9%85%D8%A9_%D9%85%D8%B7%D9%84%D9%82%D8%A9" title="قيمة مطلقة–عربی" lang="ar" hreflang="ar" data-title="قيمة مطلقة" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="عربی" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-az mw-list-item"><a href="https://az.wikipedia.org/wiki/M%C3%BCtl%C9%99q_qiym%C9%99t" title="Mütləq qiymət–ترکی آذربایجانی" lang="az" hreflang="az" data-title="Mütləq qiymət" data-language-autonym="Azərbaycanca" data-language-local-name="ترکی آذربایجانی" class="interlanguage-link-target"><span>Azərbaycanca</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%B1%D1%81%D0%B0%D0%BB%D1%8E%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B2%D0%B5%D0%BB%D1%96%D1%87%D1%8B%D0%BD%D1%8F" title="Абсалютная велічыня–بلاروسی" lang="be" hreflang="be" data-title="Абсалютная велічыня" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="بلاروسی" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be-x-old mw-list-item"><a href="https://be-tarask.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%B1%D1%81%D0%B0%D0%BB%D1%8E%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B2%D0%B5%D0%BB%D1%96%D1%87%D1%8B%D0%BD%D1%8F" title="Абсалютная велічыня–بلاروسی (دستورخط کلاسیک)" lang="be-tarask" hreflang="be-tarask" data-title="Абсалютная велічыня" data-language-autonym="Беларуская (тарашкевіца)" data-language-local-name="بلاروسی (دستورخط کلاسیک)" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская (тарашкевіца)</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%B1%D1%81%D0%BE%D0%BB%D1%8E%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82" title="Абсолютна стойност–بلغاری" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Абсолютна стойност" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="بلغاری" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%AA%E0%A6%B0%E0%A6%AE_%E0%A6%AE%E0%A6%BE%E0%A6%A8" title="পরম মান–بنگالی" lang="bn" hreflang="bn" data-title="পরম মান" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="بنگالی" class="interlanguage-link-target"><span>বাংলা</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bo mw-list-item"><a href="https://bo.wikipedia.org/wiki/%E0%BD%9A%E0%BD%B4%E0%BD%82%E0%BD%A6%E0%BC%8B%E0%BD%90%E0%BD%B4%E0%BD%96%E0%BC%8B%E0%BD%A2%E0%BD%B2%E0%BD%93%E0%BC%8B%E0%BD%90%E0%BD%84%E0%BC%8B%E0%BC%8D" title="ཚུགས་ཐུབ་རིན་ཐང་།–تبتی" lang="bo" hreflang="bo" data-title="ཚུགས་ཐུབ་རིན་ཐང་།" data-language-autonym="བོད་ཡིག" data-language-local-name="تبتی" class="interlanguage-link-target"><span>བོད་ཡིག</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bs mw-list-item"><a href="https://bs.wikipedia.org/wiki/Apsolutna_vrijednost" title="Apsolutna vrijednost–بوسنیایی" lang="bs" hreflang="bs" data-title="Apsolutna vrijednost" data-language-autonym="Bosanski" data-language-local-name="بوسنیایی" class="interlanguage-link-target"><span>Bosanski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Valor_absolut" title="Valor absolut–کاتالان" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Valor absolut" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="کاتالان" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a href="https://ckb.wikipedia.org/wiki/%D8%A8%D8%A7%DB%8C%DB%95%D8%AE%DB%8C_%DA%95%DB%95%DA%BE%D8%A7" title="بایەخی ڕەھا–کردی مرکزی" lang="ckb" hreflang="ckb" data-title="بایەخی ڕەھا" data-language-autonym="کوردی" data-language-local-name="کردی مرکزی" class="interlanguage-link-target"><span>کوردی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Absolutn%C3%AD_hodnota" title="Absolutní hodnota–چکی" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Absolutní hodnota" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="چکی" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%B1%D1%81%D0%BE%D0%BB%D1%8E%D1%82%D0%BB%C4%83_%D0%BA%D0%B0%D0%BF" title="Абсолютлă кап–چوواشی" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Абсолютлă кап" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="چوواشی" class="interlanguage-link-target"><span>Чӑвашла</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cy mw-list-item"><a href="https://cy.wikipedia.org/wiki/Gwerth_absoliwt" title="Gwerth absoliwt–ولزی" lang="cy" hreflang="cy" data-title="Gwerth absoliwt" data-language-autonym="Cymraeg" data-language-local-name="ولزی" class="interlanguage-link-target"><span>Cymraeg</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Numerisk_v%C3%A6rdi" title="Numerisk værdi–دانمارکی" lang="da" hreflang="da" data-title="Numerisk værdi" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="دانمارکی" class="interlanguage-link-target"><span>Dansk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Betragsfunktion" title="Betragsfunktion–آلمانی" lang="de" hreflang="de" data-title="Betragsfunktion" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="آلمانی" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%91%CF%80%CF%8C%CE%BB%CF%85%CF%84%CE%B7_%CF%84%CE%B9%CE%BC%CE%AE" title="Απόλυτη τιμή–یونانی" lang="el" hreflang="el" data-title="Απόλυτη τιμή" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="یونانی" class="interlanguage-link-target"><span>Ελληνικά</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Absolute_value" title="Absolute value–انگلیسی" lang="en" hreflang="en" data-title="Absolute value" data-language-autonym="English" data-language-local-name="انگلیسی" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Absoluta_valoro" title="Absoluta valoro–اسپرانتو" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Absoluta valoro" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="اسپرانتو" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Valor_absoluto" title="Valor absoluto–اسپانیایی" lang="es" hreflang="es" data-title="Valor absoluto" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="اسپانیایی" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Absoluutv%C3%A4%C3%A4rtus" title="Absoluutväärtus–استونیایی" lang="et" hreflang="et" data-title="Absoluutväärtus" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="استونیایی" class="interlanguage-link-target"><span>Eesti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Balio_absolutu" title="Balio absolutu–باسکی" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Balio absolutu" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="باسکی" class="interlanguage-link-target"><span>Euskara</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Itseisarvo" title="Itseisarvo–فنلاندی" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Itseisarvo" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="فنلاندی" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Valeur_absolue" title="Valeur absolue–فرانسوی" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Valeur absolue" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="فرانسوی" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fur mw-list-item"><a href="https://fur.wikipedia.org/wiki/Val%C3%B4r_assol%C3%BBt" title="Valôr assolût–فریولیایی" lang="fur" hreflang="fur" data-title="Valôr assolût" data-language-autonym="Furlan" data-language-local-name="فریولیایی" class="interlanguage-link-target"><span>Furlan</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Valor_absoluto" title="Valor absoluto–گالیسیایی" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Valor absoluto" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="گالیسیایی" class="interlanguage-link-target"><span>Galego</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A2%D7%A8%D7%9A_%D7%9E%D7%95%D7%97%D7%9C%D7%98" title="ערך מוחלט–عبری" lang="he" hreflang="he" data-title="ערך מוחלט" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="عبری" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%A8%E0%A4%BF%E0%A4%B0%E0%A4%AA%E0%A5%87%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%B7_%E0%A4%AE%E0%A4%BE%E0%A4%A8" title="निरपेक्ष मान–هندی" lang="hi" hreflang="hi" data-title="निरपेक्ष मान" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="هندی" class="interlanguage-link-target"><span>हिन्दी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Apsolutna_vrijednost_broja" title="Apsolutna vrijednost broja–کروات" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Apsolutna vrijednost broja" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="کروات" class="interlanguage-link-target"><span>Hrvatski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Abszol%C3%BAt%C3%A9rt%C3%A9k-f%C3%BCggv%C3%A9ny" title="Abszolútérték-függvény–مجاری" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Abszolútérték-függvény" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="مجاری" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D4%B2%D5%A1%D6%81%D5%A1%D6%80%D5%B1%D5%A1%D5%AF_%D5%A1%D6%80%D5%AA%D5%A5%D6%84" title="Բացարձակ արժեք–ارمنی" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Բացարձակ արժեք" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="ارمنی" class="interlanguage-link-target"><span>Հայերեն</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ia mw-list-item"><a href="https://ia.wikipedia.org/wiki/Valor_absolute" title="Valor absolute–اینترلینگوا" lang="ia" hreflang="ia" data-title="Valor absolute" data-language-autonym="Interlingua" data-language-local-name="اینترلینگوا" class="interlanguage-link-target"><span>Interlingua</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Nilai_absolut" title="Nilai absolut–اندونزیایی" lang="id" hreflang="id" data-title="Nilai absolut" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="اندونزیایی" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-is mw-list-item"><a href="https://is.wikipedia.org/wiki/Algildi" title="Algildi–ایسلندی" lang="is" hreflang="is" data-title="Algildi" data-language-autonym="Íslenska" data-language-local-name="ایسلندی" class="interlanguage-link-target"><span>Íslenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Valore_assoluto" title="Valore assoluto–ایتالیایی" lang="it" hreflang="it" data-title="Valore assoluto" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="ایتالیایی" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B5%B6%E5%AF%BE%E5%80%A4" title="絶対値–ژاپنی" lang="ja" hreflang="ja" data-title="絶対値" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="ژاپنی" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ka mw-list-item"><a href="https://ka.wikipedia.org/wiki/%E1%83%90%E1%83%91%E1%83%A1%E1%83%9D%E1%83%9A%E1%83%A3%E1%83%A2%E1%83%A3%E1%83%A0%E1%83%98_%E1%83%A1%E1%83%98%E1%83%93%E1%83%98%E1%83%93%E1%83%94" title="აბსოლუტური სიდიდე–گرجی" lang="ka" hreflang="ka" data-title="აბსოლუტური სიდიდე" data-language-autonym="ქართული" data-language-local-name="گرجی" class="interlanguage-link-target"><span>ქართული</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%B1%D1%81%D0%BE%D0%BB%D1%8E%D1%82%D1%82%D1%96_%D1%88%D0%B0%D0%BC%D0%B0" title="Абсолютті шама–قزاقی" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Абсолютті шама" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="قزاقی" class="interlanguage-link-target"><span>Қазақша</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-km mw-list-item"><a href="https://km.wikipedia.org/wiki/%E1%9E%8F%E1%9E%98%E1%9F%92%E1%9E%9B%E1%9F%83%E1%9E%8A%E1%9E%B6%E1%9E%85%E1%9F%8B%E1%9E%81%E1%9E%B6%E1%9E%8F" title="តម្លៃដាច់ខាត–خمری" lang="km" hreflang="km" data-title="តម្លៃដាច់ខាត" data-language-autonym="ភាសាខ្មែរ" data-language-local-name="خمری" class="interlanguage-link-target"><span>ភាសាខ្មែរ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%A0%88%EB%8C%93%EA%B0%92" title="절댓값–کره‌ای" lang="ko" hreflang="ko" data-title="절댓값" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="کره‌ای" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ky mw-list-item"><a href="https://ky.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%B1%D1%81%D0%BE%D0%BB%D1%8E%D1%82%D1%82%D1%83%D0%BA_%D1%87%D0%BE%D2%A3%D0%B4%D1%83%D0%BA" title="Абсолюттук чоңдук–قرقیزی" lang="ky" hreflang="ky" data-title="Абсолюттук чоңдук" data-language-autonym="Кыргызча" data-language-local-name="قرقیزی" class="interlanguage-link-target"><span>Кыргызча</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la mw-list-item"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Magnitudo_absoluta" title="Magnitudo absoluta–لاتین" lang="la" hreflang="la" data-title="Magnitudo absoluta" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="لاتین" class="interlanguage-link-target"><span>Latina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lfn mw-list-item"><a href="https://lfn.wikipedia.org/wiki/Valua_asoluta" title="Valua asoluta–Lingua Franca Nova" lang="lfn" hreflang="lfn" data-title="Valua asoluta" data-language-autonym="Lingua Franca Nova" data-language-local-name="Lingua Franca Nova" class="interlanguage-link-target"><span>Lingua Franca Nova</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Modulis" title="Modulis–لیتوانیایی" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Modulis" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="لیتوانیایی" class="interlanguage-link-target"><span>Lietuvių</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/Absol%C5%ABt%C4%81_v%C4%93rt%C4%ABba" title="Absolūtā vērtība–لتونیایی" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Absolūtā vērtība" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="لتونیایی" class="interlanguage-link-target"><span>Latviešu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk mw-list-item"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BF%D1%81%D0%BE%D0%BB%D1%83%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D0%B2%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82" title="Апсолутна вредност–مقدونی" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Апсолутна вредност" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="مقدونی" class="interlanguage-link-target"><span>Македонски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Nilai_mutlak" title="Nilai mutlak–مالایی" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Nilai mutlak" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="مالایی" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Melayu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-my mw-list-item"><a href="https://my.wikipedia.org/wiki/%E1%80%90%E1%80%99%E1%80%BA%E1%80%B8%E1%80%95%E1%80%9C%E1%80%AD%E1%80%90%E1%80%BA:Absolute_value" title="တမ်းပလိတ်:Absolute value–برمه‌ای" lang="my" hreflang="my" data-title="တမ်းပလိတ်:Absolute value" data-language-autonym="မြန်မာဘာသာ" data-language-local-name="برمه‌ای" class="interlanguage-link-target"><span>မြန်မာဘာသာ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Absolute_waarde" title="Absolute waarde–هلندی" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Absolute waarde" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="هلندی" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Absoluttverdi" title="Absoluttverdi–نروژی نی‌نُشک" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Absoluttverdi" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="نروژی نی‌نُشک" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Absoluttverdi" title="Absoluttverdi–نروژی بوک‌مُل" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Absoluttverdi" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="نروژی بوک‌مُل" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk bokmål</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Warto%C5%9B%C4%87_bezwzgl%C4%99dna" title="Wartość bezwzględna–لهستانی" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Wartość bezwzględna" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="لهستانی" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pms mw-list-item"><a href="https://pms.wikipedia.org/wiki/Valor_assol%C3%B9" title="Valor assolù–پیدمونتی" lang="pms" hreflang="pms" data-title="Valor assolù" data-language-autonym="Piemontèis" data-language-local-name="پیدمونتی" class="interlanguage-link-target"><span>Piemontèis</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_modular" title="Função modular–پرتغالی" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Função modular" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="پرتغالی" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Modul" title="Modul–رومانیایی" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Modul" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="رومانیایی" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%B1%D1%81%D0%BE%D0%BB%D1%8E%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B2%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B8%D0%BD%D0%B0" title="Абсолютная величина–روسی" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Абсолютная величина" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="روسی" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Apsolutna_vrijednost" title="Apsolutna vrijednost–صرب و کرواتی" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Apsolutna vrijednost" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="صرب و کرواتی" class="interlanguage-link-target"><span>Srpskohrvatski / српскохрватски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Absolute_value" title="Absolute value–انگلیسی ساده" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Absolute value" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="انگلیسی ساده" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Absol%C3%BAtna_hodnota_(re%C3%A1lne_a_komplexn%C3%A9_%C4%8D%C3%ADslo)" title="Absolútna hodnota (reálne a komplexné číslo)–اسلواکی" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Absolútna hodnota (reálne a komplexné číslo)" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="اسلواکی" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Absolutna_vrednost" title="Absolutna vrednost–اسلوونیایی" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Absolutna vrednost" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="اسلوونیایی" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-so mw-list-item"><a href="https://so.wikipedia.org/wiki/Qiime_sugan" title="Qiime sugan–سومالیایی" lang="so" hreflang="so" data-title="Qiime sugan" data-language-autonym="Soomaaliga" data-language-local-name="سومالیایی" class="interlanguage-link-target"><span>Soomaaliga</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Vlera_absolute" title="Vlera absolute–آلبانیایی" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Vlera absolute" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="آلبانیایی" class="interlanguage-link-target"><span>Shqip</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BF%D1%81%D0%BE%D0%BB%D1%83%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D0%B2%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82" title="Апсолутна вредност–صربی" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Апсолутна вредност" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="صربی" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Absolutbelopp" title="Absolutbelopp–سوئدی" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Absolutbelopp" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="سوئدی" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%A4%E0%AE%A9%E0%AE%BF_%E0%AE%AE%E0%AE%A4%E0%AE%BF%E0%AE%AA%E0%AF%8D%E0%AE%AA%E0%AF%81" title="தனி மதிப்பு–تامیلی" lang="ta" hreflang="ta" data-title="தனி மதிப்பு" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="تامیلی" class="interlanguage-link-target"><span>தமிழ்</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%84%E0%B9%88%E0%B8%B2%E0%B8%AA%E0%B8%B1%E0%B8%A1%E0%B8%9A%E0%B8%B9%E0%B8%A3%E0%B8%93%E0%B9%8C" title="ค่าสัมบูรณ์–تایلندی" lang="th" hreflang="th" data-title="ค่าสัมบูรณ์" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="تایلندی" class="interlanguage-link-target"><span>ไทย</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tk mw-list-item"><a href="https://tk.wikipedia.org/wiki/Absol%C3%BDut_ululyk" title="Absolýut ululyk–ترکمنی" lang="tk" hreflang="tk" data-title="Absolýut ululyk" data-language-autonym="Türkmençe" data-language-local-name="ترکمنی" class="interlanguage-link-target"><span>Türkmençe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tl mw-list-item"><a href="https://tl.wikipedia.org/wiki/Ganap_na_halaga" title="Ganap na halaga–تاگالوگی" lang="tl" hreflang="tl" data-title="Ganap na halaga" data-language-autonym="Tagalog" data-language-local-name="تاگالوگی" class="interlanguage-link-target"><span>Tagalog</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Mutlak_de%C4%9Fer" title="Mutlak değer–ترکی استانبولی" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Mutlak değer" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="ترکی استانبولی" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BE%D0%B4%D1%83%D0%BB%D1%8C_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Модуль (математика)–اوکراینی" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Модуль (математика)" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="اوکراینی" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/Gi%C3%A1_tr%E1%BB%8B_tuy%E1%BB%87t_%C4%91%E1%BB%91i" title="Giá trị tuyệt đối–ویتنامی" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Giá trị tuyệt đối" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="ویتنامی" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-wuu mw-list-item"><a href="https://wuu.wikipedia.org/wiki/%E7%BB%9D%E5%AF%B9%E5%80%BC" title="绝对值–وو" lang="wuu" hreflang="wuu" data-title="绝对值" data-language-autonym="吴语" data-language-local-name="وو" class="interlanguage-link-target"><span>吴语</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BB%9D%E5%AF%B9%E5%80%BC" title="绝对值–چینی" lang="zh" hreflang="zh" data-title="绝对值" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="چینی" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-classical mw-list-item"><a href="https://zh-classical.wikipedia.org/wiki/%E7%B5%95%E5%B0%8D%E5%80%BC" title="絕對值–چینی ادبی" lang="lzh" hreflang="lzh" data-title="絕對值" data-language-autonym="文言" data-language-local-name="چینی ادبی" class="interlanguage-link-target"><span>文言</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E7%B5%95%E5%B0%8D%E5%80%BC" title="絕對值–کانتونی" lang="yue" hreflang="yue" data-title="絕對值" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="کانتونی" class="interlanguage-link-target"><span>粵語</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q120812#sitelinks-wikipedia" title="ویرایش پیوندهای بین‌زبانی" class="wbc-editpage">ویرایش پیوندها</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="فضاهای نام"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/%D9%82%D8%AF%D8%B1_%D9%85%D8%B7%D9%84%D9%82_(%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C)" title="دیدن صفحهٔ محتویات [c]" accesskey="c"><span>مقاله</span></a></li><li id="ca-talk" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/%D8%A8%D8%AD%D8%AB:%D9%82%D8%AF%D8%B1_%D9%85%D8%B7%D9%84%D9%82_(%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C)" rel="discussion" title="گفتگو پیرامون محتوای صفحه [t]" accesskey="t"><span>بحث</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown emptyPortlet" > <input type="checkbox" id="vector-variants-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="تغییر گونهٔ زبان" > <label id="vector-variants-dropdown-label" for="vector-variants-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">فارسی</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-variants" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> <div id="right-navigation" class="vector-collapsible"> <nav aria-label="بازدیدها"> <div id="p-views" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-views" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-view" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/%D9%82%D8%AF%D8%B1_%D9%85%D8%B7%D9%84%D9%82_(%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C)"><span>خواندن</span></a></li><li id="ca-edit" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D9%82%D8%AF%D8%B1_%D9%85%D8%B7%D9%84%D9%82_(%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C)&action=edit" title="ویرایش کد مبدأ این صفحه [e]" accesskey="e"><span>ویرایش</span></a></li><li id="ca-history" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D9%82%D8%AF%D8%B1_%D9%85%D8%B7%D9%84%D9%82_(%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C)&action=history" title="نسخه‌های پیشین این صفحه [h]" accesskey="h"><span>نمایش تاریخچه</span></a></li> </ul> </div> </div> </nav> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="ابزارهای صفحه"> <div id="vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown vector-page-tools-dropdown" > <input type="checkbox" id="vector-page-tools-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="ابزارها" > <label id="vector-page-tools-dropdown-label" for="vector-page-tools-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">ابزارها</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-tools-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-page-tools" class="vector-page-tools vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-page-tools-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="page-tools-pinned" data-pinnable-element-id="vector-page-tools" data-pinned-container-id="vector-page-tools-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-page-tools-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">ابزارها</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.pin">انتقال به نوار کناری</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.unpin">نهفتن</button> </div> <div id="p-cactions" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-has-collapsible-items" title="گزینه‌های بیشتر" > <div class="vector-menu-heading"> عمل‌ها </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-more-view" class="selected vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/wiki/%D9%82%D8%AF%D8%B1_%D9%85%D8%B7%D9%84%D9%82_(%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C)"><span>خواندن</span></a></li><li id="ca-more-edit" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D9%82%D8%AF%D8%B1_%D9%85%D8%B7%D9%84%D9%82_(%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C)&action=edit" title="ویرایش کد مبدأ این صفحه [e]" accesskey="e"><span>ویرایش</span></a></li><li id="ca-more-history" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D9%82%D8%AF%D8%B1_%D9%85%D8%B7%D9%84%D9%82_(%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C)&action=history"><span>نمایش تاریخچه</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-tb" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-tb" > <div class="vector-menu-heading"> عمومی </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D9%88%DB%8C%DA%98%D9%87:%D9%BE%DB%8C%D9%88%D9%86%D8%AF_%D8%A8%D9%87_%D8%A7%DB%8C%D9%86_%D8%B5%D9%81%D8%AD%D9%87/%D9%82%D8%AF%D8%B1_%D9%85%D8%B7%D9%84%D9%82_(%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C)" title="فهرست همهٔ صفحه‌هایی که به این صفحه پیوند می‌دهند [j]" accesskey="j"><span>پیوندها به این صفحه</span></a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D9%88%DB%8C%DA%98%D9%87:%D8%AA%D8%BA%DB%8C%DB%8C%D8%B1%D8%A7%D8%AA_%D9%85%D8%B1%D8%AA%D8%A8%D8%B7/%D9%82%D8%AF%D8%B1_%D9%85%D8%B7%D9%84%D9%82_(%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C)" rel="nofollow" title="تغییرات اخیر صفحه‌هایی که این صفحه به آن‌ها پیوند دارد [k]" accesskey="k"><span>تغییرات مرتبط</span></a></li><li id="t-upload" class="mw-list-item"><a href="//fa.wikipedia.org/wiki/ویکی‌پدیا:بارگذاری" title="بارگذاری تصاویر و پرونده‌های دیگر [u]" accesskey="u"><span>بارگذاری پرونده</span></a></li><li id="t-permalink" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D9%82%D8%AF%D8%B1_%D9%85%D8%B7%D9%84%D9%82_(%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C)&oldid=41053806" title="پیوند پایدار به این نسخه از این صفحه"><span>پیوند پایدار</span></a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D9%82%D8%AF%D8%B1_%D9%85%D8%B7%D9%84%D9%82_(%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C)&action=info" title="اطلاعات بیشتر دربارهٔ این صفحه"><span>اطلاعات صفحه</span></a></li><li id="t-cite" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D9%88%DB%8C%DA%98%D9%87:%DB%8C%D8%A7%D8%AF%DA%A9%D8%B1%D8%AF&page=%D9%82%D8%AF%D8%B1_%D9%85%D8%B7%D9%84%D9%82_%28%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C%29&id=41053806&wpFormIdentifier=titleform" title="اطلاعات در خصوص چگونگی یادکرد این صفحه"><span>یادکرد این صفحه</span></a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D9%88%DB%8C%DA%98%D9%87:UrlShortener&url=https%3A%2F%2Ffa.wikipedia.org%2Fwiki%2F%25D9%2582%25D8%25AF%25D8%25B1_%25D9%2585%25D8%25B7%25D9%2584%25D9%2582_%28%25D8%25B1%25DB%258C%25D8%25A7%25D8%25B6%25DB%258C%29"><span>دریافت نشانی کوتاه‌شده</span></a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D9%88%DB%8C%DA%98%D9%87:QrCode&url=https%3A%2F%2Ffa.wikipedia.org%2Fwiki%2F%25D9%2582%25D8%25AF%25D8%25B1_%25D9%2585%25D8%25B7%25D9%2584%25D9%2582_%28%25D8%25B1%25DB%258C%25D8%25A7%25D8%25B6%25DB%258C%29"><span>بارگیری کیوآر کد</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-coll-print_export" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-coll-print_export" > <div class="vector-menu-heading"> نسخه‌برداری </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D9%88%DB%8C%DA%98%D9%87:DownloadAsPdf&page=%D9%82%D8%AF%D8%B1_%D9%85%D8%B7%D9%84%D9%82_%28%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C%29&action=show-download-screen"><span>بارگیری به‌صورت PDF</span></a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D9%82%D8%AF%D8%B1_%D9%85%D8%B7%D9%84%D9%82_(%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C)&printable=yes" title="نسخهٔ قابل چاپ این صفحه [p]" accesskey="p"><span>نسخهٔ قابل چاپ</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-wikibase-otherprojects" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects" > <div class="vector-menu-heading"> در پروژه‌های دیگر </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-commons mw-list-item"><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Absolute_value" hreflang="en"><span>ویکی‌انبار</span></a></li><li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q120812" title="پیوند به آیتم متصل‌شدۀ مخزن داده‌ها [g]" accesskey="g"><span>آیتم ویکی‌داده</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="ابزارهای صفحه"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="ظاهر"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">ظاهر</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">انتقال به نوار کناری</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">نهفتن</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-rtl mw-parser-output" lang="fa" dir="rtl"><figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%D9%BE%D8%B1%D9%88%D9%86%D8%AF%D9%87:Absolute_value.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6b/Absolute_value.svg/250px-Absolute_value.svg.png" decoding="async" width="250" height="167" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6b/Absolute_value.svg/375px-Absolute_value.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6b/Absolute_value.svg/500px-Absolute_value.svg.png 2x" data-file-width="600" data-file-height="400" /></a><figcaption>تابع قدر مطلق</figcaption></figure> <figure class="mw-default-size mw-halign-left" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%D9%BE%D8%B1%D9%88%D9%86%D8%AF%D9%87:Complex_conjugate_picture.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/69/Complex_conjugate_picture.svg/220px-Complex_conjugate_picture.svg.png" decoding="async" width="220" height="309" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/69/Complex_conjugate_picture.svg/330px-Complex_conjugate_picture.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/69/Complex_conjugate_picture.svg/440px-Complex_conjugate_picture.svg.png 2x" data-file-width="300" data-file-height="422" /></a><figcaption>قدر مطلق عدد مختلط <i>z</i> برابر است با <i>r</i> یا فاصلهٔ نقطهٔ <i>z</i> تا نقطهٔ مرجع. همانگونه که در شکل نمایش داده شده‌است قدر مطلق <i>z</i> و مزدوج آن <span style="text-decoration:overline;"><i>z</i></span> با یکدیگر برابرند.</figcaption></figure> <p>در <a href="/wiki/%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C%D8%A7%D8%AA" title="ریاضیات">ریاضیات</a>، <b>قدر مطلق</b> (به <a href="/wiki/%D8%B2%D8%A8%D8%A7%D9%86_%D8%A7%D9%86%DA%AF%D9%84%DB%8C%D8%B3%DB%8C" title="زبان انگلیسی">انگلیسی</a>: <span lang="en" title="متن به زبان انگلیسی"><bdi>Absolute value</bdi></span>) یا <b>مقدار مطلقِ</b> یک <a href="/wiki/%D8%B9%D8%AF%D8%AF_%D8%AD%D9%82%DB%8C%D9%82%DB%8C" title="عدد حقیقی">عددی حقیقی</a> <i>x</i>، که با علامت |<i>x</i>| نشان داده می‌شود، مقدارِ <i>x</i> به صورت <a href="/w/index.php?title=%D8%B9%D9%84%D8%A7%D9%85%D8%AA_(%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C)&action=edit&redlink=1" class="new" title="علامت (ریاضی) (صفحه وجود ندارد)">غیر منفی</a> و بدون توجه به علامت آن است. پس قدر مطلق یک عدد همواره نامنفی است؛ یعنی یا مثبت است یا صفر. به بیان دیگر، قدر مطلقِ یک عدد برابر است با <a href="/wiki/%D9%81%D8%A7%D8%B5%D9%84%D9%87" title="فاصله">فاصله</a> آن عدد تا صفر. </p><p>قدر مطلق در بسیاری از بخش‌های گوناگون ریاضی کاربرد دارد که از آن میان می‌توان از <a href="/wiki/%D8%B9%D8%AF%D8%AF_%D9%85%D8%AE%D8%AA%D9%84%D8%B7" title="عدد مختلط">مجموعهٔ اعداد مختلط</a>، <a href="/wiki/%DA%86%D9%87%D8%A7%D8%B1%DA%AF%D8%A7%D9%86%E2%80%8C%D9%87%D8%A7" class="mw-redirect" title="چهارگان‌ها">چهارگان‌ها</a>، <a href="/wiki/%D9%85%DB%8C%D8%AF%D8%A7%D9%86_(%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C)" class="mw-redirect" title="میدان (ریاضی)">میدان‌ها</a>، <a href="/wiki/%D9%81%D8%B6%D8%A7%DB%8C_%D8%A8%D8%B1%D8%AF%D8%A7%D8%B1%DB%8C" title="فضای برداری">فضای برداری</a> نام برد. قدر مطلق را در فیزیک و ریاضی بیش از همه می‌توان به مفهوم بزرگی، <a href="/wiki/%D9%81%D8%A7%D8%B5%D9%84%D9%87" title="فاصله">فاصله</a> و <a href="/wiki/%D9%86%D8%B1%D9%85_(%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C%D8%A7%D8%AA)" title="نرم (ریاضیات)">نُرم</a> نزدیک دانست. </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="پیشینه"><span id=".D9.BE.DB.8C.D8.B4.DB.8C.D9.86.D9.87"></span>پیشینه</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D9%82%D8%AF%D8%B1_%D9%85%D8%B7%D9%84%D9%82_(%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C)&action=edit&section=1" title="ویرایش بخش: پیشینه"><span>ویرایش</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>در سال ۱۸۰۶ <a href="/wiki/%DA%98%D8%A7%D9%86_%D8%B1%D8%A7%D8%A8%D8%B1%D8%AA_%D8%A7%D8%B1%DA%AF%D8%A7%D9%86%D8%AF" title="ژان رابرت ارگاند">ژان رابرت ارگاند</a> مفهوم «قدر مطلق» و یکای «اندازه‌گیری» را به فرانسوی معرفی کرد، که البته توجه ویژهٔ وی بیشتر بر روی <a href="/wiki/%D8%A7%D8%B9%D8%AF%D8%A7%D8%AF_%D9%85%D8%AE%D8%AA%D9%84%D8%B7" class="mw-redirect" title="اعداد مختلط">اعداد مختلط</a> بود.<sup id="cite_ref-oed_1-0" class="reference"><a href="#cite_note-oed-1"><span class="cite-bracket">[</span>۱<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>۲<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> در سال ۱۸۶۶ این مفهوم به <a href="/wiki/%D8%B2%D8%A8%D8%A7%D9%86_%D8%A7%D9%86%DA%AF%D9%84%DB%8C%D8%B3%DB%8C" title="زبان انگلیسی">زبان انگلیسی</a> برده شده و نام هم سنگ <i>modulus</i> برای آن از <a href="/wiki/%D8%B2%D8%A8%D8%A7%D9%86_%D9%84%D8%A7%D8%AA%DB%8C%D9%86" class="mw-redirect" title="زبان لاتین">لاتین</a> انتخاب شد.<sup id="cite_ref-oed_1-1" class="reference"><a href="#cite_note-oed-1"><span class="cite-bracket">[</span>۱<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> مفهوم <i>absolute value</i> در <a href="/wiki/%D8%B2%D8%A8%D8%A7%D9%86_%D9%81%D8%B1%D8%A7%D9%86%D8%B3%D9%88%DB%8C" title="زبان فرانسوی">زبان فرانسوی</a> حداقل از ۱۸۰۶ کاربرد داشته‌است<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>۳<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> و از ۱۸۵۷ در انگلیسی استفاده می‌شد.<sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4"><span class="cite-bracket">[</span>۴<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> نماد | <i>a</i> | برای قدر مطلق در سال ۱۸۴۱ از سوی <a href="/w/index.php?title=%DA%A9%D8%A7%D8%B1%D9%84_%D9%88%DB%8C%D8%B1%D8%B3%D8%AA%D8%B1%D8%B3&action=edit&redlink=1" class="new" title="کارل ویرسترس (صفحه وجود ندارد)">کارل ویرسترس</a> پیشنهاد شد.<sup id="cite_ref-5" class="reference"><a href="#cite_note-5"><span class="cite-bracket">[</span>۵<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> دیگر نام‌های قدر مطلق، عبارتند از <i>مقدار عددی</i> (به <a href="/wiki/%D8%B2%D8%A8%D8%A7%D9%86_%D8%A7%D9%86%DA%AF%D9%84%DB%8C%D8%B3%DB%8C" title="زبان انگلیسی">انگلیسی</a>: <span lang="en" title="متن به زبان انگلیسی"><bdi>the numerical value</bdi></span>)<sup id="cite_ref-oed_1-2" class="reference"><a href="#cite_note-oed-1"><span class="cite-bracket">[</span>۱<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> و بزرگی (به <a href="/wiki/%D8%B2%D8%A8%D8%A7%D9%86_%D8%A7%D9%86%DA%AF%D9%84%DB%8C%D8%B3%DB%8C" title="زبان انگلیسی">انگلیسی</a>: <span lang="en" title="متن به زبان انگلیسی"><bdi>the magnitude</bdi></span>) است.<sup id="cite_ref-oed_1-3" class="reference"><a href="#cite_note-oed-1"><span class="cite-bracket">[</span>۱<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="مفهوم_و_ویژگی‌ها"><span id=".D9.85.D9.81.D9.87.D9.88.D9.85_.D9.88_.D9.88.DB.8C.DA.98.DA.AF.DB.8C.E2.80.8C.D9.87.D8.A7"></span>مفهوم و ویژگی‌ها</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D9%82%D8%AF%D8%B1_%D9%85%D8%B7%D9%84%D9%82_(%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C)&action=edit&section=2" title="ویرایش بخش: مفهوم و ویژگی‌ها"><span>ویرایش</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="اعداد_حقیقی"><span id=".D8.A7.D8.B9.D8.AF.D8.A7.D8.AF_.D8.AD.D9.82.DB.8C.D9.82.DB.8C"></span>اعداد حقیقی</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D9%82%D8%AF%D8%B1_%D9%85%D8%B7%D9%84%D9%82_(%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C)&action=edit&section=3" title="ویرایش بخش: اعداد حقیقی"><span>ویرایش</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>برای هر <a href="/wiki/%D8%A7%D8%B9%D8%AF%D8%A7%D8%AF_%D8%AD%D9%82%DB%8C%D9%82%DB%8C" class="mw-redirect" title="اعداد حقیقی">عدد حقیقی</a> <b>a</b> <b>قدر مطلق</b> که آن را با <b>|a|</b> نمایش می‌دهیم به صورت زیر تعریف می‌شود: </p> <div dir="ltr" class="mw-content-ltr"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |a|={\begin{cases}a,&{\mbox{if}}a>0\\-a,&{\mbox{if}}a<0.\end{cases}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>{</mo> <mtable columnalign="left left" rowspacing=".2em" columnspacing="1em" displaystyle="false"> <mtr> <mtd> <mi>a</mi> <mo>,</mo> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mtext>if</mtext> </mstyle> </mrow> <mi>a</mi> <mo>></mo> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mtext>if</mtext> </mstyle> </mrow> <mi>a</mi> <mo><</mo> <mn>0.</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true"></mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |a|={\begin{cases}a,&{\mbox{if}}a>0\\-a,&{\mbox{if}}a<0.\end{cases}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c1497b1e49ee7c5fc605651cd7b341fc4c89cf8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:21.62ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle |a|={\begin{cases}a,&{\mbox{if}}a>0\\-a,&{\mbox{if}}a<0.\end{cases}}}" /></span></dd></dl> </div> <p>همان گونه که در بالا نشان داده شده‌است قدر مطلق یک عدد همواره <a href="/wiki/%DB%B0_(%D8%B9%D8%AF%D8%AF)" class="mw-redirect" title="۰ (عدد)">صفر</a> یا مثبت است و هرگز <a href="/wiki/%D8%A7%D8%B9%D8%AF%D8%A7%D8%AF_%D9%85%D9%86%D9%81%DB%8C" class="mw-redirect" title="اعداد منفی">منفی</a> نیست. </p><p>در <a href="/wiki/%D9%87%D9%86%D8%AF%D8%B3%D9%87_%D8%AA%D8%AD%D9%84%DB%8C%D9%84%DB%8C" title="هندسه تحلیلی">هندسهٔ تحلیلی</a> قدر مطلق یک عدد حقیقی برابر است با <a href="/wiki/%D9%81%D8%A7%D8%B5%D9%84%D9%87" title="فاصله">فاصلهٔ</a> آن تا صفر بر روی یک خط حقیقی؛ در حالت کلی قدر مطلق تفاضل دو عدد برابر است با فاصلهٔ میان آن دو عدد. در واقع می‌توان گفت که مفهوم <a href="/wiki/%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9" title="تابع">تابع</a> فاصله در ریاضی همان قدر مطلق تفاضل است که در حالت کلی بیان شده‌است. </p><p><a href="/wiki/%D8%B1%DB%8C%D8%B4%D9%87_%D8%AF%D9%88%D9%85" title="ریشه دوم">ریشهٔ دوم</a> یک عدد را می‌توان به صورت زیر نشان داد: </p> <div dir="ltr" class="mw-content-ltr"> <dl><dd><table> <tbody><tr> <td style="width: 250px"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |a|={\sqrt {a^{2}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |a|={\sqrt {a^{2}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdd112dcfaa44175e2cc01b41fa54b43adb272d3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.23ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle |a|={\sqrt {a^{2}}}}" /></span> </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (1)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (1)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a25115739469707c4758b189fe310a750092a80a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.972ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (1)}" /></span> </td></tr></tbody></table></dd></dl> </div> <p>که گاهی از آن به عنوان تعریف قدر مطلق استفاده می‌شود.<sup id="cite_ref-6" class="reference"><a href="#cite_note-6"><span class="cite-bracket">[</span>۶<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p><p>چهار ویژگی اصلی قدر مطلق عبارتند از: </p> <div dir="ltr" class="mw-content-ltr"> <dl><dd><table> <tbody><tr> <td style="width: 250px"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |a|\geq 0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>≥</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |a|\geq 0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/939352424bd8ad4eb5af77202976c6a0edb1f2de" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.784ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |a|\geq 0}" /></span> </td> <td style="width: 100px"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (2)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (2)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43f88fdd4acbb57a291f9eb9f23ae23a1e492b30" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.972ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (2)}" /></span> </td> <td>نامنفی بودن </td></tr> <tr> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |a|=0\iff a=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mspace width="thickmathspace"></mspace> <mo stretchy="false">⟺</mo> <mspace width="thickmathspace"></mspace> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |a|=0\iff a=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd2ce5b7c72f4380c43c6960fec025b6b6625eac" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.172ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |a|=0\iff a=0}" /></span> </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (3)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>3</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (3)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0ff45737214013a8e04d59d0de54318086be26a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.972ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (3)}" /></span> </td> <td>صفر بودن </td></tr> <tr> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |ab|=|a||b|\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mspace width="thinmathspace"></mspace> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |ab|=|a||b|\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23e04a6f9d20b19ea3ea123b779cfce252cfea12" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.821ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |ab|=|a||b|\,}" /></span> </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (4)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>4</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (4)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acef5ddcf7badc13caf068a811d4fd5812eca8c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.972ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (4)}" /></span> </td> <td>ضرب‌پذیری </td></tr> <tr> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |a+b|\leq |a|+|b|}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>≤</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |a+b|\leq |a|+|b|}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5686d5cc5c91eee0c276359372efd32f5da08bc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.115ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |a+b|\leq |a|+|b|}" /></span> </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (5)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>5</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (5)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6976219ec0cd50c8bd30b4a275b8f9780640c876" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.972ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (5)}" /></span> </td> <td>جمع‌پذیری </td></tr></tbody></table></dd></dl> </div> <p>دیگر ویژگی‌های آن عبارتند از: </p> <div dir="ltr" class="mw-content-ltr"> <dl><dd><table> <tbody><tr> <td style="width:250px"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |-a|=|a|\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mspace width="thinmathspace"></mspace> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |-a|=|a|\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f767f50ac42400b1293b5c1f77c6c27ddb7a6de" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.373ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |-a|=|a|\,}" /></span> </td> <td style="width: 100px"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (6)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>6</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (6)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2cb61a8d9601228914dbfe57bbb933741acb5a7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.972ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (6)}" /></span> </td> <td><a href="/wiki/%D8%AA%D9%82%D8%A7%D8%B1%D9%86" title="تقارن">تقارن</a> </td></tr> <tr> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |a-b|=0\iff a=b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>a</mi> <mo>−</mo> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mspace width="thickmathspace"></mspace> <mo stretchy="false">⟺</mo> <mspace width="thickmathspace"></mspace> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |a-b|=0\iff a=b}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6137de7a60350b20e0a469a348c6c0d74315bfe1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.845ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |a-b|=0\iff a=b}" /></span> </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (7)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>7</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (7)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9f80d74b83240744e88a7b1a091a974e987489b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.972ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (7)}" /></span> </td> <td>گرفته شده از صفر بودن </td></tr> <tr> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |a-b|\leq |a-c|+|c-b|}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>a</mi> <mo>−</mo> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>≤</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>a</mi> <mo>−</mo> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>c</mi> <mo>−</mo> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |a-b|\leq |a-c|+|c-b|}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a62b70acc54310f42eca0e1fd56766531ac49b2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.81ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |a-b|\leq |a-c|+|c-b|}" /></span> </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (8)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>8</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (8)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6a37d29ef0d8449649e34a4316b0841f7dcb465" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.972ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (8)}" /></span> </td> <td><a href="/wiki/%D9%86%D8%A7%D9%85%D8%B3%D8%A7%D9%88%DB%8C_%D9%85%D8%AB%D9%84%D8%AB" class="mw-redirect" title="نامساوی مثلث">نامساوی مثلث</a> گرفته شده از جمع‌پذیری </td></tr> <tr> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |a/b|=|a|/|b|{\mbox{ (if}}b\neq 0)\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mtext> (if</mtext> </mstyle> </mrow> <mi>b</mi> <mo>≠</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace"></mspace> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |a/b|=|a|/|b|{\mbox{ (if}}b\neq 0)\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d56b8b69828302b1b63be7e889e38bc96e2d0fd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.153ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |a/b|=|a|/|b|{\mbox{ (if}}b\neq 0)\,}" /></span> </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (9)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>9</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (9)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6d733bac819851b97260ee06e41fb620147b630" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.972ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (9)}" /></span> </td> <td>تقسیم پذیری گرفته شده از ضرب‌پذیری </td></tr> <tr> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |a-b|\geq ||a|-|b||}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>a</mi> <mo>−</mo> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>≥</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |a-b|\geq ||a|-|b||}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d09547fe30039589d927bfa34a1875ba52240fdd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.409ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |a-b|\geq ||a|-|b||}" /></span> </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (10)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>10</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (10)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58038fba3738687146d96b9a1c59e13ecadea6b1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.134ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (10)}" /></span> </td></tr></tbody></table></dd></dl> </div> <p>اگر فرض کنیم که b> ۰ است آنگاه دو ویژگی دیگر قدر مطلق می‌توان چنین نوشت: </p> <div dir="ltr" class="mw-content-ltr"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |a|\leq b\iff -b\leq a\leq b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>≤</mo> <mi>b</mi> <mspace width="thickmathspace"></mspace> <mo stretchy="false">⟺</mo> <mspace width="thickmathspace"></mspace> <mo>−</mo> <mi>b</mi> <mo>≤</mo> <mi>a</mi> <mo>≤</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |a|\leq b\iff -b\leq a\leq b}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b73ea4b68d3a14d3859f90d823cbf3c49e5932a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.747ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |a|\leq b\iff -b\leq a\leq b}" /></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |a|\geq b\iff a\leq -b{\mbox{ or}}b\leq a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>≥</mo> <mi>b</mi> <mspace width="thickmathspace"></mspace> <mo stretchy="false">⟺</mo> <mspace width="thickmathspace"></mspace> <mi>a</mi> <mo>≤</mo> <mo>−</mo> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mtext> or</mtext> </mstyle> </mrow> <mi>b</mi> <mo>≤</mo> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |a|\geq b\iff a\leq -b{\mbox{ or}}b\leq a}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8be73d28d6fa79e11f0dd5b1f64d8fd9e319711" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:28.631ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |a|\geq b\iff a\leq -b{\mbox{ or}}b\leq a}" /></span></dd></dl> </div> <p>از این ویژگی‌ها می‌توان در حل نامساوی‌ها استفاده کرد؛ برای نمونه: </p> <div dir="ltr" class="mw-content-ltr"> <dl><dd><table> <tbody><tr> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |x-3|\leq 9}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mn>3</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>≤</mo> <mn>9</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |x-3|\leq 9}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6f301a657f9730baa59d2d8d2f4bbc8681b5bac" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.887ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |x-3|\leq 9}" /></span> </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \iff -9\leq x-3\leq 9}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mspace width="thickmathspace"></mspace> <mo stretchy="false">⟺</mo> <mspace width="thickmathspace"></mspace> <mo>−</mo> <mn>9</mn> <mo>≤</mo> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mn>3</mn> <mo>≤</mo> <mn>9</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \iff -9\leq x-3\leq 9}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b30cac8b6465d29dff2ff8ab198b64112ff60691" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:21.915ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \iff -9\leq x-3\leq 9}" /></span> </td></tr> <tr> <td> </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \iff -6\leq x\leq 12}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mspace width="thickmathspace"></mspace> <mo stretchy="false">⟺</mo> <mspace width="thickmathspace"></mspace> <mo>−</mo> <mn>6</mn> <mo>≤</mo> <mi>x</mi> <mo>≤</mo> <mn>12</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \iff -6\leq x\leq 12}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38057478967bda0a9df934e3f24f256188e1c81a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:19.074ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \iff -6\leq x\leq 12}" /></span> </td></tr></tbody></table></dd></dl> </div> <p>از قدر مطلق دز تعیین <a href="/w/index.php?title=%D9%81%D8%A7%D8%B5%D9%84%D9%87_%D9%85%D8%B7%D9%84%D9%82&action=edit&redlink=1" class="new" title="فاصله مطلق (صفحه وجود ندارد)">فاصلهٔ مطلق</a> در سامانهٔ متری در <a href="/wiki/%D9%85%D8%AC%D9%85%D9%88%D8%B9%D9%87_%D8%A7%D8%B9%D8%AF%D8%A7%D8%AF_%D8%AD%D9%82%DB%8C%D9%82%DB%8C" class="mw-redirect" title="مجموعه اعداد حقیقی">مجموعه اعداد حقیقی</a> استفاده می‌شود. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="اعداد_مختلط"><span id=".D8.A7.D8.B9.D8.AF.D8.A7.D8.AF_.D9.85.D8.AE.D8.AA.D9.84.D8.B7"></span>اعداد مختلط</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D9%82%D8%AF%D8%B1_%D9%85%D8%B7%D9%84%D9%82_(%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C)&action=edit&section=4" title="ویرایش بخش: اعداد مختلط"><span>ویرایش</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>از آنجایی که <a href="/wiki/%D8%B9%D8%AF%D8%AF_%D9%85%D8%AE%D8%AA%D9%84%D8%B7" title="عدد مختلط">اعداد مختلط</a> دارای <a href="/wiki/%D8%AA%D8%B1%D8%AA%DB%8C%D8%A8_%DA%A9%D8%A7%D9%85%D9%84" class="mw-redirect" title="ترتیب کامل">ترتیب کامل</a> نیستند، تعریفی که در بالا برای قدر مطلق <a href="/wiki/%D8%A7%D8%B9%D8%AF%D8%A7%D8%AF_%D8%AD%D9%82%DB%8C%D9%82%DB%8C" class="mw-redirect" title="اعداد حقیقی">اعداد حقیقی</a> گفته شد را نمی‌توان به‌طور مستقیم برای یک <a href="/wiki/%D8%B9%D8%AF%D8%AF_%D9%85%D8%AE%D8%AA%D9%84%D8%B7" title="عدد مختلط">عدد مختلط</a> به کار برد. از تعریف (۱) که در بالا گفته شد استفاده می‌کنیم: </p> <div dir="ltr" class="mw-content-ltr"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |a|={\sqrt {a^{2}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |a|={\sqrt {a^{2}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdd112dcfaa44175e2cc01b41fa54b43adb272d3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.23ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle |a|={\sqrt {a^{2}}}}" /></span> </p> </div> <p>برای هر عدد مختلط داریم: </p> <div dir="ltr" class="mw-content-ltr"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z=x+iy}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z=x+iy}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08e90bb6b36fef59c6113eed2a08f10d77240741" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.315ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle z=x+iy}" /></span> </p> </div> <p>که در آن <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" /></span> و <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" /></span> هردو اعدادی حقیقی‌اند. <b>قدر مطلق</b> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>z</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.088ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle z}" /></span> که آن را با |z| نمایش می‌دهیم به صورت زیر تعریف می‌شود: </p> <div dir="ltr" class="mw-content-ltr"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3618f8a300594a148ce9ed777ac71613001eaf09" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.671ex; width:15.243ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle |z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}" /></span> </p> </div> <p>بنابراین قدر مطلق یک <a href="/wiki/%D8%B9%D8%AF%D8%AF_%D8%AD%D9%82%DB%8C%D9%82%DB%8C" title="عدد حقیقی">عدد حقیقی</a> مانند <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" /></span> را می‌توان با استفاده از مفهوم اعداد مختلط به صورت زیر نشان داد: </p> <div dir="ltr" class="mw-content-ltr"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |x+i0|={\sqrt {x^{2}+0^{2}}}={\sqrt {x^{2}}}=|x|}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mn>0</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mn>0</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |x+i0|={\sqrt {x^{2}+0^{2}}}={\sqrt {x^{2}}}=|x|}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7beb62884a22709c7076a5ab1fb2138c619cb63a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:33.82ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle |x+i0|={\sqrt {x^{2}+0^{2}}}={\sqrt {x^{2}}}=|x|}" /></span> </p> </div> <p>مشابه ترجمهٔ هندسی قدر مطلق اعداد حقیقی، در قدر مطلق اعداد مختلط نیز از مفهوم <a href="/wiki/%D9%82%D8%B6%DB%8C%D9%87%D9%94_%D9%81%DB%8C%D8%AB%D8%A7%D8%BA%D9%88%D8%B1%D8%B3" class="mw-redirect" title="قضیهٔ فیثاغورس">قضیهٔ فیثاغورس</a> استفاده می‌شود. قدر مطلق یک عدد مختلط برابر است با فاصلهٔ آن عدد مختلط در <a href="/wiki/%D8%B5%D9%81%D8%AD%D9%87_%D9%85%D8%AE%D8%AA%D9%84%D8%B7" title="صفحه مختلط">صفحهٔ مختلط</a> از مبدأ و در حالت کلی تر قدر مطلق تفاضل دو عدد مختلط برابر است با فاصلهٔ میان آن دو. </p><p>تمامی ویژگی‌هایی که برای قدر مطلق اعداد حقیقی بیان شد، از (۲) تا (۱۰) برای قدر مطلق اعداد مختلط نیز وجود دارد. اگر داشته باشیم: </p> <div dir="ltr" class="mw-content-ltr"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z=x+iy=r(\cos \phi +i\sin \phi )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ϕ</mi> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ϕ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z=x+iy=r(\cos \phi +i\sin \phi )}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84efd6a7b94070b578fdaa2c2ce40aa6a9e06b63" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:29.813ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle z=x+iy=r(\cos \phi +i\sin \phi )}" /></span> </p> </div> <p>آنگاه <a href="/wiki/%D9%85%D8%B2%D8%AF%D9%88%D8%AC_%D9%85%D8%AE%D8%AA%D9%84%D8%B7" title="مزدوج مختلط">مزدوج مختلط</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>z</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.088ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle z}" /></span> عبارت است از: </p> <div dir="ltr" class="mw-content-ltr"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {z}}=x-iy}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>z</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mi>i</mi> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {z}}=x-iy}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aafc76b846737a2b9d7e23a544732d8dff20e241" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.434ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\overline {z}}=x-iy}" /></span> </p> </div> <p>حال به آسانی می‌توان نشان داد که: </p> <div dir="ltr" class="mw-content-ltr"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}|z|&=r,\\|z|&=|{\overline {z}}|\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>r</mi> <mo>,</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>z</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}|z|&=r,\\|z|&=|{\overline {z}}|\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d27cc907dbbbec653daf4a41c1e3be27010a9ef" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:8.733ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}|z|&=r,\\|z|&=|{\overline {z}}|\end{aligned}}}" /></span> </p> </div> <p>و </p> <div dir="ltr" class="mw-content-ltr"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |z|={\sqrt {\overline {z}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mover> <mi>z</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |z|={\sqrt {\overline {z}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/180d75c43cd9f65af99acc9c60722ed9409c49df" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.012ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle |z|={\sqrt {\overline {z}}}}" /></span> </p> </div> <p>با توجه به فرمولی آخر که گفته شد و ویژگی‌های قدر مطلق، توان ۲ قدر مطلق <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>z</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.088ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle z}" /></span> به صورت زیر نوشته می‌شود: </p> <div dir="ltr" class="mw-content-ltr"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |z|^{2}=z{\overline {z}}=x^{2}+y^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>z</mi> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>z</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |z|^{2}=z{\overline {z}}=x^{2}+y^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/677b1b47379e6b002a242eb9348e9fbcf5062adc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.368ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle |z|^{2}=z{\overline {z}}=x^{2}+y^{2}}" /></span> </p> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="تابع‌های_قدر_مطلق"><span id=".D8.AA.D8.A7.D8.A8.D8.B9.E2.80.8C.D9.87.D8.A7.DB.8C_.D9.82.D8.AF.D8.B1_.D9.85.D8.B7.D9.84.D9.82"></span>تابع‌های قدر مطلق</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D9%82%D8%AF%D8%B1_%D9%85%D8%B7%D9%84%D9%82_(%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C)&action=edit&section=5" title="ویرایش بخش: تابع‌های قدر مطلق"><span>ویرایش</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>تابع حقیقی قدر مطلق در همه جا <a href="/wiki/%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9_%D9%BE%DB%8C%D9%88%D8%B3%D8%AA%D9%87" title="تابع پیوسته">پیوسته</a> است و در همه جا به جز نقطهٔ x = ۰ مشتق‌پذیر است. این تابع در بازهٔ [۰ ∞-) اکیداً نزولی و در بازهٔ (∞+ ۰] اکیداً صعودی است و چون قدر مطلق عدد مثبت و منفی با هم برابر است پس <a href="/wiki/%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9_%D8%B2%D9%88%D8%AC_%D9%88_%D9%81%D8%B1%D8%AF" class="mw-redirect" title="تابع زوج و فرد">تابعی زوج</a> است و وارون ناپذیر. </p><p><a href="/wiki/%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9_%D9%85%D8%AE%D8%AA%D9%84%D8%B7" class="mw-redirect" title="تابع مختلط">تابع مختلط</a> قدر مطلق در همه جا پیوسته‌است ولی هیچ جا مشتق‌پذیر نیست. (نگاه کنید به <a href="/wiki/%D9%85%D8%B9%D8%A7%D8%AF%D9%84%D8%A7%D8%AA_%DA%A9%D9%88%D8%B4%DB%8C-%D8%B1%DB%8C%D9%85%D8%A7%D9%86" title="معادلات کوشی-ریمان">معادلات کوشی-ریمان</a>)<br /> در هر دو تابع مختلط و حقیقی قدر مطلق، تابع مرکب خود آن‌ها به صورت <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(f(x))}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(f(x))}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11f1c1b426c8f37ee0d2c5b9a60e413d8793913" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.505ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(f(x))}" /></span> با خود تابع <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/202945cce41ecebb6f643f31d119c514bec7a074" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.418ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)}" /></span> برابر است.<br /><a href="/wiki/%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9_%D9%85%D8%AD%D8%AF%D8%A8" title="تابع محدب">تابعی محدب</a> و <a href="/wiki/%D8%B3%D8%A7%D9%85%D8%A7%D9%86%D9%87_%D8%BA%DB%8C%D8%B1%D8%AE%D8%B7%DB%8C" title="سامانه غیرخطی">غیرخطی</a> است. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="مشتق"><span id=".D9.85.D8.B4.D8.AA.D9.82"></span>مشتق</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D9%82%D8%AF%D8%B1_%D9%85%D8%B7%D9%84%D9%82_(%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C)&action=edit&section=6" title="ویرایش بخش: مشتق"><span>ویرایش</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/%D9%85%D8%B4%D8%AA%D9%82" title="مشتق">مشتق</a> تابع قدر مطلق حقیقی برابر است با <a href="/wiki/%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9_%D8%B9%D9%84%D8%A7%D9%85%D8%AA" title="تابع علامت">تابع علامت</a> که با نماد sgn نمایش داده می‌شود، تابع زیر تنها به ازای <i>x</i>های ناصفر تعریف شده‌است: </p> <div dir="ltr" class="mw-content-ltr"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\frac {x}{|x|}},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>sgn</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>x</mi> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\frac {x}{|x|}},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a51a1f176f90343d7e0ce1b49211a42e828ea9e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:13.715ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\frac {x}{|x|}},}" /></span></dd></dl> </div> <p>تابع قدر مطلق حقیقی در <i>x</i> = ۰ مشتق‌پذیر نیست.<br /> <i>یادآوری</i>: تابع علامت تابعی است که بدون توجه به مقدار <i>x</i> تنها علامت <i>x</i> را نشان می‌دهد بنابراین می‌توان گفت که <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=sgn(x)abs(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>s</mi> <mi>g</mi> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mi>s</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=sgn(x)abs(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70514cd7d74919275d5d9786bffdde6d1a0a4779" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.625ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x=sgn(x)abs(x)}" /></span> </p><p>تابع علامت را می‌توان به گونه‌ای شبیه <a href="/wiki/%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9_%D9%BE%D9%84%D9%87%E2%80%8C%D8%A7%DB%8C_%D9%87%D9%88%DB%8C%D8%B3%D8%A7%DB%8C%D8%AF" title="تابع پله‌ای هویساید">تابع پله‌ای هویساید</a> دانست؛ این تابع عبارت است از: </p> <div dir="ltr" class="mw-content-ltr"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u(x)={\begin{cases}0,&x<0\\{\frac {1}{2}},&x=0\\1,&x>0,\end{cases}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>u</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>{</mo> <mtable columnalign="left left" rowspacing=".2em" columnspacing="1em" displaystyle="false"> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mtd> <mtd> <mi>x</mi> <mo><</mo> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> </mtd> <mtd> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> <mo>,</mo> </mtd> <mtd> <mi>x</mi> <mo>></mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mtd> </mtr> </mtable> <mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true"></mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u(x)={\begin{cases}0,&x<0\\{\frac {1}{2}},&x=0\\1,&x>0,\end{cases}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85f69e9a02b45a7eb3a5873be81654608353fc3e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:21.25ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle u(x)={\begin{cases}0,&x<0\\{\frac {1}{2}},&x=0\\1,&x>0,\end{cases}}}" /></span></dd></dl> </div> <p>که مقدار تابع هویساید در صفر تعریف شده‌است. پس به ازای تمامی اعداد حقیقی ناصفر داریم: </p> <div dir="ltr" class="mw-content-ltr"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u(x)={\frac {\operatorname {sgn}(x)+1}{2}}.\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>u</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>sgn</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> <mspace width="thinmathspace"></mspace> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u(x)={\frac {\operatorname {sgn}(x)+1}{2}}.\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd000c24515c6de7e138d75533787424fb25613d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:19.95ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle u(x)={\frac {\operatorname {sgn}(x)+1}{2}}.\,}" /></span></dd></dl> </div> <p>تابع قدر مطلق حقیقی در هیچ نقطه‌ای دارای تقعر نیست چون مشتق اول آن یعنی تابع علامت، در تمامی نقاط مقدار ثابت دارد پس <a href="/wiki/%D9%85%D8%B4%D8%AA%D9%82_%D8%AF%D9%88%D9%85" title="مشتق دوم">مشتق دوم</a> آن نسبت به <i>x</i> صفر است. </p><p>تابع قدر مطلق حقیقی <a href="/wiki/%D8%A7%D9%86%D8%AA%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%84_%D9%BE%D8%B0%DB%8C%D8%B1" class="mw-redirect" title="انتگرال پذیر">انتگرال پذیر</a> است. انتگرال آن عبارت است از: </p> <div dir="ltr" class="mw-content-ltr"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int |x|dx={\frac {x|x|}{2}}+C,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mi>C</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int |x|dx={\frac {x|x|}{2}}+C,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2d0104650744c1bb22dbe9452d8dfc527713058" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:20.891ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \int |x|dx={\frac {x|x|}{2}}+C,}" /></span></dd></dl> </div> <p>چون <i>x</i><sup>۲</sup> = |<i>x</i>|<sup>۲</sup> است: </p> <div dir="ltr" class="mw-content-ltr"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\int |x|dx=x|x|-\int {\frac {x^{2}}{|x|}}dx=x|x|-\int |x|dx\iff 2\int |x|dx=x|x|\iff \int |x|dx={\frac {x|x|}{2}}+C.}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>−</mo> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>−</mo> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mspace width="thickmathspace"></mspace> <mo stretchy="false">⟺</mo> <mspace width="thickmathspace"></mspace> <mn>2</mn> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mspace width="thickmathspace"></mspace> <mo stretchy="false">⟺</mo> <mspace width="thickmathspace"></mspace> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mi>C</mi> <mo>.</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\int |x|dx=x|x|-\int {\frac {x^{2}}{|x|}}dx=x|x|-\int |x|dx\iff 2\int |x|dx=x|x|\iff \int |x|dx={\frac {x|x|}{2}}+C.}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa0bb9114d76d90c4c3d21c02dc4e29740b9ad9b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:94.905ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle {\int |x|dx=x|x|-\int {\frac {x^{2}}{|x|}}dx=x|x|-\int |x|dx\iff 2\int |x|dx=x|x|\iff \int |x|dx={\frac {x|x|}{2}}+C.}}" /></span></dd></dl> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="نمودار_تابع_قدر_مطلق"><span id=".D9.86.D9.85.D9.88.D8.AF.D8.A7.D8.B1_.D8.AA.D8.A7.D8.A8.D8.B9_.D9.82.D8.AF.D8.B1_.D9.85.D8.B7.D9.84.D9.82"></span>نمودار تابع قدر مطلق</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D9%82%D8%AF%D8%B1_%D9%85%D8%B7%D9%84%D9%82_(%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C)&action=edit&section=7" title="ویرایش بخش: نمودار تابع قدر مطلق"><span>ویرایش</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="روش_انتقال"><span id=".D8.B1.D9.88.D8.B4_.D8.A7.D9.86.D8.AA.D9.82.D8.A7.D9.84"></span>روش انتقال</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D9%82%D8%AF%D8%B1_%D9%85%D8%B7%D9%84%D9%82_(%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C)&action=edit&section=8" title="ویرایش بخش: روش انتقال"><span>ویرایش</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>فرم کلی تابع قدر مطلق به صورت زیر است: </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=a|x-h|+k}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=a|x-h|+k}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dce53868f425e497d0aa4a5b6e8bf370763b86c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.6ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)=a|x-h|+k}" /></span> </p> <ol><li><b>a</b> ضریب قدر مطلق باعث <b>باز و بسته</b> شدن دهانه نمودار قدر مطلق می‌شود.</li> <li><b>h</b> قابلیت انتقال به <b>چپ و راست</b> که <b>برخلاف</b> علامت h حرکت می‌کند.</li> <li><b>k</b> قابلیت انتقال به <b>بالا و پایین</b> که <b>هم سو</b> با علامت k حرکت می‌کند.</li></ol> <figure class="mw-halign-center" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%D9%BE%D8%B1%D9%88%D9%86%D8%AF%D9%87:%D9%82%D8%AF%D8%B1%D9%85%D8%B7%D9%84%D9%82.png" class="mw-file-description"><img alt="خلاصه تابع قدر مطلق و انتقالش" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fd/%D9%82%D8%AF%D8%B1%D9%85%D8%B7%D9%84%D9%82.png/357px-%D9%82%D8%AF%D8%B1%D9%85%D8%B7%D9%84%D9%82.png" decoding="async" width="357" height="250" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/fd/%D9%82%D8%AF%D8%B1%D9%85%D8%B7%D9%84%D9%82.png 1.5x" data-file-width="420" data-file-height="294" /></a><figcaption>خلاصه تابع قدر مطلق و انتقالش</figcaption></figure> <p><br /><b>نکته:</b> اگر <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |a|}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |a|}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b61d5baa05004815f3abc52f517ce62b609b9b6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.523ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |a|}" /></span> بزرگتر از یک باشد دهانه قدر مطلق بسته تر خواهد شد. <b>(کشش عمودی)</b> </p><p><b>نکته:</b> اگر <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |a|}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |a|}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b61d5baa05004815f3abc52f517ce62b609b9b6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.523ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |a|}" /></span> بین صفر و یک باشد دهانه باز تر خواهد شد. <b>(کشش افقی)</b> </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="روش_نقطه_یابی"><span id=".D8.B1.D9.88.D8.B4_.D9.86.D9.82.D8.B7.D9.87_.DB.8C.D8.A7.D8.A8.DB.8C"></span>روش نقطه یابی</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D9%82%D8%AF%D8%B1_%D9%85%D8%B7%D9%84%D9%82_(%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C)&action=edit&section=9" title="ویرایش بخش: روش نقطه یابی"><span>ویرایش</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>در این روش ابتدا راس قدر مطلق را پیدا می‌کنیم که برابر است با <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S(-h,k)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>h</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S(-h,k)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9861108e1fad4ae261e8dc6e679d795371be5a4f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.701ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle S(-h,k)}" /></span> سپس با استفاده از دو نقطه کمکی که یک واحد قبل و بعد طول راس می‌باشد نمودار را رسم می‌کنیم. </p><p><b>نکته:</b> اگر داخل تابع قدر مطلق، تابع دیگری قرار بگیرد مانند <a href="/wiki/%D8%B3%D9%87%D9%85%DB%8C" title="سهمی">سهمی</a>. ابتدا <a href="/wiki/%D9%86%D9%85%D9%88%D8%AF%D8%A7%D8%B1_%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9" title="نمودار تابع">نمودار تابع</a> داخل قدر مطلق را رسم می‌کنیم سپس اگر قسمتی از نمودار زیر محور xها قرار گرفته باشد. قرینه آن را نسبت به محور xها در بالای محور رسم می‌کنیم. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="فاصله"><span id=".D9.81.D8.A7.D8.B5.D9.84.D9.87"></span>فاصله</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D9%82%D8%AF%D8%B1_%D9%85%D8%B7%D9%84%D9%82_(%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C)&action=edit&section=10" title="ویرایش بخش: فاصله"><span>ویرایش</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>مفهوم قدر مطلق و فاصله با یکدیگر رابطهٔ مستقیم دارند. همان گونه که در بالا گفته شد، قدر مطلق یک عدد حقیقی یا مختلط برابر است با <a href="/wiki/%D9%81%D8%A7%D8%B5%D9%84%D9%87" title="فاصله">فاصلهٔ</a> آن عدد تا نقطهٔ مرجع و به صورت کلی تر قدر مطلق تفاضل دو عدد حقیقی یا دو عدد مختلط برابر است با فاصلهٔ میان آن دو. </p><p><a href="/wiki/%D9%81%D8%A7%D8%B5%D9%84%D9%87_%D8%A7%D9%82%D9%84%DB%8C%D8%AF%D8%B3%DB%8C" title="فاصله اقلیدسی">فاصلهٔ اقلیدوسی</a> استاندارد میان دو نقطه: </p> <div dir="ltr" class="mw-content-ltr"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a=(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a=(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae13f3bc3275e21097960bd2c1692d901d4296df" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.366ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a=(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}" /></span></dd></dl> </div> <p>و </p> <div dir="ltr" class="mw-content-ltr"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b=(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b=(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b09e74ba4c7e782e72c134f8d7ffa0710e7cd016" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.437ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle b=(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})}" /></span></dd></dl> </div> <p>که در فضای<i> n</i> بعدی اقلیدوسی به صورت زیر تعریف می‌شود: </p> <div dir="ltr" class="mw-content-ltr"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+\cdots +(a_{n}-b_{n})^{2}}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo>⋯</mo> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+\cdots +(a_{n}-b_{n})^{2}}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1766c0affd60a38219e5a986d6abd018384b3cd5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.671ex; width:44.663ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+\cdots +(a_{n}-b_{n})^{2}}}.}" /></span></dd></dl> </div> <p>اگر a و b دو عدد در مجموعهٔ اعداد حقیقی باشند، در حالت کلی | a − b | را می‌توان به صورت زیر نمایش داد: </p> <div dir="ltr" class="mw-content-ltr"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |a-b|={\sqrt {(a-b)^{2}}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>a</mi> <mo>−</mo> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>−</mo> <mi>b</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |a-b|={\sqrt {(a-b)^{2}}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b91e42933a3a589cca7d255305128fd1ab2b7e7c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.671ex; width:20.362ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle |a-b|={\sqrt {(a-b)^{2}}}.}" /></span></dd></dl> </div> <p>و چنانچه a و b مختلط باشند: </p> <div dir="ltr" class="mw-content-ltr"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a=a_{1}+ia_{2}\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mspace width="thinmathspace"></mspace> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a=a_{1}+ia_{2}\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4a3d2a17fd039a856ddd839fe5d0f422222ccdf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.926ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a=a_{1}+ia_{2}\,}" /></span></dd></dl> </div> <p>و </p> <div dir="ltr" class="mw-content-ltr"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b=b_{1}+ib_{2}\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mspace width="thinmathspace"></mspace> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b=b_{1}+ib_{2}\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1d07e1c6f91fbff510fd4778b989b728a4e6958" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.23ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle b=b_{1}+ib_{2}\,}" /></span></dd></dl> </div> <p>آنگاه |a - b| به صورت زیر است: </p> <div dir="ltr" class="mw-content-ltr"> <dl><dd><table> <tbody><tr> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |a-b|\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>a</mi> <mo>−</mo> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mspace width="thinmathspace"></mspace> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |a-b|\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4d8601bc9e4b17c98e264b9a95ef3fee4d8bbf7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.749ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |a-b|\,}" /></span> </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle =|(a_{1}+ia_{2})-(b_{1}+ib_{2})|\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mspace width="thinmathspace"></mspace> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle =|(a_{1}+ia_{2})-(b_{1}+ib_{2})|\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/956dbc4502146c77033737e709533ad2f08f2b17" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.55ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle =|(a_{1}+ia_{2})-(b_{1}+ib_{2})|\,}" /></span> </td></tr> <tr> <td> </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle =|(a_{1}-b_{1})+i(a_{2}-b_{2})|\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mspace width="thinmathspace"></mspace> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle =|(a_{1}-b_{1})+i(a_{2}-b_{2})|\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70feb01f6cbe421c1a477f71ad6d74a3a674b4bf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.748ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle =|(a_{1}-b_{1})+i(a_{2}-b_{2})|\,}" /></span> </td></tr> <tr> <td> </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ={\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ={\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd4201b66fe72e41d2b5dfe25ca1ba32bc533919" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.671ex; width:28.344ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle ={\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}}}.}" /></span> </td></tr></tbody></table></dd></dl> </div> <p>رابطه‌های بالا نشان می‌دهد که قدر مطلق فاصله برای اعداد حقیقی یا مختلط در هر دو حالت با فاصلهٔ استاندارد اقلیدوسی آنان برابر است. </p><p>قدر مطلق فاصلهٔ میان دو عدد حقیقی یا مختلط، همواره نامنفی است. اگر تابع حقیقی <i>d</i> را به عنوان <a href="/w/index.php?title=%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9_%D9%81%D8%A7%D8%B5%D9%84%D9%87&action=edit&redlink=1" class="new" title="تابع فاصله (صفحه وجود ندارد)">تابع فاصله</a> تعریف کنیم، این تابع دارای ویژگی‌های زیر خواهد بود:<sup id="cite_ref-7" class="reference"><a href="#cite_note-7"><span class="cite-bracket">[</span>۷<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p> <div dir="ltr" class="mw-content-ltr"> <dl><dd><table> <tbody><tr> <td style="width:250px"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d(a,b)\geq 0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>≥</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d(a,b)\geq 0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40d228e792a13c2b3e8aaf58b33b111f15292b64" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.547ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle d(a,b)\geq 0}" /></span> </td> <td>نامنفی بودن </td></tr> <tr> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d(a,b)=0\iff a=b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mspace width="thickmathspace"></mspace> <mo stretchy="false">⟺</mo> <mspace width="thickmathspace"></mspace> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d(a,b)=0\iff a=b}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1df151412624571a51cc4c54c00798f3cada5a0f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.77ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle d(a,b)=0\iff a=b}" /></span> </td> <td>نشان دهندهٔ تساوی با عدد دیگر </td></tr> <tr> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d(a,b)=d(b,a)\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>d</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace"></mspace> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d(a,b)=d(b,a)\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a834444d2d6e722a32e06f74e179952006742ca" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.059ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle d(a,b)=d(b,a)\,}" /></span> </td> <td>جابجایی </td></tr> <tr> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d(a,b)\leq d(a,c)+d(c,b)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>≤</mo> <mi>d</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>d</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>c</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d(a,b)\leq d(a,c)+d(c,b)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6322991d56eb23c6e557481926074b8c9df1dea" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.585ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle d(a,b)\leq d(a,c)+d(c,b)}" /></span> </td> <td>نامساوی مثلثی </td></tr></tbody></table></dd></dl> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="در_حالت_کلی"><span id=".D8.AF.D8.B1_.D8.AD.D8.A7.D9.84.D8.AA_.DA.A9.D9.84.DB.8C"></span>در حالت کلی</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D9%82%D8%AF%D8%B1_%D9%85%D8%B7%D9%84%D9%82_(%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C)&action=edit&section=11" title="ویرایش بخش: در حالت کلی"><span>ویرایش</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="حلقه‌های_مرتب"><span id=".D8.AD.D9.84.D9.82.D9.87.E2.80.8C.D9.87.D8.A7.DB.8C_.D9.85.D8.B1.D8.AA.D8.A8"></span>حلقه‌های مرتب</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D9%82%D8%AF%D8%B1_%D9%85%D8%B7%D9%84%D9%82_(%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C)&action=edit&section=12" title="ویرایش بخش: حلقه‌های مرتب"><span>ویرایش</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>تعریف قدر مطلق در اعداد حقیقی را می‌توان به آسانی برای حلقه‌های مرتب گسترش داد. اگر <i>a</i> یک عضو حلقهٔ مرتب <i>R</i> باشد، آنگاه <b>قدر مطلق</b> <i>a</i> که آن را با | <i>a</i> | نمایش می‌دهند به صورت زیر تعریف می‌شود: </p> <div dir="ltr" class="mw-content-ltr"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |a|={\begin{cases}a,&{\mbox{if}}a\geq 0\\-a,&{\mbox{if}}a<0,\end{cases}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>{</mo> <mtable columnalign="left left" rowspacing=".2em" columnspacing="1em" displaystyle="false"> <mtr> <mtd> <mi>a</mi> <mo>,</mo> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mtext>if</mtext> </mstyle> </mrow> <mi>a</mi> <mo>≥</mo> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mtext>if</mtext> </mstyle> </mrow> <mi>a</mi> <mo><</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mtd> </mtr> </mtable> <mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true"></mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |a|={\begin{cases}a,&{\mbox{if}}a\geq 0\\-a,&{\mbox{if}}a<0,\end{cases}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bad39cbb78c967c17961f017d4ec38eb6207ef98" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:21.62ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle |a|={\begin{cases}a,&{\mbox{if}}a\geq 0\\-a,&{\mbox{if}}a<0,\end{cases}}}" /></span></dd></dl> </div> <p>که در آن <i>a</i> − وارون <i>a</i> در جمع و صفر، <a href="/w/index.php?title=%D8%B9%D8%B6%D9%88_%D8%A8%DB%8C%E2%80%8C%D8%A7%D8%AB%D8%B1&action=edit&redlink=1" class="new" title="عضو بی‌اثر (صفحه وجود ندارد)">عضو بی‌اثر</a> در جمع است. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="میدان‌ها"><span id=".D9.85.DB.8C.D8.AF.D8.A7.D9.86.E2.80.8C.D9.87.D8.A7"></span>میدان‌ها</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D9%82%D8%AF%D8%B1_%D9%85%D8%B7%D9%84%D9%82_(%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C)&action=edit&section=13" title="ویرایش بخش: میدان‌ها"><span>ویرایش</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>ویژگی‌های بنیادی قدر مطلق برای اعداد حقیقی، که در بالا گفته شد، شماره‌های ۲ تا ۵، را می‌توان برای هر میدان دلخواهی گسترش داد: </p><p><a href="/wiki/%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9_%D8%AD%D9%82%DB%8C%D9%82%DB%8C" title="تابع حقیقی">تابع حقیقی</a> <i>v</i> در <a href="/wiki/%D9%85%DB%8C%D8%AF%D8%A7%D9%86_(%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C)" class="mw-redirect" title="میدان (ریاضی)">می‌دانی</a> مانند <i>F</i> را <a href="/w/index.php?title=%D9%82%D8%AF%D8%B1_%D9%85%D8%B7%D9%84%D9%82_(%D8%AC%D8%A8%D8%B1)&action=edit&redlink=1" class="new" title="قدر مطلق (جبر) (صفحه وجود ندارد)">قدر مطلق</a> (یا بزرگی یا مقدار) می‌نامند، اگر ویژگی‌های زیر را داشته باشد: </p> <div dir="ltr" class="mw-content-ltr"> <dl><dd><table cellpadding="10"> <tbody><tr> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v(a)\geq 0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>≥</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v(a)\geq 0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e49ba1e78b523d294104cbe0799364fb692fd4bf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.428ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle v(a)\geq 0}" /></span> </td> <td>نامنفی بودن </td></tr> <tr> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v(a)=0\iff a=\mathbf {0} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mspace width="thickmathspace"></mspace> <mo stretchy="false">⟺</mo> <mspace width="thickmathspace"></mspace> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn mathvariant="bold">0</mn> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v(a)=0\iff a=\mathbf {0} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3f3d7035233c3d43c025cdb191841debfa24665" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.99ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle v(a)=0\iff a=\mathbf {0} }" /></span> </td> <td>صفر بودن </td></tr> <tr> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v(ab)=v(a)v(b)\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace"></mspace> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v(ab)=v(a)v(b)\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/751e3100d1e818db7f892dfc8a38f7473dc42282" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.751ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle v(ab)=v(a)v(b)\,}" /></span> </td> <td>تفکیک‌پذیری در ضرب </td></tr> <tr> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v(a+b)\leq v(a)+v(b)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>≤</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v(a+b)\leq v(a)+v(b)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02b218923df50a2bb4e38ebe7c8dd5f1f8a5d32b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.045ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle v(a+b)\leq v(a)+v(b)}" /></span> </td> <td>نامساوی مثلثی </td></tr></tbody></table></dd></dl> </div> <p>در رابطه‌های بالا، <b>صفر</b> عضو بی‌اثر در جمع برای <i>F</i> است. همچنین از شرط سوم می‌توان دریافت که <i>v</i>(<b>۱</b>) = ۱ در نتیجه <b>۱</b> عضو بی‌اثر در ضرب برای <i>F</i> است. قدر مطلق اعداد حقیقی و مختلط که در بالا گفته شدند حالت خاصی از قدر مطلق در میدان‌ها بودند. </p><p>اگر v یک قدر مطلق روی <i>F</i> باشد، آنگاه تابع <i>d</i> روی <i>F</i> × <i>F</i> به صورت زیر است: </p> <div dir="ltr" class="mw-content-ltr"> <p>d(a, b) = v(a − b) </p> </div> <p>حال خواهیم داشت: </p> <div dir="ltr" class="mw-content-ltr"> <ul><li><i>d</i>(<i>x</i>, <i>y</i>) < max{<i>d</i>(<i>x</i>, <i>z</i>), <i>d</i>(<i>y</i>, <i>z</i>)}</li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\big \{}v{\Big (}{\textstyle \sum _{k=1}^{n}}\mathbf {1} {\Big )}:n\in \mathbb {N} {\big \}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">{</mo> </mrow> </mrow> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.623em" minsize="1.623em">(</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> </mstyle> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn mathvariant="bold">1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.623em" minsize="1.623em">)</mo> </mrow> </mrow> <mo>:</mo> <mi>n</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">}</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\big \{}v{\Big (}{\textstyle \sum _{k=1}^{n}}\mathbf {1} {\Big )}:n\in \mathbb {N} {\big \}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ead73dad72c1d539d3ff32e62eff3427fdba8ea" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:21.444ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle {\big \{}v{\Big (}{\textstyle \sum _{k=1}^{n}}\mathbf {1} {\Big )}:n\in \mathbb {N} {\big \}}}" /></span> is bounded in <b>R</b></li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v{\Big (}{\textstyle \sum _{k=1}^{n}}\mathbf {1} {\Big )}\leq 1{\text{ for every}}n\in \mathbb {N} .}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.623em" minsize="1.623em">(</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> </mstyle> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn mathvariant="bold">1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.623em" minsize="1.623em">)</mo> </mrow> </mrow> <mo>≤</mo> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext> for every</mtext> </mrow> <mi>n</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v{\Big (}{\textstyle \sum _{k=1}^{n}}\mathbf {1} {\Big )}\leq 1{\text{ for every}}n\in \mathbb {N} .}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31bfcf54bdbbbd286153ea3e428d5ef3130b1ba7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:31.083ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle v{\Big (}{\textstyle \sum _{k=1}^{n}}\mathbf {1} {\Big )}\leq 1{\text{ for every}}n\in \mathbb {N} .}" /></span></li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v(a)\leq 1\Rightarrow v(1+a)\leq 1{\text{ for all}}a\in F.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>≤</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">⇒</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>≤</mo> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext> for all</mtext> </mrow> <mi>a</mi> <mo>∈</mo> <mi>F</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v(a)\leq 1\Rightarrow v(1+a)\leq 1{\text{ for all}}a\in F.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f013f67c85732a4b23e8b508823530be69f97c8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:37.334ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle v(a)\leq 1\Rightarrow v(1+a)\leq 1{\text{ for all}}a\in F.}" /></span></li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v(a+b)\leq \mathrm {max} \{v(a),v(b)\}{\text{ for all}}a,b\in F.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>≤</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">m</mi> <mi mathvariant="normal">a</mi> <mi mathvariant="normal">x</mi> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext> for all</mtext> </mrow> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <mi>F</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v(a+b)\leq \mathrm {max} \{v(a),v(b)\}{\text{ for all}}a,b\in F.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bdb2254184eb9c24524230e90759f522b027653" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:41.782ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle v(a+b)\leq \mathrm {max} \{v(a),v(b)\}{\text{ for all}}a,b\in F.}" /></span></li></ul> </div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="فضای_برداری"><span id=".D9.81.D8.B6.D8.A7.DB.8C_.D8.A8.D8.B1.D8.AF.D8.A7.D8.B1.DB.8C"></span>فضای برداری</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D9%82%D8%AF%D8%B1_%D9%85%D8%B7%D9%84%D9%82_(%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C)&action=edit&section=14" title="ویرایش بخش: فضای برداری"><span>ویرایش</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>در مبحث بردارها قدر مطلق بیانگر طول یک بردار می‌باشد </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="یادداشت_و_منابع"><span id=".DB.8C.D8.A7.D8.AF.D8.AF.D8.A7.D8.B4.D8.AA_.D9.88_.D9.85.D9.86.D8.A7.D8.A8.D8.B9"></span>یادداشت و منابع</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D9%82%D8%AF%D8%B1_%D9%85%D8%B7%D9%84%D9%82_(%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C)&action=edit&section=15" title="ویرایش بخش: یادداشت و منابع"><span>ویرایش</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="پانویس"><span id=".D9.BE.D8.A7.D9.86.D9.88.DB.8C.D8.B3"></span>پانویس</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D9%82%D8%AF%D8%B1_%D9%85%D8%B7%D9%84%D9%82_(%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C)&action=edit&section=16" title="ویرایش بخش: پانویس"><span>ویرایش</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r40724476">.mw-parser-output .reflist{font-size:90%;margin-bottom:0.5em;list-style-type:decimal}.mw-parser-output .reflist .references{font-size:100%;margin-bottom:0;list-style-type:inherit}.mw-parser-output .reflist-columns-2{column-width:30em}.mw-parser-output .reflist-columns-3{column-width:25em}.mw-parser-output .reflist-columns{margin-top:0.3em}.mw-parser-output .reflist-columns ol{margin-top:0}.mw-parser-output .reflist-columns li{page-break-inside:avoid;break-inside:avoid-column}.mw-parser-output .reflist-upper-alpha{list-style-type:upper-alpha}.mw-parser-output .reflist-upper-roman{list-style-type:upper-roman}.mw-parser-output .reflist-lower-alpha{list-style-type:lower-alpha}.mw-parser-output .reflist-lower-greek{list-style-type:lower-greek}.mw-parser-output .reflist-lower-roman{list-style-type:lower-roman}</style><div class="reflist reflist-columns references-column-width reflist-columns-2 mw-content-ltr" dir="ltr"> <ol class="references"> <li id="cite_note-oed-1"><span class="mw-cite-backlink">↑ <sup><a href="#cite_ref-oed_1-0">۱٫۰</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-oed_1-1">۱٫۱</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-oed_1-2">۱٫۲</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-oed_1-3">۱٫۳</a></sup></span> <span class="reference-text"><a href="/wiki/%D9%81%D8%B1%D9%87%D9%86%DA%AF_%D8%A7%D9%86%DA%AF%D9%84%DB%8C%D8%B3%DB%8C_%D8%A2%DA%A9%D8%B3%D9%81%D9%88%D8%B1%D8%AF" title="فرهنگ انگلیسی آکسفورد">فرهنگ انگلیسی آکسفورد</a>، Draft Revision, June 2008</span> </li> <li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.amazon.com/gp/reader/0691027951">Nahin</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians/Argand.html">O'Connor and Robertson</a>, and <a rel="nofollow" class="external text" href="http://functions.wolfram.com/ComplexComponents/Abs/35/">functions.Wolfram.com.</a>; for the French sense, see <a href="/w/index.php?title=Dictionnaire_de_la_langue_fran%C3%A7aise_(Littr%C3%A9)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Dictionnaire de la langue française (Littré) (صفحه وجود ندارد)">Littré</a>, ۱۸۷۷</span> </li> <li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="/wiki/%D9%84%D8%A7%D8%B2%D8%A7%D8%B1_%DA%A9%D8%A7%D8%B1%D9%86%D9%88" title="لازار کارنو">Lazare Nicolas M. Carnot</a>, <i>Mémoire sur la relation qui existe entre les distances respectives de cinq point quelconques pris dans l'espace</i>, p. ۱۰۵ <a rel="nofollow" class="external text" href="http://books.google.com/books?id=YyIOAAAAQAAJ&pg=PA105">at Google Books</a></span> </li> <li id="cite_note-4"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-4">↑</a></span> <span class="reference-text">James Mill Peirce, <i>A Text-book of Analytic Geometry</i> <a rel="nofollow" class="external text" href="http://books.google.com/books?id=RJALAAAAYAAJ&pg=PA42">at Google Books</a>. The oldest citation in the 2nd edition of the Oxford English Dictionary is from 1907. The term "absolute value" is also used in contrast to "relative value".</span> </li> <li id="cite_note-5"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-5">↑</a></span> <span class="reference-text">Nicholas J. Higham, <i>Handbook of writing for the mathematical sciences</i>, SIAM. <a href="/wiki/%D8%B4%D9%85%D8%A7%D8%B1%D9%87_%D8%A7%D8%B3%D8%AA%D8%A7%D9%86%D8%AF%D8%A7%D8%B1%D8%AF_%D8%A8%DB%8C%D9%86%E2%80%8C%D8%A7%D9%84%D9%85%D9%84%D9%84%DB%8C_%DA%A9%D8%AA%D8%A7%D8%A8" title="شماره استاندارد بین‌المللی کتاب">ISBN</a> <a href="/wiki/%D9%88%DB%8C%DA%98%D9%87:%D9%85%D9%86%D8%A7%D8%A8%D8%B9_%DA%A9%D8%AA%D8%A7%D8%A8/0-89871-420-6" title="ویژه:منابع کتاب/0-89871-420-6">0-89871-420-6</a>, p. ۲۵</span> </li> <li id="cite_note-6"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-6">↑</a></span> <span class="reference-text"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r39868036">.mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:linear-gradient(transparent,transparent),url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:linear-gradient(transparent,transparent),url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-subscription a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription a{background:linear-gradient(transparent,transparent),url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Lock-red-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:linear-gradient(transparent,transparent),url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Wikisource-logo.svg")right 0.1em center/12px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:none;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;color:var(--color-error,#d33)}.mw-parser-output .cs1-visible-error{color:var(--color-error,#d33)}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:#3a3;margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}.mw-parser-output .cs1-kern-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right{padding-right:0.2em}.mw-parser-output .citation .mw-selflink{font-weight:inherit}</style><cite id="CITEREFStewart,_James_B.2001" class="citation book cs1">Stewart, James B. (2001). <i>Calculus: concepts and contexts</i>. Australia: Brooks/Cole. <a href="/wiki/%D8%B4%D9%85%D8%A7%D8%B1%D9%87_%D8%A7%D8%B3%D8%AA%D8%A7%D9%86%D8%AF%D8%A7%D8%B1%D8%AF_%D8%A8%DB%8C%D9%86%E2%80%8C%D8%A7%D9%84%D9%85%D9%84%D9%84%DB%8C_%DA%A9%D8%AA%D8%A7%D8%A8" title="شماره استاندارد بین‌المللی کتاب">ISBN</a> <a href="/wiki/%D9%88%DB%8C%DA%98%D9%87:%D9%85%D9%86%D8%A7%D8%A8%D8%B9_%DA%A9%D8%AA%D8%A7%D8%A8/0-534-37718-1" title="ویژه:منابع کتاب/0-534-37718-1"><bdi>0-534-37718-1</bdi></a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Calculus%3A+concepts+and+contexts&rft.place=Australia&rft.pub=Brooks%2FCole&rft.date=2001&rft.isbn=0-534-37718-1&rft.au=Stewart%2C+James+B.&rfr_id=info%3Asid%2Ffa.wikipedia.org%3A%D9%82%D8%AF%D8%B1+%D9%85%D8%B7%D9%84%D9%82+%28%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C%29" class="Z3988"></span>, p. A5</span> </li> <li id="cite_note-7"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-7">↑</a></span> <span class="reference-text">These axioms are not minimal; for instance, non-negativity can be derived from the other three: 0 = <i>d</i>(<i>a</i>, <i>a</i>) ≤ <i>d</i>(<i>a</i>, <i>b</i>) + <i>d</i>(<i>b</i>, <i>a</i>) = 2<i>d</i>(<i>a</i>, <i>b</i>).</span> </li> </ol></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="کتابشناسی"><span id=".DA.A9.D8.AA.D8.A7.D8.A8.D8.B4.D9.86.D8.A7.D8.B3.DB.8C"></span>کتابشناسی</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D9%82%D8%AF%D8%B1_%D9%85%D8%B7%D9%84%D9%82_(%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C)&action=edit&section=17" title="ویرایش بخش: کتابشناسی"><span>ویرایش</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><cite id="CITEREFلیتهلد،_لوئیس1388" class="citation book">لیتهلد، لوئیس (<bdi>۱۳۸۸</bdi>). <i><a href="/w/index.php?title=%D8%AD%D8%B3%D8%A7%D8%A8_%D8%AF%DB%8C%D9%81%D8%B1%D8%A7%D9%86%D8%B3%DB%8C%D9%84_%D9%88_%D8%A7%D9%86%D8%AA%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%84_%D9%88_%D9%87%D9%86%D8%AF%D8%B3%D9%87_%D8%AA%D8%AD%D9%84%DB%8C%D9%84%DB%8C_(%DA%A9%D8%AA%D8%A7%D8%A8)&action=edit&redlink=1" class="new" title="حساب دیفرانسیل و انتگرال و هندسه تحلیلی (کتاب) (صفحه وجود ندارد)">حساب دیفرانسیل و انتگرال و هندسه تحلیلی</a></i>. <a href="/wiki/%D8%AA%D9%87%D8%B1%D8%A7%D9%86" title="تهران">تهران</a>: <a href="/wiki/%D9%85%D8%B1%DA%A9%D8%B2_%D9%86%D8%B4%D8%B1_%D8%AF%D8%A7%D9%86%D8%B4%DA%AF%D8%A7%D9%87%DB%8C" title="مرکز نشر دانشگاهی">مرکز نشر دانشگاهی</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%D8%AD%D8%B3%D8%A7%D8%A8+%D8%AF%DB%8C%D9%81%D8%B1%D8%A7%D9%86%D8%B3%DB%8C%D9%84+%D9%88+%D8%A7%D9%86%D8%AA%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%84+%D9%88+%D9%87%D9%86%D8%AF%D8%B3%D9%87+%D8%AA%D8%AD%D9%84%DB%8C%D9%84%DB%8C&rft.place=%D8%AA%D9%87%D8%B1%D8%A7%D9%86&rft.pub=%D9%85%D8%B1%DA%A9%D8%B2+%D9%86%D8%B4%D8%B1+%D8%AF%D8%A7%D9%86%D8%B4%DA%AF%D8%A7%D9%87%DB%8C&rft.date=1388&rft.au=%D9%84%DB%8C%D8%AA%D9%87%D9%84%D8%AF%D8%8C+%D9%84%D9%88%D8%A6%DB%8C%D8%B3&rfr_id=info%3Asid%2Ffa.wikipedia.org%3A%D9%82%D8%AF%D8%B1+%D9%85%D8%B7%D9%84%D9%82+%28%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C%29" class="Z3988"></span><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r28290294">.mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit}.mw-parser-output q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output code.cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:inherit;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/65/Lock-green.svg/9px-Lock-green.svg.png")no-repeat;background-position:right .1em center;padding-right:1em;padding-left:0}.mw-parser-output .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .cs1-lock-registration a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg/9px-Lock-gray-alt-2.svg.png")no-repeat;background-position:right .1em center;padding-right:1em;padding-left:0}.mw-parser-output .cs1-lock-subscription a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/aa/Lock-red-alt-2.svg/9px-Lock-red-alt-2.svg.png")no-repeat;background-position:right .1em center;padding-right:1em;padding-left:0}.mw-parser-output div[dir=ltr] .cs1-lock-free a,.mw-parser-output div[dir=ltr] .cs1-lock-subscription a,.mw-parser-output div[dir=ltr] .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output div[dir=ltr] .cs1-lock-registration a{background-position:left .1em center;padding-left:1em;padding-right:0}.mw-parser-output .cs1-subscription,.mw-parser-output .cs1-registration{color:#555}.mw-parser-output .cs1-subscription span,.mw-parser-output .cs1-registration span{border-bottom:1px dotted;cursor:help}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;font-size:100%}.mw-parser-output .cs1-visible-error{font-size:100%}.mw-parser-output .cs1-subscription,.mw-parser-output .cs1-registration,.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}.mw-parser-output .cs1-kern-left,.mw-parser-output .cs1-kern-wl-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right,.mw-parser-output .cs1-kern-wl-right{padding-right:0.2em}</style></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="پیوند_به_بیرون"><span id=".D9.BE.DB.8C.D9.88.D9.86.D8.AF_.D8.A8.D9.87_.D8.A8.DB.8C.D8.B1.D9.88.D9.86"></span>پیوند به بیرون</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D9%82%D8%AF%D8%B1_%D9%85%D8%B7%D9%84%D9%82_(%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C)&action=edit&section=18" title="ویرایش بخش: پیوند به بیرون"><span>ویرایش</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a rel="nofollow" class="external text" href="https://riazica.com/absolute-value/">نمودار تابع قدر مطلق</a> </p> <ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20120715021301/http://kelasedars.org/?p=1504">ویدیوهای آموزشی قدر مطلق</a> در <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20120508030040/http://kelasedars.org/">کلاس درس</a></li></ul> <div class="navbox-styles"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r40355799">.mw-parser-output .hlist dl,.mw-parser-output .hlist ol,.mw-parser-output .hlist ul{margin:0;padding:0}.mw-parser-output .hlist dd,.mw-parser-output .hlist dt,.mw-parser-output .hlist li{margin:0;display:inline}.mw-parser-output .hlist.inline,.mw-parser-output .hlist.inline dl,.mw-parser-output .hlist.inline ol,.mw-parser-output .hlist.inline ul,.mw-parser-output .hlist dl dl,.mw-parser-output .hlist dl ol,.mw-parser-output .hlist dl ul,.mw-parser-output .hlist ol dl,.mw-parser-output .hlist ol ol,.mw-parser-output .hlist ol ul,.mw-parser-output .hlist ul dl,.mw-parser-output .hlist ul ol,.mw-parser-output .hlist ul ul{display:inline}.mw-parser-output .hlist .mw-empty-li{display:none}.mw-parser-output .hlist dt::after{content:": "}.mw-parser-output .hlist dd::after,.mw-parser-output .hlist li::after{content:" · ";font-weight:bold}.mw-parser-output .hlist dd:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dt:last-child::after,.mw-parser-output .hlist li:last-child::after{content:none}.mw-parser-output .hlist dd dd:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dd dt:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dd li:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dt dd:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dt dt:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dt li:first-child::before,.mw-parser-output .hlist li dd:first-child::before,.mw-parser-output .hlist li dt:first-child::before,.mw-parser-output .hlist li li:first-child::before{content:" (";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist dd dd:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dd dt:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dd li:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dt dd:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dt dt:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dt li:last-child::after,.mw-parser-output .hlist li dd:last-child::after,.mw-parser-output .hlist li dt:last-child::after,.mw-parser-output .hlist li li:last-child::after{content:")";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist ol{counter-reset:listitem}.mw-parser-output .hlist ol>li{counter-increment:listitem}.mw-parser-output .hlist ol>li::before{content:" "counter(listitem)"\a0 "}.mw-parser-output .hlist dd ol>li:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dt ol>li:first-child::before,.mw-parser-output .hlist li ol>li:first-child::before{content:" ("counter(listitem)"\a0 "}</style><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r40744537">.mw-parser-output .navbox{box-sizing:border-box;border:1px solid #a2a9b1;width:100%;clear:both;font-size:88%;text-align:center;padding:1px;margin:1em auto 0}.mw-parser-output .navbox .navbox{margin-top:0}.mw-parser-output .navbox+.navbox,.mw-parser-output .navbox+.navbox-styles+.navbox{margin-top:-1px}.mw-parser-output .navbox-inner,.mw-parser-output .navbox-subgroup{width:100%}.mw-parser-output .navbox-group,.mw-parser-output .navbox-title,.mw-parser-output .navbox-abovebelow{padding:0.25em 1em;line-height:1.5em;text-align:center}.mw-parser-output .navbox-group{white-space:nowrap;text-align:right}.mw-parser-output .navbox,.mw-parser-output .navbox-subgroup{background-color:#f8f9fa}.mw-parser-output .navbox-list{line-height:1.5em;border-color:#f8f9fa}.mw-parser-output .navbox-list-with-group{text-align:right;border-left-width:2px;border-right-style:solid}.mw-parser-output tr+tr>.navbox-abovebelow,.mw-parser-output tr+tr>.navbox-group,.mw-parser-output tr+tr>.navbox-image,.mw-parser-output tr+tr>.navbox-list{border-top:2px solid #f8f9fa}.mw-parser-output .navbox-title{background-color:#b3ccff}.mw-parser-output .navbox-abovebelow,.mw-parser-output .navbox-group,.mw-parser-output .navbox-subgroup .navbox-title{background-color:#dbe7ff}.mw-parser-output .navbox-subgroup .navbox-group,.mw-parser-output .navbox-subgroup .navbox-abovebelow{background-color:#e5edff}.mw-parser-output .navbox-even{background-color:#f8f9fa}.mw-parser-output .navbox-odd{background-color:transparent}.mw-parser-output .navbox .hlist td dl,.mw-parser-output .navbox .hlist td ol,.mw-parser-output .navbox .hlist td ul,.mw-parser-output .navbox td.hlist dl,.mw-parser-output .navbox td.hlist ol,.mw-parser-output .navbox td.hlist ul{padding:0.125em 0}.mw-parser-output .navbox .navbar{display:block;font-size:100%}.mw-parser-output .navbox-title .navbar{float:right;text-align:right;margin-left:0.5em}.mw-parser-output .navbox-list li{unicode-bidi:isolate}</style></div><div role="navigation" class="navbox" aria-labelledby="توابع_ریاضی" style="padding:3px"><table class="nowraplinks mw-collapsible autocollapse navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th scope="col" class="navbox-title" colspan="3"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r40355799" /><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r40261389">.mw-parser-output .navbar{display:inline;font-size:88%;font-weight:normal}.mw-parser-output .navbar-collapse{float:right;text-align:right}.mw-parser-output .navbar-boxtext{word-spacing:0}.mw-parser-output .navbar ul{display:inline-block;white-space:nowrap;line-height:inherit}.mw-parser-output .navbar-brackets::before{margin-left:-0.125em;content:"[ "}.mw-parser-output .navbar-brackets::after{margin-right:-0.125em;content:" ]"}.mw-parser-output .navbar li{word-spacing:-0.125em}.mw-parser-output .navbar a>span,.mw-parser-output .navbar a>abbr{text-decoration:inherit}.mw-parser-output .navbar-mini abbr{font-variant:small-caps;border-bottom:none;text-decoration:none;cursor:inherit}.mw-parser-output .navbar-ct-full{font-size:114%;margin:0 7em}.mw-parser-output .navbar-ct-mini{font-size:114%;margin:0 4em}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbar li a abbr{color:var(--color-base)!important}@media(prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbar li a abbr{color:var(--color-base)!important}}@media print{.mw-parser-output .navbar{display:none!important}}</style><div class="navbar plainlinks hlist navbar-mini"><ul><li class="nv-نمایش"><a href="/wiki/%D8%A7%D9%84%DA%AF%D9%88:%D8%AA%D9%88%D8%A7%D8%A8%D8%B9_%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C" title="الگو:توابع ریاضی"><abbr title="مشاهدهٔ این الگو">ن</abbr></a></li><li class="nv-بحث"><a href="/w/index.php?title=%D8%A8%D8%AD%D8%AB_%D8%A7%D9%84%DA%AF%D9%88:%D8%AA%D9%88%D8%A7%D8%A8%D8%B9_%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C&action=edit&redlink=1" class="new" title="بحث الگو:توابع ریاضی (صفحه وجود ندارد)"><abbr title="بحث پیرامون این الگو">ب</abbr></a></li><li class="nv-ویرایش"><a href="/wiki/%D9%88%DB%8C%DA%98%D9%87:%D9%88%DB%8C%D8%B1%D8%A7%DB%8C%D8%B4_%D8%B5%D9%81%D8%AD%D9%87/%D8%A7%D9%84%DA%AF%D9%88:%D8%AA%D9%88%D8%A7%D8%A8%D8%B9_%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C" title="ویژه:ویرایش صفحه/الگو:توابع ریاضی"><abbr title="ویرایش کردن این الگو">و</abbr></a></li></ul></div><div id="توابع_ریاضی" style="font-size:114%;margin:0 4em"><a href="/wiki/%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9" title="تابع">توابع ریاضی</a></div></th></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">مفاهیم</th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-odd" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"><a href="/wiki/%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9_%DB%8C%DA%A9_%D8%A8%D9%87_%DB%8C%DA%A9" class="mw-redirect" title="تابع یک به یک">تابع یک به یک</a>، <a href="/wiki/%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9_%D9%BE%D9%88%D8%B4%D8%A7" title="تابع پوشا">تابع پوشا</a>، <a href="/wiki/%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9_%D8%B2%D9%88%D8%AC_%D9%88_%D9%81%D8%B1%D8%AF" class="mw-redirect" title="تابع زوج و فرد">تابع زوج و فرد</a>، <a href="/wiki/%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9_%D8%AA%D8%AD%D9%84%DB%8C%D9%84%DB%8C" title="تابع تحلیلی">تابع تحلیلی</a>، <a href="/w/index.php?title=%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9_%D8%A8%D8%B1%D8%AF%D8%A7%D8%B1%DB%8C&action=edit&redlink=1" class="new" title="تابع برداری (صفحه وجود ندارد)">تابع برداری</a>، <a href="/wiki/%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9_%D9%BE%DB%8C%D9%88%D8%B3%D8%AA%D9%87" title="تابع پیوسته">تابع پیوسته</a>، <a href="/wiki/%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9_%D8%AF%DB%8C%D9%81%D8%B1%D8%A7%D9%86%D8%B3%DB%8C%D9%84%E2%80%8C%D9%BE%D8%B0%DB%8C%D8%B1" title="تابع دیفرانسیل‌پذیر">تابع دیفرانسیل‌پذیر</a>، <a href="/wiki/%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9_%DB%8C%DA%A9%D9%86%D9%88%D8%A7" title="تابع یکنوا">تابع یکنوا</a></div></td><td class="noviewer navbox-image" rowspan="4" style="width:1px;padding:0 0 0 2px"><div><span class="texhtml texhtml-big" style="font-size:250%;font-family: Serif;"><i>x</i> ↦ <i>f</i>(<i>x</i>)</span></div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">توابع متعارف</th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-even" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em">تابع ثابت، <a href="/wiki/%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9_%D9%87%D9%85%D8%A7%D9%86%DB%8C" title="تابع همانی">تابع همانی</a>، <a href="/wiki/%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9_%D8%B9%D9%84%D8%A7%D9%85%D8%AA" title="تابع علامت">تابع علامت</a>، <a href="/wiki/%DA%86%D9%86%D8%AF%D8%AC%D9%85%D9%84%D9%87%E2%80%8C%D8%A7%DB%8C" title="چندجمله‌ای">توابع چندجمله‌ای</a>، <a href="/wiki/%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9_%DA%AF%D9%88%DB%8C%D8%A7" title="تابع گویا">توابع گویا</a>، <a href="/wiki/%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9%E2%80%8C%D9%87%D8%A7%DB%8C_%D9%85%D8%AB%D9%84%D8%AB%D8%A7%D8%AA%DB%8C" class="mw-redirect" title="تابع‌های مثلثاتی">توابع مثلثاتی</a>، <a href="/wiki/%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9_%D9%86%D9%85%D8%A7%DB%8C%DB%8C" title="تابع نمایی">تابع نمایی</a> <small>(<a href="/wiki/%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9_%D9%87%D8%B0%D9%84%D9%88%D9%84%D9%88%DB%8C" title="تابع هذلولوی">تابع هذلولوی</a>)</small>، <a class="mw-selflink selflink">قدر مطلق</a>، <a href="/wiki/%D9%84%DA%AF%D8%A7%D8%B1%DB%8C%D8%AA%D9%85" title="لگاریتم">لگاریتم</a></div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%D8%AA%D9%88%D8%A7%D8%A8%D8%B9_%D9%85%D8%AB%D9%84%D8%AB%D8%A7%D8%AA%DB%8C" title="توابع مثلثاتی">توابع مثلثاتی</a></th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-odd" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"><a href="/wiki/%D8%B3%DB%8C%D9%86%D9%88%D8%B3_(%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C%D8%A7%D8%AA)" title="سینوس (ریاضیات)">سینوس</a>، <a href="/wiki/%DA%A9%D8%B3%DB%8C%D9%86%D9%88%D8%B3" title="کسینوس">کسینوس</a>، <a href="/wiki/%D8%AA%D8%A7%D9%86%DA%98%D8%A7%D9%86%D8%AA" title="تانژانت">تانژانت</a>، <a href="/wiki/%DA%A9%D8%AA%D8%A7%D9%86%DA%98%D8%A7%D9%86%D8%AA" title="کتانژانت">کتانژانت</a>، <a href="/wiki/%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9%E2%80%8C%D9%87%D8%A7%DB%8C_%D9%88%D8%A7%D8%B1%D9%88%D9%86_%D9%85%D8%AB%D9%84%D8%AB%D8%A7%D8%AA%DB%8C" class="mw-redirect" title="تابع‌های وارون مثلثاتی">توابع وارون مثلثاتی</a>، <a href="/wiki/%D9%81%D9%87%D8%B1%D8%B3%D8%AA_%D8%A7%D9%86%D8%AA%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%84_%D8%AA%D9%88%D8%A7%D8%A8%D8%B9_%D9%85%D8%AB%D9%84%D8%AB%D8%A7%D8%AA%DB%8C" title="فهرست انتگرال توابع مثلثاتی">فهرست انتگرال توابع مثلثاتی</a>، <a href="/wiki/%D9%85%D8%B4%D8%AA%D9%82_%D8%AA%D9%88%D8%A7%D8%A8%D8%B9_%D9%85%D8%AB%D9%84%D8%AB%D8%A7%D8%AA%DB%8C" title="مشتق توابع مثلثاتی">مشتق توابع مثلثاتی</a></div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">توابع خاص</th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-even" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"><a href="/wiki/%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9_%D8%A8%D8%B3%D9%84" title="تابع بسل">تابع بسل</a>، <a href="/wiki/%DA%86%D9%86%D8%AF%D8%AC%D9%85%D9%84%D9%87%E2%80%8C%D8%A7%DB%8C%E2%80%8C%D9%87%D8%A7%DB%8C_%D9%84%DA%98%D8%A7%D9%86%D8%AF%D8%B1" title="چندجمله‌ای‌های لژاندر">تابع لژاندر</a>، <a href="/wiki/%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9_%D9%BE%D9%84%D9%87%E2%80%8C%D8%A7%DB%8C" title="تابع پله‌ای">تابع پله‌ای</a>، <a href="/wiki/%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9_%DA%AF%D8%A7%D9%85%D8%A7" title="تابع گاما">تابع گاما</a>، <a href="/wiki/%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9_%D8%AE%D8%B7%D8%A7" title="تابع خطا">تابع خطا</a>، <a href="/wiki/%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9_%DA%86%D8%A8%DB%8C%D8%B4%D9%81" title="تابع چبیشف">تابع چبیشف</a>، <a href="/wiki/%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9_%DA%AF%D8%B1%DB%8C%D9%86" title="تابع گرین">تابع گرین</a>، <a href="/wiki/%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9_%D8%AF%D9%84%D8%AA%D8%A7%DB%8C_%D8%AF%DB%8C%D8%B1%D8%A7%DA%A9" title="تابع دلتای دیراک">دلتای دیراک</a>، <a href="/wiki/%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9_%D8%B2%D8%AA%D8%A7%DB%8C_%D8%B1%DB%8C%D9%85%D8%A7%D9%86" title="تابع زتای ریمان">تابع زتای ریمان</a>، <a href="/wiki/%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9_%D9%87%DB%8C%D9%88%D9%86" title="تابع هیون">تابع هیون</a>، <a href="/wiki/%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9_%DA%AF%D8%A7%D9%88%D8%B3%DB%8C" title="تابع گاوسی">تابع گاوسی</a>، <a href="/wiki/%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9_%D8%AF%DB%8C%D8%B1%DB%8C%DA%A9%D9%84%D9%87" title="تابع دیریکله">تابع دیریکله</a></div></td></tr></tbody></table></div>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?useformat=desktop&type=1x1&usesul3=0" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">برگرفته از «<a dir="ltr" href="https://fa.wikipedia.org/w/index.php?title=قدر_مطلق_(ریاضی)&oldid=41053806">https://fa.wikipedia.org/w/index.php?title=قدر_مطلق_(ریاضی)&oldid=41053806</a>»</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/%D9%88%DB%8C%DA%98%D9%87:%D8%B1%D8%AF%D9%87%E2%80%8C%D9%87%D8%A7" title="ویژه:رده‌ها">رده‌ها</a>: <ul><li><a href="/wiki/%D8%B1%D8%AF%D9%87:%D8%A7%D8%B9%D8%AF%D8%A7%D8%AF_%D8%AD%D9%82%DB%8C%D9%82%DB%8C" title="رده:اعداد حقیقی">اعداد حقیقی</a></li><li><a href="/wiki/%D8%B1%D8%AF%D9%87:%D8%AA%D9%88%D8%A7%D8%A8%D8%B9_%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C" title="رده:توابع ریاضی">توابع ریاضی</a></li><li><a href="/wiki/%D8%B1%D8%AF%D9%87:%D8%AD%D8%B3%D8%A7%D8%A8%D8%A7%D9%86" title="رده:حسابان">حسابان</a></li><li><a href="/wiki/%D8%B1%D8%AF%D9%87:%D9%86%D8%B1%D9%85%E2%80%8C%D9%87%D8%A7_(%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C%D8%A7%D8%AA)" title="رده:نرم‌ها (ریاضیات)">نرم‌ها (ریاضیات)</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">ردهٔ پنهان: <ul><li><a href="/wiki/%D8%B1%D8%AF%D9%87:%D9%85%D9%82%D8%A7%D9%84%D9%87%E2%80%8C%D9%87%D8%A7%DB%8C_%D8%AF%D8%A7%D8%B1%D8%A7%DB%8C_%D9%88%D8%A7%DA%98%DA%AF%D8%A7%D9%86_%D8%A8%D9%87_%D8%B2%D8%A8%D8%A7%D9%86_%D8%A7%D9%86%DA%AF%D9%84%DB%8C%D8%B3%DB%8C" title="رده:مقاله‌های دارای واژگان به زبان انگلیسی">مقاله‌های دارای واژگان به زبان انگلیسی</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> این صفحه آخرین‌بار در ۲۵ ژانویهٔ ۲۰۲۵ ساعت ۱۴:۴۲ ویرایش شده است.</li> <li id="footer-info-copyright">همهٔ نوشته‌ها تحت <a rel="nofollow" class="external text" href="//creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.en">مجوز Creative Commons Attribution/Share-Alike</a> در دسترس است؛ برای جزئیات بیشتر <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Terms_of_Use">شرایط استفاده</a> را بخوانید.<br /> ویکی‌پدیا® علامتی تجاری متعلق به سازمان غیرانتفاعی <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.wikimediafoundation.org/">بنیاد ویکی‌مدیا</a> است.<br /></li> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy">سیاست حفظ حریم خصوصی</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/%D9%88%DB%8C%DA%A9%DB%8C%E2%80%8C%D9%BE%D8%AF%DB%8C%D8%A7:%D8%AF%D8%B1%D8%A8%D8%A7%D8%B1%D9%87">دربارهٔ ویکی‌پدیا</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/%D9%88%DB%8C%DA%A9%DB%8C%E2%80%8C%D9%BE%D8%AF%DB%8C%D8%A7:%D8%AA%DA%A9%D8%B0%DB%8C%D8%A8%E2%80%8C%D9%86%D8%A7%D9%85%D9%87%D9%94_%D8%B9%D9%85%D9%88%D9%85%DB%8C">تکذیب‌نامه‌ها</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct">آیین‌نامه رفتاری</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://www.mediawiki.org/wiki/How_to_contribute/fa?uselang=fa">توسعه‌دهندگان</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/fa.wikipedia.org">آمار</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement">بیانیهٔ کوکی</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//fa.m.wikipedia.org/w/index.php?title=%D9%82%D8%AF%D8%B1_%D9%85%D8%B7%D9%84%D9%82_(%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C)&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">نمای موبایل</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://wikimediafoundation.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><picture><source media="(min-width: 500px)" srcset="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29"><img src="/static/images/footer/wikimedia.svg" width="25" height="25" alt="Wikimedia Foundation" lang="en" loading="lazy"></picture></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><picture><source media="(min-width: 500px)" srcset="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" width="88" height="31"><img src="/w/resources/assets/mediawiki_compact.svg" alt="Powered by MediaWiki" lang="en" width="25" height="25" loading="lazy"></picture></a></li> </ul> </footer> </div> </div> </div> <div class="vector-header-container vector-sticky-header-container"> <div id="vector-sticky-header" class="vector-sticky-header"> <div class="vector-sticky-header-start"> <div class="vector-sticky-header-icon-start vector-button-flush-left vector-button-flush-right" aria-hidden="true"> <button class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-sticky-header-search-toggle" tabindex="-1" data-event-name="ui.vector-sticky-search-form.icon"><span class="vector-icon mw-ui-icon-search mw-ui-icon-wikimedia-search"></span> <span>جستجو</span> </button> </div> <div role="search" class="vector-search-box-vue vector-search-box-show-thumbnail vector-search-box"> <div class="vector-typeahead-search-container"> <div class="cdx-typeahead-search cdx-typeahead-search--show-thumbnail"> <form action="/w/index.php" id="vector-sticky-search-form" class="cdx-search-input cdx-search-input--has-end-button"> <div class="cdx-search-input__input-wrapper" data-search-loc="header-moved"> <div class="cdx-text-input cdx-text-input--has-start-icon"> <input class="cdx-text-input__input" type="search" name="search" placeholder="جستجو در ویکی‌پدیا"> <span class="cdx-text-input__icon cdx-text-input__start-icon"></span> </div> <input type="hidden" name="title" value="ویژه:جستجو"> </div> <button class="cdx-button cdx-search-input__end-button">جستجو</button> </form> </div> </div> </div> <div class="vector-sticky-header-context-bar"> <nav aria-label="فهرست" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-sticky-header-toc" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-sticky-header-toc vector-sticky-header-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-sticky-header-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-sticky-header-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="تغییر وضعیت فهرست محتویات" > <label id="vector-sticky-header-toc-label" for="vector-sticky-header-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">تغییر وضعیت فهرست محتویات</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-sticky-header-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <div class="vector-sticky-header-context-bar-primary" aria-hidden="true" ><span class="mw-page-title-main">قدر مطلق (ریاضی)</span></div> </div> </div> <div class="vector-sticky-header-end" aria-hidden="true"> <div class="vector-sticky-header-icons"> <a href="#" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only" id="ca-talk-sticky-header" tabindex="-1" data-event-name="talk-sticky-header"><span class="vector-icon mw-ui-icon-speechBubbles mw-ui-icon-wikimedia-speechBubbles"></span> <span></span> </a> <a href="#" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only" id="ca-subject-sticky-header" tabindex="-1" data-event-name="subject-sticky-header"><span class="vector-icon mw-ui-icon-article mw-ui-icon-wikimedia-article"></span> <span></span> </a> <a href="#" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only" id="ca-history-sticky-header" tabindex="-1" data-event-name="history-sticky-header"><span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-history mw-ui-icon-wikimedia-wikimedia-history"></span> <span></span> </a> <a href="#" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only mw-watchlink" id="ca-watchstar-sticky-header" tabindex="-1" data-event-name="watch-sticky-header"><span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-star mw-ui-icon-wikimedia-wikimedia-star"></span> <span></span> </a> <a href="#" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only" id="ca-edit-sticky-header" tabindex="-1" data-event-name="wikitext-edit-sticky-header"><span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-wikiText mw-ui-icon-wikimedia-wikimedia-wikiText"></span> <span></span> </a> <a href="#" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only" id="ca-ve-edit-sticky-header" tabindex="-1" data-event-name="ve-edit-sticky-header"><span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-edit mw-ui-icon-wikimedia-wikimedia-edit"></span> <span></span> </a> <a href="#" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only" id="ca-viewsource-sticky-header" tabindex="-1" data-event-name="ve-edit-protected-sticky-header"><span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-editLock mw-ui-icon-wikimedia-wikimedia-editLock"></span> <span></span> </a> </div> <div class="vector-sticky-header-buttons"> <button class="cdx-button cdx-button--weight-quiet mw-interlanguage-selector" id="p-lang-btn-sticky-header" tabindex="-1" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn-sticky-header"><span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-language mw-ui-icon-wikimedia-wikimedia-language"></span> <span>۷۶ زبان</span> </button> <a href="#" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive" id="ca-addsection-sticky-header" tabindex="-1" data-event-name="addsection-sticky-header"><span class="vector-icon mw-ui-icon-speechBubbleAdd-progressive mw-ui-icon-wikimedia-speechBubbleAdd-progressive"></span> <span>افزودن مبحث</span> </a> </div> <div class="vector-sticky-header-icon-end"> <div class="vector-user-links"> </div> </div> </div> </div> </div> <div class="mw-portlet mw-portlet-dock-bottom emptyPortlet" id="p-dock-bottom"> <ul> </ul> </div> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.main-657b46f875-2wss7","wgBackendResponseTime":232,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"0.523","walltime":"0.735","ppvisitednodes":{"value":1963,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":24224,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":2195,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":13,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":0,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":1,"limit":20},"unstrip-size":{"value":20714,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":0,"limit":400},"timingprofile":["100.00% 510.457 1 -total"," 30.03% 153.279 3 الگو:به_انگلیسی"," 28.53% 145.630 3 الگو:به_زبان_دیگر"," 28.00% 142.938 3 الگو:Lang"," 24.23% 123.687 1 الگو:پانویس"," 23.23% 118.584 1 الگو:توابع_ریاضی"," 22.72% 115.957 1 الگو:جعبه_گشتن"," 22.16% 113.120 1 الگو:Navbox"," 18.13% 92.556 1 الگو:Cite_book"," 13.72% 70.033 1 الگو:یادکرد_کتاب"]},"scribunto":{"limitreport-timeusage":{"value":"0.306","limit":"10.000"},"limitreport-memusage":{"value":19760285,"limit":52428800}},"cachereport":{"origin":"mw-api-int.codfw.main-6f69c9f955-zhtn2","timestamp":"20250308221737","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> <script type="application/ld+json">{"@context":"https:\/\/schema.org","@type":"Article","name":"\u0642\u062f\u0631 \u0645\u0637\u0644\u0642 (\u0631\u06cc\u0627\u0636\u06cc)","url":"https:\/\/fa.wikipedia.org\/wiki\/%D9%82%D8%AF%D8%B1_%D9%85%D8%B7%D9%84%D9%82_(%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C)","sameAs":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q120812","mainEntity":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q120812","author":{"@type":"Organization","name":"\u0645\u0634\u0627\u0631\u06a9\u062a\u200c\u06a9\u0646\u0646\u062f\u06af\u0627\u0646 \u067e\u0631\u0648\u0698\u0647\u0654 \u0648\u06cc\u06a9\u06cc\u200c\u0645\u062f\u06cc\u0627"},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Wikimedia Foundation, Inc.","logo":{"@type":"ImageObject","url":"https:\/\/www.wikimedia.org\/static\/images\/wmf-hor-googpub.png"}},"datePublished":"2007-07-30T08:44:07Z","dateModified":"2025-01-25T14:42:37Z","image":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/6\/6b\/Absolute_value.svg"}</script> </body> </html>